Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen (German) Karl Doehlemann 297 downloads.pdf

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nebst Anwendungen
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Title: Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen

Author: Karl Doehlemann

Release date: October 22, 2017 [eBook #55791]
Most recently updated: October 23, 2024

Language: German

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*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK GRUNDZÜGE
DER PERSPEKTIVE NEBST ANWENDUNGEN ***

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Die Sammlung
»Aus Natur und Geisteswelt«
nunmehr schon über 500 Bändchen umfassend, will die Errungenschaften
von Wissenschaft, Kunst und Technik weiteren Kreisen zugänglich machen
und einem jeden die Möglichkeit bieten, auch auf ihm ferner liegenden
Gebieten deren Fortschritte zu verfolgen.
Sie bietet wirkliche »Einführungen« in die Hauptwissensgebiete für den
Unterricht oder Selbstunterricht, wie sie den heutigen methodischen
Anforderungen entsprechen – ein Bedürfnis erfüllend, dem Skizzen mit
dem Charakter von »Auszügen« aus großen Lehrbüchern nie entsprechen
können, da solche vielmehr eine Vertrautheit mit dem Stoffe schon
voraussetzen.
Damit sie stets auf die Höhe der Forschung gebracht werden können,
sind die Bändchen nicht, wie die anderer Sammlungen, stereotypiert,
sondern werden – was freilich die Aufwendungen sehr wesentlich erhöht –
bei jeder Auflage durchaus neu bearbeitet und völlig neu gesetzt. So konnte
der Sammlung auch der Erfolg nicht fehlen. Über 200 Bändchen liegen
bereits in 2. bis 6. Auflage vor, insgesamt hat sie bis jetzt eine Verbreitung
von über 3 Millionen Exemplaren gefunden.
In den Dienst dieser Aufgabe haben sich darum auch in dankenswerter
Weise von Anfang an die besten Namen gestellt, gern die Gelegenheit
benutzend, sich an weiteste Kreise zu wenden, der Gefahr der
»Spezialisierung« unserer Kultur entgegenzuarbeiten an ihrem Teil bestrebt.
So vermag die Sammlung dem Leser ein Verständnis dafür zu vermitteln,
wie die moderne Wissenschaft es erreicht hat, über wichtige Fragen von
allgemeinem Interesse Licht zu verbreiten, und ihn dadurch zu einem
selbständigen Urteil zu befähigen.
Alles in allem sind die schmücken, gehaltvollen Bände, denen von
Professor Tiemann ein neues künstlerisches Gewand gegeben, durchaus
geeignet, die Freude am Buche zu wecken und daran zu gewöhnen, einen
kleinen Betrag, den man für Erfüllung körperlicher Bedürfnisse nicht
anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden. Durch
den billigen Preis ermöglichen sie es tatsächlich jedem, auch dem wenig

Begüterten, sich eine Bibliothek zu schaffen, die das für ihn Wertvollste
»Aus Natur und Geisteswelt« vereinigt.
Jedes der meist reich illustrierten Bändchen
ist in sich abgeschlossen und einzeln käuflich
Jedes Bändchen geheftet Mark 1.–, in Leinwand gebunden Mark 1.25
Werke, die mehrere Bändchen umfassen, auch in einem Band gebunden
Leipzig, 1. Januar 1915
B. G. Teubner

Jedes Bändchen geheftet M. 1.–, in Leinwand gebunden M. 1.25
*) auf Wunsch auch in Halbpergamentbänden zu M. 2.–

Zur bildenden Kunst, Musik und Schauspielkunst
sind bisher erschienen:
Bau und Leben der bildenden Kunst. Von Direktor Allgemeine
Professor Dr. Th. Volbehr. 2. Auflage. Mit 44 Kunstwissenschaft,
Kunstpflege
Abbildungen. (Bd. 68.*)
Ästhetik. Von Professor Dr. R. Hamann. (Bd. 345.*)
Kunstpflege in Haus und Heimat. Von Superintendent R. Bürkner. 2.
Auflage. Mit 29 Abbildungen. (Bd. 77.)
Deutsche Kunst im täglichen Leben bis zum Schlusse Kunstgewerbe
des 18. Jahrhunderts. Von Professor Dr. B. Haendcke.
Mit 63 Abbildungen. (Bd. 198.)
Geschichte der Gartenkunst. Von Regierungs-Baumeister Chr. Ranck. Mit
41 Abbildungen. (Bd. 274.)
Die Entwicklungsgeschichte der Stile in der Kunstgeschichte
bildenden Kunst. Von Dr. E. Cohn-Wiener. 2 Bände.
Mit zahlreichen Abbildungen. (Auch in 1 Band gebunden.)
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Bd. II: Von der Renaissance bis zur Gegenwart. Mit 31 Abbildungen. (Bd.
318.*)
Die Blütezeit der griechischen Kunst im Spiegel der Alte Kunst
Reliefsarkophage. Eine Einführung in die griechische
Plastik. Von Dr. H. Wachtler. Mit 8 Tafeln und 82 Abbild. (Bd. 272.*)
Die dekorative Kunst des Altertums. Von Dr. Fr. Poulsen. Mit 112
Abbildungen. (Bd. 454.*)
Pompeji, eine hellenistische Stadt in Italien. Von Professor Dr. Fr. v.
Duhn. 2. Auflage. Mit 62 Abbildungen. (Bd. 114.)
Michelangelo. Eine Einführung in das Verständnis seiner Werke. Von
Professor Dr. E. Hildebrandt. Mit 44 Abbildungen. (Bd. 392.*)

Die Renaissancearchitektur in Italien I. Von Dr. P. Frankl. Mit 12 Tafeln
und 27 Textabbildungen. (Bd. 381.*)
Die altdeutschen Maler in Süddeutschland. Von H. Neuere Kunst
Nemitz. Mit einem Bilderanhang (Bd. 464.*)
Albrecht Dürer. Von Dr. R. Wustmann. Mit 33 Abbildungen. (Bd. 97.*)
Rembrandt. Von Professor Dr. P. Schubring. Mit 50 Abbildungen. (Bd.
158.*)
Niederländische Malerei im 17. Jahrhundert. Von Dr. H. Jantzen. Mit
zahlreichen Abbildungen. (Bd. 373.*)
Deutsche Baukunst im Mittelalter. Von Professor Dr. A. Matthaei. 3.
Auflage. Mit 29 Abbildungen. (Bd. 8.*)
Deutsche Baukunst seit dem Mittelalter bis zum Neuere Kunst
Ausgang des 18. Jahrhunderts. Von Professor Dr. A.
Matthaei. Mit 62 Abbildungen und 3 Tafeln. (Bd. 326.*)
Deutsche Baukunst im 19. Jahrhundert. Von Professor Dr. A. Matthaei.
Mit 35 Abbildungen. (Bd. 453.*)
Die deutsche Malerei im 19. Jahrhundert. Von 19. Jahrh.
Professor Dr. R. Hamann. 2 Bände Text, 2 Bände mit 57
ganzseitigen und 200 halbseitigen Abbildungen. (Bd. 448–451, in 2
Doppelbänden, auch in 1 Halbpergament zu M. 6.–)
Die Maler des Impressionismus. Von Professor Dr. B. Lázàr. Mit 32
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Ostasiatische Kunst und ihr Einfluß auf Europa. Von Orient.
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Haydn, Mozart, Beethoven. Von Professor Dr. C. Neuere
Krebs. 2. Auflage. Mit 4 Bildnissen. (Bd. 92.) Musikgeschichte

Die Blütezeit der musikalischen Romantik in Deutschland. Von Dr. E.
Istel. Mit 1 Silhouette. (Bd. 239.)
Das Kunstwerk Richard Wagners. Von Dr. E. Istel. Mit 1 Bildnis Richard
Wagners. (Bd. 330.)

Die moderne Oper. Von Dr. E. Istel (Bd. 495.)
Die Grundlagen der Tonkunst. Versuch einer Musiktheorie
genetischen Darstellung der allgemeinen Musiklehre.
Von Professor Dr. H. Rietsch. (Bd. 178.)
Musikalische Kompositionsformen. Von S. G. Kallenberg. 2 Bände. (Bd.
412, 413, auch in 1 Band gebunden.)
Bd. I: Die elementaren Tonverbindungen als Grundlage der Harmonielehre.
(Bd. 412.)
Bd. II: Kontrapunktik und Formenlehre. (Bd. 413.)
Die Instrumente des Orchesters. Von Professor Dr. Fr. Volbach. Mit 60
Abbildungen. (Bd. 384.)
Das moderne Orchester in seiner Entwicklung. Von Prof. Dr. Fr.
Volbach. Mit Partiturbeispielen u. 3 Tafeln. (Bd. 308.)
Klavier, Orgel, Harmonium. Das Wesen der Tasteninstrumente. Von
Professor Dr. O. Bie. (Bd. 325.)
Das Theater. Schauspielhaus und Schauspielkunst vom Schauspielkunst
griechischen Altertum bis auf die Gegenwart. Von Dr.
Chr. Gaehde. 2. Auflage. Mit 18 Abbildungen. (Bd. 230.)
Weitere Bände befinden sich in Vorbereitung.

Aus Natur und Geisteswelt
Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen
510. Bändchen

Grundzüge der Perspektive nebst
Anwendungen
Von

Dr. Karl Doehlemann
O. ö. Professor an der Kgl. Technischen Hochschule in München
Mit 91 Figuren und 11 Abbildungen

Druck und Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin 1916

Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechts, vorbehalten.

Vorwort.
Die Darstellung der Grundzüge der Perspektive und ihrer Anwendungen,
wie sie im folgenden gegeben wird, ist hervorgegangen aus öffentlichen
Vorträgen, die ich seit einer langen Reihe von Jahren in München im
Volkshochschulverein halte und die von einem Publikum besucht sind, das
sich aus allen Ständen und Berufsklassen zusammensetzt.
Um eine schriftliche Bearbeitung dieses Gegenstandes weiteren Kreisen
zugänglich zu machen, schien es mir vor allem notwendig, das Buch mit
möglichst zahlreichen Figuren auszustatten. Fast jeder größeren Aufgabe ist
noch eine eigene Figur beigegeben, welche die Lage des darzustellenden
Gegenstandes gegen die Bildtafel wiedergibt und eine genaue Vorstellung
der räumlichen Anordnung und der vorzunehmenden geometrischen
Überlegungen ermöglichen soll. Bei der Wahl der abzubildenden
Gegenstände war die Klarheit und Übersichtlichkeit des Bildes maßgebend.
Es mußten deswegen einfache Formen gewählt werden und diese konnten
nicht immer auch in ästhetischer Hinsicht befriedigen.
Was die Abgrenzung des Stoffes betrifft, so wurde in einem einleitenden
Abschnitt die Darstellung eines Gegenstandes in Grund- und Aufriß
erörtert. Ich wüßte nicht, wie man das umgehen könnte. Denn es ist für den
Anfänger doch unerläßlich, daß er sich einen Körper, den er in Perspektive
setzt, vorher seiner Größe und Lage nach genau bestimmt.
In bezug auf Strenge der Entwicklung bin ich so weit gegangen, als es
bei einer für weitere Kreise bestimmten Darstellung angängig ist: Das ist
nötig, um eine sichere Grundlage zu gewinnen. Mit allgemeinen und
verschwommenen Redensarten ist demjenigen nicht gedient, der zu klaren
Begriffen und Vorstellungen in dem hier behandelten Gebiete gelangen will.
Was viele von der Beschäftigung mit der Perspektive abhält, ist der
Umstand, daß diese Disziplin sich ohne Geometrie, also ohne
mathematische Betrachtungen, nicht behandeln läßt. In der Tat werden wir
im Laufe unserer Betrachtungen einige einfache Sätze aus der Planimetrie
und der Stereometrie voraussetzen müssen. Aber darin liegen nicht die
eigentlichen Schwierigkeiten. Diese Sätze werden die Leser

verhältnismäßig leicht verstehen oder als anschauliche Tatsachen
hinnehmen. Die Hauptschwierigkeit wird vielmehr die sein, daß mit all den
Figuren, die im folgenden zu zeichnen sind, gewisse räumliche
Vorstellungen und Überlegungen zu verbinden sind. Es wird nur durch
Nachdenken möglich sein, sich in diese Dinge hineinzuleben. Nur auf
diesem Wege wird man den Begriff des gesetzmäßigen, mathematischen
Bildes gewinnen. Das aber ist für viele Berufsarten nötig, namentlich in der
Gegenwart, in der neben dem geschriebenen und gedruckten Wort das Bild
die Welt beherrscht.

Inhaltsübersicht.
Seite
Vorwort III
Einleitung: Zwei verschiedene Arten von geometrischen Bildern 1
§ 1. Das perspektivische Bild 1
§ 2. Der gerade Riß 6
Der perspektivische Entwurf 13
§ 3. Die Schnittmethode 13
§ 4. Der Satz vom Fluchtpunkt 20
§ 5. Andere Bestimmung eines perspektivischen Bildes 24
§ 6. Darstellung eines möglichst einfach gelegenen Quadrates der
Grundebene. Anwendungen dieser Konstruktion. Tiefenmaßstab 27
§ 7. Darstellung beliebiger, geradliniger Figuren der Grundebene 33
§ 8. Darstellung einfacher Körper, die sich auf der Grundebene
erheben 41
§ 9. Schiefe Linien im Raume 59
§ 10. Der photographische Apparat 64
§ 11. Die Wahl der Distanz 67
§ 12. Unzugängliche Distanz und Fluchtpunkte 75
§ 13. Gleichzeitige Anwendung der verschiedenen Methoden 86
§ 14. Die Darstellung des Kreises 90
§ 15. Einfache Schattenkonstruktionen 96
§ 16. Künstlerische Freiheiten 99
Literaturverzeichnis 102
Sachregister 103

Einleitung.
Zwei verschiedene Arten von geometrischen
Bildern.
§ 1. Das perspektivische Bild.
1. Zweck einer Abbildung. Nehmen wir an, wir betrachten irgendein
Raumobjekt, mag es nun eine Maschine oder ein Apparat sein, ein Werk der
Plastik oder der Architektur oder auch eine Landschaft. Wenn wir dann über
die gegenseitige Lage der einzelnen Teile des Objektes, über die relativen
Größenverhältnisse und schließlich auch über die wirklichen Maße des
Gegenstandes zu einem gewissen Urteil gelangt sind, so daß der
Gegenstand uns klar zum Bewußtsein gekommen ist, so sagen wir, daß wir
eine Vorstellung von dem Objekte haben. Der bloße Anblick von einer
Stelle aus wird meistens gar nicht dazu ausreichen. Denn jedes Objekt
verdeckt sich, wenn es nicht durchsichtig ist, zum Teil selbst: wir werden
vielmehr im allgemeinen mehrere Ansichten brauchen. Bei kleineren
Gegenständen genügen zu diesem Zwecke etwa schon Bewegungen des
Kopfes oder Oberkörpers. Ausgedehnteren Objekten gegenüber, wie zum
Beispiel bei einem Gebirgsstock, sind unter Umständen ganze
Wanderungen nötig, um eine wirkliche Anschauung derselben zu gewinnen.
Bildliche Darstellungen irgendwelcher Art dienen nun in erster Linie
dem Zwecke, dem Beschauer die Möglichkeit zu bieten, sich von den
betreffenden Objekten eine Vorstellung zu bilden, ohne daß er sie wirklich
vor Augen hat. Die Bilder ersetzen also bis zu einem gewissen Grade die
Objekte.
Sicher muß unser Vorstellungsvermögen schon ziemlich ausgebildet sein,
wenn wir uns auf Grund einer Zeichnung ein Objekt vorstellen können.
Aber wir eignen uns diese Fähigkeit durch fortgesetzte Übung an, fast ohne
es zu merken. Schon dem Kinde geben wir ein Bilderbuch in die Hand; es
vergleicht die Gegenstände in der Natur mit denen im Bilde und lernt
dadurch allmählich Sehen. So kommt es, daß heutzutage bei uns auch der
Ungebildete und Ärmste imstande ist, sich ein Gebäude oder eine

Landschaft einigermaßen vorzustellen, wenn er davon eine Abbildung, etwa
eine Photographie, zu sehen bekommt.

Abb. 1.
Aus alledem folgt nun, daß eine bildliche Darstellung die Gegenstände so
wiedergeben muß, wie wir sie sehen, und wir werden deswegen aus dem
Vorgang des Sehens eine Definition für den Begriff des »Bildes« abzuleiten
haben.
2. Mechanische Vorrichtung zur Herstellung eines Bildes. Zunächst
wollen wir jetzt eine Vorrichtung kennen lernen, welche es uns ermöglicht,
das, was wir ein »Bild« eines Gegenstandes nennen, mechanisch
herzustellen. Eine durchsichtige Glasplatte sei in einem Holzrahmen
vertikal vor uns aufgestellt. Hinter der Glasplatte, von unserem Standpunkte
aus gerechnet, befindet sich der abzubildende Gegenstand. Wir sehen

denselben durch die Glasplatte hindurch. Um die Betrachtung zu
vereinfachen, wollen wir das eine Auge schließen, also den Gegenstand nur
mit einem Auge betrachten. Aber auch dann würden wir noch bei jeder
Bewegung des Körpers oder Kopfes das Objekt in einer anderen Ansicht
erblicken; deswegen ist es weiter nötig, unser Auge im Raume zu fixieren:
man erreicht dies, indem man noch ein Stativ mit einer undurchsichtigen
Platte anbringt, in welche eine kleine Öffnung, ein Guckloch, geschnitten
ist. Wir wollen nun den Gegenstand betrachten, indem wir das Auge ganz
nahe an dieses Guckloch bringen; dadurch ist dem Auge eine feste Stelle im
Raume angewiesen. Man vergleiche dazu auch die Abbildung 1, welche
dem Buche von Albrecht Dürer: »Unterweisung der Messung mit dem
Zirkel und Richtscheit«, Nürnberg 1525, entnommen ist. Rechts erkennt
man den von uns beschriebenen Apparat, als Objekt dient der links im
Lehnstuhl sitzende Mann.
Wir nehmen ferner an, daß die Glasplatte auf der dem Auge zugewandten
Seite so präpariert sei, daß wir auf ihr zeichnen können, was etwa durch
Bestreichen mit Damarlack zu erreichen wäre. Nun endlich gehen wir dazu
über, die Linien des Körpers, wie wir sie von dem Guckloch aus sehen, auf
der Glasplatte nachzuzeichnen. Es decken sich also für mein Auge die
gezeichneten Linien und die wirklichen Konturen des Gegenstandes.
Nachdem die Zeichnung fertiggestellt ist, denken wir uns das Objekt
entfernt. Die Glasplatte bestreichen wir auf der Rückseite mit weißer
Deckfarbe, so daß sie undurchsichtig wird; im übrigen bleibt sie an der
gleichen Stelle. Die auf der anderen Seite befindliche Zeichnung wird dann
auf das an dem Sehloch befindliche Auge annähernd den gleichen Eindruck
machen wie der Gegenstand selbst; ich werde ihn immer noch vor mir zu
sehen glauben. Weil also diese Zeichnung eine Vorstellung des
Gegenstandes in uns wachzurufen imstande ist, nennen wir sie ein »Bild«
des Gegenstandes. Freilich enthält unser Bild nur Linien; von den
Unterschieden der Helligkeit, von Licht und Schatten, von der Farbe des
Objektes haben wir ganz abgesehen. Aber man kann nicht alles auf einmal
erreichen; es wäre eine zweite Aufgabe, auch diese Eigenschaften im Bilde
wiederzugeben. Die erste und wichtigste Aufgabe ist jedenfalls die
Herstellung einer Linienzeichnung, welche die Umrisse und überhaupt die
wichtigsten Linien des Gegenstandes wiedergibt. Ja, sie genügt in vielen

Fällen schon ganz allein. Denn gerade die Linie wirkt mit einer ganz
wunderbaren Kraft und Stärke auf unsere Vorstellung.
3. Definition des perspektivischen Bildes. Wir müssen jetzt aber dazu
übergehen, für den Begriff des Bildes eine mathematisch strenge Herleitung
zu geben, indem wir aus dem Vorgange des Nachzeichnens auf der
Glastafel das rein Geometrische herausschälen.

Fig. 1.
Statt der Glastafel denken wir uns eine ebene Fläche, also eine
mathematische Ebene Π, gewählt; sie ist gegeben durch das Blatt Papier,
das Reißbrett oder die Schultafel, auf der die Zeichnung hergestellt wird.
Wir nennen diese Ebene kurz die »Bildebene« oder auch die »Tafel«. Der
abzuzeichnende Körper sei ebenfalls ein mathematischer, nämlich ein
Würfel abcdefgh. In Fig. 1 geben wir zunächst eine Darstellung des
ganzen Vorganges. Statt der kleinen Öffnung, durch welche wir
hindurchsehen, denken wir uns einen Punkt O im Raume gegeben, den wir
in Erinnerung an unseren Apparat immer noch das »Auge« nennen. Wenn

wir ferner an dem Gegenstand einzelne Linien ins Auge faßten und sie auf
der Glastafel nachzeichneten, so lösen wir jetzt diese Linien in einzelne
Punkte auf und betrachten zunächst einen Punkt des Körpers, z. B. die Ecke
a. Was heißt es nun, daß wir auf der Glasplatte die verschiedenen Punkte
des Gegenstandes nachzeichneten? Offenbar befinden sich dann der
betreffende Punkt a, die Bleistiftspitze a', welche ihn auf der Glastafel
markiert, und das Guckloch in einer geraden Linie. Denn wenn sich zwei
Punkte im Raume für mein Auge decken, so liegen sie auf einer Geraden
durch das Auge. Darauf beruht ja alles Visieren. Mathematisch ausgedrückt
heißt das aber folgendes: wir ziehen durch den Punkt O eine Gerade nach
dem Punkte a und bringen diese zum Schnitt mit der Bildtafel. Der
Schnittpunkt ist eben a'. Wir nennen a' das »Bild« oder den »Riß« des
Punktes a. Die durch O gehenden Geraden oder Strahlen bezeichnen wir als
»Projektionsstrahlen« oder »Projizierende Strahlen« oder »Sehstrahlen«,
den ganzen Vorgang als »Zentralprojektion«.
Denken wir uns nach allen Punkten der
Linien des Gegenstandes diese Strahlen gezogen
und mit der Bildebene zum Schnitt gebracht, so
bilden alle diese Schnittpunkte das, was wir »ein
perspektivisches Bild« des Objektes oder auch
eine »Perspektive« des Würfels heißen.
In Fig. 2 ist ein solches Bild a'b'c'd'e'f'g'h' in
seiner wahren Gestalt wiedergegeben. Die
Bildebene Π ist hier die Ebene des
Zeichenblattes. Oft wird auch nicht nur der
Fig. 2. ganze geometrische Prozeß, sondern das Bild
selbst als eine Zentralprojektion bezeichnet. Wie
sich für unser Auge die Ansicht eines Körpers ändert und immer wieder
anders erscheint, wenn wir unseren Standpunkt dem Körper gegenüber
verändern, so ist dieses perspektivische Bild auf der Bildtafel von zwei
Faktoren abhängig: nämlich erstens davon, wie der Punkt O gegenüber der
Bildtafel angenommen wird, und zweitens davon, welche Lage der Körper
zur Bildtafel einnimmt. Sind aber der Punkt O und der Körper fest
angenommen, so ist auch das Bild vollständig bestimmt. Man kann also
sagen:

Satz 1. Sind die Bildebene Π, das Auge O und der Körper im Raume
gegeben, so erhält man das perspektivische Bild des Körpers als den
Schnitt der nach den Punkten des Körpers gehenden
Projektionsstrahlen mit der Bildebene.
Unter »Perspektive« versteht man weiter auch die Lehre, wie man solche
Bilder unmittelbar auf der Zeichenfläche mit Bleistift, Lineal und Zirkel
konstruiert, ohne den mühsamen Prozeß des Nachzeichnens auf einer
Glastafel durchführen zu müssen. Da es sich für uns bloß um die
Wiedergabe der Linien des Körpers handelt, so spricht man auch von
»Linearperspektive« oder »Linienperspektive«.
Solche perspektivische Bilder hat jeder schon oft gesehen; denn jede
Photographie ist eines. Wir werden später zeigen, daß der photographische
Apparat rein mechanisch derartige Bilder herstellt.
Den Begriff der Zentralprojektion gewannen wir als eine Vereinfachung
des Vorganges des Nachzeichnens: er ist eine mathematische Abstraktion
aus dem Sehprozeß. Wir werden nicht erwarten dürfen, daß sich diese
mathematische Operation mit dem Begriff des Sehens deckt. Denn der
physiologische Vorgang des Sehens ist ja tatsächlich auch ein äußerst
verwickelter. Wir sehen nicht mit einem Auge, sondern mit beiden Augen,
und wir halten die Augen nicht ruhig, sondern bewegen sie nach allen
Seiten hin und her; wir tasten den Körper mit den Augen förmlich ab.
Trotzdem leistet uns der Vorgang der Zentralprojektion schon in seiner
rohen Annäherung wertvolle Dienste. Denn die perspektivischen Bilder sind
unter allen gesetzmäßig definierten Abbildungen weitaus die
anschaulichsten und naturgetreuesten. Bevor wir aber dazu übergehen, die
Gesetze und Herstellungsweisen dieser Bilder zu erörtern, müssen wir
davon handeln, wie man noch auf andere Weise Bilder oder Abbildungen
von räumlichen Gegenständen erhalten kann.

§ 2. Der gerade (rechtwinklige) Riß.

4. Die Senkrechte von einem Punkte auf eine Ebene. Hängen wir einen
schweren Körper, z. B. eine kleine Metallkugel oder ein Gewicht, vermittels
eines Fadens etwa an der Decke eines Zimmers auf, so nimmt der Faden,
nachdem der Körper zur Ruhe gelangt ist, unter dem Einfluß der Anziehung
der Erde eine ganz bestimmte Lage an, welche nach dem Erdmittelpunkt

hin gerichtet ist. Wir nennen diese Richtung »lotrecht« oder »vertikal«.
Denken wir uns weiter unter dem Faden ein Gefäß mit einer Flüssigkeit, z.
B. Wasser oder Quecksilber, so bildet deren Oberfläche eine Ebene, die wir
als »wagrecht« oder »horizontal« bezeichnen. Wir sagen dann weiter, daß
die Richtung des Fadens auf der Oberfläche der Flüssigkeit senkrecht stehe
oder lotrecht zu ihr sei. Das an einem Faden befestigte Gewicht liefert ja
auch den sog. »Senkel«, und mittels dieses allbekannten Instrumentes
werden beim Bau eines Hauses die Steine in horizontalen Lagen angeordnet
und die Mauern lotrecht aufgeführt.

Fig. 3.
Diese physikalische Tatsache erleichtert dann aber das Verständnis für
den folgenden mathematischen
Satz 2. »Ist eine Ebene Π1 gegeben und ein Punkt p außerhalb derselben
(Fig. 3), so kann man von dem Punkte auf diese Ebene immer eine
Senkrechte oder ein Lot fällen. Diese Senkrechte schneidet die Ebene
in einem Punkte, den wir p1 nennen wollen. Er mag der Fußpunkt der
Senkrechten heißen. Der Abstand des gegebenen Punktes von der
gegebenen Ebene ist gleich der Entfernung, welche der gegebene
Punkt p und der Fußpunkt p1 bestimmen, also = der Strecke pp1.«
Die Ebene Π1 kann ganz beliebig im Raume liegen. Ist sie im besondern
eine wagrechte Ebene, so fällt die senkrechte zu ihr mit der »Vertikalen«
zusammen.

Fig. 4.
5. Der gerade (rechtwinklige) Riß. Den Fußpunkt p1 der von einem
Punkte p auf eine Ebene Π1 gefällten Senkrechten nennt man den geraden
oder rechtwinkligen oder orthogonalen Riß des Punktes p auf die Ebene Π1.
Die Ebene Π1 heißt wieder die Bildtafel, Bildebene oder kurz Tafel. Statt
Riß wird auch das Wort Projektion gebraucht, das allerdings gleichzeitig
den ganzen Vorgang bezeichnet. Man sagt auch: der Punkt p ist orthogonal
auf die Ebene Π1 projiziert worden.
Was wir für einen einzelnen Punkt durchgeführt haben, können wir jetzt
auch auf einen Körper und die an ihm auftretenden Linien anwenden. Es sei
z. B. ein Würfel abcdefgh gegeben und die Ebene Π1; wir erläutern den
ganzen Vorgang, wie er sich im Raume abspielt, durch die Fig. 4. a sei eine
Ecke des Würfels. Wir denken uns durch a das Lot zur Ebene Π1
gezeichnet, welches in a1 die Tafel Π1 durchsetzt. a1 ist der gerade Riß des
Punktes a. Eine zweite Ecke b des Würfels liefert ebenso den Riß b1. Dann
wird man leicht einsehen, daß alle Punkte auf der Verbindungsstrecke ab
Risse haben, welche auf der Verbindungsstrecke a1b1 liegen, d. h. a1b1 ist
der Riß von ab. Führen wir die Projektion für alle Ecken und Kanten des
Würfels durch, so erhalten wir die Figur a1b1c1d1e1f1g1h1, die den

orthogonalen Riß des Würfels in der Ebene Π1 gibt. In Fig. 5 ist weiter ein
solcher Riß in seiner wahren Gestalt wiedergegeben. Dabei wurde also die
Ebene des Papiers als Tafel Π1 gewählt. Der Würfel selbst schwebt im
Raume über der Buchseite.
Die Figur kann auch dazu dienen, folgenden übrigens leicht zu
beweisenden Satz zu veranschaulichen:
Satz 3. Die geraden Risse paralleler Geraden sind selbst wieder parallel.
Beispielsweise sind ab und cd zwei im Raume parallele Gerade, und ihre
Risse a1b1 und c1d1 sind ebenfalls parallel.
Wir wollen nun noch eine ganz selbstverständliche Eigenschaft einer
solchen Darstellung kennen lernen.
A sei eine Gerade, welche
senkrecht auf der Tafel Π1 steht
(Fig. 6). Wählen wir auf ihr beliebig
einen Punkt a, so fällt das Lot, das
man von ihm aus auf die Tafel
fällen kann, natürlich mit der
Geraden A zusammen, und der
rechtwinklige Riß des Punktes a
wird der Punkt a1, in dem die
Gerade A die Bildebene durchbohrt.
Aber auch jeder andere Punkt b, c
… von A hat einen Riß b1, c1 …,
der stets mit a1 sich deckt. Mit
anderen Worten: Die Gerade A,
welche auf der Bildtafel senkrecht Fig. 5.
steht, hat als Riß einen Punkt, ihren
Schnittpunkt mit der Tafel.
Stellen wir uns ferner eine Ebene efki vor (Fig. 6), welche auf der
Bildebene senkrecht steht, also z. B. eine lotrechte, vertikale Mauer, wenn
Π1 horizontal gedacht wird, und ist ef die Schnittlinie dieser Ebene mit der
Tafel, so fallen die geraden Risse aller Punkte dieser Ebene auf die Linie ef.

Eine solche Ebene hat demnach als Riß eine Gerade, nämlich die
Schnittlinie der Ebene mit der Tafel.

