Darstellende Geometrie des Geländes (German) Rudolf Rothe 278 downloads.pdf

The Project Gutenberg eBook of Darstellende Geometrie des
Geländes
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Title: Darstellende Geometrie des Geländes

Author: Rudolf Rothe

Release date: October 21, 2018 [eBook #58148]

Language: German

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DARSTELLENDE GEOMETRIE DES GELÄNDES ***

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Mathematisch-Physikalische Bibliothek
Gemeinverständliche Darstellungen aus der Mathematik u. Physik. Unter
Mitwirkung von Fachgenossen hrsg. von
Dr. W. Lietzmann
Direktor der Oberrealschule zu Göttingen

und
Dr. A. Witting
Studienrat, Gymnasialprof. in Dresden

Fast alle Bändchen enthalten zahlreiche Figuren. kl. 8. Kart. je M. 2.–
Hierzu Teuerungszuschlag des Verlages 120% (Abänderung vorbeh.) u. d. Buchhandl.

Die Sammlung, die in einzeln käuflichen Bändchen in zwangloser Folge
herausgegeben wird, bezweckt, allen denen, die Interesse an den
mathematisch-physikalischen Wissenschaften haben, es in angenehmer
Form zu ermöglichen, sich über das gemeinhin in den Schulen Gebotene
hinaus zu belehren. Die Bändchen geben also teils eine Vertiefung solcher
elementarer Probleme, die allgemeinere kulturelle Bedeutung oder
besonderes wissenschaftliches Gewicht haben, teils sollen sie Dinge
behandeln, die den Leser, ohne zu große Anforderungen an seine
Kenntnisse zu steilen, in neue Gebiete der Mathematik und Physik
einführen.
Bisher sind erschienen (1912/20):
Der Begriff der Zahl in seiner logischen und historischen Entwicklung.
Von H. Wieleitner. 2., durchgeseh. Aufl. (Bd. 2.)
Ziffern und Ziffernsysteme. Von E. Löffler. 2., neubearb. Aufl. I: Die
Zahlzeichen der alten Kulturvölker. (Bd. 1.) II: Die Z. im Mittelalter
und in der Neuzeit. (Bd. 34.)
Die 7 Rechnungsarten mit allgemeinen Zahlen. Von H. Wieleitner. 2.
Aufl. (Bd. 7.)
Einführung in die Infinitesimalrechnung. Von A. Witting. 2. Aufl. I: Die
Differential-, II: Die Integralrechnung. (Bd. 9 u. 41.)

Wahrscheinlichkeitsrechnung. V. O. Meißner. 2. Auflage. I: Grundlehren.
(Bd. 4.) II: Anwendungen. (Bd. 33.)
Vom periodischen Dezimalbruch zur Zahlentheorie. Von A. Leman. (Bd.
19.)
Der pythagoreische Lehrsatz mit einem Ausblick auf das Fermatsche
Problem. Von W. Lietzmann. 2. Aufl. (Bd. 3.)
Darstellende Geometrie des Geländes und verw. Anwendungen der
Methode der kotierten Projektionen. Von R. Rothe. 2., verb. Aufl.
(Bd. 35/36.)
Methoden zur Lösung geometrischer Aufgaben. Von B. Kerst. (Bd. 26.)
Einführung in die projektive Geometrie. Von M. Zacharias. (Bd. 6.)
Konstruktionen in begrenzter Ebene. Von P. Zühlke. (Bd. 11.)
Nichteuklidische Geometrie in der Kugelebene. Von W. Dieck. (Bd. 31.)
Einführung in die Nomographie. Von P. Luckey. I. Teil: Die
Funktionsleiter. (Bd. 28.) II. Teil: Die Zeichnung als Rechenmaschine.
(Bd. 37.)
Theorie und Praxis des logarithm. Rechenschiebers. Von A. Rohrberg. 2.
Aufl. (Bd. 23.)
Die Anfertigung mathemat. Modelle. (Für Schüler mittl. Kl.) Von K.
Giebel. (Bd. 16.)
Karte und Kroki. Von H. Wolff. (Bd. 27.)
Die Grundlagen unserer Zeitrechnung. Von A. Baruch. (Bd. 29.)
Die mathemat. Grundlagen d. Variations- u. Vererbungslehre. Von P.
Riebesell. (24.)
Mathematik und Malerei. 2 Teile in 1 Bande. Von G. Wolff. (Bd. 20/21.)
Der Goldene Schnitt. Von H. E. Timerding. 2. Aufl. (Bd. 32.)
Beispiele zur Geschichte der Mathematik. Von A. Witting und M.
Gebhard. (Bd. 15.)
Mathematiker-Anekdoten. Von W. Ahrens. 2. Aufl. (Bd. 18.)
Die Quadratur d. Kreises. Von E. Beutel. 2. Aufl. (Bd. 12.)

Wo steckt der Fehler? Von W. Lietzmann und V. Trier. 2. Aufl. (Bd. 10.)
Geheimnisse der Rechenkünstler. Von Ph. Maennchen. 2. Aufl. (Bd. 13.)
Riesen und Zwerge im Zahlenreiche. Von W. Lietzmann. 2. Aufl. (Bd. 25.)
Was ist Geld? Von W. Lietzmann. (Bd. 30.)
Die Fallgesetze. V. H. E. Timerding. (Bd. 5.)
Ionentheorie. Von P. Bräuer. (Bd. 38.)
Das Relativitätsprinzip. Leichtfaßlich entwickelt von A. Angersbach. (Bd.
39.)
Dreht sich die Erde? Von W. Brunner. (17.)
Theorie der Planetenbewegung. Von P. Meth. (Bd. 8.)
Beobachtung d. Himmels mit einfach. Instrumenten. Von Fr. Rusch. 2.
Aufl. (Bd. 14.)
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In Vorbereitung:
Doehlemann, Mathematik und Architektur. Schips, Mathematik und
Biologie. Winkelmann, Der Kreisel. Wolff, Feldmessen und
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Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin
Preise freibleibend.

MATHEMATISCH-PHYSIKALISCHE BIBLIOTHEK
HERAUSGEGEBEN VON W. LIETZMANN UND A. WITTING
35/36

DARSTELLENDE GEOMETRIE
DES GELÄNDES
UND VERWANDTE ANWENDUNGEN DER METHODE DER
KOTIERTEN PROJEKTIONEN
VON

RUDOLF ROTHE
DR. PHIL., O. PROFESSOR AN DER TECHN. HOCHSCHULE BERLIN
ZWEITE, VERBESSERTE AUFLAGE
MIT 107 FIGUREN IM TEXT

1919
LEIPZIG UND BERLIN
VERLAG UND DRUCK VON B. G. TEUBNER

Schutzformel für die Vereinigten Staaten von Amerika:
Copyright 1919 by B. G. Teubner in Leipzig.

ALLE RECHTE,
EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS,
VORBEHALTEN.

VORWORT ZUR ERSTEN UND ZWEITEN
AUFLAGE
In der vorliegenden kleinen Schrift habe ich versucht, den Leser in
elementarer und leicht verständlicher Weise mit der zeichnerischen
Behandlung der topographischen Flächen nach der Methode der »kotierten
Projektionen« bekannt zu machen. Die glückliche Paarung zwischen
Rechnung und Zeichnung, auf der diese Methode beruht, die darin
begründete Freiheit, sich auch an kompliziertere Aufgaben mit Aussicht auf
Erfolg zu wagen, und daher weiter das unbewußte Gefühl, hier wenigstens
der »selbstgeschaffenen Schmerzen« der Mathematiker ledig zu sein, das
alles gibt diesem Schwestergebiete der darstellenden Geometrie einen
besonderen Reiz. Er wird noch erhöht durch die fast unmittelbare
Anwendbarkeit auf praktische Fragen. Ich habe auf diese Anwendungen
großes Gewicht gelegt; sie entstammen zum Teil dem geologisch-
bergmännischen Gesichtskreis und rühren aus der Zeit, als ich an der
Clausthaler Bergakademie einiges aus diesem Gebiete in elementaren
Vorlesungen über darstellende Geometrie vortrug …
In der zweiten Auflage, die dem Büchlein trotz der Ungunst der Zeiten
beschieden ist, konnten mehrere sachliche und sprachliche Verbesserungen
und Ergänzungen angebracht werden; so insbesondere in den §§ 63 und 64,
wo, wie ich glaube, der Begriff des Talwegs jetzt einwandfrei erklärt
worden ist. Auch wurde auf mehrfach geäußerten Wunsch ein kurzer
Abschnitt über Anwendungen auf die zeichnerische Analysis und die
Nomographie hinzugefügt. Bezüglich der Abbildungen, die schon wegen
des Formates nicht mehr als einen bloßen Anhalt zum Anfertigen von
Reinzeichnungen geben wollen, konnte ich mich auch aus äußeren Gründen
nicht entschließen, größere Änderungen vorzunehmen. Wer aus dem Buche
ernsthaft lernen will, wird gewiß nicht unterlassen, sich Reinzeichnungen
im passenden Maßstabe selbst herzustellen. Übrigens ist es ein Unterschied,
ob es sich um eine Reinzeichnung handelt, wie sie in den Übungen zur
darstellenden Geometrie gefordert wird, oder um eine Konstruktion an einer
topographischen oder geologischen Geländekarte; hier wird manche

