Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Latin) Isaac Newton 3202 downloads.pdf

The Project Gutenberg eBook of Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica
This eBook is for the use of anyone anywhere in the United States and
most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions
whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms
of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at
www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you
will have to check the laws of the country where you are located
before using this eBook.

Title: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

Author: Isaac Newton

Release date: March 1, 2009 [eBook #28233]
Most recently updated: August 25, 2026

Language: Latin

Other information and formats: www.gutenberg.org/ebooks/28233

Credits: Produced by Jonathan Ingram, Keith Edkins and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net

*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK PHILOSOPHIAE
NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA ***

Transcriber's
note: A few typographical errors have been corrected. They
appear in the text like this, and the explanation will

appear when the mouse pointer is moved over the
marked passage.
{Braces} are inserted by the Transcriber to clarify the
meaning of maths expressions. Overlining is the
method of grouping used in the original.

PHILOSOPHIÆ
NATURALIS

PRINCIPIA
MATHEMATICA

Autore IS. NEWTON, Trin. Coll. Cantab. Soc. Matheseos
Professore Lucasiano, & Societatis Regalis Sodali.

IMPRIMATUR.
S. PEPYS, Reg. Soc. PRÆSES.

Julii 5. 1686.

LONDINI,

Jussu Societatis Regiæ ac Typis Josephi Streater. Prostat apud
plures Bibliopolas. Anno MDCLXXXVII.

ILLUSTRISSIMÆ

SOCIETATI REGALI
a Serenissimo

REGE CAROLO II.
AD

PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM

FUNDATÆ,
ET AUSPICIIS

POTENTISSIMI MONARCHÆ

JACOBI II.
FLORENTI.

Tractatum hunc humillime D.D.D.

IS. NEWTON.

PRÆFATIO
AD

LECTOREM.
Cum Veteres Mechanicam (uti Author est Pappus) in verum Naturalium
investigatione maximi fecerint, & recentiores, missis formis substantialibus
& qualitatibus occultis, Phænomena Naturæ ad leges Mathematicas
revocare aggressi sint: Visum est in hoc Tractatu Mathesin excolere
quatenus ea ad Philosophiam spectat. Mechanicam vero duplicem Veteres
constituerunt: Rationalem quæ per Demonstrationes accurate procedit, &
Practicam. Ad practicam spectant Artes omnes Manuales, a quibus utiq;
Mechanica nomen mutuata est. Cum autem Artifices parum accurate
operari soleant, fit ut Mechanica omnis a Geometria ita distinguatur, ut
quicquid accuratum sit ad Geometriam referatur, quicquid minus
accuratum ad Mechanicam. Attamen errores non sunt Artis sed Artificum.
Qui minus accurate operatur, imperfectior est Mechanicus, & si quis
accuratissime operari posset, hic foret Mechanicus omnium perfectissimus.
Nam & Linearum rectarum & Circulorum descriptiones in quibus
Geometria fundatur, ad Mechanicam pertinent. Has lineas describere
Geometria non docet sed postulat. Postulat enim ut Tyro easdem accurate
describere prius didicerit quam limen attingat Geometriæ; dein, quomodo
per has operationes Problemata solvantur, docet. Rectas & circulos
describere Problemata sunt sed non Geometrica. Ex Mechanica postulatur
horum solutio, in Geometria docetur solutorum usus. Ac gloriatur
Geometria quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa præstet.
Fundatur igitur Geometria in praxi Mechanica, & nihil aliud est quam
Mechanicæ universalis pars illa quæ artem mensurandi accurate proponit
ac demonstrat. Cum autem artes Manuales in corporibus movendis
præcipue versentur, fit ut Geometria ad magnitudinem, Mechanica ad
motum vulgo reseratur. Quo sensu Mechanica rationalis erit Scientia

Motuum qui ex viribus quibuscunq; resultant, & virium quæ ad motus
quoscunq; requiruntur, accurate proposita ac demonstrata. Pars hæc
Mechanicæ a Veteribus in Potentiis quinque ad artes manuales spectantibus
exculta fuit, qui Gravitatem (cum potentia manualis non sit) vix aliter quam
in ponderibus per potentias illas movendis considerarunt. Nos autem non
Artibus sed Philosophiæ consulentes, deq; potentiis non manualibus sed
naturalibus scribentes, ea maxime tractamus quæ ad Gravitatem, levitatem,
vim Elasticam, resistentiam Fluidorum & ejusmodi vires seu attractivas seu
impulsivas spectant: Et ea propter hæc nostra tanquam Philosophiæ
principia Mathematica proponimus. Omnis enim Philosophiæ difficultas in
eo versari videtur, ut a Phænomenis motuum investigemus vires Naturæ,
deinde ab his viribus demonstremus phænomena reliqua. Et hac spectant
Propositiones generales quas Libro primo & secundo pertractavimus. In
Libro autem tertio exemplum hujus rei proposuimus per explicationem
Systematis mundani. Ibi enim, ex phænomenis cælestibus, per Propositiones
in Libris prioribus Mathematice demonstratas, derivantur vires gravitatis
quibus corpora ad Solem & Planetas singulos tendunt. Deinde ex his
viribus per Propositiones etiam Mathematicas deducuntur motus
Planetarum, Cometarum, Lunæ & Maris. Utinam cætera Naturæ
phænomena ex principiis Mechanicis eodem argumentandi genere derivare
liceret. Nam multa me movent ut nonnihil suspicer ea omnia ex viribus
quibusdam pendere posse, quibus corporum particulæ per causas nondum
cognitas vel in se mutuo impelluntur & secundum figuras regulares
cohærent, vel ab invicem fugantur & recedunt: quibus viribus ignotis,
Philosophi hactenus Naturam frustra tentarunt. Spero autem quod vel huic
Philosophandi modo, vel veriori alicui, Principia hic posita lucem aliquam
præbebunt.
In his edendis, Vir acutissimus & in omni literarum genere eruditissimus
Edmundus Halleius operam navavit, nec solum Typothetarum Sphalmata
correxit & Schemata incidi curavit, sed etiam Author fuit ut horum
editionem aggrederer. Quippe cum demonstratam a me figuram Orbium
cælestium impetraverat, rogare non destitit ut eadem cum Societate Regali
communicarem, Quæ deinde hortatibus & benignis suis auspiciis effecit ut
de eadem in lucem emittenda cogitare inciperem. At postquam Motuum
Lunarium inæqualitates aggressus essem, deinde etiam alia tentare
cæpissem quæ ad leges mensuras Gravitatis & aliarum virium, ad figuras a

corporibus secundum datas quascunque leges attractis describendas, ad
motus corporum plurium inter se, ad motus corporum in Mediis
resistentibus, ad vires, densitates & motus Mediorum, ad Orbes Cometarum
& similia spectant, editionem in aliud tempus differendam esse putavi, ut
cætera rimarer & una in publicum darem. Quæ ad motus Lunares spectant,
(imperfecta cum sint,) in Corollariis Propositionis LXVI. simul complexus
sum, ne singula methodo prolixiore quam pro rei dignitate proponere, &
sigillatim demonstrare tenerer, & seriem reliquarum Propositionum
interrumpere. Nonnulla sero inventa locis minus idoneis inserere malui,
quam numerum Propositionum & citationes mutare. Ut omnia candide
legantur, & defectus, in materia tam difficili non tam reprehendantur, quam
novis Lectorum conatibus investigentur, & benigne suppleantur, enixe rogo.

IN

VIRI PRÆSTANTISSIMI

D. ISAACI NEWTONI
OPUS HOCCE

MATHEMATICO-PHYSICUM

Sæculi Gentisque nostræ Decus egregium.

En tibi norma Poli, & divæ libramina Molis,
Computus atque Jovis; quas, dum primordia rerum
Pangeret, omniparens Leges violare Creator
Noluit, æternique operis fundamina fixit.
Intima panduntur victi penetralia cæli,
Nec latet extremos quæ Vis circumrotat Orbes.
Sol solio residens ad se jubet omnia prono
Tendere descensu, nec recto tramite currus
Sidereos patitur vastum per inane moveri;
Sed rapit immotis, se centro, singula Gyris.
Jam patet horrificis quæ sit via flexa Cometis;
Jam non miramur barbati Phænomena Astri.
Discimus hinc tandem qua causa argentea Phœbe
Passibus haud æquis graditur; cur subdita nulli
Hactenus Astronomo numerorum fræna recuset:
Cur remeant Nodi, curque Auges progrediuntur.
Discimus & quantis refluum vaga Cynthia Pontum
Viribus impellit, dum fractis fluctibus Ulvam
Deserit, ac Nautis suspectas nudat arenas;
Alternis vicibus suprema ad littora pulsans.
Quæ toties animos veterum torsere Sophorum,
Quæque Scholas frustra rauco certamine vexant
Obvia conspicimus nubem pellente Mathesi.
Jam dubios nulla caligine prægravat error
Queis Superum penetrare domos atque ardua Cœli
Scandere sublimis Genii concessit acumen.

Surgite Mortales, terrenas mittite curas
Atque hinc cœligenæ vires dignoscite Mentis
A pecudum vita longe lateque remotæ.
Qui scriptis jussit Tabulis compescere Cædes
Furta & Adulteria, & perjuræ crimina Fraudis;
Quive vagis populis circumdare mœnibus Urbes
Autor erat; Cererisve beavit munere gentes;
Vel qui curarum lenimen pressit ab Uva;
Vel qui Niliaca monstravit arundine pictos
Consociare sonos, oculisque exponere Voces;
Humanam sortem minus extulit; utpote pauca
Respiciens miseræ solummodo commoda vitæ.
Jam vero Superis convivæ admittimur, alti
Jura poli tractare licet, jamque abdita cœcæ
Claustra patent Terræ rerumque immobilis ordo,
Et quæ præteriti latuerunt sæcula mundi.

Talia monstrantem mecum celebrate Camænis,
Vos qui cœlesti gaudetis nectare vesci,
NEWTONVM clausi reserantem scrinia Veri,
NEWTONVM Musis charum, cui pectore puro
Phœbus adest, totoque incessit Numine mentem:
Nec fas est propius Mortali attingere Divos.

EDM. HALLEY.

PHILOSOPHIÆ
NATURALIS

Principia

MATHEMATICA.

Definitiones.

Def. I.

Quantitas Materiæ est mensura ejusdem orta ex illius Densitate &
Magnitudine conjunctim.
Aer duplo densior in duplo spatio quadruplus est. Idem intellige de Nive et
Pulveribus per compressionem vel liquefactionem condensatis. Et par est
ratio corporum omnium, quæ per causas quascunq; diversimode
condensantur. Medii interea, si quod fuerit, interstitia partium libere
pervadentis, hic nullam rationem habeo. Hanc autem quantitatem sub
nomine corporis vel Massæ in sequentibus passim intelligo. Innotescit ea
per corporis cujusq; pondus. Nam ponderi proportionalem esse reperi per
experimenta pendulorum accuratissime instituta, uti posthac docebitur.

Def. II.

Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex Velocitate et quantitate
Materiæ conjunctim.
Motus totius est summa motuum in partibus singulis, adeoq; in corpore
duplo majore æquali cum Velocitate duplus est, et dupla cum Velocitate
quadruplus.

Def. III.

Materiæ vis insita est potentia resistendi, qua corpus unumquodq;, quantum
in se est, perseverat in statu suo vel quiescendi vel movendi uniformiter in
directum.
Hæc semper proportionalis est suo corpori, neq; differt quicquam ab inertia
Massæ, nisi in modo concipiendi. Per inertiam materiæ fit ut corpus omne
de statu suo vel quiescendi vel movendi difficulter deturbetur. Unde etiam
vis insita nomine significantissimo vis inertiæ dici possit. Exercet vero
corpus hanc vim solummodo in mutatione status sui per vim aliam in se
impressam facta, estq; exercitium ejus sub diverso respectu et Resistentia et
Impetus: Resistentia quatenus corpus ad conservandum statum suum
reluctatur vi impressæ; Impetus quatenus corpus idem, vi resistentis
obstaculi difficulter cedendo, conatur statum ejus mutare. Vulgus
Resistentiam quiescentibus et Impetum moventibus tribuit; sed motus et
quies, uti vulgo concipiuntur, respectu solo distinguuntur ab invicem, neq;
semper vere quiescunt quæ vulgo tanquam quiescentia spectantur.

Def. IV.

Vis impressa est actio in corpus exercita, ad mutandum ejus statum vel
quiescendi vel movendi uniformiter in directum.
Consistit hæc vis in actione sola, neq; post actionem permanet in corpore.
Perseverat enim corpus in statu omni novo per solam vim inertiæ. Est autem
vis impressa diversarum originum, ut ex ictu, ex pressione, ex vi centripeta.

Def. V.

Vis centripeta est qua corpus versus punctum aliquod tanquam ad centrum
trahitur, impellitur, vel utcunq; tendit.
Hujus generis est gravitas, qua corpus tendit ad centrum Terræ: Vis
magnetica, qua ferrum petit centrum Magnetis, et vis illa, quæcunq; sit, qua
Planetæ perpetuo retrahuntur a motibus rectilineis, et in lineis curvis revolvi
coguntur. Est autem vis centripetæ quantitas trium generum, absoluta,
acceleratrix et motrix.

Def. VI.

Vis centripetæ quantitas absoluta est mensura ejusdem major vel minor pro
efficacia causæ eam propagantis a centro per regiones in circuitu.
Uti virtus Magnetica major in uno magnete, minor in alio.

Def. VII.

Vis centripetæ quantitas acceleratrix est ipsius mensura Velocitati
proportionalis, quam dato tempore generat.
Uti Virtus Magnetis ejusdem major in minori Distantia, minor in majori: vel
vis gravitans major in Vallibus, minor in cacuminibus præaltorum montium
(ut experimento pendulorum constat) atq; adhuc minor (ut posthac patebit)
in majoribus distantiis a Terra; in æqualibus autem distantiis eadem undiq;
propterea quod corpora omnia cadentia (gravia an levia, magna an parva)
sublata Aeris resistentia, æqualiter accelerat.

Def. VIII.

Vis centripetæ quantitas motrix est ipsius mensura proportionalis motui,
quem dato tempore generat.
Uti pondus majus in majori corpore, minus in minore; inq; corpore eodem
majus prope terram, minus in cælis. Hæc vis est corporis totius
centripetentia seu propensio in centrum & (ut ita dicam) pondus, &
innotescit semper per vim ipsi contrariam & æqualem, qua descensus
corporis impediri potest.
Hasce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires absolutas,
acceleratrices & motrices, & distinctionis gratia referre ad corpora, ad
corporum loca, & ad centrum virium: Nimirum vim motricem ad corpus,
tanquam conatum & propensionem totius in centrum, ex propensionibus
omnium partium compositum; & vim acceleratricem ad locum corporis,
tanquam efficaciam quandam, de centro per loca singula in circuitu
diffusam, ad movenda corpora quæ in ipsis sunt; vim autem absolutam ad
centrum, tanquam causa aliqua præditum, sine qua vires motrices non
propagantur per regiones in circuitu; sive causa illa sit corpus aliquod
centrale (quale est Magnes in centro vis Magneticæ vel Terra in centro vis

gravitantis) sive alia aliqua quæ non apparet. Mathematicus saltem est hic
conceptus. Nam virium causas & sedes physicas jam non expendo.
Est igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad motum. Oritur
enim quantitas motus ex celeritate ducta in quantitatem Materiæ, & vis
motrix ex vi acceleratrice ducta in quantitatem ejusdem materiæ. Nam
summa actionum vis acceleratricis in singulas corporis particulas est vis
motrix totius. Unde juxta Superficiem Terræ, ubi gravitas acceleratrix seu
vis gravitans in corporibus universis eadem est, gravitas motrix seu pondus
est ut corpus: at si in regiones ascendatur ubi gravitas acceleratrix fit minor,
pondus pariter minuetur, eritq; semper ut corpus in gravitatem
acceleratricem ductum. Sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix duplo
minor est, pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadruplo vel
sextuplo minus.
Porro attractiones et impulsus eodem sensu acceleratrices & motrices
nomino. Voces autem attractionis, impulsus vel propensionis cujuscunq; in
centrum, indifferenter et pro se mutuo promiscue usurpo, has vires non
physice sed Mathematice tantum considerando. Unde caveat lector ne per
hujusmodi voces cogitet me speciem vel modum actionis causamve aut
rationem physicam alicubi definire, vel centris (quæ sunt puncta
Mathematica) vires vere et physice tribuere, si forte aut centra trahere, aut
vires centrorum esse dixero.

Scholium.

Hactenus voces minus notas, quo in sensu in sequentibus accipiendæ sunt,
explicare visum est. Nam tempus, spatium, locum et motum ut omnibus
notissima non definio. Dicam tamen quod vulgus quantitates hasce non
aliter quam ex relatione ad sensibilia concipit. Et inde oriuntur præjudicia
quædam, quibus tollendis convenit easdem in absolutas & relativas, veras &
apparentes, Mathematicas et vulgares distingui.
I. Tempus absolutum verum & Mathematicum, in se & natura sua absq;
relatione ad externum quodvis, æquabiliter fluit, alioq; nomine dicitur
Duratio; relativum apparens & vulgare est sensibilis & externa quævis
Durationis per motum mensura, (seu accurata seu inæquabilis) qua vulgus
vice veri temporis utitur; ut Hora, Dies, Mensis, Annus.

II. Spatium absolutum natura sua absq; relatione ad externum quodvis
semper manet similare & immobile; relativum est spatii hujus mensura seu
dimensio quælibet mobilis, quæ a sensibus nostris per situm suum ad
corpora definitur, & a vulgo pro spatio immobili usurpatur: uti dimensio
spatii subterranei, aerei vel cælestis definita per situm suum ad Terram.
Idem sunt spatium absolutum & relativum, specie & magnitudine, sed non
permanent idem semper numero. Nam si Terra, verbi gratia, movetur,
spatium Aeris nostri quod relative & respectu Terræ semper manet idem,
nunc erit una pars spatii absoluti in quam Aer transit, nunc alia pars ejus, &
sic absolute mutabitur perpetuo.
III. Locus est pars spatii quam corpus occupat, estq; pro ratione spatii vel
absolutus vel relativus. Partem dico spatii, non situm corporis vel
superficiem ambientem. Nam solidorum æqualium æquales semper sunt
loci; Superficies autem ob dissimilitudinem figurarum ut plurimum
inæquales sunt; situs vero proprie loquendo quantitatem non habent, neq;
tam sunt loca quam affectiones locorum. Motus totius idem est cum summa
motuum partium, hoc est, translatio totius de ipsius loco eadem cum summa
translationum partium de locis suis, adeoq; locus totius idem cum summa
locorum partium, & propterea internus & in corpore toto.
IV. Motus absolutus est translatio corporis de loco absoluto in locum
absolutum, relativus de relativo in relativum. Sic in Navi quæ velis passis
fertur, relativus corporis locus est navis regio illa in qua corpus versatur, seu
cavitatis totius pars illa quam corpus implet, quæq; adeo movetur una cum
Navi; & Quies relativa est permansio corporis in eadem illa navis regione
vel parte cavitatis. At Quies vera est permansio corporis in eadem parte
spatii illius immoti in qua Navis ipsa una cum cavitate sua & contentis
universis movetur. Unde si Terra vere quiescit, corpus quod relative quiescit
in Navi, movebitur vere et absolute ea cum Velocitate qua Navis movetur in
Terra. Sin Terra etiam movetur, orietur verus et absolutus corporis motus
partim ex Terræ motu vero in spatio immoto, partim ex Navis motu relativo
in Terra; et si corpus etiam movetur relative in Navi, orietur verus ejus
motus partim ex vero motu Terræ in spatio immoto, partim ex relativis
motibus tum Navis in Terra, tum corporis in Navi, et ex his motibus
relativis orietur corporis motus relativus in Terra. Ut si Terræ pars illa ubi
Navis versatur moveatur vere in Orientem, cum Velocitate partium 10010,
et velis ventoq; feratur Navis in Occidentem cum Velocitate partium decem,

Nauta autem ambulet in Navi Orientem versus cum Velocitatis parte una,
movebitur Nauta vere et absolute in spatio immoto cum Velocitatis partibus
10001 in Orientem, et relative in Terra Occidentem versus cum Velocitatis
partibus novem.
Tempus absolutum a relativo distinguitur in Astronomia per Æquationem
Temporis vulgi. Inæquales enim sunt dies Naturales, qui vulgo tanquam
æquales pro Mensura Temporis habentur. Hanc inæqualitatem corrigunt
Astronomi ut ex veriore Tempore mensurent motus cælestes. Possibile est
ut nullus sit motus æquabilis quo Tempus accurate mensuretur. Accelerari &
retardari possunt motus omnes, sed fluxus Temporis absoluti mutari nequit.
Eadem est duratio seu perseverantia existentiæ rerum, sive motus sint
celeres, sive tardi, sive nulli; proinde hæc a mensuris suis sensibilibus
merito distinguitur, & ex ijsdem colligitur per Æquationem Astronomicam.
Hujus autem æquationis in determinandis Phænomenis necessitas, tum per
experimentum Horologii oscillatorii, tum etiam per Eclipses Satellitum
Jovis evincitur.
Ut partium Temporis ordo est immutabilis, sic etiam ordo partium Spatii.
Moveantur hæ de locis suis, & movebuntur (ut ita dicam) de seipsis. Nam
Tempora & Spatia sunt sui ipsorum & rerum omnium quasi loca. In
Tempore quoad ordinem successionis; in Spatio quoad ordinem situs
locantur universa. De illorum Essentia est ut sint loca, & loca primaria
moveri absurdum est. Hæc sunt igitur absoluta loca, & solæ translationes de
his locis sunt absoluti motus.
Verum quoniam hæ spatii partes videri nequeunt, & ab invicem per sensus
nostros distingui, earum vice adhibemus mensuras sensibiles. Ex
positionibus enim & distantiis rerum a corpore aliquo, quod spectamus ut
immobile, definimus loca universa; deinde etiam & omnes motus
æstimamus cum respectu ad prædicta loca, quatenus corpora ab iisdem
transferri concipimus. Sic vice locorum & motuum absolutorum relativis
utimur, nec incommode in rebus humanis: in Philosophicis autem
abstrahendum est a sensibus. Fieri etenim potest ut nullum revera quiescat
corpus, ad quod loca motusq; referantur.
Distinguuntur autem Quies & Motus absoluti & relativi ab invicem per
eorum proprietates, causas & effectus. Quietis proprietas est, quod corpora

vere quiescentia quiescunt inter se. Ideoq; cum possibile sit ut corpus
aliquod in regionibus fixarum, aut longe ultra, quiescat absolute; sciri autem
non possit ex situ corporum ad invicem in regionibus nostris, utrum horum
aliquod ad longinquum illud datam positionem servet, quies vera ex horum
situ inter se definiri nequit.
Motus proprietas est, quod partes quæ datas servant positiones ad tota,
participant motus eorundem totorum. Nam gyrantium partes omnes
conantur recedere de axe motus, et progredientium impetus oritur ex
conjuncto impetu partium singularum. Igitur motis corporibus ambientibus,
moventur quæ in ambientibus relative quiescunt. Et propterea motus verus
et absolutus definiri nequit per translationem e vicinia corporum, quæ
tanquam quiescentia spectantur. Debent corpora externa non solum tanquam
quiescentia spectari, sed etiam vere quiescere. Alioquin inclusa omnia,
præter translationem e vicinia ambientium, participabunt etiam ambientium
motus veros, et sublata illa translatione non vere quiescent, sed tanquam
quiescentia solummodo spectabuntur; sunt enim ambientia ad inclusa ut
totius pars exterior ad partem interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto
autem cortice, nucleus etiam, absq; translatione de vicinia corticis, ceu pars
totius, movetur.
Præcedenti proprietati affinis est, quod moto loco movetur una locatum,
adeoq; corpus, quod de loco moto movetur, participat etiam loci sui motum.
Igitur motus omnes, qui de locis motis fiunt, sunt partes solummodo
motuum integrorum et absolutorum, et motus omnis integer componitur ex
motu corporis de loco suo primo, et motu loci hujus de loco suo, et sic
deinceps, usq; dum perveniatur ad locum immotum, ut in exemplo Nautæ
supra memorato. Unde motus integri et absoluti non nisi per loca immota
definiri possunt, et propterea hos ad loca immota, relativos ad mobilia supra
retuli: Loca autem immota non sunt, nisi quæ omnia ab infinito in infinitum
datas servant positiones ad invicem, atq; adeo semper manent immota,
spatiumq; constituunt quod immobile appello.
Causæ, quibus motus veri et relativi distinguuntur ab invicem, sunt vires in
corpora impressæ ad motum generandum. Motus verus nec generatur nec
mutatur nisi per vires in ipsum corpus motum impressas: at motus relativus
generari et mutari potest absq; viribus impressis in hoc corpus. Sufficit enim
ut imprimantur in alia solum corpora ad quæ fit relatio, ut ijs cedentibus

mutetur relatio illa in qua hujus quies vel motus relativus consistit. Rursus
motus verus a viribus in corpus motum impressis semper mutatur, at motus
relativus ab his viribus non mutatur necessario. Nam si eædem vires in alia
etiam corpora, ad quæ fit relatio, sic imprimantur ut situs relativus
conservetur, conservabitur relatio in qua motus relativus consistit. Mutari
igitur potest motus omnis relativus ubi verus conservatur, et conservari ubi
verus mutatur; et propterea motus verus in ejusmodi relationibus minime
consistit.
Effectus quibus motus absoluti et relativi distinguuntur ab invicem, sunt
vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in motu circulari nude relativo
hæ vires nullæ sunt, in vero autem et absoluto majores vel minores pro
quantitate motus. Si pendeat situla a filo prælongo, agaturq; perpetuo in
orbem donec filum a contorsione admodum rigescat, dein impleatur aqua, et
una cum aqua quiescat; tum vi aliqua subitanea agatur motu contrario in
orbem, et filo se relaxante, diutius perseveret in hoc motu: superficies aquæ
sub initio plana erit, quemadmodum ante motum vasis, at postquam, vi in
aquam paulatim impressa, effecit vas, ut hæc quoq; sensibiliter revolvi
incipiat, recedet ipsa paulatim e medio, ascendetq; ad latera vasis, figuram
concavam induens, (ut ipse expertus sum) et incitatiore semper motu
ascendet magis & magis, donec revolutiones in æqualibus cum vase
temporibus peragendo, quiescat in eodem relative. Indicat hic ascensus
conatum recedendi ab axe motus, & per talem conatum & innotescit &
mensuratur motus aquæ circularis verus & absolutus, motuiq; relativo hic
omnino contrarius. Initio ubi maximus erat aquæ motus relativus in vase,
motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe: Aqua non petebat
circumferentiam ascendendo ad latera vasis, sed plana manebat, &
propterea motus illius circularis verus nondum inceperat. Postea vero ut
aquæ motus relativus decrevit, ascensus ejus ad latera vasis indicabat
conatum recedendi ab axe, atq; hic conatus monstrabat motum illius
circularem verum perpetuo crescentem, ac tandem maximum factum ubi
aqua quiescebat in vase relative. Igitur conatus iste non pendet a
translatione aquæ respectu corporum ambientium, & propterea motus
circularis verus per tales translationes definiri nequit. Unicus est corporis
cujusq; revolventis motus vere circularis, conatui unico tanquam proprio &
adæquato effectui respondens; motus autem relativi pro varijs relationibus
ad externa innumeri sunt, & relationum instar, effectibus veris omnino

destituuntur, nisi quatenus de vero illo & unico motu participant. Unde & in
Systemate eorum qui Cælos nostros infra Cælos fixarum in orbem revolvi
volunt, & Planetas secum deferre; Planetæ & singulæ Cælorum partes, qui
relative quidem in Cælis suis proximis quiescunt, moventur vere. Mutant
enim positiones suas ad invicem (secus quam fit in vere quiescentibus)
unaq; cum cælis delati participant eorum motus, & ut partes revolventium
totorum, ab eorum axibus recedere conantur.
Igitur quantitates relativæ non sunt eæ ipsæ quantitates quarum nomina præ
se ferunt, sed earum mensuræ illæ sensibiles (veræ an errantes) quibus
vulgus loco mensuratarum utitur. At si ex usu definiendæ sunt verborum
significationes; per nomina illa Temporis, Spatij, Loci & Motus proprie
intelligendæ erunt hæ mensuræ; & sermo erit insolens & pure
Mathematicus si quantitates mensuratæ hic subintelligantur. Proinde vim
inferunt Sacris literis qui voces hasce de quantitatibus mensuratis ibi
interpretantur. Neq; minus contaminant Mathesin & Philosophiam qui
quantitates veras cum ipsarum relationibus & vulgaribus mensuris
confundunt.
Motus quidem veros corporum singulorum cognoscere, & ab apparentibus
actu discriminare, difficillimum est; propterea quod partes spatij illius
immobilis in quo corpora vere moventur, non incurrunt in sensus. Causa
tamen non est prorsus desperata. Nam suppetunt argumenta partim ex
motibus apparentibus, qui sunt motuum verorum differentiæ, partim ex
viribus quæ sunt motuum verorum causæ & effectus. Ut si globi duo ad
datam ab invicem distantiam filo intercedente connexi, revolverentur circa
commune gravitatis centrum; innotesceret ex tensione fili conatus globorum
recedendi ab axe motus, & inde quantitas motus circularis computari posset.
Deinde si vires quælibet æquales in alternas globorum facies ad motum
circularem augendum vel minuendum simul imprimerentur, innotesceret ex
aucta vel diminuta fili tensione augmentum vel decrementum motus; & inde
tandem inveniri possent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut
motus maxime augeretur, id est facies posticæ, sive quæ in motu circulari
sequuntur. Cognitis autem faciebus quæ sequuntur & faciebus oppositis
quæ præcedunt, cognosceretur determinatio motus. In hunc modum inveniri
posset & quantitas & determinatio motus hujus circularis in vacuo quovis
immenso, ubi nihil extaret externum & sensibile, quocum globi conferri
possent. Si jam constituerentur in spatio illo corpora aliqua longinqua datam

inter se positionem servantia, qualia sunt stellæ fixæ in regionibus nostris:
sciri quidem non posset ex relativa globorum translatione inter corpora,
utrum his an illis tribuendus esset motus. At si attenderetur ad filum &
inveniretur tensionem ejus illam ipsam esse quam motus globorum
requireret; concludere liceret motum esse globorum, & tum demum ex
translatione globorum inter corpora, determinationem hujus motus
colligere. Motus autem veros ex eorum causis, effectibus & apparentibus
differentijs colligere, & contra, ex motibus seu veris seu apparentibus,
eorum causas & effectus, docebitur fusius in sequentibus. Hunc enim in
finem Tractatum sequentem composui.

AXIOMATA
SIVE

LEGES MOTUS

Lex. I.

Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi
uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur
statum illum mutare.

Projectilia perseverant in motibus suis nisi quatenus a resistentia aeris
retardantur & vi gravitatis impelluntur deorsum. Trochus, cujus partes
cohærendo perpetuo retrahunt sese a motibus rectilineis, non cessat rotari
nisi quatenus ab aere retardatur. Majora autem Planetarum & Cometarum
corpora motus suos & progressivos & circulares in spatiis minus
resistentibus factos conservant diutius.

Lex. II.

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, &
fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Si vis aliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla triplum
generabit, sive simul & semel, sive gradatim & successive impressa fuerit.
Et hic motus quoniam in eandem semper plagam cum vi generatrice
determinatur, si corpus antea movebatur, motui ejus vel conspiranti additur,
vel contrario subducitur, vel obliquo oblique adjicitur, & cum eo secundum
utriusq; determinationem componitur.

Lex. III.

Actioni contrariam semper & æqualem esse reactionem: sive
corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales & in

partes contrarias dirigi.

Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur vel trahitur.
Siquis lapidem digito premit, premitur & hujus digitus a lapide. Si equus
lapidem funi allegatum trahit, retrahetur etiam & equus æqualiter in
lapidem: nam funis utrinq; distentus eodem relaxandi se conatu urgebit
Equum versus lapidem, ac lapidem versus equum, tantumq; impediet
progressum unius quantum promovet progressum alterius. Si corpus aliquod
in corpus aliud impingens, motum ejus vi sua quomodocunq; mutaverit,
idem quoque vicissim in motu proprio eandem mutationem in partem
contrariam vi alterius (ob æqualitatem pressionis mutuæ) subibit. His
actionibus æquales fiunt mutationes non velocitatum sed motuum, (scilicet
in corporibus non aliunde impeditis:) Mutationes enim velocitatum, in
contrarias itidem partes factæ, quia motus æqualiter mutantur, sunt
corporibus reciproce proportionales.

Corol. I.

Corpus viribus conjunctis diagonalem
parallelogrammi eodem tempore describere, quo
latera separatis.

Si corpus dato tempore, vi sola M, ferretur ab A ad B, & vi
sola N, ab A ad C, compleatur parallelogrammum ABDC, & vi utraq; feretur
id eodem tempore ab A ad D. Nam quoniam vis N agit secundum lineam AC
ipsi BD parallelam, hæc vis nihil mutabit velocitatem accedendi ad lineam
illam BD a vi altera genitam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad
lineam BD sive vis N imprimatur, sive non, atq; adeo in fine illius temporis
reperietur alicubi in linea illa BD. Eodem argumento in fine temporis
ejusdem reperietur alicubi in linea CD, & idcirco in utriusq; lineæ concursu
D reperiri necesse est.

Corol. II.

Et hinc patet compositio vis directæ AD ex viribus quibusvis
obliquis AB & BD, & vicissim resolutio vis cujusvis directæ AD

in obliquas quascunq; AB & BD. Quæ quidem Compositio &
resolutio abunde confirmatur ex Mechanica.

Ut si de rotæ alicujus centro O exeuntes radij inæquales
OM, ON filis MA, NP sustineant pondera A & P, &
quærantur vires ponderum ad movendam rotam: per
centrum O agatur recta KOL filis perpendiculariter
occurrens in K & L, centroq; O & intervallorum OK, OL
majore OL describatur circulus occurrens filo MA in D:
& actæ rectæ OD parallela sit AC & perpendicularis
DC. Quoniam nihil refert utrum filorum puncta K, L, D
affixa sint vel non affixa ad planum rotæ, pondera idem valebunt ac si
suspenderentur a punctis K & L vel D & L. Ponderis autem A exponatur vis
tota per lineam AD, & hæc resolvetur in vires AC, CD, quarum AC trahendo
radium OD directe a centro nihil valet ad movendam rotam; vis autem
altera DC, trahendo radium DO perpendiculariter, idem valet ac si
perpendiculariter traheret radium OL ipsi OD æqualem; hoc est idem atq;
pondus P, quod sit ad pondus A ut vis DC ad vim DA, id est (ob similia
triangula ADC, DOK,) ut OK ad OD seu OL. Pondera igitur A & P, quæ
sunt reciproce ut radii in directum positi OK & OL, idem pollebunt & sic
consistent in æquilibrio: (quæ est proprietas notissima Libræ, Vectis & Axis
in Peritrochio:) sin pondus alterutrum sit majus quam in hac ratione, erit vis
ejus ad movendam rotam tanto major.
Quod si pondus p ponderi P æquale partim suspendatur filo Np, partim
incumbat plano obliquo pG: agantur pH, NH, prior horizonti, posterior
plano pG perpendicularis; & si vis ponderis p deorsum tendens, exponatur
per lineam pH, resolvi potest hæc in vires pN, HN. Si filo pN
perpendiculare esset planum aliquod pQ secans planum alterum pG in linea
ad horizontem parallela; & pondus p his planis pQ, pG solummodo
incumberet; urgeret illud hæc plana viribus pN, HN perpendiculariter,
nimirum planum pQ vi pN & planum pG vi HN. Ideoque si tollatur planum
pQ ut pondus tendat filum, quoniam filum sustinendo pondus, jam vicem
præstat plani sublati, tendetur illud eadem vi pN, qua planum antea
urgebatur. Unde tensio fili hujus obliqui erit ad tensionem fili alterius
perpendicularis PN, ut pN ad pH. Ideoq; si pondus p sit ad pondus A in
ratione quæ componitur ex ratione reciproca minimarum distantiarum
filorum suorum AM, pN a centro rotæ, & ratione directa pH ad pN; pondera

idem valebunt ad rotam movendam, atq; adeo se mutuo sustinebunt, ut
quilibet experiri potest.
Pondus autem p planis illis duobus obliquis incumbens, rationem habet
cunei inter corporis fissi facies internas: & inde vires cunei & mallei
innotescunt: utpote cum vis qua pondus p urget planum pQ sit ad vim, qua
idem vel gravitate sua vel ictu mallei impellitur secundum lineam pH in
plano, ut pN ad pH; atq; ad vim qua urget planum alterum pG ut pN ad NH.
Sed & vis Cochleæ per similem virium divisionem colligitur; quippe quæ
cuneus est a vecte impulsus. Usus igitur Corollarij hujus latissime patet, &
late patendo veritatem ejus evincit, cum pendeat ex jam dictis Mechanica
tota ab Authoribus diversimode demonstrata. Ex hisce enim facile
derivantur vires Machinarum, quæ ex Rotis, Tympanis, Trochleis, Vectibus,
radijs volubilibus, nervis tensis & ponderibus directe vel oblique
ascendentibus, cæterisq; potentijs Mechanicis componi solent, ut & vires
Nervorum ad animalium ossa movenda.

Corol. III.

Quantitas motus quæ colligitur capiendo summam motuum
factorum ad eandem partem, & differentiam factorum ad
contrarias, non mutatur ab actione corporum inter se.

Etenim actio eiq; contraria reactio æquales sunt per Legem 3, adeoq; per
legem 2, æquales in motibus efficiunt mutationes versus contrarias partes.
Ergo si motus fiunt ad eandem partem, quicquid additur motui corporis
fugientis subducetur motui corporis insequentis sic, ut summa maneat
eadem quæ prius. Sin corpora obviam eant, æqualis erit subductio de motu
utriusq;, adeoq; differentia motuum factorum in contrarias partes manebit
eadem.
Ut si corpus sphæricum A sit triplo majus corpore sphærico B, habeatq;
duas velocitatis partes, et B sequatur in eadem recta cum velocitatis partibus
decem, adeoq; motus ipsius A sit ad motum ipsius B ut sex ad decem;
ponantur motus illis esse partium sex & decem, & summa erit partium
sexdecim. In corporum igitur concursu, si corpus A lucretur motus partes
tres vel quatuor vel quinq; corpus B amittet partes totidem, adeoq; perget
corpus A post reflexionem cum partibus novem vel decem vel undecim; &

B cum partibus septem vel sex vel quinq; existente semper summa partium
sexdecim ut prius. Sin corpus A lucretur partes novem vel decem vel
undecim vel duodecim, adeoq; progrediatur post concursum cum partibus
quindecim vel sexdecim vel septendecim vel octodecim; corpus B
amittendo, tot partes quot A lucratur, vel progredietur cum una parte,
amissis partibus novem, vel quiescet amisso motu suo progressivo partium
decem, vel regredietur cum una parte amisso motu suo & (ut ita dicam) una
parte amplius, vel regredietur cum partibus duabus ob detractum motum
progressivum partium duodecim. Atq; ita summæ motuum conspirantium
15 + 1 vel 16 + 0, differentiæ contrariorum 17 - 1 & 18 - 2 semper erunt
partium sexdecim ut ante concursum & reflexionem. Cognitis autem
motibus quibuscum corpora post reflexionem pergent, invenietur cujusq;
velocitas ponendo eam esse ad velocitatem ante reflexionem ut motus post
ad motum ante. Ut in casu ultimo, ubi corporis A motus erat partium sex
ante reflexionem; partium octodecim postea, & velocitas partium duarum
ante reflexionem; invenietur ejus velocitas partium sex post reflexionem,
dicendo, ut motus partes sex ante reflexionem ad motus partes octodecim
postea, ita velocitatis partes duæ ante reflexionem ad velocitatis partes sex
postea.
Quod si corpora vel non Sphærica vel diversis in rectis moventia incidant in
se mutuo oblique, & requirantur eorum motus post reflexionem,
cognoscendus est situs plani a quo corpora concurrentia tanguntur in puncto
concursus; dein corporis utriusq; motus (per Corol. 2.) distinguendus est in
duos, unum huic plano perpendicularem, alterum eidem parallelum: motus
autem paralleli, propterea quod corpora agant in se invicem secundum
lineam huic plano perpendicularem, retinendi sunt iidem post reflexionem
atq; antea, & motibus perpendicularibus mutationes æquales in partes
contrarias tribuendæ sunt sic, ut summa conspirantium & differentia
contrariorum maneat eadem quæ prius. Ex hujusmodi reflexionibus oriri
etiam solent motus circulares corporum circa centra propria. Sed hos casus
in sequentibus non considero, & nimis longum esset omnia huc spectantia
demonstrare.

Corol. IIII.

Commune gravitatis centrum ab actionibus corporum inter se non
mutat statum suum vel motus vel quietis, & propterea corporum
omnium in se mutuo agentium (exclusis actionibus &
impedimentis externis) commune centrum gravitatis vel quiescit
vel movetur uniformiter in directum.

Nam si puncta duo progrediantur uniformi cum motu in lineis rectis &
distantia eorum dividatur in ratione data, punctum dividens vel quiescet vel
progredietur uniformiter in linea recta. Hoc postea in Lemmate xxiii
demonstratur in plano, & eadem ratione demonstrari potest in loco solido.
Ergo si corpora quotcunq; moventur uniformiter in lineis rectis, commune
centrum gravitatis duorum quorumvis, vel quiescit vel progreditur
uniformiter in linea recta, propterea quod linea horum corporum centra in
rectis uniformiter progredientia jungens, dividitur ab hoc centro communi
in ratione data: similiter & commune centrum horum duorum & tertii
cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea
quod ab eo dividitur distantia centri communis corporum duorum & centri
corporis tertii in data ratione. Eodem modo & commune centrum horum
trium & quarti cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea
recta, propterea quod ab eo dividitur distantia inter centrum commune trium
& centrum quarti in data ratione, & sic in infinitum. Igitur in systemate
corporum quæ actionibus in se invicem, alijsq; omnibus in se extrinsecus
impressis, omnino vacant, adeoq; moventur singula uniformiter in rectis
singulis, commune omnium centrum gravitatis vel quiescit vel movetur
uniformiter in directum.
Porro in systemate duorum corporum in se invicem agentium, cum
distantiæ centrorum utriusq; a communi gravitatis centro sint reciproce ut
corpora, erunt motus relativi corporum eorundem vel accedendi ad centrum
illud vel ab eodem recedendi, æquales inter se. Proinde centrum illud a
motuum æqualibus mutationibus in partes contrarias factis, atq; adeo ab
actionibus horum corporum inter se, nec promovetur nec retardatur nec
mutationem patitur in statu suo quoad motum vel quietem. In systemate
autem corporum plurium, quoniam duorum quorumvis in se mutuo
agentium commune gravitatis centrum ob actionem illam nullatenus mutat
statum suum; & reliquorum, quibuscum actio illa non intercedit, commune
gravitatis centrum nihil inde patitur; distantia autem horum duorum
centrorum dividitur, a communi corporum omnium centro, in partes summis

totalibus corporum, quorum sunt centra, reciproce proportionales, adeoq;
centris illis duobus statum suum movendi vel quiescendi servantibus,
commune omnium centrum servat etiam statum suum; manifestum est quod
commune illud omnium centrum, ob actiones binorum corporum inter se,
nunquam mutat statum suum quoad motum & quietem. In tali autem
systemate actiones omnes corporum inter se, vel inter bina sunt corpora, vel
ab actionibus inter bina compositæ, & propterea communi omnium centro
mutationem in statu motus ejus vel Quietis nunquam inducunt. Quare cum
centrum illud ubi corpora non agunt in se invicem, vel quiescit, vel in recta
aliqua progreditur uniformiter, perget idem, non obstantibus corporum
actionibus inter se, vel semper quiescere, vel semper progredi uniformiter in
directum, nisi a viribus in systema extrinsecus impressis deturbetur de hoc
statu. Est igitur systematis corporum plurium Lex eadem quæ corporis
solitarii, quoad perseverantiam in statu motus vel quietis. Motus enim
progressivus seu corporis solitarii seu systematis corporum ex motu centri
gravitatis æstimari semper debet.

Corol. V.

Corporum dato spatio inclusorum ijdem sunt motus inter se, sive
spatium illud quiescat, sive moveatur idem uniformiter in
directum absq; motu circulari.

Nam differentiæ motuum tendentium ad eandem partem, & summæ
tendentium ad contrarias, eadem sunt sub initio in utroq; casu (ex
hypothesi) & ex his summis vel differentiis oriuntur congressus & impetus
quibus corpora se mutuo feriunt. Ergo per Legem 2 æquales erunt
congressuum effectus in utroq; casu, & propterea manebunt motus inter se
in uno casu æquales motibus inter se in altero. Idem comprobatur
experimento luculento. Motus omnes eodem modo se habent in Navi, sive
ea quiescat, sive moveatur uniformiter in directum.

Corol. VI.

Si corpora moveantur quomodocunq; inter se & a viribus
acceleratricibus æqualibus secundum lineas parallelas

urgeantur; pergent omnia eodem modo moveri inter se ac si
viribus illis non essent incitata.

Nam vires illæ æqualiter (pro quantitatibus movendorum corporum) &
secundum lineas parallelas agendo, corpora omnia æqualiter (quoad
velocitatem) movebunt (per Legem 2.) adeoq; nunquam mutabunt
positiones & motus eorum inter se.

Scholium

Hactenus principia tradidi a Mathematicis recepta &
experientia multiplici confirmata. Per leges duas
primas & Corollaria duo prima adinvenit Galilæus
descensum gravium esse in duplicata ratione
temporis, & motum projectilium fieri in Parabola,
conspirante experientia, nisi quatenus motus illi per
aeris resistentiam aliquantulum retardantur. Ab ijsdem Legibus &
Corollariis pendent demonstrata de temporibus oscillantium Pendulorum,
suffragante Horologiorum experientia quotidiana. Ex his ijsdem & Lege
tertia D. Christopherus Wrennus Eques auratus, Johannes Wallisius S.T.D.
& D. Christianus Hugenius, hujus ætatis Geometrarum facile Principes,
regulas congressuum & reflexionum duorum corporum seorsim
adinvenerunt, & eodem fere tempore cum Societate Regia communicarunt,
inter se (quoad has leges) omnino conspirantes; Et primus quidem D.
Wallisius dein D. Wrennus & D. Hugenius inventum prodidit. Sed & veritas
comprobata est a D. Wrenno coram Regia Societate per experimentum
Pendulorum, quod etiam Clarissimus Mariottus Libro integro exponere
mox dignatus est. Verum ut hoc experimentum cum Theorijs ad amussim
congruat, habenda est ratio tum resistentiæ aeris, tum etiam vis Elasticæ
concurrentium corporum. Pendeant corpora A, B filis parallelis AC, BD a
centris C, D. His centris & intervallis describantur semicirculi EAF, GBH
radijs CA, DB bisecti. Trahatur corpus A ad arcus EAF punctum quodvis R,
& (subducto corpore B) demittatur inde, redeatq; post unam oscillationem
ad punctum V. Est RV retardatio ex resistentia aeris. Hujus RV fiat ST pars
quarta sita in medio, & hæc exhibebit retardationem in descensu ab S ad A
quam proxime. Restituatur corpus B in locum suum. Cadat corpus A de
puncto S, & velocitas ejus in loco reflexionis A, absq; errore sensibili, tanta

erit ac si in vacuo cecidisset de loco T. Exponatur igitur hæc velocitas per
chordam arcus TA. Nam velocitatem Penduli in puncto infimo esse ut
chorda arcus quem cadendo descripsit, Propositio est Geometris notissima.
Post reflexionem perveniat corpus A ad locum s, & corpus B ad locum k.
Tollatur corpus B & inveniatur locus v, a quo si corpus A demittatur & post
unam oscillationem redeat ad locum r, sit st pars quarta ipsius rv sita in
medio, & per chordam arcus tA exponatur velocitas quam corpus A proxime
post reflexionem habuit in loco A. Nam t erit locus ille verus & correctus ad
quem corpus A, sublata aeris resistentia, ascendere debuisset. Simili
methodo corrigendus erit locus k, ad quem corpus B ascendit, &
inveniendus locus l, ad quem corpus illud ascendere debuisset in vacuo.
Hoc pacto experiri licet omnia perinde ac si in vacuo constituti essemus.
Tandem ducendum erit corpus A in chordam arcus TA (quæ velocitatem ejus
exhibet) ut habeatur motus ejus in loco A proxime ante reflexionem, deinde
in chordam arcus tA ut habeatur motus ejus in loco A proxime post
reflexionem. Et sic corpus B ducendum erit in chordam arcus Bl, ut
habeatur motus ejus proxime post reflexionem. Et simili methodo ubi
corpora duo simul demittuntur de locis diversis, inveniendi sunt motus
utriusq; tam ante, quam post reflexionem; & tum demum conferendi sunt
motus inter se & colligendi effectus reflexionis. Hoc modo in Pendulis
pedum decem rem tentando, idq; in corporibus tam inæqualibus quam
æqualibus, & faciendo ut corpora de intervallis amplissimis, puta pedum
octo, duodecim vel sexdecim concurrerent, reperi semper sine errore trium
digitorum in mensuris, ubi corpora sibi mutuo directe occurrebant quod in
partes contrarias mutatio motus erat corpori utriq; illata, atq; adeo quod
actio & reactio semper erant æquales. Ut si corpus A incidebat in corpus B
cum novem partibus motus, & amissis septem partibus pergebat post
reflexionem cum duabus, corpus B resiliebat cum partibus istis septem. Si
corpora obviam ibant, A cum duodecim partibus & B cum sex & redibat A
cum duabus, redibat B cum octo, facta detractione partium quatuordecim
utrinque. De motu ipsius A subducantur partes duodecim & restabit nihil;
subducantur aliæ partes duæ & fiet motus duarum partium in plagam
contrariam. & sic de motu corporis B partium sex subducendo partes
quatuordecim, fiunt partes octo in plagam contrariam. Quod si corpora ibant
ad eandem plagam, A velocius cum partibus quatuordecim & B tardius cum
partibus quinq; & post reflexionem pergebat A cum quinq; partibus,
pergebat B cum quatuordecim, facta translatione partium novem de A in B.

Et sic in reliquis. A congressu & collisione corporum nunquam mutabatur
quantitas motus quæ ex summa motuum conspirantium & differentia
contrariorum colligebatur. Namq; errorem digiti unius & alterius in
mensuris tribuerim difficultati peragendi singula satis accurate. Difficile
erat tum pendula simul demittere sic, ut corpora in se mutuo impingerent in
loco infimo AB, tum loca s, k, notare ad quæ corpora ascendebant post
concursum. Sed & in ipsis pilis inæqualis partium densitas, & textura aliis
de causis irregularis, errores inducebant.
Porro nequis objiciat Regulam ad quam probandam inventum est hoc
experimentum præsupponere corpora vel absolute dura esse, vel saltem
perfecte elastica, cujusmodi nulla reperiuntur in compositionibus
naturalibus; addo quod experimenta jam descripta succedunt in corporibus
mollibus æque ac in duris, nimirum a conditione duritiei neutiquam
pendentia. Nam si conditio illa in corporibus non perfecte duris tentanda
est, debebit solummodo reflexio minui in certa proportione pro quantitate
vis Elasticæ. In Theoria Wrenni & Hugenij corpora absolute dura redeunt ab
invicem cum velocitate congressus. Certius id affirmabitur de perfecte
Elasticis. In imperfecte Elasticis velocitas reditus minuenda est simul cum
vi Elastica; propterea quod vis illa, (nisi ubi partes corporum ex congressu
læduntur, vel extensionem aliqualem quasi sub malleo patiuntur,) certa ac
determinata sit (quantum sentio) faciatq; corpora redire ab invicem cum
velocitate relativa quæ sit ad relativam velocitatem concursus in data
ratione. Id in pilis ex lana arcte conglomerata & fortiter constricta sic
tentavi. Primum demittendo Pendula & mensurando reflexionem, inveni
quantitatem vis Elasticæ; deinde per hanc vim determinavi reflexiones in
aliis casibus concursuum, & respondebant experimenta. Redibant semper
pilæ ab invicem cum velocitate relativa, quæ esset ad velocitatem relativam
concursus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum velocitate redibant pilæ ex
chalybe: aliæ ex subere cum paulo minore. In vitreis autem proportio erat
15 ad 16 circiter. Atq; hoc pacto Lex tertia quoad ictus & reflexiones per
Theoriam comprobata est, quæ cum experientia plane congruit.
In attractionibus rem sic breviter ostendo. Corporibus duobus quibusvis A,
B se mutuo trahentibus, concipe obstaculum quodvis interponi quo
congressus eorum impediatur. Si corpus alterutrum A magis trahitur versus
corpus alterum B, quam illud alterum B in prius A, obstaculum magis
urgebitur pressione corporis A quam pressione corporis B; proindeq; non

manebit in æquilibrio. Prævalebit pressio fortior, facietq; systema corporum
duorum & obstaculi moveri in directum in partes versus B, motuq; in spatiis
liberis semper accelerato abire in infinitum. Quod est absurdum & Legi
primæ contrarium. Nam per Legem primam debebit systema perseverare in
statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, proindeq;
corpora æqualiter urgebunt obstaculum, & idcirco æqualiter trahentur in
invicem. Tentavi hoc in Magnete & ferro. Si hæc in vasculis propriis sese
contingentibus seorsim posita, in aqua stagnante juxta fluitent, neutrum
propellet alterum, sed æqualitate attractionis utrinq; sustinebunt conatus in
se mutuos, ac tandem in æquilibrio constituta quiescent.
Ut corpora in concursu & reflexione idem pollent, quorum velocitates sunt
reciproce ut vires insitæ: sic in movendis Instrumentis Mechanicis agentia
idem pollent & conatibus contrariis se mutuo sustinent, quorum velocitates
secundum determinationem virium æstimatæ, sunt reciproce ut vires. Sic
pondera æquipollent ad movenda brachia Libræ, quæ oscillante Libra, sunt
reciproce ut eorum velocitates sursum & deorsum: hoc est pondera, si recta
ascendunt & descendunt, æquipollent, quæ sunt reciproce ut punctorum a
quibus suspenduntur distantiæ ab axe Libræ; sin planis obliquis aliisve
admotis obstaculis impedita ascendunt vel descendunt oblique, æquipollent
quæ sunt ut ascensus & descensus quatenus facti secundum perpendiculum:
id adeo ob determinationem gravitatis deorsum. Similiter in Trochlea seu
Polyspasto vis manus funem directe trahentis, quæ sit ad pondus vel directe
vel oblique ascendens ut velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem
manus funem trahentis, sustinebit pondus. In horologiis & similibus
instrumentis, quæ ex rotulis commissus constructa sunt, vires contrariæ ad
motum rotularum promovendum & impediendum si sunt reciproce ut
velocitates partium rotularum in quas imprimuntur, sustinebunt se mutuo.
Vis Cochleæ ad premendum corpus est ad vim manus manubrium
circumagentis, ut circularis velocitas Manubrii ea in parte ubi a manu
urgetur, ad velocitatem progressivam Cochleæ versus corpus pressum. Vires
quibus cuneus urget partes duas ligni fissi est ad vim mallei in cuneum, ut
progressus cunei secundum determinationem vis a malleo in ipsum
impressæ, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, secundum lineas
faciebus cunei perpendiculares. Et par est ratio Machinarum omnium.
Harum efficacia & usus in eo solo consistit ut diminuendo velocitatem
augeamus vim, & contra: Unde solvitur in omni aptorum instrumentorum

genere Problema; Datum pondus data vi movendi, aliamve datam
resistentiam vi data superandi. Nam si Machinæ ita formentur ut velocitates
Agentis & Resistentis sint reciproce ut vires, Agens resistentiam sustinebit,
& majori cum velocitatum disparitate eandem vincet. Certe si tanta sit
velocitatum disparitas ut vincatur etiam resistentia omnis, quæ tam ex
contiguorum & inter se labentium corporum attritione, quam ex
continuorum & ab invicem separandorum cohæsione & elevandorum
ponderibus oriri solet; superata omni ea resistentia, vis redundans
accelerationem motus sibi proportionalem, partim in partibus Machinæ,
partim in corpore resistente producet. Cæterum Mechanicam tractare non
est hujus instituti. Hisce volui tantum ostendere quam late pateat, quamq;
certa sit Lex tertia motus. Nam si æstimetur Agentis actio ex ejus vi &
velocitate conjunctim; & Resistentis reactio ex ejus partium singularum
velocitatibus & viribus resistendi ab earum attritione, cohæsione, pondere &
acceleratione oriundis; erunt actio & reactio, in omni instrumentorum usu,
sibi invicem semper æquales. Et quatenus actio propagatur per
instrumentum & ultimo imprimitur in corpus omne resistens, ejus ultima
determinatio determinationi reactionis semper erit contraria.

DE MOTU CORPORUM

Liber PRIMUS

SECT. I.
De Methodo Rationum primarum & ultimarum, cujus ope sequentia
demonstrantur.

LEMMA I.

Quantitates, ut & quantitatum rationes, quæ ad æqualitatem dato
tempore constanter tendunt & eo pacto propius ad invicem
accedere possunt quam pro data quavis differentia; fiunt ultimo
æquales.

Si negas, sit earum ultima differentia D. Ergo nequeunt propius ad
æqualitatem accedere quam pro data differentia D: contra hypothesin.

Lemma II.

Si in figura quavis AacE rectis Aa, AE, & curva acE
comprehensa, inscribantur parallelogramma
quotcunq; Ab, Bc, Cd, &c. sub basibus AB, BC, CD,
&c. æqualibus, & lateribus Bb, Cc, Dd, &c. figuræ
lateri Aa parallelis contenta; & compleantur
parallelogramma aKbl, bLcm, cMdn, &c. Dein
horum parallelogrammorum latitudo minuatur, &
numerus augeatur in infinitum: dico quod ultimæ
rationes, quas habent ad se invicem figura inscripta AKbLcMdD,
circumscripta AalbmcndoE, & curvilinea AabcdE, sunt rationes
æqualitatis.

Nam figuræ inscriptæ & circumscriptæ differentia est summa
parallelogrammorum Kl + Lm + Mn + Do, hoc est (ob æquales omnium
bases) rectangulum sub unius basi Kb & altitudinum summa Aa, id est

rectangulum ABla. Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo ejus AB in
infinitum minuitur, sit minus quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura
inscripta & circumscripta & multo magis figura curvilinea intermedia fiunt
ultimo æquales. Q. E. D.

Lemma III.

Eædem rationes ultimæ sunt etiam æqualitatis, ubi
parallelogrammorum latitudines AB, BC, CD, &c. sunt
inæquales, & omnes minuuntur in infinitum.

Sit enim AF æqualis latitudini maximæ & compleatur parallelogrammum
FAaf. Hoc erit majus quam differentia figuræ inscriptæ & figuræ
circumscripta, at latitudine sua AF in infinitum diminuta, minus fiet quam
datum quodvis rectangulum.
Corol. 1. Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium coincidit
omni ex parte cum figura curvilinea.
Corol. 2. Et multo magis figura rectilinea, quæ chordis evanescentium
arcuum ab, bc, cd, &c. comprehenditur, coincidit ultimo cum figura
curvilinea.
Corol. 3. Ut & figura rectilinea quæ tangentibus eorundem arcuum
circumscribitur.
Corol. 4. Et propterea hæ figuræ ultimæ (quoad perimetros acE,) non sunt
rectilineæ, sed rectilinearum limites curvilinei.

Lemma IV.

Si in duabus figuris AacE, PprT, inscribantur (ut supra) duæ
parallelogrammorum series, sitq; idem amborum numerus, & ubi
latitudines in infinitum diminuitur, rationes ultimæ
parallelogrammorum in una figura ad parallelogramma in altera,
singulorum ad singula, sint eædem; dico quod figuræ duæ AacE,
PprT, sunt ad invicem in eadem illa ratione.

Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (componendo) fit
summa omnium ad summam omnium, & ita figura ad figuram; existente
nimirum figura priore (per Lemma III.) ad summam priorem, & posteriore
figura ad summam posteriorem in ratione æqualitatis.
Corol. Hinc si duæ cujuscunq; generis quantitates in eundem partium
numerum utcunq; dividantur, & partes illæ, ubi numerus earum augetur &
magnitudo diminuitur in infinitum, datam obtineant rationem ad invicem,
prima ad primam, secunda ad secundam cæteræq; suo ordine ad cæteras;
erunt tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam si in Lemmatis hujus
figuris sumantur parallelogramma inter se ut partes, summæ partium
semper erunt ut summæ parallelogrammorum; atq; adeo, ubi partium &
parallelogrammorum numerus augetur & magnitudo diminuitur in
infinitum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id est
(per hypothesin) in ultima ratione partis ad partem.