Fig. 6.
Gerade und Ebenen, welche auf der Bildebene senkrecht stehen,
verschwinden folglich gewissermaßen im geraden Riß; aus dem Riß kann
man die Ausdehnung solcher Geraden und Ebenen nicht beurteilen. Ist z. B.
in Fig. 6 defghikl ein Würfel, der mit seiner einen Fläche defg in der Tafel
liegt, so ist der gerade Riß des Würfels eben dieses Quadrat defg. Die vier
Kanten dh, ei, fk, gl erscheinen als Punkte, und die vier Ebenen deih, efki,
fglk und gdhl, welche auf der Tafel senkrecht stehen, gehen durch die
Projektion in die Geraden de, ef, fg, gd über. Setzen wir aber auf diesen
ersten Würfel einen zweiten Würfel hiklmnop, so hat dieser zweite Würfel
den gleichen Riß defg, und auch das aus den beiden Würfeln bestehende

Prisma defgmnop hat den Riß defg. Fig. 7 gibt wieder die wahre Gestalt der
Risse.
Auch solche rechtwinklige Risse
hat ein jeder schon gesehen. Denn
jeder Plan einer Stadt ist ein
derartiger Riß; die Bildtafel ist
dabei eine horizontale Ebene. Wir
wollen dieses Beispiel aber auch
noch dazu benutzen, um uns
darüber klar zu werden, mit
welchem Rechte man auch diese
rechtwinkligen Risse als Bilder der
betreffenden Gegenstände Fig. 7.
bezeichnet. Wir fragen uns mithin:
von wo aus betrachtet sieht eine
Stadt so aus wie ihr Plan? Besteigen wir einen der Türme der Stadt und
blicken von ihm aus, also aus einer Höhe von vielleicht 100 m, auf dieselbe
herunter, so wird nur die nächste Umgebung des Turmes so erscheinen wie
auf dem Plane. Von den weiter entfernt gelegenen Häusern dagegen sehen
wir noch Fenster, Türen usf. Steigen wir aber in einem Ballon bis zu einer
Höhe von etwa 1000 m über der Stadt auf, so wird schon ein größerer,
unmittelbar unter dem Ballon gelegener Teil der Stadt uns so erscheinen,
wie er auf dem Plane wiedergegeben ist. Je höher wir uns über die Stadt
erheben, um so mehr sehen wir die Stadt unter uns so wie auf dem Plane.
Aber erst wenn wir das Auge auf einer Senkrechten zur Bildebene über alle
Maßen weit entfernt denken (Fig. 6), dann würde es die Gegenstände so
sehen, wie sie im rechtwinkligen Riß dargestellt sind. Alle Sehstrahlen sind
jetzt parallel, da sie alle senkrecht auf der Bildebene stehen. Wir erkennen
demnach:
Satz 4. Der rechtwinklige Riß eines Gegenstandes ist das Bild, wie es einem
Beobachter erscheint, der sich unendlich weit von der Bildebene
entfernt befindet und senkrecht auf sie herunterschaut.
Weil alle zur Bildebene senkrechten Abmessungen im rechtwinkligen Riß
verschwinden, so können wir aus einem Plan keinen Aufschluß gewinnen
über die Höhe der einzelnen Häuser, der Mauern, Türme.

6. Bestimmung eines Gegenstandes durch zwei rechtwinklige Risse.
Ist es nun aber nicht möglich, einen Gegenstand vollständig durch Risse zu
bestimmen, so daß alle Abmessungen desselben, Länge, Breite, Höhe usf.,
aus den Darstellungen entnommen werden können? Da ein Riß in einer
Ebene nach dem Obigen nicht genügt, so geben wir uns noch einen zweiten
Riß in einer zweiten Tafel. Wir wählen also noch eine zweite Bildtafel Π2,
die der Einfachheit wegen auf der ersten Bildtafel Π1 senkrecht stehe. Die
in Fig. 8 gegebene Ansicht möge wieder dazu dienen, sich die räumlichen
Überlegungen klar zu machen. Es ist nun natürlich nötig, beide Tafeln und
die in ihnen liegenden Risse zu unterscheiden. Die Ecke a des Würfels
liefert in der ersten Tafel Π1 den Riß a1. Außerdem hat der Punkt a aber
auch einen Riß in der zweiten Tafel. Wir erhalten denselben nach unserer
Definition, indem wir uns von a eine Senkrechte zu Π2 konstruiert denken.
Durchsetzt diese Senkrechte in a2 die zweite Tafel, so ist dieser Punkt der
Riß von a in der Π2. Wir nennen a1 den ersten, a2 den zweiten Riß des
Punktes a. Wie ferner der Würfel abcdefgh in der Π1 den Riß
a1b1c1d1e1f1g1h1 liefert, so läßt sich nun auch der zweite Riß
a2b2c2d2e2f2g2h2 des Würfels in der Π2 konstruieren. Die beiden Risse
werden also durch die rechts unten angebrachten Zahlen unterschieden. Die
erste Tafel Π1 können wir uns als eine horizontale Ebene denken, und wir
nennen den in ihr gelegenen ersten Riß auch den »Grundriß« oder die
»Horizontalprojektion«. Die zweite Tafel Π2 ist dann eine Vertikalebene,
und der in ihr gelegene zweite Riß heißt auch »Aufriß« oder die
»Vertikalprojektion«. Was für den ersten Riß erörtert wurde, gilt natürlich
ganz ebenso auch für den zweiten. In Sonderheit erscheinen wieder Gerade,
welche zur Aufrißebene Π2 senkrecht stehen, in ihr als Punkte und Ebenen,
welche auf Π2 senkrecht stehen, bilden sich als Gerade in der Π2 ab.

Fig. 8.
Denken wir uns jetzt die beiden Tafeln Π1 und Π2 etwa in Holz gefertigt
und miteinander fest verbunden. Weiter sei ein Würfel im Raume gegeben
und in seiner Lage gegen die beiden Tafeln fixiert (Fig. 8). Wir wollen von
dem Würfel den Grundriß und den Aufriß zeichnen. Nachdem dieses
geschehen ist, entfernen wir den Würfel. Dann ist durch die beiden auf den
Tafeln gezeichneten Risse der Würfel immer noch bestimmt. Denn wir
können von jeder seiner Ecken die Lage im Raume bestimmen. In der Tat
sind z. B. a1 und a2 die beiden Risse einer Ecke, so errichten wir im Punkt
a1 der Grundrißebene eine Senkrechte zur Π1, und ebenso konstruieren wir
im Punkte a2 der Aufrißebene eine Senkrechte zu ihr. Dann werden sich
diese beiden Lote schneiden, und ihr Schnittpunkt gibt die Ecke a. In der
gleichen Weise können wir für alle anderen Ecken des Würfels ihre Lage im
Raume bestimmen. Also ist auch der ganze Würfel dadurch festgelegt: es
wäre möglich, z. B. durch Stäbchen und Glasperlen die Ecken des Würfels
wirklich im Raume anzugeben. Überhaupt kann man sagen:

Satz 5. Sind die beiden Tafeln im Raume gegeben und in ihnen die Risse
eines Gegenstandes, in der richtigen Zuordnung, so daß also von
jedem Punkte die beiden Risse unterschieden werden, so ist dadurch
der Gegenstand und seine Lage im Raume bestimmt.

Fig. 9.
7. Das Zusammenlegen der Tafeln. Es wäre recht unbequem, wollte
man sich stets der beiden senkrecht zueinander befestigten Tafeln bedienen,
wenn man sich auf Grund irgendwelcher Risse einen Körper vorstellen soll.
Was wir wollen, ist eine auf einem Blatte befindliche Zeichnung, die dann
bequem überall zu benutzen ist. Zu einer solchen gelangen wir, wenn wir
die zweite Tafel sich mit der ersten vereinigen lassen. Es sei K die

Schnittlinie der beiden Tafeln (Fig. 9), die wir kurz die Kante nennen. Wir
drehen nun die Π2 um K wie um ein Scharnier so lange, bis Π2 mit Π1
zusammenfällt.
Die Figur 9 veranschaulicht wieder zunächst den räumlichen Vorgang.
Der beliebige Punkt a hat als ersten Riß den Punkt a1, als zweiten Riß den
Punkt a2' Es fragt sich, wohin a2' gelangt, wenn die Aufrißebene Π2 durch
die Drehung mit der Grundrißebene zur Deckung gebracht wird. Die beiden
Senkrechten aa1 und aa2' bestimmen doch eine Ebene, welche auf der
Kante K senkrecht steht. Der Schnittpunkt dieser in Fig. 9 schraffierten
Ebene mit der Kante K sei a. Es ist also jetzt sowohl a1a ⊥ K 1 als auch a2'a
⊥ K. Bei der Drehung der Aufrißebene beschreibt a2' einen Kreis mit dem
Mittelpunkt a und dem Radius a2'a, der in der schraffierten Ebene a1aa2'a
liegt. Ist also a2 die Lage, welche a2' nach Ausführung der Drehung
annimmt, so muß auch a2a ⊥ K sein; demnach fällt a2 auf die Verlängerung
der Linie a1a, und es ist a2a = a2'a.
1 ⊥ ist das Zeichen für senkrecht auf.

In Fig. 10 bilden wir nun das Zeichenblatt
selbst ab; es ist gewissermaßen doppelt zu
nehmen, da es sowohl die Grund- als die
Aufrißebene vorstellt. Die Kante K ist als eine
horizontale Linie darauf gezeichnet. Dann
müssen die beiden Risse a1 und a2 offenbar auf
einem Lote zur Kante K gelegen sein; der
Schnittpunkt des Lotes a1a2 mit K ist der Punkt
a. Es folgt also:
Satz 6. Nach der Umlegung der Aufrißebene in
die Grundrißebene liegen die beiden Risse
eines Punktes stets auf einer Senkrechten Fig. 10.
zur Kante oder kurz auf einem Kantenlote.
Geben wir uns irgend zwei Punkte, jedoch so, daß sie auf einer
Senkrechten zu K liegen, und ist der eine durch die Bezeichnung a1 als
erster Riß, der andere durch die Bezeichnung a2 als zweiter Riß

gekennzeichnet, so bestimmen diese beiden Risse einen ganz bestimmten
Punkt a im Raume. Um uns denselben vorzustellen, denken wir uns die
eine Hälfte des Zeichenblattes, in der a2 liegt, um K in die Höhe gedreht,
bis sie auf der anderen Hälfte des Blattes senkrecht steht. Dann sind die
beiden Tafeln in ihre wahre Lage gebracht, und wir finden den Punkt a auf
die Weise wie es in 6. auseinandergesetzt wurde.
Einfacher ist es übrigens zu
beachten, daß in Fig. 9
aa1 = a2'a = a2a.
Es gibt also in Fig. 10 die Strecke
a2a den Abstand des Punktes von
der Zeichenebene. Wir haben uns
demnach in a1 eine Senkrechte zur
Fläche des Papiers errichtet zu
denken. Auf dieser Senkrechten
liegt der Punkt in einem Abstande
von der Zeichenfläche, der durch
a2a gegeben ist.
Es ist sehr nützlich sich zu
überlegen, wie die beiden Risse
eines Punktes gelegen sind, wenn
der betreffende Punkt verschiedene
Lagen im Raume annimmt. In den
Figuren 9 und 10 ist noch ein
zweiter Punkt b eingetragen.
In Fig. 11 sind ferner die beiden
Fig. 11. Risse eines Würfels wirklich
gezeichnet, von dem die Fig. 8 die
Lage im Raume angab. Diese hier nur ihrem Wesen nach kurz skizzierte
Methode des Grund- und Aufrisses wird in der darstellenden Geometrie
weiter ausgeführt. Außer den perspektivischen Bildern und den geraden
Rissen gibt es noch eine dritte Art von Bildern, die sog. »Schrägbilder«
oder »Parallelprojektionen«. Bei ihnen ist die Projektionsrichtung nicht
senkrecht zur Bildebene, sondern beliebig gegen sie geneigt. Die in diesem

Buche zur Erläuterung beigegebenen Figuren, z. B. 1, 4, 6, 8, sind solche
Schrägbilder. Man vergleiche darüber das Bändchen »Projektionslehre« in
dieser Sammlung.
Nach diesen einleitenden Betrachtungen wollen wir uns nun eingehender
mit den perspektivischen Bildern beschäftigen.

Der perspektivische Entwurf.
§ 3. Die Schnittmethode.

8. Konstruktion eines perspektivischen Bildes aus Grund- und
Aufriß. Soll von einem Gegenstande ein perspektivisches Bild gezeichnet
werden, so muß der Gegenstand selbst bekannt sein und außerdem die Lage
des Projektionszentrums (Auges) gegen die Bildebene. Es ist zunächst am
einfachsten, sich alle diese Stücke je durch Grund- und Aufriß zu geben, so
daß wir also folgende Elemente erhalten: a) die Bildtafel (Zeichenebene);
b) das Auge O; c) den Gegenstand. Wir behandeln wieder ein einfaches
Beispiel.
Aufgabe 1. Ein Würfel ist gegeben in Grund- und Aufriß, ebenso das Auge
O; man zeichne ein perspektivisches Bild des Würfels, wenn die
Bildebene auf der Kante des Tafelsystems senkrecht steht.
Die Bildebene Π gehe durch den Punkt Z der Kante (Fig. 12) und
enthalte die beiden Linien ZX und ZY, welche in der Π1 und in der Π2 je
senkrecht zur Kante K gezogen werden können. Gleichzeitig ist ZX der
erste und ZY der zweite Riß der Bildebene Π. Das Auge O habe die Risse
O1 und O2. Der abzubildende Würfel abcdefgh liegt mit der Fläche abcd
auf der Grundrißebene. Wir haben nun den in 2. beschriebenen Vorgang
wirklich durchzuführen, also die einzelnen Ecken des Würfels in die Ebene
Π zu projizieren. Führen wir dies etwa für die Ecke e durch. 2 Wir
verbinden O mit e, dann ist O1e1 der erste Riß, O2e2 der zweite Riß dieser
Verbindungslinie. Der Schnittpunkt von Oe mit Π sei e'; der erste Riß von
e' kann nichts anderes sein als der Schnittpunkt von O1e1 mit ZX. Diesen
Punkt bezeichnen wir also mit e1'. Ebenso ist der zweite Riß des Punktes e'
der Schnittpunkt e2' von O2e2 mit der Linie ZY. Natürlich fallen alle ersten
Risse unseres Bildes auf die Gerade ZX, alle zweiten auf ZY.
2 Wir raten dem Leser, alle Figuren stets nach den Angaben des Textes selbst
herzustellen. Es erleichtert das Verständnis ungemein, wenn man die Figur
allmählich entstehen sieht.

Fig. 12.
Nun wollen wir aber doch das Bild selbst in seiner wahrer Gestalt auf
unserem Zeichenblatte vor uns sehen. Um dieses zu erreichen, müssen wir
die Ebene Π herausheben und in die Zeichenebene legen. Das kann man
etwa in folgender Weise durchführen. Wir verschieben die Ebene Π parallel
zu sich selbst, bis sie durch den beliebigen Punkt (Z) der Kante geht. Sie
schneidet dann die Tafeln in den Loten (Z)(X) und (Z)(Y). Nachdem dies
geschehen, drehen wir die Ebene um die in der Π2 gelegene Senkrechte (Z)
(Y) so lange, bis sie mit der Π2 sich deckt.
Verfolgen wir den Punkt e' bei diesen verschiedenen Schritten. Bei der
Verschiebung der Ebene Π in die Lage (Y)(Z)(X) wird e1' eine Parallele zur
Kante beschreiben. Ziehen wir also durch e1' eine Parallele zur Kante K, so
schneidet diese die Linie (Z)(X) in (e1'). Bei der Drehung der Ebene
beschreibt (e1') einen Viertelskreis um (Z) und gelangt nach e1*. Dann liegt
aber der Punkt e' auf der Senkrechten, welche in e1* zur Kante gezeichnet

werden kann. Die Höhe, in welcher e' über der Π1 liegt, ist jedoch bei allen
diesen Vorgängen die gleiche geblieben, und sie ist durch Ze2' gegeben.
Tragen wir also auf der in e1* errichteten Senkrechten diese Höhe an oder,
was das gleiche ist, ziehen wir durch e2' eine Parallele zur Kante, so
schneidet diese auf der Senkrechten in e1* den Punkt e' aus.
Bequemer ist es, einfach (Z)e1* = Ze1' mit dem Zirkel auf der Kante
anzutragen und auf der Senkrechten in e1* dann weiter e1*e' = Ze2'
abzuschneiden. Man kann dazu auch noch Fig. 1 vergleichen. Dort ist die
erste Tafel Π1 angegeben als eine horizontale Ebene, die zweite Tafel ginge
durch K und AY. Vom Punkte e' sind die Risse e1 und e2 eingetragen.
Ganz in entsprechender Weise konstruiert man die Bilder der übrigen
Ecken und erhält so das Bild a'b'c'd'e'f'g'h' des Würfels. Um die
Bildwirkung zu erhöhen, denkt man sich den Würfel aus einem
undurchsichtigen Material (Holz, Gips) und zeichnet die Kanten, welche
man nicht sehen würde, bloß punktiert. In unserer Figur liegen dem Auge
zunächst die Kanten bc, cg, gf, fb ferner gh, he, ef. Diese müssen also
ausgezogen werden. Die übrigen Kanten cd, da, ab, dh, he, ea werden
dem in O befindlichen Auge durch den Würfel verdeckt; man hätte sie also
streng genommen ganz wegzulassen. Es ist aber nützlich, diese Kanten
wenigstens punktiert anzudeuten, um die mathematische Form besser zu
übersehen. Man nennt die Berücksichtigung dieser Verhältnisse die
»Sichtbarkeit bzw. Unsichtbarkeit«.
Nun ist ein perspektivisches Bild für ein gewisses Projektionszentrum
konstruiert und muß von diesem aus betrachtet werden. Wir werden
deswegen verlangen, den Punkt im Raume anzugeben, von dem aus unser
Bild b'c'g'h'e'f' zu betrachten ist. Zu diesem Zwecke fällen wir von dem
Zentrum O aus auf die Bildebene Π die Senkrechte. Ihr erster Riß ist eine
Parallele durch O1 zur Kante, ihr zweiter Riß eine Parallele durch O2 zur
Kante. Der Fußpunkt dieser Senkrechten, die auch in Fig. 1 eingetragen ist,
heiße A. Die Risse A1 und A2 desselben sind die Schnittpunkte der eben
genannten Parallelen mit ZX bzw. ZY. Daraus finden wir die Lage von A
wiederum, indem wir zunächst die Parallele durch A1 und (Z)(X) zum
Schnitt bringen in (A1), dann durch einen Viertelskreis (Z)A1* = (Z)(A1)
machen. Auf der in A1* errichteten Senkrechten schneidet die Parallele

durch A2 wieder den Punkt A aus. Jetzt wissen wir also, daß unser
Projektionszentrum auf der Senkrechten liegt, die in A zur Zeichenebene
gedacht werden kann.

Fig. 13.
Weiter gibt nun aber die Strecke O1A1 oder auch O2A2 die Entfernung, in
der wir auf der genannten Senkrechten in A zur Ebene des Blattes uns das
Auge O denken müssen. Bringen wir unser Auge an die dadurch bestimmte
Stelle im Raume, so wird das Bild des Würfels den besten Eindruck
machen. Allerdings hat man die Figur viel größer, vielleicht drei- oder
viermal so groß zu zeichnen, da wir bei normalen Augen das Zeichenblatt
wenigstens 25 cm von unserem Auge entfernt halten müssen.
Man nennt den Punkt A den »Haupt«- oder »Augpunkt«, und er ist wohl
zu unterscheiden von dem Projektionszentrum oder dem »Auge« O; die
Entfernung OA des Projektionszentrums O von der Bildebene, also die
Strecke O1A1 oder O2A2 heißt die »Distanz«.

Abb. 2.
Methode der mech. Konstruktion einer Perspektive mittels des
Reileschen Apparates.
9. Apparat zur Konstruktion einer Perspektive. Geht man vom
Grundriß des gegebenen Gegenstandes aus, so beruht das soeben

durchgeführte Verfahren wesentlich darauf, daß man die Höhe ermittelt, in
der das Bild eines Punktes über der Grundrißebene lag. Statt der
Grundrißebene kann man auch die Ebene benutzen, welche man durch das
Auge O parallel zur Grundrißebene legt. Diese Ebene heiße die
»Horizontebene« und sie schneidet die Bildebene Π in einer Geraden hh,
welche durch den Hauptpunkt A geht und der »Horizont« genannt wird
(Fig. 13). Es sei nun ein Punkt a gegeben, der von O aus gerechnet vor der
Bildebene Π liegt, welch letztere die Grundrißebene Π1 in der Geraden gg
schneidet. Dann können wir das Bild a' wieder in folgender Weise
bestimmen. Die von a auf Π1 gefällte Senkrechte trifft Π1 im Risse a1, die
Horizontebene dagegen im Punkte (a1). Verbinden wir O1 mit a1, so ist
dies der Riß des Sehstrahles Oa. O1a1 trifft die Gerade (gg) in a1', und auf
der in a1' gelegenen Senkrechten liegt das Bild a'. Schneidet diese
Senkrechte den Horizont in (a'), so ist die Linie O(a') parallel zu O1a1',
und zur Berechnung der Höhe a'(a') kann die Proportion dienen:
a'(a') O(a')
=
a(a1) O(a1)
.

Das Verhältnis auf der rechten Seite darf zunächst durch O1a1' : O1a1
ersetzt werden. Zieht man ferner durch a1 eine Parallele zu gg, welche
O1A1 in X trifft, so wird dies Verhältnis auch durch O1A1 : O1X gegeben, so
daß man schließlich erhält
a'(a') O1A1
(1) a(a ) = .
1 O1X

Die Strecke a(a1) kann aus dem Aufriß entnommen werden und ist gleich
der Höhe des Aufrisses über dem Horizont.
Ist nun (Abbildung 2) der Grundriß in Fig. I, der Aufriß in Fig. II
gegeben und ist die Bildebene um gg in die Grundrißebene umgeklappt, so
läßt sich aus der Proportion (1) in folgender Weise die Höhe a'(a')
ermitteln. Man zieht durch den Riß a1 eine Parallele zu hh, welche auf
O1A1 den Punkt X liefert. Auf dieser Parallelen trägt man ferner die Höhe
ab, in der der Aufriß von a über dem Horizont liegt, macht also XY = a2ah,
wo a2ah aus Fig. II zu entnehmen. Verbindet man diesen Punkt Y mit O1,

so schneidet diese Linie aus gg den Punkt B1 aus, und es gilt nun die
Proportion:
B1A1 O1A1
(2) = .
XY O1X

Vergleicht man (1) und (2), so müssen also auch die linken Seiten einander
gleich sein, und da XY = a2ah = a(a1), so ist B1A1 = a'(a').
In B1A1 ist mithin die Höhe des Bildes von a über dem Horizont
ermittelt. Verbindet man demnach noch a1 mit O1, so liefert diese Linie auf
gg den Punkt a1'. Auf dem in a1' errichteten Lote liegt a' und wird erhalten,
wenn man vom Horizont aus B1A1 anträgt, also (a')a' = B1A1 macht.
Herr Kunstmaler Adolf Reile in Stuttgart hat in der Zeitschrift für
gewerblichen Unterricht, Jahrg. XXX, 1915 Nr. 43 einen einfachen Apparat
angegeben, der diese von ihm abgeleitete Beziehung mechanisch zu
konstruieren gestattet. Zwei Reißschienen L und R sind durch ein Gelenk
miteinander verkuppelt. Der Gelenkmittelpunkt wird stets auf der Geraden
gg geführt, indem die Reißschiene R an der oberen Kante AD des
Reißbrettes ABCD hingleitet. Die Reißschiene L geht immer durch O1
hindurch, was dadurch erreicht wird, daß eine Hülse durch eine Stecknadel
in O1 festgehalten ist, während die Schiene L durch die Hülse
hindurchgleitet.
Um die obige Konstruktion auszuführen, legt man zunächst eine
gewöhnliche Reißschiene R' durch a1, bestimmt durch Abgreifen mit dem
Zirkel Y und verschiebt sodann L so lange, bis es durch Y geht. Die
Kuppelung befindet sich nun in B1, und die Schiene R bestimmt auf dem
Horizont die gesuchte Strecke AB = A1B1. Legt man endlich L durch a1, so
gibt die Schiene R das Lot in a1', und längs derselben kann AB angetragen
werden. Da das Objekt bei der in Abb. 2 gemachten Annahme vor der
Bildebene liegt, so wird es durch die Perspektive vergrößert.
Es gibt Vorrichtungen (sog. Perspektographen), welche überhaupt
Perspektiven mechanisch herstellen; so haben G. Hauck und E. Brauer
einen allerdings komplizierten und teueren Apparat konstruiert, bei dem ein
freier Stift die Perspektive beschreibt, wenn man mit zwei anderen Stiften

den Grund- und Aufriß nachfährt. Man vgl. Zeitschrift des Vereins
deutscher Ingenieure, Bd. 35, 1891 Nr. 28, S. 782.
Wesentlich ist, daß das in 8. erörterte Verfahren, das man auch als die
»Schnittmethode« bezeichnet, uns zwar die Möglichkeit gibt, das
perspektivische Bild Punkt für Punkt zu zeichnen, daß es uns aber keinen
Einblick in die Natur dieser Bilder gewährt und uns keine Eigenschaften
solcher Bilder liefert. So gehen beispielsweise in Fig. 12 die vier Linien
b'a', c'd', g'h', f'e' hinreichend verlängert durch einen Punkt, nämlich durch
A, und es leuchtet ohne weiteres ein, daß dies für die Zeichnung mit Vorteil
verwendet werden kann. Deswegen gehen wir jetzt dazu über, denjenigen
Satz zu beweisen, der die wichtigste Eigenschaft aller perspektivischen
Bilder liefert.

§ 4. Der Satz vom Fluchtpunkt.

10. Der Fluchtpunkt einer Geraden. Wir erinnern zunächst an
folgenden, auch der Anschauung leicht zugänglichen Satz: »Irgend zwei
parallele Gerade im Raume bestimmen eine Ebene, und jede Gerade,
welche diese beiden parallelen Geraden schneidet, liegt ebenfalls ganz in
dieser Ebene.«
Dieser grundlegenden Behauptung der Geometrie kann man auch
folgende andere Fassung geben:
»Ist eine Gerade G gegeben und ein Punkt O (Fig. 14) und verbindet man
den Punkt O mit beliebigen Punkten a, b, … von G, so liegen alle diese
Verbindungslinien in einer Ebene, und dieser Ebene gehört auch die Gerade
J an, welche durch O parallel zu G gezogen werden kann.«
Es sei nun weiter die Bildtafel Π gegeben sowie das Auge O; es soll das
perspektivische Bild der Geraden G gezeichnet werden. Dieses Bild G'
erhält man, wenn man die Bilder der einzelnen Punkte a, b, c, … von G
aufsucht. Man hat also die Projektionsstrahlen Oa, Ob, Oc, … mit Π zum
Schnitt zu bringen. Alle diese Punkte a', b', c' … liegen dann aber auf der
Geraden G', in welcher die Ebene der Projektionsstrahlen Oa, Ob, Oc, …
die Tafel Π durchsetzt. In der Ebene dieser Projektionsstrahlen liegt nun
nach dem obigen Satze auch der Strahl J, der durch O parallel zu G

gezogen werden kann. Trifft er in f die Tafel, so muß also G' auch durch f
gehen.
Die Gerade G schneidet ferner die Tafel Π in einem Punkte s; er heißt die
»Spur« der Geraden, und er muß selbstverständlich auch auf G' gelegen
sein.

Fig. 14.
Der Punkt f dagegen heißt der »Fluchtpunkt« oder die »Flucht« oder
auch der »Verschwindungspunkt der Geraden G«. Diese sehr treffende
Bezeichnung erklärt sich in folgender Weise. Lassen wir einen Punkt sich

auf der Geraden G von der Spur s aus nach links immer weiter und weiter
fortbewegen, so daß er die Lagen a, b, c, … annimmt, so werden sich die
Bilder a', b', c' … dem Fluchtpunkt f mehr und mehr nähern. Ist der Punkt
auf der Geraden G schon sehr weit hinausgerückt, so wird das Bild des
Punktes ziemlich nahe an f liegen. Aber allerdings gibt es keinen
erreichbaren Punkt auf G, dessen Bild wirklich nach f fiele. Denkt man sich
die Gerade G als eine materiell hergestellte, sehr lange, dünne Stange aus
Draht oder Holz und Π wieder als Glastafel und visiert ein in O
angebrachtes Auge die Stange ein, so wird ihr Ende nahezu in f erscheinen,
die Gerade »verschwindet« in f. Das Bild G' läuft verlängert durch den
Fluchtpunkt, oder es »flieht« nach f.
Wir geben nochmals an, wie der Fluchtpunkt einer Geraden zu
konstruieren ist:
Satz 7. Der Fluchtpunkt einer Geraden wird erhalten, wenn man durch das
Auge eine Parallele zu der Geraden zieht. Der Schnittpunkt dieser
Parallelen mit der Tafel (die Spur dieses Parallelstrahles) ist der
Fluchtpunkt der Geraden.
Das Bild G' wird man zeichnen können, wenn man 2 Punkte desselben
bestimmt hat. Als solche bieten sich ganz von selbst die Spur s und die
Flucht f dar. Man kann also sagen:
Satz 8. Das Bild einer Geraden ist die Verbindungslinie ihrer Spur und
ihres Fluchtpunktes.
Um ein Beispiel zu haben, betrachten wir Fig. 12. Wählen wir die Kante
ab des Würfels. Der Fluchtpunkt dieser Geraden ergibt sich, wenn wir
durch O die Parallele zeichnen. Da die Kante auf der Tafel ZXY senkrecht
steht, so ist diese Parallele die Linie OA und A ist der Fluchtpunkt. Es geht
also in dem perspektivischen Bilde rechts oben a'b' verlängert durch A.
11. Der Satz vom Fluchtpunkt. Denken wir uns nun (Fig. 14) eine
zweite Gerade H gegeben, welche zu G parallel sein soll. Die Spur von H
sei der Punkt s'. Dann weiß man, daß die Linie J oder Of auch parallel zu
H, und dies besagt doch nichts anderes, als daß f auch der Fluchtpunkt der
Geraden H sein muß. Das perspektivische Bild H' der Geraden H läuft
folglich durch f und durch s'. Ebenso wäre für jede andere Gerade, welche
zu G parallel ist, f der Fluchtpunkt. Die Bilder G' und H' der parallelen
Geraden G und H laufen also im gemeinsamen Fluchtpunkt f zusammen.

