Über die Geometrie der alten Aegypter. (German) Emil Weyr 930 downloads.pdf

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Aegypter.
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Title: Über die Geometrie der alten Aegypter.

Author: Emil Weyr

Release date: March 13, 2008 [eBook #24817]

Language: German

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*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK ÜBER DIE
GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER. ***

ÜBER DIE

GEOMETRIE DER ALTEN ÆGYPTER

VORTRAG
GEHALTEN IN DER

FEIERLICHEN SITZUNG DER KAISERLICHEN AKADEMIE
DER WISSENSCHAFTEN

AM

XXIX. MAI MDCCCLXXXIV

VON

DR. EMIL WEYR
WIRKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

WIEN
AUS DER K. K. HOF- UND STAATSDRUCKEREI.

IN COMMISSION BEI KARL GEROLD'S SOHN,

BUCHHÄNDLER DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER
WISSENSCHAFTEN.

1884

[pg 03]

Möge mir gestattet sein, bei dem heutigen feierlichen Anlasse ein Bild zu
entrollen, welches in grossen Strichen die allgemeinen Umrisse des
Zustandes der geometrischen Wissenschaften bei den alten Aegyptern zur
Darstellung bringen soll; und möge dasselbe Wohlwollen, das, gepaart mit
einer althergebrachten Sitte, mich heute auf diesen eben so ehrenvollen als
schwierigen Platz gestellt, auch bei der Beurtheilung der folgenden
bescheidenen, weil schwachen Kräften entspringenden Leistung obwalten!

So wie der Anfang aller menschlichen Kenntnisse, so ist auch der Ursprung
der Geometrie in grauestes Alterthum zu versetzen, er ist zu suchen in jenen
der Zeit nach unangebbaren Perioden der menschlichen Entwicklung, in
welchen das erste Erwachen des Selbstbewusstseins zu finden wäre. Sind
doch manche geometrische Anschauungen auch dem Thiere eigen; so jene
der geraden Verbindungslinie zweier Punkte als der kürzesten Entfernung;
jene des Mehr und Weniger bei Quantitäten der Entfernungen, Höhen,
Neigungen, und so werden auch manche abstractere Raumanschauungen
dem Menschen in seinen ersten Entwicklungsperioden eigen geworden sein,
Anschauungen, welche durch die Möglichkeit und auf Grund der
sprachlichen Bezeichnung jene Stabilität erhielten, die sie befähigte, als
erste Fundamente der geometrischen Kenntnisse zunächst, und der
Geometrie als Wissenschaft später aufzutreten.

[pg 04]
Geometrisches Denken entstand zu den verschiedensten Zeiten, an den
verschiedensten Orten. Denn überall, wo der menschliche Geist sich zu
entwickeln begann, und das menschliche Denken jene Höhe erreichte, auf

welcher Abstractionen entstehen, bildeten sich die grundlegenden
Raumbegriffe; der des Punktes, der geraden und krummen Linien, der
ebenen und krummen Flächen. Denn überall in der Natur boten sich dem
erwachenden Menschen Repräsentanten dieser Begriffe in grösserer oder
geringerer Genauigkeit dar. Während der Anblick der auf- und
untergehenden Sonne, sowie des vollen Mondes in südlichen Gegenden fast
täglich das Bild der »vollkommensten«, der »schönsten« Linie, der
Kreislinie vorführte, stellten sich die zahllosen Sterne des Abends dem
Auge als glänzende Punkte dar, welche in ihren mannigfaltigen
gegenseitigen Lagenverhältnissen die Phantasie des Menschen bei der, von
ihm beliebten Eintheilung des Himmels in Sternbilder zur Herstellung so
mancher geraden und krummen Linien verleiten mochten. Und selbst in
seiner nächsten Umgebung fand der beobachtende Mensch geometrische
Anklänge; das Gewebe der Spinne mit seinen kreisrunden und radialen
Fäden, die sechseckige Bienenzelle, die beim Fallen eines Körpers in
ruhendes Wasser entstehenden concentrischen Wellenringe, und wie vieles
Andere musste, wenn auch nach und nach, so doch mit zwingender
Nothwendigkeit den Menschen zur Beobachtung gesetzmässiger
geometrischer Formen führen.

Als Mutterland der Mathematik im Allgemeinen, und der Geometrie im
Besonderen wird Aegypten angeführt; doch ist die Zeit längst vorbei, wo
man sich Aegypten als einzigen Ursprungsort dieser Wissenschaften dachte,
vielmehr muss als feststehend angenommen werden, dass jedes Volk in [pg
05] seinem Entwicklungsgange geometrische Anschauungen sich
anzueignen schon durch praktische Bedürfnisse gezwungen war. Die Höhe,
zu welcher sich die einzelnen Völker in ihren mathematischen
Speculationen emporzuschwingen vermochten, hing von der Richtung des
Bildungsganges, von dem Maasse des Bedürfnisses und nicht in letzter
Reihe von dem Einflüsse religiöser Verhältnisse ab.

Und so mag sich zunächst jene Naturgeometrie entwickelt haben, welche
allen Völkern zugesprochen werden muss, und auf deren Vorhandensein,
weil auf die Anwendungen ihrer freilich einfachsten Principien, Ueberreste
von Bauten überall dort hinweisen, wo wir in der Lage sind, solche
beobachten zu können. Die Pellasger, die vorhellenischen Ureinwohner
Griechenlands, mussten lange vor Entstehung der Philosophie geometrische

Kenntnisse in dem Maasse besessen haben, wie sie zur Aufführung von
Wasserbauten, Dämmen, Canälen und Burgen, von denen man jetzt noch
Spuren findet, nothwendig waren.

Verfolgt man die Entwicklung der Geometrie zu ihren Quellen aufwärts, so
dürfen wir nicht überrascht sein, dass man bei dem uns bekannten ältesten
Culturvolke, bei den Aegyptern, am weitesten vorzudringen vermag, und
zwar an der Hand der indirecten wie der directen Nachrichten, welche uns
über diesen Gegenstand zugekommen sind. Leider jedoch sind die Ersteren
ihrem Inhalte und die Letzteren ihrer Zahl nach nur spärliche zu nennen.

Zahlreich sind wohl die Stellen in griechischen Philosophen und
Geschichtschreibern, welche Bezug haben auf aegyptische Geometrie, es
lässt sich jedoch nicht verkennen, dass oft die Späteren auf Frühere sich
stützen, und wir es möglicherweise mit einer einzigen, durch Jahrhunderte
fortgeführten Nachricht zu thun haben.

[pg 06]
Durch Herodot, welcher um die Mitte des fünften vorchristlichen
Jahrhunderts (460) Aegypten bereiste, erfahren wir1, dass die Geometrie
von Aegypten nach Griechenland verpflanzt worden sei. Etwas später (393
v. Chr.) berichtet Isokrates die Thatsache2, dass die Aegypter »die Aelteren
(unter ihren Priestern) über die wichtigsten Angelegenheiten setzten,
dagegen die Jüngeren beredeten, mit Hintansetzung des Vergnügens, sich
mit Astronomie, Rechenkunst und Geometrie zu beschäftigen«.

In Platon's Phädrus sagt Sokrates: »Ich habe vernommen, zu Naukratis in
Aegypten sei einer der dortigen alten Götter gewesen, dem auch der Vogel
geheiligt ist, den sie Isis nennen, während der Gott selbst den Namen Teuth
führt; dieser habe zuerst Zahlenlehre und Rechenkunst erfunden und
Geometrie und Astronomie«3, und einen directen Hinweis finden wir bei
Aristoteles, welcher in seiner Metaphysik sagt:4 »Daher entstanden auch in
Aegypten die mathematischen Wissenschaften, denn hier war den Priestern
die dazu nöthige Müsse vergönnt.«

Uebrigens schrieben sich die Aegypter neben der Erfindung der
Buchstabenschrift auch jene der meisten Wissenschaften und Künste zu,
worüber Diodor5, welcher etwa 70 Jahre v. Chr. G. Aegypten bereiste,

bemerkt: »Die Aegypter behaupten, von ihnen sei die Erfindung der
Buchstabenschrift und die Beobachtung der Gestirne ausgegangen, ebenso
seien von ihnen die Theoreme der Geometrie und die meisten
Wissenschaften und Künste erfunden worden.«

Neben diesen ganz allgemein gehaltenen Angaben sind hauptsächlich
diejenigen Berichte zu erwähnen, welche sich auf die Art der
wissenschaftlichen Leistungen der Aegypter beziehen.

