Mathématiques et Mathématiciens_ Pensées et Curiosités (French) 559 downloads.pdf

The Project Gutenberg eBook of Mathématiques et
Mathématiciens: Pensées et Curiosités

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Title: Mathématiques et Mathématiciens: Pensées et Curiosités

Compiler: A. Rebière

Release date: February 3, 2013 [eBook #41991]
Most recently updated: October 23, 2024

Language: French

Other information and formats: www.gutenberg.org/ebooks/41991

Credits: Produced by Laurent Vogel, Susan Skinner, Christine P.
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of Mathematics at the University of Glasgow.)

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MATHÉMATIQUES ET MATHÉMATICIENS: PENSÉES ET

CURIOSITÉS ***

MATHÉMATIQUES
ET
MATHÉMATICIENS

DU MÊME AUTEUR
À LA MÊME LIBRAIRIE

LES FEMMES DANS LA SCIENCE
Un beau vol. in-8, IX-362 pp.,
orné de portraits, autographes et fac-simile . . . . 5 fr.

MATHÉMATIQUES
ET
MATHÉMATICIENS

PENSÉES ET CURIOSITÉS
Recueillies
PAR
A. REBIÈRE

TROISIÈME ÉDITION
AMÉLIORÉE

PARIS
LIBRAIRIE NONY & Cie
17, RUE DES ÉCOLES, 17
1898
(Tous droits réservés)

Nous n'avons pas voulu grossir encore un volume déjà trop gros. Nous
nous sommes bornés à améliorer l'édition précédente, par la méthode des
substitutions. Les lecteurs trouveront ainsi des parties nouvelles aux pages
14, 22, 166, 228, 261, 289, 302, 362, 418, 422, etc., etc.

M. de Tilly a dit: «Les Mathématiques régissent le monde, mais elles le
régissent sans l'amuser.» Stendhal l'avait déjà déclaré: «C'est la patrie du
bâillement et du raisonnement triste.» Nous nous sommes permis quand
même, sur un sujet austère, quelques sourires mesurés.

Nous venons de donner à notre livre un frère, ou plutôt une sœur, qui
s'appelle Les femmes dans la science. Voulez-vous connaître les
mathématiciennes et autres savantes? Aimez-vous les portraits et les
autographes?

Paris, le 15 mars 1897.

MORCEAUX CHOISIS
ET PENSÉES

Les généralités qui suivent se rapportent aux principes, aux méthodes, à
la classification, à l'enseignement et à l'histoire des Mathématiques. Nous
les avons puisées à bonne source, dans les savants et les penseurs anciens et
modernes.

OBJET ET CARACTÈRE DES MATHÉMATIQUES

De quoi s'occupent les mathématiques, si ce n'est de la proportion et de
l'ordre?

Aristote.

Je me demandai d'abord ce que tout le monde entendait précisément par
ce mot (mathématiques), et pourquoi on regardait comme faisant partie des
mathématiques, non seulement l'arithmétique et la géométrie, mais encore
l'astronomie, la musique, l'optique, la mécanique et plusieurs autres
sciences.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Il n'est personne, pour peu qu'il ait touché seulement le seuil des écoles,
qui ne distingue facilement, parmi les objets qui se présentent à lui, ceux
qui se rattachent aux mathématiques, et ceux qui appartiennent aux autres
sciences. En réfléchissant à cela, je découvris enfin qu'on ne devrait
rapporter aux mathématiques que toutes les choses dans lesquelles on
examine l'ordre ou la mesure, et qu'il importe peu que ce soit dans les
nombres, les figures, les astres, les sons ou dans tout autre objet qu'on
cherche cette mesure.

Descartes.

Les spéculations mathématiques ont pour caractère commun et essentiel
de se rattacher à deux idées ou catégories fondamentales: l'idée d'ordre sous
laquelle il est permis de ranger... les idées de situation, de configuration, de
forme et de combinaison; et l'idée de grandeur qui implique celles de
quantité, de proportion et de mesure.

Cournot.

La validité de l'analyse algébrique dépend, non de l'interprétation des
symboles employés, mais uniquement des lois de leurs combinaisons... La
mathématique abstraite et générale n'a pas seulement pour objet des notions
de quantités numériques, géométriques ou mécaniques: elle traite des
opérations en elles-mêmes, indépendamment des matières diverses
auxquelles elles peuvent être appliquées.

Liard.

Nous sommes donc parvenus maintenant à définir avec exactitude la
science mathématique, en lui assignant pour but la mesure indirecte des
grandeurs et en disant qu'on s'y propose constamment de déterminer les

grandeurs les unes par les autres, d'après les relations précises qui existent
entre elles. Cet énoncé, au lieu de donner l'idée d'un art, caractérise
immédiatement une véritable science, et la montre sur-le-champ composée
d'un immense enchaînement d'opérations intellectuelles qui pourront
évidemment devenir très compliquées, à raison de la suite d'intermédiaires
qu'il faudra établir entre les quantités inconnues et celles qui comportent
une mesure directe... D'après cette définition, l'esprit mathématique consiste
à regarder toujours comme liées entre elles, toutes les quantités que peut
présenter un phénomène quelconque, dans la vue de les déduire les unes des
autres.

Aug. Comte.

À propos de cette citation, Hoppe, de Berlin, fait remarquer qu'il s'agit
aussi en Mathématiques de l'équivalence des opérations.

La définition la plus généralement reçue des mathématiques est celle-ci:
les mathématiques sont la science des grandeurs. Cette définition est vraie
au fond, mais elle est superficielle et demande explication.

De quelles grandeurs s'agit-il en mathématiques? Est-ce de toute
grandeur en général? Non, car alors tout serait objet des mathématiques,
puisque tout est grandeur, si du moins on se contente de définir la grandeur
comme on le fait d'ordinaire: «ce qui est susceptible d'augmentation ou de
diminution;» car cela s'applique à tout; une chose peut être plus ou moins
belle, une action plus ou moins bonne, un plaisir plus ou moins vif, un
homme plus ou moins spirituel; ce ne sont pas là des grandeurs
mathématiques. Pourquoi? Parce que ce ne sont pas là des grandeurs
mesurables. Qu'est-ce qu'une grandeur mesurable et, en général, qu'est-ce
que mesurer? C'est comparer une grandeur quelconque à une grandeur
donnée prise pour unité. Mesurer une route, c'est comparer la longueur de la
route à une unité de longueur qu'on appelle le mètre, et dire combien de fois
elle comprend cette unité. Mais qui pourra dire, par exemple, combien de
fois le talent de Catulle est contenu dans le génie d'Homère?

Il n'y a donc que les grandeurs mesurables qui soient l'objet des
mathématiques. De là cette nouvelle définition: c'est la science de la mesure
des grandeurs.

Cette définition est plus juste que la précédente; mais elle est encore
superficielle. En effet, mesurer ne semble guère en réalité qu'une opération
purement mécanique. Or c'est là l'objet d'un art et non d'une science.
L'arpentage n'est pas la géométrie. C'est l'arpenteur qui mesure, c'est le
géomètre qui fournit les moyens de mesurer. La mesure n'est donc pas
l'objet immédiat de la science. Elle n'en est que l'objet indirect et éloigné.
Voyons comment elle peut devenir un objet vraiment scientifique.

La comparaison directe et immédiate d'une grandeur quelconque à l'unité
est, la plupart du temps, impossible. Par exemple, si je demande combien il
y a d'arbres dans une forêt, je ne puis le savoir qu'en comptant les arbres un
à un, ce qui demanderait un temps infini. Il en est de même dans la plupart
des cas. Prenons le plus facile: la mesure d'une ligne droite par la
superposition d'une de ses parties. Cela suppose: 1o que nous pouvons
parcourir la ligne, ce qui exclut les longueurs inaccessibles (par exemple la
distance des corps célestes); 2o que la ligne ne soit ni trop grande, ni trop
petite, qu'elle soit convenablement située: par exemple horizontale, non
verticale. Si cela est vrai des lignes droites, cela est vrai à plus forte raison
des lignes courbes, des surfaces, des volumes, et à plus forte raison encore
des vitesses, des forces, etc. Comment toutes ces quantités peuvent-elles
être mesurées? C'est là le problème qui rend nécessaire les mathématiques.

Les mathématiques, dans leur essence même, ont donc pour objet de
ramener les grandeurs non immédiatement mesurables à des grandeurs
immédiatement mesurables. C'est par là qu'elles sont une science. En effet,
l'intervalle qui sépare une grandeur à mesurer de la grandeur
immédiatement mesurable peut être plus ou moins grand. De là une série de
réductions, depuis la grandeur la plus éloignée jusqu'à la plus prochaine; et
c'est la réduction de ces grandeurs les unes aux autres qui constitue la
science; soit, par exemple, à mesurer la chute verticale d'un corps pesant. Il
y a ici deux quantités distinctes: la hauteur d'où le corps est tombé, et le
temps de la chute. Or ces deux quantités sont liées l'une à l'autre; elles sont,
comme on dit en mathématique, fonction l'une de l'autre. D'où il suit que

l'on peut mesurer l'une par l'autre; par exemple dans le cas d'un corps
tombant dans un précipice, on mesure la hauteur de la chute par le temps
qu'il met à tomber; en d'autres cas, au contraire, le temps n'étant pas
directement observable, sera déduit de la hauteur. Si donc on trouve une loi
qui lie ces deux quantités et qui permette de conclure de l'une à l'autre, on
aura réduit une grandeur non mesurable directement à une autre qui peut
l'être. C'est là un problème mathématique. Autre exemple. Comment
mesurer la distance des corps célestes qui sont inaccessibles? On regardera
cette distance comme faisant partie d'un triangle, dont on connaîtra un côté
et deux angles. Or, la géométrie nous apprend dans ce cas à découvrir les
deux côtés du triangle, et par conséquent nous donne le moyen de construire
le triangle dans lequel il suffira de tirer une ligne du sommet à la base pour
avoir la distance réelle. Maintenant, la distance étant connue, on peut, du
diamètre apparent conclure le diamètre réel, passer de là au volume et
même au poids, en y ajoutant d'autres éléments.

Paul Janet.

Le mathématicien prépare d'avance des moules que le physicien viendra
plus tard remplir.

Taine.

En d'autres termes, l'ordre mathématique inspire la conception de l'ordre
physique.

Les mathématiques offrent ce caractère particulier et bien remarquable
que tout s'y démontre par le raisonnement seul, sans qu'on ait besoin de
faire aucun emprunt à l'expérience, et que néanmoins tous les résultats
obtenus sont susceptibles d'être confirmés par l'expérience, dans les limites
d'exactitude que l'expérience comporte. Par là, les mathématiques
réunissent au caractère de science rationnelle, celui de science positive,
dans le sens que la langue moderne donne à ce mot.

Cournot.

Les mathématiques forment pour ainsi dire un pont entre la métaphysique
et la physique.

Kant.

D'après Leibniz, il n'y a de mesure que «là où il y a antérieurement de
l'ordre.» On peut dire, par suite, que les mathématiques sont la science de
l'ordre.

Quelques-uns ont prétendu que toute la partie des mathématiques qui
n'est susceptible d'aucune vérification expérimentale devrait être transportée
dans la philosophie. Tels seraient les nombres incommensurables et, à plus
forte raison, les nombres négatifs et imaginaires. Mais on est arrivé à
interpréter ces symboles d'une façon concrète, et du reste cette limitation si
étroite et si arbitraire des mathématiques les restreindrait à presque rien.

Les vérités géométriques sont en quelque sorte l'asymptote des vérités
physiques, c'est-à-dire le terme dont celles-ci peuvent indéfiniment
approcher, sans jamais y arriver exactement.

d'Alembert.

Les figures géométriques sont de pures conceptions de l'esprit et
cependant la géométrie n'est pas seulement une science spéculative très
propre à développer les facultés intellectuelles.....; mais elle est encore utile

par ses nombreuses applications aux arts. Cela tient à ce que les volumes de
certains corps, leurs surfaces, les portions communes à deux portions de ces
surfaces peuvent être regardés comme étant sensiblement des volumes, des
surfaces et des lignes géométriques.

Compagnon.

Avec des définitions précises et des axiomes certains, la Mathématique
établit des déductions sûres tant que le raisonnement se maintient dans les
voies de l'évidence logique. C'est pourquoi la science des grandeurs porte, à
l'exclusion de toute autre, le titre glorieux d'«exacte».

Cela signifie surtout que, moins qu'aucune autre, elle est sujette à l'erreur.
La perception a ses méprises, la conception ses lacunes, l'induction ses
témérités, l'opinion ses dissidences, l'observation ses mécomptes,
l'expérience ses égarements. Seule, la déduction ne trompe point, quand elle
suit la loi du raisonnement. La science qu'elle établit progresse avec plus ou
moins de lenteur; mais ses vérités une fois démontrées, sont parfaites,
définitives, et ne changent plus.

La théorie des grandeurs est l'unique exemple d'une construction
scientifique ne laissant rien à désirer..... À ce titre, elle méritait le nom de
«science par excellence» (mathésis) que les Grecs lui avaient donné. Elle
est la science type, l'idéal de connaissance certaine proposé pour modèle à
toutes les sciences de fait, mais dont celles-ci ne se rapprochent qu'en lui
empruntant sa méthode et en subordonnant leurs mensurations à ses lois.

Bourdeau.

Dire que les mathématiques ne laissent rien à désirer, c'est trop dire. Là
aussi, il reste encore des questions à élucider.

Ce qui est acquis dans les sciences de démonstration, dans les
mathématiques, par exemple, est absolument parfait; ce qui est acquis dans

les sciences d'observation est indéfiniment perfectible et conséquemment
variable, ou du moins conserve ce caractère jusqu'au moment où la
démonstration devient possible.

Duval-Jouve.

Les mathématiques ont des inventions très subtiles et qui peuvent
beaucoup servir, tant à contenter les curieux qu'à faciliter tous les arts et à
diminuer le travail des hommes.

Descartes.

Les objets de la Géométrie, disent-ils, n'ont aucune réalité et ne peuvent
exister; des lignes sans largeur, des surfaces sans profondeur, un point
mathématique, c'est-à-dire sans longueur, largeur, ni épaisseur, sont des
êtres de raison, de pures chimères. Il en est de même des figures dont la
Géométrie démontre les propriétés; il n'y a et il ne saurait y avoir aucun
cercle parfait, aucune sphère parfaite: ainsi, concluent-ils, cette science ne
s'occupe que d'objets chimériques et impossibles...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

... Il importe peu aux géomètres qu'il existe physiquement une sphère
parfaite, un plan parfait; ces figures ne sont que les limites intellectuelles
des grandeurs matérielles qu'ils considèrent, et ce qu'ils démontrent à
l'égard de ces limites est d'autant plus vrai pour les corps matériels, qu'ils en
approchent davantage...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

... Mais insistera-t-on peut-être... demandera-t-on si ces corps doués de
figures parfaites sont possibles?...

... Il suffit aux Géomètres que l'idée métaphysique de ces figures soit
claire et évidente pour servir de fondement à leurs recherches, et pour que
leurs conséquences jouissent de la même évidence et de la même clarté.

Montucla.

Les ennemis de la Géométrie, ceux qui ne la connaissent
qu'imparfaitement, regardent les problèmes théoriques, qui en forment la
partie la plus difficile, comme des jeux d'esprit qui absorbent un temps et
des méditations qu'on pourrait mieux employer; opinion fausse et très
nuisible au progrès des sciences, si elle pouvait s'accréditer. Mais, outre que
les propositions spéculatives, d'abord stériles en apparence, finissent
souvent par s'appliquer à des objets d'utilité publique, elles subsisteront
toujours comme un des moyens les plus propres à développer et à faire
connaître toutes les forces de l'intelligence humaine.

Bossut.

La science des grandeurs, considérée dans son ensemble, a une parfaite
unité que le mot «Mathématiques» (au pluriel) paraît méconnaître, en
faisant présumer un groupe de sciences plutôt qu'une science unique.

Il serait préférable, comme l'avait proposé Condorcet, et comme Auguste
Comte en donne l'exemple, de dire «la Mathématique», afin de mieux
marquer l'unité générale de la science des grandeurs. Il est d'ailleurs à noter
que cette réforme nous remet dans le vrai courant de la langue.

Le terme «Mathématique» était usité au xviie siècle et se lit trois fois dans
une page de la notice sur Pascal, par Mme Périer, sa sœur.

La Mathématique n'est pas seulement une science, mais la science; et son
nom ne signifie que cela; car pour les Grecs c'était la seule science.

Le matelot qu'une exacte observation de la longitude préserve du
naufrage, doit la vie à une théorie conçue, deux mille ans auparavant[1], par
les hommes qui avaient en vue de simples spéculations géométriques.

Condorcet.

C'est par les sciences mathématiques qu'il convient de commencer la
série des connaissances humaines, parce que ce sont celles qui exigent pour
point de départ et qui ont pour objet un plus petit nombre d'idées. De plus,
on peut étudier les vérités dont elles se composent sans recourir aux autres
branches de nos connaissances, et celles-ci leur empruntent, au contraire, de
nombreux secours, tels par exemple que les théorèmes et les calculs sur
lesquels s'appuient les sciences physiques et industrielles; la mesure des
champs et le calendrier, si nécessaires à l'agriculture; la mesure précise des
différents degrés de probabilité de celles de nos connaissances qui ne sont
pas susceptibles d'une certitude complète, et les exemples les plus frappants
de la diversité des méthodes que la philosophie doit examiner; la
détermination des lieux et des temps, bases de la géographie et de l'histoire;
et, parmi les sciences politiques, où leurs applications sont si nombreuses,
quels indispensables secours ne prêtent-elles pas surtout à toutes les parties
de l'art militaire?

Ampère.

NOTIONS PRIMITIVES

On trouvera peut-être étrange que la géométrie[2] ne puisse définir aucune
des choses qu'elle a pour principaux objets; car elle ne définit ni le
mouvement, ni le nombre, ni l'espace; et cependant ces trois choses sont
celles qu'elle considère particulièrement... Mais on n'en sera pas surpris, si
l'on remarque que cette admirable science ne s'attachant qu'aux choses les
plus simples, cette même qualité qui les rend dignes d'être ses objets, les
rend incapables d'être définies; de sorte que le manque de définition est
plutôt une perfection qu'un défaut, parce qu'il ne vient pas de leur obscurité,
mais au contraire de leur extrême évidence...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

... Quand elle (la géométrie) est arrivée aux premières vérités connues,
elle s'arrête là et demande qu'on les accorde, n'ayant rien de plus clair pour
les prouver; de sorte que tout ce que la géométrie propose est parfaitement
démontré, ou par la lumière naturelle, ou par les preuves. De là vient que si
cette science ne définit et ne démontre pas toutes choses, c'est par cette
seule raison que cela nous est impossible.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

... Se tenir dans ce milieu de ne point définir les choses claires et
entendues de tous les hommes et de définir toutes les autres; et de ne point
prouver toutes les choses connues des hommes, et de prouver toutes les
autres. Contre cet ordre pèchent également ceux qui entreprennent de tout
définir et de tout prouver, et ceux qui négligent de le faire dans les choses
qui ne sont pas évidentes d'elles-mêmes.

Pascal.

Il est des notions premières qu'on est en droit de supposer aux élèves.
Elles serviront à leur donner d'autres connaissances. Nous ne chercherons
pas à les éclaircir elles-mêmes, parce que les explications n'ont pour but que
de ramener ce que l'on ne connaît pas à ce que l'on connaît et qu'il faut par

conséquent admettre a priori certaines notions, certaines idées par leur
simple énoncé, ou par la simple dénomination par laquelle on les a
désignées.

Duhamel.

La figure est inhérente à l'objet, le nombre dépend de l'unité.

C'est dans la sphère propre de l'esprit, et bien au delà des résultats de
l'observation, non dans ces résultats eux-mêmes, qu'il faut chercher la
véritable source des idées géométriques, quoique leur point d'application
soit plus bas, dans la sphère expérimentale, là où la matière et l'esprit se
joignent et où les idées, prenant corps, nous deviennent en quelque sorte
palpables.

Le monde idéal a son autonomie, ses lois distinctes, comme le monde
physique. Mais ils s'appellent l'un l'autre, l'harmonie règne entre eux,
jusqu'à un haut degré d'approximation qui d'ailleurs nous échappe.

Boussinesq.

L'origine des notions mathématiques a donné lieu à des controverses
encore pendantes parmi les philosophes. Pour les uns, nombres et figures
sont des types créés de toutes pièces par l'esprit, et qui s'imposent aux
choses de l'expérience, en vertu d'une mystérieuse concordance entre la
pensée et la réalité extérieure. Pour les autres, au contraire, nombres et
figures ne font pas exception à cette loi générale d'après laquelle toute
connaissance dériverait, soit directement, soit indirectement, de l'expérience
sensible. Dans un cas, les notions mathématiques seraient des modèles;
dans l'autre, elles seraient des copies.

Ce n'est pas le lieu d'entrer dans cette controverse et de peser les raisons
invoquées de part et d'autre. Il nous suffira de constater deux faits: en
premier lieu, quelque opinion qu'on professe sur l'origine des notions
mathématiques, on ne contestera pas qu'elles ne sont pas des représentations
absolument exactes des réalités extérieures. L'unité est divisible en parties
rigoureusement égales; il n'en est pas ainsi d'un objet réel; jamais la moitié,
le quart, le dixième de cet objet ne sera rigoureusement égal à l'autre moitié,
à chacun des trois autres quarts, à chacun des neuf autres dixièmes, et même
plus les subdivisions se multiplieront, plus l'inégalité réelle des parties
augmentera. Le cercle des géomètres a des rayons absolument égaux;
jamais il n'en sera ainsi des rayons d'un cercle réel; tous les points d'une
surface sphérique sont équidistants du centre; jamais il n'en sera ainsi des
rayons d'une sphère matérielle. En second lieu, le mathématicien considère
souvent des nombres et des figures dont il n'a jamais trouvé les modèles
dans la réalité. Toute division d'un objet réel en parties égales a une limite
que nos sens et nos instruments de précision, même les plus perfectionnés,
sont impuissants à franchir; cette limite, la pensée du mathématicien la
franchit aisément, et au delà des plus petites divisions possibles d'un objet,
il conçoit d'autres divisions encore et toujours à l'infini; de même il est des
limites à l'addition des objets; il n'en est pas à celle des unités
mathématiques; la nature a bien vite cessé de fournir; la numération ne
s'arrête jamais. De même en géométrie, si variées que soient les formes
réalisées dans la nature, il en est dont le géomètre étudie les propriétés, sans
les avoir jamais rencontrées dans le monde extérieur. Qui a vu un polygone
régulier d'un millier de côtés?

Il résulte de ce double fait que, même dans le cas où l'esprit tirerait de
l'expérience les premiers éléments dont il compose les notions
mathématiques, il les élabore, les transforme, et ne tarde pas à s'affranchir
des suggestions expérimentales. Il procède alors comme s'il les tirait de son
propre fonds. Aussi, sans prendre ici part dans ce conflit de doctrines sur
l'origine première des notions mathématiques, on peut et on doit considérer
ces notions comme des constructions faites par l'esprit suivant des lois qu'il
pose, constructions qui sont en partie, mais en partie seulement et
imparfaitement reproduites par la réalité sensible.

Liard.

L'étendue n'existe qu'avec trois dimensions; mais, pour la considérer
suivant la méthode analytique, on commence par la dépouiller de deux de
ses dimensions et en la réduisant ainsi à une seule, on a l'idée de la ligne. Si,
dans cette idée, on écarte tout rapport avec deux dimensions, on a l'idée de
la ligne droite; car, quoiqu'une ligne courbe n'ait qu'une dimension,
cependant l'idée de courbure suppose nécessairement la considération de
deux dimensions. L'extrémité de la ligne forme le point, qui est la dernière
abstraction de l'entendement dans la considération de l'étendue. La surface
est l'étendue envisagée avec deux dimensions et si, dans cette idée, on fait
entièrement abstraction de la troisième, on a l'idée du plan. Enfin l'étendue
avec ses trois dimensions forme le solide.

Laplace.

L'espace étant nécessairement homogène, il suit qu'on peut le concevoir
divisé en deux parties telles qu'on ne puisse rien dire de l'une qui ne puisse
se dire également de l'autre; telles, de plus, que leur limite commune ait à
chacune d'elles les mêmes rapports, soit qu'on la considère en son entier,
soit qu'on n'en considère qu'une partie. C'est cette limite qu'on appelle plan,
et le plan, comme l'espace, peut être conçu divisé en deux parties telles,
qu'on ne puisse rien dire de l'une qui ne puisse se dire également de l'autre;
telles, de plus, que leur limite commune ait à chacune d'elles les mêmes
rapports, soit qu'on la considère en son entier, soit qu'on n'en considère
qu'une partie...

Bertrand, de Genève.

La série des axiomes géométriques habituellement adoptée est à la fois
insuffisante et surabondante. Elle est insuffisante parce que, en réalité, on
suppose plusieurs faits non énoncés; mais elle est en même temps
surabondante, parce qu'on y admet des faits qui peuvent être

rigoureusement démontrés au moyen de ceux qu'il faut admettre comme
axiomes....

Les axiomes de la géométrie peuvent se réduire à trois, savoir: celui de la
distance et de ses propriétés essentielles, celui de l'augmentation indéfinie
de la distance et celui de la parallèle unique.

de Tilly.

L'étude de la mécanique, succédant à la géométrie, peut être considérée
comme le développement de trois idées fondamentales, qui existent dans
l'esprit humain antérieurement à tout enseignement scientifique: ce sont les
idées de force, de temps et de masse. Ces idées sont irréductibles et on ne
peut pas plus définir la force, le temps ou la masse qu'on ne peut définir
l'étendue.

Ch. Simon.

Quelque objet que les mathématiques considèrent, elles le dépouillent de
toutes ses qualités sensibles, de toutes ses propriétés individuelles; bientôt il
n'est plus qu'un rapport abstrait de nombre ou de grandeur: on désigne ce
rapport par une lettre ou une ligne; l'objet lui-même est alors oublié, il cesse
d'exister pour les mathématiques. Ces signes, arbitraires en apparence, sont
l'unique objet de leurs méditations; c'est sur eux seuls qu'elles opèrent, et ce
n'est qu'après être parvenu au dernier résultat que revenant sur leurs
premières opérations, elles appliquent ce résultat à l'objet réel dont elles
avaient cessé de s'occuper. Les vérités certaines, trouvées par cette méthode,
paraissent au premier coup d'œil n'être que des vérités intellectuelles et
abstraites: on a pu les prendre pour des propositions identiques, en oubliant
que les combinaisons diverses des mêmes éléments ne sont pas une même
chose. On serait encore plus tenté de croire qu'elles n'appartiennent point à
la nature réelle. Mais ce serait une erreur: car elles sont des vérités réelles,

si l'objet auquel vous les avez appliquées existe dans la nature tel que vous
l'avez supposé.

Condorcet.

MÉTHODES

1o N'entreprendre de définir aucune des choses tellement connues d'elles-
mêmes, qu'on n'ait point de termes plus clairs pour les exprimer.

2o N'admettre aucun des termes un peu obscurs ou équivoques, sans
définition.

3o N'employer dans les définitions que des termes parfaitement connus
ou déjà expliqués.

4o N'omettre aucun des principes nécessaires, sans avoir demandé si on
l'accorde, quelque clair et évident qu'il puisse être.

5o Ne demander en axiomes que des choses parfaitement évidentes
d'elles-mêmes.

6o N'entreprendre de démontrer aucune des choses qui sont tellement
évidentes d'elles-mêmes, qu'on n'ait rien de plus clair pour les prouver.

7o Prouver toutes les propositions un peu obscures, en n'employant à leur
preuve que des axiomes très évidents d'eux-mêmes ou des propositions déjà
démontrées ou accordées.

8o N'abuser jamais de l'équivoque des termes, en manquant de substituer
mentalement les définitions qui les restreignent et les expliquent.

Pascal.

Lorsque l'on aura à trouver la démonstration d'une proposition énoncée,
on cherchera d'abord si elle peut se déduire comme une conséquence
nécessaire de propositions admises, auquel cas, elle devra être admise elle-
même, et sera par conséquent démontrée. Si l'on n'aperçoit pas de quelles
propositions connues elle pourrait être déduite, on cherchera de quelle
proposition non admise elle pourra l'être, et alors la question sera ramenée à
démontrer la vérité de cette dernière. Si celle-ci peut se déduire de
propositions admises, elle sera reconnue vraie, et par suite la proposée;
sinon, on cherchera de quelle proposition non encore admise elle pourrait
être déduite, et la question serait ramenée à démontrer la vérité de cette
dernière. On continuera ainsi jusqu'à ce que l'on parvienne à une
proposition reconnue vraie: et alors la vérité de la proposée sera démontrée.

On voit que cette méthode, que l'on appelle analyse, consiste à établir
une chaîne de propositions commençant à celle qu'on veut démontrer,
finissant à une proposition connue et telle qu'en partant de la première,
chacune soit une conséquence nécessaire de celle qui la suit; d'où il résulte
que la première est une conséquence de la dernière, et, par conséquent,
vraie comme elle.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

La méthode synthétique consiste à partir de propositions reconnues
vraies, à en déduire d'autres comme conséquences nécessaires, de celles-ci
de nouvelles, jusqu'à ce qu'on parvienne à la proposée, qui se trouve alors
reconnue elle-même comme vraie. Elle n'est donc qu'une méthode de
déduction. D'où l'on voit que, si l'on connaissait la démonstration analytique
d'un théorème, on en obtiendrait immédiatement la démonstration
synthétique en renversant l'ordre des propositions.

Duhamel.

Il est en mathématiques une méthode pour la recherche de la vérité, que
Platon passe pour avoir inventée, que Théon a nommée analyse et qu'il a
définie ainsi: Regarder la chose cherchée, comme si elle était donnée, et

marcher de conséquences en conséquences, jusqu'à ce que l'on reconnaisse
comme vraie la chose cherchée. Au contraire, la synthèse se définit: Partir
d'une chose donnée, pour arriver, de conséquences en conséquences, à
trouver une chose cherchée.

Viète.

On peut remarquer que la méthode analytique qui est une méthode
rigoureuse par réduction, en réalité identique à la méthode synthétique par
déduction, n'est pas la même que l'analyse des Anciens, qui était déductive
et était une sorte d'expérimentation sur la vérité à démontrer.

Aujourd'hui nous ne faisons plus de synthèse, parce qu'il est de règle de
ne procéder en analyse que par conclusions immédiatement réversibles. «Si
A est vrai, B est vrai» n'est employé que si l'on peut dire: «B est vrai, donc
A est vrai.» Il est rare que les Anciens aient été assez assurés de la pratique
de leurs procédés pour se croire dispensés de la contre-épreuve, la synthèse
après l'analyse.

P. Tannery.

Si vous substituez à une proposition ou à une question, une proposition
ou une question plus générale, vous pouvez trouver des solutions en plus,
des solutions étrangères.

Par contre, si la nouvelle proposition ou la nouvelle question est moins
générale, vous pouvez perdre des solutions.

Voici, d'après la Logique de Port-Royal, quelques défauts qui se
rencontrent dans la méthode des géomètres:

1o Avoir plus de soin de la certitude que de l'évidence, et de convaincre
l'esprit que de l'éclairer.

2o Démonstration par l'impossible.

3o Démonstrations tirées par des voies trop longues.

4o N'avoir aucun soin du vrai ordre de la nature.

5o Ne point se servir de divisions et de partitions.

Il serait à désirer qu'on ne laissât pas autant dans l'oubli certains résultats
des travaux des géomètres des siècles passés, et qu'on revînt un peu sur les
principes presque toujours faciles et souvent ingénieux à l'aide desquels les
grands hommes de ces temps-là y étaient parvenus; car ce ne sont pas tant
les vérités particulières que les méthodes qu'il ne faut pas laisser périr.

Poncelet.

Pour bien faire sentir la différence entre les résultats de la méthode
expérimentale et inductive et les résultats de la méthode mathématique,
supposons qu'un malin génie..... se plaise à nous embrouiller dans nos
opérations, à créer ou à annihiler un objet entre nos doigts, au moment où
nous comptons quel nombre d'objets font deux groupes de cinq objets, à
faire varier les angles du triangle que nous mesurons, ou les angles du
rapporteur qui nous sert d'unité de mesure; nous n'aurons aucun moyen de
découvrir la supercherie, nous enregistrerons ingénument les divers
résultats obtenus, et nous conclurons en toute sécurité de conscience, que
les angles d'un triangle valent tantôt deux droits, tantôt plus, tantôt moins; et
que cinq et cinq font, suivant le cas, dix, douze ou tout autre nombre.

Mais si nous avons une fois démontré rationnellement que cinq et cinq
font dix, que les angles d'un triangle valent deux angles droits, alors, quand

même un malin génie, intervenant lorsque nous voulons vérifier
expérimentalement ces vérités, brouillerait nos comptes et nos mesures,
nous n'en maintiendrions pas moins la vérité absolue de notre
démonstration faite dans l'abstrait, et nous en conclurions seulement que,
pour des raisons à nous inconnues, ces vérités se trouvent modifiées dans le
concret par l'association, dans les objets réels, de propriétés de divers genres
aux propriétés mathématiques.

Rabier.

Les questions aisées doivent être traitées par des moyens également
faciles; il faut réserver l'analyse savante pour les questions qui exigent les
grands moyens et il ne faut pas ressembler à ce personnage de la Fable, qui,
pour se délivrer d'une puce, voulait emprunter à Jupiter sa foudre ou à
Hercule sa massue.

Delambre.

C'est une remarque que nous pouvons faire dans toutes nos recherches
mathématiques: ces quantités auxiliaires, ces calculs longs et difficiles où
l'on se trouve entraîné, y sont presque toujours la preuve que notre esprit n'a
point, dès le commencement, considéré les choses en elles-mêmes et d'une
vue assez directe, puisqu'il nous faut tant d'artifices et de détours pour y
arriver; tandis que tout s'abrège et se simplifie, sitôt que l'on se place au vrai
point de vue.

Poinsot.

Les définitions géométriques ne précèdent jamais l'apparition des figures
qu'il s'agit d'étudier; elles les suivent, au contraire, et les fixent. Ce n'est
qu'après avoir démontré qu'une figure est possible et unique, qu'il est permis

de résumer par un mot, le résultat de cette démonstration, et de regarder
conventionnellement ce mot comme l'équivalent ou comme la définition de
la figure.

J. F. Bonnel.

Il semble que dans l'état actuel des sciences mathématiques, le seul
moyen d'empêcher que leur domaine devienne trop vaste pour notre
intelligence, c'est de généraliser de plus en plus les théories que ces sciences
embrassent, afin qu'un petit nombre de vérités générales et fécondes soit,
dans la tête des hommes, l'expression abrégée de la plus grande variété de
faits particuliers.

Charles Dupin.

L'étendue et les progrès de la géométrie sont tels que, plutôt que de se
refuser à toute étude des nouvelles méthodes, il faudra peut-être avant peu
tenir compte seulement des méthodes générales, afin d'avoir en sa
possession un plus grand nombre de moyens pour arriver à la connaissance
des vérités dont on a besoin. Il est effectivement impossible désormais
d'avoir présentes à l'esprit toutes les vérités qui sont découvertes.

Bellavitis.

Voulant résoudre quelque problème, on doit d'abord le considérer comme
déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semblent nécessaires
pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues qu'aux autres. Puis,
sans considérer aucune différence entre ces lignes connues et inconnues.....
on cherche à exprimer une même quantité en deux façons, ce qui se nomme
une équation..... On doit trouver autant de telles équations qu'on a supposé
de lignes qui étaient inconnues.

Descartes.

Certaines parties d'une figure, considérées dans un état général de
construction, peuvent être indifféremment réelles ou imaginaires. Or il
arrive souvent que ces parties servent utilement, dans le cas de la réalité, à
la démonstration d'un théorème, et que cette démonstration n'a plus lieu
quand ces mêmes parties deviennent imaginaires. Alors on dit qu'en vertu
du principe de continuité le théorème démontré dans le premier cas s'étend
au second, et on l'énonce d'une manière générale. Quelquefois le contraire a
lieu, et c'est quand certaines parties d'une figure sont imaginaires, que l'on y
trouve les éléments d'une démonstration facile, dont on applique les
conséquences, en vertu du principe de continuité, au cas où ces mêmes
parties sont réelles et où la démonstration n'existe plus.

Chasles.

Un jour qu'il présidait un concours d'agrégation, Poisson, oubliant un
instant le candidat qu'il avait à juger, prit la parole et développa ceci: qu'il y
a en géométrie quatre méthodes: méthode de superposition; méthode de
réduction à l'absurde; méthode des limites; méthode infinitésimale. La
superposition, disait-il, n'est applicable que dans très peu de cas; la
réduction à l'absurde suppose la vérité connue, et prouve alors qu'il ne peut
pas en être autrement, mais sans montrer pourquoi. La méthode des limites,
plus généralement applicable que les deux autres, suppose la vérité connue,
et ce n'est, par conséquent, pas davantage une méthode d'investigation; ce
sont trois méthodes de démonstration applicables chacune, dans certains
cas, aux vérités déjà connues. Au contraire, la méthode des infiniment petits
se trouve être à la fois une méthode, générale et toujours applicable, et de
démonstration et d'investigation.

Gratry.

On peut établir dans les Mathématiques une autre classification, fondée
non plus sur l'objet de la science, mais sur ses méthodes. À ce nouveau
point de vue, nous aurions à distinguer deux sortes d'Analyse:

1o Celle des quantités discontinues;

2o Celle des quantités continues.

Dans la première, on cherche les relations qui existent entre certaines
quantités fixes données a priori. Cette méthode est employée dans les
parties élémentaires des Mathématiques, et plus spécialement en
Arithmétique et au début de la Géométrie, sauf pour un petit nombre de
théorèmes fondamentaux, dont la démonstration exige la notion des
quantités incommensurables.

Dans l'Analyse des quantités continues, on considère au contraire les
éléments de la question proposée comme susceptibles de varier par degrés
insensibles et l'on cherche à déterminer les lois qui régissent leurs variations
simultanées.

Cette méthode dont Euclide et Archimède avaient donné autrefois de
remarquables exemples, était tombée en oubli pendant plusieurs siècles,
lorsque la mémorable découverte de Descartes sur l'application de l'Algèbre
à la théorie des courbes obligea les géomètres à y revenir, pour résoudre les
deux questions qui s'imposaient à eux, le problème des tangentes et celui
des quadratures.

Jordan.

GÉOMÉTRIE ET ANALYSE

On a dit que la géométrie était l'art de raisonner juste sur des figures
fausses. Une figure grossière n'est tracée que pour soutenir l'attention et on

raisonne en réalité sur la figure idéale et parfaite.

Celui-là est indigne du nom d'homme, a dit Platon, qui ignore que la
diagonale du carré est incommensurable avec son côté.

L'algèbre n'est qu'une géométrie écrite, la géométrie n'est qu'une algèbre
figurée.

Sophie Germain.

L'Algèbre emploie des signes abstraits, elle représente les grandeurs
absolues par des caractères qui n'ont aucune valeur par eux-mêmes, et qui
laissent à ces grandeurs toute l'indétermination possible; par suite elle opère
et raisonne forcément sur les signes de non-existence comme sur des
quantités toujours absolues, toujours réelles: a et b par exemple,
représentant deux quantités quelconques, il est impossible, dans le cours des
calculs, de se rappeler et de reconnaître quel est l'ordre de leurs grandeurs
numériques; l'on est, malgré soi, entraîné à raisonner sur les expressions a-
b, Va-b, etc., comme si c'étaient des quantités toujours absolues et réelles.
Le résultat doit donc lui-même participer de cette généralité, et s'étendre à
tous les cas possibles, à toutes les valeurs des lettres qui y entrent; de là
aussi ces formes extraordinaires, ces êtres de raison, qui semblent l'apanage
exclusif de l'Algèbre.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Dans la Géométrie ordinaire, qu'on nomme souvent la synthèse, les
principes sont tout autres, la marche est plus timide ou plus sévère; la figure
est décrite, jamais on ne la perd de vue, toujours on raisonne sur des
grandeurs, des formes réelles et existantes, et jamais on ne tire de

conséquences qui ne puissent se peindre, à l'imagination ou à la vue, par des
objets sensibles; on s'arrête dès que ces objets cessent d'avoir une existence
positive et absolue, une existence physique. La rigueur est même poussée
jusqu'au point de ne pas admettre les conséquences d'un raisonnement établi
dans une certaine disposition générale des objets d'une figure, pour une
autre disposition également générale de ces objets, et qui aurait toute
l'analogie possible avec la première; en un mot, dans cette Géométrie
restreinte, on est forcé de reprendre toutes la série des raisonnements
primitifs, dès l'instant où une ligne, un point ont passé de la droite à la
gauche d'un autre, etc.

Poncelet.

Le célèbre auteur du Traité des propriétés projectives des figures montre
ensuite comment les modernes se sont efforcés de donner à la Géométrie la
généralité de l'Algèbre.

L'exactitude de toute relation entre des grandeurs concrètes quelconques
est indépendante de la valeur des unités auxquelles on les rapporte pour les
exprimer en nombres. Par exemple, la relation qui existe entre les trois
côtés d'un triangle rectangle a lieu, soit qu'on les évalue en mètres, ou en
lignes, ou en pouces, etc.

Il suit de cette considération générale, que toute opération qui exprime la
loi analytique d'un phénomène quelconque doit jouir de cette propriété de
n'être nullement altérée, quand on fait subir simultanément à toutes les
quantités qui s'y trouvent le changement qu'éprouveraient leurs unités
respectives. Or, ce changement consiste évidemment en ce que toutes les
quantités de même espèce deviendraient à la fois m fois plus petites, si
l'unité qui leur correspond devenait m fois plus grande, ou réciproquement.
Ainsi, toute équation qui représente une relation concrète quelconque, doit
offrir ce caractère de demeurer la même quand on y rend m fois plus
grandes toutes les quantités qu'elle contient, et qui expriment les grandeurs
entre lesquelles existe la relation, en exceptant toutefois les nombres qui
désignent les rapports mutuels de ces grandeurs, lesquels restent invariables

dans le changement des unités. C'est dans cette propriété que consiste la loi
de l'homogénéité, suivant son acception la plus étendue..

Auguste Comte.

C'est une simplification intéressante que de résoudre par le second livre
de Géométrie un problème, placé ordinairement dans le troisième. Citons,
par exemple, la circonférence, passant par deux points et tangente à une
droite. Nous voyons ainsi que l'ordre logique des propositions n'est pas
aussi fixé qu'on l'admet généralement.

L'Algèbre plane pour ainsi dire également sur l'Arithmétique et sur la
Géométrie: son objet n'est pas de trouver les valeurs mêmes des quantités
cherchées, mais le système d'opérations à faire sur les quantités données
pour en déduire les valeurs des quantités que l'on cherche. Le tableau de ces
opérations, représentées par les caractères algébriques, est ce que l'on
nomme en Algèbre une formule.

Lagrange.

«L'Algèbre est généreuse, a dit d'Alembert, elle donne souvent plus qu'on
ne lui demande.» On interprète alors les solutions dites étrangères et qui
sont celles du problème élargi, généralisé. Le calcul ne tient nul compte de
nos restrictions.

Les extensions successives que l'on fait subir aux opérations et aux
définitions mathématiques doivent être soumises au principe de la
permanence des règles de calcul.

Hankel.

Les formules sont un secours admirable pour l'esprit, elles le dispensent
de toute attention pénible, il n'a qu'à les suivre: elles ne le dirigent pas
seulement, elles le portent. Il n'a besoin que de l'attention nécessaire pour ne
pas manquer à la formule et à ses règles et cette attention est presque
matérielle: elle est des yeux plutôt que de l'esprit. Les formules, en un mot,
sont des espèces de machines avec lesquelles on opère presque
machinalement.

Condorcet.

Il faut pouvoir, au besoin, raisonner directement chaque cas particulier.

On dit que l'analyse mathématique est un instrument. Cette comparaison
peut être admise, pourvu qu'on admette que cet instrument, comme le
Protée de la fable, doit sans cesse changer de forme.

Arago.

L'emploi du calcul est comparable à celui d'un instrument dont on
connaît exactement la précision.

J. Fourier.

Dans les opérations on peut distinguer le signe indiquant l'opération, le
nombre, c'est-à-dire le sujet sur lequel on opère, et le résultat obtenu. On
peut faire abstraction des deux dernières choses, qui paraissent pourtant les
plus importantes, et ne raisonner que sur les signes indicateurs. On a alors

des théorèmes, de nature philosophique, qui constituent le calcul des
opérations.

Exemple:

Les formules d'algèbre, dans leur étroite enceinte, contiennent toute la
courbe dont elles sont la loi.

Taine.

L'Algèbre est une langue bien faite, et c'est la seule. L'analogie, qui
n'échappe jamais, conduit insensiblement d'expression en expression... La
simplicité du style en fait toute l'élégance.

Condillac.

Parmi les mathématiciens, les uns ont une prédilection exclusive pour les
symboles les plus généraux et les plus abstraits et ils évitent les
interprétations géométriques, comme imparfaites et limitées; les autres, au
contraire, ne jugent claires, que celles des conceptions analytiques qui sont
susceptibles d'une traduction concrète. Il faut avouer que ces derniers se
font une idée bien étroite de la science de l'ordre.

L'algèbre est la plus générale des sciences mathématiques, puisqu'elle
étudie non pas telle ou telle quantité, mais la quantité.

La géométrie n'est qu'une science mathématique particulière, puisque son
objet, l'étendue, n'est qu'une sorte de quantité.

L'algèbre est à la fois un art et une science: une science parce qu'elle se
compose d'un ensemble de vérités; et un art, parce qu'elle fournit un grand
nombre de règles infaillibles pour résoudre un grand nombre de difficultés.