Lemma V.

Similium figurarum latera omnia, quæ sibi mutuo respondent,
sunt proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea, & areæ sunt
in duplicata ratione laterum.

Lemma VI.

Si arcus quilibet positione datus AB subtendatur chorda AB, & in
puncto aliquo A, in medio curvaturæ continuæ, tangatur a recta
utrinq; producta AD; dein puncta A, B ad invicem accendant &
coeant; dico quod angulus BAD sub chorda & tangente contentus
minuetur in infinitum & ultimo evanescet.

Nam producatur AB ad b & AD ad d, & punctis A, B
coeuntibus, nullaq; adeo ipsius Ab parte AB jacente amplius
intra curvam, manifestum esi quod hæc recta Ab, vel
coincidet cum tangente Ad, vel ducetur inter tangentem &
curvam. Sed casus posterior est contra naturam Curvaturæ,
ergo prior obtinet. Q. E. D.

Lemma VII.

Iisdem positis, dico quod ultima ratio arcus, chordæ & tangentis
ad invicem est ratio æqualitatis. Vide Fig. Lem. 6 & 8 vi.

Nam producantur AB & AD ad b & d secanti BD parallela agatur bd. Sitq;
arcus Ab similis arcui AB. Et punctis A, B coeuntibus, angulus dAb, per
Lemma superius, evanescet; adeoq; rectæ Ab, Ad arcus intermedius Ab
coincident, & propterea æquales erunt. Unde & hisce semper proportionales
rectæ AB, AD, & arcus intermedius AB rationem ultimam habebunt
æqualitatis. Q. E. D.
Corol. 1. Unde si per B ducatur tangenti parallela BF
rectam quamvis AF per A transeuntem perpetuo secans
in F, hæc ultimo ad arcum evanescentem AB rationem
habebit æqualitatis, eo quod completo parallelogrammo
AFBD, rationem semper habet æqualitatis ad AD.
Corol. 2. Et si per B & A ducantur plures rectæ BE, BD, AF, AG, secantes
tangentem AD & ipsius parallelam BF, ratio ultima abscissarum omnium
AD, AE, BF, BG, chordæq; & arcus AB ad invicem erit ratio æqualitatis.
Corol. 3. Et propterea hæ omnes lineæ in omni de rationibus ultimis
argumentatione pro se invicem usurpari possunt.

Lemma VIII.

Si rectæ datæ AR, BR cum arcu AB, chorda AB & tangente AD,
triangula tria ARB, ARB, ARD constituunt, dein puncta A, B
accedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum
evanescentium est similitudinis, & ultima ratio æqualitatis.

Nam producantur AB, AD, AR ad b, d & r. Ipsi RD agatur
parallela rbd, & arcui AB similis ducatur arcus Ab.
Coeuntibus punctis A, B, angulus bAd evanescet, &
propterea triangula tria rAb, rAb, rAd coincident, suntq; eo
nomine similia & æqualia. Unde & hisce semper similia &
proportionalia RAB, RAB, RAD fient ultimo sibi invicem
similia & æqualia. Q. E. D.
Corol. Et hinc triangula illa in omni de rationibus ultimis argumentatione
pro se invicem usurpari possunt.

Lemma IX.

Si recta AE & Curva AC positione datæ se mutuo
secent in angulo dato A, & ad rectam illam in alio
dato angulo ordinatim applicentur BD, EC, curvæ
occurrentes in B, C; dein puncta B, C accedant ad
punctum A: dico quod areæ triangulorum ADB,
AEC erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione
laterum.

Etenim in AD producta capiantur Ad, Ae ipsis AD, AE
proportionales, & erigantur ordinatæ db, ec ordinatis DB, EC parallelæ &
proportionales. Producatur AC ad c, ducatur curva Abc ipsi ABC similis, &
recta Ag tangatur curva utraq; in A; & secantur ordinatim applicatæ in F, G,
f, g. Tum coeant puncta B, C cum puncto A, & angulo cAg evanescente,
coincident areæ curvilineæ Abd, Ace cum rectilineis Afd, Age, adeoq; per
Lemma V, erunt in duplicata ratione laterum Ad, Ae: Sed his areis
proportionales semper sunt areæ ABD, ACE, & his lateribus latera AD, AE.
Ergo & areæ ABD, ACE sunt ultimo in duplicata ratione laterum AD, AE.
Q. E. D.

Lemma X.

Spatia, quæ corpus urgente quacunq; vi regulari describit, sunt
ipso motus initio in duplicata ratione temporum.

Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates genitæ per ordinatas
DB, EC, & spatia his velocitatibus descripta erunt ut areæ ABD, ACE his
ordinatis descriptæ, hoc est ipso motus initio (per Lemma IX) in duplicata
ratione temporum AD, AE. Q. E. D.
Corol. 1. Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium
figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, qui
viribus æqualibus in partibus istis ad corpora similiter applicatis generantur,
& mensurantur a locis figurarum, ad quæ corpora temporibus ijsdem
proportionalibus absq; viribus istis pervenirent, sunt ut quadrata temporum
in quibus generantur quam proxime.
Corol. 2. Errores autem qui viribus proportionalibus similiter applicatis
generantur, sunt ut vires & quadrata temporum conjunctim.

Lemma XI.

Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione
duplicata subtensæ arcus contermini.

Cas. 1. Sit arcus ille AB, tangens ejus AD, subtensa anguli
contactus ad tangentem perpendicularis BD, subtensa arcus
AB. Huic subtensæ AB & tangenti AD perpendiculares
erigantur AG, BG, concurrentes in G; dein accedant puncta D,
B, G, ad puncta d, b, g, sitq; J intersectio linearum BG, AG
ultimo facta ubi puncta D, B accedunt usq; ad A. Manifestum
est quod distantia GJ minor esse potest quam assignata
quævis. Est autem (ex natura circulorum per puncta ABG, Abg
transeuntium) AB quad. æquale AG × BD & Ab quad. æquale
Ag × bd, adeoq; ratio AB quad. ad Ab quad. componitur ex rationibus AG ad
Ag & BD ad bd. Sed quoniam JG assumi potest minor longitudine quavis
assignata, fieri potest ut ratio AG ad Ag minus differat a ratione æqualitatis
quam pro differentia quavis assignata, adeoq; ut ratio AB quad. ad Ab quad.
minus differat a ratione BD ad bd quam pro differentia quavis assignata. Est
ergo, per Lemma I, ratio ultima AB quad. ad Ab quad. æqualis rationi
ultimæ BD ad bd. Q. E. D.

Cas. 2. Inclinetur jam BD ad AD in angulo quovis dato, & eadem semper
erit ratio ultima BD ad bd quæ prius, adeoq; eadem ac AB quad. ad Ab
quad. Q. E. D.
Cas. 3. Et quamvis angulus D non detur, tamen anguli D, d ad æqualitatem
semper vergent & propius accedent ad invicem quam pro differentia quavis
assignata, adeoq; ultimo æquales erunt, per Lem. I. & propterea lineæ BD,
bd in eadem ratione ad invicem ac prius. Q. E. D.
Corol. 1. Unde cum tangentes AD, Ad, arcus AB, Ab & eorum sinus BC, bc
fiant ultimo chordis AB, Ab æquales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut
subtensæ BD, bd.
Corol. 2. Triangula rectilinea ADB, Adb sunt ultimo in triplicata ratione
laterum AD, Ad, inq; sesquiplicata laterum DB, db: Utpote in composita
ratione laterum AD & DB, Ad & db existentia. Sic & triangula ABC, Abc
sunt ultimo in triplicata ratione laterum BC, bc.
Corol. 3. Et quoniam DB, db sunt ultimo parallelæ & in duplicata ratione
ipsarum AD, Ad; erunt areæ ultimæ curvilineæ ADB, Adb (ex natura
Parabolæ) duæ tertiæ partes triangulorum rectilineorum ADB, Adb, &
segmenta AB, Ab partes tertiæ eorundem triangulorum. Et inde hæ areæ &
hæc segmenta erunt in triplicata ratione tum tangentium AD, Ad; tum
chordarum & arcuum AB, Ab.

Scholium.

Cæterum in his omnibus supponimus angulum contactus nec infinite
majorem esse angulis contactuum, quos circuli continent cum tangentibus
suis, nec iisdem infinite minorem; hoc est curvaturam ad punctum A, nec
infinite parvam esse nec infinite magnam, seu intervallum AJ finitæ esse
magnitudinis. Capi enim potest DB ut AD3: quo in casu circulus nullus per
punctum A inter tangentem AD & curvam AB duci potest, proindeq; angulus
contactus erit infinite minor circularibus. Et simili argumento si fiat DB
successive ut AD4, AD5, AD6, AD7, &c. habebitur series angulorum
contactus pergens in infinitum, quorum quilibet posterior est infinite minor
3 4 5 6 7
priore. Et si fiat DB successive ut AD2, AD /2, AD /3, AD /4, AD /5, AD /6,
&c. habebitur alia series infinita angulorum contactus, quorum primus est

ejusdem generis cum circularibus, secundus infinite major, & quilibet
posterior infinite major priore. Sed & inter duos quosvis ex his angulis
potest series utrinq; in infinitum pergens angulorum intermediorum inseri,
quorum quilibet posterior erit infinite major priore. Ut si inter terminos AD2
13/ 11 9 7 5 8 11
& AD3 inseratur series AD 6, AD /5, AD /4, AD /3, AD /2, AD /3, AD /4,
14 17
AD /5, AD /6, &c. Et rursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri
potest series nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis
differentium. Neq; novit natura limitem.
Quæ de curvis lineis deq; superficiebus comprehensis demonstrata sunt,
facile applicantur ad solidorum superficies curvas & contenta. Præmisi vero
hæc Lemmata ut effugerem tædium deducendi perplexas demonstrationes,
more veterum Geometrarum, ad absurdum. Contractiores enim redduntur
demonstrationes per methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est
indivisibilium Hypothesis; & propterea Methodus illa minus Geometrica
censetur, malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum
evanescentium summas & rationes, primasq; nascentium, id est, ad limites
summarum & rationum deducere, & propterea limitum illorum
demonstrationes qua potui breuitate præmittere. His enim idem præstatur
quod per methodum indivisibilium, & principiis demonstratis jam tutius
utemur. Proinde in sequentibus, siquando quantitates tanquam ex particulis
constantes consideravero, vel si pro rectis usurpavero lineolas curvas, nolim
indivisibilia sed evanescentia divisibilia, non summas & rationes partium
determinatarum, sed summarum & rationum limites semper intelligi, vimq;
talium demonstrationum ad methodum præcedentium Lemmatum semper
revocari.
Objectio est, quod quantitatum evanescentium nulla sit ultima proportio;
quippe quæ, antequam evanuerunt, non est ultima, ubi evanuerunt, nulla est.
Sed & eodem argumento æque contendi posset nullam esse corporis ad
certum locum pergentis velocitatem ultimam. Hanc enim, antequam corpus
attingit locum, non esse ultimam, ubi attigit, nullam esse. Et responsio
facilis est. Per velocitatem ultimam intelligi eam, qua corpus movetur neq;
antequam attingit locum ultimum & motus cessat, neq; postea, sed tunc cum
attingit, id est illam ipsam velocitatem quacum corpus attingit locum
ultimum & quacum motus cessat. Et similiter per ultimam rationem
quantitatum evanescentium intelligendam esse rationem quantitatum non

antequam evanescunt, non postea, sed quacum evanescunt. Pariter & ratio
prima nascentium est ratio quacum nascuntur. Et summa prima & ultima est
quacum esse (vel augeri & minui) incipiunt & cessant. Extat limes quem
velocitas in fine motus attingere potest, non autem transgredi. Hæc est
velocitas ultima. Et par est ratio limitis quantitatum & proportionum
omnium incipientium & cessantium. Cumq; hic limes sit certus & definitus,
Problema est vere Geometricum eundem determinare. Geometrica vero
omnia in aliis Geometricis determinandis ac demonstrandis legitime
usurpantur.
Contendi etiam potest, quod si dentur ultimæ quantitatum evanescentium
rationes, dabuntur & ultimæ magnitudines; & sic quantitas omnis constabit
ex indivisibilibus, contra quam Euclides de incommensurabilibus, in libro
decimo Elementorum, demonstravit. Verum hæc Objectio falsæ innititur
hypothesi. Ultimæ rationes illæ quibuscum quantitates evanescunt, revera
non sunt rationes quantitatum ultimarum, sed limites ad quos quantitatum
sine limite decrescentium rationes semper appropinquant, & quas propius
assequi possunt quam pro data quavis differentia, nunquam vero transgredi,
neq; prius attingere quam quantitates diminuuntur in infinitum. Res clarius
intelligetur in infinite magnis. Si quantitates duæ quarum data est differentia
augeantur in infinitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio
æqualitatis, nec tamen ideo dabuntur quantitates ultimæ seu maximæ
quarum ista est ratio. Igitur in sequentibus, siquando facili rerum
imaginationi consulens, dixero quantitates quam minimas, vel evanescentes
vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine determinatas, sed cogita
semper diminuendas sine limite.

SECT. II.
De Inventione Virium Centripetarum.

Prop. I. Theorema. I.

Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum
virium ductis describunt, & in planis immobilibus consistere, &
esse temporibus proportionales.

Dividatur tempus in partes æquales, & prima
temporis parte describat corpus vi insita rectam
AB. Idem secunda temporis parte, si nil
impediret, recta pergeret ad c, (per Leg. I)
describens lineam Bc æqualem ipsi AB, adeo ut
radiis AS, BS, cS ad centrum actis, consectæ
forent æquales areæ ASB, BSc. Verum ubi
corpus venit ad B, agat vis centripeta impulsu
unico sed magno, faciatq; corpus a recta Bc
deflectere & pergere in recta BC. Ipsi BS
parallela agatur cC occurrens BC in C, & completa secunda temporis parte,
corpus (per Legum Corol. I) reperietur in C, in eodem plano cum triangulo
ASB. Junge SC, & triangulum SBC, ob parallelas SB, Cc, æquale erit
triangulo SBc, atq; adeo etiam triangulo SAB. Simili argumento si vis
centripeta successive agat in C, D, E, &c. faciens ut corpus singulis
temporis particulis singulas describat rectas CD, DE, EF, &c. jacebunt hæ
in eodem plano, & triangulum SCD triangulo SBC & SDE ipsi SCD & SEF
ipsi SDE æquale erit. Æqualibus igitur temporibus æquales areæ in plano
immoto describuntur: & componendo, sunt arearum summæ quævis SADS,
SAFS inter se, ut sunt tempora descriptionum. Augeatur jam numerus &
minuatur latitudo triangulorum in infinitum, & eorum ultima perimeter
ADF, (per Corollarium quartum Lemmatis tertii) erit linea curva; adeoq; vis
centripeta qua corpus de tangente hujus curvæ perpetuo retrahitur, aget
indesinenter; areæ vero quævis descriptæ SADS, SAFS temporibus

descriptionum semper proportionales, erunt iisdem temporibus in hoc casu
proportionales. Q. E. D.
Corol. 1. In mediis non resistentibus, si areæ non sunt temporibus
proportionales, vires non tendunt ad concursum radiorum.
Corol. 2. In mediis omnibus, si arearum descriptio acceleratur, vires non
tendunt ad concursum radiorum, sed inde declinant in consequentia.

Pro. II. Theor. II.

Corpus omne quod, cum movetur in linea aliqua curva, & radio
ducto ad punctum vel immobile, vel motu rectilineo uniformiter
progrediens, describit areas circa punctum illud temporibus
proportionales, urgetur a vi centripeta tendente ad idem punctum.

Cas. 1. Nam corpus omne quod movetur in linea curva, detorquetur de
cursu rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem. (per Leg. I.) Et vis illa
qua corpus de cursu rectilineo detorquetur & cogitur triangula quam
minima SAB, SBC, SCD &c. circa punctum immobile S, temporibus
æqualibus æqualia describere, agit in loco B secundum lineam parallelam
ipsi cC (per Prop. 40 Lib. I Elem. & Leg. II.) hoc est secundum lineam BS
& in loco C secundum lineam ipsi dD parallelam, hoc est secundum lineam
CS, &c. Agit ergo semper secundum lineas tendentes ad punctum illud
immobile S. Q. E. D.
Cas. 2. Et, per Legum Corollarium quintum, perinde est sive quiescat
superficies in qua corpus describit figuram curvilineam, sive moveatur
eadem una cum corpore, figura descripta & puncto suo S uniformiter in
directum.

Scholium.

Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viribus. In hoc
casu sensus Propositionis est, quod vis illa quæ ex omnibus componitur,
tendit ad punctum S. Porro si vis aliqua agat secundum lineam superficiei
descriptæ perpendicularem, hæc faciet corpus deflectere a plano sui motus,

sed quantitatem superficiei descriptæ nec augebit nec minuet, & propterea
in compositione virium negligenda est.

Prop. III. Theor. III.

Corpus omne quod, radio ad centrum corporis alterius utcunq;
moti ducto, describit areas circa centrum illud temporibus
proportionales, urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad
corpus alterum & ex vi omni acceleratrice, qua corpus alterum
urgetur.

Nam (per Legum Corol. 6.) si vi nova, quæ æqualis & contraria sit illi qua
corpus alterum urgetur, urgeatur corpus utrumq; secundum lineas parallelas,
perget corpus primum describere circa corpus alterum areas easdem ac
prius: vis autem qua corpus alterum urgebatur, jam destruetur per vim sibi
æqualem & contrariam, & propterea (per Leg. 1.) corpus illud alterum vel
quiescet vel movebitur uniformiter in directum, & corpus primum, urgente
differentia virium, perget areas temporibus proportionales circa corpus
alterum describere. Tendit igitur (per Theor. 2.) differentia virium ad corpus
illud alterum ut centrum. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si corpus unum radio ad alterum ducto describit areas
temporibus proportionales, atq; de vi tota (sive simplici, sive ex viribus
pluribus, juxta Legum Corollarium secundum, composita,) qua corpus prius
urgetur, subducatur (per idem Legum Corollarium) vis tota acceleratrix qua
corpus alterum urgetur; vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad
corpus alterum ut centrum.
Corol. 2. Et si areæ illæ sunt temporibus quamproxime proportionales, vis
reliqua tendet ad corpus alterum quamproxime.
Corol. 3. Et vice versa, si vis reliqua tendit quamproxime ad corpus
alterum, erunt areæ illæ temporibus quamproxime proportionales.
Corol. 4. Si corpus radio ad alterum corpus ducto describit areas quæ, cum
temporibus collatæ, sunt valde inæquales, & corpus illud alterum vel
quiescit vel movetur uniformiter in directum; actio vis centripetæ ad corpus
illud alterum tendentis, vel nulla est, vel miscetur & componitur cum

actionibus admodum potentibus aliarum virium: Visq; tota ex omnibus, si
plures sunt vires, composita, ad aliud (sive immobile sive mobile) centrum
dirigitur, circum quod æquabilis est arearum descriptio. Idem obtinet ubi
corpus alterum motu quocunq; movetur, si modo vis centripeta sumatur,
quæ restat post subductionem vis totius agentis in corpus illud alterum.

Scholium

Quoniam æquabilis arearum descriptio Index est centri quod vis illa respicit
qua corpus maxime afficitur, corpus autem vi ad hoc centrum tendente
retinetur in orbita sua, & motus omnis circularis recte dicitur circa centrum
illud fieri, cujus vi corpus retrahitur de motu rectilineo & retinetur in
Orbita: quidni usurpemus in sequentibus æquabilem arearum descriptionem
ut Indicem centri circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis
peragitur?

Prop. IV. Theor. IV.

Corporum quæ diversos circulos æquabili motu describunt, vires
centripetas ad centra eorundem circulorum tendere, & esse inter
se ut arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad
circulorum radios.

Corpora B, b in circumferentiis circulorum BD, bd
gyrantia, simul describant arcus BD, bd. Quoniam sola
vi insita describerent tangentes BC, bc his arcubus
æquales, manifestum est quod vires centripetæ sunt quæ
perpetuo retrahunt corpora de tangentibus ad
circumferentias circulorum, atq; adeo hæ sunt ad
invicem in ratione prima spatiorum nascentium CD, cd:
tendunt vero ad centra circulorum per Theor. II,
propterea quod areæ radiis descriptæ ponuntur
temporibus proportionales. Fiat figura tkb figuræ DCB similis, & per
Lemma V, lineola CD erit ad lineolam kt ut arcus BD ad arcum bt: nec non,
per Lemma XI, lineola nascens tk ad lineolam nascentem dc ut bt quad. ad
bd quad. & ex æquo lineola nascens DC ad lineolam nascentem dc ut BD ×
bt ad bd quad. seu quod perinde est, ut BD × bt ÷ Sb ad bd quad. ÷ Sb,

adeoq; (ob æquales rationes bt ÷ Sb & BD ÷ SB) ut BD quad. ÷ SB ad bd
quad. ÷ Sb Q. E. D.
Corol. 1. Hinc vires centripetæ sunt ut velocitatum quadrata applicata ad
radios circulorum.
Corol. 2. Et reciproce ut quadrata temporum periodicorum applicata ad
radios ita sunt hæ vires inter se. Id est (ut cum Geometris loquar) hæ vires
sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe & ratione
simplici radiorum inverse: necnon in ratione composita ex ratione simplici
radiorum directe & ratione duplicata temporum periodicorum inverse.
Corol. 3. Unde si tempora periodica æquantur, erunt tum vires centripetæ
tum velocitates ut radii, & vice versa.
Corol. 4. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii, vires centripetæ
sunt æquales, & velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et vice versa.
Corol. 5. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut quadrata radiorum,
vires centripetæ sunt reciproce ut radii, & velocitates æquales; Et vice
versa.
Corol. 6. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi radiorum, vires
centripeta: sunt reciproce ut quadrata radiorum; velocitates autem in
radiorum dimidiata ratione: Et vice versa.
Corol. 7. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus & viribus, quibus
corpora similes figurarum quarumcunq; similium, centraq; similiter posita
habentium, partes describunt, consequuntur ex Demonstratione
præcedentium ad hosce casus applicata.

Scholium.

Casus Corollarii sexti obtinet in corporibus cælestibus (ut seorsum
colligerunt etiam nostrates Wrennus, Hookius & Halleus) & propterea quæ
spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum
a centris decrevi fusius in sequentibus exponere.
Porro præcedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis
centripetæ ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam cum vis

illa, quo tempore corpus percurrit arcum BC, impellat ipsum per spatium
CD, quod ipso motus initio æquale est quadrato arcus illius BD ad circuli
diametrum applicato; & corpus omne vi eadem in eandem semper plagam
continuata, describat spatia in duplicata ratione temporum: Vis illa, quo
tempore corpus revolvens arcum quemvis datum describit, efficiet ut corpus
idem recta progrediens describat spatium quadrato arcus illius ad circuli
diametrum applicato æquale; adeoq; est ad vim gravitatis ut spatium illud
ad spatium quod grave cadendo eodem tempore describit. Et hujusmodi
Propositionibus Hugenius, in eximio suo Tractatu de Horologio oscillatorio,
vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.
Demonstrari etiam possunt præcedentia in hunc modum. In circulo quovis
describi intelligatur Polygonum laterum quotcunq; Et si corpus in Polygoni
lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos singulos a circulo
reflectatur; vis qua singulis reflexionibus impingit in circulum erit ut ejus
velocitas, adeoq; summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa &
numerus reflexionum conjunctim, hoc est (si Polygonum detur specie) ut
longitudo dato illo tempore descripta & longitudo eadem applicata ad
Radium circuli, id est ut quadratum longitudinis illius applicatum ad
Radium; adeoq; si Polygonum lateribus infinite diminutis coincidat cum
circulo, ut quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium.
Hæc est vis qua corpus urget circulum, & huic æqualis est vis contraria qua
circulus continuo repellit corpus centrum versus.

Prop. V. Prob. I.

Data quibuscunq; in locis velocitate, qua corpus
figuram datam viribus ad commune aliquod
centrum tendentibus describit, centrum illud
invenire.

Figuram descriptam tangant rectæ tres PT, TQV, VR
in punctis totidem P, Q, R, concurrentes in T & V. Ad
tangentes erigantur perpendicula PA, QB, RC, velocitatibus corporis in
punctis illis P, Q, R a quibus eriguntur reciproce proportionalia; id est ita ut
sit PA ad QB ut velocitas in Q ad velocitatem in P, & QB ad RC ut velocitas
in R ad velocitatem in Q. Per perpendiculorum terminos A, B, C ad angulos

rectos ducantur AD, DBE, EC concurrentia in D & E: Et actæ TD, VE
concurrent in centro quæsito S.
Nam cum corpus in P & Q radiis ad centrum ductis areas describat
temporibus proportionales, sintq; areæ illæ simul descriptæ ut velocitates in
P & Q ductæ respective in perpendicula a centro in tangentes PT, QT
demissa: Erunt perpendicula illa ut velocitates reciproce, adeoq; ut
perpendicula AP, BQ directe, id est ut perpendicula a puncto D in tangentes
demissa. Unde facile colligitur quod puncta S, D, T sunt in una recta. Et
simili argumento puncta S, E, V sunt etiam in una recta; & propterea
centrum S in concursu rectarum TD, VE versatur. Q. E. D.

Pro. VI. Theor. V.

Si corpus P revolvendo circa centrum S, describat lineam
quamvis curvam APQ, tangat vero recta ZPR curvam illam in
puncto quovis P, & ad tangentem ab alio quovis curvæ Q agatur
QR distantiæ SP parallela, ac demittatur QT perpendicularis ad
distantiam SP: Dico quod vis centripeta sit reciproce ut solidum
SP quad. × QT quad. ÷ QR, si modo solidi illius ea semper
sumatur quantitas quæ ultimo fit ubi coeunt puncta P & Q.

Namq; in figura indefinite parva QRPT lineola nascens
QR, dato tempore, est ut vis centripeta (per Leg. II.) &
data vi, ut quadratum temporis (per Lem. X.) atq; adeo,
neutro dato, ut vis centripeta & quadratum temporis
conjunctim, adeoq; vis centripeta ut lineola QR directe
& quadratum temporis inverse. Est autem tempus ut area SPQ, ejus dupla
SP × QT, id est ut SP & QT conjunctim, adeoq; vis centripeta ut QR directe
atq; SP quad. in QT quad. inverse, id est ut SP quad. × QT quad. ÷ QR
inverse. Q. E. D.
Corol. Hinc si detur figura quævis, & in ea punctum ad quod vis centripeta
dirigitur; inveniri potest lex vis centripetæ quæ corpus in figuræ illius
perimetro gyrari faciet. Nimirum computandum est solidum SP quad. × QT
quad. ÷ QR huic vi reciproce proportionale. Ejus rei dabimus exempla in
problematis sequentibus.

Prop. VII. Prob. II.

Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur
lex vis centripetæ tendentis ad punctum aliquod in
circumferentia datum.

Esto circuli circumferentia SQPA, centrum vis
centripetæ S, corpus in circumferentia latum P, locus
proximus in quem movebitur Q. Ad diametrum SA & rectam SP demitte
perpendiculi PK, QT, & per Q ipsi SP parallelam age LR occurrentem
circulo in L & tangenti PR in R, & coeant TQ, PR in Z. Ob similitudinem
triangulorum ZQR, ZTP, SPA erit RP quad. (hoc est QRL) ad QT quad. ut
SA quad. ad SP quad. Ergo QRL × SP quad. ÷ SA quad. æquatur QT quad.
Ducantur hæc æqualia in SP quad. ÷ QR, & punctis P & Q coeuntibus,
scribatur SP pro RL. Sic fiet SP qc. ÷ SAq. æquale QTq. × SPq. ÷ QR. Ergo
(per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut SP qc. ÷ SAq., id est (ob
datum SA quad.) ut quadrato-cubus distantiæ SP. Quod erat inveniendum.

Prop. VIII. Prob. III.

Moveatur corpus in circulo PQA: ad hunc
effectum requiritur lex vis centripetæ tendentis ad
punctum adeo longinquum, ut lineæ omnes PS, RS
ad id ductæ, pro parallelis haberi possint.

A circuli centro C agatur semidiameter CA parallelas
istas perpendiculariter secans in M & N, & jungantur
CP. Ob similia triangula CPM, & TPZ, vel (per Lem. VIII.) TPQ, est CPq.
ad PMq. ut PQq. vel (per Lem. VII.) PRq. ad QTq. & ex natura circuli
rectangulum QR × RN + QN æquale est PR quadrato. Coeuntibus autem
punctis P, Q fit RN + QN æqualis 2PM. Ergo est CP quad. ad PM quad. ut
QR × 2PM ad QT quad. adeoq; QT quad. ÷ QR æquale 2PM cub. ÷ CP
quad., & QT quad. × SP quad. ÷ QR æquale 2PM cub. × SP quad. ÷ CP
quad. Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut 2PM cub. ×
SP quad. ÷ CP quad. hoc est (neglecta ratione determinata 2SP quad. ÷ CP
quad.) reciproce ut PM cub. Q. E. I.

Scholium.

Et simili argumento corpus movebitur in Ellipsi vel etiam in Hyperbola vel
Parabola, vi centripeta quæ sit reciproce ut cubus ordinatim applicatæ ad
centrum virium maxime longinquum tendentis.

Prop. IX. Prob. IV.

Gyretur corpus in spiral PQS secante radios
omnes SP, SQ, &c. in angulo dato: Requiritur lex
vis centripetæ tendentis ad centrum spiralis.

Detur angulus indefinite parvus PSQ, & ob datos
omnes angulos dabitur specie figura SPQRT. Ergo datur ratio QT ÷ RQ
estq; QT quad. ÷ QR ut QT, hoc est ut SP. Mutetur jam utcunq; angulus
PSQ, & recta QR angulum contactus QPR subtendens mutabitur (per
Lemma XI.) in duplicata ratione ipsius PR vel QT. Ergo manebit QT quad.
÷ QR eadem quæ prius, hoc est ut SP. Quare QTq. × SPq. ÷ QR est ut SP
cub. id est (per Corol. Theor. V.) vis centripeta ut cubus distantiæ SP.
Q. E. I.

Lemma XII.

Parallelogramma omnia circa datam Ellipsin descripta esse inter
se æqualia. Idem intellige de Parallelogrammis in Hyperbola
circum diametros ejus descriptis.

Constat utrumq; ex Conicis.

Prop. X. Prob. V.

Gyretur corpus in Ellipsi: requiritur lex vis centripetæ tendentis
ad centrum Ellipseos.

Sunto CA, CB semiaxes Ellipseos; GP, DK diametri conjugatæ; PF, Qt,
perpendicula ad diametros; Qv ordinatim applicata ad diametrum GP; & si
compleatur parallelogrammum QvRP, erit (ex Conicis) PvG ad Qv quad. ut

PC quad. ad CD quad. & (ob similia triangula
Qvt, PCF) Qv quad. est ad Qt quad. ut PC quad.
ad PF quad. & conjunctis rationibus, PvG ad Qt
quad. ut PC quad. ad CD quad. & PC quad. ad
PF quad. id est vG ad Qt quad. ÷ Pv ut PC
quad. ad CDq. × PFq. ÷ PCq.. Scribe QR pro
Pv, & (per Lemma xii.) BC × CA pro CD × PF,
nec non (punctis P & Q coeuntibus) 2PC pro
vG, & ductis extremis & medijs in se mutuo, fiet
QTq. × PCq. ÷ QR æquale 2BCq. × CAq. ÷ PC.
Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta
reciproce ut 2BCq. × CAq. ÷ PC, id est (ob datum 2BCq. × CAq.) ut 1 ÷ PC,
hoc est, directe ut distantia PC. Q. E. I.
Corol. 1. Unde vicissim si vis sit ut distantia, movebitur corpus in Ellipsi
centrum habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem Ellipsis
migrare potest.
Corol. 2. Et æqualia erunt revolutionum in Figuris universis circa centrum
idem factarum periodica tempora. Nam tempora illa in Ellipsibus similibus
æqualia sunt per Corol. 3 & 7 Prop. IV: In Ellipsibus autem communem
habentibus axem majorem, sunt ad invicem ut Ellipseon areæ totæ directe
& arearum particulæ simul descriptæ inverse; id est ut axes minores directe
& corporum velocitates in verticibus principalibus inverse, hoc est ut axes
illi directe & ordinatim applicatæ ad axes alteros inverse, & propterea (ob
æqualitatem rationum directarum & inversarum) in ratione æqualitatis.

Scholium.

Si Ellipsis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabolam, corpus
movebitur in hac Parabola, & vis ad centrum infinite distans jam tendens,
evadet æquabilis. Hoc est Theorema Galilei. Et si Conisectio Parabolica,
inclinatione plani ad conum sectum mutata, vertatur in Hyperbolam,
movebitur corpus in hujus perimetro, vi centripeta in centrifugam versa.

SECT. III.
De motu Corporum in Conicis Sectionibus excentricis.

Prop. XI. Prob. VI.

Revolvatur corpus in Ellipsi: Requiritur lex vis centripetæ
tendentis ad umbilicum Ellipseos.

Esto Ellipseos superioris umbilicus S. Agatur SP
secans Ellipseos tum diametrum DK in E, tum
ordinatim applicatam Qv in x, & compleatur
parallelogrammum QxPR. Patet EP æqualem
esse semiaxi majori AC, eo quod acta ab altero
Ellipseos umbilico H linea HI ipsi EC parallela,
(ob æquales CS, CH) æquentur ES, EI, adeo ut
EP semisumma sit ipsarum PS, PI, id est (ob
parallelas HI, PR & angulos æquales IPR, HPZ)
ipsorum PS, PH, quæ conjunctim axem totum
2AC adæquant. Ad SP demittatur
perpendicularis QT, & Ellipseos latere recto principali (seu 2BC quad. ÷
AC) dicto L, erit L × QR ad L × Pv ut QR ad Pv; id est ut PE (seu AC) ad
PC; & L × Pv ad GvP ut L ad Gv; & GvP ad Qv quad. ut CP quad. ad CD
quad.; & (per Lem. VIII.) Qv quad. ad Qx quad. punctis Q & P coeuntibus,
est ratio æqualitatis, & Qx quad. seu Qv quad. est ad QT quad. ut EP quad.
ad PF quad., id est ut CA quad. ad PF quad. sive (per Lem. XII.) ut CD
quad. ad CB quad. Et conjunctis his omnibus rationibus, L × QR fit ad QT
quad. ut AC ad PC + L ad Gv + CPq. ad CDq. + CDq. ad CBq. id est ut AC
× L (seu 2CBq.) × CPq. ad PC × Gv × CBq. sive ut 2PC ad Gv. Sed punctis
Q & P coeuntibus, æquantur 2PC & Gv. Ergo & his proportionalia L × QR
& QT quad. æquantur. Ducantur hæc aqualia in SPq. ÷ QR & fiet L × SPq.
æquale SPq. × QTq. ÷ QR. Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta
reciproce est ut L × SPq. id est reciproce in ratione duplicata distantiæ SP.
Q. E. I.

Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabolam, &
Hyperbolam, liceret idem hic facere: verum ob dignitatem Problematis &
usum ejus in sequentibus, non pigebit casus cæteros demonstratione
confirmare.

Prop. XII. Prob. VII.

Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis centripetæ
tendentis ad umbilicum figuræ.

Sunto CA, CB semi-axes Hyperbolæ; PG, KD diametri conjugatæ; PF, Qt
perpendicula ad diametros; & Qv ordinatim applicata ad diametrum GP.
Agatur SP secans tum diametrum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in
x, & compleatur parallelogrammum QRPx. Patet EP æqualem esse semi-axi
transverso AC, eo quod, acta ab altero Hyperbolæ umbilico H linea HI ipsi
EC parallela, ob æquales CS, CH, æquentur ES, EI; adeo ut EP
semidifferentia sit ipsarum PS, PI, id est (ob parallelas HI, PR & angulos
æquales IPR, HPZ) ipsarum PI, PH, quarum differentia axem totum 2AC
adæquat. Ad SP demittatur perpendicularis QT. Et Hyperbolæ latere recto
principali (seu 2BCq. ÷ AC) dicto L, erit L × QR ad L × Pv ut QR ad Pv, id
est, ut PE (seu AC) ad PC; Et L × Pv ad GvP ut L ad Gv; & GvP ad Qvq. ut

CPq. ad CDq.; & (per Lem. VIII.) Qvq. ad Qxq., punctis Q & P coeuntibus
fit ratio æqualitatis; & Qxq. seu Qvq. est ad QTq. ut EPq. ad PFq., id est ut
CAq. ad PFq., sive (per Lem. XII.) ut CDq. ad CBq.: & conjunctis his
omnibus rationibus L × QR fit ad QTq. ut AC ad PC + L ad Gv + CPq. ad
CDq. + CDq. ad CBq.: id est ut AC × L (seu 2BCq.) × PCq. ad PC × Gv ×
CB quad. sive ut 2PC ad Gv, sed punctis Q & P coeuntibus æquantur 2PC
& Gv. Ergo & his proportionalia L × QR & QTq. æquantur. Ducantur hæc
æqualia in SPq. ÷ QR & fiet L × SPq. æquale SPq. × QTq. ÷ QR. Ergo (per
Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut L × SPq. id est in ratione
duplicata distantiæ SP. Q. E. I.
Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam
versa, movebitur in Hyperbola conjugata.

Lemma XIII.

Latus rectum Parabolæ ad verticem quemvis pertinens, est
quadruplum distantiæ verticis illius ab umbilico figuræ. Patet ex
Conicis.

Lemma XIV.

Perpendiculum quod ab umbilico
Parabolæ ad tangentem ejus demittitur,
medium est proportionale inter
distantias umbilici a puncto contactus
& a vertice principali figuræ.

Sit enim APQ Parabola, S umbilicus ejus, A
vertex principalis, P punctum contactus, PO
ordinatim applicata ad diametrum principalem, PM tangens diametro
principali occurrens in M, & SN linea perpendicularis ab umbilico in
tangentem. Jungatur AN, & ob æquales MS & SP, MN & NP, MA & AO,
parallelæ erunt rectæ AN & OP, & inde triangulum SAN rectangulum erit ad
A & simile triangulis æqualibus SMN, SPN. Ergo PS est ad SN ut SN ad SA.
Q. E. D.
Corol. 1. PSq. est ad SNq. ut PS ad SA.

Corol. 2. Et ob datam SA, est SNq. ut PS.
Corol. 3. Et concursus tangentis cujusvis PM cum recta SN quæ ab umbilico
in ipsam perpendicularis est, incidit in rectam AN, quæ Parabolam tangit in
vertice principali.

Prop. XIII. Prob. VIII.

Moveatur corpus in perimetro Parabolæ: requiritur Lex vis
centripetæ tendentis ad umbilicum hujus figuræ.

Maneat constructio Lemmatis, sitq; P corpus
in perimetro Parabolæ, & a loco Q in quem
corpus proxime movetur, age ipsi SP
Parallelam QR & perpendicularem QT,
necnon Qv tangentiparallelam &
occurrentem tum diametro YPG in v, tum
distantiæ SP in x. Jam ob similia triangula
Pxv, MSP & æqualia unius latera SM, SP,
æqualia sunt alterius latera Px seu QR & Pv. Sed, ex Conicis, quadratum
ordinatæ Qv æquale est rectangulo sub latere recto & segmento diametri Pv,
id est (per Lem. XIII.) rectangulo 4PS × Pv seu 4PS × QR; & punctis P & Q
coeuntibus, ratio Qv ad Qx (per Lem. 8.) fit æqualitatis. Ergo Qxq. eo in
casu, æquale est rectangulo 4PS × QR. Est autem (ob æquales angulos QxT,
MPS, PMO) Qxq. ad QTq. ut PSq. ad SNq. hoc est (per Corol. I. Lem. XIV.)
ut PS ad AS, id est ut 4PS × QR ad 4AS × QR, & inde (per Prop. 9. Lib. V.
Elem.) QTq. & 4AS × QR æquantur. Ducantur hæc æqualia in SPq. ÷ QR, &
fiet SPq. × QTq. ÷ QR æquale SPq. × 4AS: & propterea (per Corol. Theor.
V.) vis centripeta est reciproce ut SPq. × 4AS, id est, ob datam 4AS,
reciproce in duplicata ratione distantiæ SP. Q. E. I.
Corol. I. Ex tribus novissimis Proportionibus consequens est, quod si
corpus quodvis P, secundum lineam quamvis rectam PR, quacunq; cum
velocitate exeat de loco P, & vi centripeta quæ sit reciproce proportionalis
quadrato distantiæ a centro, simul agitetur; movebitur hoc corpus in aliqua
sectionum Conicarum umbilicum habente in centro virium; & contra.

Corol. II. Et si velocitas, quacum corpus exit de loco suo P, ea sit, qua
lineola PR in minima aliqua temporis particula describi possit, & vis
centripeta potis sit eodem tempore corpus idem movere per spatium QR:
movebitur hoc corpus in Conica aliqua sectione cujus latus rectum est
quantitas illa QTq. ÷ QR quæ ultimo fit ubi lineolæ PR, QR in infinitum
diminuuntur. Circulum in his Corollariis refero ad Ellipsin, & casum
excipio ubi corpus recta descendit ad centrum.

Prop. XIV. Theor. VI.

Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, & vis
centripeta decrescat in duplicata ratione distantiarum a centro;
dico quod Orbium Latera recta sunt in duplicata ratione arearum
quas corpora, radiis ad centrum ductis, eodem tempore
describunt.

Nam per Corol. II. Prob. VIII. Latus rectum L æquale est quantitati QTq. ÷
QR quæ ultimo fit ubi coeunt puncta P & Q. Sed linea minima QR, dato
tempore, est ut vis centripeta generans, hoc est (per Hypothesin) reciproce
ut SPq. Ergo QTq. ÷ QR est ut QTq. × SPq. hoc est, latus rectum L in
duplicata ratione areæ QT × SP. Q. E. D.
Corol. Hinc Ellipseos area tota, eiq; proportionale rectangulum sub axibus,
est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra ratione
temporis periodici.

Prop. XV. Theor. VII.

Iisdem positis, dico quod tempora periodica in Ellipsibus sunt in
ratione sesquiplicata transversorum axium.

Namq; axis minor est medius proportionalis inter axem majorem (quem
transversum appello) & latus rectum, atq; adeo rectangulum sub axibus est
in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & sesquiplicata
ratione axis transversi. Sed hoc rectangulum, per Corollarium Theorematis
Sexti, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra
ratione periodici temporis. Dematur utrobiq; dimidiata ratio lateris recti &

manebit sesquiplicata ratio axis transversi æqualis rationi periodici
temporis. Q. E. D.
Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipsibus eadem ac in circulis,
quorum diametri æquantur majoribus axibus Ellipseon.

Prop. XVI. Theor. VIII.

Iisdem positis, & actis ad corpora lineis rectis, quæ ibidem
tangant orbitas, demissisq; ab umbilico communi ad has
tangentes perpendicularibus: dico quod velocitates corporum
sunt in ratione composita ex ratione perpendiculorum inverse &
dimidiata ratione laterum rectorum directe. Vide Fig. Prop. X. &.
XI.

Ab umbilico S ad tangentem PR demitte perpendiculum SY & velocitas
corporis P erit reciproce in dimidiata ratione quantitatis SYq. ÷ L. Nam
velocitas illa est ut arcus quam minimus PQ in data temporis particula
descriptus, hoc est (per Lem. VII.) ut tangens PR, id est (ob proportionales
PR ad QT & SP ad SY) ut SP × QT ÷ SY, sive ut SY reciproce & SP × QT
directe; estq; SP × QT ut area dato tempore descripta, id est, per Theor. VI.
in dimidiata ratione lateris recti Q. E. D.
Corol. 1. Latera recta sunt in ratione composita ex duplicata ratione
perpendiculorum & duplicata ratione velocitatum.
Corol. 2. Velocitates corporum in maximis & minimis ab umbilico
communi distantiis, sunt in ratione composita ex ratione distantiarum
inverse & dimidiata ratione laterum rectorum directe. Nam perpendicula
jam sunt ipsæ distantiæ.
Corol. 3. Ideoq; velocitas in Conica sectione, in minima ab umbilico
distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a centro distantia, in
dimidiata ratione lateris recti ad distantiam illam duplicatam.
Corol. 4. Corporum in Ellipsibus gyrantium velocitates in mediocribus
distantiis ab umbilico communi sunt eædem quæ corporum gyrantium in
circulis ad easdem distantias, hoc est (per Corol. VI. Theor. IV.) reciproce in
dimidiata ratione distantiarum. Nam perpendicula jam sunt semi-axes

minores, & hi sunt ut mediæ proportionales inter distantias & latera recta.
Componatur hæc ratio inverse cum dimidiata ratione laterum rectorum
directe, & fiet ratio dimidiata distantiarum inverse.
Corol. 5. In eadem vel æqualibus figuris, vel etiam in figuris inæqualibus,
quarum latera recta sunt æqualia, velocitas corporis est reciproce ut
perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem.
Corol. 6. In Parabola, velocitas est reciproce in dimidiata ratione distantiæ
corporis ab umbilico figuræ, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major quam
in hac ratione. Nam (per Corol. 2 Lem. XIV.) perpendiculum demissum ab
umbilico ad tangentem Parabolæ est in dimidiata ratione distantiæ.
Corol. 7. In Parabola, velocitas ubiq; est ad velocitatem corporis revolventis
in circulo ad eandem distantiam, in dimidiata ratione numeri binarii ad
unitatem; in Ellipsi minor est, in Hyperbola major quam in hac ratione.
Nam per hujus Corollarium secundum, velocitas in vertice Parabolæ est in
hac ratione, & per Corollaria sexta hujus & Theorematis quarti, servatur
eadem proportio in omnibus distantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas
ubiq; æqualis est velocitati corporis revolventis in circulo ad dimidiam
distantiam, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major.
Corol. 8. Velocitas gyrantis in Sectione quavis Conica est ad velocitatem
gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti Sectionis, ut distantia illa
ad perpendiculum ab umbilico in tangentem Sectionis demissum. Patet per
Corollarium quintum.
Corol. 9. Unde cum (per Corol. 6. Theor. IV.) velocitas gyrantis in hoc
circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio, reciproce in
dimidiata ratione distantiarum; fiet ex æquo velocitas gyrantis in Conica
sectione ad velocitatem gyrantis in circulo in eadem distantia, ut media
proportionalis inter distantiam illam communem & semissem lateris recti
sectionis, ad perpendiculum ab umbilico communi in tangentem sectionis
demissum.

Prop. XVII. Prob. IX.

Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato
distantiæ a centro, & quod vis illius quantitas absoluta sit

cognita; requiritur linea quam corpus describit, de loco dato cum
data velocitate secundum datam rectam egrediens.

Vis centripeta tendens ad punctum S ea sit quæ
corpus p in orbita quavis data pq gyrare faciat, &
cognoscatur hujus velocitas in loco p. De loco P
secundum lineam PR exeat corpus P cum data
velocitate, & mox inde, cogente vi centripeta,
deflectat illud in Conisectionem PQ. Hanc igitur
recta PR tanget in P. Tangat itidem recta aliqua pr orbitam pq in p, & si ab
S ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol. 1.
Theor. VIII.) latus rectum Conisectionis ad latus rectum orbitæ datæ, in
ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione
velocitatum, atq; adeo datur. Sit istud L. Datur præterea Conisectionis
umbilicus S. Anguli RPS complementum ad duos rectos fiat angulus RPH,
& dabitur positione linea PH, in qua umbilicus alter H locatur. Demisso ad
PH perpendiculo SK, & erecto semiaxe conjugato BC, est SPq. - 2KPH +
PHq. (per Prop. 13. Lib. II. Elem.) = SHq. = 4CHq. = 4BHq. - 4BCq. = SP
+ PH quad. - L × SP + PH = SPq. + 2SPH + PHq. - L × SP + PH. Addantur
utrobiq; 2KPH + L × SP + PH - SPq. - PHq. & fiet L × SP + PH = 2SPH +
2KPH, seu SP + PH ad PH ut 2SP + 2KP ad L. Unde datur PH tam
longitudine quam positione. Nimirum si ea sit corporis in P velocitas, ut
latus rectum L minus fuerit quam 2SP + 2KP, jacebit PH ad eandem partem
tangentis PR cum linea PS, adeoq; figura erit Ellipsis, & ex datis umbilicis
S, H, & axe principali SP + PH, dabitur: Sin tanta sit corporis velocitas ut
latus rectum L æquale fuerit 2SP + 2KP, longitudo PH infinita erit, &
propterea figura erit Parabola axem habens SH parallelum lineæ PK, & inde
dabitur. Quod si corpus majori adhuc cum velocitate de loco suo P exeat,
capienda erit longitudo PH ad alteram partem tangentis, adeoq; tangente
inter umbilicos pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem
æqualem differentiæ linearum SP & PH, & inde dabitur. Q. E. I.
Corol. 1. Hinc in omni Conisectione ex dato vertice principali D, latere
recto L, & umbilico S, datur umbilicus alter H capiendo DH ad DS ut est
latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4DS. Nam proportio SP +
PH ad PH ut 2SP ad L, in casu hujus Corollarii, fit DS + DH ad DH ut 4DS
ad L, & divisim DS ad DH ut 4DS - L ad L.
Corol. 2. Unde si datur corporis velocitas in vertice principali D, invenietur
Orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus, ad duplam distantiam

DS, in duplicata ratione velocitatis hujus datæ ad velocitatem corporis in
circulo ad distantiam DS gyrantis: (Per Corol. 3. Theor. VIII.) dein DH ad
DS ut latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4DS.
Corol. 3. Hinc etiam si corpus moveatur in Sectione quacunq; Conica, & ex
orbe suo impulsu quocunq; exturbetur; cognosci potest orbis in quo postea
cursum suum peraget. Nam componendo proprium corporis motum cum
motu illo quem impulsus solus generaret, habebitur motus quocum corpus
de dato impulsus loco, secundum rectam positione datam, exibit.
Corol. 4. Et si corpus illud vi aliqua extrinsecus impressa continuo
perturbetur, innotescet cursus quam proxime, colligendo mutationes quas
vis illa in punctis quibusdam inducit, & ex seriei analogia, mutationes
continuas in locis intermediis æstimando.

SECT. IV.
De Inventione Orbium Ellipticorum, Parabolicorum & Hyperbolicorum ex
umbilico dato.

Lemma XV.

Si ab Ellipseos vel Hyperbolæ cujusvis umbilicis
duobus S, H, ad punctum quodvis tertium V
inflectantur rectæ duæ SV, HV, quarum una HV
æqualis sit axi transverso figuræ, altera SV a
perpendiculo TR in se demisso bisecetur in T; perpendiculum
illud TR sectionem Conicam alicubi tangit: & contra, si tangit,
erit VH æqualis axi figuræ.

Secet enim VH sectionem conicam in R, & jungatur SR. Ob æquales rectas
TS, TV, æquales erunt anguli TRS, TRV. Bisecat ergo RT angulum VRS &
propterea figuram tangit: & contra. Q. E. D.

Prop. XVIII. Prob. X.

Datis umbilico & axibus transversis describere Trajectorias
Ellipticas & Hyperbolicas, quæ transibunt per puncta data, &
rectas positione datas contingent.

Sit S communis umbilicus figuraram; AB longitudo
axis transversi Trajectoriæ cujusvis; P punctum per
quod Trajectoria debet transire; & TR recta quam
debet tangere. Centro P intervallo AB - SP, si orbita
sit Ellipsis, vel AB + SP, si ea sit Hyperbola,
describatur circulus HG. Ad tangentem TR demittatur
perpendiculum ST, & producatur ea ad V ut sit TV
æqualis ST; centroq; V & intervallo AB describatur
circulus FH. Hac methodo sive dentur duo puncta P,

p, sive duæ tangentes TR, tr, sive punctum P & tangens TR, describendi
sunt circuli duo. Sit H eorum intersectio communis, & umbilicis S, H, axe
illo dato describatur Trajectoria. Dico factum. Nam Trajectoria descripta (eo
quod PH + SP in Ellipsi, & PH - SP in Hyperbola æquatur axi) transibit per
punctum P, & (per Lemma superius) tanget rectam TR. Et eodem
argumento vel transibit eadem per puncta duo P, p, vel tanget rectas duas
TR, tr. Q. E. F.

Prop. XIX. Prob. XI.

Circa datum umbilicum Trajectoriam Parabolicam describere,
quæ transibit per puncta data, & rectas positione datas continget.

Sit S umbilicus, P punctum & TR tangens trajectoriæ
describendæ. Centro P, intervallo PS describe circulum FG.
Ab umbilico ad tangentem demitte perpendicularem ST, &
produc eam ad V, ut sit TV æqualis ST. Eodem modo
describendus est alter circulus fg, si datur alterum punctum p;
vel inveniendum alterum punctum v, si datur altera tangens tr;
dein ducenda recta IF quæ tangat duos circulos FG, fg si
dantur duo puncta P, p; vel transeat per duo puncta V, v, si dantur duæ
tangentes TR, tr, vel tangat circulum FG & transeat per punctum V, si datur
punctum P & tangens TR. Ad FI demitte perpendicularem SI, eamq; biseca
in K, & axe SK, vertice principali K describatur Parabola. Dico factum.
Nam Parabola ob æquales SK & IK, SP & FP transibit per punctum P; &
(per Lemmatis XIV. Corol. 3.) ob æquales ST & TV & angulum rectum
STR, tanget rectam TR. Q. E. F.

Prop. XX. Prob. XII.

Circa datum umbilicum Trajectoriam quamvis
specie datam describere, quæ per data puncta
transibit & rectas tanget positione datas.

Cas. 1. Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria
ABC per puncta duo B, C. Quoniam Trajectoria datur specie, dabitur ratio
axis transversi ad distantiam umbilicorum. In ea ratione cape KB ad BS, &

LC ad CS. Centris B, C, intervallis BK, CL, describe circulos duos, & ad
rectam KL, quæ tangat eosdem in K & L, demitte perpendiculum SG,
idemq; seca in A & a, ita ut sit SA ad AG & Sa ad aG, ut est SB ad BK, &
axe Aa, verticibus A, a, describatur Trajectoria. Dico factum. Sit enim H
umbilicus alter figuræ descriptæ, & cum sit SA ad AG ut Sa ad aG, erit
divisim Sa - SA seu SH ad aG - AG seu Aa in eadem ratione, adeoq; in
ratione quam habet axis transversus figuræ describendæ ad distantiam
umbilicorum ejus; & propterea figura descripta est ejusdem speciei cum
describenda. Cumq; sint KB ad BS & LC ad CS in eadem ratione, transibit
hæc Figura per puncta B, C, ut ex Conicis manifestum est.
Cas. 2. Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria
quæ rectas duas TR, tr alicubi contingat. Ab umbilico
in tangentes demitte perpendicula ST, St & produc
eadem ad V, v, ut sint TV, tv æquales TS, ts. Biseca Vv
in O, & erige perpendiculum infinite OH, rectamq; VS
infinite productam seca in K & k ita, ut sit VK ad KS &
Vk ad kS ut est Trajectoriæ describendæ axis
transversus ad umbilicorum distantiam. Super diametro Kk describatur
circulus secans rectam OH in H; & umbilicis S, H, axe transverso ipsam VH
æquante, describatur Trajectoria. Dico factum. Nam biseca Kk in X, & junge
HX, HS, HV, Hv. Quoniam est VK ad KS ut Vk ad kS; & composite ut VK +
Vk ad KS + kS; divisimq; ut Vk - VK ad kS - KS id est ut 2VX ad 2KX & 2KX
ad 2SX, adeoq; ut VX ad HX & HX ad SX, similia erunt triangula VXH, HXS,
& propterea VH erit ad SH ut VX ad XH, adeoq; ut VK ad KS. Habet igitur
Trajectoria; descriptæ axis transversus VH eam rationem ad ipsius
umbilicorum distantiam SH, quam habet Trajectoriæ describendæ axis
transversus ad ipsius umbilicorum distantiam, & propterea ejusdem est
speciei. Insuper cum VH, vH æquentur axi transverso, & VS, vS a rectis TR,
tr perpendiculariter bisecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas
Trajectoriam descriptam tangere. Q. E. F.
Cas. 3. Dato umbilico S describenda sit Trajectoria
quæ rectam TR tanget in puncto dato R. In rectam TR
demitte perpendicularem ST, & produc eandem ad V,
ut sit TV æqualis ST. Junge VR, & rectam VS infinite
productam seca in K & k, ita ut sit VK ad SK & Vk ad
Sk ut Ellipseos describendæ axis transversus ad

distantiam umbilicorum; circuloq; super diametro Kk descripto, secetur
producta recta VR in H, & umbilicis S, H, axe transverso rectam HV
æquante, describatur Trajectoria. Dico factum. Namq; VH esse ad SH ut VK
ad SK, atq; adeo ut axis transversus Trajectoriæ describendæ ad distantiam
umbilicorum ejus, patet ex demonstratis in Casu secundo, & propterea
Trajectoriam descriptam ejusdem esse speciei cum describenda: rectam
vero TR qua angulus VRS bisecatur, tangere Trajectoriam in puncto R, patet
ex Conicis. Q. E. F.
Cas. 4. Circa umbilicum S
describenda jam sit Trajectoria APB,
quæ tangat rectam TR, transeatq; per
punctum quodvis P extra tangentem
datum, quæq; similis sit figuræ apb,
axe transverso ab & umbilicis s, h
descriptæ. In tangentem TR demitte
perpendiculum ST, & produc idem ad
V, ut sit TV æqualis ST. Angulis
autem VSP, SVP fac angulos hsq, shq æquales; centroq; q intervallo quod
sit ad ab ut SP ad VS describe circulum secantem figuram apb in p. Junge
sp & age SH quæ sit ad sh ut est SP ad sp quæq; angulum PSH angulo psh
& angulum VSH angulo psq æquales constituat. Deniq; umbilicis S, H, axe
distantiam VH æquante, describatur sectio conica.
Dico factum. Nam si agatur sv quæ sit ad sp ut est sh ad sq, quæq;
constituat angulum vsp angulo hsq & angulum vsh angulo psq æquales,
triangula svh, spq erunt similia, & propterea vh erit ad pq ut est sh ad sq, id
est (ob similia triangula VSP, hsq) ut est VS ad SP seu ab ad pq. Æquantur
ergo vh & ab. Porro ob similia triangula VSH, vsh est VH ad SH ut vh ad sh,
id est, axis Conicæ actionis jam descripta: ad illius umbilicorum
intervallum, ut axis ab ad umbilicorum intervallum sh, & propterea figura
jam descripta similis est figuræ apb. Transit autem hæc figura per punctum
P, eo quod triangulum PSH simile sit triangulo psh; & quia VH æquatur
ipsius axi & VS bisecatur perpendiculariter a recta TR tangit eadem rectam
TR. Q. E. F.

Lemma XVI.

A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas
quarum differentiæ vel dantur vel nullæ sunt.

Cas. 1. Sunto puncta illa data A, B, C & punctum
quartum Z, quod invenire oportet: Ob datam
differentiam linearum AZ, BZ, locabitur punctum Z in
Hyperbola cujus umbilici sunt A & B, & axis
transversus differentia illa data. Sit axis ille MN. Cape
PM ad MA ut est MN ad AB, & erecto PR
perpendiculari ad AB, demissoq; ZR perpendiculari ad
PR, erit ex natura hujus Hyperbolæ ZR ad AZ ut est MN
ad AB. Simili discursu punctum Z locabitur in alia Hyperbola, cujus
umbilici sunt A, C & axis transversus differentia inter AZ & CZ, duciq;
potest QS ipsi AC perpendicularis, ad quam si ab Hyperbolæ hujus puncto
quovis Z demittatur normalis ZS, hæc fuerit ad AZ ut est differentia inter AZ
& CZ ad AC. Dantur ergo rationes ipsarum ZR & ZS ad AZ, & idcirco datur
earundem ZR & ZS ratio ad invicem; adeoq; rectis RP, SQ concurrentibus in
T, locabitur punctum Z in recta TZ positione data. Eadem Methodo per
Hyperbolam tertiam, cujus umbilici sunt B & C & axis transversus
differentia rectarum BZ, CZ, inveniri potest alia recta in qua punctum Z
locatur. Habitis autem duobus locis rectilineis, habetur punctum quæsitum Z
in earum intersectione, Q. E. I.
Cas. 2. Si duæ ex tribus lineis, puta AZ & BZ æquantur, punctum Z
locabitur in perpendiculo bisecante distantiam AB, & locus alius rectilineus
invenietur ut supra. Q. E. I.
Cas. 3. Si omnes tres æquantur, locabitur punctum Z in centro circuli per
puncta A, B, C transeuntis. Q. E. I.
Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum. Tactionum Apollonii
a Vieta restitutum.

