Die hauptsächlichsten Theorien der Geometrie (German) Gino Loria 290 downloads.pdf

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Theorien der Geometrie
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Title: Die hauptsächlichsten Theorien der Geometrie

Author: Gino Loria

Translator: Fritz Schütte

Release date: September 14, 2010 [eBook #33726]

Language: German

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*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE
HAUPTSÄCHLICHSTEN THEORIEN DER GEOMETRIE ***

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DIE HAUPTSÄCHLICHSTEN

THEORIEN DER GEOMETRIE
IN IHRER FRÜHEREN

UND

HEUTIGEN ENTWICKELUNG.
HISTORISCHE MONOGRAPHIE

VON

Dr. GINO LORIA,

PROFESSOR DER HÖHEREN GEOMETRIE AN DER UNIVERSITÄT
ZU GENUA.

———

UNTER BENUTZUNG ZAHLREICHER ZUSÄTZE UND
VERBESSERUNGEN SEITENS DES VERFASSERS

INS DEUTSCHE ÜBERTRAGEN

VON

FRITZ SCHÜTTE.
MIT EINEM VORWORTE VON PROFESSOR R. STURM.

LEIPZIG,

VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1888.

Druck von B. G. Teubner in Dresden.

Seiner teueren Mutter
als schwaches Unterpfand inniger Liebe

widmet diese Arbeit
der Verfasser.

Vorwort.
———

Diese deutsche Übersetzung der im vergangenen Jahre in den Memorie
della Reale Accademia delle Scienze di Torino (Ser. II, Bd. 38)
erschienenen Monographie des Herrn G i n o L o r i a: Il passato e il presente
delle principali teorie geometriche, welche mein Schüler Herr F r i t z
S c h ü t t e angefertigt hat, begleite ich gern mit einem empfehlenden
Vorworte, nachdem ich sie mit der Originalschrift und den handschriftlichen
Zusätzen und Verbesserungen des Herrn Verfassers in Bezug auf ihre
Richtigkeit verglichen habe.
Eine Geschichte der Geometrie unserer Zeit, in der jedes Jahrzehnt uns
mehr vorwärts bringt, als es früher in einem Jahrhundert geschah, welche
uns zu ungeahnten allgemeinen Anschauungen geführt hat, zu besitzen, ist
der Wunsch aller Geometer; aber wir wissen auch alle, wie unvergleichlich
schwerer die Aufgabe, eine solche zu schreiben, heute ist als vor fünfzig
Jahren, wo der Aperçu historique von C h a s l e s erschien.
Herr L o r i a will seine »Chronik«, wie er seine Schrift in der Einleitung
nennt, nur als eine Vorarbeit angesehen haben, welche zur Inangriffnahme
des großen Werkes der Abfassung einer Geschichte der modernen
Geometrie anspornen und diesem Werke dienen soll. Der Umfang, den er
zunächst seiner Arbeit gegeben hat, bringt es, wie er selbst mehrfach
bemerkt, freilich mit sich, daß die Darstellung bisweilen auf eine bloße
Aufzählung von Namen und Schriften hinausläuft. Aber auch in diesem
engeren Rahmen ist es, meine ich, dem Verfasser gelungen, dem Leser, als
welchen ich mir in erster Linie einen Studierenden vorstelle, der schon
etwas über die Anfänge hinaus ist, eine anschauliche Übersicht der
hauptsächlichsten Untersuchungsrichtungen der Geometrie unserer Zeit
vorzuführen; für alle Geometer aber werden die reichhaltigen
Litteraturnachweise von großem Werte sein. Etwaige Lücken in denselben

wird jeder, der unsere fast unübersehbare und den wenigsten vollständig
zugängliche mathematische Litteratur kennt, dem Verfasser nicht
anrechnen, und jede Mitteilung einer wesentlichen Verbesserung oder
Ergänzung wird er gewiß gern entgegennehmen, um seine Schrift noch
wertvoller zu machen, falls ihr eine neue Auflage beschieden würde.
Die Veränderungen, welche diese Übersetzung im Vergleich mit dem
italienischen Originale aufweist, bestehen, außer stark vermehrten
Litteraturnachweisen, in einer viel eingehenderen Besprechung der
Differentialgeometrie im Abschnitte III und der Umarbeitung der auf die
Gestalt der Kurven und der Oberflächen und die abzählende Geometrie
bezüglichen Teile der Abschnitte II und III zu einem besonderen Abschnitte.

M ü n s t e r i. W., Ende Mai 1888.

R. Sturm.

Inhaltsverzeichnis.
———

Seite
Einleitung 1
I. Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts 3
II. Theorie der ebenen Kurven 21
III. Theorie der Oberflächen 31
Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und
IV. Oberflächen. Abzählende Geometrie 60
V. Theorie der Kurven doppelter Krümmung 71
VI. Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen 80
VII. Geometrie der Geraden 98
VIII. Nicht-Euklidische Geometrie 106
IX. Geometrie von n Dimensionen 115
Schluss 124
Abkürzungen für die häufig erwähnten Zeitschriften 130
Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit
angegeben ist 132

Einleitung.
———

»Après six mille années d'observations l'esprit humain n'est pas épuisé;
il cherche et il trouve encore afin qu'il connaisse qu'il peut trouver à
l'infini et que la seule paresse peut donner des bornes à ses
connaissances et à ses inventions.« — B o s s u e t.

Die Fortschritte der exakten Wissenschaft im allgemeinen und der
Mathematik im besonderen[1] sind in diesen letzten Zeiten so beträchtlich
gewesen, fortwährend folgen weitere nach, so schnell und unaufhaltsam,
daß sich lebhaft das Bedürfnis fühlen macht, einen Rückblick auf den schon
gemachten Weg zu werfen, welcher den Anfängern ein leichteres
Eindringen in die Geheimnisse derselben und den schon Vorgeschrittenen
ein sichereres Urteil gestattet, welches die Probleme sind, deren Lösung am
dringendsten ist.
Der Wunsch, diesem Bedürfnisse zu entsprechen, soweit es die Geometrie
anlangt, d. h. soweit es den höheren Teil unserer positiven Kenntnis betrifft
— da, wie Pascal sagte, tout ce qui passe la géométrie nous surpasse — ist
es, der mich veranlaßt, vorliegende Abhandlung zu schreiben.
Möge dieser unvollkommene Abriß die Veranlassung sein zu einer Schrift,
die der Erhabenheit ihres Zieles würdig ist; möge diese dürftige Chronik der
Vorläufer sein einer »Geschichte der Geometrie in unserem Jahrhundert«.

I.

Die Geometrie vor der Mitte des 19.
Jahrhunderts.
———

»Alle Entwickelungsstufen der Zivilisation sind so eng miteinander
verknüpft, daß man vergebens versuchen würde, irgend einen Zweig der
Geschichte von einer bestimmten Epoche ab zu studieren, ohne einen Blick
auf die vorhergehenden Zeiten und Ereignisse zu werfen.«[2] Wenn das im
allgemeinen wahr ist, so wird es doppelt der Fall sein »bei einer
Wissenschaft, die so konservativ ist, wie die Mathematik, welche das Werk
der vorhergehenden Periode nicht zerstört, um an dessen Stelle neue Bauten
zu errichten«.[3] Daher ist es unerläßlich, daß ich, bevor ich an das
eigentliche Thema dieser Abhandlung herantrete, d. h. bevor ich über die
moderne Geometrie spreche, kurz angebe, auf welche Weise die Geometrie
zu dem Standpunkte gelangt ist, von welchem ab ich vorhabe, ihre
Entwickelung eingehender zu verfolgen.
Den ersten Ursprung der geometrischen Untersuchungen festzustellen, ist
ein fast unausführbares Unternehmen. Die täglichen Erfahrungen jedes
denkenden Menschen führen auf eine so natürliche Weise zur Vorstellung
der einfacheren geometrischen Formen und zur Erforschung ihrer
gegenseitigen Beziehungen, daß man vergebens versuchen würde, den
Namen desjenigen zu nennen, der zuerst Geometrie betrieben hat, und
anzugeben, zu welcher Zeit sie entstanden ist. Daher sind die Kenntnisse,
welche man über die ersten Spuren dieser Disziplin hat, sehr unbestimmt;
wer sich vornimmt, sie festzustellen, den umhüllt, wenn nicht völlige
Finsternis, so doch nur ein wenig Dämmerlicht, welches ihm nur gestattet,
die Umrisse bedeutenderer Bruchstücke, welche sich den Unbilden der Zeit
entzogen haben, zu erkennen. So kann ein solcher feststellen, daß die
ältesten geometrischen Studien von den Ä g y p t e r n gemacht sind, und kann
die Erzählung Herodots wiederholen, nach welcher diesem Volke ein sehr

wirksamer Antrieb, sich mit Geometrie zu befassen, durch die periodischen
Überschwemmungen des Nils gegeben wurde, welche, indem sie die
Grenzen zwischen den kleinen Besitzungen, in die Ägypten unter seine
Einwohner verteilt war, verwischten, sie nötigten, dieselben jedes Jahr
wieder herzustellen.[4] Die Haltbarkeit dieser Hypothese, um die Thatsache
zu erklären, daß in Ägypten die Wissenschaft, von der wir handeln, eifrig
betrieben sei, wird durch die praktische Natur der Gegenstände bewiesen,
welche dort eingehender behandelt wurden: specielle Konstruktionen,
Messungen von Längen, Flächeninhalten, Volumen u. s. f.[5]
Indem die Kenntnisse der Ägypter nach Griechenland übergingen, erhielten
sie durch T h a l e s (640-540)[6] und die Anhänger der ionischen Schule,
welche er gründete, eine wissenschaftlichere Gestalt. Thales ist in der That
der erste, der sich damit beschäftigt hat, die von den Ägyptern entdeckten
Sätze und einige andere streng zu beweisen. Jedoch erhob sich die
Geometrie unter seinen Händen noch nicht zur wahren Wissenschaft; diese
Würde erlangte sie erst durch die Untersuchungen des P y t h a g o r a s (nach
einigen 569-470, 580-500 nach anderen) und seiner Schüler. Unglücklicher
Weise aber bestand eine der Regeln, welche die Pythagoräer strenge
beobachten mußten, darin, daß sie die Lehren, welche der Meister vortrug,
geheim halten mußten; daher kam es, dass der geometrische Teil derselben
allen, die nicht dieser Schule angehörten, unbekannt blieb. Aber nachdem
das Haupt gestorben war, da suchten seine Anhänger, als sie bei den inneren
Kämpfen, welche die Republiken Grossgriechenlands zerrissen, besiegt
worden waren, Zuflucht in Athen und offenbarten dort, von der Not
getrieben, die Geheimnisse, welche sie bis dahin so strenge verwahrt hatten.
Und der wohlthätige Einfluß einer grösseren Verbreitung dessen, was die
Pythagoräer von der Mathematik wußten, ist durch die wichtigen
Forschungen offenbar geworden, welche in der Folgezeit die griechischen
Gelehrten in der Periode, welche zwischen Pythagoras und P l a t o (429-348)
liegt, gemacht haben. Sie können in drei Kategorien geteilt werden, benannt
nach den berühmten Problemen: der Dreiteilung des Winkels, der
Verdoppelung des Würfels, der Quadratur des Kreises, und führten zur
Vervollkommnung des mehr elementaren Teiles der ebenen Geometrie.
P l a t o verdanken wir den ersten Anstoß zum methodischen Studium der
Stereometrie, und das ist nicht das Einzige, wofür der göttliche Philosoph

auf den Dank der Geometer Anspruch erheben könnte; denn ihm ist auch
die analytische Methode zuzuschreiben, deren Macht allen bekannt ist, und
seiner Schule (Akademie) die Lehre von den Kegelschnitten und, was nicht
weniger wichtig ist, die von den geometrischen Örtern.

Aus diesen gedrängten Angaben[7] wird man leicht entnehmen können, daß
die Bemühungen der angeführten Geometer zu einer Fülle von
Eigenschaften der Figuren und zu Methoden, sie zu erklären, geführt und
die Elemente für eine methodische Behandlung der Geometrie vorbereitet
hatten. Daher dauerte es nicht lange, daß vollständige Zusammenstellungen
dessen, was entdeckt war, erschienen. Von vielen kennen wir nur die
Existenz; nur eine einzige ist uns vollständig erhalten worden, die Elemente
des E u k l i d e s, und das glänzende Licht, welches von ihnen ausgeht, führt
uns zu der Vermutung, daß alle die anderen Zusammenstellungen durch die
Vergleichung mit ihnen verdunkelt sind.
Mit diesem Buche, welches nach zweitausend Jahren noch als einzig
angesehen wird, »von dem man für die Entwickelung der Jugend diejenigen
Resultate erhoffen kann, mit Rücksicht auf die bei allen zivilisierten
Nationen der Unterricht in der Geometrie eine solch bedeutende Stellung in
der Erziehung der Jugend inne hat«,[8] nimmt die wahre Wissenschaft der
Geometrie ihren Anfang. Es ist das granitene Piedestal, auf welchem der
großartige Bau der griechischen Mathematik sich erhebt, auf dessen Gipfel
sich die anderen Werke Euklids und die unsterblichen Arbeiten von
A r c h i m e d e s (287-212), E r a t o s t h e n e s (276-194) und A p o l l o n i u s (ca.
200 v. Ch.) befinden.[9]
Diese berühmten Gelehrten bezeichnen den Höhepunkt der griechischen
Wissenschaft; nach ihnen beginnt die Periode des Verfalles, ja sogar, trotz
einiger wichtiger Untersuchungen eines H i p p a r c h (161-126) und eines
P t o l o m a e u s (125 bis ungefähr 200), trotz der Arbeit eines genialen
Kommentators, wie P a p p u s war (derselbe lebte gegen Ende des dritten
Jahrhunderts unserer Zeitrechnung), kommen wir nach und nach zu einer
Periode völliger Unthätigkeit auf dem Gebiete der Geometrie.
Die Römer, die Eroberer und Gesetzgeber der Welt, scheinen jedes
Untersuchungsgeistes zu entbehren, und wenn die Geometrie in der Epoche,
in welcher sie herrschten, nicht ganz verfiel, so geschah das dank ihren

Agrimensoren, welche jedoch bei ihren Operationen nur eine Genauigkeit
zu erreichen suchten, die für die Bedürfnisse des täglichen Lebens
ausreicht.[10]
Auch das Mittelalter kann keine Veranlassung geben zu einer längeren
Erörterung. Die dichte Finsternis, welche in dieser Zeit die ganze
Menschheit bedeckte, gestattete nicht das Auftreten eines Gelehrten, dem
man irgend einen bemerkenswerten Fortschritt in der Geometrie verdankt.
Man kann nur erwähnen, daß die vielfachen in dieser Zeit errichteten
heiligen Bauwerke, die nach dem Ausspruche eines großen Dichters so
zahlreich und kühn waren, weil sie die einzigen der menschlichen
Intelligenz damals erlaubten Äußerungen darstellen, Kunde davon geben,
daß derjenige Teil unserer Wissenschaft, der jedem Baumeister
unentbehrlich ist, auch in dieser Zeit im allgemeinen bekannt war.
Diese für unsere Wissenschaft so traurige Zeit kann man als beendet
ansehen mit Leonardo F i b o n a c c i (etwa 1180-1250); erst als von diesem
ausgezeichneten Gelehrten die Algebra nach Europa übergeführt worden
war, und seine hervorragenden Arbeiten ihren Einfluß ausübten, da hatte
diese Periode der wissenschaftlichen Unthätigkeit ein Ende, und es beginnt
eine neue Zeit, deren wir Italiener uns mit Stolz erinnern müssen, da in ihr
unser Vaterland das Scepter der Mathematik inne hatte. Jedoch gravitierte
diese Periode, wenn sie auch von großer Bedeutung für die analytischen
Untersuchungen ist, nicht in merklicher Weise nach den geometrischen.
C a r d a n o (1501-1576), S c i p i o F e r r o (?-1525), T a r t a g l i a (1500-1559),
L u d o v i c o F e r r a r i (1522-1565) und andere weniger bedeutende, die
dieser Periode angehören, haben den Ruhm, in unserem Lande die
Entwickelung eines der wichtigeren Teile der Analysis, nämlich der Theorie
der Gleichungen, bewirkt zu haben, sowie auch die Vervollkommnung
einiger der schwierigsten Teile derselben gefördert zu haben, dank den
öffentlichen wissenschaftlichen Herausforderungen, welche eine
charakteristische Eigentümlichkeit dieser Zeit waren. Hingegen
überlieferten sie die Geometrie ihren Nachkommen fast in demselben
Zustande, in welchem sie dieselbe von den Griechen und den Arabern
erhalten hatten.[11]
Nach dem Tode dieser tapferen Kämpen ging der Primat in der Mathematik
über die Alpen und wurde von Frankreich infolge der Verdienste eines

V i e t a (1540-1603) und eines F e r m a t (1590-1663) übernommen. Durch
sie bereicherte sich die Geometrie mit Lösungen, die man vorher vergebens
gesucht hatte. Auch wurden einige Werke des Apollonius, deren Verlust
man beklagt hatte, wieder hergestellt.
Nicht viel später vermehrten P a s c a l (1623-1662) und D e s a r g u e s (1593-
1662) das Erbteil der Geometrie mit originellen Gesichtspunkten, mit neuen
Methoden und neuen Sätzen[12]. Aber die von ihnen ausgesprochenen Ideen
blieben viele Jahre hindurch unfruchtbar, weil sie von dem analytischen
Geiste, dessen überwiegender Einfluß sich schon geltend gemacht hatte,
unterdrückt wurden.
Gleichwohl war im 17. Jahrhundert das Vorwiegen der Analysis noch nicht
ein solches, daß es die Geometer die Probleme, deren Lösung man seit
langer Zeit und so lebhaft gewünscht hatte, vergessen ließ. Zwischen den
Bestrebungen dieser Zeit und den Wünschen der Gelehrten erhob sich in
der Folge ein Wettkampf eigener Art, und aus dem Zusammenstoße
verschiedenartiger Ansichten und Bestrebungen entsprang ein Funke, der
fähig war, eine Flamme zu erregen, welche die kommenden Generationen
erleuchten sollte;[13] es entstand die analytische Geometrie (1637).
Wenn man auch schon in einigen Methoden der griechischen Geometer, in
einigen praktischen Regeln der Maler, der ägyptischen Astronomen und der
römischen Agrimensoren Spuren von dem finden kann, was wir heute
rechtwinkliges Cartesisches Koordinatensystem nennen; wenn auch schon
die Araber und die italienischen Algebraiker aus der Renaissancezeit
geometrische Betrachtungen auf die Lösung der Gleichungen angewandt
hatten,[14] wenn auch schon V i e t a die Abscissen gebraucht hatte, um
vermittelst Zahlen die Punkte einer Geraden zu bestimmen, wenn
schließlich Nicolaus O r e s m e (ca. 1320-1382) und F e r m a t mehr oder
weniger bewußt sich der Koordinaten bedient haben; so scheint doch ganz
unbestreitbar D e s c a r t e s (1596-1650) der erste zu sein, welcher in ihrer
ganzen Ausdehnung die volle Einsicht von der Möglichkeit, mit den
algebraischen Rechnungszeichen die nach irgend einem Gesetze
aufgebauten Formen des Raumes darzustellen, gehabt und der den ganzen
Vorteil, den die Analysis und die Geometrie aus ihrer unerwarteten
Vereinigung ziehen können, erkannt hat. Mit Recht wird daher Cartesius'

Namen immer mit der Entdeckung der analytischen Geometrie verbunden
bleiben.[15]
Die Leichtigkeit, mit welcher dieses neue Werkzeug Fragen zu lösen
gestattete, welche die Alten für unangreifbar hielten, ließ die Zeitgenossen
und unmittelbaren Nachfolger Descartes' die von Euklides, Archimedes und
Apollonius eröffneten Wege ganz vergessen, so dass wir eine Zeitlang
niemanden finden, der, um zu irgend einer wichtigen Wahrheit zu gelangen,
sie eingeschlagen hätte.
Die kurz nach Descartes gleichzeitig von L e i b n i z (1646-1716) und
N e w t o n (1642-1727) neu erfundenen Rechnungsarten betonten gerade
diese Richtung, da sie bewirkten, daß man sich um diejenigen Probleme
nicht bekümmerte, deren Lösung nicht geeignet war, die Allmacht der
Methoden, welche die Welt diesen unsterblichen Geistern verdankt,
hervortreten zu lassen, derartig, daß man sagen kann, daß mit Ausnahme
der Philosophiae naturalis principia mathematica (1686) von N e w t o n und
einiger Seiten von H u y g e n s (1629-1695),[16] von L a H i r e (1640-1718),
[17] von H a l l e y (1656-1742),[18] M a c l a u r i n (1698-1746),[19] S i m p s o n

(1687-1768),[20] von S t e w a r t (1717-1785)[21] keine mathematische
Produktion jener Zeit dem angehört, was wir heute synthetische Geometrie
zu nennen pflegen.[22]
Das hindert aber nicht, daß man diese Periode ohne Bedenken zu den
erfreulichsten für die Geometrie rechnen muß. In der That ist der größere
Teil der Probleme, welche von den Erfindern der Infinitesimalrechnung und
ihren unmittelbaren Schülern aufgestellt oder gelöst worden, unter die
wichtigsten der ganzen Geometrie zu rechnen, da sie die interessantesten
und verstecktesten geometrischen und mechanischen Eigenschaften der
Kurven und Oberflächen berühren. Wir sehen daher, daß nicht allein die
Zahl der Kurven, welche einer näheren Betrachtung wert sind, sich
ausserordentlich vermehrt,[23] sondern auch — was viel wichtiger ist —,
daß die Betrachtung von Singularitäten einer Kurve und anderer neuer mit
dieser verbundener Elemente eingefübrt wird, und daß infolge dessen
Untersuchungsgebiete sich eröffnen, deren Existenz man vorher gar nicht
geahnt hatte.

Die Leichtigkeit, welche die Cartesische Methode in der Auflösung einer so
großen Anzahl von planimetrischen Aufgaben mit sich brachte, trieb
natürlich die Geometer an, eine ähnliche für das Studium der Raumkurven
und der Oberflächen zu schaffen. Daher entstand eine Verallgemeinerung
dieser Methode, welche Descartes schon angedeutet hatte, und die
S c h o o t e n (16..-1661)[24] in weiterer Ausführung veröffentlichte. Diese
Andeutungen ließen bei P a r e n t (1666-1716) den Gedanken entstehen, eine
Oberfläche durch eine Gleichung zwischen den drei Koordinaten eines ihrer
Punkte darzustellen,[25] und bereiteten deshalb die analytische Geometrie
dreier Koordinaten vor, welche im Jahre 1731 einen wesentlichen Teil der
Mathematik zu bilden begann infolge einer klassischen Abhandlung von
C l a i r a u t (1715-1765),[26] in welcher er im Alter von nur 16 Jahren mit
einer seltenen Eleganz viele von den auf die Kurven doppelter Krümmung
bezüglichen Problemen löste, welche ihre entsprechenden in der Ebene
finden. Bald nach Clairaut schuf E u l e r (1707-1783) die analytische
Theorie der Krümmung der Oberflächen (1760)[27] und wandte die
analytische Methode an, um eine Klassifikation der Oberflächen zweiten
Grades zu erhalten, gegründet auf analoge Kriterien, wie diejenigen, welche
den Alten dazu gedient hatten, die Kurven zweiter Ordnung in Ellipsen,
Parabeln und Hyperbeln zu unterscheiden. Endlich gehört der zweiten
Hälfte des vergangenen Jahrhunderts das riesige Werk von M o n g e (1746-
1818) an. Dieser verschaffte der analytischen Geometrie zweier
Koordinaten das Aussehen, welches sie heute besitzt, indem er den
methodischen Gebrauch der Gleichung einer Geraden einführte. Er stellte
den wichtigen Begriff von Flächenfamilien auf und, indem er einige
derselben behandelte (Regelflächen, abwickelbare, Röhrenflächen,
»Surfaces moulures«), entdeckte er einen versteckten innigen
Zusammenhang zwischen der Theorie der Oberflächen und der Integration
der partiellen Differentialgleichungen, was Licht in diese, wie in jene Lehre
brachte und den Geometern neue Gesichtspunkte enthüllte.[28]
Die geistige Bewegung, welche mit der Renaissancezeit begonnen und
Italien an ihrer Spitze hatte, pflanzte sich, wie wir schon gesehen haben,
zuerst unter Frankreichs Leitung fort, dann unter der von England und
Deutschland. Aber gegen Ende des 18. Jahrhunderts, als Euler aufgehört
hatte »zu rechnen und zu leben«,[29] stellte sich Frankreich wieder an die
Spitze der mathematischen Welt. Nicht allein mit C l a i r a u t, d ' A l e m b e r t

(1716-1783), L a g r a n g e (1736-1813), L a p l a c e (1749-1827), L e g e n d r e
(1752-1833), P o i s s o n (1781-1840) und anderen gab es den Anstoß zum
Studium der reinen und angewandten Analysis, sondern es kehrten auch mit
M o n g e, C a r n o t (1753-1823) und P o n c e l e t (1788-1867) die Gelehrten
zum Studium der geometrischen Formen zurück, in der Weise, wie es die
Alten verstanden.
Monge schuf, indem er zu einem wissenschaftlichen Ganzen die wenigen
Regeln vereinigte, welche die Baumeister und Maler sich geschaffen hatten,
um die Bedürfnisse der Kunst zu befriedigen, und glücklich die Lücken
ausfüllte, die sich zwischen ihnen noch bemerkbar machten, einen neuen
Zweig der Geometrie, die darstellende Geometrie. Mit seinem klassischen
Buche, welches er dieser Disziplin widmete,[30] und noch viel mehr mit
seinen unvergleichlichen Vorlesungen, die er an der polytechnischen Schule
hielt, brachte er das Studium der Geometrie, welches sich auf die direkte
Anschauung der Figur stützt, zu Ehren[31] und, indem er die Vorstellung der
geometrischen Figuren von drei Dimensionen erleichterte, machte er jene
systematische Anwendung von stereometrischen Betrachtungen auf das
Studium der ebenen Figuren möglich, welche Pappus schon erkannt hatte.
[32]

Der Géométrie descriptive von Monge darf man die Géométrie de position
von C a r n o t[33] an die Seite stellen, weil diese, indem sie mit jener das Ziel
gemeinsam hat, der Geometrie diejenige Allgemeinheit zu verschaffen,
welche man ausschließlich der Analysis zugetraut hatte, nicht weniger als
jene dazu beitrug, den Aufschwung der reinen Geometrie vorzubereiten,
welchen man von dem Erscheinen des Traité des propriétés projectives des
figures (1822)[34] datieren kann.
Um zu überzeugen, wie bemerkenswert dieses Datum sei, wird es genügen,
zu erwähnen, daß gerade in dem großen Werke von P o n c e l e t die Macht
der Zentralprojektion als einer Methode der Demonstration und des Prinzips
der Kontinuität als eines Untersuchungsmittels zum ersten Male gezeigt ist;
[35] daß das tiefere Studium der Homologie zweier ebener oder räumlicher

Systeme in demselben zum Begriffe der Korrespondenz zwischen zwei
Mannigfaltigkeiten zweier oder dreier Dimensionen führte; daß die
Kenntnisse der Alten über die Polarität in Bezug auf einen Kegelschnitt und

die von der Mongeschen Schule gewonnenen über die Polarität in Bezug
auf eine Fläche zweiter Ordnung, die dort zum ersten Male sich vereinigt
finden, das Gesetz der Dualität vorbereiteten, welches, von S n e l l i u s
(1581-1626)[36] und V i è t e[37] in der sphärischen Geometrie erkannt,
bestimmt war, in seiner ganzen Allgemeinheit vier Jahre später von
G e r g o n n e (1771-1859)[38] ausgesprochen zu werden; daß sich schließlich
dort jene eleganten Untersuchungen über die Vielecke, die einem
Kegelschnitt ein- und einem anderen umbeschrieben sind, finden, die
J a c o b i (1804-1851), R i c h e l o t (1808-1875) und anderen Gelegenheit
geben sollten, davon eine der elegantesten Anwendungen der Theorie der
elliptischen Funktionen zu machen, welche man kennt.[39]
Die Abhandlungen, welche P o n c e l e t der Theorie der harmonischen Mittel,
der reciproken Polaren und der Transversalen widmete, sowie andere
weniger bedeutende von Gelehrten, welche zur M o n g e schen Schule
gehörten, führen uns zum Jahre 1837, in welchem C h a s l e s' (1796-1880)
Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en
géométrie[40] veröffentlicht wurde. In diesem unübertrefflichen Werke
brachte der Autor, nachdem er in bewunderungswerter Form alles, was das
Erbteil der reinen Geometrie in seiner Zeit bildete, zusammengestellt hatte,
die Rechte zur Geltung, die sie auf die Beachtung der Gelehrten hatte und
welche von den blinden Anbetern der Analysis ihr versagt worden waren,
und zeigte durch wichtige und originelle Untersuchungen, mit welchem
Rechte er sich zum Beschützer der Sache der Geometrie gemacht hatte.[41]
Jedoch in dem Zeitraume, welcher zwischen dem Erscheinen des
Ponceletschen Werkes und desjenigen von Chasles liegt, hatte sich
Deutschland aus dem Schlafe gerüttelt, in welchen die einschläfernden
Arbeiten der Schule der Kombinatoriker es versetzt hatten. Dieses
Wiedererwachen bedeutete einen neuen Übergang des Szepters der
Mathematik von Frankreich nach Deutschland.[42] In der That sehen wir
durch die Arbeiten von Gelehrten wie M ö b i u s (1790-1868),[43] S t e i n e r
(1796-1863),[44] P l ü c k e r (1801-1868)[45] und v o n S t a u d t (1798-1867)[46]
die analytische Geometrie sich mit Methoden bereichern, von denen wir
nicht wissen, ob wir mehr ihre Eleganz oder ihre Macht bewundern sollen,
so der Barycentrische Calcul und die abgekürzte Bezeichnung; wir sehen
die synthetische Geometrie Hilfsmittel erwerben für das Studium, der

Kurven und Oberflächen, die bis dahin für dieselbe unerreichbar waren,
sowie für die Gründung einer reinen Geometrie der Lage, die ganz und gar
unabhängig ist von dem Begriffe des Maßes. Dank dem von C r e l l e (1780-
1855) in dieser Zeit gegründeten Journal (1826), das bald zu verdientem
Rufe gelangte, vorzüglich durch die Abhandlungen A b e l s (1802-1829),
J a c o b i s und S t e i n e r s verbreiteten sich die eben angeführten Resultate
schnell. Und so sehen wir hinter diesen Größen eine zahlreiche und
glänzende Anzahl von Schülern, welche, indem sie Ähren lasen auf den
Feldern, die von ihren Meistern bebaut waren, die Fruchtbarkeit des
Samens zeigten, den jene ausgestreut hatten.

Hiermit will ich den Abriß der geistigen Bewegung, welche die neuesten
geometrischen Untersuchungen vorbereitet hat, geschlossen haben und ich
muß mich nun im einzelnen mit denselben befassen. Um mir nun die
vorgenommene Aufgabe der Darlegung derselben zu erleichtern, werde ich
meine Darstellung in verschiedene Teile teilen. Zuerst will ich mich mit der
Theorie der ebenen Kurven und der Oberflächen beschäftigen, dann, nach
einer kurzen Abschweifung zu den Untersuchungen über die Gestalt der
Kurven und Oberflächen und über die abzählende Geometrie, werde ich
mich mit den Studien über die Raumkurven befassen, um davon zur
Darlegung des Ursprunges und der Entwickelung der Lehre von den
geometrischen Transformationen überzugehen; darauf wende ich mich zur
Geometrie der Geraden, um dann mit der Nicht-euklidischen Geometrie
und der Theorie der Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen zu
schließen.[47]

II.

Theorie der ebenen Kurven.
———

Die allgemeine Theorie der ebenen Kurven entstand zugleich mit der
cartesischen Geometrie. Es ist leicht die Gründe für die Thatsache
anzugeben, daß das Erscheinen einer so wichtigen Theorie sich bis zu
diesem Zeitpunkte verzögert hatte. In der That sind ja die Definition der
Ordnung einer Kurve, die daraus folgende Einteilung der Kurven in
algebraische und transcendente, der exakte Begriff einer in ihrer Ordnung
allgemeinen Kurve ihrer Natur nach wesentlich analytische Begriffe. Sie
synthetisch zu bestimmen, ist ein sehr schweres Problem, welches
heutzutage erst den wiederholten Anstrengungen der Geometer zu weichen
sich anschickt; dagegen, wenn man ein Koordinatensystem anwendet, eine
wie leichte Sache ist es dann, diese fundamentalen Begriffe festzustellen,
sie unter einander zu verbinden und aus ihnen interessante Folgerungen zu
ziehen!
Die Wahrheit dieser Behauptung finden wir durch die Thatsache bestätigt,
daß kurz nach Descartes wichtige Eigenschaften, die allen algebraischen
Kurven gemeinsam sind, entdeckt wurden. Solche sind z. B. diejenigen,
welche N e w t o n in den drei berühmten Theoremen, die in seiner
Enumeratio linearum tertii ordinis (1706) enthalten sind, bekannt gemacht
hat; ferner diejenigen, welche Newtons Schüler C o t e s (1682-1716) und
M a c l a u r i n als eine Verallgemeinerung der von N e w t o n entdeckten
Eigenschaften gaben;[48] schließlich die von W a r i n g (1734-1798)[49]
gefundenen. Überdies wurden noch von M a c l a u r i n[50] und
B r a i k e n r i d g e (etwa 1700, † nach 1759)[51] einige interessante organische
Erzeugungsweisen von Kurven hinzugefügt, die ähnlich denjenigen waren,
welche N e w t o n für die Kegelschnitte gegeben hat.[52] Endlich wurden von
D e G u a (1712-1786)[53] Methoden für die Bestimmung der Singularitäten
der durch Gleichungen definierten ebenen Kurven angegeben.

Es ist überflüssig zu sagen, daß die ersten methodischen Bearbeitungen der
Theorie der ebenen Kurven unter dem Einflüsse der analytischen Geometrie
stehen; wir verdanken solche E u l e r[54] und C r a m e r (1704-1752)[55]. Diese
studierten dieselben von Grund auf (kurz nacheinander, der eine 1748, der
andere 1750), indem sie sich vorzugsweise mit den Singularitäten befaßten,
besonders mit den Fragen, welche man heute mit Hilfe der Geometrie des
unendlich Kleinen löst. In dem Werke von Cramer, das in vielen
Beziehungen zu bewundern ist, finden wir auch schon die ersten
Untersuchungen über die Schnitte von Kurven und unter diesen auch den
Hinweis auf das, was man später »das C r a m e r sche Paradoxon« genannt
hat; das ist jener scheinbare Widerspruch zwischen der Zahl der Punkte, die
zur Bestimmung einer Kurve von gegebener Ordnung nötig sind, und der
Zahl der Schnitte zweier Kurven derselben Ordnung,[56] ein Widerspruch,
welcher viele Jahre später (1818) von L a m é (1795-1870) durch das
berühmte Prinzip aufgehoben wurde, welches seinen Namen trägt und das
man als den Grundstein jenes gewaltigen Bauwerkes ansehen muß, welches
aus einer Fülle von Lehrsätzen von G e r g o n n e,[57] P l ü c k e r,[58] J a c o b i,
[59] C a y l e y[60] errichtet ist, und auf dessen Gipfel die geometrische

Interpretation des berühmten A b e l schen Theorems[61] steht.
Nach den Arbeiten E u l e r s, C r a m e r s und dem Examen des différentes
méthodes employées pour résoudre les problèmes de géométrie, in welchem
L a m é mit großem Erfolge das vorhin angeführte Prinzip
auseinandergesetzt und angewandt hatte, müssen wir uns zu P l ü c k e r
wenden, um zu Arbeiten zu kommen, welche einen bemerkenswerten
Fortschritt in der Theorie, die uns beschäftigt, bewirken. In dem im Jahre
1835 von diesem ausgezeichneten Geometer veröffentlichten System der
analytischen Geometrie ist von der Methode der abgekürzten Bezeichnung
Gebrauch gemacht und dieselbe für die Vervollständigung der
Klassifikation der kubischen ebenen Kurven benutzt worden, welche so
viele bedeutende Gelehrte unternommen hatten. In der vier Jahre später
gedruckten Theorie der algebraischen Kurven[62] findet sich dann noch
außer einer Aufzählung der ebenen Kurven vierter Ordnung,[63] welche
B r a g e l o g n e (1688-1744)[64] und E u l e r[65] nur versucht hatten, die
Aufstellung und Lösung einer Frage von sehr großer Wichtigkeit,
derjenigen nämlich, die Beziehungen zwischen den Zahlen der

gewöhnlichen Singularitäten einer ebenen Kurve zu finden. Schon
P o n c e l e t hatte (1818) den Zusammenhang zwischen der Ordnung und der
Klasse einer allgemeinen Kurve ihrer Ordnung gefunden und später den
Einfluß eines Doppelpunktes bestimmt; indem er nun auf diese Resultate
das Prinzip der Dualität anwandte, stieß er auf jenen anderen scheinbaren
Widerspruch, welchen wir heute das Ponceletsche Paradoxon nennen, ohne
daß es ihm gelang, dafür eine vollständige Erklärung zu finden. Das
geschah durch P l ü c k e r vermittelst der berühmten nach ihm benannten
Formeln, welche gestatten, drei Charakteristiken einer Kurve zu finden
(Ordnung, Klasse, Zahl der Doppelpunkte, der Doppeltangenten, Zahl der
Wendetangenten und der Rückkehrpunkte), wenn man die übrigen kennt.
Auf die Frage, welche in einem gewissen Sinne reciprok zu der durch die
P l ü c k e r schen Formeln gelösten ist, ob jeder Lösung derselben eine
wirkliche Kurve entspreche, mußte man negativ antworten, da neuere
Untersuchungen dargethan haben, daß für gewisse Kurven (die rationalen
Kurven) die Zahl der Rückkehrpunkte eine gewisse Grenze nicht
übersteigen kann.[66]
Auf der anderen Frage, die Plückerschen Formeln auf eine Kurve
auszudehnen, welche mit Singularitäten höherer Ordnung ausgestattet ist,
beruhen die Untersuchungen von C a y l e y und anderen,[67] welche zu dem
Schlüsse geführt haben, daß jede Singularität einer Kurve als äquivalent
einer gewissen Anzahl von Doppelpunkten, Spitzen, Wendetangenten und
Doppeltangenten betrachtet werden kann.

Ich füge noch hinzu, daß man durch J a c o b i,[68] H e s s e (1811-1874),[69]
S a l m o n,[70] C a y l e y[71] und deren zahlreiche Kommentatoren[72] heute im
Besitze eleganter Methoden ist, um analytisch die Wendepunkte einer durch
eine Gleichung gegebenen Kurve, sowie die Berührungspunkte ihrer
Doppeltangenten anzugeben.

Dank dem einen der überaus wertvollen Lehrbücher,[73] mit welchen
S a l m o n so gewaltig zur Verbreitung der neuesten algebraischen und
geometrischen Methoden beigetragen hat, ist es heutzutage leicht, sich über
diese und viele andere Fragen, welche sich auf die analytische Theorie der
ebenen Kurven beziehen, eine genaue Kenntnis zu verschaffen.

Man braucht aber nicht zu glauben, daß bei diesem Studium der
fortwährende Gebrauch der Analysis unumgänglich sei; vielmehr erhob sich
bald neben der Darlegung der Theorie der ebenen Kurven durch E u l e r,
C r a m e r, P l ü c k e r, S a l m o n eine ebenso vollständige, aber mehr
geometrische Theorie.
In einer berühmten Mitteilung, die im Jahre 1848 der Berliner Akademie
gemacht wurde, zeigte S t e i n e r, indem er die Theorie der Polaren eines
Punktes in Bezug auf eine Kurve wieder aufnahm, welche B o b i l l i e r
(1797-1832) schon vordem[74] als eine Erweiterung der Diametralkurven
Newtons und Cramers aufgestellt, und mit welcher auch G r a ß m a n n
(1809-1877) sich beschäftigt hatte,[75] daß dieselbe als Grundlage für ein
vom Gebrauche der Koordinaten unabhängiges Studium der ebenen Kurven
dienen kann, und führte jene bemerkenswerten zu einer gegebenen Kurve
covarianten Kurven ein, die heute seinen, Hesses und Cayleys Namen
tragen. Diese kurzen Andeutungen, verbunden mit den Untersuchungen von
S t e i n e r selbst, von C h a s l e s[76] und J o n q u i è r e s[77] über die Entstehung
der algebraischen Kurven vermittelst projektiver Büschel von Kurven
niederer Ordnung, dienten als Grundlage für die Introduzione ad una teoria
geometrica delle curve piane,[78] in welcher C r e m o n a in einer
einheitlichen Methode zugleich mit vielen neuen Resultaten alles
auseinandersetzt, was wichtigeres von den analytischen Geometern, die ihm
vorhergingen, erhalten worden war.
Bei dem außerordentlichen Interesse der Sache scheint es mir auch, daß
man in die Reihe der schon zitierten Arbeiten auch die Serie von
Abhandlungen zu stellen hat, in welchen C l e b s c h (1833-1872) zuerst die
Algebra der linearen Transformationen auf die Geometrie angewandt hat,
dann, nachdem er die Wichtigkeit des Begriffes des Geschlechtes einer
Kurve ins Licht gestellt, die Anwendung der Theorie der elliptischen[79] und
Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft von der Ausdehnung darlegte
und sie für das Studium der rationalen und elliptischen Kurven benützte.[80]
Es ist wahr, daß B r i l l und N ö t h e r in einer Abhandlung,[81] deren
Bedeutung von Tag zu Tag wächst, gezeigt haben, daß die Theorie der
algebraischen Funktionen in vielen Fällen die der eben angeführten
Transcendenten ersetzen kann, aber das vermindert nicht, sondern
vergrößert vielmehr das Verdienst, welches man den Methoden von

C l e b s c h zuerkennen muß, da die von hervorragenden Geistern gemachten
Anstrengungen, den Gebrauch eines Hilfsmittels vermeiden zu können, der
überzeugendste Beweis der Macht desselben sind.
Die bis jetzt besprochenen Arbeiten behandeln a l l g e m e i n e Eigenschaften
der ebenen algebraischen Kurven.[82] Aber an sie reiht sich eine große
Menge von schönen Spezialabhandlungen, welche eine bestimmte
Kategorie von Kurven behandeln; auf diese wollen wir einen kurzen Blick
werfen.

Unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von M a c l a u r i n,[83] von
S y l v e s t e r,[84] C a y l e y,[85] S a l m o n,[86] D u r è g e,[87] C r e m o n a,[88] von
S t u r m,[89] von K ü p p e r,[90] G r a ß m a n n,[91] M i l i n o w s k i[92] und von
anderen über die Kurven dritter Ordnung,[93] die Kapitel des
Barycentrischen Calculs, dann verschiedene Arbeiten von E m. W e y r,[94]
von C l e b s c h und vielen anderen[95] über die rationalen Kurven; die
wichtigen Untersuchungen S t e i n e r s und C h a s l e s ' über die Kurven, die
mit einem Centrum versehen sind,[96] und die von S t e i n e r über die
dreispitzige Hypocykloide;[97] ferner die Arbeiten, welche dem Beweise
oder der Verallgemeinerung der dort ausgesprochenen Eigenschaften
gewidmet sind,[98] die interessanten Untersuchungen von B e r t i n i[99] über
rationale Kurven, für welche man willkürlich die vielfachen Punkte
bestimmen kann, die wichtigen Studien von B r i l l über die Kurven vom
Geschlechte zwei,[100] dann die eleganten Abhandlungen von K l e i n und
L i e[101] über die Kurven, welche eine infinitesimale Transformation in sich
selbst zulassen, endlich die von F o u r e t über die Kurven, welche die
eigenen reciproken Polaren in bezug auf unendlich viele Kegelschnitte sind,
[102] und die von S m i t h (1826-1883) über die Singularitäten der

Modularkurven.[103]
Neben diesen verdient dann noch eine hervorragende Stelle die Abhandlung
von S t e i n e r über die einer ebenen kubischen Kurve[104] oder einer Kurve
vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten eingeschriebenen Vielecke, auf
welche die jüngsten Arbeiten von K ü p p e r[105] und S c h o u t e[106] von
neuem die Aufmerksamkeit der Gelehrten gelenkt haben. Die Knappheit
des Raumes nötigt mich, flüchtig hinwegzugehen über die Untersuchungen

von C a y l e y On polyzomal Curves otherwise the Curves √u + √v + ... = 0;
[107] von G r a ß m a n n, C l e b s c h,[108] S c h r ö t e r[109] und D u r è g e,[110]

betreffend die Erzeugung ebener Kurven dritter Ordnung, über die von
L ü r o t h,[111] von C a s e y,[112] D a r b o u x,[113] S i e b e c k,[114] von C r o n e,
[115] Z e u t h e n[116] und noch anderen über einige spezielle ebene Kurven

vierter Ordnung, über die von B a t t a g l i n i, die sich auf die syzygetischen
Kurven dritter Ordnung beziehen,[117] und andere, welche auch eine
besondere Erwähnung verdienen würden.
Was ich aber nicht mit Stillschweigen übergehen kann, das sind die
Arbeiten von H e s s e über die Wendepunkte einer Kurve dritter Ordnung
und über die Gleichung, welche zu deren Bestimmung dient;[118] dann die
von demselben H e s s e,[119] S t e i n e r,[120] A r o n h o l d[121] (1819-1884) über
die Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung, welche eine
hervorragende Stelle verdienen, da sie viele bemerkenswerte Eigenschaften
derselben ins Licht gestellt haben; dieselben wurden darauf von G e i s e r[122]
durch stereometrische Betrachtungen dargethan, von C l e b s c h[123] dagegen
und R o c h[124] vermittelst der Theorie der Abelschen Funktionen
untersucht.

III.

Theorie der Oberflächen.
———

Das Streben nach Verallgemeinerung, welches die geometrischen
Untersuchungen leitete, seitdem sich der Einfluß der Analysis auf dieselbe
mehr oder weniger offen geltend gemacht, trieb alsbald die Gelehrten dazu,
sich mit den Erscheinungen des Raumes zu beschäftigen, welche Analogien
mit den schon in der Ebene betrachteten darbieten. Daher sehen wir denn
auch die Forschungen über die Oberflächen bald denen über die ebenen
Kurven folgen. Die Theorie dieser Gebilde ist jedoch neueren Ursprungs.
Den griechischen Geometern waren in der That nur einige wenige
besondere Oberflächen bekannt (die Kugel, die Cylinder und Kegel,
Konoide und Sphäroide, die plektoidischen Oberflächen und wenige
andere). Erst W r e n (1669), P a r e n t und E u l e r begannen sich mit den
Oberflächen zweiten Grades zu beschäftigen, und wir müssen zur Schule
von M o n g e gehen, um die Eigenschaften von grösserer Wichtigkeit dieser
höchst bemerkenswerten Oberflächen anzutreffen.[125] Zu diesen ersten
Eigenschaften wurden in unserem Jahrhundert durch das zahlreiche Heer
von Geometern, welche die Flächen zweiter Ordnung einer besonderen
Betrachtung unterwarfen, viele andere hinzugefügt, und dank den Arbeiten
so ausgezeichneter Gelehrter, wie J a c o b i,[126] M a c C u l l a g h (1809-1847),
[127] C h a s l e s,[128] H e s s e,[129] S e y d e w i t z (1807-1852),[130]

S c h r ö t e r[131] konnte die Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung in den
mehr elementaren Unterricht eingeführt werden und methodisch auf
analytischem sowohl wie synthetischem Wege behandelt werden.[132]
Aber nach der Lehre von den Oberflächen zweiten Grades entstand und
entwickelte sich alsbald die der Oberflächen höherer Ordnung.
C h a s l e s[133] und G e r g o n n e,[134] als die ersten, entdeckten an diesen
Gebilden wunderbare Eigenschaften. P o n c e l e t bestimmte die Klasse einer

in ihrer Ordnung allgemeinen algebraischen Oberfläche[135] und eröffnete
so die Untersuchungen, welche zu den Beziehungen führen sollten, mit
welchen S a l m o n[136] und C a y l e y[137] die Lösung der analogen Aufgabe
zu derjenigen versuchten, welche P l ü c k e r durch seine berühmten Formeln
gelöst hatte.

J a c o b i[138] und später R e y e[139] beschäftigten sich mit den Kurven und
Gruppen von Punkten, die durch den Schnitt von algebraischen Oberflächen
entstehen. C h a s l e s,[140] C r e m o n a,[141] R e y e,[139] E s c h e r i c h,[142]
S c h u r,[143] mit ihrer Entstehung vermittelst projektiver oder reciproker
Systeme von Oberflächen niederer Ordnung, G r a ß m a n n (1809-1877)[144]
mit anderen Erzeugungsweisen; S a l m o n,[145] C l e b s c h,[146] S t u r m,[147]
S c h u b e r t[148] und andere behandelten eine wichtige Klasse von Aufgaben,
welche sich auf Gerade beziehen, die mit einer gegebenen Oberfläche
Berührungen von vorher bestimmter Ordnung haben; schließlich entdeckte
S c h u r vor kurzem eine lineare Konstruktion[149] für Flächen beliebiger
Ordnung. Eine interessante Erweiterung der Polarentheorie der Oberflächen
beliebiger Ordnung verdanken wir R e y e.[150]
Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kürze halber stillschweigend
übergehen muss, trotz der schönen Darlegungen, welche S a l m o n[151] und
C r e m o n a[152] über sie gemacht haben, kann man doch nicht sagen, daß die
Theorie der Oberflächen weit vorgeschritten sei. Die Fragen, die noch zu
lösen bleiben, sind zahlreich und von fundamentaler Wichtigkeit, und die
Mittel, die zur Überwindung der Schwierigkeiten, welche deren Lösung
bietet, zur Verfügung stehen, sind noch nicht genügend vervollkommnet.
Vielleicht ist das der Grund dafür, daß so viele Gelehrte sich zum Studium
besonderer Flächen wandten, indem sie hofften, nicht nur auf diesem Felde
eine reichlichere Ernte von Wahrheiten zu machen, sondern auch zu
Untersuchungsmethoden zu gelangen, die der Verallgemeinerung fähig
sind. — Und daß ihre Erwartungen teilweise nicht getäuscht worden sind,
das beweisen die zahlreichen Resultate, die man schon über die
Oberflächen dritten Grades, sowie über einige von der vierten Ordnung
erhalten hat, über welche es mir noch obliegt, Bericht zu erstatten.
Es ist allgemein bekannt, daß die beiden hervorragendsten Eigenschaften
einer Fläche dritter Ordnung die sind, 27 Gerade zu enthalten, und ein

Pentaeder zu besitzen, welches zu Ecken die Doppelpunkte und zu Kanten
die Geraden der Hesseschen Fläche jener Oberfläche hat. England und
Deutschland können sich um die Ehre, sie entdeckt zu haben, streiten. Wenn
auch schon im Jahre 1849 C a y l e y und S a l m o n[153] die Geraden einer
kubischen Fläche bestimmt haben, und im Jahre 1851 S y l v e s t e r[154] das
Pentaeder entdeckte, so ist doch nicht minder wahr, daß S t e i n e r
unabhängig von ihnen die Existenz jener und dieses in seiner berühmten
Mitteilung, welche er der Berliner Akademie im Jahre 1853 machte,
behauptet hat.[155] Aber während die Studien der englischen Geometer fast
gänzlich der Fortsetzung entbehren,[156] steht die Arbeit von Steiner an der
Spitze einer langen Reihe von Schriften, durch welche die Theorie der
Oberflächen dritter Ordnung schnell einen ungehofften Grad der
Vollendung erhielt. Indem ich die Abhandlungen von S c h r ö t e r,[157]
A u g u s t[158] u. s. w., in welchen einige der von Steiner ausgesprochenen
Sätze bewiesen werden, nur kurz erwähne, will ich mich darauf
beschränken, die Aufmerksamkeit der Leser auf die mit Recht berühmten
Schriften zu lenken, die von C r e m o n a[159] und v o n S t u r m[160] über diese
Oberflächen verfaßt und im Jahre 1866 von der Berliner Akademie mit dem
Steiner-Preise gekrönt sind, Arbeiten, auf welche jeder zurückkommen
muß, welcher sich mit diesen wichtigen geometrischen Gebilden vertraut
machen will. Ich kann mich nicht aufhalten bei den verschiedenen
Erzeugungsweisen einer Fläche dritter Ordnung, die G r a ß m a n n,[161]
A u g u s t,[162] A f f o l t e r[163] und P i q u e t[164] den von Steiner angegebenen
hinzugefügt haben, bei der Konstruktion dieser Flächen, welche L e
P a i g e[165] gegeben hat, bei den vielen Sätzen, die sich auf die Verteilung
der Geraden, der dreifach berührenden Ebenen und die Kurven einer
kubischen Fläche beziehen und welche vor kurzem von C r e m o n a,[166]
A f f o l t e r,[167] v o n S t u r m[168] und B e r t i n i[169] entdeckt wurden, endlich
bei den von C r e m o n a,[170] C a p o r a l i,[171] R e y e[172] und B e l t r a m i[173]
studierten Eigenschaften gewisser Hexaeder, welche mit einer Fläche dritter
Ordnung verknüpft sind, sowie bei den von Z e u t h e n[174] betrachteten
zwölf vollständigen, in sie einbeschriebenen Pentaedern. Ich will noch
anführen, daß eine Einteilung dieser Oberflächen, die auf die Betrachtung
der 27 auf ihr gelegenen Geraden sich stützt, von S c h l ä f l i gemacht ist[175]
und eine neuere von R o d e n b e r g,[176] die sich auf das Pentaeder gründet,

daß ferner ein genaues und eingehendes Studium der Regelflächen dritten
Grades (von denen eine von Cayley entdeckt wurde) den Gegenstand
wertvoller Arbeiten C r e m o n a s,[177] E m. W e y r s[178] und B e n n o
K l e i n s[179] bildet, daß schließlich die sogenannte Diagonalfläche einen
wichtigen Teil in einer Untersuchung von C l e b s c h über die Gleichungen
fünftes Grades bildet[180] und daß andere besondere Fälle von C a y l e y[181]
und E c k a r d t[182] in einigen wertvollen Abhandlungen betrachtet wurden.
Wenn ich dann noch gesagt habe, daß die Untersuchungen von S a l m o n,
[183]
C l e b s c h,[184] G o r d a n[185] und d e P a o l i s[186] die geometrische
Bedeutung für das Verschwinden der fundamentalen invarianten Formen
der quaternären kubischen Form festgestellt haben, welche gleich Null
gesetzt in homogenen Koordinaten eine Fläche dritter Ordnung darstellt,
daß schließlich J o r d a n[187] von Grund auf die Natur der Gleichung studiert
hat, welche zur Bestimmung der Geraden einer kubischen Fläche dient,
dann glaube ich dem Leser genug Momente an die Hand gegeben zu haben,
um daraus den (von mir eben angedeuteten) Schluß zu ziehen, daß die
Theorie dieser geometrischen Gebilde, von welchem Punkte man sie auch
betrachten mag, heute einen beachtenswerten Grad der Vollendung erreicht
hat.
Solches kann man jedoch nicht von der Theorie der Oberflächen v i e r t e n
Grades behaupten, vielmehr sind von ihnen nur wenige Klassen genauer
studiert; über jede derselben werde ich kurz sprechen. An die erste Stelle
will ich die Developpabele vierter Klasse setzen, die zweien Flächen
zweiten Grades umbeschrieben ist, und die geradlinigen Flächen vierten
Grades; jene wurde von P o n c e l e t[188] und C h a s l e s[189] untersucht, diese
von demselben Chasles,[190] von C a y l e y[191] und vollständiger von
C r e m o n a.[192]
Dann lasse ich die Oberflächen vierter Ordnung folgen, auf welchen
Scharen von Kegelschnitten existieren und welche alle mit
außerordentlichem Scharfsinne von K u m m e r[193] bestimmt wurden. Unter
diesen sind zwei besonderer Erwähnung wert, da sie das Objekt zahlreicher
Untersuchungen gewesen sind: die Oberfläche vierter Ordnung mit einem
Doppelkegelschnitt und die römische Fläche von Steiner.

Von der ersteren entdeckte K u m m e r im Jahre 1864 die bemerkenswerte
Eigenschaft, daß die ihr doppelt umgeschriebene Developpabele aus fünf
Kegeln zweiter Ordnung besteht. Gleichzeitig fand M o u t a r d[194] dieselbe
Eigenschaft für den Fall, daß die Doppelkurve der Oberfläche der unendlich
entfernte imaginäre Kugelkreis ist,[195] und er bemerkte weiter gleichzeitig
mit D a r b o u x,[196] daß in diesem Falle die Oberfläche zu einem dreifachen
Systeme von orthogonalen Oberflächen, gebildet von Flächen derselben
Art, gehören kann. Von jener Zeit ab wurden die Oberflächen vierter
Ordnung, welche als Doppelkurve den unendlich entfernten imaginären
Kugelkreis haben, wiederholt von D a r b o u x,[197] von L a g u e r r e (1834-
1886)[198] und von C a s e y[199] studiert; hingegen diejenigen, welche als
Doppelkurve einen beliebigen Kegelschnitt besitzen, von C r e m o n a,[200]
G e i s e r,[201] S t u r m,[202] Z e u t h e n,[203] von C l e b s c h,[204] K o r n d ö r f e r,
[205]
B e r z o l a r i[206] und D o m s c h[207] — welcher auf sie die
hyperelliptischen Funktionen anwandte — und diejenigen, welche einen
Kuspidalkegelschnitt haben, von T ö t ö s s y.[208] Was die Klassifikation
dieser Oberflächen betrifft, so möge es mir gestattet sein, meinen Namen
anzuführen[209] neben dem meines teuern Freundes S e g r e.[210]
Die römische Fläche von Steiner hat wiederholt die Aufmerksamkeit der
Geometer auf sich gezogen und zwar vorzüglich zweier Eigenschaften
wegen; die eine derselben, nämlich von jeder Tangentialebene in zwei
Kegelschnitten getroffen zu werden, wurde besonders von den Synthetikern
betrachtet, die andere, dass die homogenen Koordinaten ihrer Punkte sich
als ganz allgemeine ternäre quadratische Formen darstellen lassen,[211]
wurde mehr von den analytischen Geometern verwertet. Wer Lust hat, alle
Eigenschaften, die sie besitzt, kennen zu lernen,[212] wird dieselben in den
synthetischen Abhandlungen von C r e m o n a,[213] S c h r ö t e r[214] und
S t u r m,[215] auf den Seiten, welche R e y e ihr in seiner Geometrie der Lage
(2. Bd.) gewidmet hat, und in den analytischen Abhandlungen von C a y l e y,
[216] B e l t r a m i,[217] C l e b s c h,[218] E c k a r d t,[219] L a g u e r r e[220] und

G e r b a l d i[221] finden.
K u m m e r verdanken wir auch die Kenntnis einer anderen wichtigen Klasse
von Flächen vierter Ordnung; dieselbe besteht aus Oberflächen, die nicht
singuläre Linien enthalten, sondern nur singuläre Punkte.[222] Wir werden in

kurzem (§ VII) sehen, welche Untersuchungen Kummer zu diesen
Oberflächen geführt haben; für jetzt genüge es, hervorzuheben, dass die
interessanteste unter ihnen (welche man heute die Kummersche Oberfläche
nennt) 16 singuläre Doppelpunkte und 16 singuläre Tangentialebenen hat
und daß Specialfälle derselben die Wellenfläche von F r e s n e l[223] und das
von C a y l e y 1846 untersuchte Tetraedroid[224] sind. Eine solche Oberfläche
ist zu sich selbst dual.[225] Ihre asymptotischen Kurven wurden von K l e i n
und L i e bestimmt[226] und R e y e[227] zeigte, daß jede die Grundkurve eine
Büschels von Oberflächen vierter Ordnung ist; zwischen ihnen und den
Thetafunktionen existiert eine innige Beziehung, welche C a y l e y und
B o r c h a r d t (1817-1880)[228] entdeckt haben und die H. W e b e r[229]
zusammen mit anderen entwickelt hat;[230] die algebraischen Fragen,
welche sich an die Bestimmung ihrer Singularitäten knüpfen, wurden von
J o r d a n[231] gelöst; endlich kann man dieselbe, wie R o h n[232] es gethan
hat, vermittelst der Theorie der hyperelliptischen Funktionen[233]
behandeln.
Indem ich die Oberflächen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve einen
in zwei getrennte oder zusammenfallende Gerade degenerierten
Kegelschnitt haben und andere, mit denen Cayley[234] sich beschäftigt hat,
übergehe, will ich noch die Monoide erwähnen,[235] die von R o h n studiert
sind,[236] und diejenigen Flächen, welche, ohne geradlinig zu sein, eine
gewisse Anzahl von Geraden enthalten. Dieselben sind der Ort der Punkte,
in welchen vier entsprechende Ebenen von vier kollinearen Räumen sich
schneiden; C h a s l e s hat ihre Ordnung bestimmt und S c h u r eine Menge
eleganter Eigenschaften derselben gefunden.[237]
Ich will diesen Abschnitt meiner Musterung beschließen, indem ich noch
einige Oberflächen von höherer als der vierten Ordnung anführe, welche die
Gelehrten schon beschäftigten. Zuerst verdienen die geradlinigen
Oberflächen erwähnt zu werden, welche im allgemeinen von C h a s l e s,[238]
S a l m o n,[239] C a y l e y,[240] von P l ü c k e r,[241] L a G o u r n e r i e (1814-1883),
[242] V o s s[243] und im besonderen von C h a s l e s,[244] C r e m o n a,[244]

S c h w a r z,[245] L a G o u r n e r i e[246] (Regelflächen, die in bezug auf ein
Tetraeder symmetrisch sind), von C l e b s c h,[247] A r m e n a n t e[248] (rationale
und elliptische Regelflächen), von E m. W e y r[249] (Regelflächen, erzeugt

durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier gerader
Punktreihen in der Korrespondenz [m, n]), von E d. W e y r[250]
(Oberflächen, erzeugt durch die Bewegung eines variabelen
Kegelschnittes), von E c k a r d t[251] und C h i z z o n i[252] (Regelflächen,
erzeugt durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier ebener
projektiv bezogener Kurven). Dann folgen solche, die, wenn sie auch nicht
Regelflächen sind, doch Gerade enthalten und die von S t u r m[253] und
A f f o l t e r[254] untersucht sind, ferner die algebraischen Minimalflächen, bei
welchen G e i s e r[255] und L i e[256] bemerkenswerte Eigentümlichkeiten
fanden. Dann will ich noch einige Flächen nennen, die aus einer Oberfläche
zweiten Grades abgeleitet sind (Ort der Krümmungscentren;
Fusspunktflächen, Aspidalflächen etc.), sowie die Örter der Spitzen der
Kegel zweiten Grades, die m Gerade berühren und durch (6-m) Punkte
gehen, welche Flächen eingehend von C h a s l e s,[257] L ü r o t h,[258]
H i e r h o l z e r[259] und von C a y l e y[260] studiert wurden, da sie zur
Auflösung gewisser Probleme aus der Theorie der Charakteristiken der
einfach unendlichen Systeme von Kegeln zweiter Ordnung dienten;
schließlich diejenigen, welche unendlich viele lineare Transformationen
zulassen, die kontinuierlich aufeinander folgen;[261] diejenigen, welche die
eigenen reziproken Polaren in bezug auf unendlich viele Flächen zweiten
Grades sind,[262] diejenigen, welche durch reciproke Cremonasche Systeme
erzeugt werden,[263] und diejenigen, welche dieselben Symmetrie-Ebenen
wie ein reguläres Polyeder besitzen.[264]

Die Untersuchungen über die Oberflächen, mit denen wir uns bis jetzt
beschäftigt haben, behandeln Eigenschaften, welche vermittelst einer wohl
bekannten Betrachtungsweise auf das Gebiet der projektiven Geometrie
zurückgeführt sind oder sich darauf zurückführen lassen. Es giebt aber noch
viele andere Untersuchungen, welche Eigenschaften von ganz anderer Art
behandeln, die größtenteils auf keine Weise sich als projektiv betrachten
lassen, da die Gruppe der Transformationen, die zu ihnen gehört, nicht die
der projektiven Geometrie ist.[265] Diese bilden zusammen mit den Studien,
die sich auf die Infinitesimaleigenschaften der Raumkurven beziehen (über
welche wir einiges im folgenden Paragraphen sagen werden), einen sehr

wichtigen Zweig der Geometrie für sich sowohl, als auch wegen der
Anwendungen, welche man von ihnen in der Geodäsie und der
mathematischen Physik machen kann; man kennt ihn unter dem Namen der
Differentialgeometrie. Über die wesentlichen Punkte derselben wollen wir
nun einiges sagen. Und da man den Ursprung dieses Teiles der Geometrie
von dem Erscheinen der Application de l'Analyse à la Géométrie[266] von
M o n g e datieren kann, und das spätere Werk, welches von grösserem
Einflüsse war, das von G a u ß (1777-1855) ist, welches den Titel trägt:
Disquisitiones generales circa superficies curvas,[267] so nehmen wir in
unserer kurzen Darlegung die von Monge und Gauß angenommene
Einteilung des Stoffes als Anhalt, indem wir zuerst besprechen, was diese
selbst in Hinsicht auf die von ihnen behandelten Gegenstände geleistet
haben, und dann vorführen, was ihre Nachfolger hinzugefügt haben.
Der erste Paragraph des Mongeschen Werkes bietet kein besonderes
Interesse, da er nur die Bestimmung der Berührungsebenen und Normalen
einer Oberfläche zum Zwecke hat; er kann also als Einleitung betrachtet
werden. Die vier folgenden Paragraphen behandeln cylindrische
Oberflächen, Kegel- und Rotationsflächen und solche, welche (um einen
modernen Ausdruck zu gebrauchen) in einer linearen Kongruenz mit einer
unendlich fernen Leitgeraden enthalten sind. Höchst bemerkenswert ist der
folgende Paragraph, indem Monge dort bei der Besprechung der
Enveloppen den wichtigen Begriff der Charakteristik und der
Rückkehrkurve (arête de rebroussement) einer Enveloppe eingeführt hat; an
diesen Paragraphen schließen sich die drei folgenden enge an; sie
behandeln Röhrenflächen mit ebener Leitlinie (§ 7), Flächen, die als Linien
größter Neigung gegen eine gegebene Ebene Gerade von konstanter
Neigung haben (§ 8), und schließlich Enveloppen einer Oberfläche, die sich
unter der Bedingung bewegt, daß ein mit ihr unveränderlich verbundener
Punkt eine gegebene Kurve durchläuft (§ 9).[268] — Von da ab beginnt die
Theorie der partiellen Differentialgleichungen die wichtige Rolle zu
spielen, die Monge ihr in der analytischen Geometrie zugewiesen hat; von
diesem Punkte an zeigt es sich, daß es in vielen Fällen für die Bestimmung
der Natur einer Oberfläche nützlicher und bequemer ist, eine
Differentialgleichung für sie zu haben, als eine solche in endlichen
Ausdrücken. Beispiele hierfür bieten die Flächen, die in einem speziellen
linearen Komplexe enthalten sind mit einer unendlich fernen oder endlichen

Axe (von Monge im § 10 und § 11 behandelt), fernere Beispiele die
abwickelbaren Flächen (§ 12), andere die im § 9 beschriebenen, andere
schließlich die Örter beweglicher Kurven, von welchen ein Punkt eine feste
Kurve durchläuft (§ 14).[269] — Die Theorie der Krümmung einer
Oberfläche in einem Punkte,[270] sowie das Studium der Verteilung der
Normalen derselben Fläche[271] führen zu einer neuen Art von Flächen, die
der Betrachtung wert sind; jene und diese finden sich im § 15, der sicherlich
einer der wichtigsten des Mongeschen Werkes ist. Der Spezialfall des
Ellipsoides ist im § 16 behandelt, derselbe enthält die Bestimmung der
Krümmungslinien dieser Fläche.[272] — Groß an Zahl und von großer
Wichtigkeit sind die Fragen, zu denen die Theorie der Krümmung Anlaß
giebt. Man kann z. B. die Oberflächen untersuchen, bei denen der eine
Krümmungsradius für jeden Punkt denselben Wert hat; Monge fand (§ 18),
daß dieselben von einer Fläche von konstanter Form eingehüllt werden, die
sich in der vorhin (in den §§ 9 und 13) angegebenen Weise bewegt. Man
kann dagegen auch voraussetzen, daß in jedem Punkte die beiden
Krümmungsradien gleich und von gleichem Sinne seien: die Oberfläche ist
dann eine Kugel. Wenn dagegen die beiden Krümmungsradien in jedem
Punkte gleich, aber von entgegengesetztem Sinne sind, so ist die Fläche
eine Minimalfläche.[273] Oder es sei in jedem Punkte einer der
Krümmungsradien gleich groß (§ 21).[274]
An die Theorie der Krümmung schließen sich dann die Studien über die
Röhrenflächen mit beliebiger Leitkurve (§§ 22 und 26) und über diejenigen
Flächen, bei welchen alle Normalen eine gegebene Kugel (§ 23), einen
gegebenen Kegel (§ 24) oder eine gegebene Developpabele (§ 25) berühren.
— Für einige dieser Flächenfamilien hat Monge die Konstruktion
angegeben, für alle die Gleichungen, sei es die Differentialgleichungen oder
die endlichen, und, da er sich das Problem gestellt und gelöst hat, von jenen
zu diesen zu gelangen, so verdient denn sein grosses Werk, daß es auch von
denen, welche sich mit der Analysis des Unendlichen beschäftigen,
eingehend studiert werde.
Kurz nach dem Erscheinen des Werkes von Monge wurde die
Differentialgeometrie durch eine höchst wichtige Arbeit bereichert, die
Developpements de Géométrie von C h. D u p i n (1813). In derselben wird
unter anderem der Begriff der konjugierten Tangenten eines Punktes einer

Oberfläche und der der Indikatrix eingeführt; dort sind die asymptotischen
Linien (Haupttangentenkurven)[275] untersucht, und der berühmte Satz
bewiesen, der unter dem Namen des Dupinschen Theorems allgemein
bekannt ist.
Als Fortsetzung des Mongeschen Werkes kann man die zahlreichen
Untersuchungen über Flächen mit ebenen oder sphärischen
Krümmungslinien ansehen, die man D u p i n,[276] A l f r e d S e r r e t (1819-
1885),[277] O. B o n n e t,[278] D i n i,[279] E n n e p e r (1830-1885),[280]
D a r b o u x,[281] P i c a r t,[282] L e c o r n u,[283] D o b r i n e r,[284] V o r e t s c h[285]
und anderen verdankt.
Von derselben Art, aber von größerer Allgemeinheit sind die wichtigen
Untersuchungen von W e i n g a r t e n über solche Oberflächen, bei denen in
jedem Punkte der eine Krümmungsradius eine Funktion des anderen ist,[286]
welche Untersuchungen D i n i (a. O.), B e l t r a m i[287] und L i e[288] zur
Bestimmung der windschiefen Oberflächen mit derselben Eigenschaft
geführt haben. Dasselbe kann man von den Untersuchungen sagen, welche
man ebenfalls W e i n g a r t e n verdankt[289] und die sich auf Oberflächen
beziehen, deren Normalen eine andere vorgelegte Oberfläche berühren. —
Dem § 20 des Mongeschen Werkes können wir die zahlreichen
Abhandlungen anschließen, welche die Minimalflächen behandeln. Wir
führen zunächst die von S t e i n e r[290] und W e i e r s t r a ß[291] an, die sich mit
der allgemeinen Theorie befassen, dann die von S c h e r k[292] und B o n n e t,
[293] welche einige Spezialfälle derselben bearbeitet haben; S e r r e t[294]

beschäftigte sich dann mit solchen, die durch zwei Gerade hindurch gehen,
R i e m a n n[295] und W e i e r s t r a ß[296] mit solchen, die einen gegebenen
Umriß haben, G e i s e r[297] mit algebraischen, N o e v i u s[298] mit solchen
periodischen, welche unendlich viele Geraden und unendlich viele ebene
geodätische Linien besitzen; C a t a l a n[299] mit solchen, die als geodätische
Linie eine Parabel haben, H e n n e b e r g[300] mit denen, welche eine
semikubische Parabel als geodätische Linie haben; B o n n e t[301] untersuchte
solche, auf welchen sich eine Schar von ebenen Krümmungslinien befindet;
B o u r[302] diejenigen, welche auf eine Rotationsfläche sich abwickeln
lassen; S c h w a r z solche, die durch ein windschiefes Vierseit bestimmt
sind[303] oder die von Kegeln eingehüllt sind,[304] und solche, die ohne

algebraisch zu sein, doch algebraische Kurven enthalten;[305] E n n e p e r[306]
untersuchte diejenigen, welche unendlich viele Kreise enthalten, u. s. w.
Andere Fragen wurden von M a t h e t[307] behandelt, von B e l t r a m i,[308] von
L i e,[309] K i e p e r t,[310] H e n n e b e r g,[311] R i b a u c o u r,[312] B i a n c h i[313]
und P i n c h e r l e.[314] Schließlich ist die Theorie der Minimalflächen einer
bemerkenswerten Erweiterung fähig, die von L i p s c h i t z[315] entdeckt
wurde.
Wir gehen jetzt dazu über, kurz auseinander zu setzen, welches die
hervorragenderen Stellen des zweiten Werkes sind, dem wir, wie schon
gesagt, die wichtigsten Lehren der Differentialgeometrie verdanken, der
Disquisitiones generales circa superficies curvas von G a u ß.
Schon zu Ende des ersten Paragraphen derselben finden wir einen höchst
wichtigen Begriff, nämlich den der sphärischen Abbildung einer
Oberfläche, dessen Fruchtbarkeit vielfache Anwendungen, die von ihm
gemacht sind, dargethan haben. Kurz darauf (§ IV) treffen wir die zwei
unabhängigen Veränderlichen, vermittelst derer man die Koordinaten der
Punkte einer Oberfläche ausdrückt, d. h. die krummlinigen Koordinaten auf
einer Oberfläche. (Vgl. auch die §§ XVII und XIX). Dann enthält § VI die
Erweiterung der Betrachtung, die man gewöhnlich zur Grundlage der
Theorie der Krümmung der ebenen und unebenen Kurven nimmt, auf den
Raum, aus welcher Erweiterung der Begriff des Krümmungsmaßes einer
Oberfläche in einem gewöhnlichen Punkte hervorgegangen ist.[316]
Bekanntlich ist dasselbe gleich dem Produkte aus den beiden
Hauptkrümmungsradien der Fläche in jenem Punkte[317] (§ VIII). Das
Krümmungsmaß einer Oberfläche kann man sowohl durch die
gewöhnlichen kartesischen Koordinaten (§§ VII und IX) als auch durch die
krummlinigen Koordinaten der Oberfläche ausdrücken (§§ X und XI).[318]
Bei der Untersuchung dieses letzteren Ausdruckes bieten sich die
Coefficienten E, F, G des Ausdruckes des Kurvenelementes dar, deren
Bedeutung in der Theorie der Oberflächen, die auf eine andere abwickelbar
sind[319] (§ XII), Gauß zuerst hervorgehoben hat. Dabei stellte er eine neue
Betrachtungsweise der Oberflächen auf (§ XIII), indem er dieselben als
unendlich dünne, biegsame und unausdehnbare Körper ansah. Die
folgenden Paragraphen der Abhandlung von Gauß behandeln die

geodätischen Linien und haben die Bestimmung ihrer
Differentialgleichungen zum Zwecke (§ XIV und XVIII), dann die
Übertragung der Polarkoordinaten, des Kreises (§ XV), der Parallelkurven
(§§ XVI), auf die Geometrie auf einer Oberfläche, sowie die Berechnung
der totalen Krümmung eines geodätischen Dreiecks (§ XX). Die §§ XXI
und XXII beziehen sich auf die Transformation des Ausdruckes für das
Kurvenelement, die übrigen behandeln andere Fragen aus der Geodäsie und
dürften daher unsere Aufmerksamkeit nicht auf sich ziehen.
Schon aus diesen flüchtigen Andeutungen ersieht man, wie reich an
fundamentalen Begriffen die Abhandlung von Gauß ist. Die
Entwickelungen, die sie gehabt, und die vielen Arbeiten, welche sie
hervorgerufen, und von denen wir noch kurz zu sprechen haben, werden
ihre Bedeutung noch klarer machen. Unter diesen Arbeiten muß man den
schönen Ricerche di analisi applicata alla geometria, die B e l t r a m i im
zweiten und dritten Bande des Giornale di Matematiche veröffentlicht hat,
eine hervorragende Stelle einräumen, dann den Abhandlungen von
demselben Verfasser Dalle variabili complesse su una superficie
qualunque,[320] Teoria generale dei parametri differenziali[321] und Zur
Theorie des Krümmungsmasses.[322] Bemerkenswert sind ferner die Studien
von B o n n e t[323] und von D a r b o u x[324] über die sphärische Abbildung der
Oberflächen, die sich an die ersten in den Disquisitiones enthaltenen
Untersuchungen anknüpfen. Der Begriff der Krümmung führte zum
Studium der Oberflächen mit konstanter (positiver oder negativer)
Krümmung, dem so viele ausgezeichnete Geometer ihre Kräfte gewidmet
haben. Unter diesen führen wir die zwei Arbeiten von B e l t r a m i an:
Risoluzione del problema. Riportare i punti di una superficie sopra un
piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee rette[325]
und Saggio di una interpretazione della Geometria non-euclidea,[326] dann
die Schriften von D i n i,[327] L i e,[328] B i a n c h i,[329] B ä k l u n d,[330]
D a r b o u x[331] und D o b r i n e r.[332] Von derselben Art, aber allgemeiner,
sind die Studien von C h r i s t o f f e l[333] über die Bestimmung der Gestalt
einer Oberfläche mit Hilfe von auf ihr selbst genommenen Maßen und von
L i p s c h i t z[334] über die Oberflächen, welche bestimmte auf die Krümmung
bezügliche Eigenschaften haben, oder bei welchen der Ausdruck des
Kurvenelements von vornherein festgesetzt ist.

An den Abschnitt der Gaußischen Abhandlung, welcher die geodätischen
Linien behandelt, knüpfen sich einige Arbeiten von J o a c h i m s t h a l (1818-
1861),[335] S c h e r i n g,[336] B e l t r a m i,[337] die von L i e[338] gemachte
Einteilung der Oberflächen auf Grund der Transformationsgruppen ihrer
geodätischen Linien und die Untersuchungen über geodätische Kurven von
demselben Verfasser.[339] Mit demjenigen Abschnitte, welcher sich auf die
Abwickelbarkeit der Oberflächen bezieht, steht eine wichtige Arbeit von
M i n d i n g in enger Beziehung,[340] in der zum ersten Male die Frage
aufgestellt ist, ob die Gleichheit der Krümmung in entsprechenden Punkten
eine hinreichende Bedingung für die Abwickelbarkeit zweier Oberflächen
sei: er gelangte für den allgemeinen Fall zu einem negativen Resultate, zu
einem positiven dagegen für den Fall konstanter Krümmung. Dasselbe gilt
von den Arbeiten von B o u r[341] (1832-1866), C o d a z z i[342] und B o n n e t,
[343]
welche für preiswürdige Antworten auf die im Jahre 1861 von der
Pariser Akademie der Wissenschaften gestellte Frage erkannt worden sind.
Derselbe Gegenstand oder verwandte Gegenstände wurden dann in den
Abhandlungen von C h r i s t o f f e l,[344] v o n M a n g o l d t,[345] W e i n g a r t e n,
[346] B r i l l,[347] M i n d i n g,[348] J e l l e t,[349] D i n i,[350] E n n e p e r,[351]

R a z z a b o n i,[352] L e c o r n u,[353] B e l t r a m i[354] und vielen anderen
behandelt.
Die schöne von Gauß gegründete Theorie der krummlinigen Koordinaten
einer Oberfläche ließ den Wunsch entstehen, eine analoge Theorie für den
Raum zu haben. Schon im Jahre 1837 stellte L a m é sie für einen Spezialfall
auf, nämlich für den der elliptischen Koordinaten,[355] später wies er auf die
orthogonalen krummlinigen Koordinaten hin[356] und konstruierte dann die
Theorie derselben,[357] ohne ihre Anwendung[358] und Entwickelung[359] zu
vernachlässigen. Die berühmten Leçons sur la théorie des coordonnées
curvilignes et leurs diverses applications (Paris, 1859) von L a m é fassen
zusammen und vervollständigen die glänzenden Resultate, die von Lamé in
diesem Zweige der Geometrie erhalten waren. In der Folge haben sich viele
andere mit demselben beschäftigt. Vor allen führe ich A o u s t an, der ihm
viele und wichtige Arbeiten widmete,[360] dann B r i o s c h i,[361] C o d a z z i,
[362] C h e l i n i (1802-1878),[363] D a r b o u x,[364] C o m b e s c u r e,[365] L e v y,
[366]
R o y e r[367] und noch andere. Hierzu sehe man noch die Schriften,
welche dreifache Systeme orthogonaler Oberflächen behandeln und von

denen ich nur diejenigen von B o u q u e t,[368] A. S e r r e t,[369] B o n n e t,[370]
C a t a l a n,[371] M o u t a r d,[372] D a r b o u x,[373] C a y l e y,[374] R i b a u c o u r,[375]
W e i n g a r t e n,[376] S c h l ä f l i,[377] H o p p e,[378] B i a n c h i[379] und
M o l i n s[380] nennen will.
Von den Arbeiten, welche spezielle Oberflächen behandeln, die nicht zu bis
jetzt besprochenen Kategorien gehören, führen wir die von L i e[381] an,
welche sich auf Oberflächen beziehen, die infinitesimale lineare
Transformationen in sich selbst zulassen; dann die von E n n e p e r,[382] die
sich auf Oberflächen mit speziellen Meridiankurven beziehen, ferner die
von C a y l e y[383] und W e i n g a r t e n[384] und die von W i l l g r o d[385] über
Oberflächen, welche durch ihre Krümmungslinien in unendlich kleine
Quadrate geteilt werden; schließlich die von B i a n c h i[386] über
Schraubenflächen.
Ein bemerkenswerter Fortschritt in der analytischen Infinitesimalgeometrie
der Oberflächen wurde durch die Bemühungen d e S a l v e r t s geschaffen,
der in einigen eleganten Arbeiten,[387] wahrscheinlich hervorgerufen durch
die schönen Vorlesungen über die analytische Geometrie des Raumes von
H e s s e, zeigte, wie man durch Benutzung der Gleichung einer Oberfläche
in ihrer allgemeineren Form, f(x, y, z) = 0, ein bei weitem bequemeres
System von Formeln für die Lösung gewisser Probleme aufstellen konnte,
als wenn die Gleichung z = φ(x, y) zu Grunde gelegt wird.
Über Differentialgeometrie existieren noch einige gute Darlegungen. Eine
verdankt man H o p p e; sie trägt den Titel: Elemente der Flächentheorie;
eine andere wurde von B r i s s e unternommen;[388] die neuesten sind die von
B i a n c h i in seinen sehr schönen Lezioni di geometria differenziale (Pisa,
1886) und die, welche D a r b o u x in seinen Leçons sur la théorie générale
des surfaces begonnen hat, von denen wir schon den ersten Teil besitzen
(Paris, 1887).
Wir wollen diesen Abschnitt beschließen, indem wir noch bemerken, daß
die Zuhilfenahme der Analysis für das Studium der Infinitesimalgeometrie
nicht notwendig ist; vielmehr haben B e r t r a n d[389] und B o n n e t[390] zuerst
gezeigt, welchen Nutzen man bei diesen Studien auch aus synthetischen
Betrachtungen ziehen kann. Außerdem enthalten der erste Band des Traité

de calcul différential et intégral von B e r t r a n d und der Traité de géométrie
descriptive von d e l a G o u r n e r i e[391] und eine große Zahl von überaus
schönen Abhandlungen von M a n n h e i m[392] bemerkenswerte geometrische
Untersuchungen, welche dem Zweige der Wissenschaft des Raumes, mit
dem wir uns eben beschäftigt haben, angehören.

