Geschichte der Mathematik im Altertum in Verbindung mit antiker Kulturgeschichte (German) Max Simon 597 downloads.pdf

The Project Gutenberg eBook of Geschichte der Mathematik
im Altertum in Verbindung mit antiker Kulturgeschichte
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Title: Geschichte der Mathematik im Altertum in Verbindung mit antiker
Kulturgeschichte

Author: Max Simon

Release date: May 14, 2020 [eBook #62131]
Most recently updated: October 18, 2024

Language: German

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*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK GESCHICHTE
DER MATHEMATIK IM ALTERTUM IN VERBINDUNG MIT
ANTIKER KULTURGESCHICHTE ***

GESCHICHTE
DER
MATHEMATIK IM ALTERTUM
IN VERBINDUNG MIT
ANTIKER KULTURGESCHICHTE

VON

DR. MAX SIMON
HONORARPROFESSOR DER UNIVERSITÄT STRASSBURG

VERLAG VON BRUNO CASSIRER
BERLIN 1909

Theodor Reye
IN

DANKBARKEIT UND VEREHRUNG

GEWIDMET

Vorwort
Diese Schrift ist im wesentlichen eine Drucklegung der Vorlesung,
welche ich 1903 in Strassburg gehalten habe, nur der Abschnitt über
Babylon musste infolge der raschen Arbeit des Spatens in Mesopotamien
stark erweitert werden. Die Vorlesung sollte der Ausführung des Satzes aus
meiner Didaktik und Methodik in B a u m e i s t e r s Handbuch der
Erziehungs- und Unterrichtslehre dienen, dass, wie jeder Oberlehrer, so
besonders der Mathematiker möglichst allgemein gebildet sein müsse.
Für Ägypten hatte ich an W i l h e l m S p i e g e l b e r g einen stets
bereiten Führer und Helfer, für Indien konnte ich mich auf meinen
langjährigen Freund E r n s t L e u m a n n stützen. Beiden Herren hier
meinen herzlichen Dank auszusprechen, möge mir erlaubt sein.
Leider hat die Universitas litterarum Argentoratensis eine empfindliche
und schwer begreifliche Lücke, e s f e h l t d e r A s s y r i o l o g e, und so
war ich hier auf mich selbst angewiesen, da die Hoffnung sich zerschlug
einen Kritiker in W . B e z o l d zu finden, dessen höchst anziehende
Monographie »B a b y l o n u n d N i n i v e« mich in dies Gebiet
eingeführt hatte, wie E r m a n s klassisches »Ägypten« in jenes.
Bei der Korrektur hat mich der Dozent der Philosophie an der
Universität Berlin D r . E . C a s s i r e r, der Verfasser des Werkes »das
Erkenntnisproblem in der Philosophie und Wissenschaft der neueren Zeit«
freiwillig unterstützt, wofür ich um so dankbarer bin als meine Augen nicht
mehr die besten sind.
Meinem Schüler und jüngeren Freund Herrn Diplomingenieur E r n s t
F r a n k bin ich für die mühsame und schöne Federzeichnung G u d e a s und
eine ganze Anzahl Photographien verpflichtet, aber die meisten
Photographien hat mein langjähriger Kollege der Maler und Zeichenlehrer
Herr C h r . K n e e r in liebenswürdigster Weise mir geliefert.

Zum Schluss ist es mir Bedürfnis, der Verlagshandlung B r u n o
C a s s i r e r, für welche die Drucklegung dieses Werkes mit
ausserordentlicher Mühe verknüpft war, für ihre Sorgfalt und
Opferwilligkeit meinen Dank auszusprechen.
Strassburg i. E., Nov. 1908.
Max Simon

Meine Herren!
Die zusammenhängende Geschichte der Mathematik auf strenger
Grundlage ist einer der jüngsten Zweige unserer Wissenschaft; sie datiert
eigentlich erst seit dem grossen Werke J e a n E t i e n n e M o n t u c l a's:
Histoire des Mathématiques von 1758 oder richtiger vom 7. August 1799,
an welchem Tage die beiden ersten Bände der zweiten Auflage erschienen.
Es liegt dies in der Natur der Sache, eine Geschichtsschreibung setzt immer
einen gewissen Abschluss voraus, es müssen die ihrer Zeit treibenden
Gedanken — damals die Prinzipien der Infinitesimalrechnung —
ausgebeutet sein, sie müssen ihre treibende Kraft verloren haben, um einer
objektiven Darstellung Raum zu gewähren. Ganz analog schrieb der
Aristoteliker Eudemos sein leider grösstenteils verlornes
Geschichtswerk, als die Mathematik der Pythagoreer und Platoniker ihre
Kodifikation durch E u d o x o s und andere gefunden hatte. Man darf auch
nicht vergessen, dass die Weltgeschichte selbst erst Wissenschaft geworden
ist, seitdem am Ende des 17. Jahrhunderts L e i b n i z auf die Urkunde, auf
die Forschung in den Archiven als ihre Grundlage hingewiesen hat.
So grossartig die Leistung Montuclas war, so hat doch nur ein geringer
Teil seiner Darbietungen die Kritik bestanden. Einerseits war sein Plan zu
gross für einen einzelnen Menschen angelegt, er sollte nicht bloss
Geometrie, Algebra, Infinitesimalrechnung umfassen, sondern auch
Astronomie, Mechanik und die bis zur französischen Revolution zur
Mathematik gezählten Disziplinen, Optik, Nautik, Chronologie und
Gnomonik. Dann aber sind erst im 19. Jahrhundert die Quellen für die
ägyptische, babylonische, arabische und indische Mathematik erschlossen
worden, und selbst die Mathematik der Griechen und Römer erscheint uns
heut in ganz anderem Lichte. Der Neuhumanismus von den grossen

Philologen Friedrich August Wolf und Gottfried Hermann ausgehend, schuf
eine Schule von Philologen, ich nenne nur Diels, Heiberg und Hultsch,
welche mit einer vorher unbekannten Schärfe und ungeahntem Erfolge die
mathematischen Werke der Alten, Euklid, Ptolemeus, Pappus, Heron,
Archimedes, Vitruv etc. edierten.
Der grosse Aufschwung, den das Interesse für Geschichte der
Mathematik im 19. Jahrhundert, besonders seit der Mitte desselben,
genommen, erklärt sich aber auch allgemeiner. Mit Kants Kritik der reinen
Vernunft setzt die kritische Strömung ein, die in erster Linie das
Geistesleben des 19. Jahrhunderts beherrscht hat. Sie unterwarf sich durch
Bolzano, Gauss, Kummer, Weierstrass, auch die Mathematik und drängte
dazu, alles Überlieferte auf seine Wahrheit und seinen inneren
Zusammenhang zu prüfen.
Dazu kam dann die stärkere Betonung des geschichtlichen Elements
für die Ausbildung der Methode des mathematischen Unterrichts. Er hat
seine Geschichte und seine Koryphäen für sich. Ich verweise auf die 2.
Auflage meiner Didaktik und Methodik des Rechnens und der Mathematik
(München 1908). Aber die Lehrer begriffen doch allmählich, wie die
zahlreichen l. c. erwähnten Programme, denen ich als neuestes das
Programm von Dr. M . G e b h a r t Ostern 1908 hinzufüge, beweisen, dass
für den Unterrichtserfolg der Einblick in das historische Werden durchaus
nötig sei. Denn der Einblick in das historische Werden der Erkenntnis
vermittelt zugleich das beste Verständnis für die gewordene. Es sei
hingewiesen auf E . C a s s i r e r, das Erkenntnisproblem in der Philosophie
und Wissenschaft der neueren Zeit Bd. I 1906, Bd. II 1908.
Für den Lehrer ist dieser Einblick ganz besonders wichtig, weil nur die
Geschichte Aufklärung gibt über die Schwierigkeiten, welche der Geist bei
der Bewältigung der einzelnen Probleme zu überwinden hat. Dazu kommt
noch ein anderer Umstand, der für die Schule ganz besonders zu betonen
ist, der Hinweis nämlich auf den Zusammenhang aller Kulturarbeit, das ist
kurz auf die Einheit des menschlichen Geistes. Logarithmen und
Wahrscheinlichkeitsrechnung haben die Statistik und die
Sozialgesetzgebung geschaffen. »Die stille Arbeit des grossen Regiomontan
in seiner Kammer zu Nürnberg berechnete die Ephemeriden, welche
Kolumbus die Entdeckung Amerikas ermöglichten.« (F . R u d i o .)

Der kritische Geist des Jahrhunderts zeitigte noch eine Blüte, die der
historischen Forschung zugute kam, so wenig erfreulich sie sonst ist. — Ich
meine die Prioritätsstreitigkeiten, wobei allerdings die historische Wahrheit
nicht selten durch die ebenfalls ganz moderne Ausbildung des
Nationalitätsgefühls getrübt wird.
Dazu kommt noch ein weiteres wichtiges und treibendes Moment der
historischen Forschung, das ist die nur historisch zu begreifende Wandlung,
welche die Begriffe im Laufe der Zeit durchmachen, die Umwertung aller
Werte, um mit Nietzsche zu reden. Nehmen Sie z. B. den Funktionsbegriff,
den wichtigsten und weittragendsten von allen; L e i b n i z und die
B e r n o u l l i, die diesen Begriff zuerst als einen selbständigen ausgeprägt
haben, nahmen das Wort von der gemeinsamen Bezeichnung der
verschiedenen Potenzen von x her und bezeichneten y als Funktion von x,
wenn ein analytischer Ausdruck, eine Gleichung vorlag, durch welche die
Änderung des y an die des x gebunden wurde. Die Fourierschen Reihen,
d. h. die nach dem sinus oder cosinus der multiplen eines Argumentes x
fortschreitenden Reihen, welche eine einzige Darstellung für eine ganz
willkürliche Veränderliche lieferten, zwangen dann Dirichlet den Begriff
umzuprägen. Heute fasst man z. B. √x nicht als Funktion von x auf, wohl
aber einen Dezimalbruch, dessen x-Stellen in x-Würfen ausgewürfelt
werden. Hierher gehört die ganze Lehre vom Flächen- und Körperinhalt,
sowohl die Flächenvergleichung als die Inhaltsbestimmung krummlinig
begrenzter Flächen, überhaupt die ganze räumliche Messung. Noch
C h r i s t o f f e l stützte in seinen Vorlesungen die Lehre vom bestimmten
Integral darauf, dass das Integral den Flächeninhalt angibt. Er versprach
zwar an dieser Stelle immer den arithmetischen Beweis dafür, dass
Σ(yK∓1 yK) (xK∓1 xK) eine bestimmte Grenze habe gelegentlich zu liefern,
aber die Gelegenheit fand er nicht. Jahrhunderte hindurch wurde die
Integralrechnung Quadratur genannt, heute wird umgekehrt der
Flächeninhalt durch das bestimmte Integral definiert. Der naive Mensch
verbindet mit der Strecke sofort ihre Länge, aber 1892 wurde diese Länge
definiert als die bestimmte transfinite Anzahl der Linienelemente. Und die
Lehre von den Polyedern und dem Eulerschen Satze! Welche Wandlung hat
da schon der Begriff Polyeder durchgemacht bis C . J o r d a n und C . K .
B e c k e r den Zusammenhang mit der Riemannschen Zahl p, dem
Geschlecht der Abelschen Funktionen, der Ordnung des Zusammenhanges
erkannten. Und der Begriff der Fläche, — man denke an die einseitigen

Flächen L i s t i n g s und M ö b i u s ', ferner an die stetigen aber nicht
differenzierbaren Funktionen, ja an den Begriff der Geometrie selber, der
sich in den letzten 50 Jahren vollkommen verschoben hat. All diese
Entwicklungen können nur historisch oder gar nicht erfasst werden.
Allmählich aber hat sich auch in weiteren Kreisen ein reines Interesse
an der historischen Forschung als solcher entwickelt. Es gewährt eine hohe
Befriedigung, das grosse Gesetz der Kontinuität, das sich wie ein roter
Faden durch alle menschliche Geistesarbeit hindurchzieht und alle
menschlichen Generationen verknüpft, auch in der Mathematik
blosszulegen und gewissermassen diesen Faden aufzurollen.
Das Standardwerk des Säkulums ist das Riesenwerk M o r i t z
C a n t o r s in Heidelberg, die Vorlesung über Geschichte der Mathematik in
3 Bänden. Band 1 erschien 1880, Band 3 wurde 1899 fertig und noch ehe
das Werk vollendet war, 1894, erschien die 2. Auflage des 1. Bandes, 1901
schon die des 3. Diese rasche Folge ist wohl der sprechendste Beweis dafür,
wie sehr das historische Interesse unter den Mathematikern erstarkt ist. Das
Werk Cantors ist eine staunenswerte Leistung und wird es bleiben, auch
wenn es ihm ergangen sein wird, wie seinem Vorgänger, dem Montucla; die
von diesem grossen Werke ausgehende Einzelforschung wird vieles, ja sehr
vieles was im Cantor steht, berichtigen. Für indische, ägyptische,
babylonische, hellenische Mathematik ist diese verdienstliche
Maulwurfsarbeit bereits stark im Gange.
Wenn ich mich nun zu meinem Gegenstande wende, so ist es klar, dass
ich nicht mit der Erfindung der Mathematik beginnen kann. Die
Mathematik ist nie und nirgends erfunden worden und wenn die Ägypter
die Erfindung ihrem Gott Thot zuschrieben, so ist damit auch nichts anderes
gesagt. Mathematische Vorstellungen sind ja keineswegs auf den Menschen
beschränkt; die Henne, die all ihre Küchlein, der Hirtenhund, der alle Tiere
seiner Herde kennt, haben Zahlvorstellungen. Die Spinne, wenn sie ihr Netz
anlegt, bedient sich ihres eigentümlich gebauten Fusses, wie eines
Masszirkels, die Bienen haben beim Bau ihrer sechseckigen Zellen eine
schwierige Maximumsaufgabe gelöst. Ja selbst der Regenwurm dreht den
Grashalm um und schleppt ihn mit der Spitze voran in seine Röhre, und
Proklus erzählt uns, dass auch der Esel in gerader Linie auf sein Futter
ziele. Es ist eine lange durch ungezählte Jahrtausende fortgesetzte und
durch Vererbung erhaltene Arbeit, welche von den dunkelsten Reaktionen

auf Kontaktreiz etwa in den verschiedenen Wimpern der Aktinien bis zur
bewussten dreidimensionalen Reaktion auf Tast- und Hautreiz führt und
unsere Geometrie geschaffen hat und fortwährend an ihr schafft.
Wie überall, so geht auch der geschichtlichen Mathematik eine schier
unendlich lange prähistorische Zeit voraus, in der die wichtigsten Begriffe
geschaffen werden: der des Masses, der Zahl, der geraden Linie, des
Abstands, der Richtung, des Winkels, des Punkts, der Fläche, des Körpers
etc.; in dieses Dunkel kann höchstens die Sprachforschung einiges Licht
bringen. Wir sehen, dass die Masse überall vom eigenen Körper
hergenommen werden, von der Puruscha, der Menschenlänge der Inder, der
Elle Mah und Handbreite der Ägypter bis zum Fusse der Griechen, Römer
und Germanen. Die Finger, gelegentlich auch die Zehen bilden die
natürlichen Komplexe für die Zählung; 20, 10, 5 bilden die Abschnitte.
Wenn die Griechen die Ebene επιπεδον nennen, d. h. das, worauf der Fuss
steht, so können wir schliessen, wie sich ihnen der mathematische Begriff
Ebene aus dem der Ebenheit entwickelt hat und ευθεια, was ich als die ohne
Zeitverlust darauflosgehende interpretiere und mit θυνω zusammenbringe,
bezieht sich auf die Gerade als kürzeste Verbindung, wie das lateinische
recta mit Richtung zusammenhängt. Sinnesreize, Sinneswahrnehmungen
sind es, aus denen sich die mathematischen Vorstellungen entwickelten und
man kann sich den Ursprung und die Anfangsepoche der Mathematik gar
nicht grobsinnlich genug vorstellen. Die Mathematik, die Arithmetik wie
die Geometrie ist eine Experimentalwissenschaft bis Archimedes gewesen.
Ja sie ist es noch heute, man denke an die Seifenblasen und die
Gelatineflächen, die sich Kummer herstellte, an viele zahlentheoretische
Sätze Fermats und Eulers, an Gauss' Zahleninduktion; und wenn man die
Mathematik rubrizieren will, so gehört sie historisch zu den
Naturwissenschaften, wenn sie auch allmählich mehr und mehr den
Übergang zur reinen Geisteswissenschaft vollführt, und grade die
gegenwärtige, durch Ve r o n e s e und H i l b e r t gekennzeichnete Phase
einen rein logischen Charakter trägt.
Wenn aber irgendwo der experimentelle Charakter der Mathematik
hervortritt, so ist es bei den Ägyptern, deren Mathematik ganz und gar auf
dem Wege des Experimentes zustande gekommen ist. H e r o n aus
Alexandrien, der Mechanikus, wie ihn P r o k l u s nennt, der grosse
Feldmesser und Ingenieur, der wahrscheinlich 100 v. Chr. gelebt hat, ist in
Form und Inhalt stark von altägyptischer Mathematik beeinflusst. In seinen

1903 von S c h ö n e edierten Metrika sagt er: Nachdem die Körper, welche
ein bestimmtes Gesetz befolgen, gemessen sind, ist es folgerichtig, auch die
regellosen wie Baumstümpfe und Felsblöcke zu besprechen, da einige
berichten, dass sich A r c h i m e d e s dafür eine Methode ausgedacht hat.
Falls nämlich jener Körper leicht transportabel wäre, sollte man eine
hinlänglich grosse, vollkommen rechtwinklige Wanne machen, sie mit
Wasser füllen und den unregelmässigen Körper hineintauchen. Es ist nun
klar, dass soviel Wasser überfliessen wird, als jener Körper enthält. Soweit
Archimedes, und nun schlägt Heron vor, den betr. schwer transportablen
Körper mit Wachs oder Lehm zu bestreichen und zwar so, dass er mit der
Umhüllung zu einem balkenförmigen Körper wird, dann den Lehm
abzukratzen und gleichfalls in Balkenform zu kneten.
Man sieht, wie äusserst wahrscheinlich es ist, dass Archimedes, der in
Alexandrien studiert hat, seine Formel über den Inhalt der Kugel auf
physikalischem Wege gefunden hat.
Diesen experimentellen Charakter hat nun die gesamte Mathematik der
Ägypter besessen, die ein Bauernvolk waren und sind, deren ganze Natur
eine durch und durch realistische war, wie der Totenkultus und die Kunst
bezeugen; waren doch ihre Säulen Nachbildungen der Lotos und
Papyrosstauden, ihr Fussboden Nachahmung der Erde; ihr Leben nach dem
Tode ganz nach dem Diesseits gemodelt, von allem andern zu schweigen.
H a n d e l u n d Ve r w a l t u n g zwangen zur Ausbildung der
Rechenkunst. Der Handel wurde schon vor unvordenklicher Zeit von Staats
wegen getrieben; grosse Handelsexpeditionen nach Punt (Somaliküste) und
Kusch (Nubien) ausgesandt. Die Verwaltung war bis aufs kleinste
organisiert. Ein Heer von Hofbeamten, ein Heer von Beamten der
Lehnsbarone, sie ist in China und in Deutschland nicht bureaukratischer
gewesen. Wir haben genug Denkmäler von dem Hochmut der Beamten und
dem selbstverständlich noch grösseren ihrer Schreiber. Die
F e l d m e s s u n g aber und die Baukunst entwickelten die Geometrie. Die
B a u k u n s t, die jene Denkmäler geschaffen, vor denen der grosse
Napoleon seinen S o l d a t e n zurief: Songez que du haut de ces monuments
quarante siècles vous contemplent; und die gewaltigen Kanäle, Stau- und
Schleusenwerke und Nildämme, die sich bis heute erhalten haben. Die
F e l d m e s s u n g aber musste in hohem Ansehen stehen bei dem
komplizierten auf den Landbesitz gegründeten Steuersystem und dem

hohen Werte des schmalen Kulturstreifens längs des Niles. H e r o d o t, dem
wir die erste Kunde von Ägypten verdanken, berichtet, dass Sesostris — in
dieser sagenhaften Figur hat sich die Erinnerung an 2 Pharaonen, den
mächtigen Pharao Sen-wos ret der XII. Dynastie etwa um 2200 und Ramses
II erhalten — das Land in Quadrate geteilt und wenn der Nil in seiner
Überschwemmung Land ab- oder angespült hatte, Nachmessungen der
staatlichen Feldmesser stattfanden, zum Zwecke der richtigen
Steuerveranlagung. Daraus ist dann schliesslich bei S t r a b o die Erzählung
geworden, dass das ganze Land, weil der Nil die Grenzzeichen jährlich
fortgerissen hätte, jährlich neu vermessen wurde.
Die historische, d. h. die auf Urkunden gestützte Zeit beginnt mit den
Ägyptern und Babyloniern. Wenn wir mit den Ägyptern beginnen, so
geschieht es nicht deswegen, weil wir heute noch die Vorstellung haben,
wie sie von den Griechen ausgehend bis weit über die Mitte des 19.
Jahrhunderts geherrscht hat, dass die Mathematik sich von Ägypten aus auf
die übrigen Völker etwa wie eine Art Infektionskrankheit verbreitet habe. In
seiner Festrede von 1884 sagt E m i l W e y r, der vor wenigen Jahren
verstorbene Wiener Mathematiker: »Es muss als feststehend angenommen
werden, dass j e d e s Volk in seinem Entwicklungsgange schon durch
praktische Bedürfnisse gezwungen war, sich geometrische Kenntnisse
anzueignen. Die Höhe dieser Kenntnisse richten sich nach der Grösse der
praktischen Bedürfnisse, zu denen auch die religiösen gezählt werden
müssen.«
Wie wesentlich, wie entscheidend diese letzteren z. B. für die indische
Mathematik gewesen sind, wusste Weyr selbst nicht, als er die Worte
aussprach.
Die Originalität der Ägypter ist gerade seit den letzten 30 Jahren
keineswegs mehr unbestritten, in den letzten 30 Jahren ist auf den uralten
Kulturzusammenhang zwischen Ägyptern und Babyloniern mehrfach
hingewiesen worden, doch ist hier im einzelnen noch alles unklar. Für die
Wägekunst und die Messkunst hängen die Ägypter direkt von Babylon ab.
Die wunderbaren Funde von Tel Amarna zeigten uns kürzlich, dass um die
Zeit des mittleren Reiches syrische Kleinkönige, die unter ägypt.
Oberhoheit standen, in Asien an ihren Hof babylonisch berichteten, so etwa
wie im 18. Jahrhundert unsere Gesandten französisch berichteten. Und was
das Alter betrifft, so ist das ägyptische Papier, ja selbst das Leder nicht älter

als die Ziegelsteine Babylons. (Die neuesten Forschungen L . W . K i n g s
für Babylon [Chronicles Concerning early Babylonian Kings, 2. voll. 1907]
und E d u a r d M e y e r s [Ägypten zur Zeit der Pyramidenerbauer, Leipzig
1908] geben allerdings dem ägyptischen Staate ein um mehrere
Jahrhunderte höheres Alter.) Aber es gibt bis jetzt kein anderes Volk, für das
die historische Überlieferung so wenig Lücken bietet wie das ägyptische.
Erman in Berlin, der durch seine und seiner Schule Arbeit eigentlich erst die
Ägyptologie auf wissenschaftliche Grundlage gestellt hat, sagt: Von der Zeit
des Königs Snofru bis Alexander dem Grossen und von der griechischen
Epoche her bis zum Einbruch der Araber und von diesem wieder bis auf
unsere Tage liegt eine ununterbrochene Kette von Denkmälern und
Schriftwerken vor, die uns die Verhältnisse dieses Landes kennen lehren.
Über 6000 Jahre können wir die Geschichte dieses Volkes und nur
dieses verfolgen. Darum und nur darum beginne ich mit den Ägyptern.

I. Kapitel.
Ägypten.

Ägyptische Geschichte.

Eine genaue ägyptische Chronologie existiert zurzeit nicht, obwohl im
letzten Dezennium, insbesondere durch die Ausgrabungen der deutschen
Orient-Gesellschaft unter Leitung von B o r c h a r d t, wichtige Ansätze
gewonnen sind. Nach dem Vorgange des ägyptischen Priesters Manetho, der
in griechischer Sprache eine Königstafel gab, von der einiges erhalten ist,
hat man die Geschichte bis auf Alexander in 30 Dynastien geteilt. Ich gebe
hier die Epochen nach E d . M e y e r (Ägypt. Chronologie 1904, Nachträge
1907) und W . S p i e g e l b e r g, und zugleich nach diesem die der
Kunstgeschichte. Der ursprüngliche Zustand in einer Zeit, die sich unserer
Berechnung entzieht, ist wohl der einer Besiedlung des Landes durch
einzelne selbständige Gaue gewesen; diese Gauverbände haben sich
während des ganzen Altertums erhalten. Aber sehr früh muss der
Riesenstrom, der nur durch vereinte Kräfte nutzbar zu machen war,
namentlich in Unterägypten ein straff zentralisiertes Reich geschaffen
haben, das bereits vor 4000 ein Kulturland war. Nach Meyer hat es das
ägyptische Kalenderjahr geschaffen, »das vom 19. Juli 4241 an 4000 Jahr
unverändert in Ägypten bestanden hat, — das älteste feste Datum, welches
die Geschichte der Menschheit kennt.« Der Tag ist durch den Heliakischen
Aufgang des Sothis (Sirius) festgelegt, denn das ägyptische Jahr mit 365
Tagen sollte mit diesem Aufgang beginnen, und der verschob sich alle 4
Jahre um einen Tag. Es folgten dann zwei politisch getrennte, religiös und
kulturell gleichartige Reiche, Unter- und Oberägypten, von denen jenes die

Fischer und Schiffer des Delta, dieses die Ackerbauer des oberen
Stromlaufs umfasste, bis etwa um 3400 Menes von Thinis, mit Königsname
vielleicht N a m a r ê, Wahrheit eignet dem Re, Unterägypten unterwarf und
die beiden Reiche vereinigte. Diese Vereinigung war eine wirtschaftliche
Notwendigkeit; die Ackerbauer Oberägyptens mussten sich die freie
Ausfuhr ihres Kornüberschusses in die Länder des Mittelmeerbeckens
sichern.
Die folgende Tabelle hat W . S p i e g e l b e r g seiner Vorlesung über
die ägyptische Kunstgeschichte vom Winter 1906|7 zugrunde gelegt und
mir die Publikation gestattet. Als Zentren der Frühzeit kamen neben
Hierakonpolis (äg. Nechen) noch Buto (äg. Pe) in Betracht sowie Abydos.
Als Könige der Kunstblüte des alten Stils sind Sahurê und Neweserrê zu
nennen (Ausgrabungen der deutschen Orient-Gesellschaft L .
B o r c h a r d t; vergl. E d . M e y e r s, des um die ägypt. Chronologie
hochverdienten Forschers Vortrag: Ägypten zur Zeit der Pyramidenerbauer,
Leipzig, J. C. Hinrichs, 1908.) (Siehe Abb.)
Die Epochen der ägyptischen Geschichte und Kunst.
I. P r ä h i s t o r i s c h e Z e i t.
II. F r ü h z e i t — Archaische Kunst. Etwa 3400–2900 v. Chr. Dynastie
I–III.
III. A l t e s R e i c h — Pyramidenzeit. Etwa 2900–2500 v. Chr.
1. Dynastie IV — Die Pyramidenerbauer Cheops, Chephren und
Mykerinos — Entwicklung des neuen Stils.
2. Dynastie V — Blütezeit des neuen Stils. Kunstzentrum:
M e m p h i s.
Erste Übergangsperiode — Dynastie VI–XI — Etwa 2500–2000 v.
Chr. — Zerfall des Reiches in Gaustaaten.
IV. M i t t l e r e s R e i c h — Der klassische Stil — Dynastie XII. Um
2000–1800 v. Chr. — Sen-wosret (das Urbild des Sesostris) und der
Labyrintherbauer Amenemhet-Labares (Moeris). Kunstzentrum:
F a j u m.
Zweite Übergangsperiode — Dynastie XIII–XVII. Um 1800–1580 v.
Chr. — Hyksosherrschaft.

V. N e u e s R e i c h — 1580–1100 v. Chr. Dynastie XVIII bis XX.
1. Wiederbelebung des klassischen Stils — König Thutmosis III. und
Königin Hatschepsowet. Um 1560 bis 1470 v. Chr.
2. Blütezeit — Der freiere Stil. Beziehungen zu der mesopotamischen
und mykenischen Kunst. — Amenophis II. III. Thutmosis IV. —
Um 1470–1370 v. Chr.
3. Sonderkunst des Ketzerkönigs Chinatôn (= Amenophis IV.) —
Ausartung des freieren Stils. — Um 1375–1350 v. Chr.
4. Die Restauration — (Haremheb, Sethos I.). Um 1313–1292 v. Chr.
5. Ramessidenkunst — (Ramses II.). Impressionistische Richtung in
der Architektur. — Um 1292–1100 v. Chr.
Dritte Übergangsperiode — Dynastie XXI–XXV. Um 1100–663 v.
Chr.
Niedergang der Kunst und Beginn des Archaismus unter der libyschen
und äthiopischen Fremdherrschaft. — Schischak. Kunstzentrum ist
im ganzen neuen Reich T h e b e n, mit Ausnahme der Regierung
des Chinatôn, wo es E l - A m a r n a ist.
VI. D i e S p ä t z e i t — Um 663–532 v. Chr.
1. Saitenzeit — Dynastie XXVI. Psammetich, Amasis, Archaismus
und Renaissance. Blütezeit der Porträtkunst. — Um 663–525 v.
Chr.
2. Perserzeit — Verfall der Kunst während der persischen
Fremdherrschaft (Herodot). Kunstzentrum ist S a i s.
3. Letzte Blüte unter den letzten einheimischen Dynastien —
(XXVIII–XXX — Nektanebos) — 525–332 v. Chr. Kunstzentrum:
P h i l ä.
VII. H e l l e n i s t i s c h e Z e i t — Ausleben und Erstarren der
ägyptischen Kunst — 332 v. Chr.–395 n. Chr.
1. Ptolemäerzeit — 332–30 v. Chr.
2. Römische Kaiserzeit — 30 v. Chr.–395 n. Chr. Zentrum der Kunst
und Wissenschaft ist A l e x a n d r i a.

Die ersten 6 Dynastien bilden das alte Reich, etwa von 3400–2500.
Die Hauptstadt ist Memphis, gegründet vom Könige M e n e s, dem Men
Herodots, der lange völlig sagenhaft war, bis vor kurzem sein Grab bei
Negade in Oberägypten mit der Leiche gefunden wurde. Das Grab, eine
gewaltige Kammer aus Ziegelsteinen, ist eine sogenannte M a s t a b a, ein
arabisches Wort, das eine grosse Bank bezeichnet. Das Grab, eine
Nachbildung des Palastes, ist vorbildlich geworden, aus ihm sind die
Gräber der Grossen und die Pyramiden, die Gräber der Könige, zunächst
die der dritten und vierten Dynastie, hervorgegangen. Die Stufenpyramide
von S a k k a r a (siehe Abb.) zeigt, wie sich die Pyramide aus
aufeinandergesetzten Mastabas entwickelt hat. Nur durch ihre Höhe und
Masse konnten die Gräber vor der Verwehung durch den Wüstensand
geschützt werden.
Vor der Scheintür in der westlichen Mitte, aus der der Tote oder
vielmehr seine Seele, der Ka, mit der Welt verkehren sollte, waren die
Opfersteine und später die Opfertempel, wo die Angehörigen dem Ka ihre
Gaben darbringen konnten. Die vollständige Anlage des Königsgrabes
zeigten die Funde B o r c h a r d t s bei Abusîr, der aus ihnen die Gräber der
Könige der V. Dynastie, des Sahurê und des Neweserrê rekonstruiert hat.
Zuerst der Empfangsraum, in den die Königsleiche aus dem Kahn getragen
wird, dann ein sehr langer gedeckter Gang, mit vielen Reliefs geziert, der
zum Totentempel führt, in dessen Hintergrund sich der Eingang in die
Pyramide, die Scheintür der Mastaba, befand. Die Pyramide enthält viele
Kammern und viele Kostbarkeiten, aber Statuen, wie in den Mastabas, sind
dort nicht gefunden worden. Die vielen Kostbarkeiten entwickelten eine
eigene Zunft der Gräberdiebe, uns sind die Akten eines grossen Prozesses
unter Ramses IX. erhalten, und durch einen sonderbaren Zufall haben
Northampton, Spiegelberg und Newberry bei ihren Ausgrabungen in der
Gräberstadt (Nekropole) von Theben diese Akten verifizieren können
(excavations in the Theben necropolis, London 1908).
Aus Furcht vor den Dieben sind die Königsgräber später in die schwer
zugänglichen Felsentäler von Biban el Moluk gelegt, deren Zugänge
polizeilich überwacht wurden, trotzdem sind sie geplündert worden.
M e n e s hat nach der Tradition die beiden Reiche Ober- und
Unterägypten vereinigt, aber die Verwaltung war noch lange getrennt, es
gibt zwei Silberkammern (Reichsbank), zwei Oberrichter oder Vorsteher

des Südens und des Nordens. Der König trägt die beiden Kronen von Ober-
und Unterägypten. Der König ist zugleich Oberpriester, geniesst göttliches
Ansehen, er ist Sohn des Amon oder des Re, des Sonnengottes, ist Horus,
d. h. Frühlingsgott.
Die Verwaltung ist aufs genaueste organisiert, das Land ist in Gaue
verteilt, denen Gaufürsten mit eigenem Hofstaat vorstehen. Es ist die Zeit
jugendlicher Kraft, des Erblühens von Kunst und Wissenschaft, die
Glanzzeit ist die der V. Dynastie; riesige Tempelbauten, Mastabas,
Steinkammern, dann die Riesenpyramiden des Cheops, des Chephre und
des Mykerinos; sie fallen in die IV. Dynastie. Die Bautätigkeit tritt so in den
Vordergrund, dass die Prinzen den Titel eines Vorstehers der Arbeiten des
Königs tragen. Um den Syenit, das vorzügliche Baumaterial, zu gewinnen,
hat sich das Reich bis an die Katarakten, bis nach Syene ausgedehnt. Aber
nach der VI. Dynastie, nach Pepi III. geriet die Königsmacht in Verfall. Die
Gaugrafen werden selbständig und erblich, im östlichen Delta um Tanis
setzen sich libysche Stämme fest. Schon zur Zeit Pepis treten neben der
Totenstadt, der Nekropole, von Memphis andere Nekropolen auf, die
Gaufürsten lassen sich in ihrer Heimat begraben und viele Vornehme auch
auf dem heiligen Boden von Abydos neben der Grabstätte des Osiris. Es
bildet sich dann in Theben eine neue Dynastie heran, die in der XI.
Dynastie das Land vereinigt und es beginnt mit der XII. Dynastie das
mittlere Reich, dessen erster König A m e n e m h e t I. gründlich Ordnung
stiftet. Es muss wirr genug in Ägypten ausgesehen haben als Amenemhet
das Land mit seinem Heere durchzog. In der uns erhaltenen Inschrift des
Chnemhôtep eines sehr hohen Beamten heisst es: Damit er die Sünde
vernichte, er, der wie der Gott A t u m glänzte, da musste er auch wieder
herstellen, was er zerstört fand. Er trennte eine Stadt von der anderen; er
lehrte jede Stadt ihre Grenze gegen die andere kennen und stellte ihre
Grenzsteine fest wie den Himmel auf. Er unterrichtete sich über die
Wassergebiete der einzelnen Städte aus dem was in den Büchern stand und
verzeichnete sie nach dem was in alten Schriften stand, weil er die Wahrheit
so sehr liebte.
Das mittlere Reich geht bis etwa 1800. Gewaltige Bauten an Tempeln
und Gräbern besonders in Theben, daneben auch nützliche Arbeiten wie
Nildämme und besonders das grosse Staubecken des Mörissee, von
A m e n e m h e t I I I . L a b a r e s, dem Erbauer des Labyrinths angelegt,
das sich bis auf den heutigen Tag erhalten hat und die Landschaft Fajum

erst fruchtbar machte. Zum ersten Mal wirkliche Eroberungskriege; Nubien,
»Das elende Kusch«, wird der Goldminen in seiner Wüste halber nach
langem Kampfe endgültig von Sen-wosret erobert, der im Herzen des
Landes bei Semneh die Grenzfestung anlegt; auch mit Syrien und Arabien
tritt Ägypten in Verbindung. Doch nach den 200 Jahren Blütezeit unter der
XII. Dynastie zerrütten Thronstreitigkeiten, dieser Krebsschaden aller
orientalischen Länder, ausgehend von den mächtigen Gaufürsten, das Land.
Es erliegt dem Ansturm semitischer Nomadenstämme, den Hirtenfürsten,
den Hyksos der Griechen, die von Nordosten her, von Suez eindringen und
zweifelsohne von den Gaufürsten unterstützt werden.
Ihre Herrschaft nahm den Verlauf, den der Einbruch der Mongolen in
das Kalifenreich und den der Germanen in das Römerreich genommen hat.
Mit unwiderstehlicher Gewalt werfen die Barbaren das zerrüttete Reich
über den Haufen, schaffen Ruhe und sehen dann, dass sie einen solchen
Grossstaat zwar erobern aber nicht verwalten können. Die alte
Regierungsmaschine arbeitet weiter und nur Garnisonen in den
Grossstädten erinnern an die Fremdherrschaft. Nach einigen Generationen
nivellieren sich die Fürsten und Vornehmen, und die späteren Hyksoskönige
sind so gut Ägypter wie die Nachkommen Dschingis Khans gute Moslems
wurden. Aber mit der Zivilisation, die sie gewinnen, verlieren die
Barbarenfürsten ihre Kraft und so wurden die Hyksos allerdings nicht ohne
Kampf nach etwa 300 Jahren von Theben aus durch Amose I. vertrieben.
Es beginnt das neue Reich, 1580–1100. Die Zeit der Thutmosen und
Ramessiden, Ägypten wird Weltmacht. Noch der Urenkel des grossen
Eroberers Thutmose III., Amenhôtep III. herrschte über Nubien, Libyen,
Ägypten, Arabien, Palästina und Syrien, bis an den Euphrat und die
Ramessiden behaupteten dieses Reich noch gegen die mächtige semitische
Grossmacht der Chetafürsten. Aber das neue Reich ist ganz vom alten
verschieden. Der Feudaladel wird systematisch vernichtet, etwa wie der
französische durch Richelieu; es ist ein Militär- und Priesterstaat. Libysche
und semitische und hellenische Söldner schlagen die Kriege; denn der
ägyptische Bauer, tapfer wie jeder Bauer, wenn er sein Eigentum schützt, ist
für Eroberungskriege nicht zu brauchen. Der König ernährt die Heere und
die Priester, alles Land, soweit es nicht den Göttern gehört, d. h. den
Priestern, die durch immer grössere Geschenke gewonnen werden, gehört
dem König, der es den Bauern gegen eine Abgabe von 20 % des Ertrages
vermietet. Aber in Wahrheit sind die Söldnerführer und der Hohepriester

mächtiger als der König. Es ist die bekannte Verbindung von Thron und
Altar, wobei gewöhnlich dem Altar der Löwenanteil zufällt.
Sehr lehrreich ist hierfür der grosse Papyrus H a r r i s, über den uns
E r m a n, Berl. Ber. XXI, 1903, aufgeklärt hat. Man glaubte vorher, dass es
sich um ins Ungeheuerliche gehende Schenkungen Ramses III. an die
Tempel handle, E. hat gezeigt, dass es sich um eine für die Begräbnisfeier
dieses Königs in grösster Eile zusammengestellte Lobschrift handle, und
dass die sogen. Geschenke die Bestätigung des Tempelbesitzes durch den
König bedeuten. Aber wir erfahren auch, dass dieser Besitz mässig
geschätzt ein Zehntel des ganzen Landes umfasste. Insbesondere war der
Besitz und damit die Macht der Priester des Amon zu Theben ins
Riesenhafte angeschwollen, daneben Heliopolis, äg. On, mit dem Tempel
des Atum, der Abendsonne, und Memphis mit dem Tempel des
Weltschöpfers Ptah.
Ich füge hier gleich einiges über die Religion und den Kultus an. Das
ursprüngliche Negervolk hatte Fetischdienst, jeder Ort und Gau seinen
Lokalgott, wie z. B. das Seenland Fajum den in Krokodilsgestalt verehrten
Sokk. Mit dem Eindringen der sehr stark religiös veranlagten Semiten
wurden aus den Fetischen im wesentlichen Lichtgötter, insbesondere wird
die Sonne Gegenstand der Verehrung, bald als Abendsonne Atum, als
Frühlingssonne Horus, als Mittagssonne Rê, als sich stetig erneuerndes
Gestirn Osiris, als Lebenspenderin Amon. Mit der straffen Zentralisation
des Reiches zentralisierte sich auch der Olymp, die Hausgötter der
Dynastien wurden Herrscher in der Götterwelt, und werden mehr und mehr
zu einer Gottheit, im wesentlichen die Sonne. Am frühesten sind Amon und
Rê zum Amon-Rê verschmolzen. Längst musste die Geheimlehre der
Priester monotheistisch gewesen sein, als Amenophis IV. sich entschloss,
alle Machtmittel des Königs daran zu setzen, den Monotheismus zur
Volksreligion zu machen. Zweifelsohne haben politische Motive
mitgewirkt, der König erkannte die Gefahr, welche die Macht der
Amonspriester zu Theben für die Dynastie barg, und versuchte sie zu
brechen. Mit wahrhaft fanatischem Eifer bekämpfte er den Dienst des
Amon, aus allen Denkmälern tilgte er den verhassten Namen, seinen eignen
Namen, der Amon enthielt, änderte er in C h i n a t ô n, »Verkörperung der
Sonnenscheibe«, und seine Residenz verlegte er aus Theben nach El-
Amarna. Ebendort wurde 1888 von Arabern seine Korrespondenz mit den
asiatischen Tributfürsten in Keilschrift auf Tontäfelchen gefunden, sie

bewies, dass er es vorzog, Jerusalem dem Ansturm der Chabiri (Hebräer)
preiszugeben und das Anwachsen der Chetamacht zu dulden als seine
Truppenmacht für die Durchführung der religiös-politischen Revolution zu
schwächen.
Die Macht des Chetareiches ist es wohl auch gewesen, welche bald
nach Chinatôns Tode den energischen H a r e m h e b bewog, seinen Frieden
mit den Priestern zu machen und den alten Zustand rücksichtslos wieder
herzustellen. Er ermöglichte es so seinen Nachfolgern Sethos I. und Ramses
II. den Kampf mit den Cheta mit Erfolg aufzunehmen. Der Kult der Götter
war ein Herzensbedürfnis des Volkes, im Opferzeremoniell steht der König,
der der eigentliche Hohepriester ist, obenan, wie es denn überhaupt
anfänglich ein Laienpriestertum der hohen Beamten gab, neben dem aber
auch eine eigene Priesterkaste stand, die später den Kult ausschliesslich
leitete. Der Gott bewirtet das Volk und ein grosser Teil der Einkünfte der
Priesterschaft ging für Brot und Bier zur Speisung des Volkes an den Festen
auf, wie uns die zahlreich erhaltenen, sehr detaillierten Tempelrechnungen
beweisen. Bei Erman findet man S. 388 die Beschreibung und S. 389 die
Abbildung des grossartigen Tempels der Sonnenscheibe von Tell el
Amarna.
Etwa ein Jahrhundert nach der Zeit Ramses III., der als der letzte das
Weltreich im vollen Umfang besass, nahm der Hohepriester von Theben
den Thron ein, um 100 Jahre später dem gewaltigen Scheschonk
(Schischak), dem Führer der libyschen Söldner Platz zu machen. In den
Kämpfen, die das Reich zerrütten, beginnt der Vorstoss oder Rückstoss der
Assyrer, nur noch einmal von 625–525 bis auf Kambyses gelingt es der
libyschen Dynastie, Psammetich, Nekao, Amasis, aus Herodot uns
wohlbekannt, eine kurze Blüte ägyptischer Kultur, die absichtlich an das
alte Reich anknüpft, herbeizuführen. Dann wird Ägypten persisch und wird
mit Persien von Alexander dem Grossen erbeutet. Nach dessen Tode regiert
300 Jahre lang die Diadochenfamilie der Ptolemäer. Die hellenistische
Kultur dringt ein, berührt aber nur die Vornehmen, unter Kleopatra wird 30
v. Chr. Ägypten römische Provinz. Die Kultur dieser Zeit verwächst mit der
griechisch-römischen als hellenistische.

Ägyptische Sprache und Schrift.

Die ägyptische Sprache gilt heute als verwandt mit dem Semitischen,
dem Arabischen, Babylonischen und Hebräischen. Wir können sie
verfolgen von 4000 v. Chr. bis 1650 n. Chr. Wir unterscheiden:
1. Das Altägyptische, die Sprache der Pyramidentexte, die als gelehrte
Literatursprache bis in die römische Zeit unter Kaiser Decius
fortlebt.
2. Die Volkssprache des mittleren und neueren Reiches, das
Neuägyptische.
3. Das Demotische, die Volkssprache der griechischen Zeit.
4. Das Koptische, die Sprache der christlichen Ägypter.
Das Demotische knüpft unmittelbar an das Altägyptische an. Das
Koptische zeigt zwar grosse lautliche Veränderungen durch den Einfluss
des Griechischen, gewährt aber generaliter die beste Hilfe für die
Entzifferung des Altägyptischen, denn die ersten drei Sprachen wurden
ohne Vokale geschrieben.
Hinsichtlich der Schrift sind 4 Epochen zu konstatieren.
1. Die Periode der Hieroglyphen, welche von 4000 v. Chr. bis 250 n.
Chr. reicht, obwohl in den letzten 1000 Jahren nur noch zu
dekorativen Zwecken, wie Tempelinschriften und feierlichen
Urkunden.
2. Die Periode der hieratischen Schrift, welche die Periode der
Hieroglyphen von 2500, von der XI. Dynastie an, begleitet bis zu
Psammetich. Sie hat sich aus Abkürzung der Hieroglyphen
entwickelt. Sie ist die Geschäftssprache und Schrift und aus ihr
entwickelt sich:
3. Die demotische Sprache und Schrift, welche dann aber, als nach
Diokletian die ägyptische Religion dem Christentum erlag, durch
4. die koptische Schrift verdrängt wurde, die griechisch ist, bis auf
einige Zeichen, die demotisch blieben, weil sie Laute bezeichnen,
die das Griechische nicht hat. Das Koptische ist eine tote Sprache,
es erlag dem Arabischen. Um die Mitte des 17. Jahrhunderts,
genauer noch 1673 starb der nachweislich letzte Mann der Koptisch

sprach, der 80jährige Muallim Athanasios. Nur noch im koptischen
Kultus hat es sich als Sprache der koptischen Bibel gehalten, wie
etwa das Latein in der katholischen Kirchensprache.

Ägyptische Kultur.

Meine Herren! Mit der Schätzung der ägyptischen Kultur ist es seltsam
gegangen. Im ganzen Kulturgebiet des Mittelmeeres stand ägyptische
Weisheit seit der Zeit der Hellenen bis in die Mitte des 19. Jahrhunderts im
höchsten Ansehen, während ihre Kunst als seltsam und barbarisch gering
geschätzt wurde. Die geheimnisvolle Weisheit der Priester, die vielen
Inschriften in der wunderbaren Bilderschrift der Hieroglyphen — vielleicht
ein griechisches Wort, das Einmeisselung in den heiligen Stätten bedeutet
—, die unentzifferbaren Papyrosrollen, der einzig dastehende Totenkult,
alles das trug dazu bei, den Gedanken an tief verborgene geheimnisvolle
Weisheit zu erwecken. Welchen Eindruck Ägypten auf die Hellenen
gemacht, erfahren wir aus Herodot, der ersten und der besten alten Quelle.
Er, der Ägypten etwa um die Mitte des 5. Jahrhunderts bereiste, schreibt:
Wie der Himmel bei ihnen von sonderlicher Art, wie ihr Strom eine andere
Natur hat, als die übrigen Flüsse, so sind auch fast alle Sitten und
Gebräuche der Ägypter entgegengesetzt der Weise der anderen Menschen.
Bei ihnen sitzen die Weiber auf dem Markt und handeln, die Männer
bleiben zu Hause. Lasten tragen die Männer auf dem Kopf, die Frauen auf
den Schultern. Ihre Notdurft verrichten sie in den Häusern, die Speisen aber
nehmen sie auf der Strasse zu sich und sagen dazu: Im Verborgenen müsse
man tun, was unziemlich sei, aber notwendig, öffentlich aber, was nicht
unziemlich sei etc.
In jeder Hieroglyphe sah man ein Bild oder Symbol irgend eines tiefen
Gedankens und suchte sie wie einen Rebus zu erraten. So las der bekannte
viel wissende Jesuit A t h a n a s i u s K i r c h e r, der von 1601–1680 lebte
und die Laterna magica u. a. erfunden hat, die sieben Zeichen:

welche in Wahrheit autkrtr heissen und den Titel αυτοκρατως,
Selbstherrscher, bezeichnen, der den Titel Imperator des römischen Kaisers
wiedergibt, in folgender Weise: Osiris ( = a) ist Urheber der
Fruchtbarkeit und aller Vegetation, ( = u). Seine Zeugungskraft ( =
tk) zieht aus dem Himmel ( = r) der heilige Mophta ( = tr[*]) in sein
Reich, und in einem andren Falle las Kircher die 17 Buchstaben kasrs
Tmitins sbsts d. h. Kaiser Domitianus Sebastos so: Der wohltätige Vorsteher
der Zeugung der im Himmel vierfach mächtige übergibt durch den
wohltätigen Mophta die luftige Feuchtigkeit an den Amon, der in der
Unterwelt mächtig ist und durch seine Statue und geeignete Zeremonien
veranlasst wird, seine Macht auszuüben. K i r c h e r hat übrigens um die
Kenntnis des Koptischen wirkliche Verdienste. Er hat zuerst das Koptische
als die altägyptische Volkssprache bezeichnet (lingua aegyptiaca restituta
1645). Während Kircher metaphysische und theosophische Spekulationen
in die Hieroglyphen hineinlas, fand der Abbé Pluche meteorologische
Beobachtungen in ihnen und ein Anonymus sogar Davidische Psalmen.
[*] Der Löwe ist ein spätes Zeichen, das eigentlich dazu dient, r und l, die in
alter Zeit das gleiche Zeichen haben, zu unterscheiden.
Meine Herren! Sie können sich denken, dass durch solche Spielereien
die ganze Beschäftigung mit Hieroglyphen in Verruf kam und wir blieben
für die wirkliche Kunde von Ägypten auf die griechischen Quellen,
insbesondere auf Herodot, Eusebios, Horapollo, Plutarch, Diodor und die
jüdischen Erzählungen in der Bibel angewiesen. Das wurde mit einem
Schlage anders, als N a p o l e o n im Jahre 1798 seinen Zug nach Ägypten
unternahm, um von da aus die Engländer in Indien zu bedrohen. Grossartig
wie der Plan und der Mann nahm er einen ganzen Stab hervorragender
Gelehrten unter Vorsitz von F o u r i e r mit, die mit der Erforschung des
Landes beauftragt wurden, für welche Napoleon durch des Mathematikers
K a r s t e n N i e b u h r s Reise in Arabien (voyage en Arabie) 1761–67
angeregt worden war. Sie haben ihre Aufgabe glänzend gelöst und ihr
grosses Material in der description de l'Egypte, dem Fundament der

Ägyptologie, niedergelegt. Statt der wenigen nach Rom und Byzanz
verschleppten Inschriften lag jetzt eine Fülle von Texten vor und die
Entzifferung wäre, wenn auch langsam, gelungen, wie die der Keilschriften
Assyriens gelungen ist, auch ohne den glücklichen Zufall des Fundes von
Rosette.
»Im August 1799, als die Lage des französischen Heeres schon recht
misslich war, fand man beim Ausheben von Schanzen im Port St. Julien
(Raschêd), 7,5 km N. W. von R o s e t t e in der Nähe der westlichen
Nilmündung eine schwarze Granittafel, deren Vorderseite mit drei
Inschriften bedeckt war. Die oberste in Hieroglyphen, die mittlere in der
ägyptischen Volksschrift zur Zeit der Ptolemäer, dem Demotischen, und die
unterste in griechischer Schrift und Sprache. Im griechischen Text stand:
Man solle dieses Dekret der Priester von Memphis zu Ehren des Königs
(Ptolemäus Epiphanes, 196) in heiliger Schrift, in Volksschrift und in
griechischer schreiben. Es war also kein Zweifel, dass die beiden
ägyptischen Texte des Steines von Rosette die Übersetzung des
Griechischen enthielten. In dem Dekret war mehrfach von König Ptolemäus
die Rede, es war unwahrscheinlich, dass für diesen fremden Namen die
Hieroglyphen als Symbolik dienen sollten. Die Vermutung lag nahe, dass
die Hieroglyphen eine Lautschrift seien.«
Sie wurde 1816 von dem grossen englischen Physiker T h o m a s
Yo u n g ausgesprochen, welcher an der durch die Kapitulation von
Alexandria 1801 nach England gesandten Tafel i, n, p, t, f entzifferte und
unabhängig von ihm kam der junge französische Gelehrte J e a n
F r a n ç o i s C h a m p o l l i o n - l e J e u n e auf den gleichen Gedanken.
Champollion muss als der eigentliche Entzifferer der Hieroglyphen
angesehen werden. Wer sich genau für ihn und seine Taten interessiert,
findet alles denkbare Material in dem höchst fesselnden Werke von
H . H a r t l e b e n: Champollion, sein Leben und sein Werk 1906, in dem
mit der ganzen liebevollen Sorgfalt, deren nur eine Frau fähig ist, und mit
glänzendem Erfolg in vieljähriger unermüdlicher Arbeit alle überhaupt
beschaffbaren Urkunden verwertet sind. Dass Young und Champollion
Vorläufer hatten, ist selbstverständlich, so erwiesen sich z. B. die Angaben
des Kirchenvaters C l e m e n s A l e x a n d r i n u s über das altägyptische
Schriftsystem bedeutend zuverlässiger als die des Herodot und Diodor.
Ganz bedeutend muss der Däne G e o r g Z o ë g a hervorgehoben werden,
der sich von 1783 an mit Hieroglyphik beschäftigte. Zoëga, geschulter

Philologe, — er war der Lieblingsschüler des berühmten Göttinger
Philologen C h . G . H e y n e —, hat den Lautcharakter der Hieroglyphen
erkannt. Er hat vermutet, dass der Ring: , die alphabetisch
geschriebenen Namen des Königs und der Königin umschlösse und was die
Hauptsache war, er hat die ägyptische Kunst richtig beurteilt.
W i n c k e l m a n n hatte die ägyptische Kunst als völlig stabil hingestellt.
Demgegenüber zeigte Zoëga, dass es in ihr Entwicklung, Blüte und Verfall
gibt, kurz Bewegung. Heute wissen wir, dass das alte Reich eine Zeit der
Entwicklung durchmachte von kühner, aber technisch unvollkommener
Nachahmung der Natur aufsteigend bis zu Meisterwerken wie: »der
Dorfschulze, der Schreiber«, und der gewaltigen Sphinx', das Abbild der
vollen Majestät des Königs (siehe Abbild.). Auf diese Zeit folgte ein
Beharren und ein Stabilwerden im mittleren Reich, ein Verfall in der
Hyksosperiode, bis dann im neuen Reiche die neue grossartige
Kunstepoche herbeigeführt wurde dadurch, dass die aus dem Verkehr mit
Syrien und Babylonien gewonnenen neuen Motive der Eigenart des
ägyptischen Volkes gemäss entwickelt wurden. In dem Werke von
H. Hartleben finden Sie, meine Herren, wie Champollion von frühester
Jugend an die Entzifferung des ägyptischen Geheimnisses als sein
Lebensziel erkannte und wie unentwegt er diesem Ziel trotz Krankheit und
Not nachgestrebt. Von besonderem Einfluss ist das Interesse, das
F o u r i e r, der Verfasser der Théorie de la Chaleur, dem genialen Knaben
entgegenbrachte, der 12jährig im Herbst 1802 dem Präfekten von Grenoble
durch den älteren Bruder, den ebenfalls bedeutenden Gelehrten Jacques
vorgestellt wurde. Aber wir sehen aus dem Buche auch, wie gross die
Arbeit, wie mannigfaltig die Schwankungen und Irrtümer waren, bis es
1822 Champollion gelang, die grundlegenden Sätze auszusprechen:
1. Die drei altägyptischen Schriftformen, Hieroglyphen, Hieratisch,
Demotisch, stellen im Grunde dasselbe einheitliche System dar.
2. Das System besteht aus einem Gemisch von etwa 19 teils
»figurativer«, teils »symbolischer« Zeichen.
Champollion ging wie Young vom Stein von Rosette aus. Dort kam an
der Stelle, wo der griechische Text von Ptolemäus spricht, derselbe Ring
vor, den man von den Bildern der Tempel neben dem Haupt des durch die
Doppelkrone bezeichneten Königs her kannte und in diesem Ring
finden sich die Zeichen:

Champollion hatte bemerkt, dass auf einem Obelisken aus Philä, der
wichtigen Grenzstadt in Unterägypten, neben demselben Königsring ein
anderer stand, der 5 von den Zeichen des ersten Ringes enthielt. Aus der
griechischen Inschrift an der Basis des Obelisken liess sich entnehmen, dass
es der Name Kleopatra sei und er musste es sein, denn von den drei in der
Königsfamilie üblichen Frauennamen: Arsinoe, Berenike, Kleopatra enthält
nur der letzte 5 Buchstaben, die auch in Ptolemäus vorkommen. So wurden
die Zeichen für die Laute a, e, l, m, o, p, r, s, t gefunden und bald fand
Champollion Bestätigungen, die ihn weiter führten, so an dem
Königsnamen Aleksentros, id est Alexander. Dazu kam dann bald als der
schlagendste Beweis, dass, wenn man nach dieser Deutung Worte las, die
phonetisch geschrieben, hinter denen aber, was sehr häufig ist, ein
Deutungszeichen stand, wie z. B.

Eh und:

erp, man auf wohl bekannte koptische Worte ehe der Ochse und erp, der
Wein stiess.

Diese Determinative oder Deutungszeichen waren unentbehrlich und
wurden immer zahlreicher. Dieselben beiden Zeichen konnten noch
bedeuten: Weinen, dann war ein tränendes Auge dahinter ; Feld, dann
war ein Markstein dahinter, wenn es Strick bedeutete . Wenn es Loben,
Preisen, Rufen, kurz einen Ausruf bedeutete, ein sitzender Mann, wenn es
Bedrohen, Bedrängen bedeutet, ein bewaffneter Arm: , der überall
vorkommt, wo Energie ihren Ausdruck findet. Es sind diese Determinative
Überreste der ältesten Zeit, wo die Hieroglyphen wirklich Bilderschrift war,
wie es die chinesische Schrift noch heute ist. — Ich nehme als Beispiel die
Hieroglyphe per das Haus, der rohe Grundriss eines Hauses, wie es
noch heute der ägyptische Bauer bewohnt. Aber das Zeichen für Haus der
ältesten Zeit wurde im Laufe der Zeit zum Z e i c h e n der Silbe per. Dies
kann dann sehr verschiedenes bedeuten: hinausgehen,
hineingehen.
Als Champollion 1832 schon 10 Jahre nach seiner Entdeckung starb,
war es ihm gelungen, das ganze Schriftsystem der Hieroglyphen zu
entziffern. Dieser eine Mann hatte in einem Jahrzehnt das grosse Rätsel
gelöst und ein ganzes Volk wieder in die Weltgeschichte eingeführt.
Nach den Hieroglyphen wurde die hieratische Schrift entziffert, die
Priesterschrift, in der die meisten Papyri geschrieben sind, und die aus
Zusammenziehung der Hieroglyphen, sogenannten Ligaturen, entstanden,
sich zu jener verhält, wie unsere Schreibschrift zur Druckschrift und nach
dieser von Brugsch das Demotische. Es konnte eine ägyptische Grammatik
geschrieben werden, ägyptische Literatur gelesen werden und eine
glänzende Bestätigung erhielten die Arbeiten der Ägyptologen als
L e p s i u s, der 1842 die berühmte, so erfolgreiche, sogenannte preussische
Expedition geleitet hatte und die Gräber des alten Reiches aufgedeckt hatte,
1867 auf dem Trümmerfelde der alten Stadt Tanis eine andere Trilingue
fand, von sehr bedeutender Länge und ganz vollkommen erhalten: Das
Dekret von Canopus, das sich auf eine Kalenderverbesserung bezog.
Aber als nun die ägyptische Literatur entziffert war, machte sich
zunächst eine grosse Enttäuschung geltend. An Stelle der erwarteten
tiefsinnigen Weisheit fand man eine wirre Mythologie, aus der nur die
schon durch Plutarch, de Iside, bekannten Gestalten des Osiris, der Isis, des
Seth oder Typhon, und des Horus oder besser Hor deutlicher sich abhoben.

Man lese Erman S. 365 ff. Daneben Haarspaltereien, wie etwa die
rabbinischen Untersuchungen über die Jakobsleiter, Zaubersprüche und eine
tolle Dämonologie. Die Papyri entpuppten sich meist als Schülerhefte oder
als Briefe, die zum Unterricht geschrieben waren und etwas mehr Inhalt
boten eigentlich nur die Totenbücher, buchstäblich Reisehandbücher für den
Ka, die Seele des Verstorbenen, auf seiner Reise in das Reich des Osiris, in
die Totenwelt.
Die Medizin, die Herodot solchen Respekt einflösste, lernten wir aus
dem grossen Papyrus Ebers kennen, eine ausserordentliche, reiche
Sammlung von Rezepten, deren vornehmster Bestandteil Kot der
verschiedenartigsten Tiere, überhaupt die ekelerregendsten Elemente sind.
Beiläufig gesagt ist auch für die mathematische Tradition die Bemerkung
nicht unwichtig, dass ein Teil dieser Rezepte noch heute unverändert einen
Bestandteil der Volksapotheke in Europa bildet. — So schlug denn die
Ehrfurcht in ihr Gegenteil um. Man unterschätzte die ägyptische
Wissenschaft, wie man sie überschätzt hatte. Aber etwa seit 1880 trat eine
Wandlung ein, die genaue Detailforschung, gefundene Briefe, Rechnungen,
Steuerquittungen, Prozessakten zeigten, dass man es mit einer seit 4000 v.
Chr. grossartig organisierten Verwaltung und mit einem ausserordentlich
klaren und verständigen Volke zu tun hatte. In die Geschichte, in die
Mythologie kam Licht, Lyrik, ein reicher Märchenschatz, wie ihn noch
heute die Fellah lieben; auch die Kunst zeigte sich zum Teil auf
erstaunlicher Höhe. Vergl. die kurze Kunstgeschichte von
W . S p i e g e l b e r g. Man denke an die Statuen des Pepi und Ramses II.,
die herrlichen Statuen von Gizeh im Louvre etc. Ferner an
Architekturwerke, Meisterwerke, wie die Tempel von Karnak und Luxor.
Papyri, wie die älteren, auf Leder geschriebenen, z. B. der Papyrus Prisse,
zeigten wirklich hohe Weisheit auf ethischem Gebiet 2500 v. Chr.
Ausserordentlich früh war das Barbarentum, wie Menschenopfer, Tötung
der Frauen und Sklaven, die es bei den Griechen noch im Homerischen
Zeitalter gab, abgeschafft. Auch die Stellung der Frau zeigt die ethische
Reife, sie war weit höher als bei irgend einem orientalischen Volke,
vielleicht die Hebräer ausgenommen, selbst der Adel der Herkunft richtet
sich nach der Mutter. Wir haben Kunde von der bedeutenden Rolle, welche
z. B. Tye, die Mutter des Chinatôn, spielte, deren wundervoller
Goldschmuck vor kurzem gefunden wurde, wir wissen von der
zwanzigjährigen kraftvollen Regierung der Hatschepsowet, der Mutter des

grossen Thutmosis III., welche u. a. eine grosse und erfolgreiche Expedition
nach Punt sandte und dort ihre Statue aufstellen liess. Die Ehe war sehr früh
im wesentlichen monogamisch, und das Familienleben ausserordentlich
innig. Vielleicht hat die Schwesterehe der Ägypter zu dieser Wertung der
Frau beigetragen. Anfänglich Sitte der Vornehmsten, wohl um Erbteilungen
zu vermeiden, verbreitete sie sich rasch über das ganze Land, und die
Ägypter haben für Schwester und Geliebte das gleiche Wort. — Die
Rechtspflege war sehr früh geordnet, Richter von Fach führten die
Untersuchung, die Strafen bestimmte der König, sie waren nicht grausamer,
als sie bei uns bis ins 19. Jahrhundert hinein gebräuchlich waren.

Ägyptische Mathematik.

Was nun die Mathematik der alten Ägypter betrifft, so waren wir bis
1868 auf sehr dürftige Quellen angewiesen. Dass die Ägypter schon früh im
Besitze nicht geringer mathematischer Kenntnisse gewesen, geht schon aus
den gewaltigen Bauten hervor. Die Gräber der Grossen waren genau
orientiert. Stets stand die Statue des Toten, die dem Ka, der Seele,
Gelegenheit geben sollte in seinen Leib zurückzukehren, so dass sie genau
nach Westen schaute. Die grossen Pyramiden waren auf das Genaueste
orientiert, so dass die wunderbarsten Vermutungen, und zwar vor noch nicht
langer Zeit, über ihre eigentliche Bedeutung gemacht wurden. Ich nenne
nur die des Ingenieurs Price Smith über die Pyramide des Cheops. Im
allgemeinen standen die Tempel im Meridian. Diese Orientierung war
Aufgabe einer besonderen Priestergruppe, der Harpedonapten id est der
Seilspanner. Der König selbst beteiligte sich dabei. Man vergleiche die von
dem früheren Strassburger Ägyptologen D ü m i c h e n veröffentlichte
Baugeschichte des Tempels von Denderah; der Tempel wird genau nach
dem Eintritt der Plejaden in den Meridian orientiert. Dort ist der König
abgebildet an einem Pflock stehend, und diesem gegenüber steht Să̇fchet,
die Göttin der Wissenschaft und der Bibliotheken; beide schlagen
gleichlange Pflöcke mit einer Keule in den Erdgrund und halten gemeinsam
ein Seil. Die Inschrift sagt: Ich habe gefasst die Holzpflöcke und den Stiel
des Schlegels, ich halte das Seil gemeinsam mit der Göttin Să̇fchet. Mein

Blick folgt dem Gange der Gestirne; wenn mein Auge an dem Sternbilde
des Siebengestirns angekommen ist und erfüllt ist der mir bestimmte
Abschnitt der Zahl der Uhr, stelle ich die Pflöcke auf die Eckpunkte deines
Gotteshauses. Die Stelle: wenn mein Auge usw. wird dadurch verständlich,
dass die Himmelskarte so angelegt wurde, dass unter der Mitte des
Himmels ein Mensch aufrecht sitzt und nun wird der Gang der Sterne
angegeben. Uns sind mehrere solcher Listen erhalten. Da heisst es z. B.:
Am 16. Phaopi steht in der 8. Stunde die Fingerspitze des Sternbildes Sa'h
id est Orion über dem linken Auge etc. Ich will hier nur kurz bemerken,
dass auch unser Kalender im wesentlichen auf die Ägypter bezw.
Babylonier zurückgeht.
An Werkzeugen war ihnen schon in ältester Zeit der rechte Winkel, das
Richtscheit, bekannt, das man u. a. in einer Tischlerwerkstatt gefunden hat;
die Orientierung im Felde geschah durch das Spannen des Seiles mit den
Knoten 3, 7, 12. Dass danach das pythagoreische Dreieck mit den Seiten 3,
4, 5 den Ägyptern bekannt war, steht unzweifelhaft fest. Auch Zirkel
verschiedener Art können nicht gefehlt haben. Ein eigentümliches
Instrument zum Ebenmachen, unserem Hobel entsprechend, ist ebenfalls
gefunden worden. An Massstäben etc. hat es auch nicht gefehlt. Das
Richtscheit kommt des öfteren auf Bildern in der Hand des Königs vor, wie
etwa der Pflug in der des Kaisers von China. In der Ornamentik findet sich
eine Reihe geometrischer Figuren, ihre Wagenräder verlangen die
Kreisteilung, anfangs sind sie viergeteilt, später nach Zusammenstoss mit
den Chaldäern oder Babyloniern sind sie sechsgeteilt. In der grossen
Schenkungsurkunde des Tempels von Edfu haben wir eine ganze Reihe von
Flächenberechnungen; einzelne Rechenexempel finden sich in den Papyri,
aber im grossen und ganzen waren wir auf sehr dürftige Nachrichten der
Klassiker, in erster Linie auf Proklus angewiesen.
Fest steht, dass T h a l e s, der Milesier, etwa um 600 einige
Kenntnisse, die ihm ägyptische Priester vielleicht wegen ihrer
Geringfügigkeit mitgeteilt hatten, nach Jonien brachte, darunter den Satz
von den Basiswinkeln im gleichschenkligen Dreieck, den 2. Kongruenzsatz
und die Konstruktion des gleichseitigen Dreiecks. Weit länger und
fruchtbarer scheint der Aufenthalt des P y t h a g o r a s, dem es allem
Anscheine nach gelang in die schwierige Sprache und in das noch
schwierigere Vertrauen der ägyptischen Priester einzudringen, gewesen zu
sein. Pythagoras brachte vermutlich auch die Form, in welche die Ägypter

Sätze und Aufgaben kleideten, nach Europa, die sich bei Euklid und Heron
erhalten hat. Sicher bezeugt ist der Aufenthalt des Mathophilosophen
E u d o x o s und der des Oinopides, der die Konstruktion des Lotes aus
Ägypten importierte. Wahrscheinlich der des Platon von Sizilien aus, sicher
wiederum der des Eudemos, wahrscheinlich der des D e m o k r i t, der sich
rühmte, dass ihn im Konstruieren nicht einmal die Ägypter überträfen. Die
ägyptische Reisskunst hatte den höchsten Ruf. Ägyptische Feldmesser und
Baumeister waren in der ganzen Welt des Mittelmeeres bis tief in die
römische Kaiserzeit die gesuchtesten. Einen hohen Ruf hatten ihre
astronomischen Kenntnisse und Beobachtungen, die sehr lange fortgesetzt
waren. Man muss freilich sagen, dass die eigentümlichen, ganz neuerdings
von L . B o r c h a r d t erklärten Instrumente mit unseren astronomischen
Präzisionsinstrumenten keinen Vergleich zulassen, ja nicht einmal mit
denen der Babylonier.
Eine direkte altägyptische Urkunde sprach zum ersten Male zu uns im
Papyrus Rhind, über welchen 1868 der Engländer B i r c h im Lepsius einen
kurzen Bericht gab. 1872 erhielt A u g u s t E i s e n l o h r in Heidelberg
eine lithographische Abschrift des Textes und in fünfjähriger mühevoller
Arbeit entzifferte er denselben, unterstützt von seinem Bruder, dem
Mathematiker F r i e d r i c h E i s e n l o h r und vor allem von M o r i t z
C a n t o r. Die Ausgabe ist jetzt veraltet, besonders die Namen, aber auch
die Zahlworte und Masse sind falsch gelesen. So ist z. B. psd 9 mit paut
Kreis verwechselt und eine neue Ausgabe vom Standpunkte der heutigen
Ägyptologie wäre sehr zu wünschen.
Der Papyrus beginnt mit den Worten: »Vorschrift zu gelangen zur
Kenntnis aller dunklen Dinge, aller Geheimnisse, welche sind in den
Dingen. Verfasst wurde diese Schrift im Jahre 33, im vierten Monat
(Mesori) der Überschwemmungszeit unter König Raa-us lebenspendend
nach dem Muster alter Schriften in der Zeit des Königs .......at vom
Schreiber Aahmesu.« Der König heisst nicht Raa-us, sondern mit seinem
Horusnamen Apophis, wie die furchtbare Schlange des Typhon. Es ist der
Hyksoskönig mit seinem Königsnamen A-vose-re, gross ist die Macht des
Re. Re, nicht Ra, ist die heisse Mittagssonne, deren Gewalt nirgends sich
fühlbarer machte als in Ägypten, und deren Kult im alten und im mittleren
Reich alle übrigen überbot. Der König des Musters ist Amenemhet III.,
etwa um 2200. Die Muster sind, wie es scheint, gefunden worden von
Flinders Petrie in Kahun im Jahre 1889, die Papyri hat Griffith 1897

herausgegeben, wenigstens stimmt Papyrus Ames mit denen von Kahun
genau überein.
E i s e n l o h r und mit ihm C a n t o r bezeichnen den Papyrus als ein
mathematisches Handbuch der alten Ägypter, Cantor nennt es gelegentlich
sogar »Vademecum eines ägyptischen Feldmessers«, dem gegenüber
erklärte E u g è n e R e v i l l o u t, der Herausgeber der Revue
égyptologique, in einer Note, die Cantor, wie es scheint, entgangen ist, ist
sie doch dem so rührigen und so viel jüngeren L . B o r c h a r d t
entgangen, das Heft ganz kurz und klar für das Heft eines mässigen
Schülers, das einige Jahrhunderte später von einem Schreiber ohne alle
mathematische Bildung, und solcher gab es schon im alten Ägypten, dem
Jamesu, Sohn des Mondes, abgeschrieben und an einen schlichten
Landmann verkauft ist. Dieser Ansicht Revillouts schloss sich Weyr in
seinem Festvortrag in der Wiener Akademie an; B o r c h a r d t, dessen
Autorität sehr schwer ins Gewicht fällt, teilte gleichfalls diese Ansicht und
auch ich kann ihr nur beipflichten. Das Heft wimmelt geradezu von groben
Rechenfehlern, die oft vom Lehrer mit roter Tinte tout comme chez nous
korrigiert, öfter nur generaliter bemerkt sind. So kommt z. B. ein Exempel
vor, wo der Schüler durchgehend 14 mit 9 verwechselt hat, das war leicht
möglich, die Schrift ist althieratisch, ganz ähnlich wie beim Papyrus Ebers,
unserer Hauptquelle für die Geschichte der ägyptischen Medizin. Das
Hieratische verhält sich, wie schon gesagt, zu den Hieroglyphen, die nur in
prähistorischer Zeit wirkliche Bilderschrift waren, wie unsere Schreibschrift
zur Druckschrift, es entsteht durch Ligaturen. Der Lehrer schreibt nur eine
14 an den Rand; er lässt, wenn die Exempel falsch sind, Proben machen,
gibt auch gelegentlich dasselbe Exempel mit anderen Zahlen, manchmal
gibt er selbst die Lösung an, die mitunter ganz anderen Gebieten der
Mathematik angehörte. Daneben kommen auch Fehler genug auf Rechnung
des Schreibers Jamesu.
Die Ansicht R e v i l l o u t s ist schon an und für sich wahrscheinlich,
da die grosse Mehrzahl der auf uns gekommenen Papyri Schülerhefte
waren. Es gab schon im alten Reiche ein ausgebildetes Schulwesen. Die
Schulen a-sbo waren teils staatliche, teils private. Sie waren ganz und gar
realistisch. Ihr Zweck war nicht die formale Geistesbildung, an toten
Sprachen abgezogen, sie übersetzten nicht ihren Julius Cäsar Shakespeares
ins Lateinische, um denselben den Römern zugänglich zu machen, sondern
sie hatten Fachschulen, Schulen für Ackersleute, für Baumeister, für

Feldmesser, für Intendanten, für Kaufleute etc. Unser Heft entstammt einer
landwirtschaftlichen Schule. Der Schreiber schliesst es mit den Worten:
Fange das Ungeziefer und die Mäuse, vertilge das Unkraut aller Art. Bitte
Gott Re um Wärme, Wind und hohes Wasser.
Das letzte war die Hauptsache. Ägypten, sagt Herodot, ist ein
Geschenk des Niles, wurde doch die ganze straffe Zusammenfassung des
Volkes unter e i n e n König durch die Notwendigkeit dem gewaltigen Strom
mit vereinten Kräften zu wehren, unabweisbar; damit das Jahr gut war,
musste die Nilhöhe am Pegel von Memphis 16 Ellen, à 0,538 m, betragen.
Bei 18 Ellen war es ein gesegnetes, was darüber war, war schädlich. Aber
auch abgesehen von dem Spruche, bezeugt es der Inhalt des Heftes; die
Beispiele sind zum weitaus grössten Teil direkt für den Gebrauch des
Landmanns bestimmt. Ein nicht unwichtiges Argument für Revillouts
Ansicht gab mir Herr S p i e g e l b e r g an. Der Papyrus soll nämlich
vorzüglich erhalten sein, was äusserst unwahrscheinlich ist bei einem viel
gebrauchten Handbuch.