Prop. XXI. Prob. XIII.

Trajectoriam circa datum umbilicum describere, quæ transibit per
puncta data & rectas positione datas continget.

Detur umbilicus S, punctum P, & tangens TR, &
inveniendus sit umbilicus alter H. Ad tangentem demitte
perpendiculum ST, & produc idem ad Y, ut sit TY æqualis
ST, & erit YH æqualis axi transverso. Junge SP, HP & erit
SP differentia inter HP & axem transversum. Hoc modo si
dentur plures tangentes TR, vel plura puncta P, devenietur semper ad lineas
totidem YH, vel PH, a dictis punctis Y vel P ad umbilicum H ductas, quæ
vel æquantur axibus, vel datis longitudinibus SP differunt ab iisdem, atq;
adeo quæ vel æquantur sibi invicem, vel datas habent differentias; & inde,
per Lemma superius, datur umbilicus ille alter H. Habitis autem umbilicis
una cum axis longitudine (quæ vel est YH, vel si Trajectoria Ellipsis est, PH
+ SP; sin Hyperbola PH - SP) habetur Trajectoria. Q. E. I.

Scholium.

Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur
expeditius. Dentur puncta B, C, D. Junctas BC,
CD produc ad E, F, ut sit EB ad EC ut SB ad SC,
& FC ad FD ut SC ad SD. Ad EF ductam &
productam demitte normales SG, BH, inq; GS
infinite producta cape GA ad AS & Ga ad aS ut
est HB ad BS; & erit A vertex, & Aa axis
transversus Trajectoriæ: quæ, perinde ut GA minor, æqualis vel major fuerit
quam AS, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola; puncto a in primo casu
cadente ad eandem partem lineæ GK cum puncto A; in secundo casu
abeunte in infinitum; in tertio cadente ad contrariam partem lineæ GK. Nam
si demittantur ad GF perpendicula CI, DK, erit IC ad HB ut EC ad EB, hoc
est ut SC ad SB; & vicissim IC ad SC ut HB ad SB, seu GA ad SA. Et simili
argumento probabitur esse KD ad SD in eadem ratione. Jacent ergo puncta
B, C, D in Conisectione circa umbilicum S ita descripta, ut rectæ omnes ab
umbilico S ad singula Sectionis puncta ductæ, sint ad perpendicula a punctis
iisdem ad rectam GK demissa in data illa ratione.
Methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem tradit
Clarissimus Geometra De la Hire, Conicorum suorum Lib. VIII. Prop.
XXV.

SECT. V.
Inventio orbium ubi umbilicus neuter datur.

Lemma XVII.

Si a datæ conicæ sectionis puncto quovis P, ad
Trapezii alicujus ABCD, in Conica illa sectione
inscripti, latera quatuor infinite producta AB, CD,
AC, DB, totidem rectæ PQ, PR, PS, PT in datis
angulis ducantur, singulæ ad singula: rectangulum
ductarum ad opposita duo latera PQ × PR, erit ad
rectangulum ductarum ad alia duo latera opposita
PS × PT in data ratione.

Cas. 1. Ponamus imprimis lineas ad opposita latera ductas parallelas esse
alterutri reliquorum laterum, puta PQ & PR lateri AC, & PS ac PT lateri AB.
Sintq; insuper latera duo ex oppositis, puta AC & BD, parallela. Et recta
quæ bisecat parallela illa latera erit una ex diametris Conicæ sectionis, &
bisecabit etiam RQ. Sit O punctum in quo RQ bisecatur, & erit PO
ordinatim applicata ad diametrum illam. Produc PO ad K ut sit OK æqualis
PO, & erit OK ordinatim applicata ad contrarias partes diametri. Cum igitur
puncta A, B, P & K sint ad Conicam sectionem, & PR secet AB in dato
angulo, erit (per Prop. 17 & 18 Lib. III Apollonii) rectangulum PQK ad
rectangulum AQB in data ratione. Sed QK & PR æquales sunt, utpote
æqualium OK, OP, & OQ, OR differentiæ, & inde etiam rectangula PQK &
PQ × PR æqualia sunt; atq; adeo rectangulum PQ × PR est ad rectangulum
AQB, hoc est ad rectangulum PS × PT in data ratione. Q. E. D.
Cas. 2. Ponamus jam Trapezii latera opposita AC & BD non esse parallela.
Age Bd parallelam AC & occurrentem tum rectæ ST in t, tum Conicæ
sectioni in d. Junge Cd secantem PQ in r, & ipsi PQ parallelam age DM
secantem Cd in M & AB in N. Jam ob similia triangula BTt, DBN, est Bt seu
PQ ad Tt ut DN ad NB. Sic & Rr est ad AQ seu PS ut DM ad AN. Ergo
ducendo antecedentes in antecedentes & consequentes in consequentes, ut

rectangulum PQ in Rr est ad rectangulum Tt in PS, ita
rectangulum NDM est ad rectangulum ANB, & (per
Cas. 1) ita rectangulum QPr est ad rectangulum SPt, ac
divisim ita rectangulum QPR est ad rectangulum PS ×
PT. Q. E. D.
Cas. 3. Ponamus deniq; lineas
quatuor PQ, PR, PS, PT non esse
parallelas lateribus AC, AB, sed ad ea utcunq; inclinatas.
Earum vice age Pq, Pr parallelas ipsi AC; & Ps, Pt
parallelas ipsi AB; & propter datos angulos triangulorum
PQq, PRr, PSs, PTt, dabuntur rationes PQ ad Pq, PR ad
Pr, PS ad Ps & PT ad Pt, atq; adeo rationes compositæ
PQ in PR ad Pq in Pr, & PS in PT ad Ps in Pt. Sed per superius
demonstrata, ratio Pq in Pr ad Ps in Pt data est: Ergo & ratio PQ in PR ad
PS in PT. Q. E. D.

Lemma XVIII.

Iisdem positis, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera
Trapezii PQ × PR sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo
latera PS × PT in data ratione; punctum P, a quo lineæ ducuntur,
tanget Conicam sectionem circa Trapezium descriptam.

Per puncta A, B, C, D & aliquod infinitorum
punctorum P, puta p, concipe Conicam sectionem
describi: dico punctum P hanc semper tangere. Si
negas, junge AP secantem hanc Conicam sectionem
alibi quam in P si fieri potest, puta in b. Ergo si ab his
punctis p & b ducantur in datis angulis ad latera
Trapezii rectæ pq, pr, ps, pt & bk, br, bſ, bd; erit ut bk
× br ad bd × bſ ita (per Lemma XVII) pq × pr ad ps ×
pt & ita (per hypoth.) PQ × PR ad PS × PT. Est & propter similitudinem
Trapeziorum bkAſ, PQAS, ut bk ad bſ ita PQ ad PS. Quare applicando
terminos prioris propositionis ad terminos correspondentes hujus, erit br ad
bd ut PR ad PT. Ergo Trapezia æquiangula Drbd, DRPT similia sunt, &
eorum diagonales Db, DP propterea coincidunt. Incidit itaq; b in

intersectionem rectarum AP, DP adeoq; coincidit cum puncto P. Quare
punctum P, ubicunq; sumatur, incidit in assignatam Conicam sectionem.
Q. E. D.
Corol. Hinc si rectæ tres PQ, PR, PS a puncto communi P ad alias totidem
positione datas rectas AB, CD, AC, singulæ ad singulas, in datis angulis
ducantur, sitq; rectangulum sub duabus ductis PQ × PR ad quadratum tertii,
PS quad. in data ratione: punctum P, a quibus rectæ ducuntur, locabitur in
sectione Conica quæ tangit lineas AB, CD in A & C & contra. Nam coeat
linea BD cum linea AC manente positione trium AB, CD, AC; dein coeat
etiam linea PT cum linea PS: & rectangulum PS × PT evadet PS quad.
rectæq; AB, CD quæ curvam in punctis A & B, C & D secabant, jam
Curvam in punctis illis coeuntibus non amplius secare possunt sed tantum
tangent.

Scholium.

Nomen Conicæ sectionis in hoc Lemmate late sumitur, ita ut sectio tam
rectilinea per verticem Coni transiens, quam circularis basi parallela
includatur. Nam si punctum p incidit in rectam, qua quævis ex punctis
quatuor A, B, C, D junguntur, Conica sectio vertetur in geminas rectas,
quarum una est recta illa in quam punctum p incidit, & altera recta qua alia
duo ex punctis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppositi simul
sumpti æquentur duobus rectis, & lineæ quatuor PQ, PR, PS, PT ducantur
ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis quibusvis æqualibus, sitq;
rectangulum sub duabus ductis PS × PR æquale rectangulo sub duabus aliis
PS × PT, Sectio conica evadet Circulus. Idem fiet si lineæ quatuor ducantur
in angulis quibusvis & rectangulum sub duabus ductis PQ × PR sit ad
rectangulum sub aliis duabus PS × PT ut rectangulum sub sinubus
angulorum S, T, in quibus duæ ultimæ PS, PT ducuntur, ad rectangulum sub
sinubus angulorum Q, R, in quibus duæ primæ PQ, PR ducuntur. Cæteris in
casibus Locus puncti P erit aliqua trium figurarum quæ vulgo nominantur
Sectiones Conicæ. Vice autem Trapezii ABCD substitui potest
quadrilaterum cujus latera duo opposita se mutuo instar diagonalium
decussant. Sed & e punctis quatuor A, B, C, D possunt unum vel duo abire
in infinitum, eoq; pacto latera figuræ quæ ad puncta illa convergunt,

evadere parallela: quo in casu sectio conica transibit per cætera puncta, & in
plagas parallelarum abibit in infinitum.

Lemma XIX.

Invenire punctum P, a quo si rectæ quatuor PQ,
PR, PS, PT ad alias totidem positione datas
rectas AB, CD, AC, BD singulæ ad singulas in
datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus
ductis, PQ × PR, sit ad rectangulum sub aliis
duabus, PS × PT, in data ratione.

Lineæ AB, CD, ad quas rectæ duæ PQ, PR, unum
rectangulorum continentes ducuntur, conveniant cum
aliis duabus positione datis lineis in punctis A, B, C, D. Ab eorum aliquo A
age rectam quamlibet AH, in qua velis punctum P reperiri. Secet ea lineas
oppositas BD, CD, nimirum BD in H & CD in I, & ob datos omnes angulos
figuræ, dabuntur rationes PQ ad PA & PA ad PS, adeoq; ratio PQ ad PS.
Auferendo hanc a data ratione PQ × PR ad PS × PT, dabitur ratio PR ad PT,
& addendo datas rationes PI ad PR, & PT ad PH dabitur ratio PI ad PH atq;
adeo punctum P. Q. E. I.
Corol. 1. Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorum P punctum quodvis D
tangens duci potest. Nam chorda PD ubi puncta P ac D conveniunt, hoc est,
ubi AH ducitur per punctum D, tangens evadit. Quo in casu, ultima ratio
evanescentium IP & PH invenietur ut supra. Ipsi igitur AD duc parallelam
CF, occurrentem BD in F, & in ea ultima ratione sectam in E, & DE
tangens erit, propterea quod CF & evanescens IH parallelæ sunt, & in E &
P similiter sectæ.
Corol. 2. Hinc etiam Locus punctorum omnium P
definiri potest. Per quodvis punctorum A, B, C, D, puta
A, duc Loci tangentem AE, & per aliud quodvis
punctum B duc tangenti parallelam BF occurrentem
Loco in F. Invenietur autem punctum F per Lemma
superius. Biseca BF in G, & acta AG diameter erit ad
quam BG & FG ordinatim applicantur. Hæc AG
occurrat Loco in H, & erit AH latus transversum, ad

quod latus rectum est ut BGq. ad AGH. Si AG nullibi occurrit Loco, linea
AH existente infinita, Locus erit Parabola & latus rectum ejus BGq. ÷ AG.
Sin ea alicubi occurrit, Locus Hyperbola erit ubi puncta A & H sita sunt ad
easdem partes ipsius G: & Ellipsis, ubi G intermedium est, nisi forte
angulus AGB rectus sit & insuper BG quad. æquale rectangulo AGH, quo in
casu circulus habebitur.
Atq; ita Problematis veterum de quatuor lineis ab Euclide incæpti & ab
Apollonio continuati non calculus, sed compositio Geometrica, qualem
Veteres quærebant, in hoc Corollario exhibetur.

Lemma XX.

Si parallelogrammum quodvis ASPQ angulis duobus oppositis A
& P tangit sectionem quamvis Conicam in punctis A & P, &
lateribus unius angulorum illorum infinite productis AQ, AS
occurrit eidem sectioni Conicæ in B & C; a punctis autem
occursuum B & C ad quintum quodvis sectionis Conicæ punctum
D agantur rectæ duæ BD, CD occurrentes alteris duobus infinite
productis parallelogrammi lateribus PS, PQ in T & R: erunt
semper abscissæ laterum partes PR & PT ad invicem in data
ratione. Et contra, si partes illæ abscissæ sunt ad invicem in data
ratione, punctum D tanget Sectionem Conicam per puncta
quatuor A, B, P, C transeuntem.

Cas. 1. Jungantur BP, CP & a puncto D agantur
rectæ duæ DG, DE, quarum prior DG ipsi AB
parallela sit & occurrat PB, PQ, CA in H, I, G; altera
DE parallela sit ipsi AC & occurrat PC, PS, AB in F,
K, E: & erit (per Lemma XVII.) rectangulum DE ×
DF ad rectangulum DG × DH in ratione data. Sed
est PQ ad DE seu IQ, ut PB ad HB, adeoq; ut PT ad
DH; & vicissim PQ ad PT ut DE ad DH. Est & PR
ad DF ut RC ad DC, adeoq; ut IG vel PS ad DG, & vicissim PR ad PS ut
DF ad DG; & conjunctis rationibus fit rectangulum PQ × PR ad
rectangulum PS × PT ut rectangulum DE × DF ad rectangulum DG × DH,

atq; adeo in data ratione. Sed dantur PQ & PS & propterea ratio PR ad PT
datur. Q. E. D.
Cas. 2. Quod si PR & PT ponantur in data ratione ad invicem, tunc simili
ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangulum DE × DF ad rectangulum
DG × DH in ratione data, adeoq; punctum D (per Lemma XVIII.)
contingere Conicam sectionem transeuntem per puncta A, B, P, C. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si agatur BC secans PQ in r, & in PT capiatur Pt in ratione
ad Pr quam habet PT ad PR, erit Bt Tangens Conicæ sectionis ad punctum
B. Nam concipe punctum D coire cum puncto B ita ut, chorda BD
evanescente, BT Tangens evadet; & CD ac BT coincident cum CB & Bt.
Corol. 2. Et vice versa si Bt sit Tangens, & ad quodvis Conicæ sectionis
punctum D conveniant BD, CD erit PR ad PT ut Pr ad Pt. Et contra, si sit
PR ad PT ut Pr ad Pt, convenient BD, CD ad Conicæ sectionis punctum
aliquod D.
Corol. 3. Conica sectio non secat Conicam sectionem in punctis pluribus
quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duæ Conicæ sectiones per
quinq; puncta A, B, C, D, P, easq; secet recta BD in punctis D, d, & ipsam
PQ secet recta Cd in r. Ergo PR est ad PT ut Pr ad PT, hoc est, PR & Pr sibi
invicem æquantur, contra Hypothesin.

Lemma XXI.

Si recta duæ mobiles & infinitæ BM, CM per
data puncta B, C, ceu polos ductæ, concursu
suo M describant tertiam positione datam
rectam MN; & aliæ duæ infinitæ rectæ BD,
CD cum prioribus duabus ad puncta illa data
B, C, datos angulos MBD, MCD efficientes
ducantur; dico quod hæ duæ BD, CD
concursu suo D describent sectionem
Conicam. Et vice versa, si rectæ BD, CD
concursu suo D describant Sectionem
Conicam per puncta B, C, A transeuntem, & harum concursus
tunc incidit in ejus punctum aliquod A, cum alteræ duæ BM, CM

coincidunt cum linea BC, punctum M continget rectam positione
datam.

Nam in recta MN detur punctum N, & ubi punctum mobile M incidit in
immotum N, incidat punctum mobile D in immotum P. Junge CN, BN, CP,
BP, & a puncto P age rectas PT, PR occurrentes ipsis BD, CD in T & R, &
facientes angulum BPT æqualem angulo BNM & angulum CPR æqualem
angulo CNM. Cum ergo (ex Hypothesi) æquales sint anguli MBD, NBP, ut
& anguli MCD, NCP: aufer communes NBD & MCP, & restabunt æquales
NBM & PBT, NCM & PCR: adeoq; triangula NBM, PBT similia sunt, ut &
triangula NCM, PCR. Quare PT est ad NM ut PB ad NB, & PR ad NM ut PC
ad NC. Ergo PT & PR datam habent rationem ad NM, proindeq; datam
rationem inter se, atq; adeo, per Lemma XX, punctum P (perpetuus
rectarum mobilum BT & CR concursus) contingit sectionem Conicam.
Q. E. D.
Et contra, si punctum D contingit sectionem Conicam transeuntem per
puncta B, C, A, & ubi rectæ BM, CM coincidunt cum recta BC, punctum
illud D incidit in aliquod sectionis punctum A; ubi vero punctum D incidit
successive in alia duo quævis sectionis puncta p, P, punctum mobile M
incidit successive in puncta immobilia n, N: per eadem n, N agatur recta nN,
& hæc erit Locus perpetuus puncti illius mobilis M. Nam, si fieri potest,
versetur punctum M in linea aliqua curva. Tanget ergo punctum D
sectionem Conicam per puncta quinq; C, p, P, B, A, transeuntem, ubi
punctum M perpetuo tangit lineam curvam. Sed & ex jam demonstratis
tanget etiam punctum D sectionem Conicam per eadem quinq; puncta C, p,
P, B, A, transeuntem, ubi punctum M perpetuo tangit lineam rectam. Ergo
duæ sectiones Conicæ transibunt per eadem quinq; puncta, contra Corol. 3.
Lem. XX. Igitur punctum M versari in linea curva absurdum est. Q. E. D.

Prop. XXII. Prob. XIV.

Trajectoriam per data quinq; puncta describere.

Dentur puncta quinq; A, B, C, D, P. Ab eorum aliquo A ad alia duo quævis
B, C, quæ poli nominentur, age rectas AB, AC hisq; parallelas TPS, PRQ per
punctum quartum P. Deinde a polis duobus B, C age per punctum quintum
D infinitas duas BDT, CRD, novissime ductis TPS, PRQ (priorem priori &

posteriorem posteriori) occurrentes in T & R.
Deniq; de rectis PT, PR, acta recta tr ipsi TR
parallela, abscinde quasvis Pt, Pr ipsis PT, PR
proportionales, & si per earum terminos t, r &
polos B, C actæ Bt, Cr concurrant in d, locabitur
punctum illud d in Trajectoria quæsita. Nam
punctum illud d (per Lem. XX) versatur in Conica
Sectione per puncta quatuor A, B, P, C transeunte;
& lineis Rr, Tt evanescentibus, coit punctum d cum puncto D. Transit ergo
sectio Conica per puncta quinq; A, B, C, D, P. Q. E. D.

Idem aliter.

E punctis datis junge tria quævis A, B, C, & circum
duo eorum B, C ceu polos, rotando angulos
magnitudine datos ABC, ACB, applicentur crura
BA, CA primo ad punctum D deinde ad punctum
P, & notentur puncta M, N in quibus altera crura
BL, CL casu utroq; se decussant. Agatur recta
infinita MN, & rotentur anguli illi mobiles circum
polos suos B, C, ea lege ut crurum BL, CL vel BM,
CM intersectio, quæ jam sit m, incidat semper in
rectam illam infinitam MN, & crurum BA, CA, vel
BD, CD intersectio, quæ jam sit d, Trajectoriam quæsitam PADdB
delineabit. Nam punctum d per Lem. XXI continget sectionem Conicam per
puncta B, C transeuntem & ubi punctum m accedit ad puncta L, M, N,
punctum d (per constructionem) accedet ad puncta A, D, P. Describetur
itaq; sectio Conica transiens per puncta quinq; A, B, C, D, P. Q. E. F.
Corol. 1. Hinc rectæ expedite duci possunt quæ trajectoriam in punctis
quibusvis datis B, C tangent. In casu utrovis accedat punctum d ad punctum
C & recta Cd evadet tangens quæsita.
Corol. 2. Unde etiam Trajectoriarum centra, diametri & latera recta inveniri
possunt, ut in Corollario secundo Lemmatis XIX.

Schol.

Constructio in casu priore evadet paulo simplicior jungendo BP, & in ea si
opus est producta, capiendo Bp ad BP ut est PR ad PT, & per p agendo
rectam infinitam pD ipsi SPT parallelam, inq; ea capiendo semper pD
æqualem Pr, & agendo rectas BD, Cr concurrentes in d. Nam cum sint Pr ad
Pt, PR ad PT, pB ad PB, pD ad Pt in eadem ratione, erunt pD & Pr semper
æquales. Hac methodo puncta Trajectoriæ inveniuntur expeditissime, nisi
mavis Curvam, ut in casu secundo, describere Mechanice.

Prop. XXIII. Prob. XV.

Trajectoriam describere quæ per data quatuor puncta transibit, &
rectam continget positione datam.

Cas. 1. Dentur tangens HB, punctum contactus B, & alia tria puncta C, D,
P. Junge BC, & agendo PS parallelam BH, & PQ parallelam BC, comple
parallelogrammum BSPQ. Age BD secantem SP in T, & CD secantem PQ
in R. Deniq; agendo quamvis tr ipsi TR parallelam, de PQ, PS abscinde Pr,
Pt ipsis PR, PT proportionales respective; & actarum Cr, Bt concursus d
(per Corol. 2. Lem. XX) incidet semper in Trajectoriam describendam.

Idem aliter.

Revolvatur tum angulus magnitudine datus CBH circa polum B, tum radius
quilibet rectilineus & utrinq; productus DC circa polum C. Notentur puncta
M, N in quibus anguli crus BC secat radium illum ubi crus alterum BH
concurrit cum eodem radio in punctis D & P. Deinde ad actam infinitam
MN concurrant perpetuo radius ille CP vel CD & anguli crus CB, & cruris
alterius BH concursus cum radio delineabit Trajectoriam quæsitam.

Nam si in constructionibus Problematis superioris
accedat punctum A ad punctum B, lineæ CA & CB
coincident, & linea AB in ultimo suo situ fiet tangens
BH, atq; adeo constructiones ibi positæ evadent
eædem cum constructionibus hic descriptis.
Delineabit igitur cruris BH concursus cum radio
sectionem Conicam per puncta C, D, P transeuntem,
& rectam BH tangentem in puncto B. Q. E. F.
Cas. 2. Dentur puncta quatuor B, C, D, P extra tangentem HI sita. Junge
bina BD, CP concurrentia in G, tangentiq; occurrentia in H & I. Secetur
tangens in A, ita ut sit HA ad AI, ut est rectangulum sub media proportionali
inter BH & HD & media proportionali inter CG & GP, ad rectangulum sub
media proportionali inter PI & IC & media proportionali inter DG & GB, &
erit A punctum contactus. Nam si rectæ PI parallela HX trajectoriam secet
in punctis quibusvis X & Y: erit (ex Conicis) HA quad. ad AI quad. ut
rectangulum XHY ad rectangulum BHD (seu rectangulum CGP ad
rectangulum DGB) & rectangulum BHD ad rectangulum PIC conjunctim.
Invento autem contactus puncto A, describetur Trajectoria ut in casu primo.
Q. E. F. Capi autem potest punctum A vel inter puncta H & I, vel extra; &
perinde Trajectoria dupliciter describi.

Prop. XXIV. Prob. XVI.

Trajectoriam describere quæ transibit per data tria puncta &
rectas duas positione datas continget.

Dentur tangentes HI, KL & puncta B, C, D. Age BD
tangentibus occurrentem in punctis H, K & CD
tangentibus occurrentem in punctis I, L. Actas ita seca
in R & S, ut sit HR ad KR ut est media proportionalis
inter BH & HD ad mediam proportionalem inter BK &
KD; & IS ad LS ut est media proportionalis inter CI &
ID ad mediam proportionalem inter CL & LD. Age RS
secantem tangentes in A & P, & erunt A & P puncta
contactus. Nam si A & P sint Puncta contactuum ubivis
in tangentibus sita, & per punctorum H, I, K, L quodvis I agatur recta IY
tangenti KL parallela & occurrens curvæ in X & Y, & in ea sumatur IZ
media proportionalis inter IX & IY: erit, ex Conicis, rectangulum XIY (seu
IZ quad.) ad LP quad. ut rectangulum CID ad rectangulum CLD; id est (per
constructionem) ut SI quad. ad SL quad. atq; adeo IZ ad LP ut SI ad SL.
Jacent ergo puncta S, P, Z in una recta. Porro tangentibus concurrentibus in
G, erit (ex Conicis) rectangulum XIY (seu IZ quad.) ad IA quad. ut GP
quad. ad GA quad., adeoq; IZ ad IA ut GP ad GA. Jacent ergo puncta P, Z &
A in una recta, adeoq; puncta S, P & A sunt in una recta. Et eodem
argumento probabitur quod puncta R, P & A sunt in una recta. Jacent igitur
puncta contactus A & P in recta SR. Hisce autem inventis, Trajectoria
describetur ut in casu primo Problematis superioris. Q. E. F.

Lemma XXII.

Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare.

Transmutanda sit figura quævis HGI. Ducantur pro
lubitu rectæ duæ parallelæ AO, BL tertiam
quamvis positione datam AB secantes in A & B, &
a figuræ puncto quovis G, ad rectam AB ducatur
GD, ipsi OA parallela. Deinde a puncto aliquo O in
linea OA dato ad punctum D ducatur recta OD,
ipsi BL occurrens in d; & a puncto occursus
erigatur recta gd, datum quemvis angulum cum recta BL continens, atq; eam
habens rationem ad Od quam habet GD ad OD; & erit g punctum in figura
nova hgi puncto G respondens. Eadem ratione puncta singula figuræ primæ
dabunt puncta totidem figuræ novæ. Concipe igitur punctum G motu

continuo percurrere puncta omnia figuræ primæ, & punctum g motu itidem
continuo percurret puncta omnia figuræ novæ & eandem describet.
Distinctionis gratia nominemus DG ordinatam primam, dg ordinatam
novam; BD abscissam primam, Bd abscissam novam; O polum, OD radium
abscindentem, OA radium ordinatum primum & Oa (quo
parallelogrammum OABa completur) radium ordinatum novum.
Dico jam quod si punctum G tangit rectam lineam positione datam,
punctum g tanget etiam lineam rectam positione datam. Si punctum G
tangit Conicam sectionem, punctum g tanget etiam conicam sectionem.
Conicis sectionibus hic circulum annumero. Porro si punctum G tangit
lineam tertii ordinis Analytici, punctum g tanget lineam tertii itidem ordinis;
& sic de curvis lineis superiorum ordinum: Lineæ duæ erunt ejusdem
semper ordinis Analytici quas puncta G, g tangunt. Etenim ut est ad ad OA
ita sunt Od ad OD, dg ad DG, & AB ad AD; adeoq; AD æqualis est OA × AB
÷ ad & DG æqualis est OA × dg ÷ ad. Jam si punctum D tangit rectam
lineam, atq; adeo in æquatione quavis, qua relatio inter abscissam AD &
ordinatam DG habetur, indeterminatæ illæ AD & DG ad unicam tantum
dimensionem ascendunt, scribendo in hac æquatione OA × AB ÷ ad pro AD,
& OA × dg ÷ ad pro DG, producetur æquatio nova, in qua abscissa nova ad
& ordinata noua dg ad unicam tantum dimensionem ascendent, atq; adeo
quæ designat lineam rectam. Sin AD & DG (vel earum alterutra)
ascendebant ad duas dimensiones in æquatione prima, ascendent itidem ad
& dg ad duas in æquatione secunda. Et sic de tribus vel pluribus
dimensionibus. Indeterminatæ ad, dg in æquatione secunda & AD, DG in
prima ascendent semper ad eundem dimensionum numerum, & propterea
lineæ, quas puncta G, g tangunt, sunt ejusdem ordinis Analytici.
Dico præterea quod si recta aliqua tangat lineam curvam in figura prima;
hæc recta translata tanget lineam curvam in figura nova: & contra. Nam si
Curvæ puncta quævis duo accedunt ad invicem & coeunt in figura prima,
puncta eadem translata coibunt in figura nova, atq; adeo rectæ, quibus hæc
puncta junguntur simul, evadent curvarum tangentes in figura utraq;.
Componi possent harum assertionum Demonstrationes more magis
Geometrico. Sed brevitati consulo.
Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sufficit rectarum
intersectiones transferre, & per easdem in figura nova lineas rectas ducere.

Sin curvilineam transmutare oportet, transferenda sunt puncta, tangentes &
aliæ rectæ quarum ope Curva linea definitur. Inservit autem hoc Lemma
solutioni difficiliorum Problematum, transmutando figuras propositas in
simpliciores. Nam rectæ quævis convergentes transmutantur in parallelas,
adhibendo pro radio ordinato primo AO lineam quamvis rectam, quæ per
concursum convergentium transit; id adeo quia concursus ille hoc pacto abit
in infinitum, lineæ autem parallelæ sunt quæ ad punctum infinite distans
tendunt. Postquam autem Problema solvitur in figura nova, si per inversas
operationes transmutetur hæc figura in figuram primam, habebitur Solutio
quæsita.
Utile est etiam hoc Lemma in solutione Solidorum problematum. Nam
quoties duæ sectiones conicæ obvenerint, quarum intersectione Problema
solvi potest, transmutare licet unum earum in circulum. Recta item & sectio
Conica in constructione planorum problematum vertuntur in rectam &
circulum.

Prop. XXV. Prob. XVII.

Trajectoriam describere quæ per data duo puncta transibit &
rectas tres continget positione datas.

Per concursum tangentium quarumvis duarum cum se
invicem, & concursum tangentis tertiæ cum recta illa,
quæ per puncta duo data transit, age rectam infinitam;
eaq; adhibita pro radio ordinato primo, transmutetur
figura, per Lemma superius, in figuram novam. In hac
figura tangentes illæ duæ evadent parallelæ, & tangens
tertia fiet parallela rectæ per puncta duo transeunti.
Sunto hi, kl tangentes duæ parallelæ, ik tangens tertia,
& hl recta huic parallela transiens per puncta illa a, b, per quæ Conica
sectio in hac figura nova transire debet, & parallelogrammum hikl
complens. Secentur rectæ hi, ik, kl in c, d & e, ita ut sit hc ad latus
quadratum rectanguli ahb, ic ad id, & ke ad kd ut est summa rectarum hi &
kl ad summam trium linearum quarum prima est recta ik, & alteræ duæ sunt
latera quadrata rectangulorum ahb & alb: Et erunt c, d, e puncta contactus.
Etenim, ex Conicis, sunt hc quadratum ad rectangulum ahb, & ic quadratum

ad id quadratum, & ke quadratum ad kd quadratum, & el quadratum ad alb
rectangulum in eadem ratione, & propterea hc ad latus quadratum ipsius
ahb, ic ad id, ke ad kd & el ad latus quadratum ipsius alb sunt in dimidiata
illa ratione, & composite, in data ratione omnium antecedentium hi & kl ad
omnes consequentes, quæ sunt latus quadratum rectanguli ahb & recta ik &
latus quadratum rectanguli alb. Habentur igitur ex data illa ratione puncta
contactus c, d, e, in figura nova. Per inversas operationes Lemmatis
novissimi transferantur hæc puncta in figuram primam & ibi, per casum
primum Problematis XIV, describetur Trajectoria. Q. E. F. Cæterum
perinde ut puncta a, b jacent vel inter puncta h, l, vel extra, debent puncta c,
d, e vel inter puncta h, i, k, l capi, vel extra. Si punctorum a, b alterutrum
cadit inter puncta h, l, & alterum extra, Problema impossibile est.

Prop. XXVI. Prob. XVIII.

Trajectoriam describere quæ transibit per punctum datum &
rectas quatuor positione datas continget.

Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium ad
intersectionem communem reliquarum duarum agatur recta infinita, &
eadem pro radio ordinato primo adhibita, transmutetur figura (per Lem.
XXII) in figuram novam, & Tangentes binæ, quæ ad radium ordinatum
concurrebant, jam evadent parallelæ. Sunto illæ hi & kl, ik & hl continentes
parallelogrammum hikl. Sitq; p punctum in hac nova figura, puncto in
figura prima dato respondens. Per figuræ centrum O agatur pq, & existente
Oq æquali Op erit q punctum alterum per quod sectio Conica in hac figura
nova transire debet. Per Lemmatis XXII operationem inversam transferatur
hoc punctum in figuram primam, & ibi habebuntur puncta duo per quæ
Trajectoria describenda est. Per eadem vero describi potest Trajectoria illa
per Prob. XVII. Q. E. F.

Lemma XXIII.

Si rectæ duæ positione datæ AC, BD ad data puncta A, B
terminentur, datamq; habeant rationem ad invicem, & recta CD,
qua puncta indeterminata C, D junguntur secetur in ratione data
in K: dico quod punctum K locabitur in recta positione data.

Concurrant enim rectæ AC, BD in E, & in BE capiatur
BG ad AE ut est BD ad AC, sitq; FD æqualis EG, &
erit EC ad GD, hoc est ad EF ut AC ad BD, adeoq; in
ratione data, & propterea dabitur specie triangulum
EFC. Secetur CF in L in ratione CK ad CD, & dabitur
etiam specie triangulum EFL, proindeq; punctum L
locabitur in recta EL positione data. Junge LK, & ob
datam FD & datam rationem LK ad FD, dabitur LK. Huic æqualis capiatur
EH, & erit ELKH parallelogrammum. Locatur igitur punctum K in
parallelogrammi latere positione dato HK. Q. E. D.

Lemma XXIV.

Si rectæ tres tangant quamcunq; conisectionem, quarum duæ
parallelæ sint ac dentur positione; dico quod sectionis
semidiameter hisce duabus parallela, sit media proportionalis
inter harum segmenta, punctis contactum & tangenti tertiæ
interjecta.

Sunto AF, GB parallelæ duæ Conisectionem
ADB tangentes in A & B; EF recta tertia
Conisectionem tangens in I, & occurrens
prioribus tangentibus in F & G; sitq; CD
semidiameter Figuræ tangentibus parallela: Dico
quod AF, CD, BG sunt continue proportionales.
Nam si diametri conjugatæ AB, DM tangenti FG
occurrant in E & H, seq; mutuo secent in C, &
compleatur parallelogrammum IKCL; erit ex natura sectionum Conicarum,
ut EC ad CA ita CA ad LC, & ita divisim EC - CA ad CA - CL seu EA ad
AL, & composite EA ad EA + AL seu EL ut EC ad EC + CA seu EB; adeoq;
(ob similitudinem triangulorum EAF, ELI, ECH, EBG) AF ad LI ut CH ad
BG. Est itidem ex natura sectionum Conicarum LI seu CK ad CD ut CD ad
CH atq; adeo ex æquo perturbate AF ad CD ut CD ad BG. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si tangentes duæ FG, PQ tangentibus parallelis AF, BG
occurrant in F & G, P & Q, seq; mutuo secent in O, erit (ex æquo

perturbate) AF ad BQ ut AP ad BG, & divisim ut FP ad GQ, atq; adeo ut
FO ad OG.
Corol. 2. Unde etiam rectæ duæ PG, FQ per puncta P & G, F & Q ductæ,
concurrent ad rectam ACB per centrum figuræ & puncta contactuum A, B
transeuntem.

Lemma XXV.

Si parallelogrammi latera quattuor infinite producta tangant
sectionem quamcunq; Conicam & abscindantur ad tangentem
quamvis quintam; sumantur autem abscisse terminate ad angulos
oppositos parallelogrammi: dico quod abscissa unius lateris ad
latus illud, ut pars lateris contermini inter punctum contactus &
latus tertium, ad abscissam lateris hujus contermini.

Tangant parallelogrammi MIKL latera quatuor
ML, IK, KL, MI sectionem Conicam in A, B, C,
D, & secet tangens quinta FQ hæc latera in F,
Q, H & E: dico quod sit ME ad MI ut BK ad KQ
& KH ad KL ut AM ad MF. Nam per
Corollarium Lemmatis superioris, est ME ad EI
ut AM seu BK ad BQ, & componendo ME ad MI
ut BK ad KQ. Q. E. D. Item KH ad HL ut BK seu AM ad AF, & dividendo
KH ad KL ut AM ad MF. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si parallelogrammum IKLM datur, dabitur rectangulum KQ ×
ME, ut & huic æquale rectangulum KH × MF. Æquantur enim rectangula
illa ob similitudinem triangulorum KQH, MFE.
Corol. 2. Et si sexta ducatur tangens eq tangentibus KI, MI occurrens in e &
q, rectangulum KQ × ME æquabitur rectangulo Kq × Me, eritq; KQ ad Me
ut Kq ad ME, & divisim ut Qq ad Ee.
Corol. 3. Unde etiam si Eq, eQ jungantur & bisecentur, & recta per puncta
bisectionum agatur, transibit hæc per centrum Sectionis Conicæ. Nam cum
sit Qq ad Ee ut KQ ad Me, transibit eadem recta per medium omnium Eq,
eQ, MK; (per Lemma XXIII) & medium rectæ MK est centrum Sectionis.

Prop. XXVII. Prob. XIX.

Trajectoriam describere quæ rectas
quinq; positione datas continget.

Dentur positione tangentes ABG, BCF, GCD,
FDE, EA. Figuræ quadrilateræ sub quatuor
quibusvis contentæ ABFE diagonales AF, BE
biseca, & (per Cor. 3. Lem. XXV) recta per
puncta bisectionum acta transibit per centrum
Trajectoriæ. Rursus figuræ quadrilateræ
BGDF, sub alijs quibusvis quatuor
tangentibus contentæ, diagonales (ut ita
dicam) BD, GF biseca, & recta per puncta bisectionum acta transibit per
centrum sectionis. Dabitur ergo centrum in concursu bisecantium. Sit illud
O. Tangenti cuivis BC parallelam age KL, ad eam distantiam ut centrum O
in medio inter parallelas locetur, & acta KL tanget trajectoriam
describendam. Secet hæc tangentes alias quasvis duas CD, FDE in L & K.
Per tangentium non parallelarum CL, FK cum parallelis CF, KL concursus
C & K, F & L age CK, FL concurrentes in R, & recta OR ducta & producta
secabit tangentes parallelas CF, KL in punctis contactuum. Patet hoc per
Corol. 2. Lem. XXIV. Eadem methodo invenire licet alia contactuum
puncta, & tum demum per Casum 1. Prob. XIV. Trajectoriam describere.
Q. E. F.

Schol.

Problemata, ubi dantur Trajectoriarum vel centra vel Asymptoti includuntur
in præcedentibus. Nam datis punctis & tangentibus una cum centro, dantur
alia totidem puncta aliæq; tangentes a centro ex altera ejus parte æqualiter
distantes. Asymptotos autem pro tangente habenda est, & ejus terminus
infinite distans (si ita loqui fas sit) pro puncto contactus. Concipe tangentis
cujusvis punctum contactus abire in infinitum, & tangens vertetur in
Asymptoton, atq; constructiones Problematis XV & Casus primi
Problematis XIV vertentur in constructiones Problematum ubi Asymptoti
dantur.

Postquam Trajectoria descripta est, invenire licet
axes & umbilicos ejus hac methodo. In
constructione & Figura Lemmatis XXI, fac ut
angulorum mobilium PBN, PCN crura BP, CP
quorum concursu Trajectoria describebatur sint sibi
invicem parallela, eumq; servantia situm
revolvantur circa polos suos B, C in figura illa.
Interea vero describant altera angulorum illorum
crura CN, BN concursu suo K vel k, circulum
IBKGC. Sit circuli hujus centrum O. Ab hoc centro
ad Regulam MN, ad quam altera illa crura CN, BN interea concurrebant
dum Trajectoria describebatur, demitte normalem OH circulo occurrentem
in K & L. Et ubi crura illa altera CK, BK concurrant ad punctum istud K
quod Regulæ proprius est, crura prima CP, BP parallela erunt axi majori &
perpendicularia minori; & contrarium eveniet si crura eadem concurrunt ad
punctum remotius L. Unde si detur Trajectoriæ centrum, dabuntur axes.
Hisce autem datis, umbilici sunt in promptu.

Axium vero quadrata sunt ad invicem ut KH ad LH, & inde facile est
Trajectoriam specie datam per data quatuor puncta describere. Nam si duo
ex punctis datis constituantur poli C, B, tertium dabit angulos mobiles PCK,
PBK. Tum ob datam specie Trajectoriam, dabitur ratio OH ad OK, centroq;
O & intervallo OH describendo circulum, & per punctum quartum agendo
rectam quæ circulum illum tangat, dabitur regula MN cujus ope Trajectoria
describatur. Unde etiam vicissim Trapezium specie datum (si casus quidam
impossibiles excipiantur) in data quavis sectione Conica inscribi potest.

Sunt & alia Lemmata quorum ope Trajectoriæ specie datæ, datis punctis &
tangentibus, describi possunt. Ejus generis est quod, si recta linea per
punctum quodvis positione datum ducatur, quæ datam Conisectionem in
punctis duobus intersecet, & intersectionum intervallum bisecetur, punctum
bisectionis tanget aliam Conisectionem ejusdem speciei cum priore, atq;
axes habentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis utilia.

Lemma XXVI.

Trianguli specie & magnitudine dati tres
angulos ad rectas totidem positione datas,
quæ non sunt omnes parallelæ, singulos ad
singulas ponere.

Dantur positione tres rectæ infinitæ AB, AC, BC, &
oportet triangulum DEF ita locare, ut angulus ejus
D lineam AB, angulus E lineam AC, & angulus F
lineam BC tangat. Super DE, DF & EF describe tria circulorum segmenta
DRE, DGF, EMF, quæ capiant angulos angulis BAC, ABC, ACB æquales
respective. Describantur autem hæc segmenta ad eas partes linearum DE,
DF, EF ut literæ DRED eodem ordine cum literis BACB, literæ DGFD
eodem cum literis ABCA, & literæ EMFE eodem cum literis ACBA in
orbem redeant: deinde compleantur hæc
segmenta in circulos. Secent circuli duo priores
se mutuo in G, sintq; centra eorum P & Q.
Junctis GP, PQ, cape Ga ad AB ut est GP ad PQ,
& centro G, intervallo Ga describe circulum, qui
secet circulum primum DGE in a. Jungatur tum
aD secans circulum secundum DFG in b, tum aE
secans circulum tertium GEc in c. Et compleatur
figura ABCdef similis & æqualis figuræ abcDEF.
Dico factum.
Agatur enim Fc ipsi aD occurrens in n. Jungantur
aG, bG, PD, QD & producatur PQ ad R. Ex constructione est angulus EaD
æqualis angulo CAB, & angulus EcF æqualis angulo ACB, adeoq;
triangulum anc triangulo ABC æquiangulum. Ergo angulus anc seu FnD
angulo ABC, adeoq; angulo FbD æqualis est, & propterea punctum n incidit
in punctum b. Porro angulus GPQ, qui dimidius est anguli ad centrum
GPD, æqualis est angulo ad circumferentiam GaD; & angulus GQR, qui
dimidius est complementi anguli ad centrum GQD, æqualis est angulo ad
circumferentiam GbD, adeoq; eorum complementa PQG, abG æquantur,
suntq; ideo triangula GPQ, Gab similia, & Ga est ad ab ut GP ad PQ; id est
(ex constructione) ut Ga ad AB. Æquantur itaq; ab & AB, & propterea

triangula abc, ABC, quæ modo similia esse probavimus, sunt etiam æqualia.
Unde cum tangant insuper trianguli DEF anguli D, E, F trianguli abc latera
ab, ac, bc respective, compleri potest figura ABCdef figuræ abcDEF similis
& æqualis, atq; eam complendo solvetur Problema. Q. E. F.
Corol. Hinc recta duci potest cujus partes longitudine datæ rectis tribus
positione datis interjacebunt. Concipe Triangulum DEF, puncto D ad latus
EF accedente, & lateribus DE, DF in directum positis, mutari in lineam
rectam, cujus pars data DE, rectis positione datis AB, AC, & pars data DF
rectis positione datis AB, BC interponi debet; & applicando constructionem
præcedentem ad hunc casum solvetur Problema.

Prop. XXVIII. Prob. XX.

Trajectoriam specie & magnitudine datam describere, cujus
partes datæ rectis tribus positione datis interjacebunt.

Describenda sit Trajectoria quæ sit similis & æqualis lineæ curvæ DEF,
quæq; a rectis tribus AB, AC, BC positione datis, in partes datis hujus
partibus DE & EF similes & æquales secabitur.

Age rectas DE, EF, DF, & trianguli hujus DEF pone angulos D, E, F ad
rectas illas positione datas: (per Lem. XXVI) Dein circa triangulum
describe Trajectoriam curvæ DEF similem & æqualem. Q. E. F.

Lemma XXVII.

Trapezium specie datum describere cujus anguli ad rectas
quatuor positione datas (quæ neq; omnes parallelæ sunt, neq; ad
commune punctum convergunt) singuli ad singulas consistent.

Dentur positione rectæ quatuor ABC,
AD, BD, CE, quarum prima secet
secundam in A, tertiam in B, &
quartam in C: & describendum sit
Trapezium fghi quod sit Trapezio
FGHI simile, & cujus angulus f,
angulo dato F æqualis, tangat rectam
ABC cæteriq; anguli g, h, i cæteris
angulis datis G, H, I æquales tangant
cæteras lineas AD, BD, CE
respective. Jungatur FH, & super
FG, FH, FI describantur totidem circulorum segmenta FSG, FTH, FVI;
quorum primum FSG capiat angulum æqualem angulo BAD, secundum
FTH capiat angulum æqualem angulo CBE; ac tertium FVI capiat angulum
æqualem angulo ACE. Describi autem debent segmenta ad eas partes
linearum FG, FH, FI, ut literarum FSGF idem sit ordo circularis qui
literarum BADB, utq; literæ FTHF eodem ordine cum literis CBEC, &
literæ FVIF eodem cum literis ACEA in orbem redeant. Compleantur
segmenta in circulos, sitq; P centrum circuli primi FSG, & Q centrum
secundi FTH. Jungatur & utrinq; producatur PQ, & in ea capiatur QR in ea
ratione ad PQ quam habet BC ad AB. Capiatur autem QR ad eas partes
puncti Q ut literarum P, Q, R idem sit ordo circularis atq; literarum A, B, C:
centroq; R & intervallo RF describatur circulus quartus FNc secans
circulum tertium FVI in c. Jungatur Fc secans circulum primum in a &
secundum in b. Agantur aG, bH, cI, & figuræ abcFGHI similis constituatur
figura ABCfghi: Eritq; Trapezium fghi illud ipsum quod constituere
oportuit.
Secent enim circuli duo primi FSG, FTH se mutuo in K. Jungantur PK, QK,
RK, aK, bK, cK & producatur QP ad L. Anguli ad circumferentias FaK,
FbK, FcK, sunt semisses angulorum FPK, FQK, FRK ad centra, adeoq;
angulorum illorum dimidiis LPK, LQK, LRK æquales. Est ergo figura
PQRK figuræ abcK æquiangula & similis, & propterea ab est ad bc ut PQ
ad QR, id est ut AB ad BC. Angulis insuper FaG, FbH, FcI æquantur fAg,
fBh, fCi per constructionem. Ergo figuræ abcFGHI figura similis ABCfghi
compleri potest. Quo facto Trapezium fghi constituetur simile Trapezio
FGHI & angulis suis f, g, h, i tanget rectas AB, AD, BD, CE. Q. E. F.

Corol. Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor positione datis
dato ordine interjectæ, datam habebunt proportionem ad invicem.
Augeantur anguli FGH, GHI usq; eo, ut rectæ FG, GH, HI in directum
jaceant, & in hoc casu construendo Problema, ducetur recta fghi cujus
partes fg, gh, hi, rectis quatuor positione datis AB & AD, AD & BD, BD &
CE interjectæ, erunt ad invicem ut lineæ FG, GH, HI, eundemq; servabunt
ordinem inter se. Idem vero sic fit expeditius.
Producantur AB ad K, & BD ad L, ut sit BK ad AB ut HI ad GH; & DL ad
BD ut GI ad FG; & jungatur KL occurrens rectæ CE in i. Producatur iL ad
M, ut sit LM ad iL ut GH ad HI, & agatur tum MQ ipsi LB parallela rectæq;
AD occurrens in g, tum gi secans AB, BD in f, h. Dico factum.

Secet enim Mg rectam AB in Q, & AD rectam KL in S, & agatur AP, quæ sit
ipsi BD parallela & occurrat iL in P, & erunt Mg ad Lh (Mi ad Li, gi ad hi,
AK ad BK) & AP ad BL in eadem ratione. Secetur DL in R ut sit DL ad RL
in eadem illa ratione, & ob proportionales gS ad gM, AS ad AP & DS ad DL,
erit ex æquo ut gS ad Lh ita AS ad BL & DS ad RL; & mixtim, BL - RL ad
Lh - BL ut AS - DS ad gS - AS. Id est BR ad Bh ut AD ad Ag, adeoq; ut BD
ad gQ. Et vicissim BR ad BD ut Bh ad gQ seu fh ad fg. Sed ex constructione
est BR ad BD ut FH ad FG. Ergo fh est ad fg ut FH ad FG. Cum igitur sit
etiam ig ad ih ut Mi ad Li, id est, ut IG ad IH, patet lineas FI, fi in g & h, G
& H similiter sectas esse. Q. E. F.
In constructione Corollarii hujus postquam ducitur LK secans CE in i,
producere licet iE ad V, ut sit EV ad iE ut FH ad HI, & agere Vf parallelam
ipsi BD. Eodem recidit si centro i, intervallo IH describatur circulus secans

BD in X, producatur iX ad Y, ut sit iY æqualis IF, & agatur Yf ipsi BD
parallela.

Prop. XXIX. Prob. XIX.

Trajectoriam specie datam describere, quæ a rectis quatuor
positione datis in partes secabitur, ordine, specie & proportione
datas.

Describenda sit Trajectoria fghi, quæ similis sit lineæ curvæ FGHI, & cujus
partes fg, gh, hi illius partibus FG, GH, HI similes & proportionales, rectis
AB & AD, AD & BD, BD & EC positione datis, prima primis, secunda
secundis, tertia tertiis interjaceant. Actis rectis FG, GH, HI, FI, describatur
Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile & cujus anguli f, g, h, i
tangant rectas illas positione datas AB, AD, BD, CE singuli singulas dicto
ordine. Dein (per Lem. XXVII) circa hoc Trapezium describatur Trajectoria
curvæ lineæ FGHI consimilis.

Scholium.

Construi etiam potest hoc Problema ut sequitur. Junctis FG, GH, HI, FI
produc GF ad V, jungeq; FH, IG, & angulis FGH, VFH fac angulos CAK,
DAL æquales. Concurrant AK, AL cum recta BD in K & L, & inde aguntur
KM, LN, quarum KM constituat angulum AKM æqualem angulo GHI, sitq;
ad AK ut est HI ad GH; & LN constituat angulum ALN æqualem angulo

FHI, sitq; ad AL ut HI ad FH.
Ducantur autem AK, KM, AL, LN ad
eas partes linearum AD, AK, AL, ut
literæ CAKMC, ALK, DALND
eodem ordine cum literis FGHIF in
orbem redeant, & acta MN occurrat
rectæ CE in i. Fac angulum iEP
æqualem angulo IGF, sitq; PE ad Ei
ut FG ad GI; & per P agatur QPf, quæ cum recta AED contineat angulum
PQE æqualem angulo FIG, rectæq; AB occurrat in f, & jungatur fi. Agantur
autem PE & PQ ad eas partes linearum CE, PE, ut literarum PEiP & PEQP
idem sit ordo circularis qui literarum FGHIF, & si super linea fi eodem
quoq; literarum ordine constituatur Trapezium fghi Trapezio FGHI simile,
& circumscribatur Trajectoria specie data, solvetur Problema.
Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corporum orbibus
inventis determinemus.

SECT. VI.
De inventione motuum in Orbibus datis.

Prop. XXX. Prob. XXII.

Corporis in data Trajectoria Parabolica moventis,
invenire locum ad tempus assignatum.

Sit S umbilicus & A vertex principalis Parabolæ, sitq; 4AS
× M area Parabolica APS, quæ radio SP, vel post
excessum corporis de vertice descripta fuit, vel ante
appulsum ejus ad verticem describenda est. Innotescit
area illa ex tempore ipsi proportionali. Biseca AS in G,
erigeq; perpendiculum GH æquale 3M, & circulus centro
H, intervallo HS descriptus secabit Parabolam in loco quæsito P. Nam
demissa ad axem perpendiculari PO, est HGq. + GSq. (= HSq. = HPq. =
GOq. + PO - HGq.) = GOq. + HGq. - 2HG × PO + POq. Et deleto utrinq;
HGq. fiet GSq. = GOq. - 2HG × PO + POq. seu 2HG × PO (= GOq. + POq.
- GSq. = AOq. - 2GAO + POq.) = AOq. + ¾POq. Pro AOq. scribe AO ×
POq. ÷ 4AS, & applicatis terminis omnibus ad 3PO, ductisq; in 2AS, fiet
4
/3GH × AS (= 1/6AO × PO + ½AS × PO = {AO + 3AS} ÷ 6 × PO = {4AO -
3SO} ÷ 6 × PO = areæ APO - SPO) = areæ APS. Sed GH erat 3M, & inde
4
/3HG × AS est 4AS × M. Ergo area APS æqualis est 4AS × M. Q. E. D.

Corol. 1. Hinc GH est ad AS, ut tempus quo corpus descripsit arcum AP ad
tempus quo corpus descripsit arcum inter verticem A & perpendiculum ad
axem ab umbilico S erectum.
Corol. 2. Et circulo ASP per corpus movens perpetuo transeunte, velocitas
puncti H est ad velocitatem quam corpus habuit in vertice A, ut 3 ad 8;
adeoq; in ea etiam ratione est linea GH ad lineam rectam quam corpus
tempore motus sui ab A ad P, ea cum velocitate quam habuit in vertice A,
describere posset.

Corol. 3. Hinc etiam viceversa inveniri potest tempus quo corpus descripsit
arcum quemvis assignatum AP. Junge AP & ad medium ejus punctum erige
perpendiculum rectæ GH occurrens in H.

Lemma XXVIII.

Nulla extat figura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu abscissa,
possit per æquationes numero terminorum ac dimensionum finitas
generaliter inveniri.

Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum revolvatur
perpetuo linea recta, & interea in recta illa exeat punctum mobile de polo,
pergatq; semper ea cum velocitate, quæ sit ut rectæ illius intra Ovalem
longitudo. Hoc motu punctum illud describet Spiralem gyris infinitis. Jam si
area Oualis per finitam æquationem inveniri potest, invenietur etiam per
eandem æquationem distantia puncti a polo; quæ huic areæ proportionalis
est, adeoq; omnia Spiralis puncta per æquationem finitam inveniri possunt:
& propterea rectæ cujusvis positione datæ intersectio cum spirali inveniri
etiam potest per æquationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta
spiralem secat in punctis numero infinitis, & æquatio, qua intersectio aliqua
duarum linearum invenitur, exhibet earum intersectiones omnes radicibus
totidem, adeoq; ascendit ad tot dimensiones quot sunt intersectiones.
Quoniam circuli duo se mutuo secant in punctis duobus, intersectio una non
invenitur nisi per æquationem duarum dimensionum, qua intersectio altera
etiam inveniatur. Quoniam duarum sectionum Conicarum quatuor esse
possunt intersectiones, non potest aliqua earum generaliter inveniri nisi per
æquationem quatuor dimensionum, qua omnes simul inveniantur. Nam si
intersectiones illæ seorsim quærantur, quoniam eadem est omnium lex &
conditio, idem erit calculus in casu unoquoq; & propterea eadem semper
conclusio, quæ igitur debet omnes intersectiones simul complecti &
indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones Sectionum Conicarum &
curvarum tertiæ potestatis, eo quod sex esse possunt, simul prodeunt per
æquationes sex dimensionum, & intersectiones duarum curvarum tertiæ
potestatis, quia novem esse possunt, simul prodeunt per æquationes
dimensionum novem. Id nisi necessario fieret, reducere liceret Problemata
omnia Solida ad Plana, & plusquam solida ad solida. Eadem de causa
intersectiones binæ rectarum & sectionum Conicarum prodeunt semper per

æquationes duarum dimensionum; ternæ rectarum & curvarum tertiæ
potestatis per æquationes trium, quaternæ rectarum & curvarum quartæ
potestatis per æquationes dimensionum quatuor, & sic in infinitum. Ergo
intersectiones numero infinitæ rectarum, propterea quod omnium eadem est
lex & idem calculus, requirunt æquationes numero dimensionum & radicum
infinitas, quibus omnes possunt simul exhiberi. Si a polo in rectam illam
secantem demittatur perpendiculum, & perpendiculum una cum secante
revolvatur circa polum, intersectiones spiralis transibunt in se mutuo, quæq;
prima erat seu proxima, post unam revolutionem secunda erit, post duas
tertia, & sic deinceps: nec interea mutabitur æquatio nisi pro mutata
magnitudine quantitatum per quas positio secantis determinatur. Unde cum
quantitates illæ post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas,
æquatio redibit ad formam primam, adeoq; una eademq; exhibebit
intersectiones omnes, & propterea radices habebit numero infinitas, quibus
omnes exhiberi possunt. Nequit ergo intersectio rectæ & spiralis per
æquationem finitam generaliter inveniri, & idcirco nulla extat Ovalis cujus
area, rectis imperatis abscissa, possit per talem æquationem generaliter
exhiberi.
Eodem argumento, si intervallum poli & puncti, quo spiralis describitur,
capiatur Ovalis perimetro abscissæ proportionale, probari potest quod
longitudo perimetri nequit per finitam æquationem generaliter exhiberi.

Corollarium.

Hinc area Ellipseos, quæ radio ab umbilico ad corpus mobile ducto
describitur, non prodit ex dato tempore, per æquationem finitam; &
propterea per descriptionem Curuarum Geometrice rationalium determinari
nequit. Curvas Geometrice rationales appello quarum puncta omnia per
longitudines æquationibus definitas, id est, per longitudinum rationes
complicatas, determinari possunt; cæterasq; (ut Spirales, Quadratrices,
Trochoides) Geometrice irrationales. Nam longitudines quæ sunt vel non
sunt ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo Elementorum)
sunt Arithmetice rationales vel irrationales. Aream igitur Ellipseos tempori
proportionalem abscindo per Curvam Geometrice irrationalem ut sequitur.

Prop. XXXI. Prob. XXIII.

Corporis in data Trajectoria Elliptica moventis invenire locum ad
tempus assignatum.

Ellipseos APB sit A vertex principalis,
S umbilicus, O centrum, sitq; P
corporis locus inveniendus. Produc OA
ad G ut sit OG ad OA ut OA ad OS.
Erige perpendiculum GH, centroq; O &
intervallo OG describe circulum EFG,
& super regula GH, ceu fundo,
progrediatur rota GEF revolvendo circa
axem suum, & interea puncto suo A
describendo Trochoidem ALI. Quo facto, cape GK in ratione ad rotæ
perimetrum GEFG, ut est tempus quo corpus progrediendo ab A descripsit
arcum AP, ad tempus revolutionis unius in Ellipsi. Erigatur perpendiculum
KL occurrens Trochoidi in L, & acta LP ipsi KG parallela occurret Ellipsi in
corporis loco quæsito P.
Nam centro O intervallo OA describatur semicirculus AQB, & arcui AQ
occurrat LP producta in Q, junganturq; SQ, OQ. Arcui EFG occurrat OQ in
F, & in eandem OQ demittatur perpendiculum SR. Area APS est ut area
AQS, id est, ut differentia inter sectorem OQA & triangulum OQS, sive ut
differentia rectangulorum ½Q × AQ & ½OQ × SR, hoc est, ob datam ½OQ,
ut differentia inter arcum AQ & rectam SR, adeoq; (ob æqualitatem
rationum SR ad sinum arcus AQ, OS ad OA, OA ad OG, AQ ad GF, &
divisim AQ - SR ad GF - sin. arc. AQ) ut GK differentia inter arcum GF &
sinum arcus AQ. Q. E. D.