Arrivé à ce point, Descartes fut naturellement amené à penser que toute
question de géométrie pouvait se ramener à une question d'algèbre, et il
conjectura justement qu'à cause du caractère méthodique de l'algèbre une
telle substitution serait toujours ou du moins presque toujours avantageuse.
Telles furent les vues à la fois très élevées et très simples qui firent
concevoir à Descartes le dessein d'appliquer l'algèbre à la géométrie.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Les sciences mathématiques ne furent plus un assemblage de
spéculations isolées; elles formèrent un corps dans lequel les parties furent
dans une dépendance mutuelle et facile à saisir.

T. V. Charpentier.

En géométrie, comme en algèbre, la plupart des idées différentes ne sont
que des transformations; les plus lumineuses et les plus fécondes sont pour
nous celles qui font le mieux image et que l'esprit combine avec le plus de
facilité dans le discours et dans le calcul.

Le calcul n'est qu'un instrument qui ne produit rien par lui-même, et qui
ne rend en quelque sorte que les idées qu'on lui confie. Si nous n'avons que
des idées imparfaites, ou si l'esprit ne regarde la question que d'un point de
vue borné, ni l'analyse, ni le calcul ne lui apporteront plus de lumière, et ne
donneront à nos résultats plus de justesse ou plus d'étendue: au contraire, on
peut dire que cet art de réaliser en quelque sorte par le calcul de vagues
conceptions n'est propre qu'à rendre l'erreur plus durable, en lui donnant
pour ainsi dire une consistance.

Sitôt qu'un auteur ingénieux a su parvenir directement et simplement à
quelque vérité nouvelle, n'est-il pas à craindre que le calculateur le plus
stérile ne s'empresse d'aller la chercher dans ses formules comme pour la
découvrir une seconde fois et à sa manière, qu'il dit être la bonne et la
véritable; de sorte qu'on ne s'en croit plus redevable qu'à son analyse, et que
l'auteur lui-même, quelquefois peu exercé à ce langage et à ce symbole,
sous lesquels on lui dérobe ses idées, ose à peine réclamer ce qui lui
appartient et se retire presque confus, comme s'il avait mal inventé ce qu'il a
si bien découvert.

Poinsot.

Les ressources puissantes que la Géométrie a acquises depuis une
trentaine d'années sont comparables, sous plusieurs rapports, aux méthodes
analytiques, avec lesquelles cette science peut rivaliser désormais, sans
désavantage, dans un ordre très étendu de questions...

... Hâtons-nous de dire, cependant, pour éviter toute interprétation
inexacte de notre but et de notre sentiment sur les deux méthodes qui se
partagent le domaine des sciences mathématiques, que notre admiration
pour l'instrument analytique, si puissant de nos jours, est sans bornes, et que
nous n'entendons pas lui mettre en parallèle sur tous les points, la méthode
géométrique. Mais, convaincu qu'on ne saurait avoir trop de moyens
d'investigation dans la recherche des vérités mathématiques, qui toutes
peuvent devenir également faciles et intuitives quand on a trouvé et suivi la
voie étroite qui leur est propre et naturelle, nous avons pensé qu'il ne
pouvait être qu'utile de montrer... que les doctrines de la pure Géométrie
offrent souvent, et dans une foule de questions, cette voie simple et nouvelle
qui, pénétrant jusqu'à l'origine des vérités, met à nu la chaîne mystérieuse
qui les unit entre elles et les fait connaître individuellement de la manière la
plus lumineuse et la plus complète.

Cette troisième branche de la Géométrie, qui constitue aujourd'hui ce que
nous appelons la Géométrie récente, est exempte de calculs algébriques,
quoiqu'elle fasse un aussi heureux usage des relations numériques des
figures que de leurs relations de situation; mais elle ne considère que des
rapports de distance rectiligne, d'un certain genre, qui n'exigent ni les
symboles, ni les opérations de l'Algèbre. Cette Géométrie est la
continuation de l'Analyse géométrique des Anciens, sur laquelle elle offre
d'immenses avantages par la généralité, l'uniformité et l'abstraction de ses
méthodes.

La méthode par le calcul a le merveilleux privilège de négliger les
propositions intermédiaires dont la méthode géométrique a toujours besoin,
et qu'il faut créer quand la question est nouvelle. Mais cet avantage si beau
et si précieux de l'Analyse a son côté faible, comme toutes les conceptions
humaines: c'est que cette marche pénétrante et rapide n'éclaire pas toujours
suffisamment l'esprit; elle laisse ignorer les vérités intermédiaires qui
rattachent le point de départ à la vérité trouvée, et qui doivent former avec
l'un et l'autre, un ensemble complet et une véritable théorie. Car, est-ce
assez dans l'étude philosophique et approfondie d'une science, de savoir
qu'une chose est vraie, si l'on ignore comment et pourquoi elle l'est, et
quelle place elle occupe dans l'ordre des vérités auquel elle appartient?

Chasles.

Il est certain que l'analyse de situation est une chose qui manque à
l'algèbre ordinaire: c'est ce défaut qui fait qu'un problème paraît souvent
avoir plus de solutions qu'il n'en doit avoir dans les circonstances où on le
considère. Il est vrai que cette abondance de l'algèbre, qui donne ce qu'on
ne lui demande pas, est admirable à plusieurs égards; mais aussi elle fait
souvent qu'un problème qui n'a réellement qu'une solution, en prenant son
énoncé à la rigueur, se trouve renfermé dans une équation de plusieurs
dimensions et, par là, ne peut en quelque manière être résolu. Il serait fort à
souhaiter que l'on trouvât moyen de faire entrer la situation dans le calcul
des problèmes.

d'Alembert.

La géométrie et l'algèbre ont entre elles des relations nécessaires sur
lesquelles il importe d'être fixé.

Faut-il ériger en principe les vues de Pythagore sur les nombres, puis
essayer d'y rattacher les vues géométriques?

Faut-il, au contraire, suivre la voie tracée par Descartes et déduire les
éléments de l'algèbre des premières données de la géométrie pure?

De ces deux méthodes, la seconde semble être la plus rationnelle.

En effet, si peu qu'elle interroge l'expérience, la Géométrie n'en est pas
moins une science d'observation. Elle considère les corps, leurs parois, leurs
arêtes afin d'en abstraire les solides, les surfaces et les lignes; puis elle
commence par étudier ces figures et finit par les mesurer pour en faciliter la
comparaison. Descartes est donc autorisé par là même à fonder l'Algèbre
sur la considération des droites et des opérations qu'elles comportent. Mais,
ce qui fait surtout le mérite de sa méthode, c'est qu'elle se guide uniquement
sur les allures de la grandeur continue pour en conclure toutes les propriétés
du nombre et les lois qui le régissent; tandis qu'en suivant la loi contraire,
on est bien vite réduit à ne raisonner que sur de purs symboles.

Mouchot.

LES NOMBRES, LES SYMBOLES
ET LES FONCTIONS

L'apparition d'un nombre suppose l'existence d'une grandeur
mathématique soumise à une opération simple qu'on nomme sa mesure. S'il
n'y avait pas de grandeurs mathématiques, il n'y aurait pas de nombres,
tandis que les grandeurs mathématiques existent, même pour celui qui n'a
pas l'idée de nombre. L'emploi des nombres tire principalement son utilité

de ce que ceux-ci ne conservent pas la trace des grandeurs qui leur ont
donné naissance; d'où il résulte que les combinaisons qu'on peut en faire, et
les conséquences qu'on tire de leurs combinaisons, ont un certain degré de
généralité, qui permet de les appliquer à toutes les espèces de grandeurs et
que ne sauraient avoir les opérations effectuées directement sur les
grandeurs mêmes.

J. F. Bonnel.

Aucun nombre entier élevé au carré ne donne 2, et l'on démontre
qu'aucun nombre fractionnaire ne le donne non plus.

Nous résignerons-nous à conclure que 2 n'a pas de racine carrée?

Si nous nous bornons à dire que V2 est incommensurable, nous n'en
donnerons pas une définition.

Dirons-nous que V2 est le nombre qui multiplié par lui-même produit 2?
Ce serait faire un cercle vicieux, puisque pour comprendre la multiplication
par V2, il faut avoir préalablement défini V2.

Nous définissons d'abord la racine carrée de 2 à un dixième près, le plus
grand nombre de dixièmes dont le carré est contenu dans 2; nous
définissons ensuite de même la racine carrée de 2 à un centième, à un
millième près, etc.

La racine carrée de 2 est maintenant pour nous la limite de ses racines
carrées à un dixième, à un centième près, etc.

Voici la définition rigoureuse: «La racine carrée d'un nombre est la limite
des nombres dont les carrés ont pour limite le nombre proposé.»

On prouve, bien entendu, que la limite existe et qu'elle est unique.

Cournot a rapproché l'extension de l'idée de multiplication aux fractions
et l'extension des règles de calcul aux nombres négatifs. Ces deux
généralisations permettent de rendre les relations entre les grandeurs,
indépendantes de l'unité et du zéro-origine choisis.

Les nombres incommensurables donnent déjà de la généralité à
l'arithmétique. Le vrai passage à l'algèbre se fait lorsqu'apparaissent les
nombres négatifs, permettant de généraliser davantage les règles et les
formules. Viennent ensuite les imaginaires et les autres symboles qui
étendent de plus en plus la généralisation.

Les signes + et - modifient la quantité devant laquelle ils sont placés,
comme l'adjectif modifie le substantif.

Cauchy.

Il convient de considérer le signe-précédant un coefficient comme soudé
au coefficient.

Le signe-s'explique en géométrie en rétrogradant et les solutions par-
reculent là où les solutions par + avançaient.

Albert Girard, 1629.

À l'inverse des autres sciences, l'algèbre a une manière toute spéciale et
bien caractéristique de traiter les impossibilités; si tel problème d'algèbre est
impossible, si telle équation est insoluble, l'algèbre, au lieu de s'arrêter là
pour passer à une autre question, accorde droit de cité à ces solutions
impossibles et en enrichit son domaine au lieu de les exclure.

Le moyen qu'elle emploie est le symbole.

Dès les équations du premier degré à une inconnue, au lieu de diviser les
équations en deux classes, suivant les valeurs des lettres qu'elles
renferment, celles qui admettent une solution et celles qui n'en admettent
pas, l'algèbre dit que toute équation du premier degré admet une solution,
cette solution pouvant être négative ou infinie et étant, dans ce dernier cas,
symbolique.

Dans un grand nombre d'équations du second degré, il semblerait qu'on
doit être arrêté net, l'impossibilité se manifestant d'une manière pour ainsi
dire absolue; l'algèbre admet pourtant ces solutions comme elle a déjà fait
pour le premier degré, et, toujours à l'aide de symboles, elle donne droit de
cité aux incommensurables et aux imaginaires.

De Campou.

Convenons de représenter à l'aide du symbole

(1) ai + bj + c = a'i + b'j + c'

la triple égalité

a = a', b = b', c = c',

sans attacher aux lettres i, j d'autre sens que celui de séparation. Les signes
i, j, qui pourraient être en plus grand nombre, ont reçu de Cauchy le nom de
clefs. Les formules telles que (1) portent le nom d'égalités symboliques, et
l'on dit, pour abréger le langage, que a et a' sont les coefficients de i et que

b et b' sont les coefficients de j. L'ensemble des quantités qui forment le
premier membre de la formule (1) s'appelle une quantité imaginaire.

Ainsi, pour nous, une quantité imaginaire se compose de l'ensemble de
plusieurs nombres qui, dans un calcul ultérieur, doivent être respectivement
égalés à des nombres donnés.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Les clefs tendent à s'introduire tous les jours davantage dans l'analyse;
leur emploi donne beaucoup d'élégance et de simplicité au calcul.

De toutes les clefs, celle qui a été le mieux étudiée, celle qui est le plus
anciennement connue, est celle que l'on est convenu de représenter par le
symbole V-1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Hamilton est le créateur d'un système d'imaginaires auxquelles il a donné
le nom de quaternions; ces imaginaires contiennent trois clefs; elles sont
par conséquent de la forme

ai + bj + ck + d.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Autrefois, les quantités imaginaires avaient en elles quelque chose de
fantastique: elles ne représentaient rien, elles servaient d'instrument dans les
recherches; mais à la suite d'une découverte due à l'emploi des imaginaires,
les géomètres amis de la rigueur réclamaient une confirmation du résultat
obtenu, par d'autres voies: c'est ce qui a valu leur nom à ce genre de
quantités.

H. Laurent.

Je montre au début ce qui constitue vraiment la ligne de séparation de
l'arithmétique et de l'algèbre.

Tant que les grandeurs ne sont considérées que dans leurs modules, c'est-
à-dire dans leurs rapports abstraits avec l'unité choisie, on fait de
l'arithmétique ou de l'arithmologie. On établit les règles de calcul sur les
modules ou sur les nombres; on étudie les propriétés diverses des nombres
entiers auxquels tous les autres se ramènent.

Quand, à la considération du module, on joint celle de la direction et que
l'on représente les grandeurs directives par un symbole complexe qui donne
à la fois le module et l'argument, c'est-à-dire un signe marquant nettement
le sens de la grandeur, on fait de l'algèbre.

Les grandeurs directives que l'on étudie dans les diverses branches des
sciences peuvent être classées en plusieurs groupes:

1o Les unes, et c'est le plus grand nombre, ne sont susceptibles que de
deux sens opposés l'un à l'autre... On pourrait les désigner sous le nom de
grandeurs diodes...

2o D'autres grandeurs, qu'on pourrait nommer polyodes, peuvent avoir
toute direction, soit sur un plan, soit dans l'espace...

... On les représente par des droites de longueurs déterminées suivant
leurs modules, portées dans certaines directions, à partir d'un point-origine.

Il faut distinguer particulièrement les grandeurs polyodes planes... Ces
grandeurs polyodes planes comprennent évidemment les grandeurs diodes,
comme cas particulier.

3o Les grandeurs absolues, dans l'étude desquelles l'idée de direction
n'intervient pas, peuvent aussi être regardées comme un cas particulier des
grandeurs polyodes planes, car on peut toujours représenter leur module par
la longueur d'une droite et porter ce module dans une même direction, sur

un axe indéfini, à partir d'une origine fixe. Les grandeurs absolues ainsi
représentées pourraient être appelées monodes.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

L'algèbre, comme nous l'entendons, a pour but de donner les règles de
calcul des grandeurs polyodes planes...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Les considérations un peu nouvelles que j'ai développées... renferment
implicitement les règles du calcul des équipollences de M. Bellavitis.

Les idées philosophiques qui m'ont guidé... me conduisaient
naturellement à la considération des symboles propres à représenter les
grandeurs polyodes de l'espace, c'est-à-dire aux quaternions d'Hamilton.

J. Bourget.

Ce n'est plus l'algèbre qui est responsable de cette manifestation de
résultats impossibles, c'est nous-mêmes qui y donnons lieu par
l'introduction de certaines contradictions dans nos demandes. Cette
circonstance dans laquelle l'esprit du calculateur intervient comme partie au
débat, nous paraît mériter une attention toute particulière. Il est intéressant
d'étudier comment, dans ce cas, la réaction de l'algèbre cherche à se mettre
en équilibre avec l'action égarée de notre intelligence; comment elle se
maintient dans le vrai alors que nous voudrions l'entraîner dans le faux,
comment du moins elle refuse de nous suivre dans cette voie, et par quels
moyens, toujours logique et toujours utile, tout en nous disant que nous
l'avons frappée d'impuissance, elle nous indique en quoi consiste l'erreur
que nous n'avions pas même soupçonnée.

Vallès.

Les difficultés relatives à plusieurs symboles singuliers auxquels
conduisent les calculs algébriques et notamment aux expressions dites
imaginaires, ont été, ce me semble, beaucoup exagérées par suite des
considérations purement métaphysiques qu'on s'est efforcé d'y introduire, au
lieu d'envisager ces résultats anormaux sous leur vrai point de vue, comme
de simples faits analytiques. En les considérant ainsi, il est aisé de
reconnaître, en thèse générale, que l'esprit de l'analyse mathématique
consistant à considérer les grandeurs sous le seul point de vue de leurs
relations, et indépendamment de toute idée de valeur déterminée, il en
résulte nécessairement pour les analystes, l'obligation constante d'admettre
indifféremment toutes les sortes d'expressions quelconques que pourront
engendrer les combinaisons algébriques. S'ils voulaient s'en interdire une
seule à raison de sa singularité apparente, comme elle est toujours
susceptible de se présenter d'après certaines suppositions particulières sur
les valeurs des quantités considérées, ils seraient contraints d'altérer la
généralité de leurs conceptions, et en introduisant ainsi, dans chaque
raisonnement, une suite de distinctions vraiment étrangères, ils feraient
perdre à l'analyse mathématique son principal avantage caractéristique, la
simplicité et l'uniformité des idées qu'elle combine.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Relativement aux quantités négatives qui ont donné lieu à tant de
discussions déplacées... il faut distinguer, en considérant toujours le simple
fait analytique, entre leur signification abstraite et leur interprétation
concrète qu'on a presque toujours confondues jusqu'à présent. Sous le
premier rapport, la théorie des quantités négatives peut être établie d'une
manière complète par une seule vue algébrique. Quant à la nécessité
d'admettre ce genre de résultats, concurremment avec tout autre, elle dérive
de la considération générale que je viens de présenter: et quant à leur
emploi comme artifice analytique pour rendre les formules plus étendues,
ce mécanisme de calcul ne peut réellement donner lieu à aucune difficulté
sérieuse. Ainsi, on peut envisager la théorie abstraite des quantités négatives

comme ne laissant rien d'essentiel à désirer, mais il n'en est nullement de
même pour leur théorie concrète.

Aug. Comte.

Partons de l'échelle des nombres entiers; entre deux échelons consécutifs
intercalons un ou plusieurs échelons intermédiaires, puis entre ces échelons
nouveaux d'autres encore et ainsi de suite indéfiniment. Nous aurons ainsi
un nombre illimité de termes, ce seront les nombres que l'on appelle
fractionnaires, rationnels ou commensurables. Mais ce n'est pas assez
encore; entre ces termes qui sont pourtant déjà en nombre infini, il faut
encore en intercaler d'autres, que l'on appelle irrationnels ou
incommensurables.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

On dira peut-être que les mathématiciens qui se contentent de cette
définition (du continu mathématique) sont dupes de mots, qu'il faudrait dire
d'une façon précise ce que sont chacun de ces échelons intermédiaires,
expliquer comment il faut les intercaler et démontrer qu'il est possible de le
faire. Mais ce serait à tort; la seule propriété de ces échelons qui intervienne
dans leurs raisonnements, c'est celle de se trouver avant ou après tels
échelons...

H. Poincaré.

Dans une même question, on a souvent à considérer deux sortes de
grandeurs, les constantes et les variables. Une constante possède une valeur
fixe et déterminée; une variable peut recevoir successivement diverses
valeurs.

Une quantité est dite fonction d'une autre quantité, lorsqu'elle varie avec
elle et qu'elle acquiert une ou plusieurs valeurs déterminées pour chaque

valeur attribuée à la variable.

La science, en tant qu'elle n'envisage que les éléments isolés de l'objet,
peut être nommée statique; en tant qu'elle compare les éléments et cherche
comment les variations des uns déterminent les variations des autres, elle
est dynamique, car elle représente alors le mouvement même des choses et
les suit dans leur développement. Cette distinction fondamentale permet de
classer les connaissances humaines en deux catégories bien nettes et en
montre aussi le point de contact: le nombre, ou rapport invariable, la
fonction, ou rapport variable, résument en deux mots les deux faces de la
science.

Laugel.

On étudie, en mathématiques, une fonction pour elle-même. Peut-être
plus tard un phénomène mieux connu s'exprimera par cette fonction.
Béranger a dit:

Combien de temps une pensée,
Vierge obscure, attend son époux!

Les nombres imitent l'espace, qui est de nature si différente.

Pascal

LA LIMITE, L'INFINIMENT GRAND
ET L'INFINIMENT PETIT

On appelle limite d'une grandeur variable, une grandeur fixe dont la
grandeur variable se rapproche indéfiniment, de façon à pouvoir en différer

aussi peu qu'on voudra, mais sans jamais l'atteindre.

On appelle infiniment petit une quantité variable qui a pour limite zéro.

Tout nombre est fini et assignable, toute ligne l'est de même et les infinis
ou infiniment petits ne signifient que des grandeurs qu'on peut prendre aussi
grandes ou aussi petites que l'on voudra.....

..... On entend par infiniment petit l'état de l'évanouissement ou du
commencement d'une grandeur, conçue à l'imitation des grandeurs déjà
formées.

Leibniz.

La notion de l'infini, dont il ne faut pas faire un mystère en
Mathématiques, se réduit à ceci: Après chaque nombre entier, il y en a un
autre.

J. Tannery.

C'est l'élan de l'esprit au-delà de ce que montre l'observation, au-delà
même de tout ce qu'elle est capable de donner, qui seul a pu nous faire
connaître la série des nombres entiers, celle des grandeurs continues, et
nous conduire par là aux idées d'infiniment petit, de point, de ligne, de
surface, limites de quantités indéfiniment décroissantes ou d'étendues dont
certaines dimensions diminuent jusqu'à zéro. Ces notions se présentent donc
à nous comme des créations de l'intelligence dans sa recherche de la
simplicité et de la perfection absolue pour ce qui concerne les grandeurs,
comme des données que la vue des choses n'implique pas logiquement,
c'est-à-dire déductivement, mais qu'elle suggère à notre faculté d'intuition
idéale, ou, si l'on veut, à notre pouvoir de généralisation. L'infiniment petit,

notamment, n'est pas le zéro pur, le zéro considéré isolément, mais bien le
zéro en tant que limite des décroissements d'une grandeur, ou en tant que
point de départ d'une quantité qui naît et augmente.

Boussinesq.

La continuité d'une grandeur est une propriété purement idéale, en ce
sens qu'il n'y a pas dans la nature de grandeur qui soit matériellement
continue. Cette continuité n'existe que dans l'imagination du géomètre.

J.-F. Bonnel.

On est conduit à l'idée des infiniment petits, lorsqu'on considère les
variations successives d'une grandeur soumise à la loi de continuité. Ainsi le
temps croît par degrés moindres qu'aucun intervalle qu'on puisse assigner,
quelque petit qu'il soit. Les espaces parcourus par les différents points d'un
corps croissent aussi par des infiniment petits, car chaque point ne peut aller
d'une position à une autre sans traverser toutes les positions intermédiaires;
et l'on ne saurait assigner aucune distance, aussi petite que l'on voudra,
entre deux positions successives. Les infiniment petits ont une existence
réelle; ils ne sont pas seulement un moyen d'investigation imaginé par les
géomètres.

Poisson.

Opinion isolée et inexacte. La continuité d'une grandeur est une fiction de
l'esprit; il n'y a pas dans la nature, de grandeur rigoureusement continue.

Le cercle n'est que le composé d'une infinité de triangles dont le sommet
est au centre et dont les bases forment la circonférence; le cône est composé
d'une infinité de pyramides, appuyées sur des triangles infiniment petits de

la base circulaire et ayant leur sommet commun avec celui du cône, tandis
que le cylindre de même base et de même hauteur est formé d'un pareil
nombre de petits prismes appuyés sur les mêmes bases et ayant même
hauteur qu'elles.

Kepler.

Les quantités sont appelées infinitésimales non point parce qu'on les
regarde comme très petites, ce qui est fort indifférent, mais parce qu'on peut
les considérer comme aussi petites que l'on voudra, sans qu'on soit obligé
de rien changer à la valeur des quantités, telles que les paramètres, les
coordonnées, normales, sous-tangentes, rayons de courbure, etc., dont on
cherche la relation. Il suit de là que toute quantité dite infiniment petite peut
se négliger dans le courant du calcul, vis-à-vis de ces mêmes quantités dont
on cherche la relation, sans que le résultat du calcul puisse en aucune
manière s'en trouver affecté.

Laz. Carnot.

Nous avons distingué les différentes manières dont les grandeurs à
mesurer, ou celles auxquelles on les ramène, pouvaient être considérées
comme limites de variables d'une espèce plus simple, et nous avons dit
qu'elles pouvaient en général se réduire à trois. La première, employée dans
quelques cas par Euclide et Archimède, consiste à regarder les grandeurs
comme limites de séries; la deuxième, due à Archimède, comme limites de
sommes de quantités infiniment petites; la troisième, comme limites de
rapports d'infiniment petits. Les deux premières se sont présentées à propos
de la mesure de la pyramide, de la parabole, de la spirale, de la sphère, des
volumes des corps engendrés par la révolution de sections coniques, etc. La
troisième, due aux modernes, s'est présentée à l'occasion du problème des
tangentes, et s'applique à beaucoup d'autres questions.

Duhamel.

C'est en cherchant à déterminer les tangentes des courbes, que les
géomètres sont parvenus au calcul différentiel, qu'on a présenté depuis sous
des points de vue très variés; mais quelle que soit l'origine qu'on lui assigne,
il reposera toujours sur un fait analytique antérieur à toute hypothèse,
comme la chute des corps graves vers la surface de la terre est antérieure à
toutes les explications qu'on en a données; et ce fait est précisément la
propriété dont jouissent toutes les fonctions, d'admettre une limite dans les
rapports que leurs accroissements ont avec ceux de la variable dont elles
dépendent. Cette limite, différente pour chaque fonction, et toujours
indépendante des valeurs absolues des accroissements, caractérise d'une
manière qui lui est propre, la marche de la fonction dans les divers états par
lesquels elle peut passer.

Lacroix.

Nous avons des idées nettes de la grandeur, nous voyons que les choses
en général peuvent être augmentées ou diminuées, et l'idée d'une chose
devenue plus grande ou plus petite, est une idée qui nous est présente et
aussi familière que celle de la chose même; une chose quelconque nous
étant donc présentée ou étant seulement imaginée, nous voyons qu'il est
possible de l'augmenter ou de la diminuer; rien n'arrête, rien ne détruit cette
possibilité, on peut toujours concevoir la moitié de la plus petite chose et le
double de la plus grande chose; on peut même concevoir qu'elle peut
devenir cent fois, mille fois, cent mille fois plus petite ou plus grande, et
c'est cette propriété d'augmentation sans bornes en quoi consiste la véritable
idée qu'on doit avoir de l'infini; cette idée nous vient de l'idée du fini; une
chose finie est une chose qui a des termes, des bornes, une chose infinie
n'est que cette même chose finie à laquelle nous ôtons ses termes et ses
bornes; ainsi l'idée de l'infini n'est qu'une idée de privation et n'a point
d'objet réel. Ce n'est pas ici le lieu de faire voir que l'espace, le temps, la
durée, ne sont pas des infinis réels; il nous suffira de prouver qu'il n'y a
point de nombre actuellement infini ou infiniment petit.....

On ne doit donc considérer l'infini, soit en petit, soit en grand que comme
une privation, un retranchement à l'idée du fini, dont on peut se servir
comme d'une supposition qui peut aider à simplifier les idées, et doit
généraliser leurs résultats dans la pratique des sciences.

Buffon.

L'idée d'infini apparaît dès le seuil des mathématiques: il y a une infinité
de nombres entiers; la ligne droite doit être conçue comme prolongée
indéfiniment.

Au fond, les motifs des répugnances manifestées contre les infiniment
petits se résument dans cette pensée de Lagrange, qu'on a «le grand
inconvénient de considérer les quantités dans l'état où elles cessent, pour
ainsi dire, d'être quantités,» autrement dit, les infiniment petits n'existent
pas. Il me paraît qu'il y a là un malentendu. Veut-on parler des quantités
naturelles, ou de l'objet de nos conceptions rationnelles? Si l'on entend que
dans la nature il n'y a pas d'infiniment petits, c'est incontestable; tout ce qui
existe est déterminé et par conséquent fini. Mais à ce point de vue, il n'y a
pas non plus de quantité variable: une quantité, par cela seul qu'elle est, a
une valeur actuelle précise. Notre esprit seul crée la notion de variable, en
rapprochant les grandeurs de quantités voisines et les regardant comme les
valeurs successives d'une même quantité. La notion de variable n'est pas
plus légitime que celle d'infiniment petit, et il faut les admettre ou les
repousser toutes les deux.

de Freycinet.

MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

Le vaste champ des mathématiques embrasse, d'une part, les théories
abstraites; de l'autre, leurs nombreuses applications. Par cette dernière face,

ces sciences intéressent au plus haut degré la généralité des hommes; aussi
les voit-on, à toutes les époques, cherchant, suggérant, proposant sans cesse
de nouveaux problèmes, puisés dans l'observation des phénomènes naturels
ou dans les besoins de la vie commune...

Arago.

L'étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des
découvertes mathématiques. Non seulement cette étude, en offrant aux
recherches un but déterminé, a l'avantage d'exclure les questions vagues et
les calculs sans issue, elle est encore un moyen assuré de former l'Analyse
elle-même, et d'en découvrir les éléments qu'il nous importe le plus de
connaître et que cette science doit toujours conserver: ces éléments
fondamentaux sont ceux qui se reproduisent dans tous les effets naturels.

J. Fourier.

La géométrie et surtout l'algèbre, sont la clef de toutes les recherches sur
la grandeur. Ces sciences qui ne s'occupent que de rapports abstraits et
d'idées simples, peuvent paraître infructueuses tant qu'elles ne sortent point,
pour ainsi dire, du monde intellectuel; mais les mathématiques mixtes, qui
descendent à la matière et qui considèrent les mouvements des astres,
l'augmentation des forces mouvantes,..... en un mot toutes les sciences qui
découvrent des rapports particuliers de grandeurs sensibles, vont d'autant
plus loin et plus sûrement, que l'art de découvrir des rapports en général est
plus parfait. L'instrument universel ne peut devenir trop étendu, trop
maniable, trop aisé à appliquer à tout ce qu'on voudra.

Fontenelle.

L'artillerie est mise ordinairement au nombre des branches des
mathématiques..... On y considère principalement le chemin décrit par le
projectile que lance le canon, et l'on conclut les règles suivant lesquelles il
faut diriger le canon pour que le boulet frappe un lieu donné. Or on
suppose, dans cette recherche, que le projectile décrit une parabole, ainsi
que Galilée l'a démontré. Mais cela n'est pas conforme à la vérité dès que le
mouvement n'a pas lieu dans le vide. On est donc induit grandement en
erreur par les règles et les Tables fondées sur cette hypothèse, leurs auteurs
mêmes l'avouent; ils rejettent l'erreur sur le compte de la théorie, et
s'imaginent qu'elle n'a de valeur que lorsque la pratique la corrige. Or l'air
nous paraît être un fluide trop subtil pour produire une résistance sensible;
et pourtant dans les mouvements très rapides tels que ceux des boulets et
des bombes, la résistance de l'air est assez grande pour que les projectiles
décrivent une courbe très différente de la parabole. Pour corriger cette
erreur notable, pour suppléer à l'emploi inopportun de la parabole, il faut
introduire la courbe véritable suivant laquelle le projectile se meut dans
l'air. Newton paraît avoir fait beaucoup d'efforts pour la découvrir, et
cependant son extrême habileté dans l'analyse supérieure ne lui suffit pas
pour résoudre ce problème. Il laissa l'honneur de cette découverte au
célèbre Jean Bernoulli. Nous voyons par là combien doit être versé dans les
mathématiques supérieures celui qui veut résoudre les questions d'artillerie.

Euler.

Les Mathématiques pures se bornent à spéculer sur les grandeurs
abstraites. Elles forment une science de raisonnement qui se déduit de
notions primitives, d'axiomes, sans rien emprunter à l'expérience. Ses
branches sont l'arithmétique, la géométrie et l'analyse (algèbre et calcul
infinitésimal).

La mécanique et l'astronomie forment ce qu'on appelle les Sciences
physico-mathématiques.

Viennent ensuite les nombreuses Applications des mathématiques. Nous
allons rapidement énumérer les principales.

Calcul des probabilités.—La théorie des probabilités a dit Laplace, n'est
que le bon sens réduit en calcul: elle fait apprécier avec exactitude, ce que
les esprits justes sentent par une sorte d'instinct.

Le calcul des probabilités est utile dans toutes les sciences et aussi dans
la vie sociale.

Physique mathématique.—La physique, enfin maîtresse de ses principes,
tend à s'absorber dans les mathématiques. On fait la théorie analytique de la
chaleur, de l'électricité, de la lumière, de l'élasticité, de l'acoustique, etc.

La chimie commence à suivre le bon exemple, grâce à la thermochimie.

Statistique et économie politique.—Quelques lois ont été découvertes, il
y a tendance à plus de précision dans ces utiles études. Cependant Cournot
et Walras se sont trop pressés d'appliquer l'Algèbre à des données encore un
peu flottantes; on dit assez heureusement que la monnaie sert de
dénominateur commun aux diverses valeurs.

Loterie; jeux.—On peut raisonner les chances de la loterie et du jeu, mais
on ne corrige guère les amateurs. La Science a obtenu la suppression de la
loterie d'État, mais il nous reste d'autres loteries, les valeurs à lots, etc.

Quant aux jeux de combinaisons, ils se rattachent à la géométrie et à
l'analyse indéterminée.

Arithmétique appliquée et commerciale.—Il faut considérer, non comme
théorie, mais comme applications, les règles de trois, d'alliage, de partage,
etc., et le système métrique.

D'autre part, la tenue des livres de commerce a une grande importance
pratique.

Finances.—Intérêts simples et composés; annuités; banques,
établissements de crédit et de prévoyance; assurances sur les choses et sur
la vie; rentes viagères.

La Bourse.

Répartition des impôts; budget, etc.

Calcul mental.—Il est bon d'acquérir une certaine habileté à calculer de
tête, sans chiffrer hors de propos. Il y a quelques méthodes, mais c'est
surtout affaire d'exercice.

Géométrie et trigonométrie pratiques.—Comme en arithmétique, on
mêle trop, en géométrie, les applications à la théorie.

Instruments pour les tracés sur le papier et sur le terrain.

Arpentage, levé des plans, nivellement; le cadastre; partage des terrains,
etc.

Les divers mesurages: métrage, cubage; fûts, troncs d'arbre, tas de
pierres, etc.

Application de la trigonométrie au levé des plans.

Géométrie descriptive.—Par la méthode des projections, on peut
représenter rigoureusement par un tracé plan les figures et les constructions
dans l'espace.

Application aux ombres, à la perspective, à la charpente, à la coupe des
pierres, etc.

Dessin.—Les divers dessins constituent une langue très étendue et très
expressive.

Le dessin dit géométrique l'emporte sur les autres par sa précision.

Les graphiques.—Une courbe, parlant aux yeux, résume de nombreuses
observations numériques. Aussi, se sert-on, dans toutes les études, de ces
tracés commodes.

Par exemple, les Guides de chemins de fer donnent bien des résultats
isolés, mais les employés s'aident de graphiques pour se rendre compte des
rapports entre les divers trains.

Arts mécaniques.—Il convient que l'ouvrier sache raisonner ses mesures
et ses tracés, au lieu de se servir de règles empiriques et de patrons.

Ferblantiers, menuisiers, tourneurs, etc.

Les machines.—Quelle variété, quelle délicatesse et quelle puissance,
depuis les machines à coudre, à calculer, à écrire, jusqu'aux machines qui

soulèvent les cuirassés ou creuseront le Panama!

Constructions civiles et militaires.—C'est aux ingénieurs et aux
architectes que nous devons surtout notre civilisation matérielle. Ponts et
chaussées, chemins de fer, canaux, construction des monuments, etc.

Géographie.—Cartes géographiques, surtout celle de l'État-Major, que
tout le monde devrait savoir lire.

Topographie, géodésie, etc.

De nos jours, la géographie devient enfin une science. «Ici, dit
Drapeyron, le corps c'est la topographie, l'âme c'est la géographie
mathématique.»

Navigation.—Constructions navales, conduite du navire (déterminer à un
moment quelconque la position et la route); tables astronomiques, etc.

Chronologie, horlogerie, gnomonique.—Calendrier, comput
ecclésiastique; montres, horloges, chronomètres; cadrans solaires.

Arts militaires.—Le fusil et le canon perfectionnés; balistique ou
questions du tir.

Stratégie, dont le problème dépend d'éléments si variés.

Après trente ans de travail, le regretté M. Sonnet a publié sous le titre de
Dictionnaire des Mathématiques appliquées, en un seul volume, le plus
riche et le plus précis des répertoires connus sur ces matières.

SYSTÈME MÉTRIQUE

La réflexion et l'expérience font connaître les conditions d'un bon
ensemble de mesures. Nous allons passer en revue les plus importantes de
ces conditions et justifier ainsi l'excellence des mesures métriques.

1o Unités parfaitement définies et fixes.—Les anciennes mesures de
longueur se déduisaient des dimensions du corps humain (toises, coudées,
mains, pouces, doigts, etc.) ou des dimensions de certains temples. Ces
bases étaient vagues et variables, les modèles n'en étaient point arrêtés. On
a pu dire que, sous l'ancien régime, il y avait autant d'arpents et de
boisseaux que de villages. Le mètre, fraction déterminée de la circonférence
terrestre, est une longueur précise, immuable, indépendante du temps et des
nations. «On retrouverait le mètre, dit Arago, quand même des
tremblements de terre, des cataclysmes épouvantables viendraient à
bouleverser notre planète et à détruire les étalons prototypes religieusement
conservés aux Archives.»

2o Unités d'espèces différentes liées entre elles.—La géométrie ramène la
mesure des surfaces et des volumes à la mesure de certaines longueurs,
qu'on appelle les dimensions de ces figures. Les règles simples qu'on établit
supposent qu'on prend pour unités les carrés et les cubes construits sur
l'unité linéaire.—On se servait de la toise carrée et de la toise cube, avant de
connaître le mètre carré et le mètre cube. Il y a plus, les unités de poids et
de monnaie dérivent aussi du mètre, quoique moins directement. On
pourrait, à la rigueur, avec les monnaies, peser les corps et mesurer les
longueurs. Nos mesures s'enchaînent ainsi complètement et leur ensemble
mérite le nom de système.

3o Unités assez nombreuses pour chaque espèce de grandeur.—Il
convient de rapporter chaque grandeur particulière à une unité
proportionnée, parce que l'esprit ne voit clairement et rapidement que les

nombres ordinaires, ni trop grands, ni trop petits. De là l'utilité d'unités
secondaires, substituées souvent à l'unité principale.—Nous avons
actuellement des multiples et des sous-multiples de chaque unité; la plupart
sont des instruments effectifs de mesurage; tandis que les autres ne sont pas
fabriqués (huit règles pour les longueurs, treize vases pour les capacités,
vingt-quatre poids et quatorze monnaies).

4o Unités de même nature liées simplement.—Dans l'ancien système,
l'échelle était parfois bizarre et variable d'un genre d'unité à un autre
(exemple: les longueurs et les poids). De là le calcul des nombres
complexes, assez pénible, malgré les simplifications provenant des diviseurs
de douze.—Les unités nouvelles procèdent toutes de dix en dix, comme
notre système de numération. Les grandeurs s'expriment par suite en
nombres décimaux, aussi faciles à combiner que les entiers. Les
changements d'unité se traduisent par un simple déplacement de la virgule.
—On comprend pourquoi le système métrique s'appelle aussi système
décimal des poids et mesures. (On avait même proposé de diviser
décimalement le temps, jour de vingt heures, heure de cent minutes, etc., et
le cercle en quatre cents grades de cent minutes chacun, etc.)

5o Nomenclature expressive et ne comprenant qu'un petit nombre de
mots.—Les mesures antérieures portaient des noms très variés et
n'indiquant pas les rapports, qu'il fallait retenir à part. Nous n'avons
maintenant que six mesures principales: le mètre, l'are, le litre, le stère, le
gramme et le franc; à ces six mots il suffit de joindre sept abréviations,
tirées du grec ou du latin, pour composer les noms des multiples et des
sous-multiples. Déca signifie dix, hecto cent, kilo mille, myria dix-mille;
déci signifie dixième, centi centième et milli millième. Dès qu'on parle du
décamètre et du décimètre, chacun se rappelle qu'il s'agit de dix mètres et
du dixième du mètre.—Cependant, quelque commode que soit la
nomenclature précédente, elle n'est pas essentielle au système métrique, qui
réside dans les choses et non dans les mots.

6o Mesures obligatoires et soigneusement contrôlées.—Depuis 1840, les
mesures métriques sont définitivement imposées par la loi, sur tout le
territoire français, et les dénominations mêmes des anciennes mesures sont
prohibées. Les instruments de mesure sont conformes à des modèles dont

les règlements précisent la valeur, les dimensions, la forme et la substance.
Sur ces mesures sont inscrits non seulement le nom de la mesure mais
encore celui du fabricant responsable, et ces instruments sont soumis à un
contrôle au début, puis à un contrôle périodique, faits par des vérificateurs
des poids et mesures.—Notre système justifie la qualification de système
légal des poids et mesures.

7o Système offrant un caractère international.—Base ne dépendant
d'aucune nationalité particulière, puisqu'elle est prise dans la nature.
Organisation par des savants de tous les pays qui ont signé les rapports et se
sont distribué cent douze des mètres nouveaux. Mots provenant d'une
langue morte, du grec ou du latin. «Si la mémoire des travaux venait à
s'effacer, dit Laplace, si les résultats seuls en étaient conservés, ils
n'offriraient rien qui pût faire connaître quelle nation en a eu l'idée, en a
suivi l'exécution.»—L'adoption par tous les peuples des mêmes mesures
faciliterait grandement les relations commerciales et scientifiques. Le
système métrique est déjà adopté, entièrement ou partiellement, par les pays
suivants: Belgique, Hollande, Espagne, Portugal, Grèce, Allemagne,
Danemark, Suède, Mexique, Brésil, Républiques de l'Amérique du Sud,
Égypte, etc. Ajoutons que dans les États anglais et dans les États-Unis
l'usage de nos mesures est facultatif.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE

Une figure plane peut être représentée sur une surface plane sans aucune
altération dans les proportions de ses parties.

... Il n'en est pas de même d'un corps à trois dimensions, d'un corps ayant
longueur, largeur et profondeur. Sa représentation sur une surface plane est
inévitablement altérée. Des lignes qui sur le corps sont égales entres elles,
peuvent être extrêmement inégales dans la représentation plane. Les angles
formés dans l'espace par les arêtes ou par les diagonales du corps
n'éprouvent pas de moindres altérations comparatives, quand elles viennent
à être figurées sur un plan.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Des hommes de génie, Desargues en tête, réussirent enfin à rattacher aux
règles de la géométrie élémentaire la plupart des méthodes, des tracés en
usage dans la coupe des pierres et dans la charpente. Malheureusement
leurs démonstrations étaient longues, embarrassées; elles devaient toujours
rester hors de la portée des simples ouvriers.

À quoi tenaient ces complications? Elles tenaient à ce qu'on était obligé
de créer la science tout entière, à l'occasion de chaque problème. Adoptez
cette méthode dans telle autre branche quelconque des mathématiques, et la
plus inextricable confusion en sera aussi la conséquence inévitable.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Monge débrouilla ce chaos. Il fit voir que les solutions graphiques de
tous les problèmes de la géométrie à trois dimensions se fondaient sur un
très petit nombre de principes qu'il exposa avec une merveilleuse clarté.
Désormais aucune question, parmi les plus complexes, ne devait être
l'apanage exclusif des esprits d'élite; avec des instruments bien définis et
une méthode de recherche uniforme, la géométrie descriptive, dont Monge
devint le créateur, pénétra jusque dans les rangs nombreux de la classe
ouvrière.

Arago.

Une branche considérable de la géométrie, qui se recommande par des
applications nombreuses, et que cultivaient par instinct plutôt que
méthodiquement tous les ouvriers employés aux arts de construction, a été
réduite en corps de doctrine.. On sent qu'il s'agit ici de la théorie et de la
pratique des opérations qui résultent de la combinaison des lignes, des plans
et des surfaces dans l'espace, et que M. Monge a fait connaître sous le nom
de géométrie descriptive. La coupe des pierres, la charpente, certaines
parties de la fortification et de l'architecture, la perspective, la gnomonique:

en un mot, toutes les parties des mathématiques, soit pures, soit appliquées,
dans lesquelles on considère l'espace avec ses trois dimensions, sont du
ressort de ce complément nouveau de la géométrie élémentaire qui jusque-
là s'était arrêtée à la mesure des aires et des volumes... Ce n'est pas qu'avant
M. Monge, les géomètres n'eussent connu la méthode des projections et ne
l'eussent employée à la résolution de plusieurs problèmes..., mais cette
théorie... n'avait pas encore cette indépendance et cet enchaînement de
questions qui en ont fait une véritable science...

Delambre.

La Géométrie descriptive donne des méthodes pour représenter
exactement, sur un seul plan, tout corps susceptible d'une définition précise,
et pour déduire de cette représentation les véritables grandeurs des diverses
parties du corps que l'on considère.

C'est à l'aide de pareils dessins faits sur des aires planes, que les tailleurs
de pierre et les charpentiers parviennent à donner aux matériaux solides des
formes déterminées.

La Géométrie descriptive est donc aussi utile à l'ouvrier qui exécute un
projet qu'à l'ingénieur qui l'a conçu. Ses principales applications sont la
perspective, la théorie des ombres, la charpente, la coupe des pierres, le
tracé des routes dans les pays accidentés, le défilement dans l'art des
fortifications, etc., etc.

Rouché.

Selon la manière dont la position des sommets des angles d'un solide est
définie, la construction de leurs projections peut être plus ou moins facile,
et la nature de l'opération doit dépendre de celle de la définition. Il en est
précisément de cet objet comme de l'Algèbre, dans laquelle il n'y a aucun
procédé général pour mettre un problème en équations. Dans chaque cas
particulier, la marche dépend de la manière dont la relation entre les

quantités données et celles qui sont inconnues est exprimée; et ce n'est que
par des exemples variés que l'on peut accoutumer les commençants à saisir
ces relations et à les écrire par des équations. Il en est de même pour la
Géométrie descriptive. C'est par des exemples nombreux et par l'usage de la
règle et du compas dans les salles d'exercice que l'on peut acquérir
l'habitude des constructions, et qu'on s'accoutume au choix des méthodes
les plus simples et les plus élégantes, dans chaque cas particulier. Mais
aussi, de même qu'en Analyse, lorsqu'un problème est mis en équations, il
existe des procédés pour traiter ces équations, et pour en déduire les valeurs
de chaque inconnue; de même aussi, dans la Géométrie descriptive, lorsque
les projections sont faites, il existe des méthodes générales pour construire
tout ce qui résulte de la forme et de la position respective des corps.