IV.

Untersuchungen über die Gestalt der Kurven
und Oberflächen. Abzählende Geometrie.
———

Bei der Besprechung der bedeutenderen Fortschritte, welche die Theorie der
Kurven und die der Oberflächen gemacht, haben wir zwei wichtige
Kategorien der Untersuchung übergangen, weil wir dieselben besser in
einem besonderen Abschnitte unserer Arbeit zusammenfassen können.
Die erstere umfaßt eine Reihe von Studien besonderer Natur und hat zum
Zwecke die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven und Oberflächen
von gegebener Ordnung annehmen können, und ich halte es für
angemessen, bei diesen eine Zeit lang zu verweilen.
Die Bestimmung der Gestalt der Kurven z w e i t e r Ordnung reicht schon in
das Altertum. Für dieselbe bedurfte es auch nicht eines hervorragenden
Geistes, wenn man bedenkt, daß die Alten jene Kurven als Schnitte eines
Kreiskegels betrachteten.
Dagegen ist die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven d r i t t e r
Ordnung annehmen können, nicht ohne Schwierigkeit. N e w t o n überwand
diese, indem er lehrte, daß alle Kurven dritter Ordnung durch Projektion
von fünfen derselben, welche er divergierende Parabeln nannte, erhalten
werden können.[393] Zu dieser ersten Einteilung der Formen der Kurven
dritter Ordnung fügte C h a s l e s[394] eine weitere hinzu, die, obwohl sie auf
einem ganz anderen Gedanken beruhte, mit der von Newton eine nicht zu
verkennende Analogie bietet. Nach ihr kann man die Formen der Kurven
dritter Ordnung sämtlich auffinden durch Projektion von fünfen derselben,
die symmetrisch in bezug auf ein Zentrum sind. Eine dritte Methode der
Einteilung endlich stützt sich auf das konstante Doppelverhältnis der vier
Tangenten, die man an die allgemeine Kurve dritter Ordnung von einem
ihrer Punkte aus ziehen kann; diese wurde von D u r è g e entwickelt.[395]

Bei weitem grössere Schwierigkeit bietet das Studium der Gestalt der
ebenen Kurven v i e r t e r Ordnung, die schon angeführten Arbeiten von
B r a g e l o g n e, E u l e r und P l ü c k e r bilden hierzu einen wichtigen Beitrag.
Es scheint aber nicht, daß man diese — dasselbe gilt auch von den schon
genannten auf die kubische Kurve bezüglichen — als die Grundlage zu
einer allgemeinen Theorie der Gestalt der ebenen Kurven ansehen darf;
vielmehr muß man dieselben als die ersten Vorläufer jener Lehren
betrachten, die man heute als eine feste Grundlage dieser Theorie ansieht.
Solche Lehren gehören in das Gebiet der synthetischen Geometrie, zum Teil
aber waren sie das Resultat der Anwendung der Abelschen Funktionen auf
die Wissenschaft der Ausdehnung. Von den ersteren wurden einige von
S t a u d t in seiner Geometrie der Lage[396] auseinandergesetzt und beziehen
sich auf die Gestalten der ebenen Polygone und der Polyeder, die paaren
und die unpaaren Züge der Kurven, die Rückkehrelemente der Figuren;
andere wurden von T a i t[397] angegeben und von J. M e y e r entwickelt,[398]
andere schließlich von H a r t angedeutet[399] und mit vielem Glücke von E.
K ö t t e r verallgemeinert.[400] Die zweiten sind fast alle aus der Schule von
K l e i n hervorgegangen. Da ich auf die vielen Einzelheiten dieses
Gegenstandes nicht eingehen kann, so möge es hier genügen, unter den
schon erhaltenen Resultaten einige besondere Sätze über die Kurve vierter
Ordnung anzuführen, die man Z e u t h e n[401] und C r o n e[402] verdankt; dann
eine sehr wichtige Relation zwischen den Zahlen der reellen und
imaginären Singularitäten einer ebenen Kurve, zu welcher K l e i n geführt
wurde,[403] als er die von P l ü c k e r[404] und Z e u t h e n vorgeschlagenen
Klassifikationen der Kurven vierter Ordnung studierte; ferner einen sehr
schönen Lehrsatz,[405] von H a r n a c k (1851-1888) entdeckt, welcher
dadurch, daß er eine unerwartete Beziehung zwischen der Form einer Kurve
und ihrem Geschlechte enthüllte, die Wichtigkeit des letzteren von neuem
bestätigte.
Wenn so die Theorie der Gestaltlichkeit der ebenen Kurven noch weit
entfernt vom Zustand der Reife ist, so kann man von den analogen
Untersuchungen über die Oberflächen sagen, daß sie sich noch in ihrer
Kindheit befinden. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Felde existieren
meines Wissens nicht, außer denjenigen, die von M ö b i u s in seiner Theorie
der elementaren Verwandtschaften niedergelegt sind,[406] und welche, so

scharfsinnig und interessant sie auch sind, einen geschickten Nachfolger
erwarten lassen, welcher die ganze Fülle derselben zu Tage fördert.
Dasselbe gilt für gewisse originelle Gesichtspunkte, die in den vielen
Arbeiten von K l e i n zerstreut sind. Für den Fortschritt der Geometrie würde
es von höchstem Interesse sein, beide weiter entwickelt zu sehen;
unglücklicherweise wird aber diese Theorie wenig betrieben, in den letzten
Jahren ist vielleicht Rohn[407] der einzige, der hierin einige Fortschritte
gemacht hat, die wert sind, verzeichnet zu werden.
Wenn auch die allgemeine Theorie ein bis jetzt noch unbefriedigtes
Bedürfnis ist, so fehlt es doch nicht an Spezialuntersuchungen. Die
Bestimmung der Gestalt der Oberflächen zweiten Grades übergehe ich als
zu einfach und führe die der Oberflächen dritter Ordnung an, die mit Erfolg
von K l e i n,[408] S c h l ä f l i,[409] Z e u t h e n[410] gemacht ist, und neuerdings
von B a u e r durch die Untersuchung der Gestalt der parabolischen Kurve
vervollständigt wurde;[411] ferner die der Dupinschen Cykliden, die wir
M a x w e l l[412] verdanken; dann die der Oberflächen vierter Ordnung mit
Doppelkegelschnitt, die ebenfalls von Z e u t h e n[413] herrührt; die der
Oberflächen vierter Ordnung mit Cuspidalkegelschnitt, die von C r o n e[414]
ausgeführt ist; endlich die der Kummerschen Flächen und der Kegelflächen
viertes Grades, welche der Gegenstand wichtiger Untersuchungen von
R o h n[415] gewesen sind. Die reichhaltige Sammlung von Modellen von
L u d w i g B r i l l, die sich jedes Jahr um neue und interessante Serien
vermehrt, zeigt das Interesse, welches das gelehrte Deutschland für
vorliegende Untersuchungen hat.[416]
Was die Gestalt der Kurven d o p p e l t e r Krümmung angeht, so existieren
darüber bis jetzt noch keine allgemeinen Untersuchungen von Bedeutung;
man kann sagen, daß sich dieselben auf die Beobachtungen beschränken,
die C h r. W i e n e r[417] und B j ö r l i n g[418] gemacht haben, indem sie die
Modelle der gewöhnlichen Singularitäten einer Raumkurve konstruierten.
Eine zahllose Reihe wichtiger Untersuchungen hat die Bestimmung der
Anzahl der geometrischen Gebilde zum Ziele, welche Bedingungen
genügen, die hinreichen, eine endliche Zahl derselben festzulegen. Der
B é z o u t sche Lehrsatz, welcher die Zahl der Lösungen eines bestimmten
Systems von algebraischen Gleichungen angiebt, ist fast immer nicht

verwendbar für die Lösung solcher Fragen, da, während dieser Satz auf
allgemeine Gleichungen ihres Grades sich stützt, die Gleichungen, welche
man bei dem Versuche, diese Probleme analytisch zu lösen, erhält, von
spezieller Form sind. Wahrscheinlich ist das der Grund dafür, daß diese
Probleme größtenteils bis in verhältnismäßig neuerer Zeit ungelöst
geblieben sind.[419]
Auf C h a s l e s fällt der Ruhm, in seiner Methode der Charakteristiken ein
feines und mächtiges Hilfsmittel gefunden zu haben (1864), mit dem er eine
große Zahl von Problemen der angedeuteten Art für den Fall, daß die
betrachteten Gebilde Kegelschnitte in einer Ebene sind, lösen konnte und
einen Weg bahnte, um auch in dem Falle, wo die Gebilde beliebige sind, zur
Lösung derselben zu gelangen.[420] Der Hauptgedanke desselben war die
fortwährende Betrachtung der ausgearteten Kurven und der systematische
Gebrauch der Charakteristiken eines einfach-unendlichen Systemes von
Kegelschnitten, d. h. der Zahlen, die angeben, wie viele Kegelschnitte des
Systemes durch einen gegebenen Punkt gehen, wie viele eine gegebene
Gerade berühren.
Dadurch, daß man diese Begriffe weiter ausdehnte, konnte man Hilfsmittel
erhalten, die auf andere Figuren anwendbar sind. C h a s l e s selbst entdeckte
alsbald die Anwendung seiner Untersuchungen auf die Kegelschnitte im
Raume[421] und auf die Flächen zweiter Ordnung.[422] Z e u t h e n und
M a i l l a r d gaben neue Beispiele der Erweiterung, der eine in der wichtigen
Abhandlung, die wir schon Gelegenheit hatten zu zitieren, Almindelige
Egenskaber ved Systemer af plane Kurver,[423] der andere in seiner
Dissertation Recherches des caractéristiques des systèmes élémentaires de
courbes planes du troisième ordre;[424] andere findet der Leser in den
Schriften von S t u r m über die kubischen Raumkurven[425] und denen von
S c h u b e r t über die ebenen Kurven dritter Ordnung und dritter und vierter
Klasse, im Raume betrachtet.[426] Ferner sind die von Chasles gemachten
Betrachtungen enge mit denjenigen verbunden, welche in den wichtigen
Abhandlungen von C a y l e y, On the curves which satisfy given
conditions[427] enthalten sind, sowie in einigen Arbeiten von J o n q u i è r e s
über Systeme von Kurven und Flächen.[428] Endlich gehören hierher noch
die Untersuchungen von H i r s t[429] und S t u r m[430] über Systeme von

Projektivitäten und Korrelationen, sowie die von Z e u t h e n[431] über die
Plückerschen Charakteristiken der Enveloppen. Wir wollen noch bemerken,
daß zwischen den Systemen ebener Kurven und den
Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Variabelen eine sehr
innige Beziehung besteht, die sich zu erkennen giebt, indem die Integrale
einer dieser Gleichungen ein System von Kurven darstellen. Die gegebene
Differentialgleichung läßt jedem Punkte eine bestimmte Anzahl von ihm
ausgehender Richtungen entsprechen und einer Geraden eine bestimmte
Anzahl auf ihr liegender Punkte. Auf diese Beziehungen wurde C l e b s c h
durch seine Untersuchungen über die Konnexe[432] (vgl. § VI) und
unabhängig von F o u r e t[433] geführt. In ähnlicher Weise kann man eine
Beziehung zwischen den Differentialgleichungen erster Ordnung mit drei
Variabelen und einem Systeme von Oberflächen aufstellen, wie dies
ebenfalls F o u r e t[434] bemerkt hat. Dieser Zusammenhang ist von grosser
Wichtigkeit, weil er gestattet, Sätze auf transcendente Kurven oder
Oberflächen auszudehnen, von denen man glaubte, daß sie nur für
algebraische Kurven oder Oberflächen gültig seien; so konnte F o u r e t den
Satz über die Zahl der Kurven eines Systemes, welche eine gegebene
algebraische Kurve berühren, auf Systeme von transcendenten Kurven
ausdehnen,[435] konnte ferner die Ordnung des Ortes der Berührungspunkte
eines einfach unendlichen Systemes von Oberflächen mit den Oberflächen
eines doppelt unendlichen Systemes bestimmen,[436] ebenso die Ordnung
des Ortes der Berührungspunkte der Oberflächen eines doppelt unendlichen
Systemes mit einer gegebenen algebraischen Oberfläche[437] u. s. w.[438]
Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kürze wegen übergehe, war
die ganze Tragweite der C h a s l e s schen Betrachtungen noch nicht offenbar
geworden; das geschah durch den letzten, von dem ich zu sprechen habe,
durch H e r m a n n S c h u b e r t in seinem Kalkül der abzählenden Geometrie.
[439]
Dieses Buch, das noch viel zu wenig geschätzt wird, kann man mit
Recht als dasjenige betrachten, welches zuerst von Grund auf das Problem
behandelte, »zu bestimmen, wie viele geometrische Gebilde von gegebener
Definition einer hinreichenden Zahl von Bedingungen genügen,« d. h. das
Problem der abzählenden Geometrie. Dort sind die
Korrespondenzprinzipien unter ihrem wahren Gesichtspunkte
auseinandergesetzt, [440] dort ist klar erörtert, was man unter dem

Charakteristikenproblem einer bestimmten Figur zu verstehen hat, und sind
Methoden von außerordentlicher Macht für dessen Lösung gezeigt. Die
Schubertschen Methoden sind dazu bestimmt, eines Tages das übliche
Hilfsmittel für den Mathematiker zu werden, wie es augenblicklich die
Cartesische Geometrie ist, und niemand wird mich der Übertreibung
beschuldigen, der bedenkt, daß dieselben in einer Unzahl von Fällen zur
Lösung des allgemeinen Problemes der Elimination dienen, d. h. die Zahl
der Lösungen eines Systemes von algebraischen Gleichungen zu
bestimmen. Daher müssen alle, Analytiker und Geometer, dem Werke von
Schubert, durch welches er die abzählende Geometrie zu einer besonderen
Disziplin erhoben hat, reiches Lob zollen, oder besser, anstatt es blos zu
bewundern, sich vornehmen, die fruchtbaren Methoden desselben zu
vervollkommnen und sie von Mängeln frei zu machen, d. h. sie von dem
Tadel, der ihnen von einigen gemacht worden ist, daß sie nicht ganz strenge
seien, zu befreien und sie selbst oder wenigstens die Anwendungen, deren
sie fähig sind, zu vermehren.

Die auf die Theorie der Charakteristiken bezüglichen Andeutungen[441]
würden eine unverzeihliche Lücke darbieten, wenn sie nicht einen Hinblick
auf eine wichtige Frage böten, die zwischen einigen Geometern ventiliert
wurde, und die man heute als schon gelöst betrachten darf. Geleitet nämlich
durch einen Induktionsschluß, behauptete C h a s l e s, daß die Zahl
derjenigen Kegelschnitte eines einfach unendlichen Systemes, welche einer
neuen einfachen Bedingung genügen, ausgedrückt wird durch eine
homogene lineare Funktion der Charakteristiken des Systemes, deren
Koeffizienten einzig und allein von dieser Bedingung abhängen. D a r b o u x,
[442]
C l e b s c h,[443] L i n d e m a n n,[444] H u r w i t z und S c h u b e r t,[445] sowie
noch andere glaubten diesen Satz beweisen zu können. Aber daß die von
ihnen angeführten Gründe nicht beweiskräftig waren, wurde in einer Reihe
von Arbeiten gezeigt, in welchen H a l p h e n[446] die Hinfälligkeit der
Vermutung Chasles' klar legte und zeigte, wie man den vorher angeführten
Satz modifizieren müsse. In der Theorie der Charakteristiken der Systeme
von Flächen zweiten Grades hat man einen analogen Satz, den ebenfalls
H a l p h e n[447] entdeckt hat. Jedoch glaube man nicht, daß diese Sätze von
Halphen die Resultate zerstören, welche man erhalten, indem man den
Chaslesschen Weg einschlug; vielmehr sind dieselben glücklicherweise

meistenteils unabhängig von dem fraglichen Theorem, und für die anderen
Fälle ist es leicht zu zeigen, welche Korrektionen man machen muß.[448]

V.

Theorie der Kurven doppelter Krümmung.
———

Die Theorie der ebenen Kurven kann man in zwei verschiedenen
Richtungen verallgemeinern. Indem man die Thatsache ins Auge faßt, daß
eine solche Kurve durch e i n e Gleichung zwischen den Koordinaten eines
Punktes einer Ebene dargestellt wird, so ergiebt sich als Analogon im
Raume die Theorie der Oberflächen, indem diese als durch e i n e Gleichung
zwischen den Koordinaten eines Punktes im Raume darstellbar betrachtet
werden, auf welche Betrachtung wir im Vorhergehenden eingegangen sind.
Wenn man hingegen eine ebene Kurve als eine Reihe von einfach unendlich
vielen Punkten ansieht, so kann man die Theorie ausdehnen, indem man die
Beschränkung aufhebt, daß diese in einer Ebene gelegen seien: dann
entsteht die Theorie der unebenen Kurven.
Das Studium der Infinitesimaleigenschaften derselben kann man leicht
genug mit Hilfe von Methoden machen, die nicht sehr verschieden sind von
denjenigen, die für die ebenen Kurven angewandt werden. Deshalb wurde
dasselbe, wie ich schon sagte, vor mehr als einem Jahrhundert von
C l a i r a u t unternommen und wurde hernach von L a n c r e t (1774-1807),[449]
M o n g e,[450] T i n s e a u,[451] d e S a i n t - V e n a n t (1797-1886),[452] von
F r e n e t,[453] A l f r e d S e r r e t[454] und P a u l S e r r e t, von L i o u v i l l e (1809-
1882),[455] B e r t r a n d,[456] von P u i s e u x (1820-1883),[457] von L i e[458] und
vielen anderen fortgesetzt.[459]
Aber abgesehen von dieser Betrachtungsrichtung bietet das Studium der
übrigen allgemeinen Eigenschaften der unebenen Kurven sehr große
Schwierigkeiten. Man vermutete eine Zeit lang, daß jede Kurve im Raume
als der vollständige Schnitt zweier Oberflächen angesehen werden und
daher durch ein System von z w e i Gleichungen zwischen den Koordinaten
eines Punktes im Raume dargestellt werden könnte;[460] aber bald erkannte
man die Existenz von Kurven, die nicht der vollständige Schnitt von

Oberflächen sind, und die Notwendigkeit, dieselben nicht vermittelst
zweier, sondern dreier Gleichungen darzustellen, die ebenso vielen durch
dieselbe hindurchgehenden Oberflächen entsprechen. Man setzte voraus,
daß die Kenntnis der Ordnung zur Einteilung der unebenen Kurven
hinreichen würde, aber sobald man an die vierte Ordnung gekommen war,
erkannte man, daß dieselbe nicht genüge.[461] Man hätte nun glauben sollen,
daß die Ordnung und die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte für den
besagten Zweck hinreichen würden, aber als man an die neunte Ordnung
herantrat, sah man, daß man sich geirrt habe.[462] Auch eine dritte Zahl, die
niedrigste Ordnung der Kegel, die durch die von einem Punkte
herkommenden Sehnen (Doppelsekanten) der Kurve gehen, konnte nur bei
den Kurven von niederer, als der fünfzehnten Ordnung dazu verhelfen. So
kam man denn zu dem Schlusse, daß es unmöglich sei, eine gegebene
Kurve vermittelst einer bestimmten Menge von vornherein angebbarer
Zahlen zu charakterisieren.
Ich habe diese Thatsachen anführen wollen, um zu zeigen, daß die
a l l g e m e i n e Theorie der unebenen Kurven keine Ähnlichkeit mit irgend
einem anderen Teile der Geometrie zeigt und, indem ich auf die
erschreckliche Dunkelheit, die sie darbietet, hinwies, dem Leser das Mittel
geben wollen, den Grund zu finden, warum die Kenntnisse, die wir über
diese Gebilde haben, so wenig zahlreich und erst neueren Ursprunges sind.
Die ersten allgemeinen Resultate über die Kurven doppelter Krümmung
verdanken wir C a y l e y, welcher ihnen zwei wichtige Abhandlungen
gewidmet hat. In einer derselben stellte er die Formeln (analog denen von
Plücker) auf, welche die Zahl der Singularitäten einer Raumkurve
untereinander verbinden.[463] In der anderen führte er für das Studium der
Raumkurven von der Ordnung n diejenigen bemerkenswerten Flächen ein,
welche er »Monoide« nannte.[464]
Nach diesen Arbeiten müssen wir, um einen wirklich bemerkenswerten
Fortschritt in der Theorie, welche uns beschäftigt, zu finden, uns zu
H a l p h e n und N ö t h e r wenden, deren Abhandlungen[465], im Jahre 1882
von der Akademie zu Berlin mit dem Preise gekrönt, die Grundlage für eine
allgemeine Theorie der Raumkurven sind; denn sie behandeln die
Probleme: »alle voneinander verschiedenen Kurven von gegebener
Ordnung zu bestimmen«, »anzugeben, welche Kurven es auf einer

gegebenen Oberfläche giebt« und noch viele andere von nicht geringer
Bedeutung. Diese beiden Arbeiten verschlingen sich so enge und
durchdringen sich so innig, daß es sehr schwer wird, zu entscheiden,
welcher Anteil jedem der beiden Autoren in den vielen gemeinsamen
Resultaten zufällt, die sie enthalten. Wenn einerseits N ö t h e r die Theoreme,
welche Ende des Jahres 1870 von H a l p h e n in den Comptes rendus und an
anderen Stellen[466] ausgesprochen sind, ausbeuten konnte, so konnte dieser
sich der Sätze bedienen, welche in der sehr bedeutenden Abhandlung von
B r i l l und N ö t h e r, Über die algebraischen Funktionen und ihre
Anwendung in der Geometrie[467] enthalten sind, und in derjenigen, in
welcher N ö t h e r streng den Fundamentalsatz der Theorie der algebraischen
Funktionen dargethan hatte, welcher in der Auseinandersetzung von
H a l p h e n unumgänglich notwendig war.[468] Und man glaube nicht, daß
die von den beiden Geometern bei ihrem Thema eingeschlagenen Wege im
wesentlichen verschieden gewesen seien, vielmehr benutzten sie beide (wie
Cayley geraten hatte) Monoide, und wenn der eine vorzugsweise Formeln
und Sätze aus der Theorie der Abelschen Integrale gebraucht, so wendet der
andere solche Lehrsätze über die algebraischen Funktionen an, welche zu
denselben Eigenschaften führen. Jedenfalls steht es außer Zweifel, daß
diese beiden hervorragenden Produktionen unseres Zeitalters bestimmt
sind, die Grundlage für die zukünftigen geometrischen Untersuchungen zu
bilden, und wenn bis jetzt sich ihr Einfluß noch nicht so allgemein geltend
gemacht hat, so ist dieses vorzugsweise den großen Schwierigkeiten
zuzuschreiben, die ihr Gegenstand noch immer darbietet, und vielleicht
auch den Lücken, die in den Methoden vorhanden sind, die man zu Hilfe
nehmen könnte, um jene zu überwinden.[469]
Aber vor der Begründung der allgemeinen Theorie wurden viele einzelne
Kurven einem genaueren Studium unterworfen; da ich aber wünsche, mehr
als getreuer, denn als glänzender Geschichtsschreiber angesehen zu werden,
so muß ich hier eine Aufzählung der Arbeiten unternehmen, in welchen die
hervorragenderen unter diesen Untersuchungen enthalten sind.

»Degli altri fia laudabile il tacerci,
Chè il tempo saria corto a tanto suono.«[470]

Unter ihnen verdienen den ersten Platz diejenigen, welche die kubischen
Raumkurven behandeln. Über diese haben M ö b i u s[471] und C h a s l e s[472]
verschiedene sehr schöne Eigenschaften aufgefunden; dieselben vermehrten
sich mit solcher Schnelligkeit, daß S t a u d t[473] binnen kurzem die
vollständige Analogie, die zwischen ihnen und den Kegelschnitten besteht,
feststellen konnte; diese Analogie hat sich von Tag zu Tag mehr
vervollkommnet, dank den Studien von S e y d e w i t z,[474]
J o a c h i m s t h a l[475] C r e m o n a,[476] S c h r ö t e r,[477] R e y e,[478] E m i l
W e y r,[479] S t u r m,[480] H u r w i t z,[481] welche nicht allein die Aufstellung
einer vollständigen synthetischen Behandlung dieser Kurven gestatten,
sondern auch das Terrain für die so elegante analytische
Auseinandersetzung ebneten, die mein innigst geliebter Lehrer E.
d ' O v i d i o[482] und P i t a r e l l i[483] gemacht haben.
Dann will ich die Theorie der unebenen, auf einem einschaligen
Hyperboloide gezeichneten Kurven anführen, für welche C h a s l e s[484] das
Fundament gelegt hat, und die von unserem C r e m o n a[485] so sehr
bereichert ist. Ferner will ich der vielen Eigenschaften erwähnen, welche
P o n c e l e t,[486] C h a s l e s,[487] C r e m o n a,[488] R e y e,[489] P a u l S e r r e t,[490]
L a g u e r r e,[491] M i l i n o w s k i[492] und viele andere über die Raumkurven
vierter Ordnung erster Art gefunden haben, und die schönen Anwendungen,
die sie für die Theorie der zweifach periodischen Funktionen geliefert
haben, — H a r n a c k,[493] L a n g e,[494] W e s t p h a l,[495] L é a u t é[496] u. s. w.
Auch kann ich die schönen Arbeiten von C r e m o n a,[497] von A r m e n a n t e,
[498] B e r t i n i[499] und E m. W e y r[500] über die Raumkurven vierter

Ordnung zweiter Art nicht stillschweigend übergehen, ferner nicht die von
K l e i n und L i e über die durch unendlich viele lineare Transformationen in
sich selbst transformierten Kurven,[501] noch auch die von F i e d l e r[502]
angestellte Bestimmung der Kurven von nicht höherer als neunter Ordnung,
die zu ihren eigenen Tangenten-Developpabelen dual sind. Und wie könnte
ich es unterlassen, einen Blick auf die große Zahl von Kurven zu werfen,
welche C r e m o n a und S t u r m[503] studiert haben, indem sie sich mit der
Geometrie auf einer Oberfläche dritter Ordnung beschäftigten, dann auf die
wichtigen Probleme, die von C l e b s c h und seinen Schülern über die
rationalen,[504] elliptischen und hyperelliptischen[505] Kurven gelöst sind,

und die eleganten Eigenschaften, welche B e r t i n i[506] an den rationalen
Kurven fünfter Ordnung auffand, sowie W. S t a h l[507] bei denjenigen, deren
Punkte auf einer Oberfläche zweiten Grades liegen, während die
Oskulationsebenen eine solche zweiter Klasse berühren?
Indem der unerfahrene Leser so bedeutende und so verschiedene
Untersuchungen aufzählen hört, wird er sich von einem gewissen
Kleinmute bedrängt fühlen und sich fragen, wie es in kurzer Zeit möglich
sei, dieselben, wenn auch nicht alle, so doch größtenteils sich anzueignen?
Man beruhige sich. Die Übersicht ist für den Studierenden viel weniger
schwierig, als es nach meiner Besprechung scheinen könnte. Die von den
Geometern der ersten Hälfte unseres Jahrhunderts aufgestellten Prinzipien
sind so fruchtbar, daß, wenn jemand sich dieselben gründlich zu eigen
gemacht hat, er nicht allein selbst viele weitere Untersuchungen ableiten,
sondern auch noch darnach streben kann, die Wissenschaft selbst weiter zu
fördern. Und dieses — was sicherlich ein nicht zu unterschätzender Vorzug
der heutigen Wissenschaft vor der unserer Väter ist — wurde in Kürze von
einem ihrer Gründer mit den fortan klassischen Worten ausgesprochen:
»Peut donc qui voudra dans l'état actuel de la science généraliser et créer
en géométrie; le génie n'est plus indispensable pour ajouter une pierre à
l'édifice«,[508] goldene Worte, welche jeder, der Mathematik betreiben will,
sich einprägen muß; indem sie ihn auf einen wahrscheinlichen Sieg hoffen
lassen, werden sie ihn anspornen, sich mutig den geistigen Kämpfen
entgegenzustellen, die ihn erwarten.

VI.

Abbildungen, Korrespondenzen,
Transformationen.
———

Bei dieser flüchtigen Musterung der neuesten geometrischen Entdeckungen
gelangen wir nun zur Lehre von den Abbildungen, Korrespondenzen und
Transformationen. — Es ist bekannt, daß zwischen zwei ebenen
Punktfeldern eine Korrespondenz (Verwandtschaft) besteht, wenn jedem
Punkte des einen eine Gruppe von Punkten des anderen zugeordnet ist;
diese heißen dann die »entsprechenden« zu jenem. Wenn im speziellen
Falle jeder Punkt des einen Feldes einen einzigen entsprechenden in dem
anderen hat, so heißt die Korrespondenz »eindeutig«.
Die einfacheren Fälle der eindeutigen Korrespondenz sind die Homologie
— von P o n c e l e t studiert (1822) — und die Kollineation (Homographie),
von M ö b i u s (1827), M a g n u s (1833) und C h a s l e s (1837) studiert. In
diesen Fällen entspricht nicht nur jedem Punkte ein Punkt, sondern auch
jeder Geraden eine Gerade. — Ein Beispiel einer komplizierteren
Korrespondenz wurde von S t e i n e r (1832) durch folgende Konstruktion
erhalten:[509] Gegeben sind zwei getrennte Ebenen und zwei windschiefe
Geraden; durch jeden Punkt der einen von jenen ziehe man die Gerade,
welche die beiden gegebenen Geraden schneidet, und bestimme den
Schnittpunkt mit der anderen Ebene. Indem man diesen Schnittpunkt dem
in der ersten Ebene gewählten Punkte zuordnet, erhält man eine eindeutige
Beziehung von der Art, daß jeder Geraden in der einen Ebene ein
Kegelschnitt in der anderen entspricht. Läßt man nun die beiden Ebenen
zusammenfallen, so erhält man eine Korrespondenz, welche im
wesentlichen nicht von der durch P o n c e l e t[510] zwischen in bezug auf ein
Kegelschnittbüschel konjugierten Punkten gefundenen verschieden ist, und
welche auf analytischem Wege von P l ü c k e r[511] untersucht wurde, sodann
von M a g n u s (1790-1861)[512] und von unserem S c h i a p a r e l l i,[513]

synthetisch aber von S e y d e w i t z[514] und später von R e y e.[515] — Auf ein
drittes Beispiel führte die Lösung einiger Probleme aus der mathematischen
Physik; man gelangt dazu auf folgende Weise: Gegeben sei in einer Ebene
ein fester Punkt, man associiert zwei mit ihm in gerader Linie gelegene
Punkte, deren Abstände von ihm umgekehrt proportional sind. Man erhält
dann eine eindeutige Korrespondenz, welche jede Gerade in einen Kreis,
und jeden Kreis wieder in einen Kreis verwandelt. Diese wurde von Sir
W i l l i a m T h o m s o n[516] als »Prinzip der elektrischen Bilder« studiert und
ist unter dem Namen »Transformation durch reciproke Radien« oder
»Inversion« allgemein bekannt.[517]
Alle diese Transformationen sind linear oder quadratisch, da sie eine
Gerade in eine Kurve erster oder zweiter Ordnung verwandeln. Jedoch
machte M a g n u s schon die Bemerkung, daß, wenn man eine quadratische
Transformation wiederholt, man im allgemeinen eine solche höherer
Ordnung erhält.[518] Diese wichtige Bemerkung blieb aber bis zu dem
Zeitpunkte unfruchtbar (1863), in welchem C r e m o n a von den wenigen
bisher erörterten Fällen zur allgemeinen Theorie der geometrischen
Transformationen der ebenen Figuren überging.[519]
Um dem Leser die Bedeutung der Schriften, welche C r e m o n a dieser
Theorie[520] gewidmet hat, zu zeigen, würde ich auseinanderzusetzen haben,
auf welche Weise dieser große Geometer das Studium der eindeutigen
Transformationen auf das eines homaloidischen Netzes von Kurven
zurückgeführt hat, und die Bestimmung eines solchen Netzes auf die
Lösung eines unbestimmten Systemes von linearen Gleichungen; aber da
die Anlage meiner Abhandlung mir das nicht gestattet, so muß ich mich
darauf beschränken, ihn davon durch den alten Beweis des »consensus
omnium« zu überzeugen. Dann führe ich noch die Namen von Geometern
an wie C a y l e y,[521] C l e b s c h,[522] N ö t h e r,[523] R o s a n e s,[524] S.
R o b e r t s,[525] die sich bemüht haben, die (bei der ersten Behandlung des
Stoffes unvermeidlichen) Lücken, die sich in den C r e m o n a schen
Abhandlungen[526] fanden, auszufüllen; ferner die Arbeiten von R u f f i n i,
[527] J o n q u i è r e s,[528] K a n t o r,[529] G u c c i a,[530] A u t o n n e,[531] welche

mit dieser Lehre eng zusammenhängende Fragen behandeln, endlich die
von H i r s t,[532] T. C o t t e r i l l[533] (1808-1881), von S t u r m,[534]

S c h o u t e[535] und sehr vielen anderen, welche sich das bescheidenere Ziel
gesetzt haben, die Verbreitung derselben durch geeignete Beispiele und
elegante Formeln zu erleichtern.[536]
Unter den Arbeiten, welche sich an die von C r e m o n a anschließen,
verdienen eine hervorragende Stelle diejenigen von B e r t i n i,[537] welche er
den ebenen involutorischen Transformationen gewidmet hat, welche
Arbeiten noch größere Einfachheit und Eleganz erhielten durch den Begriff
der Klasse und andere Begriffe, die von C a p o r a l i[538] (1855-1886)
eingeführt wurden, jenem ausgezeichneten Geometer, dessen frühen Verlust
ganz Italien betrauert.[539]
Von ganz verschiedenem Charakter sind hingegen die eleganten
Untersuchungen von L a g u e r r e über solche Transformationen, welche er
»Transformationen durch reciproke Richtungen« nannte; da es nicht
möglich ist, den Grundgedanken in wenigen Worten zusammenzufassen
und die vielfachen Anwendungen, welche der Erfinder davon gemacht hat,
anzudeuten, verweisen wir den Leser auf die Originalarbeiten des
hervorragenden französischen Geometers.[540]
Von der Theorie, die wir jetzt besprechen, bildet auch die Lehre von den
»isogonalen Transformationen« einen Teil, welcher sich auf die
geometrische Darstellung der komplexen Zahlen stützt und deren
Nützlichkeit (welche vielleicht grösser ist für die mathematische Physik als
für die reine Geometrie) M ö b i u s,[541] S i e b e c k,[542] D u r è g e,[543]
B e l t r a m i,[544] V o n d e r - M ü h l l,[545] F. L u c a s,[546] W e d e k i n d[547] und
neuerdings H o l z m ü l l e r[548] dargethan haben.[549]
Den Begriff der eindeutigen Korrespondenz zwischen zwei Ebenen kann
man auf verschiedene Weise verallgemeinern; die Weisen, die sich so
ziemlich von selbst darbieten, sind folgende:
Vor allem, ohne die Ebene zu verlassen, kann man eine Korrespondenz
aufstellen zwischen jedem Punkte derselben und einer Kurve eines doppelt
unendlichen Systemes in derselben oder auch einer anderen Ebene;[550]
diese Art der Korrespondenz ist eine Erweiterung der Korrelation
(Reciprocität) zwischen zwei Feldern; angegeben von P l ü c k e r, wurde

dieselbe von C l e b s c h[551] entwickelt und veranlaßte die Theorie der
Konnexe.[552]
Wenn man dann zum Raume übergeht, kann man eine Korrespondenz
zwischen den Punkten zweier Oberflächen aufstellen (insbesondere
zwischen den Punkten einer krummen Oberfläche und denen einer Ebene)
oder zwischen den Punkten zweier Räume.
Die Darstellung einer Oberfläche auf einer Ebene kann man bis ins
Altertum zurückverfolgen, da schon H i p p a r c h und P t o l o m a e u s (und
wahrscheinlich andere vor ihnen) sich die Aufgabe der Herstellung
geographischer Karten gestellt und Lösungen derselben mitgeteilt haben,
die auf derjenigen Projektion beruhen, welche man heute die
stereographische nennt. — Die Projektion von M e r c a t o r (1512-1594), die
Untersuchungen von L a m b e r t (1728-1777) und L a g r a n g e, die berühmte
Antwort von G a u ß auf eine von der dänischen Akademie gestellte
Frage[553] zeigen, wie die täglichen Bedürfnisse der Geographie und
Navigationskunde unaufhörlich die Gelehrten angetrieben haben, sich mit
dem Probleme der eindeutigen Darstellung der Oberfläche unseres Planeten
auf einer Ebene zu beschäftigen.[554] — Die erste Abbildung einer
Oberfläche auf einer anderen jedoch, die nur in der Absicht gemacht wurde,
um eine derselben leichter studieren zu können, verdanken wir Gauß, der
1827 in seinen berühmten Disquisitions generales circa superficies curvas
es als sehr vorteilhaft erkannte, die Punkte einer beliebigen Oberfläche den
Punkten einer Kugelfläche entsprechen zu lassen, indem man zwei solche
Punkte zuordnet, deren Normalen einander parallel sind.[555] Eine
besondere Eigentümlichkeit dieser Korrespondenz ist die, daß, um
Eindeutigkeit zu erhalten, es fast immer nötig ist, nur den Teil der
Oberfläche abzubilden, den man gerade ins Auge faßt; wir wollten diese
Eigenschaft nicht stillschweigend übergehen, da deren Anführung uns
Gelegenheit giebt, den Unterschied hervorzuheben, der zwischen der
sphärischen Abbildung und den Abbildungen besteht, welche von P l ü c k e r,
[556] C h a s l e s[557] und C a y l e y[558] für das Studium der Geometrie auf

einer Fläche zweiten Grades, denen, die von C l e b s c h[559] und
C r e m o n a[560] für das Studium der Geometrie auf einer kubischen Fläche,
und von denen endlich, die von späteren Geometern für die Untersuchung
anderer Flächen vorgeschlagen sind.