Scholium.

Cæterum ob difficultatem describendi hanc
curvam præstat constructiones vero proximas
in praxi Mechanica adhibere. Ellipseos
cujusvis APB sit AB axis major, O centrum, S
umbilicus, OD semiaxis minor, & AK
dimidium lateris recti. Secetur AS in G, ut sit
AG ad AS ut BO ad BS; & quæratur longitudo

L, quæ sit ad ½GK ut est AO quad. ad rectangulum AS × OD. Bisecetur OG
in C, centroq; C & intervallo CG describatur semicirculus GFO. Deniq;
capiatur angulus GCF in ea ratione ad angulos quatuor rectos, quam habet
tempus datum, quo corpus descripsit arcum quæsitum AP, ad tempus
periodicum seu revolutionis unius in Ellipsi: Ad AO demittatur normalis
FE, & producatur eadem versus F ad usq; N, ut sit EN ad longitudinem L, ut
anguli illius sinus EF ad radium CF; centroq; N & intervallo AN descriptus
circulus secabit Ellipsin in corporis loco quæsito P quam proxime.
Nam completo dimidio temporis periodici, corpus P semper reperietur in
Apside summa B, & completo altero temporis dimidio, redibit ad Apsidem
imam, ut oportet. Ubi vero proxime abest ab Apsidibus, ratio prima
nascentium sectorum ASP, GCF, & ratio ultima evanescentium BSP &
OCF, eadem est rationi Ellipseos totius ad circulum totum. Nam punctis P,
F & N incidentibus in loca p, f & n axi AB quam proximis; ob æquales An,
pn, recta nq, quæ ad arcum Ap perpendicularis est, adeoq; concurrit cum
axe in puncto K, bisecat arcum Ap. Proinde est ½Ap ad Gn ut AK ad GK, &
Ap ad Gn ut 2AK ad GK. Est & Gn ad Gf ut EN ad EF, seu L ad CF, id est,
ut {GK × AOq.} ÷ {2AS × OD} ad CF, seu GK × AOq. ad 2AS × OD × CF,
& ex æquo Ap ad Gf ut 2AK ad GK + GK × AOq. ad 2AS × OD × CF, id est,
ut AK × AOq. ad AS × OD × CF, hoc est, ob æqualia AK × AO × ODq. ut
AO × OD ad AS × CF. Proinde Ap × ½AS est ad Gf × ½GC ut AO × OD ×
AS ad AS × CF × GC, seu AO × OD ad CGq. id est, sector nascens ASp ad
sectorem nascentem GCf ut AO × OD ad CGq. & propterea ut area
Ellipseos totius ad aream circuli totius. Q. E. D. Argumento prolixiore
probari potest analogia ultima in Sectoribus evanescentibus BSP, OCF:
ideoq; locus puncti P prope Apsides satis accurate inventus est. In
quadraturis error quasi quingentesimæ partis areæ Ellipseos totius vel paulo
major obvenire solet: qui tamen propemodum evanescet per ulteriorem
Constructionem sequentem.
Per puncta G, O, duc arcum circularem GTO justæ magnitudinis; dein
produc EF hinc inde ad T & N ut sit EN ad FT ut ½L ad CF; centroq; N &
intervallo AN describe circulum qui secet Ellipsin in P, ut supra. Arcus
autem GTO determinabitur quærendo ejus punctum aliquod T; quod
constructionem in illo casu accuratam reddet.

Si Ellipseos latus transversum multo majus sit quam latus rectum, & motus
corporis prope verticem Ellipseos desideretur, (qui casus in Theoria
Cometarum incidit,) educere licet e puncto G rectam GI axi AB
perpendicularem, & in ea ratione ad GK quam habet area AVPS ad
rectangulum AK × AS; dein centro I & intervallo AI circulum describere.
Hic enim secabit Ellipsim in corporis loco quæsito P quamproxime. Et
eadem constructione (mutatis mutandis) conficitur Problema in Hyperbola.
Hæ autem constructiones demonstrantur ut supra, & si Figura (vertice
ulteriore B in infinitum abeunte) vertatur in Parabolam, migrant in
accuratam illam constructionem Problematis XXII.
Si quando locus ille P accuratius determinandus
sit, inveniatur tum angulus quidam B, qui sit ad
angulum graduum 57,29578 quem arcus radio
æqualis subtendit, ut est umbilicorum distantia
SH ad Ellipseos diametrum AB; tum etiam
longitudo quædam L, quæ sit ad radium in
eadem ratione inverse. Quibus semel inventis,
Problema deinceps confit per sequentem
Analysin. Per constructionem superiorem (vel utcunq; conjecturam
faciendo) cognoscatur corporis locus P quam proxime. Demissaq; ad axem
Ellipseos ordinatim applicata PR, ex proportione diametrorum Ellipseos,
dabitur circuli circumscripti AQB ordinatim applicata RQ, quæ sinus est
anguli ACQ existente AC radio. Sufficit angulum illum rudi calculo in
numeris proximis invenire. Cognoscatur etiam angulus tempori
proportionalis, id est, qui sit ad quatuor rectos ut est tempus quo corpus
descripsit arcum AP, ad tempus revolutionis unius in Ellipsi. Sit angulus
iste N. Tum capiatur & angulus D ad angulum B, ut est sinus iste anguli
ACQ ad Radium, & angulus E ad angulum N - ACQ + D, ut est longitudo L
ad longitudinem eandem L cosinu anguli ACQ + ½D diminutam, ubi
angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Postea capiatur tum angulus
F ad angulum B, ut est sinus anguli ACQ + E ad radium, tum angulus G ad
angulum N - ACQ - E + F ut est longitudo L ad Longitudinem eandem
cosinu anguli ACQ + E + ½F diminutam ubi angulus iste recto minor est,
auctam ubi major. Tertia vice capiatur angulus H ad angulum B, ut est sinus
anguli ACQ + E + G ad radium; & angulus I ad angulum N - ACQ - E - G +
H, ut est longitudo L ad eandem longitudinem cosinu anguli ACQ + E + G +

½H diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Et sic
pergere licet in infinitum. Deniq; capiatur angulus ACq æqualis angulo
ACQ + E + G + I &c. & ex cosinu ejus Cr & ordinata pr, quæ est ab sinum
qr ut Ellipseos axis minor ad axem majorem, habebitur corporis locus
correctus p. Siquando angulus N - ACQ + D negativus est, debet signum +
ipsius E ubiq; mutari in -, & signum - in +. Idem intelligendum est de signis
ipsorum G & I, ubi anguli N - ACQ - E + F, & N - ACQ - E - G + H
negative prodeunt. Convergit autem series infinita ACQ + E + G + I quam
celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad terminum
secundum E. Et fundatur calculus in hoc Theoremate, quod area APS sit ut
differentia inter arcum AQ & rectam ab umbilico S in Radium CQ
perpendiculariter demissam.
Non dissimili calculo conficitur Problema in Hyperbola.
Sit ejus centrum C, Vertex A, Umbilicus S &
Asymptotos CK. Cognoscatur quantitas areæ APS
tempori proportionalis. Sit ea A, & fiat conjectura de
positione rectæ SP, quæ aream illam abscindat
quamproxime. Jungatur CP, & ab A & P ad Asymptoton
agantur AI, PK Asymptoto alteri parallelæ, & per
Tabulam Logarithmorum dabitur Area AIKP, eiq; æqualis area CPA, quæ
subducta de triangulo CPS relinquet aream APS. Applicando arearum A &
APS semidifferentiam ½APS - ½A vel ½A - ½APS ad lineam SN, quæ ab
umbilico S in tangentem PT perpendicularis est, orietur longitudo PQ.
Capiatur autem PQ inter A & P, si area APS major sit area A, secus ad
puncti P contrarias partes: & punctum Q erit locus corporis accuratius. Et
computatione repetita invenietur idem accuratius in perpetuum.
Atq; his calculis Problema generaliter confit Analytice. Verum usibus
Astronomicis accommodatior est calculus particularis qui sequitur.
Existentibus AO, OB, OD semiaxibus Ellipseos, (Vide fig. pag. 109. 110.) &
L ipsius latere recto, quære tum angulum Y, cujus Tangens sit ad Radium ut
est semiaxium differentia AO - OD ad eorum summam AO + OD; tum
angulum Z, cujus tangens sit ad Radium ut rectangulum sub umbilicorum
distantia SH & semiaxium differentia AO - OD ad triplum rectangulum sub
OQ semiaxe minore & AO - ¼L differentia inter semiaxem majorem &
quartam partem lateris recti. His angulis semel inventis, locus corporis sic
deinceps determinabitur. Sume angulum T proportionalem tempori quo

arcus BP descriptus est, seu motui medio (ut loquuntur) æqualem; &
angulum V (primam medii motus æquationem) ad angulum Y (æquationem
maximam primam) ut est sinus anguli T duplicati ad radium; atq; angulum
X (æquationem secundam) ad angulum Z (æquationem maximam
secundam) ut est sinus versus anguli T duplicati ad radium duplicatum, vel
(quod eodem recidit) ut est quadratum sinus anguli T ad quadratum Radii.
Angulorum T, V, X vel summæ T + X + V, si angulus T recto minor est, vel
differentiæ T + X - V, si is recto major est rectisq; duobus minor, æqualem
cape angulum BHP (motum medium æquatum;) & si HP occurrat Ellipsi in
P, acta SP abscindet aream BSP tempori proportionalem quamproxime.
Hæc Praxis satis expedita videtur, propterea quod angulorum perexiguorum
V & X (in minutis secundis, si placet, positorum) figuras duas tresve primas
invenire sufficit. Invento autem angulo motus medii æquati BHP, angulus
veri motus HSP & distantia SP in promptu sunt per methodum notissimam
Dris. Sethi Wardi Episcopi Salisburiensis mihi plurimum colendi.
Hactenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem potest ut mobile
recta descendat vel recta ascendat, & quæ ad istiusmodi motus spectant,
pergo jam exponere.

SECT. VII.
De Corporum Ascensu & Descensu Rectilineo.

Prop. XXXII. Prob. XXIV.

Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis
quadrato distantiæ locorum a centro, spatia definire quæ
corpus recta cadendo datis temporibus describit.

Cas. 1. Si corpus non cadit perpendiculariter describet id
sectionem aliquam Conicam cujus umbilicus inferior congruit
cum centro. Id ex Propositionibus XI, XII, XIII & earum
Corollariis constat. Sit sectio illa Conica ARPB & umbilicus
inferior S. Et primo si Figura illa Ellipsis est, super hujus axe
majore AB describatur semicirculus ADB, & per corpus
decidens transeat recta DPC perpendicularis ad axem; actisq;
DS, PS erit area ASD areæ ASP atq; adeo etiam tempori
proportionalis. Manente axe AB minuatur perpetuo latitudo Ellipseos, &
semper manebit area ASD tempori proportionalis. Minuatur latitudo illa in
infinitum, & orbe APB jam coincidente cum axe AB & umbilico S cum axis
termino B, descendet corpus in recta AC, & area ABD evadet tempori
proportionalis. Dabitur itaq; spatium AC, quod corpus de loco A
perpendiculariter cadendo tempore dato describit, si modo tempori
proportionalis capiatur area ABD, & a puncto D ad rectam AB demittatur
perpendicularis DC. Q. E. I.
Cas. 2. Sin figura superior RPB Hyperbola est, describatur ad eandem
diametrum principalem AB Hyperbola rectangula BD: & quoniam areæ
CSP, CBfP, SPfB sunt ad areas CSD, CBED, SDEB, singulæ ad singulas, in
data ratione altitudinum CP, CD; & area SPfB proportionalis est tempori
quo corpus P movebitur per arcum PB, erit etiam area SDEB eidem tempori
proportionalis. Minuatur latus rectum Hyperbolæ RPB in infinitum manente
latere transverso, & coibit arcus PB cum recta CB, & umbilicus S cum

vertice B & recta SD cum recta BD. Proinde area
BDEB proportionalis erit tempori quo corpus C recto
descensu describit lineam CB. Q. E. I.
Cas. 3. Et simili argumento si figura RPB Parabola est,
& eodem vertice principali B describatur alia Parabola
BED, quæ semper maneat data, interea dum Parabola
prior in cujus perimetro corpus P movetur, diminuto &
in nihilum redacto ejus Latere recto, conveniat cum
linea CB, fiet segmentum Parabolicum BDEB
proportionale tempori quo corpus illud P vel C
descendet ad centrum B. Q. E. I.

Prop. XXXIII. Theor. IX.

Positis jam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco
quovis C est ad velocitatem corporis centro B intervallo BC
circulum describentis, in dimidiata ratione quam CA, distantia
corporis a Circuli vel Hyperbolæ vertice ulteriore A, habet ad
figuræ semidiametrum principalem ½AB.

Namq; ob proportionales CD, CP, linea AB communis est
utriusq; figuræ RPB, DEB diameter. Bisecetur eadem in O, &
agatur recta PT quæ tangat figuram RPB in P, atq; etiam secet
communem illam diametrum AB (si opus est productam) in T;
sitq; SY ad hanc rectam & BQ ad hanc diametrum
perpendicularis, atq; figuræ RPB latus rectum ponatur L.
Constat per Cor. 9. Theor. VIII. quod corporis in linea RPB
circa centrum S moventis velocitas in loco quovis P sit ad
velocitatem corporis intervallo SP circa idem centrum
circulum describentis in dimidiata ratione rectanguli ½L × SP
ad SY quadratum. Est autem ex Conicis ACB ad CPq. ut 2AO
ad L, adeoq; 2CPq. × AO ÷ ACB æquale L. Ergo velocitates
illæ sunt ad invicem in dimidiata ratione CPq. × AO × SP ÷ ACB ad SY
quad. Porro ex Conicis est CO ad BO ut BO ad TO, & composite vel
divisim ut CB ad BT. Unde dividendo vel componendo fit BO - uel + CO ad
BO ut CT ad BT, id est AC ad AO ut CP ad BQ; indeq; CPq. × AO × SP ÷

ACB æquale est BQq. × AC × SP ÷ {AO × BC}. Minuatur jam in infinitum
figuræ RPB latitudo CP, sic ut punctum P coeat cum puncto C, punctumq; S
cum puncto B, & linea SP cum linea BC, lineaq; SY cum linea BQ; &
corporis jam recta descendentis in linea CB velocitas fiet ad velocitatem
corporis centro B interuallo BC circulum describentis, in dimidiata ratione
ipsius BQq. × AC × SP ÷ {AO × BC} ad SYq. hoc est (neglectis æqualitatis
rationibus SP ad BC & BQq. ad SYq.) in dimidiata ratione AC ad AO.
Q. E. D.
Corol. Punctis B & S coeuntibus, fit TC ad ST ut AC ad AO.

Prop. XXXIV. Theor. X.

Si figura BED Parabola est, dico quod corporis cadentis
velocitas in loco quovis C æqualis est velocitati qua corpus centro
B dimidio intervalli sui BC circulum uniformiter describere
potest.

Nam corporis Parabolam RPB circa centrum S
describentis velocitas in loco quovis S (per Corol. 7.
Theor. VIII) æqualis est velocitati corporis dimidio
intervalli SP circulum circa idem S uniformiter
describentis. Minuatur Parabolæ latitudo CP in
infinitum eo, ut arcus Parabolicus PfB cum recta CB,
centrum S cum vertice B, & interuallum SP cum
intervallo BP coincidat, & constabit Propositio.
Q. E. D.

Prop. XXXV. Theor. XI.

Iisdem positis, dico quod area figuræ DES, radio indefinito SD
descripta, æqualis sit areæ quam corpus, radio dimidium lateris
recti figuræ DES æquante, circa centrum S uniformiter gyrando,
eodem tempore describere potest.

Nam concipe corpus C quam minima temporis particula lineolam Cc
cadendo describere, & interea corpus aliud K, uniformiter in circulo OKk

circa centrum S gyrando, arcum Kk describere. Erigantur
perpendicula CD, cd occurrentia figuræ DES in D, d.
Jungantur SD, SK, Sk & ducatur Dd axi AS occurrens in T, &
ad eam demittatur perpendiculum SY.
Cas. 1. Jam si figura DES Circulus est vel Hyperbola, bisecetur
ejus transversa diameter AS in O, & erit SO dimidium Lateris
recti. Et quoniam est TC ad TD ut Cc ad Dd, & TD ad TS ut
CD ad SY, erit ex æquo TC ad TS ut CD × Cc ad SY × Dd. Sed
per Corol. Prop. 33. est TC ad ST ut AC ad AO, puta si in coitu
punctorum D, d capiantur linearum rationes ultimæ. Ergo AC
est ad AO, id est ad SK, ut CD × Cc ad SY × Dd. Porro corporis
descendentis velocitas in C est ad velocitatem corporis circulum intervallo
SC circa centrum S describentis in dimidiata ratione AC ad AO vel SK (per
Theor. IX.) Et hæc velocitas ad velocitatem corporis describentis circulum
OKk in dimidiata ratione SK ad SC per Cor. 6. Theor. IV. & ex æquo
velocitas prima ad ultimam, hoc est lineola Cc ad arcum Kk in dimidiata
ratione AC ad SC, id est in ratione AC ad CD. Quare est CD × Cc æquale
AC × Kk, & propterea AC ad SK ut AC × Kk ad SY × Dd, indeq; SK × Kk
æquale SY × Dd, & ½SK × Kk æquale ½SY × Dd, id est area KSk æqualis
areæ SDd. Singulis igitur temporis particulis generantur arearum duarum
particulæ KSk, SDd, quæ, si magnitudo earum minuatur & numerus
augeatur in infinitum, rationem obtinent æqualitatis, & propterea (per
Corollarium Lemmatis IV) areæ totæ simul genitæ sunt semper æquales.
Q. E. D.
Cas. 2. Quod si figura DES Parabola sit, invenietur ut
supra CD × Cc esse ad SY × Dd ut TC ad ST, hoc est ut
2 ad 1, adeoq; ¼CD × Cc æqualem esse ½SY × Dd. Sed
corporis cadentis velocitas in C æqualis est velocitati
qua circulus intervallo ½SC uniformiter describi possit
(per Theor. X.) Et hæc velocitas ad velocitatem qua
circulus radio SK describi possit, hoc est, lineola Cc ad
arcum Kk est in dimidiata ratione SK ad ½Sc, id est, in
ratione SK ad ½CD, per Corol. 6. Theorem. IV. Quare
est ½SK × Kk æquale ¼CD × Cc, adeoq; æquale ½SY ×
Dd, hoc est, area KSk æqualis Areæ SDd, ut supra.
Quod erat demonstrandum.

Prop. XXXVI. Prob. XXV.

Corporis de loco dato A cadentis determinare tempora
descensus.

Super diametro AS (distantia corporis a centro sub initio)
describe semicirculum ADS, ut & huic æqualem semicirculum
OKH circa centrum S. De corporis loco quovis C erige ordinatim
applicatam CD. Junge SD, & areæ ASD æqualem constitue
Sectionem OSK. Patet per Theor. XI, quod corpus cadendo
describet spatium AC eodem tempore quo corpus aliud
uniformiter circa centrum S gyrando, describere potest arcum
OK. Quod erat faciendum.

Prop. XXXVII. Prob. XXVI.

Corporis de loco dato sursum vel deorsum projecti definire
tempora ascensus vel descensus.

Exeat corpus de loco dato G secundum lineam ASG cum
velocitate quacunq;. In duplicata ratione hujus velocitatis ad
uniformem in circulo velocitatem, qua corpus ad intervallum
datum SG circa centrum S revolvi posset, cape CA ad ½AS. Si
ratio illa est numeri binarii ad unitatem, punctum A cadet ad
infinitam distantiam, quo in casu Parabola uertice S, axe SC,
latere quovis recto describenda est. Patet hoc per Theorema X.
Sin ratio illa minor vel major est quam 2 ad 1, priore casu
Circulus, posteriore Hyperbola rectangula super diametro SA
describi debet. Patet per Theorema IX. Tum centro S, intervallo
æquante dimidium lateris recti, describatur circulus HKk, & ad
corporis ascendentis vel descendentis loca duo quævis G, C,
erigantur perpendicula GI, CD occurrentia Conicæ Sectioni vel circulo in I
ac D. Dein junctis SI, SD, fiant segmentis SEIS, SEDS Sectores HSK, HSk
æquales, & per Theorema XI. corpus G describet spatium GC eodem
tempore quo corpus K describere potest arcum Kk. Q. E. F.

Prop. XXXVIII. Theor. XII.

Posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seu
distantiæ locorum a centro, dico quod cadentium tempora,
velocitates & spatia descripta sunt arcubus arcuumq; sinibus
versis & sinibus rectis respective proportionales.

Cadat corpus de loco quovis A secundum rectam AS; &
centro virium S, intervallo AS, describatur circuli quadrans
AE, sitq; CD sinus rectus arcus cujusvis AD, & corpus A,
tempore AD, cadendo describet spatium AC, inq; loco C
acquisierit velocitatem CD. Demonstratur eodem modo ex
Propositione X. quo Propositio XXXII. ex Propositione XI.
demonstrata fuit. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc æqualia sunt tempora quibus corpus unum de loco A cadendo
provenit ad centrum S, & corpus aliud revolvendo describit arcum
quadrantalem ADE.

Corol. 2. Proinde æqualia sunt tempora omnia quibus corpora de locis
quibusvis ad usq; centrum cadunt. Nam revolventium tempora omnia
periodica (per Corol. 3. Prop. IV.) æquantur.

Prop. XXXIX. Prob. XXVII.

Posita cujuscunq; generis vi centripeta, & concessis figurarum
curvilinearum quadraturis, requiritur corporis recta ascendentis
vel descendentis tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo
corpus ad locum quemvis perveniet: Et contra.

De loco quovis A in recta ADEC cadat corpus E, deq; loco
ejus E erigatur semper perpendicularis EG, vi centripetæ
in loco illo ad centrum C tendenti proportionalis: Sitq;
BFG linea curva quam punctum G perpetuo tangit.
Coincidat autem EG ipso motus initio cum perpendiculari
AB, & erit corporis velocitas in loco quovis E ut areæ
curvilineæ ABGE latus quadratum. Q. E. I. In EG
capiatur EM lateri quadrato areæ ABGE reciproce
proportionalis, & sit ALM linea curva quam punctum M
perpetuo tangit, & erit tempus quo corpus cadendo
describit lineam AE ut area curvilinea ALME. Quod erat
Inveniendum.
Etenim in recta AE capiatur linea quam minima DE datæ longitudinis, sitq;
DLF locus lineæ EMG ubi corpus versabatur in D; & si ea sit vis centripeta,
ut area ABGE latus quadratum sit ut descendentis velocitas, erit area ipsa in
duplicata ratione velocitatis, id est, si pro velocitatibus in D & E scribantur
V & V + I, erit area ABFD ut V2, & area ABGE ut V2 + 2VI + I2, & divisim
area DFGE ut 2VI + I2, adeoq; DFGE ÷ DE ut {2I × V + ½I} ÷ DE, id est,
si primæ quantitatum nascentium rationes sumantur, longitudo DF ut
quantitas 2I × V ÷ DE, adeoq; etiam ut quantitatis hujus dimidium I × V ÷
DE. Est autem tempus quo corpus cadendo describit lineolam DE, ut lineola
illa directe & velocitas V inverse, estq; vis ut velocitatis incrementum I
directe & tempus inverse, adeoq; si primæ nascentium rationes sumantur, ut
I × V ÷ DE, hoc est, ut longitudo DF. Ergo vis ipsi DF vel EG

proportionalis facit corpus ea cum velocitate descendere quæ sit ut areæ
ABGE latus quadratum. Q. E. D.
Porro cum tempus, quo quælibet longitudinis datæ lineola DE describatur,
sit ut velocitas, adeoq; ut areæ ABFD latus quadratum inverse; sitq; DL, atq;
adeo areæ nascens DLME, ut idem latus quadratum inverse: erit tempus ut
area DLME, & summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc
est (per Corol. Lem. IV.) tempus totum quo linea AE describitur ut area tota
AME. Q. E. D.
Corol. 1. Si P sit locus de quo corpus cadere debet, ut, urgente aliqua
uniformi ui centripeta nota (qualis vulgo supponitur gravitas) velocitatem
acquirat in loco D æqualem velocitati quam corpus aliud vi quacunq;
cadens acquisivit eodem loco D, & in perpendiculari DF capiatur DR, quæ
sit ad DF ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco D, & compleatur
rectangulum PDRQ, eiq; æqualis abscindatur area ABFD; erit A locus de
quo corpus alterum cecidit. Namq; completo rectangulo EDRS, cum sit area
ABFD ad aream DFGE ut VV ad 2V × I, adeoq; ut ½V ad I, id est, ut
semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis vi inæquabili
cadentis; & similiter area PQRD ad aream DRSE ut semissis velocitatis
totius ad incrementum velocitatis corporis uniformi vi cadentis; sintq;
incrementa illa (ob æqualitatem temporum nascentium) ut vires
generatrices, id est ut ordinatim applicatæ DF, DR, adeoq; ut areæ
nascentes DFGE, DRSE; erunt (ex æquo) areæ totæ ABFD, PQRD ad
invicem ut semisses totarum velocitatum, & propterea (ob æqualitatem
velocitatum) æquantur.
Corol. 2. Unde si corpus quodlibet de loco quocunq; D data cum velocitate
vel sursum vel deorsum projiciatur, & detur lex vis centripetæ, invenietur
velocitas ejus in alio quovis loco e, erigendo ordinatam eg, & capiendo
velocitatem illam ad velocitatem in loco D ut est latus quadratum rectanguli
PQRD area curvilinea DFge vel aucti, si locus e est loco D inferior, vel
diminuti, si is superior est, ad latus quadratum rectanguli solius PQRD, id
est ut √PQRD + vel - DFge ad √PQRD.
Corol. 3. Tempus quoq; innotescet erigendo ordinatam em reciproce
proportionalem lateri quadrato ex PQRD + vel - DFge, & capiendo tempus
quo corpus descripsit lineam De ad tempus quo corpus alterum vi uniformi

cecidit a P & cadendo pervenit ad D, ut area curvilinea DLme ad
rectangulum 2PD × DL. Namq; tempus quo corpus vi uniformi descendens
descripsit lineam PD est ad tempus quo corpus idem descripsit lineam PE
in dimidiata ratione PD ad PE, id est (lineola DE jamjam nascente) in
ratione PD ad PD + ½DE seu 2PD ad 2PD + DE, & divisim, ad tempus quo
corpus idem descripsit lineolam DE ut 2PD ad DE, adeoq; ut rectangulum
2PE × DL ad aream DLME; estq; tempus quo corpus utrumq; descripsit
lineolam DE ad tempus quo corpus alterum inæquabili motu descripsit
lineam De ut area DLME ad aream DLme, & ex æquo tempus primum ad
tempus ultimum ut rectangulum 2PD × DL ad aream DLme.

SECT. VIII.
De Inventione Orbium in quibus corpora viribus quibuscunq; centripetis
agitata revolventur.

Prop. XL. Theor. XIII.

Si corpus, cogente vi quacunq; centripeta, moveatur utcunq;, &
corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintq; eorum
velocitates in aliquo æqualium altitudinum casu æquales,
velocitates eorum in omnibus æqualibus altitudinibus erunt
æquales.

Descendat corpus aliquod ab A per
D, E, ad centrum C, & moveatur
corpus aliud a V in linea curva
VIKk. Centro C intervallis
quibusvis describantur circuli
concentrici DI, EK rectæ AC in D
& E, curvæq; VIK in I & K
occurrentes. Jungatur IC occurrens
ipsi KE in N; & in IK demittatur
perpendiculum NT; sitq;
circumferentiarum circulorum
intervallum DE vel IN quam minimum, & habeant corpora in D & I
velocitates æquales. Quoniam distantiæ CD, CI æquantur, erunt vires
centripetæ in D & I æquales. Exponantur hæ vires per æquales lineolas DE,
IN; & si vis una IN, per Legum Corol. 2. resolvatur in duas NT & IT, vis
NT, agendo secundum lineam NT corporis cursui ITK perpendicularem, nil
mutabit velocitatem corporis in cursu illo, sed retrahet solummodo corpus a
cursu rectilineo, facietq; ipsum de Orbis tangente perpetuo deflectere, inq;
via curvilinea ITKk, progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota
consumetur: vis autem altera IT, secundum corporis cursum agendo, tota
accelerabit illud, ac dato tempore quam minimo accelerationem generabit

sibi ipsi proportionalem. Proinde corporum in D & I accelerationes
æqualibus temporibus factæ (si sumantur linearum nascentium DE, IN, IK,
IT, NT rationes primæ) sunt ut lineæ DE, IT: temporibus autem inæqualibus
ut lineæ illæ & tempora conjunctim. Tempora ob æqualitatem velocitatum
sunt ut viæ descriptæ DE & IK, adeoq; accelerationes, in cursu corporum
per lineas DE & IK, sunt ut DE & IT, DE & IK conjunctim, id est ut DE
quad. & IT × IK rectangulum. Sed rectangulum IT × IK æquale est IN
quadrato, hoc est, æquale DE quadrato & propterea accelerationes in
transitu corporum a D & I ad E & K æquales generantur. Æquales igitur
sunt corporum velocitates in E & K & eodem argumento semper reperientur
æquales in subsequentibus æqualibus distantiis. Q. E. D. Sed & eodem
argumento corpora æquivelocia & æqualiter a centro distantia, in ascensu
ad æquales distantias æqualiter retardabuntur. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si corpus vel funipendulum oscilletur, vel impedimento
quovis politissimo & perfecte lubrico cogatur in linea curva moveri, &
corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintq; velocitates eorum in eadem
quacunq; altitudine æquales: erunt velocitates eorum in aliis quibuscunq;
æqualibus altitudinibus æquales. Namq; impedimento vasis absolute lubrici
idem præstatur quod vi transversa NT. Corpus eo non retardatur, non
acceleratur, sed tantum cogitur de cursu rectilineo discedere.
Corol. 2. Hinc etiam si quantitas P sit maxima a centro distantia, ad quam
corpus vel oscillans vel in Trajectoria quacunq; revolvens, deq; quovis
trajectoriæ puncto, ea quam ibi habet velocitate sursum projectum
ascendere possit; sitq; quantitas A distantia corporis a centro in alio quovis
Orbis puncto, & vis centripeta semper sit ut ipsius A dignitas quælibet An - 1,
cujus Index n - 1 est numerus quilibet n unitate diminutus; velocitas
corporis in omni altitudine A erit ut √nPn - nAn, atq; adeo datur. Namq;
velocitas ascendentis ac descendentis (per Prop. XXXIX.) est in hac ipsa
ratione.

Prop. XLI. Prob. XXVIII.

Posita cujuscunq; generis vi centripeta & concessis figurarum
curvilinearum quadraturis, requiruntur tum Trajectoriæ in quibus

corpora movebuntur, tum tempora motuum in Trajectoriis
inventis.

Tendat vis quælibet ad centrum C
& invenienda sit Trajectoria VITKk.
Detur circulus VXY centro C
intervallo quovis CV descriptus,
centroq; eodem describantur alii
quivis circuli ID, KE trajectoriam
secantes in I & K rectamq; CV in D
& E. Age tum rectam CNIX
secantem circulos KE, VY in N &
X, tum rectam CKY occurrentem
circulo VXY in Y. Sint autem puncta
I & K sibi invicem vicinissima, & pergat corpus ab V per I, T & K ad k; sitq;
A altitudo illa de qua corpus aliud cadere debet ut in loco D velocitatem
acquirat æqualem velocitati corporis prioris in I; & stantibus quæ in
Propositione XXXIX, quoniam lineola IK, dato tempore quam minimo
descripta, est ut velocitas atq; adeo ut latus quadratum areæ ABFD, &
triangulum ICK tempori proportionale datur, adeoq; KN est reciproce ut
altitudo IC, id est, si detur quantitas aliqua Q, & altitudo IC nominetur A, ut
Q ÷ A; quam nominemus Z. Ponamus eam esse magnitudinem ipsius Q ut
sit √ABFD in aliquo casu ad Z ut est IK ad KN, & erit semper √ABFD ad Z
ut IK ad KN, & ABFD ad ZZ ut IK quad. ad KN quad. & divisim ABFD - ZZ
ad ZZ ut IN quad. ad KN quad. adeoq; √ABFD - ZZ ad Z ut IN ad KN, &
propterea A × KN æquale Q × IN ÷ √ABFD - ZZ. Unde cum YX × XC sit ad
A × KN in duplicata ratione YC ad KC, erit rectang. YX × XC æquale Q × IN
× CX quad. ÷ AA √ABFD - ZZ. Igitur si in perpendiculo DF capiantur
semper Db, Dc ipsis Q ÷ 2√ABFD - ZZ & Q × CX quad. ÷ 2AA √ABFD -
ZZ æquales respective, & describantur curvæ lineæ ab, cd quas puncta b, c
perpetuo tangunt; deq; puncto V ad lineam AC erigatur perpendiculum Vad
abscindens areas curvilineas VDba, VDdc, & erigantur etiam ordinatæ Ez,
Ex: quoniam rectangulum Db × IN seu DbzE æquale est dimidio rectanguli
A × KN, seu triangulo ICK; & rectangulum Dc × IN seu Dc × E æquale est
dimidio rectanguli YX in CX, seu triangulo XCY; hoc est, quoniam arearum
VDba, VIC æquales semper sunt nascentes particulæ DbzE, ICK, & arearum
VDcd, VCX æquales semper sunt nascentes particulæ DExc, XCY, erit area

genita VDba æqualis areæ genitæ, VIC, adeoq; tempori proportionalis, &
area genita VDdc æqualis Sectori genito VCX. Dato igitur tempore quovis
ex quo corpus discessit de loco V, dabitur area ipsi proportionalis VDba, &
inde dabitur corporis altitudo CD vel CI; & area VDcd, eiq; æqualis Sector
VCX una cum ejus angulo VCI. Datis autem angulo VCI & altitudine CI
datur locus I, in quo corpus completo illo tempore reperietur. Q. E. I.
Corol. 1. Hinc maximæ minimæq; corporum altitudines, id est Apsides
Trajectoriarum expedite inveniri possunt. Incidunt enim Apsides in puncta
illa in quibus recta IC per centrum ducta incidit perpendiculariter in
Trajectoriam VIK: id quod fit ubi rectæ IK & NK æquantur, adeoq; ubi area
ABFD æqualis est ZZ.
Corol. 2. Sed & angulus KIN, in quo Trajectoria alibi secat lineam illam IC,
ex data corporis altitudine IC expedite invenitur, nimirum capiendo sinum
ejus ad radium ut KN ad IK, id est ut Z ad latus quadratum areæ ABFD.
Corol. 3. Si centro C & vertice principali V
describatur sectio quælibet Conica VRS, & a
quovis ejus puncto R agatur Tangens RT
occurrens axi infinite producto CV in puncto
T; dein juncta CR ducatur recta CP, quæ
æqualis sit abscissæ CT, angulumq; VCP
Sectori VCR proportionalem constituat;
tendat autem ad centrum C vis centripeta
cubo distantiæ locorum a centro reciproce
proportionalis, & exeat corpus de loco V
justa cum velocitate secundum lineam rectæ CV perpendicularem:
progredietur corpus illud in Trajectoria quam punctum P perpetuo tangit;
adeoq; si conica sectio CVRS Hyperbola sit, descendet idem ad centrum:
Sin ea Ellipsis sit, ascendet illud perpetuo & abibit in infinitum. Et contra,
si corpus quacunq; cum velocitate exeat de loco V, & perinde ut incæperit
vel oblique descendere ad centrum, vel ab eo oblique ascendere, figura
CVRS vel Hyperbola sit vel Ellipsis, inveniri potest Trajectoria augendo vel
minuendo angulum VCP in data aliqua ratione. Sed et vi centripeta in
centrifugam versa, ascendet corpus oblique in Trajectoria VPQ quæ
invenitur capiendo angulum VCP Sectori Elliptico CVRC proportionalem,
& longitudinem CP longitudini CT æqualem: ut supra. Consequuntur hæc

omnia ex Propositione præcedente, per Curvæ cujusdam quadraturam, cujus
inventionem ut satis facilem brevitatis gracia missam facio.

Prop. XLII. Prob. XXIX.

Data lege vis centripetæ, requiritur motus corporis de loco dato
data cum velocitate secundum datam rectam egressi.

Stantibus quæ in tribus Propositionibus præcedentibus: exeat corpus de loco
I secundum lineolam IT, ea cum velocitate quam corpus aliud, vi aliqua
uniformi centripeta, de loco P cadendo acquirere posset in D: sitq; hæc vis
uniformis ad vim qua corpus primum urgetur in I, ut DR ad DF. Pergat
autem corpus versus k; centroq; C & intervallo Ck describatur circulus ke
occurrens rectæ PD in e, & erigantur curvarum ALMm, BFGg, abzv, dcxw
ordinatim applicatæ em, eg, ev, ew. Ex dato rectangulo PDRQ, dataq; lege
vis centripetæ qua corpus primum agitatur, dantur curvæ lineæ BFGg,
ALMm, per constructionem Problematis XXVIII. & ejus Corol. 1. Deinde
ex dato angulo CIT datur proportio nascentium IK, KN & inde, per
constructionem Prob. XXVIII, datur quantitas Q, una cum curvis lineis
abzv, dcxw: adeoq; completo tempore quovis Dbve, datur tum corporis
altitudo Ce vel Ck, tum area Dcwe, eiq; æqualis Sector XCy, angulusq; XCy
& locus k in quo corpus tunc versabitur. Q. E. I.
Supponimus autem in his Propositionibus vim centripetam in recessu
quidem a centro variari secundum legem quamcunq; quam quis imaginari
potest, in æqualibus autem a centro distantiis esse undiq; eandem. Atq;
hactenus corporum in Orbibus immobilibus consideravimus. Superest ut de
motu eorum in Orbibus qui circa centrum virium revolvuntur adjiciamus
pauca.

SECT. IX.
De Motu Corporum in Orbibus mobilibus, deq; motu Apsidum.

Prop. XLIII. Prob. XXX.

Efficiendum est ut corpus in Trajectoria quacunq; circa centrum
virium revolvente perinde moveri possit, atq; corpus aliud in
eadem Trajectoria quiescente.

In Orbe VPK positione dato revolvatur corpus P pergendo a V versus K. A
centro C agatur semper Cp, quæ sit ipsi CP æqualis, angulumq; VCp angulo
VCP proportionalem constituat; & area quam linea Cp describit erit ad
aream VCP quam linea CP describit, ut velocitas lineæ describentis Cp ad
velocitatem lineæ describentis CP; hoc est, ut angulus VCp ad angulum
VCP, adeoq; in data ratione, & propterea tempori proportionalis. Cum area
tempori proportionalis sit quam linea Cp in plano immobili describit,
manifestum est quod corpus, cogente justæ quantitatis vi centripeta, revolvi
possit una cum puncto p in curva illa linea quam punctum idem p ratione
jam exposita describit in plano immobili. Fiat angulus VCv angulo PCp, &
linea Cv lineæ CV, atq; figura vCp figuræ VCP æqualis, & corpus in p
semper existens movebitur in perimetro figuræ
revolventis vCp, eodemq; tempore describet arcum
ejus vp quo corpus aliud P arcum ipsi similem &
æqualem VP in figura quiescente VPK describere
potest. Quæratur igitur, per Corollarium
Propositionis VI, vis centripeta qua corpus revolvi
possit in curva illa linea quam punctum p describit
in plano immobili, & solvetur Problema. Q. E. F.

Prop. XLIV. Theor. XIV.

Differentia virium, quibus corpus in Orbe quiescente, & corpus
aliud in eodem Orbe revolvente æqualiter moveri possunt, est in

triplicata ratione communis altitudinis inverse.

Partibus orbis quiescentis VP, PK sunto similes & æquales orbis revolventis
partes vp, pk. A puncto k in rectam, pC demitte perpendiculum kr, idemq;
produc ad m, ut sit mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP. Quoniam
corporum altitudines PC & pC, KC & kC semper æquantur, manifestum est
quod si corporum in locis P & p existentium distinguantur motus singuli
(per Legum Corol. 2.) in binos, (quorum hi versus centrum, sive secundum
lineas PC, pC; alteri prioribus transversi secundum lineas ipsis PC, pC
perpendiculares determinantur) motus versus centrum erunt æquales, &
motus transversus corporis p erit ad motum transversum corporis P, ut
motus angularis lineæ pC ad motum angularem lineæ PC, id est ut angulus
VCp ad angulum VCP. Igitur eodem tempore quo corpus P motu suo utroq;
pervenit ad punctum K, corpus p æquali in centrum motu æqualiter
movebitur a P versus C, adeoq; completo illo tempore reperietur alicubi in
linea mkr, quæ per punctum k in lineam pC perpendicularis est; & motu
transverso acquiret distantiam a linea pC, quæ sit ad distantiam quam
corpus alterum acquirit a linea PC, ut est hujus motus transversus ad motum
transversum alterius. Quare cum kr æqualis sit distantiæ quam corpus
alterum acquirit a linea pC, sitq; mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP,
hoc est, ut motus transversus corporis p ad motum transversum corporis P,
manifestum est quod corpus p completo illo tempore reperietur in loco m.
Hæc ita se habebunt ubi corpora P & p æqualiter secundum lineas pC & PC
moventur, adeoq; æqualibus viribus secundum lineas illas urgentur.
Capiatur autem angulus pCn ad angulum pCk ut est angulus VCp ad
angulum VCP, sitq; nC æqualis kC, & corpus p completo illo tempore
revera reperietur in n; adeoq; vi majore urgetur, si modo angulus mCp
angulo kCp major est, id est si orbis Vpk movetur in consequentia, &
minore, si orbis regreditur; estq; virium differentia ut locorum intervallum
mn, per quod corpus illud p ipsius actione, dato illo temporis spatio
transferri debet. Centro C intervallo Cn vel Ck describi intelligetur circulus
secans lineas mr, mn productas in s & t, & erit rectangulum mn × mt æquale
rectangulo mk × ms, adeoq; mn æquale mk × ms ÷ mt. Cum autem triangula
pCk, pCn dentur magnitudine, sunt kr & mr, earumq; differentia mk &
summa ms reciproce ut altitudo pC, adeoq; rectangulum mk × ms est
reciproce ut quadratum altitudinis pC. Est & mt directe ut ½mt, id est ut
altitudo pC. Hæ sunt primæ rationes linearum nascentium; & hinc fit mk ×

ms ÷ mt, id est lineola nascens mn, eiq; proportionalis virium differentia
reciproce ut cubus altitudinis pC. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc differentia virium in locis P & p vel K & k est ad vim qua
corpus motu circulari revolvi posset ab r ad k, eodem tempore quo corpus P
in orbe immobili describit arcum PK, ut mk × ms ad rk quadratum; hoc est
si capiantur datæ quantitates F, G in ea ratione ad invicem quam habet
angulus VCP ad angulum VCp, ut Gq. - Fq. ad Fq. Et propterea, si centro C
intervallo quovis CP vel Cp describatur Sector circularis æqualis areæ toti
VPC, quam corpus P tempore quovis in orbe immobili revolvens radio ad
centrum ducto descripsit, differentia virium, quibus corpus P in orbe
immobili & corpus p in orbe mobili revolvuntur, erit ad vim centripetam
qua corpus aliquod radio ad centrum ducto Sectorem illum, eodem tempore
quo descripta sit area VPC, uniformiter describere potuisset, ut Gq. - Fq. ad
Fq. Namq; sector ille & area pCk sunt ad invicem ut tempora quibus
describuntur.
Corol. 2. Si orbis VPK Ellipsis sit umbilicum habens C & Apsidem
summam V; eiq; similis & æqualis ponatur Ellipsis vpk, ita ut sit semper pc
æqualis PC, & angulus VCp sit ad angulum VCP in data ratione G ad F; pro
altitudine autem PC vel pc scribatur A, & pro Ellipseos latere recto ponatur
2R: erit vis qua corpus in Ellipsi mobili revolvi potest, ut Fq. ÷ Aq. + {RGq.
- RFq.} ÷ A cub. & contra. Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in
immota Ellipsi per quantitatem Fq. ÷ Aq., & vis in V erit Fq. ÷ CV quad.
Vis autem qua corpus in circulo ad distantiam CV ea cum velocitate revolvi
posset quam corpus in Ellipsi revolvens habet in V, est ad vim qua corpus in
Ellipsi revolvens urgetur in Apside V, ut dimidium lateris recti Ellipseos ad
circuli semidiametrum CV, adeoq; valet RFq. ÷ CV cub.: & vis quæ sit ad
hanc ut Gq. - Fq. ad Fq., valet {RGq. - RFq.} ÷ CV cub.: estq; hæc vis (per
hujus Corol. 1.) differentia virium quibus corpus P in Ellipsi immota VPK,
& corpus p in Ellipsi mobili vpk revolvuntur. Unde cum (per hanc Prop.)
differentia illa in alia quavis altitudine A sit ad seipsam in altitudine CV ut 1
÷ A cub. ad 1 ÷ CV cub., eadem differentia in omni altitudine A valebit
{RGq. - RFq.} ÷ A cub. Igitur ad vim Fq. ÷ Aq. qua corpus revolvi potest in
Ellipsi immobili VPK, addatur excessus {RGq. - RFq.} ÷ A cub. &
componetur vis tota Fq. ÷ Aq. + {RGq. - RFq.} ÷ A cub. qua corpus in
Ellipsi mobili vpk iisdem temporibus revolvi possit.

Corol. 3. Ad eundem modum colligetur quod, si orbis immobilis VPK
Ellipsis sit centrum habens in virium centro C; eiq; similis, æqualis &
concentrica ponatur Ellipsis mobilis vpk, sitq; 2R Ellipseos hujus latus
rectum, & 2T latus transversum atq; angulus VCp semper sit ad angulum
VCP ut G ad F; vires quibus corpora in Ellipsi immobili & mobili
temporibus æqualibus revolvi possunt, erunt ut Fq.A ÷ T cub. & Fq.A ÷ T
cub. + {RGq. - RFq.} ÷ A cub. respective.
Corol. 4. Et universaliter, si corporis altitudo maxima CV
nominetur T, & radius curvaturæ quam Orbis VPK habet
in V, id est radius circuli æqualiter curvi, nominetur R, &
vis centripeta qua corpus in Trajectoria quacunq;
immobili VPK revolvi potest, in loco V dicatur {Fq. ÷
Tq.} V, atq; aliis in locis P indefinite dicatur X, altitudine
CP nominata A, & capiatur G ad F in data ratione anguli VCp ad angulum
VCP: erit vis centripeta qua corpus idem eosdem motus in eadem
Trajectoria vpk circulariter mota temporibus iisdem peragere potest, ut
summa virium X + {VRGq. - VRFq.} ÷ A cub.
Corol. 5. Dato igitur motu corporis in Orbe quocunq; immobili, augeri vel
minui potest ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data, &
inde inveniri novi orbes immobiles in quibus corpora novis viribus
centripetis gyrentur.
Corol. 6. Igitur si ad rectam CV positione datam erigatur perpendiculum VP
longitudinis indeterminatæ, jungaturq; PC, & ipsi æqualis agatur Cp,
constituens angulum VCp, qui sit ad angulum VCP in data ratione; vis qua
corpus gyrari potest in Curva illa Vpk quam punctum p perpetuo tangit, erit
reciproce ut cubus altitudinis Cp. Nam corpus P, per vim inertiæ, nulla alia
vi urgente, uniformiter progredi potest in recta VP. Addatur vis in centrum
C, cubo altitudinis CP vel Cp reciproce proportionalis, & (per jam
demonstrata) detorquebitur motus ille rectilineus in lineam curvam Vpk. Est
autem hæc Curva Vpk eadem cum Curva illa VPQ in Corol. 3. Prop. XLI
inventa, in qua ibi diximus corpora hujusmodi viribus attracta oblique
ascendere.

Prop. XLV. Prob. XXXI.

Orbium qui sunt Circulis maxime finitimi requiruntur motus
Apsidum.

Problema solvitur Arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus in Ellipsi
mobili, ut in Propositionis superioris Corol. 2. vel 3. revolvens, describit in
plano immobili, accedat ad formam orbis cujus Apsides requiruntur, &
quærendo Apsides orbis quem corpus illud in plano immobili describit.
Orbes autem eandem acquirent formam, si vires centripetæ quibus
describuntur, inter se collatæ, in æqualibus altitudinibus reddantur
proportionales. Sit punctum V Apsis summa, & scribantur T pro altitudine
maxima CV, A pro altitudine quavis alia CP vel Cp, & X pro altitudinum
differentia CV - CP; & vis qua corpus in Ellipsi circa umbilicum ejus C (ut
in Corollario 2.) revolvente movetur, quæq; in Corollario 2. erat ut Fq. ÷
Aq. + {RGq. - RFq.} ÷ A cub. id est ut {Fq. A + RGq. - RFq.} ÷ A cub.,
substituendo T - X pro A, erit ut {RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X} ÷ A cub.
Reducenda similiter est vis alia quævis centripeta ad fractionem cujus
denominator sit A cub. & numeratores, facta homologorum terminorum
collatione, statuendi sunt analogi. Res Exemplis parebit.
Exempl. 1. Ponamus vim centripetam uniformem esse, adeoq; ut A cub. ÷ A
cub., sive (scribendo T - X pro A in Numeratore) ut {T cub. - 3Tq.X + 3TXq.
- X cub.} ÷ A cub.; & collatis Numeratorum terminis correspondentibus,
nimirum datis cum datis & non datis cum non datis, fiet RGq. - RFq. + TFq.
ad T cub. ut -Fq.X ad -3Tq.X + 3TXq. - X cub. sive ut -Fq. ad -3Tq. + 3TX -
Xq. Jam cum Orbis ponatur circulo quam maxime finitimus, coeat orbis
cum circulo; & ob factas R, T æquales, atq; X in infinitum diminutam,
rationes ultimæ erunt RGq. ad T cub. ut -Fq. ad -3Tq. seu Gq. ad Tq. ut Fq.
ad 3Tq. & vicissim G quadrat. ad F quadrat. ut T quad. ad 3T quad. id est,
ut 1 ad 3; adeoq; G ad F, hoc est angulus VCp ad angulum VCP ut 1 ad √3.
Ergo cum corpus in Ellipsi immobili, ab Apside summa ad Apsidem imam
descendendo conficiat angulum VCP (ut ita dicam) graduum 180; corpus
aliud in Ellipsi mobili, atq; adeo in orbe immobili de quo agimus, ab Abside
summa ad Apsidem imam descendendo conficiet angulum VCp graduum
180 ÷ √3: id adeo ob similitudinem orbis hujus, quem corpus agente
uniformi vi centripeta describit, & orbis illius quem corpus in Ellipsi
revolvente gyros peragens describit in plano quiescente. Per superiorem
terminorum collationem similes redduntur hi orbes, non universaliter, sed
tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant. Corpus

igitur uniformi cum vi centripeta in orbe propemodum circulari revolvens,
inter Apsidem summam & Apsidem imam conficiet semper angulum 180 ÷
√3 graduum, seu 103 gr. 55 m. ad centrum; perveniens ab Apside summa ad
Apsidem imam, ubi semel confecit hunc angulum, & inde ad Apsidem
summam rediens, ubi iterum confecit eundem angulum, & sic deinceps in
infinitum.
Exempl. 2. Ponamus vim centripetam esse ut altitudinis A dignitas quælibet
An - 3 seu An ÷ A3: ubi n - 3 & n significant dignitatum indices quoscunq;
integros vel fractos, rationales vel irrationales, affirmativos vel negativos.
Numerator ille An seu T - X n in seriem indeterminatam per Methodum
nostram Serierum convergentium reducta, evadit Tn - nXTn - 1 + {nn - n}÷2
Xq.Tn - 2 &c. Et collatis hujus terminis cum terminis Numeratoris alterius
RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X, fit RGq. - RFq. + TFq. ad Tn ut -Fq. ad -nTn - 1
+ {nn - n}÷2 XTn - 2 &c. Et sumendo rationes ultimas ubi orbes ad formam
circularem accedunt, fit RGq. ad Tn ut -Fq. ad -nTn - 1, seu Gq. ad Tn - 1 ut
Fq. ad nTn - 1, & vicissim Gq. ad Fq. ut Tn - 1 ad nTn - 1 id est ut 1 ad n;
adeoq; G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √n. Quare cum
angulus VCP, in descensu corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in
Ellipsi confectus, sit graduum 180, conficietur angulus VCp, in descensu
corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Orbe propemodum
circulari, quem corpus quodvis vi centripeta dignitati An - 3 proportionali
describit, æqualis angulo graduum 180 ÷ √n; & hoc angulo repetito corpus
redibit ab Apside ima ad Apsidem summam, & sic deinceps in infinitum. Ut
si vis centripeta sit ut distantia corporis a centro, id est ut A seu A4 ÷ A3, erit
n æqualis 4 & √4 æqualis 2; adeoq; angulus inter Apsidem summam &
Apsidem imam æqualis 180 ÷ 2 gr. seu 90 gr. Completa igitur quarta parte
revolutionis unius corpus perveniet ad Apsidem imam, & completa alia
quarta parte ad Apsidem summam, & sic deinceps per vices in infinitum. Id
quod etiam ex Propositione X. manifestum est. Nam corpus urgente hac vi
centripeta revolvetur in Ellipsi immobili, cujus centrum est in centro
virium. Quod si vis centripeta sit reciproce ut distantia, id est directe ut 1 ÷
A seu A2 ÷ A3, erit n = 2, adeoq; inter Apsidem summam & imam angulus
erit graduum 180 ÷ √2 seu 127 gr. 17 min. & propterea corpus tali vi
revolvens, perpetua anguli hujus repetitione, vicibus alternis ab Apside
summa ad imam & ab ima ad summam perveniet in æternum. Porro si vis

centripeta sit reciproce ut Latus quadrato-quadratum undecimæ dignitatis
11 11
Altitudinis, id est reciproce ut A /4, adeoq; directe ut 1 ÷ A /4 seu ut A¼ ÷
A3 erit n æqualis ¼, & 180 ÷ √n gr. æqualis 360 gr. & propterea corpus de
Apside summa discedens & subinde perpetuo descendens, perveniet ad
Apsidem imam ubi complevit revolutionem integram, dein perpetuo
ascensu complendo aliam revolutionem integram, redibit ad Apsidem
summam: & sic per vices in æternum.
Exempl. 3. Assumentes m & n pro quibusvis indicibus dignitatum
Altitudinis, & b, c pro numeris quibusvis datis, ponamus vim centripetam
esse ut {bAm + cAn} ÷ A cub. id est ut {b in T - Xm + c in T - Xn} ÷ A cub.
seu (per eandem Methodum nostram Serierum convergentium) ut

bTm - mbXTm - 1 + {mm - m}÷2 bX2Tm - 2 + cTn - ncXTn - 1 + {nn -
n}÷2 cX2Tn - 2 &c.
A cub.

& collatis numeratorum terminis, fiet RGq. - RFq. + TFq. ad bTm + cTn, ut -
Fq. ad -mbTm - 1 - ncTn - 1 + {mm - m}÷2 XTm - 2 + {nn - n}÷2 XTn - 2 &c. Et
sumendo rationes ultimas quæ prodeunt ubi orbes ad formam circularem
accedunt, fit Gq. ad bTm - 1 + cTn - 1, ut Fq. ad mbTm - 1 + ncTn - 1, &
vicissim Gq. ad Fq. ut bTm - 1 + cTn - 1 ad mbTm - 1 + ncTn - 1. Quæ proportio,
exponendo altitudinem maximam CV seu T Arithmetice per unitatem, fit
Gq. ad Fq. ut b + c ad mb + nc, adeoq; ut 1 ad {mb + nc} ÷ {b + c}. Unde
est G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √{{mb + nc} ÷ {b
+ c}}. Et propterea cum angulus VCP inter Apsidem summam & Apsidem
imam in Ellipsi immobili sit 180 gr. erit angulus VCp inter easdem Apsides,
in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati {bAm + cAn} ÷ A cub.
proportionali describit, æqualis angulo graduum 180 √{{b + c} ÷ {mb +
nc}}. Et eodem argumento si vis centripeta sit ut {bAm - cAn} ÷ A cub.,
angulus inter Apsides invenietur 180 √{{b - c} ÷ {mb - nc}} graduum. Nec
secus resolvetur Problema in casibus difficilioribus. Quantitas cui vis
centripeta proportionalis est, resolvi semper debet in series convergentes
denominatorem habentes A cub. Dein pars data Numeratoris hujus RGq. -
RFq. + TFq. - Fq.X ad partem non datam in eadem ratione ponendæ sunt: Et

quantitates superfluas delendo, scribendoq; unitatem pro T, obtinebitur
proportio G ad F.
Corol. 1. Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas, inveniri
potest dignitas illa ex motu Apsidum; & contra. Nimirum si motus totus
angularis, quo corpus redit ad Apsidem eandem, sit ad motum angularem
revolutionis unius, seu graduum 360, ut numerus aliquis m ad numerum
nn
alium n, & altitudo nominetur A: erit vis ut altitudinis dignitas illa A /mm - 3,
cujus Index est nn/mm - 3. Id quod per Exempla secunda manifestum est.
Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis ratione
decrescere non posse: Corpus tali vi revolvens deq; Apside discedens, si
cæperit descendere, nunquam perveniet ad Apsidem imam seu altitudinem
minimam, sed descendet usq; ad centrum, describens curvam illam lineam
de qua egimus in Corol. 3. Prop. XLI. Sin cæperit illud de Apside discedens
vel minimum ascendere, ascendet in infinitum, neq; unquam perveniet ad
Apsidem summam. Describet enim curvam illam lineam de qua actum est
in eodem Corol. & in Corol. 6. Prop. XLIV. Sic & ubi vis in recessu a
centro decrescit in majori quam triplicata ratione altitudinis, corpus de
Apside discedens, perinde ut cæperit descendere vel ascendere, vel
descendet ad centrum usq; vel ascendet in infinitum. At si vis in recessu a
centro vel decrescat in minori quam triplicata ratione altitudinis, vel crescat
in altitudinis ratione quacunq; Corpus nunquam descendet ad centrum usq;
sed ad Apsidem imam aliquando perveniet: & contra, si corpus de Apside
ad Apsidem alternis vicibus descendens & ascendens nunquam appellat ad
centrum, Vis in recessu a centro aut augebitur, aut in minore quam triplicata
altitudinis ratione decrescet: & quo citius corpus de Apside ad Apsidem
redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut si corpus
revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel 11/2 de Apside summa ad Apsidem summam
alterno descensu & ascensu redierit, hoc est, si fuerit m ad n ut 8 vel 4 vel 2
vel 11/2 ad 1, adeoq; nn/mm - 3 ualeat 1/64 - 3 vel 1/16 - 3 vel 1/4 - 3 vel 4/9 - 3,
1 1 1 4
erit vis ut A /64 - 3 vel A /16 - 3 vel A /4 - 3 vel A /9 - 3, id est reciproce ut A3 -
1/ 1/ 1 4
64 vel A3 -16 vel A3 - /4 vel A3 - /9. Si corpus singulis revolutionibus
nn
redierit ad Apsidem eandem immotam, erit m ad n ut 1 ad 1, adeoq; A /mm -
3 -2 2
æqualis A seu 1 ÷ A , & propterea decrementum virium in ratione
duplicata altitudinis, ut in præcedentibus demonstratum est. Si corpus

partibus revolutionis unius vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una
tertia, vel una quarta, ad Apsidem eandem redierit, erit m ad n ut 3/4 vel 2/3
nn/ 16/ - 3 9
vel 1/3 vel 1/4 ad 1, adeoq; A mm - 3 æqualis A 9 vel A /4 - 3 vel A9 - 3 vel
11 3
A16 - 3 & propterea Vis aut reciproce ut A /9 vel A /4, aut directe ut A6 vel
A13. Deniq; si Corpus pergendo ab Apside summa ad Apsidem summam
confecerit revolutionem integram, & præterea gradus tres, adeoq; Apsis illa
singulis corporis revolutionibus confecerit in Consequentia gradus tres, erit
nn/
m ad n ut 363gr. ad 360gr. adeoq; A mm - 3 erit æquale A-265707÷131769, &
4
propterea Vis centripeta reciproce ut A265707÷131769 seu A2 /243. Decrescit
igitur Vis centripeta in ratione paulo majore quam duplicata, sed quæ
vicibus 603/4 propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit.