Ägyptische Arithmetik.

Das Zahlensystem der Ägypter ist dekadisch. Die Ziffern sind für die
Einer Striche , für die Zehner , für die Hunderter , für die Tausender ,
für die Zehntausender , für die Hunderttausender . Die grössere Zahl
geht der kleineren vor, z. B.

gleich 212,635.
In den Stundenangaben und Datierungen werden die Einer auch noch
durch horizontale Striche bezeichnet.

In monumentalen Einmeisselungen stehen die Zahlen
auch vertikal, wie z. B. die Zahl 7551, die in der
Schenkungsurkunde auf der Tempelmauer von Edfu
vorkommt. Für 5 kommt auch in hieroglyphischen Ziffern
vor.
Die lautliche Bezeichnung, soweit sie feststeht, ist für
1 wa, für zwei meist die Dualform vom Stamme sen
Bruder, nämlich der eins. Die 5, dua, heisst Hand, wie im
Indischen und Mexikanischen und wird auch meist durch
eine Hand determiniert. Umgekehrt wird z. B. Handwerker
dargestellt durch fünf Striche, dahinter Mann und Frau. Die
10 (met) wird durch den Phallus geschrieben, der
denselben Lautwert met hat. Das Zeichen für 100
(vielleicht schent), eine Schlinge, ist vom
zusammengerollten Seil von 100 Ellen hergenommen, 1000
(cha) ist die so häufige Lotosblume, deba, d. i. 10000, ist
Finger, Zeichen und Wort für 100000 ist die Kaulquappe
hafen, welche nach der Überschwemmung im Nilschlamme
in ungeheuren Mengen vorkommt. Als der Handel im Delta
ausserordentlich entwickelt war, im neuen Reiche gab es
auch Zeichen für Millionen und Zehnmillionen. Die
Zeichen kommen schon früher vor, sie werden dann aber
meist, wie das griechische Myrioi, für unendlich gebraucht. Der Gott
verspricht dem Könige nicht Millionen Jahre, sondern ewiges Leben.
Es gab seit der ältesten Zeit ein Zeichen für 0 nen, nichts.
Nen ist zugleich die grammatische Negation, die Hieroglyphen
stellen vielleicht eine im Gleichgewicht befindliche Wage,
vielleicht zwei gleichmässig ausgestreckte Arme, auch Schulter, Arme
und abwinkende Hände. Determiniert wird nen durch das Zeichen des
Bösen, richtiger des Ungemütlichen, ein Vogel, der unserem Spatz ähnelt
. Ob die 0 vor der Ptolemäer Zeit als Zahl angesehen wurde, steht nicht
fest, als Ziffer war sie überflüssig, und als Zahl der Zahlenreihe, wie wir
gleich hervorheben, nicht möglich.
D i e O r d i n a l z a h l e n werden gebildet durch Anhängen der Silbe
nu an die Kardinalzahl und später durch Vorsetzen von mh vollmachen,

also der die 5 vollmacht, d. i. eben der fünfte; im Koptischen die
ausschliessliche Ableitung.
Zu der aufsteigenden Zahlenreihe bildeten die Ägypter auch die
absteigende 1/2, 1/3, 1/4 usw., indem sie über die Kardinalzahl die Partikel ro
setzten. (Eine Ausnahme bildet 1/2, welches mit Hälfte
geschrieben wird.) Ro ist das Zeichen für Mund, das zur Präposition
geworden ist und in etwas hinein etc. bedeutet, auch distributiv pro Tag etc.
bedeutet. Im Hieratischen ist es zu einem einfachen Punkt verkürzt worden,
es sind ganz ähnliche Gedanken, und wunderbarerweise auch im
Hieratischen dieselbe Bezeichnung wie bei den Indern, die die absteigende
Reihe als Reihe der negativen Zahlen gebildet haben. Der Ägypter fasst 3
auf als 3 × 1 und dem entspricht die Zahl, welche dreimal genommen 1
gibt. Mit dieser Auffassung der Zahlenreihe hängt die so eigentümliche und
gänzlich missverstandene ägyptische Bruchrechnung, mit der der Papyrus
Ames beginnt, aufs innigste zusammen. Da heisst es z. B. noch in einer
grossen Abhandlung von 1895 eines um die Geschichte der Mathematik
sehr verdienten Philologen, nämlich bei F . H u l t s c h: die Ägypter
kannten keine gemeine Bruchrechnung, sondern nur eine Teilung in der
Einheitsreihe. Die Rechnung war für die Ägypter erst zu Ende geführt,
wenn sie den Quotienten in Zahlen ihrer Zahlenreihe, d. h. in ganze Zahlen
oder Stammbrüche aufgelöst hatten. Ihre Zahlenreihe war ihnen so geläufig,
wie uns die unsrige und wie wir scheinbar immer mit Brüchen, mit
konstantem Nenner 10 rechnen und die Resultate nur übersehen, wenn sie
uns in Dezimalbruchform vorliegen, so rechneten die Ägypter scheinbar nur
mit Brüchen, mit dem konstanten Zähler 1. Dass aber dem Ägypter gemeine
Bruchrechnung samt Generalnenner, reduzieren, erweitern etc., völlig
vertraut war, geht aus den Papyri Ames, denen vom Kahun, von Achmin
aufs klarste hervor. Sie scheuten nicht einmal vor Doppelbrüchen. — Eine
Ausnahme bildet der Bruch 2/3, der auch bei den Griechen sein eigenes
Zeichen hat. Er heisst neb oder . Griffith fasst ihn als 1/1½. Hier
war die Zusammensetzung aus ½ und 1/6 eben jedem ägyptischem Kinde
geläufig. Aber ich bin hier schon bei der Division. Die Addition wird
bezeichnet durch vorwärtsschreitende Beine , die Subtraktion durch 2
rückwärtsschreitende Beine , es werden auch verba gebraucht, die
addieren, hinzulegen, hinzufügen bezw. zurückkehren, ausgehen bedeuten;

bei mehreren Summanden wird die Summe durch eine eigene Hieroglyphe
bezeichnet: , eine Papyrusrolle, das Determinativ für alles Abstrakte.
Die Multiplikation wird durch das Wort uah
Arithmetik der Ägypter,
= vervielfältigen, eingeleitet; die Division durch Abschnitt 1 des Papyrus
nis = teilen, richtiger künden, klarmachen. Die Ames.
Division war wie die unsrige ein Einschliessen in
Grenzen und wird durch Multiplikation und Kenntnis des 1 × 1 erleichtert.
Die 1 × 1-Tabelle kommt im Ames nicht vor, sie wird als bekannt
vorausgesetzt. H u l t s c h hat das kleine 1 × 1 nach den Andeutungen des
Ames rekonstruiert. Der Papyrus lehrt zunächst die Bruchrechnung und
beginnt mit der Zerlegung der Brüche von 23 bis 929 in Stammbrüche inklusiv
2
3
.
Regeln werden weder hier noch sonst irgendwo im Buche angegeben;
eine Ausnahme macht nur die eine Regel in N. 61a: 23 zu machen von einem
Bruch (gebrochenen Teil). Wenn dir gesagt ist: Was ist 23 von 15 , so nimm
seine Hälfte und seinen 6. Teil, das ist sein 23 : Also ist es zu machen in
gleicher Weise für jeden gebrochenen Teil, welcher vorkommt. Cantor hat
den Schlusssatz missverstanden, er meint, er bezieht sich darauf, dass 23
durch irgend einen andern Stammbruch ersetzt werden könne, während die
Verallgemeinerung sich auf 15 bezieht, C. sieht hierin die allgemeine
1
Vorschrift 2u , wo u eine ungerade Zahl ist, zu zerlegen in u +
( /2 + 1/2)
1
, die unzweifelhaft, darin hat er recht, zur Zeit des Papyrus
( /2 + 1/2)u
u

bekannt war. Aber es werden auch andere Formeln für das an sich
unbestimmte Problem benutzt, z. B. wenn p und q ungerade Zahlen sind,
also 12 (p + q) eine ganze Zahl n: p 2· q = p1n + q1n . Meist wird dafür gesorgt,
dass der erste Bruch einen geraden Nenner hat, weil dies die nötige
Zusammenfassung bei grösseren Dividenden als 2 erleichtert. Die Tabelle
enthält nur ungerade Zahlen, weil eben den Ägyptern die Reduktion völlig
bekannt war.
Ferner wird möglichst dafür gesorgt, dass Zerlegung in Partialbrüche.
die Zahl der Stammbrüche so klein als möglich.
Im Papyrus Ames werden als Anfangsnenner ausser 2 und 3 nur teilbare
Anfangsnenner der Reihe zugelassen, nur einmal kommt 5 vor. Im Papyrus

von Achmin ist diese Beschränkung aufgehoben, um die Zahl der
Stammbrüche zu verkleinern. Jede Zerlegung ist von einer Probe, smot —
der B e w e i s genannt, begleitet. Der Beweis, d. h. die Probe, zeigt hier
schon, wie völlig die Beherrschung der Bruchrechnung war, z. B. 127
(Anfang der 2. Kolumne) nis son chent, d. h. mache deutlich 2 durch, z. B.
17, hieroglyphisch: (nis son chent met sefech)

Verdeutliche 127 : 112 511 618

smot 1 13 112 13 14 (NB. 11 72 i. 1 13 + 112 )
Der Beweis — smot genannt —, besteht darin, dass
gezeigt wird, dass 112 der 17te Teil von 1 13 112 oder 1 14 16 ist und von dem was
noch an 2 fehlt, nämlich 13 + 14 , der 17te Teil 511 und 618 ist.
Es folgen dann als 2. Abschnitt die Abschnitt 2: Zerlegung in
Dezimalteilungen der Zahlen von 1–9, Zehn-Teile.
eingekleidet als Verteilung von Broten; die
Dezimalteilung war besonders für die Feldteilung wichtig, 1 3 6 7 8 9
werden geteilt, da 120 , 140 und 150 schon in der vorigen Tabelle vorkommen.
Nur das letzte der Beispiele ist vollständig erhalten: Geben Brote 9 an
Personen 10. Verfahre wie geschieht, vervielfältige 23 15 310 mit 10.
Brot hot statt t . Um mit 10 zu multiplizieren wird mit 2 multipliziert,
das zweifache mit 2, und das wieder mit 2 und das zweifach und achtfache
addiert.

/.. (1 23 110 310 als zweifaches von 23 15 310 )
(4.) 3 12 110
/ (8.) 7 15
Zusammen 9 Brote, welche es sind; für zusammen

M. H. es dauert eine ganze Weile bis wir die Zerfällungen in 2 und 4
ausführen. Der Ägypter zerlegt 43 in 1 13 und 25 + 115 = 13 + 125 und 125 = 110 + 310 .
Die Ägypter wussten in ihren Tabellen vorzüglich Bescheid, genau wie
wir mit unserm Einmaleins. Wenn man sich übt, findet man, dass der
Unterschied mit unsern Methoden keineswegs so gross ist.
Die Tabelle verlangt nun vielfach 3: Sequem- oder
Subtraktion einer Anzahl von Brüchen und Ergänzungsrechnung.
Division einer Zahl durch eine Summe von
Brüchen. Dazu dient die im 3. Abschnitt gegebene Sequemrechnung — von
quem = vollenden — das Causativ also: Vollende, ergänze; quem allein
kommt auch vor in No. 21 b, 22 b, 37 e 1.
Ich greife die beiden letzten Beispiele heraus, No. 22:

sequem mā neb ro sa em uā
(30 ist m' b ;
statt mā ist richtiger mi)
2 1
Ergänze 3 3 0 zu 1.
20 1
(zu ergänzen ist der gemeinsame Nenner 30, die Ägypter beherrschten die
Bruchrechnung vollständig, samt Gleichnamigmachung, Kürzen etc.) lege
zu seinen Unterschied, nämlich 9; Zeichen des Unterschieds ist
gelesen chomt, vervielfältige die Zahl 30 zu vollenden 9.
30
1
3 10
1
6 5
———
zusammen 9
Es sollen hier 23 und 310 zu 1 ergänzt werden; es sind auf den Nenner 30
gebracht 20 und 1 Dreissigstel; es fehlen also 9 und 390 sind dann zerlegt in

1
10
und 15 womit das Resultat eben aussprechbar, d. h. deutlich für den
Ägypter gemacht ist.
No. 23:

und 19 410 im Hinzufügen zu ihm macht 23 .
Als Generalnenner wird 45 gewählt und die Zähler der Doppelbrüche
werden in Stammbruchform geschrieben, wobei noch 18 hinzugefügt wird.
1 1 1 1 1 1 1 1
4 8 9 10 30 40 45 3 1
1 1 1 1 1 1
11 5 4 2 85 4 1 1 1 15macht 1
2 2 8

4. Abschnitt.

Die Haurechnung oder die Lösung von Abschnitt 4: Gleichung ersten
Gleichungen ersten Grades. No. 24–38. Grades (Hau-Rechnung).
Die Nummern 24–34 sind
Zahlengleichungen; die vier letzten Aufgaben beziehen sich auf Teilung des
Getreidemasses auit. Die Unbekannte heisst hau, d. h. Haufen, also eine
unbestimmte Menge, analog dem cosa irgend ein Ding der italienischen
Mathematiker der Renaissancezeit. Über die Lösung der Gleichungen
entstand ein Streit zwischen J . R o d e t, dem bekannten französischen
Orientalisten, speziell Sanskritisten und M . C a n t o r, in dem, wie so
häufig beide recht und beide unrecht haben. Rodet meint, die Ägypter
hatten die regula falsi benutzt, Cantor sagt, sie hätten gerade so wie wir
operiert. C. selbst bemerkt ganz richtig, dass bei den Gleichungen ersten

Grades beide Methoden schwer zu unterscheiden sind. Ich nehme das erste
Beispiel:
Haufe, sein Siebentel, sein Ganzes, es macht 19; also x7 + x = 19. Es ist
schwer zu sagen, rechnet der Ägypter x( 17 + 1) = x 87 = 19; x7 = 189 · x = 189 · 7
oder setzt er probeweise für x 7, wonach er als Summe 8 statt 19 bekommt
und somit den Proportionalitätsfaktor 189 erhält und damit seinen Probewert
multipliziert.
Die Rechnung sieht so aus:
1 1 1 19
/ . 7 . 8 / 4 2 /. 2 4 8 (n. b. 8 das ist der Proport.-Faktor)
1 1 1 1
/ 7 1 /.. 16 / 8 1 /.. 4 2 4
1 1
2
4 / 4. 9 2
nun kommt die stehende Formel:
ȧrt mȧ cheper, tue wie folgt:
Der Hau 16 12 18 (Probe) 17 : 2 14 18 (zusammen) 19.
Vom Beispiel No. 28 an kann man aber nicht mehr gut von einem
unmittelbaren Probieren reden zum Beispiel No. 32: Es wird 1 13 14
multipliziert bis das Ergebnis 2 ist, d. h. es wird x ausgeklammert und mit 1
1 1
3 4
in 2 dividiert.
Unter den Beispielen sind einige recht komplizierte, z. B. No. 28 und
sie liefert zugleich ein Beispiel für die Schwierigkeit der Entzifferung. Die
Aufgabe lautet:

2
3
im hinzugehen 13 im weggehen 10 sind aufzubewahren.
Gemeint ist: (x + 23 x) - 13 (x + 23 x) = 10.
Die Rechnung ist falsch, das Resultat 9 ist richtig; die Probe zeigt, wie
die Aufgabe gemeint ist. Noch komplizierter ist No. 29. Ein wahres Muster
von Kompliziertheit und nicht minder von ägyptischer Bruchrechnung sind

No. 31 und 33: Haufe sein 23 , sein 12 , sein 17 , sein Ganzes, es beträgt 37. Es
wird die Division mit 1 23 12 17 ganz direkt durchgeführt.
Die Aufgabe 30 übersetze ich abweichend von Eisenlohr und Cantor:
Wenn dir der Schreiber (id est Lehrer) sagt: 10 ist das Ergebnis von 23
und 110 , lass mich den Grund hören.
Um die Division von 10 durch 23 + 110 auszuführen, wird dies zunächst
mit 13 multipliziert, das gibt 9 23 90 ; man muss dann noch 310 dividieren und
findet zum Schluss 13 213 als sogenannten Hau.
No. 35: Um die Masseinheit zu erreichen, bin ich dreimal genommen
und 13 von mir zu mir, dann bin ich zur Einheit vervollständigt. Diese
Aufgabe 3x + 13 x = 1 ist das textliche Vorbild zu einer Menge von
eingekleideten Gleichungen, die sich noch bis heute in den Rechenbüchern
finden. Die Einheit ist das Hequatmass. Die Verteilungsaufgaben der
Fruchtmasse bedurften sämtlich einer genauen Revision, die durch
E r m a n 1902 und S c h a c k - S c h a c k e n b u r g 1904 vollzogen ist.
Es folgen dann zwei Aufgaben, die als Arithmetische Reihe (Tunnu-
»Tunnu«-Rechnung bezeichnet werden, zu denen Rechnung).
sich sachlich noch Aufgaben aus einem späteren
Abschnitt gesellen, der eine Anzahl praktischer Beispiele enthält und
vielleicht einem z w e i t e n Schülerheft entnommen ist. Von besonderer
Bedeutung ist No. 40: Brode 100 an Personen 5; 17 der 3 ersten an die 2
letzten Personen, was ist der Unterschied? Die Rechnung lautet: Tue, wie
folgt: (die stehende Formel) der Unterschied 5 12 / 23, 17 12 , 12, 6 12 , 1
zusammen 60. Vervielfältige diese Zahlen 23, 17 12 etc. mit 1 23 , das gibt dann
38 13 , 28 16 ... zusammen 100.
Hier haben wir a) Gleichungen mit mehreren Unbekannten, b) die
arithmetische Reihe, c) unzweifelhaft regula falsi. Ist der Tunnus d und der
Anteil des letzten a, so bekommen die Personen 4d + a, 3d + a, 2d + a,
d + a, a, und es ist: 9d + 3a = 7 (d + a); also 2d = 11a; d = 5 12 a. Es wird nun
als falscher Ansatz a = 1 gesetzt, also d = 5 12 und da 100 = 60 + 23 · 60 ist,
mit dem Proportionalitätsfaktor 1 23 multipliziert.

Hierhin gehört No. 64, die darauf hinausläuft eine arithmetische Reihe
von 10 Gliedern zu bilden, deren Summe 10 und deren Differenz 18 ist. Es
wird wieder zuerst das höchste, das letzte Glied bestimmt. Wir haben aus
den bekannten Formeln:
s = n2 (a + u) und u = a + (n-1)d; u = ns + (n - 1) d2 ,
d. h. also um das letzte Glied zu bestimmen, muss man den
Durchschnittswert ns bilden und dazu (n-1) · d2 addieren, und ganz genau so
verfährt der ägyptische Rechner.
Ich teile in der Mitte, gibt 1; ziehe 1 von 10 ab Rest 9, halbiere den
Unterschied: 116 , nimm es 9 mal, gibt 12 , 116 , lege es hinzu zum
Durchschnittswert, gibt für u 1 12 116 etc. Ja, m. H. hier ist jeder Zweifel an
der Kenntnis der allgemeinen Formeln ausgeschlossen.
Und das gleiche gilt von der geometrischen
Geometrische Reihe.
Reihe. Der fünfte und zugleich letzte Teil enthält
unter No. 62–84 eine Sammlung praktischer Beispiele, welche sich auf
Landwirtschaft beziehen, Aichung von Bierkrügen, Futterverbrauch auf
dem Geflügelhof und in Stallungen, Mehlverbrauch beim Backen,
Lohnzahlung etc. Solche Aufgaben kommen auch in Tempelrechnungen
sehr vielfach vor, denn die ägyptischen Priesterschaften hatten wie die
mittelalterlichen Klöster grosse Ausgaben um das Volk an den Festtagen zu
beköstigen. Mitten hinein schneit dann die Aufgabe 19. Die Aufgabe war
nach Eisenlohr völlig rätselhaft. Es ist von einer Sutek (vielleicht Leiter?
unsre Skala) die Rede, deren Sprossen
7, 49, 343, 2401, 16807
sind, und bei diesen Zahlen stehen Worte, welche bedeuten: Person,
Katze, Maus, Gersten, Ähre, Mass.
Eisenlohr meinte, dass dies die Namen der 5 ersten Potenzen seien,
während doch erst ganz vor kurzem bei Heron dynamo-dynamis für die 4.
Potenz konstatiert ist.
Die Rechnung sieht so aus:
7
/. 2801 49
/.. 5602 343

/... 11204 2402
19607 16807
19607
Das Rätsel hat R o d e t in der schon erwähnten Abhandlung gelöst. Er
fand dieselbe Aufgabe bei L e o n a r d o P i s a n o um 1200 in dem
epochemachenden Liber abaci, das aus Afrika stammt, aus Bugia, einer
Pisaner Handelsstation, der westlichsten von Nordafrika.
Die Aufgabe heisst: 7 Personen haben je 7 Katzen, jede Katze frisst 7
Mäuse, jede Maus 7 Ähren Gerste, jede Ähre bringt 7 Mass ? ist die
Summe, und sie ist berechnet nach der richtigen Formel:
an - 1 75 - 1
· a, da = 16806 : 6 = 2801 ist
a - 1 7 - 1
wo also die Multiplikation mit 7 gut ägyptisch vollzogen ist und durch
Addition geprüft wird. Nicht vielleicht, wie Cantor meint, sondern
unzweifelhaft war die Summenformel der geometrischen Reihe um 2000 v.
Chr. bekannt. Wir sehen über 3000, wahrscheinlich über 4000 Jahre hat sich
die Aufgabe in den Schulen Afrikas gehalten, ein Seitenstück zur
Bruchrechnung.
Aber die arithmetischen Kenntnisse der alten Ägypter gingen noch
weit darüber hinaus, was Cantor freilich auch bei der 2. Auflage vom
Dezember 1893 nicht wissen konnte. In den von G r i f f i t h 1897
herausgegebenen mathematischen Papyri der Funde Petries in Kahun fand
sich das erste Beispiel einer quadratischen Gleichung.

Die quadratische Gleichung der Ägypter.

Als Griffith die Petriepapyri 1897 herausgab, fand sich dort das erste
Beispiel einer quadratischen Gleichung auf Tafel 8 des Papyrus. 1900 hat
Schack im Berliner Papyrus 6619 ein zweites gefunden. Der Papyrus ist
vermutlich aus dem mittleren Reiche und lautet folgendermassen: Ein
ferneres | Beispiel der Verteilung einer gegebenen Fläche auf mehrere
Quadrate | wenn dir gesagt wird | 100 Quadratellen auf zwei unbekannte
Grössen zu verteilen und | 34 der Seite der | einen Grösse für die andere | zu
nehmen | bitte gib mir | jede der unbekannten Grössen an |.

Die Ausrechnung geschieht mit der regula falsi, der Verfasser drückt
sie so aus: Mache ein Rechteck von immer 1 (d. h. also ein Quadrat) und
nimm 34 | der Seitenlänge | der einen für die andere | dies gibt 34 |.
Multipliziere dies mit 34 das gibt 196 . Wenn so die eine Grösse zu 1 die
andere mit 34 genommen ist, so vereinige diese beiden Grössen, das gibt 21 56 .
Nimm die Quadratwurzel daraus, das gibt 54 . Nimm die Wurzel der
gegebenen von 100 das gibt 10. Teile 10 durch 54 , der Quozient ist 8
(Zeichen: auch Zeichen der Differenz). Der Rest ist zerstört, doch ist
noch soviel zu erkennen: Nimm 34 von diesen 8 das gibt 6. Hier haben wir
also
x2 + y2 = 100; x : y = 1 : 34 .
Das Beispiel des Kahun Papyrus bezieht sich darauf, 120 kubische
Ellen in 10 Körper von der Höhe einer Elle so zu zerlegen, dass die
Grundflächen Rechtecke sind, deren Seiten sich wie 1 : 34 verhalten.
Hier würde die Anwendung der regula falsi auf die irrationale
Quadratwurzel aus 34 führen. Der Verfasser verfährt also ganz anders. Er
geht davon aus, dass der Inhalt des Rechtecks mit 43 multipliziert das
Quadrat der grossen Seite gibt.
Die Rechnung lautet: Dividiere 1 : 34 , das gibt 1 13 ,
multipliziere 12 mit 1 13 , das gibt 16, die √ ist 4, das ist
die Länge der einen Seite. Nimm 34 , das ist 3. Hier
haben wir also xy = 12 xy = 1 : 34 . Man sieht, beide Male
haben wir das Dreieck 3, 4, 5 bezw. 6, 8, 10, das also
schon um 2200 den Ägyptern bekannt war.
Das dritte Beispiel hat Schack 1903 aus demselben
Papyrusfragment entziffert.
Es handelt sich um:
x : y = 2 : 1 12 und x2 + y2 = 400.
Wird dann probeweise x = 2, y = 1 12 gesetzt, so gibt es 6 14 , die √ ist 2 12 , dies
ist 18 von 20, also ist x = 16, y = 12
[16, 12, 20 ～ 3, 4, 5 ～ 8, 6, 10]

Das Zeichen der Quadratwurzel ist dem unsrigen nicht unähnlich To-
Erdreich, Grund, auf dem etwas ruht?
In Mitteilungen zur Gesch. der Med. u. Naturw. vom 18. April 1908 p.
337 wird diese Hieroglyphe als G n o m o n erklärt, und den alten Ägyptern
damit eine Kenntnis des Quadratwurzelausziehens nach der Formel (a + b)2
supponiert. Einem Sprachforscher von Fach wäre die äussere Ähnlichkeit,
ich verweise auf Max Müller, ein Grund das Zeichen nicht vom Gnomon
abzuleiten. Es ist bisher auch keine Spur einer Ausziehung von Wurzeln aus
Nicht-quadratzahlen bei den alten Ägyptern gefunden, so wie die
Babylonier haben sie die Quadratwurzeln (tabellarisch?) durch
Multiplikation von 1 × 1, 2 × 2 etc. gefunden.
Es ist nicht unwahrscheinlich, dass der Pythagoras den Ägyptern schon
um jene frühe Zeit bekannt war.

Geometrie.

Ich komme zur Geometrie, sie findet sich im Geometrie der Ägypter.
Abschnitt 3 und 4 des Papyrus Ahmes, daneben
ist für uns die Schenkungsurkunde des Tempels von Edfu von Wichtigkeit,
die allerdings 1500 Jahre nach Ahmes zu datieren ist; aber auch die 500
Jahre älteren Papyri von Kahun kommen in Betracht. Vor allem muss ich
die Quadratur des Zirkels erwähnen, No. 41, No. 48 und No. 50. Sie setzen
den Kreis, der bald teben, bald paut, bald k d heisst gleich einem Quadrat,
dessen Seite 89 des Durchmessers, d. h. sie setzten π gleich 28516 = 3,1605;
eine Übereinstimmung mit dem alten indischen √10 = 3,162, die zu denken
gibt. Die Frage, wie sie zu diesem erstaunlich genauen Näherungswert
gekommen sind, scheint mir unschwer zu beantworten.
Sie nahmen einen Zylinder mit der Höhe h Quadratur des Zirkels.
und dem Durchmesser d des Grundkreises und
gossen Wasser hinein und dieses Wasser in ein balkenartiges Gefäss mit
dem Grundquadrat a2. Das Wasser stieg bis zur Höhe η, dann hatten sie xd2h
a2 η η η
= a2η und x = 2 · , falls a = d, x = und fanden für das Verhältnis ,
d h h h
64
oder x den Wert 8 1 .
Wie selbstverständlich es war, dass man das Volumen eines Gefässes
von konstantem Querschnitt seiner Höhe proportional setzte, das kann man

bei Heron lesen. Der Begriff des (rationalen) Verhältnisses war ihnen, wie
schon die Rechenaufgaben des Ahmes zeigen, völlig geläufig.
Die Geometrie beginnt mit der Bestimmung Volumenbestimmung.
des Volumens von Fruchtspeichern mit
kreisförmiger, bezw. krummliniger und rechteckiger Grundfläche, z. B.: Ein
rundes Fruchthaus von 9 Ellen Höhe in der grössten Ausdehnung und 6
Ellen Breite, wieviel Getreide geht hinein? Es wird, wenn statt 9 l und statt
6 h gesetzt wird, gerechnet nach der Formel
( 43 · 89 l)2 · 23 h.
Es lässt sich mit diesen Beispielen nicht
Halbkugel.
allzuviel anfangen, die Abbildungen fehlen und
alle näheren Angaben über die Beschaffenheit der Haufen. Aber schon
E i s e n l o h r bemerkt: sollte unserm Rechner die zur Bestimmung der
Halbkugel nötige Formel πr2 23 r vorgeschwebt haben?
Ich komme damit auf die Berechnung der Kugel, bezw. Halbkugel.
Im ersten Hefte der Kahunpapyri auf Tafel 8 ist eine Figur gezeichnet,
die der Herausgeber der Petriepapyri Griffith richtig umschrieben und
gelesen hat, deren Deutung er aber nicht gefunden zu haben bekennt. Er
sagt, es scheint sich um den Inhalt eines kreisförmigen Fruchthaufen zu
handeln, dessen Höhe 12 und dessen Durchmesser 8 ist. Er hat sich durch
eine Zahl 12, welche über der Figur steht, und die zur Rechnung gehört,
täuschen lassen, sonst wäre er wohl selbst darauf gekommen, dass wir hier
die Zahlenrechnung zur Ermittelung eines halbkugelförmigen
Getreideschobers von 8 Ellen Durchmesser vor uns haben. Die Figur zeigt
einen Kreis, neben dem links 8, der Durchmesser in Ellen, steht, und in dem
1365 13 der Inhalt zu lesen ist.
12
[1] 1365 13 / 1. 256 In unserer Rechnung:
8 2 .. 512 8 . 32 = 12
2 4
3 8 / 4. 1024 12 . 3 = 16
1 1
/ 3 4 / 3
. 85 13 16 . 16 = 256
zusammen 16 1365 13 1
256 . 5 3 = 1365 13
/ 1 16

/ 10 160 d3π
Heute = 134,041 Kubikellen = 1340,41.
/ 5 80 12
zusammen 256
Abgesehen von dem Fehler für π ist also der Inhalt in 110 Kubikellen
ausgedrückt. Was dieses Mass betrifft, so ist es eine ganz natürliche
Übereinheit. Das Haupthohlmass ist das Hin; die Kubikelle = 320 Hin, die
Elle = 0,526m ergibt für das Hin 0,455 Liter, 32 Hin sind 14,61 Liter,
ungefähr 12 Scheffel. Das Hin wurde geteilt in 12 14 18 116 312 , es ist also 32 Hin
als Übereinheit durchaus gerechtfertigt.
Die Rechnung ist:
3 4 2 2 32d3
(d 2 . 3 ) . 3 d = .
12
Der Fehler bleibt unter 2%, für π ergibt sich Ausmessung eines grossen
3,2. Dies ist ungenauer als im Handbuch, wo π = Haufens durch kleines Mass.
3,16 ist, aber B o r c h a r d t, der Erklärer, setzt
ganz richtig hinzu: Dies Resultat ist durch häufiges wirkliches Ausmessen
solcher halbkugeligen Haufen gewonnen worden. Dabei waren viele
Beobachtungsfehler unvermeidlich. Die mathematische Form der Haufen
war kaum herzustellen, die Hohlmasse (32 Hin) waren recht ungleich
gefüllt und endlich lassen sich von einem grossen Getreidehaufen infolge
des grösseren Druckes und dadurch veranlassten dichteren Lagerung in
seinem Innern in praxi mehr kleinere Hohlmasse füllen als man theoretisch
rein nach der Volumenvergleichung erwarten sollte, da sich im kleineren
Masse die Körner naturgemäss loser lagern.
Die Aufgabe zu ermitteln, wieviel kleine Masse sich aus einem
gegebenen grossen füllen lassen, gibt s o gefasst noch unsern heutigen
Mathophysikern Rätsel auf. Davon können Sie sich überzeugen, wenn Sie
z. B. die Correspondence Q u e t e l e t nachlesen, wo das Problem öfter
behandelt wird. Daher ist es gar nicht zu verwundern, dass die Ägypter sie
nicht aufs Haar lösen konnten. Ich weise aber noch auf einen Umstand hin,
der mir ganz besonders wichtig scheint: der Näherungswert 3,2 für π passt
vorzüglich für die Übereinheit 32 Hin.
Der 3. Abschnitt des Ahmes, der eigentlich
Ausmessung der Dreiecke
geometrische Teil, handelt von der Ausmessung und Trapeze.
der Felder, kreisförmiger, dreieckiger,

trapezförmiger, und solcher, die in Dreiecke und Trapeze zerlegt werden.
E i s e n l o h r fasst auf Grund der Autorität M. Cantors und des grossen
Ägyptologen R i c h . L e p s i u s, was mir beinahe unfassbar ist, die
Dreiecke und Trapeze als gleichschenklige, und vindiziert den Ägyptern
den groben Fehler, das gleichschenklige Dreieck zu bestimmen als halbes
Produkt der Grundlinie und des S c h e n k e l s, und das Trapez als Produkt
der Mittellinie mit dem Schenkel statt der Höhe, und diesen Fehler sollten
sie bis nach Christi, hunderte von Jahren nach Euklid und Heron begangen
haben, und C a n t o r hat mit dem Starrsinn des Alters an seiner Auffassung
festgehalten, trotz der Kritik R e v i l l o u t ' s in der Revue égyptologique
von 1882 und der davon ganz unabhängigen B o r c h a r d t ' s, die darauf
hingewiesen haben, dass die Figuren ganz rohe Handzeichnungen sind, wie
Sie z. B. bei Nr. 48 (Figur) sich überzeugen können, wo statt des Kreises
ein rohes Achteck gezeichnet ist. Die Dreiecke sind (Figur), wie Sie
ebenfalls sehen, mindestens so gut rechtwinklig wie gleichschenklig.

M. H., es ist an sich unwahrscheinlich, dass die Ägypter solche groben
Fehler begangen haben. Aus den von W i l k e mit unendlichem Fleiss
gesammelten Ostraka, d. s. im wesentlichen Steuerquittungen auf dem
billigsten Material, auf Tonscherben, wissen wir, dass es eine eigene Steuer
gab. περι γεομετριας.
Die Ägypter besassen nachweislich im alten Widerlegung der Lepsius-
Reich eine Reichsbank, sie hatten eine Cantor'schen Formel.
Plankammer, sie hatten statt des Tabakmonopol
das Ölmonopol. Jedes Fleckchen, wo ein Ölbaum stand, wurde vermessen,
jedes Stückchen Weizenland, von dem eine Naturalabgabe für die
Ernährung der Truppen erhoben wurde, desgleichen. Sie haben von den
jährlichen Nachmessungen unter Sesostris gehört; und dann sollen solche
groben Irrtümer begangen worden sein! Ich kann Ihnen für Revillouts und
Borchardts Auffassung einen schlagenden Beweis geben; hier sehen Sie die
Figur im Codex konstantinopolitanus, der 1903 von Schöne edierten
Metrica des Hero, da haben Sie zwei Figuren zur Ableitung des

sogenannten erweiterten Pythagoras. Die Höhen sind gefällt und die Winkel
der Figur weichen vom rechten Winkel weit erheblicher ab als die des
Ahmes. Man kann gegen die Ostraka einwenden, sie stammen grösstenteils
aus der Zeit der Ptolemäer; ja, m. H. wer den Charakter der Ägypter kennt,
und nicht nur den der Ägypter, dem wird klar sein, dass die
Steuergesetzgebung so wenig wie der Totenkult und das Erbrecht geändert
werden konnte.
Wenn Alexander sich zum Sohn des Amon machen liess, so tat er es
wahrlich nicht aus Grössenwahn, sondern genau so wie vor ihm die
Hyksoskönige, weil das Volk seinen Pharao nur als Sohn des Gottes
anerkannte.
Und was die Steuern betrifft, als wir 1870 die elsässische Verwaltung
einrichteten, sagte der Oberpräsident von M ö l l e r die Fenstersteuer, das
Enregistrement, das ganze Steuersystem ist miserabel, aber wir rühren nicht
daran, die Leute sind daran gewöhnt.
Cantor stützte sich bei seinem Widerstand, ich möchte sagen
ausschliesslich, auf die Schenkungsurkunde des Tempels von Edfu, dessen
Grundlegung, wie D ü m i c h e n nachgewiesen am 23. Aug. 237 v. Chr. von
Ptolemäus XI, Alexander I, Philometor genau in der schon geschilderten
Weise vollzogen ist. Die Schenkungsurkunde nimmt einen grossen Teil der
Aussenwand der östlichen Umfassungsmauer des Tempels ein. Der gesamte
Text 164 Kolonnen ist auf 8 grössere Felder verteilt, von denen, als
C a n t o r seine erste Auflage schrieb, nur die drei ersten durch L e p s i u s
publiziert waren. Es werden von den Feldern von 60 Kolonnen die Masse
angegeben, z. B.
22 + 23 4 + 4 oder 90 etc.
15 + 15 3 12 + 2 12 14 116 312 oder 47 12 18 116 .
(nicht stimmend 47, 12 . 116 614 ) richtiger Wert 47,566425.
Lepsius hat nun gefunden, dass diese Lepsius-Cantor'sche Formel.
Vierecke nach der Formel a +2 b · c +2 d berechnet
wurden, wo a und b das eine Paar Gegenseiten, c und d das andere Paar ist.
Es kommen, wie es scheint, ein ganzer Teil Rechtecke vor, ein anderer Teil
sind Trapeze, dazwischen Dreiecke, die als Vierecke, deren eine Seite 0 ist,
aufgefasst werden. In dieser Auffassung liegt soviel von der Philosophie der

Null, die hier als Grenzbegriff gefasst ist, dass ich Cantor nicht zustimmen
kann, wenn er sagt: an eine Zahl 0 ist in keiner Weise zu denken.
Gewiss, eine Ziffer 0 hatten sie nicht, 0 als Grenze.
brauchten sie auch nicht; aber dass sie mit 0
rechneten, dass ihnen der Zahlencharakter der Null bekannt war, samt dem
Grenzbegriff und dem sogen. Arbogast'schen Prinzip, das geht doch zur
Evidenz aus der Urkunde hervor. Als Cantor aber seine zweite Auflage
schrieb, da waren schon die übrigen 98 Colonnen durch B r u g s c h
P a s c h a publiziert, und da stellt sich die Sache sehr anders; die
Lepsius'sche Formel, welche übrigens schon für das zweite Beispiel, das
sich bei Lepsius findet, n i c h t passt, ist häufig genug nicht angewandt.
Sieht man näher zu, so bemerkt man, dass es sich um a n g e n ä h e r t e
Q u a d r a t w u r z e l a u s z i e h u n g handelt. Ich habe fast alle
nachgerechnet, die Fehler sind sehr gering und alle Angaben etwas zu gross
z. B. auf Tafel 6: 2 + 1 12 ; 1 + 0 als Inhalt 78 , während der richtige Inhalt noch
nicht 68 ist. Natürlich, der König hatte ja ein Interesse daran dem Gott, oder
was dasselbe ist, seinen Priestern die Schenkung möglichst gross
darzustellen. Ich bemerke, dass nach meiner Erkundigung nicht nur die
römischen Agrimensoren, wie Cantor angibt, sondern auch unsere heutigen,
und zwar gerade diejenigen, welche über mathematische Bildung verfügen,
sich das Wurzelziehen tunlichst sparen, indem sie z. B. für:
√ α2 + ε α + 12 · αε setzen.
Aus dem Text der ägyptischen Aufgabe hat R e v i l l o u t die
Unwahrscheinlichkeit der Cantor'schen Auffassung nachgewiesen, die mit
allen Traditionen des Altertums in Widerspruch steht. Ägyptische
Baumeister wurden in der ganzen Welt des Mittelmeeres geholt, und als
Augustus das römische Reich vermessen liess, nahm er dazu ägyptische
Feldmesser.
Ich komme nun zu dem Bedeutsamsten und
Ägyptische Trigonometrie.
zugleich zu dem Seltsamsten, was sich im
Papyrus Ahmes (2. Schülerheft) und, muss ich leider sagen, bei Cantor-
Eisenlohr findet. Der 4. Teil des Papyrus enthält die ägyptische
T r i g o n o m e t r i e: Aufgabe Nr. 56–60, Aufgabe 59 ist doppelt. In den
fünf ersten Aufgaben heisst die Pyramide, die stets quadratische
Grundfläche hat, mr (nicht smr) in der 6. Aufg. Nr. 60, die von einer viel

steileren Pyramide handelt — B o r c h a r d t vermutet einen Monolithen —
heisst sie in. Es kommen zwei Abmessungen in Betracht, in den Aufgaben
56–59;
a) die Pir—m—s Pirems, woher vielleicht der Name Pyramide.
b) die ucha—tebet.
und in Nr. 60 a) k3y —n—h r w. b) Snti: Das Verhältnis zwischen 12 b : a
heisst überall Sqd.
Z. B. Nr. 56. Berechnung einer Pyramide. Die uchatebet ist 360, ihre
Pirems 250. Lass mich ihren Seqd wissen. Nimm die Hälfte von 360, macht
180, dividiere mit 250 in 180 macht 12 + 15 + 510 von einer Elle. Eine Elle hat
7 Spannen, multipliziere mit 7: ihr Skd ist 5 15 Spannen.
Nr. 57. Eine Pyramide, 140 ist die uchatebet, 5 14 Spannen ihr Skd,? die
Pirems. Antwort: 93 13 .
Nr. 58. Pirems 93 13 , uchatebet 140,? Sqd. — Antwort: 5 14 wiederum.
Die Rechnung enthält wieder einen groben Fehler des Schreibers.
Nr. 59 a. Pirems ist 12, uchatebet 8? Sqd. Antwort wieder 5 14 .
und Nr. 59 b. Kontrollaufgabe, uchatebet gefragt, ganz verworren
abgeschrieben. Resultat 4 statt 8, wenn die eine Linie 12 und der Sqd 5 14 .
Nr. 60. Ein In von 15 Ellen an seinem Snti und 30 an seinem k3y—n h
r w. Lass mich seine Skd. wissen. Multipliziere 15; 12 davon ist 7 12 ,
multipliziere 7 12 mit 4 um 30 zu erhalten. Sein Rhi ist 4.... Das ist sein Skd.
E i s e n l o h r bemerkt Rhi ist unklar, was jedoch ohne Einfluss auf die
Rechnung ist.
E i s e n l o h r und C a n t o r erklären nun die Pir—m—us als die
Seitenkante und die ucha tebet als die Diagonale des Grundquadrates,
während sie durch das Koptische gezwungen sind die Kaienharu als die
Höhe und die snti als die Grundlinie aufzufassen; sie erklären also den Sekt
in den fünf ersten Aufgaben als den Cosinus des Neigungswinkels der
Kante und Grundfläche und in der letzten als die Cotangente des
Böschungswinkels!
Dagegen wenden sich nun ganz unabhängig voneinander
R e v i l l o u t und B o r c h a r d t und schon W e y r trat ihnen bei, beide

zunächst vom Standpunkt des Steinhauers und Architekten; beide
bemerken, dass der Neigungswinkel für den Steinhauer ganz wertlos.

Die Pyramide wurde in geraden Absätzen gebaut, die dann mit
mächtigen Steinplatten ausgefüllt wurden. Kannte der Arbeiter den
Böschungswinkel, der an allen Quadern derselbe, dann konnte er jedes
Stück richtig behauen; der Neigungswinkel ergab sich dann ganz von selbst.
(Figur.)
Eisenlohr erklärt Piremus als die aus der Säge heraustretende und seqet
leitet er von qd — ähnlich machen — ab und übersetzt es mit Ähnlichkeit,
besser wäre wohl Verhältnis. Revillout sagt, piremus bedeutet hinausgehen
in die Breite oder aus der Breite und beides passt für die Höhe der
Pyramide, die Linie, welche die Spitze mit der Mitte der Grundlinie
verbindet; uchatebet ist die Basis, und beide Worte sind Synonyma für
Kainharu und senti. C a n t o r noch in dem Brief an Weyr und in der 2.
Auflage mutet den Ägyptern die Ungeheuerlichkeit zu zwei verschiedene
Funktionen mit demselben Namen bezeichnet zu haben. R e v i l l o u t und
B o r c h a r d t sagen, es sei stets die Cotangente des Böschungswinkels und
nun erinnern Sie sich daran, dass Ägypten aus zwei verschiedenen Ländern
mit verschiedener Sprache zusammengewachsen ist. Synonyma sind häufig,
wie wir aus analogen Gründen die ähnliche Erscheinung im Englischen
haben. Die Pyramide heisst smr und in, der Kreis Deben und kd, der Vater
heisst i f und atef, der König bjty und hk3 usw.
Die Höhe ist als Summe der Koordinaten.
Schichtenhöhen, ev. auch aus der Schattenlänge
und die Seite des Grundquadrats ganz direkt messbar. Die Diagonale muss
aber berechnet werden, und zwar mit dem Pythagoras.

Eisenlohr hat die Winkel der Pyramiden γ und β (siehe Figur S. 50)
berechnet aus
cos β entweder 5 14 Sp oder 5 215 und damit
3
cos β = 4
oder = 11 27 65 = 12 85
und sie stimmen so ziemlich mit den Winkeln der erhaltenen Pyramiden,
was für den, der weiss, wie oft grobe Fehler der Schüler geringe Fehler im
Resultat geben, nicht wunderbar ist.
Aber Borchardt hat die Neigungswinkel aus der Cotangente berechnet.
Es sind dies Winkel von 54° 14′ 16″; 53° 7′ 48″ (kommt 4 mal vor) und in
No. 60, 75° 57′ 50″.
Von diesen Neigungswinkeln gleicht der erste g e n a u bis auf die
Sekunde dem Winkel an der südlichen Steinpyramide von Daschur (untere
Hälfte), der zweite stimmt, ebenso haarscharf mit dem von Petrie an Ort
und Stelle gemessenen Winkel der zweiten Pyramide von Giseh überein
und der letzte ist ebenso g e n a u der von Petrie 1892 nachgewiesene
Winkel aus der Mastaba von Meidum. Und dass die Werkleute wie die
unsrigen nach solchen Vorschriften, sogenannten Leeren, arbeiteten, das
zeigen die von Petrie aufgedeckten Winkelmauern an den Ecken der
Mastaba No. 17 zu Meidum.
Diese Eckwinkelmauern zeigen wie die Erbauer der Mastaba sich die
anzulegende Neigung der Winkel g e n a u nach der in No. 60 gegebenen
Vorschrift aufgezeichnet haben. Damit ist die Seqtfrage entschieden. Sekt
ist die Cotangente, rhi vermutlich nichts anderes als die T a n g e n t e, die
also den Ägyptern auch schon bekannt war.
Das Wort seqd aber leitet Revillout von kd — bewegen ab und aus
dem hapt — Richtscheit, das ein unentbehrliches Werkzeug war; seine
aufrechtstehende Kathete ist 1 Elle, die untere ist in 7 Spannen und 4 Finger
geteilt, und eine Schnur wurde nach dem unteren beweglichen Punkte
geknüpft und gab dem Arbeiter damit durch den sekd unmittelbar den
Winkel, nach dem er seinen Stein zurichtete.
Ein ganz entscheidendes Moment liegt aber in der Natur der Sache; der
königliche Bauherr der Pyramide der sagt einfach, meine Pyramide soll so
und so viel im Geviert haben und so und so hoch soll sie sein, die
Ausführung überlässt er seinem Architekten.

Dass die Ägypter aber mit der Proportionalitäts- und Ähnlichkeitslehre
ganz vertraut waren, das zeigen ihre Abbildungen. Sie teilten die Wand
durch Linien in ein Netz von Quadraten, ganz wie unsere Ingenieure ihr
Zeichenpapier, und trugen in die einzelnen Quadrate die Figuren in
entsprechendem Massstab ein. In dem sogenannten Grabe Belzoni zu Biban
el Moluk ist ein solches Coordinatensystem erhalten in einer unfertig
gebliebenen Grabkammer König Sety I., des gewaltigsten der Bamessiden
nächst seinem Sohne Ramses II.
Nun zeigen die Bilder und Inschriften, Darstellende Geometrie bei
ähnlich wie die japanischen, keine Perspektive, den Ägyptern.
und man nahm an, dass den Ägyptern die
Perspektive unbekannt gewesen sei. Aber vor etwa 10 Jahren wurden in
Fayum, vom trockenen Wüstensand geschützt, eine grosse Anzahl
Totenmasken, Porträts der Verstorbenen, gefunden, allerdings aus
hellenistischer Zeit, die meisten Handwerksarbeiten, aber auch eine ganze
Anzahl Kunstwerke ersten Ranges, die unsern besten Porträts nicht
nachstehen. Und dazu noch eins, was ich Ihnen nicht vorenthalten darf,
oben auf dem Pylon des Isis-Tempels von Phile, den Ptolemeus IX.
Euergetes II. 150 v. Chr. erneuert hat an der Stelle, von wo der Werkmeister
seinen Bau am besten übersehen konnte, sind in Stein geritzt zwei
Zeichnungen erhalten.
M. H. Nicht Menge, nicht Lambert, nicht Dürer sind die Urheber der
darstellenden Geometrie, hier sehen sie eine Werkzeichnung in dem
Sandstein der Plattform des Pylon, welche Borchardt 1878 aufgenommen
hat, mit beigeschriebenen Massen, G r u n d r i s s und A u f r i s s, und noch
steht die Säule, welche genau danach gearbeitet ist.
Resumieren wir die ägyptische Mathematik Résumé.
so weit wir jetzt davon wissen.
In der Arithmetik hatten sie eine entwickelte Fingerrechnung und
Rechenbretter, auf denen sie mit Steinen rechneten, kannten alle vier
Spezies mit ganzen und gebrochenen Zahlen, wussten mit Gleichungen 1.
und 2. Grades, arithmetischen und geometrischen Reihen Bescheid und
hatten Näherungsmethoden für die Ausziehung der Quadratwurzeln.
In der Geometrie war ihre Konstruktions- oder Reisskunst hoch
entwickelt. 420 v. Chr. rühmte sich der grosse Demokrit, dass ihn in der
Reisskunst nicht einmal die ägyptischen Harpedonapten überträfen; sie

hatten eine sehr achtenswerte Quadratur des Kreises, kannten Symmetrie
und Proportion, waren mit der Kreisteilung vertraut, hatten
Ähnlichkeitslehre und Anfänge der Trigonometrie und Elemente der
darstellenden Geometrie.

II. Kapitel.
Babylonien — Assyrien.

Ich wende mich nun dem Zuge der semitischen Völkerwanderung
folgend nach dem uralten Kulturland, zwischen den grossen Strömen
Euphrat und Tigris, zum Zweistromland, dem mâtu Pur Pur, nach
Mesopotamien, Babylonien, Assyrien. Hier kam zu den schon für Ägypten
fliessenden Quellen noch B e r o s s o s hinzu, und die Bibel in weit
reichlicherem Masse. Berosus, ein Babylonischer Priester des Bel der im 3.
Jahre v. Chr. in griechischer Sprache schrieb, hat sich als mit den
Traditionen seines Volkes in Mythos und Geschichte sehr vertraut erwiesen,
und es ist zu bedauern, dass von seinem grossen Werke nur Fragmente
durch Alexander Polyhistor und danach von Josephus und Eusebios erhalten
sind. Verdanken wir doch Berossos die Kunde von dem Babylonischen
Weltschöpfungsmythus, die Sintflut eingeschlossen, der Quelle des
mosaischen, eine Kunde, welche durch die Funde von Kujundschik-Ninive
so glänzend bestätigt und erweitert wurde. Aber auch die Bibel hat sich als
eine nicht zu unterschätzende Geschichtsquelle erwiesen, und unter dem
Einfluss der Ausgrabungen in den letzten 30 Jahren ist »Babel und Bibel«
(P. D e l i t z s c h) zu einem Schlagwort geworden. Aber erst im letzten
Drittel des 19. Jahrhunderts gelang es durch Entzifferung der rätselhaften
Keilschrift, die Geschichte Vorderasiens auf urkundliche Grundlage zu
stellen. So bedeutend aber die Leistungen der Schüler E b e r h a r d
S c h r a d e r s im letzten Dezennium gewesen sind, so sagt doch einer der
berufensten unter ihnen P. J e n s e n: »Ein jedes Werk von Assyriologen
auch der besten ist und wird auf lange noch vergleichbar bleiben einem Feld

mit Hopfenstangen, von denen sehr viele zwar annähernd oder durchaus
korrekt und gerade, viele aber, nach allen Richtungen hin, schief stehen.«
Im Gegensatz zu Ägypten, wo wir ein und dasselbe Volk bis zum
heutigen Tage vor uns haben, sind im Zweistromland zwei der Rasse nach
verschiedene Völker zu unterscheiden, die beide langsam kulturell
zusammengeschmolzen sind. Vom Nordosten her, möglicherweise vom
Altai und dem Pamirplateau kamen als Nomaden in einzelnen Schwärmen
die S u m e r e r, ein Volk, das bis dato für sich steht, die sich vorzugsweise
in Südbabylonien in Sumer ansiedelten, vielleicht vom Meere aus in die
Mündungen des Euphrat und Tigris eindringend. Vom Nordwesten her in
gleicher Weise die S e m i t e n, die sich, zugleich oder früher, vorzugsweise
in Nordbabylonien, Accad (Agade) festsetzten. Naturgemäss mussten beide
Völker zusammenstossen, und in hin und her schwankenden Kämpfen
drangen Sumerer in Accad und Accader in Sumer ein, bis seit
C h a m m u r a b i die Sumerer endgültig den Semiten unterlagen, die an den
Beduinen Arabiens immer frischen Nachschub hatten. Gehörte doch nach
E d . M e y e r, welcher sich dabei stützt auf R a n k e, Early Babyl. personal
names (p. 33, Band VI, 1 des grossen Hilprecht'schen Sammelwerkes über
die Amerik. Ausgrabungen in Nippur) und noch mehr auf die Monumente,
Chammurabi selbst einem solchen frischen Schwarm Amoriter Beduinen
an.
Die sogen. Sumerische Frage gehörte zu den Sumerische Frage.
dunkelsten; während anfangs der Siebziger die
Sumerer als die Kulturträger, die Semiten als rohe Nomadenhorden
hingestellt wurden, hat später ein so bedeutender Semitologe, wie Halévy,
die ganze Existenz der Sumerer geleugnet und ihre Schrift und Sprache für
eine Art Stenographie der Semitisch-Babylonischen erklärt. Gestützt auf die
genaue Untersuchung der ihm zugänglichen plastischen Denkmäler, hat
E d u a r d M e y e r in seiner Abhandlung »Sumerier und Semiten in
Babylonien« [Abh. d. Kön. Preuss. Akad. d. W. 1906 phil-hist.] die Frage
aufgehellt. An der Existenz der Sumerischen Sprache konnte, wie Meyer
mit Fug bemerkt, nach der Auffindung der griechischen Übersetzungen
bilinguer Syllabare, das sind Listen von Schriftzeichen mit Angabe ihrer
Sumerischen und Assyrischen Silben- und Wortwerte, nicht mehr gezweifelt
werden. Man vgl. die Abhandlung von T . G . P i n c h e s in den Proc. Bib.
Arch. 24, p. 108 und A . H . S a y c e ibid. p. 120, in denen die Aspiration
des p, k und t durch die Griechische Übertragung konstatiert ist.

Die Rassenfrage wurde durch die bildlichen Sumerer und Semiten.
Darstellungen im wesentlichen auf Grund der
Ausgrabungen d e S a r z e c s, die von H e u z e y vortrefflich ediert sind,
und denen von Nippur, die seit 20 Jahren ununterbrochen fortgesetzt sind,
unzweifelhaft zugunsten eines selbständigen Volks der Sumerer
entschieden, wie es B e z o l d, W i n k l e r, H i l p r e c h t etc. angenommen
hatten. Abgesehen von der Kleidung, dem sumerischen Mantel und dem
semitischen bunten Plaid, sind scharfe und stereotype Unterschiede
vorhanden. Zunächst zeichnen sich die Semiten wie noch heute durch üppig
wucherndes Bart- und Haupthaar aus, während die Sumerischen Köpfe bis
auf die Augenbrauen völlig ohne Haar sind. Die Nase ist von der
semitischen scharf verschieden, ebenso Mund, Backe und Stirn. Auch die
Frauenköpfe aus Tello sehen durchaus nicht semitisch aus. »So lehren die
Denkmäler mit unwiderleglicher Evidenz, dass es zwei verschiedene
Rassen in Babylonien gegeben hat, eine semitische [vorzugsweise] im
Norden, und eine nicht semitische [vorzugsweise] im Süden, [die Sumerer].
Zu diesen beiden Rassen kamen dann als drittes Element die Beduinischen
Westsemiten Chammurabis, die das Haupthaar kurz schneiden und die
Lippen rasieren.«
Die dritte Frage, die von M e y e r Anteil der Sumerer und der
naturgemäss nicht so entscheidend, wie die Semiten an der Kultur.
beiden ersten beantwortet wird, ist die Frage
nach dem Anteil der beiden Rassen an der Kultur. Da hat nun Meyer
nachgewiesen, dass die S u m e r e r d e r Z e i t G u d e a s (etwa um
2600), i h r e Götter nicht mit ihrem eignen
s u m e r i s c h e n Ty p u s , s o n d e r n i n G e s i c h t s b i l d u n g ,
Bart, Haar und Gewandung als Semiten gebildet
h a b e n. Danach haben auf religiösem Gebiete die Semiten entschieden die
Führung gehabt, wenn naturgemäss auch ihre Religion durch die der
Sumerer beeinflusst ist, bis sich eine einheitliche Religion heranbildete.
Meyer glaubt die Sagen von Gilgamesch, dem Herkules der Babylonier, der
Sintflut etc. den Semiten zuweisen zu können, während besonders die
Verbindung der Götter mit den Sternen, insbesondere die Astrologie, der
Hexen- und Dämonenglauben sumerisch seien, der sich ja von Babylon aus
insbesondere durch das spätere Judentum und das Christentum über die
ganze Welt verbreitet hat.

Die Semiten scheinen auch auf dem Gebiet der Kunst die Führenden
gewesen zu sein, und sehr früh haben sie eine hohe Stufe der Kunst erreicht,
wie die unübertroffene Siegesstele des Naramsin (s. u.) beweist (vgl.
Abbildung).

Siegesstele des Naramsin.
Über einen Punkt aber herrscht unter den Assyriologen volle
Übereinstimmung, d i e E r f i n d u n g d e r B a b y l o n i s c h e n
S c h r i f t , d e r K e i l s c h r i f t , i s t E i g e n t u m d e r S u m e r e r.
Zwar ist die von H i l p r e c h t als sumerisch angesprochene vorsargonische
Periode Nippurs schriftlos, und wir haben aus der Zeit wo in dieser Stadt,
dem uralten Stammesheiligtum der Babylonier, der Sumerische Sturmgott
En-lil, dessen Idiogramm später als Bel gelesen wird, seinen Kult hatte,
keine Tafeln mit Schriftzeichen gefunden, aber der Beweis liegt darin, dass
die semitischen Silbenzeichen ursprünglich sumerische Worte bedeuten.
Meyer weist mit Recht darauf hin, dass die Semiten als Erfinder der Schrift,

alle Konsonanten ihrer Sprache bezeichnet hätten, und weist auf den
entscheidenden Einfluss hin, den die sumerische Schrift und Sprache auf
das Semitische der Babylonier für Phonetik und Satzbau geübt hat.
Durch die Ausgrabungen de Sarzecs wissen Gudea und die Fürstpriester
wir, dass nach dem Tode der grossen Semitischen von Telloh.
Fürsten Sargon und Naramsin die Sumerer auch
in Accad vorübergehend zur Macht gelangten in dem Königreich von
Sumer und Accad der Fürsten von Ur; wir kennen durch die so
erfolgreichen Ausgrabungen E . d e S a r z e c s aus wunderbaren Statuen,
denen leider der Kopf fehlte (vgl. Abbildung) und einer Reihe von
Schriften, genauer Vertonungen ihren König oder richtiger Fürstpriester,
pateïssi, denn nie nennt er sich König, G u d e a; nach W i n k l e r war er
Vasall des U r e n g u r von Ur, König von Sumer und Accad, und Gudeas
Vorgänger Urnina, Entemena etc. Ihre Residenz war Schirpurla auch
Lagasch, heute Telloh geheissen; und die Urkunden aus jenen ältesten
Zeiten sind für die Entwicklung der Schrift ganz besonders wichtig. Der
Plan und der Massstab Gudeas (vgl. Abb. S. 62) ist für die Metrologie
beinahe unschätzbar; wie die p. 105 besprochene Arbeit B o r c h a r d t s
beweist, ist er zirka 3000 Jahr in Gültigkeit geblieben, und stimmt nach der
B o r c h a r d t'schen Messung mit L e h m a n n s Hypothesen (p. 106)
vortrefflich.

Gudea mit Plan und Massstab.

Plan der Gudeastatue, 1/2 der nat. Grösse.

Massstab der Gudeastatue, 1/2 der nat. Grösse.
Durch einen merkwürdigen Zufall ist uns Statuen des Gudea.
jetzt auch der K o p f G u d e a s bekannt
geworden. Der Nachfolger de Sarzecs in den Ausgrabungen von Tello
(Sirpurla), der Kapitän G . C r o s, fand unweit der Stelle, wo jener einen
prächtig gearbeiteten Kopf aus Diorit ausgegraben hatte, eine kleine ganz
disproportionierte Statue ohne Kopf, die laut Inschrift als die der Gudea
bezeichnet wurde, von ihm seinem speziellen Schutzgott, dem er auch den
neuen Tempel in Tello gebaut hatte, dem Ningiszida, dem Sohn des Nin-a-
zu (nach Meyer ein anderer Name für den Götterkönig Anu, den
Himmelsgott) gewidmet. L é o n H e u z e y, der ausgezeichnete Leiter der
Assyrischen Abteilung des Louvre, bemerkte, dass die Brüche des Kopfes
und des Torso zu einander passten, er setzte den Kopf auf den Torso und
ohne jeden Kitt sass er fest (vgl. Rev. d'Assyr. Bd. VI, 1907 p. 19). Dadurch
besitzen wir jetzt 4 Köpfe des Gudea, darunter der von Hilprecht in seinem
Vortrag über die Ausgrabungen im Bêl-Tempel zu Nippur S. 52
wiedergegebene »Marmorkopf von feinster Arbeit«. Die Köpfe tragen
sämtlich die sogenannte Kappe der Sumerischen Fürsten, die wir bei
Chammurabi (s. u.) wiederfinden, und drei davon den Turban, der also uralt
sumerischen Ursprungs ist. Die scheinbare Plumpheit und
Disproportioniertheit der Körper der Statuen aus Tello hat Heuzey m. E.
sehr zutreffend erklärt. Der Körper diente nur als Sockel für den Kopf, falls
der schwer zu bearbeitende Dioritblock für eine ganze Statue zu klein war,
und H e u z e y bemerkt sehr richtig, dass unsere Büsten mit ihrer
abgespalteten Brust den Sumerern, so sonderbar vorgekommen waren, wie
uns die ihren.