Ce n'est pas sans objet que nous comparons ici la Géométrie descriptive à
l'Algèbre; ces deux sciences ont les rapports les plus intimes. Il n'y a aucune
construction de Géométrie descriptive, qui ne puisse être traduite en
Analyse; et lorsque les questions ne comportent pas plus de trois inconnues,
chaque opération analytique peut être regardée comme l'écriture d'un
spectacle en Géométrie.

Monge.

MÉCANIQUE

On connaît la déclaration attribuée à Archimède: «Donnez-moi un point
d'appui et je soulèverai le monde.» Je ne veux pas en contester la beauté
littéraire, mais quand on songe au nombre de tentatives insensées dont elle a
été la cause, il peut être permis de dire que, pratiquement, elle est
absolument vaine.

Privat-Deschanel.

Le monde, il s'agit sans doute de la terre. Comment l'homme pourrait-il
prendre un point d'appui extérieur? Du reste la force d'un homme étant

extrêmement petite par rapport au poids du globe, le déplacement de celui-
ci serait insignifiant. Le mot célèbre n'exprime qu'une vue théorique.

On ne gagne rien avec les instruments, d'autant que, si l'on applique une
petite force à un grand fardeau, il faut beaucoup de temps, et que, si on veut
le transporter en très peu de temps, il faut une grande force...

Néanmoins les machines sont utiles, pour mouvoir de grands fardeaux
tout d'un coup sans les diviser, parce que l'on a souvent beaucoup de temps
et peu de force. Mais celui-là se tromperait qui voudrait abréger le temps en
n'usant que d'une petite force, et montrerait qu'il n'entend pas la nature des
machines ni la raison de leurs effets...

Il faut conclure de tout ce discours que l'on ne peut rien gagner en force
qu'on ne le perde en temps, et conséquemment que ceux qui travaillent à
suppléer la force et le temps tout ensemble, ne méritent nullement d'avoir
du temps, puisqu'ils l'emploient si mal.

Galilée.

On pousse un corps avec la main, et l'on voit qu'il se meut dans une
direction définie. À première vue, il semble qu'il n'y ait pas moyen de
douter de la réalité de son mouvement ni de la direction qu'il suit.
Cependant il est facile de montrer que non seulement nous pouvons avoir
tort, mais que d'ordinaire nous avons tort de porter l'un ou l'autre de ces
deux jugements. Voici par exemple un vaisseau que, pour plus de simplicité,
nous supposerons mouillé à l'équateur, l'avant tourné vers l'ouest. Quand le
capitaine va de l'avant à l'arrière, dans quelle direction se meut-il? Vers l'est,
répondra-t-on évidemment, et pour le moment cette réponse peut passer.
Mais on lève l'ancre et le vaisseau vogue vers l'ouest avec une vitesse égale
à celle du capitaine qui marche vers l'est. Dans quelle direction se meut à
présent le capitaine, quand il va de l'avant à l'arrière de son navire? Nous ne
pouvons plus dire: l'est, comme tout à l'heure, puisque tandis qu'il va vers

l'est, le vaisseau l'emporte vers l'ouest; et réciproquement nous ne pouvons
pas dire: l'ouest. Par rapport à l'espace ambiant il ne bouge pas, quoiqu'il
paraisse se mouvoir pour tout ce qui est à bord. Mais sommes-nous tout à
fait sûrs de cette conclusion? Le capitaine est-il réellement toujours au
même point? Quand nous tenons compte du mouvement de la terre autour
de son axe nous voyons que loin d'être stationnaire, le capitaine voyage vers
l'est à raison de 1000 milles par heure; de sorte que la perception de celui
qui le regarde, pas plus que celle de celui qui tient compte du mouvement
du vaisseau, ne se rapproche de la vérité. De plus, un examen plus attentif
nous fera voir que cette conclusion corrigée ne vaut pas mieux que les
autres. En effet, nous avons oublié le mouvement de la terre dans son orbite.
Comme il est de 68000 milles par heure, il s'en suit qu'en supposant qu'il
soit midi, le capitaine se meut non pas à raison de 1000 milles à l'heure vers
l'est, mais à raison de 67000 milles vers l'ouest. Et pourtant nous n'avons
pas encore trouvé le vrai sens et la vraie vitesse de son mouvement. Au
mouvement de la terre dans son orbite il faut joindre celui du système
solaire tout entier vers la constellation d'Hercule, et si nous le faisons, nous
voyons que le capitaine ne va ni vers l'est ni vers l'ouest, mais qu'il suit une
ligne inclinée sur le plan de l'écliptique, et qu'il va avec une vitesse plus
grande ou moindre (suivant l'époque de l'année) que celle que nous avons
donnée. À cela, il faut encore ajouter que si les arrangements dynamiques
de notre système sidéral nous étaient complètement connus, nous
découvririons probablement que la direction et la vitesse du mouvement
réel diffèrent encore considérablement des résultats obtenus.

Herbert Spencer.

Nous n'observons que des mouvements relatifs. Lorsque nous croyons
marcher en ligne droite dans notre chambre, notre trajectoire dans l'espace
est en réalité une ligne courbe compliquée. En effet, la terre se déplace
rapidement dans l'espace, en emportant nos maisons.

Si on est fortement penché d'un côté, le corps se porte de l'autre pour
faire le contrepoids, et se balance lui-même en diverses manières, pour

prévenir une chute, ou pour la rendre moins incommode. Par la même
raison, si l'on porte un grand poids d'un des côtés, on se sert de l'autre à
contre-peser. Une femme qui porte un seau d'eau pendu à la droite étend le
bras gauche et se penche de ce côté-là. Celui qui porte sur le dos se penche
en avant; et, au contraire, quand on porte sur la tête, le corps se tient
naturellement droit. Enfin, il ne manque jamais de se situer de la manière la
plus convenable pour se soutenir; en sorte que les parties ont toujours un
même centre de gravité, qu'on prend au juste, comme si l'on savait la
Mécanique.

Bossuet.

Je me suis proposé de réduire la théorie de cette Science (la Mécanique),
et l'art de résoudre les problèmes qui s'y rapportent, à des formules
générales, dont le simple développement donne toutes les équations
nécessaires pour la solution de chaque problème.

On ne trouve point de figure dans cet Ouvrage (Mécanique analytique).
Les méthodes que j'y expose ne demandent ni constructions, ni
raisonnements géométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations
algébriques, assujetties à une marche régulière et uniforme. Ceux qui
aiment l'Analyse verront avec plaisir la Mécanique en devenir une nouvelle
branche, et me sauront gré d'en avoir étendu ainsi le domaine.

Lagrange.

Dans la mécanique, le calcul différentiel est le passage de l'effet à la
cause, de l'espace parcouru dans un temps donné à la vitesse acquise et de
cette vitesse à la force accélératrice. Inversement, le calcul intégral est le
passage de la cause à l'effet, de la force à la vitesse qu'elle produit, et de
cette vitesse à l'espace parcouru en vertu de cette vitesse elle-même.

E. Jacquier.

ASTRONOMIE

J'ai pensé, puisque d'autres avant moi ont osé imaginer une foule de
cercles pour démontrer les phénomènes astronomiques, que je pourrais me
permettre aussi d'essayer si, en supposant la Terre immobile, on ne
parviendrait pas à trouver, sur la révolution des corps célestes, des
démonstrations plus solides que celles qui ont été mises en avant. Après de
longues recherches, je me suis enfin convaincu: que le Soleil est une étoile
fixe, entourée de planètes qui tournent autour d'elle, et dont elle est le centre
et le flambeau; qu'outre les planètes principales, il en est d'autres de second
ordre, qui circulent d'abord comme satellites autour de leurs planètes
principales, et avec celles-ci autour du Soleil; que la Terre est une planète
principale, assujettie à un triple mouvement; et que tous les phénomènes du
mouvement diurne et annuel, le retour périodique des saisons, toutes les
vicissitudes de la lumière et de la chaleur de l'atmosphère qui les
accompagnent sont des résultats de la rotation de la Terre autour de son axe
et de son mouvement périodique autour du Soleil.

Copernic.

Quand Newton mit au jour cette grande pensée (l'attraction universelle)
appuyée sur une géométrie neuve et sublime, l'astronomie changea de face,
et les cieux parurent raconter pour la première fois la gloire de leur Auteur:
cependant, la théorie n'avait pas rempli toute sa tâche, il s'en fallait bien;
des phénomènes importants lui échappaient; d'étonnantes exceptions, des
désordres inexplicables la troublaient; la loi mal assurée semblait
quelquefois se déconcerter et se contredire. Un siècle s'était écoulé depuis la
publication des Principes mathématiques de la philosophie naturelle, et,
dans ce siècle, plusieurs générations de grands géomètres, d'observateurs
infatigables, avaient réuni leurs efforts gigantesques contre les difficultés, et
ils n'avaient pu les vaincre toutes. Il y avait encore, il n'y a pas trente ans,
des scandales dans le ciel; il y avait des planètes réfractaires aux tables des
astronomes. Bien plus, en promulguant la loi de gravitation, Newton avait
douté qu'elle fût capable de porter ce poids du monde qu'il lui imposait; il

avait pensé qu'elle vieillirait comme les lois humaines, et qu'un jour
viendrait, il l'a écrit, où il faudrait que la main du Créateur s'étendît pour
remettre les choses en place.

Newton se trompait, Messieurs. Non, pour remettre le système en ordre,
il ne sera pas besoin de la main du Créateur; il suffira d'un autre Newton.
M. Laplace est venu, et, par ses immenses travaux, par la puissance et les
ressources de son génie, l'astronomie réduite à un problème de mécanique,
ne découvre plus dans les cieux que l'accomplissement mathématique de
lois invariables. Jupiter et ses satellites, Saturne, la Lune sont domptés dans
leurs écarts; ce qui paraissait exception est la règle même; ce qui semblait
désordre est un ordre plus savant; partout la simplicité de la cause triomphe
dans la complication infinie des effets. Enfin, et c'est le comble de la gloire
de M. Laplace, il lui a été réservé d'absoudre la loi de l'univers, c'est-à-dire
la sagesse divine, de ces reproches d'imprévoyance ou d'impuissance où le
génie de Newton était tombé; le premier, il a démontré que le système
solaire reçoit, dans les conditions qui lui sont imposées, le gage de son
imperturbable durée.

Royer-Collard.

L'astronomie, considérée de la manière la plus générale, est un grand
problème de mécanique...; sa solution dépend à la fois de l'exactitude des
observations et de la perfection de l'analyse, et il importe extrêmement d'en
bannir tout empirisme, et de la réduire à n'emprunter de l'observation que
les données indispensables.

Laplace.

La plus magnifique confirmation qu'aient reçue les théories
astronomiques a été la découverte de la planète Neptune par Leverrier en
1846.

Les observations prolongées de la planète Uranus avaient montré un
désaccord constant entre le calcul et les faits. Cette planète pas plus qu'une
autre ne décrit exactement l'ellipse de Kepler; elle éprouve des
perturbations de la part des autres astres du système solaire. Mais on avait
beau tenir compte de toutes celles qui pouvaient être produites par les
planètes connues, on n'arrivait pas à faire disparaître ce désaccord et à
pouvoir construire des tables suffisamment exactes; il subsistait
constamment des différences sensibles et inexpliquées. On en vint à penser
que la cause de ces différences résidait probablement dans l'existence d'une
planète encore inconnue.

Ce fut Leverrier qui eut la gloire de transformer cette supposition en
certitude. Renversant le problème ordinaire du calcul des perturbations, il
parvint à déterminer la masse et l'orbite de la planète inconnue, d'après les
effets qu'elle produisait sur Uranus; il alla jusqu'à pouvoir assigner la place
qu'elle devait occuper dans le ciel à une date qu'il désigna. Il suffit à M.
Galle, de Berlin, de diriger une lunette vers cette place pour apercevoir tout
près de là un astre, invisible à l'œil nu, qui n'était marqué sur aucune carte
du ciel: les observations des jours suivants montrèrent qu'il se déplaçait
parmi les étoiles; c'était donc bien une planète.

Guiraudet.

En réfléchissant au mouvement diurne auquel tous les corps célestes sont
assujettis, on reconnaît évidemment l'existence d'une cause générale qui les
entraîne ou qui paraît les entraîner autour de l'axe du monde. Si l'on
considère que ces corps sont isolés entre eux, et placés loin de la terre, à des
distances très différentes; que le soleil et les étoiles en sont beaucoup plus
éloignés que la lune, et que les variations des diamètres apparents des
planètes indiquent de grands changements dans leurs distances; enfin que
les comètes traversent librement le ciel dans tous les sens; il sera très facile
de concevoir qu'une même cause imprime à tous ces corps un mouvement
commun de rotation. Mais les astres se présentent à nous de la même
manière, soit que le ciel les entraîne autour de la terre supposée immobile,
soit que la terre tourne en sens contraire, sur elle-même; il paraît beaucoup

plus naturel d'admettre ce dernier mouvement et de regarder celui du ciel
comme une apparence.

La terre est un globe dont le rayon n'est pas de sept millions de mètres: le
soleil est, comme on l'a vu, incomparablement plus gros. Si son centre
coïncidait avec celui de la terre, son volume embrasserait l'orbe de la lune,
et s'étendrait une fois plus loin, d'où l'on peut juger de son immense
grandeur: il est d'ailleurs éloigné de nous d'environ vingt-trois mille rayons
terrestres. N'est-il pas infiniment plus simple de supposer au globe que nous
habitons un mouvement de rotation sur lui-même, que d'imaginer, dans une
masse aussi considérable et aussi distante que le soleil, le mouvement
extrêmement rapide qui lui serait nécessaire pour tourner, en un jour, autour
de la terre? Quelle force immense ne faudrait-il pas alors pour le contenir et
balancer sa force centrifuge? Chaque astre présente des difficultés
semblables qui sont toutes levées par la rotation de la terre.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Entraînés par un mouvement commun à tout ce qui nous environne, nous
ressemblons au navigateur que les vents emportent avec son vaisseau sur les
mers. Il se croit immobile; et le rivage, les montagnes et tous les objets
placés hors du vaisseau, lui paraissent se mouvoir. Mais en comparant
l'étendue du rivage et des plaines, et la hauteur des montagnes à la petitesse
de son vaisseau, il reconnaît que leur mouvement n'est qu'une apparence
produite par son mouvement réel. Les astres nombreux répandus dans
l'espace céleste, sont, à notre égard, ce que le rivage et les montagnes sont
par rapport au navigateur; et les mêmes raisons par lesquelles il s'assure de
la réalité de son mouvement nous prouvent celui de la terre.

Laplace.

Pendant des siècles on a fait de la Terre le centre du monde, en obligeant
les planètes, le soleil et jusqu'aux étoiles à tourner autour d'elle. Copernic
est survenu et dès lors la Terre a pris une place des plus modestes dans le

cortège des planètes que gouverne le soleil. Voici maintenant que le soleil à
son tour n'est plus qu'une des innombrables étoiles de la Voie lactée....

F. Tisserand.

Toutes nos notions, en fait de distances célestes ou terrestres, reposent, en
dernière analyse, sur quelques bases mesurées çà et là, principalement par
des Français.

Faye.

PROBABILITÉS

Il y a des jeux où dix personnes mettant chacune un écu, il n'y en a
qu'une qui gagne le tout et toutes les autres perdent: ainsi chacun des
joueurs n'est au hasard que de perdre un écu, et pour en gagner neuf. Si l'on
ne considérait que la perte et le gain en soi, il semblerait que tous y ont de
l'avantage; mais il faut de plus considérer que si chacun peut gagner neuf
écus, et n'est au hasard que d'en perdre un, il est aussi neuf fois plus
probable, à l'égard de chacun, qu'il perdra son écu et ne gagnera pas les
neuf. Ainsi, chacun a pour soi neuf écus à espérer, un écu à perdre, neuf
degrés de probabilité de perdre un écu et un seul de gagner les neuf écus: ce
qui met la chose dans une parfaite égalité.

Tous les jeux qui sont de cette sorte sont équitables, autant que les jeux
peuvent l'être, et ceux qui sont hors de cette proportion sont manifestement
injustes; et c'est par là qu'on peut faire voir qu'il y a une injustice évidente
dans ces espèces de jeux qu'on appelle loteries, parce que le maître de
loterie prenant d'ordinaire sur le tout une dixième partie pour son préciput,
tout le corps des joueurs est dupé de la même manière que si un homme
jouait un jeu égal, c'est-à-dire où il y a autant d'apparence de gain que de
perte, dix pistoles contre neuf. Or si cela est désavantageux à tout le corps,
cela l'est aussi à chacun de ceux qui le composent, puisqu'il arrive de là que
la probabilité de la perte surpasse plus la probabilité du gain que l'avantage

qu'on espère ne surpasse le désavantage auquel on s'expose, qui est de
perdre ce qu'on y met.

Logique de Port-Royal.

Pesons le gain et la perte, en prenant croix, que Dieu est. Estimons ces
deux cas: si vous gagnez, vous gagnez tout; si vous perdez, vous ne perdez
rien. Gagez donc qu'il est, sans hésiter.

—Cela est admirable: oui, il faut gager; mais je gage peut-être trop.

—Voyons. Puisqu'il y a pareil hasard de gain et de perte, si vous n'aviez
qu'à gagner deux vies pour une, vous pourriez encore gager. Mais s'il y en
avait trois à gagner, il faudrait jouer (puisque vous êtes dans la nécessité de
jouer) et vous seriez imprudent, lorsque vous êtes forcé à jouer, de ne pas
hasarder votre vie pour en gagner trois à un jeu où il y a pareil hasard de
perte et de gain.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Mais il y a ici une infinité de vies infiniment heureuses à gagner, un
hasard de gain contre un nombre fini de hasards de perte, et ce que vous
jouez est fini. Cela est tout parti: partout où est l'infini et où il n'y a pas une
infinité de hasards de perte contre celui de gain, il n'y a point à balancer, il
faut tout donner; et ainsi, quand on est forcé à jouer, il faut renoncer à la
raison, pour garder la vie plutôt que de la hasarder pour le gain infini aussi
prêt à arriver que la perte du néant.

Car il ne sert de rien de dire qu'il est incertain si l'on gagnera, et qu'il est
certain qu'on hasarde, et que l'infinie distance qui est entre la certitude de ce
qu'on s'expose et l'incertitude de ce qu'on gagnera égale le bien fini qu'on
expose certainement à l'infini qui est incertain. Cela n'est pas ainsi: tout
joueur hasarde avec certitude pour gagner avec incertitude; et néanmoins il
hasarde certainement le fini pour gagner incertainement le fini, sans pécher
contre la raison. Il n'y a pas infinité de distance entre cette certitude de ce

qu'on s'expose et l'incertitude du gain; cela est faux. Il y a, à la vérité,
infinité de distance entre la certitude de gagner et la certitude de perdre.
Mais l'incertitude de gagner est proportionnée à la certitude de ce qu'on
hasarde, selon la proportion des hasards de gain et de perte; et de là vient
que s'il y a autant de hasard d'un côté que de l'autre, le parti est à jouer égal
contre égal; et alors la certitude de ce qu'on expose est égale à l'incertitude
du gain; tant s'en faut qu'elle soit infiniment distante. Et ainsi notre
proposition est dans une force infinie, quand il y a le fini à hasarder à un jeu
où il y a pareils hasards de gain que de perte, et l'infini à gagner. Cela est
démonstratif; si les hommes sont capables de quelques vérités, celle-là l'est.

Pascal.

Nous devions citer ce morceau célèbre, mais nous nous empressons d'y
joindre le commentaire de M. J. Bertrand:

«On a cru, dans une page de Pascal, voir l'application du calcul des
probabilités à la démonstration de l'existence de Dieu. C'est lui prêter
injustement un ridicule. Pascal, acceptant, comme hypothèse, le doute sur
l'existence de Dieu, doit, la logique l'exige, rencontrer le dilemme: Ou Dieu
existe ou il n'existe pas. L'incrédule hésite! Chaque opinion est donc pour
lui plus ou moins probable; Pascal ne tente nullement l'examen du problème
pour le réduire en formule et en chiffres. Il n'associe au mot probabilité rien
qui tienne à l'algèbre; la mesure exacte ou approchée des chances reste en
dehors de son argument. Puisque deux hypothèses sont possibles, on
pourrait établir un pari. Il y a deux choses dans un pari: la chance de gagner
et la somme hasardée. Pascal ne s'occupe que de l'enjeu. L'impie qui parie
pour l'athéisme, sera damné s'il perd. Rien n'est trop cher, quelles que soient
les chances, pour se soustraire à ce formidable risque.»

Ainsi des chances favorables et nombreuses étant constamment attachées
à l'observation des principes éternels de raison, de justice et d'humanité, qui
fondent et maintiennent les sociétés, il y a grand avantage à se conformer à
ces principes, et de graves inconvénients à s'en écarter. Que l'on consulte les
histoires et sa propre expérience, on y verra tous les faits venir à l'appui de

ce résultat du calcul. Considérez les heureux effets des institutions fondées
sur la raison et sur les droits naturels de l'homme, chez les peuples qui ont
su les établir et les conserver. Considérez encore les avantages que la bonne
foi a procurés aux gouvernements qui en ont fait la base de leur conduite, et
comme ils ont été dédommagés des sacrifices qu'une scrupuleuse exactitude
à tenir ses engagements leur a coûtés. Quel immense crédit au dedans!
Quelle prépondérance au dehors! Voyez au contraire dans quel abîme de
malheurs, les peuples ont été souvent précipités par l'ambition et par la
perfidie de leurs chefs. Toutes les fois qu'une grande puissance enivrée de
l'amour des conquêtes aspire à la domination universelle, le sentiment de
l'indépendance produit, entre les nations menacées, une coalition dont elle
devient presque toujours la victime.

Laplace.

L'extrême difficulté des problèmes relatifs au système du monde a forcé
les géomètres à recourir à des approximations qui laissent toujours à
craindre que les quantités négligées n'aient une influence sensible.
Lorsqu'ils ont été avertis de cette influence, par les observations, ils sont
revenus sur leur analyse; en la rectifiant, ils ont toujours retrouvé la cause
des anomalies observées; ils en ont déterminé les lois, et souvent ils ont
devancé l'observation, en découvrant des inégalités qu'elle n'avait pas
encore indiquées. Ainsi l'on peut dire que la nature elle-même a concouru à
la perfection analytique des théories fondées sur la pesanteur universelle; et
c'est, à mon sens, une des plus fortes preuves de la vérité de ce principe
admirable.

Laplace.

Il est bien important de tenir compte, dans chaque branche de
l'administration publique, un registre exact des effets qu'ont produits les
divers moyens dont on a fait usage, et qui sont autant d'expériences faites en
grand par les gouvernements. Appliquons aux sciences politiques et morales

la méthode fondée sur l'observation et sur le calcul, méthode qui nous a si
bien servi dans les sciences naturelles. N'opposons point une résistance
inutile et souvent dangereuse aux effets inévitables du progrès des lumières;
mais ne changeons qu'avec une circonspection extrême nos institutions et
les usages auxquels nous sommes depuis si longtemps pliés. Nous
connaissons bien par l'expérience du passé les inconvénients qu'ils
présentent; mais nous ignorons quelle est l'étendue des maux que leur
changement peut produire. Dans cette ignorance, la théorie des probabilités
prescrit d'éviter tout changement: surtout il faut éviter tout changement
brusque qui, dans l'ordre moral, comme dans l'ordre physique, ne s'opère
jamais sans une grande perte de force vive.

Laplace.

La probabilité des décisions d'une assemblée dépend de la pluralité des
voix, des lumières et de l'impartialité des membres qui la composent. Tant
de passions et d'intérêts particuliers y mêlent si souvent leur influence, qu'il
est impossible de soumettre au calcul cette probabilité. Il y a cependant
quelques résultats généraux dictés par le simple bon sens, et que le calcul
confirme. Si, par exemple, l'assemblée est très peu éclairée sur l'objet
soumis à sa décision; si cet objet exige des considérations délicates, ou si la
vérité sur ce point est contraire à des préjugés reçus, en sorte qu'il y ait plus
d'un à parier contre un que chaque votant s'en écartera; alors la décision de
la majorité sera probablement mauvaise, et la crainte à cet égard sera
d'autant plus fondée, que l'assemblée sera plus nombreuse. Il importe donc
à la chose publique, que les assemblées n'aient à se prononcer que sur des
sujets à la portée du plus grand nombre: il lui importe que l'instruction soit
généralement répandue, et que de bons ouvrages fondés sur la raison et sur
l'expérience éclairent ceux qui sont appelés à décider du sort de leurs
semblables ou à les gouverner, et les prémunissent d'avance contre les faux
aperçus et les préventions de l'ignorance. Les savants ont de fréquentes
occasions de remarquer que les premiers aperçus trompent souvent, et que
le vrai n'est pas toujours vraisemblable.

Laplace.

Cependant l'induction, en faisant découvrir les principes généraux des
sciences, ne suffit pas pour les établir en rigueur... Je citerai pour exemple
un théorème de Fermat sur les nombres premiers. Ce grand géomètre, qui
avait longuement médité sur leur théorie, cherchait une formule qui, ne
renfermant que des nombres premiers, donnât directement un nombre
premier plus grand qu'aucun nombre assignable. L'induction le conduisit à
penser que deux, élevé à une puissance qui était elle-même une puissance
de deux, formait avec l'unité un nombre premier.

Ainsi deux, élevé au carré, plus un, forme le nombre premier cinq; deux,
élevé à la seconde puissance de deux, ou seize, forme avec un le nombre
premier dix-sept. Il trouva que cela était encore vrai pour la huitième et la
seizième puissance de deux, augmentées de l'unité; et cette induction,
appuyée de plusieurs considérations arithmétiques, lui fit regarder ce
résultat comme général. Cependant il avoua qu'il ne l'avait pas démontré.
En effet, Euler a reconnu que cela cesse d'avoir lieu pour la trente-deuxième
puissance de deux, qui, augmentée de l'unité, donne 4294967297, nombre
divisible par 641.

Laplace.

Le physicien Jacobi raconte que son frère, le grand mathématicien,
croyant avoir découvert une loi générale des nombres, l'essaya sur un
nombre pris au hasard. Ce nombre la mit en défaut, tandis que beaucoup
d'autres nombres essayés à leur tour la vérifièrent. Plus tard, le grand Jacobi
reconnut que le nombre pris d'abord appartenait à la seule catégorie de
nombres formant exception à la loi considérée.

Un paradoxe singulier rend ce jeu,—le problème de Saint-Pétersbourg,
c'est le nom qu'on lui donne,—mémorable et célèbre. Pierre joue avec Paul;
voici les conditions: Pierre jettera une pièce de monnaie autant de fois qu'il

sera nécessaire pour qu'elle montre le côté face. Si cela arrive au premier
coup, Paul lui donnera un écu; si ce n'est qu'au second, deux écus; s'il faut
attendre au troisième coup, il en donnera quatre, huit au quatrième, toujours
en doublant. Tels sont les engagements de Paul. Quels doivent être ceux de
Pierre? La science consultée par Daniel Bernoulli, donne pour réponse: une
somme infinie. Le parti de Pierre, c'est le mot consacré, est au-dessus de
toute mesure.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

..... Il faut approuver absolument et simplement la réponse réputée
absurde. Pierre possède, je suppose, un million d'écus et les donne à Paul en
échange des promesses convenues. Il est fou! dira-t-on. Le placement est
aventureux, mais excellent; l'avantage infini est réalisable. Qu'il joue
obstinément, il perdra une partie, mille, mille millions de milliards peut-
être; qu'il ne se rebute pas, qu'il recommence un nombre de fois que la
plume s'userait à écrire, qu'il diffère surtout le règlement des comptes, la
victoire pour lui est certaine, la ruine de Paul inévitable. Quel jour? quel
siècle? On l'ignore; avant la fin des temps certainement, le gain de Pierre
sera colossal.

J. Bertrand.

L'application du calcul aux décisions judiciaires est, dit Stuart Mill, le
scandale des mathématiques. L'accusation est injuste. On peut peser du
cuivre et le donner pour de l'or, la balance reste sans reproche. Dans leurs
travaux sur la théorie des jugements, Condorcet, Laplace et Poisson n'ont
pesé que du cuivre.

La réunion, quelle qu'elle soit, qui peut juger bien ou mal, est remplacée
dans leurs études par des urnes où l'on puise des boules blanches ou
noires.....

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

..... Mais une autre objection est sans réplique: l'indépendance des tirages
est supposée; les urnes, dans les calculs, échappent à toute influence
commune. Les juges, au contraire, s'éclairent les uns les autres, les mêmes
faits les instruisent, les mêmes sollicitations les tourmentent, la même
éloquence les égare, c'est sur les mêmes considérants qu'ils font reposer la
vérité ou l'erreur. L'assimilation est impossible.

J. Bertrand.

Le jeu ruine ceux qui s'y livrent. Il n'y a exception que pour les joueurs
auxquels les conditions acceptées accordent un avantage.

Le fermier des jeux à Monte-Carlo peut accroître sans crainte le nombre
des coups. La menace ne s'adresse qu'aux pontes.

Lorsque le jeu est équitable, la ruine tôt ou tard est certaine.

La proposition semble contradictoire. En ruinant l'un des joueurs, le jeu
enrichit l'autre; en s'exposant à perdre une fortune, on a l'espoir de la
doubler.

Cela n'est pas douteux; mais, quand la fortune est doublée, le théorème
s'y applique avec la même certitude; elle peut doubler encore, centupler
peut-être, tout sera emporté à la fois par un caprice du hasard. En combien
de temps? Nul ne le sait; la probabilité augmente avec le nombre des parties
et converge vers la certitude.

J. Bertrand.

Les philosophes, qui veulent déterminer l'avenir indéfini de l'espèce
humaine par la seule observation du passé, sont dans une grande erreur... Ils
ne s'occupent du présent qu'après avoir découvert l'avenir. C'est comme si,
pour connaître les affections de la courbe des observations, on se servait du

prolongement conjectural de cette courbe, qui peut n'avoir rien de commun
avec ce qui résulterait de la loi inconnue du phénomène...

Rien ne serait plus dangereux que de confier la direction de la société à
des chefs qui se seraient fait un type bien arrêté de l'état définitif de la
société et la pousseraient sans ménagement dans cette voie.

Duhamel.

ENSEIGNEMENT

Nous estimons que l'étude complète de toute science devrait comprendre
une période préparatoire ou d'amorce, une période théorique ne portant que
sur les parties à la fois importantes et simples et une période
complémentaire où la discussion s'aiguiserait et se généraliserait.

Les premières notions de mathématiques doivent faire partie de
l'éducation des enfants. Les chiffres et les lignes parlent plus qu'on ne croit
à leur imagination naissante et c'est un moyen sûr de l'exercer sans l'égarer.

Condorcet.

La longue formation de l'humanité recommence en chaque petit enfant...

Le premier calculateur n'a pas débuté par les règles abstraites qu'on
trouve dans les livres d'école. Il est assez évident qu'il a dû se trouver
d'abord en présence de problèmes pratiques, dont il n'a pu se tirer qu'en
tendant tous les ressorts de son intelligence pour créer la règle, et qu'il n'a
pas fait de l'art pour l'art. Faire débuter l'enfant par la règle abstraite, et lui
poser ensuite les problèmes à résoudre, c'est aller au rebours de la marche
de l'esprit humain, qui en est chez lui au point où il en était dans l'enfance
de l'espèce.

Alors, qu'arrive-t-il? C'est que son intelligence, ainsi brusquée, se refuse
à l'abstraction qui se présente avant l'heure, et que sa mémoire seule entre
en jeu pour se charger douloureusement de mots et de pratiques dont le sens
lui échappe.

La vraie méthode est donc ici de le replacer dans les conditions du
commencement, et de le faire assister en quelque sorte à la création de
l'arithmétique.

J. Macé.

Nous concevons la possibilité d'un enseignement gradué de la géométrie
élémentaire, conduit, à tous ses degrés, d'après un plan unique et invariable,
toujours soumis aux règles de la plus sévère logique, et où les difficultés ne
se montreraient qu'à mesure que les esprits seraient préparés à les aborder.

Pour cela, l'étude de la géométrie devrait être reprise à divers points de
vue, correspondant aux divers degrés d'initiation des élèves. Pour les
commençants, il s'agit avant tout de se familiariser avec les figures et leurs
dénominations, d'apprendre des faits, d'entrevoir leurs applications les plus
simples et les plus immédiates, celles surtout qui se rapportent aux usages
de la vie ordinaire.

On devra donc au début multiplier les axiomes, employer, au lieu de
démonstrations, les vérifications expérimentales, l'analogie, l'induction, en
ne laissant jamais oublier que ce mode d'exposition est essentiellement
provisoire. On exercera l'élève aux tracés graphiques, à la solution de divers
problèmes de levé des plans et d'arpentage, à la construction des figures en
relief... Le maître saura proportionner au degré de développement
intellectuel de l'élève la part plus ou moins grande qu'il devra faire au
raisonnement dans cette première ébauche des études géométriques.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Le premier enseignement sera donc exclusivement expérimental, et peu à
peu on fera voir à l'élève comment toutes les vérités n'ont pas besoin d'être
séparément constatées par l'expérience, et comment elles sont les
conséquences d'un certain nombre d'entre elles, nombre que l'on restreindra
de plus en plus, à mesure que l'on avancera dans l'étude de la science,
jusqu'à ce qu'on soit arrivé aux axiomes fondamentaux, dont le nombre ne
peut plus être réduit.

Hoüel.

J'ai dit que la Géométrie n'était pas à la portée des enfants; mais c'est
notre faute. Nous ne sentons pas que leur méthode n'est point la nôtre, et
que ce qui devient pour nous l'art de raisonner ne doit être pour eux que l'art
de voir. Au lieu de leur donner notre méthode, nous ferions mieux de
prendre la leur; car notre manière d'apprendre la géométrie est bien autant
une affaire d'imagination que de raisonnement. Quand la proposition est
énoncée, il faut en imaginer la démonstration, c'est-à-dire trouver de quelle
proposition déjà sue celle-là doit être une conséquence, et, de toutes les
conséquences qu'on peut tirer de cette proposition, choisir précisément celle
dont il s'agit.

De cette manière le raisonneur le plus exact, s'il n'est inventif, doit rester
court. Aussi qu'arrive-t-il de là? Qu'au lieu de nous faire trouver les
démonstrations, on nous les dicte; qu'au lieu de nous apprendre à raisonner,
le maître raisonne pour nous et n'exerce que notre mémoire.

Faites des figures exactes, combinez-les, posez-les l'une sur l'autre,
examinez leurs rapports; vous trouvez toujours la géométrie élémentaire en
marchant d'observation en observation, sans qu'il soit question ni de
définitions, ni de problèmes, ni d'aucune autre forme démonstrative que la
simple superposition. Pour moi, je ne prétends point apprendre à Émile la
géométrie, c'est lui qui me l'apprendra; je chercherai des rapports et il les
trouvera, car je les chercherai de manière à les lui faire trouver. Par
exemple, au lieu de me servir d'un compas pour tracer un cercle, je le
tracerai avec une pointe au bout d'un fil tournant sur un pivot. Après cela,

quand je voudrai comparer les rayons entre eux, Émile se moquera de moi,
et il me fera comprendre que le même fil toujours tendu ne peut avoir tracé
des distances inégales.

Si je veux mesurer un angle de soixante degrés, je décris du sommet de
cet angle, non pas un arc mais un cercle entier; car avec les enfants il ne
faut jamais rien sous-entendre. Je trouve que la portion de cercle comprise
entre les deux côtés de l'angle est la sixième partie du cercle. Après cela, je
décris du même sommet un autre plus grand cercle, et je trouve que ce
second arc est encore la sixième partie de son cercle. Je décris un troisième
arc concentrique sur lequel je fais la même épreuve; et je la continue sur de
nouveaux cercles, jusqu'à ce qu'Émile, choqué de ma stupidité, m'avertisse
que chaque arc, grand ou petit, compris par le même angle, sera toujours la
sixième partie de son cercle...

Nous voilà tout à l'heure à l'usage du rapporteur.

Pour prouver que les angles de suite sont égaux à deux droits, on décrit
un cercle; moi, tout au contraire, je fais en sorte qu'Émile remarque cela
premièrement dans le cercle, et puis je lui dis: si l'on ôtait le cercle, et qu'on
laissât les lignes droites, les angles auraient-ils changé de grandeur? etc...
On néglige la justesse des figures, on la suppose, et l'on s'attache à la
démonstration. Entre nous, au contraire, il ne sera jamais question de
démonstration; notre plus importante affaire sera de tirer des lignes bien
droites, bien justes, bien égales; de faire un carré parfait, de tracer un cercle
bien rond. Pour vérifier la justesse de la figure, nous l'examinerons par
toutes ses propriétés sensibles; et cela nous donnera l'occasion d'en
découvrir chaque jour de nouvelles. Nous plierons par le diamètre les deux
demi-cercles; par la diagonale, les deux moitiés du carré: nous comparerons
nos deux figures pour voir celle dont les bords conviennent le plus
exactement et par conséquent la mieux faite; nous distinguerons si cette
égalité de partage doit avoir toujours lieu dans les parallélogrammes, dans
les trapèzes, etc... On essaiera quelquefois de prévoir le succès de
l'expérience avant de la faire, on tâchera de trouver des raisons, etc...

La géométrie n'est pour mon élève que l'art de se bien servir de la règle et
du compas...

J.-J. Rousseau.

Il est temps d'entrer dans le vif de la question pédagogique: Comment
convient-il d'étudier une figure avec les commençants? Vous m'excuserez si
je numérote les parties successives de la réponse.—1o Avant tout, montrez
le modèle matériel, faites-le circuler et manier, puis, dessinez-le au tableau
et que toute la classe vous imite.—2o Faites dégager la propriété principale
de la figure, celle qui servira de définition. Cette propriété est jointe à
d'autres, simples aussi, et il faudra parfois aider un peu l'enfant.—3o
L'essentiel de la figure étant connu, prononcez son nom, pour la première
fois. On s'empresse autour de vous d'écrire le nom sur la chose. Vous
demandez des exemples familiers, etc.—4o Vous invitez un élève à formuler
la définition. Elle est un peu embarrassée, cette définition; vous la rectifiez
et vous la dictez, pour qu'elle soit apprise par cœur. La définition se borne
ainsi à résumer nettement ce qui est déjà su.—5o Il faut ensuite connaître la
figure plus en détail. Faites deviner ou remarquer les autres propriétés, sans
les démontrer, c'est-à-dire sans les déduire de la propriété fondamentale.
Les nouvelles propriétés sont seulement constatées et vérifiées.—6o
Terminez enfin par les constructions et les problèmes simples, se rattachant
à la figure soumise à vos investigations.

On peut enseigner d'abord une algèbre modeste et, pour ainsi dire,
préliminaire, où les règles découlent d'exemples particuliers et non de
raisonnements généraux et abstraits. Voici les indications principales pour
un enseignement dirigé dans cet esprit.

1o Généraliser lentement.—Je ne saurais trop le répéter, l'esprit se refuse
aux abstractions brusquement imposées. C'est graduellement qu'on passe
d'une de ces idées à la suivante: trois chevaux, le nombre trois en général,
un nombre quelconque représenté par a ou par x.

2o Laisser de côté les nombres négatifs, 0/0, m/0 et les imaginaires.—Ces
symboles sont délicats à comprendre et il faut les réserver pour une étude
approfondie de l'algèbre. Composez, en conséquence, des exercices et
problèmes ne présentant pas d'impossibilités arithmétiques.

3o Supprimer les discussions.—Ces examens à fond des questions, de
toutes leurs particularités et de toutes leurs exceptions, supposent des esprits
aiguisés. Reportons-les aussi, sans hésiter, à la seconde période
d'enseignement.

4o Dès le début, de petits problèmes résolus à l'aide de x.—Vous amorcez
ainsi le nouveau sujet au moyen d'un chapitre, pour ainsi dire
complémentaire de l'arithmétique. Le calcul algébrique ne vient qu'ensuite.

5o Glisser sur la théorie du calcul algébrique.—Ce sujet est assez aride;
il est, du reste, peu important pour le moment. C'est la pratique qui importe,
en évitant les opérations trop longues.

Insister sur le carré d'un binome et passer sous silence la division des
polynomes.

6o Raisonner directement des problèmes gradués.—La méthode des
équations s'accuse ainsi d'elle-même plus clairement qu'en la formulant a
priori.

7o Équations abstraites.—Nous pouvons maintenant passer aux
équations séparées des problèmes concrets leur servant de supports. On n'a
qu'à reprendre des raisonnements déjà faits, mais en les présentant d'une
façon plus générale. Se borner à énoncer les principes qui sont presque
évidents.

La Géométrie est peut-être, de toutes les parties des mathématiques, celle
que l'on doit apprendre la première; elle me paraît très propre à intéresser
les enfants, pourvu qu'on la leur présente principalement par rapport à ses
applications, soit sur le papier, soit sur le terrain. Les opérations de tracé et

de mesurage ne manqueront pas de les occuper agréablement, et les
conduiront ensuite, comme par la main, au raisonnement.

Les éléments de Géométrie de Clairaut, ordonnés suivant la méthode des
inventeurs, sont les plus convenables pour diriger le maître dans cette
circonstance.....

Lacroix.

Feu M. Clairaut imagina de faire apprendre facilement aux jeunes gens
les éléments de la géométrie; il voulut remonter à la source, et suivre la
marche de nos découvertes et des besoins qui les ont produites.

Cette méthode paraît agréable et utile; mais elle n'a pas été suivie; elle
exige chez le maître une flexibilité d'esprit qui sait se proportionner, et un
agrément rare dans ceux qui suivent la routine de leur profession.

Voltaire.

Il y a deux manières d'étudier les mathématiques et deux époques pour
faire ces études avec des fruits divers.

On peut les étudier matériellement, machinalement, en demeurant dans
les faits mathématiques, dans les mots, dans les chiffres, dans les formules
d'un enseignement sans plénitude et sans élévation.....

Ou bien, on peut les étudier intellectuellement, originalement, en
comparant le sens et le lien des mots, des idées et des choses, en s'élevant
aux grandes et aux simples lumières de la science, en saisissant, pénétrant,
possédant réellement la vérité.

Dupanloup.

Aujourd'hui la partie philosophique de la science est très négligée; les
moyens de briller dans un examen ou concours marchent en première ligne;
sauf de rares exceptions, les professeurs songent beaucoup plus à
familiariser les élèves avec le mécanisme du calcul qu'à leur en faire sonder
les principes. Je ne sais, en vérité, si l'on ne pourrait pas dire de certaines
personnes qu'elles emploient l'analyse comme la plupart des manufacturiers
se servent de la machine à vapeur, sans se douter de son mode d'action. Et
qu'on ne prétende pas que cet enseignement vicieux soit un sacrifice obligé
à la passion dominante de notre époque, à la rage d'aller vite en toutes
choses.

Arago.

Préférez, dans l'enseignement, les méthodes les plus générales. Attachez-
vous à les présenter de la manière la plus simple, et vous verrez en même
temps qu'elles sont presque toujours les plus faciles.

Laplace.

Les exemples instruisent mieux que les préceptes.

Newton.

Au moyen-âge et jusqu'au xviie siècle, l'enseignement portait sur les sept
arts libéraux et il comprenait le Trivium (grammaire, rhétorique et
dialectique) et le Quadrivium (arithmétique, géométrie, musique et
astronomie).

Sommes-nous revenus au système de Ptolémée?

Je me souviens d'un fort habile homme qui, sur la lecture du premier
volume d'un de nos plus savants traités d'astronomie, voyant l'auteur
toujours parler des mouvements du soleil, des cercles qu'il parcourt, de sa
révolution diurne, de ses mouvements annuels, progrès, stations et
rétrogradations, croyait, d'après cet exposé, que l'Académie des sciences
était revenue au système de Ptolémée.

Pourquoi commencer par décrire longuement et minutieusement à l'élève
des apparences dont il apprendra ensuite la fausseté? Pourquoi ne pas lui
dire tout de suite et franchement ce qui en est?

Gratry.

Ne dites pas: Dites:

Une ligne (pour une droite),
un cercle (pour une Une droite, une circonférence.
circonférence).
Je mène par un point une
perpendiculaire à une droite, une La perpendiculaire, la parallèle...
parallèle...
7 × 8: ne se lit pas 7 qui multiplie
7 multiplié par 8.
8
Le lieu des points est sur telle
Le lieu des points est telle ligne.
ligne.
Le lieu des points est le segment
L'arc du segment circulaire, etc.
circulaire, etc.
Inscrire dans ... Inscrire à ...
Je divise l'équation par tel Je divise les deux membres de
nombre. l'équation ...
La racine négative de l'équation La racine où le radical est
du second degré. précédé du signe -.

Les puissances impaires. À exposant impair.
Plus grand ou égal à ≥. Supérieur ou égal à.
3
7 x /11 x 3.—Je multiplie la Je multiplie les deux termes de la
fraction par trois. fraction par trois.
4
/15 et 8/30.—La plus grande La fraction qui a des termes plus
fraction. grands.
a, a', a'' puis a + a' + a''
Ajouter les fractions terme à
b, b', b'' b + b' + b''
terme.
—Ajouter les fractions.
Etc., etc. Etc., etc.