[pg 07]
Da sagt zunächst Herodot6 in Hinsicht auf die unter dem Könige Sesostris
durchgeführte Ländereintheilung: »Auch sagten sie, dass dieser König das
Land unter alle Aegypter so vertheilt habe, dass er jedem ein gleich grosses
Viereck gegeben, und von diesem seine Einkünfte bezogen habe, indem er
eine jährlich zu entrichtende Steuer auflegte. Wem aber der Fluss (Nil) von
seinem Theile etwas wegriss, der musste zu ihm kommen und das
Geschehene anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die auszumessen
hatten, um wie viel das Landstück kleiner geworden war, damit der Inhaber
von dem übrigen nach Verhältniss der aufgelegten Abgaben steure. Hieraus
erscheint mir die Geometrie entstanden zu sein, die von da nach Hellas
kam.«

Die, Herodot, dem Vater der Geschichtsschreibung folgenden
Berichterstatter hielten sich nun, vielleicht erklärlicherweise, vorzüglich an
den einen, die Nilüberschwemmungen betreffenden Theil obiger Nachricht,
und wurde, gewiss Unberechtigtermassen der Nil als der unmittelbare
Anstoss für alle geometrischen Arbeiten der Aegypter hingestellt. Und doch
scheint es uns viel näherliegend, die einerseits behufs der Steuerbemessung
und Controle, anderseits wegen der aus den Veränderungen im Besitzstande
sich nothwendig ergebenden Flächenfestsetzungen als den
Hauptbeweggrund jener Vermessungen zu erkennen, wobei die
gesammelten Erfahrungen gewiss auch bei der Beurtheilung der
unzweifelhaft nach den periodisch eintretenden Nilüberschwemmungen
vorgekommenen Terrainveränderungen mit Vortheil benutzt worden sein
mögen.

Unverkennbar ist der Zug nach Aufbauschung und Ausschmückung des,
jene Nilüberschwemmungen betreffenden Theiles des Herodot'schen

Berichtes, wenn man die Aufzeichnungen späterer Gewährsmänner näher
betrachtet.

[pg 08]
Zunächst finden wir bei Heron dem Aelteren die folgende diesbezügliche
Stelle7: »Die früheste Geometrie beschäftigte sich, wie uns die alte
Ueberlieferung lehrt, mit der Messung und Vertheilung der Ländereien,
woher sie Feldmessung genannt wurde. Der Gedanke einer Messung
nämlich ward den Aegyptern an die Hand gegeben durch die
Ueberschwemmungen des Nil. Denn viele Grundstücke, die vor der
Flussschwelle offen dalagen, verschwanden beim Steigen des Flusses und
kamen erst nach dem Sinken desselben zum Vorschein, und es war nicht
immer möglich, über die Identität derselben zu entscheiden. Dadurch
kamen die Aegypter auf den Gedanken einer solchen Messung des vom Nil
blossgelegten Landes.«

Weiter finden wir bei Diodor8 einen Ausspruch, durch welchen wir
übrigens auch über andere wissenschaftliche Leistungen der Aegypter
belehrt werden; Diodor sagt: »Die Priester lehren ihre Söhne zweierlei
Schrift, die sogenannte heilige, und die, welche man gewöhnlich lernt. Mit
Geometrie und Arithmetik beschäftigen sie sich eifrig. Denn indem der
Fluss jährlich das Land vielfach verändert, veranlasst er viele und
mannigfache Streitigkeiten über die Grenzen zwischen den Nachbarn; diese
können nun nicht leicht ausgeglichen werden, wenn nicht ein Geometer den
wahren Sachverhalt durch directe Messung ermittelt. Die Arithmetik dient
ihnen in Haushaltungsangelegenheiten und bei den Lehrsätzen der
Geometrie; auch ist sie denen von nicht geringem Vortheile, die sich mit
Sternkunde beschäftigen. Denn wenn bei irgend einem Volke die Stellungen
und Bewegungen der Gestirne sorgfältig beobachtet worden sind, so ist es
bei den Aegyptern geschehen; sie verwahren Aufzeichnungen der einzelnen
Beobachtungen seit einer unglaublich langen Beihe von Jahren, da bei
ihnen seit alten Zeiten her die grösste Sorgfalt hierauf verwendet worden
[pg 09] ist. Die Bewegungen und Umlaufszeiten sowie die Stillstände der
Planeten, auch den Einfluss eines jeden auf die Entstehung lebender Wesen
und alle ihre guten und schädlichen Einwirkungen haben sie sehr sorgfältig
beobachtet.«

Am innigsten verknüpft erscheint die Geometrie der Aegypter mit den
Ueberschwemmungen des Nil bei Strabon9; welcher bemerkt, »dass es
einer sorgfältigen und bis auf das Genaueste gehenden Eintheilung bedurfte,
wegen der beständigen Verwüstung der Grenzen, die der Nil bei seinen
Ueberschwemmungen veranlasst, indem er Land wegnimmt und zusetzt,
und die Gestalt verändert, und die anderen Zeichen unkenntlich macht,
wodurch das fremde und eigene Besitzthum unterschieden wird. Man
müsse daher immer und immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie
entstanden sein.«

Den gesellschaftlichen Einrichtungen der Aegypter entsprechend, muss als
feststehend angenommen werden, dass sich eine Kaste, nach eben
Gehörtem die der Priester, mit dem wissenschaftlichen Theile der
Geometrie beschäftigte, während eine andere, die der Feldmesser, die von
den Ersteren aufgestellten und sorgsam gehüteten geometrischen Principien
praktisch zur Anwendung brachte. Dabei wurden, wie wir später sehen
werden, die Geheimnisse der Priester, insoweit sie geometrische Wahrheiten
und Berechnungsregeln betrafen, möglicherweise nur insoweit enthüllt,
dass bei deren Verwendung nur annäherungsweise richtige Resultate zum
Vorschein kamen.

Wohl sind einige Schriftsteller so weit gegangen, dass sie, die unläugbaren
Uebertreibungen des Zusammenhanges zwischen den
Nilüberschwemmungen und der ägyptischen Geometrie im Auge behaltend,
die Existenz der letzteren [pg 10] einfach negirten, und alle die citirten
Aussprüche in das Gebiet der Fabel verwiesen.

Was macht man jedoch dann mit den wohlbeglaubigten Nachrichten über
die Reisen, welche hervorragende griechische Philosophen nach Aegypten
unternahmen, oft jahrelang dort verweilend, um sich in die Geheimnisse
aegyptischer Priester einweihen und mit deren geometrischem Wissen
vertraut machen zu lassen?

Eudemus von Rhodos10, einer der ältesten Peripatetiker, schrieb eine
Geschichte der Mathematik, aus welcher uns durch Proklos Diadochus11,
einen Philosophen des fünften nachchristlichen Jahrhunderts, ein
Bruchstück erhalten ist, welches sozusagen das einzige Mittel bildet, das
uns einen Einblick in die geometrischen Errungenschaften der Griechen in

den ersten dritthalb Jahrhunderten nach Thales gewährt. Hierin heisst es
unter Anderem: »Thales, der nach Aegypten ging, brachte zuerst die
Geometrie nach Hellas hinüber und Vieles entdeckte er selbst, von Vielem
aber überlieferte er die Anfänge seinen Nachfolgern; das Eine machte er
allgemeiner, das Andere mehr sinnlich fassbar.« Hundert Jahre nach dem
Tode des Pythagoras berichtet der Redner Isokrates12: »Man könnte, wenn
man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswürdiges von der Heiligkeit
aegyptischer Priester anführen, welche ich weder allein noch zuerst erkannt
habe, sondern viele der jetzt Lebenden und der Früheren, unter denen auch
Pythagoras der Samier ist, der nach Aegypten kam und ihr Schüler wurde
und die fremde Philosophie zuerst zu den Griechen verpflanzte.«

Während der Aufenthalt des Pythagoras in Aegypten unter Anderen auch
noch von Strabon13 und Antiphon14 bestätiget wird, nennt uns Diodor15
eine ganze Reihe von [pg 011] Namen, indem er sagt; »Die aegyptischen
Priester nennen unter den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den
heiligen Büchern vormals zu ihnen gekommen seien, den Orpheus,
Musaios, Melampus und Daidalos, nach diesen den Dichter Homer, den
Spartaner Lykurgos, ingleichen den Athener Solon und den Philosophen
Platon. Gekommen sei zu ihnen auch der Samier Pythagoras und der
Mathematiker Eudoxos, ingleichen Demokritos von Abdera und
Oinopides von Chios. Von allen diesen weisen sie noch Spuren auf, von
den Einen Bildnisse von den Anderen Orte und Gebäude, die nach ihnen
benannt sind. Aus der Vergleichung dessen, was jeder von ihnen in seinem
Fache geleistet hat, führen sie den Beweis, dass sie Dasjenige um
desswillen sie von den Hellenen bewundert werden, aus Aegypten entlehnt
haben.« Aus diesen Stellen geht mit Sicherheit hervor, dass viele Griechen
nach Aegypten zogen, um bei den dortigen Priestern Philosophie und
Mathematik kennen zu lernen, da wohl in den Berichten nur die
hervorragenden Männer angeführt wurden.

