Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen (German) Felix Klein 382 downloads.pdf

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Title: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen

Author: Felix Klein

Release date: November 16, 2011 [eBook #38033]

Language: German

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VERGLEICHENDE BETRACHTUNGEN ÜBER NEUERE
GEOMETRISCHE FORSCHUNGEN ***

Vergleichende Betrachtungen über
neuere geometrische Forschungen

Felix Klein

1872

Erlangen

Verlag von Andreas Deichert

§.1. Gruppen von räumlichen Transformationen. Hauptgruppe.
Aufstellung eines allgemeinen Problems.
§.2. Transformationsgruppen, von denen die eine die andere umfasst,
werden nach einander adjungirt. Die verschiedenen Typen
geometrischer Forschung und ihr gegenseitiges Verhältniss.
§.3. Die projectivische Geometrie.
§.4. Uebertragung durch Abbildung.
§.5. Von der Willkürlichkeit in der Wahl des Raumelements. Das
Hessesche Uebertragungsprincip. Die Liniengeometrie.
§.6. Die Geometrie der reciproken Radien. Die Interpretation von x +
iy.
§.7. Erweiterungen des Vorangehenden. Lies Kugelgeometrie.
§.8. Aufzählung weiterer Methoden, denen eine Gruppe von
Puncttransformationen zu Grunde liegt.
1. Die Gruppe der rationalen Umformungen.
2. Die Analysis situs.
3. Die Gruppe aller Puncttransformationen.
§.9. Von der Gruppe aller Berührungstransformationen.
§.10. Ueber beliebig ausgedehnte Mannigfaltigkeiten.
1. Die projectivische Behandlungsweise oder die moderne
Algebra (Invariantentheorie).
2. Die Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmaße.
3. Die ebene Mannigfaltigkeit.
Schlussbemerkungen.
Noten.
I. Ueber den Gegensatz der synthetischen und analytischen
Richtung in der neueren Geometrie.
II. Trennung der heutigen Geometrie in Disciplinen.
III. Ueber den Werth räumlicher Anschauung.

IV. Ueber Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen.
V. Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie.
VI. Liniengeometrie als Untersuchung einer Mannigfaltigkeit von
constantem Krümmungsmaße.
VII. Zur Interpretation der binären Formen.

Unter den Leistungen der letzten fünfzig Jahre auf dem Gebiete der
Geometrie nimmt die Ausbildung der projectivischen1 Geometrie die erste
Stelle ein. Wenn es anfänglich schien, als sollten die sogenannten
metrischen Beziehungen ihrer Behandlung nicht zugänglich sein, da sie
beim Projiciren nicht ungeändert bleiben, so hat man in neuerer Zeit
gelernt, auch sie vom projectivischen Standpuncte aufzufassen, so dass nun
die projectivische Methode die gesammte Geometrie umspannt. Die
metrischen Eigenschaften erscheinen in ihr nur nicht mehr als
Eigenschaften der räumlichen Dinge an sich, sondern als Beziehungen
derselben zu einem Fundamental-Gebilde, dem unendlich fernen
Kugelkreise.

Vergleicht man mit der so allmählich gewonnenen Auffassungsweise der
räumlichen Dinge die Vorstellungen der gewöhnlichen (elementaren)
Geometrie, so entsteht die Frage nach einem allgemeinen Principe, nach
welchem die beiden Methoden sich ausbilden konnten. Diese Frage
erscheint um so wichtiger als sich neben die elementare und die
projectivische Geometrie, ob auch minder entwickelt, eine Reihe anderer
Methoden stellt, denen man dasselbe Recht selbständiger Existenz
zugestehen muss. Dahin gehören die Geometrie der reciproken Radien, die
Geometrie der rationalen Umformungen etc., wie sie in der Folge noch
erwähnt und dargestellt werden sollen.

Wenn wir es im Nachstehenden unternehmen, ein solches Princip
aufzustellen, so entwickeln wir wohl keinen eigentlich neuen Gedanken,
sondern umgränzen nur klar und deutlich, was mehr oder minder bestimmt
von Manchem gedacht worden ist. Aber es schien um so berechtigter,
derartige zusammenfassende Betrachtungen zu publiciren, als die
Geometrie, die doch ihrem Stoffe nach einheitlich ist, bei der raschen
Entwicklung, die sie in der letzten Zeit genommen hat, nur zu sehr in eine
Reihe von beinahe getrennten Disciplinen zerfallen ist2, die sich ziemlich

unabhängig von einander weiter bilden. Es lag dabei aber auch noch die
besondere Absicht vor, Methoden und Gesichtspuncte darzulegen, welche
von Lie und mir in neueren Arbeiten entwickelt wurden. Es haben unsere
beiderseitigen Arbeiten, auf wie verschiedenartige Gegenstände sie sich
auch bezogen, übereinstimmend auf die hier dargelegte allgemeine
Auffassungsweise hingedrängt, so dass es eine Art von Nothwendigkeit
war, auch einmal diese zu erörtern und von ihr aus die betr. Arbeiten nach
Inhalt und Tendenz zu characterisiren.

War bisher nur von geometrischen Forschungen die Rede, so sollen
darunter mit verstanden sein die Untersuchungen über beliebig ausgedehnte
Mannigfaltigkeiten, die sich, unter Abstreifung des für die rein
mathemathische Betrachtung unwesentlichen räumlichen Bildes3, aus der
Geometrie entwickelt haben4. Es gibt bei der Untersuchung von
Mannigfaltigkeiten eben solche verschiedene Typen, wie in der Geometrie,
und es gilt, wie bei der Geometrie, das Gemeinsame und das
Unterscheidende unabhängig von einander unternommener Forschungen
hervorzuheben. Abstract genommen war es im Folgenden nur nöthig,
schlechthin von mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten zu reden; aber
durch Anknüpfung an die geläufigeren räumlichen Vorstellungen wird die
Auseinandersetzung einfacher und verständlicher. Indem wir von der
Betrachtung der geometrischen Dinge ausgehen und an ihnen als einem
Beispiele die allgemeinen Gedanken entwickeln, verfolgen wir den Gang,
den die Wissenschaft in ihrer Ausbildung genommen hat, und den bei der
Darstellung zu Grunde zu legen gewöhnlich das Vorteilhafteste ist. –

Eine vorläufige Exposition des im Folgenden besprochenen Inhaltes ist hier
wohl nicht möglich, da sich derselbe kaum in eine knappere Form5 fügen
will; die Ueberschriften der Paragraphen werden den allgemeinen
Fortschritt des Gedankens angeben. Ich habe zum Schlusse eine Reihe von
Noten zugefügt, in welchen ich entweder, wo es im Interesse der
allgemeinen Auseinandersetzung des Textes nützlich schien, besondere
Punkte weiter entwickelt habe, oder in denen ich bemüht war, den abstract
mathematischen Standpunkt, der für die Betrachtungen des Textes
maßgebend ist, gegen verwandte abzugränzen.

§.1. Gruppen von räumlichen Transformationen.
Hauptgruppe. Aufstellung eines allgemeinen
Problems.
Der wesentlichste Begriff, der bei den folgenden Auseinandersetzungen
nothwendig ist, ist der einer Gruppe von räumlichen Aenderungen.

Beliebig viele Transformationen des Raumes6 ergeben zusammengesetzt
immer wieder eine Transformation. Hat nun eine gegebene Reihe von
Transformationen die Eigenschaft, dass jede Aenderung, die aus den ihr
angehörigen durch Zusammensetzung hervorgeht, ihr selbst wieder
angehört, so soll die Reihe eine Transformationsgruppe7 genannt werden.

Ein Beispiel für eine Transformationsgruppe bildet die Gesammtheit der
Bewegungen (jede Bewegung als eine auf den ganzen Raum ausgeführte
Operation betrachtet). Eine in ihr enthaltene Gruppe bilden etwa die
Rotationen um einen Punct8. Eine Gruppe, welche umgekehrt die Gruppe
der Bewegungen umfasst, wird durch die Gesammtheit der Collineationen
vorgestellt. Die Gesammtheit der dualistischen Umformungen bildet
dagegen keine Gruppe — denn zwei dualistische Umformungen ergeben
zusammen wieder eine Collineation —, wohl aber wird wieder eine Gruppe
erzeugt, wenn man die Gesammtheit der dualistischen mit der Gesammtheit
der collinearen zusammenfügt9.

Es gibt nun räumliche Transformationen, welche die geometrischen
Eigenschaften räumlicher Gebilde überhaupt ungeändert lassen.
Geometrische Eigenschaften sind nämlich ihrem Begriffe nach unabhängig
von der Lage, die das zu untersuchende Gebilde im Raume einnimmt, von
seiner absoluten Grösse, endlich auch von dem Sinne10, in welchem seine
Theile geordnet sind. Die Eigenschaften eines räumlichen Gebildes bleiben
also ungeändert durch alle Bewegungen des Raumes, durch seine
Aehnlichkeitstransformationen, durch den Process der Spiegelung, sowie
durch alle Transformationen, die sich aus diesen zusammensetzen. Den

Inbegriff aller dieser Transformationen bezeichnen wir als die
Hauptgruppe11 räumlicher Aenderungen; geometrische Eigenschaften
werden durch die Transformationen der Hauptgruppe nicht geändert. Auch
umgekehrt kann man sagen: Geometrische Eigenschaften sind durch ihre
Unveränderlichkeit gegenüber den Transformationen der Hauptgruppe
characterisirt. Betrachtet man nämlich den Raum einen Augenblick als
unbeweglich etc., als eine starre Mannigfaltigkeit, so hat jede Figur ein
individuelles Interesse; von den Eigenschaften, die sie als Individuum hat,
sind es nur die eigentlich geometrischen, welche bei den Aenderungen der
Hauptgruppe erhalten bleiben. Dieser hier etwas unbestimmt formulirte
Gedanke wird im weiteren Verlaufe der Auseinandersetzung deutlicher
erscheinen.

Streifen wir jetzt das mathematisch unwesentliche sinnliche Bild ab, und
erblicken im Raume nur eine mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, also,
indem wir an der gewohnten Vorstellung des Punctes als Raumelement
festhalten, eine dreifach ausgedehnte. Nach Analogie mit den räumlichen
Transformationen reden wir von Transformationen der Mannigfaltigkeit;
auch sie bilden Gruppen. Nur ist nicht mehr, wie im Raume, eine Gruppe
vor den übrigen durch ihre Bedeutung ausgezeichnet; jede Gruppe ist mit
jeder anderen gleichberechtigt. Als Verallgemeinerung der Geometrie
entsteht so das folgende umfassende Problem:

Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe
gegeben; man soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Gebilde
hinsichtlich solcher Eigenschaften untersuchen, die durch die
Transformationen der Gruppe nicht geändert werden.

In Anlehnung an die moderne Ausdrucksweise, die man freilich nur auf eine
bestimmte Gruppe, die Gruppe aller linearen Umformungen, zu beziehen
pflegt, mag man auch so sagen:

Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe
gegeben. Man entwickele die auf die Gruppe bezügliche Invariantentheorie.

Dies ist das allgemeine Problem, welches die gewöhnliche Geometrie nicht
nur, sondern namentlich auch die hier zu nennenden neueren geometrischen
Methoden und die verschiedenen Behandlungsweisen beliebig ausgedehnter

Mannigfaltigkeiten unter sich begreift. Was besonders betont sein mag, ist
die Willkürlichkeit, die hinsichtlich der Wahl der zu adjungirenden
Transformationsgruppe besteht, und die daraus fliessende und in diesem
Sinne zu verstehende gleiche Berechtigung aller sich unter die allgemeine
Forderung subsumirenden Betrachtungsweisen.

§.2. Transformationsgruppen, von denen die eine
die andere umfasst, werden nach einander
adjungirt. Die verschiedenen Typen geometrischer
Forschung und ihr gegenseitiges Verhältniss.
Da die geometrischen Eigenschaften räumlicher Dinge durch alle
Transformationen der Hauptgruppe ungeändert bleiben, so ist es an und für
sich absurd, nach solchen Eigenschaften derselben zu fragen, bei denen dies
nur gegenüber einem Theile dieser Transformationen der Fall ist. Diese
Fragestellung wird indess berechtigt, ob auch nur formal, wenn wir die
räumlichen Gebilde in ihrer Beziehung zu fest gedachten Elementen
untersuchen. Betrachten wir z. B., wie in der sphärischen Trigonometrie, die
räumlichen Dinge unter Auszeichnung eines Punctes. Dann ist zunächst die
Forderung: die unter Adjunction der Hauptgruppe invarianten
Eigenschaften nicht mehr der räumlichen Dinge an sich, sondern des von
ihnen mit dem gegebenen Puncte gebildeten Systems zu entwickeln. Aber
dieser Forderung können wir die andere Form ertheilen: Man untersuche
die räumlichen Gebilde an sich hinsichtlich solcher Eigenschaften, welche
ungeändert bleiben durch diejenigen Transformationen der Hauptgruppe,
welche noch stattfinden können, wenn wir den Punct fest halten. Mit
anderen Worten: Es ist dasselbe, ob wir die räumlichen Gebilde im Sinne
der Hauptgruppe untersuchen und ihnen den gegebenen Punct hinzufügen,
oder ob wir, ohne ihnen irgend ein Gegebenes hinzuzufügen, die
Hauptgruppe durch die in ihr enthaltene Gruppe ersetzen, deren
Transformationen den bez. Punct ungeändert lassen.