Zeichnung doch nicht viel größer ausfallen als die Abbildungen dieses
Bändchens.
Am Schluß ist ein alphabetisches Sachverzeichnis angefügt worden. Der
erweiterte Umfang hat es erfordert, das Buch als Doppelbändchen
herauszugeben.
Berlin, im April 1919.
RUDOLF ROTHE

INHALT
Seite
Einleitung 1
I. Grundbegriffe und elementare Konstruktionen über kotierte
Projektionen §§ 1–22 2–18
§ 1. Kotierte Projektion. S. 2. § 2. Maßstab der Zeichnung. 3. § 3.
Einschalten eines Punktes. 4. § 4. Stufung (Graduierung) einer
Geraden. 4. § 5. Intervall. 5. § 6. Schnitt zweier Geraden. 5. § 7.
Ebene. 6. § 8. Gefällemaßstab. 6. § 9. Aufgabe. 7. § 10. Böschung,
Fallen und Streichen. 7. § 11. Aufgabe. 8. § 12 Schnittgerade
zweier Ebenen. 8. § 13. Ebenen mit parallelen Gefällemaßstäben.
9. § 14. Ebenen gleicher Böschung. 10. § 15. Schnittpunkt einer
Geraden mit einer Ebene. 10. § 16. Lot von einem Punkte auf eine
Ebene. 11. § 17. Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden.
11. § 18. Drehen einer Ebene um eine Streichlinie in die
wagerechte Lage. 12. § 19. Schnittwinkel zweier Ebenen. 13. § 20.
Böschungskegel. 15. § 21. Kreiszylinder, schiefer Kreiskegel,
Kugel. 16. § 22. Andere Oberflächen. 16.
II. Elementare Anwendungen §§ 23–34 18–
25
§ 23. Zweck der Anwendungen. 18. § 24. Aufführung eines
Dammes. 18. § 25. Querprofil. 19. § 26. Anlage eines ebenen
Platzes. 19. § 27. Weg gegebener Steigung. 20. § 28. Streichen und
Fallen einer Ebene. 21. § 29. Dachausmittelung. 21. § 30. Aufgabe.
22. § 31. Fortsetzung. 22. § 32. Aufschüttung einer Halde. 22. § 33.
Ausschachten einer Grube. 24. § 34. Tunnelmündung. 24.
III. Darstellung der Geländeflächen §§ 35–73 26–
53
§ 35. Hauptschichtlinien. 26. § 36. zeichnerische Bemerkungen.
26. § 37. Storchschnabel. 27. § 38. Glatte Kurve. 27. § 39.
Spiegellineal. 28. § 40. Tangente. 28. § 41. Hüllkurve. 28. § 42.
Evolute. 29. § 43. Parallelkurven. 29. § 44. Berührungen im
Raume. 29. § 45. Relief eines Geländes. 30. § 46. Kurven auf einer

Geländefläche. 30. § 47. Darstellung einer Raumkurve. 30. § 48.
Einschalten von Punkten und Konstruktion von Schichtlinien. 31.
§ 49. Böschung einer Raumkurve. 32. § 50. Böschungslinie. 32.
§ 51. Normalebene, Planierungsfläche. 32. § 52.
Schmiegungsebene. 33. § 53. Hauptnormale, Binormale. 34. § 54.
Schnitt einer Fläche mit einer Ebene. 35. § 55. Anwendung. 36.
§ 56. Einschalten von Höhenlinien. 36. § 57. Berührungsebene und
Normale einer Fläche. 37. § 58. Normalebene, Fallinien einer
Fläche. 38. § 59. Schraffur einer Karte. 39. § 60. Krümmung einer
Fläche. 39. § 61. Verlauf der Schicht- und Fallinien. 41. § 62.
Gipfel-, Mulden- und Jochpunkt. 41. § 63. Wasserscheide und
Talweg. 42. § 64. Fortsetzung. 44. § 65. Böschungsfläche. 47. § 66.
Böschungsstreifen. 48. § 67. Gratlinie. 48. § 68. Ebene
Raumkurven. 48. § 69. Böschungsflächen einer Raumkurve. 49.
§ 70. Böschungslinien auf einer Fläche. 50. § 71. Aufgabe. 51.
§ 72. Schnitt zweier Flächen. 51. § 73. Durchdringungspunkte
einer Raumkurve mit einer Geländefläche. 52.
IV. Aufgaben und Anwendungen §§ 74–88 53–
67
§ 74. Zweck der Aufgaben. 53. § 75. Aufschüttung und Abtrag
eines Eisenbahndammes. 53. § 76. Die Ausstrichlinie einer Mulde
mit dem Gelände zu bestimmen. 54. § 77. Schnittkurve einer
zylindrischen Fläche mit dem Gelände. 55. § 78. Um eine
gegebene Geländefläche einen Zylinder mit wagerechten
Mantelgeraden zu umschreiben. 56. § 79. Durch eine gegebene
Gerade die Berührungsebenen an eine Geländefläche zu legen. 56.
§ 80. Umschriebener Zylinder mit beliebig gegebener Richtung der
Mantelgeraden. 57. § 81. Berührungsebene. 58. § 82. Andere
Konstruktion des umschriebenen Zylinders und der
Berührungsebene. 59. § 83. Gebrauch einer Hilfskurve. 61. § 84.
Schattengrenze. 62. § 85. Von einem gegebenen Punkte an eine
Geländefläche den Berührungskegel zu zeichnen. 62. § 86.
Beispiel. 64. § 87. Ansicht des Geländes. a) Parallelprojektion. 65.
§ 88. b) Zentralprojektion. 66.
V. Maßbestimmungen und Beziehungen zur zeichnerischen Analysis 67–
§§ 89–107 89

§ 89. Längenmessung. 67. § 90. Flächenmessung. a)
Quadratteilung. 68. § 91. b) Einteilung in Streifen gleicher Breite.
69. § 92. c) Andere Streifeneinteilung. 69. § 93. d) Planimeter. 70.
§ 94. Geneigte Fläche. 71. § 95. Flächeninhalt einer
Böschungsfläche. 71. § 96. Rauminhalt eines begrenzten
Geländeteiles. 72. § 97. Aufgabe: Rauminhalt einer Lagerstätte. 73.
§ 98. Ausführung der Aufgabe. 74. § 99. Zeichnerische Analysis.
77. § 100. Funktionsskale. 78. § 101. Konstruktion besonderer
Funktionsskalen. 79. § 102. Aufgabe. 81. § 103.
Zusammengesetzte Funktionsskalen. 82. § 104. Netzteilung. 83.
§ 105. Logarithmenpapier. 85. § 106. Darstellung einer Funktion
von zwei Veränderlichen durch ein Rechenblatt. 87. § 107.
Rechenblatt mit ungleichmäßiger Teilung. 88.
Alphabetisches Sachverzeichnis 90–
92