Die erste Arbeit, welche ex professo die Theorie der Abbildungen dieser Art
behandelt, verdankt man C l e b s c h.[561] Die zahlreichen Beispiele, durch
welche der Verfasser in dieser Arbeit, sowie in einigen älteren und
späteren[562] die allgemeine Theorie illustrierte, haben zur Aufstellung der
Geometrie auf einer grossen Zahl von Flächen mit vielen Einzelheiten
geführt. Ferner haben die fast gleichzeitigen Abhandlungen von
C r e m o n a[563] und N ö t h e r,[564] sowie die ihnen folgenden von
A r m e n a n t e,[565] K l e i n,[566] K o r n d ö r f e r,[567] C a p o r a l i[568] und von
noch anderen[569] im Verlaufe weniger Jahre diese Zahl außerordentlich
vermehrt.[570] Man kann sich eine ziemlich genaue Vorstellung von dem
Reichtum dieses Zweiges der Geometrie machen, wenn man die schöne
Abhandlung von C a p o r a l i über die dreifach unendlichen linearen Systeme
ebener Kurven liest,[571] in welcher er einerseits die Theorie der Abbildung
einer Oberfläche auf eine Ebene auf das Studium solcher Systeme
anwandte, andererseits in derselben wertvolle Hilfsmittel der Untersuchung
fand.
Bei dem Studium der Abbildung einer Oberfläche bietet sich von selbst eine
wichtige Frage dar, nämlich die, ob sie alle eindeutig auf eine Ebene
abbildbar sind, oder allgemeiner: ob zwei Oberflächen sich als Punkt für
Punkt einander entsprechend darstellen lassen. Und da man leicht erkannte,
daß die Antwort auf diese Frage eine negative sei, so wurde man natürlich
auf die andere Frage geführt: Welche Oberflächen lassen sich eindeutig auf
einer Ebene abbilden? Oder allgemeiner: Welche Oberflächen kann man
eindeutig auf einer gegebenen abbilden? — Die analoge Frage für zwei
(ebene oder unebene) Kurven wurde von C l e b s c h vermittelst der
Betrachtung des Geschlechtes und der Moduln gelöst. Diese Analogie
veranlaßte nun C l e b s c h, die Lösung des vorhin angegebenen Problems in
einer Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes auf die Oberflächen[572]
zu suchen. Dieser Versuch wurde jedoch nach meinem Dafürhalten nicht
von gutem Erfolge gekrönt, und auch heute muß man trotz der nach
C l e b s c h angestellten Versuche ausgezeichneter Mathematiker wie
C a y l e y,[573] N ö t h e r,[574] Z e u t h e n[575] die Frage als noch ungelöst
betrachten; um das zu beweisen, genügt es zu sagen, daß, wenn es auch
bekannt ist, daß alle Oberflächen zweiter und dritter Ordnung (die nicht
Kegelflächen sind) eindeutig auf einer Ebene abbildbar sind, doch noch

nicht alle Oberflächen vierter Ordnung bestimmt sind, welche dieselbe
Eigenschaft haben.[576] Die allgemeineren Resultate, die man auf diesem
Gebiete kennt, waren, wenn ich nicht irre, von N ö t h e r[577] erhalten; dieser
gelangte durch eine überaus elegante analytische Betrachtung bei jeder
Oberfläche, welche eine einfach unendliche Schar rationaler Kurven
enthält, zu einer Abbildung derselben auf einem Kegel.
Die Schwierigkeit aber, auf welche man bei der eindeutigen Abbildung
gewisser Oberflächen auf eine Ebene stieß, ließen bei C l e b s c h den
Gedanken entstehen, zwischen einer Oberfläche und einer Ebene eine
vielfache Korrespondenz aufzustellen, oder auch (wie er an die
R i e m a n n schen Flächen denkend sagte) eine Fläche auf eine vielfache
Ebene abzubilden und dann diese auf eine einfache Ebene zu beziehen.[578]
Diese Idee, deren Keime sich vielleicht bis zu der von C h a s l e s[579]
vorgeschlagenen Verallgemeinerung der stereographischen Projektion
zurückverfolgen lassen, konnte nicht mehr vollständig von ihrem Urheber
entwickelt werden; jedoch blieben die von ihm gegebenen Andeutungen
nicht unfruchtbar, vielmehr entstand aus ihnen die Theorie der doppelten
ebenen Transformationen, welche d e P a o l i s aufgestellt und durch
vielfache Anwendungen erläutert hat.[580]
Die zweite Verallgemeinerung der C r e m o n a schen Transformationen
veranlaßte die Theorie der rationalen Transformationen im Räume. Zwei
Beispiele einer solchen Korrespondenz boten sich in der Homographie
zweier Räume (und deren Spezialfällen) dar und — wie M a g n u s,[581]
H e s s e[582] und C r e m o n a[583] bemerkt haben — in der Transformation, die
man erhält durch drei zu demselben Räume korrelative (reciproke) Räume,
indem man jedem Punkte jenes Raumes den Schnitt der Ebenen zuordnet,
die ihm in diesen entsprechen. Die allgemeine Theorie entstand jedoch erst
um das Jahr 1870 durch die Bemühungen C a y l e y s,[584] N ö t h e r s[585] und
C r e m o n a s,[586] obwohl schon M a g n u s[587] Ende 1837 dieselbe
angestrebt und ihre Wichtigkeit eingesehen hatte.
Von den bemerkenswerten Arbeiten, in welchen diese Gelehrten unsere
Theorie im allgemeinen begründeten, ist ohne Zweifel die wichtigste jene,
die wir der Feder unseres berühmten Landsmannes verdanken. Geleitet
durch die Analogie, welche diese Disziplin mit der der eindeutigen

Korrespondenz zwischen zwei Ebenen darbietet, zeigte er, wie jene sich auf
das Studium der dreifach unendlichen homaloidischen Systeme von
Oberflächen zurückführen läßt. Darauf setzte er auf eine sehr schöne Weise
auseinander, wie man unendlich viele solcher Systeme erhalten könne,
wenn man die ebene Abbildung e i n e r Oberfläche kennt, und zeigte zuletzt
durch treffende Beispiele, wie man die Theorie der rationalen
Transformationen auf die Abbildung vieler Flächen auf andere zurückführt,
insbesondere auf die ebene Abbildung einiger von ihnen. Diese
Anwendung, vereint mit der obenerwähnten Methode, zeigt klar, wie man
aus der ebenen Abbildung einer Oberfläche nicht nur die Abbildungen von
unendlich vielen anderen erhalten kann, sondern auch unzählig viele
rationale Transformationen des Raumes.
Ungeachtet der Schriften, durch welche England, Deutschland und Italien
so mächtig zur Gründung und Erweiterung dieser Theorie beigetragen
haben, kann man doch nicht sagen, daß dieselbe den Grad der Vollendung
erreicht habe, den andere erlangt haben. Das kommt vielleicht daher, daß
die schwierigsten Fragen, welche sich in derselben darbieten, innig mit der
Bestimmung der Singularitäten der Oberflächen zusammenhängen, und
über diese — wir müssen es leider gestehen — sind unsere Kenntnisse noch
sehr beschränkt. Darin hat man vielleicht die Erklärung der Thatsache zu
suchen, daß die Geometer, die auf jene oben erwähnten folgten, sich mehr
mit der Erläuterung der Methoden ihrer Meister, als mit der
Vervollkommnung derselben und der Ausfüllung ihrer Lücken beschäftigt
haben.[588] Und dennoch — wenn auch das Studium der Figur selbst ohne
Zweifel dem der transformierten vorzuziehen ist — giebt es bei dem
heutigen Standpunkte der Wissenschaft sehr wenige Theorien, die so sehr es
verdienen, daß man sie in allen ihren Einzelheiten vervollkommne, als
gerade diese. In der That, um die Worte eines großen Mannes zu
gebrauchen, »wenn man über das Verfahren der Algebra nachdenkt und den
Grund der gewaltigen Vorteile aufsucht, die sie der Geometrie bietet, sieht
man da nicht, daß sie dieselben der Leichtigkeit verdankt, mit welcher man
anfänglich eingeführte Ausdrücke Transformationen unterziehen kann,
Transformationen, deren Geheimnis und deren Mechanismus die wahre
Wissenschaft bilden und die das ständige Ziel der Analysten sind? Ist es
darum nicht natürlich, zu versuchen, in die reine Geometrie analoge

Transformationen einzuführen, welche direkt auf die vorgelegten Figuren
und ihre Eigenschaften hinsteuern?[589]
Auf das allgemeine Studium der Transformationen folgt das solcher
Transformationen, bei denen man einen gewissen Zweck im Auge hat,[590]
z. B. die Verwandlung der Figuren in sich selbst oder ihre Zurückführung
zur ursprünglichen Figur, wenn die Transformationen mehrmals
hintereinander angewandt werden. Es existieren in der That auch schon
einige gute Arbeiten, in welchen die Kollineationen und Korrelationen
behandelt sind, welche eine Fläche zweiter Ordnung, einen linearen
Komplex[591] oder eine kubische Raumkurve[592] in sich selbst
transformieren, sowie über die cyklischen Projektivitäten.[593]
Wir wollen diesen Abschnitt unserer Arbeit beschließen, indem wir noch
einige Worte über die vielfachen Transformationen zwischen zwei Gebilden
zweiter und dritter Stufe sagen, auf welche ich nur im Vorübergehen
hinweisen konnte, indem ich einige Abhandlungen von P a o l i s anführte.
Der erste, der sich mit ihnen beschäftigte, war C h r. W i e n e r,[594] welcher
sie untersuchte, indem er eine eindeutige Korrespondenz in der Ebene
herstellte zwischen den Geraden einer Ebene und den Kurven eines linearen
Systemes; dann ist einem Punkte, betrachtet als Schnitt zweier Geraden, die
Gruppe der Grundpunkte des Büschels zugeordnet, der durch die
entsprechenden Kurven konstituiert wird. Diese Art und Weise, vielfache
Transformationen zu erzeugen, wurde von T o g n o l i[595] auf den Raum
ausgedehnt; derselbe ließ jedem Punkte, betrachtet als Schnitt dreier
Ebenen, die Grundpunkte desjenigen Netzes entsprechen, das durch die drei
den drei Ebenen entsprechenden Oberflächen eines dreifach unendlichen
linearen Systemes bestimmt wird. Solche Untersuchungen haben sich bis
jetzt jedoch noch nicht als sehr fruchtbar gezeigt. Ziemlich wichtig dagegen
sind die schon genannten Untersuchungen von P a o l i s über die doppelten
Transformationen. Das zeigen die Arbeiten, in denen V i s a l l i[596] und
J u n g[597] die vielfachen Transformationen untersucht haben und welche die
Fortsetzungen jener sind.
Mit einigen speziellen vielfachen Transformationen des Raumes haben sich
R e y e[598] und S e g r e[599] beschäftigt und von ihnen elegante Anwendungen
gemacht. A s c h i e r i[600] übertrug eine spezielle ebene zweifache

Transformation, welche P a o l i s bearbeitet hatte, auf den Raum und dehnte
auch die Anwendungen, die jener davon gemacht hatte, auf die Nicht-
Euklidische Geometrie aus. Allgemeine Untersuchungen auf diesem
Gebiete haben wir jedoch keine außer den wenigen, die in einer kurzen
Arbeit von R e y e[601] aufgezeichnet sind, und den sehr wichtigen über die
doppelten Transformationen des Raumes von P a o l i s.[602] Wir zweifeln
nicht, daß diese und jene als Grundlage einer allgemeinen Theorie der
zweifachen Transformationen, die wir noch erwarten, dienen können; und
wir erwarten dieselbe mit Ungeduld, da wir sicher sind, daß dieselbe der
Geometrie nicht geringere Dienste leisten wird, als die sehr bekannten, die
ihr durch die birationalen Transformationen geleistet sind, und jene, die,
wie P a o l i s bemerkt, die doppelten leisten können.
Neben die vielfachen Korrespondenzen zwischen zwei Räumen von
Punkten (oder Ebenen) kann man die zwischen einem Punktraume und
einem Ebenenraume stellen. Untersucht wurden dieselben für den Fall, daß
durch jeden Punkt die entsprechenden Ebenen gehen und in jeder Ebene die
entsprechenden Punkte liegen. Zusammen betrachtet bilden die zwei Räume
ein höheres Nullsystem oder Punktebenensystem. Die Theorie dieser
Systeme ist in diesen letzten Jahren besonders durch die Arbeiten von
A m e s e d e r,[603] von S t u r m[604] und V o ß[605] hervorgetreten, während
R e y e[606] das Verdienst zukommt, den Begriff des gemeinen
Nullsystemes[607] zuerst, doch in einer anderen Weise — die
entsprechenden Elemente sind nicht Punkte und Ebenen, sondern Flächen
zweiter Ordnung und zweiter Klasse — erweitert zu haben.

VII.

Geometrie der Geraden.
———

Die griechische Geometrie betrachtet den Punkt als das erzeugende Element
aller Figuren; die analytische Geometrie des Cartesius machte die
Bestimmung des Punktes zur Grundlage aller ihrer Rechnungen. Das
Prinzip der Dualität führte nun die Gelehrten zu dem Schlüsse, daß die
Gerade in der Ebene und die Ebene im Raume mit gleichem Rechte und
gleichem Erfolge, wie der Punkt, die Rolle spielen könne, die bis jetzt
dieser in der Geometrie inne gehabt, und führte in der Folge dazu, die
Gerade und die Ebene als Elemente der Ebene und des Raumes
anzunehmen und ein neues System der (synthetischen und analytischen)
Geometrie aufzustellen. Das Verdienst dieses bemerkenswerten
Fortschrittes gebührt größtenteils P l ü c k e r.[608]
Aber ganz auf P l ü c k e r fällt der Ruhm, ein drittes die räumlichen Gebilde
erzeugendes Element — die Gerade — eingeführt und auf eine solche
Betrachtung eine neue Geometrie des Raumes begründet zu haben. Dieser
berühmte Gelehrte kehrte, nachdem er fast zwanzig Jahre hindurch die
Geometrie verlassen hatte, um seine bedeutenden Geisteskräfte der Physik
zu widmen, zu der Wissenschaft zurück, die ihm ursprünglich seinen Ruhm
gesichert hatte, um sie mit einer neuen und wichtigen Disziplin zu
beschenken, mit »der Geometrie der Geraden«.
Die ersten Mitteilungen über diesen Gegenstand, die im Jahre 1865 der
Königlichen Gesellschaft zu London[609] von dem großen deutschen
Geometer gemacht wurden, enthalten die Sätze über einige allgemeine
Eigenschaften der Komplexe, Kongruenzen und Regelflächen und einige
spezielle Eigenschaften der linearen Komplexe und Kongruenzen;[610] die
Beweise derselben sind nur angedeutet und sollen, nach Angabe des Autors,
vermittelst der Koordinaten einer Geraden im Raume geführt werden, die er
als einen eigenen Gedanken eingeführt hatte, die man später aber als

Spezialfall dessen erkannte, was schon C a y l e y[611] aufgestellt hatte, um
vermittelst einer einzigen Gleichung eine beliebige Kurve im Raume
darstellen zu können.
Diese Mitteilungen veranlaßten plötzlich eine Reihe wichtiger Arbeiten, in
denen B a t t a g l i n i nicht nur, was Plücker behauptet hatte, sondern auch
viele Lehrsätze bewies, die sich auf die Komplexe zweiten und höheren
Grades beziehen.[612] — Indessen hatte P l ü c k e r schon die von ihm
skizzierten Gedanken ausgeführt und in dem Werke vereinigt, welches den
Titel trägt: Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der
geraden Linie als Raumelement.[613]
Von diesem Buche zu sagen, daß es in allen seinen Teilen gleich wichtig
und interessant sei, würde eine der Wahrheit nicht entsprechende
Behauptung sein. Plücker schätzte nicht die Eleganz der Rechnung, an die
wir durch L a g r a n g e, J a c o b i, H e s s e, C l e b s c h gewöhnt sind; er teilte
sicherlich nicht mit L a m é[614] die Ansicht, daß »die Bezeichnung für die
Analysis das sei, was die Stellung und Wahl der Worte für den Stil ist«; bei
ihm brauchte die Rechnung nur der einen Bedingung zu genügen, nämlich
schnell zur Lösung der ins Auge gefaßten Probleme zu führen. Dieser
Mangel, der allen Arbeiten von Plücker gemeinsam ist, macht sich lebhafter
in dem letzten Werke bemerklich, welches einen Wettstreit eingehen sollte
mit Mustern der Eleganz, wie den Vorlesungen über analytische Geometrie
des Raumes von H e s s e und den Vorlesungen über Dynamik von J a c o b i,
die kurz vorher (1861 und 1866) herausgekommen waren. Außer diesem
nicht geringen Mangel ist ein anderer noch bedeutenderer dadurch
entstanden, daß Plücker lange Zeit hindurch es vernachlässigt hatte, den
Fortschritten der Geometrie nachzugehen. Infolge dieser einseitigen
Ausbildung finden wir in seinem Buche eine Menge von Untersuchungen,
die uns nicht mehr interessieren, da sie unter andere allgemeinere, schon
gemachte fallen, eine große Anzahl von Spezialfällen, von deren
Wichtigkeit wir uns nicht überzeugen können, eine Menge von
komplizierten Formeln, deren Nutzen wir nicht einsehen. Trotz dieser
Fehler — die ich anführen muß, um die geringe Anzahl der Leser, die sie
heute findet, zu begründen — kann man nicht verkennen, daß die letzte
Arbeit von Plücker reich an originellen Blicken ist, und es würde die
Lektüre derselben jedem zu raten sein, der das Studium dieses Teiles der

Geometrie unternehmen will, wenn nicht die Nachfolger Plückers seine
Untersuchungen in besserer Form auseinandergesetzt und mit anderen
Methoden ausgeführt, und jene Gedanken, die er nur hingeworfen hat,
größtenteils entwickelt hätten.
Plücker hatte nicht die Zeit, die Theorie der Komplexe zweiten Grades zu
vollenden, da der Tod ihn traf, als er gerade im Begriffe stand, den zweiten
Teil seines Buches zu veröffentlichen; aber die Untersuchungen, die er
unvollendet zurückließ, wurden von seinem Schüler F. K l e i n[615] zu Ende
geführt. Ihm verdanken wir nicht nur den allgemeinen Begriff der
Koordinaten einer Geraden und eine Anzahl sehr schöner Lehrsätze über
die Komplexe zweiten Grades, sondern auch verschiedene allgemeine und
außerordentlich fruchtbare Ideen über die Geometrie der Geraden. In der
That ist es K l e i n, der, einen Gedanken seines Lehrers präzisierend, die
Bemerkung machte, daß man die Geometrie der Geraden ansehen könne als
das Studium einer quadratischen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen,
enthalten in einem linearen Raume von fünf Dimensionen, und zeigte, daß
jeder Komplex durch eine einzige Gleichung zwischen den Koordinaten
einer Geraden darstellbar ist. Daß diese Bemerkung und dieser Lehrsatz von
der größten Bedeutung für den Fortschritt der Geometrie der Geraden seien,
wurde in glänzender Weise durch die schönen Untersuchungen meines
lieben Freundes S e g r e[616] gezeigt, die mit denen von K l e i n innig
zusammenhängen.

Gleichzeitig mit Klein beschäftigten sich P a s c h,[617] Z e u t h e n,[618]
D r a c h,[619] später auch P a o l i s[620] wiederholt mit der Geometrie der
Geraden, indem sie verschiedene Fragen derselben vermittelst homogener
Koordinaten behandelten. C l e b s c h[621] wandte auf diese Theorie die
Methode der abgekürzten Bezeichnung an; im Jahre 1873 vervollständigte
W e i l e r[622] die Einteilung der Komplexe zweiten Grades nach den
Begriffen, die K l e i n in seiner Dissertation angegeben hatte. V o ß[623]
studierte in einer Reihe sehr wichtiger Abhandlungen die Singularitäten der
Systeme von Geraden; H a l p h e n bestimmte die Zahl der Geraden des
Raumes, welche vorher aufgestellten Bedingungen genügen;[624] N ö t h e r,
[625] K l e i n[626] und C a p o r a l i[627] beschäftigten sich mit der Abbildung der

Komplexe ersten und zweiten Grades auf den gewöhnlichen Raum,
A s c h i e r i mit der einiger spezieller Komplexe;[628] L i e stellte den innigen

Zusammenhang, der zwischen der Geometrie der Kugel und der Geometrie
der Geraden besteht, ins Licht;[629] R e y e endlich studierte die Formen der
allgemeinen quadratischen Komplexe.[630] Nur mit Hilfe der synthetischen
Geometrie wurde unsere Theorie von C h a s l e s studiert[631] — schon 1839
—, von R e y e,[632] von S i l l d o r f,[633] S c h u r,[634] B e r t i n i,[635] von
d ' O v i d i o[636] und von W. S t a h l;[637] B u c h h e i m[638] bediente sich der
Quaternionen, um die hauptsächlichsten Eigenschaften der linearen
Kongruenzen zu beweisen, während viele Fragen aus der
Infinitesimalgeometrie, die sich auf Systeme von Geraden beziehen,
glücklich in einigen Abhandlungen von M a n n h e i m,[639] L i e,[640] K l e i n,
[641] P i c a r d[642] und K ö n i g s[643] gelöst wurden. Schließlich wurden einige

spezielle Komplexe studiert von A s c h i e r i,[644] P a i n v i n,[645] von R e y e,
[646] L i e,[647] W e i l e r,[648] R o c c e l l a,[649] von H i r s t,[650] V o ß,[651]

G e n t y,[652] M o n t e s a n o,[653] von S e g r e und von mir.[654]
Neben der reichhaltigen Schar von Schriften, die wir dem von Plücker
gegebenen Anstoße verdanken, müssen wir noch eine andere ebenso
glänzende erwähnen, die aber von ganz anderer Art ist. Sie umfaßt die
Arbeiten von D u p i n,[655] M a l u s[656] (1775-1811) und Ch. S t u r m[657]
(1803-1855), B e r t r a n d,[658] T r a n s o n[659] über die Normalen von
Oberflächen und über die mathematische Theorie des Lichtes, dann die von
H a m i l t o n (1805-1865) über Systeme von Strahlen.[660] Diese Arbeiten
finden ihre Krönung in zwei berühmten Abhandlungen, die von K u m m e r
in den Jahren 1857 und 1866 veröffentlicht sind.

In der ersteren, die im Journal für Mathematik[661] abgedruckt ist, hat sich
K u m m e r die Aufgabe gestellt, durch eine einheitliche und einfachere
Methode die Resultate von H a m i l t o n darzulegen und sie in den Punkten,
wo sie mangelhaft erschienen, zu vervollständigen.[662]

In der zweiten,[663] die noch wichtiger ist, stellte er sich, nach einigen
schönen allgemeinen Untersuchungen über die Zahl der Singularitäten eines
Systemes von Strahlen und seiner Brennfläche, und löste die Frage, alle
algebraischen Systeme von Strahlen erster und zweiter Ordnung zu
bestimmen, d. h. solche, bei denen durch jeden Punkt des Raumes e i n e r
oder z w e i Strahlen des Systemes hindurchgehen.

Ich möchte wünschen, daß mir hinreichender Raum zu Gebote stände, um
den Leser in den Stand zu setzen, die ausgezeichneten Verdienste dieser
klassischen Arbeit hoch zu schätzen, um ihn an der tiefen Bewunderung
teilnehmen zu lassen, die ich für sie empfinde; ich möchte ihn sehen lassen,
mit welch ausserordentlicher Gewandtheit der Verfasser zur Bestimmung
aller Strahlensysteme erster und zweiter Ordnung zu gelangen weiß, zu den
Gleichungen, die sie und ihre Brennflächen darstellen (welches jene
Oberflächen vierter Ordnung mit Doppelpunkten sind, die ich Gelegenheit
hatte, im Abschnitt III zu erwähnen), zu den Singularitäten der Systeme,
den Konfigurationen, die sie bilden, zum Zusammenhange zwischen ihnen
und den Singularitäten der Brennfläche u. s. w. Aber da die Bemessenheit
des Raumes es mir verbietet, so muß ich mich darauf beschränken, den
Wunsch auszusprechen, daß dieser mein kurzer Überblick es bewirken
könne, daß bei jedwedem das Verlangen entsteht, die Untersuchungen
K u m m e r s selbst kennen zu lernen und den Weg zu verfolgen, den er mit
solchem Glücke eingeschlagen hat; ich spreche diesen Wunsch aus, da mich
die Beobachtung schmerzlich bewegt, daß in den zwanzig Jahren, die schon
seit dem Erscheinen der K u m m e r schen Arbeit verflossen sind, es noch
nicht gelungen ist, eine solche Theorie, die sich so fruchtbar an schönen
Resultaten gezeigt hat, in einer bemerkenswerten Weise zu fördern.[664]

VIII.

Nicht-Euklidische Geometrie.
———

Die letzte Kategorie von Arbeiten, mit denen ich mich zu beschäftigen
habe, umfaßt eine Reihe von Untersuchungen, die zu lebhaften
Diskussionen Veranlassung gegeben haben und — wunderbar zu sagen —
eine Zeit lang die Mathematiker in zwei Feldlager geteilt haben, »das eine
gewappnet gegen das andere«;[665] heutzutage bilden sie denjenigen Teil der
Wissenschaft des Raumes, den man »Nicht-Euklidische Geometrie« und
»Theorie der beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeiten« oder »Geometrie
von n Dimensionen«[666] nennt.
Jeder weiß, daß unter allen Sätzen, die in den Elementen des E u k l i d
enthalten sind, es einen giebt,[667] der nur schlecht dazu paßt, wie es der
griechische Geometer gethan hat, unter die Axiome oder die Postulate
gestellt zu werden.[668] Derselbe ist von großer Wichtigkeit im Euklidischen
System, da auf ihn, wie man sagen kann, die ganze Theorie der Parallelen
gegründet ist. Weil es nun nicht auf Grund unmittelbarer Anschauung
gerechtfertigt ist, ihn unter diejenigen Sätze zu zählen, für welche es
vergeblich ist, einen Beweis zu fordern, so kam man auf die Frage, ob er in
der That unbeweisbar sei, und ob man nicht, wenn das der Fall sein sollte,
ihn unterdrücken und durch einen anderen ersetzen könne, dessen Wahrheit
offenbarer sei?
Diese Fragen sind ein natürlicher Ausfluß unseres Zeitalters, von welchem
eine der hervorragendsten Eigentümlichkeiten (wie H u m b o l d t bemerkt)
die unparteiliche Kritik alles dessen ist, was uns die Vergangenheit
hinterlassen hat; sie müssen als der erste Ursprung der Nicht-Euklidischen
Geometrie angesehen werden.
Die ersten wichtigen Studien auf diesem Gebiete wurden gegen Ende des
vergangenen Jahrhunderts von L e g e n d r e[669] gemacht. Dieselben stellten

den Zusammenhang klar, der zwischen dem Postulate des Euklid und dem
Satze besteht, der sich auf die Winkelsumme eines Dreiecks bezieht, und
führten L e g e n d r e dazu, nicht nur jenes Postulat durch ein anderes viel
wichtigeres zu ersetzen, sondern auch eine Geometrie zu entwerfen, die von
eben demselben Postulate unabhängig ist.[670]
Nahe zur selben Zeit wie L e g e n d r e, befaßte sich G a u ß mit dieser Frage.
Gleichwohl hat er niemals irgend eine Arbeit auf diesem Gebiete
veröffentlicht; seine Korrespondenz mit S c h u m a c h e r[671] und mit
W o l f g a n g B o l y a i (1775-1856)[672] und einige bibliographische Artikel
von ihm[673] bezeugen nicht nur das Interesse, das er dafür besaß, sondern
bekunden auch die reiche Ernte von Wahrheiten, die er auf diesem, wie auf
den anderen von ihm bebauten Feldern eingebracht hat. Und als die
Schriften von L o b a t s c h e w s k y (1793-1856)[674] und J o h a n n B o l y a i
(1802-1860)[675] über diesen Gegenstand erschienen, da sanktionierte der
Fürst der deutschen Mathematiker mit seiner Autorität die Ergebnisse,
welche dieselben erhalten hatten. Man kann diese Ergebnisse
zusammenfassen, indem man sagt, daß dieselben die Grundlage einer neuen
Geometrie sind, die vollständig unabhängig ist von dem Postulate des
Euklid (die Nicht-Euklidische Geometrie, oder imaginäre oder auch
Pangeometrie), die in gewissen Punkten mit der gewöhnlichen Geometrie
übereinstimmt, jedoch in vielen anderen sich von ihr unterscheidet, — eine
Geometrie, die eine Zeit lang einige als absurd verbannt haben wollten, da
sie den von einer nur oberflächlichen Sinneswahrnehmung bezeugten
Erscheinungen widerspricht, die aber heute allgemein angenommen ist, da
ihr logischer Wert außer Zweifel gestellt ist.[676]
Zu diesem Siege der Logik über den übertriebenen Empirismus haben in
sehr wirkungsvoller Weise einige Schriften von großer Bedeutung
beigetragen, die R i e m a n n (1827-1866), von H e l m h o l t z und B e l t r a m i
in den Jahren 1867 und 1868 veröffentlichten.
Die R i e m a n n sche Schrift: Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu
Grunde liegen[677] — zwölf Jahre vor ihrer Veröffentlichung geschrieben —
war und ist noch durch die Allgemeinheit der Begriffe und die Knappheit
der Form selbst für diejenigen, welche in der Mathematik schon
vorgeschritten sind, von schwierigem Verständnisse. Jedoch ein großer Teil

der Ideen, welche dieselbe enthält, verbreiteten sich sehr bald, da sie, durch
ein glückliches Zusammentreffen, auch von H e l m h o l t z ausgesprochen
wurden, und dieser sie nicht nur den Mathematikern in rein
wissenschaftlicher Form darlegte,[678] sondern auch in populären Vorträgen
und Artikeln in verschiedenen Zeitschriften auch außerhalb des engeren
Kreises der Geometer behandelte.[679] Keinen geringeren Einfluß aber als
die Schriften des berühmten Verfassers der Physiologischen Optik übte der
klassische Saggio di interpretazione della Geometria non-euclidea[680] von
B e l t r a m i aus. Gerade die Schärfe und analytische Eleganz, welche diese
Schrift auszeichnen, lenkte die Aufmerksamkeit der Geometer auf dieselbe;
das glänzende und überraschende Resultat, daß die Sätze der Nicht-
Euklidischen Geometrie ihre Verwirklichung auf den Oberflächen mit
konstanter negativer Krümmung fanden, machte einen tiefen Eindruck auch
auf diejenigen, welche jeder nicht durch das Experiment bewiesenen
Behauptung allen Wert absprachen, und sicherte den Triumph der neuen
Anschauungen; endlich — die dort verteidigten gesunden Prinzipien einer
wissenschaftlichen Philosophie und die glänzende Form, in welcher die
Abhandlung geschrieben ist, ließen und lassen noch bei allen eine lebhafte
Bewunderung für unseren berühmten Landsmann entstehen, durch dessen
Bemühung wiederum einmal die Wahrheit den Sieg davontrug.
Daß die Arbeiten dieser drei großen Gelehrten einen wohlthätigen Einfluß
auf die ganze Geometrie ausgeübt haben, hat sich zur Evidenz durch die
Änderung gezeigt, welche sich in bezug auf die Art und Weise vollzogen
hat wie man heutzutage die ihr zu Grunde liegenden Sätze betrachtet.[681]
Wenn früher die Geometer den Philosophen die Sorge überließen, zu
entscheiden, ob die Wahrheiten, mit denen sie sich beschäftigten,
notwendige oder zufällige seien, und dahin neigten, dieselben als
notwendige zuzulassen, so streben sie jetzt, nachdem die empirische
Grundlage der Geometrie erkannt ist, fortwährend darnach, genau
festzusetzen, welche Thatsachen man der Sinneswahrnehmung entnehmen
muß, um eine Wissenschaft der Ausdehnung zu gründen.[682] Wer die
schönen Vorlesungen über neuere Geometrie (Leipzig, 1882) von P a s c h
liest, die neueren Lehrbücher prüft und diese und jene mit den älteren
Büchern vergleicht, wird wesentliche Unterschiede finden.

In den älteren Werken giebt der Lehrer die Voraussetzungen, die er nicht
beweist, als notwendige, ewige und unanfechtbare Wahrheiten, in den
neueren führt er sozusagen den Schüler dazu, die nötigen Erfahrungen
auszuführen, um die Prämissen der späteren Deduktionen festzustellen. In
den älteren Arbeiten stellt der Verfasser die Euklidische Geometrie als die
einzig denkbare hin, in den neueren als eine der unendlich vielen, die man
aufstellen könnte. Und diese Unterschiede bezeichnen einen thatsächlichen
Fortschritt, da sie zeigen, daß die Gelehrten sich von einem
alteingewurzelten und schädlichen Vorurteile frei gemacht haben; und für
den Fortschritt der Wissenschaft hat die Erkenntnis eines Irrtums eine nicht
geringere Wichtigkeit, als die Entdeckung einer Wahrheit.
Kurz nach der Veröffentlichung der Arbeit von B e l t r a m i erschien eine von
F. K l e i n,[683] die auch von großer Wichtigkeit ist; aber um die Stellung zu
kennzeichnen, welche dieselbe in der Geschichte der Nicht-Euklidischen
Geometrie einnimmt, muß ich mich einige Jahrzehnte rückwärts wenden.
Es ist bekannt, daß infolge des Traité des propriétés projectives des figures
eine Unterscheidung aufgestellt wurde zwischen den Eigenschaften der
Figuren, die erhalten bleiben, wenn diese projiziert werden, und solchen,
die nicht erhalten werden; es ist ferner bekannt, daß unter den ersteren alle
Lagen-Eigenschaften, aber nur einzelne metrische Eigenschaften begriffen
sind. Nun stellten die Geometer sich die Frage, ob es nicht möglich sei, die
metrischen Eigenschaften der Figuren so auszusprechen, daß sie bei der
Projektion sämtlich erhalten werden. Für einige Arten der Projektion haben
C h a s l e s und P o n c e l e t die Frage gelöst, indem sie den Begriff der
unendlich fernen Kreispunkte der Ebene und des unendlich entfernten
imaginären Kreises einführten; für andere wurde die Lösung von
L a g u e r r e[684] gegeben, dem es gelang, den Begriff des Winkels projektiv
zu machen; aber derjenige, welcher die Lösung in ihrer ganzen
Allgemeinheit gab, war C a y l e y[685] (1859), der in dem sechsten von seinen
berühmten Memoirs upon Quantics zeigte, daß jede metrische Eigenschaft
einer ebenen Figur als in einer projektiven Beziehung zwischen dieser und
einem festen Kegelschnitte enthalten betrachtet werden könne.
Nun besteht der Hauptzweck der angeführten Abhandlung von K l e i n eben
darin, die innige Beziehung zwischen den Schlüssen C a y l e y s und denen,
zu welchen B o l y a i und L o b a t s c h e w s k y gelangt waren, herzustellen; auf

welche lichtvolle Weise dieses Ziel erreicht ist, das beweist der große
Ruhm, zu dem diese Schrift alsbald gelangte.[686]
An diese Schriften schließen sich viele andere; an die von Riemann und
Beltrami einige interessante Arbeiten von d e T i l l y,[687] G e n o c c h i,[688]
v o n E s c h e r i c h[689] und B i a n c h i;[690] an die von Klein verschiedene
Abhandlungen von B a t t a g l i n i,[691] d ' O v i d i o,[692] d e P a o l i s[693] und
A s c h i e r i,[694] C a y l e y,[695] L i n d e m a n n,[696] S c h e r i n g,[697] von S t o r y,
[698] H. S t a h l[699] und V o ß,[700] von H. C o x[701] und A. B u c h h e i m.[702]

Die mathematische Litteratur der allerneuesten Zeit jedoch ist nicht sehr
reich an Forschungen auf diesem Gebiete;[703] es hat den Anschein, als
wenn jenes Zeitalter, welches man das heroische nennen könnte, und durch
welches jede Disziplin einmal hindurchgeht, schon von der Nicht-
Euklidischen Geometrie durchlaufen sei. Sollten vielleicht die
unermüdlichen Arbeiter der beiden Jahrzehnte 1860-1880 die Minen in
jeder Richtung so gründlich durchwühlt haben, daß sie keine goldführende
Ader mehr bergen?

IX.

Geometrie von n Dimensionen.
———

Die Theorie der beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeiten oder die
Geometrie von n Dimensionen verdankt ihren Ursprung der Unterstützung,
welche die Algebra von der Geometrie erhielt, seitdem Cartesius jene auf
diese anzuwenden gelehrt hat. In der That ist diese Unterstützung eine
begrenzte, da nur die analytischen Thatsachen, welche mit der Theorie der
Funktionen einer, zweier oder dreier Variabelen verknüpft sind (oder mit
der Theorie der binären, ternären oder quaternären Formen), einer den
Sinnen zugänglichen Darstellung fähig sind. Aber der Geist der
Verallgemeinerung, der, wie ich schon sagte, einer der mächtigsten Antriebe
zu den modernen geometrischen Untersuchungen war und noch
fortwährend ist, bewog die Geometer, die Fesseln zu brechen, welche die
Natur ihrem Vorstellungsvermögen angelegt zu haben schien, und von
beliebig ausgedehnten Räumen zu sprechen.[704]
Und sie sprachen davon, ehe sie sich noch mit der mehr philosophischen,
als mathematischen Frage beschäftigt hatten, ob in der That solche Räume
existieren; und sie thaten dies mit Recht, da sie nur so, ohne ein vielleicht
unlösbares Problem in Angriff zu nehmen, ihr Ziel erreichen konnten; durch
eine kühne Einbildungskraft verschafften sie sich die (sinnlich
wahrnehmbaren oder übersinnlichen) Darstellungen vieler analytischer
Resultate.[705]
Um zu zeigen, daß man wirklich in der angegebenen Weise zu einer solchen
Theorie gekommen ist, begnüge ich mich damit, die Thatsache anzuführen,
daß dieselbe von Analysten wie C a u c h y[706] (1789-1857) und
R i e m a n n[707] aufgestellt wurde; daß sie sich noch bei vielen anderen
minder bedeutenden mehr oder weniger versteckt findet in der Absicht, für
die Theoreme der Analysis ausdrucksvollere Fassungen zu erhalten; ferner
daß L a g r a n g e schon Ende des vergangenen Jahrhunderts die Bemerkung

machte, »daß man die Mechanik als eine Geometrie von vier Dimensionen
ansehen könne«, in welcher die Zeit als vierte Koordinate fungiert.[708]
Dieser Begriff des beliebig ausgedehnten Raumes ist jedoch seinem
Ursprunge und seiner Bestimmung nach wesentlich analytisch. P l ü c k e r,
dem das Schicksal einen so wichtigen Anteil an der Förderung der
modernen Geometrie zugeteilt hat, war es vorbehalten, diesem Begriffe ein
geometrisches Gewand zu geben, indem er beobachtete, daß man unserem
Raume eine beliebige Anzahl Dimensionen zuerteilen kann vermittelst einer
passenden Wahl des geometrischen Gebildes, welches man als erzeugendes
Element des Raumes auffaßt; so wird er drei Dimensionen haben, wenn
man den Punkt oder die Ebene wählt, vier, wenn man die Gerade oder die
Kugel nimmt, neun, wenn man die Fläche zweiten Grades nimmt, u. s. w.
[709]

Dieser Gedanke ist weniger abstrakt als der vorhergehende, und leichter zu
begreifen; dessen ungeachtet verbreitete er sich viel langsamer, als der
erstere, wahrscheinlich deswegen, weil sein Urheber nicht Worte genug
machte, um seine Wichtigkeit zu zeigen. Der andere hingegen wurde
besonders infolge der berühmten Abhandlung von R i e m a n n, Über die
Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, in vielen Richtungen
weiter entwickelt, und die mathematische Litteratur über diesen Gegenstand
ist von einer schon beträchtlichen Reichhaltigkeit und wächst noch von Tag
zu Tag.
Zur Rechtfertigung dieser Behauptung erinnere ich an die schon genannten
Abhandlungen von H e l m h o l t z, führe die von B e l t r a m i,[710] S c h l ä f l i,
[711] N e w c o m b,[712] S t r i n g h a m,[713] das neue Buch von K i l l i n g[714] an

und die darauf folgenden Untersuchungen von S c h u r,[715] die enge mit der
R i e m a n n schen Abhandlung zusammenhängen; die Untersuchung von
B e t t i[716] über den Zusammenhang eines Raumes von n Dimensionen; die
von C l i f f o r d,[717] B e l t r a m i,[718] J o r d a n,[719] von L i p s c h i t z,[720]
M o n r o,[721] S c h e e f f e r (1859-1885),[722] H e a t h[723] und K i l l i n g[724]
über die Kinematik und Mechanik eines solchen Raumes;[725] ferner die
von J o r d a n[726] und B r u n e l[727] über die verschiedenen Berührungs- und
Schmiegungsräume, welche eine Kurve in einem Raume von n
Dimensionen zuläßt,[728] die von C r a i g[729] über die metrischen

Eigenschaften der Oberflächen in einem solchen Raume, die von
K r o n e c k e r,[730] von B e e z,[731] L i p s c h i t z,[732] C h r i s t o f f e l,[733] von
B r i l l,[734] S u w o r o f f[735] und V o ß[736] über die Krümmung eines beliebig
ausgedehnten Raumes; die von K r o n e c k e r und T o n e l l i[737] über das
Potential; die von L i e,[738] K l e i n,[739] J o r d a n[726] und L i p s c h i t z[740]
über die Erweiterung des Dupinschen und des Eulerschen Lehrsatzes;
sodann die konforme Abbildung einer Oberfläche des vierdimensionalen
Raumes auf den gewöhnlichen Raum, die von C r a i g[741] studiert wurde,
endlich die von L i p s c h i t z gegebene Verallgemeinerung des berühmten
Problemes der drei Körper.[742] Zum Schlusse wollen wir die
Aufmerksamkeit des Lesers lenken auf die Erweiterungen gewisser
Begriffe, einiger Sätze und Formeln der elementaren Geometrie, die
vorzüglich von R u d e l,[743] H o p p e,[744] S c h l e g e l[745] und M e h m k e[746]
gemacht sind; dazu gehören auch die Untersuchungen von S t r i n g h a m,[747]
H o p p e,[748] S c h l e g e l,[749] S c h e f f l e r,[750] R u d e l,[751] O. B i e r m a n n,
[752] P u c h t a[753] und anderen über die regulären Körper des

vierdimensionalen Raumes, die soweit gediehen, daß sie S c h l e g e l
gestatteten, Modelle der Projektionen dieser Körper auf unseren Raum
herzustellen.[754]
Außer dieser Richtung wurde eine andere nicht weniger fruchtbare von den
Bearbeitern der Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen verfolgt, welche
projektiv ist, während die erstere wesentlich metrisch ist.—Eine kurze
Andeutung, die von C a y l e y im Jahre 1846 gegeben wurde[755] über eine
Methode, um die Konfigurationen von Punkten, Geraden und Ebenen zu
untersuchen, kann man als die erste ansehen, welche auf diese neue
Richtung hinwies. Aber es scheint, wie B a i l l y[756] bemerkt hat, »daß die
Ideen, wie wir, ein Kindesalter und eine erste Zeit der Schwäche haben; sie
sind nicht von Geburt an produktiv, sondern erhalten erst mit dem Alter und
mit der Zeit ihre Fruchtbarkeit«. Daher sehen wir denn mehr als 30 Jahre
verfließen, ehe der geniale Gedanke des großen englischen Geometers, in
der richtigen Weise entwickelt, die synthetische Geometrie der Räume von
n Dimensionen, welche wir heute besitzen, hervorrief.
Als Einleitung zu derselben muß man die wichtige Arbeit von C l i f f o r d
ansehen: On the classification of loci,[757] in welcher das allgemeine

Studium der Kurven in beliebigen linearen Räumen in Angriff genommen
ist; jeden Augenblick kommen in demselben Operationen vor, die wirkliche
Erweiterungen derer sind, die man in der gewöhnlichen projektiven
Geometrie zu machen pflegt. Jedoch kann man sagen, daß dieser neue
Zweig der Geometrie mit der Abhandlung beginnt, die V e r o n e s e der
Behandlung der projektiven Eigenschaften der Räume von n Dimensionen
durch die Prinzipien des Schneidens und Projizierens gewidmet hat.[758] In
derselben läßt der berühmte Verfasser, R i e m a n n folgend, einen Raum von
n Dimensionen entstehen, indem er von demselben einen solchen, der eine
Dimension weniger hat, von einem außerhalb gelegenen Punkte projiziert,
und indem er sich dieser Erzeugungsweise bedient, gelangt er zur
Erweiterung des grösseren Teiles der Theorien der gewöhnlichen Geometrie
der Lage.[759] Die Fruchtbarkeit der in dieser grundlegenden Abhandlung
erörterten Prinzipien wurde durch viele interessante Arbeiten, welche die
Fortsetzung derselben bilden, ins Licht gestellt; dieselben bereichern noch
von Tag zu Tag ein Lehrgebiet, in welchem Italien eine hervorragende
Stelle einnimmt. Unter ihnen will ich — abgesehen von denen, die
V e r o n e s e selbst publiziert hat,[760] — die Untersuchungen von S e g r e
anführen über die Theorie der quadratischen Gebilde in einem Raume von n
Dimensionen und ihre Anwendung auf die Geometrie der Geraden,[761] über
die kollinearen und reciproken Korrespondenzen,[762] über die Büschel von
Kegeln zweiten Grades,[763] über die Regelflächen,[764] über die
Oberflächen vierter Ordnung mit Doppelkegelschnitt[765] und über die
Theorie der Systeme von Kegelschnitten,[766] dann die von B e r t i n i[767]
und A s c h i e r i,[768] die verwandte Gegenstände behandeln; die Schriften
von d e l P e z z o über die Oberflächen in einem n-dimensionalen Raume.[769]
Noch viele andere müßte ich nennen, aber