Es ist dies ein in der Folge häufig angewandtes Princip, das wir desshalb
gleich hier allgemein formuliren wollen; etwa in der folgenden Weise:

Es sei eine Mannigfaltigkeit und zu ihrer Behandlung eine auf sie
bezügliche Transformationsgruppe gegeben. Es werde das Problem
vorgelegt, die in der Mannigfaltigkeit enthaltenen Gebilde hinsichtlich eines
gegebenen Gebildes zu untersuchen. So kann man entweder dem Systeme

der Gebilde das gegebene hinzufügen, und es fragt sich dann nach den
Eigenschaften des erweiterten Systems im Sinne der gegebenen Gruppe —
oder, man lasse das System unerweitert, beschränke aber die
Transformationen, die man bei der Behandlung zu Grunde legt, auf
diejenigen in der gegebenen Gruppe enthaltenen, welche das gegebene
Gebilde ungeändert lassen (und die nothwendig wieder eine Gruppe
bilden). —

Im Gegensatze zu der zu Anfang des Paragraphen aufgeworfenen Frage
beschäftige uns nun die umgekehrte, die von Vornherein verständlich ist.
Wir fragen nach denjenigen Eigenschaften räumlicher Dinge, welche bei
einer Transformationsgruppe erhalten bleiben, die die Hauptgruppe als
einen Theil umfasst. Jede Eigenschaft, die wir bei einer solchen
Untersuchung finden, ist eine geometrische Eigenschaft des Dings an sich,
aber das Umgekehrte gilt nicht. Bei der Umkehr tritt vielmehr das eben
vorgetragene Princip in Kraft, wobei die Hauptgruppe nun die kleinere
Gruppe ist. Wir erhalten so:

Ersetzt man die Hauptgruppe durch eine umfassendere Gruppe, so bleibt
nur ein Theil der geometrischen Eigenschaften erhalten. Die übrigen
erscheinen nicht mehr als Eigenschaften der räumlichen Dinge an sich,
sondern als Eigenschaften des Systems, welches hervorgeht, wenn man
denselben ein ausgezeichnetes Gebilde hinzufügt. Dieses ausgezeichnete
Gebilde ist (soweit es überhaupt ein bestimmtes12 ist) dadurch definirt, dass
es, fest gedacht, dem Raume unter den Transformationen der gegebenen
Gruppe nur noch die Transformationen der Hauptgruppe gestattet.

In diesem Satze beruht die Eigenart der hier zu besprechenden neueren
geometrischen Richtungen und ihr Verhältniss zur elementaren Methode.
Sie sind dadurch eben zu characterisiren, dass sie an Stelle der Hauptgruppe
eine erweiterte Gruppe räumlicher Umformungen der Betrachtung zu
Grunde legen. Ihr gegenseitiges Verhältniss ist, sofern sich ihre Gruppen
einschliessen, durch einen entsprechenden Satz bestimmt. Dasselbe gilt von
den verschiedenen hier zu betrachtenden Behandlungsweisen mehrfach
ausgedehnter Mannigfaltigkeiten. Es soll dies nun an den einzelnen
Methoden gezeigt werden, wobei denn die Sätze, die in diesem und dem

vorigen Paragraphen allgemein hingestellt wurden, ihre Erläuterung an
concreten Gegenständen finden.

§.3. Die projectivische Geometrie.
Jede räumliche Umformung, die nicht gerade der Hauptgruppe angehört,
kann dazu benutzt werden, um Eigenschaften bekannter Gebilde auf neue
Gebilde zu übertragen. So verwerthen wir die Geometrie der Ebene für die
Geometrie der Flächen, die sich auf die Ebene abbilden lassen; so schloss
man schon lange vor dem Entstehen einer eigentlichen projectivischen
Geometrie von den Eigenschaften einer gegebenen Figur auf Eigenschaften
anderer, die durch Projection aus ihr hervorgingen. Aber die projectivische
Geometrie erwuchs erst, als man sich gewöhnte, die ursprüngliche Figur
mit allen aus ihr projectivisch ableitbaren als wesentlich identisch zu
erachten und die Eigenschaften, welche sich beim Projiciren übertragen, so
auszusprechen, dass ihre Unabhängigkeit von der mit dem Projiciren
verknüpften Aenderung in Evidenz tritt. Hiermit war denn der Behandlung
im Sinne von §.1 die Gruppe aller projectivischen Umformungen zu
Grunde gelegt und dadurch eben der Gegensatz zwischen projectivischer
und gewöhnlicher Geometrie geschaffen.

Ein ähnlicher Entwicklungsgang, wie der hier geschilderte, kann bei jeder
Art von räumlicher Transformation als möglich gedacht werden; wir
werden noch öfter darauf zurückkommen. Er hat sich innerhalb der
projectivischen Geometrie selbst noch nach zwei Seiten vollzogen. Die eine
Weiterbildung der Auffassung geschah durch Aufnahme der dualistischen
Umformungen in die Gruppe der zu Grunde gelegten Aenderungen. Für den
heutigen Standpunct sind zwei einander dualistisch entgegenstehende
Figuren nicht mehr als zwei unterschiedene sondern als wesentlich
dieselben Figuren anzusehen. Ein anderer Schritt bestand in der
Erweiterung der zu Grunde gelegten Gruppe collinearer und dualistischer
Umformungen durch Aufnahme der bez. imaginären Transformationen.
Dieser Schritt bedingt, dass man vorher den Kreis der eigentlichen
Raumelemente durch Hinzunahme der imaginären erweitert habe — ganz
dem entsprechend, wie die Aufnahme der dualistischen Umformungen in
die zu Grunde gelegte Gruppe die gleichzeitige Einführung von Punct und
Ebene als Raumelement nach sich zieht. Es ist hier nicht der Ort, auf die

Zweckmässigkeit der Einführung imaginärer Elemente zu verweisen, durch
welche allein der genaue Anschluss der Raumlehre an das einmal gewählte
Gebiet algebraischer Operationen erreicht wird. Dagegen muss betont
werden, dass der Grund für die Einführung eben in der Betrachtung
algebraischer Operationen, nicht aber in der Gruppe der projectivischen und
dualistischen Umformungen liegt. So gut wir uns bei den letzteren auf
reelle Transformationen beschränken können, da schon die reellen
Collineationen und dualistischen Transformationen eine Gruppe bilden; —
so gut können wir imaginäre Raumelemente einführen, auch wenn wir nicht
auf projektivischem Standpuncte stehen, und sollen es, sofern wir
principiell algebraische Gebilde untersuchen.

Wie man vom projectivischem Standpuncte aus die metrischen
Eigenschaften aufzufassen hat, bestimmt sich nach dem allgemeinen Satze
des vorangehenden Paragraphen. Die metrischen Eigenschaften sind als
projectivische Beziehungen zu einem Fundamentalgebilde, dem unendlich
fernen Kugelkreise13, zu betrachten, einem Gebilde, das die Eigenschaft
hat, nur durch diejenigen Transformationen der projectivischen Gruppe, die
eben auch Transformationen der Hauptgruppe sind, in sich überzugehen.
Der so schlechthin ausgesprochene Satz bedarf noch einer wesentlichen
Ergänzung, die der Beschränkung der gewöhnlichen Anschauungsweise auf
reelle Raumelemente (und reelle Transformationen) entspricht. Man muss
dem Kugelkreise, um diesem Standpuncte gerecht zu werden, noch das
System der rellen Raumelemente (Puncte) ausdrücklich hinzufügen;
Eigenschaften im Sinne der elementaren Geometrie sind projectivisch
entweder Eigenschaften der Dinge an sich oder Beziehungen zu diesem
Systeme der reellen Elemente, oder zum Kugelkreise oder endlich zu
beiden.

Es mag hier noch der Art gedacht werden, wie v. Staudt in seiner Geometrie
der Lage[2] die projectivische Geometrie aufbaut — d. h. diejenige
projectivische Geometrie, welche sich auf Zugrundelegung der Gruppe aller
reeller projectivisch-dualistischer Umformung beschränkt14.

Es ist bekannt, wie er dabei aus dem gewöhnlichen Anschauungsmaterial
nur solche Momente herausgreift, die auch bei projectivischen
Umformungen erhalten bleiben. Wollte man weiterhin zur Betrachtung auch

metrischer Eigenschaften übergehen, so hätte man die letzteren geradezu als
Beziehungen zum Kugelkreise einzuführen. Der so vervollständigte
Gedankengang ist für die hier vorliegenden Betrachtungen insofern von
grosser Bedeutung, als ein entsprechender Aufbau der Geometrie im Sinne
jeder einzelnen der noch anzuführenden Methoden möglich ist.

§.4. Uebertragung durch Abbildung.
Ehe wir in der Besprechung der geometrischen Methoden, die sich neben
die elementare und die projectivische Geometrie stellen, weiter gehen,
mögen allgemein einige Betrachtungen entwickelt werden, die im
Folgenden immer wieder vorkommen und zu denen die bisher berührten
Dinge bereits hinreichend viele Beispiele liefern. Auf diese Erörterungen
bezieht sich der gegenwärtige und der nächstfolgende Paragraph.

Gesetzt, man habe eine Mannigfaltigkeit A unter Zugrundelegung einer
Gruppe B untersucht. Führt man sodann A durch irgendwelche
Transformation in eine andere Mannigfaltigkeit A' über, so wird aus der
Gruppe B von Aenderungen, die A in sich transformirten, nunmehr eine
Gruppe B', deren Transformationen sich auf A' beziehen. Dann ist es ein
selbstverständliches Princip, dass die Behandlungsweise von A unter
Zugrundelegung von B die Behandlungsweise von A' unter Zugrundelegung
von B' ergibt, d. h. jede Eigenschaft, welche ein in A enthaltenes Gebilde
mit Bezug auf die Gruppe B hat, ergibt eine Eigenschaft des entsprechenden
Gebildes in A' mit Bezug auf die Gruppe B'.

Lassen wir z. B. A eine gerade Linie, B die dreifach unendlich vielen
linearen Transformationen bedeuten, welche dieselbe in sich überführen.
Die Behandlungsweise von A ist dann eben diejenige, welche die neuere
Algebra als Theorie der binären Formen bezeichnet. Nun kann man die
gerade Linie auf einen Kegelschnitt A' der Ebene durch Protection von
einem Puncte des letzteren aus beziehen. Aus den linearen
Transformationen B der Geraden in sich selbst werden dann die linearen
Transformationen B' des Kegelschnittes in sich selbst, wie man leicht zeigt,
d. h. diejenigen Aenderungen des Kegelschnittes, welche mit den linearen
Transformationen der Ebene, die den Kegelschnitt in sich überführen,
verknüpft sind.

Es ist nun aber nach dem Princip des zweiten Paragraphen15 dasselbe: nach
der Geometrie auf einem Kegelschnitte zu fragen, wenn man sich den
Kegelschnitt als fest denkt und nur auf diejenigen linearen

Transformationen der Ebene achtet, welche ihn in sich überführen; oder die
Geometrie auf dem Kegelschnitte zu studiren, indem man überhaupt die
linearen Transformationen der Ebene betrachtet und sich den Kegelschnitt
mit ändern lässt. Die Eigenschaften, welche wir an den Punctsystemen auf
dem Kegelschnitte auffassten, sind mithin im gewöhnlichen Sinne
projectivische. Die Verknüpfung der letzten Ueberlegung mit dem eben
abgeleiteten Resultate gibt also:

Binäre Formentheorie und projectivische Geometrie der Punctsysteme auf
einem Kegelschnitte ist dasselbe, d. h. jedem binären Satze entspricht ein
Satz über derartige Punctsysteme und umgekehrt16.

Ein anderes Beispiel, welches geeignet ist, diese Art von Betrachtungen zu
veranschaulichen, ist das folgende: Wenn man eine Fläche zweiten Grades
mit einer Ebene durch stereographische Projection in Verbindung setzt, so
tritt auf der Fläche ein Fundamentalpunct auf: der Projectionspunct, in der
Ebene sind es zwei: die Bilder der durch den Projectionspunct gehenden
Erzeugenden. Man zeigt nun ohne Weiteres: Die linearen Transformationen
der Ebene, welche die beiden Fundamentalpuncte derselben ungeändert
lassen, gehen durch die Abbildung in lineare Transformationen der Fläche
zweiten Grades in sich selbst über, aber nur in diejenigen, welche den
Projectionspunct ungeändert lassen. Unter linearen Transformationen der
Fläche in sich selbst sind dabei diejenigen Aenderungen verstanden, welche
die Fläche erfährt, wenn man lineare Raumtransformationen ausführt,
welche die Fläche mit sich selbst zur Deckung bringen. Hiernach wird also
die projectivische Untersuchung einer Ebene unter Zugrundelegung zweier
Puncte und die projectivische Untersuchung einer Fläche zweiten Grades
unter Zugrundelegung eines Punctes identisch. Die erstere ist nun — sofern
man imaginäre Elemente mit in Betracht zieht — nichts Anderes, als die
Untersuchung der Ebene im Sinne der elementaren Geometrie. Denn die
Hauptgruppe der ebenen Transformationen besteht eben in den linearen
Umformungen, welche ein Punctepaar (die unendlich fernen Kreispuncte)
ungeändert lassen. Wir erhalten also schliesslich:

Die elementare Geometrie der Ebene und die projectivische Untersuchung
einer Fläche zweiten Grades unter Hinzunahme eines ihrer Puncte sind
dasselbe.

Diese Beispiele liessen sich beliebig vervielfachen17; die beiden hier
entwickelten sind gewählt worden, da wir in der Folge noch Gelegenheit
haben werden, auf dieselben zurückzukommen.