Dans le domaine des Mathématiques pures, on peut distinguer deux
parties: l'une, la plus élevée, qui s'augmente constamment, presque toujours
par degrés insensibles, ne regarde que les mathématiciens; l'autre,
longtemps immuable, s'accroît brusquement, à des intervalles éloignés, par
l'adoption de quelque théorie nouvelle: c'est la matière de l'enseignement,
ce que doivent retenir et savoir appliquer tous les hommes qui s'adonnent
aux sciences et, sans cultiver les Mathématiques, ont toujours besoin de les
connaître.

Halphen.

Toute science de raisonnement repose sur un petit nombre de
propositions simples irréductibles à d'autres plus simples, appelées axiomes,
et sur les définitions. Ces éléments, convenablement mis en œuvre par le
raisonnement, conduisent aux propositions les plus complexes, qui ne sont
donc, en définitive, que des composés logiques de ces éléments. Dans la
géométrie élémentaire, l'arithmétique, la statique et plus généralement dans
toutes les sciences où l'on fait usage de la méthode synthétique, en allant du
simple au composé, on prend pour point de départ ces éléments, axiomes ou
définitions, et on s'élève de proche en proche, jusqu'aux propositions les
plus complexes...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Frappé de cette difficulté que les élèves éprouvent à saisir l'ensemble et
les déductions du Cours, j'ai souvent employé avec succès un mode
d'exercice, que j'appelle la recherche des antécédents d'une proposition et
qui n'est en quelque sorte que l'analyse d'une proposition trouvée d'abord
par la synthèse... On prend une proposition quelconque et l'on relève toutes
les propositions antécédentes (lemmes, théorèmes, corollaires), toutes les
définitions et tous les axiomes invoqués dans la démonstration. On a ainsi
une première analyse de la proposition donnée. On reprend ensuite chacune
des propositions antécédentes invoquées, on les analyse à leur tour et l'on
continue de la sorte jusqu'à ce que l'on arrive à n'avoir plus que des axiomes
et des définitions.

Jablonski.

«Allez en avant, a dit d'Alembert, la foi vous viendra.» Le remarquable
morceau qui suit est un commentaire de ce conseil parfois contesté.

Quoique les vérités mathématiques se déduisent, dans un ordre rigoureux,
d'un petit nombre de principes réputés évidents, on ne parvient point à les
posséder pleinement, en en suivant pas à pas les déductions, en allant
toujours dans le même sens du connu à l'inconnu, sans jamais revenir en
arrière sur un chemin où l'on n'a rien laissé d'obscur. Le sens et la portée des
principes échappent au débutant, qui saisit mal la distinction entre ce qu'on
lui demande d'accorder et les conséquences purement logiques des
hypothèses ou des axiomes; parfois, la démonstration lui paraît plus obscure
que l'énoncé; c'est en vain qu'il s'attarderait dans la région des principes
pour la mieux connaître, il faut que son esprit acquière des habitudes qu'il
n'a pas, qu'il aille en avant sans trop savoir ni où il va, ni d'où il part; il
prendra confiance dans ce mode de raisonnement auquel il lui faut plier son
intelligence, il s'habituera aux symboles et à leurs combinaisons. Revenant

ensuite sur ses pas, il sera capable de voir, du point de départ et d'un seul
coup d'œil, le chemin parcouru: quelques parties de la route resteront pour
lui dans l'ombre, quelques-unes même seront peut-être entièrement
obscures, mais d'autres sont vivement éclairées; il sait clairement comment
on peut arriver de cette vérité à cette autre; il sait où il doit porter son
attention; ses yeux, mieux exercés, parviennent à voir clair dans ces
passages difficiles dont il n'aurait jamais pu se rendre maître, s'il ne les avait
franchis; il est maintenant capable d'aller plus loin ou de suivre une autre
direction; il entre en possession des vérités nouvelles qui s'ajoutent aux
vérités anciennes et qui les éclairent; il s'étonne parfois des perspectives
inattendues qui s'ouvrent devant lui et lui laissent voir, sous un aspect
nouveau, des régions qu'il croyait connaître entièrement; peu à peu les
ombres disparaissent et la beauté de la science, si une dans sa riche diversité
lui apparaît avec tout son éclat.

Ce qui se passe dans l'esprit de celui qui étudie les mathématiques n'est
que l'image de ce qui s'est passé dans la création et dans l'organisation de la
science; dans ce long travail, la rigueur déductive n'a pas été seule à jouer
un rôle. On peut raisonner fort bien et fort longtemps sans avancer d'un pas,
et la rigueur n'empêche pas un raisonnement d'être inutile. Même en
mathématiques, c'est souvent par des chemins peu sûrs que l'on va à la
découverte. Avant de faire la grande route qui y mène, il faut connaître la
contrée où l'on veut aller; c'est cette connaissance même qui permet de
trouver les voies les plus directes; c'est l'expérience seule qui indique les
points où il faut porter l'effort; ce sont les difficultés parfois imprévues qui
se dressent devant les géomètres qui les forcent à revenir au point de départ,
à chercher une route nouvelle qui permette de tourner l'obstacle. S'imagine-
t-on, par exemple, les inventeurs du calcul différentiel et intégral
s'acharnant, avant d'aller plus loin, sur les notions de dérivée et d'intégrale
définie?

J. Tannery.

La science même la plus exacte renferme quelques principes généraux
que l'on saisit par une sorte d'instinct qui ne permet pas d'en douter, et

auquel il est bon de se livrer d'abord. Après les avoir suivis dans toutes leurs
conséquences et s'être fortifié l'esprit par un long exercice dans l'art de
raisonner, on peut sans danger revenir sur ces principes qui se présentent
alors dans un plus grand jour...

Laplace.

J'avoue même que j'attacherai moins de prix à mettre dans la
démonstration d'un théorème cette rigueur extrême, si recherchée
maintenant, qu'à faire clairement apercevoir la raison de ce théorème et ses
connexions avec les autres vérités mathématiques. Je prie donc que l'on
m'accorde quelquefois, pour la commodité de l'exposition et pour ne point
décourager dès le début mes jeunes lecteurs, des démonstrations qui ont
satisfait si longtemps les plus grands géomètres.

Cournot.

Il ne faut pas prévenir à contre-temps des difficultés trop subtiles.

J. Bertrand.

Voulez-vous simplifier une théorie, une méthode, inscrivez-la dans les
programmes. Les professeurs se chargeront de l'éclairer et de la réduire à sa
plus simple expression.

Je me défie un peu des démonstrations trop élégantes, trop symétriques,
reposant sur une heureuse notation. Elles empêchent parfois de réfléchir au
fond des choses, elles persuadent plus qu'elles n'éclairent.

Il importe de bien comprendre l'importance de la condition nécessaire et
suffisante ou de la réciprocité des conditions ou, comme on dit encore, de la
propriété caractéristique. Combien de raisonnements faux ou incomplets
entraîne une analyse imparfaite!

La démonstration des réciproques—lorsqu'elles sont vraies—est trop
négligée.

Pour établir un lien mathématique, il faut deux propositions dont la
seconde est, à volonté, la réciproque ou la contraire de la première.

Ce n'est pas dans la manière de figurer les nombres, de les habiller pour
ainsi dire, que nous distinguons l'Arithmétique de l'Algèbre, mais c'est
surtout dans l'essence même des nombres, dans la manière de les concevoir.
La ligne de démarcation de l'Arithmétique et de l'Algèbre provient de l'idée
que l'on se fait du nombre, suivant qu'on le considère comme grandeur ou
seulement comme numéro d'ordre, c'est-à-dire suivant que l'on accepte ou
que l'on refuse la notion de continuité; c'est ainsi que la doctrine des
nombres irrationnels, des logarithmes, etc., appartient exclusivement au
domaine de l'Algèbre, c'est-à-dire des fonctions analytiques.

E. Lucas.

HISTOIRE

Dès les temps les plus reculés, les hommes ont compté les objets et
mesuré grossièrement l'étendue et le temps. Ces notions ont commencé à se
préciser chez les Phéniciens, commerçants et calculateurs, chez les
Égyptiens, arpenteurs (inondations du Nil) et architectes (Pyramides); enfin
chez les Chaldéens, pasteurs et observateurs des astres. Tels seraient les
commencements de l'arithmétique, de la géométrie et de l'astronomie.

Les premiers documents historiques nous montrent la Géométrie prenant
son admirable développement chez les Grecs. Presque oubliées pendant le
Moyen âge, les Mathématiques renaissent au seizième siècle chez les
Occidentaux. Le siècle suivant voit paraître la Géométrie analytique et le
Calcul infinitésimal, grandes découvertes qui renouvellent et étendent la
science.

Nous allons esquisser les principales périodes de l'histoire des
mathématiques.

I. Philosophes grecs.—Ils étaient aussi presque tous géomètres et
astronomes.

On attribue à Thalès (600 ans av. J.-C.) et à son École ionienne les
propositions les plus simples de la Géométrie, les premières mesures de
distances inaccessibles et des observations astronomiques au gnomon.

Pythagore (550 ans av. J.-C.) et les Pythagoriciens connaissent la somme
des angles d'un triangle, le carré de l'hypoténuse, les polyèdres réguliers et
l'un au moins des deux mouvements de la Terre.

Platon (400 ans av. J.-C.) et les Platoniciens dégagent la méthode
d'analyse en Géométrie; ils imaginent les coniques et d'autres lieux
géométriques pour opérer la duplication du cube; ils raisonnent déjà les
incommensurables.

II. L'École grecque d'Alexandrie.—Dans cette célèbre École, qui dure
plus de mille ans, les Mathématiques brillent du plus vif éclat et atteignent
leur apogée.

Euclide (300 ans av. J.-C.) coordonne, dans ses Éléments, toute la
Géométrie, sauf les coniques. Ce livre domine encore l'enseignement de nos
jours.

Archimède (250 ans av. J.-C), le plus grand peut-être de tous les
mathématiciens, mesure le cercle et la sphère; fait la quadrature de la
parabole; étudie la première série; fonde la statique sur la théorie du levier,
etc.

Apollonius de Perge (200 ans av. J.-C.) résume, dans son Traité des
coniques, les propriétés déjà connues de ces courbes et celles plus cachées
qu'il découvre à son tour.

Hipparque (150 ans av. J.-C.) refait toutes les observations
astronomiques et, malgré l'imperfection de ses instruments, il trouve des
nombres assez exacts pour servir de base à la théorie.

Ptolémée (150 ans ap. J.-C.) admet, dans son Almageste, la fixité de la
Terre et parvient néanmoins à représenter les mouvements célestes, à l'aide
d'un système compliqué de cercles.

Diophante (350 ans ap. J.-C), surnommé le Père de l'Algèbre, crée enfin
cette nouvelle branche dans ses Arithmétiques.

La science pâlit ensuite à Alexandrie. Il n'y a plus que des
commentateurs, parmi lesquels on doit distinguer Pappus: il nous conserve,
dans ses Collections mathématiques, des fragments d'ouvrages perdus.

III. Les autres peuples jusqu'à la Renaissance.—Les Égyptiens
possèdent des connaissances arithmétiques et géométriques, bien des siècles
avant notre ère, comme le prouve le papyrus d'Ahmès, récemment
déchiffré. Ils restent stationnaires, tandis que les Grecs, qui leur font des
emprunts, progressent rapidement.

De même, les Chinois paraissent savoir des Mathématiques dès
l'antiquité la plus reculée; mais ce peuple, lui aussi, reste immobile.

Les Hindous, tels que Aryabhata, Bramagupta et Bascara, ont, de temps
immémorial, la curiosité des grands nombres; ils cultivent l'Algèbre et
résolvent les équations des deux premiers degrés.

Les Arabes, tels que Mohamed-ben-Musa, Aboul-Wefa, etc., servent
d'intermédiaires entre les Grecs et les Indiens d'une part et les Occidentaux
de l'autre.

En Europe, le Moyen-âge reste obscur et stérile. Citons cependant
Gerbert qui s'instruit, vers l'an 1000, auprès des Maures d'Espagne et
apporte aux Chrétiens les chiffres modernes. Citons encore les Algébristes
italiens, Léonard de Pise, qui fait le commerce en Orient au douzième
siècle, et Lucas de Burgo (quinzième siècle).

IV. Le seizième siècle.—La science reprend enfin son essor, et les grandes
découvertes se préparent.

Le Polonais Copernic (1473-1543) propose le véritable système du
monde et en montre l'admirable simplicité.

L'Italien Cardan (1501-1576) établit la formule de résolution des
équations du 3e degré; il tenait la règle de Tartaglia.

Viète (1540-1603), né dans le Bas-Poitou, entrevoit les propriétés
générales des équations, résout par l'algèbre les problèmes de géométrie et
complète la trigonométrie.

L'Écossais Neper (1550-1617), inventeur des logarithmes, double, pour
ainsi dire, la vie des calculateurs.

Harriot (1568-1621), d'Oxford, trouve les relations entre les coefficients
et les racines des équations, et il calcule les racines entières et
fractionnaires.

Galilée, de Florence (1564-1642), étudie le pendule, découvre les lois de
la chute des corps et des projectiles; il confirme le système de Copernic, par
ses observations astronomiques.

V. Le dix-septième siècle.—Ce siècle, aussi grand dans les sciences que
dans les lettres, nous donne d'une part la géométrie analytique et le calcul
infinitésimal, de l'autre les lois de Kepler et de l'attraction universelle.

L'Allemand Kepler (1571-1630), utilisant les observations de Tycho-
Brahe, trouve les trois lois du mouvement des planètes autour du soleil.

Notre grand Descartes (1596-1650) étend l'algèbre pure et il crée la
Géométrie analytique ou étude des courbes à l'aide de leurs équations.

Fermat, de Toulouse (1601-1665), résout aussi les problèmes des
tangentes et des maximums, et il révèle les propriétés les plus secrètes des
nombres.

Pascal (1623-1662) crée l'analyse combinatoire et le calcul des
probabilités; il perfectionne la géométrie des courbes.

Le Hollandais Huygens (1629-1695) fait progresser à la fois la géométrie,
la mécanique et l'astronomie.

Le grand Newton (1642-1727) invente le Calcul infinitésimal ou des
fluxions, et découvre la loi de l'attraction universelle. Il a autant de génie
que le vieil Archimède.

Leibniz (1646-1716) imagine le nouveau Calcul presque en même temps
que Newton, et avec une notation plus heureuse.

VI. Le dix-huitième siècle.—Les mathématiciens appliquent l'analyse
infinitésimale aux questions les plus variées et les plus difficiles.

Le Suisse Euler (1707-1783) fait de nombreuses recherches sur les
fonctions, les séries, les intégrales, etc.

D'Alembert (1717-1783) traite la précession des équinoxes par le calcul,
et il ramène l'étude du mouvement à celle de l'équilibre.

Lagrange (1736-1813) manie avec une rare élégance l'algèbre et le calcul
infinitésimal; il crée la mécanique rationnelle.

Monge (1746-1818) fonde la géométrie descriptive, si utile aux
ingénieurs.

Laplace (1749-1827) se rend célèbre par sa Mécanique céleste ou
application du calcul au système du monde.

Carnot (1753-1823), géomètre-philosophe, cherche à préciser les
nombres négatifs et imaginaires, les intégrales, etc.

VII. Première moitié du dix-neuvième siècle.—Cette période se fait
remarquer à la fois par des vues très générales et par la curiosité du détail.

L'Allemand Gauss (1777-1855) étudie les équations binomes et la théorie
des nombres.

Le général Poncelet (1788-1867) étend la géométrie par les méthodes de
transformation.

Cauchy (1789-1857) se livre à de profondes recherches sur les séries, les
imaginaires et l'infini.

L'Allemand Jacobi (1804-1851) s'occupe de fonctions nouvelles et, en
particulier, des fonctions elliptiques.

Chasles (1793-1880) systématise, dans sa Géométrie supérieure, la
convention des signes, le rapport anharmonique, l'homographie,
l'involution, etc.

Dans la dernière moitié de ce siècle, les efforts se dirigent vers la
physique mathématique qui se constitue peu à peu. En analyse pure, la
recherche se particularise et s'aiguise de plus en plus, on creuse les
propriétés des fonctions et des équations différentielles, le calcul
infinitésimal porte tous ses fruits.

Nous allons passer une revue rapide des plus grands mathématiciens, de
ces génies créateurs qui ont découvert et fondé la science. Nous essaierons
de caractériser chacun d'eux en reproduisant un jugement compétent et en
citant l'œuvre capitale.

Euclide (300 av. J.-C.) ou la Géométrie élémentaire.

Jamais aucun livre de science n'a eu une aussi longue influence que les
Éléments d'Euclide. Ils ont été traduits et commentés dans toutes les
langues, enseignés exclusivement pendant des siècles dans toutes les Écoles
de Mathématiques: on les suit encore en Angleterre.

Rouché.

Archimède (287-212 av. J.-C.) ou la Géométrie infinitésimale.

Ceux qui sont en état de comprendre Archimède admirent moins les
découvertes des plus grands hommes modernes.

Leibniz.

Apollonius (de Perge) (200 av. J.-C.) ou la Géométrie des coniques.

L'ouvrage d'Apollonius sur les sections coniques est pour ainsi dire le
couronnement de la Géométrie grecque.... Tout y est coordonné
symétriquement; l'unité du plan reflète, jusque dans les moindres détails, la
pensée directrice de l'auteur, qui tend à lier entre elles toutes les sections du
cône.

Hoefer.

Hipparque (150 av. J.-C.) ou les Observations astronomiques.

Quand on réunit tout ce qu'il a inventé ou perfectionné, et qu'on songe au
nombre de ses ouvrages, à la grande quantité de calculs qu'ils supposent, on
trouve dans Hipparque un des hommes les plus étonnants de l'Antiquité, et
le plus grand de tous dans les sciences qui ne sont pas purement
spéculatives.

Delambre.

Ptolémée (150 ap. J.-C.) ou l'Astronomie géométrique.

L'édifice astronomique élevé par Ptolémée a subsisté pendant près de
quatorze siècles; aujourd'hui même qu'il est entièrement détruit, son
Almageste... est un des plus précieux monuments de l'Antiquité.

Laplace.

Diophante (350 ap. J.-C.) ou l'Algèbre naissante.

On ne peut pas dire que l'Algèbre, même élémentaire, soit sortie
constituée de ses mains, et cependant on ne peut nier qu'elle n'y ait pris un
développement très remarquable.

M. Marie.

Viète (1540-1603) ou l'Algèbre en progrès.

C'est dans son ouvrage d'analyse, intitulé Isagoge in artem analyticam,
que l'auteur expose pour la première fois une des théories les plus profondes
et les plus abstraites que l'esprit humain ait inventées.

J. Fourier.

Galilée (1564-1642) ou la Mécanique.

La théorie générale du mouvement varié, inconnue aux Anciens, prit
naissance entre les mains de Galilée. Il trouva la loi de l'accélération des
corps qui tombent librement par la pesanteur ou qui glissent sur des plans
inclinés et il établit à ce sujet les propriétés générales du mouvement
uniformément accéléré.

Bossut.

Descartes (1596-1650) ou la Géométrie analytique.

Ce qui a surtout immortalisé le nom de ce grand homme, c'est
l'application qu'il a su faire de l'algèbre à la géométrie, idée des plus vastes
et des plus heureuses que l'esprit humain ait jamais eues, et qui sera
toujours la clef des plus profondes recherches, non seulement dans la
géométrie, mais dans toutes les sciences physico-mathématiques.

d'Alembert.

Fermat (1601-1665) ou l'Arithmétique supérieure.

Cherchez ailleurs qui vous suive dans vos inventions numériques... pour
moi, je confesse que cela me dépasse de bien loin.

Pascal.

Pascal (1623-1662) ou l'Algèbre supérieure.

C'est le génie le plus étonnant, unique dans les Lettres, dans la
Philosophie, la Religion et aussi dans les Mathématiques où sa profondeur
est incroyable.

Newton (1642-1727) ou le Calcul infinitésimal.

Newton était maître de la méthode des fluxions avant que Leibniz fût en
possession du Calcul différentiel, mais l'invention de Leibniz était
indépendante de celle de Newton et l'avait précédée comme publication.

Biot.

Monge (1746-1818) ou la Géométrie descriptive.

Les constructeurs de toutes les professions, les architectes, les
mécaniciens, les tailleurs de pierre, les charpentiers, soustraits désormais à
des préceptes routiniers, à des méthodes sans démonstration, se rappelleront
avec reconnaissance que s'ils savent, que s'ils parlent la langue de
l'ingénieur, c'est Monge qui l'a créée, qui l'a rendue accessible à tout le
monde, qui l'a fait pénétrer dans les plus modestes ateliers.

Arago.

Laplace (1749-1827) ou la Mécanique céleste.

La loi newtonienne explique aujourd'hui tous les phénomènes connus.
Plus les observations sont précises, plus elles sont conformes à la théorie.
Laplace est de tous les géomètres celui qui a le plus approfondi ces grandes
questions; il les a pour ainsi dire terminées.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Laplace était né pour tout perfectionner, pour tout approfondir, pour
reculer toutes les limites, pour résoudre ce que l'on aurait pu croire
insoluble. Il aurait achevé la science du ciel (dans sa Mécanique céleste), si
cette science pouvait être achevée.

J. Fourier.

Lagrange (1736-1813) ou la Mécanique rationnelle.

Le trait distinctif de son génie consiste dans l'unité et la grandeur des
vues. Il s'attachait en tout à une pensée simple, juste et très élevée. Son
principal ouvrage, la Mécanique analytique, pourrait être nommé la
Mécanique philosophique, car il ramène toutes les lois de l'équilibre et du
mouvement à un seul principe; et, ce qui n'est pas moins admirable, il les
soumet à une seule méthode de calcul dont il est lui-même l'inventeur.
Toutes ses compositions mathématiques sont remarquables par une élégance
singulière, par la symétrie des formes et la généralité des méthodes et, si
l'on peut parler ainsi, par la perfection du style analytique.

J. Fourier.

Cauchy (1789-1857) ou les Symboles.

Mathématicien très profond, mais parfois un peu obscur; son œuvre est
considérable: de fidèles disciples élucident et précisent des vues nouvelles
et hardies qui fixeront la science.

Chasles (1793-1876) ou la Géométrie supérieure.

Les travaux de M. Chasles sont le dernier terme des progrès continus
réalisés par la Géométrie depuis soixante ans. Il suffit de citer l'Aperçu

historique, la Géométrie supérieure... La Géométrie... a regagné sur
l'analyse le terrain perdu.

Rouché.

Charlemagne substitua aux mesures romaines le pied-de-roi ou pied-de-
Paris, emprunté aux Arabes, et les dérivés de cette longueur. Il chercha à
répandre dans son vaste empire ces unités qui devaient durer dix siècles,
mais en s'altérant et en se compliquant beaucoup.

Les États généraux réclamèrent maintes fois l'ordre dans les poids et les
monnaies.

Louis XI, François Ier et Louis XIV tentèrent en vain, dans leurs édits
royaux, d'imposer partout les mesures de Paris.

À l'occasion de la mesure du méridien par Picard, «on fit en 1668, dit
Saigey, une toise en fer portant une arête à chaque bout, et on la fixa au bas
du grand escalier du Châtelet, pour servir de régulateur au commerce et à la
justice.»

La toise qui, après avoir été comparée à celle du Châtelet, avait été
employée dans les mesures méridiennes du Pérou, par Bouguer et La
Condamine, servit à son tour d'étalon, et quatre-vingts modèles en furent
expédiés aux parlements de France et aux astronomes étrangers. C'était un
premier pas vers l'uniformité, et bientôt la toise du Pérou, comme on
l'appelait, servit à l'étalonnage du mètre.

Parmi les réformes urgentes, demandées dans les cahiers de 1789, on
retrouve sans cesse celle des poids et des mesures: on les veut «simples et
les mêmes dans tout le pays».

Le 8 mai 1790, sur la proposition de Talleyrand, l'Assemblée constituante
engage les rois de France et d'Angleterre à se concerter pour adopter la
même unité. Cette mesure (par exemple, la longueur du pendule à seconde
proposée autrefois par Picard) eût été fixée par une commission composée,

en nombre égal, d'académiciens de Paris et de membres de la Société royale
de Londres.

L'Académie des sciences discuta seule la question, et sa commission
(Borda, Lagrange, Laplace, Monge et Lavoisier) rejeta le pendule «pour ne
pas mêler à une question de longueur des considérations de mouvement et
de temps», et elle proposa la dix-millionième partie du quart du méridien.
La tradition attribue à Laplace la conception de l'ensemble du système, à
Borda le plan des opérations géodésiques, et à Lavoisier le kilogramme.

Le 26 mars 1791, un décret de l'Assemblée constituante adopta la
circonférence terrestre comme base et prescrivit les travaux nécessaires.

«Prendre pour unité de longueur usuelle la dix-millionième partie du
quart du méridien et rapporter la pesanteur de tous les corps à celle de l'eau
distillée, en reliant par l'échelle décimale toutes les mesures principales aux
mesures plus grandes ou plus petites.»

Dès 1792, Delambre et Méchain furent chargés, par leurs collègues de
l'Académie des sciences, de mesurer l'arc de Dunkerque à Barcelone, en
Espagne, qui comprend dix degrés environ[3]. La triangulation s'appuya sur
deux bases, près de Melun et de Perpignan. Aux mesures directes devaient
succéder un long travail de comparaison aux mesures antérieures, de
réductions et de calculs. Sans attendre la fin de ce travail, l'Académie
calcula provisoirement le mètre d'après les observations anciennes, «avec
une exactitude suffisante pour tous les besoins de la société»; d'autre part
elle avait déterminé, par des expériences précises, la longueur du pendule à
seconde et le poids d'un centimètre cube d'eau distillée: c'étaient les
éléments de toutes les autres mesures. Les observations nouvelles ne
pouvaient apporter à leurs valeurs que des corrections insensibles.» (Biot.)

Dans la séance du 1er août 1793, la Convention, sur un rapport présenté
par Arbogast au nom du Comité d'instruction publique, vota l'établissement
du système métrique dans toute l'étendue de la République. Toutefois, le
système ne fut rendu obligatoire que par le décret du 18 germinal an III (7
avril 1795). Ce décret fixa définitivement la nomenclature; il y est dit que
«l'étalon sera une règle de platine, exécutée avec la plus grande précision
d'après les expériences et les observations de la commission. On le déposera

près le Corps législatif, ainsi que le procès-verbal des opérations qui auront
servi à le déterminer.»

Une commission générale de trente-deux membres, tant français
qu'étrangers, avait été chargée des calculs définitifs.

Le 4 messidor an VII (22 juin 1799), cette commission, par l'organe de
ses rapporteurs, le hollandais Swiden et le suisse Trallès, annonça aux deux
conseils législatifs de la République que le quart du méridien valait
5130740 toises, d'où se déduisait la longueur du mètre. Les deux délégués
présentèrent aussi les étalons du mètre et du kilogramme, en platine; la
règle doit être prise à zéro et le poids cylindrique doit être pesé dans le vide.
«Ces deux prototypes furent, le même jour, placés dans une boîte fermant à
clef, et déposés aux Archives de la République dans la double armoire en
fer, fermant à quatre clefs.»

Sous le Consulat, la loi du 2 novembre 1801 se borna à autoriser l'usage
des nouvelles mesures de préférence aux anciennes; et sous l'Empire, le
décret rétrograde du 12 février 1812 organisa un système mixte et bâtard
qui devait retarder de vingt-cinq ans l'avènement du vrai système métrique.
Il y eut une toise métrique, une livre métrique, etc.

Enfin, la loi célèbre du 4 juillet 1837, reprenant les traditions de la
Révolution, remit en vigueur le système métrique pur, et prohiba, non
seulement l'emploi de toutes les anciennes mesures, mais même leurs
dénominations.

Depuis le 1er janvier 1840, le nouveau système est imposé par la loi à
tous les citoyens français, et les délinquants sont punis de l'amende ou de la
prison.

En 1869, l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg proposa une
révision européenne du mètre. Delambre, disait-elle, a adopté un
aplatissement de la terre un peu trop faible, et en outre une erreur matérielle
s'est glissée dans les calculs de réduction. L'allemand Bessel, discutant
toutes les mesures du méridien, et en particulier celles de Biot et Arago
(1808) a trouvé 5131180 toises au lieu de 5130740 toises; le nombre
fondamental du système métrique est ainsi trop petit de 440 toises. De plus,

le kilogramme doit être rapporté à zéro, non à 4°. Il est regrettable, ajoutait
l'Académie de Saint-Pétersbourg, que les nouvelles mesures ne soient pas
établies par des savants de toutes les nations, travaillant en commun. Les
étalons envoyés de Paris aux gouvernements étrangers sont imparfaits, ils
sont relevés sur le mètre du Conservatoire des arts et métiers et non sur
celui des Archives, et par des procédés qu'il faudrait perfectionner.—À ces
critiques, l'Académie des sciences de Paris répondit que la différence entre
les nombres de Delambre et de Bessel était assez légère, que tout nombre
nouveau devrait d'ailleurs être modifié plus tard, par suite du progrès de la
science: or on ne peut pas changer de mètre chaque siècle. Des savants de
tous les pays ont collaboré avec les savants français, et l'unité qu'ils ont
arrêtée ensemble peut être transmise très exactement.—À la suite de cet
échange d'observations, les deux Académies se mirent d'accord pour
demander la réunion d'un congrès du mètre, devant étudier la question des
mesures et de leurs meilleurs étalons.

La première réunion à Paris du Congrès international du mètre ayant été
interrompue par la guerre, une seconde réunion eut lieu en 1872. Vingt États
y furent représentés. Il fut résolu qu'on ne ferait pas une nouvelle mesure du
méridien; que le mètre et le kilogramme actuels seraient perpétués tels
quels; que les étalons seraient en platine iridié, de 102 centimètres pour
limiter le mètre à deux traits, etc.

En 1873, les chimistes Deville et Debray coulèrent, à une température
dépassant 2000°, les premiers mètres internationaux, à l'École normale
supérieure. Ces mètres ont la même valeur scientifique, sinon historique,
que le prototype des Archives qu'ils reproduisent parfaitement, et ils font loi
à l'étranger.

Un musée du mètre a été, dans ces dernières années, réuni à
l'Observatoire par M. Wolf.

Les prêtres me dirent encore que Sésostris fit le partage des terres,
assignant à chaque Égyptien une portion égale et quarrée, qu'on tirait au
sort, à la charge néanmoins, de lui payer tous les ans une certaine redevance

qui composerait le revenu royal. Si une crue du Nil enlevait à quelqu'un une
portion de son lot, il allait trouver Sésostris pour lui exposer l'accident, et le
Roi envoyait sur les lieux des Arpenteurs pour mesurer de combien
l'héritage était diminué, afin de ne faire payer la redevance convenue qu'à
proportion du fonds qui restait. Voilà, je crois, l'origine de la géométrie, qui
a passé de ce pays en Grèce.

Hérodote.

Les débuts de la science ont dû être bien humbles. Il est probable, par
exemple, que la légitimité de l'interversion des facteurs du produit de
plusieurs nombres n'a été établie pendant longtemps que par des
vérifications répétées. On a dû aussi reconnaître par l'expérience que la
longueur du fil entourant la circonférence contient toujours le même
nombre de fois celle du diamètre.

Nicétas de Syracuse croyait, au rapport de Théophraste, que le ciel, le
soleil, la lune, les étoiles, en un mot tous les corps qui sont au-dessus de
nous, sont immobiles, et que la terre seule est en mouvement dans
l'Univers; qu'elle tourne sur son axe avec une extrême vitesse et produit les
mêmes apparences que si elle était immobile et le ciel en mouvement.

Cicéron.

Hankel, l'historien des mathématiques, mort il y a quelques années,
admettait, contrairement à l'opinion reçue, l'évolution et le progrès continu.
D'abord les Grecs géomètres, puis les Hindous purs algébristes, et enfin les
Modernes qui unissent l'algèbre et la géométrie. De son côté, Chasles avait
déjà dit: «Les Grecs étaient surtout géomètres; ce n'est que très tard qu'on
trouve chez eux le Traité d'Algèbre de Diophante. Leur géométrie était pure,
sans mélange de calcul... Chez les Hindous, au contraire, l'Algèbre paraît

être la science la plus cultivée; les théories algébriques s'y trouvent dans
une perfection surprenante... (dans les temps modernes) une rénovation
générale des mathématiques leur a donné, avec le caractère d'abstraction et
de généralité qui leur convient, des ressources puissantes dont les Grecs
n'avaient point eu l'idée.»

Les géomètres grecs spéculaient sur les grandeurs elles-mêmes, jamais
sur leurs mesures.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Les douze cents ans qui séparent Pappus de Viète, de Descartes et de
Galilée ne sont qu'une longue nuit.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Il serait impossible de méconnaître la rare habileté des Hindous dans les
recherches relatives soit aux propriétés des nombres, soit aux
transformations algébriques; mais si l'on considère... leur quasi-nullité en
géométrie... on ne peut s'empêcher de les mettre infiniment au-dessous des
Grecs.

M. Marie.

Les mathématiques anciennes nous offrent l'exemple d'une décadence
profonde après un brillant apogée; et l'on peut affirmer, de ce point de vue,
que le vrai problème qui s'impose aujourd'hui dans l'histoire des
mathématiques est de préciser les circonstances et de déterminer les causes
de la décadence passée, en vue de connaître les précautions à prendre pour
éviter une décadence future.

P. Tannery.

La découverte en mathématiques a atteint deux maximums, l'un en
géométrie pure aux temps d'Euclide, d'Archimède et d'Apollonius, et l'autre
au xviie siècle, qui nous a donné l'Application de l'Algèbre à la Géométrie,
le Calcul infinitésimal et le Principe de l'attraction.

La résolution des équations du troisième et du quatrième degré, le
dénoûment du fameux cas irréductible furent la grande affaire des
algébristes du xvie siècle.

Liouville.

L'idée préconçue que les mouvements célestes devaient être circulaires et
uniformes a égaré les Grecs.

La même hypothèse d'une certaine simplicité des lois de la nature a, au
contraire, guidé Kepler. S'il avait su combien sont complexes, les
mouvements perturbés des planètes, il n'aurait pas découvert les lois qui
donnent une première approximation de ces mouvements.

Les philosophes qui, dans l'antiquité, soutenaient l'opinion du
mouvement de la terre furent taxés d'impiété; au xvie siècle, il se trouve
encore des esprits assez malavisés pour commettre la même faute et pour
transformer en question religieuse une question purement scientifique. On
alla chercher dans les livres sacrés des textes dont on se fit des arguments;
chacun les interpréta suivant sa fantaisie, et l'on vit tout à coup surgir les
disputes les plus âpres et les plus déraisonnables, au détriment commun de
la science et de la religion.

Valson.

À dire vrai, nous n'avons fait depuis les Grecs, que trois grandes
découvertes en Mathématiques pures, mais elles ont une immense portée.

Descartes a inventé la Géométrie analytique, en représentant chaque
courbe par une équation en x et y, qui est la relation constante entre les
coordonnées d'un point quelconque de la courbe. Toute question de
géométrie est alors transformée en une question d'algèbre.

Leibniz et Newton ont, presque simultanément, trouvé le Calcul
infinitésimal qui permet d'analyser si finement la variation continue des
fonctions.

Enfin de nos jours, Cauchy a su donner à l'Analyse, grâce aux
imaginaires mieux comprises, une admirable et complète généralité.

Les histoires générales des mathématiques les plus importantes sont
celles de Montucla en quatre volumes (dont les deux derniers sont de
Lalande); de Bossut, plus courte; de Hankel, malheureusement inachevée à
la mort de l'auteur; de Maximilien Marie (12 vol.) et de Moriz Cantor. Ce
dernier livre, fruit de longues recherches est le plus complet, le plus
approfondi.

M. Eneström publie à Stockholm un journal d'histoire des
mathématiques, la Bibliotheca mathematica.

Nous devons aussi citer les nombreux travaux d'érudition et de critique
de Paul Tannery et de Charles Henry.

Enfin le prince Balthasar Boncompagni a publié plus de vingt volumes de
son Bulletin de bibliographie et d'histoire des mathématiques.

Les Éloges des académiciens par Fontenelle ont leur place marquée dans
la bibliothèque de l'homme de goût. L'auteur a popularisé le premier les
savants et la Science. Son influence a été plus grande qu'on ne le croit, il l'a
exercée délicatement et discrètement en parsemant de pensées brillantes un
fond sérieux. Voltaire compare ces éloges à «ces moissons abondantes où
les fleurs croissent naturellement avec les épis».

M. P. Lafitte traite au Collège de France de l'histoire générale des
Sciences, au point de vue positiviste. Nous n'avons, à vrai dire, aucune
chaire d'histoire des mathématiques. C'est là une lacune regrettable dans
notre haut enseignement.

En Belgique, à l'université de Gand, M. Mansion fait un cours régulier
d'histoire des mathématiques et ce cours est obligatoire pour les étudiants
scientifiques.

«Combien ai-je vu, dit M. Bertrand, d'anciens candidats à l'École
Polytechnique qui, connaissant fort bien un traité d'algèbre classique et
n'ayant rien lu au delà, ignoraient les noms d'Euler et de Bernoulli, et
mettaient sur le même plan dans leur souvenir Newton et Bezout, Descartes
et Budan, Cauchy et Sarrus.»

Les sciences mathématiques ont composé longtemps tout le domaine des
idées exactes; partout ailleurs on ne retrouvait que les vains efforts du génie
pour arriver à la connaissance de la vérité, et les erreurs sans nombre que
les doctrines insuffisantes des premiers inventeurs traînaient à leur suite. Le
langage mystérieux employé par les philosophes formait avec la langue
précise et claire des sciences exactes, un contraste singulier qui inspirait au
géomètre le plus profond mépris pour les autres sciences. Mais, lorsque les
phénomènes célestes vinrent se ranger sous les lois du calcul, l'étude des
mathématiques devint plus générale, et les bons esprits furent frappés d'une
manière d'argumenter si différente de celle de l'École.

La langue mathématique est celle de la raison dans toute sa pureté; elle
interdit la divagation, elle signale l'erreur involontaire; il faudrait ne pas la
connaître pour la faire servir à l'imposture.

Sophie Germain.

À l'occasion du 60e anniversaire de sa naissance, le roi de Suède et de
Norvège a institué un grand prix de mathématiques et tous les géomètres de
l'Europe ont été invités à concourir. Le prix a été obtenu par M. Poincaré et
la seconde récompense, une médaille d'or, par M. Appell. (Février 1889.)

Les principaux journaux de mathématiques sont, en France: le Journal de
Mathématiques pures et appliquées, fondé par Liouville et dirigé par
Jordan; le Bulletin des Sciences mathématiques, fondé et dirigé par
Darboux; les Nouvelles annales de Mathématiques, fondées par O. Terquem
et Gérono et dirigées par Laisant et Antomari; le Journal de Mathématiques
élémentaires et spéciales, fondé par J. Bourget et dirigé par G. de
Longchamps; la Revue de Mathématiques spéciales rédigée par E.
Humbert; le Journal de Mathématiques élémentaires, dirigé par notre
collaborateur Vuibert, etc.

L'Académie des sciences, à l'Institut de France, comprend cinq sections
pour les Mathématiques. Voici les noms des membres par ordre de
nomination:

Géométrie.—Hermite; Jordan; Darboux; Poincaré; Émile Picard; Appell.

Mécanique.—Maurice Lévy; Boussinesq; Deprez; Sarrau; Léauté;
général Sebert.

Astronomie.—Faye; Janssen; Lœvy; Wolf; Callandreau; Radau.

Géographie et navigation.—Bouquet de La Grye; Grandidier; de Bussy;
Bassot; Guyou; Hatt.

Physique générale.—Cornu; Mascart; Lippmann; A.-H. Becquerel;
Potier; Violle.

Secrétaires perpétuels de l'Académie.—J. Bertrand, pour les sciences
mathématiques, et Berthelot, pour les sciences physiques.

Parmi les Académiciens libres, on remarque de Freycinet; Haton de la
Goupillière; amiral de Jonquières; Rouché, etc.

Parmi les Mathématiciens vivants, nous citerons: en Belgique, Mansion
et Neuberg; en Angleterre, Forsight, Sylvester et Salmon; en Norvège, S.
Lie (actuellement à Leipzig), Bjirknes, Syllow; en Suède, Bäcklund,
Lindsteedt; en Danemark, Petersen, Zeuthen; en Russie, Liapounoff,
Markoff; en Allemagne, Dedekind; Fuchs; Gordan; Klein; Schwarz; Weber;
Wemgarten; en Italie, Beltrami, Brioschi et Cremona, etc., etc.

Voici les noms de quelques autres mathématiciens français: D. André,
Borel, Brisse, Brocard, Fouret, Goursat, Hadamard, G. Humbert, le P.
Joubert, Kœnigs, Laisant, H. Laurent, de Longchamps, Mannheim, Méray,
Moutard, Painlevé, J. Tannery, etc., etc.

On a organisé à Paris, en 1872, une Société mathématique qui compte
près de trois cents membres et qui publie le Bulletin de ses travaux. Les
séances ont lieu deux fois par mois. Le siège est rue des Grands-Augustins,
7.

Le 24 décembre 1892, on a fêté, à la Sorbonne, les soixante et dix ans de
notre grand géomètre Hermite. Nous extrayons du discours du Ministre de

l'Instruction publique le passage suivant:

Pascal voit dans la géométrie «le plus haut exercice de l'intelligence»; il
place les géomètres au premier rang «des princes de l'esprit». C'est
l'honneur de notre France d'avoir produit plus qu'aucune autre nation, de ces
génies subtils et puissants, capables d'embrasser l'ensemble des vérités qui
constituent les lois des nombres et de l'étendue. Déjà au dix-septième siècle,
Descartes, Pascal et Fermat nous permettent de n'envier personne, pas
même l'intelligence suprême de Newton; au dix-huitième siècle nous
prenons décidément le premier rang avec d'Alembert, avec Lagrange, avec
Laplace, et le siècle dont nous sommes a vu affirmer et consolider cette
maîtrise française de la géométrie par une suite de savants illustres, les
Monge, les Carnot, les Ampère, les Cauchy, les Chasles, les Liouville, pour
ne citer que quelques-uns de ceux qui ne sont plus...

Ch. Dupuy.

L'Intermédiaire des mathématiciens, dirigé par MM. Laisant et E.
Lemoine, contient les questions les plus variées et les plus difficiles puis les
réponses venues de divers côtés.

PHILOSOPHIE ET MORALE.—MÉLANGES

Vous avez disposé toutes choses avec nombre, poids et mesure.

Bible.

Les nombres gouvernent le monde.

Platon.

Il y a de la géométrie partout.

Leibniz.

Dieu, le grand géomètre.—Dieu géométrise sans cesse.

Platon.

Dieu est un cercle dont le centre est partout et la circonférence nulle part.

Rabelais; Montaigne; Pascal.

Il n'y a point de nombre aux yeux de Dieu. Comme il voit tout à la fois, il
ne compte rien.

Condillac.

Au milieu de causes variables et inconnues, que nous comprenons sous le
nom de hasard, et qui rendent incertaine et irrégulière la marche des
événements, on voit naître à mesure qu'ils se multiplient une régularité
frappante qui semble tenir d'un dessein, et que l'on a considérée comme une
preuve de la providence.

Laplace.

Je ne puis concevoir comment de si habiles mathématiciens nieraient un
mathématicien éternel.

Voltaire.

Platon avait écrit sur la porte de son école de philosophie ces mots: Que
nul n'entre ici, s'il n'est géomètre.

Sans les mathématiques, on ne pénètre point au fond de la philosophie:
sans la philosophie, on ne pénètre point au fond des mathématiques; sans
les deux, on ne pénètre au fond de rien.

Bordas-Demoulins.

Le nombre réside dans tout ce qui est connu. Sans lui, il est impossible de
rien penser, de rien connaître.... Le nombre et l'harmonie repoussent
l'erreur; le faux ne convient pas à leur nature. L'erreur et l'envie sont filles
de l'indéfini, sans pensée, sans raison; jamais le faux ne peut pénétrer dans
le nombre, il est son éternel ennemi. La vérité seule convient à la nature du
nombre et est née avec lui.

Philolaüs.

Les lignes et les figures de la géométrie sont très propres pour représenter
à l'imagination les rapports qui sont entre les grandeurs, ou entre les choses
qui diffèrent du plus et du moins, comme les espaces, les temps, les poids,
etc., tant à cause que ce sont des objets très simples, qu'à cause qu'on les

imagine avec beaucoup de facilité. On pourrait même dire à l'avantage de la
géométrie, que les lignes peuvent représenter à l'imagination plus de choses
que l'esprit n'en peut connaître, puisque les lignes peuvent exprimer les
rapports des grandeurs incommensurables, c'est-à-dire des grandeurs dont
on ne peut connaître les rapports à cause qu'elles n'ont aucune commune
mesure par laquelle on en puisse faire la comparaison.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Ce qui ne peut se faire qu'en beaucoup de temps par l'arithmétique se fait
en un moment par l'algèbre et l'analyse, sans que l'esprit se brouille par le
changement des chiffres et par la longueur des opérations. Une opération
particulière d'arithmétique ne découvre qu'une vérité, une semblable
opération d'algèbre en découvre une infinité.

L'algèbre... apprend à faire sur les grandeurs littérales tous les calculs qui
servent à déduire les rapports les plus difficiles et les plus composés qu'on
puisse désirer de savoir des mêmes grandeurs qui sont déjà connues. Ses
calculs sont les plus simples, les plus faciles et en même temps les plus
généraux qu'on puisse concevoir.

Malebranche.

Les plus grands géomètres n'ont pas été exempts de ce préjugé qui fait
regarder l'analyse algébrique comme une sorte d'oracle qui ne fait pas
toujours des réponses intelligibles, mais dont les énigmes doivent toujours
renfermer un sens dont il faut s'étudier à pénétrer le mystère.

Duhamel.