Io non posso ritrar di tutti appieno;
Perocchè sì mi caccia il lungo tema,
Che molte volte al fatto il dir vien meno.[770]

Jedoch Arbeiten, welche zu verschweigen mich keine Betrachtung verleiten
könnte, sind die — viel früher als die von V e r o n e s e erschienenen — von
N ö t h e r über die eindeutigen Korrespondenzen zwischen zwei n-
dimensionalen Räumen (1869, 1874),[771] jene ebenfalls älteren von
H a l p h e n (1875) über die Schnitte der Mannigfaltigkeiten, die in einem
beliebigen linearen Raume enthalten sind,[772] von d ' O v i d i o über die
Metrik eines solchen Raumes (1876),[773] endlich die neuerlichen von
S c h u b e r t über die abzählende Geometrie eines Raumes von solcher
Beschaffenheit.[774]

Schluss.
———

Hiermit scheint es mir angemessen, die vorgenommene Musterung zu
beschließen. Freilich sind viele wirklich interessante Untersuchungen
derselben entgangen, da sie unter keiner der Kategorien, in welche ich die
von mir besprochenen Arbeiten eingeteilt habe, Platz finden konnten. So
konnte ich nicht über die Theorie der projektiven Koordinaten berichten,
die von C h a s l e s[775] erhalten wurden, als er die gewöhnlichen
Cartesischen Koordinaten einer kollinearen Verwandlung unterzog, die
dann direkt von S t a u d t[776] aufgestellt wurde und vollständiger von
F i e d l e r;[777] dann habe ich nicht über die Methode der symbolischen
Bezeichnung berichtet, da diese mehr Mittel als Zweck für den Geometer
ist; die Theorie der Berührungstransformationen (L i e) und der Differential-
Invarianten (H a l p h e n) habe ich stillschweigend übergangen, da sie auf der
Grenze zwischen der Geometrie und der Theorie der
Differentialgleichungen stehen; über die sogenannte Analysis situs habe ich
mich einer Besprechung enthalten, da eben diese Lehre von R i e m a n n
geschaffen und von seinen Schülern betrieben wurde, um Probleme der
Funktionentheorie zu lösen. Dann haben sich meiner Darlegung die
schönen Auseinandersetzungen von B a t t a g l i n i und B a l l entzogen über
die Kräfte und Bewegungen,[778] von C h a s l e s, A r o n h o l d, M a n n h e i m
und B u r m e s t e r über die kinematische Geometrie und von R e y e über die
Trägheitsmomente, da sie bisher[779] mehr zur Mechanik als zur Geometrie
gehörig angesehen wurden. Gleiches gilt von den interessanten
Experimenten P l a t e a u s (1801-1883) in bezug auf die Minimalflächen,
deren Besitz die Physiker für sich beanspruchen, von den schönen
Untersuchungen über die Polyeder (M ö b i u s, B r a v a i s, J o r d a n, H e ß),
welche den Übergang von der Geometrie zur Mineralogie bilden, und den
neuesten Arbeiten über die geometrische Wahrscheinlichkeit (C r o f t o n,
C z u b e r, C e s à r o), welche ich geneigt wäre unter die Anwendungen der

Geometrie zu rechnen. Dann habe ich nicht über die Methode der
Äquipollenzen gesprochen (B e l l a v i t i s) und die Theorie der Quaternionen
(H a m i l t o n), da beide sich bis jetzt noch nicht von so großer Fruchtbarkeit
erwiesen haben, um als notwendiges Hilfsmittel des Geometers angesehen
zu werden.
Ungern mußte ich hinweggehen über die Theorie der Kugelsysteme, die mit
großem Erfolge von L i e und R e y e bearbeitet ist. Ich habe keinen Blick auf
die Theorie der Konfigurationen werfen können (R e y e, K a n t o r, J u n g,
M a r t i n e t t i), da dieselbe gerade noch im Stadium ihrer Bildung begriffen
ist, und auf die mehr den Elementen angehörige Erweiterung der Lehre vom
Dreiecke, zu welcher Arbeiten von B r o c a r d[780] die Anregung gegeben
haben. Kurz erwähnen will ich noch zwei Reihen von Untersuchungen über
Maximal- und Minimalfiguren, von denen die einen (P a i n v i n, P. S e r r e t,
L e b e s g u e, B o r c h a r d t, K r o n e c k e r) das Problem von L a g r a n g e, das
Tetraeder größten Inhalts zu finden, von dem die Inhalte der Seitenflächen
gegeben sind, und Erweiterungen, bez. Umgestaltungen desselben
behandeln,[781] die anderen (L i n d e l ö f, B e r n e r, E d l e r, S t u r m,
S c h w a r z, L a n g e, C e r t o) sich an die berühmten Aufsätze von
S t e i n e r[782] anschließen.[783]
Keinesfalls aber darf mit Stillschweigen übergangen werden, daß es
unserem Jahrzehnte vergönnt gewesen ist, die alte Frage der Quadratur des
Kreises zur endgiltigen Erledigung zu bringen. Nachdem im vergangenen
Jahrhundert L a m b e r t[784] die Zahl π als irrational nachgewiesen, verblieb
immer noch der Nachweis, daß π auch nicht Wurzel einer algebraischen
Gleichung mit rationalen Koeffizienten sei; denn erst damit ist dargethan,
daß die Quadratur des Kreises nicht vermittelst einer endlichen Anzahl von
Konstruktionen, welche mit Hilfe des Lineals und des Zirkels ausführbar
sind, vollzogen werden könne. Dieser Beweis wurde, unter Benutzung
H e r m i t e scher Vorarbeiten über die Exponentialfunktion, 1882 von
L i n d e m a n n[785] erbracht.
Trotz der aufgezählten und unzähliger anderer Unvollkommenheiten des
Bildes, das ich über den heutigen Zustand der Geometrie zu entwerfen
versucht habe, wird dennoch der Leser, wenn er einen Blick auf dasselbe
wirft, von tiefer Verwunderung betroffen sein, nicht allein über die
gewaltige Entwickelung der Mathematik in diesen letzten fünfzig Jahren,

sondern auch über die neue, schönere, verlockendere Gestalt, welche sie
mehr und mehr annimmt.
Die geometrischen Figuren, die eine Zeit lang als fest, unbeweglich, leblos
erschienen, bekamen eine unerwartete Lebendigkeit durch die Theorie der
geometrischen Transformationen, vermöge derer sie sich bewegen, sich in
einander verwandeln, gegenseitige Beziehungen enthüllen und unter sich
bisher unbekannte Verwandtschaften herstellen.
Ferner glaubte man eine Zeit lang, daß wir als dreidimensionale Wesen, die
in einem Raume leben, in welchem wir nur drei Dimensionen wahrnehmen
können, dazu verurteilt wären, ewig nur die Mannigfaltigkeiten von nicht
mehr als drei Dimensionen zu studieren. Jetzt aber ist es uns erlaubt und
fast unsere Pflicht, von dieser Idee als einem gefährlichen Vorurteile uns
frei zu machen, und die Fülle von Arbeiten, die wir vor uns bewundern,
belehren alle diejenigen, welche ihre Augen nicht von der neuen Sonne
wegwenden wollen, über die Wichtigkeit dieses Fortschrittes.
Endlich ist, kann man sagen, der Kampf zwischen der Geometrie und der
Analysis, der sich gegen Ende des vergangenen Jahrhunderts erhoben und
zu Anfang dieses fortgesetzt hat, nunmehr beendigt; weder die eine, noch
die andere hat den Sieg davon getragen, aber jede hat auch den
Ungläubigsten gezeigt, daß sie bei jeglichem Ringen als Siegerin
hervorgehen könne. Der Mécanique analytique, in welcher L a g r a n g e mit
Freuden konstatierte, daß er es soweit gebracht habe, jegliche Figur zu
vermeiden, hat ein Lehrbuch der Mechanik einen glänzenden Bescheid
gegeben, welches das Motto trägt: »Geometrica geometrice«; dem
hundertjährigen Dienste, welchen die Algebra der Geometrie bot, können
sich heute die zahllosen und unvergleichlichen Vorteile entgegenstellen,
welche jene von dieser zog; schließlich wird man doch an Stelle der
analytischen oder pseudosynthetischen Theorie der Kurven und
Oberflächen in Kurzem die rein synthetische Theorie setzen können, die
man gegenwärtig aus dem von S t a u d t[786] gelieferten Materiale errichtet.
Und zu dieser Periode des Friedens oder vielmehr des edlen Wetteifers der
Analysis und Geometrie müssen sich alle Glück sagen, da jeder Fortschritt
der einen einen entsprechenden in der anderen nach sich zieht oder dazu
auffordert. Das entspricht dem heutigen Standpunkte der gesamten

Wissenschaft, denn nun funktionieren, wie S p e n c e r sagt, die
verschiedenen Disziplinen als Hilfskünste, die einen für die anderen.
Diese Stellung der modernen Mathematik jedoch legt jedem, der sie mit
Erfolg betreiben will, eine schwere Verpflichtung auf, nämlich die, nicht die
eine der beiden Disziplinen, welche sie zusammen bilden, um die andere zu
vernachlässigen und sich in der Handhabung der Wissenschaft der Zahlen
ebensowohl, als in derjenigen der Ausdehnung auszubilden.[787]
Um heiteren Mutes diese vermehrten Anstrengungen auf uns zu nehmen,
dazu hilft uns die Betrachtung, »daß die Analysis und Synthesis im Grunde
genommen gleichsam immer vereinigt in unseren Arbeiten sind und
zusammen das vollständigste Werkzeug des menschlichen Geistes bilden.
Denn unser Geist macht keine Fortschritte, als nur mit der Hilfe von
Zeichen oder Bildern, und wenn er zum ersten Male in schwierige Fragen
einzudringen sucht, so hat er nicht einen Überfluß an diesen beiden Mitteln
und jener besonderen Kraft, die er oft genug nur aus ihrem
Zusammenwirken schöpft.«[788]
Indem wir uns also der Beschränktheit unserer Kräfte bewußt sind, werden
wir nur ein kleines Feld wählen, auf dem wir unsere Thätigkeit üben, aber
nicht vergessen, daß wir, um alle Früchte, die es zu bieten fähig ist,
einzuernten, das Recht und sozusagen die Pflicht haben, alle die Hilfsmittel
prüfend anzuwenden, welche der menschliche Geist während so vieler
Jahrhunderte unausgesetzter Thätigkeit angehäuft hat, und die jedem zu
Gebote stehen, der die Klugheit hat, sie zu Rate zu ziehen, und das
Geschick, sie anzuwenden.

Abkürzungen für die häufig erwähnten
Zeitschriften.
———

Acta math.: Acta mathematica.
Amer. Journ.: American Journal of Mathematics pure and
applied.
Ann. Éc. norm.: Annales scientifiques de l'École normale
supérieure.
Annali di Matem.: Annali di Matematica pura ed applicata.
Berliner Abh.: Mathematisch-physikalische Abhandlungen der
Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
Berliner Ber.: Monatsberichte, bez. seit 1882 Sitzungsberichte
oder auch: Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen
derselben Akademie.
Bologna Mem.:
Memorie dell' Accademia di Scienze dell'
Bologna Rend.: Istituto di Bologna.
Rendiconti
Bull. sciences math.: Bulletin des sciences mathématiques (bis
1884: et astronomiques).
Bull. Soc. math.: Bulletin de la Société mathématique de France.
Cambridge Journ.: Cambridge and Dublin mathematical
Journal.
Cambridge Proc.:
Proceedings of the Philosophical Society of
Cambridge Trans.: Cambridge.
Transactions

Comptes rendus: Comptes rendus hebdomadaires des séances de
l'Académie des sciences (de Paris).
Gergonnes Ann.: Annales de Mathématiques.
Giorn. di Matem.: Giornale di Matematiche.
Göttinger Abh.:
Abhandlungen der Gesellschaft der
Göttinger Nachr.: Wissenschaften zu Göttingen.
Nachrichten von
Grunerts Arch.: Archiv der Mathematik und Physik.
Journ. Éc. polyt.: Journal de l'École polytechnique.
Journ. für Math.: Journal für die reine und angewandte
Mathematik.
Irish Proc.: Proceedings
of the Irish Academy.
Irish Trans.: Transactions
Leipziger Ber.: Berichte über die Verhandlungen der
Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig.
Lincei Atti: Atti
Lincei Mem.: Memorie
dell' Accademia dei Lincei.
Lincei Rend.: Rendiconti
Lincei Trans.: Transunti
Liouvilles Journ.: Journal de Mathématiques pures et
appliquées.
Lombardo Rend.: Rendiconti dell' Istituto Lombardo di scienze
e lettere.
Math. Ann.: Mathematische Annalen.
Mém. prés.: Mémoires présentés par divers savants à
l'Académie des sciences (de Paris).
Münchener Abh.:
Abhandlungen der Akademie der
Münchener Ber.: Wissenschaften zu München.
Sitzungsberichte

Napoli Rend.: Rendiconti dell' Accademia delle scienze fisiche e
matematiche di Napoli.
Nouv. Ann.: Nouvelles Annales de Mathématiques.
Phil. Mag.: London, Edinburgh and Dublin philosophical
Magazine.
Phil. Trans.: Philosophical
Transactions of the Royal Society of
London.
Proc. Roy. Soc.: Proceedings
Prager Abh.:
Abhandlungen der böhmischen Gesellschaft der
Prager Ber.: Wissenschaften.
Sitzungsberichte
Proc. math. Soc.: Proceedings of the London mathematical
Society.
Quart. Journ.: Quarterly Journal of pure and applied
Mathematics.
Torino Atti: Atti
dell' Accademia delle scienze di
Torino Mem.: Torino.
Memorie
Wiener Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch-
naturwissenschaftlichen Klasse der Akademie der
Wissenschaften zu Wien. Zweite Abteilung.
Zeitschr. f. Math.: Zeitschrift für Mathematik und Physik.

———
Die arabische Ziffer bezieht sich auf den Band (Teil, Jahrgang), beim Journ.
Éc. polyt. auf das Heft, die römische auf die Serie (Reihe).

Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren
Lebenszeit
angegeben ist.
———

Die Zahl ist die der Seite, auf welcher sie steht.
Abel 20 — d'Alembert 14 — Apollonius 6 — Archimedes 6 — Aronhold
31.
Baltzer 53 — Bellavitis 60 — Benedetti 9 — Bobillier 26 — Bolyai, J. 109
— Bolyai, W. 108 — Borchardt 43 — Bour 56 — Bragelogne 24 —
Braikenridge 22.
Caporali 84 — Cardano 8 — Carnot 14 — Cauchy 116 — Chasles 17 —
Chelini 57 — Clairaut 13 — Clebsch 27 — Clifford 26 — Cotterill 84 —
Côtes 21 — Cramer 22 — Crelle 20.
Desargues 9 — Descartes 10 — Dirichlet 119 — Dupin 15.
Enneper 50 — Eratosthenes 6 — Euler 13.
Ferrari 8 — Fermat 9 — Ferro 8 — Fibonacci 8.
Gauß 47 — Gergonne 16 — La Gournerie 44 — Graßmann 26 — De Gua
22.
Hachette 15 — Halley 11 — Hamilton 104 — Harnack 63 — Hesse 25 —
Hipparch 6 — La Hire 11 — Hoüel 109 — Huygens 11.
Jacobi 16 — Joachimsthal 55.
Lacroix 15 — Lagrange 14 — Laguerre 40 — Lamarle 125 — Lambert 88
— Lamé 23 — Lancret 72 — Laplace 14 — Legendre 14 — Leibniz 11 —

Liouville 72 — Lobatschewsky 109.
Mac Cullagh 33 — Maclaurin 11 — Magnus 81 — Mascheroni 9 —
Mercator 88 — Möbius 18 — Monge 13.
Newton 11.
Oresme 16.
Pappus 6 — Parent 13 — Pascal 9 — Plateau 125 — Plato 5 — Plücker 19
— Poisson 14 — Poncelet 14 — Ptolomaeus 6 — Puiseux 72 —
Pythagoras 5.
Richelot 16 — Riemann 110.
Saint-Venant 72 — Scheeffer 118 — Schooten 13 — Serret, A. 50 —
Seydewitz 33 — Simpson 11 — Smith 29 — Snellius 16 — Spottiswoode
124 — Staudt 19 — Steiner 18 — Stewart 11 —Sturm, Ch. 104.
Tartaglia 8 — Thales 4 — Transon 81.
Vieta 9.
Waring 22 — Wren 32.

Berichtigung. S. 97 Z. 7 v. o. lies viel- statt zwei-.

Noten.
———

[1] »It is difficult to give an idea of the vast extent of modern mathematics.
This word »extent« is not the right one: I mean extent crowded with
beautiful detail — not an extent of mere uniformity such as an objectless
plain, but of a tract of beautiful country seen at first in the distance, but
which will bear to be rambled through and studied in every detail of hillside
and valley, stream, rock, wood and flower.« (Rede von C a y l e y i. J. 1883
vor der »British Association for the Advancement of Science« gehalten.)
Bei dieser Gelegenheit führen wir noch folgendes Urteil von E. D u b o i s -
R e y m o n d über den Charakter der modernen Wissenschaft an: »Nie war
die Wissenschaft entfernt so reich an den erhabensten Verallgemeinerungen,
nie stellte sie in ihren Zielen, ihren Ergebnissen eine grössere Einheit dar.
Nie schritt sie rascher, zweckbewußter, mit gewaltigeren Methoden voran,
und nie fand zwischen ihren verschiedenen Zweigen lebhaftere
Wechselwirkung statt.« (Über die wissenschaftlichen Zustände der
Gegenwart, Reden, Bd. II, S. 452.)
[2] Histoire des sciences mathématiques en Italie par G. L i b r i, 1838. Bd. I,
S. 3.
[3] H a n k e l, Die Entwickelung der Mathematik in den letzten
Jahrhunderten (Tübingen. II. Aufl. 1885). S. 7.
[4] Diese Thatsache könnte man als ein neues Moment ansehen, wie sich —
nach einem berühmten Ausspruche Humboldts — der Einfluß, den die
tellurischen Erscheinungen auf die Richtung unserer wissenschaftlichen
Untersuchungen ausüben, geltend macht.
[5] Vgl. E m i l W e y r, Über die Geometrie der alten Ägypter (Wien, 1881).
[6] Für die Mathematiker, welche vor 1200 gelebt haben, sind die hier
niedergeschriebenen Jahreszahlen aus den Vorlesungen über die Geschichte
der Mathematik von M. C a n t o r (I. Bd. Leipzig, 1880) entnommen. Die
erste Zahl in der Klammer bezieht sich auf das Geburtsjahr, die zweite auf
das Todesjahr.
[7] In Bezug auf größere Einzelheiten sehe man B r e t s c h n e i d e r, Die
Geometrie und die Geometer vor Euklides (Leipzig, 1870).

[8] B e t t i und B r i o s c h i, Vorrede zu Gli elementi di Euclide (Florenz,
1867). Eine gegenteilige Ansicht hat L a c r o i x in seinem wohlbekannten
Buche Essais sur l'enseignement en général et sur celui des mathématiques
en particulier (4. Aufl. 1883. S. 296) ausgesprochen.
[9] Um zu zeigen, wie glänzend und bewunderungswürdig die noch immer
verkannte griechische Mathematik gewesen sein muß, genüge es, die
Thatsache anzuführen, daß die Theorie der Kegelschnitte, ein
hauptsächlicher Gegenstand des Studiums der alten Geometer, von ihnen zu
solcher Vollendung gebracht wurde, dass man im wesentlichen nur weniges
hinzuzufügen hätte, um sie auf den Stand zu bringen, auf dem sie sich heute
befindet. Die Bewunderung für jene wird noch jeden Tag grösser durch die
historischen Forschungen gelehrter Mathematiker [z. B. Z e u t h e n (s. das
Werk Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertume, deutsch von
F i s c h e r - B e n z o n. Kopenhagen, 1886), P. T a n n e r y (s. Bull. des sciences
math. und Mém. de la Société de Bordeaux) und andere], welche das
Vorurteil zu beseitigen suchen, daß die Griechen keine
Untersuchungsmethoden gehabt hätten, die vergleichbar sind mit denen, auf
welche unsere Zeit so stolz ist, und die als Ersatz dafür die Ansicht
aufzustellen streben, daß es ihnen nur an den nötigen Formeln zur
Darstellung der Methoden selbst gefehlt habe.
[10] Ich kann nicht umhin, die beredten Worte, welche der berühmte
Geschichtsschreiber der Mathematik in Italien bei dieser Gelegenheit
geschrieben hat, anzuführen: »...... mais bientôt le Romain arrive, il saisit la
science personnifiée dans Archimède, et l'étouffe. Partout où il domine la
science disparaît: l'Étrurie, l'Espagne, Carthage en font foi. Si plus tard
Rome n'ayant plus d'ennemis à combattre se laisse envahir par les sciences
de la Grèce, ce sont des livres seulement qu'elle recevra; elle les lira et les
traduira sans y ajouter une seule découverte. Guerriers, poètes, historiens,
elle les a, oui; mais quelle observation astronomique, quel théorème de
géométrie devons-nous aux Romains?« (L i b r i a. O. S. 186.)
Um zu zeigen, in welchem Ansehen unsere Vorfahren die Mathematik
hielten, genüge es mitzuteilen (vgl. H a n k e l, Zur Geschichte der
Mathematik im Altertum und Mittelalter, Leipzig, 1874. S. 103), daß sie
dieselbe oft mit Astrologie und den verwandten Künsten zusammenwarfen.
Es darf uns daher nicht Wunder nehmen, wenn wir in dem Codex Justinians

unter den gesammelten Bestimmungen unter dem Titel »De maleficis et
mathematicis et ceteris similibus« folgendes finden: »Ars autem
mathematica damnabilis interdicta est omnino.« Wenn man in demselben
Codex etwas weiter die Wendung findet: »Artem geometriae discere atque
exercere publice interest,« so muß man sich hüten, sie als eine Übersetzung
des Ausspruches Napoleons I. anzusehen: »L'avancement, le
perfectionnement des Mathématiques sont liés à la prospérité de l'État,«
denn es ist fast sicher, daß der römische Gesetzgeber den praktischen Teil
der Geometrie meinte.
[11] Unter den Fragen der G e o m e t r i e, welche die italienischen Gelehrten
des 16. Jahrhunderts sich gegenseitig stellten, finden sich solche von einiger
Wichtigkeit, da sie die »Geometria del compasso« (Geometrie des Kreises)
entstehen ließen, welcher gerade in dieser Zeit B e n e d e t t i (?-1590) eine
Schrift widmete, und die in neuerer Zeit von M a s c h e r o n i (1750-1808)
und S t e i n e r gepflegt wurde.
[12] P a s c a l entdeckte an der Cykloide eine Fülle bemerkenswerter
Eigenschaften, wies auf die Perspektivität als eine für das Studium der
Kegelschnitte sehr günstige Methode hin, bewies den berühmten Lehrsatz
von dem »Hexagramma mysticum,« wie er es nannte, u. s. w.
D e s a r g u e s führte die g e m e i n s a m e Betrachtung der drei Kegelschnitte
ein, den wichtigen Begriff des unendlich fernen Punktes einer Geraden, den
Begriff der Involution von sechs Punkten, löste mehrere wichtige Fragen,
die sich auf die Kegelschnitte beziehen, u. s. w.
In den Werken von D e s a r g u e s (vgl. die von P o u d r a 1864 besorgte
Ausgabe) findet sich auch eine Methode vorgeschlagen, um einige
projektive Eigenschaften der Kurven zu untersuchen, welche darauf beruht,
daß man dieselbe durch Systeme von Geraden ersetzt. Descartes und
Poncelet betrachteten die Schlüsse, die auf einer solchen Substitution
beruhen, als der Strenge entbehrend (vgl. Traité des proprietés projectives,
Bd. II, S. 128). Jedoch wurde das von D e s a r g u e s vorgeschlagene
Verfahren in der neueren Zeit wiederholentlich von demselben P o n c e l e t
(a.a.O. Bd. I, S. 374), von J o n q u i è r e s (in verschiedenen Abhandlungen in
den Annali di Matem., Journ. f. Math. und in den Math. Ann.), von
C r e m o n a (s. die Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane)

gebraucht, und gehört heute zu den wertvollen Untersuchungsmethoden, die
wir dem »Prinzip der Erhaltung der Anzahl« verdanken.
[13] Vgl. E. D u b o i s - R e y m o n d, Kulturgeschichte und Naturwissenschaft,
in den Gesammelten Reden, Bd. I 1886, S. 207-208.
[14] F a v a r o, Notizie storico-critiche sulla costruzione delle equazioni.
Memorie di Modena, 18, 1879.
M a t t h i e s s e n, Grundzüge der antiken und modernen Algebra der
litteralen Gleichungen (Leipzig, 1878), 7. Abschnitt.
[15] Über den Ursprung der analytischen Geometrie sehe man G ü n t h e r,
Die Anfänge und die Entwickelungsstadien des Coordinatenprincipes
(Abhandlungen der naturforsch. Gesellsch. zu Nürnberg, 6) und über
Cartesius die Rede von J a c o b i, ins Französische übersetzt und
veröffentlicht in Liouvilles Journ. 12 unter dem Titel: De la vie de
Descartes et de sa méthode pour bien conduire la raison et chercher la
vérité dans les sciences.
[16] Siehe z. B. den Traité de la lumière (Leyden, 1691).
[17] Sectiones conicae in novem libros distributae (Paris, 1685), Mémoires
sur les Epicycloides (Anciennes Mémoires de l'Académie des sciences, 9),
Traité des roulettes etc. (ebendas., 1704).
[18] Man sehe die von ihm bewirkte Herausgabe von griechischen Werken
nach, sowie seine Versuche, verloren gegangene Bücher (wie das achte
Buch von Apollonius' Kegelschnitten) wieder herzustellen.
[19] Vergl. sein Buch A complete System of Fluxions (Edinburgh, 1742).
[20] Treatise on conic Sections (1735).
[21] General theorems of considerable use in the higher parts of
mathematics (Edinburgh, 1746); Propositiones geometricae more veterum
demonstratae (Edinburgh, 1763).
[22] Hinsichtlich der von S i m p s o n und S t e w a r t gemachten Versuche, die
griechische Geometrie wieder aufleben zu machen, sehe man B u c k l e,

Geschichte der Civilisation in England (deutsch von A. R u g e), Bd. I,
Kap. 5.
[23] Die von den Griechen hauptsächlich untersuchten Kurven sind: der
Kreis, die Ellipse, die Hyperbel, die Parabel, die Archimedische Spirale, die
Diokles'sche Cykloide, die Konchoide des Nikomedes, die Quadratrix des
Hippias und Dinostratus, die Schraubenlinien, die Spirallinien und einige
andere. Zu diesen fügten die neuen Rechnungsarten hinzu: das Folium und
die Ovale von Descartes, die Tschirnhausensche Quadratrix, die Cykloide,
die Hypo- und Epicykloiden, die logarithmische Spirale, die Kettenlinie, die
Sinuscurve, die Logarithmuscurve und unzählige andere.
[24] Siehe das fünfte Buch seiner Exercitationes geometriae.
[25] P a r e n t, Essai et Recherches de Mathématiques et de Physique
(II. Aufl. 1713), Bd. 2.
[26] Traité de Courbes à double courbure. 4
[27] Recherches sur la courbure des surfaces (Berliner Abh.).
[28] Abhandlungen der Akademie von Turin (1770-1773) und von Paris
(1784); Feuilles d'analyse appliquée à la géométrie (Paris, 1795), oder
Applications de l'Analyse à la Géométrie (Paris, 1801).
[29] Ausspruch von d ' A l e m b e r t.
[30] Leçons de géométrie descriptive (Paris, 1794).
[31] In Bezug auf M o n g e sehe man D u p i n, Essai historique sur les
services et les travaux scientifiques de Gaspard Monge (Paris, 1819);
A r a g o, Notices biographiques.
Über die Geschichte des Ursprunges und der Entwickelung der
darstellenden Geometrie sehe man den ersten Abschnitt des 1. Bandes des
Werkes von C h r. W i e n e r, Lehrbuch der darstellenden Geometrie (Leipzig,
1884, 1887), in welchem der Studierende eine Menge interessanter
Einzelheiten finden wird, sei es über die Studien, welche diese Disziplin
vorbereiteten, sei es über die Untersuchungen, welche die Nachfolger von
Monge gemacht haben.

Monge hatte als Mitarbeiter bei seinem reformierenden Werke einige seiner
Kollegen [unter anderen L a c r o i x (1765-1843) und H a c h e t t e (1769-
1834)], sowie viele von seinen Schülern an der polytechnischen Schule. Der
Kürze halber beschränke ich mich darauf, den anzuführen, »der über die
anderen wie ein Adler fliegt«, C h a r l e s D u p i n (1784-1873), vorzüglich
wegen seiner klassischen Développements de géométrie (1813), die noch
von allen gelesen werden müssen, welche auch nur eine mäßige Kenntnis
des heutigen Zustandes der Geometrie erlangen wollen.
[32] Monge's Einfluß läßt sich noch in den neuesten Arbeiten bemerken;
zum Beweise genüge es, die Idee anzuführen, die Schranken, durch welche
die Alten die Planimetrie von der Stereometrie getrennt hatten,
niederzureißen, und den glücklichen Versuch, den neuerdings (1884) D e
P a o l i s in seinen goldenen Elementi di Geometria (Turin) gemacht hat,
dieselbe auszuführen.
[33] »La Géométrie de position de Carnot n'aurait pas, sous le rapport de la
métaphysique de la Science, le haut mérite que je lui ai attribué, qu'elle n'en
serait pas moins l'origine et la base des progrès que la Géométrie, cultivée à
la manière des anciens, a fait depuis trente ans en France et en Allemagne«
(A r a g o, Biographie de Carnot).
[34] Zweite Auflage, 1865, 1866.
[35] Den Ursprung dieses Prinzipes betreffend, sehe man die Note von C.
T a y l o r, On the history of geometrical continuity (Cambridge Proc., 1880
und 1881).
[36] Doctrina triangulorum canonicae u. s. w. (Leyden, 1627).
[37] Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII. (Opera
Vietae, 1646).
[38] Gergonnes Ann. 17.
[39] J a c o b i, Journ. für Math. 3; R i c h e l o t, das. 5, 38; R o s a n e s und
P a s c h, ebendas. 64; L é a u t é, Comptes rendus, 79; F e r g o l a, P a d e l e t t i
und T r u d i, Napoli Rend. 21; S i m o n, Journ. für Math. 81;
G u n d e l f i n g e r, das. 83; H a l p h e n, Liouvilles Journ. III, 5; Bull. de la Soc.
philom. VII, 3. Man sehe auch die interessante Abhandlung von H u r w i t z:

Über unendlich-vieldeutige geometrische Aufgaben, insbesondere über die
Schliessungsprobleme (Math. Ann. 15) und die Note von F o r s i t h, On in-
and circumscribed polyhedra (Proc. Math. Soc. 1883).
[40] In deutscher Übersetzung von S o h n c k e: Geschichte der Geometrie,
hauptsächlich in Bezug auf die neueren Methoden (Halle, 1839), jedoch
ohne das Mémoire sur deux principes généraux de la science (vgl. die
folgende Note). Das französische Original erschien 1875 in 2. Auflage.
[41] Unter den Arbeiten, welche das Werk von C h a s l e s bilden, verdient
eine besondere Erwähnung die Abhandlung (für welche ursprünglich der
Aperçu historique als Einleitung dienen sollte) Sur deux principes généraux
de la Science, welche die allgemeine Theorie der Homographie
(Kollineation) und der Reciprocität enthält, sowie die Untersuchung der
beiden Fälle, in welchen diese involutorisch ist, und die Anwendung dieser
Transformationen auf das Studium der Flächen zweiten Grades und der
geometrischen Oberflächen überhaupt, sowie auf die Verallgemeinerung des
cartesischen Koordinatensystems. Auch müssen noch die Noten erwähnt
werden, da sie eingehende historische Studien und geometrische
Untersuchungen von großer Bedeutung enthalten. Unter den letzteren will
ich diejenigen anführen, in denen die Theorie des Doppel- oder
anharmonischen Verhältnisses und der Involution, die anharmonischen
Eigenschaften der Kegelschnitte, die Fokaleigenschaften der Flächen
zweiten Grades, viele Lehrsätze über die kubischen Raumkurven,
glückliche Versuche, die Sätze von Pascal und Brianchon auf die Flächen
zweiten Grades auszudehnen, eine Verallgemeinerung der
stereographischen Projektion u. s. w. auseinandergesetzt sind.
[42] Dieser Übergang ging nicht friedlich von statten, war vielmehr mit
einer Reihe lebhafter Diskussionen verbunden, in welchen P o n c e l e t ,
C h a s l e s und B o b i l l i e r zu Gegnern hatten P l ü c k e r, S t e i n e r und
M a g n u s und deren Hauptschauplatz das Bulletin von F é r u s s a c war. —
Hier würde es am Orte sein, den Anteil zu bestimmen, der jedem dieser
Gelehrten in den Wissensgebieten zukommt, an denen sie zusammen
arbeiteten; aber dafür würde die Feder eines competenteren und gelehrteren
Mannes, als ich bin, nötig sein. Im Übrigen sind nach meinem Dafürhalten
gewisse Produktionen der menschlichen Intelligenz eine natürliche Frucht
ihrer Zeit; daher darf es nicht wunder nehmen, wenn sie gleichzeitig aus

verschiedenen Köpfen hervorgegangen scheinen, und darum braucht man
auch keine Erklärung dieser Thatsache in der »mala fides« dieses oder jenes
zu suchen. Daß solches wirklich bei der Erfindung der Differentialrechnung
eingetreten ist, steht heute außer allem Zweifel. Daß dies ebenso bei der
modernen Geometrie eingetreten ist, kann die Thatsache beweisen, daß
dieselbe hervorgegangen ist aus einem allseitig gefühlten Bedürfnisse (man
vergleiche dazu den Ausspruch D u p i n s [Développements de géométrie],
der als Motto auf dem Traité des propriétés projectives des figures steht, mit
der Vorrede der Systematischen Entwickelung und mit dem Aperçu
historique an verschiedenen Stellen) nach allgemeinen Methoden, die als
Ariadnefaden dienen sollten zur Führung in dem Labyrinthe von
Hilfssätzen, Lehrsätzen, Porismen und Problemen, die von den Vorfahren
überliefert sind.
[43] Die hauptsächlichste Arbeit von M ö b i u s auf dem Gebiete der reinen
Geometrie ist die mit dem Titel: Der barycentrische Calcul (Leipzig, 1827);
dort sind die bisherigen Kenntnisse über den Schwerpunkt (Barycentrum)
eines Systemes von Punkten einer neuen und wichtigen Rechnungsart zu
Grunde gelegt; diese führt zu einem neuen Koordinatensystem, dessen
Anwendung auf das Studium der Raumkurven und ebenen Kurven und der
Oberflächen der Verfasser darlegt. In demselben werden ferner methodisch
und in großer Ausführlichkeit wichtige geometrische Transformationen, die
heute noch fortwährend Anwendung finden, betrachtet. Viele spätere
Abhandlungen von Möbius sind als Anhänge zum barycentrischen Calcul
zu betrachten. (Siehe die beiden ersten Bände der Gesammelten Werke von
Möbius, herausgegeben auf Veranlassung der Sächsischen Gesellschaft der
Wissenschaften, Leipzig, 1885-1887.)
[44] Ich meine das Werk: Systematische Entwickelung der Abhängigkeit
geometrischer Gestalten von einander (Berlin, 1832), in dem »der
Organismus aufgedeckt ist, durch welchen die verschiedenartigsten
Erscheinungen in der Raumwelt miteinander verbunden sind«. — Die
späteren Schriften von Steiner und diejenigen anderer, welche sich auf das
angeführte Werk stützen, zeigen, welches Recht der Verfasser desselben
dazu hatte, den Inhalt durch die schon angeführten Worte zu
charakterisieren. Steiners Gesammelte Werke sind auf Veranlassung der
Akademie der Wissenschaften zu Berlin herausgegeben (Berlin, 1881,
1882).

[45] Des Näheren will ich hier nur die drei Bücher anführen: Analytisch-
geometrische Entwickelungen (Essen, 1828-1831), System der analytischen
Geometrie (Berlin, 1835), Theorie der algebraischen Kurven (Bonn, 1839),
sowie die mit ihnen zusammenhängenden Abhandlungen, die in Gergonnes
Ann. und im Journ. für Math. veröffentlicht sind.
[46] Das Werk, in welchem S t a u d t sein System der Geometrie dargelegt
hat, wurde im Jahre 1847 zu Nürnberg veröffentlicht unter dem Titel:
Geometrie der Lage. Die ungemeine Knappheit des Stiles ist vielleicht die
Ursache der großen Schwierigkeit, auf welche die Verbreitung desselben
stieß; heute erst sind, dank den von R e y e (in erster Auflage 1866-1868
erschienenen und) unter demselben Titel veröffentlichten Vorlesungen die
in demselben enthaltenen Ideen allen bekannt, die sich mit Geometrie
beschäftigen. In Italien wird jetzt zuerst von allen Ländern eine
Übersetzung desselben angefertigt.
Nicht weniger wichtig sind die Beiträge zur Geometrie der Lage (in 3
Heften), welche S t a u d t seiner Geometrie der Lage 1866-1860 folgen ließ.
Wir beschränken uns darauf, hervorzuheben, daß dort die einzige strenge,
allgemeine und vollständige Theorie der imaginären Elemente in der
projektiven Geometrie auseinandergesetzt ist; diese Theorie wurde in
verschiedener Weise von mehreren Geometern, L ü r o t h (Math. Ann. 8, 11),
A u g u s t (Progr. der Friedrichs-Realschule in Berlin, 1872) und S t o l z
(Math. Ann. 4) erläutert; über die eng mit ihr zusammenhängende Rechnung
mit den »Würfen« sehe man außer den erwähnten Abhandlungen von
L ü r o t h noch zwei Arbeiten von S t u r m (Math. Ann. 9) und S c h r ö d e r
(ebendas. 10).
[47] Ohne Zweifel ist diese Einteilung etwas willkürlich; vielleicht wird
mancher, indem er bedenkt, daß gewisse Theorien mit demselben Rechte zu
mehr als einem von den folgenden Abschnitten gehören können, dieselbe
unpassend finden. Gleichwohl schmeichle ich mir, daß die meisten nach
reiflicher Prüfung des besprochenen Gegenstandes finden werden, daß die
von mir gewählte Einteilung nicht ohne bemerkenswerte Vorteile ist.
[48] C ô t e s, Harmonia mensurarum (1722); M a c l a u r i n, De linearum
geometricarum proprietatibus generalibus tractatus. (Ins Französische

übersetzt von d e J o n q u i è r e s und seinen Mélanges de Géométrie pure
[Paris, 1856] angehängt.)
[49] Miscellanea analytica etc. (1762); Proprietates geometricarum
curvarum (1772); Phil. Trans. 1763-1791.
[50] Geometria organica (1720).
[51] Phil. Trans. 1735; Exercitationes Geometriae de descriptione linearum
curvarum (1733).
[52] Übrigens hat, wie C. T a y l o r (Cambridge Proc. 3) bemerkte, Newton
selbst seine organische Erzeugungsweise der Kegelschnitte in der
Enumeratio linearum tertii ordinis auf Kurven höherer Ordnung
ausgedehnt.
[53] Usage de l'analyse de Descartes (1740).
[54] Introductio in analysin infinitorum. 2. Bd.
[55] Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques.
[56] Kurz vor der Veröffentlichung des C r a m e r schen Werkes fand E u l e r
(man sehe die Berliner Abh. 1748), daß von den neun Grundpunkten eines
Büschels ebener Kurven dritter Ordnung einer durch die acht übrigen
bestimmt ist.
[57] Gergonnes Ann. 17, 19.
[58] Journ. für Math. 16; Theorie der algebraischen Curven (wo S. 12-13
sich eine kurze Geschichte dieser Sätze findet).
[59] Journ. für Math. 15.
[60] Cambridge Journ. 3; vgl. B a c h a r a c h, Math. Ann. 26.
[61] R i e m a n n, Journ. für Math. 54; C l e b s c h, das. 58; R o c h, ebendas.
64; C l e b s c h und G o r d a n, Theorie der Abelschen Funktionen (Leipzig,
1866); B r i l l und N ö t h e r, Über die algebraischen Funktionen u. s. w.
(Math. Ann. 7); C r e m o n a, Bologna Mem. 1870; C a s o r a t i, C r e m o n a und
B r i o s c h i, Lombardo Rend. II, 2.