§.5. Von der Willkürlichkeit in der Wahl des
Raumelements. Das Hessesche
Uebertragungsprincip. Die Liniengeometrie.
Als Element der geraden Linie, der Ebene, des Raumes, überhaupt einer zu
untersuchenden Mannigfaltigkeit kann statt des Punctes jedes in der
Mannigfaltigkeit enthaltene Gebilde: die Punctgruppe, ev. die Curve, die
Fläche u. s. w. verwandt werden18. Indem über die Zahl willkürlicher
Parameter, von denen man diese Gebilde abhängig setzen will, von
Vornherein gar Nichts fest steht, erscheinen Linie, Ebene, Raum etc. je nach
der Wahl des Elementes mit beliebig vielen Dimensionen behaftet. Aber so
lange wir der geometrischen Untersuchung dieselbe Gruppe von
Aenderungen zu Grunde legen, bleibt der Inhalt der Geometrie
unverändert, das heißt, jeder Satz, der bei einer Annahme des
Raumelements sich ergab, ist auch ein Satz bei beliebiger anderer
Annahme, nur die Anordnung und Verknüpfung der Sätze ist geändert.

Das Wesentliche ist also die Transformationsgruppe; die Zahl der
Dimensionen, die wir einer Mannigfaltigkeit beilegen wollen, erscheint als
etwas Secundäres.

Die Verknüpfung dieser Bemerkung mit dem Princip des vorigen
Paragraphen ergibt eine Reihe schöner Anwendungen, von denen hier
einige entwickelt werden mögen, da diese Beispiele mehr als alle lange
Auseinandersetzung geeignet scheinen, den Sinn der allgemeinen
Betrachtung darzulegen.

Die projectivische Geometrie auf der Geraden (die Theorie der binären
Formen) ist nach dem vorigen Paragraphen mit der projectivischen
Geometrie auf dem Kegelschnitte gleichbedeutend. Auf letzterem mögen
wir jetzt statt des Punctes das Punctepaar als Element betrachten

Die Gesammtheit der Punctepaare des Kegelschnitts lässt sich aber auf die
Gesammtheit der Geraden der Ebene beziehen, indem man jede Gerade

dem Punctepaare zuordnet, in welchem sie den Kegelschnitt trifft. Bei
dieser Abbildung gehen die linearen Transformationen des Kegelschnitts in
sich selbst in die linearen Transformationen der (aus Geraden bestehend
gedachten) Ebene über, welche den Kegelschnitt ungeändert lassen. Ob wir
aber die aus den letzteren bestehende Gruppe betrachten, oder die
Gesammtheit der linearen Transformationen der Ebene zu Grunde legen
und den zu untersuchenden Gebilden der Ebene den Kegelschnitt allemal
hinzufügen, ist nach §.2 gleichbedeutend. Indem wir alle diese
Ueberlegungen zusammen nehmen, haben wir:

Die Theorie der binären Formen und die projectivische Geometrie der
Ebene unter Zugrundelegung eines Kegelschnittes sind gleichbedeutend.

Da endlich projectivische Geometrie der Ebene unter Zugrundelegung eines
Kegelschnittes eben wegen der Gleichheit der Gruppe mit der
projectivischen Maßgeometrie coincidirt, die man in der Ebene auf einen
Kegelschnitt gründen kann19, so mögen wir auch so sagen:

Die Theorie der binären Formen und die allgemeine projectivische
Maßgeometrie in der Ebene sind dasselbe.

Statt des Kegelschnitts in der Ebene können wir in der vorstehenden
Betrachtung die Curve dritter Ordnung im Raume setzen etc., doch mag
dies unausgeführt bleiben. Der hier dargelegte Zusammenhang zwischen
der Geometrie der Ebene, weiterhin des Raumes oder einer beliebig
ausgedehnten Mannigfaltigkeit deckt sich im Wesentlichen mit dem von
Hesse vorgeschlagenen Uebertragungsprincipe [7].

Ein Beispiel ganz ähnlicher Art ergibt die projectivische Geometrie des
Raumes, oder, anders ausgedrückt, die Theorie der quaternären Formen.
Fasst man die gerade Linie als Raumelement und ertheilt ihr, wie in der
Liniengeometrie geschieht, sechs homogene Coordinaten, zwischen denen
eine Bedingungsgleichung vom zweiten Grade Statt findet, so erscheinen
die linearen und dualistischen Transformationen des Raumes als diejenigen
linearen Transformationen der unabhängig gedachten sechs Veränderlichen,
welche die Bedingungsgleichung in sich überführen. Durch eine
Verknüpfung ähnlicher Ueberlegungen, wie sie soeben entwickelt wurden,
erhält man hieraus den Satz:

Die Theorie der quaternären Formen deckt sich mit der projectivischen
Maßbestimmung in einer durch 6 homogene Veränderliche erzeugten
Mannigfaltigkeit.

Wegen der näheren Ausführung dieser Auffassung verweise ich auf einen
demnächst in den Math. Annalen (Bd. VI) erscheinenden Aufsatz: „Ueber
die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie"[8], sowie auf eine Note am
Schlusse dieser Mittheilung20.

Ich knüpfe an die vorstehenden Auseinandersetzungen noch zwei
Bemerkungen, von denen die erste zwar schon implicite in dem Bisherigen
enthalten ist, aber ausgeführt werden soll, weil der Gegenstand, auf den sie
sich bezieht, zu leicht Missverständnissen ausgesetzt ist.

Wenn wir beliebige Gebilde als Raumelemente einführen, so erhält der
Raum beliebig viele Dimensionen. Wenn wir dann aber an der uns
geläufigen (elementaren oder projectivischen) Anschauungsweise
festhalten, so ist die Gruppe, welche wir für die mehrfach ausgedehnte
Mannigfaltigkeit zu Grunde zu legen haben, von Vorne herein gegeben; es
ist eben die Hauptgruppe bez. die Gruppe der projectivischen
Umformungen. Wollten wir eine andere Gruppe zu Grunde legen, so
müssten wir von der gewöhnlichen bez. der projectivischen Anschauung
abgehen. So richtig es also ist, dass bei geschickter Wahl der Raumelemente
der Raum Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Ausdehnungen
repräsentirt, so wichtig ist es, hinzuzufügen, dass bei dieser Repräsentation
entweder von Vorneherein eine bestimmte Gruppe der Behandlung der
Mannigfaltigkeit zu Grunde zu legen ist, oder dass wir, wollen wir über die
Gruppe verfügen, unsere geometrische Auffassung entsprechend
auszubilden haben. — Es könnte, ohne diese Bemerkung, z. B. eine
Repräsentation der Liniengeometrie in der folgenden Weise gesucht
werden. Die Gerade erhält in der Liniengeometrie sechs Coordinaten; eben
so viele Coefficienten besitzt der Kegelschnitt in der Ebene. Das Bild der
Liniengeometrie würde also die Geometrie in einem Kegelschnittsysteme
sein, das aus der Gesammtheit der Kegelschnitte durch eine quadratische
Gleichung zwischen den Coefficienten ausgesondert wird. Das ist richtig,
sowie wir als Gruppe der ebenen Geometrie die Gesammtheit der
Transformationen zu Grunde legen, die durch lineare Umformungen der

Kegelschnitts-Coefficienten repräsentirt werden, welche die quadratische
Bedingungsgleichung in sich überführen. Halten wir aber an der
elementaren bez. der projectivischen Auffassung der ebenen Geometrie fest,
so haben wir eben kein Bild.

Die zweite Bemerkung bezieht sich auf folgende Begriffsbildung. Sei im
Raume irgend eine Gruppe, etwa die Hauptgruppe gegeben. So wähle man
ein einzelnes räumliches Gebilde, etwa einen Punct, oder eine Gerade, oder
auch ein Ellipsoid etc. aus und wende auf dasselbe alle Transformationen
der Hauptgruppe an. Man erhält dann eine mehrfach unendliche
Mannigfaltigkeit mit einer Anzahl von Dimensionen, die im Allgemeinen
gleich der Zahl der in der Gruppe enthaltenen willkürlichen Parameter ist,
die in besonderen Fällen herabsinkt, wenn nämlich das ursprünglich
gewählte Gebilde die Eigenschaft besitzt, durch unendlich viele
Transformationen der Gruppe in sich übergeführt zu werden. Jede so
erzeugte Mannigfaltigkeit heiße mit Bezug auf die erzeugende Gruppe ein
Körper21. Wollen wir nun den Raum im Sinne der Gruppe untersuchen und
dabei bestimmte Gebilde als Raumelemente auszeichnen, und wollen wir
nicht, dass Gleichberechtigtes ungleichartig dargestellt werde, so müssen
wir die Raumelemente ersichtlich so wählen, dass ihre Mannigfaltigkeit
entweder selbst einen Körper bildet oder in Körper zerlegt werden kann.
Von dieser evidenten Bemerkung soll später (§.9) eine Anwendung gemacht
werden. Der Körper-Begriff selbst wird im Schlussparagraphen in
Verbindung mit verwandten Begriffen noch einmal zur Sprache kommen.

§.6. Die Geometrie der reciproken Radien. Die
Interpretation von x + iy.
Wir kehren mit diesem Paragraphen zur Besprechung der verschiedenen
Richtungen der geometrischen Forschung zurück, wie sie in §§.2.3
begonnen wurde.

Als ein Seitenstück zu den Betrachtungsweisen der projectivischen
Geometrie kann man in vielfacher Hinsicht eine Classe geometrischer
Ueberlegungen betrachten, bei denen von der Umformung durch reciproke
Radien fortlaufender Gebrauch gemacht wird. Es gehören hierher die
Untersuchungen über die sog. Cycliden und anallagmatische Flächen, über
die allgemeine Theorie der Orthogonalsysteme, ferner Untersuchungen über
das Potential etc. Wenn man die in denselben enthaltenen Betrachtungen
noch nicht gleich den projectivischen zu einer besonderen Geometrie
zusammengefasst hat, die dann als Gruppe die Gesammtheit derjenigen
Umformungen zu Grunde zu legen hätte, welche durch Verbindung der
Hauptgruppe mit der Transformation durch reciproke Radien entstehen, so
ist das wohl dem zufälligen Umstande zuzuschreiben, dass die genannten
Theorien seither nicht im Zusammenhange dargestellt worden sind; den
einzelnen Autoren, die in dieser Richtung arbeiteten, wird eine solche
methodische Auffassung nicht fern gelegen haben.

Die Parallele zwischen dieser Geometrie der reciproken Radien und der
projectivischen ergibt sich, sowie einmal die Frage nach einem Vergleiche
vorhanden ist, von selbst, und es mag daher nur ganz im Allgemeinen auf
die folgenden Puncte aufmerksam gemacht werden:

In der projectivischen Geometrie sind Punct, Gerade, Ebene die Elementar-
Begriffe. Kreis und Kugel sind nur specielle Fälle von Kegelschnitt und
Fläche zweiten Grades. Das unendlich Ferne der elementaren Geometrie
erscheint als Ebene; das Fundamentalgebilde, auf welches sich die
elementare Geometrie bezieht, ist ein unendlich ferner, imaginärer
Kegelschnitt.

In der Geometrie der reciproken Radien sind Punct, Kreis und Kugel die
Elementarbegriffe. Gerade und Ebene sind specielle Fälle der letzteren,
dadurch charakterisirt, dass sie einen, im Sinne der Methode übrigens nicht
weiter ausgezeichneten Punct, den unendlich fernen Punct enthalten. Die
elementare Geometrie erwächst, so wie man diesen Punct fest denkt.

Die Geometrie der reciproken Radien ist einer Einkleidung fähig, welche
sie neben die Theorie der binären Formen und die Liniengeometrie stellt,
falls man die letzteren in der Weise behandelt, wie das im vorigen
Paragraphen angedeutet wurde. Wir mögen zu diesem Zwecke die
Betrachtung zunächst auf ebene Geometrie und also auf Geometrie der
reciproken Radien in der Ebene22 beschränken.

Es wurde bereits des Zusammenhangs gedacht, der zwischen der
elementaren Geometrie der Ebene und der projectivischen Geometrie der
mit einem ausgezeichneten Puncte versehenen Fläche zweiten Grades
besteht (§.4). Sieht man von dem ausgezeichneten Puncte ab und betrachtet
also die projectivische Geometrie auf der Fläche an sich, so hat man ein
Bild der Geometrie der reciproken Radien in der Ebene. Denn man
überzeugt sich leicht23, dass der Transformationsgruppe der reciproken
Radien in der Ebene vermöge der Abbildung der Fläche zweiten Grades die
Gesammtheit der linearen Transformationen der letzteren in sich selbst
entspricht. Man hat also:

Geometrie der reciproken Radien in der Ebene und projectivische
Geometrie auf einer Fläche zweiten Grades ist dasselbe,

und ganz entsprechend:

Geometrie der reciproken Radien im Raume ist mit der projectivischen
Behandlung einer Mannigfaltigkeit gleichbedeutend, die durch eine
quadratische Gleichung zwischen fünf homogenen Veränderlichen
dargestellt wird.

Die Raumgeometrie ist also durch die Geometrie der reciproken Radien in
ganz dieselbe Verbindung mit einer Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen
gesetzt, wie vermöge der Liniengeometrie mit einer Mannigfaltigkeit von
fünf Ausdehnungen.