Il y a beaucoup de différence entre l'esprit de géométrie et l'esprit de
finesse. En l'un, les principes sont palpables, mais éloignés de l'usage
commun; de sorte qu'on a peine à tourner la tête de ce côté-là, manque

d'habitude; mais, pour peu qu'on s'y tourne, on voit les principes à plein; et
il faudrait avoir tout à fait l'esprit faux pour mal raisonner sur des principes
si gros qu'il est presque impossible qu'ils échappent.

Mais, dans l'esprit de finesse, les principes sont dans l'usage commun et
devant les yeux de tout le monde. On n'a que faire de tourner la tête, ni de
se faire violence. Il n'est question que d'avoir bonne vue, mais il faut l'avoir
bonne, car les principes sont si déliés et en si grand nombre qu'il est presque
impossible qu'il n'en échappe. Or, l'omission d'un principe mène à l'erreur:
ainsi il faut avoir la vue bien nette pour voir tous les principes, et ensuite
l'esprit juste pour ne pas raisonner faussement sur des principes connus.

Tous les géomètres seraient donc fins s'ils avaient la vue bonne et les
esprits fins seraient géomètres s'ils pouvaient plier leur vue vers les
principes inaccoutumés de la géométrie.

Ce qui fait que certains esprits fins ne sont pas géomètres, c'est qu'ils ne
peuvent du tout se tourner vers les principes de géométrie; mais ce qui fait
que des géomètres ne sont pas fins, c'est qu'ils ne voient pas ce qui est
devant eux; et qu'étant accoutumés aux principes nets et grossiers de la
géométrie, et à ne raisonner qu'après avoir bien vu et manié leurs principes,
ils se perdent dans les choses de finesse, où les principes ne se laissent pas
ainsi manier. On les voit à peine, on les sent plutôt qu'on ne les voit: ce sont
choses tellement délicates et si nombreuses, qu'il faut un sens bien délié et
bien net pour les sentir, et sans pouvoir le plus souvent les démontrer par
ordre comme en géométrie, parce qu'on n'en possède pas ainsi les principes,
et que ce serait une chose infinie de l'entreprendre. Il faut tout d'un coup
voir la chose d'un seul regard, et non pas par progrès de raisonnement, au
moins jusqu'à un certain degré. Et ainsi il est rare que les géomètres soient
fins, et que les esprits fins soient géomètres; à cause que les géomètres
veulent traiter géométriquement les choses fines, et se rendent ridicules,
voulant commencer par les définitions, et ensuite par les principes; ce qui
n'est pas la manière d'agir dans cette sorte de raisonnement. Ce n'est pas que
l'esprit ne le fasse; mais il le fait tacitement, naturellement et sans art, car
l'expression en passe tous les hommes, et le sentiment n'en appartient qu'à
peu.

Et les esprits fins, au contraire, ayant accoutumé à juger d'une seule vue,
sont si étonnés quand on leur présente des propositions où ils ne
comprennent rien, et où, pour entrer, il faut passer par des définitions et des
principes stériles, et qu'ils n'ont pas accoutumé de voir ainsi en détail, qu'ils
s'en rebutent et s'en dégoûtent. Mais les esprits faux ne sont jamais ni fins ni
géomètres.

Les géomètres qui ne sont que géomètres ont donc l'esprit droit, mais
pourvu qu'on leur explique bien toutes choses par définitions et par
principes: car ils ne sont droits que sur les principes bien éclaircis. Et les
esprits fins qui ne sont que fins, ne peuvent avoir la patience de descendre
jusqu'aux premiers principes des choses spéculatives et d'imagination, qu'ils
n'ont jamais vues dans le monde et dans l'usage.

Pascal.

On peut regarder la géométrie comme une logique pratique, parce que les
vérités dont elle s'occupe, étant les plus simples et les plus sensibles de
toutes, sont par cette raison, les plus susceptibles d'une application facile et
palpable des règles du raisonnement.

d'Alembert.

J'ai insinué que les Mathématiques étaient fort utiles pour accoutumer
l'esprit à raisonner juste et avec ordre; ce n'est pas que je croie nécessaire
que tous les hommes deviennent des mathématiciens: mais lorsque par cette
étude, ils ont acquis la bonne méthode du raisonnement, ils peuvent
l'employer dans toutes les autres parties de nos connaissances...

L'algèbre donne de nouvelles vues et fournit de nouveaux secours à
l'entendement...

Locke.

Il existe des vérités autres que les vérités de l'algèbre, des réalités autres
que les objets sensibles. Cultivons avec ardeur les sciences mathématiques,
sans vouloir les étendre au-delà de leur domaine; et n'allons pas nous
imaginer qu'on puisse attaquer l'histoire avec des formules, ni donner pour
sanction à la morale des théorèmes d'algèbre et de calcul intégral.

Cauchy.

Des éléments de Géométrie traités ainsi deviendraient en quelque sorte
d'excellents éléments de logique, et seraient peut-être les seuls qu'il faudrait
étudier. Lorsque l'esprit est naturellement juste, il porte avec lui la faculté
de reconnaître si une proposition simple est vraie ou non. Il est beaucoup
plus utile d'exercer cette faculté que de disserter à perte de vue sur sa
nature. Si l'on voulait remporter le prix de la course, on penserait plutôt sans
doute à exercer ses jambes qu'à raisonner sur le mécanisme de la marche.
«Les règles, dit Condillac, sont comme des garde-fous mis sur les ponts,
non pas pour faire marcher les voyageurs, mais pour les empêcher de
tomber.» Si cela est, ainsi qu'il n'est pas permis d'en douter, il faut que les
règles soient fort simples et en petit nombre. Celles de Descartes et de
Pascal me paraissent suffisantes pour les esprits droits; quant aux autres, la
Géométrie ne saurait exister pour eux.

Lacroix.

Nous voyons par expérience qu'entre esprits égaux, et toutes choses
pareilles, celui qui a de la géométrie l'emporte et acquiert une vigueur toute
nouvelle.

Pascal.

Socrate.—Faisons donc une loi à ceux qui sont destinés chez nous à
remplir les premières places de s'appliquer à la science du calcul, de
l'étudier, non pas superficiellement, mais jusqu'à ce que, par le moyen de la
pure intelligence, ils soient parvenus à connaître l'essence des nombres; non
pour faire servir cette science, comme les marchands et les négociants, aux
ventes et aux achats, mais pour l'appliquer aux besoins de la guerre, et
faciliter à l'âme la route qui doit la conduire de la sphère des choses
périssables à la contemplation de la vérité et de l'être.

Glaucon.—Fort bien.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Socrate.—Si l'on demande à ceux qui s'occupent de cette science: «De
quel nombre parlez-vous? Où sont ces unités telles que vous les supposez,
parfaitement égales entre elles, sans qu'il y ait la moindre différence, et qui
ne sont point composées de parties?» Mon cher Glaucon, que crois-tu qu'ils
répondent?

Glaucon.—Je crois qu'ils répondraient qu'ils parlent de ces nombres qui
ne tombent pas sous les sens et qu'on ne peut saisir autrement que par la
pensée.

Socrate.—Ainsi, tu vois, mon cher ami, que nous ne pouvons
absolument nous passer de cette science, puisqu'il est évident qu'elle oblige
l'âme à se servir de l'entendement pour connaître la vérité.

Glaucon.—Il est certain qu'elle est merveilleusement propre à produire
cet effet.

Socrate.—As-tu aussi observé que ceux qui sont nés calculateurs, ayant
l'esprit de combinaison, ont beaucoup de facilité pour presque toutes les
autres sciences et que même les esprits pesants, lorsqu'ils se sont exercés et
rompus au calcul, en retirent du moins cet avantage d'acquérir plus de
facilité et de pénétration?

Glaucon.—La chose est ainsi.

Socrate.—Au reste, il te serait difficile de trouver beaucoup de sciences
qui coûtent plus à apprendre et à approfondir que celle-là.

Glaucon.—Je le crois.

Socrate.—Ainsi, par toutes ces raisons nous ne devons pas la négliger;
mais il faut y appliquer de bonne heure ceux qui seront nés avec un
excellent caractère.

Glaucon.—J'y consens.

Platon.

Ceux qui ne voient dans les mathématiques que leur utilité d'application
ordinaire, en ont une idée bien imparfaite; ce serait, en vérité, acquérir bien
peu de chose à grands frais; car, excepté les savants et quelques artistes, je
ne vois guère personne qui ait besoin de la Géométrie ou de l'Algèbre une
fois dans sa vie. Ce ne sont donc ni les théories, ni les procédés, ni les
calculs en eux-mêmes, qui sont véritablement utiles, c'est leur admirable
enchaînement, c'est l'exercice qu'ils donnent à l'esprit, c'est la bonne et fine
logique qu'ils y introduisent pour toujours.

Les mathématiques jouissent de cet avantage inappréciable, et sans lequel
il serait le plus souvent superflu de les étudier, c'est qu'il n'est pas nécessaire
de les savoir actuellement pour en ressentir les avantages, mais il suffit de
les avoir bien sues; toutes les opérations, toutes les théories qu'elles nous
enseignent peuvent sortir de la mémoire, mais la justesse et la force qu'elles
impriment à nos raisonnements restent; l'esprit des mathématiques demeure
comme un flambeau qui nous sert de guide au milieu de nos lectures et de
nos recherches; c'est lui, qui, dissipant la foule oiseuse des idées étrangères,
nous découvre si promptement l'erreur et la vérité; c'est par lui que les
esprits attentifs dans les discussions les plus irrégulières reviennent sans
cesse à l'objet principal qu'ils ne perdent jamais de vue; c'est ainsi qu'ils
abrègent le temps et l'ennui, recueillent sans peine le fruit des bons
ouvrages et traversent ces vains et nombreux volumes où se perdent les
esprits vulgaires. Si les mathématiques ont trouvé beaucoup de détracteurs,

c'est que leurs lumières importunes détruisent tous les vains systèmes où se
complaisent les esprits faux. C'est que si les mathématiques cessaient d'être
la vérité même, une foule d'ouvrages ridicules deviendraient très sérieux;
plusieurs même commenceraient d'être sublimes; mais il était bien naturel
que les esprits supérieurs et les meilleurs écrivains ne parlassent des
sciences exactes qu'avec une sorte d'admiration; les grands hommes, dans
quelque genre que ce soit, ne ravalent jamais les grandes choses; ils tâchent
de s'y élever.

Poinsot.

Si l'esprit d'un homme s'égare, faites-lui étudier les mathématiques; car
dans les démonstrations, pour peu qu'il s'écarte, il sera obligé de
recommencer.

F. Bacon.

L'avancement, le perfectionnement des mathématiques sont liés à la
prospérité de l'État.

Napoléon.

Une rigoureuse discipline de l'esprit prépare aux devoirs militaires, et l'on
ne peut douter que les études mathématiques contribuent à former cette
faculté d'abstraction indispensable aux chefs pour se faire une
représentation intérieure, une image de l'action, par laquelle ils se dirigent
en oubliant le danger, dans le tumulte et l'obscurité du combat.

Hermite.

Le siècle est plus que jamais dominé par les mathématiques

Rambaud.

Lors de la création de l'Université impériale, on dut enseigner «le
français, le latin et les mathématiques.» Ce n'était pas assez, mais nous
enseignons trop de choses maintenant.

Nul n'atteindra la gloire de Newton, dit Lagrange, car il n'y avait qu'un
monde à découvrir.

Ce qui passe la géométrie nous surpasse.

Pascal.

Aucune investigation humaine ne doit s'appeler vraie science, si elle ne
passe pas par les démonstrations mathématiques.

Léonard de Vinci.

Mesurer, c'est savoir.

Kepler.

L'action de nos sens et celle de notre entendement ont des bornes; le
calcul n'en a pas.

Portalis.

Nous devons plutôt nous fier au calcul algébrique qu'à notre jugement.

Euler.

La vie n'est bonne qu'à étudier et à enseigner les mathématiques.

Poisson.

Le commentaire de Bachet sur Diophante ne fera pas diminuer le prix du
pain, remarquait le judicieux Malherbe.

Le dessin, dit Condorcet, est la géométrie des yeux, la musique est celle
des oreilles.

L'Art est la plus haute expression d'une arithmétique intérieure et
inconsciente.

Leibniz.

... tous nos esprits mathématiques, polytechniques, soi-disant positifs,
tous ceux qu'on a appelés spirituellement de bons esprits faux.

Sainte-Beuve.

Le calcul est nécessaire à tous ceux qui ne savent pas, ou qui ne peuvent
pas, ou qui ne veulent pas beaucoup penser.

de Ramsay.

Le bon sens ne perd jamais ses droits: opposer à l'évidence une formule
démontrée, c'est à peu près comme si, pour refuser à un homme le droit de
vivre, on alléguait devant lui un acte de décès authentique.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Les mathématiques ne doivent pas dégénérer en une débauche de
logique.

J. Bertrand.

L'analyse pure, c'est l'esprit du nombre s'aiguisant lui-même.

Je comparerai volontiers les lumières des mathématiques à ces pâles
soleils du nord, sous lesquels on reste glacé... Ils ne font éclore que des
fleurs sans parfum et des fruits sans saveur.

Dupanloup.

Une logique rigoureuse, la recherche et l'amour de la vérité pour elle-
même, forment la partie morale des mathématiques, qui par là
appartiennent essentiellement à l'école stoïque. Offrir à la jeunesse, au
début de la vie, des applications utiles, des méthodes d'approximation,
comme objet principal d'étude, c'est dénaturer le but de l'éducation et cela
peut avoir de funestes résultats. Toutefois, il ne faut pas confondre cette
rigueur avec la manie démonstrative, qui, se défiant du sens commun,
enlève au lecteur toute spontanéité.... Savoir ce qu'il ne faut pas dire est un
art difficile, qu'on rencontre rarement.

O. Terquem.

L'idéal de l'amitié, c'est de se sentir un et de rester deux.

Mme Swetchine.

Celui qui compte dix amis, n'en a pas un.

Un homme est un chiffre: deux hommes placés à côté l'un de l'autre
valent dix fois davantage; trois hommes en valent cent, quand ils ont mis
ensemble leur esprit, leur argent et leur bonne volonté.

B. Franklin.

La vie morale de l'égoïste est l'équivalent exact de l'unité multipliée par
elle-même.

Sauvage.

Dans tout ce que l'on entreprend, il faut donner les deux tiers à la raison
et l'autre tiers au hasard. Augmentez la première fraction, vous serez
pusillanime; augmentez la seconde, vous serez téméraire.

Napoléon.

Par la définition du point, de la ligne, de la surface, et par d'autres
principes très familiers, nous parvenons à des connaissances qui mesurent
enfin le ciel et la terre.

La Fontaine.

Les transformations de l'âme sont lentes; elles ne se font qu'avec la
douleur multipliée par le temps.

Le P. Didon.

Les mathématiques pures sont une clef d'or qui ouvre toutes les sciences.

V. Duruy.

Créer en nous l'art de raisonner, et surtout de raisonner géométriquement,
n'est qu'une bien faible partie de l'éducation. Ce sont les sentiments qui
nous mènent, et non pas la logique ni la géométrie.

A. Croiset.

Rien n'est moins applicable à la vie qu'un raisonnement mathématique.
Une proposition, en fait de chiffres, est décidément fausse ou vraie; sous
tous les autres rapports, le vrai se mêle avec le faux...

Mme de Staël.

La géométrie est la meilleure et la plus simple de toutes les logiques, la
plus propre à donner de l'inflexibilité au jugement et à la raison. C'est la
lime sourde de tous les préjugés populaires.....

Diderot.

La logique a emprunté les règles de la géométrie sans en comprendre la
force..... Je suis bien éloigné de mettre les logiciens en parallèle avec les
géomètres qui apprennent la véritable manière de conduire la raison..... La
méthode de ne point errer est recherchée de tout le monde. Les logiciens
font profession d'y conduire, les géomètres seuls y arrivent, et hors de leur
science il n'y a point de véritable démonstration.

Pascal.

Pascal confond l'art avec la science, et parce que les logiciens ne
conduisent pas infailliblement au vrai, il immole la logique à ses chères
mathématiques. C'est Leibniz qui a pleine raison quand il dit, contrairement
à Pascal: «La logique des géomètres est une extension ou promotion
particulière de la logique générale.» Les mathématiques empruntent donc la
puissance de leur forme à la logique, loin de la lui donner.

Barthélemy Saint-Hilaire.

La raison mathématique se contente de fournir, dans le domaine le plus
favorable, un type de clarté, de précision et de consistance dont la
contemplation familière peut seule disposer l'esprit à rendre les autres
conceptions aussi parfaites que le comporte leur nature.

Aug. Comte.

En mathématiques, comme ailleurs, la raison profonde des choses, le
fond mystérieux de l'être sur lequel nous spéculons ou que nous observons,
nous échappera peut-être toujours; peut-être aussi l'inquiétude qui en résulte
pour nos intelligences est-elle l'aiguillon secret de cette passion que les
savants apportent dans leurs recherches.

J. Tannery.

Il est toujours utile de penser juste, même sur des sujets inutiles. Quand
les nombres et les lignes ne conduiraient absolument à rien, ce seraient
toujours les seules connaissances certaines qui aient été accordées à nos
lumières naturelles, et elles serviraient à donner à notre raison la première
habitude et le premier pli du vrai.....

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

L'esprit géométrique n'est pas si attaché à la géométrie qu'il n'en puisse
être tiré et transporté à d'autres connaissances. Un ouvrage de morale, de
politique, de critique, peut-être même d'éloquence, en sera plus beau, toutes
choses d'ailleurs égales, s'il est fait de main de géomètre.

Fontenelle.

Le raisonnement mathématique est si particulier et si exclusif qu'une fois
maître d'un cerveau, il s'en empare en entier et le rend inapte, pour ainsi
dire, aux autres manières, pourtant aussi légitimes, d'arriver à la vérité.

Delbœuf.

Ne restons pas mathématicien partout et quand même. Il y a un vieil
adage: purus mathematicus, purus asinus. Montucla dit plus poliment que
«parmi les hommes qui se sont distingués en mathématiques, il y en a
toujours eu un grand nombre dont la sagacité ne sortait pas du domaine
géométrique.»

Le goût de l'exactitude, l'impossibilité de se contenter de notions vagues,
de s'attacher à des hypothèses quelque séduisantes qu'elles soient, le besoin
d'apercevoir clairement la liaison des propositions et le but où elles tendent,
sont les fruits les plus précieux de l'étude des mathématiques.

Lacroix.

Les nuances délicates des idées morales échappent à la rigueur des
raisonnements mathématiques, et une habitude trop exclusive de ceux-ci
porte assez souvent l'esprit à vouloir tout réduire à des règles invariables, à
des principes absolus; méthode si dangereuse, quand on l'applique au
gouvernement des sociétés humaines, ou seulement aux rapports
particuliers qui nous lient avec les autres hommes.

Cuvier.

L'étude des mathématiques nous accoutume à un enchaînement de
déductions logiques dans lequel chaque anneau se rattache au précédent;
elle donne ainsi de la continuité à l'attention, de la cohérence aux idées; elle

apprend à l'intelligence à saisir les points fondamentaux d'un raisonnement,
et à classer avec ordre les divers éléments de conviction, en leur accordant
leur juste degré d'importance; qualités que l'on rencontre trop rarement dans
le monde.

Whewell.

Les mathématiques donneront une fausse précision, une rigueur
apparente qui masque la faiblesse des raisonnements, une raideur inflexible
qui multiplie les erreurs, les rend irréparables et empêche la juste notion des
choses. Hélas! qu'il y a peu de mathématiques dans les choses de la vie:
elles sont complexes, changeantes, faites de finesses, de sous-entendus, de
détails, et impossibles à exprimer par une formule.

Chandos.

Les mathématiques partout, une chimère de quelques esprits simplistes. Il
ne faut pas abuser des meilleures choses.

Dans les Mathématiques, la censure et la critique ne peuvent être
permises à tout le monde; les discours des rhéteurs et les défenses des
avocats n'y valent rien.

Viète.

Les vérités mathématiques doivent être jugées par des mathématiciens.

Copernic.

Depuis huit jours, j'ai vu le premier rayon de lumière; depuis trois, j'ai vu
le jour; enfin, à cette heure, je vois le soleil de la plus admirable
contemplation. Rien ne me retient plus, je m'abandonne à mon
enthousiasme; je veux braver les mortels par l'aveu franc que j'ai dérobé les
vases d'or des Égyptiens, pour en former à mon Dieu un tabernacle loin de
l'Égypte idolâtre. Si l'on me pardonne, je m'en réjouis; si l'on s'irrite, je me
résigne. Le sort en est jeté, j'écris mon livre. On le lira dans l'âge présent ou
dans l'avenir, que m'importe! Il peut attendre son lecteur: Dieu n'a-t-il pas
attendu six mille ans pour se donner un contemplateur de ses œuvres?

Kepler.

Certains prétendent que les mathématiques dessèchent le cœur.

Il me semble que je n'ai été qu'un enfant jouant sur le bord de la mer et
trouvant, tantôt un caillou plus poli, tantôt un coquillage plus joli que les
autres, tandis que le vaste océan de la Vérité s'étendait inexploré devant
moi.

Newton.

L'étude des mathématiques peut distraire des grandes douleurs: elle
absorbe l'homme tout entier.

Boiste.

Le but unique de la Science, c'est l'honneur de l'esprit humain, et, à ce
titre, une question de la théorie des nombres vaut autant qu'une question du
système du monde.

Jacobi.

Les mathématiques sont une forte école de logique appliquée: elles nous
forment indirectement à bien raisonner sur d'autres sujets que les nombres
et les lignes.

Vous aimez, vous voulez le vrai; il importe que vous soyez pénétrés de la
méthode à l'aide de laquelle on le découvre et on l'établit. Cette méthode est
la même, qu'il s'agisse des plus hautes spéculations ou des questions de la
vie ordinaire; ce n'est pas le syllogisme presque exclusivement détaillé
jadis: il condamne la déduction lorsqu'elle est fautive, mais il n'apprend pas
à la mettre en mouvement, pour augmenter la connaissance. La méthode
générale, c'est l'analyse, non pas l'insuffisante analyse de Condillac, qui se
borne à décomposer le tout en ses parties pour le mieux étudier, mais cette
analyse plus large et plus féconde que les Anciens nous ont transmise.

Chaque fois que l'esprit veut chercher ou prouver, il substitue à plusieurs
reprises à la chose en question une chose dont elle est la conséquence
jusqu'à ce qu'il arrive à une chose connue. Le succès dépend du choix des
relais; c'est un art précieux, dit Leibniz, que celui de s'aviser quand il faut
de ce qu'on sait. On peut ainsi définir rapidement l'analyse pour la rappeler
à ceux qui la connaissent, mais une pratique longue et attentive est seule
capable d'en faire une habitude aisée et définitive.

Les mathématiques, par la clarté et le petit nombre des données
primitives,—car là non plus on ne définit pas tout et on ne prouve pas tout,
—les mathématiques fournissent la première application, l'application
commode, je dirai même indispensable de l'analyse. Platon écrivant sur la
porte de son école: «que nul n'entre ici s'il n'est géomètre», déclarait
incapable d'aborder les questions philosophiques ceux qui n'avaient pas
d'abord appris à raisonner en géométrie.

On admet au début quelques notions, quelques propositions qui brillent
par elles-mêmes et c'est avec elles seules que toute la science se fait. Nous
devons ainsi à Euclide et à ses successeurs une trame serrée de vérités utiles
ou curieuses, enchaînées dans un bel ordre. Mais ce n'est pas assez de
comprendre la doctrine des maîtres, il faut pouvoir y rattacher vous-mêmes

les problèmes nouveaux et découvrir aussi à votre tour: voilà pourquoi on
soumet à vos efforts des exercices mathématiques nombreux et gradués.
D'une part, vous apprenez, par la démonstration des théorèmes et la
vérification des problèmes, à tirer d'un principe ses conséquences, et de
l'autre vous apprenez, par l'invention des problèmes et par l'exposition des
théorèmes,—lorsque le professeur cherche devant vous,—à rattacher un fait
particulier aux principes d'où il découle. Plus tard, je le crains et je m'y
résigne, vous oublierez le détail de Legendre et vos propres travaux, mais
toute cette géométrie aura aiguisé votre esprit, vous serez experts sur tout
sujet à dégager d'une idée ce qu'elle contient, à substituer à une question
d'autres questions plus aisées, à avancer vers la solution. Cette solution,
vous ne l'atteindrez pas toujours, mais vous aurez d'autant plus de chances
de l'atteindre que vous serez mieux dressés à chercher, à chercher
patiemment, méthodiquement. Tout au moins, vous n'humilierez pas la
raison, en tirant le faux du vrai.

Presque toujours et quel que soit l'objet qui vous occupe, vous aurez
recours à une analyse progressive, tenace, prudente qui vous préservera des
aventures. Il ne faut pas cependant bannir de la recherche, dans les sciences
et ailleurs, une certaine hardiesse, l'audace même. Parfois l'inventeur,
heureusement inspiré, court vers le but et l'atteint en sautant les
intermédiaires. Mais il doit ensuite serrer la chaîne logique, autrement sa
découverte ne serait définitive, ni pour les autres ni pour lui-même.

Trois groupes d'esprits ne méritent pas qu'on leur livre des vérités. Les
premiers n'en font aucun usage, ils sont inertes, ils ne vont jamais en avant,
ce sont des enfants trop faibles pour marcher seuls. Les seconds croyant
raisonner rencontrent l'erreur, ils marchent, mais, hélas! c'est pour tomber
souvent. Les troisièmes ne sont plus à plaindre mais à flétrir, ils faussent le
vrai de parti pris, ce sont des sophistes, ils connaissent la route, mais ils
suivent les chemins tortueux qui les mènent où leur passion veut. Une
consciencieuse fréquentation des sciences vous évitera d'être classés dans
ces catégories: vous saurez et vous voudrez marcher seuls et marcher droit.

Vous repousserez non seulement le faux, mais encore l'incomplet,
l'approximatif, le vague qui nous envahissent. Voilà l'ennemi de tous les
jours, ennemi fuyant, insaisissable. Que d'assertions qui ne sont pour ainsi

dire, ni vraies ni fausses, que de pensées à peine ébauchées, échappant par
là même à la réfutation! La faute en est aux hommes seulement littéraires,
sans lest scientifique, ils sont frivoles et vains, ils dissertent avec facilité sur
ce qu'ils ignorent. Vous vous tairez, lorsque vous n'aurez rien à dire; mais
lorsque vous parlerez, lorsque vous écrirez, ce sera judicieusement,
fermement, «chaque mot signifiera».

J'ai jusqu'ici supposé expressément des principes faciles, clairs et
certains, comme le sont ceux des sciences formées, mais, dans beaucoup de
spéculations, on n'a pas cette commodité. De là un péril grave contre lequel
vous vous tiendrez en garde. Les esprits rigoureux, qui sont mal partis,
avancent héroïquement en ligne droite; sûrs de leurs déductions, ils sont
d'une ténacité déplorable, ils proclament, ils imposent leurs conclusions
telles quelles, comme des dogmes. Un historien irrité est allé jusqu'à
accuser les hommes de science des malheurs de la patrie vers la fin du
siècle dernier. Vous vous arrêterez donc dès le seuil,—c'est absolument
indispensable,—vous vous arrêterez longtemps sur les idées et les
assertions fondamentales, et vous ferez porter directement sur elles tout
l'effort de votre attention. Cette étude intrinsèque des principes est souvent
compliquée, quelquefois impuissante, mais malheur à qui la néglige. Il n'y a
presque rien à dire de général sur cette étude; elle dépend de la justesse, de
la force, de la finesse native ou acquise de l'esprit; mais elle dépend surtout
de la nature des questions: vous invoquerez tantôt des axiomes, tantôt
l'observation, cette grande maîtresse, tantôt des conventions, tantôt des
hypothèses. Quoi qu'il en soit, n'oubliez jamais que, tant valent les
prémisses, tant valent les déductions; pesez de votre mieux ces prémisses, et
si elles sont seulement probables, recevez aussi comme seulement probable
tout ce que vous en tirerez. Le raisonnement garde dans tous les cas sa
valeur relative, et, au pis aller, vous aurez cette consolation de ne pas
ajouter à l'imperfection des données.

Le domaine de la pure raison est vaste et soumis à des règles absolues,
mais il y a à côté des domaines plus libres. Vous ne serez pas positif
toujours et quand même, vous ne traiterez pas avec une rigueur trop grande
des sujets qui ne comportent pas cette rigueur.

Je veux parler d'abord des études dont les éléments sont trop complexes:
la politique, une fois d'accord avec la morale, doit être flexible et tenir
grand compte des races, des mœurs, des traditions; la médecine s'occupe de
la matière animée que les lois physiques ordinaires ne régissent pas seules,
elle varie ses prescriptions d'après le tempérament et l'esprit du malade; le
droit lui-même laisse beaucoup à l'appréciation du juge, parce que nos
codes, malgré leur étendue, ne peuvent pas prévoir tous les cas, toutes les
circonstances.

Je veux parler en second lieu des questions toutes de nuance et
d'impression personnelle: de certains sentiments qui naissent et grandissent
mystérieusement dans l'âme, de l'art qui choisit et épure les belles réalités,
du goût individuel, de la poésie. Il faut laisser en paix l'humanité, croire,
espérer, rêver. N'allez pas criant à tout propos et hors de propos: Pourquoi
cela? Qu'est-ce que cela prouve? Mot de je ne sais quel mathématicien
après la lecture de l'Iphigénie de Racine. Lorsque votre imagination
s'éveille, laissez-la voler à sa fantaisie. Ne prenez pas de grosses balances
pour peser des toiles d'araignée.

Ces idées dont j'ai fait deux classes et qui, pour des motifs différents,
échappent à la déduction formelle, ont leur grande importance, leur
irrésistible attrait; vous vous garderez de les dédaigner, comme incertaines
ou futiles. Pascal a tort d'affirmer que «ce qui passe la géométrie nous
surpasse.»

Quelques-uns ont une estime outrée, exclusive, pour la forme du
raisonnement en mathématiques, forme concise, sèche, nerveuse et tout à
fait déplacée dans beaucoup de questions susceptibles pourtant de précision.
Du reste, la rigueur est dans le fond même du raisonnement, et, s'il est
faible, vous aurez beau le couper de conjonctions et lui donner un faux
dehors scientifique. Spinosa ne fortifie guère sa philosophie en la disposant
par théorèmes et par corollaires, il rend seulement son accès plus difficile.
N'imitez pas ces formalistes impitoyables qui distinguent, divisent,
subdivisent et arrivent parfois à sacrifier le fond à la forme et à quelle
forme! Ils font comprendre ce vers paradoxal:

Et le raisonnement en bannit la raison.

Vous voilerez cet appareil et vous craindrez de compromettre une bonne
cause par une argumentation peut-être exacte mais raide, hérissée,
rebutante. Il convient, dans la vie, de varier, de délayer un peu les preuves,
de les fleurir discrètement, enfin d'avoir raison avec un certain agrément.

Il est un autre travers du même genre, mais plus spécial. C'est celui
d'invoquer le secours de l'Algèbre, de ses signes et de ses équations, là où
elle n'a rien à voir. Ne s'est-on pas avisé de traiter algébriquement
l'économie politique? Pour qu'un problème puisse être mis en équation, il
faut que ses données soient d'une simplicité, d'une netteté bien rares.
Presque toujours les nombreuses équations de condition, alors qu'on
pourrait les écrire, embarrasseraient le calcul qui se traînerait péniblement.
N'oubliez pas d'ailleurs que le calcul n'est qu'un instrument, il ne facilite pas
l'analyse par une vertu propre, il ne dirige pas l'esprit, il doit être dirigé par
lui. Cet instrument ne travaille que quelques matières, mais alors que vous
pourriez lui soumettre des conceptions peu précises qu'il aiderait à déployer,
il ne leur donnerait aucune consistance.

En résumé, les mathématiques, par leurs types excellents d'analyse, nous
apprennent, suivant l'expression de Descartes, «à conduire par ordre nos
pensées» et nous préparent ainsi aux divers travaux de l'esprit et aux
affaires de la vie, parce que l'analyse sert partout.

Il y a cependant quelques périls, quelques abus à signaler: l'adhésion trop
confiante aux principes, le traitement trop rigoureux de certains sujets, un
goût trop prononcé pour la forme du raisonnement géométrique et pour la
mise en formules.

VARIÉTÉS ET ANECDOTES

Quittant la région sévère des généralités, des principes et des
abstractions, reposons-nous, en observant les Savants et la Science par le
côté familier.

Nous faisons un petit classement des aperçus et des anecdotes réunis ici,
mais le lecteur peut feuilleter au hasard.

MŒURS, OPINIONS. DISTRACTIONS DE SAVANTS

UN GÉOMÈTRE

Je passais l'autre jour sur le Pont-Neuf avec un de mes amis: il rencontra
un homme de sa connaissance qu'il me dit être un géomètre; et il n'y avait
rien qui y parût, car il était dans une rêverie profonde: il fallut que mon ami
le tirât longtemps par la manche et le secouât pour le faire descendre jusqu'à
lui, tant il était préoccupé d'une courbe qui le tourmentait peut-être depuis
plus de huit jours!...

Son esprit régulier toisait tout ce qui se disait dans la conversation. Il
ressemblait à celui qui, dans un jardin, coupait avec son épée la tête des
fleurs qui s'élevaient au-dessus des autres. Martyr de sa justesse, il était
offensé d'une saillie, comme une vue délicate est offensée par une lumière
trop vive. Rien ne lui était indifférent, pourvu qu'il fût vrai. Aussi, sa
conversation était-elle singulière. Il était arrivé ce jour-là de la campagne
avec un homme qui avait vu un château superbe et des jardins magnifiques;
et il n'avait vu, lui, qu'un bâtiment de soixante pieds de long sur trente-cinq
de large et un bosquet long de dix arpents (sic); il aurait souhaité que les
règles de la perspective eussent été tellement observées, que les allées des

avenues eussent paru partout de même largeur; et il aurait donné pour cela
une méthode infaillible. Il parut fort satisfait d'un cadran qu'il y avait
démêlé; et il s'échauffa fort contre un savant qui était auprès de moi, qui
malheureusement lui demanda si ce cadran marquait les heures
babyloniennes. Un nouvelliste lui parla du bombardement du château de
Fontarabie; et il nous donna soudain les propriétés de la ligne que les
bombes avaient décrite en l'air; et charmé de savoir cela, il voulut en
ignorer entièrement le succès.

Montesquieu.

Le mathématicien exclusif ne voit en chaque chose qu'un prétexte pour
calculer.

ROUTE ROYALE

Le roi Ptolémée ayant demandé à Euclide de lui rendre plus faciles les
mathématiques, celui-ci répondit: «Il n'y a pas de route royale en
Géométrie.»

Il était meilleur courtisan que l'Alexandrin, ce chimiste professant devant
un prince: «Monseigneur, ces gaz vont avoir l'honneur de se combiner
devant vous.»

DERNIÈRE CONVERSATION

«J'ai été bien mal avant-hier, dit Lagrange, je me sentais mourir; mon
corps s'affaiblissait peu à peu, mes facultés morales et physiques
s'éteignaient insensiblement; j'observais avec plaisir la progression bien
graduée de la diminution de mes forces, et j'arrivais au terme sans douleur,

sans regrets, et par une pente bien douce; c'est une dernière fonction qui
n'est ni pénible ni désagréable...

«Quelques instants de plus, et il n'y avait plus de fonctions, la mort était
partout... Je voulais mourir, oui, je voulais mourir; mais ma femme n'a pas
voulu: j'eusse préféré une femme moins bonne, moins empressée à ranimer
mes forces, et qui m'eût laissé finir doucement.

«J'ai fourni ma carrière; j'ai acquis quelque célébrité dans les
mathématiques. Je n'ai haï personne; je n'ai point fait de mal; il faut bien
finir.»

IL EST FACILE DE VOIR

Une fois, ayant demandé à Laplace quelque explication sur sa mécanique
céleste, je le vis passer près d'une heure à tâcher de ressaisir la chaîne des
raisonnements qu'il avait supprimés en disant négligemment: il est facile de
voir que...

Biot.

DÉFIS ET PARIS

Autrefois les mathématiciens se proposaient des problèmes les uns aux
autres, ils cachaient leurs propres solutions et le gagnant recevait une
somme d'argent. Les correspondances des savants au xvie et au xviie siècles
sont pleines de piquants détails à ce sujet. Le P. Mersenne était souvent pris
pour arbitre. L'Académie des sciences a maintenant régularisé ces concours,
en proposant des questions et en donnant des prix.

Pascal soumit aux recherches des savants ses problèmes sur la cycloïde,
en promettant une forte somme. Wallis seul trouva les principales réponses.

Le grand Descartes, au service de la Hollande en 1617, vit contre un mur
une affiche en flamand qu'il se fit traduire par un passant. Il s'agissait d'un
problème difficile proposé par un géomètre. Descartes le résolut sur le
champ.

Jean Bernoulli tenait en médiocre estime les travaux de son fils Daniel.
Un jour que le père et le fils avaient concouru dans un de ces tournois, le
mémoire du fils fut préféré à celui du père qui ne pardonna jamais à Daniel
de l'avoir emporté sur lui.

AUTOBIOGRAPHIE

On lit dans celle que Leibniz a laissée: «Taille moyenne. Figure pâle.
Mains froides. Pieds et doigts longs. Cheveux d'un brun foncé, droits et non
frisés. Vue basse dès l'enfance. Corps maigre. Voix mince, mais claire,
haute plutôt que forte. Difficulté de prononcer les gutturales et le R.

Aimant les odeurs fortes, les spiritueux; les choses sucrées et le sucre.
Ayant l'habitude de mettre du sucre dans son vin.

N'est jamais ni trop gai, ni trop triste.

Se passionne promptement en pensées et en paroles et peut à peine se
modérer, mais devient bientôt calme et doux.

Goût médiocre pour la conversation, mais la préférant aux jeux de cartes
et aux exercices qui exigent du mouvement.

Menant et aimant de préférence une vie sédentaire.

Souriant plus souvent que riant.

Colère prompte et courte.

Commençant une entreprise avec hésitation et la continuant ferme, avec
persévérance.

Mémoire médiocre.

Plus affecté d'un petit mal présent que d'un grand mal passé.»

DÉPUTÉ MUET

On raconte que Newton, qui fut membre de la Chambre des Communes,
y restait silencieux et distrait. Il n'ouvrit la bouche qu'une fois pour prier un
huissier de fermer une fenêtre qui produisait un courant d'air.

Peu parlementaire, quoique anglais, mais pratique.

DOUZE FOIS DOUZE?

Lagny, le mathématicien, était à l'agonie; on le croyait déjà mort,
lorsqu'un de ses confrères lui demanda: «Douze fois douze?» «Cent
quarante-quatre», répondit faiblement le moribond.

D'autres prétendent que l'expérience a été faite sur l'abbé Bossut.

LE TONNEAU

«Comme je venais de me marier, dit Kepler, la vendange étant abondante
et le vin à bon marché, il était du devoir d'un bon père de famille d'en faire
provision et de garnir ma cave. Ayant donc acheté plusieurs tonneaux,
quelques jours après, je vis arriver mon vendeur pour fixer le prix en

mesurant leur capacité: sans exécuter aucun calcul, il plongeait une baguette
de fer dans chaque tonneau et déclarait immédiatement leur contenance.

Sous l'influence d'un bon génie qui sans doute était géomètre, les
constructeurs de tonneaux leur ont précisément donné la forme qui, pour
une même longueur donnée à la ligne mesurée par les jauges, leur assure la
plus grande capacité possible; et comme aux environs du maximum les
variations sont insensibles, les petits écarts accidentels n'exercent aucune
influence appréciable sur la capacité, dont la mesure expéditive est par suite
suffisamment exacte.

..... Qui peut nier que la nature seule, sans aucun raisonnement, puisse
engendrer la géométrie, lorsqu'on voit nos tonneliers, conduits par leurs
yeux et par l'instinct du beau, deviner la forme qui se prête le mieux à une
mesure exacte!»

GÉOMÈTRE AU POUVOIR

Géomètre de premier rang, Laplace ne tarda pas à se montrer
administrateur plus que médiocre; dès son premier travail, nous reconnûmes
que nous nous étions trompé. Laplace ne saisissait aucune question sous son
véritable point de vue; il cherchait des subtilités partout, n'avait que des
idées problématiques, et portait enfin l'esprit des infiniment petits jusque
dans l'administration.

Napoléon.

MODESTIE

«Je vais dans quelques jours entrer dans ma quatre-vingtième année; j'ai
déjà vécu près de deux ans de plus que M. de Lagrange qui n'a vécu que
soixante-dix-sept ans et soixante-dix-sept jours, et d'un an de plus que M.

de Laplace qui a vécu soixante-dix-huit ans moins dix-huit jours; je dois
donc compter un à un les jours qu'il plaira à Dieu de m'accorder, et je n'ai
pas un moment à perdre pour achever la tâche que j'ai entreprise dans la vue
de compléter, par un dernier effort, mes travaux sur les fonctions elliptiques
et sur les transcendantes analogues..... C'est, en effet, la gloire de M. Abel
que je mettrai dans tout son jour, en faisant voir que son théorème
généralise à l'infini tous ceux que l'immortel Euler avait découverts sur les
fonctions elliptiques. Une nouvelle branche d'analyse, bien plus vaste que
celle des fonctions elliptiques, est ouverte par ce théorème admirable.»

Legendre.

AVEUGLES

Saunderson, quoique aveugle, fut professeur de mathématiques et
d'optique, à l'Université de Cambridge.

Le célèbre Euler était aveugle, lorsqu'il composa son algèbre, si simple et
si attrayante.

Plateau, de Gand, atteint de cécité, a continué ses recherches sur les
figures d'équilibre des liquides.

Le jeune aveugle Penjon, qui suivait les cours du lycée Charlemagne, a
eu en 1806 un prix de mathématiques au concours général et il a été nommé
professeur de ces sciences au lycée d'Angers.

L'homme pense plus librement lorsqu'il ferme les yeux: il est moins
distrait par les choses extérieures.

On appelle problème de Molyneux (géomètre anglais du xviiie siècle) le
problème suivant: Un aveugle-né devenu subitement clairvoyant par une

opération, pourrait-il tout d'abord et sans le secours du toucher distinguer
une sphère d'un cube et dire: Voici la sphère et voilà le cube?

SUR L'ÉCHAFAUD

Le 12 novembre 1793, lorsque l'astronome Bailly, ancien maire de Paris,
fut conduit à l'échafaud, un des gardes l'interpella: «Tu trembles, Bailly.»
«Oui, je tremble, répondit ce dernier, mais c'est de froid.»

SAVANTS FOUS

Le célèbre algébriste Cardan, qui était médecin, a cherché si les remèdes
agissent d'après les progressions arithmétiques ou géométriques des doses.
Ayant foi en l'astrologie, il avait tiré son horoscope et réglé en conséquence
sa fortune. Mais le terme qu'il avait fixé étant arrivé, il se trouva réduit à
une si grande misère qu'il dut mettre fin à ses jours.

Un autre, Fatio de Duiller, avait annoncé qu'il ressusciterait un mort, mais
le mort résista.

Il y a peu d'années, l'Académie des sciences a décerné le prix dans un
concours de hautes mathématiques à un mémoire dont l'auteur s'est trouvé
être un pensionnaire de la maison nationale de Charenton. Il n'y avait pas
d'inadvertance. Le mémoire était de tout premier mérite, d'autre part,
l'auteur n'avait pas du tout songé à protester d'une façon détournée contre
son sort. Sa raison était atteinte, mais non pas le casier des mathématiques.
Et qui sait si ce n'est pas l'activité de cette portion privilégiée de la matière
cérébrale qui avait atrophié une partie du reste?

DEUX TRISTES PERSONNAGES

L'un est le trop fameux Libri, savant et érudit, auteur d'une histoire des
Mathématiques en Italie, qui a pillé nos bibliothèques dont il était
l'Inspecteur. Il s'est sauvé en Angleterre, il a été condamné par les
tribunaux, et il est mort misérablement en 1869. Notre Bibliothèque
nationale a pu racheter la plupart des livres rares dont elle avait été
dépouillée.

L'autre est l'escroc Vrain Lucas qui a mystifié le géomètre Chasles en lui
vendant, de 1867 à 1869, des autographes d'après lesquels Pascal aurait fait
la plupart des découvertes attribuées à Newton. Le faussaire a été condamné
à deux ans de prison: il avait avoué avoir fait et trafiqué plus de vingt mille
faux autographes.

MARIAGE

Dans ce temps-là, sauf de rares exceptions, les savants, les
mathématiciens surtout, étaient regardés dans le monde comme des êtres
d'une nature à part. On aurait voulu leur interdire le concert, le bal, le
spectacle, comme à des ecclésiastiques. Un géomètre qui se mariait
semblait enfreindre un principe de droit. Le célibat passait pour la condition
obligée de quiconque s'adonnait aux sublimes théories de l'analyse. Le tort
était-il tout entier du côté du public? Les géomètres ne l'avaient-ils pas eux-
mêmes excité à voir la question sous ce jour-là?...

D'Alembert reçoit indirectement de Berlin la nouvelle que Lagrange vient
de donner son nom à une de ses jeunes parentes. Il est quelque peu étonné
qu'un ami avec lequel il entretient une correspondance suivie ne lui en ait
rien dit. Cela même ne le détourne pas d'en parler avec moquerie:
«J'apprends, lui écrit-il, que vous avez fait ce qu'entre nous philosophes
nous appelons le saut périlleux... Un grand mathématicien doit, avant toutes
choses, savoir calculer son bonheur. Je ne doute pas qu'après avoir fait ce
calcul, vous n'ayez trouvé pour solution le mariage.»

Lagrange répond de cette étrange manière: «Je ne sais pas si j'ai bien ou
mal calculé, ou, plutôt, je crois ne pas avoir calculé du tout; car j'aurais
peut-être fait comme Leibniz qui, à force de réfléchir, ne put jamais se
déterminer. Je vous avouerai que je n'ai jamais eu de goût pour le
mariage,... mais les circonstances m'ont décidé... à engager une de mes
parentes... à venir prendre soin de moi et de tout ce qui me regarde. Si je ne
vous en ai pas fait part, c'est qu'il m'a paru que la chose était si indifférente
d'elle-même, qu'il ne valait pas la peine de vous en entretenir.»