Kopf des Gudea, Federzeichnung nach dem Funde des Cap.
Cros.
Und von der entgegengesetzten Seite her, Semitische Einwanderung in
wie heute ziemlich feststeht, von Nordafrika her, Vorderasien.
drangen nomadische Semitenschwärme, in
verschiedene Volksstämme, richtiger Clane gespalten in das reiche
Zweistromland, und siedelten sich in der 13 Meridian breiten, paradiesisch
fruchtbaren Ebene an. D e l i t z s c h versetzt geradezu das Paradies in die
Gegend von Babylon, den Euphrat und Tigris nennt die Bibel selbst und die
beiden andern Ströme erklärt er für Kanäle, was nicht unmöglich, da die
Babylonier für Kanal und Fluss dasselbe Wort nâru haben. An der jetzigen

grauenhaften Verödung dieses Paradieses erklärt Delitzsch die Türken für
unschuldig, und sicher haben Beduinen und Islam vor den Türken die
Versandung der Kanäle und damit die Verödung des Landes auf dem
Gewissen. Wir hegen die begründete Hoffnung, dass die deutsche
Bagdadbahn und das deutsche Kapital in wenig mehr als einem
Menschenalter die jetzige Wüste wieder zu einem grossen Garten
umgeschaffen haben wird.
Die Unterwerfung der Sumerer gelang um Sargon und Naramsin.
so leichter, als sie keinen Grossstaat hatten,
sondern nur einzelne grosse Städte, in denen sich nach und nach die
Semiten ansiedeln. Die Städte standen unter sogenannten Fürstpriestern,
Pateissi, die sich gegenseitig unter einander befehdeten, wie wir aus den
Inschriften G u d e a s erfahren, und aus dem von C r o s vor kurzem
ausgegrabenen Bericht über die Verwüstung Tellos durch Lugalzaggissi,
den Pateissi der Nachbarstadt Gishu, bis sie unter die Oberherrschaft
Semitischer »Grosskönige« gerieten, wie Tello unter die des grossen
Semitenfürsten S a r g o n I ., Besitzer von Argade (Accad), der von
Nordbabylonien, dem Lande Accad aus, auch Südbabylonien (Sumer)
unterwarf. Sargons und seines ebenfalls bedeutenden Sohnes N a r a m s i n
Existenz war lange sagenhaft, — die Moses-Mythe wird auch von Sargon
erzählt — bis Nabonahid und die Funde der Amerikaner in N i p p u r, dem
Sitz eines uralten Tempels des Bêl, ihre historische Existenz bewiesen. Dort
ist sogar der Stempel des Sargon (vgl. Abb.) mit seinen altertümlichen
Schriftzeichen gefunden worden.
N a b o n a h i d, der letzte König von Babylon, war das, was wir heute
einen Romantiker nennen würden, seine Interessen wurzelten in der Vorzeit,
er wollte den uralten Dienst des Schamasch, der Sonne, und des Sins, des
Mondes, wiederherstellen und geriet so in Konflikt mit der mächtigen
Priesterschaft des Marduk-Bel in Babylonien, deren Unterstützung Cyrus
mehr für seinen Erfolg verdankte als der Macht seiner Waffen. Im
Grundstein des Tempels von Sippar, den Nabonid erneuern wollte, fand er
die Urkunde Naramsins, des Sohnes des Sar-u-ukin. Die Gelehrten des
Königs berechneten nach den Königslisten die Regierungszeit des
Naramsin auf 3200 Jahre früher, wodurch Sargon auf 3800 v. Chr. gerückt
wurde, und mit ihm Gudea. Trotz mancher Bedenken, welche gegen dieses
hohe Alter geltend gemacht wurden, insbesondere von H . W i n k l e r und
C . F . L e h m a n n, nahm doch noch B e z o l d 1903 diese Daten als

richtig an. Aber der Fund der neuen
Königsliste von Nippur, aus dem Ende des
3. Jahrtausend der Schrift nach, durch
H i l p r e c h t 1906 im XX. Bd. der
Berichte publiziert und interpretiert,
bewies, dass Lehmann mit seiner
Vermutung, dass die Gelehrten des
Nabonid sich um etwa 800 Jahre geirrt
hatten, im Recht war und die neue
Chronologie von L . W. King
(Chronicles conc. early Babyl. kings 2 vol
1907) setzt Sargon von Akkad auf 2500 v.
Chr. auf Grund der Arbeiten H . R a n k e s.
Über die Chronologie sei gleich hier
bemerkt, dass der Hang der Babylonier
zum genauen Datieren, insbesondere auch
die zahllosen Geschäftsurkunden, die wir
von Gudea bis Nabonid besitzen, uns über die Babylonisch-Assyrische
Chronologie.
Chronologie der Assyrer weit besser als über die
der Ägypter unterrichtet haben. In Kürze werden
uns die Ausgrabungen, besonders die der Pennsylvania Universität in
Nippur bis ins 4. Jahrtausend hinein eine völlig gesicherte Zeitfolge der
Geschichte gewähren, von Chammurabi bis Kyros, von 2000 bis 539 steht
sie schon jetzt auf sicherem Boden. Vom 15. Jahrhundert bis zum Jahr 1000
können wir uns auf die sogen. s y n c h r o n i s t i s c h e Geschichte stützen.
Nach H . W i n k l e r (die Keilinschr. u. das alte Test. 3. Aufl. 1903 p. 47)
ist es ein Dokument, in welchem A d a d - n i r a r i III. von Assyrien (812–
783) die Vereinigung Assyriens und Babyloniens als im Interesse beider
Völker hinstellt, nach B e z o l d ein Staatsvertrag beider Länder. Jedenfalls
wird darin in Kürze die Geschichte beider Länder chronologisch erzählt.
Die synchron. Geschichte ist immerhin nicht ganz einwandfrei, sie enthält
gewissermassen den persönlichen Fehler Adad-niraris. Von diesen sind für
Assyrien die E p o n y m e n k a n o n e s, für Babylonien die
K ö n i g s l i s t e n frei. Das Jahr wurde von Adad-nirari II., etwa um 900 an,
zunächst nach dem die Regierung antretenden Herrscher und dann der
Reihe gemäss, nach den höchsten Beamten benannt, wie in Athen nach den
Archonten. Beide Listen sind Chroniken zum Zweck genauer Datierung

von Rechtshandlungen. Die Vergleichbarkeit des Kanons mit unserer
Zeitrechnung wurde möglich durch Erwähnung der Sonnenfinsternis im
Monat Sivan bei Gelegenheit eines Aufstands gegen Assur-daja. Die
Astronomische Berechnung ergab den 15. Juni 763. Eine weitere Kontrolle
ergab dann der völlig zuverlässige Kanon des grossen Astronomen
Ptolemaios (vgl. Hellas), der uns hilft bis zur S e l e u c i d e n-Ära
(Berossos), deren Beginn zwischen 312 und 311 schwankt und die
Arsaciden-Ära von 248, welche neben der Seleucidenära hergeht.
Die Semiten überschwemmten ganz Westasien, längs der Küste des
Mittelmeeres zogen die Phönizier, besser Kanaanäer, zu denen die Chabiri,
die wir jetzt als Hebräer bezeichnen, gehören, die, wie es scheint, noch im
Anfange der historischen Zeit nicht sesshaft waren, und erst zur Zeit
Chinatôns ihre Stammesgenossen angriffen.
Arvat, Byblos und vor allem Sydon und Tyrus sind Städte der
Phönizier. Die zweite Sammelgruppe der Beduinenschwärme bilden die
Aramäer, mit dem Hauptzweig der Syrer, die südlich von den Kanaanäern
hielten und sich weit nach Norden und Osten vorschoben. Hier kam es nur
in Damaskus, der alt berühmten noch heute blühenden Handelsstadt zu
einer Staatenbildung. Am ausgedehntesten war die Wanderung des an Zahl
stärksten dritten Zweiges, der Babylonier und Assyrer, die sprachlich und
genealogisch nahe verwandt sind. Doch sind nach den Abbildungen die
Babylonier weit stärker mit den Sumerern blutgemischt als die Assyrer.
Die Assyrer sind sprachlich und auch dem
Geschichte der Babylonier
Rassentypus nach mit den Babyloniern so nahe und Assyrer.
verwandt, dass die Annahme ihrer Abzweigung
von diesen, etwa um 1150, nach einem siegreichen Einfall der Elamiten,
sehr wahrscheinlich ist. Sie waren ein Krieger- und Herrenvolk, das den
Priestern einen weit geringeren Einfluss einräumte als die Babylonier. Ihre
Kämpfe, wie die der Babylonier, gelten, wie leicht begreiflich ist, dem
Bestreben, sich die grossen Handelsstrassen nach Indien und nach dem
Kulturzentrum, dem Mittelmeerbecken offen zu halten. Wird ihnen, durch
das Aufkommen einer nicht semitischen Grossmacht ein Handelsweg im
Westen verlegt, so erkämpfen sie sich einen neuen im Osten. Sehr bald
gingen sie gegen Babylonien aggressiv vor, und der grausame aber tüchtige
A s s u r n a s s i r p a l bringt Babylon völlig unter seinen Einfluss. Der
eigentliche Begründer der Assyrischen Weltmacht T i g l a t P i l e s e r III.

besteigt dann 744 unter dem Namen Pulu (Phul der Bibel) den Thron
Babels und nennt sich König von Sumer und Accad. Diese Glanzzeit
Assyriens hält unter Sargon II. und seinem Sohn S a n h e r i b an, aber kurz
nachdem Sanherib Babylon zerstört hatte (689) und nach der erfolgreichen
Regierung A s s u r b a n i p a l s (Sardanapal) wird auch Ninive, die
Residenz seit Sanherib von den Medern unter Kyaxares zerstört und zwar
weit gründlicher als Babel.
Bis an die Hochebene Mediens in Nordosten, Elams oder Susa in
Südosten, im Süden bis an die Sümpfe der Mündung des Euphrat und Tigris
in den persischen Busen drangen die Semiten, auch hier zunächst kein
Grossstaat, sondern Städte, die das Stammesheiligtum bargen als Zentren
des Kultus, des Marktverkehrs und Sitz der Fürsten. Nach Agade und
Sirpurla nenne ich Kis, Ur (deren Fürsten sich seit U r e n g u r Könige der
vier Weltgegenden nannten und Nordbabylonien in Abhängigkeit brachten),
Nippur, Larsam und Babel, die mehr oder minder zentrale Bedeutung
gewannen bis Chammurabi (vielleicht der Amraphel der Bibel) Babel zur
Hauptstadt des Grossstaats Babylon machte, der nun Nordbabylonien
(Accad) und Südbabylonien (Sumer) durch Eroberung von Larsam im
Süden und Absetzung des dortigen Königs einte.
Babel war eigentlich eine Doppelstadt, an einem Ufer Babel — das Tor
Gottes, am andern Borsippa (Birs) — die Stadt des Mondgottes Sin, dessen
Kult in Sumer, insbesondere in Ur blühte, während in Nordbabylonien der
Dienst der Sonne (Schamasch und Marduk) in den Vordergrund trat.

Ḫammurabi empfängt von Schamasch seine Gesetze.
Wir kennen C h a m m u r a b i wie wenige Chammurabi.
Fürsten des Altertums, und wenige Regenten
dürften ihn in alter und neuer Zeit an Kraft und Weisheit, und wenn wir
seinen Gesichtszügen (s. Abb.) und den zahlreichen Rechtsschriften
Glauben schenken, auch an Gerechtigkeit und Milde übertroffen haben.
Was er für die Stadt Babel getan, berichtet er uns selbst sumerisch und
babylonisch: »Chammurabi, der mächtige König, der König von Babylon,
der König der vier Weltgegenden, der Begründer des Landes, der König,
dessen Taten dem Fleische des Gottes Schamasch und des Gottes Marduk
wohltun, bin ich. Die Spitze der Mauer von Sippar habe ich mit Erdreich

wie einen Berg erhöht, mit Rohrgeflecht habe ich sie umgeben. Den
Euphrat grub ich ab gen Sippar zu und liess einen Damm dafür aufwerfen.
Chammurabi, der Begründer des Landes, dessen Taten etc. wohltun, bin ich.
Sippar und Babel habe ich auf immerdar zu behaglichen Wohnstätten
gemacht. Chammurabi, der Günstling des Gottes Schamasch, der Liebling
des Gottes Marduk bin ich. Was seit uralten Tagen kein König dem Herrn
der Stadt (dem Schutzgott) gebaut hat, das habe ich für Schamasch, meinen
Herrn, grossartig ausgeführt.«

Chammurabi.
Hatte C . B e z o l d in Ninive und Babylon Codex des Ḫammurabi.
schon C h a m m u r a b i in der eben zitierten
Weise gewürdigt, so wurde die Gestalt dieses grossen Fürsten in noch weit
helleres Licht gerückt durch die Erfolge der französischen Ausgrabung
unter G . d e M o r g a n in Susa, der Hauptstadt von Elam. In drei Stücken
wurde dort im Dezember 1901 und Januar 1902 die Standsäule mit der
Gesetzsammlung Ḫammurabis gefunden, welche 1903 von V. S c h e i l
zum ersten Male ediert und in französischer Sprache erklärt wurde und
1904 von H . W i n k l e r deutsch und von R . H a r p e r englisch ebenfalls

1904, und vom juristischen Standpunkt von J . K ö h l e r und E . P e i s e r
1904. Der Codex Hammurabis steht auf einer ethischen Höhe, welche dem
mosaischen vom Sinai nichts nachgibt, und ist das erste uns erhaltene
Corpus juris. Sie genoss, Winkler zufolge, viele Jahrhunderte das höchste
Ansehen — wie die Gesetze des Moses sind sie von Gott gegeben, das Bild
der Säule zeigt, wie der König die Gesetze von Schamasch empfängt, leider
ist das Antlitz des Königs, der Kappe und Stab trägt, verstümmelt, der
Sonnengott ist mit T u r b a n und Faltenrock bekleidet — sie hat das
griechische Recht, dieses das römische und dieses das unsrige in hohem
Grade beeinflusst. Die Strafe ist natürlich wie bei den Hebräern und
Römern Vergeltung, bei Sittlichkeitsvergehen Abschreckung. Im
Zivilprozess spielt der Eid, grade wie bedauerlicherweise noch heute, eine
hervorragende Rolle. Die Sammlung weist der Frau eine rechtliche Stellung
an, welche sie noch heute in der Türkei nicht errungen hat, sie schränkt die
väterliche Gewalt, ich nenne nur § 168, die Ausweisung des Sohnes
betreffend, erheblich ein, und das Erbrecht ist in sehr zu billigender Weise
geregelt, denn auch hier ist die Frau und die Tochter geschützt. Das
Handelsrecht hat er wohl kaum modifizieren können, denn das war ja
zugleich international, aber das sogenannte Sumerische Familienrecht zeigt,
dass dieser Schutz der weiblichen Familienglieder so recht dem eigenen
Sinn des grossen Königs entsprungen ist. Und so können wir den Worten,
mit denen er auf der Säule sich seiner Taten nach orientalischer Sitte rühmt
— Einleitung und Schluss — wohl Glauben schenken. Die Stele kam nach
Susa als Trophäe zugleich mit anderen wichtigen steinernen Urkunden im
12/11 Jahr v. Chr., als die Elamiten unter Sutruk-Nahunte Sippar und
Babylonien erobert hatten. Es sei hier auch erwähnt, dass von dem Kampfe
Abrahams zur Befreiung Lots auch eine Urkunde Chammurabis berichten
soll. Die Stele mit der Gesetzsammlung zeigt am Anfang das Relief,
welches die Übergabe des Codex an den König durch Schamasch schildert,
das Relief ist verstümmelt; (Abbild. S. 69) die Legende ist um so deutlicher.
Die Geschichte Babyloniens und Assyriens Babylonisch-Assyrische
kann ich hier nicht erzählen, sie ist z. T. in der Kultur.
Bibel und bei Herodot und später bei Arrian,
Diodor, und vor allem bei Berossos etc. wenigstens von 2000 ab erzählt; sie
ist jetzt bis 4000 v. Chr. so ziemlich aufgehellt; sie wurde in grossen Zügen
durch die verschiedenen Schichten der einwandernden nomadischen
Semitenschwärme und durch die geographische Lage im einzelnen bedingt.

Nach Westen und Südosten Kämpfe mit den Aramäern und weiter nördlich
mit den Kanaanäern, Phöniziern und Hebräern, die an dem nahen Ägypten
Rückendeckung hatten. Im nördlichen Syrien auch Kämpfe mit dem uralten
vermutlich von Kappadocien her eingedrungenen vielleicht
indogermanischen Stamm der Cheti oder Hetiter, die sich später mit den
Hebräern vermischt haben und mit den Mitani, die noch ziemlich rätselhaft
sind. Im Norden, Osten oder Südosten ist es die indogermanische
Wanderung, die unausgesetzt das babylonisch-assyrische Reich bedroht; im
Norden zusammengefasst als Skythen, im Osten die Meder, in Südosten die
Elamiter mit der Hauptstadt Susa. Im Süden wieder hemmten die Chaldäer,
die im sogenannten neubabylonischen Reiche nach jahrhundertelangen
Kämpfen schliesslich die Herrschaft an sich rissen. Und hinter den Medern
und Elamitern wieder Indogermanen, deren bedeutsamster Stamm, die
Perser, das ganze babylonische Reich zerstörten.
Die Erschliessung d e r Grotefend und die
babylonisch-assyrischen K u l t u r Entzifferung der Keilschrift.
verdanken wir in erster Linie dem Lehrer am
Gymnasium zu Göttingen: G e o r g F r i e d r i c h G r o t e f e n d. Aus den
Ruinen von Persepolis, der von Alexander dem Grossen in der Trunkenheit
in Brand gesteckten Hauptstadt Persiens, waren im Laufe der Zeit einige
Inschriften in eigentümlichen keilförmigen Zeichen bekannt geworden, und
C a r s t e n N i e b u h r, der Vater des berühmten Historikers hatte 1770
äusserst sorgfältige und ausführliche Kopien mitgebracht, welche die
allgemeine Aufmerksamkeit auf die Keilschrift lenkten; er hatte auch schon
bemerkt, dass die Inschriften drei verschiedenen Schriftsystemen
angehörten und von links nach rechts zu lesen waren. Zufällig wurde
Grotefend auf einem Spaziergang im Juli 1802 veranlasst, sich mit der
Entzifferung zu beschäftigen und schon am 4. September 1802 legte er die
Resultate seiner Forschung der Göttinger gelehrten Gesellschaft vor. Er
ging davon aus, dass die in drei verschiedenen Keilschriften und also auch
wohl in drei verschiedenen Sprachen verfassten Inschriften von den
Erbauern der Paläste, den persischen Achämeniden Darius, Xerxes,
Artaxerxes etc. herrührten; dass also vermutlich die erste der drei Sprachen
die persische, dass die Texte wahrscheinlich auch die Namen der Könige
enthielten, dass endlich die Schrift des ersten Systems wegen der geringen
Anzahl der Zeichen eine Buchstabenschrift sein musste; danach verglich
Grotefend die ihm aus der Bibel und den Klassikern und aus der

Zendsprache in den heiligen Büchern Zarathustras bekannten Namen dieser
Könige auf ihre Länge und die Wiederkehr gewisser Zeichen und kam zu
folgendem Schluss: Eine häufig wiederkehrende Gruppe von Zeichen
musste König oder verdoppelt König der Könige bedeuten, und in den
dieser Gruppe vorangehenden Zeichen war der Name des Königs enthalten;
so fand er Darius oder vielmehr die altpersische Form Dārheūsch, und ein
zweiter Name liess sich als Xerxes-Khschêrsche, ein dritter als Hystaspes-
Gôschtaspähe deuten und ebenso bekam er das Wort Sohn heraus. Die
Göttinger gelehrte Gesellschaft verfuhr mit der Abhandlung Gr. ähnlich wie
die dänische mit der Kaspar Wessels über die geometrische Darstellung der
Complexen Zahlen und die Pariser Akademie mit A b e l s grösster Arbeit:
sie lehnte es ab, die Abhandlung zu veröffentlichen. »Erst neunzig Jahre
später (1893) ist seine Originalabhandlung von Prof. Wilhelm Meyer in
Göttingen wieder aufgefunden und in den »Gelehrten Nachrichten« der
Akademie veröffentlicht worden.« (H . V. H i l p r e c h t, die
Ausgrabungen in Assyrien und Babylonien 1904).
Aber die Entdeckungen Grotefends wurden vor dem Schicksal der
Wessel'schen und Abel'schen bewahrt, dadurch dass sie Aufnahme fanden
in das s. Z. epochemachende Werk von A . H e e r e n, Ideen über Politik,
den Verkehr und den Handel der alten Welt 4. Aufl. I, 2 S. 345. So war die
Grundlage geschaffen, auf der dann die anderen, ich nenne B e n f e y,
H i n k s, O p p e r t, S p i e g e l weitergebaut haben, so dass jetzt die bisher
bekannten derartigen Texte, mit voller Sicherheit gelesen werden.
In der zweiten Schrift entdeckten N o r r i s und O p p e r t eine aus
Silbenzeichen und einigen Wortzeichen konstruierte Schrift, in der, wie
heute feststeht, die susische oder elamitische Sprache ausgedrückt wurde;
sie enthält gegen 100 Zeichen.
Weit grössere Schwierigkeit bot das dritte System, das über 300
verschiedene Keilschriftzeichen enthielt. Die Entzifferung war schwer
möglich und sie gelang Grotefend nicht. Da entdeckte J a m e s R i c h, ein
geborener Franzose, aber Resident der ostindischen Kompagnie in Bagdad
im Jahre 1820–21 gegenüber der blühenden Handelsstadt Mossul
(Musselin) auf dem linken Tigrisufer die Ruinen von Ninive und fand
zahlreiche Inschriften des dritten Systems. Bemerkenswert ist es, dass
schon im 12. Jahrhundert der spanische Rabbi B e n j a m i n v o n
T u d e l a den Ort von Ninive bestimmt bezeichnete.

Fast gleichzeitig wurde die sogenannte grosse Dariusinschrift, eine
sehr lange dreisprachige Inschrift am Felsen von Behistun, einer 100 Meter
steilen Felswand, an der Grenze des alten Mediens gefunden und 1835 von
H e n r y R a w l i n s o n vermittelst hoher Leitern auf ungeheueren
Papierabklatschen aufgenommen unter grosser Lebensgefahr —, man nennt
die Dariusschrift den Babylonischen Stein von Rosette —. Von nun ab
wuchs die Menge der ausgegrabenen Inschriften rapide, besonders durch
die Arbeiten von Sir H e n r y L a y a r d und R a s s a m, im Auftrage des
British Museum, in Nimrud, 25 Kilometer von Mossul, die alte Residenz
K e l a c h.
Im Jahre 1881 entdeckte H o r m u z Die wichtigsten
R a s s a m die Ruinen von Sippar. R. hatte schon Ausgrabungen.
1878 in Balawat, die für die assyrische Kunst-
und Kulturgeschichte gleich wichtigen Bronzetüren Salmanassars II.
gefunden. Von grösster Bedeutung sind die Ausgrabungen der Franzosen in
Tello gewesen, schon dadurch dass die wunderbaren Funde E . d e
S a r z e c s Franzosen, Engländer, Amerikaner, Deutsche, ja selbst die hohe
Pforte zu weiteren Arbeiten anspornte. Vor de Sarzec hatten schon im
Auftrage der französischen Regierung B o t t a u n d P l a c e in Korsabad
den Palast Sargons II. gefunden und mit Glück gearbeitet, und den Grund
zu der grossen Sammlung im Louvre gelegt.
D e S a r z e c s »Découvertes en Chaldée« von L é o n H e u z e y
1868 auf Kosten der Regierung herausgegeben, wie schon die Prachtwerke,
welche über Bottas und Places Arbeiten berichteten: Monument de Ninive
découvert et décrit par E . B o t t a, mesuré et dessiné, par E . F l a n d i n,
Paris 1846–50 und V. P l a c e, Ninive et l'Assyrie 1866–69, haben der
modernen Assyriologie den stärksten Impuls gegeben. Die Franzosen setzen
die Ausgrabungen von Tello bis heute fort, daneben hat die Expedition nach
Elam (Susa) unter D e M o r g a n, deren Resultate der hochverdiente
V. S c h e i l mitgeteilt hat, u. a. den Kodex des Chammurabi aufgefunden.
Die Engländer ihrerseits haben fleissig unter Budge und King in
Kujundschik, das Layard seinerzeit den Franzosen weggenommen,
gearbeitet. Die D e u t s c h e O r i e n t g e s e l l s c h a f t arbeitet seit 1899
unter R . K o l d w e y und L . B o r c h a r d t mit grossem Erfolg in
Babylon und besonders in Assur. Aber mit den Riesensummen, welche der
Staat Pennsylvanien und seine Universität Philadelphia auf die
Ausgrabungen in Nippur verwandt hat, ist keine Konkurrenz möglich. Von

den Leitern J . P. P e t e r s, H . V. H i l p r e c h t, J . H . H a y n e s ist
besonders der Deutsche Hilprecht der eigentliche Assyriologe, unter dessen
Leitung die Excavations in Assyria and Babylonia die Resultate der seit
1879 bis jetzt fortgesetzten Ausgrabungen der Mit- und Nachwelt
zugänglich machen.
Es gelang vier grossen Forschern Die Keilschrift.
R a w l i n s o n, O p p e r t, D e S a u l c y und
dem scharfsinnigen Irländer H i n k s die dritte Schrift und die Sprache zu
entziffern. Die Schrift war eine Verbindung von Wort und Silbenzeichen,
die Sprache eine der arabischen und hebräischen nahe verwandte, es war
die babylonisch-assyrische Sprache. Die Schrift war ursprünglich eine
ziemlich rohe Bilderschrift, zeigt aber schon in ihren ältesten Formen das
Bestreben, Bogen durch Striche zu ersetzen, aus denen sich dann die
Keilschrift entwickelte. So sind z. B. die ältesten Formen für »Stern«,
»Sonne«, »Rohrpflanze«:
für , später
und weiterhin vereinfacht:

und analog haben sich aus den Bildern für Fuss und Weib die
betreffenden Keilschriftzeichen entwickelt.
Diese Keilschriftzeichen lassen sich im wesentlichen auf drei
Grundelemente: den horizontalen Keil , den vertikalen Keil und den
schrägen Keil zurückführen, selten sind die umgekehrten Keile, der
Winkelhaken ist wohl aus Vereinigung zweier Keile hervorgegangen.
Die Keile konnten durch Wiederholung, Neben- und Übereinanderstellung
und Kreuzung zu den mannigfachsten, oft äusserst komplizierten Gruppen
vereinigt, sowohl Worte als Silben im Assyrischen bezeichnen. Dabei zeigte
sich aber eine anfangs äusserst rätselhafte Erscheinung, die sogenannte
Polyphonie. Dasselbe Zeichen bedeutet sehr oft ein oder mehrere Worte und
daneben noch ein oder mehrere Silben. So bedeutet das Zeichen
nicht nur »Stern«, assyrisch Kakkabu, sondern auch Himmel schami und
Gott ilu und hatte die Silbenwerte an und il. Das Zeichen hatte nicht

nur die Wortbedeutungen »Land« (matu) »Berg« (schadu), erreichen,
erobern Kaschādu; aufgehen (von der Sonne, napāchu), sondern konnte
auch ausserdem als Silbenzeichen in seinen verschiedenen
Zusammenstellungen mit andern Zeichen noch kur, mad, mat, schad, schat,
lat, nad, nat, kin oder gin gelesen werden.
Das Rätsel löste sich mit einem Schlage als R a w l i n s o n aus einer
Anzahl sehr alter Keilschrifttexte eine neue Sprache in genau derselben
Schrift entdeckte, die Sprache der Sumerer.
Die Beduinenhorden der Babylonier hatten sich mit dem Lande
zugleich der S c h r i f t der Sumerer bemächtigt, der Himmel hiess
sumerisch an, hoch und wurde im Babylonischen Zeichen für den Begriff
Himmel und für die Lautsilbe an, Wortzeichen und Determinativ für Gott
und ebenso wurde Land; Berg, sumerisch kur als Wortzeichen und
Determinativ für Land und Berg und Silbenzeichen gebraucht.
Diese Erklärung wurde später durch die Auffindung einer grossen
Menge zweisprachiger Texte, babylonisch und sumerisch, in derselben
Schrift bestätigt. (E . B e z o l d: Ninive und Babylon, Monographien zur
Weltgeschichte XVIII 1903.)
Über die Entwicklung der Schrift oder den Entwicklung der Keilschrift
Ursprung der Keilinschriften hat F r . nach Delitzsch.
D e l i t z s c h, dem wir Wörterbuch und
Grammatik des Assyrischen verdanken, 1897 ein Werk veröffentlicht, das,
mögen auch Einzelheiten verbesserungsfähig sein, die Prinzipien völlig
einleuchtend festlegt, nach denen die Sumerischen Priesterfürsten die
Schrift als Verbindung von Wortzeichen — Idiogrammen — und
Silbenzeichen geschaffen haben. Und wenn die S c h r i f t planmässig
mittelst weniger aber wirksamer Grundgedanken aus der Bilderschrift
entstanden ist, so wird damit auch meine Ansicht, dass das Z a h l s y s t e m
eine planmässige und mit Überlegung ausgeführte Schöpfung derselben
Gelehrten ist, im höchsten Grade wahrscheinlich. Gestützt auf die Formen
der Schrift aus Telloh und die noch älteren aus Nippur, die Geierstele, die
Vase Entemenàs, die Vase Lugat-šug-engur, welche sicher bis gegen 4000
(3700) heraufreicht, und, anknüpfend an des grossen 1905 verstorbenen
Jules Oppert Expédition en Mésopotamie 1859 Kap. I, schied D. zunächst
37 Urzeichen aus, welche sich aus 21 Urbildern und 16 Urmotiven

zusammensetzen. Ich gebe hier die wichtigsten an: Stern etc., Sonne,
aufgehend, Tag, Licht, hell sein, untergehende Sonne, schwach werden,
niedergehen. Zunehmender Mond (Horn), zunehmen, voll werden,
schwinden, zurückkehren (abnehmender Mond), penis = Mann,
männlich, Mann, Diener, (volva) = Weib, Auge aus ; Hand,
(Fuss) gehen, stehen. Herz, Ochse, Werkzeug zum Öffnen,
daher öffnen, auflösen, Tod, Netz, Geflecht, Gefüge, Umschliessung,
Raum, Kreis (aus ), das Richtungsmotiv, dessen Ecken die 4
Kardinalpunkte und dessen Axe die Nord-Südlinie verbildlicht; oder
Spitze, daher Gebirge, Kopf, Bogen, Kurve etc.
Aus diesen Grundelementen werden dann durch Zusammensetzung
gleicher oder verschiedener Zeichen beliebig viele neue Wortzeichen
abgeleitet, welche sich häufig als Definitionen der dargestellten Begriffe
erweisen und auf die Psyche und die Kultur des Volkes der Sumerer ein so
helles Schlaglicht werfen, dass D. daraufhin den Versuch wagen konnte,
ihren Kulturzustand zur Zeit der Schrifterfindung zu rekonstruieren.
Die Verdoppelung, im Altbabylonischen auch als Kreuzung sichtbar
gemacht, dient zunächst als Pluralzeichen und Iterativum wie das
hebräische Piël, dann aber auch zu Neubildungen. Aus geben wird
durch hinzugeben, addieren tab, dap; aus gross (nun-rabû) wird
Herr d. i. Grösster (Grossmann der Hottentotten), mit doppelten
Zeichen des Umschliessens wird die Summe bezeichnet: entwickelt zu
. Für die Zusammensetzung ungleicher Zeichen greife ich aus den
Beispielen von D. die folgenden heraus: berufen, erwählen = Auge +
werfen, König = gross + Mensch, Hirt, bei Gudea = Stab + Träger.
Fügte man in das Zeichen für Mund das Zeichen für Brot ein, so erhielt
man: essen, und das eingefügte (Wasser) ergab trinken und tränken. Die
»Schlacht« wird dargestellt als »Handwerk des Kriegers«, der Regen als
gleich Wasser des Himmels, die Tränen als Wasser des Auges
; Vater als Schützer des Hauses zu erklären unter Hinweis auf das
entsprechende lateinische pater familias scheint allerdings zweifach
fehlerhaft, insofern das Zeichen im Haus den Feind bedeutet und das
sanscrit paṭar schützen mit piter Vater gar nichts zu tun hat. Die Verkürzung
des a zu i in Jupiter und der Komposition (z. B. suscipio) ist eine ganz spez.

lateinische Eigentümlichkeit. Eins der schlagendsten Beispiele ist Mond
oder Monat, das durch Tag und 30 bezeichnet wird; und also
.
Ein ebenso einfaches wie weittragendes Die Gunierung.
Mittel der Weiterbildung ist die von den
Babylonisch-Assyrischen Grammatikern gunû, d. i. Beschwerung, genannte
Steigerung. Sie besteht in der Hinzufügung von 4 Strichen oder Keilen,
d. h. also Paare von Paaren, die aus Rücksicht auf den Raum mitunter auf
drei reduziert werden. So wird aus Wohnung, Wohnraum durch
Gunierung Palast, Residenz, Grossstadt, und damit das Determinativ für
die Sitze der Pateissi. Aus dem Bilde des Unterschenkels mit Fuss, das
zugleich gehen, stehen, stellen etc. bedeutet, wird durch Gunierung
»Fundament«. Zu den von den Babylonischen Grammatikern, insbesondere
von dem so äusserst wichtigen Syllabar b der Bibliothek Sardanapals (s. u.)
gegebenen hat D. eine ganze Reihe neuer Gunû Idiogramme abgeleitet, von
denen ich erwähne das Schwert als grosser Dolch; der Vollmond ist der
gunierte Mond, d. h. der grosse, volle, Mond, die Monatsmitte, die vom
Neulicht (s. u.) gezählt wurde und dann Mitte schlechtweg, archaisch ,
und das Neulicht selbst wird als der g r o s s e Eingang des Tages oder als
Anfang einer Tagesreihe guniert geschrieben. Es ist D. gelungen, für einen
sehr grossen Teil der Idiogramme meist recht einleuchtende Ableitungen zu
geben, auf Grund derer er es eben wagen konnte ein Bild des
Kulturzustandes der Sumerer nach Erfindung der Schrift zu geben. Und
selbst Erklärung wie die des Zeichen für Mensch als des auf das
Antlitz geworfenen Knechts oder »H u n d e s« der Götter sind in
Anbetracht, dass es Priester waren, welche die Schrift erfanden, nicht
unglaubwürdig, und recht einleuchtend ist die Erklärung für Ehemann oder
Frau als Verbindung von und durch das Vereinigungszeichen
p. 161 (vgl. Abb.).

Die Schwierigkeiten, welche die Die Determinative und das
Vieldeutigkeit der Wort- und Silbenzeichen phonetische Komplement.
boten, wurden durch zwei Mittel wesentlich
vermindert, erstens durch die Determinative, welche wie im Ägyptischen
nicht mitgelesen wurden, und zweitens durch das sogenannte Phonetische
Komplement (Delitzsch Grammatik 1907, § 33 a). Die gebräuchlichsten
Determinative sind ilu Gott sum. an, das nur vor An(u) fehlt, dem
Himmelsgott, der ja selbst mit an bezeichnet ist, vor Ländern und
Gebirgen, Fluss Kanal (Euphrat), Baum , Gerät altertümlich
Holz . Mitunter wurden die Determinative wie bei den Ägyptern
nachgesetzt, so hinter Städten Ki und hinter Fischen ḫa.
Das phonetische Komplement besteht in der Hinzufügung einer oder
auch zwei Silben »um durch Bestimmung der Schlusssilbe (n) die richtige
Lesung zu sichern. Das sumerische Silbenzeichen für kur bedeutet als
Wortzeichen Berg šadu, Land mâtu, erobern kaṣadu etc. Folgt auf kur, u, a,
i, plur-e. — Pluralzeichen nachgesetztes , vielleicht gunierte eins
— so sichert dies šadu — a — i, etc., während Kur-ti, Kur plur-ti auf mâti,
mâtati (Länder) und Kur-ud auf aksud (ich eroberte) hinführt.«
In unerwarteter Weise haben wir über die Babylonisch-Assyrische
Kultur, der diese Sprache diente, Aufschluss

erhalten durch die Ausgrabungen einer ganzen Ausgrabungen.
Anzahl von Tempelbibliotheken. Im Jahre 1854
entdeckten R a s s a m und L a y a r d im Trümmerhügel von Kujundschik,
einem Dorf gegenüber Mossul, die Bibliothek Assurbanipals, das ist
Sardanapal, in dem Nordpalast dieses vielleicht grössten assyrischen
Fürsten zu Ninive, dessen Regierung von 668–626 fällt. Über 22000
sorgfältig gebrannte Tontäfelchen oder Stücke solcher Tafeln sind allein im
British Museum geborgen. Es sind Tafeln, deren Fläche von 37 × 22 und
2,4 × 2 variiert bei einer mittleren Dicke von 2,4. Vorder- und Rückfläche,
ja vielfach auch die Seitenwände sind mit sorgfältiger Schrift beschrieben;
die Tafeln enthalten Löcher zur Aufnahme kleiner Holzpflöcke, mit denen
die Tafeln zu Büchern aufgereiht wurden. Die Zusammensetzung ist
vielfach dadurch ermöglicht, dass, ähnlich wie bei unsern Akten, das letzte,
für sich stehende, Wort einer Tafel das Anfangswort der folgenden ist. Eine
Anzahl Tafeln ist durch ein mit Adresse versehenes Kuvert, natürlich aus
Ton, geschützt; wir haben hier den Ursprung unserer Briefkuverts. Es ist die
älteste eigentliche Bibliothek, d. h. absichtliche Sammlung zur Bewahrung
der Literatur und zu wissenschaftlichen Zwecken. Sehr vielfach sind
sorgfältige Abdrücke älterer Schriften erhalten.
1874 fanden Araber in Babylon mehr als Die Ausgrabungen von
3000 beschriebene Tontafeln geschäftlichen Nippur.
Inhalts, 1881 entdeckte R a s s a m die Ruinen
von Sepharwaim und fand bei Ausgrabungen des Sonnentempels das
Archiv, das aus Tonzylindern und über 50000 allerdings sehr schlecht
gebrannten Tontafeln bestand. Und die Ausgrabungen der Pennsylvania
Universität Philadelphia von 1889 an haben bereits zwei grosse
Bibliotheken in Nippur zutage gefördert, wo das älteste grosse Landes-
Heiligtum des Bel matâti, des Herrn der Länder, e k u r, das Haus des
Berges, stand. Die bedeutendere über 3 Jahrtausende v. Chr. alte, ist durch
den schon erwähnten Einfall der Elamiten gewaltsam zerstört, während die
jüngere auf schlecht gebrannten Tafeln, neubabylonisch, allmählich in
Verfall geraten ist. Über 23000 Tafeln sind geborgen und dabei sind erst 80
Zimmer oder etwa 1/12 der Bibliothek ausgegraben worden. Aus einer Reihe
von Anzeichen im Boden schliesst H i l p r e c h t, der Leiter der
Ausgrabungen, dass in der untersten Schicht der Hügel noch eine ältere vor
Sargon, d. h. vor 3000 entstandene Bibliothek verborgen liegt. Hilprecht
bezeichnet die Bibliothek geradezu als Universität, die sogar nach

Fakultäten gegliedert war; eine Anzahl Säle enthielt die philologische
Abteilung, eine andere die astrologisch-astronomische, wieder eine andere
die technische etc. Im untersten Grund des Tempelturmes fand Hilprecht
vorzüglich erhalten aus dem 5. oder 4. Jahrtausend v. Chr. eine
Kanalisations-Einrichtung, die die unseren beschämt. In mächtigen
T o n n e n g e w ö l b e n, die noch den Römern unbekannt waren,
eingebettet in eine Art Zement, zwei Tonrohrleitungen mit Knie- und T-
Stücken, so dass jede Reparatur ohne Belästigung des Publikums
vorgenommen werden konnte.

Turm zu Borsippa.
Eine solche Tempelanlage bestand aus dem Tempelanlage,
in Terrassen gelegentlich auch mit Rampen in 7 Priesterausbildung.
Etagen aufgeführten hohen Turme; ich erinnere
an den Turm zu Borsippa (vgl. Abbildung), zu Babel, den Esagila, auf
dessen Höhe der Gott wohnt, in dessen Mitte die Menschen verkehrten und
der unten mit der Unterwelt zusammenhing. Daran schloss sich der Palast
der Priesterfürsten und die besonderen Gebäude der Unterrichtsanstalten,
das Archiv, die Verwaltungsgebäude. Ein solcher Tempel war nicht nur
Kultstätte, nationales Heiligtum, Sitz der Fürsten, sondern Landgut und
Fabrik, Bank, Archiv und Handelshaus. Die Tempel waren stets nach den 4
Himmelsgegenden genau ausgerichtet, daher bedeutet das Richtungszeichen
(s. o.) auch Tempelfundament und das g u n i e r t e Zeichen die Erde

selbst als das grosse Fundament, da nach der Babylonischen
Weltschöpfungssage die Erde nach den 4 Kardinalpunkten ausgerichtet ist.

Tonnengewölbe der Kanalisation von Nippur.
Wie sorgfältig der Unterricht war, und wie mühsam die Vorbereitung
eines jungen Priesters, davon können wir, die über Überbürdung klagen bei
unserm bisschen Unterricht, uns kaum eine Vorstellung machen. Schrift und
Sprache allein würden kaum von uns heutigen bewältigt; hunderte von
Schriftzeichen, die zusammen in mehr denn 12000 verschiedenen
Anwendungen gebraucht wurden, die alle den Adepten geläufig sein
mussten; das Schreiben selbst schon so viel umständlicher. — Zu den
wichtigsten Entdeckungen gehören auch die bei Ägypten besprochenen
Funde von Tell Amarna 1888.

Hochrelief Urnina, König von Telloh und seine Familie.
Die Kunst zeigt ganz analoge Babylonisch-Assyrische
Entwicklung wie die ägyptische. Von Kunst.
naturalistischen Anfängen wo die Kalamones,
das Rohrgeflecht der Euphrat- und Tigrismündung als Vorbild dienten, eine
rasche Entwicklung; dann ein Sinken, und wieder ein Emporblühen. Die
erste Blütezeit entwickelt sich etwa in 200 Jahren; altsumerisch bezeichnet
den Anfang etwa das Hochrelief U r n i n a, König von Telloh etwas vor
3000, und seiner Familie; der verhältnismässig riesengrosse König, links,
trägt auf dem Kopf in einem Korbe Erde zum Bau seines Tempels herbei
(vgl. Abb.). Die genauere Erklärung bei E. Meyer l. c. p. 77 ff. Die nächste
Stufe wird verdeutlicht durch die berühmte G e i e r s t e l e (vgl. Abb.),
welche den Sieg eines Vorgängers von Gudea, des Eannatum über die
feindlichen Nachbarn von Gishu darstellt, vgl. Meyer p. 82. ff. Es wird die
Hilfe des Lokalgottes von Telloh, des Ningirsu, verherrlicht, das Relief

zeigt grosse Fortschritte, sowohl in der Komposition als in der Technik des
Hochrelief. Unter semitischem Einfluss erhebt sich die Kunst zu der Höhe,
welche sie unter Sargon und Naramsin erreicht, wofür die herrliche
Siegesstele des Naramsin, von den Franzosen unter de Morgan in Susa
gefunden, der vollgültige Beweis ist, vgl. Meyer p. 10 ff. Diese Blüte
semitischer Kunst beeinflusst auch die sumerische, wofür die Fundstücke
aus der Periode Gudeas zeugen. Im Gegensatz zu dem Mangel an
Proportionen bei den Sumerern sind die Gestalten schlank und proportional,
und die Technik des Relief steht auf grösster künstlerischer Höhe.

Rückseite der Geierstele.

Vorderseite der Geierstele.

Relief von den Bronzetüren aus Balawat.
Diese Blüte hält an bis auf C h a m m u r a b i und seine nächsten
Nachfolger, die Könige von Sumer und Accad. Aber mit dem Sinken der
Macht dieses altbabylonischen Reiches sinkt auch die Kunst, um dann unter
der Assyrischen Macht neu emporzublühen, etwa von Nebukadnezar I., von
1150 an, sie erreicht unter Sargon II. und Sanherib ihre Höhe, und hält sich
auf dieser bis Sardanapal bis etwa 600. Ich führe als Beispiel hier die
Bronzetüren Salmanassar II. aus Balawat (vgl. Abb.), ferner den
Urkundenstein K u d u r r u, aus dem Berliner Museum, der die Belehnung
des Magnaten Bel-ache-irbâ seitens des Königs Mardukbaliddin II. 715
darstellt (vgl. Abbildung). Meyer findet in diesem Stein den semitischen
Typus am reinsten ausgeprägt. Dazu die Dämonen (vgl. Abbildung), Engel-
und Tierkolosse, die wunderbaren Mosaiken der Fussböden in den Palästen
von Khorsabad (vgl. Abb.), und vor allem die herrlichen Tiergestalten in
bunter Mosaik aus der Zeit Nebukadnezar II., Sargons etc.

Mosaik aus dem Palaste Sargon II.
Wie es mit der Wissenschaft steht, bleibt Babylonisch-Assyrische
noch zu untersuchen. Von der Rechtswissenschaft Wissenschaft.
wissen wir, dass sie sich bedeutend entwickelt
hatte, insbesondere das Handelsrecht stand auf einer Höhe, die dem
römischen nichts nachgibt. Wir kennen die Siegel und Namen grosser
Handelsfirmen wie Egibi und Söhne am Euphrat zur Zeit Nebukadnezars
und die Firma Maraschi Söhne zu Nippur zur Zeit Ezras und Nehemias. Wir
wissen, dass sie Filialen in allen Grossstädten hatten, und dass der
Schekverkehr, unsere neueste Errungenschaft, bei den babylonischen
Grossfirmen gang und gäbe war.

Belehnung des Belacheirba durch König
Mardukbaliddin II.
Aus den Beiträgen zur Kenntnis der Medizin, Mathematik.
assyrisch-babylonischen Medizin von
F . K ü c h l e r (Assyrische Bibliothek von Delitzsch und Haupt XVIII
1904) sehen wir, dass die Priesterärzte, abgesehen von den üblichen
Beschwörungen, Omina etc. über eine sehr ausgedehnte Pharmazie geboten.
Es ist bekannt, dass die griechische Heilkunst stark von der babylonischen
beeinflusst ist, und auf Hippokrates geht unsere Medizin zurück. Unser
altes Apothekergewicht Gran, Skrupel geht auf Babylon zurück (vgl.
Küchler S. 84 ši'u). Geht doch auch Stab und Ring unserer Bischöfe auf
altbabylonische Götterdarstellungen zurück (Winkler, die Gesetze
Hammurabis 1904 p. VI).
Eine neue Ausgabe des Theophrast ist in Vorbereitung und hoffentlich
wird man auf dem Umweg über die Griechische einigen Aufschluss über
die Babylonische Pharmakologie erhalten.

Wenden wir uns nun zur Mathematik der Babylonier, so müssen wir
sagen, dass von reiner Mathematik bis jetzt verhältnismässig wenig
entziffert ist. Das wichtigste sind die sogenannten T a f e l n v o n
S e n k e r e h (Larsa) aus dem 3. Jahrhundert v. Chr., de facto eine in zwei
Stücke zerbrochene Tafel; die astronomischen Bücher aus der königlich
Sardanapalschen Bibliothek und die 1 × 1 Tabellen von Nippur. Hilprecht
sagt: »in geradezu staunenswerter Weise wurde das 1 × 1 geübt.«

Dämon mit Flügeln.
M. H. In unserer Kulturgeschichte wird es als hohes wissenschaftliches
Verdienst des Petrus de Dacia, Rektors der Sorbonne vom Jahre 1328
gerühmt, das 1 × 1 bis zu 50 × 50 fortgesetzt zu haben, und H i l p r e c h t
versichert, dass er in der im 3. Jahrtausend zerstörten Bibliothek Tafeln des
1 × 1 bis 1350 in der Hand gehabt hat. Das kleine 1 × 1 ging bis zur 60 (s.
p. 113 ff.).

Bruchstücke der Geierstele, Vorderseite.
Uns sind zwei Zahlsysteme bekannt; das Münz-, Mass- und
eine ist rein dekadisch, das andere, ältere, ist Gewichtssystem.
sexagesimal und hängt auf das genaueste mit
dem babylonischen Gewichts-, Münz- und Masssystem zusammen, dessen
Einteilung uns in der Tafel von Senkereh und in zahlreichen griechischen,
römischen und jüdischen Quellen enthalten ist. Es ist ja die Bibel erst nach
der babylonischen Gefangenschaft redigiert und zeigt in allen Namen der
Masse und Gewichte babylonischen Einfluss. Seit der grosse Philologe
A u g u s t B o e c k h das Münz- und Gewichtssystem der Römer
erschlossen und in der vergleichenden Betrachtung der Masse ein wichtiges
Mittel erkannt hat um den Handels- und sonstigen Verkehr der Völker zu
erkennen, haben eine Reihe von Forschern, ich nenne B r a n d i s, G i n z e l,
L e h m a n n und vor allen B o e c k h selbst dargetan, dass die Wiege der
Messkunst in Babylon steht, und die Masse der Babylonier in
ausgedehntester Weise bis zum Metersystem Gültigkeit hatten, ja, zum Teil
heute noch gelten. (cf. C . F . L e h m a n n, das altbabylonische Mass- und

Gewichtssystem als Grundlagen des antiken Gewichts-, Münz- und
Masssystem. 8. intern. Orient. Kongress, Bastiansche Zeitschrift für
Ethnologie 1889. Verh. der Berl. anthrop. Gesellschaft 1889. Als selbst.
Schrift Leiden 1893.)

Gewicht in Löwenform.
Die Babylonier hatten vor 5000 Jahren ein geschlossenes Masssystem,
das in seiner Anlage unserm metrischen System sehr ähnlich war. Wie bei
uns das Zehntel des Meters die Kante des Würfels bildet, der ein L i t e r
fasst und der mit destilliertem Wasser von 4° C. gefüllt bei der Wägung das
K i l o g r a m m gibt, so ist das Zehntel der babylonischen Doppelelle die
Basis des Hohlmasses, dessen Wassergewicht die Mine gibt. Es sind uns
künstlerisch geformte Gewichte in Eisen- und Bronzearbeit mit Entenform
und Eberköpfen und besonders in Löwenform und ausserdem einige
justierte Gewichte erhalten.
a) Früher Eigentum des Dr. Blau: Ein sehr harter dunkelgrüner Stein
sehr sorgfältig geglättet, oval, der in altbabylonischer Keilschrift und in
sumerischer Sprache (die ja auch idiographisch als babylonisch-assyrisch
gelesen werden kann) die Inschrift hat:
1
2
ma na gina — gal (mulu) dingir igi ma na
Mensch Gott Auge Mine
d. h. 12 Mine richtig, der Diener des Gottes, der das Auge auf der Mine hat.
Die Masse unterstanden göttlichem Schutz; Metrologie.
in Athen waren die Normalmasse auf der
Akropolis; in Rom auf dem Kapitol und im Tempel der Juno moneta
verwahrt (Generalaichamt).

b) In der Vorderasiatischen Abteilung des Berliner Museums aus
demselben Material 16 Mine, Inschrift unentzifferbar.
c) Das Gewicht der amerikanischen Wolfe Expedition 1885 (Americ.
Orient. Soc. Proceedings at New York 1885), das die bei den sogenannten
Zylindern mit Bau- und Weihinschriften übliche Fässchenform hat, aus
gleichem Material, es wiegt fast genau doppelt soviel wie b, ist also 13 Mine
und das bestätigt die Inschrift:

1) 13 Ṭu gina, 2) e—kalm Nabû — sum — esir (?), 3) ablim Da—lat (?),
4) .... pāte—is—si ili Marduk
d. i. 13 [Mine in] Schekel [n] [ausgedrückt] Palast des Nab., Sohnes des D.,
Fürstpriester des Marduk (Lehmann, Verh. der Berl. anthrop. Gesellschaft
1891; J. Oppert, L'étalon des mesures assyr., Extrait du journal asiat. Paris
1875).
Die Gewichte in Entenform sind erheblich ungenauer, aber als
Durchschnittsgewicht ergibt sich 491,2 Gramm für die leichte Mine, 982,4
für die schwere. Indem man die Kubikwurzel aus 982,4 zieht, ergibt sich für
die 10fache Wurzel, das ist die Doppelelle 992,35 mm. Nun ist die Länge
des Sekundenpendels für den 31. Breitengrad 992,35 mm, und nach der
Hypothese Lehmanns, welche Helmholtz plausibel erschien, hatten die
Babylonier zur Zeit Gudeas den Gedanken Huygens, die Länge des
Sekundenpendels als natürliches Längenmass zu verwerten, schon
vorweggenommen. Als Bestätigung der von Lehmann gegebenen
sogenannten »gemeinen Norm« dient dann eine Ende des Jahres 1893 in

Babylon zum Vorschein gekommene ganze Mine, die nach ihrer Legende
eine Kopie aus der Zeit Nebukadnezar II. 607–561 nach einer Mine aus der
Regierungszeit Dungis ist, des ältesten erreichbaren Königs eines grossen
Teils von Babylon etwa um 3200; die Mine, welche sich jetzt im British
Museum befindet, hat ein Gewicht von 979,2 Gramm.
Die meisten und wichtigsten antiken Gewichte sind direkte
Abkömmlinge der babylonischen gemeinen Norm, bezw. der daraus
gebildeten Silbermine, welche 190 der Gewichtsmine ist.
schwer leicht
60
Teilbetrag ; Gewichtsmine
60 982,4 491,2
50
" ; Goldmine
60 818,6 409,3
50
" ; babyl. Silbermine
45 1091,5 545,8
100
" ; phöniz. Silbermine
135 727,6 363,8
ägypt. Goldmine 409,31
babyl. Silbermine = 6 ägypt. Pfund à 10 Lot.
Die römisch-athenische Elle = 190 der babylonischen gemeinen Elle,
der Fuss = 23 Elle und der Schritt = 5 Fuss = 1 23 Elle = 1 12 babylonischen
Elle.
Wir rechnen heute 114 Schritt in der Minute für die deutsche Armee,
die Babylonier 120 Schritt = 180 Ellen, a l s o a u f d i e
D o p p e l m i n u t e 360 Ellen.
J . B r a n d i s: das Münz-, Mass- und Gewichtssystem in Vorderasien
bis auf Alexander den Grossen, Berlin 1866. Brandis setzt das
Wertverhältnis des Goldes zu Silber bei den Babyloniern wie 40:3 = 360:27
(wie Jahr:Monat).
D i e Ta f e l v o n S e n k e r e h u n d d a s Z a h l s y s t e m .
Im Jahre 1854 fand der Ingenieur Die Tafel von Senkereh.
W . K . L o f t u s in den Ruinen von Larsam
beim heutigen Senkereh eine leider stark verstümmelte Tafel, die aber doch
für die Kenntnis des Zahl- und Masssystems von grösster Wichtigkeit
geworden ist.
Die Tafel von Senkereh enthält auf der Rückseite drei Kolonnen: a) die
Zahlen von 1–39 mit ihren Quadraten, b) die Zahlen der Quadrate mit ihren

Wurzeln 1–39, c) die Kubikzahlen von 1–39. Zu b ist in Kujundschik, der
Residenz Salmanassars eine Ergänzung gefunden, welche die Quadrate der
Zahlen von 44–60 enthält. — Auf der Vorderseite ist, stark verstümmelt in
Kolonne I und II eine Tabelle, die nach Finger, Ellen und deren Vielfachen
bis zu 2 Kaspu fortschreitet; Kol. III und IV enthält dann eine Tabelle, die
zwei Masssysteme vergleicht, deren erstes die gewöhnlichen
Bezeichnungen des Längenmasses trägt, während die zweite nur in
unbenannten Zahlen fortschreitet.
Ehe ich auf die Erklärung der Tabelle Zahlsystem.
eingehe, muss ich über das babylonische
Zahlsystem sprechen. Es sind zwei Zahlsysteme in Gebrauch, das eine
dekadisch, das andere ältere sexagesimal, das bei Massen und in der
Astronomie sich erhalten hat. Es ist möglich, dass die dekadisch Zählenden
die Semiten, und die Sexagesimalen die Sumerer waren. Nach Lehmanns
Angaben über die sumerischen Zahlzeichen, die z. B. 7 als 5 + 2
wiedergeben, kann ein Fünfer-System das ursprüngliche der Sumerer
gewesen sein, und das Sexagesimalsystem sich von den grossen
wissenschaftlichen Zentren aus als ursprünglich gelehrte Schöpfung
zunächst auf die Gebildeten und die Priester verbreitet haben, aus denen
sich die Schreiber (Staatsbeamten) und Handelsherren rekrutierten.
Sie hatten nur zwei Ziffern, den einfachen Keil für eins, istan, isten als
Zahlwort ist, aus dessen Häufung die Einer gebildet werden, und 10
esru, Plural esrit; dazu kommt später das gemeinsame semitische (auch
ägyptische) Zahlwort me 100 geschrieben .
ist eins und die Einer werden durch den betreffenden Haufen von
Keilen gebildet; z. B. si-ba sibista, die Zehner durch eben solche
Haufen der Zahl 10 esru esertu, eserte esrit, also 11 isten ésrit.
1 isten, 2 sina, 5 hamsu, 100 mê , 1000 für das wir bislang kein
Zahlwort haben als 10 · 100 . Dies ist aber zu einem eignen
Zahlzeichen geworden, ist nicht 2000 sondern 10 · 1000 = 10000
und würde 100000 sein.

Das zweite System hat zur Einteilungszahl 60 und seine Übereinheiten
wie 602, 603, seine Untereinheit ist 610 , deren Untereinheit 610 2, die Eins wird,
wie sie bei uns als 100, so hier als 600 angesehen. Alle diese Zahlen drückt
dasselbe Zeichen aus, der einfache Keil, und die Bedeutung ergibt sich wie
in unserm sogn. indisch-arabischen System durch P o s i t i o n.
Die 60 heisst sussu (Schock), σωσσος der Hellenen, soss assyrisch,
, die 602 heisst Sar, Saros der Hellenen .
Daneben gibt es Einheiten II. Klasse, wie sie L e h m a n n nennt.
1 21
603 602 60 60 60
1 1 1
36000 sar 600 10 6 3 6 0 21600
oder
ner 6
für 600 ist ein eignes Zahlwort ner durchaus belegt und volkstümlich
gewesen; so ist
= 672 = 11 · 60 + 12.
Als interessantestes Beispiel altchaldäischer
Das magische Quadrat.
Rechnung gebe ich Ihnen die Bildung des
Quadrats von 653 nach einer von J . O p p e r t edierten magischen Tafel,
welche aus der gleichen Zeit stammt (Zeitschrift für Assyriologie 1903 Bd.
17 pag. 60). Die Zahl 653 ist unter dem Namen Sulbâr = Ewigkeit die
magische Zahl κατ' εξοχήν;
5 · 653 = 3265 ist die Phönixperiode; 653 ist gleich 292 + 361 und
5 · 292 = 1460 ist die Sothisperiode; 5 · 361 = 1805 ist die Lunarperiode.
Ich bemerke, dass die hohe Wertung der Zahl 653 ein Argument für ein
ursprüngliches Fünfersystem (wie bei den Azteken) ist.
Die Rechnung gestaltet sich wie folgt:

1)
6 Soss 40 idem (4002) 44 Sar 26 Soss 40 = 160000

2)
2 Soss 2 · 2 Soss 2 = 1222 4 Sar 8 Soss 4 = 14884

3)
30 27
30 /60 · 30 /60 15 Soss 29 = 929

4)
1 Soss 54 · 14 Soss 24 27 Sar 21 Soss 36 = 98496

5)
6 Soss 30 idem 42 Sar 15 Soss = 152100

6)
Summe 2 Soss minus 2 Sar 2 Ner 6 Soss 49 von welcher Zahl ist es das Quadrat.
Also: 118 · 602 + 2 · 600 · 6 · 60 + 49 = 426409.
7)
(Von) 6 5 3 (ist es das) Quadrat.

Also: 6532 = 426409 ist zerlegt in:
4002 = 160000
1222 = 14884
30 12 · 30 290 = 929
114 · 864 = 98496
3902 = 152100
Ehe ich diese Rechnung weiter bespreche, Die Tafel von Senkereh.
möchte ich Ihnen die Tafel von Senkereh in
4facher Vergrösserung aus dem grossen und kostbaren Rawlinson'schen
Werke vorführen und Sie auf gewisse Eigentümlichkeiten der Tafel
aufmerksam machen. Leider steht mir nur die erste Auflage und nicht die
wesentlich veränderte zweite Auflage zur Verfügung. Sie sehen in der
Tabelle No. 2 die Tafel der Quadrate der Zahlen von 1–60 mit einer Lücke
von 25–44, so dass das Quadrat voransteht, d. h. also die Tabelle ist zum
Wurzelziehen eingerichtet und daneben zum Quadrieren. Die Tabelle,
welche die Überschrift Reverse trägt, ist eine Tafel der Kubikzahlen von 1–
32. Die wichtigste Tafel, die (irrtümlich) die Überschrift Obverse trägt, ist
die rechte Tabelle, die für die Metrologie von entscheidender Bedeutung
geworden.

Nun sehen Sie, bitte, mal hier (3) und dort (121) und
bedenken Sie die 4fache Vergrösserung, dann werden Sie sehen, welche
Übung und Schärfe nötig war um die, wie Sie schon an dem Beispiel 653
gesehen haben und wie bei der Besprechung der Astronomie noch
deutlicher hervorgehen wird, recht komplizierten Rechnungen auszuführen
mit einem System von 2 Ziffern; es ist klar, dass sehr ausgedehnte Tabellen
diesen Rechnern völlig geläufig sein mussten. Kritisch würde die Sache bei
61 sein, aber ich vermute, denn die Zahl ist m. W. nicht gefunden, sie
würden ebenso wie sie dort 120 sehen, ganz ruhig geschrieben haben
und es dem Scharfsinn des Lesers überlassen haben darin 60 + 1 oder
1 + 1 zu sehen.
Ich komme nun auf unsere magische Tafel Die magische Rechnung.
und die Rechnung zurück. Berossus und
Eusebios von Cäsarea berichten uns, dass die Chaldäer ihre heroische Zeit
auf 60 · 653 geschätzt haben, die Bibel gibt von Erschaffung der Welt bis
auf Abraham 292 Jahre und von Abraham bis zum Ende der Genesis 361,
macht 653 Jahre. Gerade diese beiden Bestandteile der Zahl sind das, was
sie zur magischen Zahl gemacht hat. 5 · 292 = 1460 ist die Sothisperiode,
die Anzahl der Jahre, die vergeht bis der Anfang des bürgerlichen Jahres zu
365 Tagen mit dem heliakischen (heliakisch = Aufgang in der
Morgendämmerung) Aufgang des Sirius zusammenfällt und 1805 oder
5 · 361 Jahre ist die Lunarperiode, die Zahl der Jahre, nach welcher der
Mond immer wieder die gleiche Stellung einnimmt sowohl im Vergleich zu
den Jahreszeiten als auch in seinem Abstand von der Sonne (Phasen), in
bezug auf das Eintreten der Finsternisse als auch in seiner Beziehung zu
den Sternen.
Nimmt man das tropische Jahr der Babylonier zu 365d 2475, so sind:
1805a = 659271d ferner:
22325 synod. Monate = 659270d (Neulicht zu Neulicht)
24227 draconische Mon. = 659271d (Rückkehr zum Knotenpunkt)
24130 Siderische Mon. = 659271 (Rückkehr d. Mondes z. Fixstern).
Ich will auf das Exempel noch weiter eingehen, es ist nach O p p e r t
ein klassisches Beispiel altchaldäischer Zahlenmystik, die unter dem
Namen der Kabbala bis in die neueste Zeit, ja noch heute unter den Juden
Galiziens im Schwange ist. Die Zahl und Rechnung spielten im Kulturleben

der Babylonier eine enorme Rolle, jeder Gott hat seine eigene Zahl, z. B.
Bel das Symbol , d. h. Gott, dem die 20 zukommt, Marduk als
Stier des Tierkreises repräsentiert die , die Zahl der Zeichen die er
anführt. Sin des Mondes Gott hat die vielleicht weil er in ältester Zeit
der Hauptgott, wahrscheinlich wegen des Monats von 30 Tagen, die Engel-
Brüche etc. Die Horoskope, die ja auch babylonischen Ursprungs sind, sind
ein Ausfluss solcher Zahlenmystik, die sich von Babylon aus über die ganze
Welt verbreitet hat. Wer unter Ihnen bibelfest ist, wird sich an die Kabbala
im Daniel erinnern (s. u. Pythagoräer).
Wir haben bereits eine grosse Anzahl solcher magischer Tafeln und
sehen, wie wir auch an unserm Beispiel nachweisen können, darin die
Anfänge der wissenschaftlichen Zahlentheorie, man vergleiche Astronomie
und Astrologie.
Unter den wenigen aus Khorsabad geretteten Inschriften haben wir
glücklicherweise die Angabe des Sargon II. über die von ihm gegründete
Stadt Dar Sarkim- (Khorsabad von E. Botta 1842–45). Die Mauer war
rechteckig, sie hat 1647 auf 1750m. Keine Halle, kein Zimmer, kein
Stadtplan durfte aus religiöser Scheu rein quadratisch sein; dies scheint als
eine Verletzung der Ehrfurcht gegen den Gott gegolten zu haben, bei dem
Allerheiligsten war eine sehr enge Annäherung an das Quadrat gestattet. In
der Inschrift von Khorsabad gibt Sarkin nun an, dass der Umfang der Mauer
die Zahl seines Namens sei; dieser Name ist sar Fürst und kin das wir
allenfalls mit mächtig wiedergeben können; sar entsprach der Zahl 20 und
kin 40; und misst man den Umfang aus, so findet sich, dass er 20 · 3265 +
40 · 1460 Spannen, d. h. also die Stadt sollte 20 Phönix- und 40
Sothisperioden überdauern.
»In unserer Tafel haben wir es nun mit einem zyklischen Flächenraum
zu tun, 6532, und dies ist in Quadrate zerlegt bis auf 99425, das in zwei
Rechtecke zerlegt ist, das ist auffallend, da doch
99425 = 3112 + 522; 3052 + 802; 2922 + 1192; 2842 + 1372; 2802 + 1452;
2472 + 1962
und keine dieser Möglichkeiten den Chaldäern unbekannt sein konnte,
die mit der Zerlegung von Quadraten vollkommen vertraut waren.« Ich
halte es für äusserst wahrscheinlich, dass der Pythagoras bereits den

Chaldäern bekannt war und von ihnen nach Indien gekommen ist. Die
Ausschliessungen aller der Zerlegungen muss also ihren guten Grund
gehabt haben.
Es handelt sich um ein schwieriges Die Zahlenmystik auf
arithmetisches Problem: »Ein heiliges Quadrat Tempel-Grundrisse
von 653 so zu zerlegen, dass der Umfang der angewandt.
Figur eine Zahl von Phönix- und Sothisperioden
und die Tiefe eine ganze Lunarperiode darstellt.« Demgemäss würde der
Tempel folgendermassen angelegt (nach Oppert). Ein Vorhof von 400 Ellen
im Geviert, mit einer Öffnung von 16 Ellen, einer Vorhalle desgleichen von
122, eine kleine heilige Stelle von 30 12 auf 30 290 , danach ein langer Gang
von 869 auf 114, eine quadratische Endhalle von 390. Die Tiefe ergibt
1806, was unmerklich von 1805, der Lunarperiode, abweicht, den Umfang
findet Oppert, mittelst der Öffnung zu 5086 = 6 · 653 + 4 · 292. Meine
Berechnung ergibt aber nur 5071 und für das gesamte Mauerwerk 5429. Die
erste Zahl kann mit 2 Öffnungen hinten und vorn auf die Summe von 5
Phönix- und 6 Sothis-Perioden reduziert werden, wodurch die heilige Zahl
des Marduk ihre Ehrung findet, die letztere (unwahrscheinlichere) auf 1
Phönix- und 3 Sothisperioden mit Zusatz von 8 Ellen für einen
Eingangsvorbau.
Als sehr interessantes Beispiel der Zahlenschreibung hebe ich Zeile 6
aus der von J. Oppert 1903 behandelten magischen Quadrattafel hervor, wo
sich vorne das von Oppert ergänzte Summenzeichen tab findet, die
118 sar geschrieben werden als 120 - 2, mit dem Minuszeichen lal, die
beiden ner nicht sondern wiedergegeben sind, und das
Wortzeichen für I b d i, Quadrat, , welches selbst in seiner
neuassyrischen Form deutlich die Kombination von Zusammenfassung und
Zwei bekundet, wie das Zeichen von Kubus, Badie, sich durch drei innere
Striche kennzeichnet.
Es drängt sich hier die Frage auf nach der 0, denn das ist ja noch das
einzige, was für die Inder zu retten wäre, da der Gedanke die Potenzen der
Grundzahl durch den Stellenwert der Ziffer zu kennzeichnen, wie Sie
gesehen haben, altbabylonisch ist und auf die ältesten Zeiten der Völker von
Sumer und Accad zurückgeht. Da geben nun die Tafeln von Senkereh
keinen Aufschluss, denn weder unter den Quadratzahlen noch unter den

Kubikzahlen der Tafel kommt eine
Über das Vorkommen der 0;
Zahl vor, welche die 0 in der Mitte Entstehung des
verlangte. Aber in den Stimmen Sexagesimalsystems.
von Maria Laach haben die beiden
Patres S . J . S t r a s s m a i e r und E p p i n g eine sehr
schöne Arbeit veröffentlicht »Astronomisches aus Babylon«
oder »Das Wissen der Chaldäer über den gestirnten
Himmel«; hier kommt der Fall der 0 des öfteren vor, da ist
nun meist die 0 aus der Lücke zu erkennen wie auch sonst,
aber es kommt auch dafür das Zeichen , genannt der
T r e n n e r, vor. Mit diesem Zeichen für die Null ist die
Möglichkeit näher gerückt, dass die 0 babylonisch ist. Es
spricht allerdings wieder manches dagegen, so schreibt der
Babylonier 2 meist und nicht und 61 wird durch
(soss) d. h. wiedergegeben und z. B. 120 kommt bis
dato nicht in der Form vor, statt oder .
Tempel-
Grundriss des Nun, meine Herren, lassen Ursprung des
Sargon. Sie uns die allerinteressanteste Sexagesimalsystems.
Frage berühren: wie ist das
Sexagesimalsystem entstanden?
Da waren nun bis vor kurzem alle Autoritäten, vor allen M . C a n t o r
darin einig, dass es vom Himmel stamme, d. h. nicht bildlich sondern
physisch, und dass es auf das Engste mit der Teilung des Kreises in 360
Teile, die als altbabylonisch feststeht, zusammen hänge. Nach dem Vorgang
eines Italieners F o r m a l e o n i von 1788 nahm auch M. Cantor 100 Jahre
später an, die Quelle der Kreisteilung in 360 sei ein uralter grober Irrtum
der Babylonier über das Sonnenjahr gewesen. Diese schärfsten aller
Himmelsbeobachter, deren ganzes Leben seit uralter Zeit unter dem
Einfluss der himmlischen Konstellationen stand, deren ganzer Kult ein Kult
der Sonne, des Mondes und der Sterne, der Naturerscheinungen insgesamt
war, die hätten einen Irrtum, der so grob war, dass er in 8 Jahren 42 Tage
betrug, nicht eher gemerkt, als bis sie ihr ganzes Mass-, Münz- und
Gewichtssystem darauf zugeschnitten. Cantor meint nun, sie seien zur 60
gekommen von der Kreisteilung aus, auf der Suche nach einer passenden
Untereinheit hätten sie den Radius als Sehne in den Kreis getragen und

dabei gefunden, dass er 1/6 des Kreises gleich 60 Grad spanne, und da hätten
wir ja glücklich die 60!
Wenn L e t r o n n e, Journal des savants étrangers 1817 diese
Hypothese aufstellte, so konnte man diesen Versuch anerkennen.
Bis etwa 1900 nahmen die Assyriologen diese Erklärung gedankenlos
hin; sie hatten so viele schwierige Probleme, dass sie das geringe
mathematische Material zunächst beiseite liessen. Wurde doch das
Sexagesimalsystem erst nach 1854 von E . H i n c k s entdeckt. In dem von
ihm behandelten Mondtäfelchen (Irish academy) handelt es sich um die in
15 auf den Neumond folgenden Tagen sichtbar werdenden Teile des
Mondes.
Es seien, heisst es, an diesen 15 Tagen der Reihe nach sichtbar:
5 10 20 40 1 20
1 36 1 52 2 8 2 24 2 40
2 56 3 12 3 28 3 44 4
Hincks nahm an, dass die Mondscheibe in 240 Teile zerlegt gedacht sei
und die weiter nach links stehende Zahl 1.60 2.60 etc. bedeutete und die
Beobachtungszahlen in den ersten 5 Tagen einer geometrischen, in den
folgenden 10 Tagen einer arithmetischen Reihe folgen. Nebenbei bemerkt
ist es nicht unwichtig hier eine Kreisteilung in 4 Quadranten und jeden
Quadranten in 60 Teile geteilt zu finden, denn damit ist der astronomische
Ursprung des Grades verurteilt. Die Erklärung Hincks wurde dann zuerst
1854 durch die Tafeln von Senkereh und dann immer mehr bestätigt. Um
1900 wendeten sich gleichzeitig drei Assyriologen M a h l e r, G i n z e l,
L e h m a n n gegen den Ursprung des Systems aus der Jahresbewegung.
M a h l e r machte höchst zutreffend darauf aufmerksam, dass das Jahr sich
überhaupt nicht zum Massentnehmen eigene, die Babylonier schon so lange
die Denkmäler reichen mit der Zahl 365,2(4) der Tage vertraut waren und
wie auch die Ägypter ein eigenes Fest der 5 Extratage feierten. Er wies
darauf hin, dass die tägliche Bewegung den Lichttag als Hälfte und Vor-
und Nachmittag einen Vierteltag ergäbe.