Die Geometrie der reciproken Radien in der Ebene gestattet, sofern man nur
auf reelle Transformationen achten will, noch nach einer anderen Seite eine
interessante Darstellung, resp. Verwendung. Breitet man nämlich eine
complexe Variable x + iy in gewöhnlicher Weise in der Ebene aus, so
entspricht ihren linearen Transformationen die Gruppe der reciproken
Radien, mit der erwähnten Beschränkung auf das Reelle. Die Untersuchung
der Functionen einer complexen Veränderlichen, die beliebigen linearen
Transformationen unterworfen gedacht ist, ist aber nichts Anderes, als was
bei einer etwas abgeänderten Darstellungsweise Theorie der binären
Formen genannt wird. Also:

Die Theorie der binären Formen findet ihre Darstellung durch die
Geometrie der reciproken Radien in der reellen Ebene, so zwar, dass auch
die complexen Werthe der Variabeln repräsentirt werden.

Von der Ebene mögen wir, um in den gewohnteren Vorstellungskreis der
projectivischen Umformungen zu gelangen, zur Fläche zweiten Grades
aufsteigen. Da wir nur reelle Elemente der Ebene betrachteten, ist es nicht
mehr gleichgültig, wie man die Fläche wählt; sie ist ersichtlich nicht
geradlinig zu nehmen. Insbesondere können wir uns dieselbe — wie man
das zur Interpretation einer complexen Veränderlichen auch sonst thut —
als Kugelfläche denken und erhalten so den Satz:

Die Theorie der binären Formen complexer Variablen findet ihre
Repräsentation in der projectivischen Geometrie der reellen Kugelfläche.

Ich habe mir nicht versagen mögen, in einer Note24 noch
auseinanderzusetzen, wie schön dieses Bild die Theorie der binären
cubischen und biquadratischen Formen erläutert.

§.7. Erweiterungen des Vorangehenden. Lies
Kugelgeometrie.
An die Theorie der binären Formen, die Geometrie der reciproken Radien
und die Liniengeometrie, welche im Vorstehenden coordinirt und nur durch
die Zahl der Veränderlichen unterschieden scheinen, lassen sich gewisse
Erweiterungen knüpfen, die nun auseinandergesetzt werden mögen.
Dieselben sollen einmal dazu beitragen, den Gedanken, dass die Gruppe,
welche die Behandlungsweise gegebener Gebiete bestimmt, beliebig
erweitert werden kann, an neuen Beispielen zu erläutern; dann aber ist
namentlich die Absicht gewesen, Betrachtungen, welche Lie in einer
neueren Abhandlung niedergelegt hat25, in ihrer Beziehung zu den hier
vorgetragenen Ueberlegungen darzulegen. Der Weg, auf welchem wir zu
Lies Kugelgeometrie gelangen, weicht insofern von dem von Lie
eingeschlagenen ab, als Lie an liniengeometrische Vorstellungen anknüpft,
während wir, um uns mehr der gewöhnlichen geometrischen Anschauung
anzuschliessen und im Zusammenhange mit dem Vorhergehenden zu
bleiben, bei den bez. Auseinandersetzungen eine geringere Zahl von
Veränderlichen voraussetzen. Die Betrachtungen sind, wie bereits Lie selbst
hervorgehoben hat (Göttinger Nachrichten 1871. N. 7, 22 [11]) von der
Zahl der Variabeln unabhängig. Sie gehören dem grossen Kreise von
Untersuchungen an, welche sich mit der projectivischen Untersuchung
quadratischer Gleichungen zwischen beliebig vielen Veränderlichen
beschäftigen, Untersuchungen, die wir bereits öfter berührt haben und die
uns noch wiederholt begegnen werden (vergl. §.10 u. a.)

Ich knüpfe an den Zusammenhang an, der zwischen der reellen Ebene und
der Kugelfläche durch stereographische Projection hergestellt wird. Wir
setzten bereits in §.5 die Geometrie der Ebene mit der Geometrie auf einem
Kegelschnitte in Verbindung, indem wir der Geraden der Ebene das
Punctepaar zuordneten, in welchem sie den Kegelschnitt trifft.
Entsprechend können wir einen Zusammenhang zwischen der
Raumgeometrie und der Geometrie auf der Kugel aufstellen, indem wir
jeder Ebene des Raumes den Kreis zuordnen, in welchem sie die Kugel

schneidet. Uebertragen wir dann durch stereographische Projection die
Geometrie auf der Kugel von derselben auf die Ebene, wobei jeder Kreis in
einen Kreis übergeht, so entsprechen einander also:

die Raumgeometrie, welche als Element die Ebene, als Gruppe
diejenigen linearen Transformationen benutzt, welche eine Kugel in
sich überführen;
die ebene Geometrie, deren Element der Kreis, deren Gruppe die
Gruppe der reciproken Radien ist.

Die erstere Geometrie wollen wir nun nach zwei Seiten verallgemeinern,
indem wir statt ihrer Gruppe eine umfassendere setzen. Die resultirende
Erweiterung überträgt sich dann durch die Abbildung ohne Weiteres auf
ebene Geometrie.

Statt der linearen Transformationen des aus Ebenen bestehenden Raumes,
welche die Kugel in sich überführen, liegt es nahe, entweder die
Gesammtheit der linearen Transformationen des Raumes, oder die
Gesammtheit der Ebenen-Transformationen des Raumes zu wählen, welche
die Kugel ungeändert lassen, indem wir das eine Mal von der Kugel, das
andere Mal von dem linearen Character der anzuwendenden
Transformationen absehen. Die erste Verallgemeinerung ist ohne Weiteres
verständlich und wir mögen sie also zuerst betrachten und in ihrer
Bedeutung für ebene Geometrie verfolgen; auf die zweite kommen wir
hernach zurück, wobei es sich denn zunächst darum handelt, die
allgemeinste betreffende Transformation zu bestimmen.

Die linearen Transformationen des Raumes haben die Eigenschaft gemein,
Ebenenbüschel und Ebenenbündel wieder in solche überzuführen. Aber auf
die Kugel übertragen ergibt das Ebenenbüschel ein Kreisbüschel, d. h. eine
einfach unendliche Reihe von Kreisen mit gemeinsamen Schnittpunkten;
das Ebenenbündel ergibt ein Kreisbündel, d. h. eine zweifach unendliche
Schaar von Kreisen, die auf einem festen Kreise senkrecht stehen (dem
Kreise, dessen Ebene die Polarebene des den Ebenen des geg. Bündels
gemeinsamen Punctes ist). Den linearen Transformationen des Raumes
entsprechen also auf der Kugel und weiterhin in der Ebene
Kreistransformationen von der characteristischen Eigenschaft, Kreisbüschel

und Kreisbündel in ebensolche überzuführen26. Die ebene Geometrie
welche die Gruppe der so gewonnenen Transformationen benutzt, ist das
Bild der gewöhnlichen projectivischen Raumgeometrie. Als Element der
Ebene wird man in dieser Geometrie nicht den Punct benutzen können, da
die Puncte für die gewählte Transformationsgruppe keinen Körper bilden
(§.5), sondern man wird die Kreise als Elemente wählen.

Bei der zweiten Erweiterung, die wir nannten, gilt es zunächst die Frage
nach der Art der bez. Transformationsgruppe erledigen. Es handelt sich
darum, Ebenen-Transformationen zu finden, die aus jedem Ebenenbündel,
dessen Scheitel auf der Kugel liegt, wieder ein solches Bündel machen. Wir
mögen der kürzeren Ausdrucksweise wegen zunächst die Frage dualistisch
umkehren und überdies einen Schritt in der Zahl der Dimensionen hinab
gehen; wir wollen also nach Puncttransformationen der Ebene fragen,
welche aus jeder Tangente eines gegebenen Kegelschnittes wiederum eine
Tangente erzeugen. Zu dem Zwecke betrachten wir die Ebene mit ihrem
Kegelschnitte als Bild einer Fläche zweiten Grades, die man von einem
nicht auf ihr befindlichen Raumpuncte aus so auf die Ebene projicirt hat,
dass der bez. Kegelschnitt die Uebergangscurve vorstellt. Den Tangenten
des Kegelschnitts entsprechen die Erzeugenden der Fläche, und die Frage
ist auf die andere zurückgeführt nach der Gesammtheit der
Puncttransformationen der Fläche in sich selbst, bei denen die Erzeugenden
Erzeugende bleiben.

Solcher Transformationen gibt es nun zwar beliebig unendlich viele: denn
man braucht nur den Punct der Fläche als Durchschnitt der Erzeugenden
zweierlei Art zu betrachten und jedes der Geraden-Systeme beliebig in sich
zu transformiren. Aber unter den Transformationen sind insbesondere die
linearen. Nur auf diese wollen wir achten. Hätten wir nämlich nicht mit
einer Fläche, sondern mit einer mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit zu
thun, die durch eine quadratische Gleichung repräsentirt wird, so blieben
nur die linearen Transformationen, die anderen kämen in Wegfall27.

Diese linearen Transformationen der Fläche in sich selbst ergeben, durch
(nicht stereographische) Projection auf die Ebene übertragen, zweideutige
Puncttransformationen, vermöge deren aus jeder Tangente des
Kegelschnittes, der die Uebergangscurve bildet, allerdings wieder eine

Tangente wird, aus jeder anderen Geraden aber im Allgemeinen ein
Kegelschnitt, der die Uebergangscurve doppelt berührt. Es lässt sich diese
Transformationsgruppe passend characterisiren, wenn man auf den
Kegelschnitt, der die Uebergangscurve bildet, eine projectivische
Maßbestimmung gründet. Die Transformationen haben dann die
Eigenschaft, Puncte, welche im Sinne der Maßbestimmung von einander
eine Entfernung gleich Null haben, sowie Puncte, welche von einem
anderen Puncte eine constante Entfernung haben, wieder in solche Puncte
zu verwandeln.

Alle diese Betrachtungen lassen sich auf beliebig viele Variabeln
übertragen, insbesondere also für die ursprüngliche Fragestellung, die sich
auf die Kugel und die Ebene als Element bezog, verwerthen. Man kann dem
Resultate dabei eine besonders anschauliche Form geben, weil der Winkel,
den zwei Ebenen im Sinne der auf eine Kugel gegründeten projectivischen
Maßbestimmung mit einander bilden, mit dem Winkel gleich ist, den ihre
Durchschnittskreise mit der Kugel im gewöhnlichen Sinne mit einander
bilden.

Wir erhalten also auf der Kugel und weiterhin auf der Ebene eine Gruppe
von Kreistransformationen, welche die Eigenschaft haben, Kreise, die
einander berühren (einen Winkel gleich Null einschliessen), sowie Kreise,
die einen anderen Kreis unter gleichem Winkel schneiden, in eben solche
Kreise überzuführen. In der Gruppe dieser Transformationen sind auf der
Kugel die bez. linearen, in der Ebene die Transformationen der Gruppe der
reciproken Radien enthalten.

Die auf diese Gruppe zu gründende Kreisgeometrie ist nun das Analogon zu
der Kugelgeometrie, wie sie Lie für den Raum entworfen hat, und wie sie
bei Untersuchungen über Krümmung der Flächen von ausgezeichneter
Bedeutung scheint. Sie schliesst die Geometrie der reciproken Radien in
demselben Sinne in sich, wie letztere wieder die elementare Geometrie. —

Die nunmehr gewonnenen Kreis-(Kugel-)Transformationen haben
insbesondere die Eigenschaft, sich berührende Kreise (Kugeln) in eben
solche überzuführen. Betrachtet man alle Curven (Flächen) als
Umhüllungsgebilde von Kreisen (Kugeln), so werden in Folge dessen
Curven (Flächen), die sich berühren, immer in wieder solche übergehen.

Die fraglichen Transformationen gehören also in die Classe der später
allgemein zu betrachtenden Berührungstransformationen, d. h. solcher
Umformungen, bei denen Berührung von Punctgebilden eine invariante
Beziehung ist. Die im vorliegenden Paragraphen zuerst erwähnten
Kreistransformationen, denen man analoge Kugeltransformationen an die
Seite stellen kann, sind keine Berührungstransformationen. —

Wurden vorstehend die zweierlei Erweiterungen nur an die Geometrie der
reciproken Radien angeknüpft, so gelten dieselben in entsprechender Weise
für Liniengeometrie, überhaupt für die projectivische Untersuchung einer
durch eine quadratische Gleichung ausgeschiedenen Mannigfaltigkeit, wie
bereits angedeutet wurde, hier aber nicht weiter ausgeführt werden soll.

§.8. Aufzählung weiterer Methoden, denen eine
Gruppe von Puncttransformationen zu Grunde
liegt.
Elementare Geometrie, Geometrie der reciproken Radien und auch
projectivische Geometrie, sofern man von den mit Wechsel des
Raumelements verknüpften dualistischen Umformungen absieht,
subsumiren sich als einzelne Glieder unter die grosse Menge von denkbaren
Betrachtungsweisen, welche überhaupt Gruppen von Puncttransformationen
zu Grunde legen. Wir mögen hier nur die folgenden drei Methoden, die
hierin mit den genannten übereinstimmen, hervorheben. Sind diese
Methoden auch lange nicht in dem Maße, wie die projectivische Geometrie,
zu selbständigen Disciplinen entwickelt, so treten sie doch deutlich
erkennbar in den neueren Untersuchungen auf.

1. Die Gruppe der rationalen Umformungen.

Bei rationalen Umformungen muss wohl unterschieden werden, ob
dieselben für alle Puncte des Gebietes, in welchem man operirt, also des
Raumes oder der Ebene etc., rational sind, oder nur für die Puncte einer in
dem Gebiete enthaltenen Mannigfaltigkeit, einer Fläche, einer Curve. Nur
die ersteren sind zu verwenden, wenn es gilt, im bisherigen Sinne eine
Geometrie des Raumes, der Ebene zu entwerfen; die letzteren gewinnen
von dem hier gegebenen Standpuncte aus erst Bedeutung, wenn Geometrie
auf einer gegebenen Fläche, Curve studirt werden soll. Dieselbe
Unterscheidung gilt bei der sogleich anzuführenden Analysis situs.