EINLEITUNG
Eine Landkarte, die einen nicht zu großen Teil der Erdoberfläche
darstellt, gibt im großen und ganzen das Bild wieder, das sich einem
senkrecht darüber befindlichen Beobachter aus solcher Höhe darbietet, wo
für ihn die Höhenunterschiede des Geländes unmerklich geworden sind.
Um diese Höhenunterschiede in der Karte dennoch kenntlich zu machen,
pflegt man eine genügende Anzahl von Punkten durch beigesetzte
Höhenzahlen (Koten) zu bezeichnen, die ihre senkrechte Entfernung von
einer gedachten Horizontalebene, meist dem Meeresspiegel, in einer
gewählten Längeneinheit, z. B. in Metern, angeben. Auf diese Weise
entsteht eine mehr oder weniger getreue Darstellung (kotierter Riß) der
Erdoberfläche mit ihren Erhebungen und Senken; oder in allgemeinerer
Bedeutung, es entsteht die Darstellung einer Geländefläche oder
topographischen Fläche, worunter in der Regel eine solche verstanden
wird, die von jeder Senkrechten in genau einem Punkte geschnitten wird;
bei manchen, z. B. bei geologischen Betrachtungen, ist diese Bedingung
freilich nicht immer erfüllt.
Eine auf der Fläche gelegene Linie, deren sämtliche Punkte die gleiche
Höhe (Kote) haben, heißt Höhenlinie (Schichtlinie, Niveaulinie, Isohypse),
bei Höhen unter dem Meeresspiegel auch Tiefenlinie (Isobathe); sie ist die
Schnittlinie der Geländefläche mit einer horizontalen Ebene. Ein
abgelassener Teich läßt oft solche Schichtlinien, die Spuren früherer
Wasserstände, an seinen Ufern erkennen.
Die Brauchbarkeit und Anschaulichkeit der Darstellung einer
Geländefläche durch eine Karte gewinnt erheblich, wenn auf ihr eine
genügende Anzahl von Höhenlinien der Art verzeichnet ist, daß ihnen eine
Einteilung der Fläche in Schichten gleicher Dicke entspricht
(Schichtenplan). Auf dieser Darstellung einer Geländefläche durch ihre
Schichtlinien beruht die Möglichkeit, auf zeichnerisch-konstruktiven Wegen
eine große Anzahl von Fragen und Aufgaben zu beantworten, wie sie in der
Vermessungskunde, Kartenkunde, Geographie, militärischen Topographie,
Bauingenieurwissenschaft, Geologie, Bergbaukunde usw. vorkommen
können. Die Ausführung der Methoden, die zur zeichnerischen Lösung

solcher Fragen dienen, bildet ein wichtiges Mittel der angewandten
Geometrie, das sich aus praktischen Bedürfnissen heraus, ursprünglich
nautischen und militärischen, entwickelt hat, zuerst in Frankreich, wo die
Kenntnis derartiger Dinge noch bis vor hundert Jahren militärisch geheim
gehalten wurde.
In dieses Gebiet, das zum Verständnis im allgemeinen nur wenige
elementargeometrische Vorkenntnisse erfordert, und dessen Pflege wegen
der sofort in die Augen springenden praktischen Verwendbarkeit besonders
reizvoll und anregend ist, will die vorliegende Schrift eine Einführung
geben.
Es wird zweckmäßig sein, zunächst auch auf einige grundlegende
geometrische Begriffe und Konstruktionen einzugehen, auf denen die
alsdann zu besprechenden Aufgaben über Geländeflächen beruhen.

I. GRUNDBEGRIFFE UND ELEMENTARE
KONSTRUKTIONEN ÜBER KOTIERTE
PROJEKTIONEN
§ 1. Kotierte Projektion. Ein Punkt P' des Raumes ist durch Angabe
seiner senkrechten Grundrißprojektion P auf eine Horizontalebene
(Rißebene, Zeichenebene) und der Maßzahl k seines senkrechten Abstandes
(Höhenzahl, Kote) von der Ebene, gemessen in Einheiten des
Höhenmaßstabs, eindeutig bestimmt: kotierte Projektion. Eine Karte mit
Höhenangaben ist also eine geometrische Grundrißdarstellung eines
Geländes durch kotierte Projektionen: kotierte Ebene.
Zwei Punkte P1' und P2' bestimmen eine Gerade g'. Zur Ermittelung des
spitzen Winkels φ, unter dem g' gegen die Horizontalebene geneigt ist, und
der Entfernung P1'P2' (Luftlinie) konstruiert man in der Zeichenebene das
rechtwinklige Dreieck mit den Katheten P1P2 und P2P2* = k2 – k1, aus dem
die gewünschten Größen mit Transporteur und Maßstab zu entnehmen sind
(Fig. 1 und 2).

Fig. 1. Fig. 2.

Übrigens heißt φ der Fallwinkel, tg φ das Gefälle, der Anstieg oder die
Böschung der Geraden g'.
Da man es im folgenden immer mit der Zeichnung in der Rißebene zu
tun hat, so spricht man in der Regel von dem Fallwinkel, dem Gefälle usw.
der gezeichneten Geraden g, der Projektion von g', obwohl man darunter

natürlich stets die Größen meint, die g' selbst zukommen. Darauf ist in
Zukunft zu achten.

§ 2. Maßstab der Zeichnung. Die Abmessungen der Zeichnung werden
meist mit denen der Wirklichkeit nicht übereinstimmen, sondern geben sie
in verkleinerten Maßstäben wieder. Verhalten sich z. B. die
Horizontalentfernungen der Zeichnung zu denen der Wirklichkeit wie 1 : α
(bei den preußischen Meßtischblättern wie 1 : 25 000), die gezeichneten
Höhen zu den wirklichen wie 1 : β, so ist die wirkliche Entfernung nicht
mehr
l = √P1P2² + (k1 – k2)²),
sondern sie ist
L = √α² · P1P2² + β² · (k1 – k2)²),
und der Neigungswinkel im allgemeinen nicht φ, so daß
k –k
tg φ = P2 P 1,
1 2

sondern gleich Φ, so daß
k –k
tg Φ = αβ · P2 P 1.
1 2

Nur wenn β = α, wenn also Horizontalentfernungen und Höhen im selben
Maßstab 1 : α aufgetragen sind, ist L = αl, Φ = φ. Obwohl das praktisch
selten angängig ist – meist ist β > α; Überhöhung –, wird es im folgenden,
wo nichts anderes gesagt ist, doch der Einfachheit wegen stets
vorausgesetzt, zumal viele Konstruktionen von der Wahl der Maßstäbe ganz
unabhängig sind.

§ 3. Einschalten eines Punktes. Die Fig. 2 zeigt auch, wie man die Kote
k eines beliebigen, auf g gelegenen Punktes P ermittelt, denn es ist PP* =
k – k1. Sie zeigt ferner, wie man bei gegebener Höhenzahl k den
zugehörigen Punkt P auf der Geraden g konstruiert: Man trägt, unter
Rücksicht auf das Vorzeichen der Kotenunterschiede, auf P2P2* = k2 – k1 die
Strecke k2 – k ab, entweder von P2* aus bis Q und zieht dann die Parallele
QP* zu P2P1, oder besser von P2 aus bis R und zieht dann die Parallele RP

zu P2*P1; wenn k2 – k1 und k2 – k verschiedenes Vorzeichen haben, muß man
k2 – k an P2P2* verlängernd antragen, wie es bei der Konstruktion von (P)
geschehen ist. Übrigens sind diese Konstruktionen weder davon, daß P2P2*
⊥ P2P1 ist, noch von dem gewählten Höhenmaßstab abhängig. Auch
rechnerisch, sehr bequem und ausreichend genau mittels des
Rechenschiebers, läßt sich die Kote von P nach der Formel
PP
k = k1 + P 2P · (k2 – k1)
1 2

bestimmen.

§ 4. Stufung (Graduierung) einer Geraden. Durch Wiederholung der
eben beschriebenen Konstruktion kann man auf einer durch zwei Punkte
P1P2 eines kotierten Risses gegebenen Geraden g solche Punkte bestimmen,
deren Höhenzahlen von Einheit zu Einheit, oder von 10 zu 10 Einheiten
oder dergleichen, fortschreiten, wie das in Fig. 3 mit bestimmten Werten
ausgeführt ist. In P2 ist an g unter beliebigem Winkel die Strecke P2P2* in
Länge von 22,6 – 18,7 = 3,9 beliebigen Einheiten angetragen und auf ihr in
denselben Einheiten 22,6 – 22 = 0,6, 22,6 – 21 = 1,6 usw. abgetragen; die
Parallelen durch die erhaltenen Punkte schneiden auf g die Stufung
(Graduierung) oder den Gefällemaßstab aus. Die gestufte Gerade erscheint
wie ein aus großer Höhe gesehener Steigbaum mit Sprossen.

Fig. 3.

Eine lotrechte Gerade hat als Projektion einen Punkt und ist durch dessen
Angabe eindeutig bestimmt. Eine wagerechte Gerade hat keinen

Gefällemaßstab; sie ist durch ihre Projektion und durch Angabe der Höhe
irgendeines ihrer Punkte eindeutig bestimmt.

§ 5. Intervall. Die Entfernung zweier aufeinanderfolgender Punkte des
Gefällemaßstabes einer gestuften Geraden, gemessen in der Rißebene, heißt
ihr Intervall i, und eine leichte geometrische Überlegung oder auch die in
§ 2 gegebene Formel für das Gefälle ergibt tg φ = 1 : i. Je steiler also die
Gerade ansteigt, um so kleiner ist ihr Intervall, um so enger ihre
Graduierung.