Noch ansprechender war die Hypothese L e h m a n n s, dass die
Babylonier beobachtet hätten, dass der Sonnendurchmesser 7 12 0 der Ekliptik
und jedes Tierkreisbild 112 und damit das Verhältnis 610 gewonnen sei. Leider
stimmt die Sache nicht. Die Wasseruhr war den Babyloniern bekannt und
mit ihrer Hilfe wurde der Sonnendurchmesser zu 32′ 6″ bestimmt. Nebenbei
bemerkt, ist die genaue Bestimmung eines der diffizilsten astronomischen
Probleme, man vgl. die Arbeiten A u w e r s in den Berliner
Sitzungsberichten.
Der Tierkreis ist allerdings unzweifelhaft babylonischen Ursprungs;
Sie sehen hier in der schon erwähnten Arbeit Eppings Abbildungen. Die

Gleichheit aber der 12 Zeichen ist nicht ursprünglich. Lehmann fand auch
in der Festsetzung der Gold- und Silberwährung 40 : 3 etwas Himmlisches,
nämlich das Verhältnis der Tage des Jahres 360 und deren des Monats 27.
Alles dies wäre sehr schön, wenn es nur richtig wäre. Das Verhältnis des
Sonnendurchmessers zum Vollkreis ist ungefähr 6 17 3 , das des Jahres zum
Monat keineswegs 40 : 3. Auch die 12 Monate zu 30 Tagen stimmen nicht,
denn nie hat ein Monat volle 30 Tage. Das erlösende Wort hat 1904 wieder
ein Lehrer der Mathematik, diesmal ein pensionierter, gesprochen,
K e w i t s c h in Freiburg. Er hat den, man sollte meinen,
selbstverständlichen Satz ausgesprochen: erst Zählen, dann Messen; 6, 60,
360, 3600 waren runde Zahlen bei den Babyloniern und sind von ihnen an
den Himmel versetzt, in die Natur hineingelegt.
Damit ist freilich die Frage wie die 6 und die 60 zu Grundzahlen
wurden, nicht gelöst. Kewitsch leitet sie von der Fingerrechnung ab; er gibt
zwei Wege an; den ersten hält er selbst für nicht sehr wahrscheinlich; dem
zweiten zufolge sollen sie, nachdem alle fünf Finger benutzt, noch einmal
die Hand mit weggestrecktem Daumen als 6 gezählt haben und in
Verbindung mit den 10 Fingern zu 6 · 10 = 60 als Grundzahl gelangt sein.
Kewitsch führt den Umstand, dass das Zeichen für Hand ursprünglich 6
Striche gehabt hat, als Beweis an: Quat-Hand , später ; andrerseits
ist die natürliche Stellung der ausgestreckten Hand doch die, dass der
Daumen nicht angedrückt wird. Ausserdem scheint mir Kewitsch einen
Umstand nicht beachtet zu haben, nämlich den, dass das
Sexagesimalsystem der Sumerer ein durchaus künstliches ist, das mit einer
ausserordentlichen Übung im Rechnen mit grossen Zahlen verknüpft ist und
dass das Zählen an den Fingern bei Entwicklung dieses Systems ein längst
überwundener Standpunkt gewesen ist. Ausserdem ist die älteste Form des
Idiogrammes für Hand, (s. o.), ein ganz deutliches Bild der 5 Finger mit der
Handwurzel und zugleich Name für fünf.
Ich halte die Frage für nicht geklärt und wage nur Vermutungen wie
die, dass es sich um eine ganz bewusste von den Gelehrten, d. h. den
Priestern ausgehende Wahl der 6 als teilbar durch 2 und 3 gehandelt haben
kann. Diese Teilung war auch technisch leicht durchführbar, man vergleiche
die Elle des Gudea bei B o r c h a r d t (Berliner Berichte 1888, I); diese
Wahl kann sehr wohl astronomisch beeinflusst gewesen sein. Die 60
empfahl sich als Grundzahl, weil sie durch die ersten 6 Zahlen teilbar ist

und sich sowohl ins Fünfer- als Zehner- als Zwölfer-System einfügt. In den
Mondtafeln von Hincks kommen so ziemlich alle Faktoren von 60, sogar
die Mandel vor.
Die Beobachtung der Gestirne durchdrang das ganze Leben des
Volkes, denn vom Himmel holten sie die Omina, die Vorbedeutungen, nach
denen sie ihre Handlungen einrichteten. Ein Wechsel des Beobachters alle 4
Stunden, später alle 2 Stunden ist durchaus praktisch; (lösen wir doch
unsere Posten alle 2 Stunden ab) und wir wissen jetzt, man vergleiche
E p p i n g, dass vom Anbeginn an bis in die Seleuciden- und Arsacidenzeit
die Chaldäer den vollen Tag in 6 Teile oder Kas. pu geteilt haben, und die
eigentliche Bedeutung des Wortes Su-su (Schock) ist 16 . Die Unterteilung
der Doppelstunden in 10 Teile ist dann zu genauer Ortsbestimmung
durchaus praktisch, und die Zehnteilung ist am System unserer Finger
vorgebildet. Erst später trat die Halbierung der Doppelstunde und damit die
Stunde als 24stel des Tages ein. Der Tag, d. h. die Dauer der Rotation ist
und bleibt die einzige wirklich in der Natur gegebene Masseinheit, und
selbst wenn die Achsendrehung der Erde nicht völlig konstant ist, sind wir
ausserstande die kleinen Schwankungen zu konstatieren. Nachdem die 360-
Teilung des Tages durchgeführt, lag es nahe zur Erleichterung des
Geschäftsverkehrs das G e s c h ä f t s j a h r, wie auch heute auf 360 Tage
und den Monat auf 30 Tage abzurunden. Sie wissen ja, dass noch heute
unsere Soldaten für den 31. keinen Sold bekommen.
Ich komme nun auf die Tafel von Senkereh Die Tafeln von Senkereh.
zurück, von der wir erst seit 1870 durch G e o r g
S m i t h s wissen, dass wir darin Zahlentabellen haben, und die erst
H i n c k s, wohl des geistig bedeutendsten Keilschriftentzifferers
Entdeckung des Sexagesimalsystems bestätigte. R . L e p s i u s, der grosse
Ägyptologe, hat die Tafel 1877 in der Berliner Akademie in einer längeren
Arbeit behandelt. Abgesehen davon, dass ihm die mathematische Bildung
mangelte um einzusehen, dass eine Tabelle der Quadratzahlen zugleich eine
der Wurzeln ist, hat er in der Tabelle, deren linke Kolonne benannte, deren
rechte unbenannte Zahlen enthält, einen Vergleich sumerischer und
assyrischer Längenmasse gesehen. In seiner Arbeit: Beiträge zur alten
Geschichte, 1902, hat C . F . L e h m a n n nachgewiesen, dass es sich hier
um eine Vergleichung von Zeitmass und Längenmass handelt und dass wir
hier strikte Durchführung des Sexagesimalsystems vor uns haben. Lehmann

hat nachgewiesen, dass während wir 114 Schritt auf die Minute rechnen,
Römer und Babylonier 120 Schritt à 1 12 Ellen, also 180 Ellen, und somit auf
die Doppelminute 360 Ellen und auf den Zeitgrad, auf 3 16 0 Tages, 360
Doppelellen gehen. Dass aber die Doppelelle das ursprüngliche
Längenmass ist, das zeigen uns die beiden Massstäbe der Gudea, von denen
ich hier Ihnen ein Exemplar vorführe.

Massstab der Gudeastatue, 1/2 der nat. Grösse.
Ich gebe nun die Tafel von Senkereh in Umschreibung wieder:
K o l o n n e III.
Zeit Zeit-Doppelelle Grade Zeiteinheit Raumdoppelelle
1 1 1 1
1 Zeit-Finger 60 21600 90 Sek. 60
1 1 1 1
5 12 4320 18 " 12
1 1 1 1
1 Elle 2 720 3 " 2
1 1
2
Gar 3 120 2 " 3
1
1 Gar 6 60 4 " 6
1
5 Gar 30 1220 " 30
1 Soss = 60 Gar 360 14 " 360
1 Kas-pu = 30 Soss 10800 30 2 Std. 10800
2 Kas-pu 21600 60 4 " 21600
Darin scheint nun Lehmann recht zu haben, dass die Zeiteinteilung die
ursprüngliche gewesen und dass die experimentelle Beobachtung, dass
zirka 480 Schritt auf den Taggrad kommen, bezw. 120 auf die Minute, dahin
geführt hat, das Längenmass auf die Länge des Sekundenpendels zu
gründen.
Welche ausserordentliche Rolle die
Astrologie.
Astrologie und die sich aus ihr entwickelnde
Astronomie für das religiöse und praktische Leben der Babylonier spielte,
darüber belehren uns schon die jetzt entzifferten Denkmäler auf das
genaueste. In dem schon erwähnten Werk Sargons I., das nach seinen
Anfangsworten genannt wird: »Wenn der Bel-Stern,« sind bereits 66 ganze

oder gebrochene Tafeln und teilweise in mehreren Exemplaren bekannt. Wir
haben ein anderes Werk: »Wenn der Mond bei seinem Erscheinen;«
hunderte von Tafeln mit astrologischen Berichterstattungen meist an den
König sind im British Museum. Ich gebe ein paar Beispiele:
1) Am 15. Tage des Nisan (März-April) halten sich Tag und Nacht die
Wage; sechs Doppelstunden war Tag, sechs Doppelstunden Nacht. Mögen
Nebo und Merodach meinem Herrn König gnädig sein. Nebo, Gott der
Weisheit, Sohn von Merodach, der als Gott der Frühlingssonne Sohn Bêls,
des Gottes der Luft gedacht wird. Merodach wurde zum Hauptgott in
Babylonien und verschmolz mit Bêl.
2) An den König, meinen Herrn Ischtarnadinapal, der oberste der
Astronomen der Stadt Arbela; Friedensgruss dem König (Salem aleikon)
meinem Herrn. Ischtar (Astarte, Aphrodite) von Arbela sei dem Könige,
meinem Herrn gnädig; am 29. Tag machten wir eine Beobachtung, aber die
Sternwarte war umwölkt und wir sahen den Mond nicht. Am 1. Tag des
Monats Schebat (Januar-Februar) im Eponymat (s. u. S. 66) des
Bilcharranschadua.
3) Der Mond ist sichtbar am 1. Tag wie am 28.: Unglück für das
Westland. Der Mond ist am 28. Tage sichtbar: Glück für das Land Akkad
(Babylonien), Unglück für das Westland; Bericht des Oberastronomen.
Aus derselben Zeit etwa dem 8. Jahrhundert
Babylonische Kosmologie.
stammen auch mehrere Fragmente von
Festkalendern, welche für jeden einzelnen Tag des Monats Angaben
enthielten, welchem Gott der Tag geweiht und welche Opfer in den
Tempeln dargebracht werden sollten. Diese Fragmente lassen uns erkennen,
dass damals ein ausgebildeter Kalender in Assyrien bestand, und wenn wir
damit den Eponymenkanon in Verbindung bringen, so ist der Schluss
berechtigt, dass dieser Kalender bis zum Anfang dieses Kanons
heraufreicht, d. h. bis in das 10. Jahrhundert v. Chr. Aus der Astrologie hat
sich die Astronomie der Babylonier entwickelt, wie aus der Kabbala, den
magischen Rechnungen, die Anfänge der Zahlentheorie. Der Hauptstern ist
der Nordpol der Ekliptik, der dem Anu (Himmel) geweiht war. Als
Gegenpol ist der Ea-Stern (Ozean) = η Argus. (?)
Die drei Regionen des Himmels, welche vom Nordpol ausgehen, sind
die Region des Anu: Stier, Zwillinge, Krebs und Löwe, und, beginnend mit
dem Aldebaran, die Regionen des Bel (Luft): Jungfrau, Wage, Skorpion,

Schütz; die Regionen des Ea (Ozean): Steinbock, Amphora (Wassermann),
Fische, Widder.
Die Milchstrasse, mit ihren beiden Verzweigungen wird als Euphrat
und Tigris aufgefasst. Die Ekliptik ist die Furche des Himmels; die
Milchstrasse erscheint auch unter dem Begriff des Hirtenzeltes, woher auch
unser poetisches »Himmelszelt«. Entstanden ist der babylonische Tierkreis
zu einer Zeit als der Frühlingspunkt, der jährlich etwa um 50″
zurückweicht, im Stier lag; also etwa 3000–4000 v. Chr., der dann im Laufe
der Zeit mannigfache Veränderung erlitt bis die völlige Gleichteilung
durchgeführt wurde. Besonders wichtig ist die Untersuchung der alten
Grenzsteine (Kudurru) geworden, von denen Hommel 14 untersucht hat.
Die Abbildung des Tierkreises auf diesen Steinen geschah vielleicht zum
Zweck Konstellationen zur Datierung festzuhalten. Auf keinem der Steine
fehlt die grosse Schlange als Bild der Milchstrasse und schon auf dem
ältesten, der auf 1070 datiert ist, sind die 12 Zeichen. Die Bilder sind die bei
den Griechen und zum Teil noch heute üblichen.
Das neueste Werk über diese Grenzsteine ist A new Boundary Stone of
Nebuchadnezzar I. von W . M . J . H i n k e, Bd. IV der Serie D des
grossen Hilprechtschen Sammelwerks the Babylonian Expedition of the
Univ. of Pennsylvania 1907. Hier ist auch der Zusammenhang mit dem
t i b e t a n i s c h e n und indischen Tierkreisen besprochen.
Die Untersuchung der Namen etc. zeigt, Astronomie.
dass der Tierkreis babylonisch-sumerischen
Ursprungs ist und sich von den Babyloniern zu Ägyptern, Griechen, Indern,
Chinesen und zu uns verbreitet hat. Das gleiche gilt von den Mondstationen
oder Häusern, ihre Zahl schwankte zwischen 24–36, und sie haben sich
ebenfalls nach China, Indien (naxatra) und Arabien verbreitet. Die helleren
Sterne waren ihnen in sehr alter Zeit bekannt. Aus der Arsakidenzeit der
Jahre 122 v. Chr. und 110 sind uns vollständige Ephemeridentafeln,
Bestimmungen der Abstände der Sterne von festen Sternen der Ekliptik,
erhalten. Sie hatten ganz bestimmte Regeln für die Berechnung des
Neumondes und Neulichtes, die von J . E p p i n g, S. I. unter Beihilfe des
Assyriologen Strassmaier, S. I. 1889 in den Stimmen aus Maria Laach unter
dem Titel: Astronomisches aus Babylon mitgeteilt sind; es finden sich darin
auch Tabellen des heliakischen Auf- und Untergangs der Planeten und einer
Anzahl von Fixsternen, vor allem des Sothis, id est Sirius und des »Kakkab

mišre« des Orion. Sie kannten die Periodizität der Finsternisse und konnten
deren Sichtbarkeit für Babylon annähernd vorausbestimmen. Sie hatten
Instrumente, die unserem Astrolabium und Planetarium entsprechen; sie
kannten die mittlere Geschwindigkeit des Mondes, d. h. den Bogen, den der
Mond durchschnittlich während eines Tages in der Ekliptik beschreibt, die
grösste Geschwindigkeit des Mondes, ebenso die der Sonne und das Gesetz,
nach dem die Geschwindigkeit der Sonne in der Ekliptik sich ändert, sie
kannten die Jahresdauer, die Durchschnittsdauer des Monats von Neumond
zu Neumond, also des sogenannten mittleren synodischen Monats, den sie
nur um 0,4 S e k u n d e n länger als wir ansetzten, sowie die
Durchschnittsdauer von einer Erdnähe des Mondes zur andern, d. i. also den
sogenannten mittleren anomalistischen Monat, den sie nur um 3,6
S e k u n d e n zu lang ansetzten. Dabei ist erst ein kleiner Teil des
aufgefundenen Materials entziffert und dieser aufgefundene ein
verschwindender Teil des vorhandenen. Hilprecht berechnet die Zeit, die für
Nippur nötig ist bei 400 Arbeitern auf etwa 100 Jahre!
Über die Instrumente, deren sich die Babylonier zu ihren
Beobachtungen bedienten, ist wenig bekannt; wir wissen, dass sie die Zeit
durch die Wasserwage massen und durch die Sonnenuhr, mittelst des
Gnomon und aus der Schattenlänge die Meridiane, bezw. den längsten und
kürzesten Tag bestimmten. Aus dem 3. Jahrhundert v. Chr. sind aber durch
K u g l e r eine ganze Reihe sehr feiner Positionsbestimmungen festgestellt
worden, die nur mit Hilfe von Instrumenten wie der sogenannten
Armillarsphäre, dem Diopter etc. möglich war. Der Diopter setzt dann
allerdings die Ähnlichkeitslehre für rechtwinklige Dreiecke, kurz eine
Sehnenrechnung voraus und damit wird es wahrscheinlich, dass die
Sehnenrechnung, die bis dato dem Bessel des Altertums, Hipparch von
Rhodus zugeschrieben wurde, babylonischen Ursprungs ist. Soviel steht
fest, wenn auch anfangs die Astrologie zur Himmelsbeobachtung
insbesondere der Sonnen- und Mondfinsternisse trieb, seit etwa 300 Jahren
v. Chr. gab es an den Sternwarten eine vollkommen wissenschaftliche
Astronomie, und die Beobachtungen der Babylonier sind oder werden für
unsere Mondtafeln noch wertvoll.
K u g l e r hat seiner »babylonischen Mondrechnung« von 1900, der
pietätvollen Vollendung des S t r a s s m e i e r - E p p i n gschen Werkes,
1907 den ersten Band seines grossen auf 4 Bände berechneten Werkes
»Sternkunde und Sterndienst in Babel« folgen lassen, unter dem Titel

»Entwicklung der Babylonischen Planetenkunde von ihren Anfängen bis
auf Christus.« Wenngleich, wie Oefele (Mitteilungen zur Gesch. d. Med. u.
Naturw. 29. Juni 1908) schon hervorgehoben hat, dieser Titel nicht
glücklich gewählt ist, so ist das Buch doch reich an wichtigen Resultaten:
Der unbezweifelbare Nachweis des Babylonischen Ursprungs des
Tierkreises und seiner 12 Zeichen, die Kenntnis der Namen für die Planeten
und die Masisterne, die hellen Sterne der Ekliptik, welche zur
Positionsbestimmung dienten, in Fortsetzung der Leistungen P. J e n s e n s
aus seinem Hauptwerke, die Kosmologie der Babylonier 1890, die Kunde
der technischen Sprache der Babylonischen Astronomie, die Tatsache der
Ekliptikkoordinaten, die Feststellung des Bogenmasses und der Richtungen,
Festsetzung des Bogens von 22° 3′ zwischen dem festen
Koordinatenanfangspunkt 0° arietis der Babylonier und dem 0-Punkt, dem
Frühlingsäquinoktium von 1800 n. Chr., die Planetenephemeriden infolge
Auffinden von grossen und kleinen Perioden, z. B. für Mars 71 und 41
Jahre, für Venus 8 Jahre (Fehler nur 3′ 13,3″) etc. Freilich hebt Kugler
hervor, dass im 2. Jahrh. v. Chr. die wissenschaftliche Astronomie der
Babylonier sehr grosse Fortschritte gegen die früheren Zeiten aufweist, und
wie weit dabei hellenischer Geist insbesondere der grosse Hipparch in
Betracht kommt, müsste erst noch untersucht werden.

Über die Geometrie der Babylonier müssen Geometrie.
wir uns zurzeit kurz fassen bis grösseres Material
vorliegt. Ein Bauplan, eine Tempelanlage von so vorzüglicher Ausführung
wie der von L . B o r c h a r d t l. c. veröffentlichte, in dem die Türleibungen
und die Mauerstärke berücksichtigt ist (siehe Fig. auf S. 112),
Beobachtungen, wie die von K u g l e r mitgeteilten, sind nicht ohne
bedeutende geometrische Kenntnisse möglich, aber was uns direkt
übermittelt ist, beschränkt sich auf ganz wenige Zeichnungen wie die bei
Cantor abgedruckten aus A . H . S a y c e Abhandlung: Babylonian augury
by means of geometrical figures. In der hier beigegebenen Kopie scheinen
mir mehrfach a l t e I d i o g r a m m e wie N 15 etc. vorzuliegen. B e z o l d

bemerkt (Z. A. XVII p. 95), dass ein grosser Teil z. B. der in Kujundschik
gefundenen Figuren analoge Bedeutung besitzen, wie die Oppert'sche
Konstr. s. Fig. S. 100 und sich auf kabbalistische Rechnung beziehen z. B.
10 und 3.

Bruchstück des Bauplanes.

Borchardt'scher Bauplan.

Feststeht aus ägyptischen und Babylonische Kreisteilung.
babylonischen Abbildungen, dass den
Babyloniern die Teilung des Kreises in 6 Teile bekannt gewesen sei, d. h. de
facto. Vom Hereintragen des Radius ist bisher keine Spur gefunden. Wenn
Cantor meint, die 6-Teilung ist ohne diese Kenntnis nicht möglich, so irrt er
sehr. Man braucht nichts zu wissen als die Tatsache, dass das Rad, bezw. der
Kreis in sich drehbar ist, also zu gleichen Bogen gleiche Sehnen etc.
gehören, u. v. v., dies reicht aus den Kreis experimentell zu vierteln und zu
sechsteln. Im höchsten Grade wahrscheinlich ist allerdings, dass sie bei
einem gesechsteilten Kreise gesehen haben, dass die Sehne gleich dem
Radius ist. Die im Buche der Könige erwähnten fünfeckigen Pfosten,
können genau so auf einer experimentellen Teilung des Kreises in fünf
gleiche Teile beruhen, wie sie meine Quartaner ohne allen goldenen Schnitt
sehr exakt ausführen.
Es ist ausserdem eine Tafel bekannt geworden, aber leider zurzeit nicht
auffindbar, in der ein in drei gleiche Teile geteilter rechter Winkel
vorkommt, und das ist fast alles, was wir zurzeit von der babylonischen
Geometrie wirklich wissen; vermuten müssen wir sehr viel mehr; wäre der
Pythagoras, was nach den Beispielen der quadratischen Gleichungen ganz
gut möglich, den Ägyptern bekannt gewesen, so wäre er sicher den
Babyloniern nicht unbekannt geblieben, aber hier heisst es abwarten.
Von grosser Bedeutung für die Auffassung Babylonische Rechentabellen.
der Babylonischen Arithmetik ist Band XX part.
1 Serie A des H i l p r e c h tschen Werkes The Babyl. Expedition of the
Univers. of Pennsylv. 1906 (mir erst vor kurzem zugänglich geworden). Es
sind hier, abgesehen von Wiederholungen, 31 math. Tafeln veröffentlicht;
Multiplikationstafeln, Divisionstafeln, Tafeln von Quadratzahlen und -
Wurzeln, eine geometrische Progression. Auf Tafeln, welche dazu dienen,
die Rechnungsresulate rasch in das Sexagesimalsystem einzureihen, hat H.
hingewiesen, deren eine (s. Bild) er schon in seinem Vortrag von 1903 Bild
45 veröffentlicht hat. Es hat nun Hilprecht bemerkt, dass s ä m t l i c h e
bis jetzt bekannten 46 Multiplikationstafeln sich
a u f D i v i s o r e n d e r Z a h l 6 0 4 b e z i e h e n, inkl. der 2 aus Sippar
und Kujundschik, und zwar gehen sie bis 180000×1. Dazu konstatierte er
das Multiplikationszeichen A-R A z. B. 2×1 (=) 2: , Plan 1,
N. 1, das wie das unsrige, oft weggelassen wird, das Divisionszeichen Igi-

Gal, habend Auge gelegentlich mit hinter dem Quotienten folgenden
Distributivzeichen a-an»je«. Hilprecht konstatierte, dass a l l e d i e s e
D i v i s i o n s t a b e l l e n s i c h w i e d e r u m a u f 6 0 4 b e z i e h e n,
es sind Tafel N. 20, 21, 24, auf denen das Divisionszeichen fehlt, und Tafel
22 obv., wo es gesetzt wird. Mit Hilfe der wichtigsten Tafel 25 ergänzt H.
Tafel 22:

Igi-1-Gal-Bi = 8640000
Igi-2-Gal-Bi = 6480000
Igi-3-Gal-Bi = 4320000
etc., das »Bi« »dessen« bezeichnet den gemeinsamen Dividend 604. Ich
gebe hier als Beispiel die Multiplikationstabelle 15 (Obv. und Bev.), das
1×1 mit 540, es ist zunächst eingerichtet wie die anderen, d. h. es fehlt das
Zeichen, und es enthält 1a bis 20a, und dann 30a, 40a, 50a, so dass also 23a
berechnet wird als 20a + 3a, wofür es ja auch Tabellen gab. Diese Tafel ist
aber besonders interessant, weil sie eine derjenigen ist, in denen die
Zweideutigkeit durch die Zusatzlinie am Schluss gehoben wird. Die Tafel
lässt es zweifelhaft, ob man es mit dem 1 × 9 oder 1 × 9.60 zu tun hat, die
Schlusszeile (colophon) gibt die nächstniedrige Tabelle der Serie an und
lautet hier 8.60 + 20 mal 1 ist 8.60 + 20 id est 500 × 1 = 500, somit ist die
in unserer Tafel 9.60. Sehr bedeutsam ist die Tabelle 25, welche in
Hilprechts Übertragung lautet:

Linie 1: 125 720
2: Igi-Gal-Bi 103680
3: 250 360
4: Igi-Gal-Bi 51840
5: 500 180
6: Igi-Gal-Bi 25920
7: 1000 90
8: Igi-Gal-Bi 12960
9: 2000 18
10: Igi-Gal-Bi 6480
11: 4000 9
12: Igi-Gal-Bi 3240
13: 8000 18
14: Igi-Gal-Bi 1620
15: 16000 9
16: Igi-Gal-Bi 810
H. erkannte darin unschwer Divisionen von Babylonische Divisionstafeln.
4
60 durch eine aufsteigende Reihe von Divisoren,
für die Bedeutung der Zahlen 720; 360 etc. bis 9 wandte er sich an
Mathematiker, diese brachten heraus dass, wenn man die Divisoren in die
2
Form a šar + b ner + r schreibt, dann 6 0r diese Zahlen ergibt. Hiernach
erscheint es allerdings als im hohen Grade wahrscheinlich, dass wir es hier
mit einer kabbalistischen Rechnung zu tun haben, und wir sehen dass hier
wieder 604 seine Rolle spielt. H i l p r e c h t selbst zitiert aus dem
Literaturverzeichnis von B e z o l d: »Die Mathematik stand bei den
Babyloniern-Assyriern, soviel wir bis jetzt wissen, vornehmlich im Dienste
der Astronomie und letztere wiederum in dem einer Pseudowissenschaft,
der Astrologie, die wahrscheinlich in Mesopotamien entstand, sich von dort
aus verbreitete.«
Ich möchte aber doch bemerken, dass wie Die goldene Zahl des Platon.
der Mangel an beglaubigender Unterschrift der
Tafeln aus Nippur beweist, und nicht minder die zahlreichen Fehler, dass
wir es auch hier, ähnlich wie in Ägypten, vielfach mit Schülerübungen zu
tun haben. Ebenso sorgfältig wie das Schreiben und Lesen, wurde auch die
Elementarkunst des Rechnens geübt, selbstverständlich vorzugsweise an

»heiligen« Zahlen, von denen 604, wie es scheint, im Vordergrund stand. H.
hat sicher mit Recht auf die Abhängigkeit P l a t o n s von Babylon
hingewiesen. In die Stelle Republik VIII, 546 B-D hat zuerst der grosse,
kürzlich verstorbene Philologe F r . H u l t s c h, der Herausgeber des
Pappos, Licht gebracht, er hat, Schlömilch XXVII hist. lit. Abt. S. 41, in der
sehr dunkel beschriebenen Zahl des Platon die Zahl 604 erkannt und
hervorgehoben, dass ihre Teiler von glückbringendem Einfluss auf die
Geburten und Schicksale der Menschheit sein sollten, wie denn tatsächlich
die nach der kürzesten Fötalperiode von 216 Tagen geborenen 7
Monatskinder bessere Lebenschance besitzen als die 8 Monatskinder.
Wesentlich ist hier der Nachweis des Einfluss Babylonischer Kultur auf die
Hellenische, den übrigens m. W. niemand mehr bestreitet. Gegenüber
H o m m e l führe ich an, dass die Babylonische Phönixperiode 653 Jahre
und nicht 500 betrug, und gegenüber Hilprecht, dass nach C e n s o r i n u s,
wie Hultsch erwähnt, Plato das Alter der Menschen nicht auf 100, sondern
auf 81 setzte. Dass dabei 36000 eine Rolle gespielt hat, ist nicht
unwahrscheinlich, denn noch Ptolemäos gibt in der μεγαλη συνταξις 36000
als Cyclus der Präzession an, und Berosus dieselbe Zahl als altbabylonische
Präzessionszahl.
Dass aber nicht nur die Inder, wie bekannt, in Riesenzahlen
schwelgten, sondern auch die alten Babylonier, beweist die von Hilprecht
mit Glück restaurierte Tafel B e z o l d, Katalogue Kujundschik Vol. I
N. 2069, von denen Bezold l. c. die folgenden 4 Zeilen (2 bis 5 der Tablette)
veröffentlicht hat:

H. hat überzeugend nachgewiesen, dass Babylonische Riesenzahlen;
diese Tafel aus der Bibliothek Asurbanipals mit Quadratwurzeln.
ihren 28 Zeilen dieselbe Bedeutung hatte wie die
Tabellen No. 20, 21, 22, 24 Hilprecht's auf S. 21, es ist eine

Divisionstabelle, aber Divisoren und Quotienten beziehen sich auf —
— — — — — d. h. auf 608 + 10.607 id est 195,955,200,000000 also 195
Billionen 955200 Millionen! Zu dieser Erkenntnis wurde H. in den Stand
gesetzt durch die Bemerkung, dass die längste Zahl links vorn
Teilungsstrich vor drei Ziffergruppen von je zwei Ziffern hat, also mit
603 zu multiplizieren ist, und die längste Zahl rechts hat hinter ihrer
Ziffergruppe vier andere, ist also mit 604 zu multiplizieren.
Tabellen von Quadratzahlen bezw. Wurzeln sind ziemlich zahlreich in
Nippur gefunden, die Quadrierung ist teils durch das A-Ra »mal«, teils
durch das Idiogramm für Ibdi das aber etwas von der Rawlinsonschen Tafel
IV, 40 abweichende Gestalt hat. Am leichtesten lesbar ist Pl. 16, No. 28,
Quadrate der Zahlen von 31–39, die dadurch interessant ist, dass sie sich an
die Tafel des Berliner Museums genau anschliesst. H. hat aus ihr die
Kenntnis der Formel für (a + b)2 gefolgert, da diese Formel in Indien
bekannt war, vgl. S. 161, so ist sie höchst wahrscheinlich auch den
Babyloniern-Assyriern bekannt gewesen. Ein irgendwie zwingender Beweis
ist aber, da mir die Resultate gegeben werden, n i c h t erbracht.
Sehr dürftig ist wenigstens die bisherige Ausbeute für die Geometrie,
der Inhalt des geraden Prisma und des geraden Zylinders ist zu allen Zeiten
ohne weiteres als Grundfläche mal Höhe angenommen worden. Das einzige
was von Interesse, ist, dass nach einer Veröffentlichung von T h u r e a u -
D a n g i n schon unter der 2. Dynastie von Ur, also rund 3000 v. Chr. man in
Babylonien den Inhalt des Trapezes als Mittellinie mal Höhe berechnen
konnte.
Wie hoch entwickelt aber schon in Vase mit geometrischer
unvordenklicher Zeit die geometrische Zeichnung.
Zeichenkunst war, beweist die von K a p i t ä n
C r o s 1903 in Telloh gefundene Vase, mit deren Bild ich diesen Abschnitt
schliesse.

Hellas

Unser Werdegang müsste uns nun eigentlich nach Indien und China
führen, aber die Kultur der Inder und Chinesen ist so abhängig von
Babylon, oder, was richtiger ist, ganz Asien bildete von 4000 v. Chr. bis
etwa 100 n. Chr. ein einziges Kulturgebiet, Ägypten bis zum Nil
eingeschlossen, dass wir uns zunächst gleich nach H e l l a s wenden. Die
Hellenen sind das erste Volk, das die Wissenschaft um der Wissenschaft
willen getrieben hat, das Volk, von dem man wohl sagen kann, dass ihm an
Begabung für Kunst und Wissenschaft kein anderes je gleichgekommen ist,
und unter ihnen erwuchs im 6. Jahrh. v. Chr. aus den Handwerksregeln
ägyptischer und babylonischer Priester die reine Mathematik als
Wissenschaft.
Wohl steht seit den Ausgrabungen H e i n r i c h S c h l i e m a n n s fest,
dass die Hellenische Kultur und Kunst sich unter starkem orientalischen
Einflusse, Ägypten eingeschlossen, entwickelt hat, aber schon für K r e t a,
ja selbst für C y p e r n ist auch die selbständige Entfaltung Hellenischen
Geistes deutlich. Die Aufeinanderfolge ist wohl diese. C y p e r n fast völlig
unterm Einfluss Babyloniens (Phöniziens); K r e t a: Ägypten und Babylon
vereint. Für Kreta sind epochemachend die Ausgrabungen von E v a n s zu
K n o s s o s, Annalen der brit. Schule in Athen 1899 ff. bes. 1902 (Bd. 8)
u. ff. Daneben die der Italiener in P h a i s t o s, Acad. dei Lincei Bd. XII
(1902) ff. Das von Evans in Knossos gefundene herrliche Kunstwerk des
becherkredenzenden Epheben (Jüngling, Page) geht über die Orientalischen
Vorbilder schon hinaus, auch Architektur und Kleinkunst, z. B. die
p o l y c h r o m e n Va s e n (sogen. Kamaris-Stil) ist selbständig.

Es folgt dann die durch S c h l i e m a n n s Ausgrabungen in Mykene,
Tyrinz, Troja zeitlich früher bekannte »M y k e n e - P e r i o d e«. Auch sie
bekundet starken Verkehr mit dem Orient durch kretische Vermittlung, aber
sie zeigt auch Kreta gegenüber eigenartige Entwicklung. Die Palastanlage
ist ganz verschieden, sie ist genau die von Homer beschriebene. Was die
Kleinkunst betrifft, so genügt es an die Becher von Va p h i o zu erinnern.
Für die Mykeneperiode verweise ich auf C . S c h u c h h a r d t s Wertung
der Schliemann'schen Funde (2. Aufl.). Die Beziehung zwischen Mykene
und Kreta ist zurzeit eine brennende Streitfrage. D ö r p f e l d, kret. u. hom.
Paläste, Athen. Mitteilungen Bd. 30 (1905 p. 257), unterscheidet für die
kretischen Paläste zwei Perioden, a) eine ältere genuin-kretische, b) eine
jüngere, in der Mykenische Eroberer ihre Paläste auf den zerstörten Resten
der älteren erbaut hätten. Gegen Dörpfeld hat M a c k e n z i e, Annals of
brit. School XI u. XII die Einheitlichkeit und Selbständigkeit der kretischen
Paläste mit triftigen Gründen behauptet. Dörpfeld hat 1907, Athen. Mitt. 32
p. 576 erwidert. Die Herkunft der altkretischen Schrift ist zurzeit noch nicht
entschieden, möglicherweise ist sie hetitisch.
Die politische Geschichte der Hellenen und die Geschichte der
Hellenischen Kunst zu schildern, muss ich den Historikern und
Archäologen von Fach überlassen.
Die wichtigste Stelle für die Geschichte der Mathematikerverzeichnis des
hellenischen Mathematik ist das sogenannte Proklos.
Mathematikerverzeichnis bei P r o k l o s. Es ist
vermutlich ein bei G e m i n u s, einem Schriftsteller des ersten Jahrh. v. Chr.
erhaltener Auszug aus der Geschichte der Mathematik des E u d e m o s, von
der leider nur wenige Fragmente, z. B. in dem Kommentar des
S i m p l i c i u s zu Aristoteles uns erhalten sind.
Beginnen wir also mit T h a l e s v o n
Thales von Milet.
M i l e t. Herodot sagt in seinem ersten Buch,
dass Thales von phönizischer Abkunft gewesen, unzweifelhaft lebte er im 7.
Jahrh. v. Chr. und war ein Zeitgenosse des Krösos und Solon. Proklos gibt
p. 250 der F r i e d l e i n'schen Ausgabe an, dass er den Satz von der
Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck gefunden habe
und zwar habe er die Winkel nicht ἴσας sondern ὁμοιας genannt; p. 299 Satz
von der Gleichheit der Scheitelwinkel; p. 157 Satz, dass die Durchmesser
den Kreis halbieren, und p. 352 sagt Proklos, nach Eudemos, dass Euclid I,

26 der sogenannte 2. Kongruenzsatz von Thales herrühre, der sich seiner
notwendig bedienen musste bei seiner Methode die Entfernung der Schiffe
im Meere zu bestimmen.
M a r c u s J u n i u s N i p s u s, ein römischer Agrimensor, gibt
(M . C a n t o r) folgende alte Methode, die so ziemlich die einzige sein
kann, die mit den geringen Kenntnissen, welche nach Proklos dem Thales
zur Verfügung standen und zugleich mit der Angabe des Eudemos stimmt:
Die Dreiecke ASD und DCB (s. Fig.) sind nach den 2 Congr.
congruent und damit ist CB die gesuchte Entfernung.
Ausser Proklos haben wir Angaben von
P l u t a r c h (100 n. Chr. Neuplatoniker, ziemlich
zuverlässig), in septem sapient. conviv., wonach
Thales die Höhe der Pyramide durch Messung ihres
Schattens bestimmt habe; aber die Quelle dieses
Berichtes ist nach D i o g e n e s Laertios
(Kompilator des 3. Jahrh. n. Chr.) Hieronymos von
Rhodos, welcher sagt, er mass die Pyramiden aus dem
Schatten, wenn der Schatten der Pyramidenhöhe
gleich, d. h. bei einer Sonnenhöhe von 45°. Noch weit
unsicherer ist die Angabe bei Diogenes Laertius:
P a m p h i l a (Ende des 1. Jahrh. n. Chr.) erzählt uns,
dass er als der erste, den Halbkreis in den rechten
Winkel einschrieb, und dass er bei dieser Gelegenheit einen Ochsen opferte.
Andere, z. B. A p o l l o d o r o s, der Rechenmeister, schreiben diesen Zug
den Pythagoräern zu. Da Proklos den Satz ausdrücklich erst den
Pythagoräern zuschreibt und eine bei Eutokios erhaltene Stelle dies
bestätigt, so verliert die Nachricht der Pamphila ihren Wert.
Auch als Astronom wird Thales gerühmt; im Theätet des P l a t o n p.
174 lesen wir die Anekdote, dass, als er, den Blick nach oben gerichtet um
den Himmel zu schauen, in den Brunnen fiel, eine thracische Magd ihn
verspottet habe: das was am Himmel vorginge, wäre ihm bekannt, aber was
vor seinen Füssen läge, das sähe er nicht. (S o c r a t e s setzt bekanntlich
hinzu, dass man mit diesem Spott noch immer gegen die ausreiche, die in
der Philosophie leben.) Die von ihm vorausgesagte Sonnenfinsternis ist, wie
Herodot berichtet, die vom 28. Mai 585 bei der Schlacht zwischen Medern
und Lydern. Nach E u d e m o s hat er auch die Ungleichheit der

Jahreszeiten gekannt. Beides würde auf babylonische Bildungsquellen
deuten; und das wird ganz sicher durch ein Missverständnis des
D i o g e n e s L a e r t i u s, er habe die Sonne als 720 mal Mond angegeben,
während der eigentliche Autor A p u l e j u s klar und deutlich sagt, er habe
den Sonnendurchmesser als 7 12 0 der Ekliptik gefunden. Soviel steht fest
durch das einwandfreie Zeugnis von H e r o d o t, P l a t o n, A r i s t o t e l e s,
E u d e m o s und wohl auch von X e n o p h a n e s, des zeitlich ersten
Eleaten: sein Ruhm war sehr bedeutend, er steht stets an der Spitze der
sieben Weisen, und nach Aristoteles ist er der Begründer der ionischen oder
physikalischen Philosophenschule, des (fälschlich) sogenannten
H y l o z o i s m u s. Aristoteles sagt, dass Thales im Wasser die eigentliche
Urmaterie gesehen habe und setzt hinzu, er vermute, dass er dazu durch die
Beobachtung geführt sei, dass die Nahrung aller Tiere feucht ist und dass
alles aus Samenfeuchtigkeit entstehe.
A r i s t o t e l e s (περί Ψυχής, de anima) fügt Thales von Milet,
hinzu, Thales habe vielleicht angenommen, dass Anaximander.
alles voll Götter sei; beispielsweise habe er
gesagt, dass der Magnet eine Seele habe. Noch müssen wir seinen Schüler
oder wohl richtiger jüngeren Stadtgenossen A n a x i m a n d e r erwähnen,
obwohl das Mathematikerverzeichnis ihn nicht nennt. Anaximander
markiert in der Geschichte des Erkenntnisproblems die Stelle, in der das
Mathematisch-Unendliche auftritt. Er lehrte, der Weltstoff müsse unendlich
sein, damit er sich nicht in der Erzeugung erschöpfe. Er darf daher nicht
unter den empirisch gegebenen Stoffen gesucht werden, und es bleibt nur
das Merkmal der zeitlichen und räumlichen Unendlichkeit übrig. Daher
sagte er αρχη εστι το απειρον. Anaximander erklärte also die sinnliche Welt
durch ein Gedachtes, er sagt: απειρον ist αιδιον, und ist somit ein Vorläufer
der Pythagoräer, und er hat auch eine Vorstellung davon, dass gegen das
Unendliche die Endliche Anzahl verschwindet.
Die dem T h a l e s zugeschriebenen Pythagoras.
Schriften sind alle Fälschungen; der nach ihm
von Proklos genannte Mamerkos samt seinem Bruder, dem Dichter
Stesichoros, sind spurlos verschollen, nicht aber der zu dritt genannte
P y t h a g o r a s, der einzige Mathematiker, der in den ganz und halb
gebildeten Schichten aller Kulturnationen populär geworden ist. Und doch

ist in dem Fabelmeer, in dem er geradezu ertrunken ist, sehr wenig wirklich
festes Land zu finden.
E . Z e l l e r sagt: »Unter allen Philosophenschulen, welche wir
kennen, ist keine, deren Geschichte von Sagen und Dichtungen so vielfach
umsponnen und fast verhüllt, deren Lehre in der Überlieferung mit einer
solchen Masse späterer Bestandteile versetzt wäre wie die der Pythagoräer.«
Die Schriftsteller vor A r i s t o t e l e s Pythagoräer.
erwähnen des Pythagoras und seiner Schüler nur
selten. Aus dem 5. Jahrh. haben wir einzelne Angaben von Xenophanes,
Heraklit, Empedokles, Jon aus Chios, Herodot, Demokrit; aus dem 4. Jahrh.
von Platon, Isokrates, Anaximander II, Andron, Heraklid, Eudoxos, Lyko,
dem Pythagoräer. P l a t o n, der doch in die Schule der Pythagoräer ging, ist
sehr zurückhaltend mit historischen Nachrichten. A r i s t o t e l e s hat zwar
die pythagoräische Philosophie in eigenen Schriften behandelt; was uns
erhalten ist, ist wenig und besonders was die Zahlenlehre betrifft, nicht frei
von Unklarheiten. Pythagoras selbst spielt dabei nur eine geringe Rolle.
Unter den Schülern des Aristoteles beginnt schon die Sage das Leben des
Pythagoras zu umspinnen, aber erst in der Zeit des Neupythagoreismus vom
1. Jahrh. v. Chr. ab sind Romane wie die des A p o l l o n i o s v o n
T h y a n a und des P o r p h y r i o s und des J a m b l i c h o s entstanden.
Feststeht durch das Zeugnis H e r o d o t s, IV., 95, der ganz beiläufig
dort den P y t h a g o r a s erwähnt, dass er als Sohn des Mnesarchos in
Samos geboren, feststeht, dass er um die Mitte des Jahrhundert, etwa von
580–500 gelebt hat, als reifer Mann 530 etwa nach Unteritalien
ausgewandert ist, in Kroton eine Kongregation, die etwa nach Art der
Freimaurer organisiert war, gegründet hat, und hochbetagt in Metapont
gestorben ist. Vorher soll er zu seiner Bildung lange Jahre Reisen in so
ziemlich alle Länder des orbis terrarum gemacht haben, und dies scheint
nicht unwahrscheinlich. Ganz besonders lange soll er in Ägypten verweilt
haben; aber dann wäre es im höchsten Grade auffallend, dass H e r o d o t,
der etwa 100 Jahre nach ihm Ägypten bereist hat, und der den Spuren des
Hellenentums dort sehr sorgsam nachgegangen ist, kein Wort davon
erwähnt.
Der Bund der Pythagoräer war ein religiös ethischer; er sollte eine
Pflanzschule der Mässigkeit, der Tapferkeit, der Ordnung, des Gehorsams
gegen Obrigkeit und Gesetz, der Freundestreue, überhaupt aller jener

Tugenden sein, die zum griechischen und insbesondere zum dorischen
(Spartaner) Begriff eines wackeren Mannes gehören. Neben den religiösen
Beweggründen, die sich aus dem Walten der Götter und vor allem aus des
Stifters Lehre von der Seelenwanderung für das sittliche Ideal ergaben,
wurde von ihm auch als Bildungsmittel in erster Linie auf die
Beschäftigung mit Mathematik, Musik, auch auf Diätetik und Beschwörung
mittelst Zahl und Musik zur Heilkunst hingewiesen. Da der Bund seiner
ganzen Natur nach sehr bald politisch oligarchisch wurde und die
Regierungsgewalt in den grossen unteritalienischen Kommunen Kroton,
Tarent, Metapont etc. an sich riss, so richtete sich die demokratische
Strömung gegen ihn und in den Kämpfen, die um die Wende des 5. Jahrh.
die Aristokratie der Städte stürzten, wurde der Bund gesprengt, ein grosser
Teil der Pythagoräer getötet, darunter vielleicht P y t h a g o r a s selbst, die
andern vertrieben.
Diese Vertreibung hatte eine Wirkung, die wir mit der durch die
Eroberung von Constantinopel geweckten R e n a i s s a n c e vergleichen
können. Die mathematischen, philosophischen, naturwissenschaftlichen
Kenntnisse, die bisher auf einen kleinen Kreis beschränkt waren, wurden
nach Griechenland, Kleinasien, Sizilien verbreitet und bewirkten dort das
Aufblühen der mathematischen Wissenschaften.
Von den Lehren der P y t h a g o r ä e r ist am bekanntesten die Lehre
von der Seelenwanderung (Metempsychose) und die Anschauung, dass das
Wesen der Dinge die Zahl sei, dann ihre Kosmologie mit der Ordnung der
Sphären, dem Zentralfeuer, der Sphärenmusik, und dann die Harmonielehre
gestützt auf die Auffindung der Intervalle mittelst des Monochords. Ihre
ganz hervorragende Pflege der Mathematik ist unbestreitbar und ebenso,
dass sie zuerst das Bedürfnis nach Systematik und wirklichen Beweisen
empfanden und befriedigten. Wie weit aber die Kenntnisse der Pythagoräer
selbst reichten, ist ganz unmöglich zu bestimmen und schwierig ist es auch
den Stand des Wissens in der Schule der Pythagoräer, die wir bis zu
P l a t o n und A r c h y t a s rechnen, zu skizzieren.
Die ersten wirklichen Nachrichten über die
Philolaos.
Lehre des Pythagoras rühren von P h i l o l a o s
her, einem älteren Zeitgenossen des Sokrates und Demokrit, der nach der
Vertreibung aus Unteritalien sich nach Theben geflüchtet hatte. Es scheint,
dass P l a t o n seine Schrift von den Erben in Sizilien gekauft und daraus

seine Kunde des Pythagoreismus und auch viele Anregung für seine eignen
mathematischen und philosophischen Gedanken geholt hat. Sein Neffe und
Nachfolger in der Leitung der Akademie, S p e u s i p p o s, hat die Schrift
geerbt und dessen Bibliothek hat A r i s t o t e l e s gekauft, der das Werk
veröffentlichte, d. h. mehrfach abschreiben liess. Nicht unbedeutende
Fragmente dieses Glaubensbekenntnisses der Pythagoräer haben sich
erhalten und A u g . B o e c k h hat ihre Echtheit dargetan. Ausserdem
besitzen wir eine geringe Anzahl echter Bruchstücke des Archytas und
haben an guten Quellen die Dialoge des P l a t o n: Philebos, Theätet,
Timäos, der ganz besonders wichtig ist, und die Physik und Metaphysik des
absolut zuverlässigen A r i s t o t e l e s, sowie einige Stellen des
E u d e m o s, die uns besonders durch Proklos erhalten sind.
P h i l o l a o s bezeichnet die Zahl als das Gesetz und den
Zusammenhalt der Welt, als herrschende Macht über Götter und Menschen,
die Bedingung aller Bestimmtheit und Erkenntnis. D a s B e g r e n z e n d e
aber und das Unbegrenzte, diese zwei Bestandteile
der Zahlen, sind die Dinge, aus denen alles
g e b i l d e t s e i . Die Zahl ist nicht bloss die Form, durch welche der
Zusammenhang der Dinge bestimmt wird, sondern auch die Essenz, das
Wesen, (nicht etwa die Materie), aus welcher sie bestehen, oder vielleicht
richtiger d a s G e s e t z, welches die Dinge erschafft. In Fortbildung des
auf Naturerkenntnis gerichteten Gedankengangs der Ionier erkannten sie die
Bedeutung der Zahl, insbesondere der relativen Zahl, für eben diese
Erkenntnis. Philolaos braucht die Ausdrücke ουσια, Wesen, und αρχη,
Grundlage. A r i s t o t e l e s und P h i l o l a o s selbst geben als Grund an,
dass alle Erscheinungen nach Zahlen geordnet sind, dass namentlich die
Verhältnisse der Sphärenharmonie und der Töne, alle ästhetischen, alle
räumlichen Bestimmungen, von gewissen festen Zahlen und
Zahlenverhältnissen beherrscht sind. (Symbolische Rundzahlen z. B. 40.
Kabbala der Chaldäer), und dass unsre Erfahrung nur in der Feststellung der
Zahlenverhältnisse besteht (vgl. Diels, Fragmente der Vorsokratiker p. 250).
Die Zahlen zerfallen in gerade und ungerade und die gerad-ungeraden
2 (2n + 1). Eins, die unteilbare monas, steht ausser oder richtiger über den
Zahlen; in der reinen Eins, die geradezu mit der Gottheit identifiziert wird,
sind die Gegensätze vereinigt, und so wird auch die Eins als gerad-ungerad
bezeichnet.

Zunächst möchte ich die scheinbaren Widersprüche, die sich bei
Aristoteles in seinem Bericht über die Grundlagen der Pythagoräischen
Philosophie finden, rechtfertigen. Zwischen der »phantastisch orakelnden,
grossartig erhabenen« Sprache des P h i l o l a o s und der Darstellung bei
A r c h y t a s, dem grossen Mathematiker, sind sicher nicht bloss zeitliche,
sondern auch sachlich bedeutende Differenzen. Ich zweifle gar nicht, dass
Archytas der Pythagoräer gewesen, dessen einfache Klarheit D i o n y s i o s
v o n H a l i k a r n a s s o s rühmt (Boeckh l. c. p. 43). Und zwischen beiden
gab es sicher zahlreiche Nuancen. Übrigens interpretiere ich die Stelle
Metaph. XIII, 8, 1083b so: »Die Körper bestehen auf Grund von Zahlen
(Verhältnissen).« Auf chemische Ideen der Pythagoräer habe ich schon in
meinem Aufsatz »Über Mathematik«, Bd. II, Heft 1 der Cohen-
Natorp'schen Hefte hingewiesen. Die Pythagoräer haben die
Tonempfindungen durch den Monochord in Zahlenverhältnisse
umgewandelt, und so sind sie es gewesen, welche zuerst den Schritt von
ungeheurer Tragweite getan, Qualitäten in Quantitäten umzusetzen und so
die Welt der äusseren Erscheinungen, die Physik, in die Welt der inneren
Verknüpfungen, die Mathematik, umzuwandeln. Und so kommen sie
naturgemäss darauf als ουσια, als Substanz, nicht als ὑλη, Materie, der
Dinge, das Bleibende in der Vergänglichkeit, die Zahl zu setzen, d. i. das
math. Gesetz. Als Belag für diese Auffassung genügt es auf die von Boeckh
p. 141 angeführte Stelle aus S t o b ä o s zu verweisen; Boeckh hat sie frei in
dem eben angeführten Sinne übersetzt, und den Vergleich mit dem Gnomon
meisterhaft interpretiert: »Das Erkannte (die Dinge) wird von dem
Erkennbarmachenden (der Zahl) umfasst und ergriffen, wobei eine
ursprüngliche Übereinstimmung und Anpassung, wie des G n o m o n um
sein Quadrat herum vorausgesetzt wird.«
Das Gnomon ist die ungerade Zahl 2a + 1, welche durch ihr
Hinzukommen aus a2 das Quadrat von (a + 1) liefert und zwar in der
geometrischen Form des Winkelhaken.
Eine nähere Ausführung zeigt die Analogie mit den
Chaldäern noch deutlicher, die Zuordnung von Zahlen an die
Planeten und an bestimmte Begriffe. Die Gerechtigkeit z. B.
entsprach dem ισακις ισος, dem Gleichmal gleichen, d. h. der 4
oder der 9, als der ersten geraden, bezw. ungeraden
Quadratzahl; 5 als Verbindung der ersten männlichen mit der

ersten weiblichen Zahl gleich Ehe, die Einheit Vernunft, weil sie
unveränderlich, die 2 Meinung, weil sie veränderlich etc.
Das Männliche und Weibliche bezieht sich auf die bekannten 10
Gegensätze des P h i l o l a o s: 1) Grenze und Unbegrenztes. 2) Ungerade
und Gerade. 3) Einheit und Vielheit. 4) Rechts und Links. 5) Männliches
und Weibliches. 6) Ruhendes und Bewegtes. 7) Gerades und Krummes. 8)
Licht und Finsternis. 9) Gutes und Böses. 10) Quadrat und Rechteck.
A r i s t o t e l e s berichtet uns auch in der Metaphysik über das
dekadische System. Die Zahlen über 10 sind nur Wiederholungen der ersten
10. (Eine A r t a r i t h m . K o n g r u e n z i d e e.) Die Dekas umfasst alle
Zahlen und alle Kräfte der Zahlen; sie heisst daher bei P h i l o l a o s gross,
gewaltig, alles vollbringend, Anfang und Führerin des göttlichen wie des
irdischen Lebens, sie gilt ihm nach Aristoteles als das Vollkommene,
welches das ganze Wesen der Zahl einschliesst. Wir danken es nur ihr, dass
uns ein Wissen überhaupt möglich ist.
Eine ähnliche Bedeutung hatte die 4heit nicht als 22, sondern weil
1 + 2 + 3 + 4 = 10, so wird in der Tetractys, dem Schwur der Pythagoräer,
die Zehn, d. h. die Zahl selbst als Wurzel und Quelle der ewigen Natur
gefeiert.
Auch von den anderen Zahlen hat jede ihre eigene Wesenheit, z. B. 3
ist die erste vollkommene, denn sie hat nur Anfang, Mitte und Ende (|||
älteste Zahlenschreibung); 6 die zweite gleich der Summe ihrer Teiler
1 + 2 + 3; 3, 4, 5 sind die Zahlen des vollkommensten rechtwinkligen
Dreiecks.
Sie sehen in dieser »Zahlenspielerei« den Ernst der Zahlentheorie, und
wenn Aristoteles uns erzählt, dass der Pythagoräer Eurytos die Bedeutung
der einzelnen Zahlen dadurch beweisen wollte, dass er die Figuren der
Dinge, denen sie äquivalent gesetzt wurden, aus der entsprechenden Zahl
von Steinchen (Kinderspiel: Pythagoras) zusammensetzen wollte, so sehen
Sie hier die Richtung gewiesen, welche die griechische Arithmetik (nicht
die Logistik, die Rechenkunst) während der ganzen klassischen Epoche
eingehalten hat; man vergleiche die Kapitel des Hauptarithmetikers
N i k o m a c h o s v o n G e r a s a über die figurierten Zahlen.
Ich komme damit auf die Anwendung der Zahlenlehre auf die
geometrischen Figuren. A r i s t o t e l e s sagt, sie haben die Linie durch die
Zahl 2 erklärt. P h i l o l a o s nennt 4 die Körperzahl, P l a t o n scheint die 3-

und 4-Zahl als Flächen- und Körperzahl von P h i l o l a o s entnommen zu
haben. Die Pythagoräer setzten die Einheit den Punkten gleich, weil die
μόνας (Leibniz' Monade) unteilbar; die gerade Linie als 2, weil sie durch 2
Punkte bestimmt sei, das Dreieck durch 3 Punkte, der einfachste Körper
durch 4 Punkte bestimmt seien.
Der Körper b e s t e h t ihm zufolge auf Grund der ihn umschliessenden
Linien und Flächen, wie die Linien und Flächen durch Punkte und Linien
determiniert werden. Von den 4 Elementen weisen sie nach P h i l o l a o s
der Erde den Kubus, dem Feuer das Tetraëder (eine Ableitung von
Pyramide), der Luft den Oktaëder, dem Wasser den Ikosaëder zu, dem
fünften alles umfassenden Element, dem Äther, den Dodekaëder, d. h. sie
nahmen an, dass die kleinsten Teile dieser Elemente die betreffende Form
hätten. (Hier haben wir also schon den Grundgedanken der Stereochemie,
nur kommt der Tetraëder dem Feuer statt der Kohle zu.) Daher heissen
diese Körper oft die kosmischen, und, da sich P l a t o n im Timäus von
P h i l o l a o s diese Zueignung angeeignet hat, so heissen sie auch oft die
platonischen.
Es scheint nicht unglaubhaft, dass der fünfte Körper, der Dodekaëder,
eine Entdeckung der Pythagoräer gewesen und im Zusammenhang damit
steht die Konstruktion des regelmässigen Fünfecks und damit des goldenen
Schnittes.
In der Geschichte des Erkenntnisproblems, Boeckh's Interpretation des
das die eigentliche Geschichte der Kultur ist, Philolaos.
bezeichnen die Pythagoräer einen grossen
Fortschritt gegenüber den Ioniern, da sie zum ersten Mal nicht in religiöser
sondern in philosophischer Form die Erkenntnis haben, dass die sinnliche
Erscheinung der Welt nicht das letzte, sondern dass ein geistiges Prinzip
dahinterstehe. Sie fanden es in der Mathematik, die ja auch Plato als
zwischen den Dingen und den Ideen stehend auffasst; und nicht weil sie
sich mit Mathematik beschäftigten, sahen sie in der Zahl die Substanz der
Dinge, sondern umgekehrt, weil sie nach einem die Erscheinungswelt
beherrschenden Gesetz der Vernunft s u c h t e n, f a n d e n sie dies in Mass
und Zahl. Das Hauptwerk für die Philosophie der Pythagoräer ist neben
B r a n d i s und Z e l l e r, die Geschichte der Phil. von R i t t e r 1828, wozu
die Kritik von E r n s t R e i n h o l d (Jena) im Jahrb. für wiss. Kritik 1828
p. 358 zu vergleichen ist. Am tiefsten scheint mir der grosse Philologe

A u g u s t B o e c k h in den Geist der Pythagoräer eingedrungen zu sein in
seiner Schrift: P h i l o l a o s des Pythagoräers Lehren etc., Berlin 1819.
Gegenüber Zeller, dem Klassiker der griechischen Philosophie, der aber
auch m. E. nach den Pythagoräern nicht gerecht geworden ist, ist
W . K i n k e l in seiner Geschichte der Philosophie als Einleitung in das
System der Philosophie Bd. 1, 1906 neben eigenen Auffassungen vielfach
auf R i t t e r und B o e c k h zurückgegangen. Bei dieser Sachlage sei mir ein
näheres Eingehen auf den Kern des Pythagoreismus gestattet.
Auch über den dunkelsten Punkt der Lehre des Philolaos hat Boeckh
mit bewunderungswürdig genialem Instinkt Licht verbreitet: Es ist die
Stelle Metaphysik I, 5 des Aristoteles: Του δε αριθμού στοιχεια το τ' αρτιον
και το περιττόν, τούτων δε το μεν πεπερασμενον το δε άπειρον, το δ' ἑν εξ
αμφοτέρων ειναι τουτων [και γαρ αρτιον ειναι και περιττον], τον δ' αριθμον
εκ του ἑνος. »Grundlegungen der Zahlen sind das Gerade und das
Ungerade, das erste begrenzt, das andere unbegrenzt. Die Eins besteht aus
beiden. Die Zahl aber stammt aus der Eins.« Was zunächst die Gegensätze
begrenzt (bei Philolaos und Platon richtiger begrenzend oder Grenze) und
Unbegrenztes, und Gerade und Ungerade, wie überhaupt die 10
Gegensatzpaare der Pythagoräer betrifft, so stimme ich Ritter bei, dass sie
den einen Heraklitischen Gedanken verkörpern, der Streit (id est die
Polarität) ist der Vater der Dinge. Gerade in der Ausgleichung dieser
Gegensätze besteht nach Philolaos die pythagoräische H a r m o n i e. Dann
aber hat Boeckh es hervorgehoben, dass hier in andrer Form in der Bildung
der Zahl aus Grenze und Unbegrenztem, auch Unbestimmtem, eigentlich
schon von den Pythagoräern genau dasselbe ausgedrückt wird, was ich
1884 chemisch rein von Kenntnis des Pythagoreismus auf S. 1 meiner
»Elemente der Arithmetik als Vorbereitung auf die Funktionentheorie«, sub
4, d gesagt habe: »d) wird die erzählte Zahl als Anzahl des abgezählten
Komplexes erhalten durch eine eigne Tätigkeit, welche den Zählprozess
abschliesst (begrenzt).« Und 1906 fügte ich hinzu: Hierin haben wir die
erste Äusserung des so entscheidend wichtigen G r e n z b e g r i f f s (Meth.
der elem. Arithm. p. 9 u.). Und ganz analog dem was bei Boeckh S. 55 über
1 und die unbestimmte Zweiheit, die erst durch Anwendung der
begrenzenden Eins zur zwei wird, gesagt wird, habe ich l. c. gesagt, dass
zwei im Grunde die einzige Zahl sei, und die Drei eine neue Zwei. In
diesem doppelten Zusammentreffen sehe ich wieder eine Bestätigung
meines Lieblingssatzes: Nie hat irgendwer irgendwas gefunden.

Der Grund, weshalb in sekundärer Weise die ungeraden Zahlen dem
Begrenzenden zugeordnet werden und die geraden dem Unbegrenzten,
scheint mir darin zu liegen, dass aufgelöst in Einheiten die ungeraden
Anfang, Mitte und Ende haben, die geraden nur Anfang und Ende, und die
Mitte unbestimmt ist. Ausserdem hat Boeckh wohl auch darin recht, dass im
Volke eine Bevorzugung der ungeraden Zahl herrscht: (Aller guten Dinge
sind 3, 1001 Nacht etc.).
Auch der Zusammenhang der Zahl mit der Zeit findet sich angedeutet.
Zeit und Raum verlegen sie an die Peripherie der Welt, von wo aus sie in
die Welt eintreten, und indem sie sich mit der schöpferischen Eins
verbinden die Erzeugung des Seienden bewirken. Hier liegt, wenn auch
bildlich verschleiert, die Ahnung von Zeit und Raum als Bedingung der
Erfahrung vor und zugleich davon, dass die Kategorie Zeit mittelst der
Kategorie Zahl die Welt der Erscheinungen realisiert d. h. begreiflich
macht.
Die Kosmogonie der Pythagoräer ist von Kosmogonie und Pantheismus
B o e c k h l. c. und in seinen Arbeiten zum der Pythagoräer.
Timäos des Platon erschöpfend
behandelt, sie ist voll tiefer Gedanken und der des Aristoteles entschieden
überlegen. Aber die gewaltige Autorität des Aristoteles, dem sich
P o s e i d o n i o s anschloss, hat die Entwicklung heliozentrischer Ideen wie
sie sich schon bei Philolaos und noch mehr bei H i k e t a s finden auf
Jahrtausende gehemmt, bis infolge der Renaissance K o p e r n i k u s auf die
Pythagoräer zurückging.
Nur noch ein paar Bemerkungen, welche für die Frage nach der
Priorität des Pythagoräischen Satzes wichtig sind. Der bei Philolaos (vgl.
Boeckh und Ritter) scharf ausgesprochene P a n t h e i s m u s und die
W e l t s e e l e weisen deutlich auf Indien, wie die Zahlenmystik, das grosse
Weltjahr auf Babylon. Wie die Babylonier den einzelnen Göttern einzelne
Zahlen zuordnen, so werden hier den einzelnen Göttern, d. h. den
Personifikationen von Kräften des Einen einzelne Winkel zugeordnet.
Möglicherweise können auch die O r p h i k e r mit ihrer Geheimlehre die
Vermittler zwischen dem Orient und den Pythagoräern gewesen sein.
Nach diesem Exkurs fahre ich in dem Mathematische Kenntnisse
Bericht über die rein mathematischen Kenntnisse der Pythagoräer.
der Pythagoräer fort.

Es ist sehr glaubhaft, dass ihnen das Sternfünfeck, das Pentalpha oder
pentagramma bekannt gewesen und dass sie sich desselben als Symbol für
»sei gesund« bedienten, wofür die bekannte Stelle aus Lukianos (pro lapsu
in salut.) angeführt wird (s. Fig.).
Das Θ statt des Diphtonges ει, die Figur als Anfang
der Briefe statt des sonst üblichen: »sei gegrüsst«.
In Verbindung damit steht die Kenntnis von den
Proportionen, der arithmetischen a - b = c - d, der
geometrischen a : b = c : d, und der Spezialfälle a - b =
b - c, a : b = b : c, d. h. des arithmetischen und
geometrischen Mittels, dem sie als drittes das
harmonische Mittel anreihten: ab -- bc = ac ; ( 2b = 1a + 1c ); harmonisch, weil die
Seitenlängen des Grundtones c der Quinte g der Oktave C 1, 23 , 12 diese
Proportion bilden, denn 1 - 23 : 23 - 12 = 1 1/ 2 . Dass sie diese Verhältnisse
kannten, bezeugt P h i l o l a o s ausdrücklich und ebenso E u d e m o s, und
sie fanden sie auch am Würfel anschaulich vor.
In der Geometrie schuldet man ihnen nach dem Zeugnis des Eudemos
bei Proklos den Beweis des Satzes von der Winkelsumme im Dreieck durch
Ziehen der Parallele und den Satz von den Wechselwinkeln.
Nach der durch Geminos, dem Eudemos vorlag, verbürgten Notiz im
Kommentar des E u t o k i o s zu den Kegelschnitten des Apollonios
bewiesen »die Alten den Satz für jede besondere Form des Dreiecks
einzeln, zuerst für das gleichseitige aus der Sechsteilung des Kreises, dann
für das gleichschenklige und zuletzt für das ungleichseitige.«
Diese Notiz ist für die G e s c h i c h t e d e s P a r a l l e l e n a x i o m s
von grösster Bedeutung, sie beweist, dass der vielleicht neueste Weg das
Axiom zu begründen, von der Sechsteilung des Kreises aus, zugleich der
älteste ist.
Wir haben ferner das Zeugnis des Eudemos, Proklos I prop. 44, dafür
dass die Pythagoräer sich schon mit den drei Aufgaben beschäftigten,
welche die Grundlage der Kegelschnitte enthalten: An eine gegebene
Strecke einen gegebenen Flächenraum zu entwerfen (παραβαλειν) bezw. die
Aufgabe (Euclid 1, 44 Eucl. 3, 28, 29) so zu verallgemeinern, an eine
gegebene Strecke AB einen gegebenen Flächenraum als Rechteck Ay so
anzulegen, dass ein Quadrat By übrig bleibt (ελλειψις) oder überschiesst

υπερβολή. Man sieht in der Tat (s. Fig.), wir haben: ax = y2; ax - x = y2;
ax + x2 = y2.
Nehmen wir dazu noch Das Irrationale bei den
die Kenntnis der Pythagoräer Pythagoräern.
von der I r r a t i o n a l i t ä t
d e r √ 2 und damit die Entdeckung des Irrationalen,
oder, wie es zuerst weit passender genannt wurde, des
ἄρρητον, so fehlt uns nur noch der Pythagoräische
Lehrsatz selbst.
Von der ungeheueren Revolution, die diese
Entdeckung des Irrationalen in den Köpfen der
griechischen Mathematiker hervorbrachte, haben wir
noch deutliche Spuren. Es wird uns erzählt, dass sie diese Kenntnis als das
Hauptgeheimnis behandelten und dass ein Pythagoräer, der es unter die
Leute gebracht, zur Strafe ertrunken sei. Man denke sich nur den Eindruck!
Die Zahl, die das Mass aller Dinge, die Grundlage aller Ordnung und damit
Erfahrung, hier versagte sie, und Grössen, deren Verhältnis in der Potenz, έν
δυνάμει, im Quadrat, das denkbar Einfachste, haben in der Linie kein
Verhältnis. Die ganze Grundlage des Gebäudes wankte, alle Satze, wie z. B.
die Streckenteilung, mussten neu geprüft werden. A r i s t o t e l e s hat uns
den mutmasslich ältesten Beweis erhalten:
»Wenn eine √ 2 existierte, so müsste Gerades gleich Ungeradem sein.«
Wir wissen aus dem Theätet, dass dann geometrische Beweise gegeben
sind; der für 2 ist im Euclid erhalten, der für ist vermutlich der, den
Bretschneider und ich selbst unabhängig von ihm gegeben, für 5 ist er
selbstverständlich. Theätet erzählt bei Plato, dass der Pythagoräer
Theodoros von Schritt zu Schritt bis zu 17 solche einzelnen Beweise
gegeben und dann den allgemeinen auf arithmetischer Grundlage, indem er
die Zahlen in Quadratzahlen und in Rechteckzahlen geteilt, d. h. in solche
die nicht in zwei gleiche Faktoren zerlegt werden können. Der Beweis war
also arithmetisch:
n = p2q, √ n = λ, λ2 = p2q, λ = p√q, √q = ν, q = ν2 gegen die
Voraussetzung.
Resumieren wir, so waren den Pythagoräern im wesentlichen die
geometrischen Sätze bekannt, die auf Gleichungen ersten und zweiten

Grades führten; das erste und zweite Buch des Euclid, ein grosser Teil des
dritten und des zwölften; und ihre Ausläufer insbesondere A r c h y t a s und
H i p p o k r a t e s haben schon die Probleme dritten Grades in Angriff
genommen.
Ich wende mich nun zu dem Satz, der den Der Pythagoräische Lehrsatz.
Namen des Pythagoras seit über 2 Jahrtausenden
trägt.
Über diesen grossen Satz, den magister matheseos, auf den die
Flächenrechnung und die Trigonometrie sich stützen, drückt sich
P r o k l o s sehr vorsichtig so aus: »Wenn wir auf die, welche alles erzählen
wollen, hören, so finden wir, dass sie diesen Satz auf Pythagoras
zurückführen und sagen, bei der Auffindung habe er einen Ochsen
geopfert.« Der erste Schriftsteller, welcher ganz bestimmt Pythagoras nennt,
ist der römische Architekt V i t r u v, und nur in Verbindung mit der
Hekatombe wird die Sache erzählt. H a n k e l sagt: »Doch möchte ich nicht
so weit gehen, den Satz dem Pythagoras abzusprechen, obwohl keine
einzige nur einigermassen glaubwürdige Nachricht darüber vorhanden ist.«
C a n t o r plädiert für Pythagoras selbst, und er hat darin wohl recht, dass
die Schule durch den Meister den Satz kennen gelernt; den Satz selbst aber
hat Pythagoras aus Asien und mit ausserordentlicher Wahrscheinlichkeit aus
Indien. Auf Babylon weist die Zahlenmystik, die Symbolisierung der
Begriffe in Zahlen, und auf Indien der Lehrsatz und die Lehre von der
Seelenwanderung.
M . C a n t o r hat noch in der 2. Aufl. die Die Geometrie der Inder.
indische Geometrie als nicht original erklärt, er
hat es wiederholt, dass wir die Geometrie nur auf indischer Grundlage nicht
begreifen können, ja, er hat sie von Heron von Alexandria, dessen Blüte
zwischen 100 v. Chr. und 100 n. Chr. schwankt, abhängen lassen, und das,
obwohl er die Existenz der S u l b a - s u t r a s, d. i. der S c h n u r r e g e l n,
der Zimmermannsregeln für die Herstellung der Opferstätte aus
T h i b a u t s schöner Arbeit in der Asiatic society of Bengal von 1875
kannte. Dabei hat 1884 der Sanskritist L e o p o l d v . S c h r ö d e r ein
Buch geschrieben: »Pythagoras und die Inder,« in welchem er bereits
ziemlich entscheidende Beweise für die Beeinflussung der Pythagoräer
durch die Inder beigetragen hat.