Die seitherigen Untersuchungen, hier wie dort, haben sich aber wesentlich
mit Transformationen der zweiten Art beschäftigt. Insofern dabei nicht die
Frage nach der Geometrie auf der Fläche, der Curve war, es sich vielmehr
darum handelte, Criterien zu finden, damit zwei Flächen, Curven in
einander transformirt werden können, treten diese Untersuchungen aus dem
Kreise der hier zu betrachtenden heraus. Der hier aufgestellte allgemeine

Schematismus umspannt eben nicht die Gesammtheit mathematischer
Forschung überhaupt, sondern er bringt nur gewisse Richtungen unter einen
gemeinsamen Gesichtspunct.

Für eine Geometrie der rationalen Umformungen, wie sie sich unter
Zugrundelegung der Transformationen der ersten Art ergeben muss, sind bis
jetzt erst die Anfänge vorhanden. Im Gebiete erster Stufe, auf der geraden
Linie, sind die rationalen Umformungen mit den linearen identisch und
liefern also nichts Neues. In der Ebene kennt man freilich die Gesammtheit
der rationalen Umformungen (der Cremonaschen Transformationen), man
weiss, dass sie sich durch Zusammensetzung quadratischer erzeugen lassen.
Man kennt auch invariante Charactere der ebenen Curven: ihr Geschlecht,
die Existenz der Moduln; aber eigentlich zu einer Geometrie der Ebene in
dem hier gemeinten Sinne entwickelt sind diese Betrachtungen noch nicht.
Im Raume ist die ganze Theorie noch erst im Entstehen begriffen. Von den
rationalen Umformungen kennt man bis jetzt nur wenige und benutzt
dieselben, um bekannte Flächen mit unbekannten durch Abbildung in
Verbindung zu setzen. —

2. Die Analysis situs.

In der sog. Analysis situs sucht man das Bleibende gegenüber solchen
Umformungen, die aus unendlich kleinen Verzerrungen durch
Zusammensetzung entstehen. Auch hier muss man, wie bereits gesagt,
unterscheiden, ob das ganze Gebiet, also etwa der Raum, als Object der
Transformationen gedacht werden soll, oder nur eine aus ihm ausgesonderte
Mannigfaltigkeit, eine Fläche. Die Transformationen der ersten Art sind es,
die man einer Raumgeometrie würde zu Grunde legen können. Ihre Gruppe
wäre wesentlich anders constituirt, als die bisher betrachteten es waren.
Indem sie alle Transformationen umfasst, die sich aus reell gedachten
unendlich kleinen Puncttransformationen zusammensetzen, trägt sie die
principielle Beschränkung auf reelle Raumelemente in sich, und bewegt
sich auf dem Gebiete der willkürlichen Function. Man kann diese
Transformationsgruppe nicht ungeschickt erweitern, indem man sie noch
mit den reellen Collineationen, die auch das unendlich Ferne modificiren,
verbindet. —

3. Die Gruppe aller Puncttransformationen.

Wenn gegenüber dieser Gruppe keine Fläche mehr individuelle
Eigenschaften besitzt, da jede in jede andere durch Transformationen der
Gruppe übergeführt werden kann, so sind es höhere Gebilde, bei deren
Untersuchung die Gruppe mit Vortheil Anwendung findet. Bei der
Auffassung der Geometrie, wie sie hier zu Grunde gelegt ist, kann es
gleichgültig sein, wenn diese Gebilde seither nicht sowohl als geometrische
sondern nur als analytische betrachtet wurden, die gelegentlich
geometrische Anwendung fanden, und wenn man bei ihrer Untersuchung
Processe anwandte (wie eben beliebige Puncttransformationen), die man
erst in neuerer Zeit bewusst als geometrische Umformungen aufzufassen
begonnen hat. Unter diese analytischen Gebilde gehören vor allen die
homogenen Differentialausdrücke, sodann auch die partiellen
Differentialgleichungen. Bei der allgemeinen Discussion der letzteren
scheint aber, wie in dem folgenden Paragraphen ausgeführt wird, die
umfassendere Gruppe aller Berührungstransformationen noch vorteilhafter.

Der Hauptsatz, der in der Geometrie, welche die Gruppe aller
Puncttransformationen zu Grunde legt, in Geltung ist, ist der, dass eine
Puncttransformation für eine unendlich kleine Partie des Raumes immer
den Werth einer linearen Transformation hat. Die Entwickelungen der
projectivischen Geometrie haben also nun ihren Werth für das
Unendlichkleine, und hierin liegt, mag sonst die Wahl der Gruppe bei
Behandlung von Mannigfaltigkeiten willkürlich sein — hierin liegt ein
auszeichnender Character für die projectivische Anschauungsweise.

Nachdem nun schon lange von dem Verhältnisse der Betrachtungsweisen,
die einander einschliessende Gruppen zu Grunde legen, nicht mehr die
Rede war, mag hier noch einmal ein Beispiel für die allgemeine Theorie des
§.2 gegeben werden. Wir mögen uns die Frage vorlegen, wie denn vom
Standpuncte „aller Puncttransformationen" projectivische Eigenschaften
aufzufassen sind, wobei von den dualistischen Umformungen, die
eigentlich mit zur Gruppe der projectivischen Geometrie gehören,
abgesehen werden mag. Die Frage deckt sich dann mit der andern: durch
welche Bedingung aus der Gesammtheit der Puncttransformationen die
Gruppe der linearen ausgeschieden wird. Das Characteristische der letzteren

ist, dass sie jeder Ebene eine Ebene zuordnen: sie sind diejenigen
Puncttransformationen, vermöge deren die Mannigfaltigkeit der Ebenen
(oder, was auf dasselbe hinaus kommt, der geraden Linien) erhalten bleibt.
Die projectivische Geometrie ist aus der Geometrie aller
Puncttransformationen ebenso durch Adjunction der Mannigfaltigkeit der
Ebenen zu gewinnen, wie die elementare Geometrie aus der projectivischen
durch Adjunction des unendlich fernen Kugelkreises. Insbesondere haben
wir z. B. vom Standpuncte aller Puncttransformationen die Bezeichnung
einer Fläche als einer algebraischen von einer gewissen Ordnung als eine
invariante Beziehung zur Mannigfaltigkeit der Ebenen aufzufassen. Es wird
dies recht deutlich, wenn man, mit Grassmann, die Erzeugung der
algebraischen Gebilde an ihre lineale Construction knüpft.

§.9. Von der Gruppe aller
Berührungstransformationen.
Berührungstransformationen sind zwar in einzelnen Fällen schon lange
betrachtet; auch hat Jacobi bei analytischen Untersuchungen bereits von
den allgemeinsten Berührungstransformationen Gebrauch gemacht; aber in
die lebendige geometrische Anschauung wurden sie erst durch neuere
Arbeiten von Lie eingeführt28. Es ist daher wohl nicht überflüssig, hier
ausdrücklich auseinanderzusetzen, was eine Berührungstransformation ist,
wobei wir uns, wie immer, auf den Punctraum mit seinen drei Dimensionen
beschränken.

Unter einer Berührungstransformation hat man, analytisch zu reden, jede
Substitution zu verstehen, welche die Variabel-Werthe x, y, z und ihre
partiellen Differentialquotienten dz / dx = p, dz / dy = q durch neue xʹ, yʹ, zʹ,
pʹ, qʹ ausdrückt. Dabei gehen, wie ersichtlich, sich berührende Flächen im
Allgemeinen wieder in sich berührende Flächen über, was den Namen
Berührungstransformation begründet. Die Berührungstransformationen
zerfallen, wenn man vom Puncte als Raumelement ausgeht, in drei Classen:
solche, die den dreifach unendlich vielen Puncten wieder Puncte zuordnen
— das sind die eben betrachteten Puncttransformationen —, solche, die sie
in Curven, endlich solche, die sie in Flächen überführen. Diese Eintheilung
hat man insofern nicht als eine wesentliche zu betrachten, als bei Benutzung
anderer dreifach unendlich vieler Raumelemente, etwa der Ebenen,
allerdings wieder eine Theilung in drei Gruppen eintritt, die aber mit der
Theilung, die unter Zugrundelegung der Puncte statt fand, nicht coincidirt.

Wenden wir auf einen Punct alle Berührungstransformationen an, so geht er
in die Gesammtheit aller Puncte, Curven und Flächen über. In ihrer
Gesammtheit erst bilden also Puncte, Curven und Flächen einen Körper
unserer Gruppe. Man mag daraus die allgemeine Regel abnehmen, dass die
formale Behandlung eines Problems im Sinne aller
Berührungstransformationen (also etwa die sogleich vorzutragende Theorie
der partiellen Differentialgleichungen) eine unvollkommene werden muss,

sowie man mit Punct- (oder Ebenen-) Coordinaten operirt, da die zu Grunde
gelegten Raumelemente eben keinen Körper bilden.

Alle in dem gen. Körper enthaltene Individuen als Raumelemente
einzuführen, geht aber, will man in Verbindung mit den gewöhnlichen
Methoden bleiben, nicht an, da deren Zahl unendlichfach unendlich ist.
Hierin liegt die Notwendigkeit, bei diesen Betrachtungen nicht den Punct,
nicht die Curve oder die Fläche, sondern das Flächenelement, d. h. das
Werthsystem x, y, z, p, q als Raumelement einzuführen. Bei jeder
Berührungstransformation wird aus jedem Flächenelemente ein neues; die
fünffach unendlich vielen Flächenelemente bilden also einen Körper.

Bei diesem Standpuncte muss man Punct, Curve, Fläche gleichmässig als
Aggregate von Flächenelementen auffassen, und zwar von zweifach
unendlich vielen. Denn die Fläche wird von ∞2 Elementen bedeckt, die
Curve von ebenso vielen berührt, durch den Punct gehen ∞2 hindurch. Aber
diese zweifach unendlichen Aggregate von Elementen haben noch eine
characteristische Eigenschaft gemein. Man bezeichne als vereinigte Lage
zweier consecutiven Flächenelemente x, y, z, p, q und x + dx, y + dy, z + dz,
p + dp, q + dq die Beziehung, welche durch
dz − pdx − qdy = 0
dargestellt wird. So sind Punct, Curve, Fläche übereinstimmend zweifach
unendliche Mannigfaltigkeiten von Elementen, deren jedes mit den einfach
unendlich vielen ihm benachbarten vereinigt liegt. Dadurch sind Punct,
Curve, Fläche gemeinsam characterisirt, und so müssen sie auch, wenn man
die Gruppe der Berührungstransformationen zu Grunde legen will,
analytisch repräsentirt werden.

Die vereinigte Lage consecutiver Elemente ist eine bei beliebiger
Berührungstransformation invariante Beziehung. Aber auch umgekehrt
können die Berührungstransformationen definirt werden als diejenigen
Substitutionen der fünf Veränderlichen x, y, z, p, q, vermöge deren die
Relation dz − pdx − qdy = 0 in sich selbst übergeführt wird. Der Raum ist
also bei diesen Untersuchungen als eine Mannigfaltigkeit von fünf
Dimensionen anzusehen und diese Mannigfaltigkeit hat man zu behandeln,
indem man als Gruppe die Gesammtheit aller Transformationen der

Variabeln zu Grunde legt, welche eine bestimmte Relation zwischen den
Differentialen ungeändert lassen.

Gegenstand der Untersuchung werden in erster Linie diejenigen
Mannigfaltigkeiten, welche durch eine oder mehrere Gleichungen zwischen
den Variabein dargestellt werden, d. h. die partiellen
Differentialgleichungen erster Ordnung und ihre Systeme. Eine Hauptfrage
wird, wie sich aus den Mannigfaltigkeiten von Elementen, die gegebenen
Gleichungen genügen, einfach, zweifach unendliche Reihen von Elementen
ausscheiden lassen, deren jedes mit einem benachbarten vereinigt liegt. Auf
eine solche Frage läuft z. B. die Aufgabe der Lösung einer partiellen
Differentialgleichung erster Ordnung hinaus. Man soll — so kann man sie
formuliren — aus den vierfach unendlich vielen Elementen, die der
Gleichung genügen, alle zweifach unendlichen Mannigfaltigkeiten der
bewussten Art ausscheiden. Insbesondere die Aufgabe der vollständigen
Lösung nimmt jetzt die präcise Form an: man soll die vierfach unendlich
vielen Elemente, die der Gleichung genügen, auf eine Weise in zweifach
unendlich viele derartige Mannigfaltigkeiten zerlegen.

Ein Verfolg dieser Betrachtung über partielle Differentialgleichungen kann
hier nicht in der Absicht liegen; ich verweise in Bezug hierauf auf die
citirten Lieschen Arbeiten. Es sei nur noch hervorgehoben, dass für den
Standpunct der Berührungstransformationen eine partielle
Differentialgleichung erster Ordnung keine Invariante hat, dass jede in jede
andere übergeführt werden kann, dass also namentlich die linearen
Gleichungen nicht weiter ausgezeichnet sind. Unterscheidungen treten erst
ein, wenn man zu dem Standpuncte der Puncttransformationen zurückgeht.