Der Milesier Thales, welcher erst in vorgerücktem Alter, und nachdem er
als Handelsmann früher gewiss schon mehrmals Aegypten besucht gehabt,
sich daselbst behufs seiner Studien zu längerem Aufenthalt niederlies, ist
merkwürdiger Weise in dem Berichte des Diodor nicht angeführt, und
könnte man wohl aus diesem Umstande umsomehr einen gewissen Grad
von Unglaublichkeit ableiten, als darin mythische Namen wie Orpheus,

Daidalos und Homer angeführt erscheinen. Diese letzteren konnten jedoch
sehr wohl dem im Ganzen und Grossen sonst richtigen Verzeichnisse vom
Berichterstatter eigenwillig beigefügt worden sein, um dadurch das hohe
Alter aegyptischer Wissenschaft in ein vorteilhaftes Licht zu setzen.

[pg 12]
Abgesehen jedoch von aller Wahrscheinlichkeit oder Unwahrscheinlichkeit
für die Exactheit obiger Aussprüche in Bezug auf einzelne Namen, dürfte
jedenfalls das als unumstössliche Wahrheit gelten, dass die ägyptischen
Priester von den Griechen als in den Wissenschaften, insbesondere in der
Geometrie sehr bewandert gehalten wurden, und zwar in einem solchen
Maasse, dass eine Reihe hervorragender griechischer Philosophen es nicht
verschmähte, die, für damalige Verhältnisse nicht unbedeutende Reise nach
Aegypten zu unternehmen, ja oft jahrelang in diesem Lande mit
unbekannter Sprache und Schrift zu verweilen, um sich die Kenntnisse der
Aegypter anzueignen.

Stellt man nun zunächst die Frage nach Quantität und Qualität des
geometrischen Wissens, welches die Griechen von ihren Studienreisen mit
nach Hause brachten, so scheint dies, selbst vom Standpunkte der
unmittelbar nachpythagoräischen Geometrie, äusserst Weniges gewesen zu
sein.

Thales von Milet, einer der sieben griechischen Weltweisen, der Begründer
der ionischen Schule, Thales, welcher für das Jahr 585 v. Chr. G. eine, auch
eingetroffene Sonnenfinsterniss vorherzusagen wusste, soll, den uns von
Proklos zugekommenen Berichten zufolge, in Aegypten nicht viel mehr
erfahren haben, als die Sätze über die Gleichheit der Winkel an der Basis
eines gleichschenkligen Dreieckes, die Gleichheit der Scheitelwinkel am
Durchschnitt zweier Geraden; er wusste ferner, wie ein Dreieck durch eine
Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt erscheint, diese
Erörterung zur Messung der Entfernungen von Schiffen auf dem Meere
benützend, es war ihm bekannt, dass ein Kreis durch einen Durchmesser
halbirt wird,16 und soll er die Höhe der Pyramiden aus der Länge des
Schattens gemessen haben, höchst wahrscheinlich in dem Momente, wo die
[pg 13] Schattenlänge eines senkrechten Stabes der Stablänge gleich ist,17
möglicherweise jedoch, wie Plutarch18 berichtet, auch zu einer beliebigen

Tageszeit. Auch wird ihm von Pamphile19 die Kenntniss des Satzes
zugeschrieben, dass der Peripheriewinkel im Halbkreise ein rechter sei.
Gewiss hat Thales wenigstens jene geometrischen Fundamente in Aegypten
kennen gelernt, welche es ihm ermöglichten, die genannten Sätze als wahr
zu erkennen, wenn auch bei ihm, selbst bei diesen einfachen Dingen an
einen strengen Beweis nicht gedacht werden kann.

Es wäre jedoch voreilig, aus der Geringfügigkeit der Thaletischen
geometrischen Kenntnisse mit Montucla 20 zu schliessen, dass auch die
Aegypter nicht viel mehr gewusst hätten. Man kann wohl annehmen, dass
die aegyptischen Priester bei ihrer den Fremden gegenüber beobachteten
Zurückhaltung nur einen Theil ihres Wissens offenbarten; wer könnte
jedoch bemessen, in welchem Verhältnisse dieser Theil zu ihrem
Gesammtwissen stand? Der Ansicht Montucla's kann man entgegensetzen,
dass die Aegypter den Fremden nur einen kleinen Bruchtheil ihres sorgsam
im Verborgenen gehüteten Wissens preisgegeben haben mochten, wobei
ferner nicht unberücksichtigt bleiben darf, dass den nach Aegypten
gekommenen Griechen auch die Unkenntniss der Sprache und der Schrift
weitere, nicht zu unterschätzende Schwierigkeiten bereitete, in dem Maasse
als vielleicht Manches, was ihnen die aegyptischen Priester von
aegyptischem Wissen zur Verfügung stellten, unverstanden bleiben konnte.

Was nun das Wesen aegyptischer Geometrie betrifft, so finden wir in den
Berichten der Alten fast gar keine Anhaltspunkte, um uns hierüber Klarheit
verschaffen zu können, und war man bis vor Kurzem darauf hingewiesen,
aus den [pg 14] Anfängen griechischer Mathematik auf den Stand der
aegyptischen zurückzuschliessen, was, wie aus dem Vorhergesagten folgen
dürfte, mit nicht geringen Schwierigkeiten verbunden erscheint.

Die Ansicht, dass die Geometrie der Aegypter eigentlich nur constructiver
Natur war, ähnlich dem was wir als Reisskunst zu bezeichnen pflegen,21
dürfte sich nicht als stichhältig erweisen; es möge jedoch gleich jetzt darauf
hingedeutet werden, dass die Aegypter im Construiren geometrischer
Formen nicht unbewandert sein konnten.

So sagt in etwas prahlerischer Weise Demokritos von Abdera22 um 420
v. Chr. G.: »Im Construiren von Linien nach Maassgabe der aus den
Voraussetzungen zu ziehenden Schlüsse hat mich keiner je übertroffen,

selbst nicht die sogenannten Harpedonapten der Aegypter«; und Theon von
Smyrna23 erzählt, dass »Babylonier, Chaldäer und Aegypter eifrig nach
allerhand Grundgesetzen und Hypothesen suchten, durch welche den
Erscheinungen genügt werden könnte; zu erreichen suchten sie dies
dadurch, dass sie das früher Gefundene in Ueberlegung zogen, und über die
zukünftigen Erscheinungen Vermuthungen aufstellten, wobei die Einen sich
arithmetischer Methoden bedienten, wie die Chaldäer, die Anderen
construirender wie die Aegypter«.

Aus diesen und ähnlichen Berichten, sowie aus dem Umstande, dass die
Anfänge der griechischen Geometrie selbst hauptsächlich constructiver
Natur waren, muss man zu dem Schlusse kommen, dass die alten Aegypter
seit unvordenklichen Zeiten die Reisskunst pflegten, und in der langen
Reihe der Jahrhunderte sicherlich eine ziemlich bedeutende Masse sowohl
einfacher als complicirterer Constructionen erfanden und in ein gewisses
System brachten, von Ersteren [pg 15] zu Letzteren aufsteigend. Diese
Constructionen dürften ihrem grösseren Theile nach, und zwar jenem Theile
nach, welcher, wenn auch ohne Begründung Gemeingut der die Künste und
Gewerbe betreibenden Kasten wurde, nur solche gewesen sein, die dem
praktischen Bedürfnisse dienen konnten, also zumeist
Ornamentenconstructionen. Wir bemerken hier unter Anderem das
Vorkommen regelmässiger geometrischer Figuren auf uralten
Wandgemälden, wie sie sich z. B. als färbige Zeichnungen aus den Zeiten
der fünften Dynastie, also unmittelbar nach den Erbauern der Pyramiden,
das ist 3400 Jahre v. Chr. G. etwa vorfinden.24

Man sieht unter der grossen Menge der in dieser Zeit vorkommenden
Figuren eine, aus verschobenen, ineinander gezeichneten, theilweise durch
zu einer Diagonale Parallele zerlegten Quadraten zusammengesetzte Figur,
ferner aus der Zeit von der zwölften bis zur sechsundzwanzigsten Dynastie,
eine Figur, bestehend aus einem Quadrate, und zwei, längs der Diagonale
centrisch hineingelegten lemniscatischen Curven, sowie eine
Zusammenstellung von um fünfundvierzig Grade gegeneinander
verdrehten, sich durchsetzenden Quadraten. Kreise erscheinen durch ihre
Durchmesser in gleiche Kreisausschnitte getheilt; so zunächst durch zwei
oder vier Durchmesser in vier beziehungsweise acht, und in späteren Zeiten
auch durch sechs Durchmesser in zwölf gleiche Ausschnitte; die in den

Zeichnungen vorkommenden Wagenräder besitzen zumeist sechs, seltener
vier Speichen, so dass auch die Theilung des Kreises durch drei Diameter in
sechs gleiche Kreisausschnitte vertreten erscheint.