Damit erhalten wir den die ganze Lehre von der perspektivischen
Zeichnung beherrschenden
Satz 9. Sind eine Anzahl paralleler Geraden im Raume gegeben, so sind die
perspektivischen Bilder dieser Geraden nicht parallel, sondern sie
laufen, hinreichend verlängert, durch einen Punkt, den gemeinsamen
Fluchtpunkt der parallelen Geraden.
Man beachte, daß im Gegensatze
dazu bei der orthogonalen
Projektion nach Satz 3 (S. 7)
parallele Gerade im Raume auch
stets Bilder haben, die wieder
parallel sind. Die Figur 12 liefert
uns auch sofort ein Beispiel für die
Anwendung dieses
Fluchtpunktsatzes. Betrachten wir
an dem dort dargestellten Würfel
die 4 Kanten ba, cd, gh, fe, so
erkennt man leicht, daß dieses 4
parallele Gerade sind. A ist offenbar
der gemeinsame Fluchtpunkt
derselben, und die Bilder b'a', c'd',
Fig. 15. g'h', f'e' laufen demnach verlängert
durch A.
Eine aufmerksame Betrachtung der Fig. 12 kann uns übrigens darüber
belehren, daß es doch parallele Gerade gibt, deren Bilder auch wieder
parallel sind. So sind die vier Geraden bc, ad, eh, fg offenbar im Raume
parallel, und ihre Bilder b'c', a'd', e'h', f'g' sind ebenfalls parallel. Die
gleiche Eigenschaft zeigen die vier Kanten ae, bf, cg, dh. Betrachten wir
nun, um dies klar zu übersehen, eine Gerade G, welche zur Bildebene Π
parallel ist (Fig. 15). Das Bild G' derselben ergibt sich wieder, wenn wir
nach allen möglichen Punkten von G die Projektionsstrahlen legen und
diese mit der Tafel zum Schnitt bringen. Alle diese Strahlen bilden aber eine
Ebene, und diese projizierende Ebene schneidet aus Π das Bild G' aus.
Wenn wir nun angenommen haben, daß die Gerade G zur Bildtafel Π
parallel ist, so heißt das, daß sie die Bildtafel nicht schneidet. Die Gerade G

kann also auch G' nicht schneiden oder mit anderen Worten: es ist G
parallel G'.
Ist nun H eine zweite zu G parallele Gerade, so folgt ganz in der gleichen
Weise, daß auch H parallel zu H' ist, und daraus folgert man sofort, daß
auch G' parallel H' ist. Diese beiden parallelen Geraden G und H haben also
parallele Bilder G' und H'. Allgemein kann man diesen besonderen Fall des
Fluchtpunktsatzes aussprechen als
Satz 10. »Parallele Geraden, welche überdies zur Bildebene parallel
laufen, haben auch parallele, perspektivische Bilder; die Bilder
solcher Geraden sind zu den Geraden selbst parallel.«
12. Das
Fluchtpunktgesetz in
der Erscheinungswelt.
Der Begriff der
Zentralprojektion war
abgeleitet aus dem
Vorgang des Sehens,
den wir jetzt etwas
genauer untersuchen
müssen. Das
menschliche Auge Fig. 16.
entwirft von
beleuchteten Gegenständen, die sich vor ihm befinden, auf der im
Hintergrunde des Auges befindlichen Netzhaut kleine Bildchen, die dadurch
entstehen, daß man die Punkte des Gegenstandes aus einem bestimmten, im
Auge gelegenen Punkte o auf die Netzhaut projiziert. In Fig. 16 ist das
allerdings in ganz unrichtigen Größenverhältnissen wiedergegeben. Als
Objekte sind die beiden parallelen Pfeile ab und cd gewählt. o ist das
Zentrum, und die von o nach den Punkten a, b, c, d gehenden Strahlen
schneiden die Netzhaut in den Punkten a', b', c', d'. So entstehen die
Bildchen a'b' und c'd'. In zweierlei Hinsicht unterscheidet sich freilich die
hier zur Verwertung kommende Perspektive von der von uns betrachteten.
Erstens tritt an Stelle der ebenen Bildtafel die kugelförmig gewölbte
Netzhaut, und zweitens befinden sich Gegenstand und auffangende Fläche
auf verschiedenen Seiten des Zentrums o. Das letztere äußert sich dadurch,
daß die Bildchen auf der Netzhaut verkehrt sich ausbilden. So sind z. B. die

Pfeilspitzen a', c' unten gelegen. Mit dem Augenspiegel kann man das
direkt beobachten. Denkt man sich weiter durch o die Parallele zu ab
gezogen, so schneidet diese die Netzhaut in einem Punkte f, den wir als den
Fluchtpunkt aller zu ab parallelen Linien bezeichnen müssen. Je länger der
Pfeil ab ist, desto mehr strebt das Bildchen a'b' dem Punkte f zu. Die
beiden Bilder a'b' und c'd' laufen verlängert durch f, und diese Tatsache
drückt sich auch in unserem Wahrnehmungsbild aus, indem sich die beiden
Pfeile zu nähern scheinen. In der Tat kann man das auf Schritt und Tritt
beobachten. Wenn eine Straße auf eine lange Strecke geradlinig verläuft, so
scheinen die Häuser am Ende derselben zusammenzurücken, ebenso die
Trambahnschienen und die Gesimslinien ihrer Gebäude. Eine geradlinige
Allee schließt sich scheinbar in der Ferne, in gleicher Weise ein sehr langer
Korridor. Am großartigsten zeigt sich die Erscheinung, wenn die
Sonnenstrahlen durch eine Wolkenlücke brechen. Sie werden dann in ihrem
geradlinigen Verlauf sichtbar, indem sie die Wolken oder andere Teile der
Landschaft beleuchten. Die Strahlen, die durch die Lücke hindurchgehen,
sind nun parallel, da wir Strahlen, die von einem Punkte der Sonne
ausgehen, als parallel betrachten müssen. Für unser Auge aber scheinen
diese Strahlen von einem Punkte auszugehen, eben dem Fluchtpunkte
derselben. So bringt uns unser Auge den Satz vom Fluchtpunkte fast in
jedem Moment zum Bewußtsein und wir können nicht über die Straße
gehen, ohne ihn zu erleben. Das ganze Weltbild, das wir beständig vor
Augen haben, wird durch dieses Gesetz wesentlich beeinflußt.

§ 5. Andere Bestimmung eines perspektivischen Bildes.

Fig. 17.
13. Die festen Elemente. Wir wollen nun einen anderen Weg
einschlagen, um perspektivische Bilder von Körpern zu zeichnen, indem
wir den Satz vom Fluchtpunkt jetzt so viel als möglich heranziehen. Es ist
dann zunächst nötig, eine Anzahl fester Elemente einzuführen, auf die wir
die Darstellung beziehen. Die Bildebene oder Tafel denken wir uns wieder
als eine lotrechte Ebene. Die darzustellenden Gegenstände werden sich nun
in den meisten Fällen auf einer horizontalen Bodenfläche befinden; wir
führen dementsprechend eine zur Tafel senkrechte, wagrechte Ebene ein,
die wir kurz die »Grundebene« nennen. Die Figuren 17 und 18 geben
wieder eine Ansicht aller zu benutzenden Gebilde. Die Grundebene Π1 wird
die Tafel Π in einer Geraden gg schneiden, welche »Grundlinie« heißen
soll. Von dem im Raume gegebenen Auge O fällen wir eine Senkrechte auf
die Tafel, deren Fußpunkt der schon erwähnte »Haupt«- oder »Aug«-Punkt
A ist. Da die Linie OA demnach parallel zur Grundebene verläuft, so kann
man durch OA eine Ebene legen, welche parallel zur Grundebene ist. Diese
Parallelebene schneidet aus der Tafel eine Linie hh aus, welche parallel zur

Grundlinie gg sein muß und bereits als der »Horizont« bezeichnet wurde.
Die Parallelebene selbst hieß die »Horizontebene«. Der Abstand des
Horizonts von der Grundlinie oder, was das gleiche ist, der Abstand der
Horizontebene von der Grundebene wird die »Augenhöhe« genannt.
Endlich tragen wir noch die Distanz OA vom Augpunkt aus nach beiden
Seiten auf dem Horizont ab, wodurch wir die Punkte D1 und D2 erhalten.
Diese heißen die »Distanzpunkte«. Da also AD1 = AO = AD2, so sind die
Dreiecke D1OA und D2OA beide gleichschenklig rechtwinklig, und es ist ∢
AD1O = ∢ AD2O = 45°.
In der Zeichenebene geben wir uns also (Fig. 19) zwei parallele Linien
hh und gg und auf der oberen den Punkt A sowie im gleichen Abstande
rechts und links die Punkte D1 und D2. Die Lage des Auges im Raume ist
damit festgelegt: es liegt auf der Senkrechten, die wir uns im Punkte A zur
Zeichenebene errichtet denken, und zwar in einem Abstande von A, der
gleich AD1 oder AD2 ist.
Durch die Annahme dieser Elemente ist nun bereits eine ganze Anzahl
von Richtungen bestimmt. Eine auf der Zeichenebene senkrechte Gerade T
liefert uns die Ausdehnung des Gegenstandes nach der »Tiefe« zu, wie wir
ja auch von der Tiefe eines Kastens oder einer Bühne sprechen und darunter
die Abmessung verstehen, die lotrecht zur Vorderfläche erfolgt. Wir nennen
aus diesem Grunde jede auf der Bildebene senkrechte Gerade T eine
»Tiefenlinie« (Fig. 18 oben). Die durch das Auge O zu einer solchen
Tiefenlinie gelegte Parallele wird dann aber immer der Strahl OA, und
folglich ist nach Satz 7 A ihr Fluchtpunkt. Damit haben wir aber bewiesen:
Satz 11. »Der Augpunkt A ist der Fluchtpunkt für alle Tiefenlinien, d. h. die
Bilder aller Tiefenlinien gehen verlängert durch den Augpunkt.«
Der Augpunkt beherrscht deswegen die ganze Darstellung und legt die
im Bilde fehlende dritte Dimension fest.
Um die Bedeutung des Horizontes zu erkennen, erinnern wir zunächst an
folgenden Satz aus der Stereometrie: »Ist eine Ebene Π1 gegeben und
außerhalb derselben ein Punkt O, so gibt es durch O nur eine Ebene, welche
zu Π1 parallel ist.«
Diese Behauptung kann man auch durch folgende andere ersetzen: »Zieht
man in der Ebene Π1 irgendwelche Gerade und zeichnet durch O die

Parallelen zu derselben, so liegen alle diese Parallelen in einer Ebene, eben
in der Parallelebene durch O zu Π1.« Ist also G irgendeine Gerade der
Grundebene (Fig. 17) und ziehen wir zu ihr durch O die Parallele, so liegt
diese in der Horizontebene, der Schnittpunkt f der Parallelen mit der Tafel
muß demnach auf hh gelegen sein; er ist aber der Fluchtpunkt der Geraden
G; mit anderen Worten:
Satz 12. Alle in der Grundebene gelegenen Geraden haben ihre
Fluchtpunkte auf dem Horizonte.
A ist im besonderen der Fluchtpunkt aller zur Grundlinie gg senkrechten
Geraden der Grundebene, was wir ja schon wissen. Zeichnen wir ferner in
der Grundebene ein Quadrat abcd (Fig. 18), das mit einer Seite ab in der
Grundlinie liegt. Dann schließen die Linien ac und bd, die sog. Diagonalen
des Quadrates, mit der Grundlinie Winkel von 45° ein. Man vgl. auch Fig.
19, in welcher unten das Quadrat (a)(b)(c)(d) in seiner wahren Gestalt zu
sehen ist. Es ist aber klar, daß die Linie OD1 parallel zu bd und OD2
parallel zu ac; D1 und D2 sind die Fluchtpunkte der Diagonalen des
Quadrates und aller zu diesen beiden Geraden parallelen Geraden der
Grundebene d. h.
Satz 13. »Alle Linien der Grundebene, welche mit der Grundlinie den
Winkel von 45° nach der einen oder anderen Seite einschließen, haben
die Distanzpunkte bzw. zu Fluchtpunkten.«

Fig. 18.
Endlich wollen wir noch eine andere Eigenschaft des Horizontes kennen
lernen. Ist d ein Punkt in der Grundebene, d' sein Bild, also der
Schnittpunkt des Sehstrahles Od mit Π (Fig. 18), so wollen wir uns
vorstellen, daß der Punkt d weiter und weiter nach links in der Grundebene
hinausrückt. Dann wird das Bild d' offenbar immer höher in der Bildtafel
hinaufrücken, da sich der Strahl Od mehr und mehr aufrichtet. Ist d sehr
weit entfernt in der Grundebene angenommen, so wird das Bild d' dem
Horizont hh schon sehr nahe liegen. Wir gewinnen daraus folgende
Deutung für den Horizont:
Satz 14. »Punkte, die sehr weit entfernt in der Grundebene liegen, haben
Bilder, die nahezu in den Horizont fallen.«
Ein schönes Beispiel dafür liefert die Darstellung des offenen Meeres.
Denn seine Oberfläche müssen wir uns als eine weit ausgedehnte Ebene
denken. Ist also in einem Gemälde das freie Meer überhaupt oder eine weit
ausgedehnte Wasserfläche dargestellt, so gibt die Grenzlinie gegen den

Himmel praktisch hinreichend genau den Horizont des Bildes (vgl. Fig. 50).
Unsere Überlegung gibt auch die Erklärung dafür, warum sich die
Meeresfläche scheinbar so hoch erhebt, daß sie wie eine Mauer sich
aufzutürmen scheint. In der Tat muß das Bild jeder sehr weit ausgedehnten
horizontalen Ebene bis fast in Augenhöhe reichen.

§ 6. Darstellung eines möglichst einfach gelegenen Quadrates
der Grundebene. Anwendungen dieser Konstruktion.
Tiefenmaßstab.

14. Die Umlegung und Verschiebung der Grundebene. Unter
Benutzung der so definierten festen Elemente wollen wir jetzt Körper
darstellen. Wir beginnen aber mit dem Einfachsten, indem wir zunächst von
Figuren, die in der Grundebene gelegen sind, die Bilder zeichnen. Es ist
dann aber notwendig, daß wir uns diese Figuren auch selbst geben, sowohl
ihrer wahren Gestalt nach als in ihrer Lage in der Grundebene. Zu diesem
Zwecke müssen wir die Grundebene in unsere Zeichenebene irgendwie
hereinbringen. Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, ist folgende: wir drehen
die Grundebene um die Grundlinie nach aufwärts im Sinne der beiden
Pfeile (Fig. 17, 18) so lange, bis sie mit der Tafel sich deckt. Dann liegt die
Grundebene allerdings in unserem Zeichenblatt, aber wir haben die
Unannehmlichkeit, daß die Figuren der Grundebene sich dort befinden, wo
das Bild entworfen werden soll. Deswegen schieben wir die (gedrehte)
Grundebene in der Tafel parallel zu sich selbst noch um ein beliebiges
Stück herunter, bis die Grundlinie die neue Lage (g)(g) annimmt (Fig. 19);
irgendein Punkt a der Grundlinie beschreibt dabei die lotrechte Linie a(a),
wenn wir mit (a) die Lage des Punktes a nach Ausführung der
Verschiebung bezeichnen. Die Entfernung a(a) zwischen gg und (g)(g) ist
ganz willkürlich und richtet sich nach der Größe der in der Grundebene
gegebenen Figur.

Fig. 19.
Nach diesen Vorbereitungen behandeln wir folgende
Aufgabe 2. In der Grundebene ist ein Quadrat gegeben, von dem eine Seite
ab in der Grundlinie liegt. Das Bild des Quadrates zu zeichnen.
Die Lage des gegebenen Quadrates abcd veranschaulicht Fig. 18. In der
wirklichen Ausführung (Fig. 19) geben wir uns den Horizont hh mit dem
Augenpunkt A und den beiden Distanzpunkten, D1 und D2, dazu parallel die
Grundlinie gg mit den beiden Ecken a und b des Quadrates.
Um auf Grund dieser Stücke das Bild des Quadrates zu zeichnen, ziehen
wir in beliebigem Abstand die Parallele (g)(g) und bestimmen vermittels
der Vertikalen durch a und b die Lage (a)(b)(c)(d) des Quadrates nach der
Verschiebung. Nun sind die Quadratseiten ad und bd Tiefenlinien, ihre
Bilder müssen also nach Satz 11 durch A gehen; die Punkte a und b sind
aber die Spuren dieser Geraden. Folglich erhalten wir in aA und bA die
Bilder der beiden Geraden, auf denen die Quadratseiten ad und bc liegen,
und die Bilder d' und c' müssen bzw. auf aA und bA gelegen sein. Denken
wir uns aber noch die Diagonale db konstruiert, welche in unserer
Verschiebung als (d)(b) zu zeichnen ist, so ist das eine Linie, welche einen
Winkel von 45° mit der Grundlinie bildet. Nach Satz 13 ist also D1 der

Fluchtpunkt dieser Geraden, b aber ist ihre Spur; mithin wird das Bild der
Geraden db die Verbindungslinie bD1. Das Bild d' muß demnach sowohl
auf aA als auch auf bD1 liegen, kann also nur der Schnittpunkt d' dieser
beiden Linien sein. Ebenso finden wir das Bild c' der Ecke c als
Schnittpunkt von aD2 und bA. Das folgt sofort aus der Betrachtung der
anderen Diagonale ac. Eine Kontrolle für die Zeichnung ergibt sich daraus,
daß c'd' von selbst parallel gg sein muß. Denn die Quadratseite cd ist ja
parallel zur Tafel, also nach Satz 10 cd ∥ c'd'. 3 Da aber cd ∥ ab, so ist auch
c'd' ∥ ab. Man erkennt ferner, daß es für die Konstruktion des Bildes abc'd'
gar nicht nötig gewesen wäre, die Verschiebung (a)(b)(c)(d) zu zeichnen.
Im übrigen sei nochmals an die Bemerkung auf S. 14 unten erinnert.
3 ∥ ist das Zeichen für parallel.

Aufgabe 3. Einen in der Grundebene gelegenen quadratisch getäfelten
Fußboden zu zeichnen.
Die Quadrate, welche den Fußboden liefern, sind in Fig. 19 in der
Verschiebung gezeichnet. An das Quadrat (a)(b)(c)(d) schließt sich die
erste Reihe, welche an die Grundlinie angrenzt, daran schließt sich eine
zweite Reihe von Quadraten usf. Die Konstruktion Fig. 19 ergibt sich fast
von selbst. Die Tiefenlinien, wie z. B. (e)(f), fliehen im Bilde alle nach A.
Ferner erkennt man leicht, daß in dem System der Quadrate alle Diagonalen
der einen und anderen Richtung sich zu zwei Scharen paralleler Geraden
zusammensetzen. Das gilt also auch für das Bild, nur mit dem Unterschied,
daß die Bilder aller dieser parallelen Geraden bzw. nach D1 und D2 laufen.
In der Fig. 19 sind der Tiefe nach 5 Reihen von Quadraten gezeichnet,
während in der Verschiebung nur 3 Reihen angegeben wurden. Da alle
Diagonalen der Quadratbilder nach D1 oder D2 gehen, und außerdem je
zwei Seiten eines Quadrats parallel zur Grundlinie laufen, so bietet die
Figur zahllose Kontrollen.
15. Anwendungen dieser Aufgabe. Man würde aber irren, wollte man
diese Figur bloß für eine mathematische Spielerei halten: wir können
vielmehr von derselben eine ganze Anzahl praktischer Anwendungen
machen. Zunächst ist es möglich, daß bei der bildlichen Wiedergabe eines
Interieurs, z. B. eines Zimmers, an und für sich ein solcher Parkettboden zu
zeichnen ist. Derselbe bietet dann aber auch weiter die Möglichkeit,

Figuren, Einrichtungsgegenstände usf. einigermaßen richtig im Raume zu
verteilen, indem man diesen Objekten eine durch die Schätzung der
Quadrate zu beurteilende Bodenfläche zuweist. Jedenfalls kann man sich
vor ganz groben Irrtümern dadurch schützen. Als Beispiel geben wir in
Abbildung 3 das Abendmahl des Altniederländers Dirk Bouts (1410(?)–
1472) wieder, das sich in der Peterskirche in Löwen befand und von den
Deutschen im Kriege von 1914 gerettet wurde. Auf gewisse Unrichtigkeiten
der Konstruktion gehen wir hier nicht ein. Der primitiven Kunst lag eine
solche Rücksicht auf richtige Verteilung der Objekte im Raume überhaupt
gänzlich fern. Sie zeichnet die Köpfe einer Anzahl von Menschen einfach
neben- und übereinander, ohne sich zu fragen, ob die zugehörigen Körper
auch wirklich den ihnen entsprechenden Platz im Raume haben.

Abb. 3.
Unter Umständen kann es auch bequem sein, ein solches Quadratnetz in
die Figur einzuzeichnen, wenn z. B. ein ziemlich unregelmäßig gestalteter
Grundriß, ein ganzer Stadtplan oder eine Gartenanlage, in Perspektive
gesetzt werden soll (Fig. 20). Wir legen über die Figur ein derartiges Netz
und zeichnen dessen Bild. Nachdem dies geschehen, übertragen wir nach
dem Augenmaß Quadrat für Quadrat die Linien in das Bild. Es wird die

Genauigkeit erhöhen, wenn wir einzelne charakteristische Punkte genau
zeichnen, wobei die folgende Aufgabe zu benutzen ist.

Fig. 20.
Aufgabe 4. Ein Punkt p in der Grundebene ist gegeben; sein Bild zu
zeichnen.
Diese rein mathematische Aufgabe führen wir auf die Aufgabe 1 zurück,
indem wir uns ein Quadrat gezeichnet denken, von dem eine Ecke in p
liegt, während eine Seite auf die Grundlinie fällt. Man kann sich in Fig. 18
und 19 etwa die Ecke d als den gegebenen Punkt denken. Wir wollen jetzt
die Zeichnung durchführen, ohne das ganze Quadrat zu zeichnen.
Der Punkt p ist in Fig. 21 a in der Verschiebung (p) gegeben, Wir
zeichnen durch (p) die lotrechte Tiefenlinie (T), welche die durch p
gehende Tiefenlinie gibt; ihre Spur ist t, ihr Fluchtpunkt A, so daß also ihr
Bild T' diese beiden Punkte verbindet; auf T' muß jedenfalls das gesuchte
Bild p' gelegen sein.

Um einen zweiten Ort für p' zu
erhalten, ziehen wir durch (p) eine
Linie (D) nach rechts, welche unter
45° gegen die Grundlinie (g)(g)
geneigt ist (Quadratdiagonale).
Diese Linie (D) schneidet (g)(g) in
(s), und senkrecht über diesem
Punkt erhalten wir in s die Spur der
Hilfslinie D. Da ferner D1 ihr
Fig. 21 a.
Fluchtpunkt ist, so wird D' den
Punkt s mit D1 verbinden. Das
gesuchte Bild p' muß also auch auf D' liegen, kann folglich nur der
Schnittpunkt von T' und D' sein.
Wir hätten durch (p) noch eine
zweite Linie nach links ziehen
können, welche auch einen Winkel
von 45° mit (g)(g) einschließt.
Dann hätten wir einfach den auf der
rechten Seite von A gelegenen
Distanzpunkt D2 als Fluchtpunkt für
Fig. 21 b. diese Linie benutzen müssen und
wären zu dem gleichen Punkte p'
gelangt. Die Konstruktion ist ebenfalls in Figur 21 a eingetragen.
Wir können aber noch eine Vereinfachung in dieser Zeichnung
anbringen. Da
(p)(t) = (s)(t) = st,
so ergibt sich folgende einfache Konstruktion (Fig. 21 b): Man trägt von der
Spur t aus den Abstand des Punktes der Grundlinie etwa nach rechts als ts
auf der Grundlinie an und verbindet den Punkt s mit dem linken
Distanzpunkt. Dann schneidet diese Verbindungslinie auf der Hauptlinie T'
den gesuchten Punkt p' aus.
Trägt man den Abstand nach links auf der Grundlinie auf, so ist der
rechte Distanzpunkt zu benutzen. Die vorliegende Aufgabe läßt sich dann
auch in folgender Weise formulieren:

Es soll auf einer im Bilde gegebenen Tiefenlinie ein Punkt bestimmt
werden, der von der Grundlinie einen durch eine Strecke oder durch eine
Zahl gegebenen Abstand hat.
Aufgabe 5. Auf einer gegebenen Tiefenlinie einen Maßstab zu zeichnen,
dessen Einheit gegeben ist.
Denken wir uns in der Grundebene eine Tiefenlinie gegeben und auf
derselben die gleiche Strecke beliebig oft angetragen, wobei wir in der Spur
der Geraden beginnen. Diese gleich großen Strecken werden sich
selbstverständlich verschieden groß abbilden, eben um so kleiner, je weiter
sie sich vom Auge entfernen. Die in Fig. 21 b durchgeführte Konstruktion
gibt sofort die Lösung. Wir tragen (Fig. 22) die geg. Teilung von der Spur t
der geg. Tiefenlinie T aus nach rechts auf der Grundlinie ab, so daß also 0.1
= 1.2 = 2.3 = 3.4 je = der geg. Maßeinheit. Verbinden wir diese Punkte dann
mit dem linken Distanzpunkt D1, so schneiden diese Linien auf T' die
gesuchten Bilder 1', 2', 3' usf. aus. Wir haben damit die Konstruktion eines
sog. Tiefenmaßstabes gewonnen.
Das Verfahren bleibt
ganz das nämliche,
wenn nicht lauter
gleiche Strecken auf
der Tiefenlinie
angetragen werden
sollen, sondern
verschiedene Strecken.
Fig. 22. Man trägt die Strecken
in ihrer Reihenfolge
auf der Grundlinie an; dann liefern sie, aus D1 projiziert, die richtigen
Bilder.

§ 7. Darstellung beliebiger, geradliniger Figuren der
Grundebene.

16. Bild einer beliebigen Geraden. Um nun eine irgendwie aus Geraden
zusammengesetzte Figur der Grundebene abbilden zu können, müssen wir

uns zuerst damit beschäftigen, wie man das Bild einer beliebigen Geraden
zeichnen kann. Das führt uns unmittelbar zur
Aufgabe 6. Eine beliebige Gerade A der Grundebene ist gegeben; ihr Bild
zu zeichnen.

Fig. 23.
Die Flucht der Geraden ergibt sich nach Satz 7, indem wir durch das
Auge einen Parallelstrahl zur Geraden zeichnen und diesen mit der Tafel
zum Schnitt bringen. Ist fa dieser Schnittpunkt, so ist (Fig. 23) Ofa ∥ A und
fa liegt natürlich auf dem Horizont hh. Wir ziehen noch durch das Auge O
eine Parallele ii zum Horizont. Die Gerade A wird mit der Grundlinie gg
einen gewissen Winkel α einschließen. Leicht erkennt man dann, daß der
Parallelstrahl Ofa mit der Linie ii den gleichen Winkel α bildet. Um diese
Eigenschaft für wirkliche Konstruktion auszunutzen, klappen wir die
Horizontebene durch O nach unten in die Bildebene Π. Wir drehen also

diese Ebene um die Horizontlinie so lange nach abwärts, bis sie mit der
Bildtafel zusammenfällt. Der Pfeil in der Figur 23 deutet diese Drehung an.
Die Linie OA bleibt bei dieser Drehung immer senkrecht zum Horizont; sie
hat also auch am Schlusse der Drehung noch diese Eigenschaft. Zeichnen
wir demnach in der Bildebene Π eine lotrechte Linie durch A, so gibt diese
die Lage, welche der Strahl OA nach Ausführung der Drehung annimmt.
Der Punkt O endlich geht nach Beendigung der Drehung in einen Punkt D3
über, der auf dieser lotrechten Linie durch A so liegt, daß die Strecke AD3 =
OA = der Distanz. Die Parallele ii geht über in die Linie ll, welche durch D3
parallel zum Horizont gezogen werden kann. Die Linie D3fa bildet mit der
Linie ll wieder den Winkel α. Das Weitere verfolgen wir an Fig. 24, welche
die wirkliche Ausführung gibt. Die Gerade A ist in der Verschiebung durch
(A) gegeben. Im Augpunkte A errichten wir die Senkrechte zum Horizont
und schneiden auf ihr die Distanz ab, wodurch wir D3 erhalten. Es ist also
AD1 = AD2 = AD3.
Durch D3 ziehen wir die Parallele ll zum Horizont. Tragen wir an diese
Parallele den Winkel α an, so schneidet dessen 2. Schenkel den Fluchtpunkt
fa auf dem Horizont aus. Einfacher ist es aber, die Eigenschaft der Figur zu
benutzen, daß offenbar
D3fa ∥ (A)
ist. Denn dann haben wir nur nötig, durch D3 eine Parallele zu (A) zu
zeichnen, diese schneidet auf dem Horizont den Fluchtpunkt fa von A aus.
Die Verbindungslinie der Spur a mit fa gibt das Bild A' der Geraden A.

Fig. 24.
Nennen wir D3 die Umlegung des Auges nach unten oder das nach unten
»umgelegte« Auge, so ergibt sich folgende einfache Regel:
Ist eine Gerade in der Verschiebung gegeben, so bestimmt die durch das
umgelegte Auge D3 zu ihr gezogene Parallele auf den Horizont den
Fluchtpunkt der Geraden.

Fig. 25.
Die Figur 24 liefert uns brauchbare Eigenschaften aber auch für den Fall,
daß die Gerade nicht in der Verschiebung, sondern auf andere Weise
bestimmt ist. Es handle sich etwa um folgende
Aufgabe 7. Ein Punkt p der Grundebene ist durch sein Bild p' gegeben;
durch p soll in der Grundebene eine Gerade gezogen werden, welche

unter einem Winkel von 60° gegen die Grundlinie geneigt ist. Das Bild
dieser Geraden zu zeichnen.
Tragen wir (Fig. 25) an die Horizontale durch D3 einen Winkel von 60°
an, so schneidet dessen zweiter Schenkel auf dem Horizont den Fluchtpunkt
f der gesuchten Geraden aus. Verbinden wir den gegebenen Punkt p' mit f,
so ist diese Linie das verlangte Bild.
Selbstverständlich gibt es zwei solche Gerade, da man den Winkel auch
von der linken Seite der Parallelen ll aus antragen kann. Zu jedem Punkte
des Horizontes gehört demgemäß eine gewisse Richtung von Geraden;
speziell entsprechen den Distanzpunkten, wie wir ja schon wissen, die
Geraden, welche unter 45° gegen die Grundlinie geneigt wird. In der Figur
sind auf der linken Seite noch bei einigen weiteren Punkten des Horizontes
die Winkel hinzugeschrieben, zu denen sie gehören.
17. Winkel zweier Geraden. Sind zwei Gerade A und B der Grundebene
gegeben, so zeichnen wir ihre Fluchtpunkte fa und fb, so daß also (Fig. 26)
Ofa ∥ A und Ofb ∥ B.
Bezeichnen wir den Winkel, den A und B einschließen, mit γ, so erkennt
man sofort, daß auch ∢ faOfb = γ ist.
Klappen wir wiederum die durch das Auge O gehende Horizontebene
nach unten in die Bildebene Π herunter, wobei der Punkt O nach D3 kommt,
so tritt der Winkel γ auch hier auf, indem
∢ faD3fb = γ
oder in Worten ausgedrückt:
Satz 15. Irgend zwei Gerade der Grundebene schließen den gleichen
Winkel ein wie die Sehstrahlen, die vom Auge nach ihren
Fluchtpunkten gehen, und auch wie die Strahlen, welche von der
»Umlegung« des Auges nach ihren Fluchtpunkten laufen.