§ 6. Schnitt zweier Geraden. Zwei Geraden g1', g2' des Raumes
schneiden sich dann und nur dann, wenn ihre Projektionen g1, g2 einen
Punkt mit gleicher Kote gemeinsam haben; sie sind parallel, wenn ihre
Gefällemaßstäbe durch Parallelverschiebung zur Deckung gebracht werden
können, d. h. wenn erstens g1 parallel zu g2, zweitens i1 = i2 ist, und drittens
die Graduierungen von g1 und g2 denselben Richtungssinn haben. Ist die
dritte Bedingung nicht erfüllt, so sind die beiden Geraden g1', g2' nicht
parallel, sondern jede von ihnen ist zu der Geraden, die sich durch
irgendeinen ihrer Punkte parallel zur anderen ziehen läßt (z. B. g2'' || g2'),
symmetrisch bezüglich des Lotes durch diesen Punkt (Fig. 4).

Fig. 4.

Wenn g1 und g2 zusammenfallen, liegen g1', g2' in derselben lotrechten
Ebene; der Winkel ψ von g1' und g2' ist in einem Dreieck zu finden (Fig. 5
u. 6), dessen Grundlinie durch Zusammenfügen von i1 und i2 (mit

Berücksichtigung des Richtungssinns) entsteht, und dessen Höhe, die in
dem i1 und i2 gemeinsamen Punkt zu errichten ist, gleich der Einheit des
Höhenmaßstabes ist. Der Schnittwinkel ψ ist ein rechter, wenn die Höhe 1
die mittlere Proportionale zwischen i1 und i2 ist, d. h. wenn
i2 = 1 : i1,
und überdies die Graduierungen entgegengesetzten Sinn haben.

Fig. 5. Fig. 6.

§ 7. Ebene. Zwei sich schneidende oder parallele Geraden des Raumes
bestimmen eine Ebene. Nachdem die beiden Geraden gestuft sind, lassen
sich die Schichtlinien der Ebene als Verbindungsgeraden der Punkte
gleicher Höhenzahlen konstruieren; sie sind also parallele Geraden. Wenn
umgekehrt die Verbindungsgeraden je zweier und daher aller Punkte
gleicher Höhenzahlen auf zwei gestuften Geraden einander parallel sind,
dann liegen die Geraden in einer Ebene, d. h. schneiden sich, wie in Fig. 7
g1 und g2, oder sind parallel, wie g1 und g3; andernfalls kreuzen sie sich, wie
g2 und g3.

Fig. 7. Fig. 8.

§ 8. Gefällemaßstab. Die zu den Schichtlinien senkrechten Geraden der
Ebene heißen ihre Fallinien1; durch die Schnittpunkte mit den Schichtlinien
werden sie graduiert. Eine Ebene ist durch eine gestufte Fallinie, ihren
Gefälle- oder Böschungsmaßstab, eindeutig gegeben; man pflegt ihn als
gestufte Doppelgerade (Fig. 8) zu zeichnen, wobei die stärker ausgezogene
oder mit einer Pfeilspitze versehene als die eigentliche Fallinie gelten soll.
Der Gefällemaßstab einer Ebene erscheint danach wie eine aus großer Höhe
gesehene Leiter mit ihren Sprossen.
1 In der Fig. 8 verläuft die Gerade 3,6 … 9,6 zufällig wie eine Fallinie.

§ 9. Aufgabe. Durch drei kotierte Punkte eine Ebene zu legen. Man
verbindet die Punkte durch drei Geraden, graduiert diese nach § 4, zeichnet
durch Verbindung gleichkotierter Punkte der Geraden die Schichtlinien der
Ebene und danach senkrecht zu diesen den Gefällemaßstab (Fig. 8).

§ 10. Böschung, Fallen und Streichen. Der Fallwinkel φ der Fallinien
heißt das Einfallen oder das Fallen der Ebene, tg φ ihre Böschung, die
durch zunehmende Höhen gegebene Richtung der Fallinien die
Anstiegsrichtung der Ebene. Unter Streichrichtung versteht man diejenige
Richtung der Schichtlinien – die daher bei der Ebene auch Streichlinien
heißen –, von der aus man im mathematisch positiven, d. h. dem
Uhrzeigerlaufe entgegengesetzten Sinne um einen rechten Winkel zu
drehen hat, um die Anstiegsrichtung der Ebene zu erhalten. Der Winkel σ,
um den man von einer festen (SN)-Richtung aus im positiven Sinne zu
drehen hat, um die Streichrichtung zu erhalten, heißt das Streichen der
Ebene (Fig. 9).

Fig. 9. Fig. 10.

Die Begriffe und Bezeichnungen des Fallens und Streichens einer Ebene
sind, wenn auch nicht immer eindeutig genug erklärt, dem Bergmanne und
Geologen sehr geläufig, weil durch die leicht ausführbare Messung dieser
Winkel an einem der Lage nach bekannten Orte auch die Lage der Ebene, z.
B. einer erzführenden ebenen oder als nahezu eben anzunehmenden
Schicht, vollständig bestimmt ist.

§ 11. Aufgabe. Um die soeben angedeutete Aufgabe zu lösen, d. h. um in
einer Karte die Ebene zu konstruieren, von der man an einem bekannten
Punkte A (k = 5,4) das Fallen φ (= 30°) und Streichen σ (= 125°) beobachtet
hat, legt man zunächst durch Antragen des Winkels σ an die SN-Richtung
die Streichrichtung und weiter nach positiver Drehung um 90° die
Anstiegsrichtung der Ebene fest. Ein rechtwinkliges Hilfsdreieck, in dem
die Kathete die Höheneinheit, der gegenüberliegende Winkel gleich φ ist,
liefert als andere Kathete das Intervall einer Fallinie. Wählt man als
Gefällemaßstab der Ebene die durch den Punkt A hindurchgehende Fallinie,
so hat man von A aus in der Anstiegsrichtung 0,6 · i abzutragen, um den
Punkt der runden Höhenzahl 6 zu finden und danach die Stufung
vorzunehmen (Fig. 10).

§ 12. Schnittgerade zweier Ebenen. Zwei nicht parallele Ebenen
schneiden sich in einer Geraden. In der Karte der Ebenen erhält man diese
Gerade und zugleich ihre Stufung im allgemeinen als Ort der Schnittpunkte
gleichkotierter Schichtlinien (Fig. 11).

Fig. 11. Fig. 12.

Das Verfahren versagt jedoch um so mehr, je mehr die Schichtlinien der
beiden Ebenen einander parallel werden. Dann schneidet man die beiden
Ebenen (1) und (2) durch eine beliebige Hilfsebene (3) in geeigneter Lage,
bestimmt die Schnittgeraden (1, 3) und (2, 3) und deren Schnittpunkt A, der
auf der Schnittgeraden (1, 2) gelegen sein muß. Eine zweite Hilfsebene (4)
bestimmt ebenso die Schnittgeraden (1, 4) und (2, 4) und deren
Schnittpunkt B; durch A und B ist aber die gesuchte Schnittgerade (1, 2)
völlig bestimmt (Fig. 12). Zweckmäßig, und in der Figur ist das so
ausgeführt, wählt man die zweite Hilfsebene (4) so, daß ihr Gefällemaßstab
der gleiche, aber entgegengesetzt gerichtete zu dem von (3) ist. Da er ganz
willkürlich ist, so genügt es zur wirklichen Ausführung der Konstruktion,
die Schichtlinien der beiden gegebenen Ebenen durch zwei Parallelen p', p''
in beliebigem Abstand zu schneiden.

Fig. 13. Fig. 14.

§ 13. Ebenen mit parallelen Gefällemaßstäben. Dieses Verfahren ist
auch anwendbar, wenn die Schichtlinien der beiden gegebenen Ebenen, also
auch ihre Gefällemaßstäbe genau parallel sind; man kann alsdann p', p'' mit
diesen zusammenfallen lassen. Die Schnittgerade steht jetzt senkrecht auf
den beiden Gefällemaßstäben, weil sie die gemeinsame Schichtlinie der
beiden Ebenen ist (Fig. 13).
Für den Fall zweier Ebenen mit parallelen Schichtlinien läßt sich auch
folgende Konstruktion ausführen. Man denke sich die Punkte gleicher
Höhenzahlen der beiden parallelen Gefällemaßstäbe durch Geraden
verbunden; je zwei werden in ihrem Schnittpunkt wegen der Ähnlichkeit
der entstehenden Scheiteldreiecke im Verhältnis der Intervalle der beiden
Gefällemaßstäbe geteilt, sie haben also alle denselben Schnittpunkt P. Er
muß ein Punkt der gesuchten Schnittgeraden sein, weil diese auch zwei
Punkte gleicher Höhenzahlen verbindet. Die Schnittgerade ist also das Lot
durch P auf den gegebenen Gefällemaßstäben (Fig. 14).