In einer unvollendet gebliebenen Kammer des Grabes Seti I., des Vater
Ramses II. aus der neunzehnten Dynastie (das sogenannte Grab Belzoni)25
finden wir die Wände behufs Anbringung von Reliefarbeiten mit einem
Netze gleich [pg 16] grosser Quadrate bedeckt, und es kann keinem Zweifel
unterliegen, dass wir es hier mit der Anwendung eines Verkleinerungs-
beziehungsweise Vergrösserungsmaassstabes zu thun haben.

Wenn nun auch die einfachen Figuren des Dreieckes, Quadrates und des
Kreises höchst wahrscheinlich ohne besondere Ueberlegung, einfach dem
inneren geometrischen Formendrange entsprungen sein dürften, so ist doch
gewiss, dass ihre verschiedenartige Zusammensetzung zu Mustern das
Product, wenn auch primitiven geometrischen Denkens war, welches dann
schon eine ziemliche Selbstständigkeit erreicht haben musste, als die
vorerwähnte Anwendung von Proportionalmaassstäben in Uebung kam.

Andererseits musste das öftere Betrachten der regelmässigen Figuren einen
geometrisch disponirten Geist von selbst zum Aufsuchen unbekannter
Eigenschaften derselben reizen, und vielleicht ist der Thaletische Satz von
der Halbirung des Kreises durch einen Durchmesser nichts als eine aus der
Betrachtung jener aegyptischen Zeichnungen gewonnene Abstraction, und
huldigen wir in dieser Beziehung der Ansicht, dass Thales beim
Ausspruche des erwähnten, für uns freilich höchst einfach klingenden
Satzes, wahrscheinlich sagen wollte, nur der Kreis habe die ausgezeichnete
Eigenschaft, von allen durch einen Punkt, den Mittelpunkt, gehenden
Geraden in lauter untereinander gleiche Hälften getheilt zu werden.

Von besonderer Wichtigkeit scheint uns jedoch der früher citirte
selbstgefällige Ausspruch des Demokritos zu sein, da er uns vor einer
ungerechtfertigten Unterschätzung aegyptischer Constructionsgewandtheit
bewahren kann. Bedenklich in Demokritos' Angabe könnte allenfalls jenes
Selbstlob erscheinen, das er sich spendet; wenn es nun [pg 17] wohl auch
schon im Alterthume Männer geben mochte, die ihre Berühmtheit
vorzugsweise und oft nur der Hochschätzung verdankten, die sie sich selbst
und ihren Werken gezollt, Männer, welche in der Verbreitung des eigenen

Lobes so emsig, so unermüdlich waren, dass sich um sie als die davon
Ueberzeugtesten noch ein Kreis von Gläubigen bildete, welche den, oft nur
auf schwankenden Füssen einhergehenden Ruhm ihrer Profeten weiter
führten, so ist doch die Bedeudung des Geometers Demokritos durch so
viele, und verschiedenen Quellen entspringende Aussprüche beglaubigt,
dass es gewiss Niemandem einfallen wird, seine Autorität als die eines
gründlichen Kenners der Geometrie seiner Zeit in Zweifel zu ziehen. Wohl
sind uns von den geometrischen Werken des Demokritos, und kaum von
allen nur die ganz allgemein klingenden Titel erhalten.

Während uns Cicero26 diesen Philosophen als einen gelehrten, in der
Geometrie vollkommen bewanderten Mann anpreist, theilt uns Diogenes
Laertius27 mit, dass Demokritos »über Geometrie«, »über Zahlen«, »über
den Unterschied des Gnomon oder über die Berührung des Kreises und der
Kugel«, sowie zwei Bücher »über irrationale Linien und die dichten Dinge«
geschrieben habe, Schriften, deren Titel theilweise uns über ihren Inhalt
ganz im Unklaren lassen. Legen wir den angeführten Zeugnissen Glauben
bei, und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so müssen wir von
Demokritos als von einem »in der Geometrie vollkommenen Manne«
voraussetzen, dass er mit den Errungenschaften des Pythagoras, welcher
ein Jahrhundert vor Demokritos Aegypten besucht hatte, vollkommen
vertraut war. Gewiss war ihm somit bekannt: die Methode der »Anlegung
der Flächen«, welche wieder die Vertrautheit mit den Hauptsätzen aus der
Theorie der Parallelen und der [pg 18] Winkel, so wie die Kenntniss der
Abhängigkeit der Flächeninhalte von den ihnen zukommenden Ausmaassen
voraussetzt. Nicht minder bekannt mussten ihm die, dem Pythagoras
zugeschriebenen Constructionen der fünf regelmässigen, sogenannten
kosmischen Körper sein, woraus sich weiter schliessen lässt, dass auch
einerseits die Eigenschaften der Kugel, welcher doch jene Körper
eingeschrieben wurden, und anderseits die Entstehungen der regelmässigen,
jene Körper begrenzenden Vielecke, vor Allem die des Fünfeckes dem
Demokritos nicht ungeläufig sein konnten. Die Construction des Letzteren
erheischt wiederum die Kenntniss der Lehre vom goldenen Schnitt, und
diese den Satz vom Quadrate der Hypothenuse28. Hat nun Demokritos auch
selbst nichts Neues hinzugefügt, so musste er doch Jenes kennen; wenn er
nun anderseits sagt: »im Construiren hätte ihn Niemand, selbst nicht die
Harpedonapten der Aegypter übertroffen«, so dürfen wir hieraus mit

Sicherheit schliessen, dass die geometrischen Kenntnisse der aegyptischen
Priester bedeutend genug gewesen sein mussten, weil sich Demokritos
sonst kaum gerade über diese Geometer gesetzt hätte.

Doch verlassen wir für jetzt die Nachrichten des griechischen Alterthums,
welche in der Beurtheilung aegyptischer Geometrie nur Conjecturen
zulassen, und blicken wir nach directen Denkmalen aegyptischen
Ursprungs, aus denen vielleicht Schlüsse gezogen werden könnten auf
Wesen und Umfang aegyptischer Geometrie.

Das Britische Museum bewahrt eine Papyrusrolle, welche aus dem
Nachlasse des Engländers A. Henry Rhind stammt, die derselbe nebst
anderen werthvollen Rollen in Aegypten käufllich an sich gebracht haben
dürfte. Der erwähnte Papyrus, ein altes Denkmal ägyptischer Mathematik,
ist, wie es scheint, nicht mit vollster Berechtigung als ein [pg 19]
»mathematisches Handbuch« der alten Aegypter bezeichnet worden29. Der
fragliche Papyrus nennt sich selbst eine Nachahmung älterer
mathematischer Schriften, denn es heisst in der Einleitung: »Verfasst wurde
diese Schrift im Jahre dreiunddreissig im vierten Monat der Wasserzeit
unter König Ra-ā-us, Leben gebend nach dem Muster alter Schriften in den
Zeiten des Königs …ât vom Schreiber Aahmes verfasst die Schrift.«

Nachdem zuerst Dr. Birch30 auf diesen mathematischen Papyrus durch
einen kurzen vorläufigen Bericht aufmerksam gemacht hatte, wurde der
Gegenstand von dem ausgezeichneten Heidelberger Aegyptologen Dr.
Eisenlohr einer eingehenden, höchst schwierigen und zeitraubenden
Untersuchung unterzogen, deren Resultate, was die Uebersetzung betrifft,
unseren gegenwärtigen Betrachtungen zu Grunde liegen. Bezüglich des
Alters des Papyrus hat man jenes der vorhandenen Abschrift von dem Alter
des unbekannten Originals zu unterscheiden. Nach der von Eisenlohr
gegebenen Vervollständigung der in der erwähnten Einleitung auf das Wort
König folgenden Lücke, würde der Herrscher, unter dessen Regierung das
Original entstanden ist, der König Ra-en-mat sein, dessen Regierungszeit
Lepsius31 auf 2221–2179 v. Chr. G. legt. Da ferner der Name Ra-a-us in
den bis dahin vorhandenen Königslisten nicht vorkommt, sah man sich, um
die Zeit der Entstehung der Abschrift wenigstens annähernd angeben zu
können, darauf angewiesen, aus der bekannten Sitte der Aegypter die

Eigennamen der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen
Regenten zu gebrauchen, Schlüsse zu ziehen. Und da liess der Name
Aahmes des Schreibers, sowie auch die (althieratische) Schrift des Papyrus
vermuthen, dass derselbe um 1700 v. Chr. G. entstanden sein dürfte. Die
Vermuthung [pg 20] in Bezug auf das Zeitalter der Abschrift hat sich nun
neueren Forschungen zu Folge vollkommen bestätigt. Denn Ra-a-us wurde
als der Hyksoskönig Apophis erkannt, und Aahmes dürfte seinen Namen
von dem, kurze Zeit dem Apophis vorhergegangenen Könige Amasis
entlehnt haben.