Ich schiebe hier einiges aus meinem Vortrag im mathem. Kolloquium
vom 2. Febr. 1903 ein. — Als ich für die Enzyklopädie den Artikel
Pythagoras abschliessen wollte, machte mich unser Indologe L e u m a n n
auf die damals gerade erschienene Arbeit von A . B ü r k über das
Apastamba Sulba-sutra (Zeitsch. d. Deut. Morgenl. Ges. Bd. 55, 1901, p.
543) aufmerksam. L e u m a n n gab mir auch die Schrift
L . v . S c h r ö d e r s »Pythagoras und die Inder« Dorpat 1884. Auf Grund
dieser Arbeiten inkl. Thibauts trat ich den Ansichten Schröders und Bürks,
dass der Pythagoras bei den Indern weit älter als bei den Hellenen und
vermutlich von den Indern her entlehnt sei, bei und machte die
Mathematiker auf die Arbeit B ü r k s aufmerksam, H o f f m . Z t s c h . 33,
S. 183, 1902. Wie B ü r k legte auch ich besonderen Wert auf das Auftreten
des Satzes vom G n o m o n, d. i. von der Gleichheit der
Ergänzungsparallelogramme, bei den Indern. Etwa ein Jahr später erschien,
auf Verlangen C a n t o r s beschleunigt, im Archiv ein Artikel desselben, in
dem er ebenfalls von der Arbeit Bürks Notiz nahm. Aber statt dass nun
Cantor die Selbständigkeit oder wenigstens die relative Selbständigkeit der
Inder, d. h. die Unabhängigkeit ihrer Geometrie von den Griechen
zugegeben, drückt er sich äusserst gewunden aus, ja selbst seine Heron-
Hypothese gab er nicht auf, indem er sie hinter der zweifelnden Frage am
Schluss versteckt, ob nicht am Ende in den Sulba-sutras verhältnismässig
moderne Einschiebsel seien. Das Auftreten von Stammbrüchen bei den
erstaunlich genauen Näherungswerten von √2 sollte auf Heron und
Ägypten hinweisen; aber sieht man näher zu, so liegt gerade hier ein
entscheidender Unterschied. Während bei den Ägyptern die gemeinen
Brüche als Summe von Stammbrüchen erscheinen, haben wir bei den
Indern auch Differenzen oder genauer Aggregate; und die Stammbruchform
rechtfertigt sich als Bruchteilung der Massschnur.
Kulturzusammenhänge bezweifle ich so wenig wie jeder der sich nicht
bloss mit der Kultur eines einzigen Volkes beschäftigt hat. Angesichts der
babylonischen Zahlenzerlegungen und der quadratischen Gleichungen der
Ägypter glaube ich persönlich, dass der Pythagoras Babyloniern wie
Ägyptern vielleicht schon vor 3000 v. Chr. bekannt war. A b e r
Glauben ist kein Beweis.
Und was den Einschub in das Sulba-sutra nach Apastamba betrifft, so
wäre der gleiche Einschub bei Taittirīya, Baudhāyana, Maitrāyana,
Katyāyana und Mānava, und im Satapatha-Brāhmana gemacht worden!

Als ich Heft 9 des B ü h l e r'schen Grundrisses der Indo-Arischen
Philologie, Astronomie, Astrologie und Mathematik von G . T h i b a u t las,
wunderte ich mich, wie befangen sich dieser hervorragende Kenner des
indischen Wissens auf dem Gebiet der exakten Wissenschaften der Autorität
C a n t o r s gegenüber zeigte. Derselbe Mann, der 1875 so treffend
geschrieben hatte: »Was nur immer fest mit altindischer Religion verknüpft
ist, muss betrachtet werden, als bei den Indern selbst entsprungen,
wenigstens so lange bis das Gegenteil erwiesen«, der liess sich verblüffen
durch Argumentationen von solcher Ungeheuerlichkeit, wie die rhetorische
Frage: »Kann unmittelbare Anschauung zur Erfindung neuer Satze führen?«
Ich sehe von J a k o b S t e i n e r ganz ab, von dem es ja notorisch ist, wie
viele seiner Sätze, gelegentlich auch unrichtigen, er der unmittelbaren
Anschauung verdankt, sondern weise nur auf E . E . K u m m e r hin,
gewiss ein reiner Mathematiker wie nur einer, und doch der eigentliche
Urheber der Modellgeometrie für Flächen. Herr B ü r k hat sich dann auch
nicht geniert, die Schwäche der Cantor'schen Argumente auch bezüglich der
Seilspannung beim Tempel von E d f u — nebenbei bemerkt erst 237 v. Chr.
— aufzudecken, und er wies mit Recht auf H . H a n k e l hin, dessen
dünnleibige Fragmente von einem fast prophetischen, wahrhaft genialen
Verständnis für die Seele der Völker zeugen. Angesichts einiger
Bemerkungen möchte ich hier sagen, dass ich von Bewunderung für die
beinahe übermenschliche Arbeitsleistung Cantors erfüllt bin, aber die
betreffenden Äusserungen in meiner Entwicklung der Elementargeometrie
aufrecht halte. Das Recht zur Kritik, das mir W e i e r s t r a s s zugestand,
lasse ich mir von niemandem und niemand gegenüber rauben, und wenn an
irgend einer Stelle, so gilt für die Wertung der indischen Mathematik durch
Cantor das Horazische:
Interdum bonus dormitat Homerus,
Nec semper arcum tendit Apollo.

Übrigens ist die indische Verwandlung des Rechtecks in ein Quadrat ohne
eine schulgerechte Analyse unmöglich, und bei der Ausmessung der
Saumiki vedi findet sich derselbe Beweis, den wir heute noch für die
Flächenformel des Trapezes geben.
Erklärlich wird das Verhalten Cantors durch sein Dogma, dass die
Hellenen speziell für Geometrie, die Inder für Arithmetik, insbesondere für
Rechnen begabt waren. Leider ist dies in dem Umfange, wie es Cantor

annimmt, falsch. Der leitende Gesichtspunkt der Entwicklung der
griechischen Mathematik war ein rein arithmetischer. Sie haben erst die
Gleichungen ersten Grades in Form der Proportion gelöst, dann die der
zweiten vermöge der Satzgruppe des Pythagoras und dann die Gleichungen
dritten Grades angegriffen, wie man absolut deutlich aus den beiden
sogenannten Delischen Problemen, der Verdoppelung, bezw.
Vervielfachung des Würfels und der Trisektion des Winkels erkennt, an die
sie sich unmittelbar nach der im zweiten Buch des Euclid ausführlich
behandelten Lösung der quadratischen Gleichungen machten. Und die
Inder, welche im Anfang ihrer Geschichte in der Astronomie und damit in
der Rechenkunst durchaus abhängig von Babylon waren, haben höchst
wahrscheinlich ihre Geometrie infolge ihres Kultus selbständig entwickelt.
Für die Abhängigkeit der Pythagoräer von Abhängigkeit der Pythagoräer
den Indern hat v . S c h r ö d e r auf die Lehre von von den Indern.
der Seelenwanderung hingewiesen; sie war ein
Hauptbestandteil der Pythagoräischen Lehre, unzweifelhaft, schon
Xenophanes berührt sie; Philolaos trägt sie vor; Aristoteles bezeichnet sie
als pythagoräisch; Plato hat seine poetische Darstellung von dem Zustand
nach dem Tode den Pythagoräern nachgebildet. Philolaos sagt, die Seele sei
an den Körper z u r S t r a f e gefesselt und gleichsam im Körper begraben.
Diese Anschauung hat P l a t o n in dem durch und durch von Philolaos
beeinflussten T i m ä o s angenommen, im Gegensatz zu seiner früher z. B.
im Phädon aufgestellten Ansicht.
H e r o d o t, der die Seelenwanderung als durchaus unhellenisch
bezeichnet, schreibt sie den Ägyptern zu, aber die Denkmäler der Ägypter,
soviel sie sich auch mit dem Tode und dem Leben nach dem Tode
beschäftigen, weisen keine Spur der Metempsychose auf. Und was für
einen Zweck hätten dann die riesigen Opfer, welche die Ägypter für die
Behaglichkeit des Kha brachten, ihre Pyramidenbauten, ihre
Einbalsamierung gehabt? Ein einziges ägyptisches Märchen, das von den
drei Brüdern, könnte allenfalls herangezogen werden, doch das gehört
unzweifelhaft in den Kreis der Osirissage.
Aber in Indien da beherrschte und Altindischer Kulturzustand.
durchdrang gerade um diese Zeit die Lehre von
der Seelenwanderung das ganze Volk. Wir wissen mit Bestimmtheit, dass
gerade um diese Zeit der Buddhismus hereinbrach, als dessen Ziel einzig

und allein die Befreiung von dem Kreislauf der Geburten, von der
Wanderung der Seelen durch immer neue Existenzen bezeichnet werden
muss. Und nicht Buddha Gautama war der erste (O l d e n b e r g 1881,
Buddha, sein Leben, seine Lehre, seine Gemeinde), sondern vor und mit
ihm durchzogen schon Asceten, Mönche, Wanderpriester teils einzeln, teils
schon Orden und Kongregationen bildend das Land, um in Busse das Ziel
der Erlösung zu suchen.
Buddhas Erfolg beruht gerade darauf, dass er den Zug nach Erlösung
von der sich immer wiederholenden Qual des S t e r b e n s durch seine
Lehre befriedigte.
Die Lehre von der Seelenwanderung Der Rigveda und der
entwickelte sich in Indien naturgemäss im Yajurveda.
Zusammenhange mit der Lehre vom All-Einen,
deren Wurzeln schon in dem Rigveda, der Sammlung der uralten heiligen
Lieder, die die Inder zum Teil beim Einwandern aus Afghanistan
mitbrachten, zu finden sind. Wohl sind auch ein paar weltliche Lieder dabei,
aber sie finden sich erst im 10. Buch des anerkannten Textes, der Redaktion
der Çakalaschule, das erst etwa um 1000 v. Chr. den übrigen 9 Büchern
oder mandala zugefügt ist, wenngleich ihr Ursprung natürlich viel älter ist.
Wenn wir uns den Kulturzustand der Inder, der Arya zurzeit der Entstehung
des Rigveda vergegenwärtigen wollen, so brauchen wir nur die Germania
des Tacitus zu lesen, nicht einmal der Spieltrieb fehlt, wie 10, 34 bekundet:
»Nach seinem Weibe greifen fremde Hände, indes mit Würfeln er auf Beute
ausgeht.« Auch hier ein freies Volk, der König eigentlich nur Herzog, d. h.
Heerführer im Kampfe, der Hausvater, der Sippenälteste, Herr und König in
seinem Hause und zugleich auch Priester. Eine eigentliche Priesterkaste, ein
Bramanentum gab es noch nicht, überhaupt kein Kastenwesen, auch keine
Witwenverbrennung. Das alles hat sich erst in der folgenden Periode
entwickelt und hängt mit der Ausbildung des Opferrituals eng zusammen.
Wohl spielt auch im Rigveda das Opfer, insbesondere das des Agni und
noch mehr des Soma eine bedeutende Rolle, aber im Vordergrund steht
doch der Hymnus. Übrigens ist die Periode des Rigveda nicht mehr die
altindogermanische, wie aus dem Zurücktreten des indogermanischen
Lichtgottes Djaus, Zeus, des Tiu der Germanen, angerufen als Djaùs-pitar,
Griech. Ζευ πατερ, umbrisch Dispiter, Lat. Jupiter (vgl. A. Kaegi, der
Rigveda Anm. 112), des Lichtgottes, des Himmelsvaters, und der Gäa, der
M u t t e r Erde, Prithivi, hervorgeht.

Auch die Götter des Rigveda müssen in der Brahmanen-Periode dem
Dreigestirn Brāhman, Vishnu, Çiva weichen. Der erstere eine priesterliche
Abstraktion der Weltseele, die beiden anderen, in den Veden erwähnt, aber
doch erst später hervortretend gegen Va r u n a, den Himmel, und I n d r a,
den Kriegsgott, den eigentlichen Nationalgott des Rigveda. Namentlich der
Kult des schrecklichen Zerstörers Çiva entstammt so recht eigentlich dem
Grund der einheimischen Volksseele, welche die Gewalt der Naturmächte
oder Götter als schwer versöhnliche Feinde der Menschheit empfindet. Im
übrigen sei für die altindische Kultur zur Vedenzeit auf H . Z i m m e r s
klassisches Werk: Altindisches Leben (1879) verwiesen.
In der auf die Rigvedazeit folgenden Die Bedeutung des Opfers.
Periode, der des Yajurveda, der Lehre vom Opfer,
und der Brāhmana-Texte, der Kommentare der einzelnen hervorragenden
Weisen, nimmt der Zug nach Erlösung von der Qual des Wiedersterbens
seinen Anfang. Und auf der andern Seite in der Flucht der Erscheinungen
bildet nur eins den ruhenden Pol, der Kern aller Wesen, der Atman
Brahman, der in allem ist, die heilige Weltseele. Seelen, die in der Hölle der
Existenz wandern, werden durch Busse erlöst zu einem seligen Sein auf
dem Monde, aber die gleiche Vorstellung findet sich bei den Pythagoräern,
nur dass an Stelle des Mondes die Sonne tritt, wie im Satapatha Brāhmana
die seligen Seelen als Sonnenstäubchen erscheinen.
Gemeinsam ist auch in der Buddha- und Pythagorassage die
Erinnerung an den früheren Seelenzustand.
v . S c h r ö d e r sagt in Pythagoras und die Inder:
»Wer nun mit dieser durch mehrere Jahrhunderte sich erstreckenden
Epoche der indischen Kulturgeschichte vertraut ist, der nur eigentlich
vermag es ganz zu ermessen, welch eine Rolle zu jener Zeit das Opfer mit
seinen unzähligen Details im Geistesleben der Inder spielte. Das gesamte
Sinnen und Trachten des hochbegabten Volkes ist in diesem Jahrhundert auf
das Opfer, seine Vorbereitung und Ausführung gerichtet. Die umfangreiche
Literatur, die als Zeuge jener Zeiten zu uns redet, handelt vom Opfer und
immer nur vom Opfer. Dem Opfer in allen seinen Einzelheiten wird die
höchste Bedeutung beigelegt, die Kraft Götter und Welten zu zwingen,
Natur und Menschen zu beherrschen. Wunderbar übernatürliche Macht
wohnt ihm inne und selbst die Kosmogonie geht auf das Opfer zurück. Aus
Opfern sind alle Welten und Wesen, alle Götter und Menschen, Tiere und

Pflanzen entstanden. Das Zeremoniell des Opfers, wie schon die
Yajurveden zeigen, ist ein ungeheuer kompliziertes und die kleinste
Äusserlichkeit wird mit einem Nimbus von Wichtigkeit umgeben, der für
uns nicht selten das Lächerliche streift. Die Vorbereitung zum Opfer, die
Fertigstellung des Opferplatzes etc. spielt hier eine hervorragende Rolle.
Dabei ist natürlich die K o n s t r u k t i o n d e r A l t ä r e von allerhöchster
Bedeutung. Jede Linie, jeder Punkt, jedes Formverhältnis war hier von
entscheidender Wichtigkeit und konnte nach dem indischen Glauben jener
Zeit, je nachdem es ausgeführt war, Segen oder Unheil bringen. Über die
G e s t a l t und G r ö s s e der A l t ä r e, ihr Verhältnis zueinander und zu
ihren einzelnen Teilen, zu den mannigfachsten abstrakten Begriffen, ihre
symbolische Bedeutung und die richtige, nicht bloss gottgefällige, sondern
selbst Götter z w i n g e n d e Art ihrer Herstellung haben Generationen eines
hochbegabten, für Spekulation und Abstraktion und namentlich für
rechnerische Leistung sehr beanlagten Volkes gegrübelt und immer wieder
gegrübelt.«
Und B ü r k und L e u m a n n stimmen dem zu.
Es mussten daher die Inder schon in jener sehr frühen Zeit gezwungen
werden, wenigstens auf dem Opferplatze eine Feldmesskunst auszubilden.
C a n t o r s Ansicht ist um so unbegreiflicher als er selbst sagt, dass die
Sulba-sutras Schriften von geometrisch-theologischem Charakter sind; wie
sie abgesehen von einigen ägyptischen Inschriften in keiner Literatur sich
wiederfinden.
Wenn nun P y t h a g o r a s in Indien war, so
Konstruktion der Opferstätten
konnte er nicht nur, so musste er von dort den und Altäre.
Satz über das Quadrat der Hypotenuse
mitbringen. Selbst C a n t o r hat sich dem, wie erwähnt, nicht ganz
verschliessen können.
Das Apastamba-Sulbasutra, die Lehre von der Messschnur nach
Apastamba, gehört in den Ausgang der Brāhmana-Literatur, der Zeit, die
auf die Veden folgt.
Die Veden, von Veda (Lehre, Wissenschaft), enthalten die ältesten
religiösen Satzungen: den Rigveda, soweit sie sich in Liedern formulieren,
und den (schwarzen und weissen) Yajurveda, der vom Opfer, seiner
Zurüstung, den Zeremonien etc. handelt. Die Veden sind kurz und dunkel.
Die riesige Brāhmana-Literatur bestand in Kommentaren zu den Veden, die

die Veden selbst als bekannt voraussetzen. Gehören die Veden der Zeit von
1200–1000 an, so gehen die Brāhmanas bis etwa 600, der Zeit vor dem
Auftreten Buddhas.
Die Sulba-sutras bilden in den verschiedenen Lehrbüchern der Schulen
ein Kapitel der Kalpa-Sutras oder Çrauta-Sutras, deren Aufgabe es ist das
Opferritual übersichtlich darzustellen, und ihr Sulba-Sutra gibt die Regeln
für die genaue Abmessung des Opferplatzes, der verschiedenen Altäre etc.
Diese Schulen entsprechen den Babylonischen Tempelhochschulen,
und wie die Fürstpriester Babylons stehen die altindischen Weisen, die rishi,
an genialer Begabung für religiöse und philosophische Spekulation keinem
Platon und Aristoteles nach.
Die Anfänge des indischen Opferwesens reichen bis in die Zeit des
Rigveda zurück; schon in ihm werden die Altar-Stätten (vedi) und der
dreifache »tri-schadhastha« Sitz des Agni, des Feuers (= lat. igni-s), des
sozusagen irdischen Gottes im Rigveda, die drei geschichteten Altäre
erwähnt: der Altar des Hausherrn, der garhapatya — der ahavanīya —
Opferaltar — und der daksinagni — Südaltar. Nach den Angaben des
Yajurveda handelte es sich bei dieser Dreiteilung um Quadrate, Kreise und
Halbkreise, die von gleicher Fläche sein mussten.
Das Verfahren wird selbstverständlich in
Altindische Geometrie.
dem Rigveda, den wir auf 1200 v. Chr. setzen,
nicht erwähnt, doch heisst es: »kundige Männer massen den Sitz des Agni
aus.« Die eigentliche Blütezeit des indischen Opferwesens war die Periode
der Brahmanas, welche nach L e u m a n n sich bis ins 7. Jahrhundert vor
Chr. erstreckt. L . v . S c h r ö d e r sagt in »Pythagoras und die Inder«, was
B ü r k und L e u m a n n akzeptieren: »Auf Grund dieser Sulba-Sutras und
unter Berufung auf noch bedeutend ältere Werke wie die Taittirīya-Samhita
(Sammlung) und das so hochbedeutende Satapatha-Brāhmana (die
hundertpfadige Lehre) lassen sich nun die geometrischen Kenntnisse
bestimmen, welche die Konstruktion der Altäre erforderte,« und ich werde
hier also Gelegenheit nehmen auf die altindische Geometrie näher
einzugehen.
Bei den Altären unterscheidet man die vedi, d. h. das Altarbett, und
den Agni, d. h. den beim Agni-Opfer und beim Soma- (dem heiligen
Trank-) Opfer aus meist quadratischen Backsteinen geschichteten
Feueraltar. Das Somafest wurde zu Ehren Indras, des Kriegsgottes, gefeiert.

Der Gott und die Krieger sollten sich berauschen an dem Somatrank, der
aus einer stark milchsafthaltigen Pflanze bereitet wurde. Es hatte so hohe
Bedeutung, dass der Somatrank selbst zum Gott gemacht wurde.
I. Ve d i . Die Inder legten grossen Wert auf genaue rechtwinklige
Herstellung ihrer Altäre, und Apastamba lehrt zu diesem Zwecke bei der
Vedi für das Somafest mehrere ganzzahlig rechtwinklige Dreiecke
anzuwenden, deren Masse zum Teil schon im Taittirīya- Text und im
Satapatha-Brāhmana vorkommen. Und auf diese bei der Saumiki vedi
gelehrte Methode der Ausmessung weist er bei einer Reihe andrer Vedis
zurück. Unter diesen ist erstens noch die Vedi der Sautramani-Zeremonie
hervorzuheben, welche nach einer alten Vorschrift 13 der Saumiki vedi
messen soll (T h i b a u t). Es handelt sich dabei um das Opfer für Indra Su-
trāman (Ζευς σωτηρ). Ihre Konstruktion geschah entweder mit Hilfe der tri-
karani oder trtīya-karani (der drei oder 13 machenden), d. h. entweder
mittelst der geometrischen Konstruktion von √3 oder √1/3, und das geht
nicht ohne Pythagoras (denn √1/3 = 1/3√3). Apastamba Kap. II, 2 steht die
Figur (s. S. 158), natürlich ohne Buchstaben. Ferner die vedi beim
asvamedha (Rossopfer); da diese doppelt so gross als die Saumiki vedi sein
soll, wird sie mit der dvi-karani; der √2, ausgemessen.
Damit ist auch die trtīya-karani erklärt: das Grundriss des Normalaltar.
Quadrat über der tri-karani ist in 9 Teile zu teilen
(Fig. S. 158).
Nur wenn die Vedi genau den Vorschriften entsprach, war das Opfer
Gott wohlgefällig, im andern Fall eine Beleidigung. Die genannten Arten
der Vedi und die meisten andern hatten die Form eines Achsentrapez; dies
musste zuerst in ein Rechteck verwandelt werden (Ap. V, 7), dessen
Berechnung, z. B. Ap. S. V 7 und 9 gelehrt wird.
II. A g n i — g e s c h i c h t e t e r F e u e r a l t a r . Alle in den
Brāhmanas und Sutras vorkommenden Vorschriften beziehen sich, wenn
nicht anders angegeben wird, auf den catur-asra syena-cit, auf den viereckig
falkenförmigen. Der atman (Wesen, Seele, Körper) des Altars, der die
Gestalt eines Falken in rohen Umrissen nachahmte, bestand aus vier
Quadraten über dem purusa (Menschenlänge) und der Schwanz und jeder
Flügel aus einem Quadrat-purusa; um der Gestalt des Vogels noch näher zu
kommen wird jeder Flügel um 1 aratni (Elle = 15 purusa) und der Schwanz

um 1 pradesa (= 110 purusa) verlängert (s. Fig.). Gemäss seiner
Zusammensetzung heisst dieser Altar auch agni saratni-pradesa saptavidha
(z. B. Ap. Sulb. s. XV, 3.).

Bei der Anlage der Grundfläche handelt es Altindische Geometrie zur
sich nun um die Konstruktion von Quadraten, Konstruktion der Altäre.
wofür Apastamba zwei Methoden überliefert. Die
erste Ap. VIII, 8 bis IX, 2 beschrieben, ist höchst altertümlich und primitiv
(Fig. 2), sie ist älter als die bei Thibaut beschriebene von Baudhāyana zum
caturasra-karana. Für alle vier Quadrate sieht sie aus wie Fig. 3, aus der sich
dann die von Baudhāyana beschriebene Fig. 4 entwickelt hat.

Die zweite jüngere ist die mittelst des visesa, d. h. mit einem Rest,
d. h. der Näherungswert 17/12 (Thibaut) für die √2, also 1,417, Fehler <
0,003; sie setzt den Pythagoras voraus für den Spezialfall. (Ap. Sulba sutra
IX, 3), bei Apastamba 54 70 78 = 1,4142156; der Bruch ist auf 5 Dezimalen
richtig
1 + 1/3 + 1/3·4 - 1/3·4·34; √2 = 1,414213; Fehler < 3/106.
Wenn der Inder durch das Opfer besondere Wünsche erzielen wollte,
so traten an die Stelle der Normalform die Kamyas, d. h. es gibt besondere
agnis für solche Zwecke. Dahin gehört der agni in Gestalt eines Falken mit
eingebogenen Flügeln und ausgebreitetem Schwanze, der in Form eines

gleichschenkligen Dreiecks praüga-cit, vordere ochsenjochförmig, eines
Doppeldreiecks, eines Wagenrads, rathacakra-cit, eines Troges etc. Aber so
mannigfach die Gestalten der Kamyas waren, so musste die Grundfläche
g e n a u s o g r o s s sein wie bei der Normalform. Man musste also schon
zur Zeit der Taittirīya Samhita verstehen, eine geometrische Figur in eine
andere ihr flächengleiche zu verwandeln.
Die Aufgabe zu diesem Zwecke war:
1. Beim kreisförmigen hatte man zunächst ein Quadrat = der 71/2
Quadrat-purusa messenden Grundfläche des caturasra syena-cit zu
zeichnen, was ohne Pythagoras nicht möglich, und d a s Q u a d r a t i n
e i n e n K r e i s z u v e r w a n d e l n.
2. Beim praüga-cit musste man das Quadrat 71/2 verdoppeln, also die
dvi-karani konstruieren; die Hälfte des Quadrats über der √2 gab dann das
gesuchte gleichschenklige Dreieck. Nun kommt das für die Geometrie
eigentlich Wesentlichste: Nach Satapatha-Brāhmana, Baudhāyana Sulb.
Sutra; Ap. S. und Ap. Sulba S. war der agni, wenn er das zweite Mal
konstruiert wurde, um einen Quadrat-purusa grösser als beim ersten Mal,
ebenso beim dritten um einen Quadrat-purusa grösser als das zweite Mal
und so fort. Also mussten die Inder spätestens schon zur Zeit der Sat. Brāh.
verstehen eine Figur zu konstruieren, die einer gegebenen ähnlich ist und zu
derselben in bestimmtem Verhältnis steht.
a) War nun der erstmals konstruierte agni der »einfache« (eka-vidha)
gleich ein Quadrat-purusa — was Apastamba nebenbei noch zulässt,
während Satapatha Brāhmana es verbietet — so hatte man den zweiten
ebenfalls quadratischen doppelt so gross herzustellen, den dritten dreimal
und Apastamba geht bis zum sechsfachen, d. h. der Reihe nach √2 √3 bis √
6 zu konstruieren, d. h. die Summe zweier Quadrate zu a d d i e r e n, also
Pythagoras.
b) War aber der erste agni der sapta-vidha wie meist, so konnte man
bei den folgenden Malen entweder, wie Baudhāyana vorschreibt, alle Teile
der Normalform proportional vergrössern und dann das, was hinzukam
zunächst in 15 gleiche Teile teilen, oder, wie Apastamba nach älterer
Tradition lehrt, nur die 7 purusas, nicht aber auch die beiden aratnis und den
pradesa des caturasra syena-cit zunehmen lassen und dann den Zuwachs in
7 gleiche Teile teilen. Ein solches Siebentel musste dann, wenn es zunächst
als Rechteck gezeichnet war, in ein Quadrat verwandelt werden (Apast. S.

S. II. 7) und hierbei tritt bei Apastamba die S u b t r a k t i o n von
Q u a d r a t e n als Hilfskonstruktion auf, und dieses Quadrat musste dann
mit jedem der sieben zu einem neuen Quadrat vereinigt werden.
3. Beim asva-medha musste der sapta-vidha von vornherein mit 3 oder
21 multipliziert werden, und beide Vorschriften sind nach Angabe des
Baudhāyana Sulba Sutra durch Brāhmana-Stellen belegt.
Wir sehen also, dass der Pythagoras und Pythagoras bei den Indern.
seine Satzgruppe eine geradezu prominente Rolle
beim indischen Opferkult spielt.
Wir kommen nun zu der Frage, wie alt ist der Pythagoras?
Ausgesprochen ist der Satz bei Baudhāyana, Katyāyana, Apastamba,
z. B. Ap. Sulba S. I, 7: Die Diagonale eines Rechtecks bringt beides hervor,
was die längere und die kürzere Seite desselben jede für sich hervorbringen,
und I, 5: Die Diagonale eines Quadrates bringt eine doppelt so grosse
Fläche des Quadrates hervor samasya dvi-karani (die das Doppelte
hervorbringende). Der Satz ist also jedenfalls so alt als die genannten Sulba
Sutras. Die des Apastamba bildeten den 24. Prasna (Buch) des Srauta Sutra,
und dieses kann nach der Untersuchung der Sanskritisten nicht nach dem
Anfang des 4. Jahrh. v. Chr. entstanden sein. Damit ist die Heron-
Hypothese Cantors ohne weiteres beseitigt.
Aber der Pythagoras ist den Indern, musste den Indern viel länger
bekannt sein. Zunächst ist das Baudhāyana S. S. wahrscheinlich mindestens
200 Jahre vor dem Apastamba Sulba Sutra redigiert; und dann ist klar, dass
die Vorschriften selbst weit älter sind als ihre schriftliche Fixierung.
Insbesondere scheint das Apast. Sulba Sutra durchaus die ältere Tradition
festgehalten zu haben. Dann aber finden sich Vorschriften über die
Vergrösserung z. B. des Asvamedha- und Sutrāmani-Altars und über die
Konstruktion der Kamyas in der Taittirīya Samhita und über die
Vergrösserung des falkenförmigen Normalaltars im Satapatha-Brāhmana,
die ohne Pythagoras unmöglich sind. Nun ist die Taittirīya S. noch etwas
älter als das Satapatha, und beide gehören zu einer Klasse von Werken, von
denen Oldenberg (Buddha 3. Aufl. S. 19) sagt: »Wir werden schwerlich
fehlgehen, wenn wir ihre Entstehung vom 10.-8. Jahrh. setzen.« Übrigens
wird dieses Minimal-Alter durch Bürk l. c. nachgewiesen mittelst zweier
Stellen, je eine aus der Taitt. Samh. und aus dem Sat. Brāh. Taitt. Samh. 6.
2, 4, 5 heisst es von der Vedi für das Somaopfer: Die westliche Seite ist 30

padas lang, die p r a c i 36; die östliche Seite 24, und genau dasselbe sagt die
Stelle im Satapatha-Brāhm. 10, 2, 3, 4.
Bei Baudhāyana erscheint der allgemeine
Pythagoras an zweiter Stelle, und er setzt hinzu: diesen
zweiten Fall erkennt man aus den Rechtecken mit den
Seiten 3 und 4, aus 12 und 5, aus 15 und 8, aus 7 und
24, aus 12 und 35, aus 15 und 36, und Cantor selbst
sagt 2. Aufl. S. 398: »Das ist nun offenbar der
Pythagoräische Lehrsatz, erläutert an
Zahlenbeispielen.« Das Fehlen der Hypotenuse darf
nicht auffallen. Die Taittirīya- und die anderen Srauta-
sutras sind die Yajurveden in der Redaktion der
betreffenden Schule und diese enthalten »diejenigen
Sprüche oder Verse, welche der die eigentliche Opferhandlung verrichtende
Priester, der Adhvaryu, zu sprechen oder zu murmeln hatte.«
Auch die Brāhmanas bieten keine fortlaufende Darstellung des Opfers,
sondern vielmehr Erläuterungen zu demselben. Im Sulba Sutra bei
Apastamba, da wird die wirkliche Konstruktion gegeben und da tritt denn
auch z. B. beim Dreieck 30 : 15 die ganzzahlige Hypotenuse 39 auf.
Somit ist der P y t h a g o r a s b e i d e n Das Alter des Pythagoras bei
I n d e r n a u s d e m 8 . J a h r h . s i c h e r den Indern.
k o n s t a t i e r t, aber höchst wahrscheinlich den
Indern schon viele Jahrhunderte vorher bekannt gewesen. (H . H a n k e l .)
— »Was nun das Alter der Sulba-Sutras betrifft, so weiss jeder, der sich mit
indischer Literatur beschäftigt hat, dass jedes Erzeugnis nach seinem
Zusammenhange mit der ganzen Literaturgruppe, zu der es gehört, beurteilt
werden muss.« (E . L e u m a n n .) Da kann nun kein Zweifel darüber sein,
dass die Sulbas, sie mögen niedergeschrieben sein wann sie wollen, zur
Yajurveden-Literatur gehören, d. h. zum Opferkult, sie bilden ein durchaus
nötiges Kapitel des Srauta Sutra, der bis aufs i-Pünktchen detaillierten
Lehre vom Opferzeremoniell und damit ist entschieden, dass ihr Inhalt bis
etwa 900 v. Chr., vielleicht sogar noch höher hinaufreicht, und insbesondere
zeichnen sich die Apastamba- wie die Taittirīya-Schule durch Bewahrung
alter Tradition aus. Nun sind noch zwei Punkte zu besprechen. Indische
Manuskripte sind verhältnismässig jung. Baumrinde kann sich an
Dauerhaftigkeit nicht mit Papyrus, noch weniger mit gebrannten Tontafeln

messen, zudem tritt die Schrift im eigentlichen Sinne bei den Indern
verhältnismässig spät auf und ist nicht original. Dasselbe würde ja auch für
das gewaltig umfangreiche Heldengedicht des M a h a b h a r a t a gelten.
Aber abgesehen davon, dass Zeichen analog den Runen der Germanen
vermutlich auch bei den Indern uralt waren, so war das Gedächtnis eben
durch den Mangel an Schrift enorm entwickelt. Leute, die täglich ein
Kapitel auswendig lernten, etwa wie die arabischen Geistlichen die Suren
des Koran, die kannten bald ganze Werke auswendig, und auch heute sind
solche Gedächtniskünstler nicht selten unter den Brahmanen.
Ein zweiter Einwand klingt einleuchtender. Die erstaunlich
verklausulierten Vorschriften der Kalpasutras sollen Zeichen der Erstarrung
und des Verfalls sein. Ganz abgesehen davon, dass die Indologen von Fach
die Blüte des detaillierten Opferkults zwischen 1000 und 800 setzen, ist
darauf folgendes zu erwidern: Das richtig vollbrachte Opfer hat die Macht,
die Götter unter den Willen des Opferers zu beugen; ich habe ja schon bei
Babylon darauf hingewiesen, dass die Arier sich der Gottheit nicht
annähernd so knechtisch gegenüberstellten wie die Semiten. Ein durch
Germanen, Hellenen und Inder, kurz durch die ganze Arische Welt
hindurchgehender Zug ist das Misstrauen gegen die Götter, die Furcht vor
ihrem Neide, die Teufelslehre knüpft hier an, und der Stammbegriff des
Wortes Teufel ist das Sanskritische Wort für Gott. Grade aus der ältesten
Zeit tiefster Religiosität stammt dies Gefühl und jene Genauigkeit ist grade
ein Zeichen der naiven Periode, es darf dem Gott auch nicht die leiseste
Handhabe geboten werden, seinem Unwillen über den auf ihn ausgeübten
Zwang Ausdruck zu verleihen.
Ich glaube nicht, dass irgend ein heutiger Indologe bezweifeln wird,
dass das Alter der Sulba-Sutras dem Inhalt nach bis mindestens 1000
heraufgeht, und dass sich die indische Geometrie auf dem Boden der
Opferlehre, des Aufbaues der Altäre entwickelt hat.
Was aber die Entlehnung des Pythagoras
Der Satz vom Gnomon.
von den Indern seitens des Pythagoras noch viel
sicherer macht, das ist das Auftreten des sogenannten Gnomon, des Satzes
von dem Ergänzungsparallelogramm. Schon B r e t s c h n e i d e r sagt, dass
die Kenntnis dieses Satzes dem Pythagoras mutmasslich zur Auffindung des
Satzes gedient hat, und Hankel sagt l. c. mit ahnungsvollem Scharfblick,
diese Herleitung erscheine wahrscheinlich. Aber eben dieser Gnomon war

den Indern auch bekannt. B a u d h ā y a n a geht mittelst desselben vom
Quadrat mit der Seite 16 zu dem mit der Seite 17; er sagt z. B.: Wenn man
aus 256 quadratischen Backsteinen ein Quadrat gebildet habe, so soll man
nun 33 Backsteine hinzufügen. Und A p a s t a m b a sagt II, 7, es folgt nun
eine allgemeine Regel: Man fügt: 1. das [Rechteck], welches man mit der
jedesmaligen Verlängerung (und mit den Seiten des gegebenen Quadrates)
umzieht [d. h. herstellt], an den zwei Seiten des Quadrates, nämlich an der
östlichen und an der nördlichen hinzu, und 2. an der nördlichen Ecke das
Quadrat, welches durch die Verlängerung hervorgebracht wird; dazu die
Figur und das ist klipp und klar
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Der Satz konnte ihnen, da sie meist mit Backsteinen arbeiteten, gar
nicht entgehen.

Dass die Inder den Satz gefunden haben, ist Die Pythagoräischen Dreiecke
natürlich nicht bewiesen, aber so lange bei den Indern.
babylonische und ägyptische ältere Quellen uns
nicht zur Verfügung stehen, sind sie diejenigen, die am frühesten
nachweisbar den Satz besessen haben und die Auffindung kann ganz gut so
wie B ü r k es angibt, geschehen sein; sie kann aber auch ganz leicht direkt
erfolgt sein, zunächst für das Dreieck 3, 4, 5 durch Drehen der Schnur, was
ja eine ihnen ganz geläufige Operation war. Es kommen im Apastamba
Sulba-Sutra 5 »erkennbare«, d. h. ganzzahlige rechtwinklige Dreiecke vor,
die Inder sagen: Rechtecke.

3 4 5
51213
72425
81517
123537
153639, letzteres
das wichtigste für die Vedi. Davon fallen die ersten 3 auch unter die von
Proklos ausdrücklich dem Pythagoras, bezw. seinen Schülern
zugeschriebenen Formeln 2a + 1; 2a2 + 2a; 2a2 + 2a + 1; die beiden
folgenden sind platonisch 2a; a2 - 1; a2 + 1.
Das letztere ist dem zweiten ähnlich; aus Apastamba V, 4 folgt, dass
diese Ähnlichkeit ihm völlig klar war. Angesichts von T h i b a u t s
Darstellung in B ü h l e r s Grundr. ist es nicht uninteressant an der Hand der
Sulba-Sutras nachzusehen, was den Indern jedenfalls um 800 v. Chr. an
geom. Kenntnissen zur Verfügung stand. Ich benutze T h i b a u t s
Übersetzung des Baudhāyana und B ü r k s Übers. des Ap. S. S. im 56.
Bande der Zeitschrift der D. Morgenländischen Gesellschaft. Das
Werkzeug, dessen sie sich für ihre Konstruktionen bedienten, war die
Schnur (sulba oder rajju), und gelegentlich auch ein Bambusstab. Ich
beginne mit der Konstruktion des einfachen Quadrats, Ap. Kap. VIII, 5–10,
IX, 1.
»Man schneide an einem
Bambusrohr in einer Entfernung
gleich der Höhe des Opferers mit
emporgehobenen Armen (der purusa,
Menschenlänge, später war das Mass
die babylonische Doppelelle) zwei
Zeichen (A und B) ein, und in der
Mitte ein drittes (die Mitte wird durch
die zusammengelegte Schnur
bestimmt). Man lege das Bambusrohr
westlich von der Grube des
Opferpfostens längs der prsthya (d. i.
Rückenlinie, die schon zuvor ein für allemal von Westen nach Osten prak
gezogen war, daher sie auch oft praci heisst). Schlage an den Einschnitten
Pflöcke ein (D, E, F), mache (das Rohr) von den beiden westlichen

(Pflöcken E und F) los und beschreibe (von F aus) in der Richtung nach
Südosten einen Kreisbogen bis zu dem (östlichen) Ende (des zu konstr.
Quadrats).« Entsprechend verfährt man von F aus, legt das Rohr von E über
G nach H, schlage in H einen Pflock ein, befestige in H das mittlere
Zeichen des Rohrs, lege die beiden andern an die Enden der beiden Linien
und schlage in die beiden Zeichen zwei Pflöcke.
Hier haben wir die Konstruktion des Lotes Altindische Geometrie.
mittelst der S y m m e t r i e a c h s e, und die
gemeinsame Tangente zweier Kreise im speziellen Falle und die
Quadratkonstruktion, die wir mit 4 Kreisen ausführen, zugleich eine Art
mechanischer Konstruktion, die bei den Hellenen Neusis heisst (s. unter
Apollonius).
Diese Methode gilt als die älteste für die »Quadratmachung«, das
Catur-asra-karana, älter als die des Baudhāyana, welche die Figur auf
S. 148 zeigt. Von der einfachen Quadratform war dann der Agni vom
einfachen bis zum 6fachen des Grundquadrats, es musste also mittels
Pythagoras das Quadrat mit 2, 3, 4, 5, 6 multipliziert werden. Dann kam der
Saratni-pradesa saptavidha, d. h. also der caturasra syena-cit, der viereckig
falkenförmige, und dann die Vorschrift: Was beim 8fachen und den
folgenden von den 7 verschieden ist, teile man in 7 Teile, und lasse in jedes
purusa einen Teil eingehen, weil die Veränderung der Gestalt nicht
schriftgemäss wäre. Auch hier hat Apastamba weitaus die ältere Methode,
während B., wie oben gesagt, die Zunahme auf alle 10 Flächen
gleichmässig verteilt, da auch paksa und puccha, Flügel und Schwanz,
berücksichtigt werden, was schon recht komplizierte Teilungs- und
Messungsoperationen voraussetzt. A. geht bis zum 101fachen des
Quadratpurusa.
I, 2 Konstruktion der Achsentrapez-förmigen Opfergrube, Vedi,
mittelst des rechtwinkligen Dreiecks 36, 15, 39.

Man nimmt eine Massschnur (pramāna, A1B1 = 36, Fig. 1), verlängert
sie um ihre Hälfte (bis G), macht dann am westlichen Drittel (d. h. also von
G aus) weniger 1/6 desselben ein Zeichen (H). Man befestigt die beiden
Enden (der verlängerten Schnur) an den Enden der prsthya, zieht an dem
Zeichen nach Süden (daksina), ebenso verfährt man im Norden (uttara), und
nachdem man vertauscht hat, nämlich die in A und G befestigten Enden,
nach beiden Seiten (im Osten). Denn die Fertigstellung durch diese wird
eine Verkürzung oder eine Verlängerung (12, 17) herbeiführen.

I, 3 wird dann zur Konstr. des rechten Winkels das Dreieck 3, 4, 5
analog benutzt (Fig. 2).
I, 4 und 5 d e r P y t h a g o r a s.
Bei Apastamba zuerst in 4 der allgemeine:
Die Querschnur (aksnaya-rajju, Diagonale) eines Rechtecks, was die
längere und kürzere jede für sich hervorbringt, das bringt sie zusammen
hervor. Mittelst dieser und zwar solcher, die »erkennbar« sind, ist die
Konstruktion (in § 2 u. 3) gelehrt worden. (jneya würde wohl besser mit
»feststellbar« d. h. als ganzzahlige rechtw. Dreiecke wiedergegeben.)
5. Die Diagonale des Vierecks erzeugt die zweifache Fläche
(ausdrücklich das Wort bhumi Fläche, dvis-tāvati bhumi), sie des Quadrats
Doppeltes hervorbringende (dvi-karani). Viereck, schlechtweg catur-asra,
ist wie das griechische τετραγωνον das Quadrat, um aber ganz deutlich zu
sein, wird es im Nachsatz sama »das mit gleichen Seiten« genannt.
Katyāyana unterscheidet sogar die beiden Arten gleichseitiger Vierecke.
6. K o n s t r u k t i o n d e s b e s s e r e n
Wurzel aus 2.
N ä h e r u n g s w e r t e s d e r √ 2 .
Man verlängere das Mass A B um seinen dritten Teil und diesen
wieder um seinen vierten Teil weniger einem 34stel dieses vierten Teils
(Fig. 3). Die √2, die dvi-karani von karana »machen«, heisst (sa-visesa)
d. h. d i e Z a h l m i t d e m R e s t. Die Verlängerung ist der visesa; √2
ist also 1 + 13 + 3 1· 4 - 3 · 41· 3 4 = 54 70 78 = 1,4142156; da √2 = 1,414213, so ist der

Fehler kleiner als 3 Einheiten der 6.
Dezimale. Der Näherungswert des
Baudhāyana ist 11 72 = 1,417, also genau
bis auf 0,003. G . T h i b a u t hat ganz
richtig (bis auf einen kleinen
Rechnungsfehler) angegeben, wie sie
zu beiden Näherungswerten gekommen sind. Sie suchten zunächst nach
einem Quadrat, das doppelt so gross wie ein anderes sei, und fanden, dass
2·122 annähernd gleich 172, und setzten daher √2 = 11 72 , wodurch der Gott ja
nicht zu wenig erhielt. Da sie aber genauer verfahren wollten, so setzten sie
(17 - x)2 = 288. Dass ihnen der Satz vom Gnomon bekannt, wird gleich aus
dem Text nachgewiesen werden. Das ergab 34x - x2 = 1, und indem sie das
ersichtlich sehr kleine x2 vernachlässigten, setzten sie 34x = 1, also x = 314
und somit die Dvi-karani (rajju) gleich 11 72 - 112 · 314 , was ja immer noch eine
Zugabe enthielt.
Hervorzuheben ist hier zunächst die i n t u i t i v e E r f a s s u n g der
Ähnlichkeit. Sodann setzt die Konstruktion die Teilung der Strecke im
vollen Umfang voraus, aber auch Ansatz und Lösung einer Gleichung.
Ausserdem geht aus der Bezeichnung der √2 als der Zahl mit dem Rest
hervor, dass sie sich bewusst waren, die √2 zwar g e o m e t r i s c h, aber
nicht arithmetisch genau konstruieren zu können, d. h. also, dass sie bis zu
einem gewissen Grade in diesem einen Falle die Erkenntnis der
I r r a t i o n a l e n hatten. Ob sie den B e g r i f f des Areton, des Alogon
gehabt haben, bleibt freilich durchaus zweifelhaft; aber, und darauf ist der
Hauptwert zu legen, d i e s e N ä h e r u n g s k o n s t r u k t i o n k a n n
keine Frucht des Zufalls sein, sondern sie musste
e i n e F o l g e z i e l b e w u s s t e r T ä t i g k e i t s e i n.
Kap. II, 1 wird dann die eben konstruierte Savisesa-Grösse zur
Konstruktion des Quadrats benutzt. Sehr hübsch ist das Sama-caturasra-
karana in I, 7, wo gleich alle 4 Quadrate des Atman des Falkenförmigen
konstruiert werden mittelst der Raute, die aus zwei gleichseitigen Dreiecken
besteht. (Euklid I, prop. 1. Die Figur wird wohl genügen.)

II, 2 wird dann, wie schon oben S. 156 beschrieben, die dvi-karani und
mit ihr nach I, 4 die tri-karani und mittelst ihrer in II, 3 die √1/3 als 1/3√3
konstruiert.
II, 4 wird der Pythagoras zur Addition Anwendungen des
zweier Quadrate verwandt, II, 5 dann zur Pythagoras.
Subtraktion; es wird ein r e g e l r e c h t e r
B e w e i s in N 6 m i t t e l s t d e s P y t h a g o r a s g e g e b e n. Wir
sehen, dass die Bedeutung des Pythagoras für die Flächenrechnung
vollkommen klar erkannt ist; es wird systematisch multipliziert, addiert,
subtrahiert und dann dividiert, wozu es erforderlich ist, ein Rechteck in ein
Quadrat zu verwandeln; dies lehrt I, 7. Das Rechteck heisst dirgha-
caturasra, directum quadrangulum, die Aufgabe das sama-caturasra-
cikirsana. Wünscht man das Rechteck in ein Quadrat zu verwandeln, so
schneide man mit der kürzeren Seite ab, teile den Rest, füge an beiden
Seiten hinzu, fülle den leeren Platz mit einem zugefügten Stück, dessen
Subtraktion gelehrt worden ist.

Addition zweier Quadrate. Subtraktion zweier Quadrate.

M. H. Diese Verwandlung s e t z t n o t w e n d i g
d i e A n a l y s i s voraus a(a + b) = a2 + ab = a2 + 2 a2b =
a2 + 2 a2b + ( b2 )2 - ( b2 )2 = (a + b2 )2 - ( b2 )2.
S i e k o m m t m . W. b e i d e n H e l l e n e n
n i c h t v o r.
III, 1. Will man ein Quadrat in ein Rechteck
verwandeln, so mache man eine Seite so lang als man
das Rechteck wünscht. (Es ist ganz klar, dass hier die
2
Rechnung xy = a die Analyse gibt, und dass sie wissen, dass eine Seite
unbestimmt bleibt, also »so lang sein kann als man wünscht«.) Darauf füge
man den Rest zu dem Rechteck hinzu wie es passt. Die Methode wird dann
von dem Kommentator Sundara des Baudh. an dem Beispiel des Quadrats
mit der Seite 6 erläutert (s. Fig.), das in ein Rechteck mit der Seite 4
verwandelt werden soll 36 = 4 . 6 + 4 . 2 + 4 . 1 = 4(6 + 2 + 1) = 4 . 9.

Hochinteressant ist es, dass hier die I n h a l t s g l e i c h h e i t wie bei
W o l f g a n g B o l y a i aufgefasst wird. Der Kommentator des Baudh.,
G . T h i b a u t 1875 l. c. 247, gibt dann unsere auf den Satz von den
Ergänzungsparallelogrammen gegründete Kegel, doch kommt dies für die
altindische Geometrie nicht in Betracht.
III, 2. Ve r w a n d l u n g e i n e s Verwandlung des Quadrats in
Q u a d r a t s i n e i n e n K r e i s (nötig für den den Kreis und v. v.
Aufbau des rathacakra-cit, s. Fig.), denn »so viel
als verloren geht, kommt hinzu«. Der Kreis hat den Radius MN = MG + 13
GE und wenn MG = 1 gesetzt wird, so ist MN = 1 + 13 des visesa =
1 + 0,414213 : 3 = 1,138071, also 1,1380712π = 4, also π = 3,0883 = 18(3 -
2√2) = 105/34. Die Regel scheint durch Probieren gewonnen, die halbe
Seite ist zu klein, und die halbe Diagonale zu gross.

III, 3. K r e i s - Q u a d r a t u r, nötig für Vervielfältigung des
»Wagenradförmigen«. Als Seite wird 13/15 des Durchmessers genommen,
also π = 169 . 4/225 = 3,004. Baudhāyana hat genau den vorhin ermittelten
Wert für π nämlich 105/34 und gibt als Regel an 78 + 8 .1 2 9 - 8 . 219 . 6 +
1
8 . 29 . 6 . 8
vom Durchmesser. Dies setzt erstens eine s e h r
b e d e u t e n d e G e w a n d t h e i t i n d e r B r u c h r e c h n u n g voraus,
zweitens die Auflösung einer reinquadratischen Gleichung, d. h. die
Ausziehung der Quadratwurzel, da der Wert λ = √π4 = √11 03 56 = √
0,77205882353 = 0,8786688 mit seiner Zahl 9785/11136 = 0,878682
übereinstimmt bis auf 13 Einheiten der 6 Dezimale!
III, 7. Eine Schnur bringt jedesmal soviel Reihen hervor als sie Masse
enthält, d. h. ein Quadrat über a Längeneinheiten enthält a Reihen von
Flächeneinheiten zu a; also die Inhaltsformel des Quadrates, die in § 4, 6, 8,
10 spezialisiert ist.

III, 9. D e r S a t z v o m G n o m o n: Es Der Satz vom Gnomon.
folgt nun eine allgemeine Weise (nämlich ein
Quadrat zu vergrössern, s. Fig.). Man fügt das (Rechteck), welches man mit
der jedesmaligen Verlängerung umzieht, an zwei Seiten (Norden und Osten)
hinzu und an der (nordöstlichen) Ecke das Quadrat, welches durch die

betreffende Verlängerung hervorgebracht wird. — D. h. also nichts anderes
als (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Der Satz vom Gnomon konnte ihnen, da sie ihre Quadrate
vergrösserten und meist mit quadratischen Backsteinplatten arbeiteten, nicht
entgehen, und dass in ihm die Quelle des Pythagoras liegt, haben
Bretschneider und Hankel gesehen. Der durch die punktierte Linie
angedeutete Beweis, der sich bei Bhaskara findet, heisst noch heute der
indische und beruht vermutlich auf uralter Tradition.
Kap. IV, 4 wird gelegentlich der Anlage der Dreieck und Trapez.
drei Feueraltäre (S. 145) die Konstruktion des
Dreiecks aus den drei Seiten gelehrt.
Man teilt eine Schnur gleich dem Abstand zwischen garhapatya und
ahavanīya (der, falls der Opferpriester ein brāhmana war, 8 Schritt betrug)
in 5 oder 6 Teile, fügt einen 6. bezw. 7. Teil hinzu, teilt das Ganze in 3 Teile
und macht am westlichen Drittel ein Zeichen, dann befestigt man die beiden
Enden am garh. und ahav., zieht die Schnur an dem Zeichen nach Süden
und macht ein Zeichen; das ist, gemäss der Schrift, die Stätte des
daksinagni.
Sie wissen, wie man sieht, dass 2 Seiten eines Dreiecks zusammen
grösser sind als die dritte.
Kap. V ist von besonderer Bedeutung. Zuerst § 1
die Konstruktion der grossen Vedi für das Somaopfer
aus I, 2, nur dass statt des Rechtecks das
Achsentrapez gezeichnet wird; das rechtw. Dreieck
oder nach indischem Sprachgebrauch das Rechteck
ist das mit den Seiten 36 und 15 und der Diagonale
(Hypotenuse) 39. Ganz besonders ist § 3 interessant.
Es heisst da: [Sind] die beiden Seiten eines Rechtecks
3 und 4, so ist die Diagonale 5. Mit diesen legt man
die beiden amsa (Schultern), nachdem man sie je um
ihr Dreifaches verlängert hat, fest, und nachdem sie
um ihr Vierfaches verlängert worden sind, die beiden sroni (die Schenkel).
Hier leuchtet ein, dass sie mit dem Begriff Ähnlichkeit.
der Ähnlichkeit vertraut gewesen sind. Das
gleiche gilt bei No. 4. Die beiden Seiten 12 und 5, die Diagonale 13. Mit

diesen die beiden Amsa und nachdem sie um ihr Doppeltes verlängert sind,
die sroni.

V, 5. Das Dreieck 15, 8, 17 gibt die sroni; sind die Seiten 35 und 12, so
ist die Diagonale 37, mit diesen die amsa.
So viele »(als rational) feststellbare« Konstruktionen der vedi gibt es.

V, 7. Die grosse Vedi (d. h. die sub 2–5 konstruierte Saumiki Vedi)
misst 972 (Quadrat) pada (Fuss). Man ziehe vom südlichen Amsa zur
südlichen sroni hin zu 12 (s. Fig.). Darauf drehe man das abgeschnittene
Stück um und füge es auf der Nordseite hinzu. S o e r h ä l t d i e Ve d i
d i e G e s t a l t e i n e s R e c h t e c k s . In dieser Form berechne man den
Inhalt 27 . 36 = 972.
Hier haben wir einen vollgültigen Beweis, denselben, den wir heute
noch geben,
V, 8. Für die Sautrāmani-Zeremonie wird gelehrt: Man opfere in dem
3. Teil der vedi des Soma-Opfers; hier tritt die trtīya-karanī an Stelle des
pramana (des Grundmasses). Oder man konstruiere mit der tri-karani (√3).

Hierbei sind die kürzeren Seiten 8 und 10 und die
p r s t h y a (d i e R ü c k e n l i n i e) das 12fache desselben. (Ich vermute,
dass die Vedis den Querschnitt durch einen menschlichen Rumpf darstellen
sollten.) Hier ist die Ähnlichkeit sogar erfasst als A b ä n d e r u n g d e s
M a s s s t a b s!
Und das wird durch die Vorschriften in V, 10 und VI, 1 bestätigt. In V,
10 heisst es: Die Vedi des asva-medha, des Rossopfers, soll das Doppelte
der saumiki vedi sein und in VI, 1 heisst es: Es tritt die dvi-karani des
Masses an Stelle desselben!
Es folgen nun in den Sulba-Sutras die detaillierten Vorschriften für den
Aufbau der verschiedenen Kamyas; sie sind alle in Beziehung auf die
speziellen Wünsche gedacht, der falkenförmige Agni z. B. für den, der die
himmlische Welt zu erlangen wünscht, weil der Falke sich dem Himmel am
nächsten aufschwingt. Die Vorschriften für die Anfertigung der Ziegel
offenbaren ein ganzes Teil mathematischer Kenntnisse, insbesondere der
Flächenteilung, wie beim Anblick der Figur das vakra-paksa-syena-cit des
Falken mit den krummen Flügeln klar wird.

vakra-paksa-syena-cit.
Aber das hier Mitgeteilte genügt, um den Standpunkt der indischen
Weisen etwa um 900 v. Chr. zu beurteilen. Zunächst ist es Ehrenpflicht, des
Mannes zu gedenken, der zuerst auf die Sulba-Sutras als Schlüssel zur
Geometrie der Inder hingewiesen. Es war A . C . B u r n e l l, der in seinem
»Catalogue of a Collection of Sanscrit Manuscripts« 1869 p. 29 gesagt hat:
»Wir müssen die Sulba-Teile der Kalpa-sutras ansehen als die ersten
Anfänge der Geometrie unter den Brahmanas.« Die Kenntnisse selber sind
achtbar genug; sie umfassen so ziemlich das ganze erste Buch des Euklid
inkl. I, 47 (der Pythagoras), Streckenteilung, Flächenberechnung,

Ähnlichkeit und die Kenntnis einer Anzahl ganzzahliger rechtwinkliger
Dreiecke.
Auch die arithmetischen Kenntnisse der Altindische Arithmetik.
Sulba-sutras sind keineswegs unbedeutend; sie
kennen Quadratwurzelausziehung, auch Die Null bei den Indern.
Auflösung von Gleichungen, sind mit der
Bruchrechnung vertraut. Gegen die Rigveda-Zeit zeigen die Yajur-veden
sehr erhebliche Fortschritte. H. Zimmer l. c. p. 348 gibt an, dass die höchste
bestimmte Zahl im Rig-veda 100000 sata sahasra ist; aber schon in der
Yajurveden-Zeit, wie z. B. in der Taitt. Samh. und im Satapatha-Brahmana
finden sich Zahlworte bis zu 10 Billionen, und im Mahabhārata Zahlworte
für die Potenzen von 10 bis 1017. Im Rig-veda kommen nur wenig Brüche
vor; ardha halb, auch sami, pada ein Viertel (der Fuss des Rindes), tri-pad
drei Viertel, sapha ein Achtel (Halbhuf der Kuh), kala ein Sechzehntel. Als
eine Grosstat, wozu sich zwei gewaltige Götter, Indra und Vishnu,
vereinigen müssen, gilt die Teilung von 1000 durch 3. Dagegen finden sich
schon im Satapatha-Br. eigene Namen bis zu 15-430-1 als Zeitmass, und die
Sulbas, insbesondere Baudh., haben hoch entwickelte Bruchrechnung. Was
das indische Positionssystem betrifft, kann höchstens noch, vgl.
Babylonien, die Einführung der Null in Frage kommen. Nun kommt die
Null vor in dem Manuskript von B a k h s h a l i. In Bakhshali (im
nordwestlichen Indien) wurden 1881 Bruchstücke eines Manuskripts auf
Birkenrinde ausgegraben. Da die Indologen das Alter dieses Manuskriptes
oder seines Inhaltes jetzt auf den Beginn unserer Ära setzen, so müssen wir
es hier besprechen. Es enthält Textgleichungen, auch diophantische, und die
Kuttaka- d. h. Zerstäubungs- id est K e t t e n b r u c hmethode; diese würde
damit vermutlich schon 500 Jahre vor A r y a b h a t a indischer Besitz
gewesen sein; ferner Summation arithmetischer Reihen, ein eigenes
Subtraktionszeichen; und was für uns das Bedeutsamste ist, es enthält die
Null in Form eines Punktes . als Zeichen für das leere Feld und als
Bezeichnung der Unbekannten, die ja auch vorläufig leer ist. Die erste
sonstige Erwähnung der Null, auch in Form eines Punktes, findet sich in
Subandhu's Vasavadatta, wo die Sterne mit Nullen verglichen werden, die
der Schöpfer bei der Berechnung des Wertes des Alls wegen der absoluten
Wertlosigkeit des Samsara (Weltgetriebe) mit seiner Kreide — der
Mondsichel — überall auf das Firmament einzeichnete. (G . B ü h l e r,
Grundriss der Indo-Arischen Philol. u. Altertumskunde II, 11 p. 78.) Die

Null in Kreisform kommt zuerst in den Cicavole Kupferplatten vor. Ihr
Name ist eigentlich sunya-bindu und wird abgekürzt zu sunya oder bindu.
Über die verschiedene Bezeichnung der Zahlen und Ziffern vgl. Bühler l. c.
Kap. VI, die Zahlenbezeichnung.
Wenden wir uns nun aus Indien nach Hellas Eleaten: Xenophanes,
zurück und zunächst zu den Eleaten. Parmenides.
X e n o p h a n e s aus Kolophon, ein jüngerer
Zeitgenosse des Pythagoras, ist ihr Stifter. Das Weltganze als
unvergängliches, ewig unveränderliches, ewig gleichartiges Sein ist sein
Gott, er ist der erste wirkliche Pantheist. Wenige Fragmente seiner
Lehrgedichte sind erhalten, aus denen ich die Stellen anführe:
ἑις θεος εν τε θεοισι και ανθρωποισι μεγιστος,
ουτε δεμας θνητοισιν ὁμοιιος ουτε νοημα.

Ein Gott unter den Göttern und unter den Menschen der Grösste, nicht
an Gestalt den Menschen vergleichbar noch auch an Denkkraft.
Und an einer andern Stelle sagt er, nachdem er gegen den
Anthropomorphismus geeifert: »Wenn die Pferde und Ochsen ihre Götter
malen könnten, so würden sie dieselben ohne Zweifel als Pferde und
Ochsen darstellen.« Xenophanes ist der Urheber der Lehre vom ἑν και παν,
von der Einheit aller Dinge, wie Platon und Aristoteles, Theophrast und
Timon übereinstimmend bezeugen. Ob der Pantheismus des Xenophanes
von den P y t h a g o r ä e r n beeinflusst ist, ob beide von den O r p h i k e r n,
und diese wieder von den I n d e r n hierin beeinflusst sind, wage ich nicht
zu entscheiden.
X e n o p h a n e s, der sich in Elea in Lukanien niedergelassen hatte, ist
für uns besonders wichtig, als Lehrer des P a r m e n i d e s aus Elea, des
eigentlichen Hauptes der E l e a t e n, welche noch weit schärfer als die
Pythagoräer, ja bis zum Extrem, die Priorität der Begriffe vor den
Erscheinungen gelehrt haben. Geboren etwa um 515 aus vornehmer
Familie, fällt seine ακμή, seine Blütezeit, etwa um 480. Die Lehre der
Pythagoräer war ihm vertraut; ohne der Schule anzugehören, hat er sich die
Sittenlehre der Pythagoräer zur Richtschnur genommen, während er als
Philosoph die Lehre des Xenophanes, welche hauptsächlich theologischen
Charakter hatte, weiterbildete. Er hat seine Ansichten in seinem Lehrgedicht
περί φύσεως niedergelegt, von dem uns nicht unbedeutende Bruchstücke

erhalten sind, welche zuletzt von D i e l s mit dem ganzen Rüstzeug
philologischer Schärfe herausgegeben sind. (H. Diels, P. Lehrgedicht,
griech. und deutsch, Berl. 1891.)
P a r m e n i d e s ging weit über Xenophanes Eleaten: Parmenides, Zenon.
hinaus. Es gibt, ihm zufolge, nur ein einziges
unteilbares lückenloses Kontinuum des Seienden, unveränderlich, nicht
werdend, nicht geworden, unbeweglich, zeitlos. Es ist klar, dass die Eleaten
mit der Veränderung auch das Zeitproblem ausschalteten. Die Zeit, mitsamt
der Vielheit der Dinge, ihr Werden und Vergehen, wird uns durch die Sinne
vorgetäuscht (die M a j a der Inder!), als Bleibendes, als einziges Sein
erkannten sie nur das des Begriffes, und das enthält die Zeit nicht mehr.
Indem Parmenides aussprach, dass wahres bleibendes Sein nur dem
Begriffe zukommt, identifizierte er Denken und Substanz. Das für uns
interessanteste ist, was Parmenides über den Raum sagt. Da zitiere ich l. c.
Vers 42 ff. die Stelle:
αυταρ επει πειρας πυματον, τετελεσμενον εστι
παντοθεν, ευκυκλου σφαιρης εναλιγκιον ογκωι
μεσσοθεν ισοπαλες παντηι· το γαρ ουτε τι μειζον
ουτε τι βαιοτερον πελεναι χρεον εστι τηι η τηι.

»Aber da es eine letzte Grenze gibt, so ist er von allen Seiten aus
abgeschlossen, der wohlgerundeten Kugel ähnlich an Gestalt, von der Mitte
aus an Kräften gleich überall, denn da darf es kein Mehr oder Weniger, Hier
oder Dorten geben.« Hier also bei Parmenides treffen wir Jahrtausende vor
R i e m a n n die Hypothese von der Endlichkeit des Raumes an und
zugleich das Axiom von der Gleichförmigkeit des Raumes. Parmenides hat
auch das Verdienst, auf das P r o b l e m der K o n t i n u i t ä t weit deutlicher
hingewiesen zu haben als die Pythagoräer, die das Problem allerdings auch
in ihrer geometrischen Veranschaulichung der Zahlenbeziehungen gestreift
haben. Und Z e n o, der dritte grosse Eleat, hat grade durch diese Frage
seine bleibende Stelle in der Geschichte der Mathematik:
Z e n o n (Ζηνων) aus Elea, der Sohn des Die Paradoxien des Zenon.
Teleutagoras, ist ungefähr 500 geboren und seine
Reife fällt um 450. Es ist sein Verdienst, die Schwierigkeiten und
Widersprüche, welche der Begriff der Bewegung, wie überhaupt der der
Veränderung enthält, aufgedeckt zu haben, Widersprüche, welche zu ihrer
Auflösung den G r e n z b e g r i f f, diesen wichtigsten aller mathematischen

Begriffe erfordern. Eine Geschichte der D i f f e r e n t i a l r e c h n u n g wird
stets von Zeno und seinen berühmten P a r a d o x i e n auszugehen haben.
Von Zeno aufgestellt, um einerseits die Einheit und Unveränderlichkeit des
Seins und andrerseits die Unbeweglichkeit des Seienden zu beweisen, sind
sie uns in der Fassung des A r i s t o t e l e s, Physik 202a, 210b erhalten und
die Beweise insbesondere durch den Kommentar des S i m p l i c i u s zur
Physik des Aristoteles.
A) Beweise gegen die Vielheit des Seienden.
1. Wenn das Seiende Vieles wäre, so müsste es zugleich unendlich
klein und unendlich gross sein. Unendlich klein, denn jede Vielheit ist
Summe von Einheiten, diese selbst aber unteilbar (Pythagoräer), also hat sie
keine Grösse, ist nichts, also ihre Summe desgleichen. Andrerseits muss
jede solche Vielheit, um zu sein, Grösse haben, ihre Teile voneinander
entfernt sein, die Teile der Teile desgleichen und so fort, also müssen sie
unendlich gross sein.
2. Zeigt Zeno, dass das Viele auch der Anzahl nach begrenzt und
unbegrenzt zugleich sein müsste. B e g r e n z t, denn es ist so Vieles als es
ist, nicht mehr und nicht weniger. U n b e g r e n z t, denn zwei Dinge sind
nur dann zwei, wenn sie voneinander getrennt sind; damit sie getrennt sein,
muss etwas zwischen ihnen sein usw.
Als konsequenter Denker und ausgezeichneter Dialektiker l e u g n e t
Zeno in Numero 3 den R a u m.
3. Die Dinge scheinen sich im Raum zu befinden, aber das ist nicht
wahr, es gibt gar keinen Raum. Denn jedes Ding ist in einem andern; ist nun
der Raum wirklich, so ist auch er in einem andern Dinge, und muss doch
wohl in einem andern Raume sein; von diesem gilt nun dasselbe wie vom
ersten, es ist also kein letzter Raum denkbar, mithin auch kein erster und
überhaupt keiner. (Dies ist wörtlich Kants Antinomie.)
4. Ein fallendes Korn macht kein Geräusch, aber der Scheffel, also
auch das Korn, denn 0 + 0 wäre 0; also täuscht uns das Gesicht, wenn es
uns eine Vielheit von Körnern vorspiegelt.
B) B e w e i s e g e g e n d i e B e w e g u n g .
1. Der sich bewegende Körper, der durch unzählig viele Punkte
hindurchgehen müsste, was nicht möglich.