Fig. 26.
Dieser Satz gehört zu den allerwichtigsten in der Perspektive wegen der
vielen Anwendungen, die von ihm gemacht werden. Wir veranschaulichen
ihn noch durch die Fig. 27, welche die wirkliche Konstruktion gibt. Hier
sind die beiden Geraden A und B in der Verschiebung (A) und (B) gegeben.
Im Hauptpunkte A ist eine Senkrechte zum Horizont angetragen und auf ihr
die Umlegung D3 des Auges ermittelt, in dem
AD3 = AD1 = AD2

gemacht werde. Dann folgt aus der unmittelbar vorhergehenden
Betrachtung, daß
D3fa ∥ (A)
und
D3fb ∥ (B).
Daraus ergibt sich wiederum, daß ∢ faD3fb = γ.
Die Praktiker drücken dies so aus:
»Am Punkte D3 kann jeder Winkel in seiner wahren Größe angetragen
werden.«
In der Figur wurden noch die Spuren a und b der beiden Geraden
konstruiert, so daß dann A' und B' sich je als die Verbindungslinie von
Flucht und Spur ergeben. Der Schnittpunkt von A' und B' ist das Bild des
Scheitels p. Man beachte, daß der schraffierte Teil zwischen (A) und (B)
sich in den schraffierten Teil zwischen A' und B' abbildet. Eine zweite
Anwendung gibt
Aufgabe 8. Ein in der Grundebene liegendes Rechteck ist in der
Verschiebung (p)(q)(r)(s) gegeben; dessen Bild zu zeichnen.
Das Rechteck enthält zwei Paare paralleler Seiten (A) und (A1), sowie
(B) und (B1) (Fig. 28). Wir zeichnen zunächst die Fluchtpunkte dieser
beiden Richtungen Zu diesem Zwecke ziehen wir durch die Umlegung D3
des Auges die Parallelen zu (A) und (B); diese schneiden die Fluchtpunkte
fa und fb auf dem Horizonte aus. Es ist also
D3fa ∥ (A) ∥ (A1)
und
D3fb ∥ (B) ∥ (B1).
Jetzt zeichnen wir die Bilder q' und s' der beiden Ecken q und s nach
Aufgabe 4, indem wir je eine Tiefenlinie und eine unter 45° geneigte Linie
benutzen. q' liefert mit fa und fb verbunden die Bilder A' und B', s' mit fa
und fb verbunden A1' und B1'. Die letzten Ecken r' und p' ergeben sich als
die Schnittpunkte von A1' mit B' und A' mit B1'.

Fig. 27.
Das Bild p'q'r's' hat die charakteristische Eigenschaft, daß sich die
gegenüberliegenden Seiten A' und A1' sowie B' und B1' verlängert je in fa
und fb auf dem Horizont schneiden. Kontrollen bieten sich zahlreiche, wenn
man die Tiefenlinien durch r und p zieht oder die Spuren der
Rechtecksseiten benutzt, wie das in der Figur für die Seite rq angegeben ist.

Fig. 28.

18. Umlegung der Horizontebene nach oben. Unter Umständen kann
es bequem sein, die Horizontebene statt nach unten nach oben in die
Bildtafel Π hereinzuklappen (Fig. 26). Dann fällt der Punkt O auf die
Verlängerung der Linie AD3 über A hinaus nach einem Punkte D4, wenn
wieder AD4 = der Distanz gemacht wird. In Fig. 27 ist auch diese
Umlegung oben gezeichnet. Natürlich gibt der Winkel faD4fb auch jetzt
wieder den Winkel der beiden gegebenen Geraden A und B, so daß
∢ faD4fb = γ,
und auch an dem Punkte D4 dürfen alle Winkel in wahrer Größe angetragen
werden.

Fig. 29.
Ein Unterschied ist aber insofern vorhanden, als jetzt nicht mehr (A) ∥
D4fa und nicht mehr (B) ∥ D4fb. Diese Eigenschaft der parallelen Lage ist
nur erfüllt bei der Drehung nach unten. Das hängt damit zusammen, daß wir
auch die Grundebene im gleichen Sinne gedreht haben.
Wenn aber z. B. die Verschiebung überhaupt nicht gezeichnet ist, so kann
man sehr wohl die Horizontebene auch nach oben drehen, zumal wenn man

oben in der Zeichnung mehr Raum zur Verfügung hat. Die folgende
Aufgabe gibt davon eine Anwendung.
Aufgabe 9. Gegeben sind eine Gerade A der Grundebene und ein Punkt p
auf ihr durch ihre Bilder A' und p'. Man zeichne das Bild einer
Geraden B der Grundebene, welche in p auf A senkrecht steht.
Bringen wir das gegebene Bild A' mit dem Horizont zum Schnitt (Fig.
29), so ist der Schnittpunkt fa der Fluchtpunkt der Geraden A. Im Augpunkt
A errichten wir eine Senkrechte zum Horizont hh und machen diese = der
Distanz, so daß also
AD4 = AD1 = AD2.
D4 ist die Umlegung des Auges nach oben. Verbinden wir D4 mit fa und
errichten in D4 zu faD4 ein Lot, so schneidet dieses aus dem Horizont einen
Punkt fb aus, der der Fluchtpunkt aller auf der Geraden A senkrechten
Geraden ist. Die gesuchte Senkrechte soll aber durch p gehen, ihr Bild B' ist
demnach die Verbindungslinie von p' mit fb. fap'fb ist also das Bild eines
horizontalen rechten Winkels.
19. Getrennte Lage des Grundrisses. Wir haben bisher immer
angenommen, daß die Grundebene mitsamt den abzubildenden Figuren in
der Verschiebung gegeben sei. Natürlich kann sie auch, getrennt von der
Bildtafel, gegeben und die Lage der Bildebene durch ihre Spur, d. h. durch
die Grundlinie, bestimmt sein. Beispielsweise sei in Fig. 30 a ein Rechteck
1 2 3 4 gezeichnet, außerdem sind die Risse A1 und O1 von A und O
bekannt. In der zweiten Figur 30 b ist der Horizont hh mit A sowie die
Grundlinie gg gegeben. Verlangt wird das Bild des Rechteckes zu zeichnen.
Die für die Lösung in Betracht kommende geometrische Eigenschaft
liefert ein Blick auf Fig. 26. Der durch das Auge O zur Geraden A der
Grundebene gezogene Parallelstrahl, welcher den Fluchtpunkt fa auf dem
Horizont ausschneidet, hat in der Grundebene einen Riß, der durch O1
gehen muß, sowie durch die Projektion fa1 des Fluchtpunktes fa, und weiter
muß dieser Riß parallel zu A sein, also O1fa1 ∥ A.
Zieht man demnach umgekehrt durch O1 Parallele zu den Seiten des
Rechteckes, so schneiden diese auf der Grundlinie gg die Projektionen fa1

und f b1 der
Fluchtpunkte fa und fb
aus. Da nun die
Grundlinie mit ihren
Punkten in den beiden
Figuren vorkommt, so
haben wir nur die
Strecken A1fa1 und
A1fb1 auch in Fig. 30 b
anzutragen. Dann
liefern die in fa1 und fb1
errichteten Lote zu gg
auf dem Horizont die
Fluchtpunkte fa und fb.
Fig. 30 a.
Überträgt man noch
weiter die Spuren der
Rechtecksseiten in die Fig. 30 b, so ist das Bild 1'2'3'4' des Rechtecks leicht
fertig zu stellen.
20. Horizontale
Gerade. Die bisherigen
Ausführungen genügen
vollständig, um jede in
der Grundebene
gegebene Figur in
Perspektive zu setzen.
Bevor wir aber dazu
übergehen, Körper
abzubilden, wollen wir
vorher noch eine sehr Fig. 30 b.
wesentliche
Verallgemeinerung der oben durchgeführten Betrachtungen besprechen.
Ziehen wir zu irgendeiner Geraden der Grundebene im Raume eine
Parallele, so nennen wir diese neue Gerade eine horizontale Gerade. In
genauer Fassung werden wir sagen:

»Jede Gerade, welche zur Grundebene parallel läuft, soll eine horizontale
Gerade heißen.« Wollen wir nun den Fluchtpunkt einer horizontalen
Geraden bestimmen, so haben wir durch das Auge eine Parallele zu der
Geraden zu zeichnen. Diese Parallele ist dann aber auch parallel zur
Grundebene, liegt mithin in der Horizontebene, und der Fluchtpunkt muß
dem Horizont hh angehören.
Was die Lage einer
horizontalen Geraden im
Raume betrifft, so kann sie
entweder oberhalb oder
unterhalb der Horizontebene
liegen oder in der
Horizontebene. Der letztere
Fall ist sofort erledigt. Denn
jede Gerade der
Horizontebene bildet sich in
den Horizont ab.
Fig. 31. Liegt eine horizontale
Gerade oberhalb der
Horizontebene, wie z. B. die Gerade A in Fig. 31, so muß ihre Spur a
oberhalb des Horizonts hh gelegen sein; eine horizontale Gerade B
dagegen, welche unter der Horizontebene sich befindet, liefert eine Spur b
unter dem Horizont.
Die Bilder zweier solchen Geraden verhalten sich nun verschieden. In
Fig. 31 ist noch speziell angenommen, daß die beiden Geraden A und B in
der gleichen Vertikalebene liegen, so daß der Riß A1 von A mit dem Riß B1
von B sich deckt und die Spuren a und b auf einer lotrechten Linie sich
befinden. Durchläuft ein Punkt die Gerade A, indem er von der Spur a
ausgeht, im Sinne des Pfeiles, also in der Richtung von der Bildtafel weg,
so bewegt sich sein Bild auf A' gegen den Fluchtpunkt fa hin. Die Linie A'
geht demnach, in der Richtung von a nach fa durchlaufen, abwärts, oder sie
»fällt«. Ebenso »steigt« die Linie B', wenn sie in der Richtung gegen den
Fluchtpunkt hin durchlaufen wird. Damit haben wir eine sehr brauchbare
Malerregel abgeleitet, die sich wie folgt ausdrücken läßt:

Satz 16. »Horizontale Gerade haben ihre Fluchtpunkte auf dem Horizont.
Liegen die Geraden selbst oberhalb der Horizontebene, so ›fallen‹ ihre
Bilder, wenn sie in der Richtung nach dem Fluchtpunkt hin
durchlaufen werden; liegen sie unterhalb dieser Ebene, so ›steigen‹
ihre Bilder, wenn man sie in der Richtung nach dem Fluchtpunkt zu
durchläuft.«
Die gleiche Eigenschaft zeigen natürlich auch die Bilder der Tiefenlinien,
da die letzteren ja auch nur horizontale Gerade von besonderer Art sind.
Die in 16 und 17 für Gerade der Grundebene durchgeführten
Betrachtungen gelten, wir wir jetzt einsehen, für jede horizontale Gerade;
speziell gilt Satz 15 für zwei Gerade, die in irgendeiner zur Grundebene
parallelen Ebene liegen.

§ 8. Darstellung einfacher Körper, die sich auf der Grundebene
erheben.

21. Darstellung einer Pfeilerreihe, die nach der Tiefe geht. Wenn wir
jetzt dazu übergehen, Körper darzustellen, die sich auf der Grundebene
befinden, so tritt als neue Dimension die auf der Grundebene lotrechte
Richtung auf, also die Vertikale. Jede Ebene durch eine Vertikale heißt eine
Vertikalebene. Setzen wir die Begrenzungsflächen des Körpers in
Beziehung zur Bildtafel, so werden vor allem die Ebenen zu betrachten
sein, welche auf der Bildtafel senkrecht stehen. Wir nennen sie
»Tiefenebenen« und sehen, daß jede Ebene durch eine Tiefenlinie eine
Tiefenebene ist. Enthält eine Tiefenebene eine Vertikale, so nennen wir sie
eine vertikale oder auch eine lotrechte Tiefenebene. Es sei nun zu
behandeln
Aufgabe 10. Eine Pfeilerreihe darzustellen, die sich in einer lotrechten
Tiefenebene befindet.
Wir versinnlichen jeden Pfeiler durch eine schlichte Gerade und nehmen
an, daß der erste Pfeiler ab in der Bildebene gelegen ist (Fig. 32). Ferner
sollen die Pfeiler in gleichen Abständen aufeinanderfolgen, also ac = ce =
ei = il = ln = np sein. Die Punkte a, c … p liegen auf einer Tiefenlinie A
und ebenso die oberen Enden der Pfeiler b, d, f, k, m, r, q, auf einer zweiten
Tiefenlinie B. Die Ebene durch A und B ist die lotrechte Tiefenebene, in der
die Pfeilerreihe gelegen ist.

Fig. 32.
In unserer zu zeichnenden Figur (Fig. 33) sind also gegeben der erste in
der Bildebene liegende Pfeiler ab sowie der Abstand y zweier
aufeinanderfolgender Pfeiler. Die Darstellung läßt sich nun leicht
bewerkstelligen. Der Punkt a mit dem Augpunkt A verbunden liefert das
Bild A' der Tiefenlinie A. Auf A' ist nun ein Tiefenmaßstab zu zeichnen mit
der Einheit y. Nach Aufgabe 5 führen wir dies aus, indem wir die gegebene
Einheit y von der Spur a aus nach rechts auf der Grundlinie als 0.1, 1.2, 2.3
… antragen und diese Punkte mit dem linken Distanzpunkt D1 verbinden.
Die Schnittpunkte mit A' geben die Bilder c', e', i' … der Pfeilerenden.
Verbinden wir weiter b mit A, so ist diese Linie das Bild B' der
Tiefenlinie B, und auf B' müssen die oberen Endpunkte der Pfeiler
angeordnet sein. Die Geraden ab, cd … sind aber parallel zur Bildebene;
nach Satz 10 sind also ihre Bilder auch parallel, und überdies muß
beispielsweise c'd' ∥ cd sein usf.; die Bilder der Pfeiler sind also lotrechte
Linien. Demnach haben wir lediglich durch die Punkte c', e', i' usf. die
Vertikalen zu zeichnen und diese durch die Schnittpunkte mit der Linie B'
zu begrenzen. So ergeben sich die Bilder c'd', e'f' … Wir können in unserer
Figur auch die Darstellung eines Staketenzaunes sehen oder einer
Bretterwand, die aus gleichbreiten Brettern zusammengesetzt ist.

Wir machen von der
eben durchgeführten
Konstruktion eine
Anwendung zur
Lösung folgender
wichtiger
Aufgabe 11. Ein Punkt p
der Grundebene ist
durch sein Bild p'
gegeben; man zeichne
das Bild einer Linie pq
von gegebener Länge,
Fig. 33. welche in p senkrecht
zur Grundebene
angetragen wird.
Es soll also mit anderen Worten in einem Punkte der Grundebene eine
Senkrechte von gegebener Länge errichtet werden. Um zur Lösung zu
gelangen, denken wir uns (Fig. 32) durch die Senkrechte pq eine
Tiefenebene gelegt und stellen uns eine Reihe von Pfeilern vor, welche die
Höhe pq haben und sich in dieser Ebene befinden. Anders ausgedrückt
heißt das: wir ziehen durch p und q die Tiefenlinien A und B, welche in a
und b die Bildebene treffen. ab ist der in der Tafel liegende Pfeiler. Daraus
ergibt sich folgende durch ihre Einfachheit überraschende Konstruktion:
Den gegebenen Punkt p' verbinden wir mit A (Fig. 34) und erhalten
dadurch das Bild A', welches die Grundlinie gg in a trifft. In a tragen wir
die gegebene Höhe als ab vertikal an. Der Endpunkt b liefert mit A
verbunden das Bild B' der Tiefenlinie B. Ziehen wir endlich durch p' die
Vertikale, so schneidet sie auf B' den Punkt q' aus. p'q' ist das Bild der
gesuchten Senkrechten.
Da man jeden beliebigen Punkt des Raumes sich bestimmen kann durch
seinen rechtwinkligen Riß auf die Grundebene und durch den Abstand von
der Grundebene, so können wir damit das Bild eines beliebigen
Raumpunktes zeichnen und sind weiter imstande, jeden Körper, wenn auch
umständlich, abzubilden, indem wir die Bilder seiner einzelnen Punkte
ermitteln. Wir werden später Beispiele für die Anwendung dieser

Konstruktion geben, wollen
aber zunächst noch einige
Folgerungen aus der Fig. 34
ziehen.
Wir können dieselbe
unmittelbar zur Lösung
folgender neuen Aufgabe
benutzen: Gegeben ist das
Bild p'q' einer Strecke pq,
die im Punkte p der
Grundebene auf dieser Fig. 34.
senkrecht sich erhebt; man
bestimme die wahre Länge pq dieser Strecke.
Wir verbinden p' mit A und bringen diese Linie in a mit der Grundlinie
zum Schnitt; in a errichten wir eine Vertikale und schneiden diese in b mit
der Verbindungslinie von A nach q'. Dann gibt ab die wahre Länge der
Strecke pq.
Als eine weitere Anwendung behandeln wir
Aufgabe 12. Auf einer lotrechten (vertikalen) Geraden einen Maßstab zu
zeichnen. Höhenmaßstab.
Denken wir uns auf der Lotrechten pq von Fig. 32 die Einheit des
Maßstabes wiederholt angetragen und ziehen wir durch die Teilpunkte die
Tiefenlinien, so übertragen diese den Maßstab auf die Gerade ab, was in
der Figur angedeutet ist. Die Bilder der Tiefenlinien sind aber sofort zu
zeichnen. Wir erhalten also folgende Ausführung (Fig. 35).
Gegeben ist das Bild p'q' der Vertikalen, auf der mit der gegebenen
Strecke y als Einheit ein Maßstab gezeichnet werden soll, der in der Spur
der Vertikalen beginnt. Wir verbinden den Punkt p' mit dem Augpunkt A
und erhalten dadurch den Punkt a auf der Grundlinie. In a errichten wir zur
Grundlinie gg die Senkrechte; auf dieser tragen wir von a beginnend die
Strecke y ab, so daß also die Strecken 0.1, 1.2, 2.3 … je = y. Verbinden wir
die Punkte 1, 2, 3 … mit A, so schneiden diese Tiefenlinien auf p'q' die
gesuchten Punkte 1', 2', 3' … aus. Aus bekannten Sätzen der Planimetrie
folgt sofort, daß auch

0.1' = 1'.2' = 2'.3' = 3'.4'.

Fig. 35.

Fig. 36.
Daraus ergibt sich folgender
Satz 17. »Der Höhenmaßstab auf einer Vertikalen (und überhaupt auf einer
Parallelen zur Bildebene) zeigt keine Verkürzung, sondern eine sich
gleichbleibende Verjüngung.«
Gleichhohe Fenster einer Fassade, die auf einer lotrechten Linie liegen,
sind also beispielsweise gleich hoch zu zeichnen.
Teilungen einer vertikalen Strecke übertragen sich demnach unmittelbar
auf das Bild. Wenn etwa die Strecke pq (Fig. 32) in eine gewisse Anzahl
gleicher Teile geteilt werden soll, so können wir die Teilung unmittelbar im
Bilde p'q' (Fig. 35) vornehmen.
22. Darstellung
einer zur Bildebene
parallelen
Pfeilerreihe. Noch
einfacher gestaltet sich
die zeichnerische
Wiedergabe einer
Pfeilerreihe oder
überhaupt einer Reihe
gleichgroßer, paralleler
Gegenstände, wenn
dieselben parallel zur
Bildebene angeordnet Fig. 37.
sind. Dies sei der
Gegenstand der
Aufgabe 13. Eine Pfeilerreihe darzustellen, die sich in einer zur Tafel
parallelen Ebene befindet.
Ist pq der erste darzustellende Pfeiler (Fig. 36), so zeichnen wir nach der
Aufgabe 11 sein Bild p'q'. Unserer Voraussetzung nach liegen die
Endpunkte der Pfeiler auf zwei parallelen Linien P und Q, die überdies zur
Tafel parallel sind. Es ist also wieder nach Satz 10 auch P' ∥ P und Q' ∥ Q
und da P ∥ Q ∥ zur Grundlinie gg, so sind auch die Bilder P' und Q'
parallel zur Grundlinie. Auf diesen beiden Horizontalen liegen folglich die

Bilder der Endpunkte, und sie ergeben sich leicht, wenn man wiederum die
Tiefenlinien durch die Punkte selbst zu Hilfe nimmt.
Die Ausführung der Konstruktion zeigt Fig.
37. Gegeben ist das Bild p' des Punktes p, die
Höhe der Pfeiler und ihr Abstand y. Wir
verbinden p' mit dem Hauptpunkt A; diese
Tiefenlinie A' liefert auf der Grundlinie gg den
Punkt a. In a errichten wir eine Vertikale ab
gleich der gegebenen Höhe der Pfeiler und
erhalten durch die Linie bA den Punkt q' auf der
Lotrechten durch p' und damit das Bild des
ersten Pfeilers pq. Auf den Horizontalen P' und
Q' durch p' und q' liegen die übrigen
Endpunkte. Tragen wir den gegebenen wahren
Abstand y zweier Pfeiler auf der Grundlinie als
die Strecke 0.1 ab, so gibt die Linie von 1 nach Fig. 38.
A das Bild n' und die Vertikale durch n' auf Q'
das Bild r'. Analog verfährt man für die weiteren Punkte 2, 3 … Man
erkennt, daß p'n' = n'l' usf., daß also auch die Bilder der Pfeiler gleich weit
voneinander abstehen.
Obwohl die Pfeiler selbst ganz verschiedene Entfernungen vom Auge O
haben, sind ihre Bilder doch gleich groß zu zeichnen.
Hat man überhaupt in einer zur Bildtafel parallelen Ebene irgendeine
Figur, so ist ihr Bild eine dazu ähnliche Figur d. h. das Bild ist eine
Verkleinerung der gegebenen Figur; es ändern sich nur die
Größenverhältnisse der Figur, alle Winkel aber, und auch die gegenseitigen
Verhältnisse der Seiten bleiben ungeändert.
Wir können also sagen:
Satz 18. »Befinden sich Gegenstände von der gleichen Größe irgendwo in
einer Parallelebene zur Tafel oder kürzer in der gleichen Tiefe, so sind
ihre Bilder stets gleich groß zu zeichnen.«

Fig. 39.

Fig. 40.
Als Beispiel denken wir uns, am Fuße eines Turmes befinde sich eine
menschliche Figur (Fig. 38) und oben auf dem Turme, aber in der gleichen

Tiefe, stehe oder liege eine zweite ebenso große. Dann sind die beiden
Figuren gleich groß zu geben. Man kann häufig bemerken, daß die Figur
auf dem Turme kleiner gezeichnet ist, und als Grund dafür wird angeführt,
daß die Figur auf dem Turme doch weiter vom Auge entfernt sei als die
Figur am Fuße des Turmes, also auch kleiner sein müsse. Dabei verwechselt
man die Erscheinung eines Gegenstandes und seine bildliche Wiedergabe.
Die Größenverhältnisse der uns umgebenden Körper beurteilen wir im
allgemeinen nach den »Gesichtswinkeln«, unter denen sie uns erscheinen.
Wir betrachten nun aber doch das Bild mit den beiden Figuren, und dann ist
in der Tat, wie Fig. 39 noch klarer zeigt, der Gesichtswinkel δ, unter dem
die obere Figur erscheint, kleiner als der Gesichtswinkel α, der zu der
unteren Figur gehört. Hier mag noch eine andere Beobachtung erwähnt
werden, die sich auf die Darstellung hoher, sich in Wirklichkeit nicht
verjüngender Objekte bezieht. Denken wir uns z. B. einen Turm mit
vertikalen Kanten. Betrachten wir denselben mit geradgehaltenem Kopfe,
so erscheinen die Kanten des Turmes parallel. Legen wir uns aber auf den
Rücken und blicken an dem Turm in die Höhe, so zeigen seine Kanten
einen Fluchtpunkt. Zwischen diesen beiden äußersten Fällen gibt es viele
Übergänge. Wenn wir nicht weit genug von dem Turme zurücktreten
können, so neigen wir ebenfalls den Kopf zurück, um den Turm in seiner
ganzen Höhe zu überschauen. Dann tritt wieder die Fluchtpunkterscheinung
auf. Aus diesen Überlegungen heraus kann man die Abbildung 4 bis zu
einem gewissen Grade für berechtigt erklären. Wir befinden uns dabei in
dem Gebiet ästhetisch-psychologischer Vorgänge, und die Perspektive als
starre mathematische Schablone kann zugunsten einer besseren Wirkung
modifiziert werden.

Abb. 4.

Fig. 41.
23. Darstellung eines rechtwinklig begrenzten Raumes. Wir wollen
jetzt die Fig. 32 erweitern, indem wir uns auch auf der anderen Seite des
Auges eine gleichgroße Pfeilerreihe ebenfalls in einer lotrechten
Tiefenebene angebracht denken. Verbinden wir dann (Fig. 40) den letzten
Pfeiler pq der einen Reihe mit dem letzten Pfeiler st der anderen Reihe
durch eine Ebene und legen weiter durch qb und tc ebenfalls eine Ebene, so
erhalten wir ein rechteckig begrenztes Raumstück, den Quader abcdpqts.
Die Pfeilerreihe auf der rechten Seite ist ebenso zu zeichnen wie in Fig. 33,
und es ergibt so das Bild abcdp'q't's' (Fig. 41). Stellen wir uns weiter vor,
daß wir dadurch je zwei gleich weit von der Tafel entfernte Pfeiler weitere
Ebenen legen, so sind diese alle parallel und schneiden die Grundebene in
Parallelen zur Grundlinie. Den dargestellten Raum teilen wir dadurch in
eine Anzahl gleicher Schichten, die ebenfalls in Fig. 41 wiedergegeben
sind. Endlich sind noch der Fußboden und die Wände mit einem
Quadratnetz überzogen, und zwar ist die Figur so eingerichtet, daß in der
Breite, also von a nach d, 8 Quadrate, in der Tiefe von a nach p 5 Quadrate
und in der Höhe von a nach b ebenfalls 5 Quadrate liegen. Der Horizont
verläuft in einer Höhe, die zwei Quadratseiten entspricht. Es ist leicht, diese
Quadrate einzuzeichnen (man vgl. Fig. 19) und so die Fig. 41 herzustellen.
Man kann an ein mit quadratischen Kacheln ausgelegtes Zimmer denken.
Legt man aber weiter durch die sämtlichen Tiefenlinien die horizontalen

und vertikalen Ebenen, so wird der ganze Raum in Würfel geteilt, und zwar
in 5 ⋅ 5 ⋅ 8 = 200. Einer dieser Würfel ist herausgezeichnet. Der Leser wird
diese Figur nicht für eine mathematische Spielerei halten, sondern sofort
erkennen, daß wir damit ein Mittel gewonnen haben, jeden Körper im
Raume einigermaßen richtig unterzubringen, indem wir ihn in eine Anzahl
von Würfeln einschließen. Fig. 41 leistet für den Raum das gleiche wie Fig.
19 für die Bodenfläche.

Abb. 5.
Nennen wir, wie es dem allgemeinen Gebrauch entspricht, die
Abmessung in der Richtung der Grundlinie, also von a nach d, die Breite,
so gibt uns die Fig. 41 sowohl einen Tiefen- und Höhen- als auch einen
Breitenmaßstab. Denn wir können angeben, wie sich die angenommene
Quadratseite an jeder Stelle des Raumes der Tiefe, Höhe und Breite nach
verkürzt. An der Stelle i' z. B. sind diese Verkürzungen durch i'm', i'n' und
i'l' gegeben. Gleichzeitig ergibt sich noch, was übrigens schon aus Satz 18
folgt:

Satz 19. »Der Breitenmaßstab ist in jeder Tiefe gleich dem
Höhenmaßstab.«
Endlich gibt Fig. 41 die einfachste Darstellung eines Innenraumes oder
eines Interieurs. Um einen geschlossenen Raum darzustellen, mag man sich
eine Begrenzungsfläche desselben entfernt denken. Diese Fläche ist hier
dann als Bildebene benutzt. Wir geben als Beispiel in Abb. 5 ein Fresko von
Ghirlandajo (1449–1494), das die Geburt Johannis des Täufers vorstellt
und sich im Chor der Kirche S. Maria Novella in Florenz befindet. Durch
einige punktierte Tiefenlinien sind der Augpunkt und der Horizont ermittelt.
Der Augpunkt ist aus der Mitte des Bildes etwas nach rechts herausgerückt,
wie in Fig. 41 A näher an cd als an ab liegt. Wählt man den Augpunkt
genau in der Mittellinie des Bildes, so gestaltet sich die Architektur auf
beiden Seiten ganz gleichmäßig: sie ist symmetrisch zur Mittellinie. Die
Symmetrie bedingt eine größere Ruhe und eine gewisse Feierlichkeit im
Bilde, wie Abb. 8 zeigen mag.
24. Aufsicht, Untersicht, Seitenansicht. Die gleiche Figur 41 gibt uns
auch Aufschluß, wie wir infolge der Festlegung unseres Standpunktes durch
das Auge O horizontale Ebenen, die unter der Horizontebene liegen, von
oben sehen: wir haben auf sie »Aufsicht«, so z. B. auf die Bodenfläche. Von
horizontalen Ebenen, die oberhalb der Horizontebene liegen, sehen wir
dagegen die untere Seite; sie befinden sich in »Untersicht«, wie z. B. die
Decke in Figur 41. Die Horizontebene selbst bildet den Übergang zwischen
beiden Arten von Ebenen: sie erscheint als Linie, nämlich als der Horizont.
In der gleichen Weise sehen wir vertikale Tiefenebenen entweder von rechts
oder von links, je nachdem sie links oder rechts von der durch das Auge O
gehenden vertikalen Tiefenebene liegen. Diese letztere erscheint als die
durch den Augpunkt gehende Vertikale. Die Figuren 42 und 43 mögen das
noch weiter veranschaulichen. Sie stellen ein Notenpult oder ein
Büchergestell dar, das im ersten Fall lotrecht steht, im zweiten Falle auf
dem Boden liegt.
Aus der Tatsache, daß die ganze Horizontebene sich in den Horizont
abbildet, läßt sich noch eine bemerkenswerte Folgerung ziehen. Ist u' das
Bild eines Punktes u der Grundebene (Fig. 41) und errichten wir in u' die
Senkrechte, welche den Horizont im Punkte v' schneiden möge, so können
wir v' als Bild desjenigen Punktes v ansehen, der lotrecht über v in der
Horizontebene liegt. Die Strecke uv ist also gleich der Augenhöhe. Zu dem

gleichen Resultat führt
uns auch die
Betrachtung der Figur
34, indem sich zu dem
Bilde p'v' als
zugehörige Strecke av0
ergibt, was wieder die
Augenhöhe ist. Daraus
folgt demnach
folgender vielfach
verwendbare
Satz 20. Ist das Bild
eines Punktes der
Grundebene Fig. 42.
gegeben, so stellt
der Abstand dieses Bildes vom Horizont immer das Bild der
Augenhöhe vor.
25. Personen in
verschiedenen Tiefen
eines Bildes. Die
Darstellung einer
menschlichen Figur in
einem Bilde gibt uns
Veranlassung, über den
Maßstab eines Bildes
zu sprechen und dieser
hängt wieder davon ab,
wie wir uns das
Zeichnen nach der
Natur, also z. B. die Fig. 43.
Wiedergabe einer
Landschaft vorstellen.
Bisher haben wir immer angenommen, daß das Bild direkt die
Zentralprojektion des Gegenstandes ist, wie wir das bei der
Glastafelperspektive (in 2) erörterten. Man kann sich das aber auch etwas
anders denken. Nehmen wir z. B. an, ein Landschaftsmaler habe das Motiv

und einen günstigen Standpunkt gefunden. Dann mag er sich, etwa in der
Entfernung von einigen Metern von seinem Standpunkte, die Bildtafel Π
vertikal aufgestellt denken. Auf diese Ebene Π wird von seinem Auge aus
die Landschaft projiziert. Dieses Bild wird aber nicht wirklich gezeichnet.
In sein Skizzenbuch oder auf den vor ihm stehenden Rahmen zeichnet der
Maler vielmehr eine Verkleinerung oder eine Verjüngung des auf Π
gedachten Bildes. In diesem Falle ist also die Zeichenfläche nicht die
gleiche wie die Bildebene. Allerdings könnte man eine neue, dem
Standpunkt nähere, zu Π parallele Ebene finden, welche aus dem
Strahlenkegel des Auges O gerade das Bild ausschneiden würde, das auf
dem Zeichenblatt gezeichnet wurde.
Wie kann man nun bestimmen, in welchem Verhältnis das Bild in dem
Skizzenbuch gegenüber dem gedachten Bilde auf Π verkleinert ist? Zu dem
Zwecke denken wir uns einen Menschen, der ganz nahe hinter der Tafel Π
steht. Er wird dann auf der Tafel Π in wirklicher Größe erscheinen. Die
Skizze aber wird den gleichen Menschen in kleinerem Maßstabe zeigen, z.
B. nur in 1/10 der Lebensgröße. Dann sagen wir, die Verjüngung oder
Reduktion sei = 1/10. Wollen wir, was z. B. bei Architekturen nötig ist,
genaue Maße haben, so stellen wir uns vor, daß eine Meßlatte mit
Metermaßeinteilung in der Bildebene Π liege. Auf dem Skizzenblatt aber
wird z. B. ein Meter durch einen Dezimeter wiedergegeben, wenn die
Verjüngung 1/10 beträgt. Wir behandeln nun folgende
Aufgabe 14. Personen in verschiedenen Tiefen eines Bildes darzustellen.
In den 3 Fällen sei die Verjüngung stets 1/100, so daß also ein Meter durch
einen Zentimeter dargestellt wird. Ferner nehmen wir an, daß alle im Bilde
wiedergegebenen Personen 1,5 Meter groß seien, also eine mittlere Größe
haben.
1. Fall. Die Augenhöhe sei 75 cm oder ¾ m; es soll eine Person gezeichnet
werden, die sich in c' auf der Grundebene befindet.
Auf der linken Seite gibt uns in Figur 44 die Strecke 0.1 die Darstellung
eines Meters; nehmen wir drei Viertel dieser Größe, so ist damit der
Horizont hh gefunden, der bei dieser Annahme sehr niedrig liegt. Eine
direkt an der Bildtafel stehende Figur ist 1½ m hoch zu zeichnen, sie ist in
ab angedeutet, und sie wird durch den Horizont halbiert. Wir ziehen durch

A nach a und b die Tiefenlinien. Um die in c' befindliche Person zu
zeichnen, verschieben wir sie parallel der Bildebene, also in der gleichen
Tiefe; dabei bleibt nach Satz 18 ihre Größe ungeändert. Demgemäß ziehen
wir durch c' die Parallele zur Grundlinie, welche die Linie Aa in p'
schneidet. Die in p' bis zum Schnitt mit der anderen Tiefenlinie Ab
errichtete Senkrechte p'q' gibt die Größe der Figur; ziehen wir durch q' eine
Parallele zur Grundlinie, so schneidet sie die Vertikale durch c' in d' und
c'd' ist die gesuchte Höhe der Figur in c'.