Corol. 2. Hinc etiam si corpus, vi centripeta quæ sit reciproce ut quadratum
altitudinis, revolvatur in Ellipsi umbilicum habente in centro virium, & huic
vi centripetæ addatur vel auferatur vis alia quævis extranea; cognosci potest
(per Exempla tertia) motus Apsidum qui ex vi illa extranea orietur: &
contra. Ut si vis qua corpus revolvitur in Ellipsi sit ut 1 ÷ A2, & vis extranea
ablata ut cA, adeoq; vis reliqua ut {A - cA4} ÷ A3; erit (in Exemplis tertiis) A
æqualis 1 & n æqualis 4, adeoq; angulus revolutionis inter Apsides æqualis
angulo graduum 180√{{1 - c} ÷ {1 - 4c}}. Ponatur vim illam extraneam
esse 357,45 vicibus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur in
Ellipsi, id est c esse 100 ÷ 35745, & 180√{{1 - c} ÷ {1 - 4c}} evadet
180√{35645 ÷ 35345} seu 180,7602, id est 180gr. 45m. 37s. Igitur corpus de
Apside summa discedens, motu angulari 180gr. 45m. 37s. perveniet ad
Apsidem imam, & hoc motu duplicato ad Apsidem summam redibit: adeoq;
Apsis summa singulis revolutionibus progrediendo conficiet 1gr. 31m. 14s.
Hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per centrum virium
transeunt. Superest ut motus etiam determinemus in planis excentricis. Nam
Scriptores qui motum gravium tractant, considerare solent ascensus &
descensus ponderum, tam obliquos in planis quibuscunq; datis, quam
perpendiculares: & pari jure motus corporum viribus quibuscunq; centra
petentium, & planis excentricis innitentium hic considerandus venit. Plana
autem supponimus esse politissima & absolute lubrica ne corpora retardent.
Quinimo in his demonstrationibus, vice planorum quibus corpora

incumbunt quasq; tangunt incumbendo, usurpamus plana his parallela, in
quibus centra corporum moventur & orbitas movendo describunt. Et eadem
lege motus corporum in superficiebus curvis peractos subinde
determinamus.

SECT. X.
De Motu Corporum in Superficiebus datis, deq; Funipendulorum Motu
reciproco.

Prop. XLVI. Prob. XXXII.

Posita cujuscunq; generis vi centripeta, datoq; tum virium centro
tum plano quocunq; in quo corpus revolvitur, & concessis
Figurarum curvilinearum quadraturis: requiritur motus corporis
de loco dato data cum velocitate secundum Rectam in Plano illo
datam egressi.

Sit S centrum virium, SC distantia minima centri
hujus a plano dato, P corpus de loco P secundum
rectam PZ egrediens, Q corpus idem in
Trajectoria sua revolvens, & PQR Trajectoria illa
in plano dato descripta, quam invenire oportet.
Jungantur CQ, QS, & si in QS capiatur SV
proportionalis vi centripetæ qua corpus trahitur
versus centrum S, & agatur VT quæ sit parallela
CQ & occurrat SC in T: Vis SV resolvetur (per
Legum Corol. 2.) in vires ST, TV; quarum ST
trahendo corpus secundum lineam plano perpendicularem, nil mutat motum
ejus in hoc plano. Vis autem altera TV, agendo secundum positionem plani,
trahit corpus directe versus punctum C in plano datum, adeoq; facit illud in
hoc plano perinde moveri ac si vis ST tolleretur, & corpus vi sola TV
revolveretur circa centrum C in spatio libero. Data autem vi centripeta TV
qua corpus Q in spatio libero circa centrum datum C revolvitur, datur per
Prop. XLII. tum Trajectoria PQR quam corpus describit, tum locus Q in quo
corpus ad datum quodvis tempus versabitur, tum deniq; velocitas corporis
in loco illo Q; & contra. Q. E. I.

Prop. XLVII. Theor. XV.

Posito quod vis centripeta proportionalis sit distantiæ corporis a
centro; corpora omnia in planis quibuscunq; revolventia
describent Ellipses, & revolutiones temporibus æqualibus
peragent; quæq; moventur in lineis rectis ultro citroq;
discurrendo, singulas eundi & redeundi periodos iisdem
temporibus absolvent.

Nam stantibus quæ in superiore Propositione; vis SV qua corpus Q in plano
quovis PQR revolvens trahitur versus centrum S est ut distantia SQ; atq;
adeo ob proportionales SV & SQ, TV & CQ, vis TV qua corpus trahitur
versus punctum C in Orbis plano datum, est ut distantia CQ. Vires igitur,
quibus corpora in plano PQR versantia trahuntur versus punctum C, sunt
pro ratione distantiarum æquales viribus quibus corpora unaquaq; trahuntur
versus centrum S; & propterea corpora movebuntur iisdem temporibus in
iisdem figuris in plano quovis PQR circa punctum C, atq; in spatiis liberis
circa centrum S, adeoq; (per Corol. 2. Prop. X. & Corol. 2. Prop.
XXXVIII.) temporibus semper æqualibus, vel describent Ellipses in plano
illo circa centrum C, vel periodos movendi ultro citroq; in lineis rectis per
centrum C in plano illo ductis, complebunt. Q. E. D.

Scholium.

His affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficiebus curvis.
Concipe lineas curvas in plano describi, dein circa axes quosvis datos per
centrum virium transeuntes revolvi, & ea revolutione superficies curvas
describere; tum corpora ita moveri ut eorum centra in his superficiebus
perpetuo reperiantur. Si corpora illa oblique ascendendo & descendendo
currant ultro citroq; peragentur eorum motus in planis per axem
transeuntibus, atq; adeo in lineis curvis quarum revolutione curvæ illæ
superficies genitæ sunt. Istis igitur in casibus sufficit motum in his lineis
curvis considerare.

Prop. XLVIII. Theor. XVI.

Si rota globo extrinsecus ad angulos rectos insistat, & more
rotarum revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo
itineris curvilinei, quod punctum quodvis in rotæ perimetro

datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum
versum arcus dimidii qui globum ex eo tempore inter eundem
tetigit, ut summa diametrorum globi & rotæ ad semidiametrum
globi.

Prop. XLIX. Theor. XVII.

Si rota globo concavo ad rectos angulos intrinsecus insistat &
revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris
curvilinei quod punctum quodvis in Rotæ Perimetro datum, ex
quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum
arcus dimidii qui globum toto hoc tempore inter eundum tetigit, ut
differentia diametrorum globi & rotæ ad semidiametrum globi.

Sit ABL globus, C centrum
ejus, BPV rota ei insistens,
E centrum rotæ, B punctum
contactus, & P punctum
datum in perimetro rotæ.
Concipe hanc Rotam
pergere in circulo maximo
ABL ab A per B versus L, &
inter eundum ita revolvi ut
arcus AB, PB sibi invicem
semper æquentur, atq;
punctum illud P in
Perimetro rotæ datum
interea describere viam
curvilineam AP. Sit autem
AP via tota curvilinea descripta ex quo Rota globum tetigit in A, & erit viæ
hujus longitudo AP ad duplum sinum versum arcus ½PB, ut 2CE ad CB.
Nam recta CE (si opus est producta) occurrat Rotæ in V, junganturq; CP,
BP, EP, VP, & in CP productam demittatur Normalis VF. Tangant PH, VH
circulum in P & V concurrentes in H, secetq; PH ipsam VF in G, & ad VP
demittantur Normales GI, HK. Centro item C & intervallo quovis
describatur circulus nom secans rectam CP in n, Rotæ perimetrum Bp in o

& viam curvilineam AP in m, centroq; V & intervallo Vo describatur
circulus secans VP productam in q.
Quoniam Rota eundo semper revolvitur circa punctum contactus B,
manifestum est quod recta BP perpendicularis est ad lineam illam curvam
AP, quam Rotæ punctum P describit, atq; adeo quod recta VP tanget hanc
curvam in puncto P. Circuli nom radius sensim auctus æquetur tandem
distantiæ CP, & ob similitudinem figuræ evanescentis Pnomq & figuræ
PFGVI, ratio ultima lineolarum evanescentium Pm, Pn, Po, Pq, id est ratio
incrementorum momentaneorum curvæ AP, rectæ CP & arcus circularis
BP, ac decrementi rectæ VP, eadem erit quæ linearum PV, PF, PG, PI
respective. Cum autem VF ad CF & VH ad CV perpendiculares sunt,
anguliq; HVG, VCF propterea æquales; & angulus VHP, (ob angulos
quadrilateri HVEP ad V & P rectos,) complet angulum VEP ad duos rectos,
adeoq; angulo CEP æqualis est, similia erunt triangula VHG, CEP; & inde
fiet ut EP ad CE ita HG ad HV seu HP, & ita KI ad KP, & divisim ut CB ad
CE ita PI ad PK, & duplicatis consequentibus ut CB ad 2CE ita PI ad PV.
Est igitur decrementum lineæ VP, id est incrementum lineæ BV - VP, ad
incrementum lineæ curvæ AP in data ratione CB ad 2CE, & propterea (per
Corol. Lem. IV.) longitudines BV - VP & AP incrementis illis genitæ sunt in
eadem ratione. Sed existente BV radio, est VP cosinus anguli VPB seu
½BEP, adeoq; BV - VP sinus versus ejusdem anguli, & propterea in hac
Rota cujus radius est ½BV, erit BV - VP duplus sinus versus arcus ½BP.
Ergo AP est ad duplum sinum versum arcus ½BP ut 2CE ad CB. Q. E. D.
Lineam autem AP in Propositione priore Cycloidem extra Globum, alteram
in posteriore Cycloidem intra Globum distinctionis gratia nominabimus.
Corol. 1. Hinc si describatur Cyclois integra ASL & bisecetur ea in S, erit
longitudo partis PS ad longitudinem VP (quæ duplus est sinus anguli VBP,
existente EB radio) ut 2CE ad CB atq; adeo in ratione data.
Corol. 2. Et longitudo semiperimetri Cycloidis AS æquabitur lineæ rectæ,
quæ est ad Rotæ diametrum BV ut 2CE ad CB.
Corol. 3. Ideoq; longitudo illa est ut rectangulum BEC, si modo Globi detur
semidiameter.

Prop. L. Prob. XXXIII.

Facere ut Corpus pendulum oscilletur in
Cycloide data.

Intra Globum QVS centro C descriptum detur
Cyclois QRS bisecta in R & punctis suis
extremis Q & S superficiei Globi hinc inde
occurrens. Agatur CR bisecans arcum QS in
O, & producatur ea ad A, ut sit CA ad CO ut
CO ad CR. Centro C intervallo CA
describatur Globus exterior ABD, & intra
hunc globum Rota, cujus diameter sit AO,
describantur duæ semicycloides AQ, AS, quæ
globum interiorem tangant in Q & S & globo
exteriori occurrant in A. A puncto illo A, filo APT longitudinem AR
æquante, pendeat corpus T, & ita intra semicycloides AQ, AS oscilletur, ut
quoties pendulum digreditur a perpendiculo AR, filum parte sui superiore
AP applicetur ad semicycloidem illam APS, versus quam peragitur motus,
& circum eam ceu obstaculum flectatur, parteq; reliqua PT cui semicyclois
nondum objicitur, protendatur in lineam rectam; & pondus T oscillabitur in
Cycloide data QRS. Q. E. F.
Occurrat enim filum PT tum Cycloidi QRS in T, tum circulo QOS in V,
agaturq; CV occurrens circulo ABD in B; & ad fili partem rectam PT, e
punctis extremis P ac T, erigantur perpendicula PB, TW, occurrentia rectæ
CV in B & W. Patet enim ex genesi Cycloidis, quod perpendicula illa PB,
TW, abscindent de CV longitudines VB, VW rotarum diametris OA, OR
æquales, atq; adeo quod punctum B incidet in circulum ABD. Est igitur TP
ad VP (duplum sinum anguli VBP existente ½BV radio) ut BW ad BV, seu
AO + OR ad AO, id est (cum sint CA ad CO, CO ad CR & divisim AO ad
OR proportionales,) ut CA + CO seu 2CE ad CA. Proinde per Corol. 1.
Prop. XLIX. longitudo PT æquatur Cycloidis arcui PS, & filum totum APT
æquatur Cycloidis arcui dimidio APS, hoc est (per Corollar. 2. Prop. XLIX)
longitudini AR. Et propterea vicissim si filum manet semper æquale
longitudini AR movebitur punctum T in Cycloide QRS. Q. E. D.
Corol. Filum AR æquatur Cycloidis arcui dimidio APS.

Prop. LI. Theor. XVIII.

Si vis centripeta tendens undiq; ad Globi centrum C sit in locis
singulis ut distantia loci cujusq; a centro, & hac sola vi agente
Corpus T oscilletur (modo jam descripto) in perimetro Cycloidis
QRS: dico quod oscillationum utcunq; inæqualium æqualia erunt
Tempora.

Nam in Cycloidis tangentem TW infinite productam cadat perpendiculum
CX & jungatur CT. Quoniam vis centripeta qua corpus T impellitur versus C
est ut distantia CT, (per Legum Corol. 2.) resolvitur in partes CX, TX,
quarum CX impellendo corpus directe a P distendit filum PT & per cujus
resistentiam tota cessat, nullum alium edens effectum; pars autem altera TX
urgendo corpus transversim seu versus X, directe accelerat motum ejus in
Cycloide; manifestum est quod corporis acceleratio huic vi acceleratrici
proportionalis sit singulis momentis ut longitudo TX, id est, ob datas CV,
WV iisq; proportionales TX, TW, ut longitudo TW, hoc est (per Corol. 1.
Prop. XLIX.) ut longitudo arcus Cycloidis TR. Pendulis igitur duabus APT,
Apt de perpendiculo AR inæqualiter deductis & simul dimissis,
accelerationes eorum semper erunt ut arcus describendi TR, tR. Sunt autem
partes sub initio descriptæ ut accelerationes, hoc est ut totæ sub initio
describendæ, & propterea partes quæ manent describendæ & accelerationes
subsequentes his partibus proportionales sunt etiam ut totæ; & sic deinceps.
Sunt igitur accelerationes atq; adeo velocitates genitæ & partes his
velocitatibus descriptæ partesq; describendæ, semper ut totæ; & propterea
partes describendæ datam servantes rationem ad invicem simul evanescent,
id est corpora duo oscillantia simul pervenient ad perpendiculum AR.
Cumq; vicissim ascensus perpendiculorum de loco infimo R, per eosdem
arcus Trochoidales motu retrogrado facti, retardentur in locis singulis a
viribus iisdem a quibus descensus accelerabantur, patet velocitates
ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum æquales esse, atq;
adeo temporibus æqualibus fieri; & propterea, cum Cycloidis partes duæ RS
& RQ ad utrumq; perpendiculi latus jacentes sint similes & æquales,
pendula duo oscillationes suas tam totas quam dimidias iisdem temporibus
semper peragent. Q. E. D.

Prop. LII. Prob. XXXIV.

Definire & velocitates Pendulorum in locis singulis, & Tempora
quibus tum oscillationes totæ, tum singulæ oscillationum partes
peraguntur.

Centro quovis G, intervallo GH Cycloidis arcum RS
æquante, describe semicirculum HKMG semidiametro
GK bisectum. Et si vis centripeta distantiis locorum a
centro proportionalis tendat ad centrum G, sitq; ea in
perimetro HIK æqualis vi centripetæ in perimetro globi
QOS (Vide Fig. Prop. L. & LI.) ad ipsius centrum
tendente; & eodem tempore quo pendulum T dimittitur e loco supremo S,
cadat corpus aliquod L ab H ad G: quoniam vires quibus corpora urgentur
sunt æquales sub initio & spatiis describendis TR, GL semper
proportionales, atq; adeo, si æquantur TR & LG, æquales in locis T & L;
patet corpora illa describere spatia ST, HL æqualia sub initio, adeoq;
subinde pergere æqualiter urgeri, & æqualia spatia describere. Quare, per
Prop. XXXVIII., tempus quo corpus describit arcum ST est ad tempus
oscillationis unius, ut arcus HI (tempus quo corpus H perveniet ad L) ad
semicirculum HKM (tempus quo corpus H perveniet ad M.) Et velocitas
corporis penduli in loco T est ad velocitatem ipsius in loco infimo R, (hoc
est velocitas corporis H in loco L ad velocitatem ejus in loco G, seu
incrementum momentaneum lineæ HL ad incrementum momentaneum
lineæ HG, arcubus HI, HK æquabili fluxu crescentibus) ut ordinatim
applicata LI ad radium GK, sive ut √SRq. - TRq. ad SR. Unde cum in
Oscillationibus inæqualibus describantur æqualibus temporibus arcus totis
Oscillationum arcubus proportionales, habentur ex datis temporibus &
velocitates & arcus descripti in Oscillationibus universis. Quæ erant primo
invenienda.
Oscillentur jam funipendula duo corpora
in Cycloidibus inæqualibus & earum
semiarcubus æquales capiantur rectæ
GH, gh, centrisq; G, g & intervallis GH,
gh describantur semicirculi HZKM,
hzkm. In eorum diametris HM, hm
capiantur lineolæ æquales HY, hy, & erigantur normaliter YZ, yz
circumferentiis occurrentes in Z & z. Quoniam corpora pendula sub initio
motus versantur in circumferentia globi QOS, adeoq; a viribus æqualibus

urgentur in centrum, incipiuntq; directe versus centrum moveri, spatia simul
consecta æqualia erunt sub initio. Urgeantur igitur corpora H, h a viribus
iisdem in H & h, sintq; HY, hy spatia æqualia ipso motus initio descripta, &
arcus HZ, hz denotabunt æqualia tempora. Horum arcuum nascentium ratio
prima duplicata est eadem quæ rectangulorum GHY, ghy, id est, eadem quæ
linearum GH, gh adeoq; arcus capti in dimidiata ratione semidiametrorum
denotant æqualia tempora. Est ergo tempus totum in circulo HKM,
Oscillationi in una Cycloide respondens, ad tempus totum in circulo hkm
Oscillationi in altera Cycloide respondens, ut semiperiferia HKM ad
medium proportionale inter hanc semiperiferiam & semiperiferiam circuli
alterius hkm, id est in dimidiata ratione diametri HM ad diametrum hm, hoc
est in dimidiata ratione perimetri Cycloidis primæ ad perimetrum Cycloidis
alterius, adeoq; tempus illud in Cycloide quavis est (per Corol. 3. Prop.
XLIX.) ut latus quadratum rectanguli BEC contenti sub semidiametro Rotæ,
qua Cyclois descripta fuit, & differentia inter semidiametrum illam &
semidiametrum globi. Q. E. I. Est & idem tempus (per Corol. Prop. L.) in
dimidiata ratione longitudinis fili AR. Q. E. I.
Porro si in globis concentricis describantur similes Cycloides: quoniam
earum perimetri sunt ut semidiametri globorum & vires in analogis
perimetrorum locis sunt ut distantiæ locorum a communi globorum centro,
hoc est ut globorum semidiametri, atq; adeo ut Cycloidum perimetri &
perimetrorum partes similes, æqualia erunt tempora quibus perimetrorum
partes similes Oscillationibus similibus describuntur, & propterea
Oscillationes omnes erunt Isochronæ. Cum igitur Oscillationum tempora in
Globo dato sint in dimidiata ratione longitudinis AR, atq; adeo (ob datam
AC) in dimidiata ratione numeri AR ÷ AC, id est in ratione integra numeri
√{AR ÷ AC}; & hic numerus √{AR ÷ AC} servata ratione AR ad AC (ut fit
in Cycloidibus similibus) idem semper maneat, & propterea in globis
diversis, ubi Cycloides sunt similes, sit ut tempus: manifestum est quod
Oscillationum tempora in alio quovis globo dato, atq; adeo in globis
omnibus concentricis sunt ut numerus √{AR ÷ AC}, id est, in ratione
composita ex dimidiata ratione longitudinis fili AR directe & dimidiata
ratione semidiametri globi AC inverse. Q. E. I.
Deniq; si vires absolutæ diversorum globorum ponantur inæquales,
accelerationes temporibus æqualibus factæ, erunt ut vires. Unde si tempora
capiantur in dimidiata ratione virium inverse, velocitates erunt in eadem

dimidiata ratione directe, & propterea spatia erunt æqualia quæ his
temporibus describuntur. Ergo Oscillationes in globis & Cycloidibus
omnibus, quibuscunq; cum viribus absolutis factæ, sunt in ratione quæ
componitur ex dimidiata ratione longitudinis Penduli directe, & dimidiata
ratione distantiæ inter centrum Penduli & centrum globi inverse, &
dimidiata ratione vis absolutæ etiam inverse, id est, si vis illa dicatur V, in
ratione numeri √{AR ÷ {AC × V}}. Q. E. I.
Corol. 1. Hinc etiam Oscillantium, cadentium & revolventium corporum
tempora possunt inter se conferri. Nam si Rotæ, qua Cyclois intra globum
describitur, diameter constituatur æqualis semidiametro globi, Cyclois
evadet linea recta per centrum globi transiens, & Oscillatio jam erit
descensus & subsequens ascensus in hac recta. Unde datur tum tempus
descensus de loco quovis ad centrum, tum tempus huic æquale quo corpus
uniformiter circa centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum
quadrantalem describit. Est enim hoc tempus (per Casum secundum) ad
tempus semioscillationis in Trochoide quavis APS ut ½BC ad √BEC.
Corol. 2. Hinc etiam consectantur quæ D. C. Wrennus & D. C. Hugenius de
Cycloide vulgari adinvenerunt. Nam si globi diameter augeatur in infinitum,
mutabitur ejus superficies Sphærica in planum, visq; centripeta aget
uniformiter secundum lineas huic plano perpendiculares, & Cyclois nostra
abibit in Cycloidem vulgi. Isto autem in casu, longitudo arcus Cycloidis,
inter planum illud & punctum describens, æqualis evadet quadruplicato
sinui verso dimidii arcus Rotæ inter idem planum & punctum describens; ut
invenit D. C. Wrennus: Et pendulum inter duas ejusmodi Cycloides in simili
& æquali Cycloide temporibus æqualibus Oscillabitur, ut demonstravit
Hugenius. Sed & descensus gravium, tempore Oscillationis unius, is erit
quem Hugenius indicavit.
Aptantur autem Propositiones a nobis demonstratæ ad veram
constitutionem Terræ, quatenus Rotæ eundo in ejus circulis maximis
describunt motu clavorum Cycloides extra globum; & Pendula inferius in
fodinis & cavernis Terra suspensa, in Cycloidibus intra globos Oscillari
debent, ut Oscillationes omnes evadant Isochronæ. Nam Gravitas (ut in
Libro tertio docebitur) decrescit in progressu a superficie Terræ, sursum
quidem in duplicata ratione distantiarum a centro ejus, deorsum vero in
ratione simplici.

Prop. LIII. Prob. XXXV.

Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, invenire vires
quibus corpora in datis curvis lineis Oscillationes semper
Isochronas peragent.

Oscilletur corpus T in curva quavis linea
STRQ, cujus axis sit OR transiens per virium
centrum C. Agatur TX quæ curvam illam in
corporis loco quovis T contingat, inq; hac
Tangente TX capiatur TY æqualis arcui TR.
Nam longitudo arcus illius ex figurarum
Quadraturis per Methodos vulgares
innotescit. De puncto Y educatur recta YZ
Tangenti perpendicularis. Agatur CT
perpendiculari illi occurrens in Z, & erit vis
centripeta proportionalis rectæ TZ. Q. E. I.
Nam si vis, qua corpus trahitur de T versus C,
exponatur per rectam TZ captam ipsi proportionalem, resolvetur hæc in
vires TY, YZ; quarum YZ trahendo corpus secundum longitudinem fili PT,
motum ejus nil mutat, vis autem altera TY motum ejus in curva STRQ
directe accelerat vel directe retardat. Proinde cum hæc sit ut via describenda
TR, accelerationes corporis vel retardationes in Oscillationum duarum
(majoris & minoris) partibus proportionalibus describendis, erunt semper ut
partes illæ, & propterea facient ut partes illæ simul describantur. Corpora
autem quæ partes totis semper proportionales simul describunt, simul
describent totas. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si corpus T filo rectilineo AT a centro A pendens, describat
arcum circularem STRQ, & interea urgeatur secundum lineas parallelas
deorsum a vi aliqua, quæ sit ad vim uniformem gravitatis, ut arcus TR ad
ejus sinum TN: æqualia erunt Oscillationum singularum tempora. Etenim
ob parallelas TZ, AR, similia erunt triangula ANT, TYZ; & propterea TZ erit
ad AT ut TY ad TN; hoc est, si gravitatis vis uniformis exponatur per
longitudinem datam AT, vis TZ, qua Oscillationes evadent Isochronæ, erit
ad vim gravitatis AT, ut arcus TR ipsi TY æqualis ad arcus illius sinum TN.

Corol. 2. Igitur in Horologiis, si vires a Machina in Pendulum ad motum
conservandum impressæ ita cum vi gravitatis componi possint, ut vis tota
deorsum semper sit ut linea quæ oritur applicando rectangulum sub arcu TR
& radio AR, ad sinum TN, Oscillationes omnes erunt Isochronæ.

Prop. LIV. Prob. XXXVI.

Concessis figurarum curvilinearum quadraturis, invenire tempora
quibus corpora vi qualibet centripeta in lineis quibuscunq; curvis
in plano per centrum virium transeunte descriptis, descendent &
ascendent.

Descendat enim corpus de loco quovis S per lineam
quamvis curvam STtR in plano per virium centrum C
transeunte datam. Jungatur CS & dividatur eadem in
partes innumeras æquales, sitq; Dd partium illarum aliqua.
Centro C, intervallis CD, Cd describantur circuli DT, dt,
Lineæ curvæ STtR occurrentes in T & t. Et ex data tum
lege vis centripetæ, tum altitudine CS de qua corpus
cecidit; dabitur velocitas corporis in alia quavis altitudine
CT, per Prop. XXXIX. Tempus autem, quo corpus
describit lineolam Tt, est ut lineolæ hujus longitudo (id est
ut secans anguli tTC) directe, & velocitas inverse. Tempori huic
proportionalis sit ordinatim applicata DN ad rectam CS per punctum D
perpendicularis, & ob datam Dd erit rectangulum Dd × DN, hoc est area
DNnd, eidem tempori proportionale. Ergo si SNn sit curva illa linea quam
punctum N perpetuo tangit, erit area SNDS proportionalis tempori quo
corpus descendendo descripsit lineam ST; proindeq; ex inventa illa area
dabitur tempus. Q. E. I.

Prop. LV. Theor. XIX.

Si corpus movetur in superficie quacunq; curva, cujus axis per
centrum virium transit, & a corpore in axem demittatur
perpendicularis, eiq; parallela & æqualis ab axis puncto quovis
ducatur: dico quod parallela illa aream tempori proportionalem
describet.

Sit BSKL superficies curva, T corpus in ea
revolvens, STtR Trajectoria quam corpus in eadem
describit, S initium Trajectoriæ, OMNK axis
superficiei curvæ, TN recta a corpore in axem
perpendicularis, OP huic parallela & æqualis a
puncto O quod in axe datur educta, AP vestigium
Trajectoriæ a puncto P in lineæ volubilis OP plano
AOP descriptum, A vestigii initium puncto S
respondens, TC recta a corpore ad centrum ducta;
TG pars ejus vi centripetæ qua corpus urgetur in
centrum C proportionalis; TM recta ad superficiem
curvam perpendicularis; TI pars ejus vi pressionis
qua corpus urget superficiem, vicissimq; urgetur versus M a superficie,
proportionalis; PHTF recta axi parallela per corpus transiens, & GF, IH
rectæ a punctis G & I in parallelam illam PHTF perpendiculariter demissæ.
Dico jam quod area AOP, radio OP ab initio motus descripta, sit tempori
proportionalis. Nam vis TG (per Legum Corol. 2.) resolvitur in vires TF,
FG; & vis TI in vires TH, HI: Vires autem TF, TH agendo secundum lineam
PF plano AOP perpendicularem mutant solummodo motum corporis
quatenus huic plano perpendicularem. Ideoq; motus ejus quatenus
secundum positionem plani factus, hoc est motus puncti P, quo Trajectoriæ
vestigium AP in hoc plano describitur, idem est ac si vires TF, TH
tollerentur, & corpus solis viribus FG, HI agitaretur, hoc est idem ac si
corpus in plano AOP vi centripeta ad centrum O tendente & summam
virium FG & HI æquante, describeret curvam AP. Sed vi tali describetur
area AOP (per Prop. I.) tempori proportionalis. Q. E. D.
Corol. Eodem argumento si corpus a viribus agitatum ad centra duo vel
plura in eadem quavis recta CO data tendentibus, describeret in spatio
libero lineam quamcunq; curvam ST, foret area AOP tempori semper
proportionalis.

Prop. LVI. Prob. XXXVII.

Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, datisq; tum lege
vis centripetæ ad centrum datum tendentis, tum superficie curva
cujus axis per centrum illud transit; invenienda est Trajectoria

quam corpus in eadem superficie describet, de loco dato, data
cum velocitate versus plagam in superficie illa datam egressum.

Stantibus quæ in superiore Propositione constructa sunt, exeat corpus de
loco S in Trajectoriam inveniendam STtR & ex data ejus velocitate in
altitudine SC dabitur ejus velocitas in alia quavis altitudine TC. Ea cum
velocitate, dato tempore quam minimo, describat corpus Trajectoriæ suæ
particulam Tt, sitq; Pp vestigium ejus plano AOP descriptum. Jungatur Op,
& circelli centro T intervallo Tt in superficie curva descripti sit PpQ
vestigium Ellipticum in eodem plano OAPp descriptum. Et ob datum
magnitudine & positione circellum, dabitur Ellipsis illa PpQ. Cumq; area
POp sit tempori proportionalis, atq; adeo ex dato tempore detur, dabitur Op
positione, & inde dabitur communis ejus & Ellipseos intersectio p, una cum
angulo OPp, in quo Trajectoriæ vestigium APp secat lineam OP. Inde
autem invenietur Trajectoriæ vestigium illud APp, eadem methodo qua
curva linea VIKk in Propositione XLI. ex similibus datis inventa fuit. Tum
ex singulis vestigii punctis P erigendo ad planum AOP perpendicula PT
superficiei curvæ occurrentia in T, dabuntur singula Trajectoriæ puncta T.
Q. E. I.

SECT. XI.
De Motu Corporum Sphæricorum viribus centripetis se mutuo petentium.
Hactenus exposui motus corporum attractorum ad centrum immobile, quale
tamen vix extat in rerum natura. Attractiones enim fieri solent ad corpora; &
corporum trahentium & attractorum actiones semper mutuæ sunt &
æquales, per Legem tertiam: adeo ut neq; attrahens possit quiescere neq;
attractum, si duo sint corpora, sed ambo (per Legum Corollarium quartum)
quasi attractione mutua, circum gravitatis centrum commune revolvantur: &
si plura sint corpora (quæ vel ab unico attrahantur vel omnia se mutuo
attrahant) hæc ita inter se moveri debeant, ut gravitatis centrum commune
vel quiescat vel uniformiter moveatur in directum. Qua de causa jam pergo
motum exponere corporum se mutuo trahentium, considerando vires
centripetas tanquam Attractiones, quamvis fortasse, si physice loquamur,
verius dicantur Impulsus. In Mathematicis enim jam versamur, & propterea
missis disputationibus Physicis, familiari utimur sermone, quo possimus a
Lectoribus Mathematicis facilius intelligi.

Prop. LVII. Theor. XX.

Corpora duo se invicem trahentia describunt, & circum commune
centrum gravitatis, & circum se mutuo, figuras similes.

Sunt enim distantiæ a communi gravitatis centro reciproce proportionales
corporibus, atq; adeo in data ratione ad invicem, & componendo, in data
ratione ad distantiam totam inter corpora. Feruntur autem hæ distantiæ
circum terminos suos communi motu angulari, propterea quod in directum
semper jacentes non mutant inclinationem ad se mutuo. Lineæ autem rectæ,
quæ sunt in data ratione ad invicem, & æquali motu angulari circum
terminos suos feruntur, figuras circum eosdem terminos (in planis quæ una
cum his terminis vel quiescunt vel motu quovis non angulari moventur)
describunt omnino similes. Proinde similes sunt figuræ quæ his distantiis
circumactis describuntur. Q. E. D.

Prop. LVIII. Theor. XXI.

Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahunt, & interea
revolvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod figuris,
quas corpora sic mota describunt circum se mutuo, potest figura
similis & æqualis, circum corpus alterutrum immotum, viribus
iisdem describi.

Revolvantur corpora S, P circa commune gravitatis centrum C, pergendo de
S ad T deq; P ad Q. A dato puncto s ipsis SP, TQ æquales & parallelæ
ducantur semper sp, sq; & curva pqv quam punctum p, revolvendo circum
punctum immotum s, describit, erit similis & æqualis curvis quas corpora S,
P describunt circum se mutuo: proindeq; (per Theor. XX.) similis curvis ST
& PQV, quas eadem corpora describunt circum commune gravitatis
centrum C: id adeo quia proportiones linearum SC, CP & SP vel sp ad
invicem dantur.
Cas. 1. Commune illud gravitatis centrum
C, per Legum Corollarium quartum, vel
quiescit vel movetur uniformiter in
directum. Ponamus primo quod id
quiescit, inq; s & p locentur corpora duo,
immobile in s, mobile in p, corporibus S &
P similia & æqualia. Dein tangant rectæ PR & pr Curvas PQ & pq in P & p,
& producantur CQ & sq ad R & r. Et ob similitudinem figurarum CPRQ,
sprq, erit RQ ad rq ut CP ad sp, adeoq; in data ratione. Proinde si vis qua
Corpus P versus Corpus S, atq; adeo versus centrum intermedium C
attrahitur, esset ad vim qua corpus p versus centrum s attrahitur in eadem
illa ratione data, hæ vires æqualibus temporibus attraherent semper corpora
de tangentibus PR, pr ad arcus PQ, pq, per intervalla ipsis proportionalia
RQ, rq; adeoq; vis posterior efficeret ut corpus p gyraretur in curva pqv,
quæ similis esset curvæ PQV, in qua vis prior efficit ut corpus P gyretur, &
revolutiones iisdem temporibus complerentur. At quoniam vires illæ non
sunt ad invicem in ratione CP ad sp, sed (ob similitudinem & æqualitatem
corporum S & s, P & p, & æqualitatem distantiarum SP, sp) sibi mutuo
æquales, corpora æqualibus temporibus æqualiter trahentur de Tangentibus;
& propterea ut corpus posterius p trahatur per intervallum majus rq,

requiritur tempus majus, idq; in dimidiata ratione intervallorum; propterea
quod, per Lemma decimum, spatia ipso motus initio descripta sunt in
duplicata ratione temporum. Ponatur igitur velocitas corporis p esse ad
velocitatem corporis P in dimidiata ratione distantiæ sp ad distantiam CP,
eo ut temporibus quæ sint in eadem dimidiata ratione describantur arcus
PQ, pq, qui sunt in ratione integra: Et corpora P, p viribus æqualibus
semper attracta describent circum centra quiescentia C & s figuras similes
PQV, pqv, quarum posterior pqv similis est & æqualis figuræ quam corpus
P circum corpus mobile S describit. Q. E. D.
Cas. 2. Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, una cum spatio in
quo corpora moventur inter se, progreditur uniformiter in directum; &, per
Legum Corollarium sextum, motus omnes in hoc spatio peragentur ut prius,
adeoq; corpora describent circum se mutuo figuras easdem ac prius, &
propterea figuræ pqv similes & æquales. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc corpora duo viribus distantiæ suæ proportionalibus se mutuo
trahentia, describunt (per Prop. X.) & circum commune gravitatis centrum,
& circum se mutuo, Ellipses concentricas: & vice versa, si tales figuræ
describuntur, sunt vires distantiæ proportionales.
Corol. 2. Et corpora duo viribus quadrato distantiæ suæ reciproce
proportionalibus describunt (per Prop. XI, XII, XIII.) & circum commune
gravitatis centrum, & circum se mutuo sectiones conicas umbilicos
habentes in centro circum quod figuræ describuntur. Et vice versa, si tales
figuræ describuntur, vires centripetæ sunt quadrato distantiæ reciproce
proportionales.
Corol. 3. Corpora duo quævis circum gravitatis centrum commune gyrantia,
radiis & ad centrum illud & ad se mutuo ductis, describunt areas temporibus
proportionales.

Prop. LIX. Theor. XXII.

Corporum duorum S & P circa commune gravitatis centrum C
revolventium tempus periodicum esse ad tempus periodicum
corporis alterutrius P, circa alterum immotum S gyrantis &
figuris quæ corpora circum se mutuo describunt figuram similem

& æqualem describentis, in dimidiata ratione corporis alterius S,
ad summam corporum S + P.

Namq; ex demonstratione superioris Propositionis, tempora quibus arcus
quivis similes PQ & pq describuntur, sunt in dimidiata ratione distantiarum
CP & SP vel sp, hoc est, in dimidiata ratione corporis S ad summam
corporum S + P. Et componendo, summæ temporum quibus arcus omnes
similes PQ & pq describuntur, hoc est tempora tota quibus figuræ totæ
similes describuntur, sunt in eadem dimidiata ratione. Q. E. D.

Prop. LX. Theor. XXIII.

Si corpora duo S & P, viribus quadrato distantiæ suæ reciproce
proportionalibus se mutuo trahentia, revolvuntur circa gravitatis
centrum commune: dico quod Ellipseos, quam corpus alterutrum
P hoc motu circa alterum S describit, Axis transversus erit ad
axem transversum Ellipseos, quam corpus idem P circa alterum
quiescens S eodem tempore periodico describere posset, ut
summa corporum duorum S + P ad primam duarum medie
proportionalium inter hanc summam & corpus illud alterum S.

Nam si descriptæ Ellipses essent sibi invicem æquales, tempora periodica,
per Theorema superius, forent in dimidiata ratione corporis S ad summam
corporum S + P. Minuatur in hac ratione tempus periodicum in Ellipsi
posteriore, & tempora periodica evadent æqualia, Ellipseos autem axis
transversus per Theorema VII. minuetur in ratione cujus hæc est
sesquiplicata, id est in ratione, cujus ratio S ad S + P est triplicata; adeoq; ad
axem transversum Ellipseos alterius, ut prima duarum medie
proportionalium inter S + P & S ad S + P. Et inverse, axis transversus
Ellipseos circa corpus mobile descriptæ erit ad axem transversum descriptæ
circa immobile, ut S + P ad primam duarum medie proportionalium inter S
+ P & S. Q. E. D.

Prop. LXI. Theor. XXIV.

Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahentia, neq; alias
agitata vel impedita, quomodocunq; moveantur; motus eorum

perinde se habebunt ac si non traherent se mutuo, sed utrumq; a
corpore tertio in communi gravitatis centro constituto viribus
iisdem traheretur: Et Virium trahentium eadem erit Lex respectu
distantiæ corporum a centro illo communi atq; respectu distantiæ
totius inter corpora.

Nam vires illæ, quibus corpora se mutuo trahunt, tendendo ad corpora,
tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium, adeoq; eædem sunt
ac si a corpore intermedio manarent. Q. E. D.
Et quoniam data est ratio distantiæ corporis utriusvis a centro illo communi
ad distantiam corporis ejusdem a corpore altero, dabitur ratio cujusvis
potestatis distantiæ unius ad eandem potestatem distantiæ alterius; ut &
ratio quantitatis cujusvis, quæ ex una distantia & quantitatibus datis utcunq;
derivatur, ad quantitatem aliam, quæ ex altera distantia & quantitatibus
totidem datis datamq; illam distantiarum rationem ad priores habentibus
similiter derivatur. Proinde si vis, qua corpus unum ab altero trahitur, sit
directe vel inverse ut distantia corporum ab invicem; vel ut quælibet hujus
distantiæ potestas; vel deniq; ut quantitas quævis ex hac distantia &
quantitatibus datis quomodocunq; derivata: erit eadem vis, qua corpus idem
ad commune gravitatis centrum trahitur, directe itidem vel inverse ut
corporis attracti distantia a centro illo communi, vel ut eadem distantiæ
hujus potestas, vel deniq; ut quantitas ex hac distantia & analogis
quantitatibus datis similiter derivata. Hoc est Vis trahentis eadem erit Lex
respectu distantiæ utriusq;. Q. E. D.

Prop. LXII. Prob. XXXVIII.

Corporum duorum quæ viribus quadrato distantiæ suæ reciproce
proportionalibus se mutuo trahunt, ac de locis datis demittuntur,
determinare motus.

Corpora, per Theorema novissimum, perinde movebuntur, ac si a corpore
tertio in communi gravitatis centro constituto traherentur; & centrum illud
ipso motus initio quiescet (per Hypothesin) & propterea (per Legum Corol.
4.) semper quiescet. Determinandi sunt igitur motus Corporum (per Probl.
XXV.) perinde ac si a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur, &
habebuntur motus corporum se mutuo trahentium. Q. E. I.

Prop. LXIII. Prob. XXXIX.

Corporum duorum quæ viribus quadrato distantiæ suæ reciproce
proportionalibus se mutuo trahunt, deq; locis datis, secundum
datas rectas, datis cum velocitatibus exeunt, determinare motus.

Ex datis corporum motibus sub initio, datur uniformis motus centri
communis gravitatis, ut & motus spatii quod una cum hoc centro movetur
uniformiter in directum, nec non corporum motus initiales respectu hujus
spatii. Motus autem subsequentes (per Legum Corollarium quintum &
Theorema novissimum) perinde fiunt in hoc spatio, ac si spatium ipsum una
cum communi illo gravitatis centro quiesceret, & corpora non traherent se
mutuo, sed a corpore tertio sito in centro illo traherentur. Corporis igitur
alterutrius in hoc spatio mobili de loco dato, secundum datam rectam, data
cum velocitate exeuntis, & vi centripeta ad centrum illud tendente correpti,
determinandus est motus per Problema nonum & vicesimum sextum: &
habebitur simul motus corporis alterius e regione. Cum hoc motu
componendus est uniformis ille Systematis spatii & corporum in eo
gyrantium motus progressivus supra inventus, & habebitur motus absolutus
corporum in spatio immobili. Q. E. I.

Prop. LXIV. Prob. XL.

Viribus quibus Corpora se mutuo trahunt crescentibus in simplici
ratione distantiarum a centris: requiruntur motus plurium
Corporum inter se.

Ponantur imprimis corpora duo T & L commune habentia gravitatis centrum
D. Describent hæc per Corollarium primum Theorematis XXI. Ellipses
centra habentes in D, quarum magnitudo ex Problemate V. innotescit.
Trahat jam corpus tertium S priora duo T & L viribus
acceleratricibus ST, SL, & ab ipsis vicissim trahatur.
Vis ST per Legum Corol. 2. resolvitur in vires SD,
DT; & vis SL in vires SD, DL. Vires autem DT, DL,
quæ sunt ut ipsarum summa TL, atq; adeo ut vires
acceleratrices quibus corpora T & L se mutuo

trahunt, additæ his viribus corporum T & L, prior priori & posterior
posteriori, componunt vires distantiis DT ac DL proportionales, ut prius, sed
viribus prioribus majores; adeoq; (per Corol. 1. Prop. X. & Corol. 1 & 7.
Prop. IV.) efficiunt ut corpora illa describant Ellipses ut prius, sed motu
celeriore. Vires reliquæ acceleratrices SD & SD, actionibus motricibus SD ×
T & SD × L, quæ sunt ut corpora, trahendo corpora illa æqualiter &
secundum lineas TI, LK, ipsi DS parallelas, nil mutant situs earum ad
invicem, sed faciunt ipsa æqualiter accedere ad lineam IK; quam ductam
concipe per medium corporis S, & lineæ DS perpendicularem. Impedietur
autem iste ad lineam IK accessus faciendo ut Systema corporum T & L ex
una parte, & corpus S ex altera, justis cum velocitatibus, gyrentur circa
commune gravitatis centrum C. Tali motu corpus S (eo quod summa virium
motricium SD × T & SD × L, distantiæ CS proportionalium, trahitur versus
centrum C) describit Ellipsin circa idem C; & punctum D ob proportionales
CS, CD describet Ellipsin consimilem, e regione. Corpora autem T & L
viribus motricibus SD × T & SD × L, (prius priore, posterius posteriore)
æqualiter & secundum lineas parallelas TI & LK (ut dictum est) attracta,
pergent (per Legum Corollarium quintum & sextum) circa centrum mobile
D Ellipses suas describere, ut prius. Q. E. I.
Addatur jam corpus quartum V, & simili argumento concludetur hoc &
punctum C Ellipses circa omnium commune centrum gravitatis B
describere; manentibus motibus priorum corporum T, L & S circa centra D
& C, sed paulo acceleratis. Et eadem methodo corpora plura adjungere
licebit. Q. E. I.
Hæc ita se habent ubi corpora T & L trahunt se mutuo viribus
acceleratricibus majoribus vel minoribus quam trahunt corpora reliqua pro
ratione distantiarum. Sunto mutuæ omnium attractiones acceleratrices ad
invicem ut distantiæ ductæ in corpora trahentia, & ex præcedentibus facile
deducetur quod corpora omnia æqualibus temporibus periodicis Ellipses
varias, circa omnium commune gravitatis centrum B, in plano immobili
describunt. Q. E. I.

Prop. LXV. Theor. XXV.

Corpora plura quorum vires decrescunt in duplicata ratione
distantiarum ab eorundem centris, moveri posse inter se in

Ellipsibus, & radiis ad umbilicos ductis Areas describere
temporibus proportionales quam proxime.

In Propositione superiore demonstratus est casus ubi motus plures
peraguntur in Ellipsibus accurate. Quo magis recedit lex virium a lege ibi
posita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus, neq; fieri potest ut
corpora secundum legem hic positam se mutuo trahentia moveantur in
Ellipsibus accurate, nisi servando certam proportionem distantiarum ab
invicem. In sequentibus autem casibus non multum ab Ellipsibus errabitur.
Cas. 1. Pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad varias ab eo
distantias revolvi, tendantq; ad singula vires absolutæ proportionales iisdem
corporibus. Et quoniam omnium commune gravitatis centrum (per Legum
Corol. quartum.) vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum,
fingamus corpora minora tam parva esse, ut corpus maximum nunquam
distet sensibiliter ab hoc centro: & maximum illud vel quiescet vel
movebitur uniformiter in directum, absq; errore sensibili; minora autem
revolventur circa hoc maximum in Ellipsibus, atq; radiis ad idem ductis
describent areas temporibus proportionales; nisi quatenus errores
inducuntur, vel per errorem maximi a communi illo gravitatis centro, vel per
actiones minorum corporum in se mutuo. Diminui autem possunt corpora
minora usq; donec error iste & actiones mutuæ sint datis quibusvis minores,
atq; adeo donec orbes cum Ellipsibus quadrent, & areæ respondeant
temporibus, absq; errore qui non sit minor quovis dato. Q. E. O.
Cas. 2. Fingamus jam Systema corporum minorum modo jam descripto
circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum circum se mutuo
revolventium corporum Systema progredi uniformiter in directum, &
interea vi corporis alterius longe maximi & ad magnam distantiam siti
urgeri ad latus. Et quoniam æquales vires acceleratrices, quibus corpora
secundum lineas parallelas urgentur, non mutant situs corporum ad invicem,
sed ut Systema totum, servatis partium motibus inter se, simul transferatur
efficiunt: manifestum est quod ex attractionibus in corpus maximum, nulla
prorsus orietur mutatio motus attractorum inter se, nisi vel ex attractionum
acceleratricum inæqualitate, vel ex inclinatione linearum ad invicem,
secundum quas attractiones fiunt. Pone ergo attractiones omnes
acceleratrices in corpus maximum esse inter se reciproce ut quadrata
distantiarum, & augendo corporis maximi distantiam, donec rectarum ab

hoc ad reliqua ductarum minores sint differentiæ & inclinationes ad invicem
quam datæ quævis, perseverabunt motus partium Systematis inter se absq;
erroribus qui non sint quibusvis datis minores. Et quoniam, ob exiguam
partium illarum ab invicem distantiam, Systema totum ad modum corporis
unius attrahitur, movebitur idem hac attractione ad modum corporis unius;
hoc est, centro suo gravitatis describet circa corpus maximum, Sectionem
aliquam Conicam (viz. Hyperbolam vel Parabolam attractione languida,
Ellipsim fortiore,) & Radio ad maximum ducto, verret areas temporibus
proportionales, absq; ullis erroribus, nisi quas partium distantiæ (perexiguæ
sane & pro lubitu minuendæ) valeant efficere. Q. E. O.
Simili argumento pergere licet ad casus magis compositos in infinitum.
Corol. 1. In casu secundo; quo propius accedit corpus omnium maximum
ad Systema duorum vel plurium, eo magis turbabuntur motus partium
Systematis inter se, propterea quod linearum a corpore maximo ad has
ductarum jam major est inclinatio ad invicem, majorq; proportionis
inæqualitas.
Corol. 2. Maxime autem turbabuntur, ponendo quod attractiones
acceleratrices partium Systematis versus corpus omnium maximum, non
sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum a corpore illo maximo;
præsertim si proportionis hujus inæqualitas major sit quam inæqualitas
proportionis distantiarum a corpore maximo: Nam si vis acceleratrix,
æqualiter & secundum lineas parallelas agendo, nil perturbat motus inter se,
necesse est ut ex actionis inæqualitate perturbatio oriatur, majorq; sit vel
minor pro majore vel minore inæqualitate. Excessus impulsuum majorum
agendo in aliqua corpora & non agendo in alia, necessario mutabunt situm
eorum inter se. Et hæc perturbatio addita perturbationi, quæ ex linearum
inclinatione & inæqualitate oritur, majorem reddet perturbationem totam.
Corol. 3. Unde si Systematis hujus partes in Ellipsibus vel Circulis sine
perturbatione insigni moveantur, manifestum est, quod eædem a viribus
acceleratricibus ad alia corpora tendentibus, aut non urgentur nisi levissime,
aut urgentur æqualiter & secundum lineas parallelas quamproxime.

Prop. LXVI. Theor. XXVI.

Si corpora tria, quorum vires decrescunt in duplicata ratione
distantiarum, se mutuo trahant, & attractiones acceleratrices
binorum quorumcunq; in tertium sint inter se reciproce ut
quadrata distantiarum; minora autem circa maximum in plano
communi revolvantur: Dico quod interius circa intimum &
maximum, radiis ad ipsum ductis, describet areas temporibus
magis proportionales, & figuram ad formam Ellipseos umbilicum
in concursu radiorum habentis magis accedentem, si corpus
maximum his attractionibus agitetur, quam si maximum illud vel a
minoribus non attractum quiescat, vel multo minus vel multo
magis attractum aut multo minus aut multo magis agitetur.

Liquet fere ex demonstratione Corollarii secundi Propositionis præcedentis;
sed argumento magis distincto & latius cogente sic evincitur.
Cas. 1. Revolvantur corpora minora P & Q in
eodem plano circa maximum S, quorum P
describat orbem interiorem PAB, & Q exteriorem
QE. Sit QK mediocris distantia corporum P & Q;
& corporis P versus Q attractio acceleratrix in
mediocri illa distantia exponatur per eandem. In
duplicata ratione QK ad QP capiatur QL ad QK, & erit QL attractio
acceleratrix corporis P versus Q in distantia quavis QP. Junge PS, eiq;
parallelam age LM occurrentem QS in M, & attractio QL resolvetur (per
Legum Corol. 2.) in attractiones QM, LM. Et sic urgebitur corpus P vi
acceleratrice triplici: una tendente ad S & oriunda a mutua attractione
corporum S & P. Hac vi sola corpus P, circum corpus S sive immotum, sive
hac attractione agitatum, describere deberet & areas, radio PS temporibus
proportionales, & Ellipsin cui umbilicus est in centro corporis S. Patet hoc
per Prob. VI. & Corollaria Theor. XXI. Vis altera est attractionis LM, quæ
quoniam tendit a P ad S, superaddita vi priori coincidet cum ipsa, & sic
faciet ut areæ etiamnum temporibus proportionales describantur per Corol.
3. Theor. XXI. At quoniam non est quadrato distantiæ PS reciproce
proportionalis, componet ea cum vi priore vim ab hac proportione
aberrantem, idq; eo magis quo major est proportio hujus vis ad vim
priorem, cæteris paribus. Proinde cum (per Corol. 1. Prob. VIII. & Corol. 2.
Theor. XXI.) vis qua Ellipsis circa umbilicum S describitur tendere debeat
ad umbilicum illum, & esse quadrato distantiæ PS reciproce proportionalis;

vis illa composita aberrando ab hac proportione, faciet ut Orbis PAB aberret
a forma Ellipseos umbilicum habentis in S; idq; eo magis quo major est
aberratio ab hac proportione; atq; adeo etiam quo major est proportio vis
secundæ LM ad vim primam, cæteris paribus. Jam vero vis tertia QM,
trahendo corpus P secundum lineam ipsi QS parallelam, componet cum
viribus prioribus vim quæ non amplius dirigitur a P in S, quæq; ab hac
determinatione tanto magis aberrat, quanto major est proportio hujus tertiæ
vis ad vires priores, cæteris paribus; atq; adeo quæ faciet ut corpus P, radio
SP, areas non amplius temporibus proportionales describet, atq; aberratio ab
hac proportionalitate ut tanto major sit, quanto major est proportio vis hujus
tertiæ ad vires cæteras. Orbis vero PAB aberrationem a forma Elliptica
præfata hæc vis tertia duplici de causa adaugebit, tum quod non dirigitur a
P ad S, tum etiam quod non sit proportionalis quadrato distantiæ PS. Quibus
intellectis, manifestum est quod areæ temporibus tum maxime fiunt
proportionales, ubi vis tertia, manentibus viribus cæteris, fit minima; &
quod Orbis PAB tum maxime accedit ad præfatam formam Ellipticam, ubi
vis tam secunda quam tertia, sed præcipue vis tertia, fit minima, vi prima
manente.
Exponatur corporis S attractio acceleratrix versus Q per lineam QN; & si
attractiones acceleratrices QM, QN æquales essent, hæ trahendo corpora S
& P æqualiter & secundum lineas parallelas, nil mutarent situm eorum ad
invicem. Iidem jam forent corporum illorum motus inter se (par Legum
Corol. 6.) ac si hæ attractiones tollerentur. Et pari ratione si attractio QN
minor esset attractione QM, tolleret ipsa attractionis QM partem QN, &
maneret pars sola MN, qua temporum & arearum proportionalitas & Orbitæ
forma illa Elliptica perturbaretur. Et similiter si attractio QN major esset
attractione QM, oriretur ex differentia sola MN perturbatio proportionalitatis
& Orbitæ. Sic per attractionem QN reducitur semper attractio tertia superior
QM ad attractionem MN, attractione prima & secunda manentibus prorsus
immutatis: & propterea areæ ac tempora ad proportionalitatem, & Orbita
PAB ad formam præfatam Ellipticam tum maxime accedunt, ubi attractio
MN vel nulla est, vel quam fieri possit minima; hoc est ubi corporum P & S
attractiones acceleratrices, factæ versus corpus Q, accedunt quantum fieri
potest ad æqualitatem; id est ubi attractio QN non est nulla, neq; minor
minima attractionum omnium QM, sed inter attractionum omnium QM

maximam & minimam quasi mediocris, hoc est, non multo major neq;
multo minor attractione QK. Q. E. D.
Cas. 2. Revolvantur jam corpora minora P, Q circa maximum S in planis
diversis, & vis LM, agendo secundum lineam PS in plano Orbitæ PAB
sitam, eundem habebit effectum ac prius, neq; corpus P de plano Orbitæ
suæ deturbabit. At vis altera NM, agendo secundum lineam quæ ipsi QS
parallela est, (atq; adeo, quando corpus Q versatur extra lineam Nodorum,
inclinatur ad planum Orbitæ PAB;) præter perturbationem motus in
longitudinem jam ante expositam, inducet perturbationem motus in
latitudinem, trahendo corpus P de plano suæ Orbitæ. Et hæc perturbatio in
dato quovis corporum P & S ad invicem situ, erit ut vis illa generans MN,
adeoq; minima evadet ubi MN est minima, hoc est (uti jam exposui) ubi
attractio QN non est multo major neq; multo minor attractione QK.
Q. E. D.
Corol. 1. Ex his facile colligitur quod si corpora plura minora P, Q, R &c.
revolvantur circa maximum S: motus corporis intimi P minime
perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi corpus maximum S pariter a
cæteris, pro ratione virium acceleratricum, attrahitur & agitatur atq; cæteri a
se mutuo.
Corol. 2. In Systemate vero trium corporum S, P, Q; si attractiones
acceleratrices binorum quorumcunq; in tertium sint ad invicem reciproce ut
quadrata distantiarum, corpus P radio PS aream circa corpus S velocius
describet prope conjunctionem A & oppositionem B, quam prope
quadraturas C, D. Namq; vis omnis qua corpus P urgetur & corpus S non
urgetur, quæq; non agit secundum lineam PS, accelerat vel retardat
descriptionem areæ, perinde ut ipsa in antecedentia vel in consequentia
dirigitur. Talis est vis NM. Hæc in transitu corporis P a C ad A tendit in
antecedentia, motumq; accelerat; dein usq; ad D in consequentia, & motum
retardat; tum in antecedentia usq; ad B, & ultimo in consequentia
transeundo a B ad C.
Corol. 3. Et eodem argumento patet quod corpus P, cæteris paribus,
velocius movetur in Conjunctione & Oppositione quam in Quadraturis.
Corol. 4. Orbita corporis P cæteris paribus curvior est in quadraturis quam
in Conjunctione & Oppositione. Nam corpora velociora minus deflectunt a

recto tramite. Et præterea vis NM, in Conjunctione & Oppositione, contraria
est vi qua corpus S trahit corpus P, adeoq; vim illam minuit; corpus autem P
minus deflectet a recto tramite, ubi minus urgetur in corpus S.
Corol. 5. Unde corpus P, cæteris paribus, longius recedet a corpore S in
quadraturis, quam in Conjunctione & Oppositione. Hæc ita se habent
excluso motu Excentricitatis. Nam si Orbita corporis P excentrica sit,
Excentricitas ejus (ut mox in hujus Corol. 9. ostendetur) evadet maxima ubi
Apsides sunt in Syzygiis; indeq; fieri potest ut corpus P, ad Apsidem
summam appellans, absit longius a corpore S in Syzygiis quam in
Quadraturis.
Corol. 6. Quoniam vis centripeta corporis centralis S, qua corpus P retinetur
in Orbe suo, augetur in quadraturis per additionem vis LM, ac diminuitur in
Syzygiis per ablationem vis KL, & ob magnitudinem vis KL, magis
diminuitur quam augeatur, est autem vis illa centripeta (per Corol. 2, Prop.
IV.) in ratione composita ex ratione simplici radii SP directe & ratione
duplicata temporis periodici inverse: patet hanc rationem compositam
diminui per actionem vis KL, adeoq; tempus periodicum, si maneat Orbis
radius SP, augeri, idq; in dimidiata ratione qua vis illa centripeta diminuitur:
auctoq; adeo vel diminuto hoc Radio, tempus periodicum augeri magis, vel
diminui minus quam in Radii hujus ratione sesquiplicata, per Corol. 6. Prop.
IV. Si vis illa corporis centralis paulatim languesceret, corpus P minus
semper & minus attractum perpetuo recederet longius a centro S; & contra,
si vis illa augeretur, accederet propius. Ergo si actio corporis longinqui Q,
qua vis illa diminuitur, augeatur ac diminuatur per vices, augebitur simul ac
diminuetur Radius SP per vices, & tempus periodicum augebitur ac
diminuetur in ratione composita ex ratione sesquiplicata Radii & ratione
dimidiata qua vis illa centripeta corporis centralis S per incrementum vel
decrementum actionis corporis longinqui Q diminuitur vel augetur.
Corol. 7. Ex præmissis consequitur etiam quod Ellipseos a corpore P
descriptæ axis seu Apsidum linea, quoad motum angularem progreditur &
regreditur per vices, sed magis tamen progreditur, & in singulis corporis
revolutionibus per excessum progressionis fertur in consequentia. Nam vis
qua corpus P urgetur in corpus S in Quadraturis, ubi vis MN evanuit,
componitur ex vi LM & vi centripeta qua corpus S trahit corpus P. Vis prior
LM, si augeatur distantia PS, augetur in eadem fere ratione cum hac

distantia, & vis posterior decrescit in duplicata illa ratione, adeoq; summa
harum virium decrescit in minore quam duplicata ratione distantiæ PS, &
propterea, per Corol. 1. Prop. XLV. facit Augem seu Apsidem summam
regredi. In Conjunctione vero & Oppositione, vis qua corpus P urgetur in
corpus S differentia est inter vim qua corpus S trahit corpus P & vim KL; &
differentia illa, propterea quod vis KL augetur quamproxime in ratione
distantiæ PS, decrescit in majore quam duplicata ratione distantiæ PS,
adeoq; per Corol. 1. Prop. XLV. facit Augem progredi. In locis inter
Syzygias & Quadraturas, pendet motus Augis ex causa utraq; conjunctim,
adeo ut pro hujus vel alterius excessu progrediatur ipsa vel regrediatur.
Unde cum vis KL in Syzygiis sit quasi duplo major quam vis LM in
quadraturis, excessus in tota revolutione erit penes vim KL, transferetq;
Augem singulis revolutionibus in consequentia. Veritas autem hujus &
præcedentis Corollarii facilius intelligetur concipiendo Systema corporum
duorum S, P corporibus pluribus Q, Q, Q &c. in Orbe QE consistentibus,
undiq; cingi. Namq; horum actionibus actio ipsius S minuetur undiq;,
decrescetq; in ratione plusquam duplicata distantiæ.
Corol. 8. Cum autem pendeat Apsidum progressus vel regressus a
decremento vis centripetæ facto in majori vel minori quam duplicata ratione
distantiæ SP, in transitu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam; ut &
a simili incremento in reditu ad Apsidem imam; atq; adeo maximus sit ubi
proportio vis in Apside summa ad vim in Apside ima maxime recedit a
duplicata ratione distantiarum inversa: manifestum est quod Apsides in
Syzygiis suis, per vim ablatitiam KL seu NM - LM, progredientur velocius,
inq; Quadraturis suis tardius recedent per vim addititiam LM. Ob
diuturnitatem vero temporis quo velocitas progressus vel tarditas regressus
continuatur, fit hæc inæqualitas longe maxima.
Corol. 9. Si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadrato distantiæ
suæ a centro, revolveretur circa hoc centrum in Ellipsi, & mox, in descensu
ab Apside summa seu Auge ad Apsidem imam, vis illa per accessum
perpetuum vis novæ augeretur in ratione plusquam duplicata distantiæ
diminutæ: Manifestum est quod corpus, perpetuo accessu vis illius novæ
impulsum semper in centrum, magis vergeret in hoc centrum, quam si
urgeretur vi sola crescente in duplicata ratione distantiæ diminutæ, adeoq;
Orbem describeret Orbe Elliptico interiorem, & in Apside ima propius
accederet ad centrum quam prius. Orbis igitur, accessu hujus vis novæ, fiet

magis excentricus. Si jam vis, in recessu corporis ab Apside ima ad
Apsidem summam, decresceret iisdem gradibus quibus ante creverat,
rediret corpus ad distantiam priorem, adeoq; si vis decrescat in majori
ratione, corpus jam minus attractum ascendet ad distantiam majorem & sic
Orbis Excentricitas adhuc magis augebitur. Igitur si ratio incrementi &
decrementi vis centripetæ singulis revolutionibus augeatur, augebitur
semper Excentricitas; & e contra, diminuetur eadem si ratio illa decrescat.
Jam vero in Systemate corporum S, P, Q, ubi Apsides orbis PAB sunt in
quadraturis, ratio illa incrementi ac decrementi minima est, & maxima fit
ubi Apsides sunt in Syzygiis. Si Apsides constituantur in quadraturis ratio
prope Apsides minor est, & prope Syzygias major quam duplicata
distantiarum, & ex ratione illa majori oritur Augis motus velocissimus, uti
jam dictum est. At si consideretur ratio incrementi vel decrementi totius in
progressu inter Apsides, hæc minor est quam duplicata distantiarum. Vis in
Apside ima est ad vim in Apside summa in minore quam duplicata ratione
distantiæ Apsidis summæ ab umbilico Ellipseos ad distantiam Apsidis imæ
ab eodem umbilico: & e contra, ubi Apsides constituuntur in Syzygiis, vis
in Apside ima est ad vim in Apside summa in majore quam duplicata
ratione distantiarum. Nam vires LM in Quadraturis additæ viribus corporis S
componunt vires in ratione minore, & vires KL in Syzygiis subductæ
viribus corporis S relinquunt vires in ratione majore. Est igitur ratio
decrementi & incrementi totius in transitu inter Apsides, minima in
quadraturis, maxima in Syzygiis: & propterea in transitu Apsidum a
quadraturis ad Syzygias perpetuo augetur, augetq; Excentricitatem
Ellipseos; inq; transitu a Syzygiis ad quadraturas perpetuo diminuitur, &
Excentricitatem diminuit.
Corol. 10. Ut rationem ineamus errorum in latitudinem, fingamus planum
Orbis QES immobile manere; & ex errorum exposita causa manifestum est,
quod ex viribus NM, ML, quæ sunt causa illa tota, vis ML agendo semper
secundum planum Orbis PAB, nunquam perturbat motus in latitudinem,
quodq; vis NM ubi Nodi sunt in Syzygiis, agendo etiam secundum idem
Orbis planum, non perturbat hos motus; ubi vero sunt in Quadraturis eos
maxime perturbat, corpusq; P de plano Orbis sui perpetuo trahendo, minuit
inclinationem plani in transitu corporis a quadraturis ad Syzygias, augetq;
vicissim eandem in transitu a Syzygiis ad quadraturas. Unde fit ut corpore
in Syzygiis existente inclinatio evadat omnium minima, redeatq; ad priorem

magnitudinem circiter, ubi corpus ad Nodum proximum accedit. At si Nodi
constituantur in Octantibus post quadraturas, id est inter C & A, D & B,
intelligetur ex modo expositis quod, in transitu corporis P a Nodo alterutro
ad gradum inde nonagesimum, inclinatio plani perpetuo minuitur; deinde in
transitu per proximos 45 gradus, usq; ad quadraturam proximam, inclinatio
augetur, & postea denuo in transitu per alios 45 gradus, usq; ad nodum
proximum, diminuitur. Magis itaq; diminuitur inclinatio quam augetur, &
propterea minor est semper in nodo subsequente quam in præcedente. Et
simili ratiocinio inclinatio magis augetur quam diminuitur, ubi nodi sunt in
Octantibus alteris inter A & D, B & C. Inclinatio igitur ubi Nodi sunt in
Syzygiis est omnium maxima. In transitu eorum a Syzygiis ad quadraturas,
in singulis corporis ad Nodos appulsibus, diminuitur, fitq; omnium minima
ubi nodi sunt in quadraturis & corpus in Syzygiis: dein crescit iisdem
gradibus quibus antea decreverat, Nodisq; ad Syzygias proximas appulsis
ad magnitudinem primam revertitur.
Corol. 11. Quoniam corpus P ubi nodi sunt in quadraturis perpetuo trahitur
de plano Orbis sui, idq; in partem versus Q, in transitu suo a nodo C per
Conjunctionem A ad nodum D; & in contrariam partem in transitu a nodo D
per Oppositionem B ad nodum C; manifestum est quod in motu suo a nodo
C, corpus perpetuo recedit ab Orbis sui plano primo CD, usq; dum
perventum est ad nodum proximum; adeoq; in hoc nodo, longissime distans
a plano illo primo CD, transit per planum Orbis QES, non in plani illius
Nodo altero D, sed in puncto quod inde vergit ad partes corporis Q, quodq;
proinde novus est Nodi locus in anteriora vergens. Et simili argumento
pergent Nodi recedere in transitu Corporis de hoc nodo in nodum
proximum. Nodi igitur in quadraturis constituti perpetuo recedunt, in
Syzygiis (ubi motus in latitudinem nil perturbatur) quiescunt; in locis
intermediis conditionis utriusq; participes recedunt tardius, adeoq; semper
vel retrogradi vel stationarii singulis revolutionibus feruntur in antecedentia.
Corol. 12. Omnes illi in his Corollariis descripti errores sunt paulo majores
in conjunctione Corporum P, Q quam in eorum Oppositione, idq; ob
majores vires generantes NM & ML.
Corol. 13. Cumq; rationes horum Corollariorum non pendeant a
magnitudine corporis Q, obtinent præcedentia omnia, ubi corporis Q tanta
statuitur magnitudo ut circa ipsum revolvatur corporum duorum S & P