Die Gruppen der Berührungstransformationen, der Puncttransformationen,
endlich der projectivischen Umformungen lassen sich in einer einheitlichen
Weise characterisiren, die ich hier nicht unterdrücken mag29.
Berührungstransformationen wurden bereits definirt als diejenigen
Umformungen, bei denen die vereinigte Lage consecutiver
Flächenelemente erhalten bleibt. Die Puncttransformationen haben dagegen
die characteristische Eigenschaft, vereinigt gelegene consecutive
Linienelemente in eben solche zu verwandeln: die linearen und
dualistischen Transformationen endlich bewahren die vereinigte Lage

consecutiver Connex-Elemente. Unter einem Connex-Elemente verstehe ich
die Vereinigung eines Flächenelementes mit einem in ihm enthaltenen
Linienelemente; consecutive Connexelemente heißen vereinigt gelegen,
wenn nicht nur der Punct sondern auch das Linienelement des einen in dem
Flächenelemente des anderen enthalten ist. Die (übrigens vorläufige)
Bezeichnung: Connexelement bezieht sich auf die von Clebsch
neuerdings30 in die Geometrie eingeführten Gebilde, welche durch eine
Gleichung dargestellt werden, die gleichzeitig eine Reihe Punct-, eine Reihe
Ebenen- und eine Reihe Liniencoordinaten enthalten, und deren Analoga in
der Ebene Clebsch als Connexe bezeichnet.

§.10. Ueber beliebig ausgedehnte
Mannigfaltigkeiten.
Es wurde bereits wiederholt hervorgehoben, wie bei der Anknüpfung der
bisherigen Auseinandersetzungen an die räumliche Vorstellung nur der
Wunsch maßgebend war, die abstracten Begriffe durch Anlehnung an
anschauliche Beispiele leichter entwickeln zu können. An und für sich sind
die Betrachtungen von dem sinnlichen Bilde unabhängig und gehören dem
allgemeinen Gebiete mathematischer Forschung an, das man als die Lehre
von den ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, oder (nach Grassmann) kurz als
Ausdehnungslehre bezeichnet. Wie man die Uebertragung des
Vorhergehenden vom Raume auf den blossen Mannigfaltigkeitsbegriff zu
bewerkstelligen hat, ist ersichtlich. Es sei dabei nur noch einmal bemerkt,
dass wir bei der abstracten Untersuchung, der Geometrie gegenüber, den
Vortheil haben, die Gruppe von Transformationen, welche wir zu Grunde
legen wollen, ganz willkürlich wählen zu können, während in der
Geometrie eine kleinste Gruppe, die Hauptgruppe, von Vornherein gegeben
war.

Wir mögen hier nur die folgenden drei Behandlungsweisen, und auch diese
ganz kurz berühren.

1. Die projectivische Behandlungsweise oder die moderne
Algebra (Invariantentheorie).

Ihre Gruppe besteht in der Gesammtheit der linearen und dualistischen
Transformationen der zur Darstellung des Einzelnen in der Mannigfaltigkeit
verwendeten Veränderlichen; sie ist die Verallgemeinerung der
projectivischen Geometrie. Es wurde bereits hervorgehoben wie diese
Behandlungsweise bei der Discussion des unendlich Kleinen in einer um
eine Dimension mehr ausgedehnten Mannigfaltigkeit zur Verwendung
kommt. Sie schliesst die beiden noch zu nennenden Behandlungsweisen in
dem Sinne ein, als ihre Gruppe die bei jenen zu Grunde zu legende Gruppe
umfasst.

2. Die Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmaße.

Die Vorstellung einer solchen erwuchs bei Riemann aus der allgemeineren
einer Mannigfaltigkeit, in der ein Differentialausdruck der Veränderlichen
gegeben ist. Die Gruppe besteht bei ihm aus der Gesammtheit der
Transformationen der Variabeln, welche den gegebenen Ausdruck
ungeändert lassen. Von einer andern Seite kommt man zur Vorstellung einer
Mannigfaltigkeit von constanter Krümmung, wenn man im projectivischen
Sinne auf eine zwischen den Veränderlichen gegebene quadratische
Gleichung eine Maßbestimmung gründet. Bei dieser Weise tritt gegenüber
der Riemannschen die Erweiterung ein, dass die Variabeln als complex
gedacht werden; man mag hinterher die Veränderlichkeit auf das reelle
Gebiet beschränken. Hierher gehören die grosse Reihe von
Untersuchungen, die wir in §§. 5, 6, 7 berührt haben.

3. Die ebene Mannigfaltigkeit.

Als ebene Mannigfaltigkeit bezeichnet Riemann die Mannigfaltigkeit von
constantem verschwindenden Krümmungsmaße. Ihre Theorie ist die
unmittelbare Verallgemeinerung der elementaren Geometrie. Ihre Gruppe
kann, — wie die Hauptgruppe der Geometrie — aus der Gruppe der
projectivischen dadurch ausgeschieden werden, dass man ein Gebilde fest
hält, welches durch zwei Gleichungen, eine lineare und eine quadratische,
dargestellt wird. Dabei hat man zwischen Reellem und Imaginärem zu
unterscheiden, wenn man sich der Form, unter der die Theorie gewöhnlich
dargestellt wird, anschliessen will. Hierher zu rechnen sind vor Allem die
elementare Geometrie selbst, dann z. B. die in neuerer Zeit entwickelten
Verallgemeinerungen der gewöhnlichen Krümmungstheorie u. s. w.

Schlussbemerkungen.
Zum Schlusse mögen noch zwei Bemerkungen ihre Stelle finden, die mit
dem bisher Vorgetragenen in enger Beziehung stehen; die eine betrifft den
Formalismus, durch welche man die begrifflichen Entwicklungen den
Vorangehenden repräsentiren will, die andere soll einige Probleme
kennzeichnen, deren Inangriffnahme nach den hier gegebenen
Auseinandersetzungen als wichtig und lohnend erscheint.

Man hat der analytischen Geometrie häufig den Vorwurf gemacht, durch
Einführung des Coordinatensystems willkürliche Elemente zu bevorzugen,
und dieser Vorwurf trifft gleichmässig jede Behandlungsweise ausgedehnter
Mannigfaltigkeiten, welche das Einzelne durch die Werthe von
Veränderlichen characterisirt. War dieser Vorwurf bei der mangelhaften Art,
mit der man namentlich früher die Coordinatenmethode handhabte, nur zu
oft gerechtfertigt, so verschwindet er bei einer rationellen Behandlung der
Methode. Die analytischen Ausdrücke, welche bei der Untersuchung einer
Mannigfaltigkeit im Sinne einer Gruppe entstehen können, müssen, ihrer
Bedeutung nach, von dem Coordinatensysteme, insofern es zufällig gewählt
ist, unabhängig sein, und es gilt nun, diese Unabhängigkeit auch formal in
Evidenz zu setzen. Dass dies möglich ist und wie es zu geschehen hat, zeigt
die moderne Algebra, in der der formale Invariantenbegriff, um den es sich
hier handelt, am deutlichsten ausgeprägt ist. Sie besitzt ein allgemeines und
erschöpfendes Bildungsgesetz für invariante Ausdrücke und operirt
principiell nur mit solchen. Die gleiche Forderung soll man an die formale
Behandlung stellen, auch wenn andere Gruppen, als die projectivische, zu
Grunde gelegt sind. Denn der Formalismus soll sich doch mit der
Begriffsbildung decken, mag man nun den Formalismus nur als präcisen
und durchsichtigen Ausdruck der Begriffsbildung verwerthen, oder will
man ihn benutzen, um an seiner Hand in noch unerforschte Gebiete
einzudringen. —

Die Problemstellung, deren wir noch erwähnen wollten, erwächst durch
einen Vergleich der vorgetragenen Anschauungen mit der sog. Galoisschen
Theorie der Gleichungen.

In der Galoisschen Theorie, wie hier, concentrirt sich das Interesse auf
Gruppen von Aenderungen. Die Objecte, auf welche sich die Aenderungen
beziehen, sind allerdings verschieden; man hat es dort mit einer endlichen
Zahl discreter Elemente, hier mit der unendlichen Zahl von Elementen einer
stetigen Mannigfaltigkeit zu thun. Aber der Vergleich lässt sich bei der
Identität des Gruppenbegriffes doch weiter verfolgen31, und es mag dies
hier um so lieber angedeutet werden, als dadurch die Stellung characterisirt
wird, die man gewissen von Lie und mir begonnenen Untersuchungen32 im
Sinne der hier entwickelten Anschauungen zuzuweisen hat.

In der Galoisschen Theorie, wie sie z. B. in Serrets Traité d'Algèbre
supérieure[19] oder in C. Jordans Traité des substitutions[20] dargestellt
wird, ist der eigentliche Untersuchungsgegenstand die Gruppen- oder
Substitutionstheorie selbst, die Gleichungstheorie fliesst aus ihr als eine
Anwendung. Entsprechend verlangen wir eine Transformationstheorie, eine
Lehre von den Gruppen, welche von Transformationen gegebener
Beschaffenheit erzeugt werden können. Die Begriffe der Vertauschbarkeit,
der Aehnlichkeit u. s. w. kommen, wie in der Substitutionstheorie, zur
Verwendung. Als eine Anwendung der Transformationstheorie erscheint die
aus der Zugrundelegung der Transformationsgruppen fliessende
Behandlung der Mannigfaltigkeit.

In der Gleichungstheorie sind es zunächst die symmetrischen Functionen
der Coefficienten, die das Interesse auf sich ziehen, sodann aber diejenigen
Ausdrücke, welche, wenn nicht bei allen, so durch eine grössere Reihe von
Vertauschungen der Wurzeln ungeändert bleiben. Bei der Behandlung einer
Mannigfaltigkeit unter Zugrundelegung einer Gruppe fragen wir
entsprechend zunächst nach den Körpern (§.5), nach den Gebilden, die
durch alle Transformationen der Gruppe ungeändert bleiben. Aber es gibt
Gebilde, welche nicht alle aber einige Transformationen der Gruppe
zulassen, und diese sind dann im Sinne der auf die Gruppe gegründeten
Behandlung besonders interessant, sie haben ausgezeichnete Eigenschaften.
Es kommt das also darauf hinaus, im Sinne der gewöhnlichen Geometrie
symmetrische, reguläre Körper, Rotations- und Schraubenflächen
auszuzeichnen. Stellt man sich auf den Standpunct der projectivischen
Geometrie und verlangt insbesondere, dass die Transformationen, durch
welche die Gebilde in sich übergehen, vertauschbar sein sollen, so kommt

man auf die von Lie und mir in dem citirten Aufsatze[18] betrachteten
Gebilde und auf das in §.6. desselben gestellte allgemeine Problem. Die
dort in §§. 1, 3 gegebene Bestimmung aller Gruppen unendlich vieler
vertauschbarer linearer Transformationen in der Ebene gehört als ein Theil
in die soeben genannte allgemeine Transformationstheorie33.

Noten.

I. Ueber den Gegensatz der synthetischen und
analytischen Richtung in der neueren Geometrie.
Den Unterschied zwischen neuerer Synthese und neuerer analytischer
Geometrie hat man zur Zeit nicht mehr als einen wesentlichen zu
betrachten, da der gedankliche Inhalt sowohl als die Schlussweise sich auf
beiden Seiten allmählich ganz ähnlich gestaltet haben. Daher wählen wir im
Texte zur gemeinsamen Bezeichnung beider das Wort „projectivische
Geometrie". Wenn die synthetische Methode mehr mit räumlicher
Anschauung arbeitet und ihren ersten, einfachen Entwickelungen dadurch
einen ungemeinen Reiz ertheilt, so ist das Gebiet räumlicher Anschauung
der analytischen Methode nicht verschlossen, und man kann die Formeln
der analytischen Geometrie als einen präcisen und durchsichtigen Ausdruck
der geometrischen Beziehungen auffassen. Man hat auf der anderen Seite
den Vortheil nicht zu unterschätzen, den ein gut angelegter Formalismus der
Weiterforschung dadurch leistet, dass er gewissermaßen dem Gedanken
vorauseilt. Es ist zwar immer an der Forderung festzuhalten, dass man einen
mathematischen Gegenstand noch nicht als erledigt betrachten soll, so lange
er nicht begrifflich evident geworden ist, und es ist das Vordringen an der
Hand des Formalismus eben nur ein erster aber schon sehr wichtiger
Schritt.

II. Trennung der heutigen Geometrie in
Disciplinen.
Wenn man z. B. beachtet, wie der mathematische Physiker sich
durchgängig der Vortheile entschlägt, die ihm eine nur einigermaßen
ausgebildete projectivische Anschauung in vielen Fällen gewähren kann,
wie auf der anderen Seite der Projectiviker die reiche Fundgrube
mathematischer Wahrheiten unberührt lässt, welche die Theorie der
Krümmung der Flächen aufgedeckt hat, so muss man den gegenwärtigen
Zustand des geometrischen Wissens als recht unvollkommen und als
hoffentlich vorübergehend betrachten.

III. Ueber den Werth räumlicher Anschauung.
Wenn wir im Texte die räumliche Anschauung als etwas Beiläufiges
bezeichnen, so ist dies mit Bezug auf den rein mathematischen Inhalt der zu
formulirenden Betrachtungen gemeint. Die Anschauung hat für ihn nur den
Werth der Veranschaulichung, der allerdings in pädagogischer Beziehung
sehr hoch anzuschlagen ist. Ein geometrisches Modell z. B. ist auf diesem
Standpuncte sehr lehrreich und interessant.