Fig. 44.
Ist im Punkte i' der Grundebene eine weitere Figur zu zeichnen, so ziehen
wir c'i' und bringen diese Linie in f zum Schnitt mit dem Horizont;
verbinden wir f mit d', so ergibt die in i' errichtete Senkrechte den Punkt k',
bis zu dem die Figur reicht. Denn die Linien ci und dk sind parallele,
horizontale Gerade, müssen also ihren Fluchtpunkt auf dem Horizont
haben.
Man sieht leicht ein, daß alle Figuren durch den Horizont halbiert
werden, und daß man allgemein sagen kann:
Satz 21. Alle auf der Grundebene stehenden Figuren werden durch den
Horizont im gleichen Verhältnis geteilt.
2. Fall. Die Augenhöhe sei 2½ m; es ist eine Figur zu zeichnen, welche sich
in c' auf einer Mauer befindet.

Fig. 45.
Wir haben es unter dieser Voraussetzung mit einem hohen Horizont zu
tun, der in der Mitte zwischen den Ziffern 2 und 3 verläuft (Fig. 45). Eine
Person direkt im Vordergrund hat wieder eine Höhe ab, welche = 1½ m ist.
Um die Größe der in c' befindlichen Figur zu bestimmen, verschaffen wir
uns die durch c gehende Parallelebene zur Tafel, da in dieser ganzen Ebene
die Figur gleichgroß ist. Wir ziehen also durch c' die Parallele zur
Grundlinie, gehen dann an der Mauer senkrecht herunter und wieder
parallel zur Grundlinie weiter, bis wir nach p' gelangen. Die Vertikale in p'
schneidet aus der Linie CA den Punkt q' aus. p'q' ist wieder die Größe einer
menschlichen Figur in der Tiefe p'. Die Figur in c' ist aber ebensogroß zu
zeichnen, also muß c'd' = p'q' sein.

Fig. 46.
Bringen wir die Linien ab und p'q' in t' und r' mit dem Horizont zum
Schnitt, so ist
ab : at' = p'q' : p'r' = 3 : 5.
Es beträgt also die Höhe jeder auf der Grundebene stehenden Figur ⅗
der Höhe bis zum Horizont. Dies ist wiederum der vorige Satz 21.
Weiß man umgekehrt nicht, wie hoch der Horizont ist, so kann man die
Augenhöhe ungefähr bestimmen, wenn eine menschliche Figur ab
unmittelbar im Vordergrund gegeben ist. So könnte man in unserer Figur 45
durch Schätzung oder Abmessung finden, daß die Augenhöhe fünfmal so
groß ist als der dritte Teil von ab. Da für ab mittlere Manneshöhe 1,50 m
angenommen werden darf, so ist der dritte Teil davon 50 cm, und für die
Augenhöhe at' ergibt sich als Zahlenwert 5 × 50 cm = 2,50 m.
3. Fall. Die Augenhöhe sei 1,50 m; man bestimme die Größe einer
menschlichen Figur, die sich in c' auf einer Mauer befindet.
Eine unmittelbar im Vordergrund befindliche Person ab reicht jetzt
gerade bis an den Horizont. (Fig. 46.) (Wollten wir uns noch genauer
ausdrücken, so könnten wir sagen, daß der Horizont die Augen aller auf der
Grundebene stehenden Personen enthalten müsse.) In der Figur sind einige
Meßlatten gezeichnet, die senkrecht auf der Grundebene stehen. Dann

schneidet der Horizont auf jeder Latte 1,50 m ab. Sind die Latten in halbe
Meter geteilt, so geht er also immer durch das Ende des dritten Abschnittes.
Um die Figur in c' zu zeichnen, legen wir wieder durch c die Parallelebene
zur Tafel, also durch c' die Parallele zur Grundlinie, gehen an der Mauer
senkrecht herunter und parallel zu gg weiter, so daß wir nach p' gelangen.
Die in p' errichtete Senkrechte schneidet den Horizont in q'. Die in c'
befindliche Figur ist also = p'q' zu machen, so daß ihre Größe c'd' = p'q'.
Sie wird an den Füßen von der Mauerkante überschnitten.
Wenn wir zu einer Architektur eine Figur als Staffage beifügen, so ist
damit die Größe der Architektur festgelegt. Zeichnen wir die Staffagefigur
klein, so nimmt die Architektur dadurch große Formen an und umgekehrt
wird sie durch eine große Figur verkleinert.
26. Endlich wollen wir noch einen etwas komplizierteren einzelnen
Gegenstand darstellen in
Aufgabe 15. Einen in Grund- und Aufriß gegebenen Pfeiler darzustellen,
wenn die Vorderfläche des Sockels in der Bildebene liegt.
Der Grundriß P1 ist in der Verschiebung gegeben (Fig. 47), der Aufriß P2
befindet sich nicht senkrecht über dem Grundriß, sondern er wurde nach
links hinausgeschoben, um den Platz für die Zeichnung frei zu lassen.
Von dem Sockel liegt die Fläche 1 2 6 5 in der Bildtafel. Wir übertragen
zunächst den ganzen Grundriß in das Bild und bauen darüber den Körper
auf.
Das Bild 1 2 3' 4' des Quadrates (1)(2)(3)(4) ist sofort zu zeichnen, da 4'
sowohl auf der Tiefenlinie 1.A als auch auf der Linie von 2 nach dem
Distanzpunkt D1 liegt. Wir zeichnen weiter die beiden inneren Quadrate.
Die Bilder 9' und 13' ergeben sich, wenn man durch (9) und (13) die
Tiefenlinien zieht. Außerdem liegen 9' und 13' auf der Diagonale 1.3'.
Der Sockel kann jetzt dargestellt werden; die Tiefenlinien durch 5 und 6
schneiden auf den Vertikalen durch 4' und 3' die Punkte 8' und 7' aus.
Um den Schaft des Pfeilers zu zeichnen, haben wir im Punkte 9' eine
Senkrechte von gegebener Länge zu errichten: alle diese Höhen messen wir
von der Grundebene aus. Nach Aufgabe 11 verbinden wir also 9' mit A und
erhalten auf der Grundlinie den Hilfspunkt 10; durch diesen ziehen wir eine
Vertikale und schneiden auf derselben durch die Parallele im Aufriß die

anzutragende Höhe 10.11 ab. Dann schneidet die Linie von 11 nach A auf
der Vertikalen durch 9' das Bild 12' der oberen Ecke aus. Die drei übrigen
Ecken des Quadrates ergeben sich durch Parallele und Tiefenlinien, und
ebenso leicht ist das auf der oberen Fläche des Sockels befindliche Quadrat
einzutragen; seine Ecken liegen auf den Diagonalen 5.7' und 6.8'.

Fig. 47.
Nun ist weiter im Punkte 13' die Senkrechte zu errichten. Die Tiefenlinie
liefert den Hilfspunkt 14 und 14.15 ist die auf der Vertikalen anzutragende

Strecke. So ergibt sich das Bild 16' des vorletzten Quadrates. Der Punkt 17
endlich liefert in 18' eine Ecke der Deckfläche. Beide Quadrate sind leicht
zu vervollständigen. Der Punkt 12' gibt mit 16' verbunden das Bild des
Gehrungsprofiles. Verschafft man sich das Bild 19' des Punktes 19, so kann
man die Kontrolle benutzen, daß die vier Linien 16'.12' usf. durch 19'
gehen.
Anmerkung. Statt die Bildebene durch die vordere Fläche des Sockels zu legen, könnte
man sie auch parallel zu derselben durch die Achse des Körpers legen. Die Schnittfigur der
Bildebene mit dem Pfeiler stimmt dann mit dem Aufriß P2 überein. Es läßt sich aus diesem
Schnitt ebenfalls das Bild des Pfeilers leicht herstellen, ohne daß man nötig hat, eine
Verschiebung zu benutzen. Wir empfehlen die Ausführung dem Leser.

Aufgabe 16. Einen in Grund- und Aufriß gegebenen Pfeiler darzustellen,
der beliebig auf der Grundebene steht, wenn eine Kante des Sockels in
der Bildtafel liegt.
Der Grundriß P1 sei wieder in der Verschiebung gegeben, Fig. 48, der
Aufriß P2 ist links hinausgeschoben. Wie in Aufgabe 9, Fig. 28, zeichnen
wir zunächst vermittels der Umlegung D3 des Auges die Fluchtpunkte fa
und fb der beiden Richtungen (A) und (B). Ferner wollen wir noch den
Fluchtpunkt der Diagonale 1.3 konstruieren, d. h. wir ziehen durch D3 eine
Parallele zur Verbindungslinie 1.3, welche den Horizont in Dg trifft. Dieser
Fluchtpunkt Dg heißt auch der Diagonalpunkt und es ist vielfach, z. B. bei
Gehrungen, nützlich, ihn einzuführen.
Zunächst übertragen wir wieder den ganzen Grundriß in die Perspektive.
Die durch 1 gehende Kante des Sockels liegt in der Bildebene. Das Bild des
Vierecks 1 2 3 4 kann gezeichnet werden, sobald von einer weiteren Ecke
das Bild ermittelt ist. Wir benutzen etwa die Spur 5 der Verbindungslinie
2.3. Verbinden wir 5 mit fa, so schneidet diese Linie auf der Linie 1.fb das
Bild 2' aus. Die Ecke 3' aber wird erhalten als Schnittpunkt von 1.Dg mit
der Linie 5.fa. Endlich gibt die Linie fb.3' in ihrem Schnitt mit fa.1 den
Punkt 4'. In ähnlicher Weise kann man die Bilder der beiden inneren
Quadrate ermitteln.
Um jetzt den Körper der Höhe nach aufzubauen, bestimmen wir auf der
Vertikalen durch 1 ohne weiteres die Ecke 6, da die Länge 1.6 im Aufriß ja
gegeben. Die drei anderen Ecken der Deckfläche des Sockels sind auf den
Vertikalen durch 2', 3' und 4' ohne Schwierigkeit zu finden. Die übrigen

Höhenabmessungen können wir unter Benutzung der Vertikalen 1.6 und des
Diagonalpunktes Dg gewinnen, da doch alle durch Dg gehenden Linien die
Bilder horizontaler Geraden sind, welche zur Diagonale 1.3 parallel laufen.
Infolgedessen liefern die Hilfspunkte 7, 9, 11 aus Dg projiziert auf den
betreffenden Vertikalen die Punkte 8', 10', 12'. Die fehlenden Ecken ergeben
sich durch Benutzung der Fluchtpunkte fa und fb. Die vier schiefen Linien
der Gehrung gehen durch den Punkt 14', auf der Achse des Körpers; zu
diesem Punkt 14' gelangt man vom Hilfspunkt 13 aus.

Fig. 48.
Auch in diesem Falle wäre es eine gute Übung, den Körper darzustellen
unter der Annahme, daß die Bildebene parallel zu der eben benutzten durch
die Achse des Pfeilers gelegt wird.

Die Figuren 47 und 48 geben zwei charakteristische Formen
perspektivischer Bilder. In Fig. 47 steht der Körper so zur Bildtafel, daß ein
Teil seiner Kanten und Flächen zur Bildebene parallel, der andere Teil der
Kanten und Flächen zur Bildebene senkrecht verläuft. Im Bilde selbst treten
als wichtigste Linien die Horizontalen und die Tiefenlinien auf. Man sagt,
der Körper befinde sich in »Frontstellung« oder »frontal« und nennt die
Darstellung eine »Frontansicht« oder (weniger gut) eine »gerade Ansicht«.
Im zweiten Falle, der Fig. 48, sind die Kanten und Flächen des Körpers
gegen die Bildebene schräg gestellt; der Körper befindet sich in
»Übereckstellung«, und man nennt das Bild eine »schräge Ansicht«. Die
Bilder der ersten Art (Fig. 47) zeigen wegen der auftretenden Parallelen
eine gewisse Einförmigkeit, während bei den Bildern der zweiten Art (Fig.
48) die zwei Fluchtpunkte eine reichere Bewegung der Linien bewirken.

§ 9. Schiefe Linien im Raume.

27. Steigende und fallende Gerade im Raume. Bisher haben wir nur
Gerade betrachtet, welche entweder parallel oder senkrecht zur Grundebene
waren, also horizontale oder vertikale Linien. Gelegentlich kommen aber
doch auch Gerade vor, die ganz beliebig im Raume verlaufen, z. B. die
Giebellinien eines Daches oder einer Fensterbedachung, die Steigungslinien
einer Treppe oder einer ansteigenden Straße. Solche Linien wollen wir als
schiefe Gerade bezeichnen.
Ist eine ganz beliebige Gerade A gegeben, Fig. 49, so denken wir uns
durch A die zur Grundebene lotrechte Ebene gelegt, welche aus der
Grundebene den rechtwinkligen Riß A1 ausschneidet. Sie ist in der Figur
vertikal schraffiert. s sei die Spur der Geraden A. Durch s ziehen wir in
dieser schraffierten Ebene eine Parallele X zu A1. Die Gerade A bildet dann
mit X einen Winkel α, der sich von X nach aufwärts erstreckt. Von der
Geraden A sagen wir nun, sie »steige« im Raume. Dabei betrachten wir
denjenigen Abschnitt der Geraden A, der vom Auge O ausgerechnet hinter
der Bildtafel liegt und durchlaufen ihn, indem wir in der Spur s beginnen.

Fig. 49.

Den Fluchtpunkt fa der Geraden A finden wir dadurch, daß wir durch das
Auge O eine Parallele zu A ziehen und diese mit der Tafel zum Schnitt
bringen; es ist also Ofa ∥ A. Wir legen auch durch die Gerade Ofa eine
lotrechte Ebene, welche in der Figur ebenfalls vertikal schraffiert ist. Aus
einfachen Sätzen folgt, daß diese beiden schraffierten Ebenen parallel sind.
Die durch die Gerade Ofa gelegte Vertikalebene möge den Horizont in f, die
Grundlinie in f1 schneiden, so daß die Punkte fa, f, f1 auf der vertikalen
Schnittlinie dieser Ebene mit der Tafel gelegen sind. Dann tritt der Winkel α
nochmals auf, in dem auch ∢ fOfa = α und man erkennt, daß der
Fluchtpunkt fa oberhalb des Horizontes gelegen ist.

Fig. 50.
Nehmen wir jetzt eine zweite Gerade B dazu, die aber in der gleichen
Vertikalebene liegen und außerdem auch durch s gehen soll. Dagegen möge
diese zweite Gerade einen Winkel β mit X bilden, der nach abwärts geht.
Diese Gerade B »fällt« dann. Konstruieren wir ihren Fluchtpunkt, so
müssen wir durch O eine Parallele zu B konstruieren. Diese Parallele liegt

aber in der zweiten, schraffierten Vertikalebene, d. h. fb muß auf der Linie
ff1 gelegen sein. Es ist wieder
∢ fOfb = β
und der Fluchtpunkt fb befindet sich unterhalb des Horizontes hh. Diese
einfachen Überlegungen geben uns den praktisch wertvollen
Satz 22. »Gerade, welche im Raume steigen, haben einen Fluchtpunkt
oberhalb des Horizontes; fällt eine Gerade im Raume, so liegt ihr
Fluchtpunkt unter dem Horizont.«
Man beachte, wie die horizontalen Geraden den
Übergang von den steigenden zu den fallenden
Geraden bilden und deswegen ihre Fluchtpunkte auf
dem Horizonte haben.
Um das gleich an einem Beispiel zu
veranschaulichen, ist in Fig. 50 eine Brücke skizziert.
Der mittlere Teil derselben läuft horizontal
entsprechend dem Fluchtpunkt f, der vordere Teil der
Fig. 50 a.
Brücke steigt gegen den Fluchtpunkt fa an, der
rückwärtige fällt nach dem Fluchtpunkt fb.
Aus der Figur 47 entnehmen wir noch weiter folgendes: die beiden
parallelen, schraffierten Ebenen werden von der Grundebene geschnitten,
also ist
O 1f 1 ∥ A 1.
Andererseits ist aber auch
O1f1 ∥ Of.
Daraus folgt, daß Of ∥ A1 oder mit anderen Worten: f ist der Fluchtpunkt
für den Riß A1 der Geraden A. Damit hat sich ergeben:
Satz 23. »Projiziert man den Fluchtpunkt einer schiefen Geraden auf den
Horizont, so ist dieser Punkt der Fluchtpunkt für die Projektion der
Geraden in die Grundebene.«

Das wurde in der Figur 50 auch berücksichtigt, indem die 3 Punkte fa, fb,
f einer Vertikalen liegen.
Im besonderen kann eine Gerade C in einer Vertikalen Tiefenebene
liegen (Fig. 51). Dann wird die Lotebene, welche den Riß C1 liefert, eine
Tiefenebene und der Riß C1 eine Tiefenlinie. Unsere Betrachtung zeigt
ohne weiteres, daß der Fluchtpunkt fc einer solchen schiefen Geraden C auf
der Vertikalen durch den Augpunkt liegen muß. Die beiden parallelen
Ebenen sind in der Fig. 51 wieder schraffiert; man mag sich darunter Türen
denken, die im vorliegenden Falle unter 90° gegen die Wandfläche geneigt
sind, während sie sich in Fig. 49 weniger weit öffnen. Es folgt also
Satz 24. »Liegt eine schiefe Gerade in einer vertikalen Tiefenebene, so muß
ihr Fluchtpunkt auf einer Vertikalen durch den Augpunkt gelegen
sein.«
Fig. 50 gibt in dem Gebäude links ein Beispiel. Die Wand des Hauses, in
welcher sich die Türe befindet, ist eine Tiefenebene. Die Giebellinien laufen
deswegen nach den Fluchtpunkten Fa und Fb, die auf der Senkrechten im
Augpunkt A liegen. Auch die Linien des Türgiebels haben diese
Eigenschaft.

Fig. 51.
Aus der Fig. 49 ziehen wir endlich noch eine Folgerung. Wenn die beiden
Geraden A und B gleich geneigt sind gegen die Gerade X oder, was das

gleiche ist, gegen die Grundebene, wenn also α = β, so ergibt sich aus den
Dreiecken Offa und Offb sofort, daß dann auch
ffa = ffb
oder
Satz 25. »Sind schiefe Gerade im Raume gleich geneigt gegen die
Grundebene, so liegen ihre Fluchtpunkte gleich weit vom Horizont
entfernt.«

Fig. 52.
In Fig. 50 ist also
AFa = AFb,
weil die beiden Seiten des Daches doch gleiche Winkel mit der Grundebene
einschließen, und da auch rechts
ffa = ffb,

so hat die Brücke zu beiden Seiten der horizontalen Strecke die gleiche
Steigung.
Zusatz. Wir fügen hier eine vielbenutzte Konstruktion an. Denken wir
uns die wahre Gestalt 1 2 3 4 5 der Seitenwand 1'2'3'4'5' in Fig. 50 a
herausgezeichnet und konstruieren wir den Schnittpunkt 6 der Diagonalen
2.4 und 1.3, so hat die Figur die Eigenschaften, daß die Verbindungslinie
5.6 parallel zu 1.4 und 2.3 ist und daß sie die Seiten 1.2 und 3.4 in 7 und 8
halbiert. In der perspektivischen Zeichnung läßt sich 6' sofort angeben; 5'
liegt also auf der Vertikalen durch 6', was eine Kontrolle gibt und diese
Vertikale schneidet weiter die Bilder 8' und 7' der Mitten von 1.2 und 3.4
aus. Ist also z. B. die gegebene Strecke 1'.2' zu halbieren, so hat man nur
nötig, irgendein solches vertikales Rechteck zu zeichnen.
Aufgabe 17. Eine Freitreppe darzustellen, wenn die Wangen in
Tiefenebenen gelegen sind.
Das Verhältnis der Höhe der Stufe zur Breite sei ½. Das Profil der Treppe
ist in Fig. 52 unten angegeben. Die Stärke der Treppenwange und die Breite
der Treppe werden beliebig angenommen. Die Begrenzungslinie A der
Wange und die Linien B und C, welche die Stufen bestimmen, bilden drei
parallele Linien. Ist fc der Fluchtpunkt für diese Linien, so liegt nach Satz
24 fc auf einer Senkrechten durch A und es muß auch (Fig. 51)
Afc = ½ OA
sein. Demgemäß machen wir in Fig. 52 die in A errichtete Senkrechte Afc =
AD1
der halben Distanz = . Im Punkte 0 der Grundlinie tragen wir die
2
Vorderfläche der Wange an und ziehen durch die beiden oberen Ecken die
Linien nach fc. Auf der Tiefenlinie von 0 nach A hat man jetzt den
Tiefenmaßstab anzutragen, der in dem Treppenprofil gegeben ist. Wir
tragen nach Aufg. 5 den Maßstab auf der Grundlinie an und projizieren ihn
aus D1 auf die Tiefenlinie. So erhält man die Bilder 1', 2', 3', 4' usf. In
diesen Punkten sind jetzt nach Aufg. 11 Höhen zu errichten, die bzw. eine,
zwei, drei Stufenhöhen betragen. Wir tragen deswegen auf der durch 0
gehenden Vertikalen einen Maßstab mit einer Einheit gleich einer
Stufenhöhe ab; dann liefert die Tiefenlinie 1.A auf der durch 1' gehenden
Senkrechten den Punkt I', die durch 2 gehende Tiefenlinie 2.A schneidet auf

der durch 2' gezogenen Vertikalen den Punkt II' aus usf. Eine Kontrolle
besteht darin, daß alle Punkte I', II', III' … auf einer Geraden B' liegen
müssen, die durch fc geht. Gleichzeitig erhält man die auf C' gelegenen
Eckpunkte der unteren Treppenkanten. Nun kann man ohne weiteres durch
diese Punkte die Horizontalen zeichnen bis zur rechten Treppenwange. Man
beachte, daß man auf diejenigen Treppenstufen, die unter dem Horizont
liegen, Aufsicht hat, auf die über dem Horizont befindlichen Stufen
dagegen Untersicht. In unserer Figur ist, um Raum zu sparen, die Distanz
etwas klein angenommen; man wähle sie größer, wodurch das Bild
gewinnen wird.
Es ist auch nicht
uninteressant zu
bemerken, daß Linien,
welche im Raume
steigen oder fallen, im
Bilde durchaus nicht zu
steigen oder zu fallen
brauchen. Das kann
man an Fig. 53
beobachten. Die
Fluchtpunkte des Fig. 53.
Giebels sind fa und fb,
aber die Linie x'y' fällt im Bilde, in der Richtung gegen den Fluchtpunkt
durchlaufen, während die Gerade xy selbst im Raume offenbar steigt.

§ 10. Der photographische Apparat.

28. Die Entstehung des photographischen Bildes. Wie allgemein
verbreitet die perspektivischen Bilder sind und welche Bedeutung ihnen für
die Versinnlichung der uns umgebenden Welt zukommt, kann durch nichts
stärker zum Bewußtsein gebracht werden als durch die Tatsache, daß jede
Photographie ein perspektivisches Bild ist.
Indem wir hinsichtlich der Einrichtung eines photographischen Apparates
und der Wirkung des Objektives auf andere Darstellungen verweisen 4,
bemerken wir nur, daß wir uns die Entstehung des Bildes auf der

Mattscheibe für unsere Zwecke hinreichend genau in folgender Weise
denken können.
4 Otto Prelinger, Die Photographie (ANuG Bd. 414). 1914. Moritz von Rohr,
Die optischen Instrumente (ANuG Bd. 88). 1906.

Fig. 54.
Die Begrenzungsflächen der Linsen des Objektives sind Ausschnitte aus
Kugelflächen und die Mittelpunkte aller dieser Kugeln liegen auf einer
Geraden, der optischen Achse des Linsensystems. Das photographische
Bild entsteht nun durch eine Zentralprojektion, die aus einem Punkte O
erfolgt (Fig. 54), der auf der Achse des Linsensystems liegt, und zwar
angenähert in der Mitte zwischen den Punkten, in denen die Achse die
vorderste und hinterste Linsenfläche schneidet. Dieser Punkt heißt wohl
auch der »Mittelpunkt« des Objektives.

Fig. 54 a.

Wie verhält es sich aber weiter mit der Bildebene? Die Haupteigenschaft
des Linsensystems ist die, daß jede auf der optischen Achse senkrechte
Ebene wieder in eine auf der Achse senkrechte Ebene abgebildet wird.
Photographiert man also z. B. ein Gemälde oder eine Karte, so ist die
Mattscheibe an die Stelle der entsprechenden Ebene zu bringen. Alle Punkte
des Gemäldes sind dann scharf eingestellt. Weiter kann unser Auge die
Unschärfe erst von einem gewissen Grade an erkennen. Das hat zur Folge,
daß nicht nur Punkte der betreffenden Ebene, sondern eine ganze Schicht
vor und hinter ihr gelegener Punkte ebenfalls scharf erscheinen. Es wird
folglich ein ganzes Stück des Raumes brauchbar abgebildet. Am
wichtigsten wird diese Eigenschaft, wenn wir auf einen weit entfernten
Gegenstand, z. B. einen Kirchturm, einstellen. Dann hat die Mattscheibe
des Objektives eine gewisse Entfernung vom Mittelpunkt des Objektives,
die man die »Brennweite« nennt. Es erscheint nun aber nicht nur der
Kirchturm scharf auf der Mattscheibe, sondern ein großer Teil des Raumes
bis zu einer bestimmten Entfernung vom Objektiv liefert ein scharfes Bild.
Nimmt man also eine Landschaft oder eine Architektur auf, so genügt diese
Einstellung für das ganze Objekt. Man sagt, es sei »auf Unendlich«
eingestellt und bei manchen Apparaten ist die Mattscheibe überhaupt in
dieser Stellung fixiert. Sind beispielsweise ab und cd zwei parallele,
ziemlich entfernte vertikale Gerade (Fig. 54) und ist auf Unendlich
eingestellt, so ergeben sich die Bilder von ab und cd, indem man durch den
Mittelpunkt O des Objektives die Strahlen konstruiert und diese mit der
Mattscheibe zum Schnitt bringt. Es entstehen die Bilder a'b' und c'd'. (Ein
Unterschied gegenüber unserer perspektivischen Abbildung besteht nur
darin, daß wie beim Vorgang des Sehens das Projektions-Zentrum zwischen
Gegenstand und Bildtafel gelegen ist. Deswegen erscheint das Bild auf der
Mattscheibe verkehrt: es ist oben und unten, rechts und links vertauscht.
Man kann sich übrigens eine Ebene denken, welche zwischen dem
Mittelpunkt und dem Gegenstand parallel zur Mattscheibe verläuft und
ebenso weit vom Mittelpunkt entfernt ist als die Mattscheibe. Diese Ebene
würde aus dem Bündel der projizierenden Strahlen das aufrechte Bild des
Gegenstandes ausschneiden.
Demnach müssen Photographien alle Eigenschaften perspektivischer
Bilder zeigen und man mag an der Abb. 7 (S. 70) die Verkürzungen, den
Verlauf horizontaler Geraden und den Fluchtpunktsatz verfolgen. Speziell
aus dem letzteren wollen wir noch eine Folgerung ableiten.

Abb. 6.
29. Stürzende Linien. Nehmen wir an, daß ab und cd zwei vertikale
Gerade (Fig. 54) und ist die Mattscheibe ebenfalls genau vertikal gestellt, so

sind ab und cd parallel zur Bildebene, also müssen nach Satz 10 ihre Bilder
a'b' und c'd' auch parallel sein (Fig. 54 rechts). In der Tat erscheinen in der
Abb. 7 alle vertikalen Geraden vertikal. Denken wir uns aber, daß ab und
cd etwa zwei in ziemlicher Höhe z. B. an einem Giebel befindliche Linien
seien und der Photograph würde, um sie auf die Mattscheibe zu bekommen,
den Apparat in die Höhe drehen, wie es Fig. 54 a andeutet. Jetzt sind die
parallelen Geraden ab und cd nicht mehr parallel zur Bildebene. Ihre Bilder
werden also auch nicht mehr parallel, sondern sie konvergieren nach einem
Fluchtpunkt f, der unterhalb in der erweiterten Ebene der Mattscheibe liegt.
Das Bild der Geraden zeigt Fig. 54 a rechts. Das Siegestor in München
wurde in dieser Weise mit gestürztem Apparat photographiert (Abb. 6).
Natürlich liegt der Fluchtpunkt jetzt oben, da wir das Bild doch umkehren
Aber auch aus Versehen oder aus Unachtsamkeit können sich namentlich
beim Gebrauch einer Handkamera solche stürzende Linien einstellen.
Würde man, um von einem hohen Standpunkt in die Tiefe zu
photographieren, den Apparat nach unten neigen, so läge der Fluchtpunkt
der Vertikalen im Bilde unten und die Gebäude fielen auf den Beschauer zu.
Man kann übrigens auch bei gestürztem Apparat vertikale Linien wieder
parallel und vertikal erhalten, wenn man die Mattscheibe um m so lange
dreht (Fig. 54 a), bis sie in der Stellung mp wieder vertikal steht. Dann muß
man allerdings neu einstellen. Aus diesem Grunde ist bei manchen,
besseren Apparaten die Möglichkeit gegeben, die Mattscheibe zu drehen.
Endlich wird man noch die Frage stellen können: Aus welchem Punkte
muß denn eine Photographie, die doch ein perspektivisches Bild ist,
betrachtet werden? Wir wollen uns auf den Fall beschränken, daß ein
ziemlich entferntes Objekt, eine Landschaft oder eine Architektur, mit der
Einstellung auf Unendlich aufgenommen worden sei. Dann ist eine solche
Photographie offenbar aus einer Entfernung zu betrachten, die gleich der
Brennweite ist. Es tritt also in diesem Falle als Distanz die Brennweite ein.