Systema. Et ex aucto corpore Q, auctaq; adeo ipsius vi centripeta, a qua
errores corporis P oriuntur, evadent errores illi omnes (paribus distantiis)
majores in hoc casu quam in altero, ubi corpus Q circum Systema corporum
P & S revolvitur.
Corol. 14. Cum autem vires NM, ML, ubi corpus Q longinquum est, sint
quamproxime ut vis QK & ratio PS ad QS conjunctim, hoc est, si detur tum
distantia PS, tum corporis Q vis absoluta, ut QS cub. reciproce; sint autem
vires illæ NM, ML causæ errorum & effectuum omnium de quibus actum
est in præcedentibus Corollariis: manifestum est quod effectus illi omnes,
stante corporum S & P Systemate, sint quamproxime in ratione composita
ex ratione directa vis absolutæ corporis Q & ratione triplicata inversa
distantiæ QS. Unde si Systema corporum S & P revolvatur circa corpus
longinquum Q, vires illæ NM, ML & earum effectus erunt (per Corol. 2. &
6. Prop. IV.) reciproce in duplicata ratione temporis periodici. Et inde si
magnitudo corporis Q proportionalis sit ipsius vi absolutæ, erunt vires illæ
NM, ML & earum effectus directe ut cubus diametri apparentis longinqui
corporis Q e corpore S spectati, & vice versa. Namq; hæ rationes eædem
sunt atq; ratio superior composita.
Corol. 15. Et quoniam si, manentibus Orbium QE & PAB forma,
proportionibus & inclinatione ad invicem, mutetur eorum magnitudo, & si
corporum Q & S vel maneant vel mutentur vires in data quavis ratione, hæ
vires (hoc est vis corporis S, qua corpus P de recto tramite in Orbitam PAB
deflectere, & vis corporis Q, qua corpus idem P de Orbita illa deviare
cogitur) agunt semper eodem modo & eadem proportione: necesse est ut
similes & proportionales sint effectus omnes & proportionalia effectuum
tempora; hoc est, ut errores omnes lineares sint ut Orbium diametri,
angulares vero iidem qui prius, & errorum linearium similium vel
angularium æqualium tempora ut Orbium tempora periodica.
Corol. 16. Unde, si dentur Orbium formæ & inclinatio ad invicem, &
mutentur utcunq; corporum magnitudines, vires & distantiæ; ex datis
erroribus & errorum temporibus in uno Casu colligi possunt errores &
errorum tempora in alio quovis, quam proxime: Sed brevius hac Methodo.
Vires NM, ML cæteris stantibus sunt ut Radius SP, & harum effectus
periodici (per Corol. 2, Lem. X) ut vires & quadratum temporis periodici
corporis P conjunctim. Hi sunt errores lineares corporis P; & hinc errores

angulares e centro S spectati (id est tam motus Augis & Nodorum, quam
omnes in longitudinem & latitudinem errores apparentes) sunt in qualibet
revolutione corporis P, ut quadratum temporis revolutionis quam proxime.
Conjungantur hæ rationes cum rationibus Corollarii 14. & in quolibet
corporum S, P, Q Systemate, ubi P circum S sibi propinquum, & S circum
Q longinquum revolvitur, errores angulares corporis P, de centro S
apparentes, erunt, in singulis revolutionibus corporis illius P, ut quadratum
temporis periodici corporis P directe & quadratum temporis periodici
corporis S inverse. Et inde motus medius Augis erit in data ratione ad
motum medium Nodorum; & motus uterq; erit ut tempus periodicum
corporis P directe & quadratum temporis periodici corporis S inverse.
Augendo vel minuendo Excentricitatem & Inclinationem Orbis PAB non
mutantur motus Augis & Nodorum sensibiliter, nisi ubi eædem sunt nimis
magnæ.
Corol. 17. Cum autem linea LM nunc major si nunc minor quam radius PS,
Exponatur vis mediocris LM per radium illum PS, & erit hæc ad vim
mediocrem QK vel QN (quam exponere licet per QS) ut longitudo PS ad
longitudinem QS. Est autem vis mediocris QN vel QS, qua corpus retinetur
in orbe suo circum Q, ad vim qua corpus P retinetur in Orbe suo circum S,
in ratione composita ex ratione radii QS ad radium PS, & ratione duplicata
temporis periodici corporis P circum S ad tempus periodicum corporis S
circum Q. Et ex æquo, vis mediocris LM, ad vim qua corpus P retinetur in
Orbe suo circum S (quave corpus idem P eodem tempore periodico circum
punctum quodvis immobile S ad distantiam PS revolvi posset) est in ratione
illa duplicata periodicorum temporum. Datis igitur temporibus periodicis
una cum distantia PS, datur vis mediocris LM; & ea data datur etiam vis MN
quamproxime per analogiam linearum PS, MN.
Corol. 18. Iisdem legibus quibus corpus P circum corpus S revolvitur,
fingamus corpora plura fluida circum idem S ad æquales ab ipso distantias
moveri; deinde ex his contiguis factis conflari annulum fluidum, rotundum
ac corpori S concentricum; & singulæ annuli partes, motus suos omnes ad
legem corporis P peragendo, propius accedent ad corpus S, & celerius
movebuntur in Conjunctione & Oppositione ipsarum & corporis Q, quam in
Quadraturis. Et Nodi annuli hujus seu intersectiones ejus cum plano Orbitæ
corporis Q vel S, quiescent in Syzygiis; extra Syzygias vero movebuntur in
antecedentia, & velocissime quidem in Quadraturis, tardius aliis in locis.

Annuli quoq; inclinatio variabitur, & axis ejus singulis revolutionibus
oscillabitur, completaq; revolutione ad pristinum situm redibit, nisi
quatenus per præcessionem Nodorum circumfertur.
Corol. 19. Fingas jam globum corporis S ex materia non fluida constantem
ampliari & extendi usq; ad hunc annulum, & alveo per circuitum excavato
continere Aquam, motuq; eodem periodico circa axem suum uniformiter
revolvi. Hic liquor per vices acceleratus & retardatus (ut in superiore
Lemmate) in Syzygiis velocior erit, in Quadraturis tardior quam superficies
Globi, & sic fluet in alveo refluetq; ad modum Maris. Aqua revolvendo
circa Globi centrum quiescens, si tollatur attractio Q, nullum acquiret
motum fluxus & refluxus. Par est ratio Globi uniformiter progredientis in
directum & interea revolventis circa centrum suum (per Legum Corol. 5) ut
& Globi de cursa rectilineo uniformiter tracti (per Legum Corol. 6.) Accedat
autem corpus Q, & ab ipsius inæquabili attractione mox turbabitur Aqua.
Etenim major erit attractio aquæ propioris, minor ea remotioris. Vis autem
LM trahet aquam deorsum in Quadraturis, facietq; ipsam descendere usq; ad
Syzygias; & vis KL trahet eandem sursum in Syzygiis, sistetq; descensum
ejus & faciet ipsam ascendere usq; ad Quadraturas.
Corol. 20. Si annulus jam rigeat & minuatur Globus, cessabit motus fluendi
& refluendi; sed Oscillatorius ille inclinationis motus & præcessio
Nodorum manebunt. Habeat Globus eundem axem cum annulo, gyrosq;
compleat iisdem temporibus, & superficie sua contingat ipsum interius, eiq;
inhæreat; & participando motum ejus, compages utriusq; Oscillabitur &
Nodi regredientur. Nam Globus, ut mox dicetur, ad suscipiendas
impressiones omnes indifferens est. Annuli Globo orbati maximus
inclinationis angulus est ubi Nodi sunt in Syzygiis. Inde in progressu
Nodorum ad Quadraturas conatur is inclinationem suam minuere, & isto
conatu motum imprimit Globo toti. Retinet Globus motum impressum usq;
dum annulus conatu contrario motum hunc tollat, imprimatq; motum
novum in contrariam partem: Atq; hac ratione maximus decrescentis
inclinationis motus fit in Quadraturis Nodorum, & minimus inclinationis
angulus in Octantibus post Quadraturas; dein maximus reclinationis motus
in Syzygiis & maximus angulus in Octantibus proximis. Et eadem est ratio
Globi annulo nudati, qui in regionibus æquatoris vel altior est paulo quam
juxta polos, vel constat ex materia paulo densiore. Supplet enim vicem
annuli iste materiæ in æquatoris regionibus excessus. Et quanquam, aucta

utcunq; Globi hujus vi centripeta, tendere supponantur omnes ejus partes
deorsum, ad modum gravitantium partium telluris, tamen Phænomena hujus
& præcedentis Corollarii vix inde mutabuntur.
Corol. 21. Eadem ratione qua materia Globi juxta æquatorem redundans
efficit ut Nodi regrediantur, atq; adeo per hujus incrementum augetur iste
regressus, per diminutionem vero diminuitur & per ablationem tollitur; si
materia plusquam redundans tollatur, hoc est, si Globus juxta æquatorem
vel depressior reddatur vel rarior quam juxta polos, orietur motus Nodorum
in consequentia.
Corol. 22. Et inde vicissim ex motu Nodorum innotescit constitutio Globi.
Nimirum si Globus polos eosdem constanter servat & motus fit in
antecedentia, materia juxta æquatorem redundat; si in consequentia, deficit.
Pone Globum uniformem & perfecte circinatum in spatiis liberis primo
quiescere; dein impetu quocunq; oblique in superficiem suam facto propelli,
& motum inde concipere partim circularem, partim in directum. Quoniam
Globus iste ad axes omnes per centrum suum transeuntes indifferenter se
habet, neq; propensior est in unum axem, unumve axis situm, quam in
alium quemvis; perspicuum est quod is axem suum axisq; inclinationem vi
propria nunquam mutabit. Impellatur jam Globus oblique in eadem illa
superficiei parte qua prius, impulsu quocunq; novo; & cum citior vel serior
impulsus effectum nil mutet, manifestum est quod hi duo impulsus
successive impressi eundem producent motum ac si simul impressi fuissent,
hoc est eundem ac si Globus vi simplici ex utroq; (per Legum Corol. 2.)
composita impulsus fuisset, atq; adeo simplicem, circa axem inclinatione
datum. Et par est ratio impulsus secundi facti in locum alium quemvis in
æquatore motus primi; ut & impulsus primi facti in locum quemvis in
æquatore motus, quem impulsus secundus absq; primo generaret; atq; adeo
impulsuum amborum factorum in loca quæcunq;: Generabunt hi eundem
motum circularem ac si simul & semel in locum intersectionis æquatorum
motuum illorum, quos seorsim generarent, fuissent impressi. Globus igitur
homogeneus & perfectus non retinet motus plures distinctos, sed impressos
omnes componit & ad unum reducit, & quatenus in se est, gyratur semper
motu simplici & uniformi circa axem unicum inclinatione semper
invariabili datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut rotationis
velocitatem mutare potest. Si Globus plano quocunq; per centrum suum &
centrum in quod vis dirigitur transeunte dividi intelligatur in duo

hemisphæria, urgebit semper vis illa utrumq; hemisphærium æqualiter, &
propterea Globum quoad motum rotationis nullam in partem inclinabit.
Addatur vero alicubi inter polum & æquatorem materia nova in formam
montis cumulata, & hæc, perpetuo conatu recedendi a centro sui motus,
turbabit motum Globi, facietq; polos ejus errare per ipsius superficiem, &
circulos circum se punctumq; sibi oppositum perpetuo describere. Neq;
corrigetur ista vagationis enormitas, nisi locando montem illum vel in polo
alterutro, quo in Casu, per Corol. 21, Nodi æquatoris progredientur; vel in
æquatore, qua ratione, per Corol. 20, Nodi regredientur; vel deniq; ex altera
axis parte addendo materiam novam, qua mons inter movendum libretur: &
hoc pacto Nodi vel progredientur, vel recedent, perinde ut mons & hæcce
nova materia sunt vel polo vel æquatori propiores.

Prop. LXVII. Theor. XXVII.

Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius Q,
circa interiorum P, S commune Gravitatis centrum C, radiis ad
centrum illud ductis, describit areas temporibus magis
proportionales & Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in
centro eodem habentis magis accedentem, quam circa corpus
intimum & maximum S, radiis ad ipsum ductis, describere potest.

Nam corporis Q attractiones versus S & P componunt ipsius attractionem
absolutam, quæ magis dirigitur in corporum S & P commune gravitatis
centrum C, quam in corpus maximum S, quæq; quadrato distantiæ QC
magis est proportionalis reciproce, quam quadrato distantiæ QS: ut rem
perpendenti facile constabit.

Prop. LXVIII. Theor. XXVIII.

Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius Q
circa interiorum P & S commune gravitatis centrum C, radiis ad
centrum illud ductis, describit areas temporibus magis
proportionales, & Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in
centro eodem habentis magis accedentem, si corpus intimum &
maximum his attractionibus perinde atq; cætera agitetur, quam si

id vel non attractum quiescat, vel multo magis aut multo minus
attractum aut multo magis aut multo minus agitetur.

Demonstratur eodem fere modo cum Prop.
LXVI, sed argumento prolixiore, quod ideo
prætereo. Suffecerit rem sic æstimare. Ex
demonstratione Propositionis novissimæ liquet
centrum in quod corpus Q conjunctis viribus
urgetur, proximum esse communi centro
gravitatis illorum duorum. Si coincideret hoc centrum cum centro illo
communi, & quiesceret commune centrum gravitatis corporum trium;
describerent corpus Q ex una parte, & commune centrum aliorum duorum
ex altera parte, circa commune omnium centrum quiescens, Ellipses
accuratas. Liquet hoc per Corollarium secundum Propositionis LVIII.
collatum cum demonstratis in Prop. LXIV. & LXV. Perturbatur iste motus
Ellipticus aliquantulum per distantiam centri duorum a centro in quod
tertium Q attrahitur. Detur præterea motus communi trium centro, &
augebitur perturbatio. Proinde minima est perturbatio, ubi commune trium
centrum quiescit, hoc est ubi corpus intimum & maximum S lege
cæterorum attrahitur: fitq; major semper ubi trium commune illud centrum,
minuendo motum corporis S, moveri incipit & magis deinceps magisq;
agitatur.
Corol. Et hinc si corpora plura minora revolvantur circa maximum,
colligere licet quod Orbitæ descriptæ propius accedent ad Ellipticas, &
arearum descriptiones fient magis æquabiles, si corpora omnia viribus
acceleratricibus, quæ sunt ut eorum vires absolutæ directe & quadrata
distantiarum inverse, se mutuo trahant agitentq;, & Orbitæ cujusq;
umbilicus collocetur in communi centro gravitatis corporum omnium
interiorum (nimirum umbilicus Orbitæ primæ & intimæ in centro gravitatis
corporis maximi & intimi; ille Orbitæ secundæ, in communi centro
gravitatis corporum duorum intimorum; iste tertiæ, in communi centro
gravitatis trium interiorum & sic deinceps) quam si corpus intimum
quiescat & statuatur communis umbilicus orbitarum Omnium.

Prop. LXIX. Theor. XXIX.

In Systemate corporum plurium A, B, C, D &c. si corpus aliquod
A trahit cætera omnia B, C, D &c. viribus acceleratricibus quæ
sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente; & corpus

aliud B trahit etiam cætera A, C, D &c. viribus quæ sunt
reciproce ut quadrata distantiarum a trahente: erunt absolutæ
corporum trahentium A, B vires ad invicem, ut sunt ipsa corpora
A, B, quorum sunt vires.

Nam attractiones acceleratrices corporum omnium B, C, D versus A,
paribus distantiis, sibi invicem æquantur ex hypothesi, & similiter
attractiones acceleratrices corporum omnium versus B, paribus distantiis,
sibi invicem æquantur. Est autem absoluta vis attractiva corporis A ad vim
absolutam attractivam corporis B, ut attractio acceleratrix corporum
omnium versus A ad attractionem acceleratricem corporum omnium versus
B, paribus distantiis; & ita est attractio acceleratrix corporis B versus A, ad
attractionem acceleratricem corporis A versus B. Sed attractio acceleratrix
corporis B versus A est ad attractionem acceleratricem corporis A versus B,
ut massa corporis A ad massam corporis B; propterea quod vires motrices,
quæ (per Definitionem secundam, septimam & octavam) ex viribus
acceleratricibus in corpora attracta ductis oriuntur, sunt (per motus Legem
tertiam) sibi invicem æquales. Ergo absoluta vis attractiva corporis A est ad
absolutam vim attractivam corporis B, ut massa corporis A ad massam
corporis B. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si singula Systematis corpora A, B, C, D, &c. seorsim
spectata trahant cætera omnia viribus acceleratricibus quæ sint reciproce ut
Quadrata distantiarum a trahente; erunt corporum illorum omnium vires
absolutæ ad invicem ut sunt ipsa corpora.
Corol. 2. Eodem argumento, si singula Systematis corpora A, B, C, D &c.
seorsim spectata trahant cætera omnia viribus acceleratricibus quæ sunt vel
reciproce vel directe in ratione dignitatis cujuscunq; distantiarum a trahente,
quæve secundum legem quamcunq; communem ex distantiis ab unoquoq;
trahente definiuntur; constat quod corporum illorum vires absolutæ sunt ut
corpora.
Corol. 3. In Systemate corporum, quorum vires decrescunt in ratione
duplicata distantiarum, si minora circa maximum in Ellipsibus umbilicum
communem in maximi illius centro habentibus quam fieri potest
accuratissimis revolvantur, & radiis ad maximum illud ductis describant
areas temporibus quam maxime proportionales: erunt corporum illorum

vires absolutæ ad invicem, aut accurate aut quamproxime in ratione
corporum; & contra. Patet per Corol. Prop. LXVIII. collatum cum hujus
Corol. 1.

Scholium.

His Propositionibus manuducimur ad analogiam inter vires centripetas &
corpora centralia, ad quæ vires illæ dirigi solent. Rationi enim
consentaneum est, ut vires quæ ad corpora diriguntur pendeant ab eorundem
natura & quantitate, ut fit in Magneticis. Et quoties hujusmodi casus
incidunt, æstimandæ erunt corporum attractiones, assignando singulis
eorum particulis vires proprias, & colligendo summas virium. Vocem
attractionis hic generaliter usurpo pro corporum conatu quocunq; accedendi
ad invicem; sive conatus iste fiat ab actione corporum vel se mutuo
petentium, vel per Spiritus emissos se invicem agitantium, sive is ab actione
Ætheris aut Aeris mediive cujuscunq; seu corporei seu incorporei oriatur
corpora innatantia in se invicem utcunq; impellentis. Eodem sensu generali
usurpo vocem impulsus, non species virium & qualitates physicas, sed
quantitates & proportiones Mathematicas in hoc Tractatu expendens; ut in
Definitionibus explicui. In Mathesi investigandæ sunt virium quantitates &
rationes illæ, quæ ex conditionibus quibuscunq; positis consequentur:
deinde ubi in Physicam descenditur, conferendæ sunt hæ rationes cum
Phænomenis, ut innotescat quænam virium conditiones singulis corporum
attractivorum generibus competant. Et tum demum de virium speciebus,
causis & rationibus physicis tutius disputare licebit. Videamus igitur quibus
viribus corpora Sphærica, ex particulis modo jam exposito attractivis
constantia, debeant in se mutuo agere, & quales motus inde consequantur.

SECT. XII.
De Corporum Sphæricorum Viribus attractivis.

Prop. LXX. Theor. XXX.

Si ad Sphæricæ superficiei puncta singula tendant
vires æquales centripetæ decrescentes in duplicata
ratione distantiarum a punctis: dico quod
corpusculum intra superficiem constitutum his
viribus nullam in partem attrahitur.

Sit HIKL superficies illa Sphærica, & P corpusculum
intus constitutum. Per P agantur ad hanc superficiem
lineæ duæ HK, IL, arcus quam minimos HI, KL intercipientes; & ob
triangula HPI, LPK (per Corol. 3. Lem. VII.) similia, arcus illi erunt
distantiis HP, LP proportionales, & superficiei Sphæricæ particulæ quævis,
ad HI & KL rectis per punctum P transeuntibus undiq; terminatæ, erunt in
duplicata illa ratione. Ergo vires harum particularum in corpus P exercitæ
sunt inter se aquales. Sunt enim ut particulæ directe & quadrata
distantiarum inverse. Et hæ duæ rationes componunt rationem æqualitatis.
Attractiones igitur in contrarias partes æqualiter factæ se mutuo destruunt.
Et simili argumento attractiones omnes per totam Sphæricam superficiem a
contrariis attractionibus destruuntur. Proinde corpus P nullam in partem his
attractionibus impellitur. Q. E. D.

Prop. LXXI. Theor. XXXI.

Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphæricam
superficiem constitutum attrahitur ad centrum Sphæræ, vi
reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ ab eodem centro.

Sint AHKB, ahkb æquales duæ superficies Sphæricæ, centris S, s, diametris
AB, ab descriptæ, & P, p corpuscula sita extrinsecus in diametris illis

productis. Agantur a corpusculis
lineæ PHK, PIL, phk, pil,
auferentes a circulis maximis AHB,
ahb, æquales arcus quam minimos
HK, hk & HL, hl: Et ad eas
demittantur perpendicula SD, sd;
SE, se; IR, ir; quorum SD, sd secent PL, pl in F & f. Demittantur etiam ad
diametros perpendicula IQ, iq; & ob æquales DS & ds, ES & es, & angulos
evanescentes DPE & dpe, lineæ PE, PF & pe, pf & lineolæ DF, df pro
æqualibus habeantur: quippe quarum ratio ultima, angulis illis DPE, dpe
simul evanescentibus, est æqualitatis. His itaq; constitutis, erit PI ad PF ut
RI ad DF, & pf ad pi ut DF vel df ad ri; & ex æquo PI × pf ad PF × pi ut RI
ad ri, hoc est (per Corol. 3. Lem. VII.) ut arcus IH ad arcum ih. Rursus PI
ad PS ut IQ ad SE, & ps ad pi ut SE vel se ad iq; & ex æquo PI × ps ad PS ×
pi ut IQ ad iq. Et conjunctis rationibus PI quad. × pf × ps ad pi quad. × PF
× PS, ut IH × IQ ad ih × iq; hoc est, ut superficies circularis, quam arcus IH
convolutione semicirculi AKB circa diametrum AB describet, ad
superficiem circularem, quam arcus ih convolutione semicirculi akb circa
diametrum ab describet. Et vires, quibus hæ superficies secundum lineas ad
se tendentes attrahunt corpuscula P & p, sunt (per Hypothesin) ut ipsæ
superficies applicatæ ad quadrata distantiarum suarum a corporibus, hoc est,
ut pf × ps ad PF × PS. Suntq; hæ vires ad ipsarum partes obliquas quæ
(facta per Legum Corol. 2 resolutione virium) secundum lineas PS, ps ad
centra tendunt, ut PI ad PQ, & pi ad pq; id est (ob similia triangula PIQ &
PSF, piq & psf) ut PS ad PF & ps ad pf. Unde ex æquo fit attractio
corpusculi hujus P versus S ad attractionem corpusculi p versus s, ut PF ×
pf × ps ÷ PS ad pf × PF × PS ÷ ps, hoc es ut ps quad. ad PS quad. Et simili
argumento vires, quibus superficies convolutione arcuum KL, kl descriptæ
trahunt corpuscula, erunt ut ps quad. ad PS quad.; inq; eadem ratione erunt
vires superficierum omnium circularium in quas utraq; superficies
Sphærica, capiendo semper sd = SD & se = SE, distingui potest. Et per
Compositionem, vires totarum superficierum Sphæricarum in corpuscula
exercitæ erunt in eadem ratione. Q. E. D.

Prop. LXXII. Theor. XXXII.

Si ad Spheræ cujusvis puncta singula tendant vires æquales
centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a
punctis, ac detur ratio diametri Spheræ ad distantiam corpusculi
a centro ejus; dico quod vis qua corpusculum attrahitur
proportionalis erit semi-diametro Sphæræ.

Nam concipe corpuscula duo seorsim a Sphæris duabus attrahi, & distantias
a centris proportionales esse diametris, Sphæras autem resolvi in particulas
similes & similiter positas ad corpuscula. Hinc attractiones corpusculi
unius, factæ versus singulas particulas Sphæræ unius, erunt ad attractiones
alterius versus analogas totidem particulas Sphæræ alterius, in ratione
composita ex ratione particularum directe & ratione duplicata distantiarum
inverse. Sed particulæ sunt ut Sphæræ, hoc est in ratione triplicata
diametrorum, & distantiæ sunt ut diametri, & ratio prior directe una cum
ratione posteriore bis inverse est ratio diametri ad diametrum. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si corpuscula in circulis circa Sphæras ex materia æqualiter
attractiva constantes revolvantur, sintq; distantiæ a centris Sphærarum
proportionales earundem diametris; tempora periodica erunt æqualia.
Corol. 2. Et vice versa, si tempora periodica sunt æqualia; distantiæ erunt
proportionales diametris. Constant hæc duo per Corol. 3. Theor. IV.

Prop. LXXIII. Theor. XXXIII.

Si ad sphæræ alicujus datæ puncta singula tendant
æquales vires centripetæ decrescentes in duplicata
ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum
intra Sphæram constitutum attrahitur vi proportionali
distantiæ suæ ab ipsius centro.

In Sphæra ABCD, centro S descripta, locetur corpusculum
P, & centro eodem S intervallo SP concipe Sphæram
interiorem PEQF describi. Manifestum est, per Theor. XXX. quod
Sphæricæ superficies concentricæ, ex quibus Sphærarum differentia AEBF
componitur, attractionibus per attractiones contrarias destructis, nil agunt in
corpus P. Restat sola attractio Sphæræ interioris PEQF. Et per Theor.
XXXII, hæc est ut distantia PS. Q. E. D.

Scholium.

Superficies ex quibus solida componuntur, hic non sunt pure Mathematicæ,
sed Orbes adeo tenues ut eorum crassitudo instar nihili sit; nimirum Orbes
evanescentes ex quibus Sphæra ultimo constat, ubi Orbium illorum
numerus augetur & crassitudo minuitur in infinitum, juxta Methodum sub
initio in Lemmatis generalibus expositam. Similiter per puncta, ex quibus
lineæ, superficies & solida componi dicuntur, intelligendæ sunt particulæ
æquales magnitudinis contemnendæ.

Prop. LXXIV. Theor. XXXIV.

Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphæram
constitutum attrahitur vi reciproce proportionali quadrato
distantiæ suæ ab ipsius centro.

Nam distinguatur Sphæra in superficies Sphæricas innumeras concentricas,
& attractiones corpusculi a singulis superficiebus oriundæ erunt reciproce
proportionales quadrato distantiæ corpusculi a centro, per Theor. XXXI. Et
componendo, fiet summa attractionum, hoc est attractio Sphæræ totius, in
eadem ratione. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc in æqualibus distantiis a centris homogenearum Sphærarum,
attractiones sunt ut Sphæræ. Nam per Theor. XXXII. si distantiæ sunt
proportionales diametris Sphærarum, vires erunt ut diametri. Minuatur
distantia major in illa ratione, & distantiis jam factis æqualibus, augebitur
attractio in duplicata illa ratione, adeoq; erit ad attractionem alteram in
triplicata illa ratione, hoc est in ratione Sphærarum.
Corol. 2. In distantiis quibusvis attractiones sunt ut Sphæræ applicatæ ad
quadrata distantiarum.
Corol. 3. Si corpusculum extra Sphæram homogeneam positum trahitur vi
reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ ab ipsius centro, constet
autem Sphæra ex particulis attractivis; decrescet vis particulæ cujusq; in
duplicata ratione distantiæ a particula.

Prop. LXXV. Theor. XXXV.

Si ad Sphæræ datæ puncta singula tendant vires æquales
centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a
punctis, dico quod Sphæra quævis alia similaris attrahitur vi
reciproce proportionali quadrato distantiæ centrorum.

Nam particulæ cujusvis attractio est reciproce ut quadratum distantiæ ejus a
centro Sphæræ trahentis, (per Theor. XXXI,) & propterea eadem est ac si
vis tota attrahens manaret de corpusculo unico sito in centro hujus Sphæræ.
Hæc autem attractio tanta est quanta foret vicissim attractio corpusculi
ejusdem, si modo illud a singulis Sphæræ attractæ particulis eadem vi
traheretur qua ipsas attrahit. Foret autem illa corpusculi attractio (per Theor.
XXXIV) reciproce proportionalis quadrato distantiæ ejus a centro Sphæræ;
adeoq; huic æqualis attractio Sphæræ est in eadem ratione. Q. E. D.
Corol. 1. Attractiones Sphærarum, versus alias Sphæras homogeneas, sunt
ut Sphæræ trahentes applicatæ ad quadrata distantiarum centrorum suorum
a centris earum quas attrahunt.
Corol. 2. Idem valet ubi Sphæra attracta etiam attrahit. Namq; hujus puncta
singula trahent singula alterius, eadem vi qua ab ipsis vicissim trahuntur,
adeoq; cum in omni attractione urgeatur (per Legem 3.) tam punctum
attrahens, quam punctum attractum, geminabitur vis attractionis mutuæ,
conservatis proportionibus.
Corol. 3. Eadem omnia, quæ superius de motu corporum circa umbilicum
Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sphæra attrahens
locatur in umbilico & corpora moventur extra Sphæram.
Corol. 4. Ea vero quæ de motu corporum circa centrum Conicarum
Sectionum demonstrantur, obtinent ubi motus peraguntur intra Sphæram.

Prop. LXXVI. Theor. XXXVI.

Si Sphæræ in progressu a centro ad circumferentiam (quod
materiæ densitatem & vim attractivam) utcunq; dissimilares, in
progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro
distantiam sunt undiq; similares, & vis attractiva puncti cujusq;
decrescit in duplicata ratione distantiæ corporis attracti: dico

quod vis tota qua hujusmodi Sphæra una attrahit aliam sit
reciproce proportionalis quadrato distantiæ centrorum.

Sunto Sphæræ quotcunq; concentricæ
similares AB, CD, EF &c. quarum interiores
additæ exterioribus componant materiam
densiorem versus centrum, vel subductæ
relinquant tenuiorem; & hæ, per Theor.
XXXV, trahent Sphæras alias quotcunq;
concentricas similares GH, IK, LM, &c.
singulæ singulas, viribus reciproce proportionalibus quadrato distantiæ SP.
Et componendo vel dividendo, summa virium illarum omnium, vel excessus
aliquarum supra alias, hoc est, vis qua Sphæra tota ex concentricis
quibuscunq; vel concentricarum differentiis composita AB, trahit totam ex
concentricis quibuscunq; vel concentricarum differentiis compositam GH,
erit in eadem ratione. Augeatur numerus Sphærarum concentricarum in
infinitum sic, ut materiæ densitas una cum vi attractiva, in progressu a
circumferentia ad centrum, secundum Legem quamcunq; crescat vel
decrescat: & addita materia non attractiva compleatur ubivis densitas
deficiens, eo ut Sphæræ acquirant formam quamvis optatam; & vis qua
harum una attrahet alteram erit etiamnum (per argumentum superius) in
eadem illa distantiæ quadratæ ratione inversa. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si ejusmodi Sphæræ complures sibi invicem per omnia
similes se mutuo trahant; attractiones acceleratrices singularum in singulas
erunt in æqualibus quibusvis centrorum distantiis ut Sphæræ attrahentes.
Corol. 2. Inq; distantiis quibusvis inæqualibus, ut Sphæræ attrahentes
applicatæ ad quadrata distantiarum inter centra.
Corol. 3. Attractiones vero motrices, seu pondera Sphærarum in Sphæras
erunt, in æqualibus centrorum distantiis, ut Sphæræ attrahentes & attractæ
conjunctim, id est, ut contenta sub Sphæris per multiplicationem producta.
Corol. 4. Inq; distantiis inæqualibus, ut contenta illa applicata ad quadrata
distantiarum inter centra.
Corol. 5. Eadem valent ubi attractio oritur a Sphæræ utriusq; virtute
attractiva, mutuo exercita in Sphæram alteram. Nam viribus ambabus

geminatur attractio, proportione servata.
Corol. 6. Si hujusmodi Sphæræ aliquæ circa alias quiescentes revolvantur,
singulæ circa singulas, sintq; distantiæ inter centra revolventium &
quiescentium proportionales quiescentium diametris; æqualia erunt tempora
periodica.
Corol. 7. Et vicissim, si tempora periodica sunt æqualia, distantiæ erunt
proportionales diametris.
Corol. 8. Eadem omnia, quæ superius de motu corporum circa umbilicos
Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sphæra attrahens,
formæ & conditionis cujusvis jam descriptæ, locatur in umbilico.
Corol. 9. Ut & ubi gyrantia sunt etiam Sphæræ attrahentes, conditionis
cujusvis jam descriptæ.

Prop. LXXVII. Theor. XXXVII.

Si ad singula Sphærarum puncta tendant vires centripetæ
proportionales distantiis punctorum a corporibus attractis: dico
quod vis composita, qua Sphæræ duæ se mutuo trahent, est ut
distantia inter centra Sphærarum.

Cas. 1. Sit ACBD Sphæra, S centrum ejus, P
corpusculum attractum, PASB axis Sphæræ per centrum
corpusculi transiens, EF, ef plana duo quibus Sphæra
secatur, huic axi perpendicularia, & hinc inde æqualiter
distantia a centro Sphæræ; Gg intersectiones planorum
& axis, & H punctum quodvis in plano EF. Puncti H
vis centripeta in corpusculum P secundum lineam PH exercita est ut
distantia PH, & (per Legum Corol. 2.) secundum lineam PG, seu versus
centrum S, ut longitudo PG. Igitur punctorum omnium in plano EF, hoc est
plani totius vis, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est ut
numerus punctorum ductus in distantiam PG: id est ut contentum sub plano
ipso EF & distantia illa PG. Et similiter vis plani ef, qua corpusculum P
trahitur versus centrum S, est ut planum illud ductum in distantiam suam
Pg; sive ut huic æquale planum EF ductum in distantiam illam Pg; &

summa virium plani utriusq; ut planum EF ductum in summam
distantiarum PG + Pg, id est, ut planum illud ductum in duplam centri &
corpusculi distantiam PS, hoc est, ut duplum planum EF ductum in
distantiam PS, vel ut summa æqualium planorum EF + ef ducta in
distantiam eandem. Et simili argumento, vires omnium planorum in Sphæra
tota, hinc inde æqualiter a centro Sphæræ distantium, sunt ut summa
planorum ducta in distantiam PS, hoc est, ut Sphæra tota ducta in distantiam
centri sui S a corpusculo P. Q. E. D.
Cas. 2. Trahat jam corpusculum P Sphæram ACBD. Et eodem argumento
probabitur quod vis, qua Sphæra illa trahitur, erit ut distantia PS. Q. E. D.
Cas. 3. Componatur jam Sphæra altera ex corpusculis innumeris P; &
quoniam vis, qua corpusculum unumquodq; trahitur, est ut distantia
corpusculi a centro Sphæræ primæ ducta in Sphæram eandem, atq; adeo
eadem est ac si prodiret tota de corpusculo unico in centro Sphæræ; vis tota
qua corpuscula omnia in Sphæra secunda trahuntur, hoc est, qua Sphæra illa
tota trahitur, eadem erit ac si Sphæra illa traheretur vi prodeunte de
corpusculo unico in centro Sphæræ primæ, & propterea proportionalis est
distantiæ inter centra Sphærarum. Q. E. D.
Cas. 4. Trahant Sphæræ se mutuo, & vis geminata proportionem priorem
servabit. Q. E. D.
Cas. 5. Locetur jam corpusculum p intra Sphæram ACBD, & quoniam vis
plani ef in corpusculum est ut contentum sub plano illo & distantia pg; &
vis contraria plani EF ut contentum sub plano illo & distantia pG; erit vis ex
utraq; composita ut differentia contentorum, hoc est, ut summa æqualium
planorum ducta in semissem differentiæ distantiarum, id est, ut summa illa
ducta in pS, distantiam corpusculi a centro Sphæræ. Et simili argumento
attractio planorum omnium EF, ef in Sphæra tota, hoc est attractio Sphæræ
totius, est ut summa planorum omnium, seu Sphæra tota, ducta in pS
distantiam corpusculi a centro Sphæræ. Q. E. D.
Cas. 6. Et si ex corpusculis innumeris p componatur Sphæra nova intra
Sphæram priorem ACBD sita, probabitur ut prius, quod attractio, sive
simplex Sphæræ unius in alteram, sive mutua utriusq; in se invicem, erit ut
distantia centrorum pS. Q. E. D.

Prop. LXXVIII. Theor. XXXVIII.

Si Sphæræ in progressu a centro ad circumferentiam sint utcunq;
dissimilares & inæquabiles, in progressu vero per circuitum ad
datam omnem a centro distantiam sint undiq; similares; & vis
attractiva puncti cujusq; sit ut distantia corporis attracti: dico
quod vis tota qua hujusmodi Sphæræ duæ se mutuo trahunt sit
proportionalis distantiæ inter centra Sphærarum.

Demonstratur ex Propositione præcedente, eodem modo quo Propositio
LXXVII. ex Propositione LXXV. demonstrata fuit.
Corol. Quæ superius in Propositionibus X. & LXIV. de motu corporum
circa centra Conicarum Sectionum demonstrata sunt, valent ubi attractiones
omnes fiunt vi Corporum Sphæricorum, conditionis jam descriptæ, suntq;
corpora attracta Sphæræ conditionis ejusdem.

Scholium.

Attractionum Casus duos insigniores jam dedi expositos; nimirum ubi vires
centripetæ decrescunt in duplicata distantiarum ratione, vel crescunt in
distantiarum ratione simplici; efficientes in utroq; Casu ut corpora gyrentur
in Conicis Sectionibus, & componentes corporum Sphæricorum vires
centripetas eadem lege in recessu a centro decrescentes vel crescentes cum
seipsis. Quod est notatu dignum. Casus cæteros, qui conclusiones minus
elegantes exhibent, sigillatim percurrere longum esset: Malim cunctos
methodo generali simul comprehendere ac determinare, ut sequitur.

Lemma XXIX.

Si describantur centro S circulus quilibet AEB, (Vide Fig. Prop.
sequentis) & centro P circuli duo EF, ef, secantes priorem in E, e,
lineamq; PS in F, f; & ad PS demittantur perpendicula ED, ed:
dico quod si distantia arcuum EF, ef in infinitum minui
intelligatur, ratio ultima lineæ evanescentis Dd ad lineam
evanescentem Ff ea sit, quæ lineæ PE ad lineam PS.

Nam si linea Pe secet arcum EF in q; & recta Ee, quæ cum arcu
evanescente Ee coincidit, producta occurrat rectæ PS in T; & ab S
demittatur in PE normalis SG: ob similia triangula EDT, edt, EDS; erit Dd
ad Ee, ut DT ad ET seu DE ad ES, & ob triangula Eqe, ESG (per Lem. VIII.
& Corol. 3. Lem. VII.) similia, erit Ee ad qe seu Ff, ut ES ad SG, & ex æquo
Dd ad Ff ut DE ad SG; hoc est (ob similia triangula PDE, PGS) ut PE ad
PS. Q. E. D.

Prop. LXXIX. Theor. XXXIX.

Si superficies ob latitudinem infinite diminutam jamjam
evanescens EFfe, convolutione sui circa axem PS, describat
solidum Sphæricum concavo-convexum, ad cujus particulas
singulas æquales tendant æquales vires centripetæ: dico quod vis,
qua solidum illud trahit corpusculum situm in P, est in ratione
composita ex ratione solidi DEq. × Ff & ratione vis qua particula
data in loco Ff traheret idem corpusculum.

Nam si primo consideremus vim superficiei
Sphæricæ FE, quæ convolutione arcus FE
generatur, & linea de ubivis secatur in r; erit
superficiei pars annularis, convolutione
arcus rE genita, ut lineola Dd, manente
Sphæræ radio PE, (uti demonstravit
Archimedes in Lib. de Sphæra & Cylindro.)
Et hujus vis secundum lineas PE vel Pr
undiq; in superficie conica sitas exercita, ut hæc ipsa superficiei pars
annularis; hoc est, ut lineola Dd, vel quod perinde est, ut rectangulum sub
dato Sphæræ radio PE & lineola illa Dd: at secundum lineam PS ad
centrum S tendentem minor, in ratione PD ad PE, adeoq; ut PD × Dd.
Dividi jam intelligatur linea DF in particulas innumeras æquales, quæ
singulæ nominentur Dd; & superficies FE dividetur in totidem æquales
annulos, quorum vires erunt ut summa omnium PD × Dd, hoc est, cum
lineolæ omnes Dd sibi invicem æquentur, adeoq; pro datis haberi possint, ut
summa omnium PD ducta in Dd, id est, ut ½PFq. - ½PDq. sive ½PEq. -
½PDq. vel ½DEq. ductum in Dd; hoc est, si negligatur data ½Dd, ut DE
quad. Ducatur jam superficies FE in altitudinem Ff; & fiet solidi EFfe vis

exercita in corpusculum P ut DEq. × Ff: puta si detur vis quam particula
aliqua data Ff in distantia PF exercet in corpusculum P. At si vis illa non
detur, fiet vis solidi EFfe ut solidum DEq. × Ff & vis illa non data
conjunctim. Q. E. D.

Prop. LXXX. Theor. XL.

Si ad Sphæræ alicujus AEB, centro S descriptæ, particulas
singulas æquales tendant æquales vires centripetæ, & ad Sphæræ
axem AB, in quo corpusculum aliquod P locatur, erigantur de
punctis singulis D perpendicula DE, Sphæræ occurrentia in E, &
in ipsis capiantur longitudines DN, quæ sint ut quantitas DEq. ×
PS ÷ PE & vis quam Sphæræ particula sita in axe ad distantiam
PE exercet in corpusculum P conjunctim: dico quod vis tota, qua
corpusculum P trahitur versus Sphæram, est ut area comprehensa
sub axe Sphæræ AB & linea curva ANB, quam punctum N
perpetuo tangit.

Etenim stantibus quæ in Lemmate & Theoremate novissimo constructa
sunt, concipe axem Sphæræ AB dividi in particulas innumeras æquales Dd,
& Sphæram totam dividi in totidem laminas Sphæricas concavo-convexas
EFfe; & erigatur perpendiculum dn. Per Theorema superius, vis qua lamina
EFfe trahit corpusculum P est ut DEq. × Ff & vis particulæ unius ad
distantiam PE vel PF exercita conjunctim. Est autem per Lemma
novissimum, Dd ad Ff ut PE ad PS, & inde Ff æqualis PS × Dd ÷ PE; &
DEq. × Ff æquale Dd in DEq. × PS ÷ PE, & propterea vis laminæ EFfe est
ut Dd in DEq. × PS ÷ PE & vis particulæ ad distantiam PF exercita
conjunctim, hoc est (ex Hypothesi) ut DN × Dd, seu area evanescens DNnd.
Sunt igitur laminarum omnium vires in corpus P exercitæ, ut areæ omnes
DNnd, hoc est Sphæræ vis tota ut area tota ABNA. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si vis centripeta, ad particulas singulas tendens, eadem
semper maneat in omnibus distantiis, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PE: erit vis
tota qua corpusculum a Sphæra attrahitur, ut area ABNA.
Corol. 2. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distantia corpusculi
a se attracti, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PEq.: erit vis qua corpusculum P a
Sphæra tota attrahitur ut area ABNA.

Corol. 3. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus distantiæ
corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PEqq.: erit vis qua
corpusculum a tota Sphæra attrahitur ut area ABNA.
Corol. 4. Et universaliter si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas
tendens ponatur esse reciproce ut quantitas V, fiat autem DN ut {DEq. ×
PS} ÷ {PE × V}; erit vis qua corpusculum a Sphæra tota attrahitur ut area
ABNA.

Prop. LXXXI. Prob. XLI.

Stantibus jam positis, mensuranda est
Area ABNA.

A puncto P ducatur recta PH Sphæram
tangens in H, & ad axem PAB demissa
Normali HI, bisecetur PI in L; & erit (per
Prop. 12, Lib. 2. Elem.) PEq. æquale PSq. +
SEq. + 2PSD. Est autem SEq. seu SHq. (ob
similitudinem triangulorum SPH, SHI) æquale rectangulo PSI. Ergo PEq.
æquale est contento sub PS & PS + SI + 2SD, hoc est, sub PS & 2LS + 2SD,
id est, sub PS & 2LD. Porro DE quad. æquale est SEq. - SDq. seu SEq. -
LSq. + 2SLD - LDq. id est, SLD - LDq. - ALB. Nam LSq. - SEq. seu LSq. -
SAq. (per Prop. 6 Lib. 2. Elem) æquatur rectangulo ALB. Scribatur itaq;
2SLD - LDq. - ALB pro DEq. & quantitas {DEq. × PS} ÷ {PE × V}, quæ
secundum Corollarium quartum Propositionis præcedentis est ut longitudo
ordinatim applicatæ DN, resolvet sese in tres partes

2SLD × PS LDq. × PS ALB × PS
- - :
PE × V PE × V PE × V

ubi si pro V scribatur ratio inversa vis centripetæ, & pro PE
medium proportionale inter PS & 2LD; tres illæ partes
evadent ordinatim applicatæ linearum totidem curvarum,
quarum areæ per Methodos vulgatas innotescunt. Q. E. F.
Exempl. 1. Si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas
tendens sit reciproce ut distantia; pro V scribe distantiam

PE, dein 2PS × LD pro PEq., & fiet DN ut SL - ½LD - ALB ÷ 2LD. Pone
DN æqualem duplo ejus 2SL - LD - ALB ÷ LD: & ordinatæ pars data 2SL
ducta in longitudinem AB describet aream rectangulam 2SL × AB; & pars
indefinita LD ducta normaliter in eandem longitudinem per motum
continuum, ea lege ut inter movendum crescendo vel decrescendo æquetur
semper longitudini LD, describet aream {LBq. - LAq.} ÷ 2, id est, aream SL
× AB; quæ subducta de area priore 2SL × AB relinquit aream SL × AB. Pars
autem tertia ALB ÷ LD ducta itidem per motum localem normaliter in
eandem longitudinem, describet aream Hyperbolicam; quæ subducta de
area SL × AB relinquet aream quæsitam ABNA. Unde talis emergit
Problematis constructio. Ad puncta L, A, B erige perpendicula Ll, Aa, Bb,
quorum Aa ipsi LB, & Bb ipsi LA æquetur. Asymptotis Ll, LB, per puncta a,
b describatur Hyperbola ab. Et acta chorda ba claudet aream aba areæ
quæsitæ ABNA æqualem.
Exempl. 2. Si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas
tendens sit reciproce ut cubus distantiæ, vel (quod perinde
est) ut cubus ille applicatus ad planum quodvis datum;
scribe PE cub. ÷ 2ASq. pro V, dein 2PS × LD pro PEq.; &
fiet DN ut

SL × ASq. ASq. ALB × ASq.
- -
PS × LD 2PS 2PS × LDq.

id est (ob continue proportionales PS, AS, SI) ut

LSI ALB × SI
- ½SI - .
LD 2LDq.

Si ducantur hujus partes tres in longitudinem AB, prima LSI ÷ LD generabit
aream Hyperbolicam; secunda ½SI aream ½AB × SI; tertia ALB × SI ÷
2LDq. aream

ALB × SI ALB × SI
- ,
2LA 2LB

id est ½AB × SI. De prima subducatur summa secundæ ac tertiæ, & manebit
area quæsita ABNA. Unde talis emergit Problematis constructio. Ad puncta

L, A, S, B erige perpendicula Ll, Aa, Ss, Bb, quorum Ss ipsi SI æquetur,
perq; punctum s Asymptotis Ll, LB describatur Hyperbola asb occurrens
perpendiculis Aa, Bb in a & b; & rectangulum 2ASI subductum de area
Hyperbolica AasbB relinquet aream quæsitam ABNA.
Exempl. 3. Si Vis centripeta, ad singulas Sphæræ particulas tendens,
decrescit in quadruplicata ratione distantiæ a particulis, scribe PE4 ÷ 2AS3
pro V, dein √2PS × LD pro PE, & fiet DN ut
3 3 3
SL × SI /2 SI /2 ALB × SI /2
3/
- 1/
- 5/
.
√2 × LD 2 2√2 × LD 2 2√2 × LD 2

Cujus tres partes ductæ in longitudinem AB, producunt Areas totidem, viz.
1 3
√2 × SL × √2 × SL × LB /2 × SI /2 - ALB × ALB ×
3 3 1 3 3 3
SI /2 - SI /2 , LA /2 - SI /2 & SI /2 - SI /2
.
1 1 3√2 × 3√2 ×
LA /2 LB /2 √2 3 3
LA /2 LB /2

Et hæ post debitam reductionem, subductis posterioribus de priori, evadunt
8SI cub. ÷ 3LI. Igitur vis tota, qua corpusculum P in Sphæræ centrum
trahitur, est ut SI cub. ÷ PI, id est reciproce ut PS cub. × PI. Q. E. I.
Eadem Methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra Sphæram,
sed expeditius per Theorema sequens.

Prop. LXXXII. Theor. XLI.

In Sphæra centro S intervallo SA descripta, si capiantur SI, SA,
SP continue proportionales: dico quod corpusculi intra Sphæram
in loco quovis I attractio est ad attractionem ipsius extra
Sphæram in loco P, in ratione composita ex dimidiata ratione
distantiarum a centro IS, PS & dimidiata ratione virium
centripetarum, in locis illis P & I, ad centrum tendentium.

Ut si vires centripetæ particularum Sphæræ
sint reciproce ut distantiæ corpusculi a se
attracti; vis, qua corpusculum situm in I
trahitur a Sphæra tota, erit ad vim qua
trahitur in P, in ratione composita ex
dimidiata ratione distantiæ SI ad distantiam
SP & ratione dimidiata vis centripetæ in
loco I, a particula aliqua in centro oriundæ,
ad vim centripetam in loco P ab eadem in centro particula oriundam, id est,
ratione dimidiata distantiarum SI, SP ad invicem reciproce. Hæ duæ
rationes dimidiatæ componunt rationem æqualitatis, & propterea
attractiones in I & P a Sphæra tota factæ æquantur. Simili computo, si vires
particularum Sphæræ sunt reciproce in duplicata ratione distantiarum,
colligetur quod attractio in I sit ad attractionem in P, ut distantia SP ad
Sphæræ semidiametrum SA: Si vires illæ sunt reciproce in triplicata ratione
distantiarum, attractiones in I & P erunt ad invicem ut SP quad. ad SA
quad.; si in quadruplicata, ut SP cub. ad SA cub. Unde cum attractio in P, in
hoc ultimo casu, inventa fuit reciproce ut PS cub. × PI, attractio in I erit
reciproce ut SA cub. × PI, id est (ob datum SA cub.) reciproce ut PI. Et
similis est progressus in infinitum. Theorema vero sic demonstratur.
Stantibus jam ante constructis, & existente corpore in loco quovis P,
ordinatim applicata DN inventa fuit ut {DEq. × PS} ÷ {PE × V}. Ergo si
agatur IE, ordinata illa ad alium quemvis locum I, mutatis mutandis, evadet
ut {DEq. × IS} ÷ {IE × V}. Pone vires centripetas, e Sphæræ puncto quovis
E manantes, esse ad invicem in distantiis IE, PE, ut PEn ad IEn, (ubi
numerus n designet indicem potestatum PE & IE) & ordinatæ illæ fient ut
{DEq. × PS} ÷ {PE × PEn} & {DEq. × IS} ÷ {IE × IEn}, quarum ratio ad
invicem est ut PS × IE × IEn ad IS × PE × PEn. Quoniam ob similia
triangula SPE, SEI, fit IE ad PE ut IS ad SE vel SA; pro ratione IE ad PE
scribe rationem IS ad SA; & ordinatarum ratio evadet PS × IEn ad SA × PEn.
Sed PS ad SA dimidiata est ratio distantiarum PS, SI; & IEn ad PEn
dimidiata est ratio virium in distantiis PS, IS. Ergo ordinatæ, & propterea
areæ quas ordinatæ describunt, hisq; proportionales attractiones, sunt in
ratione composita ex dimidiatis illis rationibus. Q. E. D.