Ganz anders stellt sich aber, die Frage nach dem Werthe der räumlichen
Anschauung überhaupt. Ich stelle denselben als etwas selbständiges hin. Es
gibt eine eigentliche Geometrie, die nicht, wie die im Texte besprochenen
Untersuchungen, nur eine veranschaulichte Form abstracterer
Untersuchungen sein will. In ihr gilt es, die räumlichen Figuren nach ihrer
vollen gestaltlichen Wirklichkeit aufzufassen und (was die mathematische
Seite ist) die für sie geltenden Beziehungen als evidente Folgen der
Grundsätze räumlicher Anschauung zu verstehen. Ein Modell — mag es
nun ausgeführt und angeschaut oder nur lebhaft vorgestellt sein — ist für
diese Geometrie nicht ein Mittel zum Zwecke sondern die Sache selbst.

Wenn wir so, neben und unabhängig von der reinen Mathematik, Geometrie
als etwas Selbständiges hinstellen, so ist das an und für sich gewiss nichts
Neues. Es ist aber wünschenswerth, diesen Gesichtspunct ausdrücklich
einmal wieder hervorzuheben, da die neuere Forschung ihn fast ganz
übergeht. Hiermit hängt zusammen, dass umgekehrt die neuere Forschung
selten dazu verwendet wurde, wenn es galt, gestaltliche Verhältnisse
räumlicher Erzeugnisse zu beherrschen, und doch scheint sie gerade in
dieser Richtung sehr fruchtbar.

IV. Ueber Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen
Dimensionen.
Dass der Raum, als Ort für Puncte aufgefasst, nur drei Dimensionen hat,
braucht vom mathematischen Standpuncte aus nicht discutirt zu werden;
ebenso wenig kann man aber vom mathematischen Standpuncte aus
Jemanden hindern, zu behaupten, der Raum habe eigentlich vier, oder
unbegränzt viele Dimensionen, wir seien aber nur im Stande, drei
wahrzunehmen. Die Theorie der mehrfach ausgedehnten
Mannigfaltigkeiten, wie sie je länger je mehr in den Vordergrund neuerer
mathematischer Forschung tritt, ist, ihrem Wesen nach, von einer solchen
Behauptung vollkommen unabhängig. Es hat sich in ihr aber eine
Redeweise eingebürgert, die allerdings dieser Vorstellung entflossen ist.
Man spricht, statt von den Individuen einer Mannigfaltigkeit, von den
Puncten eines höheren Raumes etc. An und für sich hat diese Redeweise
manches Gute, insofern sie durch Erinnern an die geometrischen
Anschauungen das Verständniss erleichtert. Sie hat aber die nachtheilige
Folge gehabt, dass in ausgedehnten Kreisen die Untersuchungen über
Mannigfaltigkeiten mit beliebig vielen Dimensionen als solidarisch erachtet
werden mit der erwähnten Vorstellung von der Beschaffenheit des Raumes.
Nichts ist grundloser als diese Auffassung. Die betr. mathematischen
Untersuchungen würden allerdings sofort geometrische Verwendung finden,
wenn die Vorstellung richtig wäre, — aber ihr Werth und ihre Absicht ruht,
gänzlich unabhängig von dieser Vorstellung, in ihrem eigenen
mathematischen Inhalte.

Etwas ganz anders ist es, wenn Plücker gelehrt hat, den wirklichen Raum
als eine Mannigfaltigkeit von beliebig vielen Dimensionen aufzufassen,
indem man als Element des Raumes ein von beliebig vielen Parametern
abhängendes Gebilde (Curve, Fläche etc.) einführt (vergl. §.5 des Textes).

Die Vorstellungsweise, welche das Element der beliebig ausgedehnten
Mannigfaltigkeit als ein Analogon zum Puncte des Raumes betrachtet, ist
wohl zuerst von Grassmann in seiner Ausdehnungslehre (1844, [17])

entwickelt worden. Bei ihm ist der Gedanke völlig frei von der erwähnten
Vorstellung von der Natur des Raumes; letztere geht auf gelegentliche
Bemerkungen von Gauss zurück und wurde durch Riemanns
Untersuchungen über mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten, in welche
sie mit eingeflochten ist, in weiteren Kreisen bekannt.

Beide Auffassungsweisen — die Grassmannsche wie die Plückersche —
haben ihre eigentümlichen Vorzüge; man verwendet sie beide, zwischen
ihnen abwechselnd, mit Vortheil.

V. Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische
Geometrie.
Die im Texte gemeinte projectivische Maßgeometrie coincidirt, wie neuere
Untersuchungen gelehrt haben, dem Wesen nach mit der Maßgeometrie,
welche unter Nicht-Annahme des Parallelen-Axioms entworfen werden
kann und die zur Zeit unter dem Namen der Nicht-Euklidischen Geometrie
vielfach besprochen und disputirt wird. Wenn wir im Texte diesen Namen
überhaupt nicht berührt haben, so geschah es aus einem Grunde, der mit
den in der vorstehenden Note gegebenen Auseinandersetzungen verwandt
ist. Man verknüpft mit dem Namen Nicht-Euklidische Geometrie eine
Menge unmathematischer Vorstellungen, die auf der einen Seite mit eben so
viel Eifer gepflegt als auf der anderen perhorrescirt werden, mit denen aber
unsere rein mathematischen Betrachtungen gar Nichts zu schaffen haben.
Der Wunsch, in dieser Richtung etwas zur Klärung der Begriffe
beizutragen, mag die folgenden Auseinandersetzungen motiviren.

Die gemeinten Untersuchungen über Parallelentheorie haben mit ihren
Weiterbildungen mathematisch nach zwei Seiten einen bestimmten Werth.

Sie zeigen einmal — und dieses ihr Geschäft kann man als ein einmaliges,
abgeschlossenes betrachten —, dass das Parallelenaxiom keine
mathematische Folge der gewöhnlich vorangestellten Axiome ist, sondern
dass ein wesentlich neues Anschauungselement, welches in den
vorhergehenden Untersuchungen nicht berührt wurde, in ihm zum Ausdruck
gelangt. Aehnliche Untersuchungen könnte man und sollte man mit Bezug
auf jedes Axiom nicht nur der Geometrie durchführen; man würde dadurch
an Einsicht in die gegenseitige Stellung der Axiome gewinnen.

Dann aber haben uns diese Untersuchungen mit einem werthvollen
mathematischen Begriffe beschenkt: dem Begriffe einer Mannigfaltigkeit
von constanter Krümmung. Er hängt, wie bereits bemerkt und wie in §.10
des Textes noch weiter ausgeführt ist, mit der unabhängig von aller
Parallelentheorie erwachsenen projectivischen Maßbestimmung auf das

Innigste zusammen. Wenn das Studium dieser Maßbestimmung an und für
sich hohes mathematisches Interesse bietet und zahlreiche Anwendungen
gestattet, so kommt hinzu, dass sie die in der Geometrie gegebene
Maßbestimmung als speciellen Fall (Gränz-fall) umfasst und uns lehrt,
dieselbe von einem erhöhten Standpuncte aufzufassen.

Völlig unabhängig von den entwickelten Gesichtspunkten steht die Frage,
welche Gründe das Parallelen-Axiom stützen, ob wir dasselbe als absolut
gegeben — wie die Einen wollen — oder als durch Erfahrung nur
approximativ erwiesen — wie die Anderen sagen — betrachten wollen.
Sollten Gründe sein, das letztere anzunehmen, so geben uns die fragl.
mathematischen Untersuchungen an die Hand, wie man dann eine exactere
Geometrie zu construiren habe. Aber die Fragestellung ist offenbar eine
philosophische, welche die allgemeinsten Grundlagen unserer Erkenntniss
betrifft. Den Mathematiker als solchen interessirt die Fragestellung nicht,
und er wünscht, dass seine Untersuchungen nicht als abhängig betrachtet
werden von der Antwort, die man von der einen oder der anderen Seite auf
die Frage geben mag.

VI. Liniengeometrie als Untersuchung einer
Mannigfaltigkeit von constantem
Krümmungsmaße.
Wenn wir Liniengeometrie mit der projectivischen Maßbestimmung in einer
fünffach ausgedehnten Mannigfaltigkeit in Verbindung setzen, müssen wir
beachten, dass wir in den geraden Linien nur die (im Sinne der
Maßbestimmung) unendlich fernen Elemente der Mannigfaltigkeit vor uns
haben. Es wird daher nöthig, zu überlegen, welchen Werth eine
projectivische Maßbestimmung für ihre unendlich fernen Elemente hat, und
das mag hier etwas auseinandergesetzt werden, um Schwierigkeiten, die
sich sonst der Auffassung der Liniengeometrie als einer Maßgeometrie
entgegen stellen, zu entfernen. Wir knüpfen diese Auseinandersetzungen an
das anschauliche Beispiel, welches die auf eine Fläche zweiten Grades
gegründete projectivische Maßbestimmung ergibt.

Zwei beliebig angenommene Puncte des Raumes haben in Bezug auf die
Fläche eine absolute Invariante: ihr Doppelverhältniss zu den beiden
Durchschnittspuncten ihrer Verbindungsgeraden mit der Fläche. Rücken
aber die beiden Puncte auf die Fläche, so wird dies Doppelverhältniss
unabhängig von der Lage der Puncte gleich Null, ausser in dem Falle, dass
die beiden Puncte auf eine Erzeugende zu liegen kommen, wo es
unbestimmt wird. Dies ist die einzige Particularisation, die in ihrer
Beziehung eintreten kann, wenn sie nicht zusammenfallen, und wir haben
also den Satz:

Die projectivische Maßbestimmung, welche man im Raume auf eine Fläche
zweiten Grades gründen kann, ergibt für die Geometrie auf der Fläche noch
keine Maßbestimmung.

Hiermit hängt zusammen, dass man durch lineare Transformationen der
Fläche in sich selbst drei beliebige Puncte derselben mit drei anderen
zusammenfallen lassen kann34.

Will man auf der Fläche selbst eine Maßbestimmung haben, so muss man
die Gruppe der Transformationen beschränken, und dies erreicht man,
indem man einen beliebigen Raumpunct (oder seine Polarebene) festhält.
Der Raumpunct sei zunächst nicht auf der Fläche gelegen. So projicire man
die Fläche von dem Puncte auf eine Ebene, wobei ein Kegelschnitt als
Uebergangscurve auftritt. Auf diesen Kegelschnitt gründe man in der Ebene
eine projectivische Maßbestimmung, die man dann rückwärts auf die
Fläche überträgt35. Dies ist eine eigentliche Maßbestimmung von constanter
Krümmung und man hat also den Satz:

Auf der Fläche erhält man eine solche Maßbestimmung, sowie man einen
ausserhalb der Fläche gelegenen Punct festhält.

Entsprechend findet man36:

Eine Maßbestimmung von verschwindender Krümmung erhält man auf der
Fläche, wenn man für den festen Punct einen Punct der Fläche selbst wählt.

Für alle diese Maßbestimmungen auf der Fläche sind die Erzeugenden der
Fläche Linien von verschwindender Länge. Der Ausdruck für das
Bogenelement auf der Fläche ist also für die verschiedenen Bestimmungen
nur um einen Factor verschieden. Ein absolutes Bogenelement auf der
Fläche gibt es nicht. Wohl aber kann man von dem Winkel sprechen, den
Fortschreitungsrichtungen auf der Fläche mit einander bilden. —

Alle diese Sätze und Betrachtungen können nun ohne Weiteres für
Liniengeometrie benutzt werden. Für den Linienraum selbst existirt
zunächst keine eigentliche Maßbestimmung. Eine solche erwächst erst,
wenn wir einen linearen Complex fest halten, und zwar erhält sie constante
oder verschwindende Krümmung, je nachdem der Complex ein allgemeiner
oder ein specieller (eine Gerade) ist. An die Auszeichnung eines Complexes
ist namentlich auch die Geltung eines absoluten Bogenelements geknüpft.
Unabhängig davon sind die Fortschreitungsrichtungen zu benachbarten
Geraden, welche die gegebene schneiden, von der Länge Null, und auch
kann man von einem Winkel reden, den zwei beliebige
Fortschreitungsrichtungen mit einander bilden37.

VII. Zur Interpretation der binären Formen.
Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden, welche, unter
Zugrundelegung der Interpretation von x + iy auf der Kugelfläche, dem
Formensysteme der cubischen und der biquadratischen binären Form
ertheilt werden kann.

Eine cubische binäre Form f hat eine cubische Covariante Q, eine
quadratische Δ , und eine Invariante R38. Aus f und Q setzt sich eine ganze
Reihe von Covarianten sechsten Grades
Q2 + λ ⋅ Rf2
zusammen, unter denen auch Δ 3 enthalten ist. Man kann zeigen39, dass jede
Covariante der cubischen Form in solche Gruppen von sechs Puncten
zerfallen muss. Insofern λ complexe Werthe annehmen kann, gibt es
zweifach unendlich viele derselben.

Das ganze so umgrenzte Formensystem kann auf der Kugel nun
folgendermaßen repräsentirt werden. Durch geeignete lineare
Transformation der Kugel in sich selbst bringe man die drei Puncte, welche
f repräsentiren, in drei äquidistante Puncte eines grössten Kreises. Derselbe
mag als Aequator bezeichnet sein; auf ihm haben die drei Puncte f die
geographische Länge 0°, 120°, 240°. So wird Q durch die Puncte des
Aequators mit der Länge 60°, 180°, 300°, Δ durch die beiden Pole
vorgestellt. Jede Form Q2 + λRf2 ist durch 6 Puncte repräsentirt, deren
geographische Breite und Länge, unter α und β beliebige Zahlen
verstanden, in dem folgenden Schema enthalten ist:

(α, β), (α, 120 + β), (α, 240 + β) , ( − α, − β), ( − α, 120 − β), ( − α, 240 − β)

Verfolgt man diese Punctsysteme auf der Kugel, so ist es interessant, zu
sehen, wie f und Q doppelt, Δ dreifach zählend aus denselben entsteht.