§ 11. Die Wahl der Distanz.

30. Größe der Distanz. Ein Gegenstand sei in seiner Lage gegen die
Bildebene gegeben, ferner möge die Tafel durch den Bildausschnitt, etwa
durch ein Rechteck abcd Fig. 55, begrenzt sein. Dann kann man noch sehr
verschiedene Bilder dieses Gegenstandes erhalten, indem man die Distanz

und die Augenhöhe verschieden wählt. Der Augpunkt soll dabei immer in
der Mittellinie des Bildes angenommen werden. Als Gegenstand bilden wir
einen rechtwinklig begrenzten Raum ab mit einem quadratisch getäfelten
Fußboden und einem Würfel, der sich über einem Quadrate des Fußbodens
erhebt. Wir wählen zunächst die Distanz AD1 klein, nämlich noch kleiner
als die kleinere Seite des Bildrechtecks, und zeichnen die Darstellung in
Fig. 55 für eine mittlere, in Fig. 56 für eine große Augenhöhe. Man erkennt,
daß in beiden Fällen, namentlich aber bei dem hohen Horizont, die
Bodenfläche so stark steigt, daß darauf befindliche Figuren förmlich
herunterzurutschen scheinen, und daß sich unschöne Verkürzungen ergeben.
Die Abb. 3 (S. 30) zeigt uns ein solches Interieur mit sehr hohem Horizont,
der etwa in 8/11 der Bildhöhe verläuft. Dagegen kann für die Darstellung
einer Stadt oder eines ganzen Landes recht gut eine Perspektive mit sehr
hohem Horizont verwendet werden. Ein solches Bild nennt man dann eine
»Vogelperspektive«.

Fig. 55. Fig. 56.

Fig. 57.
In den Figuren 57 und 58 wurde die Distanz größer angenommen,
nämlich 1½mal so groß als die größere Seite des Bildausschnittes. Endlich
gibt Fig. 59 eine Darstellung, in der die Distanz 3mal so groß gewählt ist als
die größere Seite ab des Bildes. Man bemerkt, wie in diesem Falle die
Bodenfläche und die Wände schon sehr zusammenschrumpfen. Je größer
man die Distanz wählen würde, um so mehr würde sich das Bild einer
Orthogonalprojektion nähern. Es verwischen sich aber dann die
eigentlichen, perspektivischen Eigenschaften des Bildes mehr und mehr.
Vergleicht man die fünf Figuren, so ergibt sich, daß man Fig. 56 und Fig. 58
wohl als die schönsten und ästhetisch brauchbarsten Bilder bezeichnen
muß.

Fig. 58.
Wir bringen dies weiter in Zusammenhang mit folgender Tatsache: wenn
wir irgendein größeres Objekt, sei es nun ein räumlicher Gegenstand oder
ein Bild, als Ganzes betrachten wollen, so treten wir so weit von dem
Objekt zurück, daß wir dasselbe ohne Bewegungen des Kopfes übersehen
können. Dann erst haben wir einen Gesamteindruck. Je größer der
Gegenstand ist, um so weiter entfernt wählen wir unseren Standpunkt.
Offenbar beherrscht unser Auge nur einen Kegel von ganz bestimmter
Öffnung und wir richten unsere Stellung dem Objekt gegenüber so ein, daß
das Objekt ganz in diesen Kegel hineinfällt.

Fig. 59.
Auf diese Weise erkennt man, daß die Distanz nicht völlig willkürlich
gewählt werden darf. Ist sie zu groß, so verliert das Bild die
charakteristischen, perspektivischen Wirkungen; ist sie zu klein, so ergeben

sich übertriebene Verkürzungen. Aus der Praxis heraus hat sich folgende
Regel ausgebildet:
Man wähle die Distanz 1½mal bis 2mal so groß als die größere Seite des
Bildrechteckes.
In betreff der mit kleiner Distanz gezeichneten Bilder ist auch noch daran
zu erinnern, daß das normale, nicht kurzsichtige Auge auf Gegenstände, die
näher als etwa 25 cm am Auge liegen, nicht mehr akkommodieren kann,
das heißt es kann solche Objekte nicht mehr scharf sehen. Auch aus diesem
Grunde sind demnach allzu kleine Distanzen zu vermeiden.

Fig. 60.

Abb. 7.
31. Wirkung einer zu kleinen Distanz, das Interieur. Es liegt weiter
nahe, daß man eine für eine kleine Distanz angefertigte Zeichnung aus einer
Entfernung betrachtet, die größer ist als die Distanz. Dann treten

übertriebene Tiefenwirkungen auf. In der Tat denken wir uns einen Würfel,
der mit der Fläche in der Bildtafel liegt. Das Auge befinde sich in der
Erweiterung der unteren Würfelfläche. Fig. 60 (links) stellt den Schnitt mit
einer Ebene dar, die durch das Auge senkrecht zur Bildebene geht. Das Bild
des Würfels wird dann durch a, b, c' angedeutet. Ist nun umgekehrt das
Bild a, b, c' gegeben, so ist vorauszuschicken, daß natürlich durch ein Bild
der Körper nicht bestimmt sein kann. Wenn wir aber z. B. noch wissen oder
stillschweigend annehmen, daß es sich um einen rechtwinklig begrenzten
Körper handelt, so können wir aus dem einen Bild den Körper
rekonstruieren.

Abb. 8.
Es möge nun das Bild a, b, c' aus einem Punkte O1 betrachtet werden
(Fig. 60 rechts), der weiter von der Bildebene entfernt liegt als O. Der zum
Punkte c' gehörige Raumpunkt c liegt dann einerseits auf der Linie O1c',
andererseits aber wegen der rechtwinkligen Natur des Körpers auf der
Senkrechten in b zur Bildebene. Statt des Würfels erhalten wir einen viel

längeren, rechteckigen Quader abcd. Es scheint also der Körper viel tiefer
zu sein, als er wirklich ist.

Abb. 9.
Diese unnatürliche Vertiefung (Tunnelperspektive) kann man z. B. an
photographischen Bildern beobachten, die mit Objektiven von kleiner
Brennweite hergestellt werden, weil solche Darstellungen eben meistens
aus einer zu großen Entfernung betrachtet werden. So erscheint in Abb. 7
(S. 70) das Gebäude viel länger als in Wirklichkeit. Ein einfaches Mittel,
von solchen Photographien ein richtiges Bild zu bekommen, besteht darin,
daß man sie durch ein Vergrößerungsglas betrachtet. Dann wird mit dem

Bilde auch die Distanz vergrößert, und man gewinnt eher die richtige
Entfernung für das Auge.
Eine ganz entsprechende Verkürzung des Objektes der Tiefe nach tritt ein,
wenn man unter der gleichen Annahme wie oben ein perspektivisches Bild
aus einer zu kleinen Distanz betrachtet.
Eine kleine Distanz bevorzugt man bei der Darstellung eines
Innenraumes, also beim Interieur, weil dadurch die Vorstellung erweckt
wird, daß der Beschauer sich noch im Innern des betreffenden Raumes
befindet.
Prüft man beispielsweise in dem Fresko von Raffael (1485–1520), die
»Schule von Athen« (Abb. 8, S. 71), das die eine Wand der camera della
segnatura im Vatikan in Rom einnimmt, auf Grund einer großen
Photographie die perspektivische Konstruktion, so stimmt diese allerdings
nicht vollständig genau. Als mittlerer Wert ergibt sich aber für die Distanz,
daß sie etwas größer ist als die Breite des Bildes (ungefähr = 1 ⅐ der
Bildbreite). Man beachte aber, welche unvergleichlich großartige
Raumwirkung der Künstler durch den Kuppelraum mit den beiden Schiffen
und die Vordergrundsszene erzielt. Kleiner als die größere Seite des
Bildausschnittes wird man aber die Distanz nicht wählen.

Fig. 61.
Auch bei manchen Holländern des 17. Jahrhunderts, z. B. bei van der
Meer van Delft (1632–1675), finden wir Interieurs mit kleiner Distanz. 5 So
ist bei dem in Abb. 9 wiedergegebenen Bilde, das sich im kgl. Schloß in
Windsor befindet und eine Musikstunde darstellt, die Distanz wenig größer
als die Höhe des Bildes (etwa 11/17 derselben). Man kann aber hier schon
die unangenehme Folgeerscheinung beobachten, daß bei solchen Bildern
mit kurzer Distanz der Boden im Vordergrund sich nach abwärts zu neigen,
sich herunterzuklappen scheint.
5 Man vgl. dazu Hans Jantzen, Niederländische Malerei im 17. Jahrhundert. S.
52. (ANuG Bd. 373.) 1912.

Abb. 10.
32. Das photographische Bild. Was die Bilder des photographischen
Apparates betrifft, so liefern Objektive mit großer Brennweite
Darstellungen, die einer großen Distanz entsprechen, Objektive mit kleiner
Brennweite, sogenannte Weitwinkel, geben Bilder mit kleiner Distanz. Die

übertriebene Perspektive solcher Weitwinkel erklärt sich abgesehen von der
eben erwähnten Wahl eines falschen Standpunkts direkt durch die Wirkung
der kleinen Distanz. In der Tat sind ab und cd etwa zwei gleichgroße
Objekte, O und O' die Zentren der Perspektive (Fig. 61) und a'b', c'd' ihre
Bilder in der durch eine Gerade dargestellten Tafel, so bemerkt man den
Unterschied, je nachdem die Distanz klein ist wie in der oberen Figur oder
groß wie in der unteren. In der oberen Figur ist c'd' mehr als doppelt so
groß wie a'b', in der unteren nicht ganz doppelt so groß. Dadurch daß das
fernere Objekt beim Weitwinkel so stark verkleinert wird, erscheint das
nähere gleichzeitig unverhältnismäßig groß. Die Abb. 10 gibt uns die
Aufnahme einer sitzenden Person, wobei sich der Apparat sehr nahe an der
Person befand. Die an und für sich richtige Perspektive führt zu komischen
Wirkungen. Doch lassen sich, wie Abb. 11 zeigt, mit dem gleichen Objektiv
etwas bessere Bilder erzielen, wenn man nur einen größeren Abstand von
dem Objekt wählt. Für Landschaftsaufnahmen sind diese Überlegungen von
großer Bedeutung. Ein Weitwinkel läßt ferne, hohe Berge zu unbedeutenden
Hügeln zusammenschrumpfen, er treibt den Hintergrund zurück, wie die
Photographen sagen, und betont den Vordergrund. Ein Objektiv mit großer
Brennweite dagegen gibt ferne Berge groß, es »zieht den Hintergrund nach
vorn« und läßt den Vordergrund weniger in die Erscheinung treten.

Abb. 11.

§ 12. Unzugängliche Distanz- und Fluchtpunkte.

33. Unzugänglicher Distanzpunkt. Den Augpunkt einer Darstellung
werden wir naturgemäß in der Mittellinie des Bildausschnittes annehmen,
da man bei Betrachtung eines Bildes doch ganz von selbst vor die Mitte
tritt. Dann folgt aber aus unseren Erörterungen und aus den Figuren 55 bis
59 ohne weiteres, daß die Distanzpunkte nicht mehr in dem Bildausschnitt
liegen, sondern weit darüber hinaus fallen. Verwendet man also nicht eine
viel größere Zeichenfläche, z. B. ein sehr großes Reißbrett, so sind die
Distanzpunkte nicht mehr zu erreichen. Das gleiche gilt für Fluchtpunkte
horizontaler Geraden, die, wie z. B. schon die Fig. 48 erkennen läßt, häufig
weit auf dem Horizont hinausfallen, wenn die Figur nicht absichtlich
darnach eingerichtet wird. Es fragt sich nun, wie man die Konstruktionen,
die sich auf solche über die Zeichenfläche hinausfallende Punkte beziehen,
trotzdem erledigen kann. Das ist die wichtigste Aufgabe der praktischen
Perspektive.
Wir wollen zunächst
sehen, wie man die
Aufgabe 5, also die
Konstruktion eines
Tiefenmaßstabes,
durchführen kann,
wenn die
Distanzpunkte nicht
mehr erreichbar sind.
Fig. 62. War auf einer
gegebenen Tiefenlinie
T von ihrer Spur t aus eine Strecke anzutragen, so machten wir auf der
Grundlinie ts = dieser Strecke (Fig. 62) und verbanden den Punkt s mit
einem Distanzpunkt D1; die Verbindungslinie schnitt aus T' den gesuchten
Punkt p' aus (vgl. die frühere Fig. 21 b). Halbieren wir nun aber die Strecke
AD1 und bezeichnen die Mitte mit D1. Verbinden wir weiter diesen Punkt D1
2 2
mit p', so möge diese Linie die Grundlinie im Punkte q treffen. Dann gilt
die Proportion:

D1 D
tq : qs = A : D 1 = 1 : 1.
2 2

Es ist mithin auch q die Mitte von ts und
tq = qs = ts2 .

Wir können zum
Punkte p' also auch
gelangen, wenn wir die
halbe Strecke tq auf
der Grundlinie
antragen, den Endpunkt
D
q mit dem Punkte 1
2
verbinden und diese
Linie mit T' zum
Schnitt bringen. Soll
Fig. 63. demnach z. B. auf der
Tiefenlinie T' ein
Maßstab gezeichnet
D
werden, dessen Einheit gegeben ist, und kann man 1 noch erreichen (Fig.
2
63), so tragen wir die halbe Einheit auf der Grundlinie wiederholt ab und
D
projizieren diese Punkte aus 1 auf T'. Dann erhält man den verlangten
2
Tiefenmaßstab.

Fig. 64 a. Fig. 64 b.

Rückt die Teilung auf der Grundlinie zu weit hinaus, so kann man z. B.
durch 2' eine Parallele l zur Grundlinie ziehen und die auf dieser Parallelen
D
ausgeschnittene kleinere Strecke 2'3'' auf l wiederholt antragen und aus 1
2
projizieren.
D1
Der Punkt heißt ein »Teil-Distanzpunkt«. Selbstverständlich könnte
2
man die ganze Strecke AD1 auch in drei gleiche Teile teilen und den ersten
D1
Teilpunkt von A aus mit bezeichnen. Dann hätte man statt der ganzen
3
D
Strecke bloß den dritten Teil auf der Grundlinie anzutragen. Mit 1
3
verbunden liefern diese Punkte auch wieder den Tiefenmaßstab usf.
34. Unzugängliche Fluchtpunkte. Erstes Verfahren. Die Ermittlung des
Fluchtpunktes einer beliebigen, horizontalen Geraden beruhte wesentlich
auf den Überlegungen von (16), die zu der in der Fig. 24 gegebenen
Konstruktion führten. Ist nun in dieser Figur der Fluchtpunkt fa nicht
zugänglich, so kann man diese Schwierigkeit in folgender Weise umgehen:
wir verkleinern die ganze Figur, indem wir sie sich gegen den Punkt A
zusammenziehen lassen.
Der aus der Geometrie hierbei anzuwendende Satz ist in den Fig. 64 a
und 64 b noch eigens veranschaulicht. Es ist hier zu dem Vieleck abcde in
folgender Weise ein neues konstruiert worden. Ein Punkt o wird beliebig
gewählt und mit allen Ecken a, b, c … verbunden. Auf diesen
Verbindungslinien werden die Punkte a', b', c' … dadurch bestimmt, daß
man alle Strecken oa, ob, oc … im gleichen Verhältnis teilt, also
beispielsweise immer
a'o = ⅔ ao, b'o = ⅔ bo, c'o = ⅔ co …
macht. Das neue Vieleck a', b', c' … hat dann folgende Eigenschaften:
a) Entsprechende Seiten der beiden Vielecke sind stets parallel, d.h. es ist
ab ∥ a'b', bc ∥ b'c', cd ∥ c'd' usf.
b) Alle Verhältnisse der Seiten sind die gleichen, d. h. es ist
ab : bc = a'b' : b'c' usf.

Fig. 65.
Wenn also z. B. die Seite ab doppelt so groß ist wie bc, so ist auch a'b'
doppelt so groß wie b'c'. Die Figuren abcde und a'b'c'd'e' nennt man
ähnlich und ähnlich liegend und o den Ähnlichkeitspunkt.
Im vorliegenden Falle benutzen wir A als Ähnlichkeitspunkt. Zunächst
ist in Fig. 65 die frühere Konstruktion wiederholt. Auf der Linie von A nach
D3 wählen wir nun einen Punkt D3 so, daß
3
D3
A = ⅓ AD3
3

und verkleinern die ganze Figur auf ein Drittel.

Fig. 66.
Wir verbinden also a mit A, teilen diese Linie in drei gleiche Teile und
bezeichnen den ersten Teilpunkt von A aus mit a3, so daß

A a3 = ⅓ Aa.
D3
Ziehen wir dann durch den Punkt eine Parallele zu faD3, so schneidet
3
diese auf dem Horizont einen Punkt fa aus, der die Eigenschaft hat, daß auch
3

A fa = ⅓ ⋅ Afa
3

und es ist weiter dann auch
f
afa ∥ a3 3a.

Hat man die verkleinerte, punktierte Figur gezeichnet, so kann man A'
finden, wenn ein Punkt, etwa die Spur a, bekannt ist, indem man durch a
eine Parallele zu a3 fa zieht.
3
D3
Dies ist in der Figur 66 ausgeführt. Vermittels des Punktes wurde
3
zunächst fa ermittelt, in dem man zur Verschiebung (A) der Geraden eine
3
Parallele zog; verschafft man sich weiter die Spur a der Geraden und dazu
den Hilfspunkt a3 auf der Verbindungslinie aA, so ist das Bild A' parallel zur

Linie a3 fa, kann also als eine Parallele durch a zu dieser Linie gezeichnet
3
werden.
Wie stark wir die Figur verjüngen wollen, steht natürlich in unserem
Belieben; statt auf ⅓ zu verkleinern, können wir auch die Verjüngung auf ¼
wählen oder bloß auf ½. Nur darf die neue Figur nicht zu klein werden. Wir
geben eine praktische Anwendung in der folgenden
Aufgabe 18. Eine Zimmerecke samt dem quadratisch getäfelten Fußboden
D
darzustellen, wenn der Teil-Distanzpunkt 1 noch zugänglich ist.
4

Auf der Senkrechten, die im Augpunkt A zum Horizont gezogen werden
D
kann, nehmen wir den Punkt 3 an (Fig. 67); außerdem soll gegeben sein
4
die Eckkante p'q', also die Höhe des Zimmers und die eine Bodenkante A'
durch p'.
Zunächst haben wir eine Linie B der Grundebene zu zeichnen, welche im
D
Punkte p auf A senkrecht steht, vgl. Aufgabe 9. Da 3 gegeben und noch
4
zugänglich, verjüngen wir die ganze Figur auf ¼. Dementsprechend
verbinden wir den Punkt p' mit A, teilen diese Strecke in 4 gleiche Teile und
bezeichnen den ersten an A gelegenen Teilpunkt mit p'4 . Durch diesen Punkt
p'
4
ziehen wir eine Parallele zur gegebenen Geraden A', welche in fa den
4
Horizont treffen möge. Es ist also
p' fa
4 4
∥ A'.
D3 D
Nun können wir den Punkt fa mit verbinden und im Punkte 3 eine
4 4 4
Senkrechte zu dieser Linie zeichnen, welche aus dem Horizont den Punkt fb
4
p' fb
ausschneidet. Verbinden wir 4 mit diesem Teilfluchtpunkt , so gibt diese
4
Linie die Richtung von B'; es ist also:
B' ∥ p'4 fb,
4

womit die zweite Bodenkante konstruiert ist. Die an der Decke laufenden
Kanten finden wir, wenn wir zum Punkte q' den Hilfspunkt q'4 zeichnen.
Eine Vertikale durch p'4 liefert ihn sofort auf der Verbindungslinie Aq'.
Dadurch sind die Verbindungslinien q'4 fa und q'4 fb bestimmt und zu ihnen
4 4
laufen die Deckenkanten durch q' beziehungsweise parallel.

Fig. 67.
Man beachte auch, wie sich ein solcher gegen den Beschauer
vorspringender rechter Winkel im Bilde darstellt: seine beiden Schenkel
laufen von den betreffenden Fluchtpunkten weg. Dagegen kommen bei der
Darstellung einer Gebäudeecke, wie in Fig. 53 oder 72, wo der rechte
Winkel von außen betrachtet wird, die Teile der Schenkel zur Verwendung,
welche die Fluchtpunkte tragen.

Nun sei weiter die Seite p'1' eines
Quadrates des Fußbodens gegeben. Um
diese Teilung auf der Geraden A'
fortzusetzen, verfahren wir wie folgt: wir
denken uns durch die Punkte 1, 2, 3 …
der Kante A in irgendeiner Richtung
parallele Gerade gelegt und bringen diese
in I, II, III … zum Schnitt mit einer
Fig. 67 a. parallelen zur Grundlinie, wie die
Nebenfigur 67 a dies andeutet. Dann sind
auch die Abschnitte pI, I II, II III usf. gleich groß und umgekehrt werden
gleich große Abschnitte p 1, 1 2, 2 3 … auf A erzeugt, wenn man durch
gleich große Strecken pI, I II, II III … die Parallelen legt. Im Bilde gehen
diese Parallelen dann in Linien über, welche durch einen Punkt des
Horizonts laufen.
Dementsprechend ziehen wir durch p' eine Parallele zur Grundlinie und
wählen als Punkt des Horizontes etwa A. Die Verbindungslinie von 1' nach
A schneidet auf der Parallelen den Punkt I aus und wir machen p'I = I II =
II III … Dann liefern die Punkte II, III aus A projiziert die Bilder 2', 3' … 6'.
Um die durch diese Punkte gehenden Fußbodenlinien zu finden,
verschaffen wir uns die zugehörigen Hilfspunkte. Verbinden wir z. B. 6' mit
A, so erhalten wir auf der Linie p'4 fa den entsprechenden Hilfspunkt 6'4. Die
4
durch 6' gehende Linie des Fußbodenmusters ist dann aber parallel zur
Verbindungslinie des Punktes 6'4 mit dem Punkte fb.
4

Die zweite Schar von Parallelen des Fußbodens wollen wir unter
Benutzung des Diagonalpunktes (vgl. S. 57) zeichnen. Halbieren wir den
D
Winkel bei 3, so schneidet diese Linie auf dem Horizont den Teil-
4
Dg
Diagonalpunkt aus. Daraus erhalten wir demnach den Diagonalpunkt Dg
4
selbst, wenn wir
Dg
ADg = 4 ⋅ A
4

Dg D
machen, also die Strecke A noch dreimal von g aus nach links antragen.
4 4
Durch Dg laufen dann aber alle Diagonalen der einen Art in den Quadraten
des Fußbodens, so daß dieser leicht gezeichnet werden kann. Gleichzeitig
ergeben sich viele Kontrollen.
35. Unzugängliche Fluchtpunkte. Zweites Verfahren. Wir wollen für
die Aufgabe 9 noch eine Lösung geben, die auch wieder auf dem Gedanken
beruht, an Stelle der ursprünglichen Figur eine verkleinerte, ähnliche zu
benutzen.

Fig. 68.
Ist Fa der Fluchtpunkt der gegebenen Geraden A', auf welcher im Punkt
p' eine Senkrechte B' errichtet werden soll, so konstruieren wir z. B. den
Punkt D4 (Fig. 68) und tragen im Punkte D4 einen rechten Winkel von FaD4
aus an; dann schnitt der zweite Schenkel dieses rechten Winkels den
Fluchtpunkt Fb aus, so daß die gesuchte Gerade B' den Punkt p' mit Fb
verband.
Fällt nun aber Fa nicht mehr auf das Zeichenblatt, so führen wir einen
neuen Horizont hh ein, der parallel zu hh so gewählt sei, daß sich mit A' ein
erreichbarer Schnittpunkt fa ergibt. Die ganze Figur lassen wir sich jetzt um
den Punkt p' zusammenziehen, so daß hh in hh übergeht. Wir konstruieren
also eine kleinere ähnliche Figur mit p' als Ähnlichkeitspunkt. Die Punkte

dieser neuen Figur bezeichnen wir mit den entsprechenden kleinen
Buchstaben. Zunächst liefern D1, A und Fb aus p' auf hh projiziert die
Punkte d1, a und fb.
Ferner sind in ähnlichen und ähnlich liegenden Figuren entsprechende
Gerade stets parallel (S. 78). Ziehen wir also durch a eine Parallele zur
Linie AD4, so schneidet diese auf der Verbindungsgeraden p'D4 den
entsprechenden Punkt d4 aus und es ist dann
f ad 4 ∥ F aD 4
und
fbd4 ∥ FbD4.
Nun ist in der großen Figur AD1 = AD4, also ist auch in der verkleinerten
Figur ad1 = ad4. Wir wollen jetzt annehmen, daß auch der Punkt D1 nicht
D1
mehr auf das Zeichenblatt fällt, wohl aber der Teil-Distanzpunkt .
2
Konstruieren wir auch zu ihm den entsprechenden Punkt d1, so ist
2
d d
d1 1 = a 1
2 2

und weiter
d
ad4 = 2 ⋅ a 21.

Daraus ergibt sich folgende Konstruktion (Fig. 69).

Fig. 69.
Wir zeichnen den neuen Horizont hh, welcher die gegebene Gerade A' in
fa und die Verbindungslinie von p' nach A in a trifft. Dann errichten wir zu
a eine Senkrechte in hh und machen diese doppelt so groß als die Strecke a
d1
. Ist d4 der zweite Endpunkt dieser Senkrechten, so ist also
2

ad4 = 2 a d1.
2

An die Verbindungslinie fad4 tragen wir einen rechten Winkel an, dessen
zweiter Schenkel den Horizont hh in fb schneidet. Das Bild B' der gesuchten
Senkrechten verbindet nun den Punkt p' mit fb.
Man kann diese Figur auch benutzen, um z. B. den Diagonalpunkt zu
ermitteln, wenn man sich den rechten Winkel zu einem Quadrat ergänzt
denkt. Wir dürfen ja nur den Winkel fad4fb halbieren, so liefert uns die
Halbierungslinie auf hh den Hilfspunkt dg und wenn wir diesen mit p'
verbinden, so schneidet diese Linie auf dem Horizont den Diagonalpunkt
Dg selbst aus. Der Beweis ergibt sich leicht aus der Figur 68, denn es ist
d44dg ∥ D4Dg
und da D4Dg den Winkel FaD4Fb halbiert, so muß die Parallele den Winkel
fad4fb halbieren.

36. Unzugängliche Fluchtpunkte. Drittes Verfahren. Das Wesentliche
an den eben durchgeführten Betrachtungen bestand darin, daß wir gelernt
haben, das Bild eines rechten Winkels zu zeichnen auch dann, wenn die
beiden Fluchtpunkte seiner Schenkel unzugänglich waren. Ist nun das Bild
eines solchen Winkels gegeben, so kommt es häufig vor, daß man weitere
Linien nach den unzugänglichen Fluchtpunkten zu ziehen hat. Wir
behandeln dementsprechend die
Aufgabe 19. Ein Punkt ist gegeben als der nicht zugängliche Schnittpunkt
zweier Geraden G' und hh (Fig. 71); man zeichne die Linie, welche
diesen unzugänglichen Punkt mit einem weiter gegebenen Punkte p'
verbindet.
Die Lösung gelingt leicht, wenn
wir uns an einen bekannten Satz der
Geometrie erinnern. Schneidet man
drei durch einen Punkt s gehende
Gerade A, B, C mit irgend zwei
parallelen Geraden, so werden die
beiden Parallelen in gleichem
Verhältnis geteilt, d. h. es ist Fig. 70
ab : bc = de : ef.
Teilt man umgekehrt die zwei
Parallelen im gleichen Verhältnis,
so daß also diese Gleichung erfüllt
Fig. 70.
ist, so geht die Verbindungslinie be
durch den Schnittpunkt s der beiden
Geraden hindurch.
Man kann diese beiden Sätze auch in folgender Weise ausdrücken:
Teilt man die Strecke de beispielsweise in vier gleiche Teile und
verbindet die Teilpunkte 2, 3, 4 mit s, so wird auch die Strecke ab in vier
gleiche Teile geteilt. Setzt man beide Teilungen auf den Parallelen fort, so
gehen die Verbindungslinien gleich numerierter Punkte immer durch s.
Daraus ergibt sich für die obige Aufgabe folgende Lösung (Fig. 71). Wir
ziehen durch den gegebenen Punkt p' irgendeine Linie df und zu ihr in nicht
zu geringer Entfernung eine Parallele, welche in a und c die zwei Geraden
trifft. Durch p' werde eine Parallele zu hh gelegt, welche die

Verbindungslinie cd in g schneidet.
Durch diesen Punkt g ziehen wir
eine Parallele zu G' und erhalten
auf ac den Punkt b. Dann geht die
Verbindungslinie p'b durch den
unzugänglichen Schnitt von G' und
hh hindurch, ist also die verlangte.
Denn wir entnehmen unmittelbar
aus der Figur:
ab : bc = dg : gc
und
Fig. 71.
dg : gc = dp' : p'f
folglich auch
ab : bc= dp' : p'f.

Fig. 72.
Ist eine größere Zahl von Linien nach einem unzugänglichen Punkte zu
zeichnen, so wäre das eben beschriebene Verfahren zu umständlich. Man
wird dann den zweiten oben angeführten Satz benutzen, um solche Linien
zu erhalten. Das folgende Beispiel mag dies erläutern.
Aufgabe 20. Gegeben ist das Bild eines rechten Winkels bei p' (vordere
Ecke eines Gebäudes); man zeichne Parallelen zu den Schenkeln
dieses Winkels.