§ 14. Ebenen gleicher Böschung. Jeder Punkt der Schnittgeraden zweier
Ebenen gleicher Böschung hat von zwei gleichkotierten Streichlinien der
Ebenen dieselbe Entfernung; denn (Fig. 15) PA und PB sind Stücke
zwischen gleichkotierten Punkten auf gleichgraduierten Fallinien. Die
Schnittgerade halbiert ferner in der Horizontalprojektion den Winkel der
beiden Schichtlinien; das folgt aus der Kongruenz der beiden
rechtwinkligen Dreiecke PAC und PBC.

Diese Sätze gelten auch, wenn die gerichteten Fallinien der beiden
Ebenen miteinander einen gestreckten Winkel bilden. Die Schnittgerade ist
dann die Streichlinie, die durch den beiden Fallinien gemeinsamen Punkt
derselben Höhenzahl hindurchgeht.

Fig. 15. Fig. 16.

§ 15. Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene. Man legt durch die
gegebene Gerade g (Fig. 16) eine beliebige Hilfsebene, von der irgend zwei
Streichlinien genügen, und ermittelt deren Schnittpunkte mit den
gleichkotierten Schichtlinien der gegebenen Ebene; damit ist die
Schnittgerade s beider Ebenen bestimmt, und dadurch der gesuchte Punkt P
als Schnittpunkt von s mit g. Sind die Schnittgerade und die gegebene
Gerade einander parallel, wie in der Figur s1 und g1, so ist auch die
gegebene Gerade der Ebene parallel; der Gefällemaßstab der Geraden kann
durch Parallelverschiebung mit demjenigen zur Deckung gebracht werden,
den die Streichlinien der Ebene auf ihr ausschneiden.
Um den Abstand der Ebene von der parallelen Geraden zu bestimmen, ist
nur von irgendeinem ihrer Punkte ein Lot auf die Ebene zu fällen und
dessen Länge zu ermitteln, wie das sogleich gezeigt werden wird.

§ 16. Lot von einem Punkte auf eine Ebene. Man legt durch den
gegebenen Punkt P (Fig. 17) eine Vertikalebene, die zugleich auf der
gegebenen senkrecht steht, sie demnach in einer Fallinie, also in einer
Parallelen zum gegebenen Gefällemaßstab e der Ebene schneidet. Das

gesuchte Lot steht auf dieser Fallinie senkrecht; nach § 6 ist demnach seine
Graduierung entgegengesetzt und sein Intervall i reziprok zu dem des
Gefällemaßstabes e, also aus dem in der Figur angegebenen Dreieck ABC
zu entnehmen. Das gestufte Lot l stellt zugleich den Gefällemaßstab einer
Ebene dar, die die gegebene längs einer Schichtlinie schneidet, nämlich
derjenigen, die durch den Fußpunkt F des Lotes geht. Man zeichnet diese
nach § 13, Fig. 14 und danach die wahre Lotlänge FQ nach § 1, wobei in
der Figur PR die Höheneinheit ist.

Fig. 17. Fig. 18.

Zur Konstruktion des Fußpunktes des Lotes ist übrigens nur erforderlich,
seinen Durchschnittspunkt mit der Ebene wie oben (§ 15) zu ermitteln.

§ 17. Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden. Wenn man
(Fig. 18) durch die eine, g1, der beiden gegebenen windschiefen Geraden
eine Ebene parallel zur anderen, g2, legt und sodann von irgendeinem
Punkte C der Geraden g2 das Lot CD auf diese Ebene fällt, so hat CD
dieselbe Länge wie der gesuchte kürzeste Abstand selbst. Wenn man ferner
in der Ebene durch D die Parallele zu g2 zieht, so schneidet sie g1 im Punkte
A, dem einen Endpunkte des gesuchten kürzesten Abstandes; der andere, B,
liegt auf g2 als Schnittpunkt des in A auf der Ebene errichteten Lotes AB.
Die Konstruktion ist danach folgendermaßen: Man legt durch einen
beliebigen Punkt (1) der einen Geraden g1 eine Parallele p zur zweiten g2, so
daß also p und g2 gleiche Stufungen haben. Durch p und g1 ist eine zu g2
parallele Ebene bestimmt, deren Schichtlinien sich durch Verbindung
gleichkotierter Punkte von p und g1 ergeben; e sei ihr Gefällemaßstab. Nun

fällt man von irgendeinem Punkte C (= 3) von g2 das Lot CD auf diese
Ebene, entsprechend dem Vorhergehenden: das Dreieck mit dem rechten
Winkel bei H, dessen Höhe gleich der Einheit des Höhenmaßstabes ist,
liefert das (in der Figur stark ausgezogene) Intervall, das zu dem von e
reziprok ist, und mit dem die durch C parallel zu e gezogene Gerade q
entgegengesetzt zu e graduiert wird; vom Schnittpunkt S der
Verbindungsgeraden 2–2, 4–4 gleichkotierter Punkte auf q und e ist die
Senkrechte SD auf q gefällt, die den Fußpunkt D des gesuchten Lotes
ergibt. Durch ihn zieht man die Parallele zu g2, die g1 im Fußpunkt A des
gesuchten kürzesten Abstandes schneidet. Den anderen Endpunkt B findet
man durch AB || CD.

§ 18. Drehen einer Ebene um
eine Streichlinie in die wagerechte
Lage. Es kommt oft vor, daß man in
einer durch ihren Gefällemaßstab
gegebenen Ebene Messungen von
Winkeln oder Längen, oder
Konstruktionen maßstäblicher Natur
auszuführen hat; das ist nicht ohne
weiteres möglich, wenn die Ebene
nicht zur Zeichenebene parallel, also
nicht wagerecht ist. Man hat sie
Fig. 19.
vielmehr erst in die wagerechte Lage
zu bringen, zweckmäßig durch
Drehung um eine Streichlinie. Es sei (Fig. 19) AB (Höhe 0) diese
Streichlinie einer Ebene, deren Gefällemaßstab rechts in der Figur zu sehen
ist. Durch Drehung geht die Schar der Streichlinien in eine andere dazu
parallele Schar über, die mit der ursprünglichen die Streichlinie AB
gemeinsam hat. In wagerechter Lage der Ebene ist der Abstand zweier
Streichlinien mit dem ursprünglichen Höhenunterschied 1 die Hypotenuse
in dem Dreieck, dessen Katheten das ursprüngliche Intervall i und die
Einheit des Höhenmaßstabes sind (in der Figur links angegeben). Bei der
Drehung beschreibt jeder Punkt C einen Kreis, dessen Ebene zu AB
senkrecht ist und daher die Rißebene in dem Lot CH auf AB schneidet. Um
also den Punkt C* zu finden, in den C nach der Drehung übergeht, hat man

nur die mit C gleichkotierte Schichtlinie (in der Figur die mit der
Höhenzahl 7) nach der Drehung mit diesem Lot zum Schnitt zu bringen.
Auf diese Weise läßt sich die wahre Gestalt einer Figur CDEF der
gegebenen Ebene als C*D*E*F* konstruieren; also auch z. B. die wahre
Größe des Schnittwinkels zweier Geraden AC und BC als Winkel AC*B.
Eine nützliche Kontrolle besteht in der Konstruktion der wahren Längen
von AC und BC als AC* und BC* nach § 1, wie in der Figur angegeben.
Durch Umkehrung der Konstruktion kann man eine gegebene Figur in
eine durch ihren Gefällemaßstab gegebene Ebene einzeichnen.

§ 19. Schnittwinkel zweier Ebenen. Wenn man von irgendeinem
Punkte, der auf keiner der beiden Ebenen gelegen ist, auf diese die beiden
Lote fällt, so schließen sie miteinander dieselben Winkel ein wie die beiden
Ebenen. In § 16 ist das Fällen eines Lotes auf eine Ebene gezeigt worden.
Durch diese beiden Lote ist eine Ebene bestimmt. Dreht man nun diese
Ebene der beiden Lote um eine ihrer Schichtlinien, d. h. um eine
Verbindungsgerade gleichkotierter Punkte der Lote, in die wagerechte Lage
(nach § 18), so erhält man die gesuchten Schnittwinkel in wahrer Größe.
Der Leser führe danach die Konstruktion aus.
Eine etwas andere Lösung der Aufgabe ist folgende. Man zeichnet zuerst
nach § 12 die Schnittgerade beider Ebenen als geometrischen Ort der
Schnittpunkte gleichhoher Streichlinien, sodann irgendeine, diese
Schnittgerade senkrecht schneidende Hilfsebene; ihr Böschungsmaßstab
läuft parallel zur Projektion der Schnittgeraden. Diese Hilfsebene schneidet
die beiden gegebenen Ebenen in zwei Geraden, die die gesuchten Winkel
miteinander einschließen. Dreht man also die Hilfsebene um eine ihrer
Schichtlinien in die wagerechte Lage, so erhält man dadurch auch die
Schnittwinkel der beiden gegebenen Ebenen in wahrer Größe.