2. Der A c h i l l e u s; Achilleus, der 100mal schneller als die
Schildkröte ist, kann diese, wenn sie einen Vorsprung von einem Stadion
hat, nicht einholen, denn während er das Stadion zurücklegt, kommt die
Schildkröte um 0,01 vorwärts, und so fort in inf.
3. Der fliegende Pfeil müsste in einem bestimmten Augenblick an
einem bestimmten Orte sein und nicht sein.
Ein vierter Beweis bezieht sich auf die Relativität der Bewegung.
(Einem ruhenden Körper gegenüber scheint die relative Bewegung zweier
sich mit gleicher aber entgegengesetzter Geschwindigkeit bewegender
Körper verdoppelt.) Sie sehen, wie bei Zeno der Begriff der unendlichen
Reihe nach Gestaltung ringt; den infinitären Prozess hat er erfasst, aber
noch nicht seinen Abschluss, den G r e n z b e g r i f f, auf dem die
K o n v e r g e n z der Reihe beruht, und der zugleich das D i f f e r e n t i a l
liefert. Den hat erst ein grösserer als Zeno, den hat D e m o k r i t erkannt.
Aber Sie sehen auch, dass die ganze Lehre von der Bewegung, von der
Veränderung überhaupt, von der Stetigkeit, von der Grenze ihre Quelle bei
Z e n o hat, der seinerseits in der Erfassung des Widerspruchs an die
Pythagoräer anknüpft.
Die Bearbeitung der Paradoxien des Zeno hat sehr viel Gedankenarbeit
hervorgerufen, ist doch nach H e g e l die Auflösung des Widerspruchs die
Hauptarbeit des menschlichen Geistes. Die Paradoxien des Zeno kehren in
anderer Form immer wieder. Es genügt, an B e r k e l e y zu erinnern und
seine Kritik des infiniment petit. Aber sie haben noch heutigen Tages ihre
Geltung für nicht hinlänglich philosophisch durchgebildete Mathematiker,
erst vor wenigen Wochen las ich in einer mir zur Durchsicht gegebenen
pädagogischen Arbeit so ziemlich dieselben Einwände.
Insbesondere haben sich, wie in der Natur der Sache liegt, die
Scholastiker mit Zenon beschäftigt, und namentlich der grösste der
Scholastiker und einer der grössten Denker überhaupt, T h o m a s v o n
A q u i n o, hat die Paradoxien mit grossem Scharfsinn kritisiert. Die völlige
Überwindung der Schwierigkeiten danken wir G a l i l e i, L e i b n i z,
B o l z a n o, an den K e r r y in Versuch eines Systems der Grenzbegriffe
anknüpft. Aber vor allen diesen, insbesondere auch vor G . C a n t o r, hat
A r i s t o t e l e s das schwierigste Paradoxon, B 1, aufgeklärt. Die einzelnen
Punkte der Raum- und Zeitstrecke zwischen Anfang und Ende der
Bewegung lassen sich gegenseitig eindeutig einander zuordnen, d. h. in der

Sprache G . C a n t o r s: die Raum- und Zeitstrecke sind von gleicher
M ä c h t i g k e i t, und dieser so hochmoderne Begriff hat seine Quelle bei
A r i s t o t e l e s, der Zeno gradezu als den E r f i n d e r d e r D i a l e k t i k
bezeichnet.
Was den Achilleus betrifft, so bildet er heutzutage eins der typischen
Beispiele der Grenze, indem die Differenzen zwischen den Reihenzahlen 1,
01 und [11/9] eine N u l l r e i h e bilden.
Mit den Paradoxien des Zeno haben sich auch B a y l e, D e s c a r t e s
und L e i b n i z beschäftigt, von Neueren nenne ich C h . L . G e r l i n g
(Marburg). E d . W e l l m a n n, Prgr. Frankf. a. O. 1870, P. T a n n e r y,
Rev. philos. B. X, 1885. T a n n e r y behauptet, dass Zeno nur habe
beweisen wollen, dass der Raum nicht aus Punkten, die Zeit nicht aus
Augenblicken bestehe, aber ohne Beweise für seine Behauptung
beizubringen. Diese Sätze selbst sind von A r i s t o t e l e s Phys. VI, 1, 231
a 24 bewiesen. Ich erwähne noch J . H . L o e w e, Böhm. Gesellsch. d.
Wiss. VI. Folge 1. Bd. 1867, und Ü b e r w e g, System d. Logik 5. Aufl.
1882 S. 245 ff.
Das Mathematikerverzeichnis des Paradoxien des Zenon;
P r o k l o s erwähnt den Zeno nicht, es wertet die Anaxagoras, Oinopides.
»Begriffsmathematiker« nicht, sondern grade so
wie noch heute, zählt es nur die doch gegen jene sekundären
»Problemmathematiker«, die geschickten Handwerker der Mathematik, zu
den wirklichen Mathematikern. Zunächst wird A n a x a g o r a s erwähnt,
aber nicht als Philosoph, nicht wegen des monotheistischen Prinzipes, der
Vernunft, des νους, der die Welt geordnet hat, sondern weil er sich im
Gefängnis mit der Quadratur des Zirkels beschäftigt hat. Danach wird
O i n o p i d e s genannt, der die Konstruktion des zu fällenden Lotes aus
Ägypten importiert haben soll, und es fährt dann mit Hippokrates aus Chios
fort, den man nicht mit Hippokrates aus Kos, dem Vater der Medizin,
verwechseln darf. Proklos sagt: »Nach diesen wurden H i p p o k r a t e s
d e r C h i e r, der die Quadratur der Möndchen fand, und T h e o d o r o s
aus Kyrene in der Mathematik berühmt.«
Hippokrates gehörte dem Hippokrates von Chios und
Pythagoräischen Kreise an, A r i s t o t e l e s seine Möndchen.
erwähnt seiner als eines Menschen, der im
gewöhnlichen Leben unbeholfen und stumpfsinnig gewesen, »βλαξ και

άφρων,« und doch ein tüchtiger Mathematiker. (Übrigens auch heute noch
nichts Seltenes.) Nach Verlust seines Vermögens soll er in Athen von
mathematischem Unterricht gelebt haben. Ob er wirklich Mitglied des
Bundes war, ist nicht sicher, jedenfalls knüpft seine Beschäftigung mit der
Quadratur und der Winkelteilung an den Gedankenkreis der Pythagoräer an.
Seine Blütezeit fällt etwa um 430 v. Chr.
Ihnen allen sind ja die Lunulae Hippocratis Lunulae Hippocratis.
bekannt. Sie haben den Satz gelernt in der Form:
die beiden Halbmonde, begrenzt von den Halbkreisen über den Katheten
nach aussen und dem über der Hypotenuse nach innen sind gleich dem
rechtwinkligen Dreieck. Und dieser Satz steht als Satz des Hippokrates
selbst in der 6. Aufl. des einzigen in bezug auf historische Angaben
zuverlässigen Elementarbuches, das ich kenne, »die Elemente der
Mathematik« von R . B a l t z e r, ja selbst im R o u c h é von 1900.
H i p p o k r a t e s hat nur einen Mond (Meniskos, lunula) quadriert und
zwar zuerst den, dessen äusserer Bogen der Halbkreis, dessen innerer der
Quadrant ist. Den allgemeinen Satz von den Lunulae gleich dem
rechtwinkligen Dreieck fand ich weder bei H e r o n, noch P a p p o s, noch
bei Cardano, Vieta, Clavius, Gregorius a. St. Vincentio, und Sturm, wohl
aber in der Ausgabe des T a q u e t von W h i s t o n und zwar schräg
gedruckt, also nicht von Taquet herrührend, und noch früher in der 4.
Ausgabe der Elemente der Geometrie von 1683 bei P a r d i e s, Soc. Jesu.
Der Satz ist aber zweifelsohne erheblich älter. — Die Arbeit des
Hippokrates ist durch einen Glücksfall erhalten.
S i m p l i c i u s aus Kilikien, der Neuplatoniker, der zu den von
Justinian 529 vertriebenen Professoren der Hochschule Athen gehörte, hat
einen umfangreichen Kommentar zur Physik des Aristoteles verfasst und
uns darin ein Bruchstück aus des E u d e m o s Geschichte der Mathematik
aufbewahrt. Es ist zuerst von B r e t s c h n e i d e r griechisch und deutsch
1870 publiziert nach der lateinischen Ausgabe L . S p e n g e l ' s: »Eudemi
Rhodii Peripatetici Fragmenta quae supersunt.« Berlin 1865, 2. Aufl. 1870,
während der Kommentar des Simplicius schon 1526 bei Aldus Manutius in
Venedig gedruckt ist und 1882 in dem grossen Kommentar der Aristoteles-
Ausgabe der Berliner Akademie von H . D i e l s.
Die wichtigste neuere Arbeit zur Simpliciusfrage ist die von R u d i o
1902 in der Bibliotheca mathematica von Eneström: »Der Bericht des

Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates.«
Aristoteles bekämpft in seiner Physik im 1. Buch an einer Stelle die
eleatische Weltanschauung, die das Seiende als eins und unwandelbar
auffasste, und erklärt dabei, dass man nicht alle falschen Sätze widerlegen
müsse, sondern nur solche, die nicht schon von vornherein gegen die
Prinzipien verstossen, und als Beispiel gibt er an: So ist zum Beispiel der
Geometer verpflichtet, die Quadratur (sc. des Zirkels) mittelst der Segmente
zu widerlegen, die des Antiphon aber nicht. Und hierzu gibt Simplicius
einen Bericht über die genannten Quadraturen, der für uns vorn historischen
Standpunkt aus gradezu unschätzbar ist.
Es ist R u d i o gelungen, nach Vorarbeiten von P. T a n n e r y, dem
vor kurzem gestorbenen grossen Kenner hellenischer Mathematik und
hellenischer Wissenschaft, und A l l m a n, seinem englischen Nebenbuhler,
den Text des Eudemos wohl so ziemlich endgültig festgestellt zu haben.
Rudio hat durch eine einzige, ganz nahe liegende, schlagend einfache
Konjunktur Licht und Klarheit in den ganzen Bericht und zugleich in den
Gedankengang des Hippokrates gebracht und zugleich sein Urteil über
Simplicius als eines durchaus tüchtigen Mathematikers, wie dies ja von
Simplicius dem Philosophen schon feststand, begründet. Es handelt sich um
das Wort τμήμα, das von τεμνω schneiden herkommt und allgemein irgend
einen Abschnitt, im speziellen Kreissegment, bezeichnet, aber auch, wie
Rudio bemerkt, den Sektor und an der entscheidenden Stelle kann es nur
Sektor heissen; dann lautet die Stelle nach Rudio:
»Aber auch die Quadraturen der Möndchen, die als solche von nicht
gewöhnlichen Figuren erschienen wegen der Verwandtschaft mit dem
Kreise, wurden zuerst von Hippokrates beschrieben und schienen nach
rechter Art auseinandergesetzt zu sein, deshalb wollen wir uns ausführlicher
mit ihnen befassen und sie durchnehmen. Er bereitete sich nun eine
Grundlage und stellte als ersten der hierzu dienenden Sätze den auf, dass
die ähnlichen Segmente der Kreise dasselbe Verhältnis haben wie ihre
Grundlinien in der Potenz (δύναμις), d. h. im Quadrat. Dies bewies er aber
dadurch, dass er zeigte, dass die Durchmesser in der Potenz dasselbe
Verhältnis haben wie die Kreise. Wie sich nämlich die Kreise verhalten, so
verhalten sich auch die ähnlichen Sektoren (τμήματα). Ähnliche Sektoren
nämlich sind die, die denselben Teil des Kreises ausmachen wie z. B.
Halbkreis und Halbkreis und Drittelkreis und Drittelkreis; deswegen

nehmen die ähnlichen Segmente auch gleiche Winkel auf. Und zwar sind
die aller Halbkreise rechte und die der grösseren kleiner als rechte, und
zwar um so viel, um wie viel die Segmente grösser als Halbkreise sind, und
die der kleineren grösser und zwar um so viel, um wie viel die Segmente
kleiner sind.«
Sie sehen, Hippokrates kannte die Sätze vom Peripheriewinkel ganz
genau; er hat den wichtigen Satz Euklid, Elem. XII, 2; k : k´ = d2 : d´2
bewiesen, vermutlich wie Euklid, ihm war die Ähnlichkeitslehre völlig
vertraut wie allerdings schon den Pythagoräern, er kannte, wie aus dem
folgenden hervorgeht, auch den sogenannten e r w e i t e r t e n Pythagoras.
Was nun die Quadratur der Halbmonde betrifft, so kann es keinem
Zweifel unterliegen, dass Hippokrates von folgender von Tannery, aber
auch schon einige Jahrhunderte früher von V i e t a, angegebenen Erwägung
ausgegangen ist:
ε : i = p : q z. B. 5 : 3; 5ε = 3i und pε = qi
Dann sind die Segmente e1 und i1, welche von den kleinen Sehnen
abgeschnitten werden, ähnlich und es ist e1 : i1 = re2 : ri2. Wenn nun re2 : ri2
gleich q : p gemacht wäre, so wäre e1 : i1 = q : p (hier 3 : 5) und damit pe1 =
qi1, d. h. aber d e r S e h n e n z u g i m ä u s s e r e n B o g e n
schneidet so viel an Fläche ab, als der des inneren
h i n z u b r i n g t und das Möndchen ist gleich der von des beiden
Sehnenzügen begrenzten geradlinigen Figur. Damit aber der Halbmond
quadrierbar sei, ist nötig, dass die Figur mit Zirkel und Lineal konstruiert
werden könne, und dies tritt ein für pq = 21 ; 31 ; 32 ; 51 ; 53 .
Sie sehen aus der Gleichung Winkel εi = pq = ri2/re2 oder re2 . ε = ri2i, dass
die Sektoren AEB und AJB flächengleich sein müssen, dazu ist AB = AB,
also re sin ε/2 = ri sin i/2, also haben wir die entscheidende Gleichung: √p
. sin i/2 = √q . sin ε/2.

Die elementare Behandlung findet sich bei V i e t a (Variorum de rebus
mathem. responsorum liber VIII 1593). H i p p o k r a t e s hat die Fälle 2/1,
3/1, 3/2 erledigt; die Fälle 5/1 und 5/3 von T h . C l a u s e n, Crelle 21
(1840). Sämtliche 5 quadrierbare Möndchen finden sich aber schon in der
Dissertation von M. J . W a l l e n i u s (Abveae 1766). Vgl. den Artikel 6
bei M . S i m o n, Über die Entwicklung der El. Geom. im 19. Jh. p. 73
(1906). Der Fall 2/1 ist der bekannteste, er sichert Hippokrates das
Verdienst, die erste krummlinige Figur quadriert zu haben. Den Fall 3/2
findet man ausführlich bei F . E n r i q u e s Questioni riguardanti la Geom.
elem. (1900) p. 518, er bietet, trigonometrisch behandelt, keinerlei
Schwierigkeit. Den Fall 4/1 behandelt V i e t a. Er führt auf eine reine
Gleichung 3. Grades und damit auf die Ve r d o p p e l u n g d e s
W ü r f e l s, und dass Hippokrates diesen Weg gegangen, das geht klar
daraus hervor, dass er nach dem Zeugnis des P r o k l o s - G e m i n o s und
dem wichtigeren des E r a t o s t h e n e s das Problem auf die Einschiebung
zweier mittleren Proportionalen zwischen a und 2a zurückgeführt hat, a : x
= x : y = y : 2a und so Proklos zufolge das erste Beispiel einer απαγωγή,
einer Zurückführung eines Problems auf ein anderes, noch dazu in einem
über das Elementare hinausgehenden Fall geliefert hat. H i p p o k r a t e s ist
auch der erste Grieche, der »E l e m e n t e« geschrieben hat, wie Proklos im

Mathematikerverzeichnis angibt, und sie können nach dem Muster von
Hippokrates Darstellung aus des Simplicius Kommentar in der Form nicht
sehr wesentlich vom Euklid verschieden gewesen sein, wenn nicht
Eudemos (oder Simplicius) redigiert haben. Hippokrates hat dann auch
noch, wie wir bei Simplicius lesen, die Summe eines Mondes und eines
Kreises quadriert, den Zirkel selbst natürlich nicht, obwohl er
höchstwahrscheinlich bei der Suche nach dieser Quadratur auf seine Monde
gekommen ist.
Der gleichzeitig erwähnte A n t i p h o n, ein Antiphon.
Sophist, Zeitgenosse des Sokrates, glaubte die
Quadratur des Zirkels dadurch gefunden zu Bryson.
haben, dass er in den Kreis ein reguläres
Polygon, z. B. ein Quadrat einschrieb, dann über die Seiten
gleichschenklige Dreiecke u. s. f., und annahm, dass eines dieser Polygone
dem Kreise gleich sein müsste. Wenn nun auch Aristoteles die Annahme des
Antiphon als gegen die Prinzipien der Logik verstossend scharf getadelt hat,
so hat doch H a n k e l vollständig recht, wenn er sagt: er verdient einen
ehrenvollen Platz in der Geschichte der Geometrie, denn er hat, als der
erste, den völlig richtigen Weg betreten, um den Flächeninhalt eines
krummlinigen Raumes zu ermitteln, indem er ihn durch Vielecke von
immer wachsender Seitenzahl zu erschöpfen (exhaurire) suchte. Der
gleichzeitig mit ihm genannte B r y s o n hat dann das umgeschriebene
Polygon hinzugefügt; lächeln wir auch heute über seinen Schluss, »weil der
Kreis zwischen dem ein- und umgeschriebenen Quadrate 2r2 und 4r2 so
schön in der Mitte liege, wie 3 zwischen 2 und 4, so müsste der Kreis gleich
3r2 sein,« so haben doch Antiphon und Bryson den Weg gewiesen, auf dem
dann A r c h i m e d e s gegangen und der das Riesenproblem beherrscht hat,
bis er schliesslich Vieta zu dem unendlichen Produkt für π/2 führte.
Auf Hippokrates und seine Elemente folgt bei Proklos unmittelbar
P l a t o n, aber eine Geschichte der Mathematik, welche zugleich auf die
Begriffsbildung Wert legt, darf an den beiden ihm an Tiefe ebenbürtigen
Vorgängern H e r a k l i t und D e m o k r i t nicht vorübergehen.
H e r a k l i t, Ηράκλειτος, aus Ephesos in
Heraklit.
Kleinasien, aus der angesehenen Familie des
Gründers von Ephesos, des Kodriden Androklos, war ein Zeitgenosse des
Xenophanes, er hat seine Blütezeit um 500. Wir haben als Hauptquellen für

seine Lehre die Fragmente seiner einzigen Schrift περι φύσεως (Von der
Natur, ed. von H . D i e l s 1901) und Platons Dialog K r a t y l o s, ferner
A r i s t o t e l e s und seine Kommentatoren. Daneben kommen P l u t a r c h
und D i o g e n e s L a e r t i o s in Betracht. Eine für ihre Zeit
ausgezeichnete Darstellung gab der bekannte F e r d i n a n d L a s s a l l e in
seiner Schrift »Die Philosophie Herakleitos des Dunkeln,« Bd. 2, Berlin
1858, aus neuester Zeit nenne ich W . K i n k e l, l. c. 1906. H . D i e l s,
Her. von Eph., Berl. 1901, P. N a t o r p, Neue Heraklitforschung, Ph.
Monatsh. 24. Heraklit, der Dunkle, ὁ σκοτεινός, war kein Systematiker,
aber vor seinen tiefsinnigen, orakelhaften Weisheitssprüchen stand das
ganze Altertum voll staunender Ehrfurcht. Er erinnert an N i e t z s c h e, der
formaliter und materialiter sehr viel von Heraklit entlehnt hat. Am
bekanntesten ist das πάντα ῥεῖ, alles fliesst; πάντα χωρεῖ καὶ οὐδὲν μένει,
alles weicht und nichts bleibt; — πόλεμος πατήρ πάντων, der Streit ist der
Vater der Dinge. In der Kosmologie knüpft Heraklit zunächst an seine
Ionischen Landsleute, an Anaximander und besonders an dessen
schwächeren Nachfolger Anaximenes an, der die Luft als Grundstoff (ὑλη)
ansah. Heraklit nimmt das Feuer als Substanz aller Dinge an, aber ein
ideales Feuer, das zugleich die Weltvernunft, der L o g o s, die Weltseele ist.
Im bewussten Gegensatz zu den Eleaten, insbesondere zu Xenophanes,
denn Parmenides ist jünger, leugnet er alles Sein, und erfasst die Welt als in
beständiger Veränderung, in ewigem Wechsel befindlich. »Wir steigen nicht
zweimal in denselben Strom.« Ein Schein des Beharrens wird nur dadurch
erzeugt, dass Abfluss und Zufluss des Feuers annähernd gleich ist. Er ist in
noch höherem Masse und mit voller Klarheit Pantheist als Xenophanes. Das
Urfeuer oder die Gottheit, ist, in beständiger Umwandlung begriffen, in
allem, soweit es überhaupt ist. »Dieses Weltganze (Kosmos) hat keiner von
allen Göttern und keiner von allen Menschen geschaffen, sondern es war, ist
und wird sein ein ewig lebendiges Feuer, das sich entzündet und verlöscht
nach bestimmter Ordnung.« Man sieht, es ist die K a t e g o r i e
B e w e g u n g, die er, etwa wie seinerzeit A d . T r e n d e l e n b u r g, als
das Bleibende im Wechsel setzt, während die Eleaten grade die Bewegung
leugneten. Und indem ihm der Widerspruch im Begriff des Werdens, das
zugleich ein Sein und Nicht-sein ist, nicht entging, fasste er eben diesen
Widerspruch als »Vater der Dinge«. H e g e l hat in seiner Logik an Heraklit
angeknüpft, der Widerspruch, überall vorhanden und doch für uns
undenkbar, erfordert seine Auflösung und Versöhnung als unsere geistige

Arbeit. Die späteren Stoiker schliessen sich direkt an Heraklit an wie auch
P h i l o n von Alexandria in seiner Logos-Lehre. Für uns kommt vom
Standpunkt der exakten Wissenschaft besonders in Betracht, dass sich bei
ihm der erste Gedanke eines p h y s i k a l i s c h e n K r e i s p r o z e s s e s
findet. »In dieselben Ströme und aus denselben steigen wir.«
Rein mathematisch ist von Bedeutung die grosse Betonung der
Veränderlichkeit aller Werte und Grössen; auffallend ist es, dass er, der kein
Entstehen und Vergehen der Materie, sondern eine beständige Bewegung
gelehrt hat, das Zeitproblem, wie es scheint, nie gestreift hat.
Die Dunkelheit des Heraklit erklärt sich zum Teil daraus, dass er für
seine tiefe Lehre vom Logos keine termini technici vorfand, welche
begriffliches Denken mitteilsam machen, immerhin ist er der erste
Philosoph, welcher das Problem der Erkenntnis als solches empfunden hat,
»εδιζησαμην εμαυτον« (ich suchte mir mich selbst zu verschaffen).
Ich übergehe E m p e d o k l e s aus Agrigent,
Empedokles, Sophisten.
so wichtig er auch für die Physiker und Chemiker
ist, denn er hat zuerst die 4 Elemente, Feuer, Wasser, Luft und Erde, als
qualitativ und quantitativ unveränderliche Urstoffe aufgestellt, um mich zu
den sogen. Atomikern zu wenden zum Leukipp und seinem grossen Schüler
D e m o k r i t. Vorher aber noch ein paar Worte über die so übel berüchtigten
»S o p h i s t e n«, deren Bekämpfung das Leben des Sokrates galt, und
zugleich der Tod. Denn dadurch, dass er jene mit ihrer eignen Waffe, der
Dialektik, bekämpfte, hielt ihn das Volk für den Hauptsophisten, und er fiel
dem Aufbäumen des Volksgeistes gegen die unsittliche Lehre der Sophisten
zum Opfer.
Das geistige Haupt der Sophisten ist P r o t a g o r a s aus Abdera, von
480–410; von Zeno, Heraklit und Leukipp beeinflusst, war er an sich von
durchaus ernster, wissenschaftlich nicht unbedeutender Beschaffenheit, so
schildert ihn auch der gleichnamige Dialog des Platon, ein Kunstwerk
ersten Ranges.
Indem Protagoras ganz wie K a n t empfand, dass wir das Ding an sich
nicht erkennen, sondern nur unsere Wahrnehmung, kam er zu dem
Faustischen: »Seh ein, dass wir nichts wissen können,« wenigstens nichts
von allgemeiner, sondern nur etwas von subjektiver Wahrheit. Und indem er
ausspricht, dass u n s e r e Wahrnehmung, für u n s wahr ist, formulierte er
den Satz: »D e r M e n s c h i s t d a s M a s s d e r D i n g e .« Von

diesem Standpunkt aus kamen seine Nachfolger Gorgias, Hippias etc. zu
einer Verwerfung aller sittlichen Normen und von allen Wissenschaften
blieb nur die Dialektik übrig oder die Rhetorik, die Kunst, den eignen
Willen, das eigene Mass, den anderen aufzuzwingen. Zeitlich traf ihre Blüte
mit dem grossen Aufschwung des öffentlichen Lebens in Hellas nach den
Perserkriegen zusammen, wodurch eine zweckmässige Vorbildung der
Staatsmänner nötig wurde. Die Sophisten fanden daher als Lehrer der
Redekunst gewinnreiche Tätigkeit, Protagoras selbst war ein sehr
geschätzter Wanderlehrer. So haben die Sophisten, die prinzipiellen Gegner
des Wissens, dennoch die Wissenschaft der Satzbildung, der Grammatik,
des Wohlklangs gradezu geschaffen, und was sie für uns Mathematiker
wichtig macht, sie haben die Lehre vom Beweis mächtig gefördert.
Ich komme zu den Atomikern. Vom L e u k i p p wissen wir so wenig,
dass E p i k u r meinen konnte, er habe gar nicht existiert. Das Zeugnis des
A r i s t o t e l e s ist aber unanfechtbar. Leukipp ist wohl der Urheber des
Grundgedankens, aber in der überragenden Persönlichkeit seines Schülers
D e m o k r i t ist er verschwunden. Zeller fasst beide zusammen als
Atomiker.
D e m o k r i t ist in A b d e r a etwa um 470 Demokrit.
geboren, und ist zwischen 90 und 100 Jahre alt
geworden. An umfassender Bildung nur dem Aristoteles vergleichbar, hat er
das Wissen, das er auf vielen Reisen, insbesondere nach Ägypten und
Babylonien, erworben, in einer Reihe von Schriften niedergelegt, von denen
leider zurzeit nur wenige Bruchstücke, meist ethischen Inhalts, erhalten
sind. Glücklicherweise hat sich A r i s t o t e l e s sehr viel mit Demokrit
beschäftigt, während Platon in auffallender Weise über ihn schweigt. Platon
neigt überhaupt nicht zu literarischen Angaben in seinen Dialogen, und wird
wohl in seinen Vorlesungen sich genügend mit Demokrit beschäftigt haben,
auch konnte er die Lehre des Demokrit zu seiner Zeit als bekannt
voraussetzen. Jedenfalls ist beim Charakter Platons irgendwelche böswillige
Absichtlichkeit zurückzuweisen. Soviel steht fest, je tiefer die
Quellenforschung ging, um so höher ist die Gestalt des Demokrit
emporgewachsen, den wir jetzt neben Platon und Aristoteles als den dritten
grossen Hellenischen Philosophen werten. Trotz des geringen Umfangs der
erhaltenen Fragmente können wir uns von der Fülle und Kühnheit seiner
Gedanken ein ziemlich deutliches Bild machen.

Mit den E l e a t e n hat er die Ewigkeit und Unveränderlichkeit des
Seienden gemeinsam, die Überzeugung von der Unzerstörbarkeit der
Materie. Aber H e r a k l i t missverstehend, fassten jene sein »Werden« als
ein Vergehen und Entstehen der Materie und nicht als einen Wechsel der
Form im Kreisprozess, und da sie den Unterschied zwischen »Werden« und
»Veränderung« verfehlten, leugneten sie schlankweg die Bewegung und
damit die ganze erkenntnistheoretische Physik der Erscheinung, welche ja
in der reinen Bewegungslehre besteht. Hier setzen Leukipp und
D e m o k r i t ein, sie müssen den Begriff der Materie umarbeiten, um die
Bewegung begreiflich zu machen. Das Seiende ist ihnen nicht, wie dem
P a r m e n i d e s, die kugelförmig gedachte, lückenlose Masse alles reell
Existierenden, sondern es sind die unteilbaren, αδιαιρητα, Atome, ὁι
ατομοι, die er hochmodern als der ουσια, dem Wesen nach, ganz gleich
denkt, nur mathematisch, d. h. in bezug auf Figur, Grösse und Zahl
verschieden. Leukipp und Demokrit haben den Begriff des Atoms
geschaffen, diesen Hilfsbegriff, den Physik und Chemie bis auf den
heutigen Tag und in alle Zukunft nicht entbehren können; ein sehr
bekannter Chemiker sagte mir: »Was D e m o k r i t über die Atome gesagt,
bildet die beste Einleitung zu einem modernen Lehrbuch der Chemie.«
Und von H e r a k l i t entnahm er den Gedanken der beständigen
Bewegung und Veränderung in der Zusammensetzung der Atome zu
Molekülen. Die Atome bewegen sich ewig und anfangslos, weil das in
ihrem Wesen liegt, nach einem Grund dieser Bewegung zu fragen, erklärt er
für töricht, wie etwa die Frage, warum ein Löwe Fleisch frisst. Dass aber
die Atome sich b e w e g e n k ö n n e n, das liegt daran, dass sie
voneinander durch den l e e r e n R a u m getrennt werden, und auch dieser
für die Mathematik so entscheidend wichtige Grenzbegriff des leeren
Raumes und der Porosität hat bei Demokrit seine Formulierung gefunden,
denn »das Leere« (το κενόν) der Pythagoräer ist wohl nur ein Synonym für
Raum überhaupt, obwohl selbstverständlich Keime für Demokritische
Gedanken bei den Pythagoräern liegen.
Dieser leere Raum, von dem er mit ironischer Anpassung an des
Parmenides »ἔστι γὰρ εἶναι, μηδὲν δ΄ οὐκ ἔστι« (Es gibt ein Sein, ein
Nichtsein gibt es nicht) sagt, dass er das Nichts ist, ermöglicht alles
wirkliche Sein der Aussenwelt. A r i s t o t e l e s, Metaph. I, 4, 985b:
Λευκιππος δε και ὁ ἑταιρος αυτου Δημοκριτος στοιχεια μεν το πληρες και
το κενον ειναι φασι, λεγοντες τι μεν ον το δε μη ον, το 'των δε τι μεν πληδες

και στερεον το ον, το δε κενον γε και μανον το μη ον, αιτια δε των οντων
ταιτα ως ὑλην. Leukipp und Demokrit, sein Genosse, erklären das Volle und
das Leere als die Elemente und nennen jenes das Seiende, dieses das
Nichtseiende, und diese beiden sind die Ursache, der Stoff, alles
Wahrnehmbaren. Ja mit bewundernswerter Kühnheit der Spekulation sagt
Demokrit: »το δεν ον μαλλον εστι η το μηδέν.« Das Nichts ist ebenso
existenzberechtigt als das »Ichts«.
Wie das Atom nichts anderes ist als das D i f f e r e n t i a l , d e r
U r s p r u n g d e r M a s s e, so ist dieses »μηδέν« nichts anderes, als das
D i f f e r e n t i a l , d e r U r s p r u n g d e s R a u m e s. Dass dies keine
leere Vermutung ist, dass D e m o k r i t als der erste erreichbare Urheber der
D i f f e r e n t i a l r e c h n u n g anzusehen ist, dafür haben wir jetzt einen
Beweis in dem 1907 von H e i b e r g aus dem Palimpsest entzifferten
»εφόδιον« (so viel wie Methode) des A r c h i m e d e s, welche
H . Z e u t h e n übersetzt hat. Die Formel für das Volumen der Pyramide
und des Kegels, die nach der Angabe des Archimedes von E u d o x o s
streng d. h. euklidisch bewiesen, die habe, steht im Ephodion, D e m o k r i t
gefunden aber nicht bewiesen d. h. nicht streng, grade so wie Archimedes
seine mit Differentialrechnung gefundenen Formeln nur für wahrscheinlich
aber nicht für streng bewiesen erachtet. Das Verfahren des Demokrit kann
kein anderes gewesen sein als das des C a v a l i e r i, das Volumen ist das
Integral, die Summe der unzählig vielen unendlich kleinen Prismen, deren
Grundflächen die veränderlichen Querschnitte sind. Man vergleiche dazu
die Angabe Plutarchs, Diels Fragmente 155 (auch Anmerkung S. 723): »Es
machte ihm nämlich die Frage Schwierigkeiten, ob, wenn man einen Kegel
parallel der Basis durchschnitte, die so entstehenden Schnittflächen
einander gleich seien oder nicht. Schon A r i s t o t e l e s hat darauf
hingewiesen, wie stark mathematisch durchtränkt die Lehre des Demokrit
gewesen, der sich, Plutarch zufolge, rühmte, selbst die Ägyptischen
Harpedonapten in der Reisskunst zu übertreffen. Bisher schwebte diese
Angabe in der Luft, jetzt ist sie durch den Palimpsest bestätigt worden. Ich
mache auch auf den uns erhaltenen Titel der Schrift: περι διαφορης γνωμης
η περι ψαυσεως κυκλου και σφαιρας und auf seinen Einfluss auf
A r c h i m e d e s und dadurch auf G a l i l e i aufmerksam. Dass sich
Demokrit eingehend mit dem Problem der Kontinuität beschäftigt hat geht
aus dem erhaltenen Titel der verlorenen Schrift: περι αλογων γραμμων και
ναστων (über irrationale Strecken und das Kontinuum) hervor.

D e m o k r i t ist von Grund aus Naturforscher im Gegensatz zu
P l a t o n, dem Dichter und Metaphysiker, er hat zum ersten Male versucht
ernsthaft eine mechanische Welttheorie durchzuführen. Seine
Wirbelbewegung treffen wir bei D e s c a r t e s wieder, wie auch seine
Unterscheidung der primären Qualitäten (Schwere, Härte, mathematische
Gestalt etc.), der Eigenschaften der Atome, von den sekundären, wie Farbe,
Geschmack etc. Die Zahl und die Figur der Atome ist es, welche die
wesentliche Verschiedenheit der Dinge bewirkt, mit der Trias, Atom, leerer
Raum, Bewegung haben Leukipp und D e m o k r i t die mathematische
Naturerkenntnis geschaffen. Das Atom sowohl wie der leere Raum sind
I d e e n, das Wort rührt von Demokrit her, und an Demokrit knüpft die
Platonische Ideenlehre an. H . C o h e n zählt in seinem vorzüglichen
Marburger Programm Demokrit mit vollem Recht zu den Idealisten und
zum recht eigentlichen Vorgänger von Platon. Wie dieser bezeichnet er die
Sinneswahrnehmung als dunkele, die logische als klare Erkenntnis;
W . K i n k e l sagt, es ist schwer begreiflich wie man ihn hat zum
Materialisten stempeln können. Ich möchte aber bemerken, dass der
Idealismus sowohl des Demokrit als der übrigen idealistischen Philosophen
im Grunde eine Doppelnatur besitzt, eine s k e p t i s c h e, insofern er die
Realität der Sinneswahrnehmung leugnet, und eine supranaturalistische,
insofern er die Realität des Geistigen lehrt. Daher ist es ganz begreiflich,
dass von Demokrit eine Schule der Materialisten ausgehen konnte, wie von
Platon Skeptizismus und insbesondere Mystizismus (Plotin, Augustin).
Jedenfalls ist die »tyche« D.'s nicht der blinde Zufall, sondern das Schicksal
als eine durchaus vernünftige Gesetzmässigkeit des in Erscheinung
tretenden (der Phänomena). Nicht bloss auf metaphysischem Gebiet ist
Demokrit ein Vorläufer des Platon, sondern auch auf ethischem Gebiet, in
der Auffassung des Menschen als μικρόκοσμος — das Wort ist
demokritisch — in der Wertung der Erziehung berührt er sich mit Platon.
Ich nenne hier ausser Zeller und Kinkel noch P. N a t o r p, Forsch. z.
Gesch. des Erkenntnisproblems im Altertum; G . H a r t, Zur Seelen- und
Erkenntnislehre des Dem., Progr. Mühlhausen (im Elsass) 1886;
P. N a t o r p, Die Ethik des Dem., Marburg 1893.
P l a t o n, der Göttliche, wie ihn Platon.
Schopenhauer bezeichnet, ist im Todesjahre des
Perikles 429 aus vornehmster Familie geboren, mit ihm erreicht die
Hellenische Philosophie ihren Höhepunkt. Wie in einem Brennpunkt fasst

er alle bedeutenden Gedanken seiner Vorgänger, der Pythagoräer, der
Eleaten, des Heraklit und vor allem des Demokrit zusammen, um sie als
Bausteine seiner Theorie des Erkennens zu verwenden. Es ist das
Kennzeichen der Allergrössten, dass sie über den Parteien stehen, oder
richtiger, wie L a n g e in der Geschichte des Materialismus sagt, dass sie
die Gegensätze ihrer Epoche in sich zur Versöhnung bringen. Er ist mit
K a n t der grösste Idealist aller Zeiten, und keiner hat auf Kant solchen
Einfluss geübt, nicht einmal Hume, wie Platon.
Ich verstehe aber unter I d e a l i s m u s in der Philosophie diejenige
Weltanschauung, welche die Welt der Dinge nur insofern als seiend
auffasst, als sie Gegenstand oder Objekt der Erkenntnis eines erkennenden
Subjektes ist. Sagt doch P l a t o n oft gradezu (z. B. Rep. 529, Phaed. 833,
Tim. 513) das Seiende ist das Unsichtbare, das von uns nicht
Wahrnehmbare, sondern nur Gedachte, das was das Bewusstsein selbst bei
sich selbst sieht. Unter R e a l i t ä t der Erscheinung versteht man im
idealistischen Sinne diejenige Eigenschaft derselben, vermöge derer sie zu
in Zeit und Raum geordneten Gegenständen der Erfahrung werden. Es ist
Platons ewiges Verdienst, dass er das Problem des Erkennens als das
eigentliche Grundproblem der Philosophie in diese Wissenschaft eingeführt
hat, die er mit der Frage τι εστι επιστήμη, was ist Wissen, eigentlich erst als
Wissenschaft geschaffen hat.
K a n t trifft auch darin mit P l a t o n zusammen, dass beide für ihre
Erkenntnistheorie von der Frage nach dem Erkenntniswert der Mathematik
ausgingen. Ich nehme hier Gelegenheit den Dank auszusprechen, den ich
für das Verständnis des Philosophen Platon der trefflichen Jugendschrift
H . C o h e n s, Plato und die Mathematik, Marburg 1878 schulde. Platon
den Dichter und Gottsucher schildert eine Broschüre W i n d e l b a n d s in
hervorragender Weise.
Viel schuldete er seinem Lehrer S o k r a t e s, sowohl in bezug auf das
Interesse an der Ethik, an den sittlichen Gesetzen und Idealen der
Menschheit, als besonders hinsichtlich des Bestrebens die einzelnen
Begriffe scharf zu definieren. Nach dem Tode des Sokrates floh er aus
Athen, und brachte etwa 10 Jahre auf Reisen zu, überall den Verkehr mit
den geistigen Grössen suchend. In Cyrene hat er beim Pythagoräer
T h e o d o r o s, dessen wir schon bei Gelegenheit des Theätet gedacht
haben, sich das mathematische Wissen der Pythagoräer angeeignet, in

Unteritalien den grossen A r c h y t a s von Tarent kennen gelernt, und in
Sizilien ebenfalls viel mit Pythagoräern verkehrt; dass er von Sizilien aus
Ägypten besucht hat, ist sehr wahrscheinlich.
Nach Athen zurückgekehrt, gründete er dort den Freund- und
Schülerbund der A k a d e m i e, ein Gymnasium bei Athen, nach dem
attischen Heros Ακάδημος benannt, wo Platon ein Landgut besass. Ein
glücklicher Zufall hat uns das Testament des Platon erhalten, es findet sich
bei D i o g e n e s L a e r t i o s und ist von U . v . W i l a m o w i t z und
Kiessling Phil. Unters. IV. ediert.
Schon 2000 Jahre vor den Amerikanischen Multimillionären hat hier
ein Privatmann aus seinen Mitteln eine Universität gegründet, die
Universität Athen, die bedeutendste des Altertums, an der Euklid und
Cicero studierten, welche etwa 900 Jahre blühte, bis sie Justinian 529 n.
Chr. aufhob, teils um sich ihren Besitz anzueignen, teils weil die
Professoren auf Seiten der Gemahlin des Kaisers, der T h e o d o r a,
standen, und das Heidentum oder richtiger den Neuplatonischen
Mystizismus unterstützten, während der Kaiser das Christentum oder das
Gottesgnadentum des Monarchen als Staatsreligion durchführen wollte.
Eine zweite Reise nach Sizilien 367 ist wohl von Dion, dem Freunde
des Platon und Schwager des Dionys I., der s. Z. Platon seiner
Freimütigkeit wegen als Sklaven verkaufen liess, veranlasst. Platon sollte
den jungen Dionysios II. nach den in der »Republik« niedergelegten
ethischen und politischen Prinzipien erziehen.
Aber wie fast alle Theoretiker der Pädagogik war er kein glücklicher
Praktiker. Noch einmal 361 unterbrach eine zugunsten des Dion
unternommene Reise seine im höchsten Grade erfolgreiche akademische
Lehrtätigkeit, die bis zu seinem 347 im 80. Jahre eingetretenen Tode
angehalten haben soll.
Was nun Platon als Mathematiker von Fach betrifft, so ist die Legende
von Platons Leistungen in der speziellen Problemmathematik schon von
C . B l a s s in seiner Dissertation »de Platone mathematico«, Bonn 1861,
zerstört worden; als reinen Mathematiker haben ihn seine Zeitgenossen
A r c h y t a s, T h e ä t e t und besonders der grosse E u d o x o s von
K n i d o s sicher weit übertroffen, er ist von der Philosophie zur
Mathematik gekommen und nicht umgekehrt. Platon hat nicht die
Philosophie der Mathematik geschaffen, wie M. Cantor sagt, — das würde

weit eher auf Demokrit und Eudoxos passen —, aber was eben so wertvoll
ist, er hat die Bedeutung der Mathematik für die Philosophie erfasst, und es
bedarf nicht des seit M e l a n c h t h o n immer wieder zitierten μηδεις
αγεωμετρητος εισιτω μου την στεγην, »Kein der Mathematik Unkundiger
betrete meine Schwelle«, aus der zweifelhaften Quelle des T z e t z e s, um
uns darüber zu belehren. Platon erkannte, dass die Mathematik für die
Philosophie dieselbe Bedeutung als Hilfswissenschaft hat, welche der
Physik für die Mathematik zukommt. Einerseits liefert sie für die Logik die
einfachsten und schlagendsten Beispiele, wie uns denn Aristoteles den
Beweis der Pythagoräer für die Irrationalität der Wurzel aus 2 als Beispiel
eines indirekten Beweises erhalten hat, andrerseits liefert sie für die
Erkenntnistheorie die Probleme, an deren Lösung sich die Philosophie
entwickelt hat. Und Platon gab mit der Betonung dieser Bedeutung der
Mathematik den mächtigen Impuls, der die Blütezeit der Hellenischen
Mathematik im 3. Jahrhundert herbeiführte. Ganz besonders sind die
erkenntnistheoretischen Probleme, welche die inkommensurabeln
Streckenbrüche geben, von Platon und seinen Schülern und Mitarbeitern,
von T h e ä t e t und insbesondere von E u d o x o s bearbeitet worden.
Und noch in einer zweiten Richtung sind Platon und die Mathematik.
wir Platon den grössten Dank schuldig; ohne ihn
und die scharfen Worte, mit denen er den gewaltigen Wert der Mathematik
für die Bildung der Jugend dargelegt hat, würde wahrscheinlich die
Mathematik ihre Stellung als Hauptfach in unseren Gymnasien weder
erhalten noch behauptet haben. In seiner Schrift vom Staate, der »πολιτεια«,
der bedeutsamsten Utopie, die je geschrieben, in der er als der Erste den
grossen Plan einer idealen staatlichen Erziehung der Jugend i n s
E i n z e l n e durchgeführt, entwirft, sogar bis auf die Schulzimmer,
vergleicht er die Bedeutung, welche die Mathematik in seiner Zeit hat, mit
der, welche sie haben sollte. Er geht in seiner Wertung der Mathematik als
Bildungsmittel von dem Fundamentalsatz aus: die Wahrnehmungen
zerfallen in zwei Klassen, die einen finden eine Ergänzung durch das reine
Denken, die andern nicht. Politeia 523 heisst es: »Ich zeige dir also, wenn
du es (ein)siehst, einiges was gar nicht die Vernunft herbeiruft, es wird
schon durch die Wahrnehmung hinlänglich beurteilt, andres hingegen, was
auf alle Weise die Wahrnehmung zu untersuchen auffordert. (Ähnlich
Timäos § 46.) Und diese Untersuchung der Wahrnehmung, welche sie
umprägt in Erfahrung im Kantischen Sinne, bewirkt in erster Linie die

Mathematik. Sie ist ihm der »Paraklet«, der Wecker der reinen,
vernünftigen, der wahren Erkenntnis.
Zunächst die Arithmetik, d. h. nicht die praktische Rechenkunst, die
Logistik, sondern die wissenschaftliche Zahlenlehre, deren Hauptteil die
Lehre von der relativen Zahl, von den Verhältnissen, bildet, die »θεά«, die
innere Schau, der Zahlenverhältnisse. Und dasjenige in der Wahrnehmung,
was solche Verhältnisse liefert, das ist dadurch, das es uns veranlasst, über
die Gründe dieser Verhältnisse nachzudenken, der Herbeirufer, der Paraklet,
der reinen Vernunft. Die Betonung der dritten Quelle, aus der unser
Zahlbegriff fliesst, der Kategorie oder Konstituente des Bewusstseins
Relation, bildet ein grosses Verdienst Platons um die Begriffsbildung in der
Mathematik. Aus zahlreichen Stellen (man vgl. auch Theon Smyrneus trad.
du Grec en Français p. J. Dupuis 1892) geht hervor, dass ihm die Zahl
vorzugsweise relative Zahl oder Masszahl ist, auf der alle Erweiterungen
des Zahlbegriffs beruhen, da die Cardinalzahl, die Vieleinheit, und die
Ordinalzahl, die Reihungszahl, eine Begriffserweiterung nicht zulassen.
Die gleiche Bedeutung wie der Arithmetik erkennt er der
G e o m e t r i e zu. Er weiss sehr wohl, dass ihr Ursprung, der Veranlassung
nach, die Wahrnehmung, d. h. der sinnliche Eindruck ist, und spricht dies
nicht nur in der Republik, sondern auch im Timäos ganz unumwunden aus.
Aber, sagt er, der Begriff des Gleichen, die I d e e Gleichheit, steckt nicht in
der Wahrnehmung gleicher Steine, obwohl wir ihn ohne diese
Wahrnehmung nicht hätten. [Die gleichen Steine dienten als
Rechenpfennige, daher ψηφιζειν lat. calculare für »rechnen«.] Und er warnt
nachdrücklich davor, die Wertung der Geometrie von ihrem Nutzen für die
Praxis abhängig zu machen, sondern sie lehrt und erleichtert uns die
Erkenntnis »του οντως οντος« des Wahrhaft-Seienden, der Idee, ja sie
bewirkt, dass die höchste Idee, die Idee des Guten leichter geschaut werde.
Da es Platon ist, der zuerst die Bedeutung
Platonische Ideen.
der Idealisierung für die reine Geometrie erkannt
hat, wird es nötig auf die so viel umstrittene Platonische Ideenlehre näher
einzugehen. Sie ist der Grundstein seiner Philosophie, und zugleich von
Anfang an grade durch seinen bedeutendsten Schüler, durch
A r i s t o t e l e s missverstanden, verspottet und entwertet worden. Nur aus
dem Verständnis der Platonischen Idee lässt sich einsehen wie viel Kant für
seine transzendentale Ästhetik des Raumes aus Platon entnommen hat.

Über die Beziehung zwischen Kant und Platon verweise ich auf einen
kleinen Aufsatz in den Philos. Arbeiten, her. von H . C o h e n und
P. N a t o r p Bd. 2 Heft 1 1908 »Über Mathematik«.
Vom Sokrates nahm er die Betrachtung, dass dem allgemeinen
(Gattungs) Begriff jeder einzelne Gegenstand, von dem er abstrahiert wird,
zukommt. Von den Pythagoräern das Interesse für die geistigen Prozesse
der Mathematik, von den Eleaten den Grundgedanken, dass nur dem durch
die Vernunft erkannten bleibendes Sein zukommt, von den Atomikern die
Erkenntnis, dass die Zahl- und Raumbegriffe, grade weil sie vom sinnlichen
Standpunkt aus Nichts sind, das wirkliche Sein repräsentieren und schmolz
alles zusammen in seiner Idee. Durch eine wahrhaft göttliche Eigenschaft
der Vernunft wird dieselbe, und zwar am leichtesten durch Vermittlung der
Mathematik, angeregt, in den einzelnen Erfahrungen, die das Daseiende (τὰ
όντα) liefert, das dauernd Seiende (το οντως ον), die Urbilder, die Ideen zu
erschauen, Hypothesen oder Grundlegungen der reinen Vernunft. Von ihnen
als dem ewig Seienden, obwohl in keiner einzelnen Erscheinung verkörpert,
empfängt das Daseiende sein Sein, seine Essenz, seine Substanz.
Sind die Ideen wie die des Gleichen, des Schönen, des Wahren, und die
höchste Idee, welche alle andern trägt, die des Guten erschaut, denn Idee,
ἰδέα, kommt von ιδείν (schauen), so werden ihnen die Erscheinungen
untergeordnet, und nun wird im einzelnen die Idee geschaut, im breiten
Strich die Gerade, im Ball die Kugel etc. Beim reifen Menschen geht die
Idee der sinnlichen Erscheinung voraus. »Ehe wir also anhuben zu sehen
und zu hören und die Aussenwelt wahrzunehmen, mussten wir in uns,
irgend woher genommen, die Erkenntnis des Gleichen angetroffen haben,
das, worauf wir die aus den Wahrnehmungen stammenden Gleichheiten
beziehen können« (Phaedon p. 758, Theätet p. 186 c). Die Platonische Idee
nähert sich, wie aus dieser Darstellung hervorgeht, der (idealistisch
aufgefassten) Kategorie der S u b s t a n z einerseits, und berührt sich
andererseits mit dem Begriff der K r a f t, denn z. B. die Idee des Guten ist
die Ursache aller Vollkommenheit, sie ist gradezu die göttliche
schöpferische Vernunft. Die Idee, wie z. B. Sophist 248 A beweist, hat
Bewegung, Leben, Seele, wie die L e i b n i zsche Monade, sie wird öfters
gradezu ἑνας oder μόνας, Einheit genannt.
Die Stellung, welche Platon der Mathematik anweist, erinnert
unwillkürlich an Kant, auch bei Platon hat die Mathematik eine

Zwischenstellung zwischen Sinnlichkeit und Logik, auch bei ihm ist sie
»reine Sinnlichkeit a priori«, die in das Objekt der sinnlichen
Wahrnehmung, Zahl und Gestalt hineinsieht und als Ewig-Seiendes, die
»im barbarischen Schlamme der Sinnlichkeit« steckende Seele hinleitet, im
Abbilde das Urbild das wahrhaft Seiende zu sehen. In der Republ. 529 D,
520 C, im Timäos 28 heisst es: Das, was ihr Wirklichkeit nennt, die bunten
Gestalten am Himmel und auf Erden, sind nur die Abbilder von den
Urbildern in der Erkenntnis und dem Bewusstsein. In seiner Lehrtätigkeit,
welche der Hauptfaktor seines Einflusses auf seine Zeitgenossen war,
unterschied er Empfindung; Anschauung; Hinzuziehung von Mass und Zahl
— διάνοια; und Hinzuziehung der Idee, die transzendentale Erkenntnis, die
νόησις.
Platon hat das Kategorische des Raum bei Platon.
Raumbegriffes oder besser die Idealität des
Raumes, die ja schon die »richi« der Inder empfunden haben, scharf
hervorgehoben, während er Zeit und Bewegung nicht hinlänglich
geschieden hat. Die bekannteste Stelle findet sich 50–52 des Timäos, des
schwierigsten Dialogs, welcher beweist, wie völlig Platon im Alter unter
den Bann pythagoräischer Gedankenkreise geraten war (vgl. den zitierten
Aufsatz von 1908). Es heisst da: Der Raum ist die aufnehmende M u t t e r,
die Idee, das reine Erzeugnis der Vernunft, der Va t e r der Gegenstände der
Wahrnehmung der Natur (50 D). Er bildet die 3. Art der Erkenntnis, der
ewige unvergängliche Raum (52 B), der uns durch nichtsinnliche
Wahrnehmung (μεθ' αναισθησιας) durch eine Art von unechter
Vernunfttätigkeit mühsam klar wird, den wir m i t o f f e n e n A u g e n
t r ä u m e n. Das ist nichts anderes als der ideale Raum Kants, die reine
Form des äusseren Seins für das erkennende Bewusstsein als solches,
losgelöst von aller Individualität.
Seit Aristoteles und durch Aristoteles ist die Meinung verbreitet, dass
Platon Raum und Materie identifiziert hat, und F r . A s t hat dies 1816,
Plat. Leben und Schriften Note p. 362 in feiner Weise aus dem
Gedankengang Platons abzuleiten versucht. Dass ich anderer Meinung bin,
habe ich schon in dem erwähnten Aufsatz der Marburger philosophischen
Arbeiten von 1908 gesagt, es handelt sich bei der Ableitung der Körperwelt
im Timäos im wesentlichen um eine Kombination Pythagoräischer und
Demokritischer Gedanken. Auf Demokrit weist auch die so wichtige
Auffassung des Punktes als S t r e c k e n d i f f e r e n t i a l, als »αρχή

γραμμής«, Ursprung der Linie. P r o k l o s (Friedlein S. 88) sagt, »aber es
liegt in ihm verborgen eine unbegrenzte Macht Längen zu erzeugen.«
So hoch das Verdienst Platons um die erkenntniskritische
Untersuchung des Raumbegriffs zu veranschlagen ist, so muss doch auch
die Sage von Platon als dem Erfinder stereometrischer Sätze als
unbegründet zurückgewiesen werden. Er hat dies selbst, so drastisch als
man es nur wünschen kann, getan. In der bekannten Stelle der Republik
heisst es: »Ausserdem aber legen sie (die Griechen) hinsichtlich der
Messung von allem was Länge, Breite, Tiefe hat eine bei allen Menschen
vorhandene, eben so lächerliche als schmähliche Unwissenheit an den Tag.«
Kleinias fragt: Welche und wie beschaffene meinst du?
S o k r a t e s - P l a t o n: Mein lieber Kleinias, habe ich doch selbst
e r s t s p ä t davon gehört, wie es mit uns in dieser Hinsicht bestellt ist,
nämlich meiner Ansicht nach, nicht wie es sich für Menschen gehört,
sondern für S c h w e i n e.
Wie es mit den Griechen in dieser Hinsicht bestellt war, erfahren wir
aus Thukydides, wo die Griechen den Inhalt einer Insel dem Umfang
proportional setzen. Platon ist sicher kein Erfinder stereometrischer Sätze
gewesen, sein Verdienst ist auch hier ein methodisches. Durch seinen
Umgang mit A r c h y t a s und E u d o x o s hat er die Bedeutung der
Stereometrie erkannt, und die ihm zuteil gewordene Anregung auf seine
Schüler übertragen, die denn auch nicht ermangelten die Stereometrie zu
fördern.
Eben so falsch ist es, dass Platon die sogen. Platon als Mathematiker.
Analysis zur Lösung der
Konstruktionsaufgaben erfunden habe. Dass Platon die analytische
Methode gekannt hat, geht unwiderleglich aus M e n o n S. 87 bei der Frage,
ob ein gegebenes Dreieck in einen gegebenen Kreis eingetragen werden
könne, hervor. P r o k l o s p. 58: Sie überlieferten die trefflichste Methode,
und zwar die, welche durch die Analyse das Gesuchte auf ein anerkanntes
Prinzip zurückführt, welche auch P l a t o n , w i e s i e s a g e n, dem
Laodamas hinterliess, mit der dieser vieles in der Geometrie gefunden
haben soll, dann aber auch jene, die auf genauer Einteilung beruht, welche
Platon ebenfalls stark betonte. (Für letztere Methode denke man an die
Untersuchungen über die Beziehungen zwischen Gerade und Gerade,
Gerade und Kreis etc.) Bei D i o g e n e s L a e r t i o s III, 25 heisst es:

Πρωτος ὁ Πλατων τον κατα την αναλυσιν της ζητησεως τροπον
εισηγησατο Λεωδαμαντι τω Θασιω
Aber Pappos, der im Buch VII seiner Kollektaneen, diesem Inventar
Hellenischen Könnens, sehr ausführlich über die Analysis gehandelt hat,
erwähnt mit keinem Wort des Platon. Die Sage liebt es eben, alle
Heldentaten auf das Haupt des Haupthelden zu häufen.
Aber die Sache ist an sich klar, in dem oben erwähnten Überrest der
Arbeit des H i p p o k r a t e s ist die analytische Methode angewandt, und
jede Gleichung ist ein Beispiel derselben, die Verwandlung des Rechtecks
in ein Quadrat bei den Indern (S. 159) ist ohne Analyse unmöglich, und im
Grunde verfährt jeder Künstler analytisch. Erst muss das Kunstwerk, der
Plan des Architekten, im Kopfe fix und fertig sein, ehe der erste
Pinselstrich, der erste Spatenstich erfolgen kann. Die Definition von
Analysis findet sich Euklid XIII, 5 und sie rührt, wie B r e t s c h n e i d e r,
Geometrie und Geometer vor Euklides, bemerkt hat, von E u d o x o s her:
Analysis ist die Annahme des Gesuchten als zugestanden durch die
Folgerung hindurch bis zu einem als wahr Bekannten.
P l a t o n hat als P h i l o s o p h auf die Bedeutung der analytischen
Methode für die Konstruktion und als Beweismittel in jeder Wissenschaft
aufmerksam gemacht und grade an der angeführten Stelle Menon S. 87
wird die mathematische Anwendung als Beispiel gebraucht, weil sie
besonders einfach ist und Plato sagt selbst: Ich brauche den Ausdruck »Aus
der Voraussetzung« so, wie oft die Geometer argumentieren. Ebenso
apokryph ist die unter Platons Namen gehende Lösung des P r o b l e m s
d e r W ü r f e l v e r d o p p e l u n g. In meinem Urteil über Platon den
Mathematiker schliesse ich mich völlig B l a s s an, der seine Dissertation de
Platone Mathematico also beendet: nam si amicus Plato, amicior tamen
veritas: et is quoque, qui scientiae amorem aliis iniecit, de scientia bene est
meritus.

Die Würfelverdoppelung.

Dies Problem, das sogen. erste Delische Würfelverdoppelung
Problem, ist eins der drei grossen Probleme: (Delisches Problem).
Würfelverdoppelung, Winkel- oder Bogenteilung
(Kreisteilung), Quadratur des Zirkels, an deren Bewältigung sich die

Hellenische Mathematik zu ihrer bewundernswerten Höhe entwickelt hat.
Die beiden ersten Probleme sind von den Pythagoräern und ihren
Ausläufern, unmittelbar nachdem sie durch die nach Pythagoras genannte
Satzgruppe die Probleme, welche auf Gleichungen zweiten Grades führen,
bewältigt hatten, in Angriff genommen worden. Diese Tatsache liefert einen
klaren Beweis, dass der eigentlich leitende Gesichtspunkt der Hellenen der
arithmetische war und dass die Griechen schon zu jener Zeit klar den Satz
des V i e t a erkannten, dass mit der Vervielfältigung des Würfels und der
Trisektion des Winkels die Gleichung dritten (und vierten) Grades
allgemein gelöst sei.
In drei aufeinanderfolgenden Programmen von Linz hat A m b r o s
S t u r m 1895, 96, 97 eine vortreffliche Geschichte »des Delischen
Problems« geliefert, im Anschluss an M o n t u c l a s Quadrature du cercle.
Über den Ursprung unseres Problems berichtet ein Brief das
E r a t o s t h e n e s (s. u.), den E u t o k i o s, Bischof von Askalon, geb. 480
n. Chr., in seinem Kommentar zu Archimedes Kugel und Zylinder
überliefert hat.
»E r a t o s t h e n e s wünscht, dass es dem Könige Ptolemaios
wohlergehe. Es wird erzählt, dass ein alter Tragiker, den Minos eingeführt
habe, der dem Glaukos ein Grabmal erbauen lassen wollte, und als er dabei
bemerkte, dass es nach allen drei Dimensionen 100 Fuss mass, soll er
gesagt haben:
Zu klein hast du des Königs Grab mir angelegt,
Drum dopple es, doch nicht vergiss der schönen Form,
Verdopple jede Kante schnell des Grabs.
Er schien aber sich geirrt zu haben, denn durch Verdopplung der Seiten
wird das ebene Feld vervierfacht, der Raum verachtfacht. Seitens der
Geometer wurde nun geforscht, wie man einen Körper unter Beibehaltung
seiner Gestalt verdoppeln könne und man nannte dies Problem die
Würfelverdopplung (κυβου διπλασιασμός), denn vom Würfel ausgehend
suchten sie diesen zu verdoppeln. Während aber alle lange Zeit nicht aus
noch ein wussten, wurde es zuerst dem H i p p o k r a t e s v o n C h i o s
klar, dass der Würfel verdoppelt werden würde, wenn zwischen zwei
Strecken, von denen die grössere das Doppelte der kleineren ist, zwei
mittlere Proportionalen in stetiger Proportion gefunden wären. So
verwandelte er diese Schwierigkeit in eine andere nicht geringere.

Nach einiger Zeit sollen einige Delier, welche durch einen
Orakelspruch zur Verdoppelung eines Altars gedrängt wurden, in dieselbe
Verlegenheit geraten sein. Und sie sollen die Geometer aus der Umgebung
des P l a t o n in der Akademie gebeten haben das Gesuchte zu finden. —
Die letztere Version war im ganzen Altertum verbreitet, z. B. T h e o n
v o n S m y r n a (aus einer andern nicht weiter bekannten Schrift des
Eratosthenes »Πλατωνικός« (Ambros Sturm), Plutarch an 2 Stellen »De
genio Socratis« VII; De ει apud. Delphos VI, Joh. Philopömos,
(Commentator des Aristoteles; Προλεγόμενα της πλάτωνος φιλοσοφίας),
Vitruv, Valerius Maximus. Wir sehen hier einen der deutlichsten Beweise
für d e n Z u s a m m e n h a n g d e r h e l l e n i s c h e n M a t h e m a t i k
m i t d e r i n d i s c h e n, nur dass die Inder, entsprechend der früheren
Entwicklungsstufe die Fläche verdoppeln, d. h. sich mit der quadratischen
Gleichung begnügen, während die Pythagoräer, das kulturelle Problem von
den Indern aufnehmend, das Volumen verdoppeln, d. h. zur Gleichung 3.
Grades fortschreiten.
Die älteste Lösung zufolge Eutokios Bericht Archytas.
aus Eudemos (nach P. T a n n e r y aus S p o r u s,
der etwa um 300 n. Chr. Eudemos benutzt hat) ist die des A r c h y t a s aus
Tarent, den H o r a z in der Ode 28 des Buch I erwähnt »te maris et terrae
numeroque carentis arenae mensorem cohibent, Archyta«, der etwa 430 bis
365 zu setzen ist, wo er durch Schiffbruch am Kap Matinum den Tod fand.
P l a t o n hatte bei seiner ersten Reise nach Sizilien die Bekanntschaft des
als Staatsmann, Philosoph und Mathematikers gleich ausgezeichneten
Pythagoräers gemacht, und stand mit ihm in Briefwechsel. Archytas soll
seinerseits den Platon in Athen wiederbesucht haben. Von den Schriften, die
unter seinen Namen auf uns gekommen sind, ist fast alles als unecht
erwiesen. Seine Lösung des Delischen Problems, die bedeutendste von
allen, zeigt ihn als erstklassigen Mathematiker. Ich gebe den Wortlaut (s.
Figur).

ΑΛ und Γ mögen die beiden gegebenen Strecken darstellen, verlangt
zwischen ΑΛ und Γ zwei mittlere Proportionalen zu finden. — Um die
grössere, nämlich ΑΛ, möge der Kreis ΑΒΛΖ beschrieben werden und ihm
werde die Γ gleiche [Sehne] ΑΒ eingefügt, und ausgezogen soll diese mit
der in Λ berührenden [Linie] des Kreises in Η zusammentreffen. Neben
[παρά d. h. parallel] ΗΛΟ möge ΒΕΖ geführt werden, auch ein
Halbcylinder ersonnen werden senkrecht auf den Halbkreis ΑΒΛ und ein
senkrechter Halbkreis auf ΑΛ, welcher in dem Parallelogramm (dem
Achsenschnitt) des Cylinders liegt.
Wird nun der Halbkreis herumgeführt in der Richtung von Λ nach Β,
während der Endpunkt Α des Durchmessers fest bleibt, so wird er die
cylindrische Fläche schneiden und in ihr eine Linie einzeichnen. Und wenn
wiederum herumgedreht wurde [und zwar] bei beharrender [Linie] ΑΛ das
Dreieck ΑΒΛ, in dem Halbkreis entgegengesetzter Bewegung, wird es für
die Strecke ΑΗ eine Kegelfläche erzeugen. Und diese wird bei der Drehung
die Linie auf dem Cylinder in einem gewissen Punkte treffen, und zugleich
wird auch [Punkt] Β einen Halbkreis in der Kegelfläche beschreiben. An
dem Orte des Zusammentreffens der Linien habe nun der bewegte
Halbkreis eine Lage wie etwa Λ'ΚΑ, das entgegengesetzt gedrehte Dreieck
die von ΑΗ'Λ, und der Punkt des besagten Zusammentreffens sei Κ. Und
der von Β beschriebene Halbkreis sei ΒΜΖ und sein Schnitt mit ΒΛΖΑ sei
die [Sehne] ΒΖ. Und es werde von Κ auf die Ebene des Halbkreis ΒΛΑ das

Lot gezogen, so wird es auf die Peripherie des Kreises fallen wegen des
Senkrechtstehens des Cylinders. Es falle also und sei ΚΙ und die von Ι an Α
geknüpfte Linie treffe ΒΖ in Θ, und ΑΗ' den Halbkreis ΒΜΖ in Μ. Es
möge auch ΚΛ', ΜΙ, ΜΘ gezogen werden. Da nun jeder der Halbkreise
ΛΚΑ und ΒΜΖ senkrecht steht zur Grundebene, so steht auch ihr
gemeinsamer Schnitt senkrecht zur Ebene des Kreises, daher steht auch ΜΘ
senkrecht auf ΒΖ, das heisst das Rechteck aus ΘΑ und ΘΙ ist gleich dem
Quadrat über ΜΘ. Folglich ist das Dreieck ΑΜΙ jedem der Dreiecke ΜΙΘ,
ΜΑΘ ähnlich, und ist rechtwinklig. Aber auch das Dreieck Λ'ΚΑ ist
rechtwinklig; folglich sind die [Linien] ΚΛ' und ΜΙ parallel, und es wird
das Verhältnis bestehen wie ΛΑ zu ΚΑ, ebenso ist ΚΑ zu ΑΙ und so auch ΙΑ
zu ΑΜ wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke, also sind die 4 (Strecken) ΛΑ,
ΑΚ, ΑΙ, ΑΜ der Reihe nach in Proportion und ΑΜ ist gleich Γ, da sie gleich
ΑΒ ist. Zu den beiden gegebenen ΑΛ und Γ sind also die beiden mittleren
Proportionalen gefunden worden ΑΚ u. ΑΙ.
Analytisch geometrisch ist diese Konstruktion, welche ein glänzendes
Zeugnis von dem Können des Archytas ablegt, sehr leicht zu verifizieren.
Wählt man ΑΛ als Abscissenaxe, Α als Anfangspunkt, und die Tangente in
Α an den Kreis ΑΒΛ als Ordinatenaxe, so ist, wenn Κ { x, y, z; ΑΛ = a und
Γ = ΑΒ = b gesetzt wird, da Κ auf Zylinder, Kegel und Wulst liegt:
2
1) x2 + y2 = ax (Gleichung des Cylinders); 2) x2 + y2 + z2 = ba 2 x2
(Gleichung des Kegels durch doppelten Ausdruck des Cosinus des
konstanten Öffnungswinkels) 3) x2 + y2 + z2 = ắ√x2 + y2 (Gleichung des
Wulstes). Daraus für Punkt Κ: ắ√ax = a2x2 : b2 und a3x = a4x4 : b4; x3 =
b4 : a; x = b ·3√b : a, √x2 + y2 = ΑΙ = 3√ab2 und √x2 + y2 + z2 = ΑΚ = 3√a2b
, also ΑΛ : ΑΚ = ΑΚ : ΑΙ = ΛΙ: ΑΒ.
Dass A r c h y t a s seine Konstruktion analytisch d. h. von der gelösten
Aufgabe aus rückwärts gehend gefunden, unterliegt keinem Zweifel und
ebensowenig die Ansicht B r e t s c h n e i d e r s, dass er vom rechtwinkligen
Dreieck ΑΚΛ' ausging und ΑΙ auf ΑΚ projizierte.
Die Lösung des Archytas wird bestätigt durch den oben besprochenen
Brief des Eratosthenes, durch Vitruv und Diogenes Laërtios (200 n. Chr.).
Wir sehen hier wie hoch etwa um 400 die Kenntnisse der Pythagoräer
stehen; der Potenzsatz (der zweite Hauptsatz vom Kreise), die Sätze vom
rechtwinkligen Dreieck und ihre Umkehr, die Ähnlichkeitslehre, die

Anwendung der Bewegung zur Konstruktion, allerdings nach dem Vorgang
des H i p p i a s von E l i s und seiner Quadratrix (s. u.)
Der Satz: »Stehen 2 Ebenen auf einer dritten senkrecht, so steht ihre
Schnittgerade auch auf dieser senkrecht«, die Kenntnis und Benutzung der
geometrischen Orte; Schnitt eines Cylinders und eines Kegels, und damit
die erste R a u m k u r v e, der Wulst und sein Schnitt, die erste von Proklos
»s p i r i s c h e« benannte Linie, und überhaupt so grosse stereometrische
Kenntnisse, dass es klar wird, dass die Pythagoräer, vor allem A r c h y t a s
die Lehrer des Platon gewesen sind, und n i c h t umgekehrt, wie das ja die
oben zitierte Stelle der Gesetze bestätigt.
Die nächste Lösung führt uns auf den Eudoxos.
grössten Mathematiker und Astronom zur Zeit
des Platon, auf E u d o x o s von K n i d o s, dessen Ruhm durch den des
Platon lange verdunkelt ist und den die zusammenfassende Geschichte der
Mathematik bisher zu stiefmütterlich behandelt hat. Die Programme von
H . K ü n s s b e r g, Dinkelsbühl 1888–90, der Astron., Math. und
Geograph E. v. Knidos, werden ihm gerecht. E u d o x o s auf allen drei
Gebieten und auch auf dem der Gesetzgebung gleich bedeutend, ist etwa
um 410 zu Knidos, einer dorischen Stadt in Karien, an der Küste von
Kleinasien, aus armer Familie hervorgegangen, früh kam er in das ebenfalls
dorische Tarent und genoss dort in Mathematik und Astronomie den
Unterricht des grössten Pythagoräers, des A r c h y t a s. Etwa 23 Jahre alt
ging er nach kurzem Aufenthalt in Athen, wo er Platon gehört haben soll,
nach Ägypten, vermutlich als Begleiter eines Arztes Chrysippos, mit
Empfehlung des Sparterkönigs A g e s i l a o s an Nektanebos (Necht-
Harebhēt). Die Reise fällt gegen 380, da etwa von 394–380 Nektanebos den
Aufruhr seiner Ägypter bekämpfen musste. Dort verkehrte er in Heliopolis
mit den Priestern insbesondere mit dem Priester Chonuphis und indem er
völlig ihre Sitten annahm (ξυρομενος τε ιβην και οφρυς, geschoren am
Scham und Augenbrauen) bekam er Einblick in das riesige astronomische
Beobachtungsmaterial und dort schrieb er seine Octaëteris etwa um 375,
vergl. A . B o e c k h: Über die vierjährigen Sonnenkreise der Alten 1863.
Die Octaëteris ist eine 8jährige Periode zum Ausgleich des Mond- und
Sonnenjahres. 8 · 354 + 3 · 30 = 2922 = 8 · 3651/4.
Etwa um 370 in der Akme gründete er in Kyzikos in Mysien (Panorma
am Marmorameer) eine Hochschule, die rasch zu grosser Blüte gelangte,

aber schon nach wenigen Jahren trieb ihn sein rastloser Bildungseifer in die
Weite. Zunächst zog er nach Athen und führte eine grosse Anzahl seiner
Schüler dem Platon zu, darunter die bedeutendsten Mathematiker der
Akademie, wie M e n a i c h m o s, den eigentlichen Entdecker der
K e g e l s c h n i t t e, D i n o s t r a t o s, der den Nutzen der Kurve des
Hippias von Elis für die Quadratur des Zirkels erkannte und ihr den Namen
Quadratrix, τετραγωνίζουσα, verschaffte, Athenaios, Helikon etc. Von
Athen zog er nach Sizilien und studierte dort unter dem italischen Lokrer
P h i l i s t i o n, vermutlich auch ein Pythagoräer, Medizin. Dann kehrte er
von Knidos zurück, mit grossen Ehren empfangen, und schuf für die Stadt
neue Gesetze.
Unsere fast einzige Quelle über Eudoxos ist Diogenes Laertios, die
sich aber auf gute Autoritäten wie Kallimachos, Sotios, Nikomachos,
Eratosthenes stützt. Sonst haben wir nur eine kurze Notiz in der Ethik des
Aristoteles 172, b. 15, wonach er Hedoniker etwa im Sinne Demokrits war
und in dem bekannten Lexikon des Suidas, der zwar die drei sehr gelehrten
Töchter des Eudoxos mit Namen nennt, aber über ihn selbst so gut wie
nichts sagt. Doch gibt Aristoteles seinem Charakter ein günstiges Zeugnis.
Aber über die wissenschaftliche Bedeutung des Mannes war das ganze
Altertum einig, und ich kann dafür auf C i c e r o verweisen, den ich, wie
sehr Sie auch sein Cato major, sein Lälius, seine Officien gelangweilt haben
mögen, als H i s t o r i k e r nicht zu unterschätzen bitte. Diogenes Laertios
berichtet, dass er in Knidos statt »Eudoxos« in »Endoxos« umgetauft
wurde, d. h. der Anerkannte und Eratosthenes nennt ihn, den Astronomen,
Mathematiker, Geographen, Philosophen, Mediziner, Staatsmann, der an die
»Allmenschen« des Cinquecento an Leonardo da Vinci und Michelangelo
erinnert, den »Göttergleichen« in dem Epigramm: »θεουδεος Ευδοξοιο
καμπυλον εν γραμμαις ειδος.«
Auch Platon hatte die höchste Achtung vor Eudoxos als Mathematiker,
wie aus seiner 13. Epistel hervorgeht und aus der Angabe bei Plutarch, dass
er die Delier an den Eudoxos verwiesen habe. Er starb 53 Jahre alt um 356.
Seine Lösung des Delischen Problems
Lösung des Delischen
übergeht Eutokios, die kurze Andeutung bei Problems von Eudoxos.
Eratosthenes war ihm unverständlich, und die
ihm vorliegende Lösung fehlerhaft überliefert. Eratosthenes sagt in dem
zitierten Briefe: »Während nun diese (die Geometer der Akademie) sich

arbeitsfreudig drangaben und zu zwei gegebenen zwei mittlere zu fassen
suchten, soll sie Archytas der Tarentiner mittelst des Halbcylinders
gefunden haben und Eudoxos von Knidos mittelst der bogenförmig
(καμπύλον) genannten Linien. Das Wort Kampylos bedeutet »gekrümmt«
insbesondere gekrümmt nach Art des Kriegsbogens der Griechen ,
den H o m e r stets mit diesem epitheton ornans bezeichnet.
Es ist P. T a n n e r y gelungen (Sur les solutions du problème de
Delos par Archytas et par Eudoxe, Mém. de Bordeaux Ser. 2, T. II Paris
1878 p. 277), die naturgemäss eng an Archytas anschliessende Lösung des
Eudoxos wiederherzustellen, dadurch dass er erkannte die Kurve müsse ein
dem griechischen Kriegsbogen ähnliches Aussehen haben und daraufhin,
nicht wie V. Flauti, Geom. di sit. Napol. 1842, 3. Aufl. die Projektion der
Schnittkurve des Wulstes und des Kegels auf die zx Ebene, sondern auf den
Grundkreis, auf die xy Ebene, untersuchte.