Prop. LXXXIII. Prob. XLII.

Invenire vim qua corpusculum in centro Sphæræ
locatum ad ejus segmentum quodcunq; attrahitur.

Sit P corpus in centro Sphæræ, & RBSD segmentum ejus
plano RDS & superficie Sphærica RBS contentum.
Superficie Sphærica EFG centro P descripta secetur DB
in F, ac distinguatur segmentum in partes BREFGS,
FEDG. Sit autem superficies illa non pure Mathematica,
sed Physica, profunditatem habens quam minimam.
Nominetur ista profunditas O, & erit hæc superficies (per demonstrata
Archimedis) ut PF × DF × O. Ponamus præterea vires attractivas
particularum Sphæræ esse reciproce ut distantiarum dignitas illa cujus
Index est n; & vis qua superficies FE trahit corpus P erit ut DF × O ÷ PFn -
1
. Huic proportionale sit perpendiculum FN ductum in O; & area curvilinea
BDLIB, quam ordinatim applicata FN in longitudinem DB per motum
continuum ducta describit, erit ut vis tota qua segmentum totum RBSD
trahit corpus P. Q. E. I.

Prop. LXXXIV. Prob. XLIII.

Invenire vim qua corpusculum, extra centrum Sphæræ in axe
segmenti cujusvis locatum, attrahitur ab eodem segmento.

A segmento EBK trahatur corpus P (Vide Fig. Prop. 79. 80. 81.) in ejus axe
ADB locatum. Centro P intervallo PE describatur superficies Sphærica
EFK, qua distinguatur segmentum in partes duas EBKF & EFKD. Quæratur
vis partis prioris per Prop. LXXXI. & vis partis posterioris per Prop.
LXXXIII.; & summa virium erit vis segmenti totius EBKD. Q. E. I.

Scholium.

Explicatis attractionibus corporum Sphæricorum, jam pergere liceret ad
leges attractionum aliorum quorundam ex particulis attractivis similiter
constantium corporum; sed ista particulatim tractare minus ad institutum
spectat. Suffecerit Propositiones quasdam generaliores de viribus hujusmodi
corporum, deq; motibus inde oriundis, ob eorum in rebus Philosophicis
aliqualem usum, subjungere.

SECT. XIII.
De Corporum etiam non Sphæricorum viribus attractivis.

Prop. LXXXV. Theor. XLII.

Si corporis attracti, ubi attrahenti contiguum est, attractio longe
fortior sit, quam cum vel minimo intervallo separantur ab
invicem: vires particularum trahentis, in recessu corporis attracti,
decrescunt in ratione plusquam duplicata distantiarum a
particulis.

Nam si vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum a particulis;
attractio versus corpus Sphæricum, propterea quod (per Prop. LXXIV.) sit
reciproce ut quadratum distantiæ attracti corporis a centro Sphæræ, haud
sensibiliter augebitur ex contactu; atq; adhuc minus augebitur ex contactu,
si attractio in recessu corporis attracti decrescat in ratione minore. Patet
igitur Propositio de Sphæris attractivis. Et par est ratio Orbium
Sphæricorum concavorum corpora externa trahentium. Et multo magis res
constat in Orbibus corpora interius constituta trahentibus, cum attractiones
passim per Orbium cavitates ab attractionibus contrariis (per Prop. LXX.)
tollantur, ideoq; vel in ipso contactu nullæ sunt. Quod si Sphæris hisce
Orbibusq; Sphæricis partes quælibet a loco contactus remotæ auferantur, &
partes novæ ubivis addantur: mutari possunt figuræ horum corporum
attractivorum pro lubitu, nec tamen partes additæ vel subductæ, cum sint a
loco contactus remotæ, augebunt notabiliter attractionis excessum qui ex
contactu oritur. Constat igitur Propositio de corporibus figurarum omnium.
Q. E. D.

Prop. LXXXVI. Theor. XLIII.

Si particularum, ex quibus corpus attractivum componitur, vires
in recessu corporis attracti decrescunt in triplicata vel plusquam
triplicata ratione distantiarum a particulis: attractio longe fortior

erit in contactu, quam cum attrahens & attractum intervallo vel
minimo separantur ab invicem.

Nam attractionem in accessu attracti corpusculi ad hujusmodi Sphæram
trahentem augeri in infinitum, constat per solutionem Problematis XLI. in
Exemplo secundo ac tertio exhibitam. Idem, per Exempla illa & Theorema
XLI inter se collata, facile colligitur de attractionibus corporum versus
Orbes concavo-convexos, sive corpora attracta collocentur extra Orbes, sive
intra in eorum cavitatibus. Sed & addendo vel auferendo his Sphæris &
Orbibus ubivis extra locum contactus materiam quamlibet attractivam, eo ut
corpora attractiva induant figuram quamvis assignatam, constabit Propositio
de corporibus universis. Q. E. D.

Prop. LXXXVII. Theor. XLIV.

Si corpora duo sibi invicem similia & ex materia æqualiter
attractiva constantia seorsim attrahant corpuscula sibi ipsis
proportionalia & ad se similiter posita: attractiones
acceleratrices corpusculorum in corpora tota erunt ut
attractiones acceleratrices corpusculorum in eorum particulas
totis proportionales & in totis similiter positas.

Nam si corpora distinguantur in particulas, quæ sint totis proportionales &
in totis similiter sitæ; erit, ut attractio in particulam quamlibet unius
corporis ad attractionem in particulam correspondentem in corpore altero,
ita attractiones in particulas singulas primi corporis ad attractiones in
alterius particulas singulas correspondentes; & componendo, ita attractio in
totum primum corpus ad attractionem in totum secundum. Q. E. D.
Corol. 1. Ergo si vires attractivæ particularum, augendo distantias
corpusculorum attractorum, decrescant in ratione dignitatis cujusvis
distantiarum: attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut corpora
directe & distantiarum dignitates illæ inverse. Ut si vires particularum
decrescant in ratione duplicata distantiarum a corpusculis attractis, corpora
autem sint ut A cub. & B cub. adeoq; tum corporum latera cubica, tum
corpusculorum attractorum distantiæ a corporibus, ut A & B: attractiones
acceleratrices in corpora erunt ut A cub. ÷ A quad. & B cub. ÷ B quad. id
est, ut corporum latera illa cubica A & B. Si vires particularum decrescant in

ratione triplicata distantiarum a corpusculis attractis; attractiones
acceleratrices in corpora tota erunt ut A cub. ÷ A cub. & B cub. ÷ B cub. id
est, æquales. Si vires decrescant in ratione quadruplicata, attractiones in
corpora erunt ut A cub. ÷ Aqq. & B cub. ÷ Bqq. id est, reciproce ut latera
cubica A & B. Et sic in cæteris.
Corol. 2. Unde vicissim, ex viribus quibus corpora similia trahunt
corpuscula ad se similiter posita, colligi potest ratio decrementi virium
particularum attractivarum in recessu corpusculi attracti; si modo
decrementum illud sit directe vel inverse in ratione aliqua distantiarum.

Prop. LXXXVIII. Theor. XLV.

Si particularum æqualium corporis cujuscunq; vires attractivæ
sint ut distantiæ locorum a particulis: vis corporis totius tendet
ad ipsius centrum gravitatis; & eadem erit cum vi globi ex
materia consimili & æquali constantis & centrum habentis in ejus
centro gravitatis.

Corporis RSTV particulæ A, B trahant corpusculum
aliquod Z viribus quæ, si particulæ æquantur inter se,
sint ut distantiæ AZ, BZ; sin particulæ statuantur
inæquales, sint ut hæ particulæ in distantias suas AZ, BZ
respective ductæ. Et exponantur hæ vires per contenta
illa A × AZ & B × BZ. Jungatur AB, & secetur ea in G ut
sit AG ad BG ut particula B ad particulam A; & erit G
commune centrum gravitatis particularum A & B. Vis A × AZ per Legum
Corol. 2. resolvitur in vires A × GZ & A × AG, & vis B × BZ in vires B ×
GZ & B × BG. Vires autem A × AG & B × BG, ob proportionales A ad B &
BG ad AG, æquantur, adeoq;, cum dirigantur in partes contrarias, se mutuo
destruunt. Restant vires A × GZ & B × GZ. Tendunt hæ ab Z versus centrum
G, & vim A + B × GZ componunt; hoc est, vim eandem ac si particulæ
attractivæ A & B consisterent in eorum communi gravitatis centro G,
globum ibi componentes.
Eodem argumento si adjungatur particula tertia C; & componatur hujus vis
cum vi A + B × GZ tendente ad centrum G, vis inde oriunda tendet ad
commune centrum gravitatis globi illius G & particulæ C; hoc est, ad

commune centrum gravitatis trium particularum A, B, C; & eadem erit ac si
globus & particula C consisterent in centro illo communi, globum majorem
ibi componentes. Et sic pergitur in infinitum. Eadem est igitur vis tota
particularum omnium corporis cujuscunq; RSTV ac si corpus illud, servato
gravitatis centro, figuram globi indueret. Q. E. D.
Corol. Hinc motus corporis attracti Z idem erit ac si corpus attrahens RSTV
esset Sphæricum: & propterea si corpus illud attrahens vel quiescat, vel
progrediatur uniformiter in directum, corpus attractum movebitur in Ellipsi
centrum habente in attrahentis centro gravitatis.

Prop. LXXXIX. Theor. XLVI.

Si Corpora sint plura ex particulis æqualibus constantia, quarum
vires sunt ut distantiæ locorum a singulis: vis ex omnium viribus
composita, qua corpusculum quodcunq; trahitur, tendet ad
trahentium commune centrum gravitatis, & eadem erit ac si
trahentia illa, servato gravitatis centro communi, coirent & in
globum formarentur.

Demonstratur eodem modo, atq; Propositio superior.
Corol. Ergo motus corporis attracti idem erit ac si corpora trahentia, servato
communi gravitatis centro, coirent & in globum formarentur. Ideoq; si
corporum trahentium commune gravitatis centrum vel quiescit, vel
progreditur uniformiter in linea recta, corpus attractum movebitur in Ellipsi,
centrum habente in communi illo trahentium centro gravitatis.

Prop. XC. Prob. XLIV.

Si ad singula circuli cujuscunq; puncta tendant vires centripetæ
decrescentes in quacunq; distantiarum ratione: invenire vim qua
corpusculum attrahitur ubivis in recta quæ ad planum circuli per
centrum ejus perpendicularis consistit.

Centro A intervallo quovis AD, in plano cui recta AP perpendicularis est,
describi intelligatur circulus; & invenienda sit vis qua corpus quodvis P in
eundem attrahitur. A circuli puncto quovis E ad corpus attractum P agatur

recta PE: In recta PA capiatur PF ipsi PE æqualis, &
erigatur Normalis FK, quæ sit ut vis qua punctum E
trahit corpusculum P. Sitq; IKL curva linea quam
punctum K perpetuo tangit. Occurrat eadem circuli
plano in L. In PA capiatur PH æqualis PD, & erigatur
perpendiculum HI curvæ prædictæ occurrens in I; & erit
corpusculi P attractio in circulum ut area AHIL ducta in
altitudinem AP. Q. E. I.
Etenim in AE capiatur linea quam minima Ee. Jungatur Pe, & in PA capiatur
Pf ipsi Pe æqualis. Et quoniam vis, qua annuli punctum quodvis E trahit ad
se corpus P, ponitur esse ut FK, & inde vis qua punctum illud trahit corpus
P versus A est ut AP × FK ÷ PE, & vis qua annulus totus trahit corpus P
versus A, ut annulus & AP × FK ÷ PE conjunctim; annulus autem iste est ut
rectangulum sub radio AE & latitudine Ee, & hoc rectangulum (ob
proportionales PE & AE, Ee & cE) æquatur rectangulo PE × cE seu PE ×
Ff; erit vis qua annulus iste trahit corpus P versus A ut PE × Ff & AP × FK
÷ PE conjunctim, id est, ut contentum Ff × AP × FK, sive ut area FKkf
ducta in AP. Et propterea summa virium, quibus annuli omnes in circulo,
qui centro A & intervallo AD describitur, trahunt corpus P versus A, est ut
area tota AHIKL ducta in AP. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si vires punctorum decrescunt in duplicata distantiarum
ratione, hoc est, si sit FK ut 1 ÷ PF quad., atq; adeo area AHIKL ut {1 ÷
PA} - {1 ÷ PH}; erit attractio corpusculi P in circulum 1 - {PA ÷ PH}, id
est, ut AH ÷ PH.
Corol. 2. Et universaliter, si vires punctorum ad distantias D sint reciproce
ut distantiarum dignitas quælibet Dn, hoc est, si sit FK ut 1 ÷ Dn, adeoq;
area AHIKL ut {1 ÷ PAn - 1} - {1 ÷ PHn - 1}; erit attractio corpusculi P in
circulum ut {1 ÷ PAn - 2} - {PA ÷ PHn - 1}.
Corol. 3. Et si diameter circuli augeatur in infinitum, & numerus n sit
unitate major; attractio corpusculi P in planum totum infinitum erit
reciproce ut PAn - 2, propterea quod terminus alter PA ÷ PHn - 1 evanescet.

Prop. XCI. Prob. XLV.

Invenire attractionem corpusculi siti in axe solidi, ad cujus
puncta singula tendunt vires centripetæ in quacunq; distantiarum
ratione decrescentes.

In solidum ADEFG trahatur corpusculum P, situm in
ejus axe AB. Circulo quolibet RFS ad hunc axem
perpendiculari secetur hoc solidum, & in ejus diametro
FS, in plano aliquo PALKB per axem transeunte,
capiatur (per Prop. XC.) longitudo FK vi qua
corpusculum P in circulum illum attrahitur
proportionalis. Tangat autem punctum K curvam
lineam LKI, planis extimorum circulorum AL & BI occurrentem in A & B;
& erit attractio corpusculi P in solidum ut area LABI. Q. E. D.
Corol. 1. Unde si solidum Cylindrus sit, parallelogrammo ADEB circa axem
AB revoluto descriptus, & vires centripetæ in singula ejus puncta tendentes
sint reciproce ut quadrata distantiarum a punctis: erit attractio corpusculi P
in hunc Cylindrum ut BA - PE + PD. Nam ordinatim applicata FK (per
Corol. 1. Prop. XC.) erit ut 1 - PF ÷ PR. Hujus pars 1 ducta in longitudinem
AB, describit aream 1 × AB; & pars altera PF ÷ PR ducta in longitudinem
PB, describit aream 1 in PE - AD (id quod ex curvæ LKI quadratura facile
ostendi potest:) & similiter pars eadem ducta in longitudinem PA describit
aream 1 in PD - AD, ductaq; in ipsarum PB, PA differentiam AB describit
arearum differentiam 1 in PE - PD. De contento primo 1 × AB auferatur
contentum postremum 1 in PE - PD, & restabit area LABI æqualis 1 in AB -
PE + PD. Ergo vis huic areæ proportionalis est ut AB - PE + PD.
Corol. 2. Hinc etiam vis innotescit qua Sphærois
AGBCD attrahit corpus quodvis P, exterius in axe
suo AB situm. Sit NKRM Sectio Conica cujus
ordinatim applicata ER, ipsi PE perpendicularis,
æquetur semper longitudini PD, quæ ducitur ad
punctum illud D, in quo applicata ista Sphæroidem
secat. A Sphæroidis verticibus A, B ad ejus axem
AB erigantur perpendicula AK, BM ipsis AP, BP
æqualia respective, & propterea Sectioni Conicæ occurrentia in K & M; &
jungantur KM auferens ab eadem segmentum KMRK. Sit autem Sphæroidis

centrum S & semidiameter maxima SC: & vis qua Sphærois trahit corpus P
erit ad vim qua Sphæra, diametro AB descripta, trahit idem corpus, ut

AS × CSq. - PS × KMRK AS cub.
ad .
PSq. + CSq. - ASq. 3PS quad.

Et eodem computando fundamento invenire licet vires segmentorum
Sphæroidis.
Corol. 3. Quod si corpusculum intra Sphæroidem in data
quavis ejusdem diametro collocetur; attractio erit ut ipsius
distantia a centro. Id quod facilius colligetur hoc
argumento. Sit AGOF Sphærois attrahens, S centrum ejus
& P corpus attractum. Per corpus illud P agantur tum
semidiameter SPA, tum rectæ duæ quævis DE, FG
Sphæroidi hinc inde occurrentes in D & E, F & G: Sintq;
PCM, HLN superficies Sphæroidum duarum interiorum, exteriori similium
& concentricarum, quarum prior transeat per corpus P & secet rectas DE &
FG in B & C, posterior secet easdem rectas in H, I & K, L. Habeant autem
Sphæroides omnes axem communem, & erunt rectarum partes hinc inde
interceptæ DP & BE, FP & CG, DH & IE, FK & LG sibi mutuo æquales;
propterea quod rectæ DE, PB & HI bisecantur in eodem puncto, ut & rectæ
FG, PC & KL. Concipe jam DPF, EPG designare Conos oppositos, angulis
verticalibus DPF, EPG infinite parvis descriptos, & lineas etiam DH, EI
infinite parvas esse; & Conorum particulæ Sphæroidum superficiebus
abscissæ DHKF, GLIE, ob æqualitatem linearum DH, EI, erunt ad invicem
ut quadrata distantiarum suarum a corpusculo P, & propterea corpusculum
illud æqualiter trahent. Et pari ratione, si superficiebus Sphæroidum
innumerarum similium concentricarum & axem communem habentium
dividantur spatia DPF, EGCB in particulas, hæ omnes utrinq; æqualiter
trahent corpus P in partes contrarias. Æquales igitur sunt vires coni DPF &
segmenti Conici EGCB, & per contrarietatem se mutuo destruunt. Et par est
ratio virium materiæ omnis extra Sphæroidem intimam PCBM. Trahitur
igitur corpus P a sola Sphæroide intima PCBM, & propterea (per Corol. 3.
Prop. LXXII.) attractio ejus est ad vim, qua corpus A trahitur a Sphæroide
tota AGOD, ut distantia PS ad distantiam AS. Q. E. I.

Prop. XCII. Prob. XLVI.

Dato corpore attractivo, invenire rationem decrementi virium
centripetarum in ejus puncta singula tendentium.

E corpore dato formanda est Sphæra vel Cylindrus aliave figura regularis,
cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi congruens (per Prop.
LXXX. LXXXI. & XCI.) inveniri potest. Dein factis experimentis
invenienda est vis attractionis in diversis distantiis, & lex attractionis in
totum inde patefacta dabit rationem decrementi virium partium singularum,
quam invenire oportuit.

Prop. XCIII. Theor. XLVII.

Si solidum ex una parte planum, ex reliquis autem partibus
infinitum, constet ex particulis æqualibus æqualiter attractivis,
quarum vires in recessu a solido decrescunt in ratione potestatis
cujusvis distantiarum plusquam quadraticæ, & vi solidi totius
corpusculum ad utramvis plani partem constitutum trahatur: dico
quod solidi vis illa attractiva, in recessu ab ejus superficie plana,
decrescet in ratione potestatis, cujus latus est distantia corpusculi
a plano, & Index ternario minor quam Index potestatis
distantiarum.

Cas. 1. Sit LGl planum quo Solidum terminatur.
Jaceat autem solidum ex parte plani hujus versus I,
inq; plana innumera mHM, nIN &c. ipsi GL parallela
resolvatur. Et primo collocetur corpus attractum C
extra solidum. Agatur autem CGHI planis illis
innumeris perpendicularis, & decrescant vires
attractivæ punctorum solidi in ratione potestatis distantiarum, cujus index
sit numerus n ternario non minor. Ergo (per Corol. 3. Prop. XC) vis qua
planum quodvis mHM trahit punctum C est reciproce ut CHn - 2. In plano
mHM capiatur longitudo HM ipsi CHn - 2 reciproce proportionalis, & erit vis
illa ut HM. Similiter in planis singulis lGL, nIN, oKO &c. capiantur
longitudines GL, IN, KO &c. ipsis CGn - 2, CIn - 2, CKn - 2 &c. reciproce
proportionales; & vires planorum eorundem erunt ut longitudines captæ,

adeoq; summa virium ut summa longitudinum, hoc est, vis solidi totius ut
area GLOK in infinitum versus OK producta. Sed area illa per notas
quadraturarum methodos est reciproce ut CGn - 3, & propterea vis solidi
totius est reciproce ut CGn - 3 Q. E. D.
Cas. 2. Collocetur jam corpusculum C ex parte plani lGL intra solidum, &
capiatur distantia CK æqualis distantiæ CG. Et solidi pars LGloKO, planis
parallelis lGL, oKO terminata, corpusculum C in medio situm nullam in
partem trahet, contrariis oppositorum punctorum actionibus se mutuo per
æqualitatem tollentibus. Proinde corpusculum C sola vi solidi ultra planum
OK siti trahitur. Hæc autem vis (per Casum primum) est reciproce ut CKn -
3
, hoc est (ob æquales CG, CK) reciproce ut CGn - 3. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si solidum LGIN planis duobus infinitis parallelis LG, IN
utrinq; terminetur; innotescit ejus vis attractiva, subducendo de vi attractiva
solidi totius infiniti LGKO vim attractivam partis ulterioris NIKO, in
infinitum versus KO productæ.
Corol. 2. Si solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attractio ejus collata
cum attractione partis citerioris nullius pene est momenti, rejiciatur:
attractio partis illius citerioris augendo distantiam decrescet quam proxime
in ratione potestatis CGn - 3.
Corol. 3. Et hinc si corpus quodvis finitum & ex una parte planum trahat
corpusculum e regione medii illius plani, & distantia inter corpusculum &
planum collata cum dimensionibus corporis attrahentis perexigua sit,
constet autem corpus attrahens ex particulis homogeneis, quarum vires
attractivæ decrescunt in ratione potestatis cujusvis plusquam quadruplicatæ
distantiarum; vis attractiva corporis totius decrescet quamproxime in ratione
potestatis, cujus latus sit distantia illa perexigua, & Index ternario minor
quam Index potestatis prioris. De corpore ex particulis constante, quarum
vires attractivæ decrescunt in ratione potestatis triplicatæ distantiarum,
assertio non valet, propterea quod, in hoc casu, attractio partis illius
ulterioris corporis infiniti in Corollario secundo, semper est infinite major
quam attractio partis citerioris.

Scholium.

Si corpus aliquod perpendiculariter versus planum datum trahatur, & ex
data lege attractionis quæratur motus corporis: Solvetur Problema quærendo
(per Prop. XXVII.) motum corporis recta descendentis ad hoc planum, &
(per Legum Corol. 2.) componendo motum istum cum uniformi motu,
secundum lineas eidem plano parallelas facto. Et contra, si quæratur Lex
attractionis in planum secundum lineas perpendiculares factæ ea conditione
ut corpus attractum in data quacunq; curva linea moveatur, solvetur
Problema operando ad exemplum Problematis tertii.
Operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim applicatas in series
convergentes. Ut si ad basem A in angulo quovis dato ordinatim applicetur
longitudo B, quæ sit ut basis dignitas quælibet Am÷n; & quæratur vis qua
corpus, secundum positionem ordinatim applicatæ, vel in basem attractum
vel a basi fugatum, moveri possit in curva linea quam ordinatim applicata
termino suo superiore semper attingit; Suppono basem augeri parte quam
minima O, & ordinatim applicatam A + Om÷n resolvo in Seriem infinitam

m mm - mn 2 (m - 2n)÷n
Am÷n + OA(m - n)÷n + O A &c.
n 2nn

atq; hujus termino in quo O duarum est dimensionum, id est termino {mm -
mn} ÷ 2nn O2 A(m - 2n)÷n vim proportionalem esse suppono. Est igitur vis
quæsita ut {mm - mn} ÷ nn A(m - 2n)÷n, vel quod perinde est, ut {mm - mn} ÷
nn B(m - 2n)÷m. Ut si ordinatim applicata Parabolam attingat, existente m = 2,
& n = 1: fiet vis ut data 2B0, adeoq; dabitur. Data igitur vi corpus movebitur
in Parabola, quemadmodum Galilæus demonstravit. Quod si ordinatim
applicata Hyperbolam attingat, existente m = 0 - 1, & n = 1; fiet vis ut 2B3:
adeoq; vi, quæ sit ut cubus ordinatim applicatæ, corpus movebitur in
Hyperbola. Sed missis hujusmodi Propositionibus, pergo ad alias quasdam
de motu, quas nondum attigi.

SECT. XIV.
De motu corporum minimorum, quæ viribus centripetis ad singulas magni
alicujus corporis partes tendentibus agitantur.

Prop. XCIV. Theor. XLVIII.

Si media duo similaria, spatio planis
parallelis utrinq; terminato, distinguantur ab
invicem, & corpus in transitu per hoc spatium
attrahatur vel impellatur perpendiculariter
versus medium alterutrum, neq; ulla alia vi
agitetur vel impediatur; Sit autem attractio, in
æqualibus ab utroq; plano distantiis ad
eandem ipsius partem captis, ubiq; eadem:
dico quod sinus incidentiæ in planum
alterutrum erit ad sinum emergentiæ ex plano
altero in ratione data.

Cas. 1. Sunto Aa, Bb plana duo parallela. Incidat corpus in planum prius Aa
secundam lineam GH, ac toto suo per spatium intermedium transitu
attrahatur vel impellatur versus medium incidentiæ, eaq; actione describat
lineam curvam HI, & emergat secundum lineam IK. Ad planum emergentiæ
Bb erigatur perpendiculum IM, occurrens tum lineæ incidentiæ GH
productæ in M, tum plano incidentiæ Aa in R; & linea emergentiæ KI
producta occurrat HM in L. Centro L intervallo LI describatur circulus,
secans tam HM in P & Q, quam MI productam in N; & primo si attractio vel
impulsus ponatur uniformis, erit (ex demonstratis Galilæi) curva HI
Parabola, cujus hæc est proprietas, ut rectangulum sub dato latere recto &
linea IM æquale sit HM quadrato; sed & linea HM bisecabitur in L. Unde si
ad MI demittatur perpendiculum LO, æquales erunt MO, OR; & additis
æqualibus IO, ON, fient totæ æquales MN, IR. Proinde cum IR detur, datur
etiam MN, estq; rectangulum NMI ad rectangulum sub latere recto & IM,
hoc est, ad HMq., in data ratione. Sed rectangulum NMI æquale est

rectangulo PMQ, id est, differentiæ quadratorum MLq. & PLq. seu LIq.; &
HMq. datam rationem habet ad sui ipsius quartam partem LMq.: ergo datur
ratio MLq. - LIq. ad MLq., & divisim, ratio LIq. ad MLq., & ratio dimidiata
LI ad ML. Sed in omni triangulo LMI, sinus angulorum sunt proportionales
lateribus oppositis. Ergo datur ratio sinus anguli incidentiæ LMR ad sinum
anguli emergentiæ LIR. Q. E. D.
Cas. 2. Transeat jam corpus successive per spatia
plura parallelis planis terminata, AabB, BbcC &c. &
agitetur vi quæ sit in singulis separatim uniformis, at
in diversis diversa; & per jam demonstrata, sinus
incidentiæ in planum primum Aa erit ad sinum
emergentiæ ex plano secundo Bb, in data ratione; &
hic sinus, qui est sinus incidentiæ in planum
secundum Bb, erit ad sinum emergentiæ ex plano
tertio Cc, in data ratione; & hic sinus ad sinum emergentiæ ex plano quarto
Dd, in data ratione; & sic in infinitum: & ex æquo sinus incidentiæ in
planum primum ad sinum emergentiæ ex plano ultimo in data ratione.
Minuatur jam planorum intervalla & augeatur numerus in infinitum, eo ut
attractionis vel impulsus actio secundum legem quamcunq; assignatam
continua reddatur; & ratio sinus incidentiæ in planum primum ad sinum
emergentiæ ex plano ultimo, semper data existens, etiamnum dabitur.
Q. E. D.

Prop. XCV. Theor. XLIX.

Iisdem positis; dico quod velocitas corporis ante incidentiam est
ad ejus velocitatem post emergentiam, ut sinus emergentiæ ad
sinum incidentiæ.

Capiantur AH, Id æquales, & erigantur perpendicula AG, dK occurrentia
lineis incidentiæ & emergentiæ GH, IK, in G & K. In GH capiatur TH
æqualis IK, & ad planum Aa demittatur normaliter Tv. Et per Legum Corol.
2. distinguatur motus corporis in duos, unum planis Aa, Bb, Cc &c.
perpendicularem, alterum iisdem parallelum. Vis attractionis vel impulsus
agendo secundum lineas perpendiculares nil mutat motum secundum
parallelas, & propterea corpus hoc motu conficiet æqualibus temporibus

æqualia illa secundum parallelas intervalla, quæ sunt inter lineam AG &
punctum H, interq; punctum I & lineam dK; hoc est, æqualibus temporibus
describet lineas GH, IK. Proinde velocitas ante incidentiam est ad
velocitatem post emergentiam, ut GH ad IK vel TH, id est, ut AH vel Id ad
vH, hoc est (respectu radii TH vel IK) ut sinus emergentiæ ad sinum
incidentiæ. Q. E. D.

Prop. XCVI. Theor. L.

Iisdem positis & quod motus ante incidentiam velocior sit quam
postea: dico quod corpus, inclinando lineam incidentiæ,
reflectetur tandem, & angulus reflexionis fiet æqualis angulo
incidentiæ.

Nam concipe corpus inter plana parallela Aa, Bb, Cc
&c. describere arcus Parabolicos, ut supra; sintq;
arcus illi HP, PQ, QR, &c. Et sit ea lineæ incidentiæ
GH obliquitas ad planum primum Aa, ut sinus
incidentiæ sit ad radium circuli, cujus est sinus, in
ea ratione quam habet idem sinus incidentiæ ad sinum emergentiæ ex plano
Dd, in spatium DdeE: & ob sinum emergentiæ jam factum æqualem radio,
angulus emergentiæ erit rectus, adeoq; linea emergentiæ coincidet cum
plano Dd. Perveniat corpus ad hoc planum in puncto R; & quoniam linea
emergentiæ coincidit cum eodem plano, perspicuum est quod corpus non
potest ultra pergere versus planum Ee. Sed nec potest idem pergere in linea
emergentiæ Rd, propterea quod perpetuo attrahitur vel impellitur versus
medium incidentiæ. Revertetur itaq; inter plana Cc, Dd describendo arcum
Parabolæ QRq, cujus vertex principalis (juxta demonstrata Galilæi) est in R;
secabit planum Cc in eodem angulo in q, ac prius in Q; dein pergendo in
arcubus parabolicis qp, ph &c. arcubus prioribus QP, PH similibus &
æqualibus, secabit reliqua plana in iisdem angulis in p, h &c. ac prius in P,
H &c. emergetq; tandem eadem obliquitate in h, qua incidit in H. Concipe
jam planorum Aa, Bb, Cc, Dd, Ee intervalla in infinitum minui & numerum
augeri, eo ut actio attractionis vel impulsus secundum legem quamcunq;
assignatam continua reddatur; & angulus emergentiæ semper angulo
incidentiæ æqualis existens, eidem etiamnum manebit æqualis. Q. E. D.

Scholium.

Harum attractionum haud multum dissimiles sunt Lucis
reflexiones & refractiones, factæ secundum datam
Secantium rationem, ut invenit Snellius, & per consequens
secundum datam Sinuum rationem, ut exposuit Cartesius.
Namq; Lucem successive propagari & spatio quasi decem
minutorum primorum a Sole ad Terram venire, jam constat per Phænomena
Satellitum Jovis, Observationibus diversorum Astronomorum confirmata.
Radii autem in aere existentes (uti dudum Grimaldus, luce per foramen in
tenebrosum cubiculum admissa, invenit, & ipse quoq; expertus sum) in
transitu suo prope corporum vel opacorum vel perspicuorum angulos
(quales sunt nummorum ex auro, argento & ære cusorum termini rectanguli
circulares, & cultrorum, lapidum aut fractorum vitrorum acies) incurvantur
circum corpora, quasi attracti in eadem; & ex his radiis, qui in transitu illo
propius accedunt ad corpora incurvantur magis, quasi magis attracti, ut ipse
etiam diligenter observavi. In figura designat s aciem cultri vel cunei
cujusvis AsB; & gowog, fnvnf, emtme, dlsld sunt radii, arcubus owo, nvn,
mtm, lsl versus cultrum incurvati; idq; magis vel minus pro distantia eorum
a cultro. Cum autem talis incurvatio radiorum fiat in aere extra cultrum,
debebunt etiam radii, qui incidunt in cultrum, prius incurvari in aere quam
cultrum attingunt. Et par est ratio incidentium in vitrum. Fit igitur refractio,
non in puncto incidentiæ, sed paulatim per continuam incurvationem
radiorum, factam partim in aere antequam attingunt vitrum, partim (ni
fallor) in vitro, postquam illud ingressi sunt: uti in radiis ckzkc, biyib, ahxha
incidentibus ad r, q, p, & inter k & z, i & y, h & x incurvatis, delineatum est.
Igitur ob analogiam quæ est inter propagationem radiorum lucis &
progressum corporum, visum est Propositiones sequentes in usus opticos
subjungere; interea de natura radiorum (utrum sint corpora necne) nihil
omnino disputans, sed trajectorias corporum trajectoriis radiorum
persimiles solummodo determinans.

Prop. XCVII. Prob. XLVII.

Posito quod sinus incidentiæ in superficiem aliquam sit ad sinum
emergentiæ in data ratione, quodq; incurvatio viæ corporum
juxta superficiem illam fiat in spatio brevissimo, quod ut punctum

considerari possit; determinare superficiem quæ corpuscula
omnia de loco dato successive manantia convergere faciat ad
alium locum datum.

Sit A locus a quo corpuscula divergunt; B locus in
quem convergere debent; CDE curva linea quæ
circa axem AB revoluta describat superficiem
quæsitam; D, E curvæ illius puncta duo quævis; &
EF, EG perpendicula in corporis vias AD, DB
demissa. Accedat punctum D ad punctum E; & lineæ DF qua AD augetur,
ad lineam DG qua DB diminuitur, ratio ultima erit eadem quæ sinus
incidentiæ ad sinum emergentiæ. Datur ergo ratio incrementi lineæ AD ad
decrementum lineæ DB; & propterea si in axe AB sumatur ubivis punctum
C, per quod curva CDE transire debet, & capiatur ipsius AC incrementum
CM, ad ipsius BC decrementum CN in data ratione; centrisq; A, B, &
intervallis AM, BN describantur circuli duo se mutuo secantes in D:
punctum illud D tanget curvam quæsitam CDE, eandemq; ubivis tangendo
determinabit. Q. E. I.
Corol. 1. Faciendo autem ut punctum A vel B nunc abeat in infinitum, nunc
migret ad alteras partes puncti C, habebuntur figuræ illæ omnes quas
Cartesius in Optica & Geometria ad refractiones exposuit. Quarum
inventionem cum Cartesius maximi fecerit & studiose celaverit, visum fuit
hic propositione exponere.
Corol. 2. Si corpus in superficiem quamvis CD,
secundum lineam rectam AD lege quavis ductam
incidens, emergat secundum aliam quamvis rectam
DK, & a puncto C duci intelligantur lineæ curvæ
CP, CQ ipsis AD, DK semper perpendiculares:
erunt incrementa linearum PD, QD, atq; adeo lineæ
ipsæ PD, QD, incrementis istis genitæ, ut sinus
incidentiæ & emergentiæ ad invicem: & contra.

Prop. XCVIII. Prob. XLVIII.

Iisdem positis, & circa axem AB descripta superficie quacunq;
attractiva CD, regulari vel irregulari, per quam corpora de loco

dato A exeuntia transire debent: invenire superficiem secundam
attractivam EF, quæ corpora illa ad locum datum B convergere
faciat.

Juncta AB secet superficiem primam in C & secundam in E, puncto D
utcunq; assumpto. Et posito sinu incidentiæ in superficiem primam ad
sinum emergentiæ ex eadem, & sinu emergentiæ e superficie secunda ad
sinum incidentiæ in eandem, ut quantitas aliqua data M ad aliam datam N;
produc tum AB ad G ut sit BG ad CE ut M - N ad N, tum AD ad H ut sit AH
æqualis AG, tum etiam DF ad K ut sit DK ad DH ut N ad M. Junge KB, &
centro D intervallo DH describe circulum occurrentem KB productæ in L,
ipsiq; DL parallelam age BF: & punctum F tanget lineam EF, quæ circa
axem AB revoluta describet superficiem quæsitam. Q. E. F.
Nam concipe lineas CP, CQ ipsis AD, DF respective, & lineas ER, ES ipsis
FB, FD ubiq; perpendiculares esse, adeoq; QS ipsi CE semper æqualem; &
erit (per Corol. 2. Prop. XCVII.) PD ad QD ut M ad N, adeoq; ut DL ad DK
vel FB ad FK; & divisim ut DL - FB seu PH - PD - FB ad FD seu FQ - QD;
& composite ut HP - FB ad FQ, id est (ob æquales HP & CG, QS & CE)
CE + BG - FR ad CE - FS. Verum (ob proportionales BG ad CE & M - N ad
N) est etiam CE + BG ad CE ut M ad N: adeoq; divisim FR ad FS ut M ad
N, & propterea per Corol. 2. Prop. XCVII. superficies EF cogit corpus in se
secundum lineam DF incidens pergere in linea FR, ad locum B. Q. E. D.

Scholium.

Eadem methodo pergere liceret ad superficies tres vel plures. Ad usus autem
Opticos maxime accommodatæ sunt figuræ Sphæricæ. Si Perspicillorum
vitra Objectiva ex vitris duobus Sphærice figuratis & Aquam inter se
claudentibus conflentur, fieri potest ut a refractionibus aquæ errores
refractionum, quæ fiunt in vitrorum superficiebus extremis, satis accurate
corrigantur. Talia autem vitra Objectiva vitris Ellipticis & Hyperbolicis
præferenda sunt, non solum quod facilius & accuratius formari possint, sed
etiam quod penicillos radiorum extra axem vitri sitos accuratius refringant.
Verum tamen diversa diversorum radiorum refrangibilitas impedimento est,
quo minus Optica per figuras vel Sphæricas vel alias quascunq; perfici

possit. Nisi corrigi possint errores illinc oriundi, labor omnis in cæteris
corrigendis imperite collocabitur.

DE MOTU CORPORUM

Liber SECUNDUS

SECT. I.
De Motu corporum quibus resistitur in ratione velocitatis.

Prop. I. Theor. I.

Corporis, cui resistitur in ratione velocitatis, motus ex resistentia
amissus est ut spatium movendo confectum.

Nam cum motus singulis temporis particulis amissus sit ut velocitas, hoc est
ut itineris confecti particula: erit componendo motus toto tempore amissus
ut iter totum. Q. E. D.
Corol. Igitur si corpus gravitate omni destitutum in spatiis liberis sola vi
insita moveatur, ac detur tum motus totus sub initio, tum etiam motus
reliquus post spatium aliquod confectum, dabitur spatium totum quod
corpus infinito tempore describere potest. Erit enim spatium illud ad
spatium jam descriptum ut motus totus sub initio ad motus illius partem
amissam.

Lemma I.

Quantitates differentiis suis proportionales, sunt continue
proportionales.

Sit A ad A - B ut B ad B - C & C ad C - D &c. & dividendo fiet A ad B ut B
ad C & C ad D &c. Q. E. D.

Prop. II. Theor. II.

Si corpori resistitur in ratione velocitatis, & sola vi insita per
Medium similare moveatur, sumantur autem tempora æqualia:
velocitates in principiis singulorum temporum sunt in
progressione Geometrica, & spatia singulis temporibus descripta
sunt ut velocitates.

Cas. 1. Dividatur tempus in particulas æquales, & si ipsis particularum
initiis agat vis resistentiæ impulsu unico, quæ sit ut velocitas, erit
decrementum velocitatis singulis temporis particulis ut eadem velocitas.
Sunt ergo velocitates differentiis suis proportionales, & propterea (per Lem.
I. Lib. II.) continue proportionales. Proinde si ex æquali particularum
numero componantur tempora quælibet æqualia, erunt velocitates ipsis
temporum initiis, ut termini in progressione continua, qui per saltum
capiuntur, omisso passim æquali terminorum intermediorum numero.
Componuntur autem horum terminorum rationes ex æqualibus rationibus
terminorum intermediorum æqualiter repetitis, & propterea sunt æquales.
Igitur velocitates his terminis proportionales, sunt in progressione
Geometrica. Minuantur jam æquales illæ temporum particulæ, & augeatur
earum numerus in infinitum, eo ut resistentiæ impulsus reddatur continuus,
& velocitates in principiis æqualium temporum, semper continue
proportionales, erunt in hoc etiam Casu continue proportionales. Q. E. D.
Cas. 2. Et divisim velocitatum differentiæ, hoc est earum
partes singulis temporibus amissæ, sunt ut totæ: Spatia autem
singulis temporibus descripta sunt ut velocitatum partes
amissæ, (per Prop. I. Lib. II.) & propterea etiam ut totæ.
Q. E. D.
Corol. Hinc si Asymptotis rectangulis ADC, CH describatur Hyperbola BG,
sintq; AB, DG ad Asymptoton AC perpendiculares, & exponatur tum
corporis velocitas tum resistentia Medii, ipso motus initio, per lineam
quamvis datam AC, elapso autem tempore aliquo per lineam indefinitam
DC: exponi potest tempus per aream ABGD, & spatium eo tempore
descriptum per lineam AD. Nam si area illa per motum puncti D augeatur
uniformiter ad modum temporis, decrescet recta DC in ratione Geometrica
ad modum velocitatis, & partes rectæ AC æqualibus temporibus descriptæ
decrescent in eadem ratione.

Prop. III. Prob. I.

Corporis, cui dum in Medio similari recta ascendit vel descendit,
resistitur in ratione velocitatis, quodq; ab uniformi gravitate
urgetur, definire motum.

Corpore ascendente, exponatur gravitas per datum
quodvis rectangulum BC, & resistentia Medii initio
ascensus per rectangulum BD sumptum ad contrarias
partes. Asymptotis rectangulis AC, CH, per punctum
B describatur Hyperbola secans perpendicula DE, de
in G, g; & corpus ascendendo, tempore DGgd,
describet spatium EGge, tempore DGBA spatium
ascensus totius EGB, tempore AB2G2D spatium descensus BF2G, atq;
tempore 2D2G2g2d spatium descensus 2GF2e2g: & velocitates corporis
(resistentiæ Medii proportionales) in horum temporum periodis erunt
ABED, ABed, nulla, ABF2D, AB2e2d respective; atq; maxima velocitas,
quam corpus descendendo potest acquirere, erit BC.
Resolvatur enim rectangulum AH in rectangula
innumera Ak, Kl, Lm, Mn, &c. quæ sint ut
incrementa velocitatum æqualibus totidem
temporibus facta; & erunt nihil, Ak, Al, Am, An, &c.
ut velocitates totæ, atq; adeo (per Hypothesin) ut
resistentia Medii in principio singulorum temporum
æqualium. Fiat AC ad AK vel ABHC ad ABkK, ut vis
gravitatis ad resistentiam in principio temporis secundi, deq; vi gravitatis
subducantur resistentiæ, & manebunt ABHC, KkHC, LlHC, NnHC, &c. ut
vires absolutæ quibus corpus in principio singulorum temporum urgetur,
atq; adeo (per motus Legem II.) ut incrementa velocitatum, id est, ut
rectangula Ak, Kl, Lm, Mn &c; & propterea (per Lem. I. Lib. II.) in
progressione Geometrica. Quare si rectæ Kk, Ll, Mm, Nn &c. productæ
occurrant Hyperbolæ in q, r, s, t &c. erunt areæ ABqK, KqrL, LrsM, MstN
&c. æquales, adeoq; tum temporibus tum viribus gravitatis semper
æqualibus analogæ. Est autem area ABqK (per Corol. 3. Lem. VII. & Lem.
VIII. Lib. I.) ad aream Bkq ut Kq ad ½kq seu AC ad ½AK, hoc est ut vis
gravitatis ad resistentiam in medio temporis primi. Et simili argumento areæ
qKLr, rLMs, sMNt, &c. sunt ad areas qklr, rlms, smnt &c. ut vires gravitatis
ad resistentias in medio temporis secundi, tertii, quarti, &c. Proinde cum
areæ æquales BAKq, qKLr, rLMs, sMNt, &c. sint viribus grauitatis analogæ,
erunt areæ Bkq, qklr, rlms, smnt, &c. resistentiis in mediis singulorum
temporum, hoc est, (per Hypothesin) velocitatibus, atq; adeo descriptis
spatiis analogæ. Sumantur analogarum summæ, & erunt areæ Bkq, Blr,

Bms, Bnt, &c. spatiis totis descriptis analogæ; necnon areæ ABqK, ABrL,
ABsM, ABtN, &c. temporibus. Corpus igitur inter descendendum, tempore
quovis ABrL, describit spatium Blr, & tempore LrtN spatium rlnt. Q. E. D.
Et similis est demonstratio motus expositi in ascensu. Q. E. D.
Corol. 1. Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo potest acquirere,
est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam, ut vis data gravitatis qua
perpetuo urgetur, ad excessum vis hujus supra vim qua in fine temporis
illius resistitur.
Corol. 2. Tempore autem aucto in progressione Arithmetica, summa
velocitatis illius maximæ ac velocitatis in ascensu (atq; etiam earundem
differentia in descensu) decrescit in progressione Geometrica.
Corol. 3. Sed & differentiæ spatiorum, quæ in æqualibus temporum
differentiis describuntur, decrescunt in eadem progressione Geometrica.
Corol. 4. Spatium vero a corpore descriptum differentia est duorum
spatiorum, quorum alterum est ut tempus sumptum ab initio descensus, &
alterum ut velocitas, quæ etiam ipso descensus initio æquantur inter se.

Prop. IV. Prob. II.

Posito quod vis gravitatis in Medio aliquo similari uniformis sit,
ac tendat perpendiculariter ad planum Horizontis; definire
motum Projectilis, in eodem resistentiam velocitati
proportionalem patientis.

E loco quovis D egrediatur Projectile secundum
lineam quamvis rectam DP, & per longitudinem DP
exponatur ejusdem velocitas sub initio motus. A
puncto P ad lineam Horizontalem DC demittatur
perpendiculum PC, & secetur DC in A ut sit DA ad
AC ut resistentia Medii ex motu in altitudinem sub
initio orta, ad vim gravitatis; vel (quod perinde est)
ut sit rectangulum sub DA & DP ad rectangulum sub
AC & CP ut resistentia tota sub initio motus ad vim Gravitatis. Describatur
Hyperbola quævis GTBS secans erecta perpendicula DG, AB in G & B; &

compleatur parallelogrammum DGKC, cujus latus GK secet AB in Q.
Capiatur linea N in ratione ad QB qua DC sit ad CP; & ad rectæ DC
punctum quodvis R erecto perpendiculo RT, quod Hyperbolæ in T, & rectis
GK, DP in t & V occurrat; in eo cape Vr æqualem tGT ÷ N, & Projectile
tempore DRTG perveniet ad punctum r, describens curvam lineam DraF,
quam punctum r semper tangit; perveniens autem ad maximam altitudinem
a in perpendiculo AB, & postea semper appropinquans ad Asymptoton PLC.
Estq; velocitas ejus in puncto quovis r ut Curvæ Tangens rL. Q. E. I.
Est enim N ad QB ut DC ad CP seu DR ad RV, adeoq; RV æqualis DR × QB
÷ N, & Rr (id est RV - Vr seu {DR × QB - tGT} ÷ N) æqualis {DR × AB -
RDGT} ÷ N. Exponatur jam tempus per aream RDGT, & (per Legum Corol.
2.) distinguatur motus corporis in duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et
cum resistentia sit ut motus, distinguetur etiam hæc in partes duas partibus
motus proportionales & contrarias: ideoq; longitudo a motu ad latus
descripta erit (per Prop. II. hujus) ut linea DR, altitudo vero (per Prop. III.
hujus) ut area DR × AB - RDGT, hoc est, ut linea Rr. Ipso autem motus
initio area RDGT æqualis est rectangulo DR × AQ, ideoq; linea illa Rr (seu
{DR × AB - DR × AQ} ÷ N) tunc est ad DR ut AB - AQ (seu QB) ad N, id
est ut CP ad DC; atq; adeo ut motus in altitudinem ad motum in
longitudinem sub initio. Cum igitur Rr semper sit ut altitudo, ac DR semper
ut longitudo, atq; Rr ad DR sub initio ut altitudo ad longitudinem: necesse
est ut Rr semper sit ad DR ut altitudo ad longitudinem, & propterea ut
corpus moveatur in linea DraF, quam punctum r perpetuo tangit. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si vertice D, Diametro DE deorsum producta, & latere recto
quod sit ad 2DP ut resistentia tota, ipso motus initio, ad vim gravitatis,
Parabola construatur: velocitas quacum corpus exire debet de loco D
secundum rectam DP, ut in Medio uniformi resistente describat Curvam
DraF, ea ipsa erit quacum exire debet de eodem loco D, secundum eandem
rectam DR, ut in spatio non resistente describat Parabolam. Nam Latus
rectum Parabolæ hujus, ipso motus initio, est DV quad. ÷ Vr & Vr est tGT ÷
N seu DR × Tt ÷ 2N. Recta autem, quæ, si duceretur, Hyperbolam GTB
tangeret in G, parallela est ipsi DK, ideoq; Tt est CK × DR ÷ DC, & N erat
QB × DC ÷ CP. Et propterea Vr est DRq. × CK × CP ÷ {2CDq. × QB}, id
est (ob proportionales DR & DC, DV & DP) DVq. × CK × CP ÷ {2DPq. ×
QB}, & Latus rectum DV quad. ÷ Vr prodit 2DPq. × QB ÷ {CK × CP}, id
est (ob proportionales QB & CK, DA & AC) 2DPq. × DA ÷ {AC × CP},

adeoq; ad 2DP ut DP × DA ad PC × AC; hoc est ut resistentia ad
gravitatem. Q. E. D.
Corol. 2. Unde si corpus de loco quovis D, data cum velocitate, secundum
rectam quamvis positione datam DP projiciatur; & resistentia Medii ipso
motus initio detur, inveniri potest Curva DraF, quam corpus idem describet.
Nam ex data velocitate datur latus rectum Parabolæ, ut notum est. Et
sumendo 2DP ad latus illud rectum ut est vis Gravitatis ad vim resistentiæ,
datur DP. Dein secando DC in A, ut sit CP × AC ad DP × DA in eadem illa
ratione Gravitatis ad resistentiam, dabitur punctum A. Et inde datur Curva
DraF.
Corol. 3. Et contra, si datur curva DraF, dabitur & velocitas corporis &
resistentia Medii in locis singulis r. Nam ex data ratione CP × AC ad DP ×
DA, datur tum resistentia Medii sub initio motus, tum latus rectum
Parabolæ: & inde datur etiam velocitas sub initio motus. Deinde ex
longitudine tangentis rL, datur & huic proportionalis velocitas, & velocitati
proportionalis resistentia in loco quovis r.
Corol. 4. Cum autem longitudo 2DP sit ad latus rectum Parabolæ ut
gravitas ad resistentiam in D; & ex aucta Velocitate augeatur resistentia in
eadem ratione, at latus rectum Parabolæ augeatur in ratione illa duplicata:
patet longitudinem 2DP augeri in ratione illa simplici, adeoq; velocitati
semper proportionalem esse, neq; ex angulo CDP mutato augeri vel minui,
nisi mutetur quoq; velocitas.
Corol. 5. Unde liquet methodus determinandi Curvam
DraF ex Phænomenis quamproxime, & inde colligendi
resistentiam & velocitatem quacum corpus projicitur.
Projiciantur corpora duo similia & æqualia eadem cum
velocitate, de loco D, secundum angulos diversos CDP, cDp (minuscularum
literarum locis subintellectis) & cognoscantur loca F, f, ubi incidunt in
horizontale planum DC. Tum, assumpta quacunq; longitudine pro DP vel
Dp, fingatur quod resistentia in D sit ad gravitatem in ratione qualibet, &
exponatur ratio illa per longitudinem quamvis SM. Deinde per
computationem, ex longitudine illa assumpta DP, inveniantur longitudines
DF, Df, ac de ratione Ff ÷ DF per calculum inventa, auferatur ratio eadem
per experimentum inventa, & exponatur differentia per perpendiculum MN.

Idem fac iterum ac tertio, assumendo semper novam resistentiæ ad
gravitatem rationem SM, & colligendo novam differentiam MN. Ducantur
autem differentiæ affirmativæ ad unam partem rectæ SM, & negativæ ad
alteram; & per puncta N, N, N agatur curva regularis NNN secans rectam
SMMM in X, & erit SX vera ratio resistentiæ ad gravitatem, quam invenire
oportuit. Ex hac ratione colligenda est longitudo DF per calculum; &
longitudo quæ sit ad assumptam longitudinem DP ut modo inventa
longitudo DF ad longitudinem eandem per experimentum cognitam, erit
vera longitudo DP. Qua inventa, habetur tum Curva Linea DraF quam
corpus describit, tum corporis velocitas & resistentia in locis singulis.

Scholium.

Cæterum corpora resisti in ratione velocitatis Hypothesis est magis
Mathematica quam Naturalis. Obtinet hæc ratio quamproxime ubi corpora
in Mediis rigore aliquo præditis tardissime moventur. In Mediis autem quæ
rigore omni vacant (uti posthac demonstrabitur) corpora resistuntur in
duplicata ratione velocitatum. Actione corporis velocioris communicatur
eidem Medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione majoris
velocitatis, adeoq; tempore æquali (ob majorem Medii quantitatem
perturbatam) communicatur motus in duplicata ratione major, estq;
resistentia (per motus Legem 2. & 3.) ut motus communicatus. Videamus
igitur quales oriantur motus ex hac lege Resistentiæ.

SECT. II.
De motu corporum quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum.

Prop. V. Theor. III.

Si corpori resistitur in velocitatis ratione duplicata, & sola vi
insita per Medium similare movetur, tempora vero sumantur in
progressione Geometrica a minoribus terminis ad majores
pergente: dico quod velocitates initio singulorum temporum sunt
in eadem progressione Geometrica inverse, & quod spatia sunt
æqualia quæ singulis temporibus describuntur.

Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis est
resistentia Medii, & resistentiæ proportionale est
decrementum velocitatis; si tempus in particulas
innumeras æquales dividatur, quadrata velocitatum
singulis temporum initiis erunt velocitatum earundem
differentiis proportionalia. Sunto temporis particulæ illæ
AK, KL, LM, &c. in recta CD sumptæ, & erigantur
perpendicula AB, Kk, Ll, Mm, &c. Hyperbolæ BklmG, centro C Asymptotis
rectangulis CD, CH descriptæ occurrentia in B, k, l, m, &c. & erit AB ad Kk
ut CK ad CA, & divisim AB - Kk ad Kk ut AK ad CA, & vicissim AB - Kk ad
AK ut Kk ad CA, adeoq; ut AB × Kk ad AB × CA. Unde cum AK & AB × CA
dentur, erit AB - Kk ut AB × Kk; & ultimo, ubi coeunt AB & Kk, ut ABq. Et
simili argumento erunt Kk - Ll, Ll - Mm, &c. ut Kkq., Llq. &c. Linearum
igitur AB, Kk, Ll, Mm quadrata sunt ut earundem differentiæ, & idcirco cum
quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum differentiæ, similis erit
ambarum progressio. Quo demonstrato, consequens est etiam ut areæ his
lineis descriptæ sint in progressione consimili cum spatiis quæ velocitatibus
describuntur. Ergo si velocitas initio primi temporis AK exponatur per
lineam AB, & velocitas initio secundi KL per lineam Kk, & longitudo primo
tempore descripta per arcam AKkB, velocitates omnes subsequentes
exponentur per lineas subsequentes Ll, Mm, &c. & longitudines descriptæ

per areas Kl, Lm, &c. & composite, si tempus totum exponatur per summam
partium suarum AM, longitudo tota descripta exponetur per summam
partium suarum AMmB. Concipe jam tempus AM ita dividi in partes AK,
KL, LM, &c. ut sint CA, CK, CL, CM, &c. in progressione Geometrica, &
erunt partes illæ in eadem progressione, & velocitates AB, Kk, Ll, Mm, &c.
in progressione eadem inversa, atq; spatia descripta Ak, Kl, Lm, &c.
æqualia. Q. E. D.
Corol. 1. Patet ergo quod si tempus exponatur per Asymptoti partem
quamvis AD, & velocitas in principio temporis per ordinatim applicatam
AB; velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam DG, & spatium
totum descriptum per aream Hyperbolicam adjacentem ABGD; necnon
spatium quod corpus aliquod eodem tempore AD, velocitate prima AB in
Medio non resistente describere posset, per rectangulum AB × AD.
Corol. 2. Unde datur spatium in Medio resistente descriptum, capiendo illud
ad spatium quod velocitate uniformi AB in Medio non resistente simul
describi posset, ut est area Hyperbolica ABGD ad rectangulum AB × AD.
Corol. 3. Datur etiam resistentia Medii, statuendo eam ipso motus initio
æqualem esse vi uniformi centripetæ, quæ, in cadente corpore, tempore AC,
in Medio non resistente, generare posset velocitatem AB. Nam si ducatur BT
quæ tangat Hyperbolam in B, & occurrat Asymptoto in T; recta AT æqualis
erit ipsi AC, & tempus exponet quo resistentia prima uniformiter continuata
tollere posset velocitatem totam AB.
Corol. 4. Et inde datur etiam proportio hujus resistentiæ ad vim gravitatis,
aliamve quamvis datam vim centripetam.
Corol. 5. Et viceversa, si datur proportio resistentiæ ad datam quamvis vim
centripetam, datur tempus AC, quo vis centripeta resistentiæ æqualis
generare possit velocitatem quamvis AB; & inde datur punctum B per quod
Hyperbola Asymptotis CH, CD describi debet; ut & spatium ABGD, quod
corpus incipiendo motum suum cum velocitate illa AB, tempore quovis AD,
in Medio similari resistente describere potest.

Prop. VI. Theor. IV.

Corpora Sphærica homogenea & æqualia,
resistentiis in duplicata ratione velocitatum
impedita, & solis viribus insitis incitata,
temporibus quæ sunt reciproce ut velocitates sub
initio, describunt semper æqualia spatia, &
amittunt partes velocitatum proportionales totis.

Asymptotis rectangulis CD, CH descripta Hyperbola
quavis BbEe secante perpendicula AB, ab, DE, de, in B, b, E, e, exponantur
velocitates initiales per perpendicula AB, DE, & tempora per lineas Aa, Dd.
Est ergo ut Aa ad Dd ita (per Hypothesin) DE ad AB, & ita (ex natura
Hyperbolæ) CA ad CD; & componendo, ita Ca ad Cd. Ergo areæ ABba,
DEed, hoc est spatia descripta æquantur inter se, & velocitates primæ AB,
DE sunt ultimis ab, de, & propterea (dividendo) partibus etiam suis amissis
AB - ab, DE - de proportionales. Q. E. D.

Prop. VII. Theor. V.

Corpora Sphærica quibus resistitur in duplicata ratione
velocitatum, temporibus quæ sunt ut motus primi directe &
resistentiæ primæ inverse, amittent partes motuum proportionales
totis, & spatia describent temporibus istis in velocitates primas
ductis proportionalia.