Fig. 20.

Die Durchführung der Konstruktion ist aus der Fig. 20 zu entnehmen: I
und II sind die Gefällemaßstäbe der beiden gegebenen Ebenen, s ihre
Schnittgerade, h der Gefällemaßstab der auf s senkrechten Hilfsebene,
dessen Intervall reziprok und entgegengesetzt zu dem von s ist. Irgendeine
Schichtlinie der Hilfsebene schneidet die gleichhohen Schichtlinien von I
und II in je einem Punkte A1, A2. Ist C die Projektion des Schnittpunktes der
Hilfsebene mit der Geraden s (§ 15), so enthält das Dreieck, dessen
Projektion A1CA2 ist, bei C einen der gesuchten Winkel, und man findet
seine wahre Größe durch Drehung dieses Dreiecks um die Gerade A1A2 in
die wagrechte Lage A1C*A2. Den Punkt C* findet man einfach, wenn man
durch s einen Vertikalschnitt legt und diesen in die wagerechte Lage
umklappt. Es entsteht das rechtwinklige Dreieck 233' (worin 33' der
Höheneinheit gleich ist), und das Lot, das vom Schnittpunkte B von A1A2
mit s auf die Hypotenuse 23' gefällt werden kann, gibt den Punkt C', in den
durch das Umklappen der Scheitel der gesuchten Winkel übergegangen ist.
BC' ist also die Höhe des oben erwähnten Dreiecks, und man hat mithin nur
BC* = BC' von B auf s abzutragen, um den Punkt C* zu erhalten. Der
Winkel A1C*A2 und sein Supplementwinkel sind die gesuchten
Schnittwinkel der beiden Ebenen.

§ 20. Böschungskegel. Alle durch denselben Punkt gehenden Ebenen
gleichen Gefälles umhüllen einen geraden Kreiskegel, den Böschungskegel.
Die Böschung der Ebenen heißt auch die des Kegels. Seine Schichtlinien
werden in der Projektion durch konzentrische Kreise dargestellt, deren
Mittelpunkt die Projektion des Scheitels des Kegels ist. Die Radien der
Kreise stellen die Mantelgeraden des Kegels dar, und stimmen, in
geeigneter Weise durch die Schichtkreise des Kegels gestuft, auch mit den
Gefällemaßstäben der Ebenen überein.
Der Böschungskegel kann zur Konstruktion folgender Aufgaben benutzt
werden:
1. In einer gegebenen Ebene durch einen gegebenen Punkt die Geraden
von gegebenem Anstieg zu zeichnen. Man mache den Punkt zur Spitze des
Böschungskegels vom gegebenen Anstieg; seine Schnittlinien mit der
Ebene sind die gesuchten Geraden. Zu ihrer Konstruktion genügt es,
irgendeinen Schichtkreis des Kegels mit der gleichkotierten Streichlinie der
Ebene zum Schnitt zu bringen (Fig. 21).

Fig. 21. Fig. 22.

2. Durch eine gegebene Gerade die Ebenen von gegebener Böschung zu
legen. Man mache irgendeinen Punkt der Geraden zur Spitze eines Kegels
der gegebenen Böschung; die gesuchten Ebenen sind diejenigen seiner
Berührungsebenen, die durch die gegebene Gerade gehen. Man konstruiert
sie, indem man von irgendeinem zweiten Punkte der Geraden die beiden
Tangenten an den mit ihm gleichkotierten Schichtkreis des Kegels legt
(Fig. 22).
Die Lösungen beider Aufgaben werden nicht reell, wenn die Böschung
der Ebenen kleiner ist als die der Geraden.

§ 21. Kreiszylinder, schiefer Kreiskegel, Kugel. Die Schichtlinien eines
schiefen Kreiszylinders mit wagerechter Grundfläche sind Kreise vom
selben Radius, deren Mittelpunkte auf der entsprechend der Neigung
gestuften Zylinderachse liegen. Ist der Zylinder gerade, so lagern sich alle
Schichtkreise kongruent übereinander.
Die Schichtlinien eines schiefen Kreiskegels
mit wagerechter Grundfläche sind Kreise, deren
Mittelpunkte auf der gestuften Projektion der
Kegelachse liegen, und deren Radien sich am
einfachsten aus demjenigen durch die Achse
gelegten ebenen Schnitte ergeben, dessen
Fig. 23. Schnittfigur ein gleichschenkliges Dreieck ist
(Fig. 23).
Die Figur 24 zeigt die Darstellung der oberen Hälfte eines geraden
Kreiszylinders mit wagerechter Achse; seine Schichtlinien sind parallele
Geraden, seine Halbkreise stellen sich dar als Geraden, die die Schichtlinien
senkrecht durchsetzen und von ihnen nach einem leicht aufzustellenden
Gesetze ungleichmäßig gestuft werden.
Eine entsprechende Darstellung tritt offenbar auch auf bei einem
Zylinder mit beliebigem Querschnitt, wenn nur seine erzeugenden Geraden
horizontal verlaufen.
Sind die erzeugenden Geraden des Zylinders nicht horizontal, so
bestehen seine Schichtlinien aus kongruenten Kurven, die aus einer von
ihnen durch Verschiebung längs der erzeugenden Geraden hervorgehen; aus
der Fig. 79 S. 55 ist ein Beispiel dafür zu entnehmen.

Fig. 24. Fig. 25.

Die Schichtlinien einer Halbkugel sind konzentrische Kreise, deren
Radien sich aus einem lotrechten Schnitt durch den Mittelpunkt der Kugel
ergeben (Fig. 25).

§ 22. Andere Oberflächen. Von andern gekrümmten Oberflächen, die
sich durch ihre Schichtlinien in einfacher Weise darstellen lassen, seien hier
nur beispielsweise folgende erwähnt:
1. Wenn man die gleichkotierten Punkte zweier windschiefer Geraden
geradlinig verbindet, so ergibt sich eine windschiefe Fläche mit
geradlinigen Schichtlinien, ein hyperbolisches Paraboloid (Fig. 26). Sein
Umriß, aus sehr großer Höhe von oben gesehen, ist eine Parabel, die auch
in der Figur deutlich erkennbar ist.

Fig. 26.

2. Der Leser versuche, die Schichtlinien einer gemeinen Schraubenfläche
mit senkrechter Achse darzustellen, und zwar etwa eine vollständige
Windung mit der Ganghöhe 8 Höheneinheiten. Man kann sie sich vorstellen
als Wendeltreppe, von der je 8 Stufen einen Umgang bilden.

Fig. 27.

3. Die Darstellung einer Umdrehungsfläche mit lotrechter Drehachse
durch ihre Schichtlinien ergibt ein System konzentrischer Kreise, deren
Radien aus einem Achsenschnitt der Fläche entnommen werden können
(Fig. 27). Über die Bedeutung der Linie DD vgl. § 60 S. 41.

II. ELEMENTARE ANWENDUNGEN
§ 23. Zweck der Anwendungen. In diesem Abschnitte wird es sich
darum handeln, die Verwendbarkeit der vorher entwickelten Konstruktionen
an einigen einfachen Aufgaben zu zeigen. Der Leser wird finden, daß diese
Aufgaben fast sämtlich ihre Anregung gewissen praktischen Fragen
verdanken, von denen sie, freilich zunächst unter sehr vereinfachenden
Annahmen, sozusagen den geometrischen Kern bilden. Es wird für den
Leser, der sich damit auch nur ein wenig vertraut machen will, wohl
unerläßlich sein, die eine oder andere der Aufgaben selber zeichnerisch in
größerem Maßstabe auszuführen. Die einfachsten Zeichenmittel genügen
dazu.

§ 24. Aufführung eines Dammes. Zwei ebene geneigte Hänge mögen
ein Tal bilden, dessen tiefste Linie, der Talweg, die Schnittgerade der beiden
Ebenen (§ 12) ist. Es soll ein aus ebenen Flächen gebildeter Damm von
gegebenem trapezförmigen Querschnitte, oder auch von gegebener Breite
und gegebenen Böschungen (§ 10), aufgeführt werden, von dem die
Mittellinie der Dammkrone zwei gegebene gleichkotierte Punkte der beiden
Hänge geradlinig verbindet.

Fig. 28. Fig. 28 a.

Man ziehe Parallelen zur Verbindungslinie der beiden gegebenen Punkte
A, B (Fig. 28), und zwar zunächst die beiden die Dammkrone begrenzenden

Geraden, sodann je noch irgendeine andere der Schichtgeraden beider
Böschungen, deren senkrechte Abstände von der Mittellinie aus dem
gegebenen Dammprofil (Fig. 28 a) zu entnehmen sind. Die Schnittpunkte
dieser Schichtgeraden mit den gleichkotierten der beiden gegebenen
Ebenen (§ 12) sind mit den Ecken des Dammes durch Geraden zu
verbinden, die sich auf dem Talwege schneiden müssen.