Es erscheint so vollkommen sichergestellt, dass unser Papyrus aus dem
achtzehnten Jahrhundert v. Chr. G. stammt. Die Eingangsworte des
Papyrus, welche lauten: »Vorschrift zu gelangen zur Kenntniss aller
dunklen Dinge, aller Geheimnisse, welche enthalten sind in den
Gegenständen«, sowie die Anordnung des Stoffes in Arithmetik,
Planimetrie und Stereometrie, an welche sich ein, verschiedene Beispiele
enthaltender Theil anschliesst, konnten im ersten Augenblicke den
Gedanken aufkommen lassen, dass wir es vielleicht mit einem Lehrbuche
der Mathematik zu thun haben. Der Umstand jedoch, dass der Papyrus nur
die Zusammenstellung, allerdings eine in gewissem Grade systematische
Zusammenstellung von Aufgaben nebst ihren Lösungen und den
zugehörigen Proben ist, ohne dass Definitionen oder Lehrsätze und Beweise
vorkommen würden, liess den Papyrus wiederum als eine
Aufgabensammlung, als ein Anleitungsbuch für Praktiker erscheinen. Man
ist noch weiter gegangen, und stellte die Ansicht auf, der Autor habe bei
Abfassung dieser Schrift vorzüglich an Landleute, welchen die Theorie
unzugänglich war, gedacht. Daraufhin weise nicht nur die Formulirung des
grössten Theiles der Aufgaben, welche Verhältnisse und Bedürfnisse der
Landwirthschaft berücksichtigen, sondern auch der Schlusssatz des
Papyrus, welcher sagt: »Fange das Ungeziefer und die Mäuse, (vertilge) das
verschiedenartige Unkraut, bitte Gott Ra um Wärme, Wind und hohes
Wasser«.

[pg 21]
Dass wir es nicht mit einem Handbuche, welches dem damaligen
Standpunkte der mathematischen Wissenschaften in Aegypten entsprechen
müsste, zu thun haben, ergibt sich nicht nur aus dem schon

hervorgehobenen Mangel an Definitionen, Lehrsätzen und Beweisen, ja es
fehlt selbst jede Erklärung, sondern auch aus dem Umstände, dass neben
der richtigen Lösung einzelner Aufgaben die unrichtigen oder
unvollendeten Lösungen derselben oder ähnlicher Aufgaben, sowie manche
Wiederholungen vorkommen. Nur nebenbei verweisen wir darauf, dass in
einem Handbuche unzweifelhaft wenigstens Anklänge an die erste der
Wissenschaften des Alterthums, an die Astronomie, zu finden sein müssten.
Doch ist von diesem Theile der Mathematik im Papyrus nicht die geringste
Spur zu finden. Aufklärungen über den wahren Charakter des Originals
unseres Papyrus, und eine viele Wahrscheinlichkeit besitzende Vermuthung
über die Entstehung der uns beschäftigenden Abschrift, verdanken wir dem
Scharfsinne des französischen Aegyptologen Eugène Revillout.32

Bei richtiger Erwägung des Umstandes, dass oft auf ein fehlerlos gelöstes
Beispiel, falsche Lösungen ähnlicher Beispiele folgen, welchen sich dann
gewöhnlich eine Reihe von Uebungsrechnungen anschliesst, Rechnungen
die einem Schulpensum in hohem Grade ähnlich sehen, bei Betrachtung der
Thatsache ferner, wie ein und dasselbe Zahlenbeispiel oft einigemal und
zwar so behandelt wird, dass der Reihe nach die vorkommenden
Zahlenwerthe als die berechneten Resultate erscheinen, drängt sich uns mit
Eugène Revillout die Ueberzeugung auf, dass wir es mit dem Uebungs-
oder Aufgabenhefte eines Zöglings jener Unterrichtshäuser (a·sbo) zu thun
haben, wie deren in so manchem Papyrus Erwähnung geschieht, und in
denen die Schüler, welche später Landwirthe, Verwalter, Feldmesser oder
Constructeure werden [pg 22] wollten, mit den für ihre künftige Laufbahn
notwendigen Rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden. Da dieses
Schulheft selbstverständlich nicht für die Oeffentlichkeit bestimmt sein
konnte, so trägt es auch thatsächlich keinen Autornamen und keine
Jahresangabe; denn, was die in der Einleitung bezüglich der Zeitperiode, in
welcher das Original entstanden sein sollte, gemachte Erwähnung betrifft,
so ist mehr als wahrscheinlich, dass dieselbe von dem Abschreiber Aahmes
herrührt, welcher das Original einige Jahrhunderte nach seiner Entstehung
auffand, und dasselbe, der Mathematik gewiss ganz unkundig, sammt allen
Fehlern abschrieb, zu diesen noch neue hinzufügend. Nachdem Aahmes
aus der Aehnlichkeit der Schriftart des mathematischen Heftes mit der
Schrift anderer ihm bekannten Papyri auf das Alter des ersteren einen im
Ganzen und Grossen nicht unrichtigen Schluss gezogen haben mochte, so

können wir das Ende, vielleicht auch die Mitte des dritten Jahrtausends
v. Chr. G. als jene Zeit betrachten, in welcher das Original der Abschrift
entstanden sein dürfte. Ob Aahmes die Abschrift mit der viel
versprechenden Einleitung und der zugleich praktischen und
gottesfürchtigen Schlussregel in der Absicht versehen hatte, um sie an
irgend einen einfachen aegyptischen Landmann um gutes Geld
anzubringen, lassen wir dahingestellt, und wiederholen nur unsere
Uebereinstimmung mit der Ansicht, dass das Original des Papyrus neben
den von einem Lehrer der Mathematik herrührenden Musterbeispielen, die
sehr oft verunglückten Uebungen eines Schülers enthält, eines Schülers
überdies, der nicht zu den hervorragenden seiner Glasse gehört haben
mochte. Und wie kostbar ist dennoch dieses altägyptische Schulheft! Wenn
wir in aller Eile eine Skizze seines Inhaltes vorführen sollen, so müssen wir
zunächst die sich auf acht Columnen der oben [pg 23] erwähnten Einleitung
anschliessende Theilung der Zahl 2 durch die Zahlen von 3 bis 99
erwähnen; jeder auftretende Bruch erscheint in zwei bis vier sogenannte
Stammbrüche, Brüche mit dem Zähler Eins, zerlegt, und sind die Nenner
der letzteren meist gerade Zahlen mit einer grösseren Divisorenanzahl. Im
Anschluss an diese Tabelle finden wir sechs Beispiele, in denen in Form
von Brodvertheilungen die Division der Zahlen l, 3, 6, 7, 8 und 9 durch die
Zahl 10 gelehrt wird, und es folgt hierauf in 17 Beispielen die sogenannte
Sequem- oder Ergänzungsrechnung, in welcher es sich darum handelt,
Zahlenwerthe zu finden, die mit gegebenen Werthen durch Addition oder
Multiplication verbunden, andere gegebene Zahlenwerthe liefern. Die
nächsten 15 Beispiele gehören der sogenannten Haurechnung an, und
finden wir in diesem Abschnitte die Lösungen linearer Gleichungen mit
einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten Tunnu- oder
Unterschiedsrechnung angehörige Beispiele belehren uns darüber, dass den
alten Aegyptern der Begriff arithmetischer Reihen nicht fremd war. Es
folgen nun sieben Beispiele über Volumetrie, ebensoviele über Geometrie
und fünf Beispiele über Berechnungen von Pyramiden, also 19 Aufgaben
über die wir später noch einige Worte sagen müssen.

Hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen Materien
entlehnte, Fragen des bürgerlichen Lebens betreffende Beispiele, wie die
Berechnung des Werthes von Schmuckgegenständen, abermals
Vertheilungen von Broden oder von Getreide, Bestimmung des auf einen

Tag entfallenden Theiles eines Jahresertrages, Berechnungen von
Arbeitslöhnen, Nahrungsmitteln sowie des Futters für Geflügelhöfe. Einer
besonderen Ankündigung werth erscheinen uns in dieser letzten Abtheilung
zwei Beispiele; das eine derselben33 [pg 24] lässt keinen Zweifel darüber
aufkommen, dass den alten Aegyptern die Theorie der arithmetischen
Progressionen vollkommen geläufig war, während wir in dem zweiten34
unter der Aufschrift »eine Leiter« die geometrische Progression von 7 hoch
1 bis 7 hoch 5 nebst deren Summe vorfinden, wobei die einzelnen Potenzen
eigene Namen: an, Katze, Maus, Gerste, Maass zu führen scheinen.

Nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den Haurechnungen auftretende
Benützung mathematischer Zeichen; so nach links oder rechts
ausschreitender Beine für Addition und Subtraction, drei horizontale Pfeile
für Differenz, sowie endlich ein besonderes, dem unseren nicht unähnliches
Gleichheitszeichen.

Aus dem geometrischen Theile heben wir zunächst, der Anordnung des
Papyrus nicht folgend, die Flächenberechnungen von Feldern hervor. Die
vorkommenden Beispiele beziehen sich auf quadratische, rechteckige,
kreisrunde und trapezförmige Felder, deren Flächeninhalte aus ihren
Längenmaassen bestimmt werden. Nachdem in den Aufgaben über die
Berechnung des Fassungsvermögens von Fruchtspeichern mit quadratischer
Grundfläche diese letztere gefunden wird durch Multiplication der
Maasszahl der Seite mit sich selbst, kann es gar keinem Zweifel
unterliegen, dass auch die Fläche des Rechteckes durch Multiplication der
Maasszahlen zweier zusammenstossender Seiten erhalten wurde, da die
Erkenntniss der Richtigkeit der einen Bestimmungsart, jene der Richtigkeit
der anderen involvirt.

Schon die Betrachtung solcher Proportionalmaassstäbe, wie wir sie im
Grabe Belzoni bemerken konnten, hätte die alten Aegypter, die mit
Gleichungen und arithmetischen Reihen umzugehen wussten, auf die
Bestimmung der Fläche eines Rechteckes aus seinen beiden Seitenlängen
mit Nothwendigkeit [pg 25] führen müssen, und werden wir uns durch den
Umstand, dass im Papyrus der diesbezüglichen Aufgabe eine zu ihr nicht
gehörige Lösung beigefügt ist, durchaus nicht beirren lassen.

Von hohem Interesse ist die, an mehreren Stellen des Papyrus
vorkommende Methode der Flächenberechnung eines Kreises, welche zeigt,
dass die alten Aegypter mit ziemlicher Annäherung den Kreis zu quadriren
wussten, in der That zu quadriren, weil sie aus dem Durchmesser eine
Länge ableiten, welche als Seite ein Quadrat liefert, dessen Fläche jener des
Kreises gleichgesetzt wurde. Da sie acht Neuntel des Durchmessers zur
Seite jenes Quadrates machten, so entspricht dies einem Werthe der
Ludolphischen Zahl, welcher dem richtigen Werthe gegenüber um nicht
ganz zwei Hundertstel (um 0,018901) zu hoch gegriffen erscheint; für das
dritte Jahrtausend v. Chr. G. und im Vergleiche zu dem Werth π = 3 der
Babylonier, und noch mehr im Vergleiche zu dem Werthe π = 4 späterer
römischer Geometer, jedenfalls eine nicht zu unterschätzende Annäherung
an den richtigen Werth.

Eine Aufgabe behandelt die Flächenbestimmung des Dreieckes, wobei das
Resultat als das Product zweier Seitenlängen gefunden wird. Die hier
beigefügte Figur35, welche in Wirklichkeit ein ungleichseitiges
langgestrecktes Dreieck darstellt, kann ebensowohl als die verfehlte
Zeichnung eines rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen
Dreieckes betrachtet werden.

Letztere Annahme ist von Eisenlohr gemacht und von Cantor36 acceptirt
worden. Darnach würde sich die Methode der Dreiecksberechnung der alten
Aegypter nur als eine Näherungsmethode darstellen, und ist auch von
beiden genannten Gelehrten der begangene, in diesem Falle in der That
nicht bedeutende Fehler ermittelt worden.

[pg 26]
Wir sind dagegen mit Revillout anderer Meinung.

Mit Rücksicht auf den von uns klar erkannten Charakter des Originales des
Papyrus als eines sehr ungenauen Collegienheftes, dessen Rechnungen
ebensosehr wie die vorkommenden Zeichnungen von der Mittelmässigkeit
seines Zusammenstellers beredtes Zeugniss ablegen, zweifeln wir keinen
Augenblick, dass die fragliche Figur ein rechtwinkliges Dreieck
vorzustellen hatte. Die mangelhafte Schülerzeichnung ist durch den
Copisten Aahmes nur noch schlechter geworden. Dass ein rechtwinkliges
Dreieck gemeint sein soll, erkennt man übrigens auch aus dem Umstande,

dass in der Figur die Maasszahlen der multiplicirten Seiten bei den
Schenkeln des, vom rechten Winkel nur wenig differirenden Winkels
angesetzt sind, wo doch, wenn es sich hätte um ein gleichschenkliges
Dreieck handeln sollen die Maasszahl der Schenkel in der Figur gewiss bei
beiden Schenkeln zu finden wäre. Dieselben Gründe bestimmen uns zu der
Annahme, dass die im Papyrus befindliche Flächenberechnung eines
Trapezes eine vollkommen richtige ist, indem es sich auch hier nur um ein
Trapez handeln kann, dessen zwei parallelen Seiten auf einer der nicht
parallelen Seiten senkrecht stehen. Und warum sollten denn die alten
Aegypter nicht die richtige Art der Flächenberechnung auch beliebiger
Dreiecke gekannt haben?

Konnte man einmal die Fläche eines Rechteckes genau bestimmen, so
musste sich durch einfache Anschauung eines, durch eine Diagonale
zerlegten Rechteckes, von selbst die Regel zur Flächenbestimmung des
rechtwinkligen Dreieckes ergeben; und wurde nun ein beliebiges
schiefwinkliges Dreieck durch ein Höhenperpendikel in zwei rechtwinklige
zerlegt, so war nichts leichter als die allgemeine Regel zur Bestimmung der
Dreieckfläche aus Basis und Höhe (tepro [pg 27] und merit) zu entwickeln.
Dass die Gewinnung des Höhenperpendikels sowohl bei Constructionen als
auch auf dem Felde den alten Aegyptern nicht unmöglich war, folgt
zunächst aus der grossen Bedeutung der Winkelmaasses (hapt) für alle
Operationen der praktischen Geometer Aegyptens. Nicht nur, dass wir in
vielen aegyptischen Documenten das Winkelmaass erwähnt finden, sieht
man auch Könige abgebildet, das Winkelmaass in der Hand, welches von
ihnen vielleicht in derselben Weise durch symbolische Benützung geehrt
wurde, wie der Kaiser von China alljährlich einmal den Pflug zu führen
pflegt. Ein solches Winkelmaass sieht man übrigens auch auf einem
Wandgemälde abgebildet, das eine Schreinerwerkstätte darstellt,37 und es
unterliegt keinem Zweifel, dass dasselbe ebensowohl zur Anlegung rechter
Winkel als zum Fällen von Senkrechten benützt worden ist. Aber auch auf
freiem Felde musste den Aegyptern die Construction rechter Winkel
geläufig sein; sowohl die Pyramiden als auch die aegyptischen Tempel sind
vollkommen orientirt, und wurde, wie uns alte Inschriften38 belehren, die
Orientirung in festlicher Weise vom Könige unter Beihilfe der
Bibliotheksgöttin Safech vollzogen, mit den Worten: »Ich habe gefasst den
Holzpflock und den Stiel des Schlägels, ich halte den Strick

gemeinschaftlich mit der Göttin Safech. Mein Blick folgt dem Gange der
Gestirne. Wenn mein Auge an dem Sternbilde des grossen Bären
angekommen ist, und erfüllt ist der mir bestimmte Zeitabschnitt der Zahl
der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte Deines Gotteshauses.«

In welchem Maasse bei diesen Operationen die von Demokritos so
hochgestellten Harpedonapten oder Seilspanner betheiligt waren, hat
Cantor39 in höchst scharfsinniger Weise zu beleuchten versucht, und es
erscheint auch uns wahrscheinlich, dass sich die alten Aegypter beim [pg
28] Construiren rechter Winkel sowie beim Fällen von Senkrechten auf dem
Felde, der Thatsache bedienten, dass der eine Winkel in einem, die
Seitenlängen drei, vier und fünf besitzenden Dreiecke, ein rechter Winkel
sein müsse. Musste ja doch dieser Satz seit unvordenklichen Zeiten auch
den Chinesen bekannt sein, da wir ihn in der bei ihnen so berühmten Schrift
Tschiu-pī finden, welche mehrere Jahrhunderte v. Chr. G. entstanden, auf
den Kaiser Tschīu-Kung also in das Jahr 1100 v. Chr. G. etwa
zurückgeführt wird.40 Uebrigens konnten directe Messungsversuche an
diagonalen Linien in den Proportionalmaassstäben sowohl zu dem
erwähnten als auch noch zu anderen rechtwinkligen Dreiecken mit
rationalen Seitenlängen geführt haben, und scheint uns die Möglichkeit
nicht ausgeschlossen, dass der berühmte und berüchtigte Satz des
Pythagoras über die Quadrate der Katheten und der Hypothenuse einer
eingehenden Untersuchung solcher Proportionalmaassstäbe entsprungen ist.