Namq; motuum partes amissæ sunt ut resistentiæ & tempora conjunctim.
Igitur ut partes illæ sint totis proportionales, debebit resistentia & tempus
conjunctim esse ut motus. Proinde tempus erit ut Motus directe &
resistentia inverse. Quare temporum particulis in ea ratione sumptis,
corpora amittent semper particulas motuum proportionales totis, adeoq;
retinebunt velocitates in ratione prima. Et ob datam velocitatum rationem,
describent semper spatia quæ sunt ut velocitates primæ & tempora
conjunctim. Q. E. D.
Corol. 1. Igitur si æquivelocia corpora resistuntur in duplicata ratione
diametrorum, Globi homogenei quibuscunq; cum velocitatibus moti,
describendo spatia diametris suis proportionalia, amittent partes motuum
proportionales totis. Motus enim Globi cujusq; erit ut ejus velocitas &
Massa conjunctim, id est ut velocitas & cubus diametri; resistentia (per

Hypothesin) erit ut quadratum diametri & quadratum velocitatis
conjunctim; & tempus (per hanc Propositionem) est in ratione priore directe
& ratione posteriore inverse, id est ut diameter directe & velocitas inverse;
adeoq; spatium (tempori & velocitati proportionale) est ut diameter.
Corol. 2. Si æquivelocia corpora resistuntur in ratione sesquialtera
diametrorum: Globi homogenei quibuscunq; cum velocitatibus moti,
describendo spatia in sesquialtera ratione diametrorum inverse, amittent
partes motuum proportionales totis. Nam tempus augetur in ratione
resistentiæ diminutæ, & spatium augetur in ratione temporis.
Corol. 3. Et universaliter, si æquivelocia corpora resistuntur in ratione
dignitatis cujuscunq; diametrorum, spatia quibus Globi homogenei,
quibuscunq; cum velocitatibus moti, amittent partes motuum proportionales
totis, erunt ut cubi diametrorum ad dignitatem illam applicata. Sunto
diametri D & E; & si resistentiæ sint ut Dn & En, spatia quibus amittent
partes motuum proportionales totis, erunt ut D3 - n & E3 - n. Igitur
describendo spatia ipsis D3 - n & E3 - n proportionalia, retinebunt velocitates
in eadem ratione ad invicem ac sub initio.
Corol. 4. Quod si Globi non sint homogenei, spatium a Globo densiore
descriptum augeri debet in ratione densitatis. Motus enim sub pari
velocitate major est in ratione densitatis, & tempus (per hanc
Propositionem) augetur in ratione motus directe, ac spatium descriptum in
ratione temporis.
Corol. 5. Et si Globi moveantur in Mediis diversis, spatium in Medio, quod
cæteris paribus magis resistit, diminuendum erit in ratione majoris
resistentiæ. Tempus enim (per hanc Propositionem) diminuetur in ratione
resistentiæ, & spatium in ratione temporis.

Lemma II.

Momentum Genitæ æquatur momentis Terminorum singulorum
generantium in eorundem laterum indices dignitatum &
coefficientia continue ductis.

Genitam voco quantitatem omnem quæ ex Terminis quibuscunq; in
Arithmetica per multiplicationem, divisionem, & extractionem radicum; in
Geometria per inventionem vel contentorum & laterum, vel extremarum &
mediarum proportionalium absq; additione & subductione generatur.
Ejusmodi quantitates sunt Facti, Quoti, Radices, rectangula, quadrata, cubi,
latera quadrata, latera cubica & similes. Has quantitates ut indeterminatas &
instabiles, & quasi motu fluxuve perpetuo crescentes vel decrescentes hic
considero, & eorum incrementa vel decrementa momentanea sub nomine
momentorum intelligo: ita ut incrementa pro momentis addititiis seu
affirmativis, ac decrementa pro subductitiis seu negativis habeantur. Cave
tamen intellexeris particulas finitas. Momenta, quam primum finitæ sunt
magnitudinis, desinunt esse momenta. Finiri enim repugnat aliquatenus
perpetuo eorum incremento vel decremento. Intelligenda sunt principia
jamjam nascentia finitarum magnitudinum. Neq; enim spectatur in hoc
Lemmate magnitudo momentorum, sed prima nascentium proportio. Eodem
recidit si loco momentorum usurpentur vel velocitates incrementorum ac
decrementorum, (quas etiam motus, mutationes & fluxiones quantitatum
nominare licet) vel finitæ quævis quantitates velocitatibus hisce
proportionales. Termini autem cujusq; Generantis coefficiens est quantitas,
quæ oritur applicando Genitam ad hunc Terminum.
Igitur sensus Lemmatis est, ut si quantitatum quarumcunq; perpetuo motu
crescentium vel decrescentium A, B, C, &c. Momenta, vel mutationum
velocitates dicantur a, b, c, &c. momentum vel mutatio rectanguli AB fuerit
Ab + aB, & contenti ABC momentum fuerit ABc + AbC + aBC: &
1 3 1 2 1
dignitatum A2, A3, A4, A /2, A /2, A /3, A /3, 1 ÷ A, 1 ÷ A2, & 1 ÷ A /2
1 1 2 1
momenta 2Aa, 3aA2, 4aA3, 1/2aA- /2, 3/2aA /2, 1/3aA- /3, 2/3aA- /3, -aA-2,
3
-2aA-3, & -1/2aA- /2 respective. Et generaliter ut dignitatis cujuscunq; An ÷ m
momentum fuerit n ÷ m aA(n-m) ÷ m. Item ut Genitæ A quad. × B momentum
fuerit 2aAB + A2b; & Genitæ A3B4C2 momentum 3aA2B4C2 + 4A3bB3C2 +
2A3B4Cc; & Genitæ A3 ÷ B2 sive A3B-2 momentum 3aA2B-2 - 2A3bB-3: &
sic in cæteris. Demonstratur vero Lemma in hunc modum.
Cas. 1. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum AB, ubi de lateribus A
& B deerant momentorum dimidia ½a & ½b, fuit A - ½a in B - ½b, seu AB -
½aB - ½Ab + ¼ab; & quam primum latera A & B alteris momentorum

dimidiis aucta sunt, evadit A + ½a in B + ½b seu AB + ½aB + ½Ab + ¼ab.
De hoc rectangulo subducatur rectangulum prius, & manebit excessus aB +
Ab. Igitur laterum incrementis totis a & b generatur rectanguli incrementum
aB + Ab. Q. E. D.
Cas. 2. Ponatur AB æquale G, & contenti ABC seu GC momentum (per Cas.
1.) erit gC + Gc, id est (si pro G & g scribantur AB & aB + Ab) aBC + AbC
+ ABc. Et par est ratio contenti sub lateribus quotcunq;. Q. E. D.

Cas. 3. Ponantur A, B, C æqualia; & ipsius A2, id est rectanguli AB,
momentum aB + Ab erit 2aA, ipsius autem A3, id est contenti ABC,
momentum aBC + AbC + ABc erit 3aA2. Et eodem argumento momentum
dignitatis cujuscunq; An est naAn - 1. Q. E. D.
Cas. 4. Unde cum 1 ÷ A in A sit 1, momentum ipsius 1 ÷ A ductum in A,
una cum 1 ÷ A ducto in a erit momentum ipsius 1, id est nihil. Proinde
momentum ipsius 1 ÷ A seu A-1 est -a ÷ A2. Et generaliter cum 1 ÷ An in An
sit 1, momentum ipsius 1 ÷ An ductum in An una cum 1 ÷ An in naAn - 1 erit
nihil. Et propterea momentum ipsius 1 ÷ An seu A-n erit -na ÷ An + 1.
Q. E. D.

Cas. 5. Et cum A½ in A½ sit A, momentum ipsius A½ in 2A½ erit a, per Cas.
3: ideoq; momentum ipsius A½ erit a ÷ 2A½ sive 2aA-½. Et generaliter si
ponatur Am ÷ n æqualem B, erit Am æquale Bn, ideoq; maAm - 1 æquale nbBn -
1
, & maA-1 æquale nbB-1 seu nb ÷ Am ÷ n, adeoq; {m ÷ n}aA(m-n) ÷ n æquale
b, id est æquale momento ipsius Am ÷ n. Q. E. D.

Cas. 6. Igitur Genitæ cujuscunq; Am Bn momentum est momentum ipsius
Am ductum in Bn, una cum momento ipsius Bn ducto in Am, id est maAm - 1 +
nbBn - 1; idq; sive dignitatum indices m & n sint integri numeri vel fracti,
sive affirmativi vel negativi. Et par est ratio contenti sub pluribus
dignitatibus. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur,
momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati per
numerum intervallorum inter ipsos & terminum datum. Sunto A, B, C, D, E,

F continue proportionales; & si detur terminus C, momenta reliquorum
terminorum erunt inter se ut -2A, -B, D, 2E, 3F.
Corol. 2. Et si in quatuor proportionalibus duæ mediæ dentur, momenta
extremarum erunt ut eædem extremæ. Idem intelligendum est de lateribus
rectanguli cujuscunq; dati.
Corol. 3. Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur, momenta
laterum erunt reciproce ut latera.

Scholium.

In literis quæ mihi cum Geometra peritissimo G. G. Leibnitio annis abhinc
decem intercedebant, cum significarem me compotem esse methodi
determinandi Maximas & Minimas, ducendi Tangentes, & similia
peragendi, quæ in terminis surdis æque ac in rationalibus procederet, &
literis transpositis hanc sententiam involventibus [Data æquatione
quotcunq; fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire, & vice versa]
eandem celarem: rescripsit Vir Clarissimus se quoq; in ejusmodi methodum
incidisse, & methodum suam communicavit a mea vix abludentem
præterquam in verborum & notarum formulis. Utriusq; fundamentum
continetur in hoc Lemmate.

Prop. VIII. Theor. VI.

Si corpus in Medio uniformi, Gravitate uniformiter agente, recta
ascendat vel descendat, & spatium totum descriptum distinguatur
in partes æquales, inq; principiis singularum partium (addendo
resistentiam Medii ad vim gravitatis, quando corpus ascendit, vel
subducendo ipsam quando corpus descendit) colligantur vires
absolutæ; dico quod vires illæ absolutæ sunt in progressione
Geometrica.

Exponatur enim vis gravitatis per
datam lineam AC; resistentia per
lineam indefinitam AK; vis absoluta
in descensu corporis per
differentiam KC; velocitas corporis
per lineam AP (quæ sit media
proportionalis inter AK & AC,
ideoq; in dimidiata ratione
resistentiæ) incrementum resistentiæ
data temporis particula factum per
lineolam KL, & contemporaneum
velocitatis incrementum per
lineolam PQ; & centro C
Asymptotis rectangulis CA, CH
describatur Hyperbola quævis BNS, erectis perpendiculis AB, KN, LO, PR,
QS occurrens in B, N, O, R, S. Quoniam AK est ut APq., erit hujus
momentum KL ut illius momentum 2APQ, id est ut AP in KC. Nam
velocitatis incrementum PQ, per motus Leg. 2. proportionale est vi
generanti KC. Componatur ratio ipsius KL cum ratione ipsius KN, & fiet
rectangulum KL × KN ut AP × KC × KN; hoc est, ob datum rectangulum
KC × KN, ut AP. Atqui areæ Hyperbolicæ KNOL ad rectangulum KL × KN
ratio ultima, ubi coeunt puncta K & L, est æqualitatis. Ergo area illa
Hyperbolica evanescens est ut AP. Componitur igitur area tota Hyperbolica
ABOL ex particulis KNOL velocitati AP semper proportionalibus, &
propterea spatio velocitate ista descripto proportionalis est. Dividatur jam
area illa in partes æquales ABMI, IMNK, KNOL, &c. & vires absolutæ AC,
IC, KC, LC, &c. erunt in progressione Geometrica. Q. E. D. Et simili
argumento, in ascensu corporis, sumendo, ad contrariam partem puncti A,
æquales areas ABmi, imnk, knol, &c. constabit quod vires absolutæ AC, iC,
kC, lC, &c. sunt continue proportionales. Ideoq; si spatia omnia in ascensu
& descensu capiantur æqualia; omnes vires absolutæ lC, kC, iC, AC, IC,
KC, LC, &c. erunt continue proportionales. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si spatium descriptum exponatur per aream Hyperbolicam
ABNK; exponi possunt vis gravitatis, velocitas corporis & resistentia Medii
per lineas AC, AP & AK respective; & vice versa.

Corol. 2. Et velocitatis maximæ, quam corpus in infinitum descendendo
potest unquam acquirere, exponens est linea AC.
Corol. 3. Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia Medii,
invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem illam datam in
dimidiata ratione, quam habet vis Gravitatis ad Medii resistentiam illam
cognitam.
Corol. 4. Sed & particula temporis, quo spatii particula quam minima
NKLO in descensu describitur, est ut rectangulum KN × PQ. Nam quoniam
spatium NKLO est ut velocitas ducta in particulam temporis; erit particula
temporis ut spatium illud applicatum ad velocitatem, id est ut rectangulum
quam minimum KN × KL applicatum ad AP. Erat supra KL ut AP × PQ.
Ergo particula temporis est ut KN × PQ, vel quod perinde est, ut PQ ÷ CK.
Q. E. D.
Corol. 5. Eodem argumento particula temporis, quo spatii particula nklo in
ascensu describitur, est ut pq ÷ Ck.

Prop. IX. Theor. VII.

Positis jam demonstratis, dico quod si Tangentes angulorum
sectoris Circularis & sectoris Hyperbolici sumantur velocitatibus
proportionales, existente radio justæ magnitudinis: erit tempus
omne ascensus futuri ut sector Circuli, & tempus omne descensus
præteriti ut sector Hyperbolæ.

Rectæ AC, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis & æqualis ducatur
AD. Centro D semidiametro AD describatur tum circuli Quadrans AtE, tum
Hyperbola rectangula AVZ axem habens AX, verticem principalem A &
Asymptoton DC. Jungantur Dp, DP, & erit sector circularis AtD ut tempus
ascensus omnis futuri; & Sector Hyperbolicus ATD ut tempus descensus
omnis præteriti, si modo Sectorem tangentes Ap & AP sint velocitates.
Cas. 1. Agatur enim Dvq abscindens Sectoris ADt & trianguli ADp
momenta, seu particulas quam minimas simul descriptas tDv & pDq. Cum
particulæ illæ, ob angulum communem D, sunt in duplicata ratione laterum,
erit particula tDv ut qDp ÷ pD quad. Sed pD quad. est AD quad. + Ap quad.

id est AD quad. + Ak × AD seu AD
× Ck; & qDp est ½AD × pq. Ergo
Sectoris particula vDt est ut pq ÷
Ck, id est, per Corol. 5, Prop. VIII.
ut particula temporis. Et
componendo fit summa
particularum omnium tDv in Sectore
ADt, ut summa particularum
temporis singulis velocitatis
decrescentis Ap particulis amissis pq
respondentium, usq; dum velocitas
illa in nihilum diminuta evanuerit;
hoc est, Sector totus ADt est ut
ascensus totius futuri tempus.
Q. E. D.
Cas. 2. Agatur DQV abscindens tum Sectoris DAV, tum trianguli DAQ
particulas quam minimas TDV & PDQ; & erunt hæ particulæ ad invicem ut
DTq. ad DPq. id est (si TX & AP parallelæ sint) ut DXq. ad DAq. vel TXq.
ad APq. & divisim ut DXq. - TXq. ad ADq. - APq. Sed ex natura Hyperbolæ
DXq. - TXq. est ADq., & per Hypothesin APq. est AD × AK. Ergo particulæ
sunt ad invicem ut ADq. ad ADq. - AD × AK; id est ut AD ad AD - AK seu
AC ad CK: ideoq; Sectoris particula TDV est PDQ × AC ÷ CK, atq; adeo ob
datas AC & AD, ut PQ ÷ CK; & propterea per Corol. 5. Prop. VIII. Lib. II.
ut particula temporis incremento velocitatis PQ respondens. Et componendo
fit summa particularum temporis, quibus omnes velocitatis AP particulæ
PQ generantur, ut summa particularum Sectoris ADT, id est tempus totum
ut Sector totus. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si AB æquetur quartæ parti ipsius AC, spatium ABRP, quod
corpus tempore quovis ATD cadendo describit, erit ad spatium quod corpus
semisse velocitatis maximæ AC, eodem tempore uniformiter progrediendo
describere potest, ut area ABRP, qua spatium cadendo descriptum
exponitur, ad aream ATD qua tempus exponitur. Nam cum sit AC ad AP ut
AP ad AK, erit 2APQ æquale AC × KL (per Corol. 1. Lem. II. hujus) adeoq;
KL ad PQ ut 2AP ad AC, & inde LKN ad PQ × ½AD seu DPQ ut 2AP × KN
ad ½AC × AD. Sed erat DPQ ad DTV ut CK ad AC. Ergo ex æquo LKN est
ad DTV ut 2AP × KN × CK ad ½AC cub.; id est, ob æquales CKN & ¼ACq.,

ut AP ad AC; hoc est ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem
maximam quam corpus cadendo potest acquirere. Cum igitur arearum
ABKN & AVD momenta LKN & DTV sunt ut velocitates, erunt arearum
illarum partes omnes simul genitæ ut spatia simul descripta, ideoq; areæ
totæ ab initio genitæ ABKN & AVD ut spatia tota ab initio descensus
descripta. Q. E. D.
Corol. 2. Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur.
Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate
AC eodem tempore descriptum, ut est area ABnk ad Sectorem ADt.
Corol. 3. Velocitas corporis tempore ATD cadentis est ad velocitatem, quam
eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut triangulum APD ad
Sectorem Hyperbolicum ATD. Nam velocitas in Medio non resistente foret
ut tempus ATD, & in Medio resistente est ut AP, id est ut triangulum APD.
Et velocitates illæ initio descensus æquantur inter se, perinde ut areæ illæ
ATD, APD.
Corol. 4. Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocitatem, qua
corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi
motum amittere posset, ut triangulum ApD ad Sectorem circularem AtD,
sive ut recta Ap ad arcum At.
Corol. 5. Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente cadendo
velocitatem AP acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam AC in spatio
non resistente cadendo acquirere posset, ut Sector ADT ad triangulum ADC:
& tempus, quo velocitatem Ap in Medio resistente ascendendo possit
amittere, ad tempus quo velocitatem eandem in spatio non resistente
ascendendo posset amittere, ut arcus At ad ejus Tangentem Ap.
Corol. 6. Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu
descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas
maxima, per Corol. 2. & 3. Theor. VI, Lib. II. indeq; datur & spatium quod
semisse velocitatis illius dato tempore describi potest, & tempus quo corpus
velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et
sumendo Sectorem ADT vel ADt ad triangulum ADC in ratione temporum;
dabitur tum velocitas AP vel Ap, tum area ABKN vel ABkn, quæ est ad
Sectorem ut spatium quæsitum ad spatium jam ante inventum.

Corol. 7. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio ABnk vel
ABNK, dabitur tempus ADt vel ADT.

Prop. X. Prob. III.

Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, sitq;
resistentia ut medii densitas & quadratum velocitatis conjunctim:
requiritur tum Medii densitas in locis singulis, quæ faciat ut
corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis
velocitas in iisdem locis.

Sit AK planum illud plano Schematis perpendiculare;
ACK linea curva; C corpus in ipsa motum; & FCf
recta ipsam tangens in C. Fingatur autem corpus C
nunc progredi ab A ad K per lineam illam ACK, nunc
vero regredi per eandem lineam; & in progressu
impediri a Medio, in regressu æque promoveri, sic ut
in iisdem locis eadem semper sit corporis
progredientis & regredientis velocitas. Æqualibus autem temporibus
describat corpus progrediens arcum quam minimum CG, & corpus
regrediens arcum Cg; & sint CH, Ch longitudines æquales rectilineæ, quas
corpora de loco C exeuntia, his temporibus, absq; Medii & Gravitatis
actionibus describerent: & a punctis C, G, g, ad planum horizontale AK
demittantur perpendicula CB, GD, gd, quorum GD ac gd tangenti occurrant
in F & f. Per Medii resistentiam fit ut corpus progrediens, vice longitudinis
CH, describat solummodo longitudinem CF; & per vim gravitatis
transfertur corpus de F in G: adeoq; lineola HF vi resistentiæ, & lineola FG
vi gravitatis simul generantur. Proinde (per Lem. X. Lib. I.) lineola FG est
ut vis gravitatis & quadratum temporis conjunctim, adeoq; (ob datam
gravitatem) ut quadratum temporis; & lineola HF ut resistentia &
quadratum temporis, hoc est ut resistentia & lineola FG. Et inde resistentia
fit ut HF directe & FG inverse, sive ut HF ÷ FG. Hæc ita se habent in
lineolis nascentibus. Nam in lineolis finitæ magnitudinis hæ rationes non
sunt accuratæ.
Et simili argumento est fg ut quadratum temporis, adeoq; ob æqualia
tempora æquatur ipsi FG; & impulsus quo corpus regrediens urgetur est ut

hf ÷ fg. Sed impulsus corporis regredientis & resistentia progredientis ipso
motus initio æquantur, adeoq; & ipsis proportionales hf ÷ fg & HF ÷ FG
æquantur; & propterea ob æquales fg & FG, æquantur etiam hf & HF,
suntq; adeo CF, CH (vel Ch) & Cf in progressione Arithmetica, & inde HF
semidifferentia est ipsarum Cf & CF; & resistentia quæ supra fuit ut HF ÷
FG, est ut {Cf - CF} ÷ FG.
Est autem resistentia ut Medii densitas & quadratum velocitatis. Velocitas
autem ut descripta longitudo CF directe & tempus √FG inverse, hoc est ut
CF ÷ √FG, adeoq; quadratum velocitatis ut CFq. ÷ FG. Quare resistentia,
ipsiq; proportionalis {Cf - CF} ÷ FG est ut Medii densitas & ut CFq. ÷ FG
conjunctim; & inde Medii densitas ut {Cf - CF} ÷ FG directe & CFq. ÷ FG
inverse, id est ut {Cf - CF} ÷ CFq. Q. E. I.
Corol. 1. Et hinc colligitur, quod si in Cf capiatur Ck æqualis CF, & ad
planum horizontale AK demittatur perpendiculum ki, secans curvam ACK in
l; fiet Medii densitas ut {FG - kl} ÷ {CF × FG + kl}. Erit enim fC ad kC ut
√fg seu √FG ad √kl, & divisim fk ad kC, id est Cf - CF ad CF ut √FG - √kl
ad √kl; hoc est (si ducatur terminus uterq; in √FG + √kl) ut FG - kl ad kl +
√FG × kl, sive ad FG + kl. Nam ratio prima nascentium kl + √FG × kl &
FG + kl est æqualitatis. Scribatur itaq; {FK - Kl} ÷ {FK + Kl} pro {Cf -
CF} ÷ CF; & Medii densitas, quæ fuit ut {Cf - CF} ÷ CF quad. evadet ut
{FG - kl} ÷ {CF × FG + kl}.
Corol. 2. Unde cum 2HF & Cf - CF æquentur, & FG & kl (ob rationem
æqualitatis) componant 2FG; erit 2HF ad CF ut FG - kl ad 2FG; et inde HF
ad FG, hoc est resistentia ad gravitatem, ut rectangulum CF in FG - kl ad
4FG quad.
Corol. 3. Et hinc si curva linea definiatur per relationem inter basem seu
abscissam AB & ordinatim applicatam BC; (ut moris est) & valor ordinatim
applicatæ resolvatur in seriem convergentem: Problema per primos seriei
terminos expedite solvetur: ut in Exemplis sequentibus.
Exempl. 1. Sit Linea ACK semicirculus super diametro AK descriptus, &
requiratur Medii densitas quæ faciat ut Projectile in hac linea moveatur.
Bisecetur semicirculi diameter AK in O; & dic OK n, OB a, BC e, & BD vel
Bi o: & erit DGq. seu OGq. - ODq. æquale nn - aa - 2ao - oo seu ee - 2ao -

oo; & radice per methodum nostram extracta, fiet DG = e - ao ÷ e - oo ÷ 2e
- aaoo ÷ 2e3 - ao3 ÷ 2e3 - a3o3 ÷ 2e5 &c. Hic scribatur nn pro ee + aa &
evadet DG = e - ao ÷ e - nnoo ÷ 2e3 - anno3 ÷ 2e5 &c.
Hujusmodi Series distinguo in terminos successivos in hunc modum.
Terminum primum appello in quo quantitas infinite parva o non extat;
secundum in quo quantitas illa extat unius dimensionis; tertium in quo extat
duarum, quartum in quo trium est, & sic in infinitum. Et primus terminus,
qui hic est e, denotabit semper longitudinem ordinatæ BC insistentis ad
indefinitæ quantitatis initium B; secundus terminus qui hic est ao ÷ e,
denotabit differentiam inter BC & DF, id est lineolam IF, quæ abscinditur
complendo parallelogrammum BC - ID, atq; adeo positionem Tangentis CF
semper determinat: ut in hoc casu capiendo IF ad IC ut est ao ÷ e ad o seu a
ad e. Terminus tertius, qui hic est nnoo ÷ 2e3 designabit lineolam FG, quæ
jacet inter Tangentem & Curvam, adeoq; determinat angulum contactus
FCG, seu curvaturam quam curva linea habet in C. Si lineola illa FG finitæ
est magnitudinis, designabitur per terminum tertium una cum
subsequentibus in infinitum. At si lineola illa minuatur in infinitum, termini
subsequentes evadent infinite minores tertio, ideoq; negligi possunt.
Terminus quartus, qui hic est anno3 ÷ 2e5, exhibet variationem Curvaturæ;
quintus variationem variationis, & sic deinceps. Unde obiter patet usus non
contemnendus harum Serierum in solutione Problematum, quæ pendent a
Tangentibus & curvatura Curvarum.
Præterea CF est latus quadratum ex CIq. & IFq. hoc est ex BDq. &
quadrato termini secundi. Estq; FG + kl æqualis duplo termini tertii, & FG -
kl æqualis duplo quarti. Nam valor ipsius DG convertitur in valorem ipsius
il, & valor ipsius FG in valorem ipsius kl, scribendo Bi pro BD, seu -o pro
+o. Proinde cum FG sit - nnoo ÷ 2e3 - anno3 ÷ 2e5 &c. erit kl = - nnoo ÷ 2e3
+ anno3 ÷ 2e5, &c. Et horum summa est - nnoo ÷ e3, differentia - anno3 ÷
e5. Terminum quintum & sequentes hic negligo, ut infinite minores quam
qui in hoc Problemate considerandi veniant. Itaq; si designetur Series
universaliter his terminis ± Qo - Roo - So3 &c. erit CF æqualis √oo +
QQoo, FG + kl æqualis 2Roo, & FG - kl æqualis 2So3. Pro CF, FG + kl &
FG - kl scribantur hi earum valores, & Medii densitas quæ erat ut {FG - kl}
÷ {CF in FG + kl} jam fiet ut S ÷ {R √1 + QQ}. Deducendo igitur Problema
unumquodq; ad seriem convergentem, & hic pro Q, R & S scribendo

terminos seriei ipsis respondentes; deinde etiam ponendo resistentiam
Medii in loco quovis G esse ad Gravitatem ut S√1 + QQ ad 2RR, &
velocitatem esse illam ipsam quacum corpus, de loco C secundum rectam
CF egrediens, in Parabola, diametrum CB & latus rectum {1 + QQ} ÷ R
habente, deinceps moveri posset, solvetur Problema.
Sic in Problemate jam solvendo, si scribantur √1 + aa ÷ ee seu n ÷ e pro √1
+ QQ, nn ÷ 2e3 pro R, & ann ÷ 2e3 pro S, prodibit Medii densitas ut a ÷ ne,
hoc est (ob datam n) ut a ÷ e seu OB ÷ BC, id est ut Tangentis longitudo illa
CT, quæ ad semidiametrum OL ipsi AK normaliter insistentem terminatur,
& resistentia erit ad gravitatem ut a ad n, id est ut OB ad circuli
semidiametrum OK, velocitas autem erit ut √2BC. Igitur si corpus C certa
cum velocitate, secundum lineam ipsi OK parallelam, exeat de loco L, &
Medii densitas in singulis locis C sit ut longitudo tangentis CT, & resistentia
etiam in loco aliquo C sit ad vim gravitatis ut OB ad OK; corpus illud
describet circuli quadrantem LCK. Q. E. I.
At si corpus idem de loco A secundum lineam ipsi AK perpendicularem
egrederetur, sumenda esset OB seu a ad contrarias partes centri O, &
propterea signum ejus mutandum esset, & scribendum -a pro +a. Quo pacto
prodiret Medii densitas ut -a ÷ e. Negativam autem densitatem (hoc est quæ
motus corporum accelerat) Natura non admittit, & propterea naturaliter fieri
non potest ut corpus ascendendo ab A describat circuli quadrantem AL. Ad
hunc effectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a
resistente impediri.
Exempl. 2. Sit linea ALCK Parabola, axem habens OL horizonti AK
perpendicularem, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut projectile in
ipsa moveatur.
Ex natura Parabolæ, rectangulum ADK æquale est rectangulo sub ordinata
DG & recta aliqua data: hoc est, si dicantur recta illa b, AB a, AK c, BC e &
BD o; rectangulum a + o in c - a - o seu ac - aa - 2ao + co - oo æquale est
rectangulo b in DG, adeoq; DG æquale {ac - aa} ÷ b + {{c - 2a} ÷ b}o - oo
÷ b. Jam scribendus esset hujus seriei secundus terminus {{c - 2a} ÷ b} o
pro Qo, & ejus coefficiens {c - 2a} ÷ b pro Q; tertius item terminus oo ÷ b
pro Roo, & ejus coefficiens 1 ÷ b pro R. Cum vero plures non sint termini,
debebit quarti termini So3 coefficiens S evanescere, & propterea quantitas S

÷ {R√1 + QQ} cui Medii densitas proportionalis est, nihil erit. Nulla igitur
Medii densitate movebitur Projectile in Parabola, uti olim demonstravit
Galilæus. Q. E. I.
Exempl. 3. Sit linea AGK Hyperbola,
Asymptoton habens NX plano horizontali AK
perpendicularem; & quæratur Medii densitas
quæ faciat ut Projectile moveatur in hac
linea.
Sit MX Asymptotos altera, ordinatim
applicatæ DG productæ occurrens in V, & ex
natura Hyperbolæ, rectangulum XV in VG
dabitur. Datur autem ratio DN ad VX, &
propterea datur etiam rectangulum DN in VG.
Sit illud bb; & completo parallelogrammo
DNXZ, dicatur BN a, BD o, NX c, & ratio data VZ ad ZX vel DN ponatur
esse m ÷ n. Et erit DN æqualis a - o, VG æqualis bb ÷ {a - o}, VZ æqualis m
÷ n a - o, & GD seu NX - VZ - VG æqualis c - {m ÷ n}a + {m ÷ n}o - bb ÷
{a - o}. Resolvatur terminus bb ÷ {a - o} in seriem convergentem bb ÷ a +
{bb ÷ aa}o + {bb ÷ a3}oo + {bb ÷ a4}o3 etc. & fiet GD æqualis c - {m ÷
n}a - bb ÷ a + {m ÷ n}o - {bb ÷ aa}o - {bb ÷ a3}o2 - {bb ÷ a4}o3 &c.
Hujus seriei terminus secundus {m ÷ n}o - {bb ÷ aa}o usurpandus est pro
Qo, tertius cum signo mutato {bb ÷ a3}o2 pro Ro2, & quartus cum signo
etiam mutato {bb ÷ a4}o3 pro So3, eorumq; coefficientes m ÷ n - bb ÷ aa,
bb ÷ a3 & bb ÷ a4 scribendæ sunt, in Regula superiore, pro Q, R & S. Quo
facto prodit medii densitas ut

bb
a4
bb mm 2mbb b4
a3
√{ 1- - +
nn naa a4 }
seu

1

mm 2mbb b4
√ { aa + nn aa - n +
aa }
est, si in VZ sumatur VY æqualis VG, ut 1 ÷ XY. Namq; aa & {mm ÷ nn}aa -
2mbb ÷ n + b4 ÷ aa sunt ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem
invenitur in ratione ad Gravitatem quam habet XY ad YG, & velocitas ea est
quacum corpus in Parabola pergeret verticem G diametrum DG & latus
rectum YX quad. ÷ VG habente. Ponatur itaq; quod Medii densitates in locis
singulis G sint reciproce ut distantiæ XY, quodq; resistentia in loco aliquo G
sit ad gravitatem ut XY ad YG; & corpus de loco A justa cum velocitate
emissum describet Hyperbolam illam AGK. Q. E. I.
Exempl. 4. Ponatur indefinite, quod linea AGK Hyperbola sit, centro X
Asymptotis MX, NX, ea lege descripta, ut constructo rectangulo XZDN
cujus latus ZD secet Hyperbolam in G & Asymptoton ejus in V, fuerit VG
reciproce ut ipsius ZX vel DN dignitas aliqua NDn, cujus index est numerus
n: & quæratur Medii densitas, qua Projectile progrediatur in hac curva.
Pro DN, BD, NX scribantur A, O, C respective, sitq; VZ ad ZX vel DN ut d
ad e, & VG æqualis bb ÷ DNn, & erit DN æqualis A - O, VG = bb ÷ {A -
O}n, VZ = d ÷ e in A - O, & GD seu NX - VZ - VG æqualis C - {d ÷ e}A +
{d ÷ e}O - bb ÷ {A - O}n. Resolvatur terminus ille bb ÷ {A - O}n in seriam
infinitam

bb nbbO nn + n 2 n3 + 3nn + 2n
n
+ n+1 + n+2 bbO + n+3
bbO3 &c.
A A 2A 6A

ac fiet GD æqualis

d bb d nbb nn + n 2
n3 + 3nn + 2n
C - A - n + O - n+1 O - n+2 bbO - n+3 bbO3 &c.
e A e A 2A 6A

Hujus seriei terminus secundus {d ÷ e}O - {nbb ÷ An+1}O usurpandus est
pro Qo, tertius {{nn + n} ÷ 2An+2}bbO2 pro Ro2, quartus {{n3 + 3nn + 2n}
÷ 6An+3}bbO3 pro So3. Et inde Medii densitas S ÷ {R × √1 + QQ}, in loco
quovis G, fit

n+2
dd 2dnbb nnb4
3 √ { A + ee A - eAn A + A2n } ,
2 2

adeoq; si in VZ capiatur VY æqualis n × VG, est reciproce ut XY. Sunt enim
A2 & {dd ÷ ee}A2 - 2dnbb ÷ eAn in A + nnb4 ÷ A2n ipsarum XZ & ZY
quadrata. Resistentia autem in eodem loco G fit ad Gravitatem ut S in XY ÷
A ad 2RR, id est XY ad {{3nn + 3n} ÷ {n + 2}}VG. Et velocitas ibidem ea
ipsa est quacum corpus projectum in Parabola pergeret, verticem G,
diametrum GD & Latus rectum {1 + QQ} ÷ R seu 2XY quad. ÷ {nn + n in
VG} habente. Q. E. I.

Scholium.

Quoniam motus non fit in Parabola nisi in Medio non resistente, in
Hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam; perspicuum
est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit,
propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam. Est utiq; linea illa
Hyperbolici generis, sed quæ circa verticem magis distat ab Asymptotis; in
partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione
Hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero non est inter has & illam
differentia, quin illius loco possint hæ in rebus practicis non incommode
adhiberi. Et utiliores forsan futuræ sunt hæ, quam Hyperbola magis
accurata & simul magis composita. Ipsæ vero in usum sic deducentur.
Compleatur parallelogrammum XYGT, & ex natura harum Hyperbolarum
facile colligitur quod recta GT tangit Hyperbolam in G, ideoq; densitas
Medii in G est reciproce ut tangens GT, & velocitas ibidem ut √{GTq. ÷
GV}, resistentia autem ad vim gravitatis ut GT ad {{3nn + 3n} ÷ {n +
2}}GV.
Proinde si corpus de loco A secundum rectam AH projectum describat
Hyperbolam AGK, & AH producta occurrat Asymptoto NX in H, actaq; AI
occurrat alteri Asymptoto MX in I: erit Medii densitas in A reciproce ut AH,
& corporis velocitas ut √{AHq. ÷ AI}, ac resistentia ibidem ad Gravitatem
ut AH ad {3nn + 3n} ÷ {n + 2} in AI. Unde prodeunt sequentes Regulæ.

Reg. 1. Si servetur Medii densitas in A & mutetur angulus NAH, manebunt
longitudines AH, AI, HX. Ideoq; si longitudines illæ in aliquo casu
inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite
determinari potest.
Reg. 2. Si servetur tum angulus NAH tum Medii densitas in A, & mutetur
velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo AH, & mutabitur
AI in duplicata ratione velocitatis reciproce.
Reg. 3. Si tam angulus NAH quam corporis velocitas in A, gravitasq;
acceleratrix servetur, & proportio resistentiæ in A ad gravitatem motricem
augeatur in ratione, quacunque: augebitur proportio AH ad AI eadem
ratione, manente Parabolæ latere recto, eiq; proportionali longitudine AHq.
÷ AI; & propterea minuetur AH in eadem ratione, & AI minuetur in ratione
illa duplicata. Augetur vero proportio resistentiæ ad pondus, ubi vel gravitas
specifica sub æquali magnitudine fit minor, vel Medii densitas major, vel
resistentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam
pondus.
Reg. 4. Quoniam densitas Medii prope verticem Hyperbolæ major est quam
in loco A, ut servetur densitas mediocris, debet ratio minimæ tangentium
GT ad Tangentem AH inveniri, & densitas in A, per Regulam tertiam,
diminui in ratione paulo minore quam semisummæ Tangentium ad
Tangentium AH.
Reg. 5. Si dantur longitudines AH, AI, & describenda sit figura AGK:
produc HN ad X, ut sit HX æqualis facto sub n + 1 & AI; centroq; X &
Asymptotis MX, NX per punctum A describatur Hyperbola, ea lege ut sit AI
ad quamvis VG ut XVn ad XIn.
Reg. 6. Quo major est numerus n, eo magis accuratæ sunt
hæ Hyperbolæ in ascensu corporis ab A, & minus accuratæ
in ejus descensu ad G; & contra. Hyperbola Conica
mediocrem rationem tenet, estq; cæteris simplicior. Igitur
si Hyperbola sit hujus generis, & punctum K, ubi corpus projectum incidet
in rectam quamvis AN per punctum A transeuntem, quæratur: occurrat
producta AN Asymptotis MX, NX in M & N, & sumatur NK ipsi AM
æqualis.

Reg. 7. Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex
Phænomenis. Projiciantur corpora duo similia & æqualia eadem velocitate,
in angulis diversis HAK, hAk, incidentq; in planum Horizontis in K & k; &
notetur proportio AK ad Ak. Sit ea d ad e. Tum erecto cujusvis longitudinis
perpendiculo AI, assume utcunq; longitudinem AH vel Ah, & inde collige
graphice longitudines AK, Ak, per Reg. 6. Si ratio AK ad Ak sit eadem cum
ratione d ad e, longitudo AH recte assumpta fuit. Sin minus cape in recta
infinita SM longitudinem SM æqualem assumptæ AH, & erige
perpendiculum MN æquale rationum differentiæ AK ÷ Ak - d ÷ e ductæ in
rectam quamvis datam. Simili methodo ex assumptis pluribus
longitudinibus AH invenienda sunt plura puncta N: & tum demum si per
omnia agatur Curva linea regularis NNXN, hæc abscindet SX quæsitæ
longitudini AH æqualem. Ad usus Mechanicos sufficit longitudines AH, AI
easdem in angulis omnibus HAK retinere. Sin figura ad inveniendam
resistentiam Medij accuratius determinanda sit, corrigendæ sunt semper hæ
longitudines per Regulam quartam.
Reg. 8. Inventis longitudinibus AH, HX; si
jam desideretur positio rectæ AH, secundum
quam Projectile data illa cum velocitate
emissum incidit in punctum quodvis K: ad
puncta A & K erigantur rectæ AC, KF
horizonti perpendiculares, quarum AC
deorsum tendat, & æquetur ipsi AI seu ½HX.
Asymptotis AK, KF describatur Hyperbola,
cujus Conjugata transeat per punctum C,
centroq; A & intervallo AH describatur
Circulus secans Hyperbolam illam in puncto
H; & projectile secundum rectam AH emissum incidet in punctum K.
Q. E. I. Nam punctum H, ob datam longitudinem AH, locatur alicubi in
circulo descripto. Agatur CH occurrens ipsis AK & KF, illi in C, huic in F,
& ob parallelas CH, MX & æquales AC, AI, erit AE æqualis AM, &
propterea etiam æqualis KN. Sed CE est ad AE ut FH ad KN, & propterea
CE & FH æquantur. Incidit ergo punctum H in Hyperbolam Asymptotis AK,
KF descriptam, cujus conjugata transit per punctum C, atq; adeo reperitur in
communi intersectione Hyperbolæ hujus & circuli descripti. Q. E. D.
Notandum est autem quod hæc operatio perinde se habet, sive recta AKN

horizonti parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata: quodq;
ex duabus intersectionibus H, H duo prodeunt anguli NAH, NAH, quorum
minor eligendus est; & quod in Praxi mechanica sufficit circulum semel
describere, deinde regulam interminatam CH ita applicare ad punctum C, ut
ejus pars FH, circulo & rectæ FK interjecta, æqualis sit ejus parti CE inter
punctum C & rectam HK sitæ.
Quæ de Hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad
Parabolas. Nam si XAGK Parabolam designet quam recta
XV tangat in vertice X, sintq; ordinatim applicatæ IA, VG
ut quælibet abscissarum XI, XV dignitates XIn, XVn;
agantur XT, TG, HA, quarum XT parallela sit VG, & TG,
HA parabolam tangant in G & A: & corpus de loco
quovis A, secundum rectam AH productam, justa cum
velocitate projectum, describet hanc Parabolam, si modo
densitas Medij, in locis singulis G, sit reciproce ut
tangens GT. Velocitas autem in G ea erit quacum Projectile pergeret, in
spatio non resistente, in Parabola Conica, verticem G, diametrum VG
deorsum productam, & latus rectum √{2TGq. ÷ {nn - n XVG}} habente. Et
resistentia in G erit ad vim Gravitatis ut TG ad {{3nn - 3n} ÷ {n - 2}}VG.
Vnde si NAK lineam horizontalem designet, & manente tum densitate Medij
in A, tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcunq; angulus
NAH; manebunt longitudines AH, AI, HX, & inde datur Parabolæ vertex X,
& positio rectæ XI, & sumendo VG ad IA ut XVn ad XIn, dantur omnia
Parabolæ puncta G, per quæ Projectile transibit.

SECT. III.
De motu corporum quæ resistuntur partim in ratione velocitatis, partim in
ejusdem ratione duplicata.

Prop. XI. Theor. VIII.

Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in
velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita in Medio similari
movetur, sumantur autem tempora in progressione Arithmetica:
quantitates velocitatibus reciproce proportionales, data quadam
quantitate auctæ, erunt in progressione Geometrica.

Centro C, Asymptotis rectangulis CADd & CH
describatur Hyperbola BEeS, & Asymptoto CH
parallelæ sint AB, DE, de. In Asymptoto CD dentur
puncta A, G: Et si tempus exponatur per aream
Hyperbolicam ABED uniformiter crescentem; dico quod
velocitas exponi potest per longitudinem DF, cujus
reciproca GD una cum data CG componat longitudinem
CD in progressione Geometrica crescentem.
Sit enim areola DEed datum temporis incrementum quam minimum, & erit
Dd reciproce ut DE, adeoque directe ut CD. Ipsius autem 1 ÷ GD
decrementum, quod (per hujus Lem. II.) est Dd ÷ GDq. erit ut CD ÷ GDq.
seu {CG + GD} ÷ GDq., id est, ut {1 ÷ GD} + {CG ÷ GDq.}. Igitur
tempore ABED per additionem datarum particularum EDde uniformiter
crescente, decrescit 1 ÷ GD in eadem ratione cum velocitate. Nam
decrementum velocitatis est ut resistentia, hoc est (per Hypothesin) ut
summa duarum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut
quadratum velocitatis; & ipsius 1 ÷ GD decrementum est ut summa
quantitatum 1 ÷ GD & CG ÷ GDq., quarum prior est ipsa 1 ÷ GD, &
posterior CG ÷ GDq. est ut 1 ÷ GDq.. Proinde 1 ÷ GD, ob analogum
decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas GD ipsi 1 ÷ GD reciproce

proportionalis quantitate data CG augeatur, summa CD, tempore ABED
uniformiter crescente, crescet in progressione Geometrica. Q. E. D.
Corol. 1. Igitur si datis punctis A, G, exponatur tempus per aream
Hyperbolicam ABED, exponi potest velocitas per ipsius GD reciprocam 1 ÷
GD.
Corol. 2. Sumendo autem GA ad GD ut velocitatis reciproca sub initio, ad
velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis ABED, invenietur punctum
G. Eo autem invento, velocitas ex dato quovis alio tempore inveniri potest.

Prop. XII. Theor. IX.

Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in
progressione Arithmetica, velocitates data quadam quantitate
auctæ erunt in progressione Geometrica.

In Asymptoto CD detur punctum R, & erecto perpendiculo RS, quod
occurrat Hyperbolæ in S, exponatur descriptum spatium per aream
Hyperbolicam RSED; & velocitas erit ut longitudo GD, quæ cum data CG
componit longitudinem CD, in Progressione Geometrica decrescentem,
interea dum spatium RSED augetur in Arithmetica.
Etenim ob datum spatii incrementum EDde, lineola Dd, quæ decrementum
est ipsius GD, erit reciproce ut ED, adeoq; directe ut CD, hoc est ut summa
ejusdem GD & longitudinis datæ CG. Sed velocitatis decrementum,
tempore sibi reciproce proportionali, quo data spatii particula DdeE
describitur, est ut resistentia & tempus conjunctim, id est directe ut summa
duarum quantitatum, quarum una est velocitas, altera ut velocitatis
quadratum, & inverse ut velocitas; adeoque directe ut summa dearum
quantitatum, quarum una datur, altera est ut velocitas. Igitur decrementum
tam velocitatis quam lineæ GD, est ut quantitas data & quantitas decrescens
conjunctim, & propter analoga decrementa, analogæ semper erunt
quantitates decrescentes: nimirum velocitas & linea GD. Q. E. D.
Corol. 1. Igitur si velocitas exponatur per longitudinem GD, spatium
descriptum erit ut area Hyperbolica DESR.

Corol. 2. Et si utcunque assumatur punctum R, invenietur punctum G,
capiendo GD ad GR ut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium
quodvis ABED descriptum. Invento autem puncto G, datur spatium ex data
velocitate, & contra.
Corol. 3. Unde cum, per Prop. XI. detur velocitas ex dato tempore, & per
hanc Propositionem detur spatium ex data velocitate; dabitur spatium ex
dato tempore: & contra.

Prop. XIII. Theor. X.

Posito quod corpus ab uniformi gravitate
deorsum attractum recta ascendit vel descendit,
& resistitur partim in ratione velocitatis, partim
in ejusdem ratione duplicata: dico quod si
Circuli & Hyperbolæ diametris parallelæ rectæ
per conjugatarum diametrorum terminos
ducantur, & velocitates sint ut segmenta
quædam parallelarum a dato puncto ducta,
Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a
centro ad segmentorum terminos ductis
abscissi: & contra.

Cas. 1. Ponamus primo quod corpus ascendit, centroque D & semidiametro
quovis DB describatur circuli quadrans BETF, & per semidiametri DB
terminum B agatur infinita BAP, semidiametro DF parallela. In ea detur
punctum A, & capiatur segmentum AP velocitati proportionale. Et cum
resistentiæ pars aliqua sit ut velocitas & pars altera ut velocitatis quadratum,
fit resistentia tota in P ut AP quad. + 2PAB. Jungantur DA, DP circulum
secantes in E ac T, & exponatur gravitas per DA quadratum, ita ut sit
gravitas ad resistentiam in P ut DAq. ad APq. + 2PAB: & tempus ascensus
omnis futuri erit ut circuli sector EDTE.
Agatur enim DVQ, abscindens & velocitatis AP momentum PQ, & Sectoris
DET momentum DTV dato temporis momento respondens: & velocitatis
decrementum illud PQ erit ut summa virium gravitatis DBq. & resistentiæ
APq. + 2BAP, id est (per Prop. 12. Lib. II. Elem.) ut DP quad. Proinde area
DPQ, ipsi PQ proportionalis, est ut DP quad.; & area DTV, (quæ est ad

aream DPQ ut DTq. ad DPq.) est ut datum DTq. Decrescit igitur area EDT
uniformiter ad modum temporis futuri, per subductionem datarum
particularum DTV, & propterea tempori ascensus futuri proportionalis est.
Q. E. D.
Cas. 2. Si velocitas in ascensu corporis
exponatur per longitudinem AP ut prius, &
resistentia ponatur esse ut APq. + 2BAP, & si vis
gravitatis minor sit quam quæ per DAq. exponi
possit; capiatur BD ejus longitudinis, ut sit ABq.
- BDq. gravitati proportionale, sitque DF ipsi
DB perpendicularis & æqualis, & per verticem F
describatur Hyperbola FTVE cujus semidiametri
conjugatæ sint DB & DF, quæq; secet DA in E,
& DP, DQ in T & V; & erit tempus ascensus
futuri ut Hyperbolæ sector TDE.
Nam velocitatis decrementum PQ, in data temporis particula factum, est ut
summa resistentiæ APq. + 2ABP & gravitatis ABq. - BDq. id est ut BPq. -
BDq. Est autem area DTV ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoque, si ad
DF demittatur perpendiculum GT, ut GTq. seu GDq. - DFq. ad BDq. utque
GDq. ad PBq. & divisim ut DFq. ad BPq. - DBq. Quare cum area DPQ sit
ut PQ, id est ut BPq. - BDq. erit area DTV ut datum DFq. Decrescit igitur
area EDT uniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per
subductionem particularum totidem datarum DTV, & propterea tempori
proportionalis est. Q. E. D.
Cas. 3. Sit AP velocitas in descensu corporis, & APq. + 2ABP resistentia, &
DBq. - ABq. vis gravitatis, existente angulo DAB recto. Et si centro D,
vertice principali B, describatur Hyperbola rectangula BETV secans
productas DA, DP & DQ in E, T & V; erit Hyperbolæ hujus sector DET ut
tempus descensus.
Nam velocitatis incrementum PQ, eiq; proportionalis area DPQ, est ut
excessus gravitatis supra resistentiam, id est, ut DBq. - ABq. - 2ABP - APq.
seu DBq. - BPq. Et area DTV est ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoq; ut
GTq. seu GDq. - BDq. ad BPq. utque GDq. ad BDq. & divisim ut BDq. ad
BDq. - BPq. Quare cum area DPQ sit ut BDq. - BPq. erit area DTV ut

datum BDq. Crescit igitur area EDT uniformiter
singulis temporis particulis æqualibus, per additionem
totidem datarum particularum DTV, & propterea
tempori descensus proportionalis est. Q. E. D.
Corol. Igitur velocitas AP est ad velocitatem quam
corpus tempore EDT, in spatio non resistente,
ascendendo amittere vel descendendo acquirere
posset, ut area trianguli DAP ad aream sectoris centro
D, radio DA, angulo ADT descripti; ideoque ex dato
tempore datur. Nam velocitas in Medio non resistente,
tempori atque adeo Sectori huic proportionalis est; in Medio resistente est ut
triangulum; & in Medio utroq; ubi quam minima est, accedit ad rationem
æqualitatis, pro more Sectoris & Trianguli.

Prop. XIV. Prob. IV.

Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu
descriptum, est ut summa vel differentia areæ per quam tempus
exponitur, & areæ cujusdam alterius quæ augetur vel diminuitur
in progressione Arithmetica; si vires ex resistentia & gravitate
compositæ sumantur in progressione Geometrica.

Capiatur AC (in Fig. tribus ultimis,) gravitati, & AK resistentiæ
proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti A si corpus
ascendit, aliter ad contrarias. Erigatur Ab quæ sit ad DB ut DBq. ad 4BAC:
& area AbNK augebitur vel diminuetur in progressione Arithmetica, dum
vires CK in progressione Geometrica sumuntur. Dico igitur quod distantia
corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areæ AbNK supra aream
DET.
Nam cum AK sit ut resistentia, id est ut APq. + 2BAP; assumatur data
quævis quantitas Z, & ponatur AK æqualis {APq. + 2BAP} ÷ Z; & (per
hujus Lem. II.) erit ipsius AK momentum KL æquale {2APQ + 2BA × PB}
÷ Z seu 2BPQ ÷ Z, & areæ AbNK momentum KLON æquale 2BPQ × LO ÷
Z seu {BPQ × BD cub.} ÷ {2Z × CK × AB}.

Cas. 1. Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut ABq. + BDq. existente
BET circulo, (in Fig. Cas. 1. Prop. XIII.) linea AC, quæ gravitati
proportionalis est, erit {ABq. + BDq.} ÷ Z & DPq. seu APq. + 2BAP + ABq.
+ BDq. erit AK × Z + AC × Z seu CK × Z; ideoque area DTV erit ad aream
DPQ ut DTq. vel DBq. ad CK × Z.
Cas. 2. Sin corpus ascendit, & gravitas sit ut ABq. - BDq. linea AC (Fig.
Cas. 2. Prop. XIII.) erit {ABq. - BDq.} ÷ Z, & DTq. erit ad DPq. ut DFq.
seu DBq. ad BPq. - BDq. seu APq. + 2BAP + ABq. - BDq. id est ad AK × Z
+ AC × Z seu CK × Z. Ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DBq. ad CK
× Z.
Cas. 3. Et eodem argumento, si corpus descendit, & propterea gravitas sit ut
BDq. - ABq. & linea AC (Fig. Cas. 3. Prop. præced.) æquetur {BDq. -
ABq.} ÷ Z erit area DTV ad aream DPQ ut DBq. ad CK × Z: ut supra.
Cum igitur areæ illæ semper sint in hac ratione; si pro area DTV, qua
momentum temporis sibimet ipsi semper æquale exponitur, scribatur
determinatum quodvis rectangulum, puta BD × m, erit area DPQ, id est,
½BD × PQ; ad BD × m ut CK in Z ad BDq. Atq; inde fit PQ in BD cub.
æquale 2BD × m × CK × Z, & areæ AbNK momentum KLON superius
inventum, fit BP × BD × m ÷ AB. Auferatur areæ DET momentum DTV seu
BD × m, & restabit AP × BD × m ÷ AB. Est igitur differentia momentorum,
id est, momentum differentiæ arearum, æqualis AP × BD × m ÷ AB; &
propterea (ob datum BD × m ÷ AB) ut velocitas AP, id est ut momentum
spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit. Ideoque
differentia arearum & spatium illud proportionalibus momentis crescentia
vel decrescentia, & simul incipientia vel simul evanescentia, sunt
proportionalia. Q. E. D.
Corol. Igitur si longitudo aliqua V sumatur in ea ratione ad arcum ET, quam
habet linea DA ad lineam DE; spatium quod corpus ascensu vel descensu
toto in Medio resistente describit, erit ad spatium quod in Medio non
resistente eodem tempore describere posset, ut arearum illarum differentia
ad BD × V2 ÷ 4AB, ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in Medio
non resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut V2, & ob datas BD &
AB, ut BD × V2 ÷ 4AB. Tempus autem est ut DET seu ½BD × ET, & harum
arearum momenta sunt ut BD × V ÷ 2AB ductum in momentum ipsius V &

½BD ductum in momentum ipsius ET, id est, ut BD × V ÷ 2AB in DAq. ×
2m ÷ DEq. & ½BD × 2m, sive ut {BD × V × DAq. × m} ÷ {AB × DEq.} &
BD × m. Et propterea momentum areæ V2 est ad momentum differentiæ
arearum DET & AKNb, ut {BD × V × DA × m} ÷ {AB × DE} ad AP × BD ×
m ÷ AB sive ut V × DA ÷ DE ad AP; adeoque, ubi V & AP quam minimæ
sunt, in ratione æqualitatis. Æqualis igitur est area quam minima BD × V2 ÷
4AB differentiæ quam minimæ arearum DET & AKNb. Unde cum spatia in
Medio utroque, in principio descensus vel fine ascensus simul descripta
accedunt ad æqualitatem, adeoque tunc sunt ad invicem ut area BD × V2 ÷
4AB & arearum DET & AKNb differentia; ob eorum analoga incrementa
necesse est ut in æqualibus quibuscunque temporibus sint ad invicem ut
area illa BD × V2 ÷ 4AB & arearum DET & AKNb differentia. Q. E. D.

SECT. IV.
De Corporum circulari Motu in Mediis resistentibus.

LEM. III.

Sit PQRr Spiralis quæ secet radios omnes SP, SQ, SR, &c. in
æqualibus angulis. Agatur recta PT quæ tangat eandem in puncto
quovis P, secetque radium SQ in T; & ad Spiralem erectis
perpendiculis PO, QO concurrentibus in O, jungatur SO. Dico
quod si puncta P & Q accedant ad invicem & coeant, angulus
PSO evadet rectus, & ultima ratio rectanguli TQ × PS ad PQ
quad. erit ratio æqualitatis.

Etenim de angulis rectis OPQ, OQR subducantur
anguli æquales SPQ, SQR, & manebunt anguli
æquales OPS, OQS. Ergo circulus qui transit per
puncta O, S, P transibit etiam per punctum Q. Coeant
puncta P & Q, & hic circulus in loco coitus PQ
tanget Spiralem, adeoque perpendiculariter secabit
rectam OP. Fiet igitur OP diameter circuli hujus, &
angulus OSP in semicirculo rectus. Q. E. D.
Ad OP demittantur perpendicula QD, SE, & linearum rationes ultimæ erunt
hujusmodi: TQ ad PD ut TS vel PS ad PE, seu PO ad PS. Item PD ad PQ ut
PQ ad PO. Et ex æquo perturbate TQ ad PQ ut PQ ad PS. Unde fit PQq.
æqualis TQ × PS. Q. E. D.

Prop. XV. Theor. XI.

Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia
locorum a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata
ratione densitatis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quæ
radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.

Ponantur quæ in superiore Lemmate, & producatur SQ ad V, ut sit SV
æqualis SP. Temporibus æqualibus describat corpus arcus quam minimos
PQ & QR, sintque areæ PSQ, QSr æquales. Et quoniam vis centripeta, qua
corpus urgetur in P est reciproce ut SPq. & (per Lem. X. Lib. I.) lineola TQ,
quæ vi illa generatur, est in ratione composita ex ratione hujus vis & ratione
duplicata temporis quo arcus PQ describitur, (Nam resistentiam in hoc casu,
ut infinite minorem quam vis centripeta negligo) erit TQ × SPq. id est (per
Lemma novissimum) PQq. × SP, in ratione duplicata temporis, adeoque
tempus est ut PQ × √SP, & corporis velocitas qua arcus PQ illo tempore
describitur ut PQ ÷ {PQ × √SP} seu 1 ÷ √SP, hoc est in dimidiata ratione
ipsius SP reciproce. Et simili argumento velocitas, qua arcus QR describitur,
est in dimidiata ratione ipsius SQ reciproce. Sunt autem arcus illi PQ & QR
ut velocitates descriptrices ad invicem, id est in dimidiata ratione SQ ad SP,
sive ut SQ ad √SP × √SQ; & ob æquales angulos SPQ, SQr & æquales areas
PSQ, QSr, est arcus PQ ad arcum Qr ut SQ ad SP. Sumantur
proportionalium consequentium differentiæ, & fiet arcus PQ ad arcum Rr ut
SQ ad SP - SP½ × SQ½, seu ½VQ; nam punctis P & Q coeuntibus, ratio
ultima SP - SP½ × SQ½ ad ½VQ fit æqualitatis. In Medio non resistente
areæ æquales PSQ, QSr (Theor. I. Lib. I.) temporibus æqualibus describi
deberent. Ex resistentia oritur arearum differentia RSr, & propterea
resistentia est ut lineolæ Qr decrementum Rr collatum cum quadrato
temporis quo generatur. Nam lineola Rr (per Lem. X. Lib. I.) est in
duplicata ratione temporis. Est igitur resistentia ut Rr ÷ {PQq. × SP}. Erat
autem PQ ad Rr ut SQ ad ½VQ, & inde Rr ÷ {PQq. × SP} fit ut ½VQ ÷
{PQ × SP × SQ} sive ut ½OS ÷ {OP × SPq.}. Namque punctis P & Q
coeuntibus, SP & SQ coincidunt; & ob similia triangula PVQ, PSO, fit PQ
ad ½VQ ut OP ad ½OS. Est igitur OS ÷ {OP × SPq.} ut resistentia, id est in
ratione densitatis Medii in P & ratione duplicata velocitatis conjunctim.
Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio 1 ÷ SP, & manebit Medii
densitas in P ut OS ÷ {OP × SP}. Detur Spiralis, & ob datam rationem OS
ad OP, densitas Medii in P erit ut 1 ÷ SP. In Medio igitur cujus densitas est
reciproce ut distantia a centro SP, corpus gyrari potest in hac Spirali.
Q. E. D.
Corol. 1. Velocitas in loco quovis P ea semper est quacum corpus in Medio
non resistente gyrari potest in circulo, ad eandem a centro distantiam SP.