Fig. 29.

Bei der Ausführung der Zeichnung sind nur die sichtbaren Teile der
Schichtlinien auszuziehen.

§ 25. Querprofil. Durch die in der vorigen Figur 28 gegebene
Geländeanordnung längs einer gegebenen Richtung MN einen
Vertikalschnitt (Querprofil) zu legen.
Da die Begrenzung des verlangten Querprofils nur aus geradlinigen
Stücken zusammengesetzt ist, genügt es, von jedem dieser Stücke zwei
Punkte zu ermitteln. Man zeichnet die wagerechte Gerade 6–6 und mittels
des gegebenen Höhenmaßstabs die erforderlichen Horizontalen in den
verschiedenen Höhen, auf denen man, ausgehend von M, die horizontalen
Abstände der Punkte des gesuchten Querprofils abzutragen hat (Fig. 29).

§ 26. Anlage eines ebenen Platzes. Konstruktion eines rechteckigen
ebenen Platzes in gegebener Höhe (5) in einem durch zwei ebene Hänge
begrenzten Gelände. Böschung (§ 10) des Planums im Auftrage 2 : 3, im
Abtrage 3 : 1.

Fig. 30. Fig. 30 a.

Man bestimmt zunächst die Schnittpunkte A, B, C, D der gleichhohen
Schichtlinien (5) der beiden Geländeebenen mit der Begrenzungslinie des
Platzes, wodurch ersichtlich wird, an welchen Teilen aufgeschüttet und an
welchen abgetragen werden muß (Fig. 30). Nachdem man aus den
gegebenen Böschungen die Intervalle (§ 5) und damit die Gefällemaßstäbe
(§ 8) der Böschungsebenen ermittelt hat (vgl. die kleine Fig. 30 a), genügt
es, von den Ebenen einige Streichlinien (zur Kontrolle mehr als nötig) zu
zeichnen und ihre Schnittgeraden mit den Geländeebenen und
untereinander zu bestimmen (§ 12); letztere müssen (§ 14) die
Schichtlinienwinkel (hier rechte), also auch die (hier ebenfalls rechten)
Winkel der Begrenzung des Platzes halbieren. Zu beachten ist besonders die
Konstruktion des Böschungseckpunktes X talaufwärts, der als Schnittpunkt
von AA', BB' und dem Talweg beider Geländeebenen erhalten wird, wobei
A', B' die Schnittpunkte der Böschungsschichtlinie 4 mit den, hier über den
Talweg hinaus zu verlängernden Streichlinien 4 der Geländeebenen sind.

§ 27. Weg gegebener Steigung. Auf einem gegebenen ebenen Hange
von einem gegebenen Punkte aus einen geraden Weg gegebener Steigung
anzulegen, dessen Breite und Böschungen gegeben sind. Steigung 20% =
1 : 5, Böschung im Abtrag 3 : 1, in der Aufschüttung 2 : 3 (Fig. 31).

Fig. 31. Fig. 31 a.

Man stelle sich aus der gegebenen Steigung des Weges zunächst das
Intervall seiner Mittellinie her (Fig. 31 a) und zeichne sie in das gegebene
Gelände ein mittels der Böschungskegel, wie in § 20 angegeben:
zweckmäßig trägt man immer von dem gegebenen Punkte A aus das
Intervall, sein Doppeltes, Dreifaches usw. ab, und stellt zur Kontrolle fest,
ob die erhaltenen Punkte der Streichlinien auf einer Geraden liegen. In
diesen Punkten trägt man senkrecht zur Mittelgeraden die gegebene
Wegebreite auf, wodurch die Berandungen des Weges gefunden und
zugleich graduiert werden. Durch diese hat man die Böschungsebenen zu
legen, ebenfalls mittels der Böschungskegel, wie in § 20 gezeigt. Die
Radien der zu zeichnenden Schichtkreise der Böschungskegel sind
gleichfalls aus der Fig. 31 a zu entnehmen.

§ 28. Streichen und Fallen einer Ebene. An den Böschungsebenen
eines Eisenbahneinschnitts beobachtet man die Grenzlinie (Ausbißlinie, d.
h. Schnitt mit der Oberfläche) einer ebenen geologischen Schicht. Es ist
Streichen und Fallen (§ 10) der Schicht zu bestimmen.

Fig. 32.

Man ermittelt die Schichtlinien der gesuchten ebenen Schicht durch
Verbindung der gleichkotierten Schnittpunkte der beiden beobachteten
Geraden und der Schichtlinien der Böschungen. Jene Schichtlinien müssen
parallel und von gleichem Abstand sein, wenn anders die beobachtete
Schicht nicht eben ist. Dadurch ist der Gefällemaßstab und damit nach § 10
das Streichen und Fallen bestimmt. Der Streichwinkel ist in der Fig. 32
durch einen Bogen angedeutet.

§ 29. Dachausmittelung. Unter Dachausmittelung versteht man im
darstellend-geometrischen Sinne die Konstruktion von (im allgemeinen)
ebenen Dachflächen gegebener Böschung auf einem gegebenen
geradlinigen Gebäudegrundriß. Hierbei wird hauptsächlich von den Sätzen
des § 14 über den Schnitt zweier Ebenen gleichen Gefälles Gebrauch
gemacht. Jedoch ist zu bemerken, daß sich nicht allgemeine Gesichtspunkte
zur Konstruktion von Dachflächen angeben lassen, und vor allem, daß die
im folgenden ausgeführten Konstruktionen nicht immer in der Praxis der
Architekten Verwendung finden; das liegt sowohl in mancherlei
Zweckmäßigkeitsgründen wie auch an ästhetischen Rücksichten. Hier
sollen nur einige einfache Dachausmittelungen als Anwendungen gegeben
werden.

§ 30. Aufgabe. Ein Gebäude mit viereckigem Grundriß und überall gleich
hohen Mauern zu decken. Der Gefällemaßstab des Daches ist gegeben.

Nach § 14 sind die Schnittlinien benachbarter Dachflächen die
Winkelhalbierenden der Schichtlinien, zu denen auch die wagerechten
Begrenzungen gehören. Dadurch entstehen (Fig. 33) an den kürzeren
Vierecksseiten dreieckige Bedachungen, an den längeren viereckige, deren
Schnittgerade, die »Firstlinie« des Daches, durch Verbindung der
Dreiecksspitzen erhalten wird. Sie ist im allgemeinen nicht horizontal. Aus
ästhetischen Rücksichten pflegt man daher den über dem tiefsten Punkt der
Firstlinie gelegenen Dachteil gesondert mit so flachem Gefälle zu decken,
daß dieser Teil des Daches von unten praktisch nicht sichtbar ist. Man führe
eine solche Konstruktion aus.

§ 31. Fortsetzung. Da sich drei nicht derselben
Geraden parallele Ebenen stets in einem Punkte
treffen, so muß von dem Schnittpunkte zweier
Schnittlinien, die zwei Dachebenen miteinander
bilden, stets eine dritte Schnittlinie ausgehen.
Fig. 33.
Daher geht auch die Firstlinie durch den
Schnittpunkt der beiden Dachkanten der in ihr
zusammentreffenden Dächer hindurch; sie halbiert auch deren Winkel
(Fig. 33). Sind demnach diese beiden Dachkanten parallel, so ist auch die
Firstlinie parallel und daher horizontal.
Diese Bemerkungen erleichtern oft die Konstruktionen. Ein Beispiel mit
einer einspringenden Ecke gibt die Fig. 34.

Fig. 34.

§ 32. Aufschüttung einer Halde. Von einer wagerechten Ebene (Fig. 35,
Höhe 50), an die sich ein ebener Abhang anschließt, ist ein horizontales
Geleise gg auf Trägern über den Abhang hinausgebaut, um von dort
Schlacken auf den Abhang zu kippen. Das Geleise geht erst gerade, dann im
Halbkreise, dann wieder gerade zurück. Die Böschung der Halde ist
gegeben.

Fig. 35. Fig. 35 a.