[62] In diesem Werke ist mit ersichtlicher Bevorzugung von dem »Prinzipe
der Abzählung der Konstanten« Kenntnis gegeben und Gebrauch gemacht;
wir wollen dasselbe erwähnen, da sich darauf eine Untersuchungsmethode
stützt, deren ganze Bedeutung aufzuheben nicht gelingen wird, obwohl sich
Beispiele von Irrtümern anführen lassen, zu denen es führen kann, wenn es
ohne die notwendige Vorsicht angewandt wird.
Mit der Theorie der ebenen Kurven befassen sich auch die beiden folgenden
Bücher, deren Existenz ich aus einer Anführung Plückers kenne (Theorie
der algebraischen Curven, S. 206); A. P e t e r s, Neue Curvenlehre 1835;
C. C. F. K r a u s e, Novae theoriae linearum curvarum originariae et vere
scientificae specimina quinque prima. Edidit Schröder, 1835.
[63] S. auch eine Abhandlung P l ü c k e r s, Liouvilles Journ. 1.
[64] Mém. prés. 1730-31-32.
[65] S. die in Note 54 citierte Introductio.
[66] Hierzu siehe C l e b s c h, Vorlesungen über Geometrie, S. 352; M a l e t,
Hermathema, 1880; P e l l e t, Nouv. Ann. II., 20, 1881.
[67] C a y l e y, Quart. Journ. 7 und Journ. für Math. 64; L a G o u r n e r i e,
Liouvilles Journ. II, 14; N ö t h e r, Math. Ann. 9; Z e u t h e n, das. 10;
H a l p h e n, Comptes rendus 78, Liouvilles Journ. II, 2, Mém. prés. 26; J. S.
S m i t h, Proc. math. Soc. 6; B r i l l, Math. Ann. 16; R a f f y, das. 23. — An
diese Frage knüpft sich die Untersuchung der Zahl der Schnitte zweier
Kurven, welche von einem ihnen gemeinsamen vielfachen Punkte
absorbiert werden. Hierzu sehe der Leser die interessante Abhandlung von
Z e u t h e n, Acta math. 1.
[68] Journ. für Math. 40; vgl. C l e b s c h (das. 63).
[69] Journ. für Math. 36, 40, 41.
[70] Phil. Mag. Oktoberheft 1858.
[71] Phil. Trans. 1859.
[72] z. B. D e r s c h, Math. Ann. 7.

[73] A Treatise on higher plane curves (1852); ins Deutsche übertragen
durch Fiedler (Leipzig, 1873)
[74] Gergonnes Ann. 19.
[75] Journ. für Math. 24. — Die Theorie der Polaren in bezug auf Kurven
und Oberflächen wurde in der letzten Zeit auf eine bemerkenswerte Weise
von C l i f f o r d (1845-1879) (Proc. math. Soc. 1868 oder Mathematical
Papers of Clifford, 1882, S. 115) und von R e y e (Journ. für Math. 72, 78)
verallgemeinert. D e P a o l i s widmete ihr eine interessante Schrift, welche
in den Lincei Mem. 1885-1886 veröffentlicht ist.
[76] Comptes rendus, 1853.
[77] Essai sur la génération des courbes géométriques, 1858 (Mém. prés.
16). Vgl. H ä r t e n b e r g e r, Journ. für Math. 58; O l i v i e r das. 70, 71;
S c h o u t e, Nieuw Archief voor Wiskunde, 4, und die allerneuesten
Untersuchungen von J o n q u i è r e s über die Maximalzahl der vielfachen
Punkte, die man bei einer ebenen Kurve beliebig annehmen kann (Comptes
rendus 105).
[78] Veröffentlicht im Jahre 1862 in den Bologna Mem. Möge es mir
gestattet sein, hier den Wunsch auszusprechen, daß der berühmte
C r e m o n a, dessen Interesse für die Verbreitung der geometrischen Studien
bekannt ist, seine berühmten Schriften über die Theorie der Kurven und
Oberflächen durch neue Ausgaben allen zugänglich machen wolle. — Diese
Schriften sind in deutscher Übersetzung von C u r t z e unter dem Titel:
Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen Kurven (Greifswald,
1865), bez. Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Oberflächen in
synthetischer Behandlung (Berlin, 1870) erschienen.
[79] Als Vorbereitung für solche Untersuchungen sind die von A r o n h o l d
(Berliner Ber. 1861) anzusehen, dann die von B r i o s c h i (Comptes rendus,
1863, 64) über die Darstellung der Koordinaten der Punkte von gewissen
Kurven als elliptische Funktionen eines Parameters.
[80] Journ. für Math. 58, 64. Die von C l e b s c h erhaltenen Resultate haben
sich infolge des schönen Werkes von L i n d e m a n n, welches den Titel trägt:
Vorlesungen über Geometrie von A. C l e b s c h (I. Bd. Leipzig, 1876) und

von dem das Erscheinen des zweiten Bandes allgemein gewünscht wird,
schnell verbreitet.
[81] Über die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der
Geometrie. Math. Ann. 7.
[82] Zu den im Texte angeführten Schriften müssen noch die von B r i l l
hinzugezogen werden (Math. Ann. 13), ferner die von G e i s e r (Annali di
Matem. II, 9) und die von D e l P e z z o (Napoli Rend. 22) über den
Zusammenhang, der zwischen den Singularitäten einer Kurve und denen
ihrer Hesseschen Kurve besteht; ferner die von L a g u e r r e (Comptes rendus
40) und H o l s t (Math. Ann. 11 und Archiv for Mathematik og
Naturvidenskab 7), über die metrischen Eigenschaften der Kurven.
[83] De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus.
[84] Vgl. S a l m o n - F i e d l e r, Höhere ebene Kurven, 5. Kap.
[85] Phil. Trans. 1857; Liouvilles Journ. 9, 10.
[86] Journ. für Math. 42.
[87] Zeitschr. f. Math. 17; Prager Ber. 1871. — Man sehe auch das Buch
Die ebenen Kurven dritter Ordnung (Leipzig, 1871) und die Abhandlung
von G e n t (Zeitschr. f. Math. 17).
[88] Giorn. di Matem. 2.
[89] Journ. für Math. 90.
[90] Prager Abh. VI, 5.
[91] Göttinger Nachr. 1871 und 1872.
[92] Journ. für Math. 78.
[93] Hierzu H a r n a c k, Math. Ann. 9. C a p o r a l i, Lincei Atti, III, 1; F o l i e
und L e P a i g e, Mémoires de l'Académie de Belgique, 43. H a l p h e n, Math.
Ann. 15; Bull. Soc. math. 9.
[94] Siehe Giorn. di Matem., Lombardo Rend., Math. Ann., Wiener Ber. und
Prager Ber.

[95] Für die C l e b s c h schen Arbeiten sehe man die in Note 80 angeführten
Bände des Journ. für Math. nach. Über die ebenen rationalen Kurven dritter
Ordnung sehe man die Arbeiten von D u r è g e (Math. Ann. 1), I g e l (das. 6),
R o s e n o w (Dissertation, Breslau, 1873), S c h u b e r t (Math. Ann. 12),
D i n g e l d e y (das. 27, 28); über die Kurven vierter Ordnung die von B r i l l
(Math. Ann. 12) und N a g e l (das. 19); über die fünfter Ordnung von R o h n
(das. 25), und über die rationalen Kurven beliebiger Ordnung die Schriften
von H a a s e (Math. Ann. 2), von L ü r o t h (das. 9), P a s c h (das. 18), B r i l l
(das. 20), von W e l t z i e n (das. 26) und G a r b i e r i (Giorn. di Matem. 16).
[96] Journ. für Math. 47; Comptes rendus, 1871.
[97] Journ. für Math. 53.
[98] G ü ß f e l d t, Math. Ann. 2; L a g u e r r e, Bull. Soc. math. 7; C r e m o n a
und C l e b s c h, Journ. f. Math. 64; K i e p e r t, Zeitschr. f. Math. 17; F r a h m
ebendas. 18; M i l i n o w s k i das. 19; I n t r i g i l a, Giorn. di Matem. 23;
K a n t o r, Wiener Ber. 1878 und Bull. Sciences math. II, 3.
[99] Giorn. di Matem. 15.
[100] Journ. für Math. 65.
[101] Math. Ann. 4.
[102] Bull. de la Société philomathique, VII, I.
[103] Wenn p das Quadrat des Moduls einer elliptischen Funktion, q das
Quadrat des vermittelst einer primären Transformation ungerader Ordnung
transformierten Moduls und schließlich F(p, q, 1) = 0 die entsprechende
Modulargleichung ist, so ist die Gleichung einer Modularkurve F(α, β, γ) =
0. Siehe Proc. math. Soc. 9.
[104] Journ. f. Math. 65; vgl. E d. W e y r das. 73; H u r w i t z, Math. Ann. 19.
[105] Math. Ann. 24.
[106] Journ. für Math. 95, 99; siehe auch die Abhandlung von A u g u s t,
Grunerts Arch. 59.
[107] Transactions of the Royal Society of Edinburgh 25.

[108] Math. Ann. 5.
[109] Math. Ann. 5, 6. Man sehe auch hierzu die Abhandlung von H a r n a c k
in der Zeitschr. f. Math. 22. Die hauptsächlichsten von D u r è g e und
S c h r ö t e r auf synthetischem Wege gefundenen Lehrsätze sind analytisch
von W a l t e r in seiner Dissertation Über den Zusammenhang der Kurven
dritter Ordnung mit den Kegelschnittscharen (Gießen, 1878) bewiesen. Den
genannten Schriften S c h r ö t e r s über die Kurven dritter Ordnung können
wir nun noch sein neuerdings erschienenes rein geometrisches Lehrbuch:
Die Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung (Leipzig, 1888)
hinzufügen.
[110] Math. Ann. 5.
[111] Math. Ann. 1, 13; vgl. C l e b s c h, Journ. für Math. 59.
[112] Irish Trans. 1869.
[113] Siehe dessen Werk, Sur une classe remarquable de courbes et
surfaces algébriques (Paris, 1873).
[114] Journ. für Math. 57, 59, 66.
[115] Tidsskrift for Mathematik, IV, 3.
[116] Forhandlinger af Videnskabs Selskab af Kjobenhavn 1879.
[117] Erschienen in den Collectanea mathematica in memoriam D.
C h e l i n i (Mailand, 1881).
[118] Journ. für Math. 28, 34, 38.
[119] Journ. für Math. 49, 55; vgl. auch C a y l e y (das. 58).
[120] Journ. für Math. 49.
[121] Berliner Ber. 1864, sowie Nouv. Ann. II, 11.
[122] Math. Ann. 1; Journ. für Math. 72.
[123] Vgl. Note 80.

[124] Journ. für Math. 66. — Über die Doppeltangenten einer Kurve vierter
Ordnung sehe man auch folgende Arbeiten: R i e m a n n, Zur Theorie der
Abelschen Funktionen für den Fall p=3. Gesammelte Werke (Leipzig,
1876), S. 456-499; N ö t h e r, Math. Ann. 15; C a y l e y, Journ. für Math. 94;
F r o b e n i u s (das. 99); F r e y b e r g, Math. Ann. 17; H. W e b e r (ebendas. 23).
[125] Um sich von dem bedeutenden Anteil, welchen die M o n g e sche
Schule an der Schöpfung der Theorie der Flächen zweiten Grades hatte, zu
überzeugen, genügt es, sich folgendes zu vergegenwärtigen: Ihr verdanken
wir die doppelte Erzeugungsweise des einmanteligen Hyperboloides und
des hyperbolischen Paraboloides durch die Bewegung einer Geraden
(M o n g e, Journ. Éc. polyt. 1) und die Erzeugung aller Flächen zweiten
Grades, mit Ausnahme des hyperbolischen Paraboloides, durch Bewegung
eines Kreises (H a c h e t t e, Éléments de Géométrie à trois dimensions).
M o n g e und H a c h e t t e verdankt man den Beweis der Existenz der drei
Hauptebenen einer Oberfläche zweiter Ordnung; M o n g e (Correspondance
sur l'École polytechnique) die Entdeckung des Ortes der Scheitel der
dreirechtwinkligen Triëder, deren Kanten eine Fläche zweiter Ordnung
berühren, und B o b i l l i e r (Gergonnes Ann. 18) die des Ortes der Scheitel
der dreirechtwinkligen Triëder, deren Seitenflächen eine Fläche zweiter
Ordnung berühren; M o n g e bestimmte die Krümmungslinien des
Ellipsoides (Journ. Éc. polyt. 2); L i v e t (das. 13) und B i n e t (ebendas. 16)
dehnten die bekannten Lehrsätze des A p o l l o n i u s auf den Raum aus,
während C h a s l e s (Correspondance sur l'Éc. polyt.) andere analoge Sätze
gab; D u p i n (Journ. Éc. polyt. 14) machte einige interessante Methoden zur
Erzeugung solcher Oberflächen bekannt. B r i a n c h o n (das. 13) zeigte, dass
die reciproke Polare einer Fläche zweiten Grades ebenfalls eine Fläche
zweiten Grades sei, u. s. w.
[126] Journ. für Math. 12.
[127] Irish Proc. 2.
[128] Aperçu historique, Note 25, 28, 31, 32; Comptes rendus, 1855;
Liouvilles Journ. 1860 u. s. w.
[129] Journ. für Math. 18, 20, 24, 26, 60, 73, 85, 90.
[130] Grunerts Arch. 9.

[131] Journ. für Math. 62. Über die Oberflächen zweiter Ordnung sehe man
auch die Abhandlungen von T o w n s e n d (Cambridge Journ. 3), von
D a r b o u x (Bull. Soc. Math. 2), von M e r a y und C r e m o n a (Annali di
matem. I, 3) u. s. w. und die Géométrie de direction (Paris, 1869) von P.
S e r r e t.
Eine der wichtigsten Fragen, welche sich in der T h e o r i e der Flächen
zweiten Grades darbietet, ist die Konstruktion derselben, wenn neun ihrer
Punkte gegeben sind. Dieselbe wurde von S e y d e w i t z (Grunerts Arch. 9),
C h a s l e s (Comptes rendus, 1855), S t e i n e r (Gesammelte Werke, II. Bd.,
Nachlass), S c h r ö t e r (Journ. für Math. 62), S t u r m (Math. Ann. 1) und
D i n o (Napoli Rend. 1879) gelöst. — Daran knüpft sich die Untersuchung
des achten Punktes, der allen Flächen zweiter Ordnung gemeinsam ist, die
durch sieben gegebene Punkte gehen. Dieser wurde der Gegenstand
wichtiger Untersuchungen von H e s s e (Journ. für Math. 20, 26, 73, 75, 99),
P i c q u e t (das. 73, 99), C a s p a r y, S c h r ö t e r, S t u r m, Z e u t h e n (das. 99)
und R e y e (das. 100).
Ein anderes interessantes Problem ist die Untersuchung der Flächen zweiten
Grades, in bezug auf welche zwei gegebene Flächen zweiten Grades
reziproke Polaren voneinander sind; dasselbe wurde analytisch von
B a t t a g l i n i behandelt (Lincei Atti, 1875), von d ' O v i d i o (Giorn. di
Matem. 10) und synthetisch von T h i e m e (Zeitschr. f. Math. 22).
Über einige Flächen zweiten Grades, welche besondere metrische
Eigenschaften besitzen (orthogonale, gleichseitige Hyperboloide), haben
geschrieben: S t e i n e r (Journ. für Math. 2 und Systematische
Entwickelung), C h a s l e s (Liouvilles Journ. 1 [1836]), S c h r ö t e r (Journ.
für Math. 85), S c h ö n f l i e ß (Zeitschr. für Math. 23, 24 und Journ. für Math.
99), V o g t (Journ. für Math. 86) und R u t h (Wiener Ber. 80).
Zu den neuesten Studien über die Flächen zweites Grades gehören die von
Z e u t h e n (Math. Ann. 19, 26) über die Theorie der projektiven Figuren auf
einer solchen Fläche; daran schließen sich auch einige schöne
Untersuchungen, welche V o ß gemacht hat (Math. Ann. 25, 26), um gewisse
Resultate von P o n c e l e t und B r u n o (Torino Atti 17) weiter auszudehnen.
Auch sind die Anwendungen der hyperelliptischen Funktionen auf sie
bemerkenswert, welche S t a u d e (Math. Ann. 20, 21, 25, 27) gemacht hat.

[132] Davon geben Zeugnis die Partien, welche in ihren wertvollen
Lehrbüchern diesen Oberflächen gewidmet haben: H e s s e (Vorlesungen
über die analytische Geometrie des Raumes), S a l m o n (Analytische
Geometrie des Raumes), C r e m o n a (Preliminari di una teoria geometrica
delle superficie), R e y e (Die Geometrie der Lage) und S c h r ö t e r (Theorie
der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung).
[133] Mémoire de géométrie sur deux principes généraux de la science
(Anhang zum Aperçu historique).
[134] Gergonnes Ann. 17.
[135] Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques. (Journ. für
Math. 4).
[136] Cambridge Journ. 2, 4; Irish Trans. 23.
[137] Cambridge Journ. 7, 8; Phil. Trans. 1869, 71 u. 72. Man sehe auch
die von Z e u t h e n in den Math. Ann. 4, 9, 10, von J o n q u i è r e s in den Nouv.
Ann. 13 und von H a l p h e n in den Annali di Matem. II, 9 veröffentlichten
Abhandlungen.
[138] Journ. für Math. 15.
[139] Math. Ann. 1, 2. Vgl. auch eine Abhandl. von P a d o v a im Giorn. di
Matem. 9, sowie eine von V a l e n t i n e r, Tidsskrift for Mathematik IV, 3.
[140] Comptes rendus 45.
[141] Preliminari di una teoria geometrica delle superficie. (Bologna Mem.
II, 6, 7).
[142] Wiener Ber. 1877, 1882.
[143] Math. Ann. 27.
[144] Journ. für Math. 49.
[145] Cambridge Journ. 4; Quart. Journ. 1; Phil. Trans. 1860.
[146] Journ. für Math. 58, 63.

[147] Journ. für Math. 72.
[148] Math. Ann. 10, 11, 12; Abzählende Geometrie, 5. Abschnitt. S. auch
K r e y, Math. Ann. 15.
[149] Math. Ann. 23.
[150] Journ. für Math. 72, 78, 79, 82.
[151] Geometry of three dimensions; in deutscher Übersetzung von
F i e d l e r: Analytische Geometrie des Raumes in zwei Bänden (3. Auflage,
1879/80).
[152] Preliminari etc. Vgl. Note 141.
[153] Vgl. die in Note 136 und 137 angeführten Arbeiten.
[154] Cambridge Journ. 6.
[155] Auch im Journ. für Math. 53 publiziert.
[156] Die einzige mir bekannte Arbeit, welche mit den Studien von C a y l e y
und S a l m o n im Zusammenhange steht, ist eine von S c h l ä f l i (Quart.
Journ. 2), die besonders dadurch wichtig ist, daß sie die erste ist, welche
den Begriff der »Doppelsechs« enthält.
[157] Journ. für Math. 62.
[158] Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis (Berlin, 1862).
[159] Journ. für Math. 68; ferner Grundzüge einer allgemeinen Theorie der
Oberflächen (Berlin, 1870), in welchem Buche die deutsche Übersetzung
der in Note 141 und 152 zitierten »Preliminari« und diejenige dieser
Preisschrift (durch C u r t z e) vereinigt sind.
[160] Synthetische Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung. Leipzig,
1867.
[161] Journ. für Math. 51; vgl. eine von S c h r ö t e r (das. 96) veröffentlichte
Abhandlung.

[162] Vgl. die in Note 158 zitierte Arbeit. — Man sehe auch S c h u b e r t,
Math. Ann. 17.
[163] Grunerts Arch. 56.
[164] Bull. soc. math. 4.
[165] Acta math. 3.
[166] Lombardo Rend. März 1871.
[167] Grunerts Arch. 56.
[168] Math. Ann. 23.
[169] Lombardo Rend. 1884; Annali di Matem. II, 12.
[170] Math. Ann. 13; Lincei Mem. 1876-1877.
[171] Napoli Rend. 1881.
[172] Journ. für Math. 78.
[173] Lombardo Rend. 1879.
[174] Acta math. 5.
[175] Phil Trans. 1863; vgl. C a y l e y (das. 1869).
[176] Math. Ann. 14.
[177] Lombardo Atti, 1861.
[178] Theorie der mehrdeutigen Elementargebilde u. s. w. Leipzig, 1869;
Geometrie der räumlichen Erzeugnisse ein-zweideutiger Gebilde, Leipzig,
1870.
[179] Über die geradlinige Fläche dritter Ordnung und deren Abbildung
auf eine Ebene. (Dissertation. Straßburg, 1876.)
[180] Math. Ann. 4.
[181] Phil. Mag. 1864.

[182] Math. Ann. 10.
[183] Phil. Trans. 150.
[184] Journ. für Math. 58.
[185] Math. Ann. 5.
[186] Lincei Mem. 1880-1881. Man sehe auch eine Note von B r i o s c h i in
den Lincei Atti II, 3, in welcher bewiesen wird, daß die 45 dreifach
berührenden Ebenen einer Oberfläche dritter Ordnung dreien Oberflächen
zehnter Klasse gemeinsam sind. Neuerdings fand B a u e r (Abh. der Bayr.
Akad. der Wiss. 14, 1883) analytisch von neuem, was S t u r m schon 1867 in
seinen Synthetischen Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung
erkannt hatte, daß die Schnittkurve einer Oberfläche dritter Ordnung mit
ihrer Hesseschen Fläche für b e i d e eine parobolische Kurve ist; ein
bemerkenswertes Resultat, weil es das Analogon im Raume zu einem
bekannten Satze über die ebene kubische Kurve ist.
[187] Liouvilles Journ. II, 14; Traité des substitutions et des équations
algébriques (Paris, 1870).
[188] Traité des propriétés projectives des figures.
[189] Comptes rendus, 1862.
[190] Ebendas., 1861.
[191] Phil. Trans. 1864.
[192] Bologna Mem. 1868.
[193] Berliner Ber. 1864; Journ. für Math. 64.
[194] Nouv. Ann. II, 5.
[195] Die D u p i n sche Cyklide gehört zu diesen.
[196] Vgl. Comptes rendus 1864.
[197] Die Untersuchungen von D a r b o u x finden sich in dem schon
angeführten Buche: Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces

algébriques (Paris, 1873) zusammengefaßt.
[198] S. die Aufzählung der Arbeiten, die zu Ende des in der vorigen Note
zitierten Werkes sich findet, und die Notice sur la vie et les travaux de M.
Laguerre, veröffentlicht von P o i n c a r é in den Comptes rendus 104.
[199] Phil. Trans. 1871.
[200] Lombardo Rend. 1871.
[201] Journ. für Math. 70.
[202] Math. Ann. 4.
[203] Om Flader af fjerde Orden med Dobbeltkeglesnit (Kopenhagen,
1879). Von dieser Abhandlung habe ich eine italienische Übersetzung in
den Annali di Matem. II, 14 veröffentlicht.
[204] Journ. für Math. 69.
[205] Math. Ann. 1, 2, 3, 4.
[206] Annali di Matem. II, 13.
[207] Leipziger Dissertation (Greifswald, 1885).
[208] Math. Ann. 19.
[209] Torino Mem. II, 36.
[210] Math. Ann. 24. Betreffend die Konstruktion einer Oberfläche vierter
Ordnung mit Doppelkegelschnitt sehe man eine Abhandlung von B o b e k
(Wiener Ber. 11. und 18. Dez. 1884) und eine von V e r o n e s e (Atti dell'
Istituto Veneto, VI, 1); hinsichtlich der Konstruktion einer Cyklide sehe man
eine Abhandlung von S a l t e l (Bull. Soc. math. 3).
[211] W e i e r s t r a ß, Berliner Ber. 1863.
[212] Unter den Eigenschaften der römischen Fläche von S t e i n e r verdient
eine hervorragende Stelle die (durch verschiedene Methoden von
C r e m o n a und C l e b s c h nachgewiesene) Eigenschaft, daß sie zu
asymptotischen Kurven (Haupttangentenkurven) rationale Kurven vierter

Ordnung hat. Eine andere Eigenschaft derselben wurde von D a r b o u x
(Bull. sciences math. II, 4) entdeckt und besteht darin, daß sie die einzige
Fläche ist, außer den Flächen zweiten Grades und den Regelflächen dritten
Grades, bei welcher durch jeden Punkt unendlich viele Kegelschnitte gehen.
Neuerdings hat P i c a r d (Journ. für Math. 100) gezeigt, daß sie die einzige
nicht geradlinige Oberfläche ist, deren sämtliche ebene Schnitte rationale
Kurven sind. Man sehe hierzu noch eine Note von G u c c i a in den
Rendiconti del circolo matematico di Palermo, 1. — L i e machte (Archiv
for Math. og Naturvidenskab. 3) die interessante Bemerkung, daß der Ort
der Pole einer Ebene in Bezug auf die Kegelschnitte einer Steinerschen
Fläche eine ebensolche Fläche ist.
[213] Journ. für Math. 63; Lombardo Rend. 1867.
[214] Journ. für Math. 64.
[215] Math. Ann. 3.
[216] Journ. für Math. 64; Proc. math. Soc. 5.
[217] Giorn. di Matem. 1; Bologna Mem. 1879.
[218] Journ. für Math. 67.
[219] Math. Ann. 5.
[220] Nouv. Ann. II, 11, 12; Bull. Soc. math. 1.
[221] La superficie di Steiner studiata nella sua rappresentazione analitica
mediante le forme ternarie quadratiche (Torino, 1881).
[222] Berliner Abh. 1866 und Berliner Ber. 1864.
[223] Diese Oberfläche hat eine fundamentale Bedeutung in der
mathematischen Theorie des Lichtes. Es ist in der That bekannt, daß die
Bestimmung der Ebenen, welche sie längs Kreisen berühren, H a m i l t o n
zur Entdeckung der konischen Refraktion führte, einer Erscheinung, welche
der Aufmerksamkeit der Physiker entgangen war. Sie erfreut sich vieler
interessanter Eigenschaften und war Gegenstand wichtiger Untersuchungen
verschiedener Gelehrten, insbesondere M a n n h e i m s (Comptes rendus, 78,

81, 85, 88, 90; Association franç. pour l'avanc. des sciences 1874, 75, 76,
78), Proc. Roy. Soc. 1882; Collectanea mathematica u. s. w.
[224] Liouvilles Journ. 11; Journ. für Math. 87. Vgl. eine Abhandlung von
S e g r e im Giorn. di Matem. 21. Andere Spezialfälle der Kummerschen
Fläche wurden von R o h n und S e g r e (Leipziger Ber. 1884) studiert.
[225] Diese Eigenschaft der Kummerschen Fläche veranlaßte eine
Untersuchung über die Oberflächen beliebiger Ordnung, welche dieselbe
besitzen, eine Untersuchung, die schon von K u m m e r und C a y l e y
unternommen ist, Berliner Ber. 1878.
[226] Berliner Ber. 1870, oder Math. Ann. 23.
[227] Journ. für Math. 97; vgl. S e g r e das. 98.
[228] Journ. für Math. 83, 94; oder Borchardts Gesammelte Werke (Berlin,
1888, S. 341); vgl. B r i o s c h i und D a r b o u x, Compt. rend., 1881.
[229] Journ. für Math. 84.
[230] S. die in Note 207 zitierte Abhandlung, und für die Geschichte der
Anwendung der hyperelliptischen Funktionen auf die Kummersche
Oberfläche die Einleitung der Abhandlung von R o h n, Math. Ann. 15.
[231] Journ. für Math. 70.
[232] Münchener Dissertation, 1878; Math. Ann. 15.
[233] Die anderen Oberflächen vierter Ordnung mit singulären Punkten
wurden von C a y l e y studiert (Proc. math. Soc. 1870, 1871), vollständiger
von R o h n in einer sehr schönen Abhandlung, die von der
Jablonowskischen Gesellschaft kürzlich prämiiert ist (vgl. Math. Ann. 29).
Endlich wurden die von Flächen zweiten Grades eingehüllten Flächen
vierter Ordnung von K u m m e r untersucht, Berliner Ber. 1872.

[234] On the quartic surfaces (+) (u, v, w)2 = 0 (Quart. Journ. 10, 11); On
the quartic surfaces represented by the equation symmetrical determinant =
0 (Quart. Journ. 14).

[235] Bekanntlich nennt man nach C a y l e y ein Monoid eine Oberfläche nter
Ordnung mit einem (n-1)-fachen Punkte.
[236] Math. Ann. 24; vgl. auch die Dissertation von L a m p e, Berlin, 1864.
[237] Math. Ann. 18, 17. Außer den im Texte zitierten Oberflächen wurden
noch andere spezielle Flächen studiert, die ich der Kürze wegen übergehen
muß; der größere Teil derselben wurde vermittelst der Theorie der
Abbildungen entdeckt oder betrachtet, siehe § VI.
[238] Correspondance mathématique 9; Liouvilles Journ. 2.
[239] Cambridge Journ. 8 und Irish Trans. 23.
[240] Phil. Trans. 1863-1869. In den angeführten Arbeiten haben C a y l e y
und S a l m o n die Regelflächen bearbeitet als die Örter der Geraden, die drei
gegebene Kurven treffen, oder eine einmal und eine zweite zweimal treffen,
oder Trisekanten einer Kurve sind. R u p p hat neuerdings diese
Betrachtungen wieder aufgenommen, um auf eine andere Weise die
Resultate zu erhalten und zu modifizieren, zu denen jene Mathematiker
gelangt waren (Math. Ann. 18).
[241] Annali di Matem. II, 1.
[242] Traité de géométrie descriptive, Art. 629 u. 635.
[243] Math. Ann. 8, 12, 13.
[244] Comptes rendus, 1862; vgl. d ' O v i d i o und D i n o, Giorn. di Matem.
3.
[245] Dissertation, gedr. zu Berlin 1864, und Journ. für Math. 67.
[246] Recherches sur les surfaces réglées tetraédrales symétriques (Paris,
1867). Ich bemerke, daß ein Büschel von Oberflächen, die in Bezug auf ein
Tetraeder symmetrisch sind, mit einem projektiven Ebenenbüschel eine
bemerkenswerte Fläche erzeugt, die von E c k a r d t (Zeitschr. f. Math. 20)
bearbeitet ist und welche die allgemeine Oberfläche dritter Ordnung in sich
schließt.
[247] Math. Ann. 5.

[248] Annali di Matem. II, 4.
[249] Prager Abhandlungen VI, 5.
[250] Mémoires de Bordeaux II, 3.
[251] Über die Flächen, deren Gleichungen aus denen ebener Kurven
durch eine bestimmte Substitution hervorgehen. Math. Ann. 7.
[252] Lincei Mem. 1878-1879.
[253] Math. Ann. 4.
[254] Math. Ann. 27, 29. S. auch eine Abhandlung von E c k a r d t (daselbst
7).
[255] Math. Ann. 3.
[256] das. 14, 15. S. auch eine Bemerkung von D i n o, Napoli Rend. 19.
[257] Comptes rendus, 52.
[258] Journ. für Math. 68.
[259] Math. Ann. 2.
[260] Proc. math. Soc. 4; Comptes rendus, 1861; vgl. H u n g a d y Journ. für
Math. 92.
[261] K l e i n und L i e, Comptes rendus, 70.
[262] F o u r e t, Bulletin de la Société philomatique, VII, 1.
[263] J u n g, Lincei Rend. 1885 und 1886. S. auch zwei Bemerkungen über
denselben Gegenstand, veröffentlicht von V i s a l l i (ebendas. 1886).
[264] G o u r s a t, Ann. Ec. norm. III, 4; L e c o r n u, Acta math. 10.
[265] Cfr. die bewunderungswerten Vergleichenden Betrachtungen über
neuere geometrische Forschungen von F. K l e i n (Erlangen, 1872).
[266] Veröffentlicht im Jahre 1795 unter dem Titel: Feuilles d'Analyse
appliquée à la Géométrie. Die letzte (fünfte) Ausgabe wurde von

L i o u v i l l e im Jahre 1850 besorgt und durch einen Anhang sehr wertvoller
Noten bereichert.
[267] Der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
überreicht am 8. Oktober 1827 und abgedruckt im 6. Bande der
Commentationes recentiores societatis Gottingensis. Diese Disquisitiones
stehen im 4. Bande der von der genannten Gesellschaft herausgegebenen
Werke von G a u ß, ferner in französischer Übersetzung in der angeführten
Liouvilleschen Ausgabe des Werkes von M o n g e.
[268] Wenn x = e(t), y = f(t), z = g(t) die Ausdrücke der Koordinaten der
Punkte dieser Kurve in Funktionen eines Parameters t sind und F(x, y, z) =
0 die Gleichung der gegebenen Oberfläche, so ist die fragliche Enveloppe
die der Oberfläche F{x + e(t), y + f(t), z + g(t)} = 0.
[269] Über solche Flächen sehe man die neue Arbeit von L i e (Archiv for
Mathematik og Naturvidenskab 7).
[270] Vor M o n g e hatten sich schon E u l e r (Histoire de l'Académie de
Berlin, 1766) und M e u n i e r (Mémoires de l'Académie des sciences de
Paris 10, 1776) mit diesem Thema beschäftigt.
[271] Unter den neueren Arbeiten über die Krümmungslinien führen wir
nur die von H a m i l t o n, F r o s t und C a y l e y an, die sich als Aufgabe
gestellt haben, zu finden, wie dieselben um einen Nabelpunkt herum verteilt
sind (Quart. Journ. 12).
[272] Vgl. hierzu eine von C r e m o n a veröffentlichte Arbeit in den Bologna
Mem. III, 1. Wir führen hier auch einige Noten von D a r b o u x an (Comptes
rendus, 84, 92, 97), welche die Bestimmung der Krümmungslinien einiger
spezieller bemerkenswerter Flächen zum Zwecke haben.
[273] Die Differentialgleichung der Minimalflächen verdanken wir
L a g r a n g e (Miscellanea Taurinensia, 1760-1761); die geometrische
Interpretation derselben wurde ein wenig später von M e u n i e r gegeben
(vgl. Note 270).
[274] An die in den §§ 18 und 21 der Application gemachten
Untersuchungen knüpft sich eine Abhandlung von O. R o d r i g u e s, die sich
in der Correspondance sur l'École polytechnique 3 findet.

[275] Außer den Krümmungs- und asymptotischen Linien auf einer Fläche
sind noch diejenigen bemerkenswert, bei denen die Schmiegungskugel in
einem beliebigen ihrer Punkte die Oberfläche selbst berührt. Dieselben
wurden von D a r b o u x (Comptes rendus 83) und von E n n e p e r (Göttinger
Nachrichten, 1871) studiert.
[276] D u p i n fand (Applications de Géométrie et de Méchanique, 1822),
daß die einzigen Oberflächen, bei denen sämtliche Krümmungslinien
Kreise sind, die Kugel, der Rotations-Kegel und -Cylinder und die Cyklide
sind, welch letztere er schon als die Enveloppe einer Kugel erkannt hatte,
die sich so bewegt, daß sie immer drei feste Kugeln tangiert.
[277] Liouvilles Journ. 13.
[278] Journ. Éc. polyt. 19, 35; Comptes rendus 42.
[279] Atti dell' Accademia dei Quaranta, 1868-1869; Annali delle
Università toscane, 1869; Annali di Matem. II, 1, 4.
[280] Göttinger Abh. 13, 16, 23; Journ. für Math. 94.
[281] Comptes rendus, 96.
[282] das. 46.
[283] Journ. Éc. polyt. 53.
[284] Journ. für Math. 94.
[285] Göttinger Dissertation, 1883.
[286] Journ. für Math. 59.
[287] Annali di Matem. I, 8.
[288] Archiv for Math. og Naturvidenskab, 4; Bull. Sciences math. II, 4.
[289] Journ. für Math. 62.
[290] Berliner Ber. 1840; Journ. für Math. 24.
[291] Berliner Ber. 1866.

[292] Abhandlungen der Jablonowskischen Gesellschaft zu Leipzig 4;
Journ. für Math. 13.
[293] Liouvilles Journ. II, 5.
[294] das. I, 11.
[295] Göttinger Abh. 13, oder Gesammelte Werke S. 283 und 417.
N i e w e n g l o w s k i hat die R i e m a n n schen Untersuchungen in elementarer
Form dargelegt in den Ann. Éc. norm. II, 9.
[296] Berliner Ber. 1867.
[297] Math. Ann. 1.
[298] Akademiens Afhandlingar, Helsingfors, 1883.
[299] Journ. Éc. polyt. 37.
[300] Heidelberger Dissertation, 1875.
[301] Comptes rendus 41; vgl. E n n e p e r, Zeitschr. f. Math. 7, 9.
[302] Journ. Éc. polyt. 39.
[303] Bestimmung einer speziellen Minimalfläche (Berlin, 1871). Vgl.
C a y l e y, Quart. Journ. 14.
[304] Journ. für Math. 80.
[305] das. 87; Comptes rendus 96.
[306] Zeitschr. f. Math. 14; Göttinger Nachr. 1866.
[307] Liouvilles Journ. II, 8.
[308] Bologna Mem. II, 7. Die wunderschöne Einleitung dieser Abhandlung
enthält die Geschichte der Theorie der Minimalflächen.
[309] Archiv for Math. og Naturv. 3, 4, 6; Math. Ann. 14, 15.
[310] Journ. für Math. 81, 85.
[311] Annali di Matem. II, 9.

[312] Étude des élassoides. Mémoires couronnés par l'Académie de
Belgique 44.
[313] Giorn. di Matem. 22.
[314] Lombardo Rend. 1876; Giorn. di Matem. 14.
[315] Journ. für Math. 78.
[316] Das Studium der Krümmung einer Oberfläche in einem singulären
Punkte wurde von P a i n v i n im Journ. für Math. 72 angestellt.
[317] Ein analoger Satz wurde neuerdings von S t u r m entdeckt (Math. Ann.
21).
[318] Einige Vervollkommnungen und Ergänzungen dieses Teiles der
Gaußischen Abhandlung wurden von L i o u v i l l e (Journ. Éc. polyt. 24), von
B a l t z e r (1818-1887) (Leipziger Berichte 1872) und durch v o n
E s c h e r i c h (Grunerts Arch. 57) vorgenommen.
[319] Der Satz von G a u ß: »Damit eine Oberfläche auf eine andere
abwickelbar sei, ist notwendig, daß die Krümmung in den entsprechenden
Punkten gleich sei«, wurde auf verschiedene Arten von L i o u v i l l e
(Liouvilles Journ. 12), von B e r t r a n d, P u i s e u x und D i g u e t (das. 13)
bewiesen. Vgl. auch M i n d i n g, Journ. für Math. 19.
[320] Annali di Matem. II, 1.
[321] Bologna Mem. II, 8.
[322] Math. Ann. 1.
[323] Comptes rendus 37.
[324] das. 44, 46, 57, 67.
[325] Annali di Matem. I, 7. — Das allgemeinere Problem der Bestimmung
zweier Oberflächen, so daß jedem Punkte der einen ein Punkt oder eine
Gruppe von Punkten der anderen entspricht, und daß den geodätischen
Linien der einen geodätische Linien der anderen korrespondieren, wurde
später von D i n i behandelt. (Annali di Matem. II, 3).

[326] Giorn. di Matem. 6.
[327] Comptes rendus, 1865.
[328] Archiv for Math. og Nat. 4, 5.
[329] Giorn. di Matem. 16, 20, 21.
[330] Lund Årskrift 19.
[331] Comptes rendus 96, 97.
[332] Acta math. 9.
[333] Journ. für Math. 64.
[334] Berliner Ber. 1882-1883. — Hieran schließt sich die Schrift v o n
L i l i e n t h a l ' s: Untersuchungen zur allgemeinen Theorie der krummen
Oberflächen und der geradlinigen Strahlensysteme (Bonn, 1886).
[335] Journ. für Math. 26, 30. — J o a c h i m s t h a l s Vorlesungen:
Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine
Theorie der Flächen und der Linien doppelter Krümmung erschienen nach
seinem Tode (Leipzig, 2. Auflage, 1881).
[336] Göttinger Nachr. 1867.
[337] Lombardo Atti II, 1.
[338] Programm der Universität von Christiania, 1879.
[339] Math. Ann. 20.
[340] Journ. für Math. 6, 18, 19.
[341] Journ. Éc. polyt. 39.
[342] Mém. prés. 27 (1879) (Mémoire relatif à l'application des surfaces les
unes sur les autres).
[343] Journ. Éc. polyt. 41, 42.
[344] Berliner Abh., 1869.

[345] Journ. für Math. 94.
[346] Berliner Ber. 1882.
[347] Münchener Abh. 14.
[348] Journ. für Math. 6.
[349] Irish Trans. 22, I. T.
[350] Giorn. di Matem. 2.
[351] Göttinger Nachr. 1875.
[352] Giorn. di Matem. 21.
[353] Journ. Éc. polyt. 48.
[354] Bologna Mem. IV, 3.
[355] Mém. prés. 5; Liouvilles Journ. 2. — Unter den vielen Anwendungen,
die man von den elliptischen Koordinaten gemacht hat, wollen wir nur
diejenigen anführen, die J a c o b i davon gemacht hat bei der Bestimmung
der geodätischen Linien (Journ. für Math. 14; Comptes rendus 8; Liouvilles
Journ. 6) und bei einigen Fragen der Dynamik. S. Vorlesungen über
Dynamik, 1866 in erster, 1884 in zweiter Ausgabe als Supplementband zu
den Gesammelten Werken erschienen.
[356] Journ. Éc. polyt. 23.
[357] Liouvilles Journ. 5.
[358] das. 4.
[359] das. 8.
[360] Comptes rendus 48, 54; Journ. für Math. 58; Annali di Matem. I, 6
und II, 1, 3, 5.
[361] Annali di Matem. II, 1.
[362] das. II, 1, 2, 4, 5.

[363] Bologna Mem. 1868-1869.
[364] Ann. Éc. norm. II, 7.
[365] Ann. Éc. norm. I, 4.
[366] Journ. Éc. polyt. 43.
[367] Annales des mines VII, 5.
[368] Liouvilles Journ. 11.
[369] das. 12.
[370] Comptes rendus 54.
[371] Mémoires couronnés par l'Académie de Belgique, 32.
[372] Comptes rendus 59.
[373] das. 59, 60, 67, 76; Ann. Éc. norm. I, 2; II, 3.
[374] Comptes rendus 74, 75; Phil. Trans. 163. Vgl. W e i n g a r t e n, Journ.
für Math. 83.
[375] Comptes rendus 76.
[376] Journ. für Math. 85.
[377] das. 76; vgl. D a r b o u x, Comptes rendus 84.
[378] Grunerts Arch. 55, 56, 57, 58 und 63.
[379] Giorn. di Matem. 21, 22; Annali di Matem. II, 13; Lincei Rend. 1886.
[380] Mémoires de l'Académie de Toulouse VIII, 1.
[381] Archiv for Math. og Naturv. 7.
[382] Göttinger Abh. 19. — Wenn u der Winkel der Normalen der
Oberfläche in einem Punkte mit der z-Axe, und v der Winkel der Projektion
derselben auf die xy-Ebene mit der x-Axe ist, so nennt man nach E n n e p e r
Kurven, deren Gleichungen u = const. oder v = const. sind, Meridiankurven.