Arago.

RECONSTRUCTION

Le général Poncelet, officier du génie sous le premier empire, fut fait
prisonnier pendant la terrible guerre de Russie et interné à Saratof, sur le
Volga. Lorsque, pour se distraire, il voulut travailler les mathématiques, il
constata qu'il les avait complètement oubliées, par suite du froid et de la
fatigue. Alors, sans aucun livre, il reconstitua peu à peu toutes ces sciences
à sa manière. Il a conservé et publié ses notes, pleines d'aperçus nouveaux
et tout à fait personnels.

PORTRAITS

Le mathématicien, du flamand Bol, est au musée du Louvre. Le savant,
en noir, tient d'une main une règle et de l'autre il montre une figure
géométrique; il est grave et semble méditer.—Il y a aussi un mathématicien,
de Vélasquez, au musée de Besançon.

UNE CASQUETTE

Lorsqu'en 1826, Abel, mathématicien suédois, vint à Paris voir nos
savants, il était coiffé d'une casquette étrange qui lui nuisit beaucoup.

Abel, mort jeune, avait du génie: c'est lui qui a découvert les fonctions
dites abéliennes et établi l'impossibilité de la résolution algébrique des
équations de degré supérieur au quatrième.

DÉNOMINATEUR À LA MAISON

Dans un cours public, le professeur, M. Lefébure de Fourcy, écrivant au
tableau d'après ses notes une très longue formule, dut s'excuser en disant:
«Messieurs, j'ai oublié le dénominateur à la maison.»

DISTRACTIONS

Distrait comme un mathématicien, est un dicton justifié. Le grand
Newton a donné le mauvais exemple: un jour, ne voulant pas interrompre
son travail, il se préparait un œuf à la coque, lorsqu'au bout d'un moment, il
s'aperçut qu'il tenait l'œuf à la main et qu'il avait fait cuire sa montre à
secondes, bijou du plus grand prix, à cause de sa précision.

Le même Newton avait habitué ses chats à s'installer sans façon dans son
cabinet de travail, mais la longueur des calculs du savant lassait souvent
leur patience proverbiale. Les vieux matous allaient se mettre en
expectative près de la porte; les plus jeunes, plus impatients, miaulaient
impérieusement pour qu'on leur ouvrît. Continuellement interrompu, le
savant se décida à faire une chattière juste assez grande pour laisser passer
les petits félins qui étaient les plus turbulents de la troupe. Mais les gros,
qui voyaient les petits aller et venir à leur guise, se livrèrent à un tel sabbat
que Newton prit enfin le parti de faire pratiquer une grande chattière à côté
de la petite.

Ampère, surnommé le distrait, remarqua, une fois qu'il se rendait à son
cours, un petit caillou sur son chemin, et comme il n'était pas un savant
exclusif, il le ramassa et l'examina. Tout à coup, le cours qu'il doit faire
revient à son esprit, il tire sa montre, s'apercevant que l'heure approche, il
double précipitamment le pas, remet le caillou dans sa poche et lance sa
montre par-dessus le parapet du pont des Arts.

Ampère ne manquait jamais, lorsqu'il avait terminé une démonstration
sur le tableau, à l'École polytechnique, d'essuyer les chiffres avec son
mouchoir et de remettre dans sa poche le torchon traditionnel, toutefois,
bien entendu, après s'en être préalablement servi.

Enfin Ampère se mit un jour à calculer sur la caisse noire d'un fiacre,
avec le bout de craie qu'il portait toujours sur lui. Le fiacre se mettant en
marche, le mathématicien le suivit en courant pour continuer ses équations.

Mais, voici qui est plus fort: on raconte qu'un géomètre, dont le nom
nous échappe, quittant Paris pour aller se marier en province et craignant
d'oublier la chose, avait écrit en grosses lettres sur son calepin «me marier
en passant à Tours.»

AUTEUR EMBARRASSÉ

De tous les métiers actuels, le plus dur est celui d'écrire des livres de
mathématiques, et surtout des livres astronomiques.

Si, en effet, vous oubliez d'observer la rigueur propre des propositions et
de leur enchaînement, des démonstrations et des conclusions, le livre n'offre
pas le caractère mathématique. Si, au contraire, vous en tenez compte, la
lecture devient très pénible...

Moi-même,... lorsque je viens à relire le présent ouvrage, je sens les
forces de mon esprit s'affaiblir pendant que je rappelle à mon souvenir, en
voyant les figures, les éléments des démonstrations que, dès l'origine,

j'avais tirées de mon esprit, pour les traduire... en langage ordinaire. Aussi,
pendant que je remédie à l'obscurité du sujet par un tissu de circonlocutions,
me semble-t-il que, par un défaut contraire, je deviens trop verbeux en
matière mathématique.

Or la prolixité a aussi son obscurité, non moins que la concision
extrême....

Kepler.

DE L'ARGENT

La reine d'Angleterre, ayant daigné visiter une nuit l'Observatoire de
Greenwich, exprima à Bradley l'intention de lui faire allouer un traitement
plus convenable. «Je supplie Votre Majesté de ne pas donner suite à son
projet, répliqua Bradley. Si la place de Directeur rapportait de l'argent, ce ne
serait plus un astronome qui demeurerait ici.»

NEZ PERDU

L'astronome Tycho-Brahe, voyageant en Allemagne, se prit de querelle
avec un savant, à propos d'un théorème. Un duel s'en suivit, et le pauvre
Tycho y perdit son nez! Il dut s'en faire mouler un en cire.

BONS JOUEURS

C'est une idée très généralement répandue que la plupart des personnes
que l'on sait adonnées aux mathématiques passent aussi pour être habiles au
jeu d'échecs. Ce jugement est habituellement formulé par des gens qui, ne

connaissant pas le jeu d'échecs, s'imaginent qu'en raison de sa difficulté et
de la grande attention qu'il exige, il emprunte nécessairement des ressources
à l'emploi des mathématiques, qu'il ne saurait être convenablement joué que
par des mathématiciens, et enfin, qu'il doit être naturellement joué par des
mathématiciens.

Il est pourtant bien établi que le jeu d'échecs n'a aucune relation avec les
mathématiques. Il n'y a pas eu et il n'y aura sans doute jamais d'ouvrage
traitant de la théorie mathématique du jeu d'échecs, pas plus d'ailleurs que
du jeu de dames; tandis qu'il existe des études mathématiques du jeu
d'écarté (Dormoy), du jeu de billard (Coriolis), et de certains autres.

Il est à présumer que si les mathématiciens passent pour connaître ou
aimer le jeu d'échecs, c'est sans doute parce que les mathématiciens ayant
l'esprit familiarisé avec les notions de rapport et de combinaison,
aperçoivent rapidement le pour et le contre de chaque trait du jeu. Mais,
encore une fois, s'il existe,—et nous en connaissons,—des mathématiciens
très habiles au jeu d'échecs, il ne s'en suit vraiment pas qu'on puisse étendre
cette qualité à tous les mathématiciens indistinctement.

Voir, dans Edgar Poe, l'Automate joueur d'échecs. «Aucun coup dans le
jeu des échecs ne résulte nécessairement d'un autre coup quelconque.»

BONHOMIE

L'académicien Ozanam, l'auteur des Récréations mathématiques, disait
qu'il appartient à la Sorbonne de disputer, au pape de décider et au
mathématicien d'aller au ciel en ligne perpendiculaire.

MODESTIE

Sturm, lorsqu'il parlait du célèbre théorème qu'il a découvert, disait: le
théorème dont j'ai l'honneur de porter le nom.

COUP DE FOUDRE

Parfois le mathématicien réfléchit longtemps sur une question sans
parvenir à rien trouver et tout à coup, parfois même au moment où il y
songe le moins, une idée se présente à son esprit et l'envahit tout entier;
puis, sans être arrêtée par aucun obstacle, elle se développe et amène après
elle la série de ses conséquences logiques: c'est un trait de lumière; tout ce
qui avait embarrassé le savant devient clair, tout s'explique et s'enchaîne; il
est dans une sorte d'ivresse délicieuse, de transport, d'extase. Mais parfois il
est pris de craintes et de scrupules: il tremble d'avoir cru trop vite aux
suggestions de son imagination et d'avoir été la dupe d'une illusion; tout
cela lui semble trop beau pour être vrai. Il revient en arrière, il contrôle par
le raisonnement l'exactitude de conjectures et il en reconnaît la justesse,
c'est-à-dire la rigueur logique.

E. Joyau.

HUMILITÉ

Je demande que cet ouvrage soit lu avec indulgence, et que les défauts
inévitables dans une matière aussi difficile, soient moins un sujet de blâme
qu'une occasion de tentatives nouvelles et de recherches plus heureuses.

Newton.

Cet extrait de la préface du grand livre des Principes nous montre
combien les hommes de génie sont modestes.

MORT D'ARCHIMÈDE

Archimède était seul, occupé à réfléchir sur une figure de géométrie, les
yeux et la pensée tout entiers à cette méditation, et ne s'apercevant ni du
bruit des Romains qui couraient par la ville, ni de la prise de Syracuse. Tout
à coup un soldat se présente et lui ordonne de le suivre devant Marcellus.
Archimède voulut résoudre auparavant le problème, et en établir la
démonstration; mais le soldat en colère tira son épée et le tua.

D'autres disent que le Romain arriva droit sur lui l'épée nue pour le tuer;
qu'Archimède le pria, le conjura d'attendre un instant, pour qu'il ne laissât
pas son problème inachevé et sans démonstration, mais que le soldat, ne se
souciant pas du problème, l'égorgea.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Quoi qu'il en soit, tout le monde s'accorde à dire que Marcellus en fut
vivement affligé; qu'il repoussa, comme sacrilège, le meurtrier
d'Archimède, et qu'il fit chercher et traita honorablement les parents de la
victime.

Plutarque.

EFFORTS GLORIEUX

Il est bien rude le travail que j'ai déjà accompli, et bien rude celui que
j'entreprends d'accomplir encore. Ce n'est ni le labeur ni la mémoire qui me
conduiront au but: ils ne sont que d'humbles esclaves au service de l'idée
pure qui se dirige elle-même. Mais la méditation opiniâtre, celle qui brise le
front, exige plus de puissance que le labeur le plus soutenu. Si grâce à un
exercice continuel de cette méditation, j'y ai acquis quelque force, qu'on ne

dise pas qu'elle me soit devenue facile par quelque heureux don de la
nature. C'est un rude, bien rude travail qu'il me faut soutenir, et le tourment
d'esprit que me causent ces efforts a souvent ébranlé gravement ma santé.
Mais la conscience de la force acquise me donne de mon travail la plus
belle récompense, et m'encourage de nouveau à le poursuivre sans relâche.
Des hommes sans idées, pour qui ce travail et par suite cette conscience
qu'on a de sa force sont choses tout à fait inconnues, cherchent à détruire
cette consolation, qui seule pourtant peut empêcher l'esprit de se laisser
défaillir dans cette pénible carrière, en rendant odieuse, sous les noms de
présomption et d'orgueil, la conscience qu'on a d'être indépendant et libre;
car c'est par le mouvement seul de la pensée que l'homme est libre et
s'appartient. Quiconque porte en soi l'idée d'une science, ne peut manquer
d'apprécier les choses d'après la manière dont l'intelligence humaine s'y
révèle: de ce point de vue élevé, bien des choses devront lui paraître futiles,
qui peuvent sembler aux autres d'un assez grand prix.

Charles-Gustave Jacobi.

POSTILLON

En 1829, quand le grand mathématicien (Ampère), atteint des premiers
symptômes d'une maladie de larynx, voyageait sur la route d'Hyères, où il
allait chercher le repos et le soleil, assis au fond d'une calèche à côté de son
fils qui l'accompagnait, il se chargeait volontiers de payer les postillons.
Aux portes d'Avignon, dans ce pays déjà méridional, où le langage
populaire se colore et s'accentue d'épithètes énergiques, André Ampère
essayait laborieusement de régler ses frais de route; mais d'un côté la
distraction, de l'autre l'impatience, embrouillaient incessamment toutes ses
additions.

L'affaire s'arrange enfin au gré de l'Avignonnais, qui reçoit son pourboire
et dit d'un air de superbe dédain: «En voilà un mâtin qui n'est pas malin! Où
celui-là a-t-il appris à carculer?»

Tout entier à l'admiration que m'inspirait le génie de mon père, disait
notre ami (J.-J. Ampère), en rappelant ses souvenirs, je l'écoutais parler sur
la classification des connaissances humaines, quand cet incident vint nous
interrompre.

Mme H. C.

PARESSE

Les grands géomètres connaissent cette espèce de paresse, qui préfère la
peine de découvrir une vérité à la contrainte peu agréable de la suivre dans
l'ouvrage d'autrui. En général ils se lisent peu les uns les autres, et peut-être
perdraient-ils à lire beaucoup: une tête pleine d'idées empruntées n'a plus de
place pour les siennes propres, et trop de lecture peut étouffer le génie.

d'Alembert.

DÉSINTÉRESSEMENT

Au retour de son voyage astronomique au Cap de Bonne-Espérance,
l'abbé La Caille avait obtenu la faveur de faire passer en France toutes ses
malles, affranchies des droits de visite. Il pouvait, à cette occasion, faire un
gain considérable et l'on fut surpris, lorsqu'au lieu de prendre des
marchandises, il se borna à remplir une grande valise de paille et
d'instruments. Quoique doux, il reçut fort mal un particulier qui lui offrit
alors cent mille livres comptant, s'il voulait lui transmettre secrètement son
privilège.

On avait alloué à l'astronome dix mille livres pour tous ses frais et ceux
de son aide pendant l'expédition qui dura quatre ans (1750-1754). Il ne
dépensa que 9145 livres et il s'empressa de rembourser le restant au trésor.

Il paraît qu'on fit des difficultés pour accepter, le cas n'étant pas prévu par
les règlements.

ZOZO

Le recteur de Montpellier, nommé Gergonne, était un de ces types
complets de la vieille Université. Son visage orné d'un long nez en forme de
bec à corbin, ne se déridait jamais; ses lèvres serrées et dédaigneuses ne
s'ouvraient que pour laisser passer la critique, le reproche ou des mots
piquants. Malheur au professeur qui osait s'écarter des bornes du
programme ou quitter les routes battues! Jubinal, titulaire du cours de
littérature étrangère, en fit l'épreuve à ses dépens. Instruit de la forme un
peu légère et de la désinvolture de son enseignement, le vieux Gergonne
vint l'entendre un jour; puis le faisant appeler, le réprimanda vertement et le
somma de devenir plus sérieux, sous peine de suspension. Jubinal, ayant
répondu, pour s'excuser, qu'il y avait beaucoup de monde à son cours:—
Monsieur, dit Gergonne, de sa voix aigre et mordante comme des tenailles,
Zozo, le charlatan du Peyrou, en a encore plus que vous!

Ce fut un mot malheureux pour le professeur de littérature étrangère, que
les étudiants n'appelèrent plus que Zozo.

Mary-Lafon.

ROBINSON

Encore enfant, Lacroix s'était ému à la lecture des aventures romanesques
de Robinson Crusoë. Lui aussi, il voulait trouver cette île fortunée où il
serait possible de mener, dans la compagnie de sa mère, une vie plus
tranquille et moins éprouvée par la pauvreté. Cette idée qui a inspiré plus
d'un beau rêve à de jeunes esprits, captiva son ardente imagination et excita
son ardeur pour le travail. La construction du vaisseau qui devait le

transporter vers ces rives enchantées exigeait des connaissances
approfondies, il les chercha dans des traités spéciaux; les termes de
géométrie l'arrêtaient fréquemment, il en demanda l'explication et le
commentaire aux cours que Mauduit faisait alors au Collège de France.
C'est sur les bancs de cette école que son rêve devait finir... À dix-sept ans,
Lacroix professait les mathématiques à l'École des Gardes de la Marine à
Rochefort.

J. Loridan.

PROFESSEURS ET ÉTUDIANTS

EXAMINATEUR

On trouvait Monge inflexible chaque fois que l'intérêt public semblait
exiger qu'il fît prévaloir les décisions de l'examinateur. «Vous avez refusé
un candidat qui appartient à de bien puissantes familles, lui disait le
maréchal de Castries, ministre de la marine. Votre décision me donne mille
tracas; je suis accablé de réclamations.—Vous êtes parfaitement le maître,
repartit l'austère examinateur, d'admettre le candidat qui m'a paru
inacceptable; mais si vous prenez cette décision, Monsieur le maréchal, il
faudra supprimer en même temps la place que j'occupe. Les fonctions que je
remplis ne seraient plus ensuite ni utiles ni acceptables.» Le candidat
inadmissible ne fut pas admis.

RÉCOMPENSÉ

Dans ma longue carrière de professeur et d'examinateur, dit Lamé, rien
ne m'a plus étonné que la brusque et subite apparition de la faculté du
raisonnement mathématique chez un élève que je suivais depuis plusieurs
années, plein de bonne volonté, de zèle pour le travail, du désir de
comprendre ce qu'il était forcé d'abandonner à la mémoire, seule active chez
lui. Un jour, à un certain instant, au milieu d'une démonstration mainte fois

répétée, une porte s'ouvrit tout à coup dans son esprit: il comprenait! La
joie, l'émotion de l'élève ne sauraient se décrire... Dès le lendemain son élan
était pris, et il regagnait à pas de géant les retards du passé, de manière à
primer tous ses camarades.

PONCTUALITÉ

Poisson avait un genre de mérite dont se dispensent trop souvent ceux-là
mêmes qui ne pourraient invoquer pour excuse le rang qu'ils occupent dans
la science: l'exactitude. Jamais il ne manqua une leçon sans être retenu au lit
par la maladie; jamais, tant que sa voix put se faire entendre, il ne confia à
un suppléant la satisfaction d'initier à la science la jeunesse studieuse. On
pourrait vraiment, en y changeant un seul mot, appliquer à ce savant les
paroles qui terminent l'éloge d'Euler par Condorcet: «Tel jour, Poisson cessa
de professer et de vivre.»

TOUCHANTE RÉCIPROQUE

Jamblique raconte que Pythagore, ayant distingué un ouvrier, lui enseigna
les mathématiques, en le payant trois oboles par théorème: c'était le prix de
la journée de l'ouvrier. Bientôt, pour éprouver son élève, le philosophe
feignit d'être tombé dans la misère et le jeune homme lui offrit à son tour
trois oboles pour chaque nouveau théorème.

RAIDEUR

Nous empruntons à Arago, le récit de ses examens d'entrée et de sortie à
l'École Polytechnique.

Mon camarade, intimidé, échoua complètement. Lorsqu'après lui, je me
rendis au tableau, il s'établit entre M. Monge (le jeune), l'examinateur et
moi, la conversation la plus étrange: «Si vous devez répondre comme votre
camarade, il est inutile que je vous interroge.

—Monsieur, mon camarade en sait beaucoup plus qu'il ne l'a montré;
j'espère être plus heureux que lui, mais ce que vous venez de me dire
pourrait bien m'intimider et me priver de tous mes moyens.

—La timidité est toujours l'excuse des ignorants; c'est pour vous éviter la
honte d'un échec que je vous ai fait la proposition de ne pas vous examiner.

—Je ne connais pas de honte plus grande que celle que vous m'infligez
en ce moment. Veuillez m'interroger, c'est votre devoir.

—Vous le prenez de bien haut, monsieur! Nous allons voir tout à l'heure
si cette fierté est légitime.

—Allez, monsieur, je vous attends!»

M. Monge m'adressa alors une question de géométrie à laquelle je
répondis de manière à affaiblir ses présomptions. De là, il passa à une
question d'algèbre, à la résolution d'une équation numérique. Je savais
l'ouvrage de Lagrange sur le bout du doigt....

J'étais depuis deux heures et quart au tableau; M. Monge passant d'un
extrême à l'autre, se leva, vint m'embrasser et déclara solennellement que
j'occuperais le premier rang sur sa liste.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

L'examinateur était cette fois l'illustre géomètre Legendre.

... On venait d'emporter un élève complètement évanoui.

«Comment vous appelez-vous? me dit-il brusquement.—Arago,
répondis-je.—Vous n'êtes donc pas Français...»

M'ayant fait une question qui exigeait l'emploi des intégrales doubles, il
m'arrêta en me disant: «La méthode que vous suivez ne vous a pas été
donnée par le professeur. Où l'avez-vous prise?—Dans un de vos mémoires.
—Pourquoi l'avez-vous choisie? Était-ce pour me séduire?—Non, rien n'a
été plus éloigné de ma pensée. Je l'ai adoptée parce qu'elle m'a paru
préférable.—Si vous ne parvenez pas à m'expliquer les raisons de votre
préférence, je vous déclare que vous serez mal noté, du moins pour le
caractère.»

Un professeur anglais avait habitué ses élèves à se lever à chaque grand
nom de mathématicien qu'il prononçait et à pousser un hurrah lorsqu'il était
question d'Archimède ou de Newton.

PETITS MANDARINS

En Chine, tous les trois ans, le 8e jour de la 8e lune, les candidats sont
enfermés dans des espèces de niches qui les isolent complètement. À la
porte, se tient un soldat armé d'une lance.

Si deux jeunes gens parvenaient à se communiquer leurs copies, ils
seraient, assure un voyageur, condamnés à mort et exécutés sur le champ (?)

Chaque candidat jugé par trop faible est puni, dit-on, de cinquante coups
de bambou sur la plante des pieds.

PRÉSIDENT

M. Thiers, le président de la République, était comme Chevreul un vieil
étudiant. La géométrie lui était enseignée sur le tard par l'un de nos savants,
M. Mannheim, qui lui parla un jour des diverses sections du cône, mais M.

Thiers répliqua: «Allons donc, chacun sait que la section d'un cône de
révolution par un plan est toujours un cercle!» «Vous croyez, M. le
Président, hé bien, nous allons faire l'expérience sur une carotte.»

CORRESPONDANCE

Un maître d'école des environs de Mayence rencontra quelques
difficultés dans l'arithmétique qu'il enseignait aux enfants du village. Il en
écrivit à un homme considérable attaché à l'Électeur et qui avait la
réputation d'être très versé dans les sciences de calcul. À quelques semaines
de là, l'homme considérable s'excuse auprès du maître d'école sur ses
nombreuses occupations, de n'avoir pas répondu plus tôt, et entre ensuite
dans tous les détails nécessaires pour faire disparaître les difficultés
arithmétiques.

Cet homme considérable se nommait Leibniz.

À LA HALLE

Un polytechnicien, marchandant un bouquet et insulté par la poissarde,
répliqua gravement, comme s'il récitait un théorème: «Eh! vas donc, vieux
parallélogramme pyramide tronquée, octaèdre régulier, espèce de secteur,
équation binome, tangente, etc.» Stupéfaction de la femme.

UN EXAMEN PÉRILLEUX

Bezout, examinateur de la marine, arrive à Toulon. Un des élèves était
retenu au lit par la petite vérole; s'il n'est pas examiné sur le champ, sa
carrière est perdue. Bezout n'a pas eu la petite vérole, il redoute

extrêmement les atteintes de cette terrible maladie; néanmoins il se rend
dans la chambre de l'élève, l'examine et le reçoit.

SENIOR WRANGLER

À l'Université de Cambridge, les étudiants d'élite terminent leurs études
par une série d'examens sur les hautes mathématiques et le lauréat, ou
senior wrangler, est encore plus fêté que notre Prix d'honneur au concours
général. En 1890, les examinateurs ont déclaré que, s'ils avaient eu le droit
de comprendre dans le classement final les jeunes filles autorisées
seulement à prendre une part platonique au concours, c'est miss Philippa
Fawcett qui aurait remporté la victoire.

LES TROIS HUIT

Certains pédagogues américains ont résumé ainsi l'emploi du temps qu'ils
proposent pour la jeunesse et qui consiste à répartir la journée également
entre le travail, le repos ordinaire et le sommeil.

On sait que, de leur côté, des socialistes réclament aussi la réduction à
huit heures de la journée du travailleur, même lorsqu'il est agriculteur ou
pêcheur.

DANS L'INDE

Il n'est pas rare... de voir des opérations de mathématiques,
multiplications de facteurs à plusieurs chiffres, transformations algébriques
ou trigonométriques faites de tête en un clin d'œil par de très jeunes enfants.

Le P. Goubé.

Les petits Indiens marchent ainsi sur les traces de leurs ancêtres.

Consulter Les Mathématiques aux Indes, par Delbos.

RESPONSABILITÉ

Chargé de corriger les compositions écrites du concours d'admission à
l'École polytechnique, Le Verrier écrit à son père: «Le concours écrit dont je
suis seul chargé est une sorte de magistrature que j'exerce et dont je
comprends toute la portée; je ne dormirais plus, si je pensais que, par
distraction, j'ai pu commettre une de ces injustices si cruelles pour un jeune
homme et qui tuent son avenir. J'ai trop ressenti, il y a peu d'années, les
douleurs d'un candidat pour ne pas considérer leurs droits comme sacrés.»

FORT EN THÈME

Nous lisons dans un petit livre anonyme sur l'enseignement: Le fort en
thème et le fort en x vivent en assez bonne intelligence, en se faisant des
concessions réciproques. Le premier ne croit point à la supériorité réelle de
son émule. Le second est d'une indulgence écrasante pour les toquades de
l'autre.

GRAND'SOIF

Aux examens de l'École polytechnique, en 1833, l'Examinateur M.
Reynaud, ayant appelé un candidat absent, demande un élève de bonne

volonté, pour le remplacer. Le jeune Catalan, poussé par ses camarades, se
risque, quoiqu'il n'ait jamais assisté à un examen. Pauvrement et
grotesquement vêtu, il a l'air d'un jeune sauvage. Il hésite au début, puis il
se relève et même il brille. Après avoir longuement parlé, il aperçoit un
verre, une carafe d'eau, du sucre, et... il se prépare un verre d'eau sucrée. M.
Reynaud accourt, et s'écrie: «Êtes-vous indisposé?» «Non, Monsieur, mais
voilà longtemps que je parle: j'ai grand'soif!» L'apparente effronterie n'était
que de la naïveté. La légende dura plusieurs années: «Catalan qui boit le
verre d'eau de l'examinateur!»

ENFANTS ET IGNORANTS

ENFANT TERRIBLE

Toto était interrogé avec bonhomie par son père sur la soustraction: «Si tu
as huit pommes et que tu m'en donnes trois, combien t'en reste-t-il?»—Le
tout petit réplique aussitôt: «Si j'ai cinq-z-yeux et que tu m'en crèves six,
combien qu'i'm'en reste?»

TROP COURT

On dit à un enfant de faire une mesure avec le mètre, il essaye mais en
vain: le mètre n'était pas assez long!

REP... D'MATH...

Loulou.—Répétiteur d'math...

Papa.—Hein?

Loulou, condescendante.—... ématique... mathématiques... nous disons
math... c'est plus court...

Papa.—En effet...

Loulou.—C'est du reste pour toi qu'j'avais dit répétiteur d'math... car on
doit dire: «l'rep... d'math...» c'est le vrai genre...

Papa.—Ah!... c'est le genre!... et pourquoi as-tu un répétiteur de math...
puisque math... il y a?

Loulou.—Parc'que c'est ce qui me chante l'moins!... j'suis obligée d'les
bûcher très dur, ces sales math!...

Gyp.

PAROLE D'HONNEUR

Lorsqu'au temps jadis, le duc d'Angoulême fut nommé grand-maître de la
Marine, on s'aperçut avec stupeur qu'il savait à peine compter.
Immédiatement le plus célèbre géomètre de France fut mandé pour
l'instruire en la mathématique, comme on disait alors. Mais c'est en vain
qu'il tenta d'en démontrer les principes les plus élémentaires à son auguste
disciple. Celui-ci l'écoutait avec une exquise politesse, mais en hochant la
tête avec un doux air d'incrédulité.—Un jour, à bout d'arguments, le pauvre
maître s'écria: «Monseigneur, je vous en donne ma parole!» «Que ne le
disiez-vous plus tôt! Monsieur, répondit le duc en s'inclinant: je ne me
permettrai plus jamais d'en douter.»

FACÉTIES GÉOMÉTRIQUES

Deux paysans ont échangé leurs champs, l'un carré de 6m de côté, l'autre
rectangulaire de 9m de long sur 3 de large, chacun des champs ayant ainsi
24m de tour. Le second paysan se prétend lésé.

Mon arrière-grand-père, ayant emprunté un sac de blé de 6 pieds de haut
sur 4 pieds de large, en a ensuite rendu quatre de 6 pieds aussi de haut et
d'un pied de large chacun. Le prêteur n'a pas accepté.

Un jardinier a droit à l'eau que lui apporte un conduit circulaire. Il paye
pour avoir le double d'eau et il double à cet effet le diamètre du conduit. On
lui fait un procès.

ENTÊTEMENT

Bernardin de Saint-Pierre ne comprenait pas la question du rayon de
courbure de l'ellipsoïde terrestre et il fatiguait l'Institut de ses notes.
«Apprenez le calcul différentiel, lui dit un jour Napoléon, et vous lèverez
vous-même vos ridicules objections.»

Voir la préface de La chaumière indienne où l'on trouve l'explication des
marées par la fonte des neiges polaires.

PEU INTELLIGENT

Arago, qui fut un admirable vulgarisateur dans ses cours de
l'Observatoire, regardait toujours celui de ses auditeurs qui lui paraissait
être le moins intelligent, et lorsque cet auditeur lui semblait avoir compris,
il était assuré de la clarté de sa démonstration.

Or, un jour, dans un salon où il venait de raconter ce fait, un jeune
homme entra, qu'il ne connaissait pas et dont il eut à subir les saluts les plus
empressés.

—À qui ai-je l'honneur de parler? lui demanda-t-il.

—Oh! monsieur Arago, vous devez bien me connaître, car j'assiste
assidûment à vos leçons, et vous ne cessez de me regarder pendant tout le
temps.

CHEZ LES TURCS

On rapporte qu'un ambassadeur, visitant une école supérieure de
Constantinople, proposa de démontrer que la somme des angles d'un
triangle est égale à deux angles droits. Après mûres réflexions, le collège
des Muhendis ou des géomètres conclut à l'exactitude de la proposition pour
le triangle équilatéral.

Olry Terquem, auquel nous empruntons l'anecdote, s'est trompé. Le baron
de Tott dit, dans ses mémoires, qu'il lui fut répondu: «C'est selon le
triangle.»

POLICE VOLÉE

D'après un journal de la Triplice (ne pas confondre avec la triple x), la
police russe a fait emprisonner un voyageur porteur d'une Table de
logarithmes qu'elle considère comme une longue correspondance chiffrée
des plus compromettantes.

Nous faisions à l'École, un usage plus gai de nos tables de logarithmes:
nous les chantions... d'après la méthode Chevé.

DÉCIMÈTRE CARRÉ

Sous le gouvernement de Juillet, il a été promulgué une loi sur le Timbre
et l'Enregistrement dans le texte de laquelle le décimètre carré était
confondu avec le dixième du mètre carré. Les instituteurs ont bien ri.

Plus récemment, la Chambre a imposé les verres à vitre dont la surface
est supérieure à 50 centimètres de côté.

JEUNE ANGLAIS

Dickens raconte qu'un étudiant, ayant négligé l'arithmétique, procédait
toujours par addition. Il entra un jour dans une boutique d'épicerie et l'utilité
de la multiplication lui fut enfin révélée.

COMPLAISANCES ASTRONOMIQUES

Un monsieur porteur d'une carte d'entrée à l'Observatoire pour observer
une éclipse arriva trop tard: «Je connais particulièrement Arago, affirma-t-
il, il aura la bonté de recommencer pour moi.»

Des signaux de triangulation ayant été établis près du château de M. X...,
député, on s'exclamait sur sa grande influence qui lui avait permis de faire
passer le méridien dans son domaine.

Un orateur de club, voulant échapper au bon plaisir des administrateurs
municipaux d'Auxerre, demandait que les noms des quartiers du Nord, de
l'Est, du Sud et de l'Ouest fussent tirés au sort.

COMÈTES

Un jour viendra où le cours des comètes sera connu et assujetti à des
règles comme celui des planètes.

Sénèque.

Je viens vous annoncer une grande nouvelle:
Nous l'avons, en dormant, Madame, échappé belle.
Un monde près de nous a passé tout du long,
Est chu tout au travers de notre tourbillon;
Et s'il eût en chemin rencontré notre terre,
Elle eût été brisée en morceaux comme verre.

Molière.

Nous avons ici une comète qui est bien étendue, c'est la plus belle queue
qu'il soit possible de voir. Tous les plus grands personnages sont alarmés et
croient que le ciel, bien occupé de leur perte, en donne des avertissements
par cette comète. On dit que le cardinal Mazarin, étant désespéré des
médecins, les courtisans crurent qu'il fallait honorer son agonie d'un
prodige, et lui dirent qu'il paraissait une grande comète qui leur faisait peur.
Il eut la force de se moquer d'eux, et leur dit plaisamment que cette comète
lui faisait trop d'honneur. En vérité on devrait en dire autant que lui, et
l'orgueil humain se fait aussi trop d'honneur de croire qu'il y ait de grandes
affaires dans les astres quand on doit mourir.

Mme de Sévigné.

Comètes que l'on craint à l'égal du tonnerre,
Cessez d'épouvanter les peuples de la Terre:
Dans une ellipse immense achevez votre cours;
Remontez, descendez près de l'astre du jour;
Lancez vos feux, volez et revenant sans cesse,
Des mondes épuisés ranimez la vieillesse.

Voltaire.

D'avance, à l'avenir, nous écrivons leur route:
Nous disons à celui qui n'est pas encor né,
Quel jour, au point du ciel, tel astre ramené
Viendra de sa lueur éclairer l'étendue,
Et rendre au firmament son étoile perdue.

Lamartine.

OPINIONS AMÈRES

L'enseignement mathématique fait l'homme machine et dégrade la
pensée. L'âme d'un peuple n'est pas ce chiffre muet et mort à l'aide duquel il
compte des quantités et mesure des étendues: la toise et le compas en font
autant.

Lamartine.

Défiez-vous des ensorcellements et des attraits diaboliques de la
géométrie.

Fénelon.

Un mathématicien de plus, un homme de moins.

Dupanloup.

Le naturaliste Owen demandait en souriant une sous-classe, celle de
l'homo mathematicus.

ASTROLOGIE

L'astrologie est la fille de l'astronomie, mais c'est la fille très folle d'une
mère très sage.

Voltaire.

De quoi vous plaignez-vous, philosophes délicats, si une fille que vous
estimez folle soutient et nourrit sa mère qui est sage mais pauvre? Les
hommes ne sont-ils pas encore plus fous de ne pouvoir supporter la mère
qu'à cause des folies de sa fille? Pensez-vous qu'ils eussent jamais étudié la
science pour elle-même, s'ils n'eussent espéré d'arriver ainsi à lire l'avenir
dans le ciel? Si vous prétendez que la science vous mène à la philosophie,
vous attendrez longtemps.

Kepler.

Le grand Kepler, pour se procurer quelque argent et continuer ses
travaux, dut se résigner à publier des almanachs avec des prophéties.

ARCHITECTE MAL PAYÉ

Le premier des czars, Ivan IV, demanda à un géomètre combien il
faudrait de briques pour construire un bâtiment régulier dont il lui indiqua
les dimensions. La réponse fut rapide et l'expérience la justifia, aussi Ivan,
dit le terrible, fit-il brûler le calculateur..... comme sorcier.

ÉGAL À ZÉRO

Un gentilhomme, membre amateur de l'Ancienne Académie des
Sciences, ayant entendu disserter sur les équations, n'abordait plus ses
confrères de mathématiques qu'en leur demandant: «Est-ce que c'est
toujours égal à zéro?»

ÉCLIPSE DU COLONEL

On annonçait une éclipse de soleil. La veille au soir, le colonel d'un
régiment fait venir tous les sergents et leur dit: «Une éclipse de soleil aura
lieu demain matin. Le régiment se réunira sur la place d'armes en petite
tenue. Je viendrai moi-même expliquer l'éclipse avant l'exercice. Si le temps
est couvert, on se réunira au manège comme d'habitude.»

Aussitôt les sergents de rédiger leur ordre du jour:

«Une éclipse de soleil aura lieu demain matin, par ordre du colonel. Le
régiment se réunira sur la place d'armes, où le colonel viendra diriger
l'éclipse en personne. Si le temps est couvert, l'éclipse aura lieu dans le
manège.»

À DIX MOIS

Bien avant de savoir compter, l'enfant se fait une certaine idée des
nombres. M. Preyer parle d'un petit de dix mois auquel il était impossible
d'emporter une de ses neuf quilles sans qu'il s'en aperçût. À dix-huit mois,
cet enfant avait été habitué à apporter à sa mère deux mouchoirs qu'il
remportait ensuite à leur place; il ne lui en fut rendu un jour qu'un seul, il
vint chercher le second avec un regard et des intonations qui indiquaient
son désir de l'obtenir.

Voir sur les idées enfantines de grandeur et de nombre les expériences de
M. Binet, dans la Revue philosophique de juillet 1890.

VALEUR RELATIVE

Un marin, arrivant d'Australie, avec une caisse de coquillages précieux,
en prend un et se rend chez un marchand de curiosités.

«—Voulez-vous m'acheter ce coquillage?

—Certainement, c'est superbe, j'en donne vingt-cinq francs.

—Vingt-cinq francs, s'écrie le marin avec joie, mais me voilà riche, j'en
ai apporté six mille.

—Doucement, dit le marchand, si vous en avez six mille... ça vaut deux
sous pièce.»

CANCRE

Il passait pour tel, ce pauvre garçon, jusqu'à l'incident qu'il nous raconte
ainsi:

«Mon attention était si tendue, que par moment je retenais mon haleine,
comme un plongeur. Pas à pas, je suivis la démonstration, et je fus
littéralement abasourdi, lorsque le professeur arriva à la conclusion, en
m'apercevant que j'avais tout compris jusqu'au dernier mot.

Après la joie de découvrir la vérité par lui-même, la plus grande joie pour
un homme, dans l'ordre des joies de l'esprit, est celle de concevoir la vérité
démontrée. Il est probable que mon contentement se marqua sur ma figure
car, lorsque le professeur se retourna de notre côté, il me sembla que c'était
moi qu'il regardait plus particulièrement.

Quand il demanda, comme d'habitude: «Quelqu'un désire-t-il venir au
tableau pour reprendre cette démonstration?» quelques mains se levèrent, la
mienne fut du nombre. Pourquoi? Comment? Je ne saurais vraiment le dire,
car lorsque je m'en aperçus, il me sembla qu'elle s'était levée spontanément,
de sa propre autorité, sans me demander mon assentiment. Ce fut moi que le
professeur désigna d'un signe de tête plein de bienveillance.»

Jules Girardin.

FIN DU MONDE

Lalande avait préparé en 1773 pour l'Académie des sciences un mémoire
qu'une circonstance quelconque l'empêcha de lire. Le bruit se répandit dans
le public que l'astronome y prédisait à courte échéance la destruction de
notre planète. L'émotion fut telle que le lieutenant de police demanda à lire
le mémoire; il n'y trouva rien d'alarmant et, pour calmer les esprits, il en
ordonna la publication immédiate. Toutefois beaucoup de personnes
restèrent persuadées qu'on avait supprimé le passage menaçant. On lit dans
une chanson de l'époque:

Oui, de vous landerirette
Monsieur Lalande rira.

TREIZE À TABLE

Voyez-vous treize humains en troupe,
Attablés et mangeant la soupe,
Sachez que l'un d'iceux sera
Trépassé quand l'an finira.

Le Club des treize a été fondé à Londres pour combattre les superstitions:
les tables comportent toujours treize couverts et le menu est toujours

composé de treize plats.

LENTEMENT

L'enfant ne fait d'abord de distinction qu'entre l'objet simple et la
pluralité. À l'âge de 18 mois seulement il distingue entre un, deux et
plusieurs. En Europe, il faut arriver à l'âge de 10 ans pour apprécier l'idée
de centaine. L'enfant peut sans doute répéter par cœur la série avant ce
moment, mais sans déterminer intellectuellement le nombre dans son
abstraction.

Houzeau.

LONGÉVITÉ

Nous lisons dans une pièce de vers à Louis XVIII:

Grand Dieu, c'est pour Louis que mon zèle t'implore
Prolonge ses jours précieux!
Laisse-nous en jouir quelques siècles encore!

VITE

C'est à deux lieues, mon petit ami.—Mais en marchant vite, bien vite?

NAÏF

On a surpris un pauvre enfant s'acharnant à réduire une fraction, une
seule fraction,.. au même dénominateur!

Le même, interrogé sur les triangles semblables, traça un seul triangle au
tableau: soit le triangle semblable ABC....

CONSCIENCIEUSE

Madame ***, qui a du temps à perdre, mesure chaque fois le diamètre et
la circonférence. N'essayez pas de lui expliquer... Elle fait comme ses
aïeules.

Une autre dame, moins consciencieuse, faisait ainsi le compte de son âge:
«Je me suis mariée à 18 ans; mon mari en avait trente et il en a maintenant
le double... donc j'ai 36 ans.» Vous devez vous tromper, Madame, vous
paraissez plus jeune que vous ne dites.

PHILOSOPHIE

SALADE

Hier, raconte Kepler, fatigué d'écrire et l'esprit troublé par des
méditations sur les atomes, je fus appelé pour dîner, et ma femme Barbara
apporta sur la table une salade.—Penses-tu, lui dis-je, que si, depuis la
création, des plats d'étain, des feuilles de laitues, des grains de sel, des
gouttes d'huile et de vinaigre et des fragments d'œufs durs, flottaient dans
l'espace, le hasard pût les rapprocher aujourd'hui pour former une salade?—
Pas si bonne, à coup sûr, me répondit ma belle épouse, ni si bien faite que
celle-ci.

COMPAS

Nul ne peut d'hérésie accuser le compas,
Ni décréter qu'un corps tournant ne tourne pas.

Ponsard: Galilée.

La terre, nuit et jour à sa marche fidèle,
Emporte Galilée et son juge avec elle!

Racine fils.

Plus d'une erreur passe et repasse
Entre les branches d'un compas.

Béranger.

UN FAUX PAS

Je venais de lire, dans la Revue scientifique, un article de mécanique sur
l'art de descendre d'omnibus. J'essayai cette fois de descendre par principes
et..... je me foulai un pied.

DÉTERMINISME

Le monde matériel est soumis à des lois rigoureuses. Celui qui
connaîtrait les positions exactes de tous les corps, leur masse et les forces
qui les sollicitent, pourrait prédire minutieusement les plus petits
mouvements des plus petits d'entre eux.

«Tous les événements, dit Laplace, ceux mêmes qui, par leur petitesse,
semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont une suite aussi
nécessaire que les révolutions du soleil.... La courbe décrite par une simple
molécule d'air ou de vapeur est réglée d'une manière aussi certaine que les
orbites planétaires: il n'y a de différence entre elles que celle qu'y met notre
ignorance.»

Le même savant dit encore ailleurs: «Une intelligence qui pour un instant
donné connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et les situations
respectives des êtres qui la composent, si, d'ailleurs elle était assez vaste
pour soumettre ces données à l'analyse, embrasserait dans la même formule
les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger
atome: rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé seraient
présents à ses yeux.»

MORT DE LA SCIENCE

Et toi, divine mort, où tout rentre et s'efface,
. . . . . . . . . . . . . . . .
Délivre-nous du temps, du nombre et de l'espace.
. . . . . . . . . . . . . . . .

Leconte de Lisle.

ALGÈBRE MORALE

Je divise en deux colonnes, par un trait, une feuille de papier; j'écris en
tête de l'une de ces colonnes le mot pour, en tête de l'autre le mot contre.....
Lorsque j'ai réuni sur ce petit mémorial une masse suffisante de raisons
contradictoires, je me mets en devoir de peser leurs valeurs respectives; si je
trouve que deux raisons (une de chaque côté) soient de même poids, je les
élimine toutes les deux; qu'une raison pour égale deux raisons contre, je

supprime le tout; que deux raisons contre égalent trois raisons pour, j'efface
les cinq, et ainsi de suite, jusqu'à ce que je trouve enfin de quel côté penche
la balance.

B. Franklin.

L'arithmétique est d'un besoin journalier et continuel dans le moral autant
que dans les affaires; car, en cette vie, où tout est mêlé de probabilités et de
doutes, de projets et d'obstacles, de demi-plaisir et de peine, tout est affaire
de calcul.

Diderot.

La morale est l'arithmétique du bonheur.

Vinet.

Il y a une morale plus haute.

RELATIVITÉ

Lorsque nous disons d'un arbre qu'il est grand ou petit, nous le
comparons implicitement à la moyenne stature des arbres au-dessus ou au-
dessous de laquelle nous entendons exprimer qu'il se trouve, et nous ne
pouvons nous exprimer ainsi que parce que la hauteur des arbres a deux
limites qui même ne se trouvent pas très distantes l'une de l'autre; mais il ne
saurait plus en être de même d'objets dont la grandeur ou la petitesse n'ont
plus de limites nécessaires et celui qui, par exemple, demanderait une ligne
droite de grandeur ordinaire, ferait une question dont l'ineptie serait
manifeste pour tout le monde.

Nous ne connaissons donc des grandeurs que les rapports qui existent
entre elles, et c'est aussi tout ce qu'il nous est possible d'en faire connaître à

autrui. En vain tenterait-on de torturer la langue, d'y introduire des mots ou
des tours nouveaux, jamais on ne parviendrait à lui faire exprimer une
grandeur indépendamment de quelque autre grandeur de sa nature.

Terquem.