Wir verlängern die durch p' gehende Vertikale, die Vorderkante des
Gebäudes, bis sie in p0 den Horizont trifft (Fig. 72), ferner wählen wir
rechts und links am Rande die Punkte q' und r' auf den Schenkeln des
rechten Winkels und ziehen durch sie die Senkrechten r'r0 und q'q0 bis zum
Horizont. Teilen wir die drei Strecken p'p0, q'q0, r'r0 in eine gleiche Anzahl
von Teilen, z. B. jede in vier Teile, so gehen die Verbindungslinien gleich
numerierter Punkte bzw. durch die Fluchtpunkte des rechten Winkels. Setzt
man die Teilungen auf den Geraden p'p0, q'q0, r'r0 über den Horizont
hinaus fort, so gehen auch die Verbindungslinien 6.6, 7.7 usf. wieder durch
die unzugänglichen Fluchtpunkte. Die Linien 7.7 mögen das Gebäude unten
abschließen.
Man erhält aber weiter auch Linien durch die Fluchtpunkte, wenn man
entsprechende Abschnitte wiederum in gleichviel Teile teilt, also
beispielsweise von den Strecken 1.2 je das an den Punkten 2 gelegene
Drittel nimmt. (Siehe Figur.) Hat man dann durch einen vorgegebenen
Punkt eine Linie nach einem der zugänglichen Fluchtpunkte zu zeichnen, so
kann man das nach dem Augenmaß ausführen, indem man das Lineal so
anlegt, daß es gleichnumerierte Strecken im gleichen Verhältnis teilt. Die
genaue Lösung dieser Aufgabe haben wir ja in der Aufgabe 19 gegeben.
Auf der linken Seite der Figur sind noch zwei Fensterreihen
eingezeichnet. Das erste an der Vorderkante p'p0 gelegene Fenster wurde
willkürlich angenommen; die anderen Fenster sollen ebensogroß sein und
voneinander ebensoweit abstehen als das erste Fenster von der Kante p'p0
entfernt ist. Wir bringen die vertikalen Kanten der Fenster mit der Linie 7.7
zum Schnitt und verfahren nun ebenso wie in 34. (Fig. 67 a.) Als beliebiger
Punkt auf dem Horizont wurde 5 gewählt. Dadurch erhalten wir auf der
durch 7 gezogenen Parallele zum Horizont zwei Strecken, die abwechselnd
angetragen die Fenster liefern. Auf der rechten Seite des Gebäudes ist
ebenso eine Tür und ein Fenster konstruiert.
Endlich mag noch erwähnt werden, daß es auch eigene Apparate,
sogenannte »Fluchtpunkt-Lineale«, gibt, um Gerade nach unzugänglichen
Punkte damit zu zeichnen.

§ 13. Gleichzeitige Anwendung der verschiedenen Methoden.

37. Verbindung der Schnittmethode mit den Fluchtpunktmethoden.
Wir können aber auch die früher behandelte Schnittmethode (vgl. 8) mit
den Konstruktionen, die sich aus der Benutzung der Fluchtpunkte ergeben
(17, 18 u. f.), verbinden und erhalten dadurch das für Darstellung
architektonischer Objekte brauchbarste Verfahren. Wir werden dasselbe am
besten an einem Beispiele kennen lernen:
Aufgabe 21. Ein Postament ist durch Grund- und Aufriß gegeben (Fig. 73);
die neue Bildebene, in der eine Perspektive dieses Objektes entworfen
werden soll, steht auf der Grundrißebene senkrecht, geht durch die
Achse des Postaments und mag durch die Linie h1h1 bestimmt sein.
Außerdem sind der Augpunkt A und der Horizont hh je durch ihre
Risse gegeben. Man zeichne das Bild des Körpers, wenn die Distanz
12 cm beträgt.
Wir wählen in der neuen Darstellung die Grundlinie gg und darüber in
der durch den Aufriß gegebenen Höhe den Horizont hh (Fig. 74) und auf
ihm den Augpunkt A. Dann zeichnen wir den Schnitt der Bildebene mit dem
Körper, was unter Benutzung der Schnittpunkte 1, 7, 13, 14, 8, 2 von h1h1
mit dem Grundriß und unter Heranziehung des Aufrisses leicht geschehen
kann. Denn die durch A gelegte Vertikale ist die Achse des Körpers.
Schneidet sie die Grundlinie in n, so machen wir nx = A11.
In x zeichnen wir wieder die Senkrechte und machen xy gleich der aus
dem Aufriß zu entnehmenden Höhe des Sockels usf. Auf diese Art erhält
man die Schnittfigur der Bildebene mit dem Körper, die in Fig. 74 durch
Schraffierung am Rande hervorgehoben ist.

Fig. 73.
Um jetzt den Grundriß des Körpers in das Bild zu übertragen, verfahren
wir in folgender Weise: Wir führen eine Parallelebene zur Grundrißebene
ein, welche aus der Bildebene die Parallele ll zum Horizont ausschneiden
möge. In diese neue Ebene projizieren wir den Grundriß. Das kommt darauf

hinaus, daß der Grundriß um das Stück hl in die Höhe geschoben wird. Wir
zeichnen nun zunächst das Bild dieses verschobenen Grundrisses.
Der Grundriß besteht aus zwei Systemen paralleler Geraden und wir
werden die beiden Fluchtpunkte zu ermitteln haben, die zu diesen Parallelen
gehören. Wir errichten in Fig. 73 im Punkte A1 eine Senkrechte zu h1h1 und
tragen auf ihr etwa ein Viertel der Distanz an, machen also
A1 O41 = 3 cm.

Ziehen wir sodann durch O1 eine Parallele zu 5.6, so schneidet diese auf
4
dem Horizont den Riß des Teilfluchtpunktes Fa aus. Demnach erhalten wir
4
in Fig. 74 den Fluchtpunkt Fa, indem wir AFa = 4 A1 Fa auf dem Horizont
4
antragen.
Der Fluchtpunkt Fb der anderen Richtung 6.3, der weit über die
Zeichenebene hinausfällt, möge nach der in 35 erörterten Methode
bestimmt werden. Wir ziehen durch Fa irgendeine Linie, wählen auf ihr den
Punkt p' beliebig und zeichnen einen neuen Horizont, der in fa die Linie
von Fa nach p' trifft. Nun ermitteln wir eine horizontale Linie, welche im
Punkte p auf der Linie Fap senkrecht steht. (Aufgabe 9.) Zunächst zeichnen
D1 O
wir den Teildistanzpunkt , indem wir aus Fig. 73 die Strecke A1 41
4
D1 O1
entnehmen und A = A1 4 antragen. Dann mögen die Verbindungslinien
4
D d
von p' nach A und 1 den neuen Horizont in a und 41 treffen. Wir errichten
4
gemäß der früheren Ableitung in a eine Senkrechte zum neuen Horizont
und machen dieselbe viermal so lang als die Strecke a d1, so daß also
4

ad4 = 4 ⋅ a d1.
4

Verbinden wir d4 mit fa, so schneidet eine Senkrechte zu dieser Linie im
Punkte d4 den Punkt fb aus und die Verbindungslinie von fb mit p' geht nach
dem Fluchtpunkte Fb.

Weitere Linien nach Fb können wir nach dem dritten in 36 angegebenen
Verfahren ermitteln. Zu diesem Zwecke sind in der Figur rechts und links
zwei Vertikale gezeichnet. Die Verbindungslinie p'fb schneidet auf diesen
die Punkte 0 aus; die Abschnitte bis zum Horizont sind rechts und links je
in zwölf gleiche Teile geteilt; alle Linien nach Fb teilen entsprechende
Abschnitte der beiden Vertikalen im gleichen Verhältnis. Es braucht wohl
kaum bemerkt zu werden, daß die Nummern auf den beiden Vertikalen bloß
dem Zwecke dienen, Linien nach dem Fluchtpunkt Fb zu liefern, und daß
diese Nummern ganz unabhängig sind von den übrigen Ziffern der Figur.
Die Konstruktion des Bildes des verschobenen Grundrisses kann nun wie
folgt erfolgen. Die Punkte 1, 7, 13, 14, 8, 2 auf der Linie ll ergeben sich
sofort, indem man die entsprechenden Strecken von h1h1 überträgt. Ist also
m der Schnittpunkt der Achse des Körpers mit ll, so ist
m1 = A11, m7 = A17 usf.

Fig. 74.
Verbinden wir dann die Punkte 1 und 2 mit Fa, so sind dies zwei Seiten
des äußeren Viereckes. Die auf der Linie von 2 nach Fa gelegenen Ecken 3

und 4 bestimmen wir nun etwa durch Tiefenlinien. Wir zeichnen zunächst
im Grundriß (Fig. 73) die Senkrechte durch 3 zu h1h1, welche in s1 die
Bildtafel trifft. Machen wir in Fig. 74 ms = A1s1, so ist s die Spur in der
Parallelebene und As das Bild der Tiefenlinie. Diese Linie As schneidet
dann auf der Linie 2.Fa den Punkt 3' aus. Ebenso mag man die übrigen
Ecken 4', 5', 6' ermitteln und es nun als Kontrolle benutzen, daß 4'.5' und
3'.6' durch Fb gehen müssen.
Man kann auch die Spuren der Geraden, soweit sie bequem erreichbar
sind, hinzunehmen. Um das Bild des zweiten Vierecks 9, 10, 11, 12 zu
zeichnen, ist im Grundriß die Spur t1 der Linie 9. 12 gezeichnet. Machen
wir in Fig. 74 mt = A1t1, so ist t die Spur der Linie 9. 12 und 9'. 12' geht
verlängert durch t.
Endlich können wir auch noch die Eigenschaft verwenden, daß die
Verbindungslinien 5'.3', 6'.4', 9'.11', 10'.12' usf. alle durch m gehen müssen.
Ist auf diese Art das Bild des verschobenen Grundrisses oben konstruiert,
so liefern die Vertikalen durch die Ecken 3', 4', 5', 6' usf. je einen ersten Ort,
auf dem die Bilder des Grundrisses selbst gelegen sein müssen. Unter
Benutzung der Schnittfigur mit der Bildebene ist das Bild des Körpers dann
aber leicht fertigzustellen. So liefert z. B. der Punkt x mit Fa verbunden die
untere, linke Kante des Sockels und die Senkrechten durch 5' und 6'
schneiden auf ihr die betreffenden Ecken aus.
Wie wir bei dieser Aufgabe die Grundebene nach oben verschoben
(Deckenriß), so kann man unter Umständen auch unterhalb der Grundebene
eine Parallelebene wählen, in diese den Grundriß projizieren (sog.
Kellergrundriß) und dessen Bild zur Konstruktion benutzen.

§ 14. Die Darstellung des Kreises.

38. Der Kreis in einer zur Tafel parallelen Ebene. Bis jetzt haben wir
uns immer mit der Abbildung gerader Linien beschäftigt, wobei uns die
Eigenschaft zustatten kam, daß das Bild einer geraden Linie wieder eine
Gerade ist. Wir wollen nun auch das Bild einer krummen Linie zeichnen,
nämlich das des Kreises. Es ist dann allerdings nötig, daß wir uns von einer
Anzahl von Punkten, die auf dem Kreise angenommen werden, die Bilder
zeichnen und diese durch einen Linienzug verbinden. Wir wollen mit dem
einfachsten Falle beginnen, der sich ergibt, wenn das Bild des gegebenen
Kreises wieder ein Kreis ist.

Fig. 75.
Der abzubildende Kreis liege in einer zur Tafel parallelen Ebene (Fig.
75). Die vom Auge nach den Punkten des Kreises gehenden Sehstrahlen

bilden einen Kegel, der die Tafel nach einer Figur schneiden muß, die zu
dem gegebenen Kreise ähnlich ist (S. 45); diese Schnittfigur ist also selbst
wieder ein Kreis. Der Mittelpunkt des gegebenen Kreises bildet sich wieder
in den Mittelpunkt des neuen Kreises ab, der Radius des neuen Kreises wird
je nach der Entfernung des gegebenen Kreises verschieden verkürzt
werden. Wir führen die Konstruktion durch an folgender
Aufgabe 22. Ein Punkt m ist gegeben durch sein Bild m' und durch die
Spur a der durch ihn gehenden Tiefenlinie A (Fig. 76). Man zeichne
das Bild des Kreises, der um m mit gegebenem Radius r beschrieben
wird und in einer zur Tafel parallelen Ebene liegt.
Auf dem Bilde A' der Tiefenlinie
A ist die Spur a von A und das Bild
m' des Mittelpunktes gegeben. Wir
denken uns (Fig. 75) den
Durchmesser np des Kreises
gezogen, der zum Horizont parallel
läuft, und ziehen durch seine beiden
Endpunkte n und p die Tiefenlinien Fig. 76.
B und C. Die Spuren b und c dieser
beiden Tiefenlinien erhalten wir in Fig. 76 ohne weiteres, wenn wir durch a
eine Parallele zum Horizont ziehen und auf dieser Parallelen ab und ac je
gleich dem gegebenen Radius r des Kreises antragen. Verbinden wir b und
c mit A, so sind dies die Bilder B' und C' der Tiefenlinien B und C und sie
schneiden auf der Parallelen durch m' zum Horizont die Punkte n' und p'
aus. n'p' ist der Durchmesser des Bildes des Kreises, das also daraus
gezeichnet werden kann.
Als Anwendung dieser Konstruktion geben wir in Fig. 77 das Bild einer
ringförmigen Platte, die mit ihrer vorderen Fläche in der Bildtafel liegt, m
ist der Mittelpunkt für die beiden vorderen Kreise. Ziehen wir durch m die
Parallele zum Horizont und tragen auf ihr eine Strecke mx ab, welche
gleich der gegebenen Dicke der Platte ist, so liefert x mit D1 verbunden auf
der Linie mA den Punkt t', welcher der Mittelpunkt für die beiden
rückwärtigen Kreise ist; deren Radien ergeben sich wie in Fig. 76.

Fig. 77.
39. Der Kreis in einer Horizontalebene. Wir gehen nun zu dem Falle
über, daß der abzubildende Kreis in einer horizontalen Ebene gelegen ist, z.
B. in der Grundebene. Es sei zu behandeln folgende
Aufgabe 23. Ein Kreis von gegebenem Radius liegt in der Grundebene so,
daß er die Grundlinie berührt. Das Bild des Kreises zu zeichnen.

Fig. 78.

Die Fig. 78 zeigt die Anordnung im Raume; in Fig. 79 ist der Kreis in der
Verschiebung gezeichnet. Es ist nun vorteilhaft, sich nicht nur Punkte des
Bildes zu verschaffen, sondern auch Linien, welche das Bild berühren,
sogenannte Berührungslinien oder »Tangenten«. Zu diesem Zwecke
umschreiben wir dem Kreise das Quadrat (1)(2)(3)(4), dessen Seiten den
Kreis in den Punkten (5), (6), (7) und (8) berühren. Das Bild dieses
Quadrates ist leicht zu zeichnen, (1)(4) und (2)(3) sind Tiefenlinien; ihre
Bilder laufen also nach A; die Linie (2)(4) aber geht im Bilde nach dem
linksseitigen Distanzpunkte D1 (vgl. 14). Ferner ist auch (6)(8) eine
Tiefenlinie und ihr Bild schneidet auf der Linie 2.4' das Bild m' des Punktes
m aus. Die Linie (5)(7) geht in eine Parallele durch m' über, welche auf den
Linien 1.4' und 2.3' die Punkte 5' und 7' liefert. Das Bild des Kreises wird in
diesem Falle eine Ellipse, welche dem Vierecke 1 2 3' 4' einbeschrieben ist
und dessen Seiten in den Punkten 6, 7', 8', 5' berührt.

Fig. 79.
Ohne Beweis sei erwähnt, daß m' nicht der »Mittelpunkt« der Ellipse ist,
daß dieser vielmehr in die Mitte der Strecke 6.8' fällt.
Bringt man die Diagonalen (2)(4) und (1)(3) des Quadrates mit dem
Kreise zum Schnitt, so erhält man die Punkte 9, 10, 11, 12 und auch deren
Bilder 9', 10', 11', 12' lassen sich leicht ermitteln, da (9) und (10) sowie (11)
und (12) je auf einer Tiefenlinie liegen. Sich noch weitere Punkte der
Ellipse aus den Punkten des Kreises zu verschaffen ist gar nicht nötig.
Es wird nützlich sein, wenn der Leser sich auch das Bild eines Kreises
zeichnet, der auf der rechten Seite des Hauptpunktes gelegen ist.

Die Figur ist dann weiter benutzt, um das Bild eines Umdrehungs-
Zylinders, also einer Walze, zu zeichnen. Ist die Höhe des Zylinders durch
die Strecke 6.6* gegeben, so schneidet die Deckfläche des Zylinders die
Bildebene in der Linie ll, welche durch 6* parallel zur Grundlinie geht. Die
Konstruktion des Bildes des Deckkreises des Zylinders erfolgt genau in der
gleichen Weise; entsprechende Punkte z. B. 3' und 3'* liegen übrigens
immer auf Vertikalen, was viele Kontrollen liefert. Endlich wird das Bild
des Zylinders vollendet, indem man auf beiden Seiten die berührenden
Vertikalen an beide Ellipsen zeichnet.
40. Der Kreis in einer vertikalen Tiefenebene. In ganz ähnlicher Weise
wie ein horizontaler Kreis kann auch ein Kreis abgebildet werden, der in
einer lotrechten Tiefenebene liegt. Wir behandeln diesen Fall in der
folgenden
Aufgabe 24. In einer lotrechten Tiefenebene, die durch ihre Spur S gegeben
ist, liegt ein Kreis von gegebenem Radius, der die Grundebene und die
Bildtafel berührt. Das Bild dieses Kreises zu zeichnen.

Fig. 80.
Die Figur 78 zeigt rückwärts den Kreis in seiner Lage gegen Grundebene
und Bildtafel. Wir umschreiben demselben wieder das Quadrat 1 2 3 4, von
dem die Seite 1.2 in der Spur S der Ebene, 1.4 in der Grundebene liegt. Um
den Kreis auch in seiner wahren Gestalt vor uns haben, denken wir uns
seine Ebene wie eine Türe nach außen um die Spur S in die Bildebene
hineingedreht, wie dies der Pfeil in Figur 78 andeutet. In dieser Lage ist der
Kreis, sowie das umschriebene Quadrat 1 2 (3) (4) in Fig. 80 gezeichnet.
Das Bild des Kreises ergibt sich dann wie folgt. Die Tiefenlinien 1.4 und
2.3 haben als Bilder die Linien von 1 nach A und von 2 nach A. Die letzte
Quadratseite 3.4 kann ferner durch folgende Überlegung gefunden werden.
Ziehen wir die Diagonale 1.3, welche durch den Mittelpunkt m geht, so ist
diese Linie unter 45° gegen die Grundebene geneigt. Die Parallele durch O
zu dieser Linie schneidet den Fluchtpunkt derselben aus und derselbe muß

nach Satz 24 auf der Senkrechten durch A liegen und von A um die Distanz
abstehen. Der Fluchtpunkt ist also der schon früher gezeichnete Punkt D4.
Ganz ebenso ergibt sich als Fluchtpunkt der anderen Diagonale 2.4 der
Punkt D3, der in Fig. 80 eingezeichnet ist. Wenn wir also in Fig. 80 die
Linien 1.D4 2.D3 ziehen, so schneiden diese auf den Bildern 2.A und 1.A die
Bilder 3' und 4' aus. Zur Probe dient, daß 3'.4' lotrecht sein muß. Ferner ist
der Schnittpunkt von 1.D4 und 2.D3 das Bild m'. Die Vertikale durch m'
liefert auf den Linien 2.A und 1.A die Berührungspunkte 5' und 7'; die Linie
6.A muß von selbst durch m' gehen und gibt den Berührungspunkt 8'.
In dem hier
vorliegenden Falle ist
das Bild des Kreises
wieder eine Ellipse; m'
ist nicht ihr
Mittelpunkt; derselbe
liegt vielmehr auf der
Linie 6.8' in der Mitte
zwischen 6 und 8'.
Die Bilder der
Punkte 9, 10 usw.
lassen sich wie im
vorigen Falle
bestimmen. Auch die
Tangente im Punkte 9'
an die Ellipse ist leicht Fig. 81.
zu zeichnen. Da
nämlich die Tangente im Punkte 9 an den Kreis parallel zur Linie 1.(3)
verläuft, so muß das Bild dieser Tangente nach D4 fliehen, also ist die Linie
9'.D4 diese Tangente.
Als Anwendung dieser Aufgabe geben wir in Fig. 81 das Bild eines
Rundbogens, der in einer lotrechten Tiefenebene gelegen ist; S sei die Spur
dieser Tiefenebene. Von dem Rundbogen ist links oben die Hälfte in der
Umlegung in die Tafel gegeben. Zur Konstruktion soll der Teildistanzpunkt
D1/2 verwendet werden. Tragen wir die Hälfte der Strecke 1(m) auf der
Horizontalen durch 1 nach rechts ab und verbinden den Endpunkt mit D1/2,

so erhalten wir (Aufg. 4) auf der Tiefenlinie 1.A das Bild m'; in
entsprechender Weise ergeben sich für die weiteren Punkte (3) … die
Bilder. Die Parallele durch (2) schneidet S in einem Punkte, der mit A
verbunden die Berührungslinie im Scheitel 2' des Bogens liefert, wobei 2'
auf der Vertikalen durch m' gelegen ist. Der ganze Rundbogen ist dann in 7
gleiche Teile geteilt und es sind die Bilder der Fugen eingetragen. Diese
Fugen laufen alle durch m'.
Schließlich sei noch erwähnt, daß das Bild eines Kreises nicht immer
eine Ellipse zu sein braucht, sondern auch eine sogenannte »Hyperbel« oder
eine »Parabel« sein kann, worauf wir aber nicht weiter eingehen können.

§ 15. Einfache Schattenkonstruktionen.

41. Schatten bei parallelem Lichte. Die undurchsichtigen Körper haben
die Eigenschaft, daß sie das auf sie fallende Licht irgendeiner Lichtquelle
nicht durchgehen lassen, sondern es aufhalten oder verschlucken
(absorbieren), so daß sich hinter dem Körper ein lichtleerer Raum, der
Schatten, ausbildet. Indem wir den Unterschied von Licht und Schatten
auch im Bilde etwa durch Schraffierung der beschatteten Teile
einigermaßen wiedergeben, erreichen wir eine größere Naturtreue.

Fig. 82.
Was die Lichtquelle betrifft, so wollen wir uns vorstellen, die Sonne
ziehe sich zu einem Punkte zusammen, etwa auf ihren Mittelpunkt, und
stehe außerdem fest am Himmel. Die dann entstehende Beleuchtung
können wir durch folgende Bestimmung ersetzen. Wir geben uns eine
Gerade s beliebig im Raume (Fig. 82) und nehmen an, daß alle
Lichtstrahlen zu dieser Geraden s parallel sind. Der ganze Raum ist erfüllt
von diesen parallelen Lichtstrahlen. Wir nennen dies eine »Beleuchtung
durch parallele Lichtstrahlen«.
Es sei jetzt eine Stange pq gegeben, die auf der Grundebene senkrecht
steht (Fig. 82). Wie können wir den Schatten ermitteln, den sie in die
Grundebene wirft? Alle auf die Gerade pq treffenden Lichtstrahlen werden
aufgehalten und bilden fortgesetzt eben den Schatten der Geraden pq. Wir
haben demnach durch die Punkte der Geraden pq die parallelen zur
Geraden s zu zeichnen. Alle diese Parallelen liegen aber, wie man leicht
erkennt, in einer Ebene und diese Ebene schneidet aus der Grundebene den
Schatten der Geraden pq aus, der also eine Gerade ist. Offenbar geht dieser
Schatten durch den Fußpunkt q der Stange. Das Ende des Schattens aber
erhalten wir, wenn wir durch den Endpunkt p den Lichtstrahl legen. Trifft
dieser in p* die Grundebene, so ist p* der Schatten des Punktes p und qp*
wird der Schatten der Geraden pq. Im Gegensatz zu dem Schatten, den die
Gerade pq unter Umständen auf andere Körper wirft, nennen wir den
Schatten qp* auf der Grundebene den »Grundschatten«. Eine zweite,
ebenfalls auf der Grundebene senkrechte Gerade rt liefert ganz in der
gleichen Weise den Grundschatten tr* und man sieht ohne Mühe ein, daß tr*
∥ qp*. Allgemein kann man sagen:
Satz 26. »Parallele Gerade liefern parallele Grundschatten auf der
Grundebene.«
Weiter handelt es sich nun
darum, die Bilder dieser Schatten
zu zeichnen. Wir beachten zu
diesem Zwecke, daß die
Lichtstrahlen parallele, schiefe
Gerade sind, wie wir sie im § 9
betrachtet haben. Diese parallelen

Geraden haben also einen Fig. 83.
Fluchtpunkt, den wir erhalten, wenn
wir durch das Auge O eine Parallele zur Geraden s ziehen und den
Schnittpunkt S dieser Parallelen mit der Tafel ermitteln. Hat der in O
befindliche Beschauer die (punktförmige) Lichtquelle im Rücken, so
befindet sich der Fluchtpunkt S unterhalb des Horizonts. Fällen wir von S
aus in der Bildebene eine Senkrechte zum Horizont und nennen Sh ihren
Fußpunkt, so können wir die Betrachtung von 27 ohne weiteres auch hier
anwenden und sehen, daß OSh ∥ qp* ∥ tr*.

Fig. 84.
Mit anderen Worten:
Satz 27. »Der Punkt Sh, die Projektion des Fluchtpunktes S der parallelen
Lichtstrahlen auf den Horizont, ist der Fluchtpunkt der
Grundschatten.«
Die Bilder der Grundschatten fliehen also alle nach Sh (Satz 23). Damit
erledigt sich nun leicht folgende
Aufgabe 25. Eine auf der Grundebene senkrechte Gerade pq ist im Bilde
gegeben; man zeichne ihren Grundschatten, wenn das parallele Licht

durch den Punkt S gegeben ist.
Durch die Annahme des Punktes S (Fig. 83) ist die Beleuchtung
vollständig gegeben, da damit die Richtung der Lichtstrahlen bestimmt
wird. Fällen wir von S ein Lot zum Horizont, so liefert dies den
Fluchtpunkt Sh der Grundschatten. Ist p'q' das gegebene Bild (wir nehmen
an, es wäre bereits gefunden), so gibt die Verbindungslinie von q' nach Sh
den Grundschatten. Der durch p gehende Lichtstrahl muß aber einerseits
durch p', andererseits durch den Fluchtpunkt S gehen; demnach schneidet
die Verbindungslinie von S nach p' auf der Linie von q' nach Sh den
Endpunkt q*' des Grundschattens aus. Es ist q'p*' das Bild des
Grundschattens. Die einfache Regel lautet also: p*' ist der Schnittpunkt der
Linien q'Sh und p'S.
Damit ist aber auch die Aufgabe gelöst: den Schatten eines beliebigen
Punktes in der Grundebene zu zeichnen. Denn wir brauchen ja nur von dem
Punkte das Lot auf die Grundebene zu fällen und dessen Fußpunkt zu
ermitteln. Dann können wir nach der obigen Aufgabe den Schatten dieser
Senkrechten ermitteln. Wir wenden das an in folgender
Aufgabe 26. Den Schatten zu zeichnen, den ein Obelisk in die Grundebene
wirft.
Das Bild des Obelisken, der auf der Grundebene steht, ist nach dem
Früheren gezeichnet (Fig. 84). Um den Schatten in der Grundebene zu
ermitteln, geben wir uns den Punkt S und seine Projektion Sh. Zunächst
zeichnen wir von der in der Tafel liegenden Kante 1.2 des Sockels nach der
oben abgeleiteten Regel den Schatten 1.2*'; ebenso finden wir den Schatten
4.3*' der Kante 3.4. Die Verbindungslinie 2*'.3*' ist dann der Schatten der
Kante 2.3 und sie flieht, wie man leicht erkennt, nach A. Nun sind die
Schatten der 4 Kanten des Obelisken zu zeichnen. Die durch 5 gehende
Kante verlängern wir bis zu ihrem Schnittpunkt 6 mit der Grundebene und
erhalten in 6.5*' ihren Schatten. Ebenso wird 8.7*' der Schatten der Kante
7.8. Die Schatten der beiden anderen Kanten fallen, wie die Konstruktion
zeigt, zwischen diese beiden Schatten hinein, so daß also 6.5*' und 8.7*' den
Schatten in der Grundebene begrenzen. Zeichnen wir noch den Schatten 9*'
der Spitze 9, indem wir die Senkrechte 9.10 benutzen, so ist der

»Schlagschatten« des Obelisken in der Grundebene fertiggestellt, wenn man
9*' mit 5*' und 7*' verbindet.
Es bildet sich aber auch auf dem Körper ein Gegensatz von Licht und
Schatten aus, in dem gewisse Teile des Körpers in Schatten gesetzt werden
(Eigenschatten). Schneidet die Linie 6.5*' die Kante 1.4 in 11, so geht die
Begrenzung des Schattens auf dem Sockel senkrecht in die Höhe nach 12.
Auf der oberen Fläche des Sockels gibt dann die Linie von 13 nach 12 die
Grenze des Schattens und es kann zur Kontrolle dienen, daß sie als ein
Grundschatten nach Sh laufen muß. Ferner befinden sich die durch die
Kante 13.5 gehende Fläche des Obelisken und die daran sich schließende
durch 5.9 gehende Deckfläche im Schatten, was durch Schraffierung
angedeutet ist.
Endlich mag noch bemerkt werden, daß man den Punkt S auch oberhalb
des Horizonts annehmen kann. Dann hat der Beschauer die Lichtquelle vor
sich und die Schatten bilden sich im Bilde nach vorne aus.

§ 16. Künstlerische Freiheiten.