[383] Comptes rendus 74; Proc. math. Soc. 4.
[384] Berliner Ber. 1883.
[385] Göttinger Dissertation, 1883.
[386] Giorn. di Matem. 17.
[387] Mémoires de la société scientifique de Bruxelles 5, 7, 8.
[388] Ann. Éc. norm. II, 3; Journ. Éc. polyt. 53.
[389] Liouvilles Journ. 9, 12.
[390] Journ. Éc. polyt. 30, 32; Liouvilles Journ. 14; Comptes rendus 54.
[391] Man sehe auch die Thèse (Dissertation) von P i c a r t, Essai d'une
théorie géométrique des surfaces (Paris, 1863).
[392] Liouvilles Journ. II, 17 und III, 4; Bull. Soc. math. 2, 5, 6; Comptes
rendus 74, 78, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86, 88; Proc. math. Soc. 12; The
Messenger of Mathematics II, 8.
[393] Enumeratio linearum tertii ordinis (1706). Indem wir eine
Bemerkung von B e l l a v i t i s (1803-1880) verwerten (s. § 107 der Schrift
Sulla classificazione delle curve di terzo ordine, Memorie della Società
italiana delle scienze residente in Modena, Bd. 25, II. Teil S. 34), geben wir
dieses Resultat wieder, indem wir sagen, daß jede Kurve dritter Ordnung
sich durch eine geeignete projektive Transformation auf eine der folgenden
Formen bringen läßt: Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge und
einem Ovale (parabola campaniformis cum ovali), Kurve mit einem
Doppelpunkte (parabola nodata), Kurve, bestehend aus einem
Schlangenzuge (parabola pura), Kurve mit einem isolierten Punkte
(parabola punctata), Kurve mit einer Spitze (parabola cuspidata). Unter
den Beweisen, die für diesen Satz gegeben sind, führe ich den von M ö b i u s
an, der sich auf die Prinzipien der analytischen Sphärik gründet
(Gesammelte Werke, II. Bd. S. 89-176), und den, der aus der Klassifikation
von B e l l a v i t i s (s. oben) hervorgeht. An M ö b i u s schließt sich an: M.
B a u r, Synthetische Einteilung der ebenen Kurven III. Ordnung (Stuttgart,
1888). Dann bemerke ich noch hierzu, daß die Einteilungen, die von
M ö b i u s und B e l l a v i t i s (fast gleichzeitig, da die erste 1852 veröffentlicht

wurde und die zweite 1851 geschrieben und 1855 veröffentlicht wurde)
vorgeschlagen sind, gemeinsam haben, daß sie die Kollineation als
Grundlage der Bildung der Gattungen, die Affinität zur Grundlage der
Bildung der Arten dieser Kurven nehmen. P l ü c k e r s Einteilung befindet
sich im System der analytischen Geometrie. J. W. N e w m a n hat der British
Association for the Advancement of Science (vgl. Report 1869-1870) eine
Diskussion der Formen der ebenen kubischen Kurven und eine daraus sich
ergebende Nomenklatur vorgelegt, die von der gewöhnlich üblichen
abweicht.
[394] Aperçu historique, Note 20.
[395] Journ. für Math. 75 und 76. Wir können hinzufügen, daß R e y e im
Anhange der 3. Auflage des ersten Teiles seiner Geometrie der Lage, der
vor wenigen Monaten erschienen ist, eine neue und elegante Methode zur
Bestimmung der Formen der ebenen kubischen Kurven einführt, indem er
sie als die J a c o b i schen Kurven von Kegelschnittnetzen auffaßte.
[396] §§ 12, 13, 14, 15.
[397] The Messenger of Mathematics II, 6.
[398] Anwendung der Topologie auf die Gestalten der algebraischen
Kurven, speziell der rationalen Kurven vierter und fünfter Ordnung
(Münchener Dissertation, 1878).
[399] Irish Trans. 1875.
[400] Beiträge zur Theorie der Oskulationen bei ebenen Kurven dritter
Ordnung (Berliner Dissertation, 1884).
[401] Math. Ann. 7, 10. S. übrigens die Abhandlung: Almindelige
Egenskaber ved Systemer af plane Kurver (Abh. der Akad. der Wissensch.
in Kopenhagen V, 10).
[402] Math. Ann. 12; Tidsskrift for Mathem. IV, 1.
[403] Math. Ann. 10. Vgl. auch P e r r i n, Bull Soc. math. 6.
[404] Theorie der algebraischen Kurven S. 249 flgg. — Im Anschluß an
P l ü c k e r mögen noch B e e r s Tabulae curvarum quarti ordinis

symmetricarum (Bonn, 1862) erwähnt werden.
[405] »Eine Kurve vom Geschlechte p kann höchstens aus p + 1 Zügen
bestehen«. Math. Ann. 10. Der Spezialfall dieses Satzes, p = 0, ist seit
langer Zeit bekannt; schon B e l l a v i t i s hatte denselben in der vorher
angeführten Abhandlung besprochen; er erklärt die Benennung unicursal,
die von C a y l e y den rationalen Kurven gegeben war, und die von vielen
noch heute gebraucht wird.
[406] Gesammelte Werke 2, S. 433.
[407] Math. Ann. 12, 13; Leipziger Ber. 1884.
[408] Math. Ann. 6.
[409] Annali di Matem. II, 5 und 7.
[410] Math. Ann. 8.
[411] Münchener Ber. 1883.
[412] Quart. Journ. 9.
[413] Siehe die schon zitierte Abhandlung: Om Flader af fjerde Orden med
Doppeltkeglesnit.
[414] Om Flader af fjerde Orden med Tilbagegangskeglesnit (Kopenhagen,
1881).
[415] Münchener Dissertation, 1878; Math. Ann. 15, 18, 28, 29.
[416] Für den, der sich mit der Konstruktion spezieller Oberflächen
befassen will, führe ich die praktischen Regeln an, welche H i c k s
(Messenger of Mathematics II, 5) für die Konstruktion der Wellenfläche
gegeben hat.
[417] Zeitschr. f. Math. 25.
[418] Modelle von Raumkurven- und Developpabelen-Singularitäten (Lund,
Gleerup, 1881).

[419] Unter den von S t e i n e r ausgesprochenen Sätzen, nach deren
Ursprung wir, seine Nachfolger, vergebens suchen, finden sich einige
derartige (s. Journ. für Math. 37, 45, 49; Gesammelte Werke, II. Bd. S. 389,
439 und 613), welche glauben lassen, daß er eine Methode besessen habe,
um einige von den im Texte gekennzeichneten Problemen zu lösen. Etliche
lassen sich durch eine quadratische Transformation beweisen, wie B e r n e r
in seiner Dissertation: De transformatione secundi ordinis ad figuras
geometricas adhibita (Berlin, 1864) gezeigt hat. — J o n q u i è r e s (Liouvilles
Journ. II, 6; Comptes rendus, 1864, 65 und 66) fand auch eine Weise, um
zur Lösung einiger Probleme dieser Art zu gelangen, aber der von ihm
eingeschlagene Weg (welcher der Hauptsache nach in einer Anwendung des
Bézoutschen Satzes besteht) führte ihn unbedingt zu Irrtümern wegen
uneigentlicher (fremder) Lösungen, die er nicht ausgeschieden hatte. Vgl.
die schöne Abhandlung von S t u d y in den Math. Ann. 27.
[420] Comptes rendus, 1864; vgl. auch Z e u t h e n, Nyt Bidrag til Laeren om
Systemer af Keglesnit (Kopenhagen, 1865) oder Nouv. Ann. II, 5; D i n o,
Comptes rendus, 1867. Die Bände der Comptes rendus von 1864 ab
enthalten eine ungeheuere Anzahl von Lehrsätzen verschiedener Art, die
von C h a s l e s aufgestellt sind und deren Beweis sich auf die Theorie der
Charakteristiken und auf das Korrespondenzprinzip stützt. Unter diesen
Arbeiten ist eine der bemerkenswertesten diejenige, in welcher der
Verfasser mit Hilfe des Korrespondenzprinzips die Zahl der Schnitte zweier
Kurven in einer Ebene bestimmt (Comptes rendus 75). Die dort angewandte
Beweisführung kann verallgemeinert werden und in vielen Fällen dazu
dienen, die Zahl der Lösungen eines bestimmten Systemes von
algebraischen Gleichungen zu finden. (S. S a l t e l, Mémoires de l'Académie
de Belgique 24; Comptes rendus 81; F o u r e t, Bull. Soc. math. 1, 2; Comptes
rendus 78.
[421] Comptes rendus 61.
[422] Ebendas. 62. S. auch S a l m o n, Quart. Journ. 1866; S c h u b e r t,
Journ. für Math. 71 und 73. — Eine interessante Anwendung der Theorie
der Systeme von Flächen zweiter Ordnung auf das Studium der
quadratischen (vorletzten) Polaren der Punkte des Raumes in bezug auf eine
beliebige algebraische Fläche wurde von Z e u t h e n gemacht (Annali di
Matem. II. 4).

[423] Vgl. auch Comptes rendus 74, 75.
[424] Paris, 1871.
[425] Journ. für Math. 79, 80.
[426] Göttinger Nachr. 1874, 75; Math. Ann. 13.
[427] Phil. Trans. 1858.
[428] Recherches sur les séries ou systèmes de courbes et de surfaces
algébriques (Paris, 1866); Comptes rendus, 1866; Journ. für Math. 66
u. s. w. Die eleganten analytischen Untersuchungen von B r i l l und K r e y
(Math. Ann. und Acta math.) haben zum Ziele die Auflösung von
Problemen aus der abzählenden Geometrie, die sich auf Systeme von
Kurven und Oberflächen beziehen.
[429] Annali di Matem. II, 6; Proc. math. Soc. 5, 6, 8.
[430] Math. Ann. 1, 6, 12, 15.
[431] Compt. rend. 88. Bemerkenswert in dieser Abhandlung ist die
Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve auf Systeme von
Kurven.
[432] Math. Ann. 6.
[433] Comptes rendus 78 und 86; Bull. Soc. math. 2 und 7.
[434] Comptes rendus 79, 86.
[435] das. 82, 84.
[436] das. 80.
[437] das. 82.
[438] Andere Anwendungen dieses Prinzipes finden sich in den von F o u r e t
veröffentlichten Arbeiten in den Comptes rendus 83, 85, im Bull. Soc. math.
6 und im Bulletin de la Société philomathique VI, 11. — Wir bemerken, daß
die geometrische Interpretation der Gleichung

∂z ∂z ∂z ∂z
L ( x
∂x
+y -z
∂y ) ( ) ( )+R=0
-M
∂x
-N
∂y

wenn L, M, N, R lineare Funktionen sind, welche von F o u r e t in den
Comptes rendus 83 gegeben ist, ihn zu gewissen Oberflächen führte, die
zuerst von K l e i n und L i e studiert worden waren (Comptes rendus 70).
[439] Leipzig, 1879. In demselben sind die früheren Arbeiten von
S c h u b e r t vereinigt und befinden sich die Grundlagen seiner späteren
Arbeiten.
[440] Das erste dieser Prinzipien wurde von C h a s l e s für die rationalen
Gebilde erster Stufe (Comptes rendus 1864-1866) ausgesprochen und dann
von C a y l e y auf alle Gebilde erster Stufe ausgedehnt (Comptes rendus 62,
Proc. math. Soc. 1866), und noch vollständiger im Second memoir on the
curves which satisfy given conditions (Phil. Trans. 158). Bewiesen wurde
das Cayleysche Prinzip von B r i l l (Math. Ann. 6 und 7), neuerdings wurde
es in einer sehr bemerkenswerten Weise von H u r w i t z ausgedehnt (Math.
Ann. 28).
S a l t e l ergänzte das Chaslessche Korrespondenzprinzip, indem er die
Bestimmung der Zahl der Koinzidenzen, die ins Unendliche fallen, zeigte
(Comptes rendus 80) und illustrierte seine Resultate durch mehrere
Beispiele (Comptes rendus 80, 81, 82, 83, und Bulletin de l'Académie de
Belgique II, 92).
Für die rationalen Gebilde zweiter und dritter Stufe hat man auch ein
Korrespondenzprinzip, welches von S a l m o n (Geometry of three
dimensions II. Aufl.) und von Z e u t h e n (Comptes rendus 78) entdeckt ist.
Für die Gebilde höherer Stufe siehe eine Note von P i e r i in den Lincei
Rend. 1887.
[441] Betreffend andere bibliographische Einzelheiten über diesen Zweig
der Geometrie vgl. man den Artikel von P a i n v i n, der in dem Bull.
Sciences math. 3 veröffentlicht ist, sowie einen von mir selbst in der
Bibliotheca mathematica II, 2 (1888), S. 39, 67 veröffentlichten Artikel
Notizie storiche sulla geometria numerativa.
[442] Comptes rendus 67.

[443] Math. Ann. 6.
[444] Vorlesungen über Geometrie von A. C l e b s c h (herausgegeben von
L i n d e m a n n) (Leipzig, 1876) S. 399.
[445] Göttinger Nachr. 1876.
[446] Comptes rendus, 1876; Journ. Éc. polyt. 45; Proc. math. Soc. 9, 10;
Math. Ann. 15.
[447] Journ. Éc. polyt. 45.
[448] Auch von dem Satze, den C r e m o n a ausgesprochen hat (Annali di
Matem. I, 6 und Giorn. di Matem. 3) über die doppelt unendlichen Systeme
von Kegelschnitten, als Erweiterung des Satzes von C h a s l e s, kann man
eine Anwendung machen, worüber man das einsehen möge, was d e l P e z z o
in seiner interessanten Abhandlung Sui sistemi di coniche (Napoli Rend.
1884) auseinandergesetzt hat, und neuere Beobachtungen von S t u d y
(Math. Ann. 27).
[449] Mém. prés. 1, 1806.
[450] das. (ältere Serie) 10, 1785, und die schon zitierte Application.
[451] Mém. prés. 9, 1781.
[452] Journ. Éc. polyt. 30.
[453] Liouvilles Journ. 17.
[454] das. 16.
[455] Man sehe die Noten zur Application de l'Analyse à la Géométrie, 5.
Aufl. und Liouvilles Journ. 17.
[456] Liouvilles Journ. 15, 16.
[457] das. 7.
[458] Forhandlingar i Videnskab-Selskabet i Christiania, 1882.
[459] Eingehenderes findet man in der Note 65 der Analytischen Geometrie
des Raumes von G. S a l m o n, deutsch bearbeitet von W. F i e d l e r, 3. Aufl.

1880, II. Teil S. 37. — In Bezug auf eine synthetische Darstellung der
Differentialgeometrie der Raumkurven sehe man S c h e l l, Allgemeine
Theorie der Kurven doppelter Krümmung in rein geometrischer
Darstellung (Leipzig, 1859), und P a u l S e r r e t, Théorie nouvelle
géométrique et mécanique des courbes à double courbure (Paris, 1860).
[460] Vgl. M a g n u s, Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen
Geometrie des Raumes, 1837, S. 160.
[461] Die Existenz zweier Raumkurven vierter Ordnung wurde zuerst durch
S a l m o n im Jahre 1850 (Cambridge Journ. 5) und darauf von S t e i n e r
(Journ. für Math. 53) bekannt gemacht.
[462] Auf der kubischen Fläche treten schon von der sechsten Ordnung ab
gegen die Geraden der Fläche verschiedenartig sich verhaltende Kurven
derselben Ordnung auf, die in der Zahl der scheinbaren Doppelpunkte
übereinstimmen. Vgl. S t u r m, Math. Ann. 21.
[463] Liouvilles Journ. 10, oder Cambridge Journ. 5. Dieser Abhandlung
folgte eine, die von S a l m o n in demselben Bande des Cambr. Journ.
veröffentlicht wurde, und zu ihrer Ergänzung wiederum dient eine von
Z e u t h e n, die in den Annali di Matem. II, 3 abgedruckt ist. — An sie
schließen sich ferner die Schriften, welche C a y l e y (Phil. Trans. 153),
P i q u e t (Comptes rendus 77 und Bull. Soc. math. 1), und G e i s e r
(Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini, Mailand, 1881)
geschrieben haben über die Geraden, welche eine Raumkurve eine gewisse
Anzahl Male schneiden.
[464] Comptes rendus 54 und 58. Mit dieser Abhandlung vergleiche man
die Dissertation von E d. W e y r, Über algebraische Raumkurven
(Göttingen, 1873) und andere Schriften desselben Verfassers (Comptes
rendus 76, Wiener Ber. 69). Den zitierten Abhandlungen von C a y l e y
müßte ich noch eine dritte hinzufügen (Quart. Journ. 3), in welcher der
Autor sich die Aufgabe gestellt hat, eine Kurve als Komplex ihrer Sekanten
(im Sinne Plückers) zu betrachten und sie daher mittelst einer einzigen
Gleichung zwischen den Koordinaten einer Geraden im Raume
darzustellen, aber ich kann davon absehen, da die Fruchtbarkeit einer
solchen Betrachtung noch nicht dargethan ist.

[465] H a l p h e n, Mémoire sur la classification des courbes gauches
algébriques (Journ. Éc. polyt. 52). Man sehe auch desselben Autors
Abhandlung Sur les singularités des courbes gauches algébriques (Bull.
Soc. math. 9). — N ö t h e r, Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen
Raumkurven (Berliner Abh. 1883, Journ. für Math. 93).
[466] Comptes rendus 70; Bull. Soc. math. 1 und 2.
[467] Math. Ann. 7.
[468] Math. Ann. 6. Ein anderer Beweis desselben Satzes wurde von
H a l p h e n gegeben, Bull. Soc. math. 5.
[469] Die Gerechtigkeit verlangt, daß ich auch noch eine sehr schöne Arbeit
von V a l e n t i n e r anführe: Bidrag til Rumcurvener Theori (Kopenhagen,
1881) (vgl. auch Tidsskrift for Math. IV, 5 und Acta math. 2), die fast zu
gleicher Zeit mit denen von H a l p h e n und N ö t h e r erschienen ist und mit
diesen in den Methoden und den Resultaten bemerkenswerte
Berührungspunkte hat. — Ich will in dieser Note auch noch, da ich es im
Texte nicht thun konnte, einen Satz von C r e m o n a anführen (von D i n o in
den Napoli Rend. 1879 bewiesen) und einige von S t u r m (Report of the
British Association, 1881; Math. Ann. 19), welche bemerkenswerte
allgemeine Eigenschaften der Raumkurven ausdrücken, sowie an die
Untersuchungen von C a y l e y, P i q u e t und G e i s e r über eine Raumkurve
mehrmals schneidende Geraden erinnern, von denen in der Note 463
gesprochen wurde. Erwähnenswert ist auch die (von H o ß f e l d in der
Zeitschr. f. Math. 29 gefundene) Thatsache, daß die Rückkehrkurve der
zweien Oberflächen umbeschriebenen abwickelbaren Fläche nicht der
vollständige Schnitt zweier Oberflächen ist.

[470]
»Von anderen wird es löblich sein zu schweigen,
Weil allzukurz die Zeit für die Erzählung.«
— D a n t e s Göttliche Komödie; Die Hölle, 15. Gesang, Vers
104-105.

[471] Der barycentrische Calcül (Leipzig, 1827).
[472] Aperçu historique, Note 33; Liouvilles Journ. 19 (1854).
[473] Beiträge zur Geometrie der Lage, 3. Heft (Nürnberg, 1860).
[474] Grunerts Arch. 10.
[475] Journ. für Math. 56.
[476] Journ. für Math. 58, 60, 63; Nouv. Ann. II, 1; Annali di Matem. I, 1, 2,
5; Lombardo Rend. II, 12.
[477] Journ. für Math. 56; Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und
der Raumkurven dritter Ordnung (Leipzig, 1880); Math. Ann. 25. Vgl. auch
eine Note von mir in den Napoli Rend., 1885.
[478] Zeitschr. für Math., 1868; Geometrie der Lage.
[479] Lombardo Rend. 1871.
[480] Journ. für Math. 79, 80; Annali di Matem. II, 3.
[481] Math. Ann. 20 und 30.
[482] Torino Mem. II, 32 und Collectanea mathematica. An diese
Abhandlungen schließt sich eine von G e r b a l d i, Sui sistemi di cubiche
gobbe o di sviluppabili di III. classe stabiliti col mezzo di due cubiche
punteggiate projettivamente (Torino Mem. II, 32).
[483] Giorn. di Matem. 17 (1879). Betreffend die ausgearteten Formen der
kubischen Raumkurve sehe man eine Note von S c h u b e r t (Math. Ann. 15).
Die Theorie der kubischen Raumkurven führt zu einer interessanten
geometrischen Darstellung der Theorie der binären algebraischen Formen,
die von L a g u e r r e (L'Institut 40), von S t u r m (Journ. f. Math. 86) und von

A p p e l l (Ann. Éc. norm. II, 5) bearbeitet wurde. Vgl. auch eine Note von J.
T a n n e r y (Bull. sciences math. 11). Ferner sehe man in bezug hierauf die
Note von W. R. W. R o b e r t s (Proc. math. Soc. 13) und das Buch von
F r a n z M e y e r, Apolarität und rationale Kurven (Tübingen, 1883). Eine
gute Darlegung der Theorie der Raumkurven dritter Ordnung hat auch v o n
D r a c h geliefert in der Schrift Einleitung in die Theorie der kubischen
Kegelschnitte (Leipzig, 1867), infolge deren B e l t r a m i interessante
Annotazioni geschrieben hat (Lombardo Rend. II, 1).
[484] Comptes rendus 53 (1861).
[485] Annali di matem. 4. — Die Note von S t o r y, On the number of
intersections of curves traced on a scroll of any order (Johns Hopkins
Baltimore University Circulars 2, 1883) enthält eine Verallgemeinerung
eines sehr wichtigen Theoremes von C h a s l e s.
[486] P o n c e l e t machte im Jahre 1822 die bemerkenswerte Entdeckung,
daß durch jede Raumkurve vierter Ordnung erster Art vier Kegel zweiten
Grades hindurchgehen. (S. Traité des proprietés projectives I, S. 385, 2.
Aufl.)
[487] Comptes rendus 54, 55.
[488] Comptes rendus 54; Bologna Mem. 1861; Lombardo rend. II, 1.
[489] Annali di Matem. II, 2.
[490] Géometrie de direction (Paris, 1869); Comptes rendus 82.
[491] Liouvilles Journ. II, 15.
[492] Journ. für Math. 97. — Eine bemerkenswerte spezielle Raumkurve
vierter Ordnung erster Art hat S c h r ö t e r untersucht: Journ. für Math. 93.
[493] Math. Ann. 12, 13.
[494] Zeitschr. f. Math. 28.
[495] Math. Ann. 13. Vgl. C a y l e y (das. 25).
[496] Comptes rendus 82.

[497] Annali di Matem. I, 4.
[498] Giorn. di Matem. 11, 12.
[499] Lombardo rend. 1872.
[500] Wiener Ber. 1871. Über die rationalen Kurven vierter Ordnung sehe
man auch S t u d y (Leipziger Sitzungsber. 1886), die Habilitationsschrift von
J o l l e s (Aachen, 1886) und die Abhandlung von R o b e r t s (Proc. math.
Soc. 14). — Unter den rationalen Kurven vierter Ordnung ist eine sehr
bemerkenswerte diejenige, welche zwei stationäre Tangenten hat. Die
eleganten Eigenschaften, welche dieselbe besitzt, wurden von C r e m o n a
(Lombardo Rend. 1868), E m. W e y r (das. 1871) und A p p e l l (Comptes
rendus 83) entdeckt.
[501] Comptes rendus 70.
[502] Vierteljahrsschrift der naturf. Ges. in Zürich 20.
[503] Außer den zitierten Synthetischen Untersuchungen sehe man Journ.
für Math. 88 und Math. Ann. 21.
[504] S. K o r n d ö r f e r und B r i l l, Math. Ann. 3; S a l t e l, Comptes rendus
80; G e n t y, Bull. Soc. math. 9.
[505] Siehe unter anderem die Bemerkung von B u c h h e i m, On the
extension of certain theories relating to plane cubics to curves of any
deficiency (Proc. math. Soc. 13).
[506] Collectanea mathematica.
[507] Journ. für Math. 99.
[508] C h a s l e s, Aperçu historique, 2. Aufl., S. 269; in der deutschen
Übersetzung von S o h n c k e, S. 267.
[509] Diese Konstruktion, die von den Deutschen »Steinersche Projektion«
genannt wird, wurde im Jahre 1865 von neuem von T r a n s o n (1806-1876)
gefunden, der ihr den Namen »projection gauche« gab (Nouv. Ann. II, 4 und
5).
[510] Traité des propriétés projectives (1. Aufl. 1822, S. 198).

[511] Journ. für Math. 5.
[512] Journ. für Math. 8, und Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen
Geometrie der Ebene, 1833.
[513] Torino Mem. 1862.
[514] Grunerts Arch. 7.
[515] Zeitschr. f. Math. 11.
[516] Liouvilles Journ. 10, 12. Vorher hatten schon G. B e l l a v i t i s (Nuovi
Saggi dell' Accademia di Padova 4 (1836) und S t u b b s (Phil. Mag. 23,
1843) sich mit dieser Korrespondenz beschäftigt. Man sehe auch S t e i n e r s
Aufsatz aus dem Jahre 1826: Einige geometrische Betrachtungen (Journ.
für Math. 1; Gesammelte Werke Bd. I, S. 19) Nr. 20.
[517] Auf den Begriff der Inversion ist von J o h n s o n (Analyst 4) eine neue
Einteilung der ebenen Kurven gegründet worden. In derselben bedeutet der
Name »Kreisgrad« einer Kurve den Grad ihrer Gleichung (in
rechtwinkligen cartesischen Koordinaten) in x, y, r = x2 + y2; der Kreisgrad
einer Kurve wird durch die Inversion nicht verändert. Zwei Kurven, welche
denselben Grad haben, gehören zu derselben Kategorie. Diese Einteilung
scheint jedoch nicht von großer Wichtigkeit zu sein.
[518] Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen
Geometrie der Ebene, 1833.
[519] In den Jahren 1859 und 1860 studierte J o n q u i è r e s die (nach seinem
Namen benannte) Transformation nter Ordnung, bei welcher jeder Geraden
eine Kurve nter Ordnung mit einem (n - 1)-fachen Punkte entspricht. Einige
seiner Resultate wurden im Jahre 1864 in den Nouv. Ann. veröffentlicht,
aber das vollständige Werk, welches er dieser Transformation widmete,
erschien erst 1885 und zwar durch G u c c i a (s. Giorn. di Matem. 23)
herausgegeben. Wir bemerken auch, daß schon 1834 M ö b i u s (Journ. für
Math. 12; Gesammelte Werke, 1) die eindeutige Korrespondenz zwischen
zwei Ebenen, bei denen die Flächeninhalte entsprechender Figuren in einem
konstanten Verhältnisse stehen, studiert hat. Die Untersuchungen sind
jedoch von ganz anderer Art als die im Texte betrachteten.

[520] Bologna Mem. 2, 5 (1863 und 1865); Giorn. di Matem. 1 und 3; vgl.
auch D e w u l f s Bearbeitung im Bull. sciences math. 5.
[521] Proc. math. Soc. 3.
[522] Math. Ann. 4.
[523] Math. Ann. 3, 5.
[524] Journ. für Math. 73.
[525] Proc. math. Soc. 4.
[526] Hier will ich einen wichtigen Lehrsatz berühren, der gleichzeitig von
C l i f f o r d (Proc. math. Soc. 3), N ö t h e r (Göttinger Nachr. 1870; Math.
Ann. 3) und R o s a n e s (Journ. für Math. 73) erhalten wurde, und für einen
Augenblick die Wichtigkeit der C r e m o n a schen Transformation
aufzuheben schien: »Jede eindeutige Transformation von höherer als erster
Ordnung kann man durch Wiederholung von quadratischen
Transformationen erhalten.« Dieser Satz ist offenbar die Umkehrung
desjenigen von M a g n u s, der vorhin im Texte angeführt wurde.
[527] Bologna Mem. 1877-1878.
[528] Comptes rendus, 1885; Giorn. di Matem. 24.
[529] Annali di Matem. II, 10.
[530] Comptes rendus, 1885; Rendic. del Circolo Matematico di Palermo 1.
[531] Man sehe die in den Comptes rendus, 1883, 1884, 1885, 1886 und in
Liouvilles Journ. 1885, 1886, 1887 veröffentlichten Abhandlungen.
[532] Annali di Matem. 7, ferner Giorn. di Matem. 4.
[533] Proc. math. Soc. 2.
[534] Math. Ann. 26.
[535] Bull. sciences math. II, 6 und 7.
[536] Meistenteils wurden die geometrischen Transformationen auf das
Studium der algebraischen Kurven angewandt; jedoch fehlt es nicht an

Schriften, welche sich mit der Transformation transcendenter Kurven in
andere oder in sich selbst befassen: z. B. M a g n u s, Sammlung von
Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie der Ebene, 1833,
S. 320, 455, 457-459, 497; K l e i n und L i e, Math. Ann. 4.
[537] Annali di Matem. II, 8; Lombardo Rend. 1883. Vgl. auch G e i s e r,
Journ. für Math. 67.
[538] Napoli Rend., 1879.
[539] Die neueste Form, welche die B e r t i n i schen Untersuchungen infolge
dessen angenommen, machte es meinem Freunde M a r t i n e t t i leichter, auf
dem von diesem Gelehrten vorgezeichneten Wege weiter zu schreiten und
die ebenen involutorischen Transformationen dritter und vierter Klasse zu
bestimmen (Annali di Matem. II, 12, 13). Die Theorie der ebenen
Transformationen wird sich binnen kurzem durch die wichtige Arbeit von
K a n t o r bereichern, welche von der Akademie zu Neapel gekrönt worden
ist und jetzt gedruckt wird. Einzelne Resultate finden sich in den Wiener
Ber. 1880 ausgesprochen, sowie in den Wiener Denkschriften 46.
S a l t e l verdanken wir die Idee einer speziellen involutorischen
Transformation dritten Grades, die er schon 1872 unter dem Namen
»Transformation arguesienne« nach D e s a r g u e s benannt (s. die Mémoires
de l'Académie de Belgique 12, Bulletin de l'Académie de Belgique II, 24),
studiert hat. Man stellt dieselbe auf folgende Weise her: Gegeben sind in
einer festen Ebene Π zwei Kegelschnitte Γ1 und Γ2 und ein fester Punkt O;
man läßt entsprechen einem Punkte P von Π seinen konjugierten in der
Involution, die auf der Geraden OP bestimmt wird durch den
Kegelschnittbüschel, den Γ1, und Γ2 konstituieren. Es sind fundamental der
Punkt O und die Grundpunkte dieses Büschels. — Wenn jene beiden
Kegelschnitte Γ1 und Γ2 zusammenfallen, so reduziert sich diese
Transformation offenbar auf die quadratische Inversion von H i r s t. — Im
Raume hat man eine ähnliche Transformation. — Eine andere
Transformation (»transformation hyperarguesienne«) wurde von demselben
Verfasser als Erweiterung der vorhergehenden eingeführt (Bulletin de
l'Académie de Belgique II, 12) und wird auf folgende Weise hergestellt:
Gegeben in einer Ebene Π drei Kegelschnitte Γ1, Γ2, Γ3 und ein fester Punkt
O. Man läßt einem Punkte P von Π seinen homologen entsprechen in der

Projektivität, die bestimmt ist auf OP von den drei Paaren von Punkten, in
welchen diese Gerade von den drei Kegelschnitten getroffen wird; jedoch
ist diese Korrespondenz offenbar nicht birational. — Die erste der
S a l t e l schen Transformationen kann zur Lösung von Problemen aus der
Theorie der Charakteristiken für die Kurven höherer als zweiter Ordnung
dienen (Bull. Soc. Math. 2).
[540] Bull. Soc. math. 8; Comptes rendus 94; Nouv. Ann. III, 1, 2. Diese
Transformation kann man, wie L a g u e r r e selbst bemerkte, auf den Raum
ausdehnen (Comptes rendus 92), jedoch ist die Art der Korrespondenz, die
man erhält, keine neue; sie ist nach einer Bemerkung von S t e p h a n o s
(Comptes rendus 92) dieselbe, vermittelst derer L i e die Geometrie der
Geraden mit der der Kugel verknüpfte (Math. Ann. 5).
[541] Die verschiedenen Abhandlungen von M ö b i u s über diese Theorie
finden sich vereint im II. Bande seiner Gesammelten Werke (Leipzig, 1886).
[542] Journ. für Math. 55, 57, 59; Grunerts Arch. 33.
[543] Grunerts Arch. 42.
[544] Bologna Mem. 1870.
[545] Journ. für Math. 69.
[546] Des Näheren siehe die Abhandlung: Géometrie des polynomes
(Journ. Éc. polyt. 28).
[547] Beiträge zur geometrischen Interpretation binärer Formen (Erlangen,
1875); vgl. Math. Ann. 9; Studien im binären Wertgebiete (Karlsruhe,
1876); Math. Ann. 17; Erlanger Berichte, 1875.
[548] Siehe das Werk: Einführung in die Theorie der isogonalen
Verwandtschaften (Leipzig, 1883).
[549] Zwischen drei geometrischen Gebilden kann man eine
Korrespondenz aufstellen, so daß einem Paare von Elementen, das eine
genommen in dem einen, das andere in einem zweiten, eindeutig ein
solches im dritten Gebilde entspricht. Wenn unter Festhaltung eines
Elementes die anderen beiden projektive Systeme beschreiben, so nennt
man die Korrespondenz trilinear, und diese wurde im Falle der Gebilde

erster Stufe von R o s a n e s (Journ. für Math. 1888) behandelt, sodann von
S c h u b e r t (Math. Ann. 17 und Mitteilungen der Math. Ges. in Hamburg,
1881) und in einem Spezialfalle von B e n n o K l e i n (Theorie der trilinear-
symmetrischen Elementargebilde, Marburg, 1881); im Falle der Gebilde
zweiter Stufe von H a u c k (Journ. für Math. 90, 97, 98), welcher einige
Anwendungen derselben auf die darstellende Geometrie machte, die von
bemerkenswertem praktischen Nutzen zu sein scheinen.
Fast gleichzeitig mit den Arbeiten von Schubert sind diejenigen, in denen
L e P a i g e mit Hilfe der Theorie der algebraischen Formen die trilineare
Korrespondenz untersuchte und auf die Geometrie anwandte; man sehe die
Essais de Géométrie supérieure du troisième ordre (Mém. de la Soc. des
sciences de Liège II, 10) und die Noten, welche im Bulletin de l'Académie
de Belgique III, 5 und in den Wiener Ber. 1883 veröffentlicht sind. Derselbe
Geometer beschäftigte sich auch mit der quadrilinearen Beziehung (Torino
Atti 17, 1882) und machte von ihr Anwendung auf die kubischen Flächen
und gewisse Flächen vierter Ordnung (Bulletin de l'Académie de Belgique
III, 4; Acta math. 5).
Wir unterlassen nicht, zu erwähnen, daß die duploprojektive Beziehung,
durch welche schon 1862 F. A u g u s t die kubische Oberfläche erzeugte
(Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis, Berliner Dissertation), eine
trilineare Beziehung ist.
[550] Wenn z. B. ein Dreieck ABC gegeben ist, so sei P ein beliebiger Punkt
seiner Ebene. Es giebt nun einen Kegelschnitt K, welcher die Seiten des
Dreieckes in den Punkten (PA, BC), (PB, CA), (PC, AB) berührt. Läßt man
K dem P entsprechen, so hat man eine Korrespondenz von der im Texte
angegebenen Art. Ähnlich erhält man eine duale Korrespondenz. Beide
wurden von M o n t a g in seiner Dissertation: Über ein durch die Sätze von
Pascal und Brianchon vermitteltes geometrisches Beziehungssystem
(Breslau, 1871) studiert. Weitere analoge Korrespondenzen kann man aus
der Beobachtung entnehmen, daß jeder Punkt der Ebene ABC der
Mittelpunkt eines Kegelschnittes ist, der dem Dreiecke ABC eingeschrieben
ist, eines ihm umgeschriebenen und eines solchen, für welchen ABC ein
Polardreieck ist. Ähnlich: Gegeben ein Tetraeder ABCD; man kann jedem
Punkte P des Raumes die Fläche zweiter Ordnung zuordnen, für welche P
das Zentrum ist und in bezug auf welche ABCD ein Polartetraeder ist.

[551] Math. Ann. 6.
[552] Man sehe außerdem die Arbeiten von G o d t (Göttinger Dissertation,
1873), A r m e n a n t e (Lincei Atti, 1875), B a t t a g l i n i (Giorn. di Matem. 19,
20), P e a n o (Torino Atti 16) und von A m o d e o (Napoli Rend. 1887). Die
den Konnexen analogen Figuren im Raume wurden von K r a u s e behandelt
(Math. Ann. 14). Man sehe auch zwei Noten von L a z z e r i, Sulle reciprocità
birazionali nel piano e nello spazio (Lincei Rend. 1886).
[553] Gauss' Werke, 4. Bd. Eine italienische Übersetzung wurde von
B e l t r a m i in den Annali di Matem. 4 veröffentlicht.
[554] Die Methoden, die geographischen Karten zu konstruieren, gehören
in die Anwendungen der Geometrie und befinden sich deshalb nicht unter
denjenigen, deren Geschichte wir hier verzeichnen wollen. Wir verweisen
daher den, der alle diejenigen kennen lernen will, welche angewandt
worden sind, auf die Schriften von F i o r i n i, Le projezioni delle carte
geografiche (Bologna, 1881) und Z ö p p r i t z, Leitfaden der
Kartenentwurfslehre (Leipzig, 1884). Eine Ausnahme will ich nur machen
mit den Arbeiten von T i s s o t (Comptes rendus 49; vgl. auch D i n i,
Memoria sopra alcuni punti della teoria delle superficie [Florenz, 1868];
Journ. Éc. polyt. 37; Nouv. Ann. II, 17 flgg.), weil sie ein großes Interesse
auch vom Standpunkte der reinen Wissenschaft haben.
[555] Diese Abbildung, die man heute die »sphärische« nennt, wurde vor
G a u ß von O. R o d r i g u e s im Jahre 1815 angegeben; jedoch hat dieser ihre
ganze Fruchtbarkeit nicht so in das Licht gestellt als der große deutsche
Geometer.
[556] Journ. für Math. 34.
[557] Comptes rendus, 53.
[558] Phil. Mag. 1861.
[559] Journ. für Math. 68, oder Grundzüge einer allgemeinen Theorie der
Oberflächen (Berlin, 1870), III. T.
[560] Journ. für Math. 65.
[561] Math. Ann. 1.

[562] S. Journ. für Math., Math. Ann. und Göttinger Nachr. und Abh.
[563] Math. Ann. 4; Annali di Matem. II, 1; Göttinger Nachr. 1871 und
viele andere Abhandlungen, welche in den Lombardo Rend. und den
Bologna Mem. stehen. In der Abhandlung in den Annali studierte
C r e m o n a die Regelflächen (m + n)ten Grades, welche eine m-fache und
eine n-fache Leitlinie haben, und fand, daß deren asymptotische Kurven im
allgemeinen algebraische Kurven von der Ordnung 2(m + n - 1) sind. Eine
Konstruktion dieser Kurven wurde später von H a l p h e n angegeben (Bull.
Soc. math. 5).
[564] Math. Ann. 3; vgl. auch das. 21, dann ziehe man auch noch eine
Abhandlung von B r i l l hinzu (Math. Ann. 5).
[565] Annali di Matem. II, 1.
[566] Math. Ann. 4.
[567] Math. Ann. 1.
[568] Annali di Matem. II, 7.
[569] Z. B. sehe man D a r b o u x (Bull. Soc. math. 2), F r a h m (Math. Ann.
7), L a z z e r i (Annali della Scuola nuova sup. di Pisa, 6), G u c c i a
(Association française pour l'avancement des sciences, Congrès de Reims,
1880).
[570] Ein wichtiger Begriff, den C l e b s c h bei seinen Studien über die
Abbildung der Regelflächen aufstellte (Math. Ann. 5), ist der des Typus
einer Fläche. Zwei Flächen sind von demselben Typus, wenn bei der
Abbildung der einen auf die andere es keine Fundamentalpunkte giebt, z. B,
ist die römische Fläche von S t e i n e r von demselben Typus mit der Ebene.
[571] S. die Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini.
[572] Comptes rendus, 1868.
[573] Math. Ann. 3.
[574] Annali di Matem. II, 5; Göttinger Nachr. 1871 und 1873.

[575] Math. Ann. 4, 9, 10.
[576] Die Flächen vierter Ordnung, von denen man die Abbildung auf eine
Ebene kennt, sind die rationalen Regelflächen, die römische Fläche, die
Oberflächen mit einer Doppelgeraden oder einem doppelten Kegelschnitte,
die Monoide und eine Oberfläche, die einen uniplanaren Doppelpunkt hat
(s. eine Abhandlung von N ö t h e r in den Göttinger Nachr. 1871 und eine
von C r e m o n a in den Collectanea mathematica). Wer die Abbildung einer
Oberfläche auf einer anderen studieren will, darf die schönen
Untersuchungen von Z e u t h e n (s. die vorige Note und Comptes rendus,
1870) nicht übergehen und die darauf folgenden von K r e y (Math. Ann. 18)
und V o ß (Math. Ann. 27); einen nicht geringen Nutzen kann er auch aus
der von K a n t o r (Journ. für Math. 95) aufgestellten Korrespondenz ziehen,
die zwischen den Punkten einer gewissen kubischen Fläche und gewissen
Tripeln von Punkten einer Ebene besteht.
[577] Math. Ann. 3.
[578] Math. Ann. 3.
[579] Aperçu historique, Note 28.
[580] Lincei Mem. 1876, 1877, 1878. Vgl. eine Note von N ö t h e r in den
Erlanger Sitzungsberichten, 1878.
[581] Aufgaben und Lehrsätze aus der analyt. Geom. d. Raumes, S. 403 flg.
[582] Journ. für Math. 49.
[583] S. Note 563. Vgl. auch S t u r m, Math. Ann. 19.
[584] Proc. Math. Soc. 3.
[585] Math. Ann. 3.
[586] Lombardo Rend. 1871; Annali di Matem. II, 5; Bologna Mem. 1871-
1872. Man sehe auch die neuesten Arbeiten desselben Geometers in den
Transactions of Edinburgh 32, II. Th. und in den Irish Trans. 28 und Proc.
math. Soc. 15.