Wenn wir nun einerseits behaupten, dass die alten Aegypter nicht nur die
Fläche des Kreises, des Quadrates, des Rechteckes, des rechtwinkligen
sowie des schiefen Dreieckes, und unter Zuhilfenahme der Zerlegungen
auch die Flächen beliebiger Polygone theoretisch genau zu bestimmen im
Stande waren, mit Ausnahme der auch für uns eine solche bildenden
Kreisfläche, so muss doch anderseits zugestanden werden, dass man sich
bei praktischen Anwendungen mit Näherungen begnügte, welche im Laufe
der Zeiten so ausarteten, dass der Gebrauch falscher Regeln ein allgemeiner
wurde.

Am linken Nilufer in der Mitte zwischen Theben und Assuan liegt Edfu,
das alte Appollinopolis Magna mit einem stattlichen Tempelbau aus den
Zeiten der Ptolomäer. [pg 29] Der Tempel, hauptsächlich dem Gotte Horus

geweiht, ist mit einer freistehenden Umfassungsmauer umgeben,41 deren
Ostseite zwischen dem Brunnenthore und dem östlichen Pylonflügel eine
Inschrift trägt, welche uns auf acht Feldern und in hundertvierundsechzig
Columnen42 eine Schenkungsurkunde des Königs Ptolomäus XI.
Alexander I. (mit dem Beinamen Philometor) bekannt gibt. Das
Geschenk, welches hier Horus und den übrigen Göttern von Edfu verliehen
wird, besteht aus einer Anzahl von meist viereckigen Aeckern, deren vier
Seitenlängen nebst Flächeninhalten angegeben erscheinen.

Da jeder der vorkommenden Flächeninhalte identisch ist mit dem Producte
der arithmetischen Mittel der beiden Gegenseitenpaare, so wurde nach
Lepsius die Vermuthung aufgestellt, die alten Aegypter hätten, um Vierecke
bei der Flächenbestimmung annähernd wie Rechtecke behandeln zu
können, den Unterschied der Gegenseiten dadurch auszugleichen gesucht,
dass sie die arithmetischen Mittel derselben in Rechnung zogen.

Bei sehr vielen der in der Edfuer Schenkungsurkunde vorkommenden
Vierecke ist der Unterschied je zweier Gegenseiten entweder Null oder
verhältnissmässig so klein, dass man den betreffenden Vierecken eine vom
Rechtecke wenig verschiedene Gestalt beilegen kann, und die erhaltenen
Resultate somit eine ziemliche Annäherung an den richtigen Flächenwerth
darstellen dürften, nach dem man mit Rücksicht auf die bei Sesostris
bemerkte Eintheilung des Landes in Rechtecke voraussetzen darf, gerade
diese oder eine ihr zunächst kommende Form der Felder sei die auch
damals schon beliebte gewesen.

Doch kommen auch Vierecke vor, wo der Längenunterschied der
Gegenseiten ein bemerkenswerther ist; ja es werden [pg 30] auch Dreiecke
als Vierecke mit einer verschwindenden Seite behandelt, so dass der
begangene Fehler in manchen Fällen ein nicht unbedeutender ist.

Nur nebenbei bemerken wir, dass man dieselbe unrichtige Flächenformel
für das Viereck erhält, wenn man dasselbe zunächst durch eine Diagonale in
zwei Dreiecke zerlegt, auf jedes dieser Dreiecke die unrichtige
Flächenformel, die den Inhalt als das halbe Product der beiden Seiten
liefert, anwendet, die beiden so erhaltenen Dreiecksflächen addirt und dann
aus dieser Summe und jener, welche man bei dem ähnlichen Vorgange

durch Zerlegung mittelst der zweiten Diagonale erhält, das arithmetische
Mittel construirt.

Nimmt man mit Eisenlohr und Cantor an, dass die Aegypter die
Dreiecksfläche wirklich dem halben Producte zweier Seiten gleichsetzten,
so steht man vor der Frage, warum nicht in derselben Art die Flächen der in
der Edfuer Schenkungsurkunde auftretenden Dreiecke bestimmt
erscheinen?

Uebrigens wolle man sich darüber nicht wundern, dass es überhaupt
möglich war, die Flächenberechnungen im praktischen Leben nach einer so
falschen Methode durchzuführen. Wissen wir doch, dass im Alterthume, zur
Zeit Platons, einer der gebildetsten Männer, einer der hervorragendsten
Geschichtschreiber, dass Thukydides43 in seiner Unkenntniss der
Beziehung zwischen Flächeninhalt und Umfang, die Fläche einer Insel nach
der zu ihrer Umschiffung nothwendigen Zeit zu bestimmen suchte; in der
Geometrie Gerbert's,44 des nachmaligen Papstes Silvester II. finden wir,
1000 Jahre nach Chr. G., die Fläche eines gleichschenkligen Dreieckes
durch Multiplication des Schenkels mit der halben Basis berechnet, wo
doch schon Hero von [pg 31] Alexandrien45 1100 Jahre früher die richtige
Formel für diese Berechnung kennt.

Wir berühren diese Thatsachen, und könnten noch eine ganze Reihe
ähnlicher Beispiele anführen, nur um zu zeigen, wie übereilt es wäre, aus
den oft nur schwache Annäherungen liefernden Berechnungen der Edfuer
Schenkungsurkunde schliessen zu wollen, die richtigen Methoden seien den
in die Wissenschaften eingeweihten aegyptischen Priestern nicht bekannt
gewesen.

Doch zurück zum Papyrus Rhind.

Wir übergehen die Inhaltsbestimmungen von Fruchthäusern, bei denen der
Inhalt durch Multiplication einer Fläche mit einer Länge bestimmt wird,
weil wir es für müssig halten, Erörterungen darüber anzustellen, welche
Flächen und Längen hiebei gemeint sind, so lange uns über die Form jener
Fruchthäuser oder Speicher nichts bekannt ist.

Dagegen erwecken die im Papyrus vorkommenden Pyramiden-
Berechnungen das höchste Interesse, besonders nach den glänzenden
Untersuchungen, welchen Revillout diesen Gegenstand unterzogen hat, und
deren Resultate wir, entgegen der von Eisenlohr ausgesprochenen und auch
von Lepsius46 acceptirten Ansicht als solche betrachten, welche in einfacher
und natürlicher Weise die sogenannte Seket-Rechnung der alten Aegypter
beleuchten.

Es wird in diesen Rechnungen die Böschung der Seitenflächen einer
quadratischen Pyramide dadurch fixirt, dass jener Theil der Länge eines der
beiden gleichlangen Schenkel des Winkelmaasses berechnet wird, der sich
zur Länge des anderen Schenkels so verhält, wie die halbe Länge der
Basisseite der quadratischen Pyramide zur Höhe derselben.

[pg 32]
Zu dem Behufe war der eine der beiden Schenkel des Winkelmaasses in
eine gewisse Anzahl gleich grosser Theile getheilt, während der andere
Schenkel, der Pyramidenhöhe entsprechend, und als Einheit betrachtet,
ungetheilt blieb.

Um nun den sogenannten Seket zu bestimmen, wurde die halbe Länge der
Basisseite durch die Pyramidenhöhe dividirt und mit dem erhaltenen
Quotienten die Anzahl der Theile des horizontalen, getheilten Schenkels des
Winkelmaasses multiplicirt.

Es war somit der Seket (welcher in derselben Art für einen geraden
Kreiskegel aus dem Durchmesser der Basis und der Höhe bestimmt
erscheint) als Verhältniss aufgefasst, die goniometrische Cotangente des
Neigungswinkels der Seitenfläche der Pyramide, respective der Kegelkante
zur Basis.

Wenn wir selbstverständlich weit davon entfernt sind, hierin vielleicht
Anfänge der Trigonometrie sehen zu wollen, so erkennen wir doch
anderseits, dass den alten Aegyptern auch die Lehre proportionaler Linien,
wenigstens in ihren Anwendungen, bekannt gewesen sein musste, und
erscheint uns auch der am Eingange erwähnte Ausspruch über die dem
Milesier Thales zugeschriebene Höhenmessung der Pyramiden als ein ganz

glaubwürdiger, wenn wir sehen, wie im Papyrus von den drei Werthen:
Basis, Höhe, Seket, jeder aus den beiden anderen berechnet erscheint.

Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Betrachtungen zusammen, so
müssen wir aus der quellenmässig erwiesenen grossen Bewunderung,
welche die ausgesprochen geometrisch hochentwickelten Griechen den
aegyptischen Geometern rückhaltlos zollten, wir müssen aus der
unanfechtbaren Thatsache, dass griechische Geometer den Grund zu ihren
Kenntnissen und Entdeckungen in Aegypten suchten und fanden, wir
müssen im Hinblicke auf das, aus der nun vollends [pg 33] entzifferten[42]
Edfuer Schenkungsurkunde sich mit Sicherheit ergebende ausgebreitete
und fest organisirte Katasterwesen der alten Aegypter, welches zugleich mit
den zahlreichen, dem öffentlichen Leben dienenden Land- und
Wasserbauten auf eine verhältnissmässig bedeutend entwickelte
Vermessungskunde hinweist, wir müssen endlich aus dem von uns
besprochenen Papyrus, der sich als eine ungenaue Abschrift eines
mangelhaften, aus dem dritten Jahrtausend vor Chr. G. stammenden,
mathematischen Collegien- oder Aufgabenheftes erweist, und aus dessen
Vorhandensein sich fast mit Gewissheit auf damals existirende, neben den
Regeln auch ihre Ableitungen enthaltende Lehrbücher schliessen lässt, wir
können und müssen aus allen diesen Umständen den allgemeinen Schluss
ziehen, dass bereits drei Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung sowohl die
arithmetischen, als auch die geometrischen Kenntnisse der Aegypter, einen
für dieses Zeitalter bedeutenden Grad der Entwicklung besassen.

Insbesondere können wir in jenen fernen Zeiten eine staunenswerth
weitgehende Annäherung bei der Berechnung der Kreisfläche beobachten,
wir finden mit vollständiger Sicherheit richtige Flächenbestimmungen des
Quadrates, Rechteckes und des rechtwinkligen Dreieckes; höchst
wahrscheinlich auch richtige Bestimmungen der Flächen schiefwinkliger
Dreiecke und Vierecke, welche im praktischen Leben durch leichter zu
handhabende Annäherungsformeln ersetzt wurden; wir sehen
Bestimmungen des Rauminhaltes durch ihre Dimensionen gegebener
Körper und erkennen die Anfänge der Aehnlichkeitslehre.

Was das geometrische Zeichnen betrifft, so kennen wir schon die
Construction der früher beobachteten regelmässigen Figuren und dürfen

weiter vermuthen, dass die Anlegung [pg 34] rechter Winkel und das Fällen
von Senkrechten sowohl mittelst des Winkelmaasses als auch mittelst
rationaler rechtwinkliger Dreiecke bekannt, und die Zerlegung gegebener
Flächen behufs ihrer Inhaltbestimmung in allgemeiner Verwendung war.

Gewiss werden auch theoretische Resultate bekannt gewesen sein; so die
Hälftung des Kreises durch seinen Durchmesser, die sich aus der
besprochenen Seketrechnung von selbst ergebende Winkelgleichheit an der
Basis gleichschenkliger Dreiecke und gleichseitiger quadratischer
Pyramiden, und wohl noch manches Andere.

Möge es gelingen, durch Auffindung neuer, sowie durch Entzifferung der,
noch ihrer Erklärung harrenden Denkmale und Schriften, von welchen
letzteren, Dank der hohen Munificenz des Erlauchten Curators unserer
Akademie, auch Wien eine imposante Zahl aufweisen kann, möge es so
gelingen noch weitere Anhaltspunkte für die Kenntniss der mathematischen
Thätigkeit des uns bekannten ältesten Culturvolkes, der Aegypter zu
gewinnen!

Diesen unseren Wunsch theilen gewiss Alle, denen die Erforschung der
Culturgeschichte des menschlichen Geschlechtes nicht ohne Wichtigkeit
erscheint!

1. Herodot, Reisebericht, II, 109.
2. Isokrates, Busiris, c. 9.
3. Platonis Phaedrus, ed. Ast. I. p. 246.
4. Aristoteles, Metaph. I, 1.
5. Diodor, I, 69.
6. Herodot l. c.
7. Heronis Alexandr. geom. et stereom. reliquiae, ed. Hultsch. p.
138.

8. Diodor, I, 81.
9. Strabon, ed. Meinike, lib. XVII, C. 787, p. 1098.
10. Eudemi Rhodii Peripatetici fragmenta quae supersunt. ed. L.
Spengel. Berlin 1870.
11. Procl. comment. ed. Rasil. p. 19; Barocius p. 37.
12. Isokrates, Busiris, cap. 11.
13. Strabon, XIV, 1. 16.
14. Porphyrius, De vita Pythagorae cap. 7; Diogenes Laertius, VIII,
3.
15. Diodor, I, c. 96.
16. Proklos, ed. Friedlein, 250, 299, 352, 157.
17. Diogenes Laertius, I, 27. Plinius, Hist. nat. XXXVI, 12, 17.
18. Plutarch, ed. Didot. Vol. 2, III, p. 174.
19. Diogenes Laertius I, 24–25.
20. Montucla, Hist. d. math. 2. édit. t. I, p. 49.
21. Bretschneider, Die Geometrie und die Geometer vor Euklides, p.
11. Dem Werke Bretschneiders, sowie jenem Cantor's:
Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, sind die
grundlegenden Gedanken entnommen.
22. Clemens Alexandrinus, Stromata, ed. Potter, I, 357.
23. Theon Smyrnaios, lib. de astron. ed. Martin, p. 272.
24. Prisse d'Avennes, Hist. de l'art Egypt. d'après les monuments.
25. Wilkinson, Manners and customs of the ancient Egyptians, III, p.
313.
26. Cicero, De finibus bonorum ed malorum I, 6, 20.
27. Diogenes Laertius IX, 47.
28. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, I, p. 144–
159 (Leipzig 1880).
29.

Eisenlohr, Ein math. Handbuch der alten Aegypter. Leipzig
1877.
30. Birch, in Lepsius' Zeitschrift für ägypt. Sprache und Alterthum,
1868, p. 108.
31. Lepsius, ägypt. Zeitschrift, 1871, p. 63.
32. Revillout, Eugène, Revue Egyptologique, 1881, Nr. II et III, p.
304.
33. Eisenlohr, Ein math. Handbuch der alten Aegypter. Nr. 64.
34. ibid. Nr. 79.
35. ibid. p. 125.
36. Cantor, Vorlesungen aus der Geschichte der Mathematik, I, p.
49.
37. Wilkinson, Manners and customs u. s. w. III., p. 144.
38. Brugsch, Ueber Bau und Maasse des Tempels von Edfu
(Zeitschrift für ägypt. Sprache u. Alterth. Bd. VIII.)
39. Cantor, Vorlesungen u. s. w. I, p. 55.
40. Éd. Biot, Journal Asiatique, Paris 1841, I. Sem. p. 593.
41. Lepsius, Ueber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von
Edfu. Abhandlung d. Acad. d. Wiss. in Berlin, 1855, p. 69.
42. Brugsch, Thesaurus III, Leipzig 1884.
43. Thukydides, ed. Rothe, VI. 1.
44. ed. Olleris, Cap. LXX. p. 460.
45. Heronis Alexandrini geometricorum et stereometricorum
reliquiae (ed. Hultsch, Berlin 1864).
46. Lepsius, Ueber die 6palmige grosse Elle von 7 kleinen Palmen
Länge in dem »math. Handbuche« von Eisenlohr. (Zeitschrift f.
äg. Sp. 1884. 1. Heft.)

*** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK ÜBER DIE
GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER. ***

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Section 2. Information about the Mission of Project
Gutenberg

Project Gutenberg is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of
computers including obsolete, old, middle-aged and new computers. It
exists because of the efforts of hundreds of volunteers and donations
from people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need are critical to reaching Project Gutenberg’s goals
and ensuring that the Project Gutenberg collection will remain freely
available for generations to come. In 2001, the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation was created to provide a secure and
permanent future for Project Gutenberg and future generations. To
learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 and
the Foundation information page at www.gutenberg.org.

Section 3. Information about the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non-profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the state
of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal Revenue
Service. The Foundation’s EIN or federal tax identification number is
64-6221541. Contributions to the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation are tax deductible to the full extent permitted by U.S.
federal laws and your state’s laws.

The Foundation’s business office is located at 41 Watchung Plaza
#516, Montclair NJ 07042, USA, +1 (862) 621-9288. Email contact

links and up to date contact information can be found at the
Foundation’s website and official page at www.gutenberg.org/contact

Section 4. Information about Donations to the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation

Project Gutenberg™ depends upon and cannot survive without
widespread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine-readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment. Many small
donations ($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax
exempt status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United States.
Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable
effort, much paperwork and many fees to meet and keep up with these
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International donations are gratefully accepted, but we cannot make
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ways including checks, online payments and credit card donations. To
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