42. Freiere Gestaltung des Bildes. Am Schlusse unserer Betrachtungen
angelangt, wollen wir uns noch darüber klar werden, was die Lehre von der
Perspektive uns bietet, so daß wir uns von einer Überschätzung dieser
Wissenschaft in gleicher Weise fernhalten wie von einer Unterschätzung.
Die Aufgabe der Perspektive haben wir darin erkannt, daß sie uns ein
gesetzmäßig definiertes Bild eines Gegenstandes liefern soll, das uns soweit
als möglich den Gesichtseindruck ersetzt, den wir von dem Gegenstand
erhalten. Tatsächlich besteht nun aber das Betrachten irgendeines Körpers
darin, daß wir seine einzelnen Teile der Reihe nach ins Auge fassen und
unseren Blick von einer Stelle zur anderen gleiten lassen. Was wir dabei
zunächst beurteilen und abschätzen, sind die Gesichtswinkel, welche die
Blicklinien nach den einzelnen Punkten des Körpers miteinander
einschließen. Aus allen diesen Beobachtungen und Eindrücken setzen wir
dann das Bild des Körpers im Auge zusammen.
Da nun aber Winkel durch Kreisbögen gemessen werden, so gelangen
wir naturgemäß dazu, um das Auge O eine Kugel mit einem beliebigen
Radius zu beschreiben und die nach den einzelnen Punkten des Objektes

gehenden Blicklinien mit dieser Kugel zum Schnitt zu bringen. Das heißt
dann aber nichts anderes, als daß wir das Objekt aus dem Mittelpunkt auf
die Kugelfläche projizieren. Ein solches auf der Innenseite einer
Kugelfläche gelegenes Bild, das aus dem Mittelpunkt der Kugel betrachtet
wird, genügt allen Ansprüchen. Es kann für beliebig große Teile des
Raumes hergestellt werden: ein Panorama könnte z. B. in dieser Weise
eingerichtet sein. Die geraden Linien des Raumes gehen in größte Kreise
auf der Kugel über. In den allermeisten Fällen aber verlangen wir aus
Bequemlichkeitsgründen, daß die Abbildung des Gegenstandes auf einer
ebenen Fläche erfolgt; wir wollen das Bild in einem Buche, in einer Mappe
oder an der Wand haben und deswegen ist das auf einer Kugel gelegene
Bild für gewöhnlich nicht zu gebrauchen. Dann liegt es aber nahe, die
Kugelfläche durch eine Ebene zu ersetzen in der Weise, daß wir eine Ebene
einführen, welche im Punkte a der Kugel auf dem Radius oa senkrecht
steht (Fig. 85). Man nennt diese Ebene eine Berührungsebene oder
Tangentialebene der Kugel. Statt auf die Kugel projizieren wir nun die
Gegenstände auf diese Ebene und sind damit zu der Abbildung gelangt, wie
sie die Perspektive liefert. In der Nachbarschaft des Punktes a schmiegt
sich die Berührungsebene der Kugel an und beide Abbildungen, die auf der
Kugel und die auf der Ebene, stimmen so ziemlich überein. Je größer aber
der Ausschnitt des Raumes wird, den wir abbilden, um so stärker weichen
die beiden Abbildungen voneinander ab.
Es ist aber wohl zu beachten, daß
die Blickrichtung bei Betrachtung
des ebenen Bildes immer mit Oa
zusammenfallen muß. Drehen wir
den Kopf seitwärts, so daß wir z. B.
in der Richtung Ob sehen, so
müssen wir uns die in b berührende
Ebene als Tafel eingeführt denken.
Man könnte nun auf den Gedanken
Fig. 85. kommen, die Bilder, wie sie den
Blickrichtungen oa, ob, oc … und
den in diesen Punkten konstruierten Berührungsebenen entsprechen,
einfach zu einem Gesamtbild zu vereinigen. Aber auch dieser Versuch
würde auf große Schwierigkeiten stoßen. Nehmen wir etwa an, es wäre eine
Reihe gleichgroßer vertikaler Pfeiler (I, II, III …) wie in Fig. 36, 37

darzustellen. Dann wäre das Bild des mittleren Pfeilers III am größten und
nach beiden Seiten zu würden die Bilder kleiner werden. Die
Verbindungslinien der oberen und der unteren Endpunkte wären keine
Geraden mehr, sondern krumme Linien, die obere würde sich nach unten,
die untere nach oben krümmen. Wir müßten also dann den Grundsatz
opfern, daß gerade Linien sich wieder in gerade Linien abbilden und damit
würde die Herstellung solcher Bilder ungemein erschwert.
Das schließt nun aber nicht aus, daß gewisse Einzelheiten in einem
perspektivischen Bilde, namentlich gegen den Rand zu, nicht so gezeichnet
werden dürfen, wie es mehr der direkten Blickrichtung entspricht.
Namentlich für menschliche Figuren ergeben sich unangenehm wirkende
Verzerrungen, indem die Köpfe und Körper zu breit werden und zu allen
Zeiten haben sich die Künstler dann einer freieren Darstellung bedient. Eine
Reihe gleichgroßer Säulen, die parallel zur Bildebene angeordnet sind,
werden im Bilde gleichgroß wiedergegeben, während die äußeren breiter
sein müßten, eine Kugel, die seitwärts im Bilde zu sehen ist, wird durch
einen Kreis wiedergegeben und nicht durch eine Ellipse. In Raffaels Schule
von Athen (Abb. 8, Seite 71) sind, um ein Beispiel zu geben, rechts bei der
Gruppe der Astronomen zwei Kugeln dargestellt: die obere wird durch eine
Ellipse, die untere wohl durch einen Kreis wiedergegeben.
Diese und ähnliche Milderungen der perspektivischen Schablone kann
man ruhig dem Geschmack des Künstlers überlassen. Wenn er sich nur über
die Hauptgesetze der Linienführung im klaren ist, wird er auch die eine
oder andere Abweichung als zweckdienlich erkennen. Denn die
perspektivische Zeichnung ist nicht Selbstzweck, sondern nur ein Mittel
zum Zweck. Es wird aber auch hier das Wort gelten:
Und das Gesetz nur kann uns Freiheit geben.

Literaturverzeichnis.
Schlotke, J., Lehrbuch der darstellenden Geometrie. III. Teil. Perspektive. 2.
Aufl. Dresden 1902. Mathematisch durchgeführter Lehrgang, in
elementarer Weise gut und anschaulich begründet.
Kleiber, M., Angewandte Perspektive. 5. Aufl. Webers illustrierte
Katechismen. Nr. 137. Leipzig 1912. Gute, praktische und durch viele
Beispiele erläuterte Darstellung.
Hauck, G., Malerische Perspektive und Schattenkonstruktionen. Berlin
1910.
Niemann, G., Handbuch der Linear-Perspektive für bildende Künstler. 2.
Aufl. Stuttgart 1902.
Meisel, F., Lehrbuch der Perspektive. Leipzig 1908.
Dalwigk, v. F., Vorlesungen über darstellende Geometrie. 2. Bd.
Perspektive. Leipzig u. Berlin 1914.
Rohn u. Papperitz, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. 3 Bände. Die
Perspektive enthält der 2. Bd. Leipzig 1906.

Sachregister.
(Die beigefügten Zahlen geben die betreffende Seite des Buches an.)

Achse, optische eines Objektives 64
Ähnliche Figuren 45, 78
Ähnlichkeitspunkt 78
Apparat, photographischer 64
Aufriß 10
Aufsicht 50
Auge 4, 16
Augpunkt 16
Augenhöhe 25

Beleuchtung durch paralleles Licht 96
Bildebene 4
Bild, perspektivisches 3 ff.
–, photographisches 64, 74
– eines Punktes 4
Breitenmaßstab 50
Brennweite eines Objektives 65

Deckenriß 90
Diagonale eines Quadrates 26
Diagonalpunkt 57
Distanz 16
Distanzpunkt 25

Eigenschatten 99
Einstellung auf Unendlich 65
Ellipse als Bild eines Kreises 93, 95

Fallende Linien im Bilde 40
– – im Raum 59, 60
Flucht, Fluchtpunkt einer Geraden 20
Fluchtpunkt-Lineal 86
Freiheiten, künstlerische 99

Gerade Ansicht 58
Gerader Riß 7
Gesichtswinkel 46
Gesamteindruck 69
Grundebene 24
Grundlinie 24
Grundriß 10
Grundschatten 97

Hauptpunkt 16
Höhenmaßstab 43, 44, 50
Horizont 18
Horizontale Gerade 39
Horizontebene 16, 18
Horizontalprojektion 10
Hyperbel als Bild eines Kreises 95

Innenraum 50, 73
Interieur 50, 73

Kante 11
Kellergrundriß 90
Kreis in der Grundebene 92
– in einer Horizontalebene 92
– – – zur Tafel parallelen Ebene 90
– – – Tiefenebene 93

Linearperspektive 5
Linienperspektive 5

Mittelpunkt eines Objektives 64
– einer Ellipse 93, 95

Orthogonaler Riß 7
Optische Achse eines Objektives 64

Parabel als Bild eines Kreises 95
Parallelprojektion 13
Perspektive 5
Perspektograph 19
Perspektivisches Bild 3 ff.
Projektion 7
Projektionsstrahlen 4
Projektionszentrum 16
Projizierende Strahlen 4
Reduktion 52
Riß, gerader, rechtwinkliger 7
–, zentraler 4

Satz vom Fluchtpunkt 22
Schiefe Gerade im Raum 59
Schlagschatten 99
Schnittmethode 13
Schrägbilder 13
Schräge Ansicht 58
Sehstrahlen 4
Seitenansicht 51
Spur einer Geraden 20
Steigende Linien im Bilde 40
– – – Raum 59, 60
Stürzende Linien 66

Tafel 4
Tiefenebene 41
Tiefenlinie 25
Tiefenmaßstab 33, 50

Übereckstellung 58
Umgelegtes Auge 34, 37
Umlegung des Auges 34
– der Grundebene 37
– – Horizontebene 35, 37
Untersicht 51
Unzugänglicher Distanzpunkt 75
– Fluchtpunkt 77 ff.

Verjüngung 52

Verschiebung der Grundebene 27
Verschwindungspunkt einer Geraden 20
Vertikalprojektion 10
Vogelperspektive 68

Weitwinkel 74

Zentralprojektion 4
Zusammenlegen der Tafeln 11

Geschichte der bildenden Künste
Eine Einführung von Dr. Ernst Cohn-Wiener. Geb. ca. M. 4.–
Das Buch will kein historisch geordnetes Nachschlagebuch sein, sondern
möglichst viel vom Wesen der Kunst und des Kunstwerkes geben. Es sucht
neben dem bloßen Wissen die Freude am Kunstwerk zu vermitteln,
erkennen zu lassen, daß hinter dem Werk der Künstler als schöpferische
Persönlichkeit steht. Seine Aufgabe, der Selbstbelehrung und als Lehrbuch
zu dienen, sucht es nicht zu lösen, indem es durch oberflächliche
Behandlung eines verwirrenden Vielerei »mitzureden« befähigt, sondern
durch eingehende, Bildhaftigkeit und Anschaulichkeit anstrebende
Besprechung der behandelten Kunstwerke sucht es dem Leser den inneren
Gehalt der Kunstepochen so vor Augen zu stellen, daß er auch die Werke,
die das Büchlein selbst nicht erwähnen kann, zu verstehen vermag. Eine
reiche Zahl von Abbildungen – darunter auch farbige – dient der
Anschaulichkeit. Die neueste Zeit ist besonders eingehend behandelt
worden, weil hier das Bedürfnis am unmittelbarsten ist.
Elementargesetze der bildenden Kunst
Grundlagen einer praktischen Ästhetik von Prof. Dr. Hans Cornelius. 2.
Auflage. Mit 245 Abb. und 13 Tafeln. Geh. M. 7.–, geb. M. 8.–
»Es gibt kein Buch, in dem die elementarsten Gesetze künstlerischer
Raumgestaltung so klar und anschaulich dargelegt, so überzeugend
abgeleitet wären. Wir haben hier zum ersten Male eine zusammenfassende,
an zahlreichen einfachen Beispielen erläuterte Darstellung der
wesentlichsten Bedingungen, von denen namentlich die plastische
Gestaltung in Architektur, Plastik und Kunstgewerbe abhängt.«
(Zeitschrift für Ästhetik.)
Die bildenden Künste
Ihre Eigenart und ihr Zusammenhang. Vorlesung von Professor Dr. Karl
Doehlemann. Geheftet M. –.80
»Eine tiefgründige Besprechung der bildenden Künste – Malerei, Plastik
und Architektur umfassend – in durchweg anregender Form. Die Fachwelt

wie die gebildeten Stände werden die Schrift mit hoher Befriedigung
aufnehmen.«
(Wiener Bauindustrie-Ztg.)
Unser Verhältnis zu den bildenden Künsten
Von Prof. Dr. August Schmarsow. Geh. M. 2.–, geb. M. 2.60
»Diese Vorträge bilden den wertvollsten Beitrag zur Literatur über die
Kunsterziehungsfrage. Schmarsow entwickelt seine Anschauung über das
Verhältnis der Künste zueinander, um zu zeigen, wie jede einzelne einer
besonderen Seite der menschlichen Organisation entspreche, wie darum
auch alle Künste eng miteinander verknüpft sind, da alle von einem
Organismus ausstrahlen.«
(Deutsche Literaturzeitung.)
Psychologie der Kunst
Darstellung ihrer Grundzüge. Von Dr. R. Müller-Freienfels. 2 Bde. I: Die
Psychologie d. Kunstgenießens u. d. Kunstschaffens. II: Die Formen d.
Kunstwerks u. d. Psychol. d. Bewertung. Je M. 4.40, in 1 Bd. M. 10.–
»Was diesem Werke Beachtung und Anerkennung erworben hat, ist zum
Teil der Umstand, daß es zu den sehr seltenen wissenschaftlichen deutschen
Büchern gehört, die auch einen ästhetischen Wert besitzen, aus denen eine
Persönlichkeit spricht, die über eine gute Beherrschung des gesamten
psychologischen und ästhetischen Stoffes und über eine ungewöhnliche
Gabe der Synthese verfügt.«
(Zeitschrift für Ästhetik.)
Die Natur in der Kunst
Stud. eines Naturforschers z. Geschichte d. Malerei. Von Prof. Dr. F.
Rosen. M. 120 Abb. nach Zeichn. von E. Süß u. Photographien d. Verf. Geb.
M. 12.–
»… Botanik und Kunstgeschichte – zwei Disziplinen, die einander fremd
gegenüberzustehen scheinen! Und doch, wieviel neuen Stoff ergibt dieses
doppelte Studium. Mit wachsendem Interesse folgen wir dem Führer und
wandeln mit ihm von Stufe zu Stufe empor. Zum Genuß des anregenden
Buches tragen auch die vielen Abbildungen bei.«

(Kunstchronik.)

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin

Mathematik und Malerei. Von Oberlehrer Dr. G. Wolff. Mit 25 Abb. und 19
Fig. im Text. Kart. ca. M. 1.60
Die nahen historischen Beziehungen zwischen Malerei und
mathematischer Perspektive werden dazu benutzt, um aus formaler
Darstellung eines Bildes dessen künstlerischen Wert zu beurteilen. Der 1.
Teil entwickelt im engsten Anschluß an die Malerei die Grundlagen der
malerischen Perspektive. Der 2. Teil analysiert mit den so gewonnenen
Mitteln einzelne perspektivisch besonders lehrreiche Bilder.
Die altdeutschen Maler in Süddeutschland. Von Helene Nemitz. Mit
Bilderanhang Geh. M. 1.–, geb. M. 1.25
Das Bändchen sucht das Verständnis für die Eigenart und Größe der
altdeutschen Malerei des 15. Jahrhunderts und so den Sinn für die in ihren
Werken sich offenbarende echt deutsche Schönheit zu wecken. Es zeigt, wie
das kraftvolle, tiefinnerliche Gefühlsleben jener Zeit kaum irgendwo eine
künstlerisch reinere Ausprägung und Verklärung gefunden hat als in den
Bildern der Meister Süddeutschlands.
Albrecht Dürer. V. Dr. R. Wustmann. M. Titelbild u. 32 Abb. Geh. M. 1.–,
geb. M. 1.25
Eine schlichte und knappe Erzählung des gewaltigen menschlichen und
künstlerischen Entwicklungsganges Dürers und eine Darstellung seiner
Kunst, in der nacheinander Selbst- und Angehörigenbildnisse, die
Zeichnungen zur Apokalypse, die Darstellungen von Mann und Weib, das
Marienleben, die Stiftungsgemälde, die Radierungen v. Rittertum, Trauer
und Heiligkeit sowie die wichtigsten Werke aus der Zeit der Reife behandelt
werden.
Niederländische Malerei im 17. Jahrhundert. Von Dr. H. Jantzen. Mit 37
Abb. Geh. M. 1.–, in Lw. geb. M. 1.25

Gibt eine Einführung in das Verständnis dieser Blütezeit der Malerei,
indem es die zahlreichen, dort in immer neuen Stoffgebieten:
Historienmalerei, Porträt, Gruppenbild, Sittenbild, Interieur, Landschaft,
Seestück, Kirchenstück, Stilleben auftauchenden malerischen Probleme
sowie ihre gesetzmäßigen Zusammenhänge darlegt und die einzelnen
hervortretenden Künstlerpersönlichkeiten und -gruppen kurz und treffend
charakterisiert.
Rembrandt. V. Prof. Dr. P. Schubring. Mit 1 Titelb. u. 219 Abb. Geh.
M. 1.–, geb. M. 1.25
Eine lebensvolle Schilderung des menschlichen u. künstl.
Entwicklungsganges R's. Zur Darstellung gelangen seine persönl.
Schicksale bis 1642, die Frühzeit, die Zeit bis zu Saskias Tode, die
Nachtwache, sein Verhältnis zur Bibel, die Radierungen, Urkundliches über
die Zeit nach 1642, die Periode des farbigen Helldunkels, die Gemälde nach
der Nachtwache und die Spätzeit. Beigefügt sind die beiden ältesten
Biographien Rembrandts.
Die deutsche Malerei im 19. Jahrhundert. Von Prof. Dr. R. Hamann. 1 Bd.
Text, 1 Bd. Abb. Geh. je M. 2.–, in Lw. geb. je M. 2.50, in Halbperg.
geb. M. 6.–
»H. hat eine ausgezeichnete Darstellung des Entwicklungsganges der
Malerei im letzten Jahrhundert gegeben. Meines Wissens gibt es in der
ganzen modernen Kunstgeschichtschreibung keine annähernd so
vortreffliche Darstellung des Wesens der Malerei seit 1860 bis zum
Einbruch des Naturalismus, als sie H. im 6. Kap. seines Werkes gibt. Es ist
ein Genuß, sich der meisterhaften Behandlung dieser Epoche ruhig
hinzugeben.«
(Preuß. Jahrb.)
Der Impressionismus. V. Prof. B. Lazar. Mit 1 farb. Tafel u. 32 Abb. auf
Tafeln. Geh. M. 1.–, geb. M. 1.25
Betrachtet Werden und Wesen des Impressionismus bis in die jüngste
Zeit, mit besonderer Betonung der geschichtlichen Entwicklung u. mit
Charakterisierung aller großen impressionistischen Maler der Neuzeit.
Die künstlerische Photographie. Entwicklung, Probleme, Bedeutung. V. Dr.
W. Warstat. M. Bilderanh. Geh. M. 1.–, geb. M. 1.25

Deutsche Kunsterziehung. Im Auftrage des Deutschen Landesausschusses
für den III. Internat. Kongreß zur Förderung des Zeichen- und
Kunstunterrichts veröffentl. Mit Schülerzeichn. aus Preußen, Bayern,
Sachsen u. Hamburg auf 16 Taf. Ausstattung des Buches v. Prof. P.
Behrens. Geh. M. 2.–
Inhalt: L. Pallat: Zeichenunterricht. G. Kerschensteiner: Die Entwicklg.
d. zeichner. Begabung. P. Jessen: Handarbeit u. Kunst. G. Pauli: Das
deutsche Bilderbuch. P. Hermann: Das Wandbild in der Schule. C. Götze:
Junge Kräfte. A. Lichtwark: Die Entwicklung der deutschen Kunstmuseen.
Die Erziehung d. Anschauung. Von Prof. H. E. Timerding. Mit 164 Fig.
Geh. M. 4.80, in Leinw. geb. M. 5.60
Wandtafel und Kreide im Elementarunterricht. Gedächtniszeichn. m. erläut.
Text von Lehrer Othmer. 25 bunte Taf. mit Erläuterungsheft. In Mappe
M. 6.50
Die Technik des Tafelzeichnens. Von Dr. Ernst Weber. 3. Aufl. 40 teils farb.
in Kreidetechnik gezeichn. Taf. nebst 1 Erläuterungsheft m. 6 Illustr. In
Mappe M. 6.–
Das darstellende u. schmückende Zeichnen in der Volksschule auf der
Grundlage der Arbeitsidee. Eine Lehrplanskizze von Lehrer P.
Wendler. Mit 9 Taf. (1 farb.) und 4 Abbildungen. Geh. M. 2.–
Technisches Zeichnen. Von Prof. Horstmann, Regierungs- u.
Gewerbeschulrat Geh. M. 1.–, geb. M. 1.25
Lebendiges Papier. Erfindgn. u. Entdeckung. ein. Knaben. Der eig.
Jugenderinner. nacherz. v. Dr. E. Weber. Mit 24 Taf. M. 2.50
Bau und Leben der bildenden Kunst. Von Dr. Theodor Volbehr. Mit 44 Abb.
Geh. M. 1.–, in Leinw. geb. M. 1.25
»Im Gegensatz zu den Kompendien und Leitfaden alten Stils, die, die
›Stile‹ nach ihren äußeren Merkmalen klassifizieren, sucht der Verfasser
von einem neuen Standpunkte aus in das Verständnis des Wesens der
bildenden Kunst hineinzuführen. In durchaus allgemeinverständlicher
Darstellung führt uns das Buch in das Verständnis der
Künstlerpersönlichkeit als des für die Kunst entscheidenden Faktors ein.
Die Entwicklung eigener Ansichten verleiht dem feinsinnigen Buche hohen

Reiz, so daß es auch der Künstler u. der Kunstgelehrte nicht ohne
Anteilnahme lesen wird.«
(Zeitschrift f. d. gewerbl. Unterricht.)
Die Entwicklungsgeschichte der Stile in der bildenden Kunst. Von Dr. Ernst
Cohn-Wiener Bd. I: Vom Altertum bis zur Gotik. Mit 57 Abb. Bd. II:
Von der Renaissance bis zur Gegenwart. Mit 31 Abb. Geh. je M. 1.–,
in Lw. geb. je M. 1.25
»… Ein feinsinniges, in hohem Grade anregendes Werk von ersichtlich
starker Selbständigkeit seines geistigen Gehaltes. Wir empfehlen Cohns
Darlegungen mit ihrem klaren, angenehmen Fluß d. Darstellung der
nachdenklichen Kenntnisnahme.«
(St. Galler Bl.)
Zur Architektur u. Plastik des früheren Mittelalters. Untersuchungen v. Dr.
G. Weise. M. Abb. [U. d. Pr.]
Die hier vereinigten Einzeluntersuchungen wollen als Vorarbeiten zu
einer umfassenden Geschichte der Architektur und Plastik des früheren
Mittelalters neue Ergebnisse für die wichtigste Voraussetzung zur
Erkenntnis ihres Entwicklungsganges durch eine möglichst genaue
Datierung der erhaltenen Werke gewinnen und so für die karolingische und
merowingische Zeit eine Vermehrung dieses Materials liefern. In drei
Aufsätzen sind die Ergebnisse der von dem Verfasser in jüngster Zeit an
verschiedenen karolingischen Denkmälern durchgeführten Grabungen
niedergelegt. Eine Reihe kleinerer Aufsätze bringen den Versuch, das heute
der Forschung zugängliche Material an karolingischen Denkmälern durch
Rekonstruktion einzelner verschwundener Bauten auf Grund der
Quellennachrichten zu bereichern.
Michelangelo. Eine Einführung in das Verständnis seiner Werke. Von Prof.
Ed. Hildebrand. Mit 1 Titelbild u. 43 Abb. i. Text. Geh. M. 1.–, geb.
M. 1.25
»Dies Buch dürfte zu den besten populären Werken über M. gehören. In
überzeugenden, klaren Worten behandelt der Verfasser das übermenschliche
Werk dieses großen Meisters, sein Leben und sein Wirken. Bücher wie
diese sind dazu geschaffen, tieferes Interesse an der Kunst zu erzeugen, zur
Veredelung d. Masse im besten Sinne beizutragen.«

(Der Architekt.)
Deutsche Baukunst. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. Ad. Matthaei. 3 Bände. Bd
I: Deutsche Baukunst im Mittelalter. 3. Aufl. Mit 29 Abb. Bd. II:
Deutsche Baukunst seit dem Mittelalter bis zum Ausgang des 18.
Jahrhunderts. Mit 62 Abb. und 3 Tafeln. Bd. III: Deutsche Baukunst im
19. Jahrhundert und in der Gegenwart. Mit 35 Abb. Geh. je M. 1.–,
geb. je M. 1.25, in 1 Bd. geb. M. 3.75
»… In bündiger, überaus verständlicher Sprache entrollt der Verfasser die
Entwicklungsgeschichte der deutschen Baukunst. Das Buch ist so recht
geeignet, das zu erfüllen, was der Verfasser am Schlusse des Buches als
Zweck desselben ausspricht: ›Den Laien Klarheit schaffen über die Fragen
der Baukunst und die Künstler auf jene Zeit hinweisen, in der die Baukunst
der Ausdruck deutschen Wesens war, und in denen noch manche
entwicklungsfähigen Keime ruhen dürften‹.«
(Kunst und Handwerk.)
Die Entwicklungsphasen der neueren Baukunst. Von Dr. Paul Frankl. Mit
50 Abb. im Text u. 24 Abb. auf Tafeln. Geh. M. 6.–, geb. M. 7.50
Inhalt: Problem u. Methode. Die Entwicklungsphasen der Raumform –
der Körperform – der Bildform – der Zweckgesinnung. Das
Unterscheidende und das Gemeinsame der vier Phasen.
Das Problem, die Architekturstile seit der Renaissance streng zu
definieren, wird hier von neuem aufgenommen. Die Methode ist die, daß
die vier Elemente der Architektur, Raumform, Körperform, Bildform und
Zweckgesinnung, für sich untersucht werden und die Stilmerkmale, die für
jede der Stilphasen, Renaissance, Barock, Rokoko und Klassizismus, als die
entscheidenden gelten sollen, auf die allgemeinste Formulierung gebracht
werden. Der gemeinsame Grundzug der ganzen Periode ist die Beziehung
zur Antike zunächst und daraus folgend zu einem die Kunst
verwissenschaftlichenden Begriff von Richtigkeit, der zuletzt sich ausweitet
zu einem Nebeneinander und Nacheinander anerkannter Stilrichtigkeiten im
19. Jahrhundert.
Die Begründung der modernen Ästhetik und Kunstwissenschaft durch Leon
Battista Alberti. Eine kritische Darstellung als Beitrag zur

Grundlegung der Kunstwissenschaft. Von Dr. W. Flemming. [Unter der
Presse.]
Muß Galilei der Begründer der modernen Naturwissenschaft genannt
werden, so darf sein etwas älterer Zeitgenosse L. B. Alberti der Vater der
modernen Kunstwissenschaft heißen. Bedeutungsvoller noch als seine
Einzelergebnisse ist seine Methode. Diese herauszuarbeiten, ihre
Fruchtbarkeit zu erweisen und also den Weg des Florentiners
weiterzuschreiten, ist das Ziel dieser Darstellung.
Planimetrie zum Selbstunterricht. Von Prof. P. Crantz. Mit 99 Fig. Geh.
M. 1.–, geb. M. 1.25
Macht, ohne auf wissenschaftliche Strenge zu verzichten, in einfacher
und allgemein verständlicher Darstellung, die durch historische
Bemerkungen belebt wird, mit den Grundlehren der ebenen Geometrie
vertraut, wobei besonders der Zusammenhang der einzelnen Sätze und ihr
Nutzen durch Angabe praktischer Anwendungen hervorgehoben wird und
reichliche Übungsaufgaben nebst Lösungen beigegeben sind.
Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. V. Prof. P. Crantz. 2 Bde. I.
Teil: Die Rechnungsarten. Gleichungen ersten Grades mit einer u.
mehreren Unbekannten. Gleichungen zweiten Grades. Mit 9 Fig. 3.
Aufl. II. Teil: Gleichungen. Arithmetische u. geometrische Reihen.
Zinseszins- u. Rentenrechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer
Lehrsatz. Mit 21 Fig. 2. Aufl. Jeder Bd. geh. M. 1.–, geb. M. 1.25
… Will in leicht faßlicher u. für das Selbststudium geeigneter Darstellg.
über d. Anfangsgründe der Arithmetik u. Algebra unterrichten.
Ebene Trigonometrie z. Selbstunterricht. Von Prof. P. Crantz. Mit 50 Fig.
Geh. M. 1.–, geb. M. 1.25
Will wie die andern in der Sammlung »Aus Natur und Geisteswelt«
erschienenen Bändchen über Arithmetik und Algebra und die Planimetrie in
leicht verständlicher Weise mit den Grundlehren der Trigonometrie bekannt
machen. Vollständig gelöste Aufgaben und praktische Anwendungen sind
zur Erläuterung eingefügt.
Analytische Geometrie zum Selbstunterricht. V. Prof. P. Crantz. Mit 55 Fig.
Geh. M. 1.–, geb. M. 1.25

Die für den Selbstunterricht bestimmte leicht verständliche Darstellung
führt namentlich durch Beigabe zahlreicher ausführlich gelöster Aufgaben
rasch zu völliger Beherrschung des Stoffes.
Einführung in die projektive Geometrie. Von Prof. Dr. M. Zacharias. Mit 18
Fig. Kart. M. –.80
»Der Leser bekommt ein klares Bild von der Entstehung der projektiven
Geometrie, er kann verfolgen, wie sie sich allmählich zur ›Geometrie der
Lage‹ entwickelt hat. Mühelos lernt er eine Reihe der wichtigsten Lehrsätze
in diesem Gebiete kennen und sieht, welche Aufgaben mit Hilfe dieser
Sätze gelöst werden können. Gute, in den Text eingereihte Figuren
unterstützen im hohen Maße das Verständnis der theoretischen
Ausführungen. Wir können die Schrift bestens empfehlen.«
(Wochenschr. f. d. öffentl. Baudienst.)
Konstruktionen in begrenzter Ebene. Von Direktor P. Zühlke. Mit 65 Fig.
Kart. M. –.80
»Selbst erfahrene Fachmänner auf diesem Gebiete werden gewiß Neues
finden, so die Hinweise auf die ältesten, bei den Aufgaben in Frage
kommenden Fachschriften und einige Konstruktionen, die überhaupt noch
nicht veröffentlicht worden sind … Druck und Ausstattung sind tadellos. Es
kann Interessenten wärmstens empfohlen werden.«
(Österr. Zeitschr. f. Vermessungswes.)
Schattenkonstruktionen für den Gebrauch an Baugewerkschulen,
Gewerbeschulen u. ähnl. Lehranstalten sowie zum Selbstunter. von
Baugewerkschullehrer J. Hempel. Mit 51 Fig. u. 20 Tafeln praktischer
Beispiele in Lichtdruck. In Leinw. geb. M. 5.–
Von d. Voraussetzung ausgehend, daß allein ein klares Erfassen des
Raumvorgangs den prakt. Zeichner zum sicheren Konstruieren befähigen
kann, gibt der Verfasser nach einem einleitenden Text mit zahlr.
Übungsbeispielen kurze Erläuterungen d. angewandten Lösungsverfahren.
– Den parallelprojektiven Schattenkonstruktionen ist noch eine kleinere
Gruppe perspektivischer Schattenkonstruktionen angefügt.
Das Licht u. die Farben. 6 Vorles., geh. im Volkshochschulverein München.
Von Prof. Dr. L. Graetz. 3. Aufl. Mit 117 Abb. Geh. M. 1.–, in

Leinwand geb. M. 1.25
Führt, von den einfachsten optischen Erscheinungen ausgehend, zur
tieferen Einsicht in die Natur des Lichtes u. der Farben, behandelt,
ausgehend v. der scheinbar geradlinigen Ausbreitung, Zurückwerfung und
Brechung des Lichtes, das Wesen der Farben, die Beugungserscheinungen
und die Photographie.
Die optischen Instrumente. Von Dr. M. von Rohr. 2., verm. u. verb. Aufl.
Mit 88 Abb. Geh. M. 1.–, geb. M. 1.25
»Wer die Schwierigkeiten u. den Umfang der Abbeschen Theorie der
optischen Instrumente kennt, wird der vortrefflichen allgemein
verständlichen Darstellung seine Anerkennung nicht versagen können.
Jedem, der sich über den jetzigen Stand oder irgendeine Frage der
Optotechnik rasch belehren will, kann das Buch wärmstens empfohlen
werden.«
(Streffleurs militär. Zeitschrift.)
Das Stereoskop und seine Anwendungen. Von Prof. Th. Hartwig. Mit 40
Abb. im Text u. 19 stereoskop. Taf. Geh. M. 1.–, geb. M. 1.25
Behandelt die verschiedenen Erscheinungen u. praktischen
Anwendungen der Stereoskopie, insbesondere die stereoskopischen
Himmelsphotographien, die stereoskopische Darstellung mikroskopischer
Objekte, das Stereoskop als Meßinstrument und Bedeutung und
Anwendung des Stereokomparators, insbesondere in bezug auf
photogrammetrische Messungen.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin

Weitere Anmerkungen zur Transkription
Der Katalog »Aus Natur und Geisteswelt« wurde entfernt, er steht auf Project Gutenberg als
Projekt 53614 zur Verfügung.
Offensichtliche Fehler wurden stillschweigend korrigiert.
Korrekturen:
S. 36: D1 → D2
AD3 = AD1 = AD2
S. 99: o → O
um das Auge O eine Kugel

*** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK GRUNDZÜGE
DER PERSPEKTIVE NEBST ANWENDUNGEN ***

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Section 2. Information about the Mission of Project
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Project Gutenberg is synonymous with the free distribution of electronic
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Volunteers and financial support to provide volunteers with the assistance
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Foundation was created to provide a secure and permanent future for
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