TROP POSITIF

Il faut bien distinguer entre la géométrie utile et la géométrie curieuse...
Carrez des courbes tant qu'il vous plaira: vous montrez une extrême
sagacité. Vous ressemblez à un arithméticien qui examine les propriétés des
nombres au lieu de compter sa fortune...

Un bon ingénieur vaut mieux que tous ces calculateurs de fadaises si
difficiles.

Voltaire.

Je demandais un jour à un grand géomètre, à quoi servent les
mathématiques au-delà des Éléments d'Euclide et de l'arithmétique
décimale.—Monsieur, me répondit-il, cela sert à faire des livres qui ne sont
lus que par une demi-douzaine de personnes, à faire arriver leur auteur à
l'Académie des Sciences...—J'entends bien à quoi cela peut vous servir;
mais à moi, à tout autre, à quoi cela sert-il?

J.-B. Say.

Cet utilitarisme étroit a été déjà réfuté plusieurs fois.

LES JEUX

Après les jeux qui dépendent uniquement des nombres, viennent les jeux
où entre la situation, comme dans le tric-trac, dans les dames, et surtout
dans les échecs... Mais à quoi bon cela? dira-t-on. Je réponds: À
perfectionner l'art d'inventer; car il faudrait avoir des méthodes pour venir à
bout de tout ce qui se peut trouver par raison. Après les jeux où n'entrent
que le nombre et la situation, viendraient les jeux où entre le mouvement
comme dans le jeu de billard, le jeu de paume, etc. Enfin, il serait à
souhaiter qu'on eût un cours entier des jeux, traités mathématiquement...

Leibniz.

TRIANGLE ET POÉSIE

Je forme un triangle, ô merveille!
Le peuple des lois endormi
S'agite avec lenteur, s'éveille
Et se déroule à l'infini.

Avec trois lignes sur le sable,
Je connais, je ne doute plus!
Un triangle est donc préférable
Aux mots sonores que j'ai lus?

Sully-Prudhomme.

Du même poète:

Et la terre suffit à soutenir la base
D'un triangle où l'algèbre a dépassé l'extase;
L'astronomie atteint où ne meut plus l'azur.
. . . . . . . . . . . . . . .

C'est par une triangulation grandiose que nous calculons la distance des
astres, qui se meuvent dans l'éther.

Du même encore:

Ils répondent: «La cause et la fin sont dans l'ombre,
Rien n'est sûr que le poids, la figure et le nombre;
Nous voulons conquérir un chiffre seulement.»

Il s'agit des positivistes qui se bornent aux faits et aux lois, sans remonter
aux causes premières.

ÉGALITÉ CIRCULAIRE

Le cercle, qui est le symbole de l'éternité, est aussi quelquefois le
symbole de l'égalité.

Les anciens, pour ne donner de préférence à personne, ni aux dieux, ni à
leurs amis, écrivaient leurs noms sur un cercle, de sorte que, ne leur
donnant point de rang, on ne pouvait pas dire qui était le premier, ni le
second, ni le dernier dans leur estime. Tout était égal, et l'honneur
également partagé.

L'institution des chevaliers de la Table ronde était fondée sur un principe
d'égalité et la table était un symbole.

Dans les congrès, la table des ambassadeurs est ordinairement ronde, afin
d'éviter, autant que possible, les distinctions trop marquées de préséance.

UNE ROYAUTÉ

Les géomètres ont plus que d'autres besoin d'être jugés par leurs pairs: la
géométrie en effet est un arcane. Elle tient ses assises à part, décerne ses
prix sans phrases, et contemplant avec une juste fierté l'unité soumise en ses
plus intimes profondeurs aux lois dont elle a saisi l'enchaînement, se
réfugie, calme et impassible, dans sa royauté silencieuse. C'est bien une
royauté, en effet, et une royauté absolue qu'exerce cette science maîtresse
qui ne connaît pas le doute comme ses sœurs et n'a jamais, depuis le temps
d'Euclide, bâti sur le sable.

Jurien de la Gravière.

GÉOMÉTRIE ET MORALE

«Il y a, dit Leibniz, de la géométrie partout et de la morale partout.»
C'est-à-dire qu'il y a du géométrique jusque dans le moral et du moral

jusque dans le géométrique. En effet, les choses morales, les choses de
l'âme et de la volonté, en tant qu'il s'y rencontre des rapports d'identité et de
différence, d'égalité et d'inégalité, sont sujettes à la nécessité géométrique;
et, d'autre part, si la géométrie est exclusive, dans son développement, de
toute nécessité purement morale, néanmoins, à en juger par les travaux où
on l'a récemment le plus approfondie, elle semble avoir pour premier
fondement des principes d'harmonie qu'on doit peut-être concevoir, ainsi
que l'avait sans doute compris Descartes, qui faisait tout dépendre du libre
décret de Dieu, comme l'expression sensible de l'absolue et infinie volonté.
«On prétend, disait Aristote, que les mathématiques n'ont absolument rien
de commun avec l'idée du bien. L'ordre, les proportions, la symétrie, ne
sont-ce pas de très grandes formes de beauté?»

F. Ravaisson.

NOTRE PETITE TERRE

Séduit par les illusions des sens et de l'amour-propre, l'homme s'est
regardé longtemps comme le centre du mouvement des astres; et son vain
orgueil a été puni par les craintes qu'ils lui ont inspirées. Enfin plusieurs
siècles de travaux ont fait tomber le voile qui lui cachait le système du
monde. Alors il s'est vu sur une planète presque imperceptible dans le
système solaire, dont la vaste étendue n'est elle-même qu'un point
insensible dans l'immensité de l'espace. Les résultats sublimes auxquels
cette découverte l'a conduit sont bien propres à le consoler du rang qu'elle
assigne à la terre, en lui montrant sa propre grandeur dans l'extrême
petitesse de la base qui lui a servi pour mesurer les cieux.

Laplace.

CHEVEUX

Je dis un jour à Madame de Longueville que je pouvais parier et
démontrer qu'il y avait dans Paris au moins deux habitants qui avaient le
même nombre de cheveux, quoique je ne puisse pas marquer quels sont ces
deux hommes. Elle me dit que je ne pouvais jamais en être assuré qu'après
avoir compté les cheveux de ces deux hommes. Voici ma démonstration, lui
dis-je: je pose en fait que la tête la mieux garnie de cheveux n'en a pas plus
de deux cent mille, et que la moins garnie est celle qui n'a qu'un cheveu. Si
maintenant vous supposez que deux cent mille têtes ont toutes un nombre
de cheveux différent, il faut qu'elles aient chacune un des nombres de
cheveux qui vont depuis un jusqu'à deux cent mille, car si on supposait qu'il
y en avait deux parmi les deux cent mille qui eussent le même nombre de
cheveux, j'aurais gagné le pari. Or en supposant que ces deux cent mille
habitants ont tous un nombre différent de cheveux, si j'y apporte un seul
habitant de plus qui ait des cheveux et qui n'en ait pas plus de deux cent
mille, il faut nécessairement que le nombre des cheveux, quel qu'il soit, se
trouve de un jusqu'à deux cent mille, et, par conséquent, soit égal au
nombre de cheveux de l'une des deux cent mille têtes, or au lieu d'un
habitant en sus des deux cent mille, il y en a tout près de huit cent mille,
vous voyez bien qu'il faut qu'il y ait beaucoup de têtes égales en nombre de
cheveux, quoique je ne les aie pas comptées.

Nicole.

Il paraît que la célèbre duchesse n'a jamais pu comprendre le
raisonnement, un peu copieux, du philosophe.

Schopenhauer a dit: «La femme a les cheveux longs et les idées courtes.»

MYSTÈRE

Parcourez le cercle des sciences, et vous verrez qu'elles commencent
toutes par un mystère: le mathématicien tâtonne sur les bases du calcul des
quantités imaginaires, quoique ses opérations soient très justes; il comprend

encore moins le principe du calcul infinitésimal, l'un des instruments les
plus puissants que Dieu ait confiés à l'homme...

Joseph de Maistre.

Ces prétendus mystères sont devenus de moins en moins mystérieux.

PLUS TARD

Lorsque les lois générales de la nature ont été une fois bien saisies par
l'esprit, lorsqu'il s'est familiarisé avec le plus grand nombre des réalités
matérielles de l'univers, l'étude des hautes mathématiques devient pour lui
extraordinairement attrayante: c'est alors qu'il aperçoit les utiles
applications des nombreuses vérités de cette science. Au contraire, les
jeunes gens qui se livrent d'abord à l'étude des mathématiques pures et
abstraites trouvent le plus souvent cette étude d'une aridité excessive; elle
devient pour eux aussi fatigante que le serait pour d'autres la lecture du
vocabulaire d'une langue qu'ils seraient certains de ne jamais parler.....

de Grandsagne.

MOURANT

On dit que Barrow, voyant approcher la mort, en témoigna de la joie en
disant qu'il allait enfin apprendre, dans le sein de la divinité, la solution de
beaucoup de problèmes de géométrie et d'astronomie..... Il aimait tellement
la géométrie qu'il avait écrit ces mots à la tête de son Apollonius..... «Ô
Seigneur, quel géomètre tu es! Car, quoique la géométrie n'ait point de
bornes, tu vois, par une simple intuition, les vérités admirables qu'elle
renferme.»

Montucla.

APPLICABLE À TOUT

Si l'on croit que la méthode des géomètres n'est pas applicable à tout, on
se trompe; si l'on prétend qu'il ne faut pas l'appliquer à tout, on a raison.
Chaque sujet a sa manière d'être traité; la méthode géométrique serait trop
sèche pour les matières d'agrément et nos langues trop imparfaites pour s'y
prêter, les acceptions des mots trop vagues, trop indéterminées pour
comporter cette rigueur. Mais si l'on doit se dispenser souvent de
l'employer, il ne faut jamais la perdre de vue; c'est la boussole d'un bon
esprit, c'est le frein de l'imagination.

Diderot.

FICTIF ET BORNÉ

Lorsqu'on préconise les mathématiques, comme le modèle par excellence
d'une méthode pour apprendre à raisonner, sait-on bien à quelles conditions
la logique de la géométrie est si rigoureuse, pourquoi ses démonstrations
sont si évidentes? Ces sciences qui se sont décorées du nom d'exactes, ne
doivent cette exactitude qu'à l'absence de réalité des objets sur lesquels elles
opèrent. Ces objets ne sont que des pures abstractions, des points de vue de
l'esprit, des entités idéales mais qui n'ont pas d'existence dans la nature.
Toutes les propriétés sont rigoureusement déterminées à l'avance par la
convention qui les nomme et qui les définit. Certainement la géométrie est
exacte; mais elle n'est pas réelle. Avez-vous rencontré quelque part le
triangle abstrait et la ligne droite des géomètres? Où résident les nombres
séparés des êtres réels dont les propriétés sont si multiples et si complexes,
que la moindre est, sans contredit, celle de pouvoir être dénombrés? Qu'est-
ce qui fait enfin l'exactitude des mathématiques? C'est l'étroite simplicité

des faits dont elles raisonnent; leurs formules ne sont si précises, et si
rigoureuses que parce que leur point de vue est borné.

Vous avez sous les yeux dix personnes, dix animaux même ou dix
plantes, et vous êtes théologien ou poète. Tandis que votre esprit est
entraîné à travers les mille jugements divers que ce spectacle suggère au
philosophe ou à l'artiste, moi, algébriste, je raisonne des propriétés du
nombre dix. Dans une opération aussi simple, aussi pauvre, à côté du
monde de pensées qui s'élève en vous, aurai-je grand sujet de me vanter si
mes conclusions sont plus nettes, sont plus exactes que les vôtres?

de Laprade.

Les notions mathématiques ont, dans l'esprit, une réalité absolue. De ces
idées simples, nous concluons rigoureusement toutes les propriétés du
nombre et de la forme, jusqu'aux plus fines et aux plus complexes.

NATURALISTES

Le mathématicien se plaît à suivre un raisonnement rigoureux dans une
direction unique. Le naturaliste, comme l'historien ou le jurisconsulte, est
un homme disposé à comparer plusieurs faits, dont aucun n'est absolument
prouvé, et plusieurs arguments, dont aucun n'est absolument rigoureux. Son
travail consiste à estimer des probabilités, pour conclure dans le sens le plus
vraisemblable.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Les uns cherchent le raisonnement étroit, profond et rigoureux des
mathématiques....; les autres préfèrent le raisonnement large et plutôt diffus,
varié mais peu rigoureux des sciences d'observation. Il faut aux uns plus de
force de raisonnement pour réussir, aux autres plus de jugement.

de Candolle.

Par le jugement, on pèse le pour et le contre; par le raisonnement on suit
les idées corrélatives. Le mathématicien qui raisonne juste a quelquefois
peu de jugement.

MÉTAPHORES

La géométrie sert entre autres choses à éprouver l'esprit, comme le
creuset sert à éprouver l'or; les bons esprits s'y raffinent, les esprits faux s'y
évaporent.

Les géomètres travaillent sur un terrain si solide qu'après y avoir posé la
première pierre, ils élèvent sans crainte leurs bâtiments jusqu'aux cieux.

Sur un terrain bien différent, les Philosophes bâtissent des édifices
superbes qu'on appelle systèmes: ils commencent par les fonder en l'air, et
quand ils croient être parvenus au solide, le bâtiment s'évanouit, et
l'architecte tombe des nues.

R. Dufresny.

HYPOTHÈSES

Dans les autres sciences, dit Dugald Stewart, les propositions à établir
doivent exprimer des faits, tandis que celles que les mathématiques
démontrent, énoncent seulement une connexion entre certaines suppositions
et certaines conséquences... Elles ont pour but, non de constater des vérités
concernant des existences réelles, mais de déterminer la filiation logique qui
découle d'une hypothèse donnée. Si, partant de cette hypothèse, nous

raisonnons avec exactitude, il est manifeste que rien ne pourrait manquer à
l'évidence du résultat.

Kant fait remarquer qu'il n'y a que le concept de quantité qui se prête à
une construction a priori.

DÉBAT PÉDAGOGIQUE

L'étude des mathématiques est-elle favorable au développement
intellectuel du jeune homme? Peut-elle servir de pivot à l'éducation
libérale? Trois philosophes anglais ont débattu entre eux la question.
Whewell veut beaucoup de mathématiques, Hamilton les repousse
(Fragments de philosophie traduits par Peisse) et Stuart Mill les exalte à son
tour. Nous ne pouvons résumer cette célèbre discussion; nous nous bornons
à trois extraits.

«Toute personne qui s'est occupée de mathématiques doit voir clairement
la différence qui existe entre les mathématiques et les faits empiriques, entre
l'évidence des propriétés d'un triangle et celle des lois générales de la
structure des plantes. Le caractère spécial de la vérité mathématique est
qu'elle est nécessairement et inévitablement vraie; et une des leçons les plus
importantes qu'on puisse retirer des études mathématiques est de connaître
qu'il y a des vérités de ce genre, et de nous familiariser avec leur forme et
leur caractère.

Whewell.

L'étude des mathématiques, poursuivie avec modération et efficacement
contrebalancée, peut être utile pour détruire un défaut, et développer la
qualité correspondante. Ce défaut est l'habitude de la distraction; la qualité,
l'habitude de l'attention soutenue. C'est là le seul avantage auquel puisse
justement prétendre cette étude dans la culture de l'esprit.

Hamilton.

Si nous voulons bien dresser une intelligence, l'étude qui se recommande
le plus à nous est celle qui a l'avantage d'habituer de bonne heure l'esprit à
conserver en lui-même un type de preuve complète. Un esprit ainsi meublé,
s'il n'est pas suffisamment instruit des autres sujets peut commettre l'erreur
de croire qu'il trouvera dans toutes les preuves une ressemblance parfaite
avec le type qui lui est familier. On peut et on doit élargir ce type par une
grande variété d'études, mais celui qui ne l'a jamais acquis n'a pas le
sentiment juste de la différence qui sépare le prouvé du non prouvé: le
premier fondement des habitudes scientifiques n'a pas été jeté.

Stuart Mill.

..... Déjà Platon (République, livre VII) faisait observer que la science des
nombres, en obligeant l'homme à raisonner sur les nombres en soi et sur des
vérités qui ne sont ni visibles ni palpables, a la vertu d'élever l'âme. Les
mathématiques donnent au jeune homme la claire notion de la
démonstration et l'habituent à former de longues suites d'idées et de
raisonnements, méthodiquement enchaînés et soutenus par la certitude
finale du résultat. Aussi a-t-on pu dire, que celui qui n'a pas fait de
géométrie n'a pas le sentiment rigoureux de la certitude. Au point de vue
moral, rien n'est plus propre que cette notion pour donner le respect absolu
de la vérité.

Les mathématiques, l'algèbre et l'analyse infinitésimale principalement
suscitent à un haut degré la conception des signes et des symboles,
instruments nécessaires qui augmentent la puissance et la portée de l'esprit
humain, en résumant sous une forme condensée et en quelque sorte
mécanique tout un ensemble de relations: ces auxiliaires sont surtout
précieux en mathématiques, parce qu'ils y sont adéquats à leurs définitions;
caractères qu'ils ne possèdent pas au même degré dans les sciences
physiques et naturelles. Quoi qu'il en soit, il y a là tout un ensemble de
facultés qui ne sauraient être pleinement mises en jeu que par
l'enseignement des mathématiques.

Berthelot.

CULTURE D'EUCLIDE

Quand un jeune homme d'un talent ordinaire commence à étudier
Euclide, tout l'étonne d'abord. Sa conception est incertaine et son jugement
faible, il s'appuie en partie sur l'évidence de la chose, et en partie sur
l'autorité du maître. Mais à mesure qu'il avance à travers les définitions, les
axiomes, les propositions élémentaires, une plus grande lumière frappe ses
regards. Le langage lui devient plus familier et produit des conceptions plus
claires et plus nettes; son jugement s'affermit: il commence à comprendre ce
que c'est qu'une démonstration, et il est impossible qu'il le comprenne sans
s'y plaire; il s'aperçoit que c'est une espèce d'évidence indépendante de
l'autorité; il lui semble qu'il sort d'un esclavage, et il se sent si fier de croire
ainsi, qu'il se révolte contre l'autorité, et voudrait avoir des démonstrations
pour toutes les vérités; il faut que l'expérience lui apprenne qu'une foule de
choses ne sont pas susceptibles de cette sorte d'évidence et qu'il doit se
résigner à des probabilités dans les choses qui lui importent le plus.

Th. Reid.

CALCULS DES OUVRIERS

Il faut que l'ouvrier calcule le produit comme l'emploi de ses ans, de ses
mois, de ses jours, et je dirais presque de ses heures et de ses minutes. Il
faut qu'il calcule ses forces et ses mouvements, pour n'en rien perdre, et
pour en tirer les plus puissants résultats. Il faut qu'il calcule et mesure les
dimensions et la figure soit de ses outils, soit des objets auxquels il va
donner la forme et la position requises; il faut qu'il calcule, à chaque instant,
des distances et des longueurs, des superficies et des volumes; il faut enfin
qu'il suppute, et la quantité des matières premières, et le prix de son travail,
évalués d'après les principes de la géométrie.

Ch. Dupin.

MÉTAPHYSIQUE ET MORALE

Si quelqu'un voulait écrire en mathématicien dans la métaphysique ou
dans la morale, rien ne l'empêcherait de le faire avec rigueur. Si on
l'entreprenait comme il faut, je crois qu'on n'aurait pas lieu de s'en repentir.

Leibniz.

Le conseil nous paraît plus facile à donner qu'à suivre.

INTUITION

L'intuition géométrique c'est cette propriété de notre esprit qui nous
permet de voir intuitivement derrière les formes réelles et contingentes de
notre univers physique, d'autres formes très peu différentes mais
simplifiées, idéales et se prêtant, par suite de leurs définitions rigoureuses, à
la déduction géométrique.

Calinon.

CALCUL

Si calculer est raisonner, raisonner n'est pas calculer..... Un calcul n'est
pas seulement un raisonnement, c'est un raisonnement sur des idées de
quantité, et susceptible, par cette circonstance, d'être fait avec des signes
particuliers; en un mot, c'est un raisonnement ayant des caractères qui lui

sont propres..... Le raisonnement est le genre, le calcul n'est que l'espèce.
C'est pour cela que vous pouvez transformer tout calcul en un
raisonnement, mais que vous ne pouvez transformer tout raisonnement en
un calcul.

Destutt-Tracy.

La quantité étant par essence divisible en parties égales, les idées de
grandeur jouissent de l'incommunicable propriété de pouvoir être
exactement représentées dans des symboles, chiffres ou lettres. Cette exacte
rigueur d'expression permet à l'esprit de concentrer son attention sur les
symboles seuls, et en les combinant d'après des règles très simples, ce qui
constitue le calcul. C'est ce qui fait que la forme, en mathématiques, prend
une si grande importance: une notation simplifiée peut y amener une
révolution, comme il est arrivé en algèbre par l'introduction des exposants
numériques, due à Descartes. Telle est cette vertu merveilleuse des
symboles, qu'on peut les employer avec succès sans être en état d'en saisir
la vraie nature. Longtemps le calcul différentiel a dévoilé les secrets les plus
cachés de la quantité, avant qu'on fût parvenu à lui assigner une base
rationnelle.

F. Huet.

MOTS ET SIGNES

Les signes et les mots, employés dans les raisonnements mathématiques,
représentent véritablement les choses elles-mêmes; dans ce cas, lorsque
nous employons le langage ou les signes, nous n'introduisons pas, en en
faisant usage, des notions étrangères; nous n'excluons non plus, à raison de
cette circonstance, rien qui se rapporte au fait dont il s'agit.

W. Herschel.

SYLLOGISMES

Voyez dans les Lettres d'Euler à une princesse d'Allemagne l'ingénieuse
représentation de la théorie du syllogisme par les positions relatives des
cercles.

Leibniz rappelle le mémorable exploit de deux logiciens zélés mais de
lourde cervelle, Herlinus et Dasypodius, qui mirent en syllogismes formels
les six premiers livres d'Euclide.

PLUS HAUT

Vous apprenez les principes des sciences, soit mathématiques, soit
physiques, qui contiennent les lois de la nature: ce n'est pas proprement
pour en connaître l'usage matériel; c'est surtout pour apprendre et vérifier
que tout dans la nature est nombre, proportion, harmonie; c'est, davantage
encore, pour acquérir, en considérant les nombres qui constituent les corps,
une plus pleine conscience de ces autres nombres que notre âme renferme,
et par lesquels elle juge ceux du dehors, comme l'ont dit Platon et
Shaftsbury; c'est enfin pour acquérir cet usage des rapports et des
proportions intellectuels qui est l'exercice propre de la raison et qu'on
appelle la logique.

F. Ravaisson.

RAISONNEMENT

Les études suivies à l'École polytechnique sont loin d'être uniquement
destinées à faire connaître une suite de calculs, de formules, de figures, de
phénomènes physiques et chimiques. Leur utilité principale est d'exercer
cette faculté de l'intelligence à laquelle on donne le nom de raisonnement.

Lamé.

PARFAITEMENT

Un avantage de l'étude de la géométrie est de porter l'esprit à croire qu'on
ne sait suffisamment que ce qu'on sait parfaitement.

Abbé Terrasson.

LE NOMBRE!

Ôtez le nombre, vous ôtez les arts, les sciences, la parole et par
conséquent l'intelligence. Ramenez-le: avec lui apparaissent ses deux filles
célestes, l'harmonie et la beauté, le cri devient chant, le bruit reçoit le nom
de rythme, le saut est danse, la force s'appelle dynamique, et les lignes sont
des figures.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Jadis, un navigateur, jeté par le naufrage sur une île qu'il croyait déserte,
aperçut en parcourant le rivage une figure de géométrie tracée sur le sable:
il reconnut l'homme et rendit grâce à Dieu. Si cette figure n'eût point été
géométrique, elle n'eût été pour lui qu'une trace muette, œuvre du hasard et
non de l'intelligence; mais elle lui attestait le nombre et par cela même lui
attesta l'homme.

J. de Maistre.

MESURE DE L'ESPRIT

La géométrie a par elle-même une beauté réelle, indépendante de toute
utilité vraie ou prétendue: quand elle n'aurait d'autres prérogatives, que de
nous offrir sans aucun mélange des connaissances évidentes et certaines, un
si grand avantage ne la rendrait-il pas digne de notre étude? Elle est pour
ainsi dire la mesure la plus précise de notre esprit, de son degré d'étendue,
de sagacité, de profondeur et de justesse. Si elle ne peut nous donner ces
qualités, on conviendra du moins qu'elle les fortifie, et fournit les moyens
les plus faciles de nous assurer nous-mêmes, et de faire connaître aux
autres, jusqu'à quel point nous les possédons.

d'Alembert.

Ces considérations justifient l'importance attribuée aux Mathématiques
dans la plupart des examens.

ORIGINE

Les mathématiques, dit-on, ne peuvent avoir leur première origine dans
l'observation: car les objets qu'elles étudient sont fort différents de ceux que
l'observation nous montre. Les mathématiques raisonnent sur des cercles et
des triangles parfaits; mais, dans la nature, aucun objet n'est parfaitement
circulaire ni parfaitement triangulaire; les mathématiques n'ont donc pu
prendre leur objet à l'observation de la nature, et les idées sur lesquelles
elles raisonnent sont de pures créations de l'esprit.

Voici la réponse qu'il convient de faire à cette objection. Sans doute,
aucun objet matériel n'est terminé par des lignes parfaitement droites, par
des surfaces parfaitement planes; mais chacun dévie de la ligne droite, de la
surface plane dans un sens différent; si bien que, quand on fond en une idée
unique les idées de ces divers objets, ces déviations en sens contraire se
neutralisent.

R. Worms.

On a tenté bien des fois, depuis Hume, d'expliquer les vérités
géométriques par les seules données de l'expérience.

GÉNÉRALITÉ

Nous allons chez le gros mathématicien qui fume; nous le saluons et nous
l'abordons ainsi: «Monsieur, nous sommes philosophes, c'est-à-dire fort
embarrassés et à court. Il s'agit des propositions nécessaires; si vous en
connaissez, comment les découvrez-vous?

—Messieurs, c'est mon métier, je n'en découvre pas d'autres; prenez des
chaises; je vais en trouver devant vous.

Avec de la craie, je trace sur le tableau un triangle ABC; par le sommet C
je mène la parallèle à la base... Donc la deuxième somme qui est celle des
angles du triangle, égale deux angles droits. Donc, nécessairement et
universellement, la somme des trois angles égale deux angles droits.

—Monsieur, comment avez-vous fait?

—J'ai tracé un triangle particulier, déterminé, contingent, périssable ABC
pour retenir mon imagination et préciser mes idées. J'ai extrait de lui le
triangle en général; pour cela, je n'ai considéré en lui que des propriétés
communes à tous les triangles, et je n'ai fait sur lui que des constructions,
dont tout triangle pourrait s'accommoder. Analysant ces propriétés générales
et ces constructions générales, j'en ai extrait une vérité ou rapport universel
et nécessaire. J'ai retiré le triangle général compris dans le triangle
particulier; ce qui est une abstraction. J'ai retiré un rapport universel et
nécessaire, contenu dans les propriétés générales de la construction
générale, ce qui est encore une abstraction. Pour découvrir une propriété
générale et nécessaire, il suffit donc d'employer l'abstraction.

Taine.

DISCIPLINE

L'étude de la géométrie est indispensable pour accoutumer l'esprit à
marcher pas à pas, à ne rien admettre sans preuve, à ne se plaire qu'au vrai.
Elle a de plus l'avantage d'exercer les forces de l'esprit, de l'accoutumer à
l'attention et de le rendre inventif, car rien n'exige plus d'invention que la
solution des problèmes: elle habitue à deviner le vrai, lors même que, pour
le découvrir, on a recours à des hypothèses, parce que le résultat fait
toujours connaître si ces hypothèses ont été bien choisies; enfin elle met un
frein à l'imagination et nous force à la soumettre à la raison.

Deleuze.

DÉMONSTRATION ET SYLLOGISME

La méthode des sciences mathématiques est la démonstration.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Le but de la démonstration est d'établir des vérités nécessaires; elle le fait
en montrant que ces vérités sont les conséquences logiques d'autres vérités
admises comme évidentes ou précédemment démontrées.

On voit par là en quoi la démonstration, bien qu'elle se présente sous
forme déductive, diffère du syllogisme. Dans le syllogisme proprement dit,
où n'intervient aucune considération touchant la vérité objective des
propositions traitées, la conclusion sort nécessairement des prémisses; étant
donné que A est B, et que B est C, il ne se peut pas que A ne soit pas C;
mais une connaissance nécessaire peut fort bien n'être pas une vérité

nécessaire; la vérité des deux prémisses d'où sort nécessairement la
conclusion n'est pas garantie; il suffit au logicien que la conséquence soit
extraite des prémisses, conformément aux lois de la pensée. Tout autre est la
démonstration; elle est un instrument de science, et à ce titre, elle n'a pas
seulement à tirer des conséquences logiques, mais à établir des vérités; elle
est astreinte à toutes les règles de la procédure logique; mais en même
temps elle a des principes qu'elle ne trouve pas dans le syllogisme
proprement dit, principes nécessaires comme les vérités qu'elle établit.

Liard.

MÉTHODES

DIVISEUR ET RAMASSE-TOUT

Jean Macé, dans l'Arithmétique de grand papa, personnifie ainsi l'analyse
et la synthèse: le livre est enfantin, mais il est ingénieux et charmant.

LA DIVISION

Jadis, la division, qu'on appelait l'épine de l'arithmétique, s'effectuait à la
française, à la portugaise ou à l'italienne. La règle actuelle de l'opération a
été résumée, par Leslie, en un seul vers:

Divide, multiplica, subduc, transferque secantem.

Un professeur, pour faire retenir la théorie réputée difficile de la division,
disait: «Dans le second cas, vous coupez la tête du diviseur et, dans le
troisième, vous coupez la tête du quotient.»

ANATOMISTES

O. Terquem écrivait quelques jours avant sa mort: L'ouvrage de Borelli
(De motu animalium) est un petit chef-d'œuvre qui me procure des heures
délicieuses; on voit l'avantage qu'il y a aux anatomistes d'être géomètres. Il
est à désirer qu'on fasse sur le même plan une nouvelle édition de
l'Anatomie descriptive de Richerand, ce serait une excellente acquisition.
Malheureusement, nos anatomistes sont peu géomètres et nos médecins de
faibles chimistes.

FROMAGE

M. Mannheim raconte qu'un ingénieur embarrassé pour pratiquer un
escalier tournant dans une voûte hémisphérique, dit au conducteur de
préparer l'épure. Le subalterne creusa dans un bloc de gruyère une cavité en
forme de bassin, dressa dans l'axe une vis de pressoir qu'il fit tourner. La
trouée à pratiquer dans le dôme de pierre se dessina ainsi très nettement.

EXPÉRIENCE GÉOMÉTRIQUE

Pour trouver l'aire de la cycloïde, Galilée pesa avec une grande précision
deux lames minces de même matière, dont l'une était égale au cercle et
l'autre à la cycloïde engendrée. Il constata par cette expérience que le poids
de cette dernière est le triple de celui du cercle, résultat prouvé plus tard
théoriquement par Pascal. Le succès de l'expédient tint à la simplicité du
rapport, non seulement commensurable, mais entier.

JETONS BARDOT

Ce sont des cubes en bois, les uns blancs et les autres noirs, à l'aide
desquels on explique matériellement la numération aux commençants. Dix
de ces jetons, réunis en une baguette, forment une dizaine; dix baguettes,
réunies en une plaque, forment une centaine; dix plaques superposées
composent un cube qui est un mille. Continuons: si l'on groupait dix de ces
gros cubes qui sont des mille, on aurait une dizaine de mille; si l'on
juxtaposait dix dizaines de mille, la grande plaque serait une centaine de
mille; si l'on étageait enfin dix des plaques précédentes, on aurait un cube
énorme qui serait un million. Ainsi de suite pour la dizaine de millions, la
centaine de millions, le billion, etc., etc.

MACHINES ARITHMÉTIQUES

On remarque, parmi les petites machines, les réglettes de Neper,
l'inventeur des logarithmes, de Mannheim, de Lalanne, de Grenaille et d'Ed.
Lucas, etc. Dans certains pays, tous les contremaîtres se servent
couramment d'une règle à calcul.

Les machines plus considérables sont d'abord celle de Pascal, simplifiée
par de Lépine et récemment par Roth, qui en a réduit le volume; puis celle
de Thomas de Colmar, à l'aide de laquelle on multiplie en une demi-minute
deux nombres de dix chiffres: on s'en sert aux Magasins du Louvre, à
l'Observatoire, aux Compagnies d'Assurances, etc.; on en vend plus d'une
centaine par an. Il y a aussi la machine à mouvement continu de
Tchebychef.

Toute machine arithmétique se compose de quatre organes essentiels: le
générateur, le reproducteur, le renverseur et l'effaceur.

On a reconnu que pour un calculateur exercé, il faut 7 minutes 19
secondes pour multiplier un nombre de 14 chiffres par un nombre de 8
chiffres. Les agents inorganiques, eux, ne se fatiguent guère et ne se
trompent pas, à moins que les ressorts ne se faussent. Mais, il y a les
machines géométriques, sans ressorts, et l'admirable machine de
Tchebychef, qui se romprait plutôt que de ne pas dire vrai.

Voir M. d'Ocagne: Nomographie. Les calculs usuels effectués au moyen
des abaques.

INTÉGRATEURS ET INTÉGRAPHES

Les intégrateurs sont des instruments qui effectuent mécaniquement la
sommation d'une série infinie de grandeurs infiniment petites, qu'il s'agisse
d'une aire limitée par une courbe, d'un travail mécanique, etc. Mais les
planimètres, les totaliseurs dynamométriques, etc., ne donnent que le
résultat final de l'intégration. Abdank-Abakonowicz est allé plus loin: ses
intégraphes donnent, sous forme d'un tracé graphique, la loi complète qui
régit la sommation, en un mot ce qu'on peut appeler la courbe intégrale.

Le planimètre polaire d'Amsler est celui qui semble être appelé à l'emploi
le plus fréquent. Les applications des planimètres sont nombreuses; les
contributions directes, les administrations du cadastre et des forêts, le
service topographique du génie, les architectes, les ingénieurs, les
géomètres arpenteurs ont recours à ces instruments pour résoudre ce
problème si délicat de la détermination des aires planes à contours
curvilignes.

En Allemagne, on possède un planimètre comme on a une boîte de
compas.

ARITHMÉTIQUE POLITIQUE

Étant données la population, les mœurs, la religion, la situation
géographique, les relations politiques, les richesses, les bonnes et mauvaises
qualités d'une nation, trouver les lois qui lui conviennent.

J. de Maistre.

Nous ne demandons à nos législateurs qu'une solution par
approximations successives du problème posé.

OPÉRATIONS ABRÉGÉES

On faisait remarquer à un candidat qu'il aurait pu employer les opérations
abrégées. Il répliqua qu'il n'avait pas eu le temps.

Lorsqu'on est pressé, on préfère la grande route qu'on connaît bien au
chemin de traverse dont on n'est pas sûr.

La réflexion suivante de J.-J. Rousseau s'applique aux calculateurs de
profession: «.... alors on trouve des méthodes abrégées dont l'invention
flatte l'amour-propre, dont la justesse satisfait l'esprit et qui font faire avec
plaisir un travail ingrat par lui-même.»

GAUFRES

Je n'oublierai jamais d'avoir vu à Turin un jeune homme à qui, dans son
enfance, on avait appris les rapports des contours et des surfaces en lui
donnant chaque jour à choisir, dans toutes les figures géométriques, des
gaufres isopérimètres. Le petit gourmand avait épuisé l'art d'Archimède,
pour trouver dans laquelle il y avait le plus à manger.

J.-J. Rousseau.

PLAIES

Aristote dit que le médecin constate que les plaies circulaires sont les
plus longues à guérir, et le géomètre démontre qu'il ne peut en être
autrement, puisque de toutes les figures qui ont un périmètre égal, le cercle
est celle qui présente la plus grande surface.

TACHYMÉTRIE

L'ingénieur Lagout, mort depuis quelques années, est l'auteur d'une
tentative de rénovation des mathématiques, dans l'intention de les simplifier
en les matérialisant, pour les mettre à la portée du plus humble ouvrier. Il a
eu quelques idées ingénieuses: son matériel et ses tableaux en couleur sont
saisissants. Malheureusement, grisé par son système, l'inventeur a cru, bien
à tort, être aussi rigoureux qu'Euclide. Son prompt-mesurage n'est qu'un
aperçu populaire qui parle aux yeux.

M. C. Rey a porté sur la méthode ce jugement piquant et plus sévère: «La
Géométrie est la science qui apprend à raisonner juste, même sur des
figures qui sont fausses, tandis que la Tachymétrie est un art qui apprend à
raisonner faux, sur des figures qui sont justes.»

VINGT CENTIMES

Quand, sous le second empire, on frappa pour la première fois des pièces
de vingt centimes, un homme d'esprit s'écria: on dira maintenant cinq fois
quatre font vingt et non plus quatre fois cinq font vingt.

J'ai lu dans un livre belge cette question inquiétante: Le produit de un
franc par un franc est-il égal au produit de cent centimes par cent centimes?

POTAGE

Dans son explication de l'addition, un élève avait oublié de dire qu'on
n'ajoute que des choses de même espèce, le professeur lui demanda:
Combien font 150 grammes de navets, 200 grammes de carottes et 225
grammes de pommes de terre?—Réponse: Cela ferait un excellent potage.

Autre exemple. Un soldat aveugle portait cet écriteau: batailles 8;
blessures 10; enfants 6; total 24.

ANARCHIE

Le cinquième livre de la géométrie fait le désespoir des élèves et des
examinateurs, tant l'ordre et l'énoncé des propositions varient. Legendre et
Rouché ne s'accordent nullement et il y a beaucoup d'opinions
intermédiaires. On demande un dictateur pour imposer une théorie unique.

Dernière nouvelle: on annonce des préliminaires de paix.

MÈTRES CARRÉS

C'est grâce à la géométrie que les marchands de mesures ne vendent ni
mètres carrés ni mètres cubes.

Quelques dames confondent encore le mètre courant, le mètre carré et le
mètre cube.

Un mot spirituel: le professeur avait fait écrire au tableau le nombre
1000000000; il s'agit de mètres carrés, dit-il, combien cela pèse-t-il? Bien
peu de craie, répondit l'élève.

ANXIÉTÉ

On ne peut baser aucun raisonnement sur une série divergente, c'est-à-
dire sur une suite régulière de termes dont la somme croît au-delà de toute
limite. Les géomètres du xviiie siècle n'ont guère tenu compte de la
convergence des séries et c'est Cauchy qui a éclairé le premier la question.
On raconte qu'après une communication de ce dernier à l'Académie,
Laplace quitta brusquement ses confrères, et se renferma chez lui pendant
près d'un mois, pour vérifier la convergence de toutes les séries sur
lesquelles est fondée sa mécanique céleste. Heureusement, aucune n'était
divergente!

Abel a dit que: «Avec une série divergente, on prouve tout ce qu'on veut,
l'impossible aussi bien que le possible.»

IMPOSSIBLE

En mathématiques, il n'y a de vraiment impossible que le contradictoire.
On peut lever l'impossibilité provisoire provenant d'une vue trop étroite de
la question: Pourquoi exiger le résultat sous une certaine forme ou entre
certaines limites? D'autre part, si vous ne trouvez pas la solution rigoureuse
d'un problème, vous pouvez chercher des valeurs de plus en plus
approchées et raisonner l'approximation.

RELIEFS

Il s'agissait de passer au cubage des corps solides, et ceci fut plus
difficile; les figures du tableau ne suffisaient plus; les enfants ne se
rendaient pas compte de toutes les formes que représentait un simple tracé.
L'idée me vint de parler au vieux cuvelier Sylvestre, qui tout de suite
comprit ce que je lui demandais; il me fit des cubes, des prismes, des cônes
en bois, capables de se monter et de se démonter, comme on le voulait; tout

devint clair, sensible pour les élèves. Nous raisonnions des choses, les
pièces en main, et nous faisions ensuite nos calculs. Ce système de
fabriquer des figures géométriques en bois s'est depuis répandu partout; des
centaines d'ouvriers de la Forêt-Noire ne font plus que cela. Quelques-uns
ont poussé la chose jusqu'à fabriquer des figures en cristal, afin d'en voir du
premier coup d'œil les arêtes et les angles opposés.

Erckmann-Chatrian.

On veut enseigner aux enfants ce que c'est qu'un cône, comment on le
coupe, le volume de la sphère, et on leur montre des lignes, des lignes!
Donnez-leur le cône en bois, la figure en plâtre, apprenez-leur cela comme
on découpe une orange!

J. Vallès.

COTON ET MUSIQUE

La fonction d'une variable indépendante la plus importante à Liverpool
est peut-être le prix du coton. Une courbe montrant le prix du coton,
s'élevant quand ce prix est élevé, s'abaissant quand il est bas, montre à l'œil
toutes les variations si complexes de cette fonction.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Songez à la complexité de l'effet produit par un orchestre qui joue (un
orchestre de cent instruments), et deux cents voix qui chantent en chœur,
accompagnées par l'orchestre. Songez à l'état de l'air; songez combien il est
déchiré quelquefois... Une simple courbe, dessinée de la même manière que
celle des prix du coton, représente tout ce que l'oreille peut entendre dans
l'exécution la plus compliquée.

W. Thomson.

RÈGLES DE BOIS

Ces pauvres instruments, avec lesquels il a réformé l'astronomie,
Copernic les avait taillés et divisés lui-même. Tycho-Brahe les a célébrés en
vers latins: «C'est avec ces frêles morceaux de bois, ouvrage grossier et sans
art, que Copernic entreprit de donner des lois au ciel et de régler le cours
des astres; il est parvenu, par son génie, à une hauteur où nul mortel n'avait
atteint avant lui.

Ô monuments inestimables d'un si grand homme! Ils sont faits d'un bois
vulgaire, et cependant l'or le plus pur pâlirait devant eux!»

ALPHABET

Lorsqu'on apprend à un enfant à lire et à écrire, on peut lui donner
quelques notions géométriques, en lui faisant analyser les formes des
majuscules romaines. Dans A, il y a un triangle dont deux côtés sont
prolongés; C est un arc; D un demi-cercle, avec son diamètre; E présente
des angles droits; H des parallèles et une perpendiculaire; M des angles
aigus, etc.

TRAVAIL PERSONNEL

On félicitait le chimiste Regnault de sa force en mathématiques. Il
répondit: «Notre principal professeur à l'École polytechnique était si obscur
que les sergents devaient se réunir après chaque leçon pour la refaire. C'est
moi qui ai rédigé, pendant quelque temps, les cahiers pour mes camarades.
Vous pouvez vous figurer combien cela m'a fait travailler.»

RÉACTIFS

On sait que le chimiste introduit des réactifs contenant des éléments
souvent étrangers au produit qu'il veut obtenir, mais dont la présence
favorise les transformations intermédiaires que doit subir le phénomène: le
même rôle appartient aux lignes auxiliaires que trace le géomètre,
diagonales, droites parallèles ou perpendiculaires à des directions
déterminées, etc., ces lignes séparent les éléments primitifs, suggèrent entre
eux des groupements nouveaux, parallélogrammes, triangles égaux ou
semblables, etc., et de ces figures l'analyse dégage certaines propriétés qui
ont un rapport plus direct avec la conclusion visée.

H. Harant.

FAGOTS ET FAGOTS

Un profane n'aperçoit que des coefficients dans les équations; tous lui
paraissent égaux en importance, et s'il veut se renseigner sur les solutions, il
se figure qu'il faut aller les interroger séparément, de même qu'on arrête
dans la rue le premier ouvrier venu pour lui demander son chemin. Mais
non, il y a des chefs qu'on n'aperçoit pas; c'est à leur bureau qu'il faut
s'adresser. Soient, par exemple, dix équations littérales du premier degré à
dix inconnues. L'opérateur..... veut savoir si les solutions sont possibles, ou
impossibles, ou indéterminées. Qu'il n'aille donc pas interroger la vile plèbe
des coefficients. Non; il y a un personnage considérable qui sait le secret;
c'est un polynome, le dénominateur commun. On l'appelle le déterminant
du système; et ce nom est bien choisi, car c'est lui qui vous sert à
déterminer la nature des solutions.

Le P. Poulain.

Le déterminant est aidé par le conseil des numérateurs, assistés eux-
mêmes de déterminants mineurs, etc.

PLURALITÉ DES MONDES

Les astronomes qui calculent les mouvements apparents des astres dans
leur passage de chaque jour au méridien, ceux qui annoncent l'arrivée des
éclipses, des phénomènes célestes, des comètes périodiques, ceux qui
observent avec tant de soin les positions précises des étoiles et des planètes
aux divers degrés de la sphère céleste, ceux qui découvrent des comètes,
des planètes, des satellites, des étoiles variables, ceux qui recherchent et
déterminent les perturbations apportées aux mouvements de la terre par
l'attraction de la lune et des planètes, ceux qui consacrent leurs veilles à
découvrir les éléments fondamentaux du système du monde, tous,
observateurs ou calculateurs, sont des précurseurs de l'astronomie nouvelle.
Ce sont d'immenses travaux, des labeurs dignes d'admiration et de
transcendantes œuvres. Mais c'est l'armée du passé. Mathématiciens et
géomètres, désormais le cœur des savants va battre pour une conquête plus
noble encore. Tous ces grands esprits, en étudiant le ciel, ne sont en réalité,
pas sortis de la Terre. Le but de l'Astronomie n'est pas de nous montrer la
position apparente de points brillants, ni de peser des pierres en mouvement
dans l'espace, ni de nous faire connaître d'avance les éclipses, les phases de
la lune ou des marées. Tout cela est beau mais insuffisant.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Le jour viendra, et très prochainement, puisque tu es appelé à le voir, où
cette étude des conditions de la vie dans les diverses provinces de l'univers
sera l'objet essentiel—et le grand charme—de l'Astronomie.