Eudoxos betrachtete die Schnittkurve des Wulstes und des Kegels,
d. h. also er sah zunächst davon ab, dass Punkt Ι der Figur[*] auf der
2 2
Peripherie des Grundkreises liegt, immer ist: ΑΑ ΜΘ 2 = ΑΑΚΙ 2 = ΕΑΔΙ oder I: ΑΘ2 =
b2
a
ΑΙ.
[*] In der Figur ist Θ durch Q, ξ durch ζ, und Ι durch S ersetzt.
Dadurch ist die Projektion eines Punktes Κ der Schnittkurve und damit
ihre Projektion auf die xy Ebene, die Ebene des Grundkreises, definiert.
Sowohl ihre Gleichung wie ihre Konstruktion ist nun ohne weiteres klar,
sobald man noch nachgewiesen, dass Αξ = ΑΘ, wo Αξ die Abscisse x von Ι
(und Κ).
2
Es ist: ΑΑ ΘΕ = ΑΑ ξΙ oder ΑΘ . x = ΑΕ . ΑΙ = ba . ΑΙ also nach Ι x = ΑΘ also
2 4
die Gleichung der Kurve ΑΙ2 = x2 + y2 = a b x4 d. h. also eine durch die
Substitution ξ = x2, η = y2 transformierte Parabel, welche Tannery
analytisch untersucht hat. Ihre geometrische Konstruktion ist äusserst
einfach vergl. die Fig. 1 und das richtige Ι der Punkt wo diese Kurve den
Halbkreis schneidet.
1 1
Es ist nach Konstruktion: ΑΘ1 = Αξ1 und ΑΑ ξΙ 1 = ΑΑΘΕ , oder ΑΘ'2 =
2
ΑΙ' . ΑΕ und da ΑΒ2 = a . ΑΕ so ist ΑΘ'2 = ΑΙ' ba somit Ι' ein Punkt des
Ortes.
Vom Eudoxos rührt m. E. auch die Mechanische Lösung von
Konstruktion her, welche Eutokios dem Platon Eudoxos (Platon).
zuschreibt. ΑΒ und ΒΓ, s. Fig., seien die
gegebenen Strecken; man verlängere sie nach Δ und Ε, so dass ΑΕΔ und
ΓΔΕ rechte Winkel sind, dann ist nach der Satzgruppe des Pythagoras
ΓΒ : ΒΔ = ΒΔ : ΒΕ = ΒΕ : ΑΒ.

Die Punkte Δ und Ε lassen sich auf
mechanischem Wege leicht finden mittelst
zweier aufeinander verschiebbarer rechten
Winkel (Winkelhaken); es wurde ein eigenes
Hilfsinstrument (siehe Figur) angefertigt, durch
einen beilförmigen Einschnitt β in die Lineale
(κανών, Kanon) wurde dafür gesorgt, dass sich
ΚΔ nur parallel zu ΗΘ bewegen konnte, die
nähere Beschreibung siehe man bei A. Sturm
l. c. p. 50. Die ganze Konstruktion ist so unplatonisch wie möglich, wir
wissen dass gerade auf Platon die strenge Beschränkung der geometrischen
Hilfsmittel auf Zirkel und Lineal zurückgeht, dass er die sogenannte Neusis,
die Einschiebung von Strecken auf mechanischem Wege verpönte.
Ausserdem berichtet Plutarch ganz ausdrücklich Quaest, conv. VIII p. c. 1:
Platon t a d e l t e Eudoxos, Archytas und Menaichmos, weil sie die
Verdoppelung eines Körpers auf instrumentale und mechanische Apparate
zurückführten. Dagegen passt sowohl die Anwendung des Satzes von der
Höhe im rechtwinkligen Dreieck, den auch A r c h y t a s anwandte und die
Lösung mittelst eines Instrumentes sehr gut auf Eudoxos, der als
leidenschaftlicher Astronom mit Apparaten durchaus vertraut war. Ich
schliesse hier gleich den Bericht über E u d o x o s Gesamtleistungen an.
Von Eudoxos rührt fast sicher das ganze 5. Buch der Elemente des Euklid
her, die so diffizile Lehre vom Streckenbuch, und zwar wörtlich; man vergl.
P r o k l o s, ed. Friedlein p. 68 und s. u. Euklid. Und ein Scholion der lat.
Ausgabe der 6 ersten Bücher Basel 1550 zum 5. Buch des »Adelos« und im
prächtigen Codex des Euklid aus der Sammlung Mazarin ist von K n o c h e
als von P r o k l o s herrührend erkannt, es heisst da: Einige sagen dass
dieses Buch die Erfindung des Eudoxos sei, — und das wird direkt bestätigt

durch weitere Scholien (K n o c h e 1865) und indirekt dadurch, dass Buch 7
der Elemente die Lehre von den Proportionen für ganze Zahlen noch einmal
aufnimmt, ohne irgend eine Rücksicht auf das 5. Buch. Von Eudoxos rühren
die fünf ersten Sätze des XIII. Buchs samt der Definition von Analysis und
Synthesis her, vermutlich auch ein ganzer Teil der weiteren Sätze über die 5
Platonischen Körper. Eudoxos, der als grosser Astronom auf das genaueste
mit der Sphärik vertraut war, ist wohl der eigentliche Schöpfer der später
von Theodosios bearbeiteten Sphärik.
Für eine Anzahl wichtigster Sätze der Stereometrie haben wir das
schwerwiegende Zeugnis des A r c h i m e d e s, der in seiner Quadratur der
Parabel, der ersten grossen Leistung der Integralrechnung, das nach ihm
benannte jetzt so viel besprochene Prinzip älteren Geometern vindiziert,
welche damit bewiesen, dass Kreise sich wie die Quadrate, Kugeln wie die
Kuben ihrer Durchmesser verhalten, ferner dass jede Pyramide der dritte
Teil des Prisma von gleicher Grundfläche und Höhe, jeder Kegel der dritte
Teil des Cylinders von gleicher Basis und Höhe sei. Alles das haben sie
durch Annahme des aufgestellten Lemma bewiesen. Hier wurde Eudoxos
Name nicht genannt. Aber in der Einleitung zum ersten Buch seiner Schrift:
περι σφαιρας και κυλινδρου. heisst es: »Ebenso verhält es sich mit vielen
von E u d o x o s über die Körper aufgefundenen Sätzen, die Beifall erhalten
haben z. B. dass jede Pyramide etc., jeder Kegel etc. Denn obgleich diese
Sätze über diese Gebilde schon früher experimentell bekannt waren, so traf
es sich doch, obgleich es vor Eudoxos viele erwähnenswerte Geometer gab,
dass sie von keinem begrifflich erkannt und auch von keinem folgerichtig
bewiesen wurden.«
Demnach hat Eudoxos auch einen bedeutenden Anteil am XII. Buch
der Elemente. Im besonderen sind die wertvollen Beweise XII, 2 — XII, 10
Eigentum des Eudoxos, und indem sie sich eng an die Definitionen und
Sätze des 5. Buches anschliessen, geben sie wie L . O f t e r d i n g e r
bemerkt hat, zugleich einen Beweis für das Eigentumsrecht des Eudoxos
auf Buch V. Freilich müssen wir das mathophilosophische Verdienst des
Eudoxos jetzt nach dem Ephodion erheblich einschränken. Das Prinzip der
Exhaustionsmethode des Euklid ist im Grunde nichts weiter als das
unendlich kleine des D e m o k r i t, das Eudoxos den Hellenen mundgerecht
gemacht hatte, welche vor der rücksichtslosen Kühnheit, mit der Demokrit
seine Differentiale der Masse und des Raumes einführte, scheuten. Es ist so
ziemlich derselbe Vorgang, welcher sich in der Neuzeit abspielte, als die

Fluxion, das Moment des N e w t o n, das »infiniment petit« des Leibniz von
Lagrange durch die Ableitung ersetzt wurde.
So gross die Leistungen des Eudoxos auf Das Weltsystem des Eudoxos.
mathematischem Gebiete waren, so bedeutend er
als Geograph war durch seine »γης περιοδος«, eine umfassende Länder-
und Völkerkunde, am grössten steht er doch als Astronom da. So
leidenschaftlich war seine Liebe zur Sternkunde, dass er wie Plutarch
erzählt, geäussert hat »Ich wünschte auf die Sonne zu kommen um die
Gestalt und Grösse des Gestirnes kennen zu lernen und wäre es auch um
den Preis, wie Phaëton zu verbrennen«. An den verschiedensten Punkten
des Orbis terrarum hat er die Sterne beobachtet, noch S t r a b o wurde seine
Warte bei Heliopolis gezeigt, auch eine eigentümliche Sonnenuhr αραχνη
(Spinne, wohl von der Ähnlichkeit mit dem Netze einer Spinne) hat er
konstruiert. Wir verdanken die Kunde seines Weltsystems, d e s e r s t e n,
das s t r e n g m a t h e m a t i s c h die Bewegungen der Gestirne zu erklären
suchte, Aristoteles in der Metaphysik und besonders dem so wichtigen
Commentar des Simplicius zu Aristoteles de coelo, auf den gestützt
I . K . S c h a u b a c h in seiner klassischen Geschichte der griech. Astron.
bis auf Eratosthenes Gött. 1802 und der grosse Chronologe
C h r . L . I d e l e r 1806 und besonders 1828, 29 Eudoxos als Astronom
würdigen konnten. Die völlige Aufklärung gab der hervorragende
italienische Astronom G . V. S c h i a p a r e l l i in Le sfere omocentriche
di Eudosso, di Calippo e di Aristotele (Mil. 1875), gelesen bei Gelegenheit
des 400. Geburtstags des Copernicus zu Mailand 20. Febr. 1875, deutsch
von W. Horn im Supplementband des Schlömilch von 1877. Er konnte
dabei schon einen von B r u n e t d e P r e s l e aus dem Nachlass des
bedeutenden Historikers der Mathematik L e t r o n n e in den Not. et extraits
des Manscr. de la bibl. imp. T. 18, p. I Par. 1865 veröffentlichten Papyrus
des Louvre benutzen, der vermutlich ein aus 190 v. Chr. stammendes
Kollegienheft einer alexandrinischen Vorlesung über Astronomie ist. Ich
folge hier im Wesentlichen Schiaparelli und K ü n s s b e r g Th. I 1889.
Das Prinzip von dem Eudoxos ausging, war dasselbe, dem wir
K e p l e r ' s harmonice mundi verdanken und das bewusst oder unbewusst
jeder annimmt, das Prinzip: der Kosmos ist nach einem einzigen
allgemeinen Gesetze geordnet. Schiaparelli sagt: »den griechischen
Astronomen fehlte das physikalische Gesetz der allgemeinen Schwere, sie
mussten sich daher an geometrische Gesetze halten«. Nun aber bot der

tägliche Umschwung des Fixsternhimmels eine gleichförmige
Kreisbewegung dar und ebenso schienen die monatlichen und jährlichen
Bewegungen des Mondes und der Sonne gleichförmig in Kreisbahnen vor
sich zu gehen. Die Planeten, besonders die oberen, zeigten zwar grosse
Unregelmässigkeiten, sie beschrieben ja ganz verwickelte Schleifenlinien,
aber man entnahm aus dem obigen Prinzip das Axiom, es müssten sich alle
diese Abweichungen aus dem Zusammenwirken von mehreren
gleichförmigen Kreisbewegungen erklären lassen. Dies Axiom soll nach
Gemīnos (Géminus), isagoge eis phaenomena Cap. I, von den
P y t h a g o r ä e r n herrühren und hat die theoretische Astronomie bis
Galilei und Newton beherrscht.
S c h i a p a r e l l i sagt: »Eine andere Bedingung, der sich die, welche
zuerst über den Bau des Universums nachdachten, fügen mussten, war
diese, für denselben die grösste Einfachheit und Symmetrie anzunehmen.
Da bildeten im System des Philolaos (s. Pythagoräer) die Bahnen der
Himmelskörper ein System von Kreisen, die um ein gemeinsames Zentrum
beschrieben wurden, und dieselbe Regel oder wenigstens eine ähnliche ist
in den verschiedenen Systemen des Platon beobachtet. [Timaios 11]. An
dieser Grundanschauung hielt auch Eudoxos fest und stellte sich vor, dass
alle seine Sphären konzentrisch um die Erde gleichmässig beschrieben
seien, weshalb ihnen später der Name homozentrische Sphären beigelegt
wurde. Durch diese Anschauung wurde das Problem viel schwieriger, weil
dadurch diesen Sphären jede fortschreitende Bewegung genommen wurde
und dem Geometer zur Erklärung ihrer Bewegung nichts anderes übrig
blieb als die Kombination ihrer Rotationsbewegung, aber dem Bau der Welt
wurde dadurch eine Eleganz bewahrt, von welcher die Konstruktionen des
Hipparch [von Rhodos], des Ptolemaios und alle andern, selbst des
Copernicus weit entfernt blieben und die bis Kepler ihresgleichen nicht
wiederfand.« —
E u d o x o s dachte sich ungefähr wie Platon, dass jeder
Himmelskörper von einer um zwei Pole in gleichförmiger Rotation
drehbaren Sphäre in kreisförmige Bewegung versetzt würde. Er nahm
ausserdem an, dass derselbe in einem Punkt des Äquators dieser Sphäre
befestigt sei. Zur Erklärung der Planetenbewegung genügte diese
Hypothese nicht, Eudoxos setzte deshalb fest, dass die Pole der den
Planeten tragenden Sphäre nicht unbeweglich bleiben, sondern von einer
grösseren, der ersten konzentrischen getragen würden, welche gleichförmig

und mit einer ihr eigentümlichen Geschwindigkeit um zwei von den
vorigen verschiedene Pole rotiere. Da auch dies noch nicht genügte, so liess
er die Pole der zweiten auf einer dritten konzentrischen grösseren Kugel
fest sein; welche wieder ihre besonderen Pole und ihre besondere
Geschwindigkeit besass. Und wo drei Sphären nicht ausreichten, nahm er
noch eine vierte hinzu, welche die drei ersten umschloss und die zwei Pole
der dritten enthielt, und mit eigener Geschwindigkeit um ihre Pole rotierte.
Für Sonne und Mond fand er 3 Sphären bei passender Wahl der
Geschwindigkeiten, der Pole und der Neigungswinkel genügend, für die 5
anderen Planeten fand er 4 Sphären nötig. Die bewegende Sphäre eines
jeden Planeten machte er völlig unabhängig von denen der anderen. Für die
Fixsterne genügte eine einzige Sphäre um die tägliche Bewegung
hervorzubringen. Für die Sonne hätte er mit zwei Sphären auskommen
können, da er die sogen. Anomalie, die ungleiche Dauer der Jahreszeiten,
d. h. die Ungleichförmigkeit der Geschwindigkeit nicht berücksichtigte,
aber er glaubte an eine geringfügige Veränderung der Sonnenbreite in bezug
auf die Ekliptik. Somit hatte er 27 Sphären nötig.
Hier die Figur, das Abbild eines
von Künssberg nach Eudoxos
konstruierten Planetolabium ist
durchaus geeignet das System klar zu
machen. Kreis I dient dazu die tägliche,
Kreis II die Bewegung in der Ekliptik,
Kreis III die Abweichung von der
Ekliptik, Kreis IV die
Ungleichförmigkeit des Planeten in
Bezug auf Geschwindigkeit und
Richtung zu erklären. Ich hebe hervor,
dass Eudoxos den Neigungswinkel von
etwa 5° der Mondbahn gegen die
Ekliptik kannte und damit dem B a b y l o n i s c h e n S a r o s von 65851/8
Tagen und dass auch die Reihenfolge der Planeten die B a b y l o n i s c h e
ist. Ich muss für weiteres auf S c h i a p a r e l l i und O . T a n n e r y [Note s.
le syst. astron. d'Eudoxe, Mém. de Bordeaux, Ser. II T. 1 (1876) und T. 5
(1883)] verweisen, welche beide erklären, dass das System nach der
Verbesserung durch Kallippos ebenso gut die Bewegung von Sonne und
Mond darstelle, sowie die hauptsächlichen Unregelmässigkeiten der

Planetenbahnen wie die Epicykeln des Ptolemaios. Nur noch einige
Bemerkungen über die eigentliche Bahn der Planeten, welche durch die
beiden innersten Kugeln 3 und 4 hervorgebracht wird, die sogen.
H i p p o p e d e (Pferdefessel) des Eudoxos, die erste sphärische
Raumkurve, welche Schiaparelli sehr richtig als L e m n i s k a t e
bezeichnet.
Eudoxos hat nur auf die Elementargeometrie gestützt das folgende
schwierige Problem gelöst: um zwei feste Pole dreht sich eine Kugel
gleichförmig, um zwei Pole auf dieser dreht sich ebenso eine zweite mit
derselben aber entgegengesetzt gerichteten Geschwindigkeit, welche Bahn
beschreibt ein Punkt des Äquators. Die Kurve ist dadurch ausgezeichnet,
dass ihre Bogenlänge wie die der ebenen Lemniskate durch ein elliptisches
Integral 2. Gattung dargestellt wird. Die elementargeometrische
Behandlung der Kurve wäre eine vorzügliche Übungsaufgabe.
Die grossen Verdienste des Eudoxos um Geographie und Kalender
sind neben Schaubach auch von A . B o e c k h in der cit. Schrift 1863 voll
gewürdigt.
Ich verlasse Eudoxos, den grössten
Lösung des Delischen
Mathematiker seiner Zeit, der vermutlich ebenso Problems durch Menaichmos.
nüchtern war wie Platon phantastisch war,
berichtet doch Cicero in De Divinatione, dass er die Astrologie der
Babylonier für Unsinn hielt und dies, obwohl er unzweifelhaft von
Babylonischer Astronomie beeinflusst war, wie schon aus seiner
Festsetzung des Verhältnisses von Sonnen- und Monddurchmesser
hervorgeht und wende mich zum Delischen Problem zurück. Knüpfte
Eudoxos an seinen Lehrer Archytas an, so folgte ihm wieder sein Schüler
M e n a i c h m o s, den er seinerzeit dem Platon zugeführt hatte.
Menaichmos, der um die Mitte des 4. Jahrh. lebte, wird von den Alten
einstimmig als der Erfinder der Kegelschnitte bezeichnet. Eratosthenes
nennt sie in dem Briefe, die Menächmischen Triaden »man braucht nicht
die Men. Triaden aus dem Kegel zu schneiden«. P r o k l o s (oder Gemīnos)
beziehen sich auf diese Stelle (Friedl. p. 111). Und aus des Eutoxios
Excerpt aus Eudemos oder Geminos sehen wir dass die Delische Aufgabe
und der Weg des Archytas und Eudoxos den Menaichmos geleitet haben. Es
heisst bei Eutokios:

»So wie Menaichmos: Es seien die
gegebenen Geraden (die Alten kannten den
Ausdruck »Strecke« nicht) Α und Ε,
gefordert zwischen Α und Ε zwei mittlere
Proportionalen zu finden. Es sei geschehen
und sie sollen Β und Γ sein, uns möge die im
Punkte Λ begrenzte Grade (d. h. der Strahl)
ΛΗ gezeichnet vorliegen [εκκεισθω θεσει.]
und bei Λ liege [auf ihr] die Γ gleiche
Strecke ΛΖ, und senkrecht [dazu] werde ΘΖ
gezogen (als Strahl) und ΘΖ [als Strecke] (s.
Figur) gleich Β gemacht. Da nun die drei
Geraden Η, Β, Γ, proportional so ist das
Rechteck aus Α und Γ gleich dem Quadrat
über Β.« Es ist also ΑΓ = Β = ΘΖ2 = Α . ΛΖ, folglich liegt Θ auf der
2

Parabel mit dem Scheitel Λ, der Axe ΛΗ und dem Parameter A/2. Da auch
das Rechteck ΓΒ oder ΛΖ . ΖΘ gegeben ist, weil es gleich Α . Ε ist, so liegt
Θ auch auf der gleichseitigen Hyperbel mit den Asymptoten ΛΚ und ΛΗ,
also ist Θ gefunden. Es folgt dann bei Eutokios nach dieser Analyse auch
die Synthese, ausdrücklich als solche bezeichnet, und darauf eine zweite
Lösung des Menaichmos; von der ich auch nur die Analysis (s. Figur) gebe.
Es seien die auf einander senkrechten
Strecken ΑΒ und ΒΓ die gegebenen, ΒΛ
und ΒΕ die gesuchten, so dass ΓΒ : ΒΛ =
ΒΛ : ΒΕ = ΒΕ : ΒΑ. Man ziehe die
Normalen ΛΖ, ΕΖ, so ist ΓΒ . ΒΕ = ΒΛ2 =
ΕΖ2, also Ζ auf eine Parabel, deren Achse
ΒΕ, deren Parameter 1/2ΓΒ. Da aber auch
ΒΑ . ΒΛ = ΒΕ2 = ΛΖ2 ist, so liegt Ζ auch
auf der Parabel, deren Axe ΒΛ, deren
Parameter 1/2ΑΒ ist.
Die Darstellung ist jedenfalls von
Eutokios oder schon von Geminos
redigiert, denn die Namen Parabel, Ellipse,
Hyperbel sind erst von A p o l l o n i o s von P e r g a e (s. u.) im 3. Jahrh.
eingeführt, ebenso wie das Wort Asymptote.

Den Gedankengang des Menaichmos hat
Menaichmos, Kegelschnitte.
Bretschneider, Geom. und Geometer vor
Euklides 1870 p. 156 ff., wiederhergestellt. Derselbe Eutokios erzählt in
seinem Kommentar zu des Apollonius Kōnika, dass die Alten den Kegel nur
erzeugten durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine seiner
Katheten. Je nachdem nun der Öffnungswinkel spitz, recht oder stumpf war,
erhielt Menaichmos Ellipse, Parabel, Hyperbel, wenn er den Kegel durch
eine Ebene, welche auf einer Seitenkante senkrecht stand, durchschnitt. Die
Ellipse war übrigens als Cylinderschnitt schon den Ägyptern (vergl. die
Säulen des Tempels von Luxor) und auch den Hellenen vor Menaichmos
bekannt, ihr alter Name war ἡ (γραμμή) του θυρεού. [vielleicht die
Schildförmige Linie, das Oval, obwohl das ovale Schild gew. ἀσπίς und
nicht θυρεός heisst]. Die Erzeugung des Menaichmos gab sofort die
Hauptachsen des Kegelschnitts. Men. erkannte die Ve r w a n d t s c h a f t
seiner Kurven mit dem Kreise, da er sah dass dieselben P r o j e k t i o n e n
des Kreises waren, und suchte daher nach einem Analogon zum Potenzsatz,
im Anschluss an Archytas und Eudoxos, und fand es auch. Der B e g r i f f
der Ve r w a n d t s c h a f t gehört zu denen, welche sich den Geometern von
selbst aufdrängen, man vergleiche die Ähnlichkeitslehre bei Ägyptern und
Indern, wenn auch Theorien der Verwandtschaften als solcher modernen
Ursprungs sind. Als Beispiel nehme ich die Parabel, den »Schnitt des
rechtwinkligen Kegels« wie sie noch bei A r c h i m e d e s heisst und sogar
noch bei Proklos. Es ist LAD, s. Fig. rechtwinklig bei A, der Schnitt MIDKN
IG DI
normal gegen die Kante AC geführt, also ID || AB. Es ist = also
LD AL
gleich IG . HI : LD2 = IK2 : DL2 (Potenzsatz des Kreises). Ferner wenn LM
⟘ LD, ist MD : LD = LD : AL, LD2 = MD . AL oder IK2 : MD . AL = DI : AL,
also IK2 = MD . DI, dies ist die Grundeigenschaft (Gleichung) der
P a r a b e l. Analog ist die Herleitung für Ellipse und Hyperbel.

Da die nächste Lösung, die des Eratosthenes Parabel; Trisektion
selbst ist, so unterbreche ich hier die Geschichte (Dinostratos).
des Delischen Problems um mit D i n o s t r a t o s,
den Bruder des Menaichmos der ebenfalls Schüler des Eudoxos und Platon
ist, auf die beiden andern grossen Probleme, welche die Pythagoräer in die
Hellenische Wissenschaft einführten, überzugehen. Zunächst die Trisektion,
die Dreiteilung des Winkels. Das Problem ist unzweifelhaft von den
Pythagoräern gestellt worden, und geradezu im Zusammenhange mit dem
Delischen Problem. Wie die mittlere Proportionale der Natur nach
zusammenhing mit der Halbierung des Bogens, so glaubte man würden die
beiden Medianen mit der Dreiteilung zusammenhängen und indem man die
reinkubische Gleichung lösen wollte, kam man auf die gemischte, es ist also
kein Zufall, dass dies Problem das zweite Delische genannt wurde. Dass die
Kenntnisse der Pythagoräer zu der Aufstellung der Gleichung ausreichten,
ist leicht zu zeigen vergl. Figur. Man muss nur sehen, dass ABC ≅ αβγ ist.
Es werde bezeichnet: αβ = AB = z, Aα = 2αγ = y, AD = s, AF = σ, MF = p,
BC = u = βγ, dann ist 1) s/y = (y + z)/z, 2) u2 + 1/4y2 = z2, 3) weil MFB ～
ABC, 2up = y(σ - z) 4) σ2 + p2 = r2.

2 2 2 2
Setzt man u = zτ, so ist nach 2) y4 = z2(1 - τ2) und nach 3) gleich ( zσ τ- zp ) 2
2 2 s(σ - z) 2τp
also 5) 1 - τ2 = ( στ - pz ) 2 aus 1) und 3) folgt 6) = + 1.
2τpz σ - z
Aus 5) folgt σ - z = τp : μ wo μ = √1 - τ2 ist, also z = σ - τp : μ, also
geht 6) über in 7) s = (2μ + 1)2μ(σ - τp : μ); s = (2μ + 1)(μs - 2τp) woraus
nach leichter Rechnung 4τ3 - 3τ + ps : r2 = 0 und da ps = ηr, wenn die Höhe
des Dreiecks A M D von D aus η genannt wird, 8) 4τ3 - 3τ + η/r = 0.
Das ist die bekannte Gleichung für sin φ/3 da η : r = sin φ ist.
Es gewannen also die beiden Delischen Probleme die Bedeutung der
Auflösung der kubischen Gleichung, [da sich für y die Gleichung 4. Grades
y4 + sy3 - 3y2r2 - 2ysr2 + s2r2 = 0 ergibt, so ist damit zugleich die Lösung der
Gleichung des 4. Grades angebahnt].
Das arithmetische Problem vermochten die Hippias von Elis, Dinostratos
Pythagoräer nicht zu lösen, und das geometrische (Quadratrix).
nicht mittelst Zirkel und Lineal, d. h. elementar,
doch scheuten sie sich wie wir bei Archytas gesehen haben, keineswegs vor
Bewegungsgeometrie und so erfand denn der seiner Zeit ziemlich übel
berüchtigte Sophist H i p p i a s von E l i s im letzten Drittel des 5. Jahrh.
eine mechanische Lösung und damit die erste uns bekannte vom Kreise
verschiedene nach bestimmten Gesetz erzeugte Kurve, die später
vermutlich durch oder doch n a c h Archimedes, nachdem D i n o s t r a t o s
ihren Gebrauch zur Rektifikation (Streckung) und damit auch zur Quadratur
des Zirkels gelehrt hatte, den Namen τετραγωνίζουσα lat. Quadratrix

erhielt. Es sind sogar gegen die Autorschaft des Hippias von Elis Bedenken
erhoben (Blass, Friedlein) und H . H a n k e l der genialste Historiker der
Mathematik hat sich sehr scharf gegen die Autorschaft des Hippias von Elis
ausgesprochen, aber Gründe hat er nicht angegeben und ich muss C a n t o r
beipflichten, der aus der ständigen Gewohnheit des Proklos nur bei der
ersten Erwähnung die Herkunft anzugeben und sie später als schon genannt
wegzulassen, mit grösster Energie sich für den Hippias von E l i s
aussprach. Proklos kann nur diesen Hippias meinen und wenn auch der
Hippias major des Platon vermutlich unecht, so genügt doch der Hippias
minor um zu beweisen, dass Hippias seinerzeit für einen hervorragend
tüchtigen Mathematiker galt. Pappos, dem wir die Kenntnis der Kurve
verdanken, erwähnt den Namen des Hippias nicht. Die Kurve und ihre
Konstruktion finden sich Buch IV prop. 25 p. 253 der H u l t s c h e n
Ausgabe. Während der Radius αβ, vergl. die Fig., sich gleichförmig um α
bis αδ dreht, verschiebt sich ebenfalls gleichförmig βγ bis αδ, unsere Kurve
ist der Ort des Schnittpunktes ζ der beiden sich bewegenden Strecken. Die
Grundeigenschaft ist: αβ κβ = BBooggeenn ββεεδ = πΘ/ 2 . Damit ist nicht nur die
T r i s e k t i o n sondern sogar die M u l t i s e c t i o n vollzogen, denn nichts
hindert αβ oder irgend ein Stück von αβ in beliebig viele gleiche Teile zu
π/2
⌒ , daraus y1 : y2 = ε⌒δ : ε⌒δ
teilen. Es folgt: α β - β κ = π / 2 - Θ oder 1) y . π/2 = εδ
αβ 1 2
π
und als Gleichung der Kurve 2) x = y cot y /2. Die Proportion 1, kann auch
heissen Q u a dr r a n t = ζε⌒υδ . Dinostratos, der mit Demokritischen Gedanken
vertraut war, bemerkte nun, dass der Bruch rechts auf der Grenze, wenn αε
unendlich nahe bei αδ ist, weil der Sektor dann in ein Dreieck übergeht
gleich δε' : ηη' = αδ : αη gleich r : x0 ist, womit zwar nicht die Quadratur
aber doch die Rektifikation des Kreises mittelst der gezeichnet vorliegenden
Kurve vollzogen ist. Der Beweis des Dinostratos den Pappos l. c. mitteilt,
rechnet selbstverständlich nicht mit dem Unendlich kleinen, sondern ersetzt
die Differentialrechnung durch die Grenzmethode, wie das auch
Archimedes selbst noch getan, obwohl wir aus dem Ephodion sehen, wie
genau er sich der Tragweite der Infinitesimalrechnung bewusst war. Man
braucht ja nur an des Cavalieri »geometria indivisibilium« zu denken, die er
umarbeiten musste, weil seine Zeitgenossen an dem nackten Unendlich
kleinen und grossen, am Differential und Integral des Volumens, Anstoss
nahmen. N e w t o n der Urheber des selbständigen Differentialkalküls hat in
den Prinzipien und in seinen geometrischen Werken ängstlich die Methode

verschleiert und noch heute gibt es Mathematiker genug, welche vor dem
»infiniment petit« scheuen, wie etwa Pferde vor einem Automobil.

Sind Menaichmos und Dinostratos die Theaítetos und Theudios.
produktivsten Mitglieder des Platonischen
Kreises, »derer um Platon,« so sind Theaítetos der Athener und Theudios
der Magnesier, (wohl in Karien) diejenigen, welche die methodische Seite
der Akademie am energischsten vertreten. Von Θεαίτητος, dem schon oft
genannten, rührt ein grosser Teil der selbst für uns Heutige nicht leichten
Sätze des X. Buchs der Elemente des Eukleides her, das selbst ein Petrus
Ramus, obwohl ein genauer Kenner von Proklos' Kommentar zum I. Buch,
nicht verstand, und Θευδιος ὁ Μαγνης hat das Lehrbuch der Akademie
verfasst. Von ihm sagt Proklos: Er brachte gute Ordnung in die Elemente
und verallgemeinerte vieles in den einzelnen Abschnitten (Friedl. p. 67,
wenn ὁρικων, was Friedlein bezweifelt, richtig ist, so kann es auch
vielleicht besser als »begrenzt« d. h. »zu eng gefasst« übersetzt werden, »er
machte die Begrenzungen weiter«).
Die Elemente des Theudios gehen denen des Aristoteles.
Euklid unmittelbar voran, und auf sie beziehen
sich die mathematischen Angaben bei A r i s t o t e l e s.
Dieser weltumfassendste Geist nicht bloss Zeit bei Platon.
des Altertums, der Wissenschaft und Kunst fast
2000 Jahre lang beherrscht hat und die formale Logik sogar bis auf
S i g w a r t, d. h. bis zum letzten Drittel des 19. Jahrhunderts, hat noch weit
mehr als Platon die Mathematik nur als Hilfswissenschaft der Philosophie
insbesondere für die Lehre vom Schluss und von den Beweisen betrachtet,
und allenfalls für die Astronomie, in der er wie K a n t den stärksten Beweis
des für sein System ganz unentbehrlichen Gottesbegriffes sah. Es steht nicht

einmal fest, ob Aristoteles auf der vollen Höhe der mathematischen Bildung
seiner Zeit gestanden hat, von höheren Problemen streift er eigentlich nur
einmal ganz gelegentlich in de coelo die Quadratur des Zirkels. Dass er die
Kegelschnitte nicht beachtet hat, versteht sich von selbst, da sie ja gerade zu
seiner Zeit von seinem Mitschüler M e n a i c h m o s gefunden wurden.
Aber um so grösser ist seine Bedeutung für die Grundbegriffe der
Mathematik. Während J . L . H e i b e r g (Teubner Abh. z. Gesch. der
Math. Wiss. Heft 18, 1904) das spez. Mathematische bei Aristoteles
gesammelt hat, ähnlich wie Theon Smyrneus die Mathematik bei Platon, ist
A . G ö r l a n d in seiner Dissertation und besonders in dem Werke:
Aristoteles und die Mathematik, Marburg 1899 auch der begrifflichen Seite
gerechter geworden. Aristoteles ist auch der erste der Hellenen der sich
genauer mit dem Begriff Zeit beschäftigt hat. P l a t o n, wie er den
Aristoteles an schöpferischer Kraft der Phantasie weit überragt, übertrifft
ihn auch in der Erkenntnis gerade der tiefsten Quellen unserer Erkenntnis,
aber dass die Zeit auch eine Idee sei, wie das Gute, ist dem Idealisten κατ
ἐξοχήν entgangen. Die Hauptstelle findet sich Timäos 366–370. Gott schuf
die Welt als Abbild der ewigen Ideen (personifiziert durch die einzelnen
Götter), und in der Freude über seine Schöpfung beschloss er sie dem
Urbilde noch ähnlicher zu machen und schuf dazu die Zeit als
b e w e g l i c h e s, nach Zahlenverhältnissen fortschreitendes, ewiges
Abbild. Denn Tage und Nächte und Monate und Jahre gab es nicht, bevor
der Himmel geschaffen, sondern damals als dieser zusammengesetzt wurde,
bewirkte er zugleich auch ihre Entstehung. Alle diese (die Tage etc.) sind
Teile der Zeit, und das »E s w a r« und das »E s w i r d s e i n« sind
entstandene Formen der Zeit, die wir u n v e r m e r k t auf das ewige Wesen
übertragen, und mit U n r e c h t. Denn wir sprechen von einem »es war, es
ist, es wird sein« jener aber kommt in Wahrheit nur das »Es ist« zu, das
»war« und das »wird sein« aber ziemt es sich von der in der Zeit sich
bewegenden Entstehung auszusagen. Wenn hier auch die transzendentale
Idealität der Zeit gestreift ist, so sind doch Zeit und Bewegung nicht scharf
geschieden, und insbesondere scheint die Zeit selbst als Dauer aufgefasst zu
sein, was schon eine Anwendung der Kategorie Raum auf die Zeit
einschliesst.
A r i s t o t e l e s hat sich besonders in der Aristoteles über Zeit.
Physik mit der Zeit beschäftigt, er hat den
Zusammenhang der Zeit mit der Zahl erkannt und im direkten Gegensatz zu

Kant die Zeit auf die Zahl zurückgeführt. Im Buch IV der Physik heisst es:
die Zeit s c h e i n t die Bewegung einer Kugel zu sein, weil durch sie die
übrigen Bewegungen (Rotationen) g e m e s s e n werden. — Ganz ähnlich
heisst es in der Naturphilosophie L o r e n z O k e n ' s, des Vorgängers von
Darwin, die Zeit ist gleichsam eine fortrollende Kugel, die immer in sich
selbst wiederkehrt. — An anderer Stelle nennt er die Zeit die Z a h l d e s
K o n t i n u u m s, und die Zahl der Bewegung in bezug auf v o r h e r und
n a c h h e r, Mass der Ruhe und Bewegung. Wichtig ist, dass er Phys. 10
auseinandersetzt, dass die Zeit nicht aus Momenten bestehe und ganz des
Aristoteles würdig ist die Stelle Phys. IV Kap. 10: Ob das Jetzt, das
Vergangenheit und Zukunft trennt, immer ein und dasselbe sei, oder anderes
und anderes, das ist nicht leicht zu entscheiden.
A r i s t o t e l e s, der S t a g i r i t e, wie er oft Aristoteles (vita).
genannt wird, ist 384 in Stageira einer Stadt der
athenischen Landschaft Chalcidice geboren. Sein Vater Nikomachos war
Leibarzt des Königs Amyntas von Macedonien, des Vaters Philipps der die
entzweiten Hellenen unter das Macedonische Joch einte. Im 18. Jahre kam
er nach dem Tode beider Eltern als ein wohlhabender und wohlerzogener
Hellene nach Athen vermutlich um Platons willen, dessen Schule er bis zum
Tod Platons, zwanzig Jahre lang angehörte. Daneben muss der Sohn des
Arztes mit dem Fleiss und der ungeheuren Arbeitskraft eines grossen
Genius geschafft haben um sich auf naturwissenschaftlichem und politisch-
historischem Gebiete das Riesenmaterial von Kenntnissen anzueignen, das
in seinen Schriften verarbeitet ist. Zwei Strömungen von ganz
ungewöhnlicher Stärke sind in Aristoteles vereinigt, einerseits ist er der
erste grosse B i o l o g e, der mit gleicher Sorgfalt das grösste wie das
kleinste Lebewesen beobachtet, er hat es ja selbst ausgesprochen, dass es
für den Forscher nichts Grosses und nichts Kleines gebe, — andererseits ein
Systematiker von extremer Nüchternheit und Klarheit.
Dass der über dreissigjährige Mann in den letzten Jahren seines
Lehrers dem Platonismus schon mit kritischem Geiste gegenüberstand, ist
an sich im höchsten Grade wahrscheinlich, auch wenn es nicht durch den
Klatsch der Schule bezeugt wäre. Insbesondere richtete sich seine Kritik
wohl damals schon gegen die Ideenlehre. Aristoteles hat hier wohl von
Anfang an dem Schwunge des Dichters nicht folgen können, vermöge einer
Schwäche seiner Begabung gerade auf dem Gebiete der Phantasie. Und
dann muss gesagt werden, dass Platon selbst seine eigene grossartige

Auffassung der Idee, des reinen ewigen Urbilds, die über den Dingen
stehend, die Kraft ist, welche die Dinge schafft, mit zunehmendem Alter
mehr und mehr verdunkelt und abgeschwächt hat, man vergleiche die
»νόμοι«, die Gesetze, auch den Zusatz, die επινομις. So erklärt es sich, dass
in der Darstellung des Aristoteles die Ideenlehre in die Zahlenmystik der
Pythagoräer überging.
Doch war und blieb er Platoniker, wie schon daraus hervorgeht, dass er
unmittelbar nach dem Tode des Meisters Athen für lange Zeit verliess, und
zwar in Gemeinschaft mit dem leidenschaftlichsten Verehrer Platons, dem
X e n o k r a t e s, der nach dem Tode von Platons Neffen Speusippos der
Leiter der Akademie war. Aristoteles brachte die nächsten drei Jahre bei
seinem Bundesbruder Hermias, dem Fürsten von Atarneos und Assos zu,
und heiratete nach dessen Tode die Schwester oder Nichte desselben. Im
Jahre 343 (oder 342) übernahm er die Ausbildung des damals
dreizehnjährigen A l e x a n d e r, und diese Verbindung, obwohl sie nur 3
Jahre dauerte, da Alexander schon mit 16 Jahren die Vertretung seines
Vaters Philipp in Macedonien übernahm, wurde für beide grosse Männer
von höchster Bedeutung. — Aristoteles ging zunächst in seine Heimatstadt
Stageira, er blieb aber bis kurz vor Alexanders Tode, bis er durch die
Torheit seines Neffen Kallisthenes jenem entfremdet wurde, in innigster
Verbindung mit dem Könige. Mit königlicher Freigebigkeit gewährte
Alexander die Mittel, welche er zu seinen Arbeiten brauchte, alle fremden
Tiere und Pflanzen wurden ihm zugesandt, und die Summen, derer er zu
seiner grossen Bibliothek bedurfte, verdankte er wohl auch zum grossen
Teil dem Könige. Aristoteles ist der erste Gelehrte, von dem wir wissen,
dass er sich eine grosse Büchersammlung angelegt hat, und das war damals
ein noch weit kostspieligeres Vergnügen als heute, um so mehr als er auch
dafür sorgte, dass die wichtigsten Werke durch Abschriften weiteren
Kreisen zugänglich gemacht wurden. Die Sammlung hat er seinem
bedeutendsten Schüler, dem T h e o p h r a s t hinterlassen.
Dreizehn Jahre nach dem Tode Platons kehrte er nach Athen zurück,
nahm den Unterricht in der Rhetorik, den er schon bei Lebzeiten Platons
sehr erfolgreich geführt hatte, wieder auf, und eröffnete jetzt ebenfalls bei
einem Gymnasium, dem Lyceum, eine eigene Philosophenschule und
begründete den dazu gehörigen Freundschaftsbund. In den Parkanlagen des
Lyceums auf- und abgehend, disputierte er mit seinen Schülern und von
dieser Gewohnheit erhielten die Jünger den Namen der »Peripatetiker.«

Übermenschliches hat er in den 12 Jahren seiner Lehrtätigkeit geleistet.
Abgesehen von einzelnen Dialogen, welche schon zu Platons Zeiten
veröffentlicht waren, sind fast alle seine grossen Lehrschriften, die ja im
wesentlichen Vorlesungshefte für seinen und seine Schüler Gebrauch
waren, hier entweder entstanden oder doch wenn nicht konzipiert, so doch
redigiert. Aristoteles starb 332 zu Chalcis auf Euboea, wo er ein Landgut
besass, an einem Magenleiden.
Ich erwähne zuerst seine grossartigen Aristoteles, Werke.
naturwissenschaftlichen Werke, als Systematiker
beginnt er mit der unorganischen Natur. Zunächst die P h y s i k, φυσικη
ακροασις, 8 Bücher, zu denen uns der sehr wichtige Kommentar des
Simplicius erhalten ist. Dies Werk hat bis an das 18. Jahrh. heran den Stoff
für die Vorlesungen über Physik gegeben. Dann die Astronomie, περι
ουρανου de coelo, 4 Bücher (dazu Kommentar des Simplicius). Er kritisiert
die Pythagoräer, den Hiketas, den Aristarch von Samos, welche die zentrale
Stellung der Erde im Weltsystem aufgegeben; und seine Autorität hat bis
auf Kopernikus den Weg zum Fortschritt versperrt. In de coelo β 13, 293
lesen wir: δειν τη γη του μεσου χωραν αποδιδοναι. Man muss der Erde die
Stelle des Mittelpunktes wiedergeben: denn χώρα Raum steht bei
Aristoteles häufig für τόπος Ort. Weiter nenne ich die Schrift über
Entstehen und Vergehen, περὶ γενέσεως καὶ φθορᾶς 2 Bücher, die
Meteorologie 4 Bücher, woran sich auch ein Werk über Mathematik im
engeren Sinne angeschlossen haben soll, was aber nicht gerade
wahrscheinlich ist. Es schliessen sich dann die Werke über die lebenden
Wesen an, beschreibende und untersuchende. Zunächst die grossartige
Z o o l o g i e, περὶ τα ζῷα ἱστορια. 9 Bücher, dann 7 Bücher A n a t o m i e,
dann die (physiologische) P s y c h o l o g i e, περὶ ψυχής, Wahrnehmen und
Wahrgenommenes, Gedächtnis und Erinnerung, Traum und Wachen. —
Ferner über Kurz- und Langlebigkeit, Leben und Tod, und damit
verbunden, über das Atmen. Über die Teile der Tiere, die Erzeugung und
den Gang der Tiere (wahrscheinlich unecht). — Die 2 Bücher über die
Pflanzen sind verloren, weil sie von der reichhaltigeren Schrift des
T h e o p h r a s t aufgesaugt und verdrängt sind, eine im Altertum häufige
Erscheinung. — An die Zoologie, welche mit dem Menschen endet, reihen
sich dann folgerichtig die grossen Werke über das sittliche Handeln des
einzelnen Menschen, und über sein Leben im Staate an, Ethik und Politik.
Von den drei Ethiken ist die grosse sog. N i k o m a c h i s c h e E t h i k

unbezweifelt das echte Werk des Aristoteles, während die andere die
Eudemische ein Kollegienheft des Eudemos ist, und die dritte, die sog.
grosse Moral ein Auszug aus dem Eudemos ist. Die Ethik handelt von dem
höchsten Gut, von der Tugend, von der Freundschaft etc. Das höchste Gut
sieht sie in der reinen Denktätigkeit; die wissenschaftliche Arbeit um ihrer
selbst willen, diese ist göttlich. Ihr zunächst steht im Werte die Tugend, die
ethische Tugend ist auf den W i l l e n gerichtet, der lernen muss, um es kurz
auszudrücken, die richtige Mitte zwischen zwei Lastern zu halten. Tief
empfunden und wahrhaft beredt ist, was Aristoteles über die
F r e u n d s c h a f t sagt, ohne die ihm zufolge keine Gemeinschaft bestehen
kann.
Von den s t a a t s w i s s e n s c h a f t l i c h e n Werken ist uns die Politik
erhalten, 8 Bücher, unvollendet, aber wie Z e l l e r sagt, eins von den
reifsten und bewundernswertesten Erzeugnissen seines Geistes. Verloren
sind bis auf wenige Bruchstücke, die sog. πολιτείαι, eine wahrscheinlich
lexikalisch geordnete Sammlung der Verfassung von 158 Staaten oder
Städten, anfangend mit Athen. Vor wenigen Jahren ist gerade die
Verfassung Athens in der Leichenbinde einer ägyptischen Mumie gefunden
und von K e i b e l und K i e s s l i n g meisterhaft übersetzt worden. Sie zeigt
uns was wir verloren haben und ist unschätzbar für die Beurteilung des
Aristoteles. Während dieser in den exakt-wissenschaftlichen und
philosophischen Schriften in Sprache und Form meist trocken, nüchtern und
knapp ist, — er hat ja die philosophische Fachsprache, ich möchte sagen,
den Jargon geschaffen, der die meisten philosophischen Werke so
ungeniessbar macht, — begreifen wir hier wie C i c e r o sagen konnte,
Aristoteles habe die alten Rhetoren »suavitate et brevitate dicendi,« durch
Anmut und treffende Kürze der Sprache, weit hinter sich gelassen.
Zugleich aber bekommen wir auch zum ersten Male ein genaues Bild
vom alten Athen und sind imstande die Anziehungskraft zu begreifen,
welche Athen auf die Hellenen ausübte. Wir sehen hier eine Verfassung von
solchem echten Liberalismus und von solcher Humanität, wie sie noch nie
zum zweiten Male existiert hat. Selbst die Staatssklaven der Athener
erfreuten sich einer Freiheit, die in vieler Hinsicht grösser war als die der
heutigen Staatssklaven, der Beamten. Interessant ist auch die Rolle, welche
die Erbtochter schon damals spielte.

Die Anschauung des Aristoteles über K u n s t kann ich hier nur
flüchtig streifen, erhalten ist nur die P o ë t i k, und auch sie nur als
Fragment, aber Sie wissen, welchen langdauernden Einfluss die sog. drei
Einheiten, welche Aristoteles für das Drama forderte, die Einheit des Orts,
der Zeit und der Handlung, gerade weil die Forderungen missverstanden
wurden, insbesondere auf das klassische Drama der Franzosen gehabt
haben.
Nun zu den eigentlichen philosophischen Schriften des Aristoteles.
Zuerst bereitet er sich den Boden für das Verständnis seiner Gedanken
dadurch, dass er die Gesetze, denen unser Denken unterworfen ist, die
Lehre vom Schluss und vom Beweise, die formale Logik, als der Erste
genau formulierte. Die Logik des Aristoteles zerfällt in 2 grosse
Abteilungen, die T o p i k und die Analytik, zusammengefasst als
O r g a n o n id est Werkzeug. Ich nenne hier F . K a m p e, die
Erkenntnistheorie des Aristoteles Leipz. 1870, R . E u c k e n, die Methode
der arist. Forschung Berl. 1872. Von neuen Ausgaben seien die der Berliner
Akademie von 1831–70 in 5 Bänden und die auf 35 Bände berechnete der
griech. Kommentare hervorgehoben, darunter die P h y s i k d e s
S i m p l i c i u s von H . D i e l s 1882 und eben desselben Astronomie von
J . L . H e i b e r g 1894.
Die Grundlagen jeder wissenschaftlichen Arbeit sind im Organon für
ewig gelegt. Die Logik wird als wissenschaftliche Technik aufgefasst, er
will keine vollständige Erkenntnistheorie geben, etwa wie H . C o h e n's
Logik der reinen Erkenntnis, sondern zunächst eine Untersuchung über die
Formen und Gesetze der wissenschaftlichen Beweisführung. Die Topik
beschäftigt sich mit der Dialektik, der Lehre vom Beweisbaren und dem
Wahrscheinlichen; von den Analytiken beschäftigt sich die erste mit dem
Schlusse, die andere mit der Beweisführung gestützt auf den Syllogismus.
Die Syllogistik hat es mit der Erkenntnis derjenigen Denkformen zu tun,
denen zufolge mit Hilfe eines Zwischenbegriffs, der im einen Urteil
Prädikat, im anderen Subjekt ist, entschieden werden soll, ob ein Begriff
unter einem andern subsumiert werden soll, ganz oder teilweise, oder nicht.
Aristoteles hat die Urteile nach Quantität und Qualität eingeteilt, und zwar
nach Quantität: generelle, partikuläre, singuläre, (allgemeine, besondere,
einzelne) und nach Qualität: affirmative und negative (bejahende und
verneinende).

Ein Punkt der für Mathematiker besonders wichtig ist muss betont
werden. Nicht S c h o p e n h a u e r hat zuerst die Forderung erhoben: der
wahre Beweis muss nicht nur dass etwas ist, sondern warum es ist,
aufdecken, sondern A r i s t o t e l e s hat περι ψυχής II, 2 mit grösster
Schärfe das nämliche gefordert.
An die Logik, die Wissenschaftslehre, Aristoteles Philosophie.
schliesst sich die M e t a p h y s i k an. Aristoteles
setzt die Platonische Philosophie voraus, und indem er sie umbildet,
verbildet und fortbildet, ist er der Vollender der Begriffsphilosophie. Die
Metaphysik beginnt mit der berühmten Tafel der K a t e g o r i e n, der
irreduzibeln Stammbegriffe der Vernunft, die Grundformen aller Aussagen.
Sie sind bei ihm nicht völlig das was ich K o n s t i t u e n t e n des Intellekts
nenne, Methoden grosse Gruppen von Erkenntnissen zusammenzufassen
und zu ordnen.
Er unterscheidet: 1) Substanz (ουσία, Aristoteles über Grösse.
Wesenheit) 2) Grösse, Quantität, ποσόν., 3)
Beschaffenheit, Qualität, ποιόν, 4) Beziehung, Relation, πρός τι., 5) Worin,
Raum, χώρα., 6) Wann, Zeit, πότε., 7) Lage, θέσις, 8) Haben, ἕξις, 9)
Wirken, ποιεῖν, 10) Leiden, πάσχειν. Lage und Haben scheinen nur
aufgestellt, um die Zehnzahl der Pythagoräer voll zu machen, er lässt sie im
Laufe der Untersuchung fallen. Doch wird die θέσις die Lage von ihm als
Grundeigenschaft des Raumes erkannt. Uns interessiert am meisten was er
über Grösse sagt. Alles was sich in substantielle Teile teilen lässt, ist eine
Grösse (dieselbe Definition gab W e i e r s t r a s s im Colleg.). Sind die Teile
zusammenhängend, so ist die Grösse s t e t i g (συνεχές), die Lehre von der
kontinuierlichen Grösse geht wie beinahe jede scharfe begriffliche
Untersuchung auf Aristoteles zurück, der auch die recht eigentlichen
mathematischen Probleme, die Zusammensetzung und Trennung des
Kontinuums erfasst hat. Ausführlicher spricht er sich über Kontinuität in der
Physik c. 3, 227 und 10 aus: Es sei etwas stetig, wenn die Grenze eines
jeden zweier aufeinander folgenden Teile, in der dieselben sich berühren,
e i n u n d d i e s e l b e i s t, und sie, wie es auch das Wort bedeutet, (συν
zusammen, έχω halten) zusammengehalten werden. Sind die Teile in einer
bestimmten L a g e, so sind die Grössen extensive oder Raumgrössen, das
U n g e t e i l t e oder die E i n h e i t, mit der sie gemessen wird, und die
M e s s b a r k e i t, dass sie ein Mass hat, ist das unterscheidende Merkmal
der Grössen. Auch die für die Ausbildung des Integralbegriffs

grundlegenden Probleme der Zusammensetzung und Trennung des
Kontinuums sind von ihm gestellt. Und wenn auch περι ατομων γραμμων
vielleicht wie Tannery meint, nur ein Schülerheft, so ist doch περι φύσεως
unbestritten. Das Argument mit dem Aristoteles bewies, dass Raum und
Zeit nicht aus Punkten bestehen (es hätten sonst z. B. Seite und Diagonale
des Quadrats gleichviel Punkte und wären gleich) haben die Arabischen
Aristoteliker, (wie Averroës), gegen die Mutakallimun (Logiker) gebraucht.
Für die Qualitäten werden zwei Hauptarten unterschieden, diejenigen,
welche sich auf einen substantiellen Unterschied und diejenigen, welche
sich auf Bewegung und Tätigkeit beziehen. Als ein charakteristisches
Merkmal der Qualität wird der Gegensatz des Ähnlichen und Unähnlichen
betrachtet; zu bemerken ist hier, dass Kategorien der Anschauung von
Aristoteles nicht aufgestellt werden, wie z. B. Abstand, Richtung.
Der wichtigste Stammbegriff ist der der Substanz, der der Träger der
Übrigen ist, und so ist es die Untersuchung über das Seiende als Seiendes
von der die Philosophie, welche den Zweck hat die Erfahrung zur Einheit
zusammenzufassen, ausgehen muss. Ich führe hier als den wichtigsten Satz
an das berühmte: το δ' ειναι ουσια ουδενι., der widerspruchsfreie Begriff
begründet keine Existenz des Definierten, mit dem z. B. der ontologische
Beweis des Daseins Gottes und die Grundlage S p i n o z a s
zusammenbricht. Die erste und höchste Philosophie hat die Aufgabe die
letzten (A. sagt richtiger die ersten) und allgemeinsten Gründe der Dinge zu
erforschen, sie gewährt das umfassendste Wissen, dasjenige, welches am
schwersten zu erlangen ist, da die allgemeinsten Prinzipien von der
sinnlichen Erfahrung am weitesten abliegen, das sicherste, weil sie es mit
den irreduziblen Begriffen und Axiomen zu tun hat, das was am meisten
Selbstzweck ist, weil es die Zwecke, denen alles dient, feststellt. Sie muss
alles Wirkliche schlechthin umfassen, denn die letzten (πρώτας) Gründe
sind nur die, welche alles Seiende als Solches erklären. Andere
Wissenschaften, wie Medizin und Mathematik, beschränken sich auf ihr
Gebiet, das sie nicht weiter definieren, die Wissenschaft von den letzten
Gründen muss die Gesamtheit der Dinge auf ihre ewigen Ursachen und in
letzter Instanz auf das Unbewegte und Unkörperliche, d. h. auf G o t t
zurückführen, von dem alle Bewegung und Gestaltung des Körperlichen
ausgeht. Er nennt diese Wissenschaft, die Metaphysik, erste Philosophie
auch Theologie. Angesichts des Schwungs der Sprache und der Wucht der
Gründe mit denen Aristoteles den Gottesbegriff stützt, wird es begreiflich,

wie die Scholastik, wie ein Thomas von Aquino im Gegensatz zu Platon,
mehr und mehr sich auf Aristoteles stützen musste, der fast zu einem
Heiligen der katholischen Kirche geworden ist. Verbot doch im Jahr 1624
das französische Parlament jeden Angriff gegen seine Autorität bei
Todesstrafe.
Indem er nun näher auf dasjenige eingeht, Aristoteles und die
was allen Seienden als solchem zukommt, Ideenlehre.
untersucht er den Satz vom Widerspruch, der ja
in der Mathematik eine so entscheidende Stelle im indirekten Beweis
einnimmt, denken Sie nur an die grosse Menge stereometrischer Sätze,
welche sich auf den Widerspruch gegen das Parallelenaxiom zurückführen
lassen. Er knüpft an seine Untersuchung den Satz vom »ausgeschlossenen
Dritten« (aut est, aut non est, tertium non datur). Ich muss für Aristoteles'
Metaphysik auf Bonitz, Windelband, Zeller etc. verweisen, nur seine
Gestaltung der Ideenlehre muss ich besprechen, denn in ihr besteht ja seine
Emanzipation von P l a t o n. Aristoteles hat die Idee Platons
missverstanden, vielleicht weil Platon sich nicht mit Konsequenz dahin
ausgesprochen, dass seine Idee auf der Ausschaltung des Zufälligen beruht.
Letzteres ist für uns unbefriedigend und indem wir es auffassen als etwas,
was sein oder nicht sein kann, verstösst es gegen den Satz vom
Widerspruch. Die Platonische Idee, als zeitlose Norm aus wenigen
Erfahrungen vermöge eines Grundtriebs unseres Intellekts geschaffen, steht
ü b e r den Dingen, Aristoteles und vermöge seiner Autorität fast alle
Nachfolger fassen sie als n e b e n den Dingen, ἑν παρα τα πολλα., als
ausserhalb der wirklichen Welt und in keinem Zusammenhange mit ihr
stehend, wie die p r a e s t a b i l i e r t e H a r m o n i e d e s L e i b n i z, wo
ihre Wirkung dann allerdings unerklärlich ist. Aristoteles fasst die Idee als
ἑν κατα πολλα, als in jedem Dinge, jedes Ding existiert eigentlich nur
insoweit, als es seine Idee ausdrückt. Man sieht, dass er Platon missversteht,
um im Grunde auf ihn zurückzugreifen. Aristoteles unterscheidet die ὑλη,
den Stoff, die Materie, die gestaltlos, nur die Möglichkeit, die δύναμις, zum
Wirklichen, zur ενεργεια hat, das ihnen allein durch die Idee εἶδος, die
Form zugeführt wird. Die Idee ist zugleich die Z w e c k u r s a c h e, der
gemäss die Wesen sich entwickeln, sie ist die Seele jedes einzelnen Dinges.
Man darf den aristotelischen Begriff der Aristoteles, Stoff und Form.
Form nicht mit unserm Wort verwechseln, ein
toter Mensch ist der Idee nach kein Mensch, noch ein gefällter Baum ein

Baum. Stoff und Form wechseln, Bauholz ist in Bezug auf den lebenden
Baum Stoff, in Bezug auf den unbehauenen Stamm Form, Erz für den
Bildhauer Stoff, für den Erzgiesser Form etc. So stellt sich die Gesamtheit
alles Seienden als eine Stufenleiter dar, deren unterste Stufe, die erste
Materie oder πρωτη ὑλη, unterschiedslos, unbestimmt und formlos, deren
oberste eine letzte Idee, der mit gar keinen Stoff behaftete absolute göttliche
Geist. Der Gottesbegriff des Aristoteles hat etwas Überwältigendes. Er hat
den ontologischen, den kosmologischen, den teleologischen, den
moralischen Beweis für das Dasein Gottes geschaffen, er beherrscht die
katholische Theologie nicht nur durch das ganze Mittelalter, sondern noch
heute und Metaphysik XII finden Sie in einen bei Aristoteles ganz
ungewöhnlichen fast dichterischem Schwung die Schilderung des Wesens
der Gottheit.
In dem Verhältnis des Stoffs zur Form hat nun Aristoteles die beiden
für sein System und für die M a t h e m a t i k gleich wichtigen Begriffe des
Potentiellen und Aktuellen, der δυναμις und ενεργεια (auch εντελεχεια
Vollendung), Möglichkeit und Wirksamkeit geschaffen, denken Sie nur an
die potentielle und aktuelle (kinetische) Energie der heutigen Mechanik. In
der Auffassung der Bewegung als Übergang des Potentiell-Seienden zum
Aktuell-Seienden hat er die Schwierigkeit die der Begriff des Werdens
seinen Vorgängern machte überwunden; es ist ein und dasselbe Sein, um
das es sich handelt, nur auf verschiedener Entwicklungsstufe. Potentiell,
κατα δυναμιν ist das Samenkorn ein Baum, der ausgewachsene Baum ist es
aktuell, κατ' ενεργειαν. Potentieller Philosoph ist Aristoteles, wenn er
schläft, der bessere Feldherr Sieger vor der Schlacht, potentiell ist der Raum
ins Unendliche teilbar, die Zahl ins Unendliche zählbar, potentiell ist Alles,
was sich gemäss der in ihm liegenden Idee entwickeln kann, wenn möglich
zur Vollendung, zur Entelechie, zur vollendeten Darstellung seiner Idee.
Diese beiden fundamentalen Unterschiede Aristoteles, das Unendliche.
des Seins, das Potentielle und das Aktuelle, hat
Aristoteles auch im Begriff des Unendlichen hervorgehoben; von ihm rührt
die bis auf den heutigen Tag, ich nenne G e o r g C a n t o r, herrschende
Unterscheidung des infinitum potentia et actu, des Unendlichen im Werden
und des Unendlichen im Sein. Es ist unmöglich die Scholastiker oder
Cusanus zu verstehen, ohne diese Unterscheidung zu kennen. Aristoteles
hat zuerst und bis auf G a l i l e i als der Einzige wissenschaftlich den
Begriff Unendlich untersucht. Wohl hat Zeno den Integralbegriff gestreift,

Demokrit diesen ganz bewusst benutzt, aber hier handelt es sich um eine
logische Untersuchung, denn Unendlichkeitsbetrachtungen sind an sich so
alt wie der Mensch. Schon in den Veden kommt die Göttin des
Unendlichen, A d i t i, vor und Max Müller sagt in seiner ersten Strassburger
Vorlesung »alle Religion entspringt aus dem Druck, den das Unendliche auf
das Endliche ausübt«. Ich habe l. c. auf den Ursprung des
Unendlichkeitsbegriffs aus dem Werkzeug unseres Intellekts: Zeit
hingewiesen, bezw, darauf, dass wir uns ein Ende unserer Erlebnisse nicht
denken können. Wenn F r e g e in seinen Grundlagen der Arithmetik von
1884 den Versuch macht die Existenz von (n + 1) mittelst des Schlusses von
n auf n + 1 zu beweisen, so halte ich dagegen die Unendlichkeit der
Anzahlenreihe für das Prius, das unmittelbar durch den Zusammenhang der
Ordinalzahl mit der Zeit gegeben ist. Mit jedem neuen Erlebnis ist eben
auch eine neue Einheitssetzung und damit eine neue Ordinal- und
Kardinalzahl gegeben. Aristoteles kommt wie G a u s s zu dem Schluss, dass
das Unendliche im Sein, das infinitum actu oder κατ' ενέργειαν, das
ἄπειρον, das wovon es kein Jenseits gibt, in der Natur nicht existiert, ἡ
φυσις φευγει το απερον, also als sinnlich wahrnehmbar existiert keine
unendliche Grösse. Nur in Gott als der unendlichen Kraft, welche die
unendliche Bewegung der Welt hervorbringt, existiert das infinitum actu.
Wohl aber gibt er zu, dass es ein infinitum potentia (κατά δύναμιν) gibt. Die
Raumgrösse ist unbegrenzt teilbar, aber ein unendlich kleines gibt es nicht,
sondern das ἄπειρον ist nur im Entstehen und Vergehen. Und die Zeit und
mit ihr die Zahl ist unendlich gross im Werden, aber auch hier ist die
Zunahme endlich, die grosse Zahl entsteht und vergeht, und macht der
grösseren Zahl Platz, eine unendlich grosse Zahl existiert nicht. Aber dieser
grosse Denker streift doch schon die Lösung, er sagt in der Physik Cap. 5,
204: »Vielleicht ist die Untersuchung ob das Unendliche auch in der
Mathematik und in dem Denkbaren und in demjenigen was keine Grösse
hat, existiere, eine weit allgemeinere.« Die Lösung liegt eben darin, dass
das mathematisch Unendliche überhaupt keine Grösse besitzt. Es genüge
hier auf B . B o l z a n o's klassische »Paradoxien des Unendlichen« zu
verweisen. Bolzano, auf den W e i e r s t r a s s und G . C a n t o r ganz
unmittelbar fussen, hat den Hauptanstoss hinweggeräumt, allerdings
wörtlich nach G a l i l e i, als er hervorhob, dass der Begriff des Ganzen
keineswegs durch alle seine Teile hindurchzugehen braucht. Ich verweise
hier auf einen Vortrag im internationalen Kongress zu Rom.