Eine biquadratische Form f hat eine ebensolche Covariante H, eine
Covariante sechsten Grades T, zwei Invarianten i und j. Besonders zu
bemerken ist die Schaar biquadratischer Formen iH + λjf, die alle zu dem

nämlichen T gehören, und unter denen die drei quadratischen Factoren, in
welche man T zerlegen kann, doppelt zählend enthalten sind. —

Man lege jetzt durch den Mittelpunct der Kugel drei zu einander
rechtwinklige Axen OX, OY, OZ. Ihre 6 Durchstosspuncte mit der Kugel
bilden die Form T. Die 4 Puncte eines Quadrupels iH + λjf sind, unter x, y, z
Coordinaten eines beliebigen Kugelpunctes verstanden, durch das Schema

x, y, z,
x, -y, -z,
-x, y, -z,
-x, -y, z

vorgestellt. Die vier Puncte bilden jedesmal die Ecken eines symmetrischen
Tetraeders, dessen gegenüberstehende Seiten von den Axen des
Coordinatensystems halbirt werden, wodurch die Rolle, welche T in der
Theorie der biquadratischen Gleichungen als Resolvente von iH + λjf spielt,
gekennzeichnet ist.

Erlangen im October 1872.

[1] C. Jordan, “Mémoire sur les groupes de mouvements.” In: Annali di
Matematica pura et applicata 1896, 2, 167-215 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF02419610.

[2] K. G. C. v. Staudt, Geometrie Der Lage, Fr. Korn, Nürnberg, 1847.

[3] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Erstes Heft, Fr.
Korn, Nürnberg, 1856.

[4] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Zweites Heft, Fr.
Korn, Nürnberg, 1857.

[5] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Drittes Heft, Fr.
Korn, Nürnberg, 1860.

[6] F. Klein, “Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie” In:
Mathematische Annalen 1872, 5, 257-277 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01444841.

[7] O. Hesse, “Ein Uebertragungsprinzip” In: Crelle’s Journal für die reine
und angewandte Mathematik 1866, 66, 15-22 − http://gdz.sub.uni-
goettingen.de/ru/dms/load/img/?
PPN=PPN243919689_0066&DMDID=dmdlog6.

[8] F. Klein, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. Zweiter
Aufsatz.” In: Mathematische Annalen 1873, 6, 112-145 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01443189.

[9] P. Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen Über Zahlentheorie, Vieweg,
Braunschweig, 1863.

[10] S. Lie, “Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe,
mit Anwendung auf die Theorie partieller Differential-Gleichungen.” In:
Mathematische Annalen 1872, 5, 145-208 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01446331.

[11] S. Lie, “Ueber diejenige Theorie eines Raumes mit beleibig vielen
Dimensionen, die der Krümmungs-Theorie des gewöhnlichen Raumes
entspricht.” In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der
Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1871, 7,
191-209 − http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1871.

[12] H. Grassmann, Die Ausdehnungslehre, Enslin, Berlin, 1862.

[13] S. Lie, “Zur Theorie partieller Differentialgleichungen erster Ordnung;
insbesondere über eine Classification derselben.” In: Nachrichten von der
Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-
Universität zu Göttingen 1872, 8, 473-490 −
http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN252457072_1872.

[14] A. Clebsch, “Ueber eine Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie.”
In: Mathematische Annalen 1872, 5, 427-434 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01442803.

[15] A. Clebsch, “Ueber ein neues Grundgebilde der analysischen
Geometrie.” In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der
Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1872, 22,
429-448 − http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1872.

[16] A. Clebsch, “Ueber ein neues Grundgebilde der analysischen
Geometrie der Ebene.” In: Mathematische Annalen 1872, 6, 203-215 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01443192.

[17] H. Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre / Ein Neuer Zweig Der
Mathematik / Dargestellt Und Durch Anwendungen Auf Die Übrigen
Zweige Der Mathematik, Wie Auch Auf Die Statik, Mechanik, Die Lehre
Vom Magnetismus Und Die Krystallonomie Erläutert, O. Wigand, Leipzig,
1844.

[18] F. und L. S. Klein, “Ueber diejenigen ebenen Curven, welche durch ein
geschlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen
Transformationen in sich übergehen.” In: Mathematische Annalen 1871, 3,
50-84 − http://dx.doi.org/10.1007/BF01443297.

[19] J. A. Serret, Cours D’algèbre Supérieure, Gauthier-villard, Paris, 1866.

[20] C. Jordan, Traité Des Substitutions Et Des Équations Algébriques,
Gauthier-villard, Paris, 1870.

[21] A. Clebsch, Theorie Der Binären Algebraischen Formen, Teubner,
Leipzig, 1872.

[22] F. Klein, “Ueber eine geometrische Repräsentation der Resolventen
algebraischer Gleichungen.” In: Mathematische Annalen 1871, 4, 346-358
− http://dx.doi.org/10.1007/BF01442600.

1. Vergl. Note I. des Anhangs. ↩

2. Vergl. Note II ↩

3. Vergl. Note III ↩

4. Vergl. Note IV ↩

5. Diese knappe Form ist ein Mangel der im Folgenden gegebenen
Darstellung, der das Verständniss, wie ich fürchte, wesentlich
erschweren wird. Aber dem hätte wohl nur durch eine sehr viel weitere
Auseinandersetzung abgeholfen werden können, in der die Einzel-
Theorien, die hier nur berührt werden, ausführlich entwickelt worden
wären. ↩

6. Wir denken von den Transformationen immer die Gesammtheit der
räumlichen Gebilde gleichzeitig betroffen und reden desshalb
schlechthin von Transformationen des Raumes. Die Transformationen
können, wie z. B. die dualistischen, statt der Puncte andere Elemente
einführen; es wird dies im Texte nicht unterschieden. ↩

7. Begriffsbildung wie Bezeichnung sind herübergenommen von der
Substitutionstheorie, in der nur an Stelle der Transformationen eines
continuirlichen Gebietes die Vertauschungen einer endlichen Zahl
discreter Grössen auftreten. ↩

8. Camille Jordan hat alle Gruppen aufgestellt, die überhaupt in der
Gruppe der Bewegungen enthalten sind: Sur les groupes de
mouvements. Annali di Matematica. t. II[1] ↩

9. Die Transformationen einer Gruppe brauchen übrigens durchaus nicht,
wie das bei den im Texte zu nennenden Gruppen allerdings immer der
Fall sein wird, in stetiger Aufeinanderfolge vorhanden zu sein. Eine
Gruppe bildet z. B. auch die endliche Reihe von Bewegungen, die
einen regelmässigen Körper mit sich selbst zur Deckung bringen, oder
die unendliche, aber discrete Reihe, welche eine Sinuslinie sich selber
superponiren. ↩

10. Unter dem Sinne verstehe ich hier die Eigenschaft der Anordnung,
welche den Unterschied von der symmetrischen Figur (dem
Spiegelbilde) begründet. Ihrem Sinne nach unterschieden sind also
z. B. eine rechts- und eine linksgewundene Schraubenlinie. ↩

11. Dass diese Transformationen eine Gruppe bilden, ist begrifflich
nothwendig. ↩

12. Man erzeugt ein solches Gebilde beispielsweise, indem man auf ein
beliebiges Anfangselement, das durch keine Transformation der
gegebenen Gruppe in sich selbst überzuführen ist, die
Transformationen der Hauptgruppe anwendet. ↩

13. Diese Anschauungsweise ist als eine der schönsten Leistungen von
Chasles zu betrachten; durch sie erst gewinnt die Eintheilung in
Eigenschaften der Lage und Eigenschaften des Maßes, wie man sie
gern an die Spitze der projectivischen Geometrie stellt, einen präcisen
Inhalt. ↩

14. Den erweiterten Kreis, der auch imaginäre Umformungen umspannt,
hat v. Staudt erst in den „Beiträgen zur Geometrie der Lage"[3–5] zu
Grunde gelegt. ↩

15. Wenn man will, ist hier das Princip unter etwas erweiterter Form
angewendet. ↩

16. Statt des Kegelschnittes in der Ebene kann man mit gleichem Erfolge
eine Raumcurve dritter Ordnung einführen, überhaupt bei n
Dimensionen etwas Entsprechendes aufstellen ↩

17. Bez. anderer Beispiele, sowie namentlich der Erweiterungen auf mehr
Dimensionen, deren die angeführten fähig sind, verweise ich auf bez.
Auseinandersetzungen in einem Aufsatze von mir[6] sowie auf die
sogleich noch zu nennenden Lieschen Arbeiten. ↩

18. Vergl. Note III. ↩

19. Vergl. Note V ↩

20. Vergl. Note VI. ↩

21. Ich wähle den Namen nach dem Vorgange von Dedekind, der in der
Zahlentheorie ein Zahlengebiet als Körper bezeichnet, wenn es aus

gegebenen Elementen durch gegebene Operationen entstanden ist
(Zweite Auflage von Dirichlets Vorlesungen [9].) ↩

22. Geometrie der reciproken Radien auf der Geraden ist mit der
projectivischen Untersuchung der Geraden gleichbedeutend, da die
bez. Umformungen die nämlichen sind. Man kann daher auch in der
Geometrie der reciproken Radien von einem Doppelverhältnisse von
vier Puncten einer Geraden und weiterhin eines Kreises reden. ↩

23. Vergleiche die bereits genannte Arbeit: Ueber Liniengeometrie und
metrische Geometrie. Math. Annalen Bd. V [6]. ↩

24. Vergl. Note VII. ↩

25. Partielle Differentialgleichungen und Complexe. Math. Annalen V.[10]
↩

26. Diese Transformationen werden gelegentlich in Grassmanns
Ausdehnungslehre betrachtet (in der Auflage von 1862, [12] p. 278). ↩

27. Projicirt man die Mannigfaltigkeit stereographisch, so erhält man den
bekannten Satz: In mehrfach ausgedehnten Gebieten (schon im
Raume) gibt es ausser den Transformationen, die sich in der Gruppe
der reciproken Radien befinden, keine conformen
Puncttransformationen. In der Ebene gibt es dagegen beliebig viele
andere. Vergl. auch die citirten Arbeiten von Lie ([10,11]). ↩

28. Vergl. bes. die bereits citirte Arbeit[10]: Ueber partielle
Differentialgleichungen und Complexe. Math. Ann. V. Die im Texte
gegebenen Ausführungen betr. partielle Differentialgleichungen habe
ich wesentlich mündlichen Mittheilungen von Lie entnommen; vergl.
dessen Note[13]: Zur Theorie partieller Differentialgleichungen.
Göttinger Nachrichten. Oct. 1872. ↩

29. Ich verdanke diese Definitionen einer Bemerkung von Lie. ↩

30. Gött. Abhandlungen. 1872. (Bd. 17): Ueber eine Fundamentalaufgabe
der Invariantentheorie[14], sowie namentlich Gött. Nachrichten 1872.

Nr. 22: Ueber ein neues Grundgebilde der analytischen Geometrie der
Ebene[15,16]. ↩

31. Ich erinnere hier daran, dass Grassmann bereits in der Einleitung zur
ersten Auflage seiner Ausdehnungslehre (1844, [17]) die Combinatorik
und die Ausdehnungslehre parallelisirt. ↩

32. Vergleiche den gemeinsamen Aufsatz: Ueber diejenigen ebenen
Curven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich
vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen,
Math. Annalen Bd. IV. [18]. ↩

33. Ich muss mir versagen, im Texte auf die Fruchtbarkeit hinzuweisen,
welche die Betrachtung unendlich kleiner Transformationen in der
Theorie der Differentialgleichungen hat. In §.7. der citirten Arbeit
haben Lie und ich gezeigt: Gewöhnliche Differentialgleichungen,
welche gleiche unendlich kleine Transformationen zugeben, bieten
gleiche Integrationsschwierigkeiten. Wie die Betrachtungen für
partielle Differentialgleichungen zu verwerthen seien, hat Lie an
verschiedenen Orten, so bes. in dem früher genannten Aufsatze (Math.
Ann. V., [10]) an verschiedenen Beispielen auseinandergesetzt (vergl.
namentlich auch Mittheilungen der Academie zu Christiania. Mai
1872.) ↩

34. Diese Verhältnisse ändern sich bei der gew. Maßgeometrie; zwei
unendlich ferne Puncte haben für sie freilich eine absolute Invariante.
Der Widerspruch, den man in der Abzählung der linearen
Transformationen der unendlich fernen Fläche in sich selbst hiermit
finden könnte, erledigt sich dadurch, dass die unter ihnen befindlichen
Translationen und Aehnlichkeitstransformationen das Unendlich-Ferne
überhaupt nicht ändern. ↩

35. Vergl. §.7 des Textes. ↩

36. Vergl. §.4 des Textes. ↩

37. Vergl. den Aufsatz: Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie.
Math. Ann. Bd. V. p. 271.[6] ↩

38. Vergl. hiezu die betr. Abschnitte von Clebsch: Theorie der binären
Formen[21] ↩

39. Durch Betrachtung der linearen Transformationen von f in sich selbst,
vergl. Math. Ann, IV. p. 352 [22] ↩

Anmerkungen zur Transkription
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*** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK VERGLEICHENDE
BETRACHTUNGEN ÜBER NEUERE GEOMETRISCHE
FORSCHUNGEN ***

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START: FULL LICENSE

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Section 4. Information about Donations to the Project
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