Flammarion.

TRANSFORMATIONS

Dans la Géométrie ancienne les vérités étaient isolées; de nouvelles
étaient difficiles à imaginer, à créer; et ne devenait pas géomètre inventeur
qui voulait.

Aujourd'hui chacun peut se présenter, prendre une vérité quelconque
connue, et la soumettre aux divers principes généraux de transformation; il
en retirera d'autres vérités, différentes ou plus générales; et celles-ci seront
susceptibles de pareilles opérations; de sorte qu'on pourra multiplier,
presqu'à l'infini, le nombre des vérités nouvelles déduites de la première.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

Peut donc qui voudra, dans l'état actuel de la science, généraliser et créer
en géométrie; le génie n'est plus indispensable pour ajouter une pierre à
l'édifice.

Chasles.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

INVISIBLE

L'astronomie de l'invisible, n'est, pour ainsi parler, pas plus difficile que
celle des astres observables. Le géomètre dans son cabinet de travail, n'a
pas besoin de voir les astres pour en calculer la marche. Le Verrier l'a
prouvé en découvrant Neptune par le calcul, Bessel en démontrant
l'existence du compagnon de Sirius. Tous deux ont vu l'astre inconnu,
comme Christophe Colomb voyait l'Amérique des rivages de l'Espagne, et,
avec la même foi, ils ont osé assigner la place où devait les voir l'œil
émerveillé de l'astronome.

Wolf.

PRÉCISION

Si de Parme comme centre, avec un rayon égal à 60 lieues, on décrit une
demi-circonférence, cette demi-circonférence passe par les sommets des
Alpes.

Napoléon.

DEUX TENDANCES

Il semble que l'on puisse aujourd'hui distinguer, dans les mathématiciens,
deux tendances d'esprit différentes. Les uns se préoccupent principalement
d'élargir le champ des notions connues; sans se soucier toujours des
difficultés qu'ils laissent derrière eux, ils ne craignent pas d'aller en avant et
cherchent de nouveaux sujets d'étude. Les autres préfèrent rester, pour
l'approfondir davantage, dans le domaine de notions mieux élaborées; ils
veulent en épuiser les conséquences, et s'efforcent de mettre en évidence
dans la solution de chaque question les véritables éléments dont elle
dépend. Ces deux directions de la pensée mathématique s'observent dans les
différentes branches de la science; on peut dire toutefois, d'une manière
générale, que la première tendance se rencontre le plus souvent dans les
travaux qui touchent au calcul intégral et à la théorie des fonctions; les
travaux d'algèbre moderne et de géométrie analytique relèvent surtout de la
seconde.

E. Picard.

EN PROBLÈMES

Exposez toute science de raisonnement sous forme de problèmes
proposés d'abord, et résolus ensuite, la théorie régulière et suivie ne venant
qu'après pour coordonner et classer les vérités acquises. Sous la forme vive
et saisissante de problèmes, la science pénètre plus profondément dans
l'esprit dont les facultés inventives sont d'ailleurs toujours en pleine action.

Desboves.

COEFFICIENTS DE CORRECTION

Si l'on peut dire de la géométrie rationnelle, telle qu'elle est enseignée
depuis l'antiquité, que c'est l'art de faire des raisonnements exacts sur des
figures fausses, par opposition on peut dire de la géométrie pratique, dont
on fait usage dans les levers de terrain, que c'est l'art de faire des figures
exactes avec des instruments infidèles.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .

En géométrie, n'y aurait-il pas un grand avantage à faire inscrire des
hexagones réguliers dans des circonférences, avant de démontrer que le côté
de ces polygones est égal au rayon? Cette marche ne mettrait-elle pas en
garde, contre les affirmations trop absolues de la théorie, l'esprit d'un élève
qui aurait constaté, par sa propre expérience, que rarement, à la fin de
l'opération la pointe du compas retombe sur le point de départ? Cela ne le
ferait-il pas réfléchir aux causes d'insuccès de cette opération? Son
professeur ne serait-il pas obligé de les lui expliquer? Et peu à peu n'en
viendrait-il pas à se familiariser avec ce principe d'expérience, que, dans les
applications des vérités les mieux démontrées, de celles qui présentent le
caractère le plus indubitable de la vérité absolue, on doit toujours compter,
si je puis m'exprimer ainsi, avec les résistances passives contre lesquelles il
faut lutter dans chaque action matérielle.

Si je ne me trompe, l'enseignement dirigé dans cette voie, développerait
le jugement, le tact pratique. En tout cas, il éviterait des illusions fréquentes

à ceux qui acceptent comme des vérités absolues les résultats des
recherches physico-mathématiques, recherches dans lesquelles on néglige
tant de choses.

Goulier.

Le célèbre topographe ne restait guère dans les régions de l'idéal. Il
faisait la part des résistances de la matière et des défaillances de l'opérateur.

HISTOIRE

LE TRIBUNAL DES MATHÉMATIQUES

Les instruments dont le tribunal des mathématiques fait actuellement
usage, pour rédiger l'almanach présenté à S. M. Kouang-Siu et désigner les
jours fastes ou néfastes, ont été construits en 1670, sous la direction du Père
Verbiest, missionnaire belge. Ils ne permettent qu'une précision de dix
minutes de degré tandis que nous pouvons évaluer à l'aide des nôtres
jusqu'aux dixièmes de seconde, d'où une précision six mille fois plus
grande. On ne s'occupe guère à Pékin que de calendrier et d'astrologie et on
est porté à y croire la Terre toujours immobile au centre de l'espace céleste.

Nous avons tenu entre les mains une table de sinus de l'empereur de
Chine, Kang-Hi. Le texte, imprimé en Europe, est précédé de 4 feuillets (8
pages), contenant des chiffres arabes et chinois tracés à l'encre de Chine.
Chaque page imprimée des tables de sinus et tangentes est précédée et
suivie de caractères chinois tracés au pinceau rouge. D'après une note
ancienne qui se lit sur la garde et dont voici le texte, ces caractères seraient
tracés par l'empereur lui-même: «L'empereur Kang-Hi se servit de ce livre
lorsqu'il calculait à l'européenne. Les caractères rouges sont de sa main.»

UNE CALOMNIE

Sous prétexte de mesurer un degré du méridien, si bien déterminé par les
Anciens, ils (les charlatans académiques) se sont fait accorder par le
ministre 100 000 écus pour les frais de l'opération, petit gâteau qu'ils se
partageront en frères.

Marat, l'ami du peuple.

DODÉCAÈDRE

Les doctrines mathématiques des pythagoriciens devaient être tenues
secrètes. Un des initiés (leur signe de reconnaissance était le pentagone
étoilé), nommé Hippasos, ayant dévoilé la construction du dodécaèdre
inscrit dans la sphère, fut noyé en mer.

JARDINIERS, QUINCAILLIERS, ETC.

Le duc d'Argyle, ayant trouvé les Principia de Newton sur une pelouse
de son château, interrogea le jardinier Stone: cet homme de trente ans avait
appris seul les éléments de mathématiques, le latin et il comprenait Newton!
Dans la suite, Stone a composé un traité de calcul différentiel, qu'on a
traduit en français pour compléter celui de de l'Hôpital.

Aux États-Unis, le commis quincaillier Bowdwitch, parvint aussi seul à
lire Newton. Après s'être enrichi à Boston, dans une compagnie
d'assurances, il publia à ses frais sa traduction de la Mécanique céleste de
Laplace, augmentée de commentaires.

Éléazar Féronce vivait vers 1625, aux environs de Grenoble; il était
jardinier dans un château; il faisait des observations à l'aide d'instruments
qu'il se construisait lui-même.

Le cordonnier hollandais, Théodore Rembrandsz, né vers 1610, publia un
ouvrage étendu sur le système de Copernic.

Un ouvrier pelletier-fourreur, Jean Jordan, de Stuttgard, fut un
mathématicien et un mécanicien ingénieux.

Un tisserand de Lisieux, nommé Jean Lefèvre, était assez fort
mathématicien pour calculer une table des passages de la lune au méridien.
On l'attacha au bureau de la Connaissance des temps.

Vers 1710, un berger d'Écosse, Jacques Fergusson s'était construit en
bois des instruments d'astronomie; il s'adonna aux mathématiques et devint
membre de la Société royale de Londres.

Le cultivateur saxon, Jean-Georges Palitzch, né en 1723, mathématicien
et astronome, correspondant de la Société royale de Londres, employait ses
loisirs à étudier; il n'abandonna jamais le métier de laboureur.

L'astronome Jean-Louis Pons, né en 1761, d'abord concierge à
l'Observatoire de Marseille, a découvert 37 comètes.

Un simple cordonnier, Rigaut, qui s'était instruit seul, a présenté à
l'Académie des sciences de bons mémoires de mathématiques.

MATHÉMATICIENNES

Sous le titre de Les femmes dans la Science, nous venons de publier, chez
l'éditeur Nony, un volume de 350 pages, orné de portraits et d'autographes.
Voici un extrait de l'avant-propos.

«Depuis plus de quinze siècles, nous honorons Hypatie, cette grecque
d'Alexandrie, si belle et si savante, lapidée par une populace stupide. Les
travaux d'astronomie et de mécanique de la marquise du Châtelet défendent
sa mémoire. Marie Agnesi, après avoir enseigné le calcul infinitésimal à
l'Italie, est morte comme une sainte. À l'occasion d'un problème posé par

Napoléon, Sophie Germain a créé, une des premières, la physique
mathématique. Mary Somerville a composé, après Laplace, une mécanique
céleste. Une russe, Mme Kowalewski, couronnée par notre Académie des
Sciences, a été enlevée, il y a quelques années, en pleine floraison de son
génie.

Nous avons réuni, pour la première fois, ces belles et nobles figures.
Nous avons tracé, de ces femmes hors pair et de quelques autres, des
notices à grands traits, sans détails techniques. Le groupe d'élite a été
encadré dans un tableau assez complet des autres savantes: l'armée en
marche, avec son état-major.

Nous avons surtout étudié les savantes professionnelles, qui ont consacré
aux études scientifiques la plus grande partie de leur vie, mathématiciennes,
physiciennes, naturalistes et philosophes. Puis sont venues les simples
curieuses qui, à l'occasion, ont dit leur mot sur les sciences; les
collaboratrices qui ont aidé les savants, discrètement et activement; les
professeurs, les vulgarisatrices, modestes et utiles; enfin les protectrices,
princesses ou riches bourgeoises, qui ont fondé des prix dans les académies
ou répandu leurs bienfaits sous d'autres formes. Les unes et les autres, par
des moyens divers, ont exercé une heureuse influence sur le progrès des
sciences.

Deux notes, provenant d'une collaboration variée, terminent le livre.
Dans l'une, nous avons réuni des opinions opposées sur cette question: Si la
femme est capable de science. La seconde note est formée de Menus propos
sur les femmes et les sciences, aperçus divers, citations, anecdotes, pensées,
etc.»

SONS

Ayant remarqué, un jour qu'il passait devant un atelier de forgerons, que
les sons des marteaux formaient la quarte, la quinte et l'octave, Pythagore
eut l'idée de peser les trois marteaux et, des rapports de leur poids, il conclut
une théorie mathématique de l'harmonie des sons.

On sait que le même philosophe a, dit-on, composé la table qui fait le
désespoir des petits enfants, et, ce qui est plus important, qu'il a découvert
le carré de l'hypoténuse. À l'occasion de cette admirable proposition,
Pythagore a sacrifié une hécatombe aux dieux.

DEUX DYNASTIES

Depuis le milieu du xviie siècle jusqu'à nos jours, les Bernoulli, d'origine
suisse, ont été des savants distingués. Les ancêtres, les deux frères Jacques
et Jean, mathématiciens de premier ordre, ont développé le calcul
infinitésimal. Ensuite sont venus Nicolas II, Daniel, Jean II, Jean III,
Jérôme, Jacques II et Christophe. Le dernier descendant des grands
Bernoulli, physicien et naturaliste, est mort à Bâle en 1863.

Jean-Dominique Cassini, célèbre astronome, fut le premier membre
marquant de la famille. Son fils Jacques fut aussi astronome, son petit-fils
César-François Cassini de Thury devint membre de l'Académie des sciences
à vingt-deux ans. Enfin son arrière-petit-fils Jacques-Dominique, directeur
de l'Observatoire, termina la carte de France.

RECOMMANDATION

«Sire, les princes éclairés et généreux aiment à découvrir le mérite
modeste et à réparer envers lui les torts de la fortune. Ils se plaisent à
donner à l'homme de génie les moyens de jeter sur les sciences cet éclat
qu'elles recevront de ses travaux et qui réfléchit sur leur gouvernement. À
ce titre, les soussignés, membres de l'Institut de France, se permettent de
signaler à la royale bienveillance de Votre Majesté un jeune géomètre M.
Abel, dont les productions annoncent un esprit de premier ordre, et qui
néanmoins languit à Christiania dans un poste peu digne de son rare et
précoce mérite.»

Legendre, Poisson, Lacroix.

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

La Convention établit, en 1794, l'École centrale des travaux publics, à
l'instigation de Monge, Lamblardie, Carnot et Prieur. Placée au Palais-
Bourbon, ne recevant que des externes, l'école devait d'abord alimenter
seulement le corps des ingénieurs civils et militaires. C'est en 1795 que
l'école prit son nom d'École polytechnique et son caractère actuel. Nous ne
pouvons pas raconter ici sa glorieuse histoire, et nous allons nous borner à
quelques anecdotes.

Dans la période du début, chaque candidat doit faire constater par la
municipalité de sa ville natale «qu'il a constamment manifesté l'amour de la
liberté et de l'égalité et la haine des tyrans». On lit dans un rapport de
l'époque: «La manifestation du patriotisme a été généralement nulle. Ils sont
presque tous ignorants ou indifférents, tandis que les enfants eux-mêmes
balbutient déjà les principes et les hymnes de la liberté! C'est en vain que
j'ai tâché, par des questions brusques, imprévues et même captieuses, de
suppléer à l'insuffisance des papiers qu'ils ont produits; presque tous m'ont
montré qu'ils avaient toujours été indifférents au bonheur de leurs
semblables, à leur propre bonheur et même aux événements... Quarante de
ces jeunes gens, par leur insouciance de tout ce qui est bon, vertueux et
utile, méritent d'être rejetés!»

«Jeunes citoyens, disait plus tard un Ministre de l'Intérieur dans un
discours, ayez toujours l'amour de la patrie. Si cet amour agit par sentiment
sur le reste des hommes, il est permis de penser que c'est grâce aux savants
que cet amour est géométriquement démontré. Je peux le dire ici, dans la
langue qui vous est familière, la liberté est le théorème donné par la nature,
la République en est la démonstration, l'amour de la patrie en est le
corollaire.»

Le dimanche matin, l'ordinaire est augmenté d'une omelette au lard,
transformation économique du plat qu'on appelait le cochon de Mme

Laplace. En effet, la veuve de l'illustre géomètre, lorsqu'elle avait fondé un
prix pour l'élève sortant le premier et consistant dans les œuvres de Laplace,
avait disposé d'une somme dont le revenu devait être employé à donner un
plat supplémentaire le dimanche. Ce plat consista au début en côtelettes de
porc frais.

En 1894, il y a eu de belles fêtes polytechniciennes, à l'occasion du
centenaire de la fondation de l'École. Des livres commémoratifs ont été
publiés.

ÉCOLE NORMALE

Créée à Paris par la Convention, ses quinze cents élèves externes reçurent
au Muséum les leçons des maîtres les plus illustres et ces leçons, qui ont été
recueillies, sont encore consultées. La plupart de ces élèves enseignèrent, à
leur sortie, dans les Écoles centrales des départements. C'est en 1808, que
Napoléon réorganisa l'école qui, beaucoup moins nombreuse, devint un
internat dans le Lycée Louis-le-Grand et dont les élèves suivirent les cours
du Collège de France, de l'École polytechnique et du Muséum. Elle a été
transférée à la rue d'Ulm, en 1847, et l'enseignement de ses Maîtres de
conférences est devenu à peu près indépendant des cours extérieurs.

Pendant la dernière guerre, les élèves Lande et Szymanski ont gagné la
médaille militaire, M. Burdeau a été décoré de la légion d'honneur et
Lemoine a été tué à l'ennemi. Deux plaques de marbre noir portent les noms
de Lemoine et de Thuillier, élève de M. Pasteur, mort pour la science à
Alexandrie où il était allé étudier le choléra.

À la fin des vacances de Pâques de 1895, l'École normale a fêté
joyeusement son centenaire. Un grand et beau livre illustré, historique et
biographique a été publié chez Hachette, grâce à une collaboration variée.
Nous avions ouvert une souscription, en famille, pour faire face aux
dépenses. Le reliquat a été déposé dans la caisse de l'Association des
anciens élèves.

SCIENCES MILITAIRES

Le maréchal Vaillant proposait de créer à l'Institut une section des
sciences militaires.—Je ne connais pas cela, s'écria M. Chasles. Il y a la
science, puis viennent les applications.—On eut beau faire, il ameuta tout le
monde contre le projet des spécialistes.

BROUETTES ET OMNIBUS

La brouette, grâce à laquelle le manœuvre ne s'épuise plus à transporter
directement les fardeaux, et l'omnibus, le vulgaire omnibus chanté comme
symbole du progrès par Edmond About, ces deux inventions fort pratiques
sont dues, dit-on, au grand Pascal.

Le fait a été contesté (voir l'Intermédiaire des chercheurs et des curieux
du 10 mai 1891).

BONNE POLITIQUE

Sous le second Empire, Cauchy, professeur à la Faculté des sciences, fut
dispensé d'un serment qu'il avait refusé en 1830. La même exception fut
faite en faveur d'Arago, directeur de l'Observatoire, vulgarisateur et
historien des sciences.

PRÉCOCITÉ

Pascal enfant ayant demandé ce que c'était que la géométrie, on s'était
borné à lui répondre qu'il s'agissait de faire des figures exactes et de trouver
les proportions qu'elles avaient entre elles. Sur cette seule indication et sans
aucun livre, Pascal devina tout le commencement d'Euclide jusqu'à la
trente-deuxième proposition.

Lagrange disait en 1801 à propos de Cauchy: vous voyez ce petit jeune
homme, eh bien! il nous remplacera tous, tant que nous sommes de
géomètres.

Parmi les mathématiciens précoces on peut citer encore Huygens,
Clairaut et J. Bertrand.

TOMBEAU D'ARCHIMÈDE

Je mis tous mes soins à découvrir ce tombeau. Les Syracusains
m'affirmaient qu'il n'existait point. À force de recherches, je le trouvai
enfin, couvert de ronces et de broussailles. Je fus guidé, dans cette
découverte, par quelques lignes d'une inscription qu'on disait avoir été
gravées sur le monument, et qui se rapportaient à une sphère et à un
cylindre, posés au sommet du tombeau. Parcourant des yeux les nombreux
tombeaux qui se trouvent vers la porte d'Agrigente, j'aperçus une petite
colonne qui s'élevait au-dessus des buissons: il y avait la figure d'une sphère
et d'un cylindre[4]. Je m'écriai aussitôt devant les principaux habitants de
Syracuse qui m'accompagnaient. Voilà ce que je cherche! Beaucoup se
jetèrent alors sur les broussailles pour les couper et mettre l'emplacement à
découvert. Ce travail achevé, nous nous approchâmes de la colonne. Nous
vîmes l'inscription à moitié rongée par le temps. Ainsi, la plus noble et jadis
la plus instruite des cités de la Grèce ignorerait la place du tombeau du plus
ingénieux de ses citoyens, si un inconnu d'Arpinum n'était pas venu la lui
apprendre.

Cicéron.

ATTRACTION UNIVERSELLE

Nous sommes redevables de cette importante découverte à feu M.
Newton. Ce grand philosophe et mathématicien anglais se trouvait un jour
couché dans un jardin, sous un pommier, une pomme lui tomba sur la tête,
et lui fournit l'occasion de faire plusieurs réflexions. Il conçut bien que
c'était la pesanteur qui avait fait tomber la pomme, après qu'elle eut été
dégagée de la branche, peut-être par le vent ou quelque autre cause. Cette
idée paraissait fort naturelle, et tout paysan aurait peut-être fait la même
réflexion; mais le philosophe anglais allait plus loin. Il faut, dit-il, que
l'arbre ait été fort haut; et c'est ce qui lui fit former la question si la pomme
serait aussi tombée en bas dans le cas où l'arbre aurait été encore beaucoup
plus haut, ce dont il ne pouvait pas douter.

Mais si l'arbre avait été si haut qu'il parvînt jusqu'à la lune, il se trouva
embarrassé de décider si la pomme tomberait ou non. En cas qu'elle tombât,
ce qui lui paraissait pourtant fort vraisemblable, puisqu'on ne saurait
concevoir un terme, dans la hauteur de l'arbre, où la pomme cesserait de
tomber; dans ce cas, il faudrait que la pomme eût encore quelque pesanteur
qui la pousserait vers la terre: donc, parce que la lune se trouverait au même
endroit, il faudrait qu'elle fût poussée vers la terre par une force semblable à
celle de la lune. Cependant, comme la lune ne lui tombait point sur la tête, il
comprit que le mouvement en pourrait être la cause, de la même manière
qu'une bombe peut passer au-dessus de nous sans tomber verticalement en
bas. Cette comparaison du mouvement de la lune avec une bombe le
détermina à examiner plus attentivement la chose, et, aidé des secours de la
plus sublime géométrie, il trouva que la lune suivait dans son mouvement
les mêmes règles qu'on observe dans le mouvement d'une bombe; de sorte
que s'il était possible de jeter une bombe à la hauteur de la lune et avec la
même vitesse, la bombe aurait le même mouvement que la lune. Il a
seulement remarqué cette différence, que la pesanteur de la bombe à cette
distance de la terre serait beaucoup plus petite qu'ici-bas.

Euler.

On rapporte que Newton, voulant calculer la quantité dont la lune tombe
vers la terre en une seconde et ayant disposé les opérations arithmétiques,

reconnut qu'il allait obtenir ce qu'il pressentait. Son émotion fut si grande
qu'il ne put continuer le calcul et qu'il fallut qu'un de ses élèves l'achevât.

TOUT PAR DIX

Lors de la création du système métrique, on avait songé à diviser le jour
en vingt heures, chaque heure en cent minutes, etc., et la circonférence en
quatre cents grades, le grade en cent minutes, etc. Cette question de la
décimalisation du temps et de la circonférence revient sur l'eau aujourd'hui.

PRÊTRES MENACÉS

Au plus fort de la Terreur, Lalande, quoique paroissien médiocre, cacha à
l'Observatoire plusieurs prêtres menacés de mort. «Je vous ferai passer, leur
dit-il, pour des élèves astronomes: nous nous occupons du Ciel, vous et
moi.»

CIEL EN CRISTAL

Le ciel est ce qui tourne incessamment autour de la terre et de la mer sur
deux pivots qui forment les extrémités d'un axe: car en ces endroits, la
puissance qui gouverne la nature a fabriqué et mis ces pivots comme deux
centres, l'un au-dessus de la terre et de la mer, en haut du ciel et derrière les
étoiles du septentrion, l'autre à l'opposé, sous la terre, vers le midi; et autour
de ces deux pivots, comme autour de deux centres, elle a mis de petits
moyeux, pareils à ceux d'une roue et d'un tour, sur lequel le ciel tourne
continuellement.

Vitruve.

On voit, par ce passage, que les anciens ont cru à l'existence de cieux
solides de cristal, tournant sur deux pivots matériels.

À ATHÈNES

Lysias apprit à la fois l'arithmétique par principes et en se jouant: car
pour en faciliter l'étude aux enfants, on les accoutume tantôt à partager entre
eux, selon qu'ils sont en plus grand ou en plus petit nombre, une certaine
quantité de pommes ou de couronnes; tantôt à se mêler, dans leurs
exercices, suivant des combinaisons données, de manière que le même
occupe chaque place à son tour. Apollodore ne voulut pas que son fils
connût ni ces prétendues propriétés que les Pythagoriciens attribuent aux
nombres, ni l'application qu'un intérêt sordide peut faire du calcul aux
opérations du commerce. Il estimait l'arithmétique, parce qu'entre autres
avantages elle augmente la sagacité de l'esprit et le prépare à la
connaissance de la géométrie et de l'astronomie.

Lysias prit une teinture de ces deux sciences. Avec le secours de la
première, il pourrait plus aisément asseoir un camp, presser un siège, ranger
des troupes en bataille, les faire rapidement mouvoir dans une marche ou
dans une action. La seconde devait la garantir des frayeurs que les éclipses
et les phénomènes extraordinaires inspiraient il n'y a pas longtemps aux
soldats.

Abbé Barthélemy.

PORTRAIT CHERCHÉ

La ville de Dax, patrie du chevalier de Borda, né en 1733 et mort en
1799, devait élever une statue à cet illustre ingénieur, géomètre et marin.

Le comité chargé de recueillir les souscriptions a rapidement trouvé les
fonds nécessaires, mais il a été en présence d'une difficulté sérieuse, qui a
menacé même de réduire à néant ses patriotiques intentions: on ne possédait
aucun portrait du chevalier de Borda. Le comité fit appel à tous ceux qui
pouvaient détenir un buste, un portrait ou une miniature. Peine inutile:
Borda n'avait jamais songé à poser devant un statuaire ou un peintre
quelconque.

On se trouvait donc exposé à un avortement imprévu quand on se souvint
qu'il y avait à Brest un vaisseau portant le nom de Borda, à bord duquel
était installée l'école navale. On sut que la poulaine de ce navire était ornée
d'un buste doré: ce ne pouvait être que celui du chevalier de Borda. On
s'adressa donc à la marine pour en obtenir une photographie. La difficulté
allait donc être tranchée. Erreur! Le vaisseau le Borda, avant de recevoir ce
nom illustre, avait été baptisé du nom de Valmy et l'on apprit en même
temps que le buste qui en ornait la poulaine était celui de Kellermann, le
vainqueur des Prussiens en 1792. Mais en poursuivant les recherches, on
parvint à trouver dans le Musée naval du port de Brest, où Borda a
longtemps servi comme ingénieur et comme inspecteur général des
constructions, non pas un buste mais bien deux, portant son nom, au milieu
de beaucoup d'autres bustes portant les noms illustres de Jean-Bart, de
Vauban, etc. Mais, nouvelle cause d'indécision, ces deux bustes ne se
ressemblent pas: l'un représente les traits d'un personnage gras et
suffisamment joufflu; l'autre présente l'aspect d'un homme maigre et fluet.
Lequel des deux bustes est le bon? Les deux assurément, si ce que l'on
suppose est fondé, à savoir que l'un, le fluet, a dû représenter Borda dans sa
jeunesse, et l'autre, le joufflu, dans son âge mûr, à une époque où le
chevalier a dû prendre de l'embonpoint. À moins que ce ne soit ni l'un ni
l'autre, ce qui serait regrettable mais ce qu'on ne saurait supposer.

Quoi qu'il en soit, la Marine se rendant au désir de la ville de Dax, a
expédié au comité d'organisation la photographie des deux bustes
dissemblables qu'elle possède. On a choisi et la statue de Borda a été érigée
le 24 mai 1891.

SURSUM CORDA.

Une grande erreur est de penser que l'enthousiasme est inconciliable avec
les vérités mathématiques. Je suis persuadé qu'il est tel problème, de calcul,
d'analyse de Kepler, de Galilée, de Newton, d'Euler, la solution de telle
équation, qui supposent autant d'invention, d'inspiration que la plus belle
ode de Pindare. Ces pures et incorruptibles formules, qui étaient avant que
le monde fût, qui seront après lui, qui dominent tous les temps, tous les
espaces, qui sont, pour ainsi dire, une partie intégrante de Dieu, ces
formules sacrées qui survivront à la ruine de tous les univers, mettent le
mathématicien qui mérite ce nom, en communication avec la pensée divine.
Dans ces vérités immuables, il savoure le plus pur de la création; il prie
dans sa langue. Il dit au monde comme cet ancien: «Faisons silence, nous
entendrons le murmure des dieux!»

Edgard Quinet.

Il est des vérités scientifiques, dit Descartes, qui sont des batailles
gagnées; racontez aux jeunes gens les principales et les plus héroïques de
ces batailles: vous les intéresserez aux résultats mêmes des sciences, et vous
développerez chez eux l'esprit scientifique, au moyen de l'enthousiasme
pour la conquête de la vérité; vous leur ferez comprendre la puissance de
raisonnement qui a amené les découvertes actuelles et en amène d'autres.
Quel intérêt prendraient l'arithmétique et la géométrie, si l'on joignait un
peu de leur histoire à l'exposition de leurs principales théories, si l'on
assistait aux efforts des Pythagore, des Platon, des Euclide, ou, plus tard des
Viète, des Pascal, des Leibniz! Les grandes théories, au lieu d'être des
abstractions mortes et anonymes, deviendraient des vérités vivantes,
humaines, ayant leur histoire, comme une statue qui est de Michel-Ange,
comme un tableau qui est de Raphaël.

Alfred Fouilliée.

PRÉCURSEUR

D'après Grégori et Maclaurin, Pythagore aurait deviné la loi précise de la
gravitation universelle. Voici un curieux extrait du premier de ces savants:

Une corde de musique, dit Pythagore, donne les mêmes sons qu'une autre
corde, dont la longueur est double, lorsque la tension ou la force avec
laquelle la dernière est tendue est quadruple; et, la gravitation d'une planète
est quadruple de la gravitation d'une autre, qui est à distance double. En
général, pour qu'une corde de musique puisse devenir à l'unisson d'une
corde plus courte de même espèce, sa tension doit être augmentée dans la
même proportion que le carré de sa longueur est plus grand; et afin que la
gravité d'une planète devienne égale à celle d'une autre planète plus proche
du soleil, elle doit être augmentée à proportion que le quarré de sa distance
au soleil est plus grand. Si donc nous supposons des cordes de musique
tendues du soleil à chaque planète, pour que ces cordes deviennent à
l'unisson, il faudrait augmenter leur tension, dans les mêmes proportions
qui seraient nécessaires pour rendre les gravités des planètes égales. C'est
de la similitude de ces rapports que Pythagore a tiré sa doctrine de
l'harmonie des sphères.

COURTISANS

Louis XVIII dit, un jour, à un mathématicien célèbre: «Monsieur, vous
pourriez peut-être m'aider à résoudre un problème? Comment se fait-il
qu'ayant été accompagné par une cinquantaine de personnes quand je suis
parti pour Gand, j'en trouve aujourd'hui dix mille qui prétendent y avoir été
avec moi?»

UN DUEL

Né en 1811, Évariste Galois, mathématicien de génie, est mort à vingt
ans dans un duel. M. P. Dupuy a publié, en 1896, une notice sur Galois,

dans les Annales de l'École normale supérieure et il a reconstitué, avec un
soin extrême, une vie malheureuse et peu connue.

VÉRITÉ HISTORIQUE

Dans le premier volume de son Cours d'études historiques, Daunou
explique assez longuement pourquoi, suivant lui, le calcul n'est pas
applicable à l'appréciation des témoignages en histoire.

On trouve sur le même sujet, dans les Indications de Clio par Zchokke,
cette anecdote assez curieuse. Un amateur avait enregistré, d'après les
journaux du temps, le nombre des victimes de la Révolution et des guerres
de l'Empire. Il était arrivé ainsi au total de 142.214.817 morts et il allait
publier ce grand nombre avec détails et preuves à l'appui, lorsqu'un ami lui
fit remarquer l'absurdité du résultat. L'Europe ne comptait que cent quatre-
vingts millions, de sorte que les journalistes l'avaient presque dépeuplée en
vingt ans!

LÉGENDE

J'ai entendu dire qu'aux environs de Naucratis d'Égypte exista un des plus
anciens dieux, celui auquel est consacré l'oiseau qu'on appelle Ibis: que son
nom est Theut, et que le premier, il avait découvert le Nombre, le Calcul, la
Géométrie, les Dames et les Dés.

Platon (Phèdre.)

INVENTEURS

N'est-il pas, pour le moins, aussi nécessaire d'enseigner les ressources
employées, à diverses époques, par les hommes de génie, pour parvenir à la
vérité, que les efforts pénibles qu'ils ont été ensuite obligés de faire pour la
démontrer selon le goût des esprits ou timides ou peu capables de se mettre
à leur portée?

Poncelet.

DOCUMENTS

Que, dans l'étude des mathématiques, on fasse table rase du passé, qu'on
les enseigne dégagées de tout document historique, cela n'est pas sans
inconvénients.

J.-B. Dumas.

NAPOLÉON

Arago rapporte ces paroles de Napoléon à M. Lemercier, membre de
l'Institut:

«Pensez-vous que si je n'étais pas devenu général en chef et l'instrument
d'un grand peuple, j'aurais couru les bureaux et les salons pour me mettre
dans la dépendance de qui que ce fût, en qualité de ministre ou
d'ambassadeur? Non, non! je me serais jeté dans l'étude des sciences
exactes, j'aurais fait mon chemin dans la route des Galilée et des Newton; et
puisque j'ai réussi constamment dans mes grandes entreprises, eh bien! je
me serais hautement distingué aussi par des travaux scientifiques; j'aurais
laissé le souvenir de belles découvertes: aucune autre gloire n'aurait pu
tenter mon ambition.»

On conserve aux Archives de l'Institut un rapport de Laplace, Bonaparte
et Lacroix (23 octobre 1799) sur un mémoire de Biot intitulé:
Considérations sur les équations aux différences mêlées.

Napoléon trouvait avec une facilité prodigieuse la solution de problèmes
géométriques très compliqués. Il étonnait Monge lui-même.

EXPÉRIMENTONS

Les progrès des sciences expérimentales ont insensiblement amené les
esprits à concevoir toute science sur leur modèle. Le type de certitude
scientifique était autrefois la démonstration géométrique; c'est maintenant la
vérification expérimentale. Non que les mathématiques aient rien perdu, à
nos yeux, de leur inflexible rigueur, et d'ailleurs, la possibilité d'une mesure
exacte avec la réduction à une formule mathématique est de plus en plus le
signe d'une théorie scientifique faite; mais nous regardons moins volontiers
du côté de la géométrie pure.

Ollé-Laprune.

Les mathématiques, transcendantes surtout, ne conduisent à rien de précis
sans l'expérience: c'est une espèce de métaphysique générale où les corps
sont dépouillés de leurs qualités individuelles;—il resterait à faire un grand
ouvrage qu'on pourrait appeler l'Application de l'Expérience à la Géométrie
ou Traité de l'Aberration des Mesures.

Diderot.

À l'aide de quelques axiomes, tirés soit de l'esprit humain, soit de
l'observation et en procédant uniquement par voie de raisonnement, la
géométrie avait commencé, dès le temps des Grecs, à élever ce merveilleux
édifice, qui a subsisté et qui subsistera toujours sans aucun changement
essentiel. La logique règne ici en souveraine, mais c'est dans le monde des

abstractions. Les déductions mathématiques ne sont certaines que pour leur
ordre même; elles n'ont aucune existence effective en dehors de la logique.
Si on les applique à l'ordre des réalités, elles y constituent un instrument
puissant, mais elles ne sont pas autre chose; leurs affirmations tombent
aussitôt sous la condition commune, c'est-à-dire que les prémisses doivent
être tirées de l'observation, et que la conclusion doit être contrôlée par cette
même observation.

Berthelot.

Les sciences de la matière relèvent toutes, sans exception, des sciences de
l'esprit, parmi lesquelles on doit ranger les mathématiques... Pas une
application ne serait possible sans le secours de leurs formules abstraites,
pas le plus petit progrès sans leur concours et leur permission.

Charraux.

Dans les mathématiques, on suit surtout une méthode déductive.

Une science ne peut être considérée comme arrivée à la perfection que
quand, à l'exemple des mathématiques, toutes les vérités partielles peuvent
être démontrées à l'aide de quelques axiomes généraux.

La division des sciences en inductives et déductives ne se rapporte qu'à
leur développement successif. Plus la science est parfaite, plus la déduction
y a d'application.

Bougaev.

HARDIESSE

La théorie des parallèles n'a fait aucun progrès depuis Euclide jusqu'au
commencement de notre siècle. Tous les efforts pour démontrer le

postulatum d'Euclide ou une proposition équivalente étaient restés
infructueux, lorsque Lobattcheffsky en 1829 et Bolyai en 1832, changeant
résolument de voie, conçurent et exécutèrent séparément le projet hardi de
supposer que la proposition n'était pas vraie et de constituer un nouveau
système de géométrie non contradictoire, en poussant jusqu'à ses dernières
limites le développement de leur hypothèse. Gauss qui par ses propres
méditations avait obtenu les mêmes résultats dès 1792, sans toutefois avoir
rien publié sur ce sujet, assura par son patronage le succès de l'œuvre de
Lobattcheffsky qui, écrivait-il à Schumacher «avait traité la matière de main
de maître». Depuis lors, un grand nombre de géomètres, parmi lesquels il
faut surtout citer Riemann et Beltrami, ont considérablement agrandi le
champ de ces spéculations.

Rouché.

PREMIÈRE SCIENCE

Les mathématiques étant une science de raisonnement, dans laquelle
l'observation n'a presque rien, et l'expérience absolument rien à faire, a dû
être constituée longtemps avant les autres sciences. Il est clair que pour
compter ou pour comparer des grandeurs entre elles, l'homme n'a pas eu
besoin de connaître la nature. Le calcul et la géométrie se sont donc formés
dans une indépendance absolue vis-à-vis des autres catégories de
connaissances. Mais, par cela même, le calcul et la géométrie ont eu
pendant des siècles, un développement de perfection très supérieur à ce
qu'exigeaient les besoins de la vie en société. Chez les Anciens, les seuls
esprits cultivés jouissaient de la contemplation des vérités abstraites
formulées par Pythagore, Archimède et Euclide. Aussi ces vérités
indispensables à l'établissement des sciences d'observation comme
l'astronomie, et des sciences expérimentales comme la physique, étaient-
elles condamnées à attendre que le développement de la vie collective eût
acquis des proportions convenables.

Foucou.

CANONISÉS

Saint Anatolius est l'auteur d'Institutions arithmétiques.

Gerbert, devenu pape sous le nom de Saint Sylvestre II, était un
remarquable mathématicien.

Saint Guillaume d'Hirschau a écrit sur le comput ecclésiastique et inventé
des instruments d'astronomie.

Enfin, d'après Cantor, l'historien des mathématiques, Boèce, et
Symmaque, auraient aussi été canonisés.

Voici un extrait de la préface janséniste d'une géométrie réformatrice due
à Arnauld:

«Entre les exercices humains qui peuvent le plus disposer l'esprit à
recevoir les vérités Chrestiennes avec moins d'opposition et de dégoust, il
semble qu'il n'y en ait guères de plus propre que la géométrie. Car rien n'est
plus capable de détacher l'âme de cette application aux sens, qu'une autre
application à un objet qui n'a rien d'agréable selon les sens; et c'est ce qui se
rencontre parfaitement dans cette science. Elle n'a rien du tout qui puisse
favoriser tant soit peu la pente de l'âme vers les sens; son objet n'a aucune
liaison avec la concupiscence; elle est incapable d'éloquence et d'agrément
dans le langage; rien n'y excite les passions; elle n'a rien du tout d'aimable
que la vérité, et elle la présente à l'âme toute nue et détachée de tout ce que
l'on aime de plus dans les autres choses.»

Agripa, l'auteur du Traité de la vanité des sciences, est d'avis différent:

«Combien que ces disciplines (les mathématiques) n'aient causé en
l'Église de Dieu guères d'hérésies, ou point du tout, si est ce que comme dit
Saint Augustin, elles sont inutiles à notre salut, plutôt nous détournant de

Dieu, et induisant à pécher que autrement; et ne sont ainsi que Saint
Hierome affirme, sciences de personnes craignans Dieu.»

Michelet fait, dans son Journal, cette déclaration assez inattendue de sa
part. «J'aime assez ce régime: les mathématiques et l'Évangile; il y a là tout
ce qu'il faut pour l'âme.»

LANGUE ET LITTÉRATURE

ÉTYMOLOGIES

Calcul vient du mot latin signifiant caillou, parce qu'on comptait jadis
avec des cailloux, d'où le titre l'Arénaire d'un ouvrage d'Archimède. Au xiie
siècle, l'indien Bhâscara a fait un livre, le Bijaganitam, sur le comptage à
l'aide des graines.

Au xvie siècle, nous nous servions de jetons: «Enseigne l'arithmétique et
calcul, tant au jet qu'à la plume.» Au début de la comédie de Molière, c'est à
l'aide de jetons que le malade imaginaire additionne le compte de son
apothicaire. Madame de Sévigné écrit à sa fille qu'elle vient de faire le
compte de sa fortune «avec les jetons de l'abbé (de Coulanges), qui sont si
justes et si bons.»

Le mot calcul a conservé son sens étymologique, lorsqu'il s'agit des
petites pierres qui se forment dans la vessie. (Maladie de la pierre.)

Les étymologies de calcul, arithmétique et géométrie, sont claires, mais
algèbre viendrait de l'arabe Al-jèbr, raccorder un membre, rétablir le tout
d'après ses parties? En espagnol, algébriste signifie chirurgien.

TRIGONOMÉTRIE DRAMATIQUE

Lisez le roman de Jules Verne intitulé: Histoire de trois Russes et de
quatre Anglais. Il est question des angles adjacents à la base du 8e triangle,
du 103e logarithme de la table de Volaston, d'un calculateur menacé par les
crocodiles, de deux registres volés par des singes, etc., etc. «Trianguler ou
mourir», voilà la devise de ces fiers opérateurs.

Les aventures réelles de Delambre et Méchain, puis de Biot et Arago sont
autrement émouvantes. (Voyez La mesure du mètre, un petit livre de W. de
Fonvielle.)

BIEN RÉDIGER

À la suite d'une étude de M. J. Liouville, élève-ingénieur, insérée en 1830
dans les Annales de Mathématiques, le rédacteur, Gergonne avait écrit.

«Je crois devoir m'excuser vis-à-vis du lecteur de lui livrer un mémoire
aussi maussadement, je puis dire aussi inintelligiblement rédigé...

Je ne prétends contester aucunement la capacité mathématique de M.
Liouville: mais à quoi sert cette capacité, si elle n'est accompagnée de l'art
de disposer, de l'art de se faire lire, entendre et goûter. Malheureusement, il
n'est aujourd'hui que trop de jeunes gens, de beaucoup de mérite d'ailleurs
qui regardent, comme un accessoire indifférent ce que je regarde, moi,
comme le mérite essentiel, le mérite par excellence, au défaut duquel tout le
reste n'est absolument rien.»

On sait que Liouville a fondé le célèbre Journal de Mathématiques qui
porte encore son nom.

THÉÂTRE SCIENTIFIQUE

Sous ce titre, M. de Mirval a essayé de dramatiser plusieurs épisodes de
la vie des savants, par exemple, les persécutions de Kepler. Ponsard avait
déjà fait un Galilée en cinq actes. Enfin Louis Figuier, le célèbre
vulgarisateur, a aussi publié des pièces curieuses à données scientifiques: la
Science au théâtre, 2 vol.

UN VAUDEVILLE

Lors de l'invention du calcul infinitésimal, il donna lieu à un vaudeville et
à un air intitulé: les Infiniment petits, où l'on plaisantait sur la frêle santé du
marquis de l'Hôpital et sur les caprices de la marquise.

Madame de l'Hôpital a réfuté, dans le Journal des Savants de 1691, les
théories géométriques d'un nommé Lamontre.

LES MATHÉMATICIENS

C'est là le titre d'une comédie du hollandais Langendick (1715); il s'agit
d'un tuteur bafoué, comme d'habitude, par son pupille, pendant qu'il disserte
sur les sciences avec un vieil ami.

ÊTRE SUR SON TRENTE ET UN

Au moyen-âge, des règlements fort sévères punissaient non seulement les
ouvriers qui avaient employé dans leur fabrication des matières premières
avariées, mais encore ceux qui ne donnaient pas à leurs produits les formes
et les dimensions requises. En ce qui concernait les tisserands de laine, ces
règlements allaient jusqu'à fixer le nombre de fils dont devait se composer
la trame.

On trouve à ce sujet des détails curieux dans l'Histoire de l'industrie
française, d'Alexis Monteil. Le collage de la chaîne, le foulage, le feutrage,
le soufrage, le calendrage, tout est prévu, sans oublier la longueur ni la
largeur de la pièce; et le contrevenant pouvait être condamné, en certain cas,
à avoir le poing coupé, «ce qui était bien fait, car les honnêtes tisserands
voulaient conserver leurs deux mains».

Suivant la qualité des draps, la trame devait se composer de 1400 ou de
1800 fils. Pour le drap fin destiné aux vêtements de luxe, le nombre de fils
était de 30 fois 100 fils; ce qui fit donner à ce drap le nom de trentain.

Porter du trentain était donc le fait d'un homme riche qui ne regardait pas
aux dépenses de la toilette.

Trentain, terme technique, se métamorphosa facilement en trente-un dans
la bouche de ceux qui ne connaissaient pas l'origine de cette appellation; et
comme l'usage a prévalu de dire trente et un, ces mots sont restés pour
désigner une toilette soignée.

BIBLIOGRAPHIE

Ne pas prendre le Traité de la Roulette, de Pascal, pour une étude sur le
jeu du même nom: il s'agit de la courbe appelée aussi cycloïde.

Bien se garder de confondre le Traité des Fluxions, de Newton ou de
Maclaurin, ni une étude sur les Caustiques, avec un livre de médecine.

Les deux plus anciens manuscrits français d'algorithme et de géométrie
sont à la Bibliothèque Sainte-Geneviève. Ils datent de 1275 et ont été
publiés par M. Charles Henry.

On a un traité d'arithmétique imprimé à Trévise en 1478 et deux à
Bamberg en 1482 et 1483. L'allemand Ratdolt, mort en 1505, a imprimé le
premier des figures dans un texte de mathématiques.