Mit dem was Aristoteles über das ἄπειρον
Raum und Zeit.
sagt, hängen seine Betrachtungen über Raum und
Zeit und Bewegung eng zusammen. Der Raum kann wohl unbegrenzt
verkleinert, aber nicht unbegrenzt vergrössert werden, auch gegen den
Demokritischen Begriff des leeren Raumes (und des Atoms) polemisiert er,
dagegen nähert er sich der Auffassung K a n t s und noch mehr der von
H . C o h e n beträchtlich und führt die Zeit auf die Bewegung des Jetzt (το
νύν) zurück und bemerkt, dass sie ohne das erkennende Subjekt nicht
existiere. Sehr wichtig ist das, was er vom Zeit- und Raumpunkt sagt: das
zeitlich und räumlich nicht mehr Teilbare ist niemals an und für sich (actu)
gegeben, sondern nur potentiell in der s t e t i g e n Grösse enthalten, und
wird nur durch Ve r n e i n u n g d. h. durch negative Prädikate (limitierende
Urteil Cohens) erkannt. Und einigermassen erstaunt war ich, als ich die
Auffassung der Ruhe als Grenze der sich stetig verlangsamenden
Bewegung, welche ich mir vor 30 Jahren ohne noch L e i b n i z zu kennen
gebildet hatte, dem Wesen nach bei A r i s t o t e l e s fand, der sagt, dass es
in einem Zeitpunkt weder Ruhe noch Bewegung gibt, sondern nur einen
Übergang und der Körper, wenn er von der Bewegung zur Ruhe übergeht,
noch in Bewegung ist.
A r i s t o t e l e s der heute nach mehr als 2000 Jahren noch lebendig
fortwirkt, der auf Christentum, Judentum, ja selbst auf den Islam auf das
tiefste eingewirkt hat, — ist doch Moses ben Maimon, der auf Thomas von
Aquino so bedeutenden Einfluss übte, durch seine Schule gegangen — der
abstrakteste Denker und zugleich der exakteste Beobachter, der grösste
Empiriker und zugleich einer der grössten Idealisten, hat eigentlich erst die
einzelnen Disziplinen geschaffen. Bis zu ihm gibt es eine
Gesamtwissenschaft τα μαθήματα, von ihm ab und durch ihn existieren die
einzelnen Disziplinen. Sein Schüler Medon schrieb nach seinem Plan die
Medizin »Ιατρικα.«, seine Physik, Astronomie, Zoologie, Psychologie
bilden den Inhalt der Universitätsvorlesungen bis in die Neuzeit, Botanik,
Meteorologie, ja selbst Chemie wie Rhetorik, Poetik etc. werden
selbständig, wie Mathematik und die Philosophie selbst, der er die
besondere Aufgabe zuwies, die Erfahrung zur Einheit zusammenzufassen.
Und nicht minder die Geschichte, das erste Buch seiner Metaphysik ist die
erste und zugleich mit die beste Geschichte der Philosophie und überall hat
er Geschichte und K r i t i k hineingewoben. Von ihm an beginnt eine 500

Jahre andauernde Periode der Einzelforschung, die erst bei den
Neuplatonikern zur Zusammenfassung führt.
Die beiden bedeutendsten Peripatetiker, Aristoteles: Theophrast,
T h e o p h r a s t, der Freund und Schüler des Eudemos.
Aristoteles, der die Botanik seiner Zeit kodifiziert
hat, und E u d e m o s der Rhodier haben beide eine Geschichte der
Mathematik geschrieben. Die des Theophrast ist spurlos verschwunden, von
der des Eudemos sind spärliche Fragmente durch Proklos, Eutokios und
Simplicius erhalten, sowie eine Notiz aus dem Buch über den Winkel, περί
γωνίας, bei Proklos. Das wichtigste ist das oft erwähnte
Mathematikerverzeichnis bei Proklos. Friedl. Prolog II p. 65 ff., das aber
T a n n e r y zufolge nicht direkt aus Eudemos stammt, sondern aus einer
Verarbeitung des Eudemos durch G e m i n o s im 1. Jahrh. n. Chr. Es endigt
unmittelbar vor E u k l i d.
Von dem Verfasser der »Elemente«, des Euklid, vita.
Werkes, das unter allen mathematischen Werken
für die Bildung der Menschheit weitaus das wichtigste gewesen ist, kennt
man weder Ort noch Zeit der Geburt und des Todes, γενέσεως και φθοράς.
Seinen Zeitgenossen und der nächstfolgenden Generation war Euklid
einfach der »στοιχειοτης«, der Verfasser der Elemente und bald ging die
Kenntnis seiner Person verloren. Viele Jahrhunderte ist er mit dem
Philosophen Euklid von Megara verwechselt worden, der nach dem Tode
des Sokrates die Schule zusammenhielt, und dieser Irrtum findet sich schon
bei Valerius Maximus um 30 v. Chr. und ist dort aus einer falschen
Auffassung einer Stelle bei Geminos (Prokl. p. 60) entstanden. — Das
Wenige, was wir von ihm wissen, verdanken wir zumeist P r o k l o s, einem
Neuplatoniker und Nachfolger (Diadochos) des Plato in der Leitung der
Akademie, d. h. also Rektor der Universität Athen, der um 450 n. Chr. einen
Kommentar zum Euklid verfasst hat, von dem uns die beiden Prologe und
der Kommentar des ersten Buchs der Elemente erhalten sind. Die Stelle
(Friedl. S. 68) lautet: »Nicht viel jünger als diese (Hermotimos, der
Kolophoner und Philippos, der Schüler Platons) ist Eukleídēs, der die
Elemente [τα στοιχεία] verfasste, wobei er vieles was vom E u d o x o s
herrührte, in zusammenhängende Ordnung brachte, vieles was Theaitet
begonnen, vollendete und ausserdem so manches was früher ohne rechte
Strenge bewiesen war, auf unantastbare Beweise zurückführte. Und dieser
Mann lebte unter Ptolemaios dem ersten, denn A r c h i m e d e s, dessen

Lebenszeit sich an die des ersten Ptolemaios anschliesst, erwähnt des
Euklid [in περί σφαίρας και κυλίνδρου, Heib. I, 2, p. 14] und zwar erzählt
er: Ptolemaios frug einmal den Euklid, ob es nicht zur Geometrie einen
bequemeren Weg gebe als die Elemente. Jener aber antwortete: Zur
Geometrie gibt es für Könige keinen Privatweg [ουκ εστι βασιλικη ατροπος
επι γεωμετριαν]. Er ist also jünger als die [direkten] Schüler des Platon und
älter als Eratosthenes und Archimedes, denn diese waren Zeitgenossen, wie
Eratosthenes irgendwo sagt. Aus Grundsatz war er Platoniker und in der
Platonischen Philosophie zu Hause.«
Danach ergibt sich für Euklid etwa 300 v. Chr. als Zeit seines
Mannesalters (der ακμή, der Zeit blühendster Körper- und Geisteskraft,
welche die Hellenen in das vierzigste Jahr verlegten), und dass er in Athen
an der Akademie gehört hatte und dem engeren Kreise der Akademiker
angehörte.
Zur Charakterisierung des Euklid haben wir noch eine Stelle bei
Stobaios. »Ein Mensch, der bei Euklid Unterricht in der Geometrie zu
nehmen begonnen hatte, frug, nachdem er den ersten Satz der Elemente
kennen gelernt hatte, was habe ich nun davon, dass ich das weiss? Euklid
rief seinen Sklaven und sagte: Gib dem Manne drei Obolen, da er studiert
um Profit zu machen.« Und schliesslich schildert ihn P a p p o s in der
Vorrede zum 7. Buch der Kollektaneen wie folgt: Erat ingenio mitissimus et
erga omnes, ut par erat, benignus qui vel tantillum mathematicas disciplinas
promovere poterant, aliisque nullo modo infensus, sed summe accuratus.
»Er war von mildester Gesinnung und wie es sich geziemt wohlwollend
gegen jeden, der und wär's noch so wenig, die mathematischen Disziplinen
zu fördern vermochte, in keiner Weise anderen gehässig, sondern im
höchsten Grade rücksichtsvoll.« Sie sehen, dass Euklid in der Tradition
seines Volkes als hochgesinnter, reiner wissenschaftlicher Tätigkeit
hingegebener Mann fortlebte.
Gelehrt hat er für reife Leute, ganz in der Weise unserer
Universitätsprofessoren, an der Universität (Museum) A l e x a n d r i a, wie
uns l. c. Pappos berichtet. Unter der den Wissenschaften überaus ergebenen
Diadochen-Dynastie der Ptolemäer entwickelte sich des grossen Alexander
Stadt zur Zentrale des Hellenischen Geisteslebens. Man nennt diese Periode
die H e l l e n i s t i s c h e. Es ist lange Zeit Mode gewesen die Alexandriner
zu verspotten als Pedanten, wegen ihrer grammatischen, auf die einzelnen

Worte gerichteten Untersuchungen, haben sie doch z. B. die Akzente
eingeführt. Aber auf dem Gebiete der exakten Wissenschaften ist die
Hellenistische Periode erstklassig. Euklid grade hat den Schwerpunkt von
Athen nach Alexandrien verlegt, A r c h i m e d e s, A p o l l o n i o s,
Eratosthenes sind aus der Alexandrinischen Schule
hervorgegangen. —
Die Euklidischen Schriften kennen wir Euklid, Schriften: die Data.
durch die Angaben der Proklos p. 68 f. und
Pappos l. c. Von den Elementen abgesehen sind im griechischen Urtext
erhalten a) die Data, δεδομενα, »Gegebenes,« mit einer Vorrede des
M a r i n o s von Neapolis in Palästina, einem Schüler des Proklos. Die
Echtheit des Textes wird durch die Inhaltsangabe bei Pappos (300 n. Chr.)
bestätigt, welche im Wesentlichen mit dem Text der Codices übereinstimmt.
Die Schrift enthält 95 Sätze (Pappos 90) welche aussagen, dass wenn
gewisse geometrische Gebilde gegeben sind, andere dadurch mit bestimmt
sind, also eine Art g e o m e t r i s c h e r F u n k t i o n e n t h e o r i e.
Beispiele: Satz 2: Wenn eine gegebene Grösse zu einer zweiten Grösse ein
gegebenes Verhältnis hat, so ist die zweite ebenfalls gegeben. Satz 33: In
einem gegebenen Streifen ist durch die W i n k e l, welche eine Querstrecke
mit den Grenzen bildet, die L ä n g e der Querstrecke bestimmt. Dem Inhalt
nach gehen die »Data« nicht über die »Elemente« hinaus, doch war und ist
eine solche Zusammenstellung praktisch im hohen Grade wertvoll für die
Anwendung der seit und durch Platon sich immer mehr ausbreitenden
analytischen Methode, deren Wesen gerade darin besteht, die durch die
gegebenen Stücke mit bestimmten Punkte, Linien, Figuren aufzusuchen, bis
man zu einer konstruierbaren Nebenfigur gelangt. Die Data sind daher eine
sich eng an die Elemente anschliessende Anleitung zum Konstruieren nach
der analytischen Methode, etwa entsprechend P e t e r s e n ' s bekannten
»Methoden und Theorien«.
Erhalten ist unter dem Titel »Phaenomena« Astronomie.
eine Schrift über Astronomie (lectio sphaerica)
mit den Anfangsgründen der Sphärik. Die Schrift geht bedeutend über die
kurz vorhergehende des A u t o l y k o s hinaus. Ich bemerke beiläufig, das
die lectio sphaerica bis in die Neuzeit hinein der Schrittmacher für die
Geometrie gewesen, die sich im Lehrplan der Gymnasien erst aus ihr
entwickelt hat. Die Schrift beginnt mit dem Satz: »Die Erde liegt in der
Mitte der Welt und vertritt in bezug auf dieselbe die Stelle des

Mittelpunkts« (Aristoteles) und schliesst mit dem Satz: »Von zwei gleichen
Bogen des Halbkreises zwischen dem Äquator und dem
Sommerwendekreis durchwandelt der eine, beliebig genommen in längerer
Zeit die sichtbare Halbkugel als der andere die unsichtbare.« Das Wort
»H o r i z o n t« stammt aus der Schrift, welche von Pappos im 6. Buch
seiner Kollektaneen erläutert und ergänzt wurde. (A . N o k k, deutsche
Übersetzung Prgr. Freiburg i. Brg. 1850). H e i b e r g hat nach einer
Bemerkung Nokks bewiesen, dass diese Schrift des Euklid einen sehr
wesentlichen Bestandteil der für unsere elementare Sphärik grundlegenden
Schrift des T h e o d o s i o s v o n T r i p o l i s (etwa 100 v. Chr.) gebildet
hat (siehe M . S i m o n, E u k l i d und die sechs planim. Bücher, Leipzig
1901).
Echt Euklidisch sind auch die »Optica«, Optik.
deren Text Heiberg restituiert hat. Der sonst
gebräuchliche Text geht vermutlich auf ein Kollegienheft nach T h e o n von
Alexandrien, dem Vater der H y p a t i a, der ersten uns bekannten
ordentlichen Professorin. Sie ist mutmasslich der Autor unserer
Quadratwurzelausziehung und bekannt durch ihre Schönheit und ihr
unglückliches Schicksal. Von dem bestialischen christlichen Mönchspöbel
Alexandriens zerrissen, wurde sie nach ihrem Tode zu Professorenromanen
ausgeschlachtet. Die Schrift Euklids gehörte zu der Sammlung, welche
unter dem Titel »μικρος αστρονουμενος,« der kleine Astronom, neben den
»Elementen« das Rüstzeug des Astronomen bildete, ehe er an das grosse
Lehrbuch des Ptolemaios, die μεγαλη συνταξις (der Almagest) gehen
konnte. Die Schrift gibt die Anfangsgründe der Perspektive.
Dagegen ist die andere Schrift über Optik, welche unter Euklids
Namen ging, die K a t o p t r i k unecht. H e i b e r g macht es sehr
wahrscheinlich, dass die von Proklos unter diesem Titel erwähnte Schrift
des Euklid rasch durch das inhaltreiche Werk des A r c h i m e d e s über den
gleichen Gegenstand verdrängt wurde.
Noch über einen anderen Zweig der Euklid, Schriften: Musik.
angewandten Mathematik haben wir eine Schrift
des Euklid, die καταιομη κανονος, die Lehre von den musikalischen
Intervallen, 20 Sätze, wissenschaftlich auf dem Standpunkt der Pythagoräer.
Eine zweite musikalische Schrift, die Harmonielehre, εισαγωγή ἁρμονική,
rührt wie schon H u g o G r o t i u s 1599 erkannte von dem Aristoxenianer

Kleonides her. [A r i s t o x e n o s, direkter Schüler des Aristoteles als
Philosoph, setzte der auf die arithmetischen Intervalle gegründete
Harmonielehre der Pythagoräer die Lehre von den harmonischen
Sinneseindrücken entgegen].
Aus A r a b i s c h e n Q u e l l e n besitzen Über Teilung.
wir durch D e e 1563 eine Bearbeitung und durch
W o e p c k e 1851 eine Übersetzung der von P r o k l o s zweimal erwähnten
Schrift περὶ διαιρέσεων, über Teilungen, welche wertvolle Aufgaben über
Flächenteilung enthielt. Dort findet sich die noch heute im Schulunterricht
stets vorkommende Aufgabe: ein Dreieck durch Gerade von gegebener
Richtung in Teile zu teilen, welche ein gegebenes Verhältnis haben; ferner
Teilung von Vierecken, von Kreisen, von Figuren die von Kreisbogen und
Geraden begrenzt sind. Euklid zeigt sich hier als sehr gewandter
Konstrukteur, er benutzt ausser den Sätzen der Elemente nur solche, welche
sich mühelos aus ihnen ergeben.
Ve r l o r e n sind die Schriften, welche sich Euklid, Verlorene Schriften.
auf die eigentliche höhere Mathese seiner Zeit
beziehen. Zunächst die zwei wichtigen Bücher τόποι πρὸς ἐπιϕάνειαν,
Oberflächen als geometrische Orte, welche Proklos und Pappos erwähnen.
Der Begriff des geometrischen Ortes wird schon von Pappos gerade so wie
heute definiert als die Gesamtheit aller Punkte, denen ein und dieselbe
bestimmte Eigenschaft (Symptoma) zukommt, und je nachdem diese
Gesamtheit eine Linie oder eine Fläche bildete, heissen die Orte Linien-
oder Flächenorte. Davon verschieden sind »körperliche Orte« (στερεοι),
dies sind Linien, welche durch den Schnitt von Körpern entstehen, wie die
K e g e l s c h n i t t e. Die Schrift des Euklid hat nach Pappos vermutlich
Ortseigenschaften der Kugel-, Kegel- und Zylinderflächen behandelt und
scheint in der bedeutenderen Arbeit des A r c h i m e d e s über Konoide und
Sphäroide aufgegangen zu sein.

Mehr wissen wir von den 3 Büchern Porismata.
»Porismata«, da Pappos den Inhalt so ausführlich
angegeben hat, dass M i c h a e l C h a s l e s Elemente.
danach eine Rekonstruktion versucht hat, nach
Vorarbeiten von R . S i m s o n, dessen Euklidbearbeitung von 1756 noch
heute für England massgebend ist. Allerdings hat P. B r e t o n d e
C h a m p zuerst erkannt, dass die 29 Sätze in der Vorrede des VII. Buches
bei P a p p o s ein Résumé der 171 Sätze des Euklid enthalten. Das Wort
Porisma selbst bildet noch eine Streitfrage. Es hat 2 Bedeutungen, erstens
Zusatz, so kommt es vielfach in den Handschriften der Elemente vor,
zweitens bedeutet es ein Mittelding zwischen einem gewöhnlichen Lehrsatz
und einem sogenannten Ortssatz, d. h. einem Satz der ausspricht, dass eine
bestimmte Kurve eine bestimmte Eigenschaft hat. Als Beispiel diene der
Satz: Der Ort der Punkte, deren Abstände von zwei festen Punkten ein
festes Verhältnis haben ist der Kreis (des A p o l l o n i o s) dessen
Durchmesser die Strecke zwischen den beiden in diesem Verhältnis zu den
gegebenen Punkten harmonischen auf der gegebenen Graden ist. Ein
Porisma wäre demzufolge in der Geometrie etwa das, was man in der
Arithmetik einen Existenzbeweis nennt, es spräche aus, dass ein bestimmter
Ort existiert, ohne ihn direkt zu konstruieren. Die Porismata bildeten
vermutlich für die synthetische oder direkte Konstruktionsmethode ein
Seitenstück zu den »Data« als Hilfsmittel für die analytische Methode.
Nach dem Résumé bei Pappos gingen sie weit über die Elemente hinaus
und mit C h a s l e s und H . Z e u t h e n müssen wir annehmen, dass sie die
Grundlagen für die p r o j e k t i v e Behandlung der K e g e l s c h n i t t e
enthalten.
Auch über diese zu seiner Zeit höchste Mathematik hat Euklid
geschrieben, vier Bücher Konika. Ebenso wie Euklid die Arbeiten seiner
Vorgänger insbesondere des Theudios für seine Elemente benutzte und
verdrängte, wurden seine Konika nach dem Zeugnis des Pappos von dem
grossartigen Werk der 8 Bücher Konika des A p o l l o n i o s verdrängt, in
dessen erste 4 Bücher sie vermutlich vollständig Aufnahme gefunden
haben. Sie werden daher auch schwerlich aus arabischen Quellen je wieder
zum Vorschein kommen, wenn sie nicht zufällig als Leichenbinde einer
Mumie gefunden werden.

Verloren ist auch eine Schrift mathophilosophischen Charakters
ψευδαρια, »Trugschlüsse« genannt und zwar sind absichtliche
Falschschlüsse gemeint. Proklos nennt die Schrift »καθαρκεικον και
γυμναστικον«, reinigend und übend durch Anstrengung d. h. die Schrift war
zur Geistesgymnastik der Schüler bestimmt.
Und nun zu dem Werke das den Namen des Euklid unsterblich
gemacht hat, zu den Elementen, die »στοιχεία«, wozu ich meine Schrift
Euklid etc. von 1901 heranzuziehen bitte.

Die Elemente des Euklid.

Den 13 Büchern der Elemente des Euklid Die Elemente des Euklid.
wurden schon früh zwei Bücher angehängt. Das
14. Buch ist eine tüchtige Arbeit des in Alexandrien etwa 150 v. Chr.
lebenden Mathematikers und Astronomen H y p s i k l ē s, über die fünf
regulären (platonischen) Körper; das 15. Buch ist eine weit schwächere
Arbeit und hat nach T a n n e r y und H e i b e r g, beides grosse Kenner der
hellenischen Mathematik, einen Schüler des I s i d o r o s, des Erbauers der
Sophienkirche um 530 n. Chr. zum Verfasser.
Den Zweck der Elemente gibt Proklos S. 72 an: Elemente nennt man
das, dessen Theorie hinreicht zum Verständnis von allem anderen, und
mittelst dessen man im Stande ist die Schwierigkeiten, welche das andere
bietet, aus dem Wege zu räumen. Stoicheion bedeutet eigentlich Buchstabe
und l. c. sagt Proklos gradezu: die Elemente enthalten die Sätze, welche als
Bestandteile aller folgenden auftreten, wie die Buchstaben im Wort. Die
Grundbedeutung von Stoichos ist eine militärische es bedeutet das, was wir
einen Zug nennen, also auch die Grundlage der Formation.
Der Zweck und die Notwendigkeit der Euklid'schen Elemente folgt aus
der Entwicklung der hellenischen Mathematik. Die Pythagoräer (s. d.)
waren bei den Problemen zweiten Grades auf die √2, die Savisescha
gestossen oder gestossen worden und damit auf die Irrationalzahl und die
Inkommensurabilität. Damit wurden alle früheren Beweise über Teilung,
Ähnlichkeit, Flächenmessung hinfällig. Das 4. Jahrhundert, P l a t o n,
Theaitet, Eudoxos und die Schüler des Platon und Eudoxos, widmeten sich
der methodischen Arbeit die neuen Grundlagen festzustellen. Boten doch
die mathematischen Definitionen Platon vortreffliche Beispiele seinem

sokratischen Hang zur Definition der Begriffe zu folgen. Von E u d o x o s
rührt das ganze fünfte Buch der Elemente, die Lehre von den Proportionen
in, ich möchte sagen, Weierstrass'scher Strenge, her, er ist der eigentliche
Schöpfer der Exhaustionsmethode, die vermutlich durch ihn schon bei
A r i s t o t e l e s erwähnt ist, und die sich später, befruchtet mit dem
Demokritischen Differentialbegriff, bei Archimedes und Apollonios zur
Infinitesimalrechnung auswuchs. Von T h e a i t e t wissen wir, dass er die
Einteilung der Irrationalzahlen oder genauer die Lösung von Gleichungen
4. Grades, welche auf quadratische Gleichungen reduzierbar sind, jedenfalls
begonnen hat. Wahrscheinlich von P l a t o n selbst, jedenfalls aus seiner
Schule, rühren die Fassungen vieler Definitionen und Axiome bei Euklid
her, welche Aristoteles (vgl. H e i b e r g, Teubnersche Abh. z. Gesch. etc.
Heft 18, 1904) nach den Elementen des Magnesiers Theudios zitiert. Nach
einem Jahrhundert waren die methodischen Arbeiten zum Abschluss reif
und den gab Euklid, bei dem das methodische Gefühl bereits in so
eminenten Grade ausgebildet ist, dass er mit dem Beweise schliesst: M e h r
als fünf regelmässige Körper kann es nicht geben.
Die Aufgabe die er sich setzte auf Grund der notwendigsten
Voraussetzungen die Geometrie und in geometrischer Einkleidung auch die
Arithmetik als ein zusammenhängendes Ganzes unantastbar darzustellen,
hat er in einer Weise gelöst, die alle Vorgänger spurlos verschwinden liess
und die, niemals übertroffen, die Bewunderung aller Zeiten und aller Völker
erregt hat.
Daran schliesst sich die Frage, inwieweit Euklid in den Elementen
Eigenes gegeben. Die Frage ist nur summarisch zu beantworten.
M . C a n t o r sagt: »Ein grosser Mathematiker wird auch da, wo er
anderen folgt, seine Eigentümlichkeit nicht verleugnen, und so war es
sicherlich auch bei Euklid.« Gewiss, denn so ist es ja bei jedem Schullehrer,
der seine Elemente gedruckt oder ungedruckt traktiert. Aber ebenso klar ist
es auch, dass ein Werk wie die Elemente die Kräfte eines einzelnen
übersteigt, und eine ganze Reihe von Vorarbeiten erfordert, von
Hippokrates, Leōn, der die Fülle der Sätze und Strenge der Beweise erhöhte
(Proklos 66 unten) bis auf Theudios, der sich auch in den anderen
Wissenschaften auszeichnete. Die von H e i b e r g l. c. gesammelten Zitate
aus seinen Elementen zeigen vielfach wörtliche Übereinstimmung. Ebenso
sicher ist die Form des Vortrags die zum Teil schon von den Ägyptern
überkommene gewesen, samt den so berühmten Schlussformeln »quod erat

demonstrandum«, was zu beweisen war, ὅπερ ἔδει δεῖξαι, und quod erat
faciendum, was zu machen war, ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Euklid gehört wohl vor
allem die Auswahl der Definitionen an, die Forderungen
(Erfahrungstatsachen) sind sein Eigentum, wie Heiberg l. c. festgestellt hat,
oder wenigstens ihre Trennung von den Axiomen, und dann die strenge
Durchführung des Prinzips keinen früheren Satz mittelst eines späteren zu
beweisen, kein Gebilde zu benutzen, dessen Existenz nicht vorher durch
geforderte oder gegebene Konstruktion gesichert ist.
Ferner gehört ihm ein grosser Teil des zehnten Buches, die Vollendung
der Einteilung der Irrationalitäten durch Theaetet. Dem Euklid gehört der
elementare Beweis (ohne Integralrechnung) des Satzes, dass die Pyramide
gleich dem dritten Teil des Prisma ist, dass mit ihr gleiche Grundfläche und
Höhe hat; sodann viele Sätze des 13. Buches über die Bestimmung von
Stücken der regulären Körper und mit grösster Wahrscheinlichkeit der
schon erwähnte Schlusssatz. Etwa 420 war das Dodekaëder den Hellenen
bekannt geworden, wenig früher war überhaupt erst das logische Element in
der Geometrie, die Forderung nach dem Beweise, zur Geltung gekommen.
Die Ausbildung des logischen Sinnes bis zum Bedürfnis eines solchen
Existenzbeweises erforderte sicher ein Jahrhundert. Der einzige, der noch in
Frage kommen konnte wäre E u d o x o s, doch überwog bei ihm auf der
Höhe seiner Kraft das astronomische Interesse.
Wenn ich aber trotz der verhältnismässig Parallelentheorie.
geringen »Produktivität« Euklids doch
M . C a n t o r beipflichte, der ihn zu den drei Heroen der griechischen
Mathematik im 3. Jahrh. zählt, so tue ich es mit Rücksicht auf Euklids
Behandlung des Parallelenproblemes, dass er so recht eigentlich in die Welt
geworfen hat und das bis auf den heutigen Tag, ja heute noch mehr als je im
Zentrum des Interesses steht. Der gesamte Aufbau des grundlegenden ersten
Buches wird vom Parallelenproblem beherrscht. Euklid hat rund 2000 Jahre
vor S a c c h e r i und L e g e n d r e den Zusammenhang des Problems mit
dem Satz über die Winkelsumme im Dreieck erkannt. Schon Proklos hat
bemerkt, dass das berühmte und berüchtigte sogen. »11. Axiom«, richtiger
die 5. Forderung, hervorgegangen ist aus dem vergeblichen Bemühen den
Satz: »In jedem Dreieck sind zwei Winkel zusammen kleiner als 2 Rechte«
umzukehren; und so kam er zu der Forderung in der Fassung: »Und wenn
eine, zwei Geraden schneidende, Gerade mit ihnen innere an derselben
Seite liegende Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als 2 Rechte, so

schneiden sich jene beiden Geraden bei unbegrenzter Verlängerung an der
Seite, auf der diese beiden Winkel liegen.«
Von der Bibel abgesehen, ist niemals ein Die Elemente des Euklid,
Werk in so vielen Auflagen und Bearbeitungen Ausgaben.
verbreitet gewesen, als die 13 »βιβλία« des
Eukleídes, dessen Namen geradezu mit der Geometrie identifiziert wird.
Eine sehr vollständige Zusammenstellung findet sich in Mem. d. R. Acad.
d. Sc. d. Ist. di Bologna Serie IX, T. VIII und X 1887 und 1890 von
P. R i c c a r d i; R . B o n o l a, Bull. d. L o r i a und Festschr. f. Joh. Bolyai
1902 zählt gegen 1700 Ausgaben. Im Mittelalter und bis in die Neuzeit wird
die Professur für Geometrie häufig als die des Euklid bezeichnet, die
Studenten lasen den Text, sei es ganz, sei es im Auszug, und der Professor
kommentierte, wobei selten mehr als das erste Buch erledigt wurde.
S a v i l e, der die noch heute in O x f o r d bestehende Professur des Euklid
stiftete, kam bis zum 8. Satz des ersten Buches, nur P e t r u s R a m u s,
dessen Bedeutung in erster Linie auf seiner Lehrtätigkeit und seiner grossen
literarischen Bildung beruht, rühmte sich die ganzen Elemente in einer
Vorlesung erledigt zu haben. Es war selbstverständlich, dass der Text im
Laufe der Jahrhunderte entstellt, verdorben, erweitert wurde. Letzteres gilt
besonders für die schwierigen Teile des zehnten bis letzten Buches.
Ich verweise auch für die Bibliographie der Euklid, Übersetzungen der
Elemente auf meine Schrift von 1901, Elemente.
hervorzuheben ist die Bearbeitung des T h e o n
v . A l e x a n d r i a, der etwa 350 n. Chr. lebte und lehrte, sie muss die
früheren fast völlig im Buchhandel verdrängt haben, obwohl sie keinen
Fortschritt bedeutete. Alle bis 1808 bekannte Codices, deren Zahl sehr gross
ist, alle Drucke und Übersetzungen sind, wenn man von a r a b i s c h e n
Q u e l l e n absieht, aus dieser Ausgabe hervorgegangen. Erst 1808 fand
F . P e y r a r d in einer durch N a p o l e o n dem Vatikan geraubten
Handschrift (Vatic. 190, 1814 zurückgegeben) die bis jetzt einzige
vollständige Handschrift, welche auf eine ältere und bessere Ausgabe
zurückgeht. Aus diesem Codex konnte man die Änderungen des Theon
feststellen und die Codices kritisieren, eine Arbeit, welche von
E . F . A u g u s t 1826–29 in seiner griechischen und noch gründlicher von
J . L . H e i b e r g in der griech.-lat. Ausgabe von 1882–88 geleistet ist.
Ausser dem Vat. 190 geht auch der Palimpsest Bologna M. 1721
(H e i b e r g, Cant.-Schlöm. 29) auf ältere Quellen als Theon zurück.

Neben dürftigen Auszügen die, von oder nach B o ë t i u s (etwa 500 n.
Chr.) verfasst, sich in den Klöstern und Klosterschulen hielten und
besonders durch G e r b e r t den nachmaligen Papst Sylvester II. von
Wichtigkeit wurden, verdankt Europa die Kenntnis der Elemente den
arabischen Übersetzungen und Bearbeitungen. Auf sie geht die erste
gedruckte Ausgabe zurück, die dem G i o v a n n i C a m p a n o aus Novara
zugeschrieben wird, der um die Mitte des 13. Jahrh. gelebt hat, und 1482
bei E r h a r d R a t d o l t in Venedig erschienen ist. Die Ausgabe ist sehr
selten, sie ist von A . G . K ä s t n e r Gesch. der Math. Bd. I S. 289 f.
genau beschrieben.
Als der hellenische Geist zum zweiten Male für die europäische Kultur
fruchtbar wurde in jener Glanzepoche, die man die R e n a i s s a n c e nennt,
erschienen zunächst lateinische Ausgaben gestützt auf griechische Codices.
Die erste Originalausgabe ist die des Simon Grynaeus des älteren, sie
erschien 1533 bei H e r w a g e n, der auch in Strassburg eine Druckerei
besass, leider verarbeitet diese Ausgabe zwei sehr schlechte Handschriften.
Indem ich wieder auf meine zitierte Schrift Euklid-Commentatoren.
verweise, erwähne ich nur noch die beiden
wichtigsten lateinischen Ausgaben, die des C o m m a n d i n u s Pisa 1572,
der zuerst unseren Euklid von dem Megarenser schied, und die des
C l a v i u s von 1574. Die Arbeit dieses für seine Zeit hoch bedeutenden
Jesuiten ist von allen Historikern der Mathematik von M o n t u c l a und
K ä s t n e r bis auf M . C a n t o r gleich hoch gewertet worden; Kästner
nennt sie die Pandekten der Mathematik, sie soll 22 Auflagen gefunden
haben.
D i e C o m m e n t a t o r e n d e s E u k l i d, vergl. Euklid 1901 p.
16 ff.
Der festgefügte Bau der Elemente hat, wie er seinerseits die höchste
Bewunderung erregte, andererseits die Versuchung erweckt die Geometrie
auf andere Weise ebenfalls zu begründen. Dazu kommt, dass der Euklid in
seinem ersten Buch einen mathophilosophischen Teil enthält, der die
Grundbegriffe der Geometrie und die nötigen und hinreichenden
Voraussetzungen angibt, von denen die ersteren ihrer Natur nach
unauflöslich, die anderen variabel sind. So haben die Elemente des Euklid,
und das ist vielleicht sein grösstes Verdienst, eine staunenswerte
Geistesarbeit hervorgerufen, die besonders in der Geschichte des

Parallelenaxioms zutage tritt. Hier will ich nur (Euklid 1901) einen
Überblick über die hervorragendsten Interpretationen geben, welche zeigen,
wie Recht G i n o L o r i a hat, wenn er als Prinzip seiner schönen Arbeit
»Della varia fortuna di Euclide, Roma 1893« das G e s e t z d e r
K o n t i n u i t ä t ausspricht. Es geht ein ununterbrochener Zusammenhang
von Archimedes und Apollonios bis Veronese und Hilbert.
Von A p o l l o n i o s sind Spuren eigener »Elemente« erhalten;
darunter eine ganz allgemeine Definition des Winkels (Heiberg V S. 88).
A r c h i m e d e s gab eine von Euklid abweichende mechanische
Grundeigenschaft der Geraden (ebenfalls auch der Ebene) an und neue
Prinzipien, darunter das nach ihm benannte, obwohl von E u d o x o s oder
vielleicht D e m o k r i t stammende für die Exhaustionsmethode, die er zur
Integralrechnung umbildete. Ihm schliesst sich H e r o n von Alexandrien,
der grösste Mechaniker des 1. Jahrh. an; von seinem Kommentar sind uns
Fragmente durch Proklos und A n - N a r i z i (s. u. bei Heron) überliefert.
Aus der Zusammenstellung der Euklidstellen bei H e r o n durch
Heiberg geht klar hervor, dass die Definitionen des Euklid schon zu Herons
Zeit die uns überlieferte Form hatten, Euklid also damals schon, wie
T a n n e r y sagt, der unantastbare Klassiker der Elemente war.
Es ist das Parallelenaxiom und die Definitionen, überhaupt die ganze
Anordnung der ersten Bücher, dann gewisse Inkongruenzen zwischen dem
sechsten und den beiden letzten Büchern, der sonderbare Umstand, dass
Euklid die Lehre von den Proportionen ganz allgemein im fünften Buch
begründet, und dann die elementare Lehre von den Verhältnissen ganzer
Zahlen noch einmal im siebenten Buche gibt, was von jeher die
Kommentatoren in Tätigkeit gesetzt hat.
Die Inkongruenz bezieht sich besonders auf die Bewegung. In den
sechs planimetrischen Büchern wird sie ängstlich vermieden; nur zum
Beweis des 4. Satzes (ersten Kongruenzsatz) und seiner Umkehrung wird
sie herangezogen, dagegen scheut sich Euklid im 11. und 12., den
stereometrischen Büchern, absolut nicht die Definition der Körper auf die
Bewegung zu stützen.
Man hat daraus schliessen wollen, »einen Homeros gab es nie, sondern
acht bis zehn«, aber Euklid war Platoniker, und nach Platon und Aristoteles
setzt der Begriff der Bewegung einen körperlichen Raum voraus.

Auf Heron folgt Gemīnos, bezw. Géminus, von dem Proclus berichtet,
er habe die Verschiebbarkeit in sich der Schraubenlinie auf dem
Rotationscylinder, wenn nicht gefunden, so doch gekannt. Es folgt eine Ära,
in der die zusammenfassende eigentlich philosophische Geistesrichtung
unter dem Einfluss des Aristoteles gegen die Ausbildung der einzelnen
Spezialwissenschaften zurücktritt. Aus dieser Zeit, in der sich von
mathematischen Disziplinen die Trigonometrie (ebene und sphärische) im
Anschluss an die Astronomie entwickelt, wissen wir von besonderen
Kommentaren nichts, aber von den Elementen, dass sie für unentbehrlich
zur Ausbildung der angewandten Mathematiker galten.
Als gleichzeitig mit dem Christentum gegen diese nüchterne Periode in
Anlehnung an den Theosophen Platon zunächst der Neupythagoreismus
sich erhob, war es anfangs die arithmetische Seite des Euklid, die Bücher 7,
8, 9, die in Nikomachos von Gerasa um 100 n. Chr. dem
»Elementenschreiber der Arithmetik« (M . C a n t o r) und in Theon von
Smyrna ihre Kommentatoren fand. Um 300 lehrte dann zu Alexandria
P a p p o s, dessen Kollektaneen von unschätzbarer Bedeutung sind. Pappos
hat sicher einen Kommentar zum zehnten Buch geschrieben, von dem Reste
im Vaticanus erhalten sind und der uns nach Heiberg wahrscheinlich ganz
in einem noch unedierten Leydener Manuskripte erhalten ist.
Mit dem N e u p l a t o n i s m u s, jener seltsamen Mischung christlicher
und platonischer Mystik, nimmt auch die Mathematik die platonische
Richtung auf die Probleme, welche die geometrischen Grundbegriffe und
die Methodik bieten energisch auf. Ich nenne J a m b l i c h o s,
P o r p h y r i o s, von denen uns Spuren ihrer Scholien erhalten sind,
T h e o n und P r o k l o s, dessen Kommentar zum ersten Buch uns fast ganz
erhalten ist. Der Kommentar, der bis 1873 nur in der Ausgabe von S i m o n
G r y n ä u s 1533 bei Herwagen gedruckt war, ist für die Geschichte der
Mathematik bei den Hellenen einzig; Tannery, der zuverlässigste
Detailforscher hellenischer Mathematik, nennt sein Verständnis geradezu
das Problem der Geschichte der Mathematik.
Die Ausgabe von F r i e d l e i n 1873 ist philologisch sehr bedeutend,
wenn auch nach H e i b e r g noch nicht das letzte Wort über Proklos, aber
griechisch; es existiert nur die lateinische Übersetzung des B a r o c c i von
1560, welche oft nur eine Wortübersetzung ist und von Taylor ebenso
wörtlich ins Englische übertragen ist.

Als J u s t i n i a n 529 die Schule von Athen, mit der die hellenische
Kultur begann und schloss, aufhob und die Lehrer vertrieb, kam E u k l i d
mit ihnen nach Persien und so an die Araber, wo er, wie schon gesagt, im 8.
und 9. Jahrh. an Haggag und Ishaq Übersetzer fand. Sehr bald darauf muss
es auch arabische Kommentare gegeben haben, wie aus der Ausgabe des
Campanus hervorgeht; der schon erwähnte N a s i r e d D i n im 13. Jahrh.
ist keineswegs unbedeutend, der auch zuerst die Trigonometrie als eigenen
Zweig behandelt hat.
Die Renaissance macht Proklos bekannt, an ihn schliesst sich
C o m m a n d i n u s und C l a v i u s an. Der erstere wirkte besonders auf die
Engländer, auf S a v i l e, der die Professur des Euklid in Oxford begründete,
wodurch W a l l i s und wohl auch B a r r o w (erste Ausgabe 1652) und
durch diese Newton auf Euklid und die Beschäftigung mit den Grundlagen
hingewiesen wurden.
Vor allem haben wir R o b e r t S i m s o n zu nennen, der direkt
Commandinus zugrunde legt und der besonders auf die englische
Schulmathematik vorn allerwesentlichsten Einfluss gewesen ist. Der
Kommentar erschien 1756, Titel: die sechs ersten Bücher des Euklid mit
Verbesserung der Fehler, wodurch Theon und Andere sie entstellt haben etc.
mit erklärenden Anmerkungen (aus dem Englischen übersetzt von Rieder.
Herausg. von Niesert, Paderborn 1806).
C l a v i u s kennt den Proklos ganz genau; auch er harrt noch der
deutschen Herausgabe, der er in hohem Grade wert ist; er hat neben
B o r e l l i (Euklides restitutus 1658) sicher auf seinen Ordensbruder
S a c c h e r i gewirkt, von dessen: Euklides ab omni naevo vindicatus
(Mediol. in 4. 1733), die heutige sogenannte nicht-Euklidische Geometrie
gezählt wird. Es ist wahrscheinlich, dass L a m b e r t in Chur den Saccheri
kennen lernte und fast sicher, dass G a u s s wieder Lamberts Abhandlung
im Hindenburg'schen Archiv von 1786 gelesen. Gauss wirkte dann auf
seinen Jugendfreund W o l f g a n g B o l y a i und durch ihn auf seinen
Sohn J o h a n n und durch Vermittelung von Bartels auf
L o b a t s c h e f f s k i.
Für Frankreich ist ausser Clavius noch P e t r u s R a m u s, der
sogenannte »Besieger der Scholastik«, von Bedeutung. Ramus, dem es an
philosophischer Tiefe fehlte, war nicht imstande den Euklid zu würdigen
wie ganz besonders seine Kritik des zehnten Buches beweist, aber seine

revolutionäre Anfechtung der Autorität kommt in Frankreich im 18. Jahrh.
zur Geltung. Hier geht der Weg von Clavius über Tacquet 1659 und Arnauld
durch Zurückgreifen auf Ramus zu C l a i r a u t 1741 und L e g e n d r e
1794 und B e r t r a n d 1810. C l a i r a u t, dessen wahrhaft kühne Elemente
der Geometrie vom Rechteck als der unmittelbar anschaulichen Figur
ausgeht, hat sich auch auf die deutschen Ritterakademien, z. B. Ilfeld
verbreitet. Es scheint, als ob auch L a m b e r t ihn gekannt hat; doch ist der
Ausgangspunkt vom Rechteck ein so natürlicher, dass ich selbst um 1880
ohne eine Ahnung von Clairaut oder Lambert zu haben, im Unterricht einen
ganz ähnlichen Weg einschlug. Der ausserordentliche Erfolg und die grosse
Verbreitung der »E l e m e n t s« L e g e n d r e s (1794) ist bekannt und
berechtigt; noch heute beeinflussen sie den Unterricht auf den Mittelschulen
nicht nur Frankreichs sondern Spaniens, Hollands und Deutschlands.
Was die deutschen Schulen betrifft, so Euklid-Gegner.
möchte ich auf eine Schrift H u b e r t
M ü l l e r ' s aus Metz aufmerksam machen: »Besitzt die heutige
Schulgeometrie noch die Vorzüge des Euklid-Originals?« Ich kann meine
Kritik in der deutschen Literaturz. 1887 No. 37 nur dahin ergänzen: die
deutsche Schulgeometrie hat sie nie besessen. Weder Johannes Vogelin,
bekannt durch die Vorrede Melanchthons in der Ausgabe von 1536, noch
des Conrad Dasypodius Volumen I und II, noch die Mathesis juvenilis
Sturms oder Wolffs oder Kästners Anfangsgründe oder Thibauts Grundriss,
von Kambly, Mehler, Henrici und Treutlein ganz zu schweigen, sind jemals
dem Gange Euklids gefolgt. Dagegen waren die Studenten und die Lehrer
bis etwa um 1860, wie die rasch auf einander folgenden Ausgaben
beweisen, völlig mit dem Euklid vertraut. Von da an ändert sich die Sache,
und ich bin sicher, dass es nur eine minimale Anzahl von Lehrern gibt, die
den Euklid gelesen haben.
Einen Teil der Schuld an dem Sinken der Autorität Euklids tragen auch
die Angriffe S c h o p e n h a u e r s gegen die »Mausefallenbeweise des
Euklid«. Schopenhauer hatte als Künstler, der er war, für die intuitive
Erkenntnis vollstes Verständnis, aber bar aller mathematischen Bildung,
fehlte ihm jedes Verständnis für die logische Erkenntnis, die oft ebenso
unmittelbar wie jene ist. Nun ist aber die euklidische Geometrie als
Wissenschaft eine chemische Verbindung von Anschauung und Logik, und
darum musste der Versuch, den z. B. K o s a k in dem Nordhäuser
Programm anstellte die Geometrie nur auf Anschauung zu begründen,

gerade so scheitern wie der noch berühmtere B o l z a n o s von 1804 die
Geometrie rein logisch zu begründen. B o l z a n o hat übrigens viel mehr
von Leibniz entlehnt als bekannt ist. Der grosse »aemulus« Newtons zeigt
sich auch in der Auffassung der Grundlagen als Widerpart.
Während Newton in der Vorrede der Principia phil. nat. ausdrücklich
auf den Ursprung der mathematischen Grundgebilde aus der Mechanik
hinweist: »Gerade Linien und Kreise zu beschreiben sind Probleme, aber
keine geometrischen,« ist Leibniz bemüht der Anschauung so wenig als
möglich einzuräumen. Es scheint wenig oder gar nicht bekannt, dass schon
bei Lebzeiten Leibniz' Ansichten desselben über die Grundlagen der
Geometrie veröffentlicht sind bei L a M o n t r e 1691: Les 47 propos. du I
livre des Elém. d'Euclide avec des remarques de G. G. Leibniz.
Ähnlich wie in Deutschland liegt die Sache in Frankreich und Italien,
nur in England folgt Ausgabe auf Ausgabe und noch ist der sogenannte
Syllabus nicht zustande gekommen, der den Euklid verdrängen sollte, doch
ist das Festhalten an Euklid mehr Schein als Wirklichkeit s. mein Referat
von 1906, No. 4 p. 26. Auch in Schweden und Norwegen scheint sich
Interesse für Euklid dauernd erhalten zu haben. Für Deutschland und Italien
ist mit dem Ende des 19. Jahrh. ein Umschwung eingetreten, man kann
geradezu sagen, dass die Kenntnis des Euklid durch die neueste Richtung,
deren Haupt in Deutschland H i l b e r t, in Italien Ve r o n e s e ist, wieder
unentbehrlich wird.
Über den Inhalt des Euklid muss ich sehr
Euklid's Elemente:
kurz sein, von meinen Hörern kann ich erwarten, Definitionen.
dass sie den Euklid selbst lesen. Nur wenige
Worte über das Wichtigste des Wichtigsten, die ὁροι, αιτηματα, κοιναι
εννοιαι, die Definitionen, Postulate und Axiome des ersten Buches. Eine
Bibliothek ist gleich über die ersten Worte geschrieben: σημειον εστι ὁυ
μερος ουθεν (oft auch οὐδὲν).
Punkt ist das, dessen Teil nichts ist oder das keinen Teil hat. In beiden
Fällen ist klar, dass Euklid, der seinen Platon und Aristoteles kannte,
hiermit ausdrücklich gesagt hat, dass der Punkt nicht unter die Kategorie
Grösse fällt; so klar dies ist, ist es doch niemals gedruckt worden, ausser bei
Kant (Kritik d. reinen Vernunft p. 169), wo es frei nach A r i s t o t e l e s
heisst: Punkte und Augenblicke sind nur Grenzen, der Raum besteht nur aus
Räumen, die Zeit aus Zeiten.

Die Definition ist sicher platonisch; Aristoteles sagt der Punkt ist
μονας θεσιν εχουσα eine Einheit, welche Lage hat. Definition 4: ευθεια
γραμμη εστιν, ἡτις εξ ισου τοις εφ' ἁυτης σημειοις κειται. Die Gerade ist
diejenige Linie, welche gleichmässig durch ihre Punkte gesetzt ist. Auch
über diese Definition existiert eine ganze Literatur. Man hat nicht
berücksichtigt, dass Euklid die gerade Linie erst völlig definiert durch die
Forderungen 1 und 2. Es soll gefordert werden 1) dass sich von jedem
Punkte bis zu jedem Punkte eine und nur eine Strecke führen lasse, 2) und
diese Strecke sich kontinuierlich auf ihrer Geraden (vielleicht richtiger bis
zur Vollendung der Geraden) ausziehen lasse. Mit Definition 4 zusammen
definiert sie die Gerade völlig, natürlich nicht anschaulich, denn die
Anschauung der Geraden, die psychologisch ist und experimentell
gewonnen wird, setzt Euklid bei seinen Hörern voraus. Euklid sagt, die
Gerade ist eine unterschiedslose und unendliche Linie, die durch zwei ihrer
Punkte völlig bestimmt ist.
Def. 7) Ein ebener Winkel entsteht, wenn zwei Linien der Ebene
zusammentreffen, welche nicht in derselben Geraden liegen, durch die
Biegung von der einen Linie zur andern. Die Definition des Winkels ist oft
und mit Recht getadelt worden. In Schottens vergleichender Planimetrie
füllen die Abänderungen 40 Seiten aus; die von mir herrührende »der
Winkel ist die Grenze des Kreissektors bei über jedes Mass wachsendem
Radius«, ist für den Unterricht ungemein zweckmässig, aber ich fand sie
nachträglich schon 70 Jahre vor mir bei S t e i n in Gergonnes Annales Bd.
XV (1824) p. 77. —
Das Wort κλισις. »Neigung« kann Richtungsänderung bedeuten, kann
Drehung bedeuten etc. Proklos (Eudemos) setzt daher κλασις in περί
γωνίας. d. h. Brechung. Apollonius definiert: der Winkel ist die
Verengerung der Ebene oder des Raumes an einem Punkte infolge der
Biegung von Linien oder Flächen.
Dass Euklid den gradlinigen Winkel a b c im Wesentlichen als eine
Flächengrösse auffasst, das folgt aus der Definition 9 des gradlinigen
Winkels, wo περιεχουσαι »enthaltend« gebraucht wird, und aus der
ständigen Anwendung der Winkel ὑπὸ αβγ d. h. περιεχομενη, der von dem
gebrochenen Linienzug αβγ umschlossene und besonders da er unmittelbar
vom Winkel als der nicht völlig begrenzten Fläche auf die F i g u r »οχημα«
übergeht als der völlig begrenzten.

Nun zu den fünf Forderungen:
Euklid's Elemente:
P r o k l o s sagt, dass die Forderungen von Forderungen.
den Grundsätzen sich unterscheiden wie die
Aufgaben von den Lehrsätzen. Die ersteren verlangen Konstruktionen, die
jeder leicht ausführen kann, die andern Sätze, die jeder leicht zugibt.
A r i s t o t e l e s sagt: die Forderung ermangelt des Beweises, den man
gern geben möchte, wenn man nur könnte, während der Grundsatz von
jedem ohne Weiteres als richtig anerkannt wird.
Die Unterscheidung des Proklos passt aber nur auf das schon genannte
1. Petitum und das 3. »Und um jedes Zentrum und mit jedem Abstand sich
ein und nur ein Kreis zeichnen lasse«, d. h. dass vom gegebenen Zentrum
aus durch jeden Punkt der Ebene ein und nur ein Kreis geht. Es enthalten
aber No. 1 und 3 Forderungen, die, ich erinnere an Newton, von der
angewandten Mechanik ihre Lösungen empfangen haben. Es darf daher
nicht überraschen, wenn in den Handschriften eine ziemliche Verwirrung
herrscht und sich z. B. in sehr vielen No. 5, das schon erwähnte
Parallelenaxiom, als 11. Grundsatz findet und das schon vor Theon
rezipierte unechte »zwei Gerade schliessen keinen Raum ein« sich im
Vaticanus als Forderung 6 und in andern Codices als Grundsatz 9 findet.
Der richtige Unterschied ist der: die Forderungen enthalten Grundtatsachen
der Anschauungen und die Axiome Grundtatsachen der Logik.
Forderung 4: »Und alle rechte Winkel einander gleich seien«.
Sie ist nach Proklos von Geminos und anderen angegriffen als
beweisbar. Ich gebe hier den Beweis des Geminos: Wäre αβγ < δεζ und
l e g t e man δεζ auf αβγ, so dass δε u. αβ zusammenfallen, so fiele εζ als βη
innerhalb und dann wäre κβα das nach Definition des rechten Winkels =
αβη ist > θβα > αβγ, also δεζ zugleich kleiner und grösser als αβγ (Fig.).

Der Beweis setzt voraus, dass die Verlängerung von ηβ sich nicht mit
θβ deckt, d. h. also, dass eine Strecke sich nur auf e i n e Weise zu einer
Geraden verlängern lasse. Darin hat H . Z e u t h e n recht, aber dies zu
sagen wäre die Forderung eine seltsame Form und Euklid hat eine ganze
Reihe stillschweigender Voraussetzungen ohne die keine geometrische, d. h.
anschauliche Geometrie existieren kann, und die genannte Forderung hat er
in No. 1 und 2 ausgesprochen.
Dem Geminos und den andern, vermutlich den Mechanikern Heron
und Archimedes ist die strenge Aristotelische Auffassung der Bewegung
verloren gegangen; der Beweis verlangt ja auch die Verschiebbarkeit und
Drehung der Ebene in sich selbst, bezw. die dritte Dimension und die will
und kann Euklid von seinem Standpunkte aus hier nicht zu Hilfe nehmen;
so bleibt ihm nur übrig zur Forderung seine Zuflucht zu nehmen.
Über die 5. und letzte Forderung, das Euklid's Elemente:
Parallelenaxiom, und dem was drum und dran Grundsätze.
hängt, kann ich auf F . E n g e l und
P. S t ä c k e l, Theorie d. Parallellinien (1895) und auf meine früheren
Schriften verweisen. So gehe ich zu den Grundsätzen. Von Proklos sind als
echt bezeichnet:
1) Was demselben (zu ergänzen: dritten) gleich ist, ist unter sich
gleich.
2) Und wird Gleiches zu Gleichem hinzugesetzt, so sind die Ganzen
gleich.
3) Und wird von Gleichem hinweggenommen, so sind die Reste
gleich.
8) Und das Ganze ist grösser als sein Teil.
7) Und einander Deckendes ist gleich.
Euklid sagt: χοιναι εννοιαι. Allen Vernünftigen gemeinsame Einsicht.
Proklos sagt: Axiome eigentlich »Meinungen«, aber nach dem
Sprachgebrauch des Aristoteles allgemein angenommene logische Sätze,
die man nicht beweisen kann, weil sie die logischen Grundlagen des
Beweises sind. Proklos hat nur die 5 angeführt, richtig 8 vor 7, da 7 nicht
rein logisch ist, sondern von dem Zusammenfallen in der Anschauung
ausgeht um daraus den logischen Schluss der Gleichheit zu ziehen.

Das Axiom 7 ist von S c h o p e n h a u e r »die Welt als Wille und
Vorstellung« T. 2 S. 144 angegriffen, weil es entweder eine Tautologie ist
oder eine Bewegung voraussetzt. Es ist von B o l z a n o und G r a s s m a n n
(L e i b n i z) durch das Prinzip ersetzt worden: »Dinge, deren bestimmende
Stücke gleich sind, sind gleich« (eine andere Fassung für »gleiche Ursachen
gleiche Wirkungen«).
Schopenhauer hat Euklid gar nicht verstanden; Euklid braucht Axiom
7 zuerst beim Beweis des ersten Theorems, Satz 4, der erste Kongruenzsatz,
und dort im Grunde nur als Axiom von der Gleichförmigkeit des Raumes,
bezw. in dem Sinne Bolzanos und Grassmanns. Ich halte es für einen
Fehler, dass Euklid nicht den 1. und 3. Kongruenzsatz in die Forderungen
aufgenommen hat.
Es folgen nun die 48 »Protasis« Technologie der Elemente.
(Propositionen d. i. Sätze) des ersten Buches. Die
Sätze zerfallen in »Probleme«, Aufgaben, die zur Erzeugung eines Gebildes
führen und »Theoreme« Lehrsätze. Den Unterschied definiert Proklos
S. 201, wo er, um mit P. Tannery (Géométrie grecque S. 87) zu sprechen,
von der Technologie der Elemente handelt wie folgt: Bei den Problemen
handelt es sich darum sich Fehlendes zu beschaffen, anschaulich
hinzustellen und mit den Kunstmitteln (Lineal und Zirkel) zu erzeugen. Im
»Theorem« nimmt man sich vor das Vorhandensein einer Eigenschaft bezw.
das Nichtvorhandensein zu sehen, zu erkennen, zu beweisen. Jedes Problem
aber und jedes Theorem, das aus seinen vollständigen Teilen
zusammengesetzt ist, muss folgendes in sich enthalten: 1) Vo r l a g e
(προτασις). 2) Feststellung des Gegebenen (εκθεσις.) Voraussetzung. 3)
F e s t s t e l l u n g d e s G e f o r d e r t e n (διορισμός.) Behauptung. 4)
Konstruktion (κατασκευη.). 5) Beweis (απόδειξις.) 6) Schluss
(συμπέρασμα).
Die Protasis sagt aus, was gegeben und was gefordert wird; denn die
vollständige Protasis besteht aus beiden.
Die Ekthesis setzt das Gegebene an und für sich, (d. h. ohne Rücksicht
auf das Geforderte) genau auseinander und arbeitet dadurch der
Untersuchung vor.
Der Diorismos aber macht das Gesuchte, es sei, was es sei, an und für
sich deutlich. Der Ausdruck Diorismos wird hier bei Proklos anders
gebraucht als bei Pappos; Peyrard hat Prodiorismos: Bei Pappos bezeichnet

Diorismos genau das, was wir heute Determination nennen, d. h. die
Angabe derjenigen Einschränkungen in bezug auf die gegebenen Stücke,
welche zur Ausführbarkeit der Konstruktion nötig sind.
Die Kataskeuē fügt das hinzu, was dem Gegebenen zur Erlangung des
Gesuchten mangelt. Proklos sagt zur »Jagd« θηραν und braucht das Bild
wiederholt, so alt ist das Bewusstsein des Kampfes des Mathematikers mit
seinem Problem.
Die Apodeixis leitet das Vorliegende logisch von dem, was bereits
feststeht, ab.
Das Symperasma aber kehrt wieder zur Vorlage zurück, indem es den
bewiesenen Satz klar und deutlich ausspricht. Und dies sind alle Teile
sowohl der Probleme als der Theoreme.
1) πρότασις.
Ich gebe ein Beispiel (S. 5): Im Technologie, Beispiel.
gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der
Basis einander gleich, und werden die gleichen Schenkel verlängert, so sind
die Winkel unterhalb der Basis einander gleich.

2) εκθεσις.
ΑΒΓ sei das gleichschenklige Dreieck mit ΑΒ gleich ΑΓ und es
mögen auf ihrer Geraden ΑΒ und ΑΓ verlängert werden um ΒΔ und ΓΕ.
3) διορισμός.
Ich behaupte etc.
4) κατασκευή.

Man nehme auf ΒΔ einen beliebigen Punkt Ζ an, von ΑΕ nehme man
ΑΗ gleich ΑΖ weg und ziehe ΖΓ und ΗΒ. (Fig.)
5) αποδειξις.
Dann ist ◁ΑΖΓ ≅ ΑΗΒ (Satz 4), folglich ◁ΑΓΖ = ΑΒΗ und ∢ΑΖΓ =
ΑΗΒ, und da ΑΖ = ΑΗ und ihr Teil ΑΒ und ΑΓ auch gleich, so ist (Ax. 3)
ΒΖ = ΓΗ; und, da bereits bewiesen, dass ΖΓ = ΒΗ und ∢ΒΖΓ = ΒΗΓ, so ist
(4) Dreieck ΒΖΓ ≅ ΒΗΓ, folglich ∢ΖΒΓ = ΗΓΒ, und ΒΓΖ = ΓΒΗ. Da nun
der ganze Winkel ΑΒΗ = dem ganzen Winkel ΑΓΖ erwiesen wurde, und
die Teile ΓΒΗ und ΒΓΖ gleich, so ist (Ax. 3) ∢ΑΒΓ = ΑΓΒ und dies sind
die Basiswinkel. Die Gleichheit aber von ΖΒΓ und ΗΓΒ wurde schon
gezeigt und sie liegen unterhalb der Basis.
6) συμπέρασμα.
Also sind im gleichschenkligen Dreieck etc.
M. H.! ich habe dies Beispiel absichtlich gewählt, weil es zeigt, wie
turmhoch Euklid über den Beweisen unserer geometrischen Lehrbücher
steht, und weil aus Heibergs zitierter Arbeit über die Mathematik bei
Aristoteles folgt, dass hier ein bedeutender Fortschritt des E u k l e i d e s
über den T h e u d i o s vorliegt. Es fällt Euklid gar nicht ein den Satz zu
benutzen: wenn die Winkel gleich sind, so sind ihre Nebenwinkel gleich.
P r o k l o s fährt fort: Am notwendigsten aber und in allem vorhanden
sind die Vorlage, der Beweis und der Schluss. Denn man muss a) vorher
wissen, was zu suchen ist und b) es durch eine Kette von Schlüssen
beweisen und c) das Resultat einsammeln. Die andern Teile fehlen mitunter
wie Diorismos und Ekthesis bei dem Problem: Ein gleichschenkliges
Dreieck zu konstruieren, worin jeder Basiswinkel das Doppelte des Winkels
an der Spitze. Dies Fehlen tritt ein, sagt Proklos, wenn die Vorlage kein
Gegebenes enthält (d. h. wenn es ausgelassen ist) wie in dem zitierten
Beispiel die Basis des Dreiecks wie in B. X S. 20 eine 4. Wurzel zu
konstruieren (nämlich bei gegebener aber nicht erwähnter Einheitsstrecke).
Die Konstruktion aber fehlt in weitaus den Technologie der Elemente,
meisten Theoremen, da die Ekthesis hinreicht um Lemma, Porisma.
ohne einen Zusatz (nämlich von Zeichnung) das
Vorgesetzte (d. i. die Figur, um die es sich handelt) sichtbar zu machen. Hin
und wieder findet sich ein Hilfssatz, Lemma, (von λαμβάνω) und Zugaben,
Porisma. Lemma ist eigentlich in der Geometrie ein Satz, der noch des

Beweises bedarf, den wir für eine Konstruktion oder einen Beweis
einstweilen annehmen vorbehaltlich des Beweises, und der sich durch
diesen Vorbehalt von den Axiomen und Forderungen unterscheidet, welche
wir ohne dass sie bewiesen, zur Rechtfertigung anderer Sätze herbeiziehen.
Porisma ist ein Zusatz, der sich beim Beweis eines anderen als eine
»Gottesgabe« ungewollt von selbst ergibt, im wesentlichen also eine andere
Fassung des bewiesenen Satzes. Übrigens sind die meisten, ich möchte
sagen alle Lemmata und vielleicht auch die Porismata verdächtig, so fehlt
z. B. das Porisma zu I, 15: (Scheitelwinkel sind gleich) »Wenn zwei Gerade
einander schneiden, so sind die vier Winkel vier Rechten gleich«, obwohl es
sich bei Proklos findet in den besten Handschriften.
Zu bemerken ist, dass in den guten Handschriften sich weder
Überschriften noch Bezeichnungen der einzelnen Teile finden. Die Sätze
sind numeriert und dies ist sicher nicht original, da Euklid nicht auf die
betreffende Nummer verweist, sondern den einschlagenden Satz vollständig
angibt. Dies Schleppende der Darstellung veranlasste vermutlich die
Bezifferung und zwang zu Abkürzungen. Übrigens erklärt sich die Breite,
wenn man sich vergegenwärtigt, dass das Original zu mündlichem Vortrag
im Kolleg vor Studenten der Universität Alexandria bestimmt war. Und dies
ist ein Umstand, der bei der Klage über Euklid und Euklids Methode viel zu
wenig berücksichtigt ist; das Buch war für reife Männer bestimmt nur die
Torheit der Scholarchen hat aus einem der tiefsinnigsten Werke aller Zeiten
ein Buch für Schulknaben gemacht.
Die Inhaltsangabe sei ganz kurz als Schluss Euklids Elemente, Buch 1 bis
angefügt. Buch 1, das bedeutendste, zerfällt in 5.
drei der Ausdehnung nach sehr ungleiche Teile.
Satz 1–26 die wichtigsten Sätze über Dreiecke und Winkel mit den drei
Kongruenzsätzen und unabhängig vom Parallelenaxiom; Satz 27–33
Parallelentheorie mit Satz 32 Winkelsumme; Satz 34–48 die
Flächenvergleichung, (47 Pythagoras, 48 seine Umkehrung).
Das 2. Buch ist längst als geometrische Algebra erkannt, in
Ausführung des Pythagoras wird das Rechnen mit Flächen gelehrt, z. B. √
a2 + b2, √a2 - b2, dann die Multiplikation von Aggregaten, es geht bis zur
Auflösung quadratischer Gleichungen in geometrischer Einkleidung,
zunächst nur im speziellen Fall und endet mit dem geometrischen

Existenzbeweis der Quadratwurzel durch die Verwandlung des Rechtecks in
ein Quadrat.
Das 3. Buch handelt vom Kreis, aber die Kreisberechnung wird nicht
gelehrt.
Buch 4 handelt von den dem Kreis ein- und umgeschriebenen Figuren,
speziell von der Kreisteilung; es geht bis zur Konstruktion des regulären
15Ecks (ebenso wie wir: 125 = 13 - 15 ) S. 16; der dadurch merkwürdig ist, dass
sogar die Analyse in die Konstruktion verwebt ist. Das 4. Buch hat seine
Fortsetzung im Anfang des 12. Buches, wo in Satz 2: »Kreise verhalten sich
wie die Quadrate ihrer Durchmesser«, alles steht, was bei Euklid über die
Quadratur des Zirkels vorkommt.
Das 5. Buch enthält die Lehre vom
Euklids Elemente, Buch 5 und
Verhältnis und der Gleichheit der Verhältnisse 6.
(Proportionen) gleichartigen Grössen in
vollständiger Allgemeinheit. Es ist mit grösster Wahrscheinlichkeit ein
Werk des E u d o x o s und scheint nur wenig von Euklid überarbeitet zu
sein, da wo statt λέγεται steht καλεισθω. Auf sein höheres Alter deutet noch
das Ringen mit dem Ausdruck und die oft schwer verständliche Fassung der
Sätze hin. Es fehlt die Definition des Begriffes »kontinuierliche Grösse«,
sie war aber durch A r i s t o t e l e s gegeben, vermutlich auch von Eudoxos.
Clavius (Ausgabe von 1607 p. 436) hebt wie Campanus S. 3 hervor, dass
dem 5. Buch ein Axiom zugrunde liegt, welches Clavius formuliert: Quam
proportionem habet magnitudo aliqua ad aliam, eandem habet quaevis
magnitudo proposita ad aliquam aliam, et eandem habebit quaepiam alia
magnitudo ad quamvis magnitudinem propositam. — »Das Verhältnis, das
irgend eine Grösse zu einer andern hat, das wird jede beliebige
g e g e b e n e Grösse zu irgend einer andern haben und eben dasselbe wird
irgend eine Grösse zu jeder gegebenen Grösse haben«. Es ist das Axiom im
Grunde nichts anderes als die Umkehrung des Weierstrass'schen Axioms:
Zu jedem Punkt in der Zahlenreihe gibt es eine Zahl. E s w i r d z w a r
immer behauptet, die Hellenen hätten in der
Irrationalzahl keine Zahl gesehen, aber aus dem 5.
Buch geht unwiderleglich hervor, dass sie den
Zahlbegriff in voller, fast wörtlich mit der
We i e r s t r a s s ' s c h e n Auffassung sich deckender
Schärfe besassen und dass Euklid wie Eudoxos im

Ve r h ä l t n i s z w e i e r g l e i c h a r t i g e r G r ö s s e n n i c h t s
a n d e r e s s a h e n a l s e i n e Z a h l . Und das erhellt schon aus dem
Kunstausdruck »λόγος« für Verhältnis; denn Logik ist die Rechnung,
Logistik die Rechenkunst und Logos heisst im Grunde nichts anderes als
Masszahl einer Grösse in bezug auf eine andere.
6. Buch: Ähnlichkeitslehre. Mit dem 6. Buch schliessen die
eigentlichen planimetrischen Bücher; wohl kommen noch einzelne
planimetrische Sätze in den stereometrischen Büchern vor, wie z. B. die auf
die stetige Teilung bezüglichen Sätze XIII, 1–12 und besonders der Satz
XII, 1 und 2, aber sie werden doch nur zum Zweck ihrer Verwendung für
stereometrische Konstruktionen und Satze gegeben.
Nachdem so die Planimetrie zu einem gewissen Abschluss gekommen
war, sind die Bücher 7, 8, 9 der Arithmetik oder eigentlich besser der
Zahlentheorie gewidmet.
Das 7. Buch knüpft geistig an die Lehre von den Verhältnissen an und
lehrt den Algorithmus des Aufsuchens des grössten gemeinsamen Teilers,
auf dem unsere ganze Zahlentheorie ruht, gerade so wie wir noch heute,
durch die Kette von Teilungen.
Buch 8 behandelt die Proportionen noch Euklid, Elemente, Buch 8 bis
ausführlicher, d. h. die Lehre von den 12.
Gleichungen ersten Grades.
Das 9. Buch beschäftigt sich besonders mit den Primzahlen und enthält
den Satz, der der ganzen Entwicklung nach für Eigentum des Euklid
gehalten werden muss, den einfachen Beweis, dass die Menge der
Primzahlen unendlich: Entweder 1 · 2 · 3 · ... p + 1 ist keine Primzahl, dann
ist sie durch eine Primzahl > p teilbar oder sie ist prim. Die erste Zahl die
keine Primzahl ist, gibt 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031, die zweite das
Produkt der Primzahlen von 2 bis 17 + 1, welche schon durch 19 teilbar ist.
Das 10. Buch zum Teil von Theätet herrührend, handelt ausführlich
von den Irrationalzahlen, welche mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind,
d. h. im Grunde von den Gleichungen 4. Grades, welche sich auf
quadratische reduzieren, dabei kommt auch die allgemeine Lösung des
2 2 2 2
Pythagoras gleichzeitig vor durch die Formeln: αβγ; α β 2- α γ ; α β 2+ α γ . Der
letzte Satz gibt dann den geometrischen Beweis von der
Inkommensurabilität von Seite und Diagonale des Quadrats.

Das 11., 12., 13. Buch sind dann die stereometrischen Bücher. 11.
Buch die Anfangsgründe, der granitne Satz vom Lote auf der Ebene, dann
die dreiseitige Ecke, das Parallelepipedon, das Prisma.
Das 12. Buch enthält im wesentlichen Körperberechnung, d. h. es gibt
nicht die wirklichen Formeln, sondern beweist nur, dass Pyramide bezw.
Kegel 1/3 vom Prisma bezw. Cylinder sind, beweist als Lemma mittelst des
Exhaustionsbeweis, den er Buch 10 formuliert hat: »Sind zwei ungleiche
Grössen gegeben und nimmt man von der grösseren die Hälfte weg und so
fort, so kommt man zu einem Reste, welcher kleiner ist als die gegebene
kleinere Grösse« dass Kreise sich wie die Quadrate ihrer Durchmesser
verhalten und damit dass Kugeln sich wie die Kuben ihrer Durchmesser
verhalten.
Buch 13 behandelt die platonischen Körper
Euklid, Elemente Buch 13.
und gibt einleitend 12 Sätze, die das Thema von
Buch 6, die Kreisteilung oder die Konstruktion regulärer Polygone, noch
einmal aufnehmen und geht dann auf die regulären Körper ein; es schliesst
mit dem schon hervorgehobenen Beweis der Nichtexistenz eines sechsten
regulären Körpers. Wir könnten auf Euklid denselben Schlusssatz wie bei
Platon anwenden, Euklid hat das unscheinbare aber unerschütterliche
Fundament geschaffen, auf dem sich der stolze Bau des Archimedes
erheben konnte, dem wir uns jetzt zuwenden.
An Euklid, dem »Stoicheiotes«, schliesst Archimedes (vita).
sich A r c h i m e d e s an, der Erzdenker, wie ich
seinen Namen übersetze, der princeps matheseos des Altertums und
vielleicht aller Zeiten, der nur an Galilei, Gauss, Newton und Fermat seines
Gleichen hat. Gleich gross als Mathematiker, Physiker, Mechaniker und
Astronom. Auch von s e i n e m Leben wissen wir wenig, eine Biographie
seines Zeitgenossen Herakleides, welche dem Eutokios noch vorlag, ist
völlig verloren. Das Todesjahr steht fest, er fiel bei der Einnahme seiner
Vaterstadt Syrakus durch. Marcellus der Roheit eines Soldaten zum Opfer;
also 212, und zwar hochbetagt; zum Schmerz des Marcellus, der
ausdrücklich befohlen hatte des Archimedes zu schonen. T z e t z e s sagt,
(chiliad. II, 36, 105) im Alter von 75 Jahren, dann war er 287 geboren,
jedenfalls hochbetagt. Sein Vater soll der Astronom Pheidias gewesen sein
und dann wäre auch Archimedes gleich wie Aristoteles auf die exakten
Wissenschaften erblich hingewiesen. P l u t a r c h erzählt im Leben des