[587] Aufgaben und Lehrsätze aus der analyt. Geom. des Raumes, 1837, S.
417-418, Anmerkung.
[588] Unter diesen führe ich die Abhandlung von d e P a o l i s an: Sopra un
sistema omaloidico formato da superficie d'ordine n con un punto (n - 1)-
plo (Giorn. di Matem. 13) die späteren über einige spezielle involutorische
Transformationen des Raumes von M a r t i n e t t i (Lombardo Rend. 1885)
und von P a o l i s (Lincei Trans., 1885). — Ich bemerke hier, was ich im
Texte nicht thun konnte, daß es möglich ist, das Punktfeld auf einer
Geraden abzubilden und den Punktraum auf einer Ebene. Um erstere
Abbildung auszuführen, kann man jedem Punkte der Ebene ein Punktepaar
der Geraden entsprechen lassen (Übertragungsprinzip von H e s s e, Journ.
für Math. 66). Bei der zweiten kann man einem Punkte des Raumes den
Kreis zuordnen, der den Fußpunkt des von jenem auf die darstellende
Ebene gefällten Lotes zum Mittelpunkt und zum Radius die Länge dieses
Lotes hat, indem man hinzufügt, daß dieser Kreis in dem e i n e n Sinne
durchlaufen wird, wenn der Punkt auf der einen (bestimmten) Seite der
Ebene liegt, im entgegengesetzten Sinne, wenn auf der anderen. Die
Gesetze dieser Korrespondenz wurden von F i e d l e r vereinigt, um die
Cyklographie zu bilden (s. das Werk Cyklographie, Leipzig, 1883, und die
dritte Ausgabe der Darstellenden Geometrie) und wurden von ihm zur
Lösung einiger Probleme angewandt (s. einige Mitteilungen für die
naturforschende Gesellschaft in Zürich und Acta math. 5). Vor ihm jedoch
hatte schon C r o n e verwandte Fragen in einer Dissertation behandelt, die
sich in der Tidsskrift for Mathematik 6 findet.
[589] C h a s l e s, Aperçu historique, 2. Ausg. S. 196.
[590] M a g n u s, Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der anal.
Geom. der Ebene, 1833, S. 188 und 198.
[591] V o ß, Math. Ann. 13; S e g r e, Torino Mem. II, 37; S t u r m, Math. Ann.
26. In diesen Abhandlungen wird der Leser auch die weiteren
bibliographischen Einzelheiten finden.
[592] S t u r m, a. a. O.; M o n t e s a n o, Lincei Mem. 1886.
[593] L ü r o t h, Math. Ann. 11, 13; S c h r ö t e r (das. 20); V e r o n e s e, Lincei
Mem. 1881. S. auch einige der Abhandlungen, die sich in den Gesammelten

Werken von M ö b i u s 2 finden. Auch die Arbeiten von R o s a n e s führen wir
hier an (Journ. für Math. 88, 90, 95, 100), von S t u r m (Math. Ann. 1, 6, 10,
12, 15, 19, 22, 28; Proc. math. Soc. 7), und von P a s c h (Math. Ann. 23, 26),
die verwandte Gegenstände behandeln; dann noch die von S t e p h a n o s
(Math. Ann. 23), von H. W i e n e r (Rein geometrische Theorie der
Darstellung binärer Formen durch Punktgruppen auf der Geraden,
Darmstadt, 1885), von S e g r e (Torino Mem. II, 28 und Journ. für Math.
100), von S a n n i a (Lezioni di geometria projettiva, in Neapel im Drucke
befindlich) über die Kollineationen und Korrelationen.
[594] Math. Ann. 3.
[595] Giorn. di Matem. 10.
[596] Man sehe die beiden von ihm 1884 zu Messina veröffentlichten
Abhandlungen.
[597] Lombardo Rend. 1886; Lincei Rend. 1885.
[598] Die Geometrie der Lage.
[599] Giorn. di Matem. 21.
[600] Lombardo Rend. II, 14 und 15.
[601] Journ. für Math. 94.
[602] Lincei Mem. 1884-1885.
[603] Wiener Ber. 1881; Journ. für Math. 97.
[604] Math. Ann. 19 und 28.
[605] Math. Ann. 23.
[606] Journ. für Math. 82, in dem Aufsatze über reciproke Verwandtschaft
von F2-Systemen und Φ2-Geweben.
[607] Über das gemeine Nullsystem vergl. die Note 610 des nächsten
Abschnittes

[608] »Bis in die neueren Zeiten stand die analytische Methode, wie sie
C a r t e s i u s geschaffen, sozusagen nur auf einem Fuße. P l ü c k e r kommt die
Ehre zu, sie auf zwei gleiche Stützen gestellt zu haben, indem er ein
ergänzendes Koordinatensystem einführte. Diese Entdeckung war daher
unvermeidlich geworden, nachdem einmal die Tiefblicke S t e i n e r s dem
Geiste der Mathematiker zugeführt waren.« S y l v e s t e r, Phil. Mag. III, 37,
1850, S. 363. Vgl. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik 2, S.
453.
[609] S. Phil. Trans., 1865, S. 725; 1866, S. 361.
[610] Es ist wohl zu beachten, daß ein linearer Komplex ein reciprokes
Nullsystem veranlaßt und daß dieses zuerst von G i o r g i n i (Memorie della
Società italiana delle scienze 20, 1827), dann aber auch von M ö b i u s
(Lehrbuch der Statik I; vgl. auch Journ. für Math. 10, 1833) und von
C h a s l e s (Aperçu historique, 1837) in ihren statischen und kinematischen
Untersuchungen und von demselben C h a s l e s und S t a u d t bei der
Bestimmung der involutorischen reciproken Beziehungen gefunden wurde.
[611] Cambridge Trans. 11, Teil 2; Quart. Journ. 3.
[612] Giorn. di Matem. 6, 7, 10, 18. Wenn auch B a t t a g l i n i seinen Studien
über die quadratischen Komplexe eine Gleichung zu Grunde legte, die nicht
den allgemeinsten Komplex ihres Grades darstellt, so gelten doch viele von
den Schlüssen, die er gemacht hat, — man kann sagen alle, mit Ausnahme
derjenigen, welche sich auf die singuläre Fläche und die singulären Strahlen
des Komplexes beziehen — für allgemeine Komplexe, indem sie
unabhängig sind von der Gestalt dieser Gleichung. Auch die von ihm
aufgestellten Formeln passen sich mit leichten Änderungen größtenteils
dem allgemeinen Falle an.
[613] Leipzig, 1868-1869.
[614] S. dessen Examen des différentes méthodes etc.
[615] Math. Ann. 2, 5, 7, 22, 23 (darin der Wiederabdruck der 1868 in Bonn
erschienenen Dissertation: Über die Transformation der allgemeinen
Gleichung des zweiten Grades zwischen Linienkoordinaten auf eine
kanonische Form), 28. Außerdem enthalten viele Arbeiten von K l e i n über
Fragen der höheren Algebra oder der höheren Analysis, die in den Math.

Ann. und sonst veröffentlicht sind, ziemlich oft Betrachtungen, welche der
Geometrie der Geraden angehören.
[616] Torino Mem. II, 36.
[617] Journ. für Math. 75, 76; Habilitationsschrift (Gießen, 1870).
[618] Math. Ann. 1.
[619] Math. Ann. 2.
[620] Lincei Mem. 1884-1885.
[621] Math. Ann. 2, 5.
[622] Math. Ann. 7. Man kann es nur beklagen, daß die in verschiedener
Beziehung so ausgezeichnete Arbeit von W e i l e r eine große Zahl von
Ungenauigkeiten enthält.
[623] Math. Ann. 8, 9, 10, 12, 13. S. auch S c h u b e r t das. 12 und dessen
Abzählende Geometrie.
[624] Comptes rendus 74, 75; Bull. Soc. math. 1.
[625] Göttinger Nachr. 1869.
[626] Göttinger Nachr. 1869.
[627] Lincei Mem. 1877-1878.
[628] Giorn. di Matem. 8; Lombardo Rend. II, 12, 13, 14.
[629] Math. Ann. 5. Vgl. eine Abhandlung von C r e m o n a, gelesen vor der
Accademia dei Lincei (Atti II, 3).
[630] Journ. für Math. 98. Vgl. auch 95 und 97.
[631] Liouvilles Journ. 4.
[632] Die Geometrie der Lage, 2. Abt. 2. Aufl., in der sich die von R e y e in
dem Journ. für Math. veröffentlichten synthetischen Arbeiten über die
Geometrie der Geraden vereinigt finden.

[633] Zeitschr. f. Math. 20.
[634] Dissertation (Berlin, 1879) oder Math. Ann. 15.
[635] Giorn. di Matem. 17; Lincei Rend. 1879.
[636] Torino Atti, 1881.
[637] Journ. für Math. 91, 92, 93, 94, 95, 97.
[638] The Messenger of Mathematics II, 13.
[639] Liouvilles Journ. II, 17.
[640] S. Note 629.
[641] Math. Ann. 5.
[642] Ann. Éc. norm. II, 6; Grunerts Arch. 40.
[643] Ann. Éc. norm. III, 1.
[644] S. Note 628.
[645] Nouv. Ann. II, 2; Liouvilles Journ. II, 19.
[646] Die Geometrie der Lage.
[647] Göttinger Nachr. 1870.
[648] Journ. für Math. 95; Zeitschr. f. Math. 24, 27.
[649] Sugli enti geometrici dello spazio di rette generati dalle intersezioni
dei complessi correspondenti in due o pin fasci projettivi di complessi
lineari (Piazza Armerina, 1882).
[650] Proc. math. Soc. 10; Collectanea mathematica, 1881.
[651] Math. Ann. 13.
[652] Mémoire de géométrie vectorielle sur les complexes du second ordre,
qui ont un centre de figure (Liouvilles Journ. III, 8).

[653] Sui complessi di rette di secondo grado generati da due fasci
projettivi di complessi lineari (Napoli, 1886), und Napoli Rend. 1886.
[654] Math. Ann. 23; Giorn. di Matem. 23; Torino Atti, 1884.
[655] Applications de Géometrie et de Mechanique, 1822.
[656] Journ. Éc. polyt. 14.
[657] Comptes rendus 20.
[658] Liouvilles Journ. 15.
[659] Journ. Éc. polyt. 38.
[660] Irish Trans. 16, 1831.
[661] Bd. 57.
[662] Die Eigenschaften der unendlich dünnen Strahlenbündel, mit denen
K u m m e r sich in dieser Abhandlung beschäftigt, gaben später (1862) Stoff
zu einer schönen Arbeit von M ö b i u s (Leipziger Ber. 14; Werke 4), an
welche sich dann die von Z e c h (Zeitschr. f. Math. 17) veröffentlichten
Untersuchungen knüpfen; vgl. auch eine neuerliche Abhandlung von
H e n s e l (Journ. für Math. 102).
[663] Berliner Abh. 1866.
[664] Von noch erschienenen Arbeiten, die man als eine Fortsetzung derer
von K u m m e r ansehen kann oder die auf anderem Wege zu dessen
Resultaten geführt haben, erwähne ich: R e y e (Journ. für Math. 86 und 93),
H i r s t (Proc. math. Soc. 16), S t a h l (s. Note 637), C a p o r a l i (Napoli Rend.
1879), L o r i a (Torino Atti, 1884 und 1886) — oder von solchen, die zu
diesen einige neue Formeln oder ein neues algebraisches Strahlensystem
hinzugefügt haben: K u m m e r (Berliner Ber. 1878), M a s o n i (Napoli Rend.
22), R o c c e l l a (s. Note 649), H i r s t (Proc. math. Soc. 16 und 17;
Rendiconti del Circolo mathematico di Palermo 1), S t u r m (Math. Ann. 6;
Journ. für Math. 101).
[665] Zum Beweise, daß die Fragen, auf welche sich diese Arbeiten
beziehen, bei einigen Gelehrten jene Ruhe und Unparteilichkeit des Urteils,

die immer bei ihren Diskussionen walten sollte, aufgehoben haben, will ich
hier zwei Stellen anführen, die eine von einem Schriftsteller, der allen,
welche sich mit Philosophie beschäftigen, sehr wohl bekannt ist, die andere
aus einer Zeitschrift, die in Deutschland ziemlich verbreitet ist: ».... so
gewiß ist es logische Spielerei, ein System von vier oder fünf Dimensionen
noch Raum zu nennen. Gegen solche Versuche muß man sich wahren; sie
sind Grimassen der Wissenschaft, die durch völlig nutzlose Paradoxien das
gewöhnliche Bewußtsein einschüchtern und über sein gutes Recht in der
Begrenzung der Begriffe täuschen« (L o t z e, Logik, S. 217). »Die absolute
oder Nicht-Euklidische Geometrie, die Geometrie des endlichen Raumes
und die Lehre von n Raumdimensionen sind entweder Karrikaturen oder
Krankheitserscheinungen der Mathematik« (J. G i l l e s, Blätter für das
Bayrische Gymnasial- und Realschulwesen 28, S. 423). Man sehe auch die
heftigen Äußerungen D ü h r i n g s, die von E r d m a n n in seiner trefflichen
Abhandlung: Die Axiome der Geometrie (Leipzig, 1877, S. 85)
wiedergegeben sind, ferner K r o m a n, Unsere Naturerkenntnis, deutsch von
F i s c h e r - B e n z o n (Kopenhagen, 1883, S. 145 bis 175); endlich die Kap.
13 und 14 des Werkes von S t a l l o, La matière et la physique moderne
(Paris, 1884). Auf Vorwürfe von der oben erwähnten Art erwidern wir mit
d ' A l e m b e r t: »Allez en avant, et la foi vous viendra!«
[666] Als Litteraturnachweis für diesen Teil der Geometrie sehe man die
Artikel von G. B r u c e - H a l s t e d, veröffentlicht im Amer. Journ. 1 und 2.
[667] Es ist dieser Satz: »Wenn bei einer Geraden, welche zwei andere
schneidet, die Summe der inneren Winkel auf derselben Seite kleiner als
zwei Rechte ist, so schneiden sich letztere auf derselben Seite.«
D ' A l e m b e r t nannte diesen Satz: »l'écueil et le scandale des éléments de la
géométrie«.
[668] Eine Zeit lang glaubte man, daß der fragliche Satz von Euklid unter
die Axiome gestellt sei; aber neuere historische Untersuchungen (s.
H a n k e l, Vorlesungen über komplexe Zahlen und ihre Funktionen, S. 52)
neigen zu der Ansicht, daß derselbe irrtümlicher Weise von den
Abschreibern zu den Axiomen geschrieben sei, während er im Originale
unter den Postulaten gestanden hatte.
[669] Vgl. Die Elemente der Mathematik von B a l t z e r, 4. Teil, Planimetrie.

[670] Man erzählt, L a g r a n g e habe beobachtet, daß die sphärische
Geometrie von dem Euklidischen Postulate unabhängig sei, und gehofft,
aus dieser Beobachtung eine Art und Weise ableiten zu können, den
Ungelegenheiten der Euklidischen Methode zu entgehen, indem er die
ebene Geometrie als die Geometrie auf einer Kugel mit unendlich großem
Radius betrachtete.
[671] Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher, herausgegeben von
P e t e r s, 6 Bände (Altona, 1860-1865); die betreffenden Stellen dieses
Briefwechsels sind von H o ü e l ins Französische übersetzt und seiner 1866
erschienenen französischen Übersetzung von L o b a t s c h e w s k y s
Geometrischen Untersuchungen (vgl. Note 10) zugefügt.
[672] Vgl. die Gedächtnisschrift auf G a u ß von S c h e r i n g in den Göttinger
Abh. 22 (1877).
[673] Göttingische Gelehrte Anzeigen, 1816 und 1822; oder Gauss' Werke 4
(1873), S. 364 und 368. Vgl. auch S a r t o r i u s v o n W a l t e r s h a u s e n,
Gauss zum Gedächtnis (Leipzig, 1856), S. 81. — Möge es gestattet sein,
hier die Mitteilung anzuschließen, daß G a u ß das alte Problem der
Kreisteilung, in dem man seit zwei Jahrtausenden nicht vorwärts
gekommen war, durch Untersuchungen auf einem Gebiete wesentlich
gefördert hat, das ohne Zusammenhang mit diesem Problem schien und auf
welchem man solchen Gewinnst für die Geometrie nicht erwartete
(Disquisitiones arithmeticae, Leipzig, 1801; Werke 1; vgl. B a c h m a n n, Die
Lehre von der Kreisteilung, Leipzig, 1872), indem er zeigte, daß die Teilung
in n Teile mit Hilfe von Lineal und Zirkel auch noch möglich ist, wenn n
eine Primzahl von der Form 2m +1 ist. Man sehe hierzu auch L e g e n d r e,
Éléments de trigonométrie, Anhang; R i c h e l o t, S t a u d t, S c h r ö t e r, Journ.
für Math. 9, 24, 75; A f f o l t e r, Math. Ann. 6.
[674] Courier von Kasan, 1829-1830; Abhandlungen der Universität
Kasan, 1835, 1836, 1837, 1838; Geometrische Untersuchungen über die
Theorie der Parallellinien (Berlin, 1810); Journ. für Math. 17.
[675] Die Schrift von J o h a n n B o l y a i erschien als Anhang des Werkes von
W. B o l y a i: Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae
..... introducendi, 2. Bd. (Maros-Vásárhely 1833), wurde dann ins

Französische übersetzt von H o ü e l (Mémoires de Bordeaux), ins
Italienische von B a t t a g l i n i (Giorn. di Matem. 5).
[676] Es ist das Verdienst H o ü e l s (?—1886) und B a t t a g l i n i s, die Werke
von L o b a t s c h e w s k y und B o l y a i durch Übersetzungen und vorzügliche
Kommentare (s. Note 7 und 11 und Giorn. di Matem. 5 und 8) verbreitet zu
haben. — Heute ist es leicht, die Nicht-Euklidische Geometrie zu lernen, da
F l y e Ste M a r i e (Etudes analytiques sur la théorie des parallèles, Paris,
1871), F r i s c h a u f (Elemente der absoluten Geometrie, Leipzig, 1876) und
d e T i l l y (Essai sur les principes fundamentaux de la géométrie et de la
mécanique, Bordeaux, 1879) methodische Bearbeitungen derselben
geschrieben haben. In England wurden die neuen Ideen über die Prinzipien
der Geometrie bearbeitet und herrlich dargestellt von C l i f f o r d; man sehe
die Schrift Lectures and Essays, sowie die von S m i t h den Mathematical
Papers by W. K. Clifford (London, 1882) vorausgeschickte Einleitung.
[677] Göttinger Abh. 13 (1867), oder Gesammelte Werke (Leipzig, 1876),
ins Französische übersetzt von H o ü e l (Annali di Matem. II, 3), ins
Englische von C l i f f o r d (Nature 8 oder Mathematical Papers S. 55).
[678] In der Abhandlung Über die Thatsachen, welche der Geometrie zu
Grunde liegen (Göttinger Nachr. 1868).
[679] Hierzu sehe man Populäre wissenschaftliche Vorträge von
H e l m h o l t z (Braunschweig, 1871-1876); Revue des cours scientifiques, 9.
Juli 1870 etc.
[680] Giorn. di Matem. 6. Dieser Artikel wurde ins Französische übersetzt
von H o ü e l und veröffentlicht in den Ann. Éc. norm. 6, 1869.
[681] Man vergleiche hierzu die Worte, mit denen d ' A l e m b e r t die
Meinung zurückwies, daß die Wahrheiten der Mechanik experimentelle
seien (Traité de Dynamique, Paris, 1858, Discours préliminaire, S. XII), mit
den folgenden von C l i f f o r d (The Common Sense of the Exact Sciences,
London, 1885, International Scientific Series 51): »In derselben Weise, wie
wir, um irgend einen Zweig der Physik zu schaffen, von der Erfahrung
ausgehen und auf unsere Experimente eine gewisse Anzahl von Axiomen
stützen, welche solchergestalt die Grundlage desselben bilden, so sind die
Axiome, die wir als Grundlage der Geometrie nehmen, wenn auch weniger

offenbar, in der That ein Ergebnis der Erfahrung.« Man sehe auch das Werk
von H o ü e l, Du rôle de l'expérience dans les sciences exactes (Prag, 1875),
oder die Übersetzung, die davon in Grunerts Arch. 59 veröffentlicht wurde.
[682] Ich bemerke, daß, wer die Ausdehnungslehre des großen deutschen
Geometers und Philologen H e r m a n n G r a ß m a n n liest, mit Erstaunen
sehen wird, daß er schon 1844 zu Schlüssen gelangt war, die von den im
Texte angegebenen nicht sehr verschieden sind. Aber wer weiß nicht, daß,
um geschätzt zu werden, dieses ausgezeichnete Werk nötig hatte, daß
andere auf einem anderen Wege zu den äußerst originellen Wahrheiten
gelangten, die es enthält? — Hier scheint es mir angebracht zu sein, eine
Erklärung zu geben, welche zu meiner Rechtfertigung dient. Bei dieser
kurzen Geschichte der Kämpfe, welche die Geometer in diesen letzten
Zeiten ausgefochten haben, traf es sich selten und nur flüchtig, daß ich
Arbeiten von G r a ß m a n n zitierte, und ich glaube nicht, daß ich noch
Gelegenheit haben werde, diesen Namen auszusprechen. Das heißt nicht,
daß dieser Geometer nicht der Erwähnung würdig sei, daß seine
Entdeckungen und seine Methoden nicht verdienten, bekannt zu werden;
aber es liegt daran, daß der Formalismus, in den er seine Gedanken
gekleidet, sie den meisten unzugänglich gemacht und ihnen fast jede
Möglichkeit genommen hat, irgend einen Einfluß auszuüben. G r a ß m a n n
war während eines großen Teiles seines Lebens ein Einsiedler in der
Mathematik; nur während seiner letzten Jahre befaßte er sich damit, etliche
seiner Produktionen in modernem Gewande zu veröffentlichen, um deren
Verwandtschaft mit denen seiner Zeitgenossen zu zeigen (man sehe Math.
Ann. 10, 12; Göttinger Nachr. 1872; Journ. für Math. 84); daher ist es
natürlich, daß ihn zu nennen demjenigen selten widerfährt, welcher sich
vornimmt, die Errungenschaften zu beschreiben, die man den vereinten
Anstrengungen der modernen Geometer verdankt. — Man vergleiche
P e a n o, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann
preceduto dalle operazioni della logica deduttiva (Turin, 1888). — Über die
wissenschaftlichen Verdienste G r a ß m a n n s sehe man einen Artikel von
C r e m o n a in den Nouv. Ann. I, 19, dann den 14. Bd. der Math. Ann. und
den 11. Bd. des Bulletino di Bibliografia e di Storia delle Scienze
matematiche. Ein Vergleich zwischen den Methoden G r a ß m a n n s und
anderen moderneren wurde von S c h l e g e l in der Zeitschr. f. Math. 24
gemacht.

[683] Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Math. Ann. 4).
[684] Nouv. Ann. 12.
[685] Phil. Trans. 149; vgl. C l i f f o r d, Analytical Metrics (Quart. Journ.
1865, 1866 oder Mathematical Papers, S. 80).
[686] Eine spätere Abhandlung von K l e i n unter demselben Titel (Math.
Ann. 6) ist zur Ergänzung einiger Punkte der ersteren bestimmt. An dieselbe
knüpfen sich die wichtigen Untersuchungen von L ü r o t h und Z e u t h e n
(Math. Ann. 7), von T h o m a e (vgl. die 2. Aufl. der Geometrie der Lage von
R e y e), von D a r b o u x (Math. Ann. 17), von S c h u r (das. 18), d e P a o l i s
(Lincei Mem. 1880-1881) und von R e y e (3. Aufl. der Geometrie der Lage)
über den Fundamentalsatz der projektiven Geometrie.
[687] Études de mécanique abstraite (Mémoires couronnées par l'Académie
de Belgique 21, 1870).
[688] Bulletin de l'Académie de Belgique II, 36; Torino Mem. II, 29; Mem.
de la società italiana delle scienze III, 2.
[689] Wiener Ber. 1874. Man sehe auch die schöne Abhandlung von
B e l t r a m i: Sulle equazioni generali dell' elasticità, in den Annali di
Matem. II, 10.
[690] Sull' applicabilità delle superficie degli spazii a curvatura costante
(Lincei Atti III, 2).
[691] Lincei Rend. 1873 und 1876.
[692] Annali di Matem. II, 6, 7; Giorn. di Matem. 13; Torino Atti, 1876;
Lincei Mem. III, 3; Lombardo Rend. 1881.
[693] Lincei Mem. 1877-1878.
[694] Lombardo Rend. II, 14, 15.
[695] Math. Ann. 5.
[696] Math. Ann. 7.
[697] Göttinger Nachr. 1873.

[698] Amer. Journ. 2, 4, 5.
[699] Die Massfunktionen in der analytischen Geometrie. Programm
(Berlin, 1873).
[700] Math. Ann. 10.
[701] Quart. Journ. 18.
[702] On the theory of screws in elliptic space. (Proc. math. Soc. 15 und
16).
[703] Die interessantesten von den mir bekannten sind die von S e g r e, Sulle
geometrie metriche dei complessi lineari e delle sfere, veröffentlicht in den
Torino Atti, 1883.
[704] Das Produkt zweier Strecken ist eine Fläche, das dreier ein Körper,
was ist das geometrische Bild des Produktes von vieren? — Die
analytischen Geometer der Cartesischen Epoche bezeichneten dasselbe
durch das Wort »sursolide« (überkörperlich), welches sich in ihren
Schriften findet; man kann sie daher als diejenigen ansehen, welche zuerst
die im Texte erwähnte Richtung eingeschlagen haben.
[705] S. C a y l e y, A memoir on abstract Geometry (Phil. Trans. 1870); vgl.
auch Cambridge Journ. 4, 1845.
[706] Comptes rendus, 1847.
[707] Überdies scheint es außer Zweifel zu stehen, daß G a u ß ausgedehnte
und bestimmte Ideen über die Geometrie von mehreren Dimensionen
gehabt hat; vgl. S a r t o r i u s v o n W a l t e r s h a u s e n, a. O. S. 81 (s. Note 673
des vor. Abschn.).
[708] Théorie des fonctions analytiques (Paris, an V, S. 223).
[709] Ich darf nicht verschweigen, daß schon 1827 M ö b i u s einen Einblick
hatte, wie durch Zulassung der Existenz eines vierdimensionalen Raumes
ein unerklärlicher Unterschied zwischen der Ebene und dem Raume
aufgehoben wird; dieser Unterschied besteht darin, daß, während man zwei
in Bezug auf eine Gerade symmetrische ebene Figuren immer zur Deckung
bringen kann, es nicht möglich ist, zwei räumliche in Bezug auf eine Ebene

symmetrische Figuren zusammenfallen zu lassen. Später bemerkte Z ö l l n e r
beiläufig, wie die Existenz eines vierdimensionalen Raumes gewisse
Bewegungen zulassen würde, die wir für unmöglich halten; die folgenden
Resultate können als Beispiele zu dieser Beobachtung dienen: N e w c o m b
zeigte (Amer. Journ. 1), daß, wenn es einen Raum von vier Dimensionen
giebt, es möglich ist, die beiden Seiten einer geschlossenen materiellen
Fläche umzuwechseln, ohne dieselbe zu zerreißen. K l e i n bemerkte (Math.
Ann. 9), daß bei dieser Voraussetzung die Knoten nicht erhalten bleiben
könnten, und V e r o n e s e führte (in der 1881 an der Universität zu Padua
gehaltenen Prolusione) die Thatsache an, daß man dann aus einem
geschlossenen Zimmer einen Körper herausnehmen könne, ohne die Wände
desselben zu zerbrechen. H o p p e gab (Grunerts Arch. 64) Formeln an,
welche die Beobachtungen K l e i n s illustrierten. Diese Formeln erforderten
einige Modifikationen, die von D u r è g e angegeben wurden (Wiener Ber.
1880); vgl. auch Grunerts Arch. 65 und die synthetischen Betrachtungen
von S c h l e g e l, Zeitschr. f. Math. 28.
[710] Annali di Matem. II, 2 und 5.
[711] Journ. für Math. 65; Annali di Matem. II, 5.
[712] Journ. für Math. 83.
[713] Amer. Journ. 2.
[714] Die Nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung,
Leipzig, 1885.
[715] Math. Ann. 27.
[716] Annali di Matem. II, 4.
[717] Proc. math. Soc. 7 oder Mathematical Papers, S. 236.
[718] Bull. sciences math. 11, 1876.
[719] Comptes rendus, 79.
[720] Journ. für Math. 70 flgg., Quart. Journ. 12.
[721] Proc. math. Soc. 9.

[722] Berliner Dissertation, 1880.
[723] Phil. Trans. 175.
[724] Journ. für Math. 98.
[725] Nach L i p s c h i t z hatte L e j e u n e - D i r i c h l e t (1805-1859) das
allgemeine Gravitationsgesetz im elliptischen Raume studiert. Diese
Studien wurden dann von Schering bearbeitet und in den Göttinger Nachr.
1870 und 1873 veröffentlicht.
[726] Comptes rendus 79.
[727] Math. Ann. 19.
[728] H o p p e machte analoge Untersuchungen für die Kurven des
vierdimensionalen Raumes (Grunerts Arch. 64).
[729] Amer. Journ. 4.
[730] Berliner Ber. 1869.
[731] Math. Ann. 7; Zeitschr. f. Math. 20, 21, 24.
[732] Journ. für Math. 70 und 72.
[733] Journ. für Math. 70.
[734] Math. Ann. 24.
[735] Bull. sciences math. I, 4.
[736] Math. Ann. 26.
[737] Collectanea mathematica; Annali di matem. II, 10.
[738] Göttinger Nachr., 1871.
[739] Math. Ann. 5.
[740] Journ. für Math. 81; Comptes rendus 82.
[741] Amer. Journ. 4.

[742] Journ. für Math. 74 oder Quart. Journ. 12. Ich füge noch hinzu, daß
S a l m o n und C a y l e y sich der Räume von mehreren Dimensionen in ihren
Untersuchungen über die Theorie der Charakteristiken (§ IV) bedient
haben, daß M e h l e r, Journ. für Math. 84, eine Anwendung von der
Betrachtung eines vierdimensionalen Raumes für Untersuchungen über
dreifache Systeme orthogonaler Oberflächen, und daß L e w i s davon eine
ähnliche Anwendung machte bei der Betrachtung einiger Trägheitsmomente
(Quart. Journ. 16). Dann fand W o l s t e n h o l m e, daß die Zahl der
Normalen, die man von einem Punkte eines d-dimensionalen Raumes an
eine Oberfläche von der nten Ordnung ziehen kann,

n
{ (n - 1)d - 1 }
n-2

beträgt (Educational Times 10).
[743] Von den Elementen und Grundgebilden der synthetischen Geometrie
(Bamberg, 1887).
[744] Grunerts Arch. 64.
[745] Bull. Soc. math. 10.
[746] Grunerts Arch. 70.
[747] Amer. Journ. 3.
[748] Grunerts Arch. 66, 67, 68, 69.
[749] Nova Acta der Leopold.-Carol. Akademie 44.
[750] Die polydimensionalen Grössen und die vollkommenen Primzahlen.
[751] Von Körpern höherer Dimensionen (Kaiserslautern, 1882).
[752] Wiener Ber. 90.
[753] Wiener Ber. 89 und 90.
[754] Diese bilden eine der merkwürdigsten von den durch L. Brill in
Darmstadt veröffentlichten Serien von Modellen.

[755] Journ. für Math. 31, S. 213. Liest man die wenigen Seiten, welche die
Abhandlung von C a y l e y bilden, so gewinnt man die Überzeugung, daß er
schon 1846 einen klaren Einblick von der Nützlichkeit hatte, welche der
gewöhnlichen Geometrie der Lage die Betrachtung des Raumes von
mehreren Dimensionen bringen könne.
[756] Histoire de l'astronomie moderne 2, S. 60.
[757] Phil. Trans. 1878 oder Mathematical Papers S. 305.
[758] Math. Ann. 19.
[759] Unter den in der Abhandlung von V e r o n e s e bearbeiteten
Untersuchungen sind die über die Konfigurationen besonderer Erwähnung
wert, ferner die Formeln, welche — als eine Erweiterung derer von
P l ü c k e r und C a y l e y — die gewöhnlichen Singularitäten einer Kurve
eines n-dimensionalen Raumes unter einander verknüpfen, die Erzeugung
von in einem solchen Raume enthaltenen Oberflächen durch projektive
Systeme und die Anwendung derselben auf das Studium einiger
Oberflächen unseres Raumes; dann kann ich nicht stillschweigend
übergehen die Studien über die in einem quadratischen Gebilde von n
Dimensionen enthaltenen linearen Räume, die V e r o n e s e gemacht hat, um
einige Sätze von Cayley zu erweitern (Quart. Journ. 12), indem er die von
Klein (Math. Ann. 5) verallgemeinerte stereographische Projektion
anwandte, ferner nicht etliche wichtige Resultate über die Kurven, von
denen übrigens einige schon C l i f f o r d (Phil. Trans., 1878) auf einem
anderen Wege erhalten hatte.
[760] Annali di Matem. II, 11; Lincei Mem. 1883-1884; Atti dell' Istituto
Veneto V, 8. Letztere Abhandlung ist der darstellenden Geometrie des
Raumes von 4 Dimensionen gewidmet und kann daher als die Ausführung
eines Gedankens angesehen werden, den S y l v e s t e r im Jahre 1869 in
seiner Rede vor der British Association angedeutet hat.
[761] Torino Mem. II, 36.
[762] Lincei Mem. 1883-1884; Torino Mem. II, 37; Lincei Rend. 1886.
[763] Torino Atti 19.

[764] Torino Atti 19, 20, 21; Math. Ann. 27.
[765] Math. Ann. 24.
[766] Torino Atti 20.
[767] Lombardo Rend. 1886; Lincei Rend. 1886. Man sehe auch desselben
Verfassers wichtige Note: Sui sistemi lineari, Lombardo Rend. 82.
[768] Lombardo Rend. 1885, 1886.
[769] Napoli Rend. 1885, 1886. Vgl. auch R o d e n b e r g, Math. Ann. 26.

[770]
Ich kann sie alle hier nicht wiederholen,
Weil mich des Stoffes Fülle so bedrängt,
Daß hinter dem Gescheh'nen oft das Wort bleibt.
— (D a n t e s Divina Commedia, der Hölle 4. Ges. V. 145-
147.)

[771] Math. Ann. 2, 8. Man sehe auch die Abhandlung von S. K a n t o r, Sur
les transformations linéaires successives dans le même espace à n
dimensions (Bull. Soc. math. 8).
[772] Bull. Soc. math. 2. Unter den in dieser Arbeit erhaltenen Resultaten
heben wir folgendes hervor: »Wenn man in einem Raume von r - 1
Dimensionen zwei algebraische Mannigfaltigkeiten vom Grade μ und ν ins
Auge faßt, bezüglich von m und n Dimensionen, so ist der Schnitt derselben
eine Mannigfaltigkeit von n + m - (r-1) Dimensionen und vom Grade μν,
wofern m + n >= r - 1, und die beiden Mannigfaltigkeiten nicht eine solche
von m + n - r + 2 oder mehr Dimensionen gemeinsam haben«, um den
vollständigen Beweis desselben anzuführen, den N ö t h e r in den Math. Ann.
11 geliefert hat.
[773] Lincei Mem. 1876-1877; vgl. auch J o r d a n (Bull. Soc. math. 3). —
Hier will ich eine Notiz machen, die im Texte nicht Platz finden konnte:
Von vielen wurde behauptet, daß in einem Raume von konstanter positiver
Krümmung zwei geodätische Linien, wenn sie sich treffen, im allgemeinen
zwei Punkte gemeinsam haben; das ist nun nicht wahr, und dieses wurde
zuerst von K l e i n beobachtet (Jahrbuch über die Fortschritte der

Mathematik 9, S. 313), dann von N e w c o m b (Journ. für Math. 83) und von
F r a n k l a n d (Proc. math. Soc. 8). Über dasselbe Thema sehe man eine
Abhandlung von K i l l i n g (Journ. für Math. 86 und 89).
[774] Math. Ann. 26; Acta math. 8. — Der Abhandlung von V e r o n e s e
gehen noch die Untersuchungen von S p o t t i s w o o d e (1825-1883) voran,
über die Darstellung der Figuren der Geometrie von n Dimensionen
vermittelst correlativer Figuren der gewöhnlichen Geometrie (Comptes
rendus 81).
[775] Mémoire de Géométrie sur deux principes généraux de la science.
[776] Beiträge zur Geometrie der Lage, § 29.
[777] Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft zu Zürich 15,
oder Die darstellende Geometrie.
[778] Vgl. die interessante Abhandlung von F i e d l e r, Geometrie und
Geomechanik, erschienen in der genannten Vierteljahrsschrift, und in
französischer Übersetzung in Liouvilles Journ. III, 4 veröffentlicht.
[779] Den Nutzen, welcher der Geometrie durch die Annahme einiger
Begriffe, die man jetzt noch als der Mechanik angehörig betrachtet,
erwachsen würde, bezeugen der Exposé géométrique du calcul différentiel
et intégral (Paris, 1861), von L a m a r l e (1806-1875) verfaßt, die von
M a n n h e i m der kinematischen Geometrie gewidmeten Partien in seinem
Cours de géométrie descriptive (Paris, 1880) und das schöne jüngst
veröffentlichte Buch meines Freundes P e a n o mit dem Titel: Applicazioni
geometriche del calcolo infinitesimale (Turin, 1887).
[780] Man sehe die Anhänge der Proc. math. Soc. seit Bd. 14.
[781] Nouv. Ann. II, 1, 2; Liouvilles Journ. II, 7; Berliner Abh. 1865, 1866;
Berliner Ber. 1872 oder Borchardts Gesammelte Werke, S. 179, 201, 233.
[782] Insbesondere Journ. für Math. 24 oder Werke, Bd. II, S. 177, 241.
[783] S. Acta Societatis scientiarum Fennicae, 1866; Bull. de l'Académie de
St. Pétersbourg 14; Math. Ann. 2; Nouv. Ann. II, 10; Zeitschr. f. Math. 11;
Göttinger Nachr. 1882 oder Bull. sciences math. II, 7; Journ. für Math. 96,
97; Göttinger Nachr. 1884; Grunerts Arch. II, 2; Giorn. di Matem. 26.

[784] Mémoires de l'Académie de Berlin, 1761; vgl. L e g e n d r e s Eléments
de Géometrie, Note IV der älteren Auflagen.
[785] Berliner Ber. 1882; Math. Ann. 20; vereinfacht durch W e i e r s t r a ß,
Berliner Ber. 1885; man vgl. auch R o u c h é, Nouv. Ann. III, 2.
[786] Die einzigen rein synthetischen Untersuchungen über die Kurven und
Oberflächen von höherer als zweiter Ordnung, die ich kenne, sind die von
R e y e (Geometrie der Lage) über die ebenen kubischen Kurven, einige von
T h i e m e (Zeitschr. f. Math 24; Math. Ann. 20, 28), von M i l i n o w s k i
(Zeitschr. f. Math. 21, 23; Journ. für Math. 89, 97) und von S c h u r
(Zeitschr. f. Math. 24). Ihnen könnte man die beiden folgenden Arbeiten
hinzufügen, die im Jahre 1868 von der Berliner Akademie gekrönt sind:
H. J. S. S m i t h, Mémoire sur quelques problèmes cubiques et
biquadratiques (Annali di Matem. II, 3); K o r t u m, Über geometrische
Aufgaben dritten und vierten Grades (Bonn, 1869). Die Geometer erwarten
ungeduldig die Veröffentlichung einer Schrift von E. K ö t t e r, die 1886 von
der Berliner Akademie den Steinerschen Preis erhielt und dazu berufen
erscheint, in das Gebiet der reinen Geometrie die allgemeine Theorie der
ebenen algebraischen Kurven zu versetzen. (Sie ist während der
Anfertigung der Übersetzung vorliegender Schrift in den Berliner Abh.
1887 unter dem Titel: Grundzüge einer rein geometrischen Theorie der
algebraischen ebenen Kurven erschienen.)
[787] Die Angemessenheit des gleichzeitigen Gebrauches der Geometrie
und Analysis, auch in den Fragen der angewandten Mathematik, wurde
ausdrücklich von L a m é mit folgenden Worten erklärt: »Quand on médite
sur l'histoire des mathématiques appliquées, on est effectivement conduit à
attribuer leurs principales découvertes, leurs progrès les plus décisifs à
l'association de l'analyse et de la géométrie. Et les travaux, que produit
l'emploi de chacun de ces instruments, apparaissent alors comme des
préparations, des perfectionnements, en attendant l'époque qui sera
fécondée par leur réunion.« (Leçons sur les coordonnées curvilignes, 1859,
S. XIII und XIV.)
[788] P o i n s o t, Comptes rendus 6 (1838) S. 809.

*** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE
HAUPTSÄCHLICHSTEN THEORIEN DER GEOMETRIE ***

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