Bei voller Aufschüttung besteht die Halde, soweit das Geleise geradlinig
ist, aus je zwei dachartig aneinandergesetzten Ebenen; ihr Gefällemaßstab
ist aus der gegebenen Böschung zu konstruieren. Längs des
halbkreisförmigen Geleises besteht die Halde aus zwei geraden Kegeln, die
einander längs des Geleises durchdringen. Ihre Böschung stimmt mit der
gegebenen ebenfalls überein; ihre Spitzen liegen lotrecht zum Mittelpunkte
des kreisförmigen Geleiseteils, im Querprofil (Fig. 35 a) bei S1 und S2. Die
Kegel schneiden die Geländeebenen in zwei Kegelschnitten (Ellipsen – wie
in der Fig. 35 –, Parabeln oder Hyperbeln, je nachdem die Böschung des
ebenen Abhanges kleiner, ebensogroß oder größer als die der Halde ist);
ihre großen Hauptachsen liegen in der Symmetrieebene des Geleises. Ein
Querschnitt durch diese gibt auch die Längen dieser Hauptachsen und die
Mitten der Ellipsen; dazu senkrechte Querschnitte durch die Ellipsenmitten
liefern die Längen der kleinen Achsen. Daraus lassen sich bekanntlich die
Ellipsen konstruieren. Auf ihnen schneiden sich gleichkotierte Schichtlinien
der Geländeebene und der Haldenfläche, nämlich sowohl der

Böschungsebenen wie der Böschungskegel; diese Schnittpunkte werden
daher beim Ziehen der Ellipsen von Nutzen sein.

§ 33. Ausschachten einer Grube. An einem ebenen Abhang soll eine
Grube mit kreisförmiger wagerechter Grundfläche und gegebener Böschung
ausgeschachtet werden.

Fig. 36. Fig. 36 a.

Die Lösung dieser Aufgabe ist der vorigen ähnlich und in Fig. 36
angegeben. Der Grubenrand ist eine Ellipse, deren Mittelpunkt und
Hauptachsen aus dem Querschnitt (Fig. 36 a) zu entnehmen sind. Auf der
Horizontalprojektion dieser Ellipse schneiden sich die gleichkotierten
Streichlinien der Geländeebene und die Schichtkreise des Böschungskegels.

§ 34. Tunnelmündung. An einem ebenen geneigten Abhang soll eine
Tunnelmündung angelegt werden. Die horizontale Mittelachse des Tunnels
und sein Querschnitt sind gegeben; die Tunnelmündung ist auch in wahrer
Gestalt zu konstruieren.
In der Fig. 37 sei rechts der Gefällemaßstab der gegebenen
Geländeebene, a (Höhe 6) die Tunnelachse, Fig. 37 a sei der gegebene
Querschnitt. Da die Gerade aa zugleich die Schnittgerade der vertikalen
Schnittebene längs der Tunnelachse mit der Zeichenebene, und nachdem sie
durch die gegebenen Streichlinien gestuft ist, auch mit der gegebenen
Ebene angibt, braucht man nur senkrecht zu ihr in den Punkten mit den
entsprechenden Koten die Querdimensionen des Tunnels, wie sie das Profil
angibt, abzutragen und in den Endpunkten Parallelen zur Tunnelachse zu
ziehen; diese ergeben die Schichtlinien des die Tunnelwand darstellenden

Zylinders. Ihre Schnittpunkte mit gleichkotierten Schichtlinien der
gegebenen Ebene sind Punkte der gesuchten Tunnelmündung. Die wahre
Gestalt dieser Tunnelmündung ist durch Drehen der Ebene um die
Schichtlinie der Tunnelsohle in die horizontale Lage nach § 18 zu
bestimmen: der Abstand der Streichlinien nach der Drehung ist die
Hypotenuse in einem Dreieck, dessen Katheten das ursprüngliche Intervall
und die mit 1 bezeichnete, aus dem gegebenen Profil zu entnehmende
Einheit des Höhenmaßstabs sind (vgl. links in der Fig. 37).

Fig. 37. Fig. 37 a.

Bei der Ausführung des in Fig. 37 gezeichneten Beispiels, bei dem das
Profil aus einem symmetrischen Trapez und einem darüber gesetzten
Halbkreise besteht, genügt es, die vier Ecken des Trapezes und den obersten
Punkt des Halbkreises festzulegen. Denn die entstehenden Figuren der
Tunnelmündung in der Karte und in wahrer Gestalt bestehen alsdann in
einem Viereck und einer darübergesetzten Halbellipse, in der die
ursprünglichen horizontalen und vertikalen Kreishalbmesser konjugierte
Halbmesser geworden sind; die Ellipsen sind daher leicht zu zeichnen, wie
das in den Elementen der darstellenden Geometrie gezeigt wird.

III. DARSTELLUNG DER
GELÄNDEFLÄCHEN
§ 35. Hauptschichtlinien. In der Einleitung wurde bereits von der
Darstellung einer Geländefläche durch ihre Schichtlinien, die Schnittkurven
mit wagerechten Ebenen, gesprochen, und in den vorhergehenden
vorbereitenden Abschnitten ist davon auch schon bei der Darstellung der
einfachen Flächen – Ebene, Zylinder, Kegel, Kugel – Gebrauch gemacht
worden.
Im folgenden sei nun die Gestalt der Geländefläche willkürlich
angenommen, jedoch vorausgesetzt, daß sie im allgemeinen glatt genug
verlaufe, so daß man sie durch die gezeichneten Schichtlinien als
hinreichend gegeben ansehen kann. Diese Schichtlinien, die gewöhnlich
Schichten gleicher Dicke entsprechen, und deren Höhenzahlen auch
gewöhnlich runde Zahlen sind, werden bisweilen Hauptschichtlinien der
Fläche genannt.
Die kotierte Projektion der Hauptschichtlinien eines Geländes auf eine
wagerechte Zeichenebene liefert bei nötiger Verkleinerung eine Karte oder
einen Plan des Geländes. Allen folgenden Betrachtungen wird ein solcher
Schichtenplan zugrunde gelegt; an ihm können alle Konstruktionen usw.
ausgeführt werden. Daher werden im Folgenden auch unter Schichtlinien,
Fallinien usw. schlechtweg ihre Abbildungen (d. h. verkleinerten
Projektionen) auf einer Karte verstanden, wenn nicht etwa aus dem
Zusammenhange hervorgeht, daß die Originale des Geländes selbst gemeint
sind.

§ 36. Zeichnerische Bemerkungen. Zunächst mögen einige
Bemerkungen über die zeichnerische Ausführung der Konstruktionen
eingeflochten werden, von denen im folgenden die Rede sein wird. In den
beiden vorhergehenden Abschnitten war fast alles mit dem Lineal, dem
Zirkel, Maßstab und Transporteur ausführbar. Diese elementaren Geräte
werden im folgenden nicht immer genügen, wie das in der Natur der Sache

liegt, wenn sich die Konstruktionen nicht auf gerade Linien und Kreise
beschränken sollen.
Oft wird es von Vorteil oder geboten sein, die Konstruktionen nicht an
der vorhandenen Karte selbst auszuführen. Dann zeichnet man sich den
erforderlichen Teil des Geländes auf ein besonderes Zeichenblatt ab,
entweder mittels Pauspapiers, nachdem man eine Anzahl wichtiger Punkte
und etwa das Gradnetz des Geländes besonders festgelegt hat, oder besser
und genauer mit einem Storchschnabel (Pantographen).
Man kann damit zugleich die herauszuzeichnenden Teile der Karte in
vergrößertem Maßstabe wiedergeben, was oft sehr nützlich ist.

§ 37. Der Storchschnabel (Pantograph;
Christoph Scheiner, † 1650) besteht (Fig. 38)
aus zwei durch eine Parallelogrammführung
(CD = ES, CE = DS) verbundenen Stangen
AC und BC mit gemeinsamem Drehpunkt C;
aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ADS und
ACB folgt AS : AB = AD : AC. Wenn also der
Punkt A des Apparates am Zeichentisch oder
Fig. 38.
Reißbrett festgemacht wird, bei S sich ein
über der abzuzeichnenden Karte beweglicher
Fahrstift (scharfe Spitze, die durch eine daneben angebrachte ein wenig
längere Stütze dicht über der Karte geführt wird), bei B der auf dem Papier
zeichnende Bleistift befindet, so liefert der letztere eine Vergrößerung im
Verhältnis AD : AC. Ist SB' = AC, so beschreibt B' dieselbe Figur wie S.
Für die hier in Frage kommenden Zwecke genügt meist ein ganz
einfacher Apparat, wie er für weniges Geld zu haben ist. Man wird ihn
nötigenfalls ein wenig ausrichten und seine Vergrößerung prüfen müssen.
Dies geschieht, indem man mit dem Fahrstift eine bekannte Strecke
durchläuft und sie mit der vom Bleistift gezeichneten Strecke vergleicht.

§ 38. Glatte Kurve. Oft wird verlangt, durch eine Reihe passend
gegebener Punkte eine glatte Kurve zu legen. Diese Aufgabe ist bis zu
einem gewissen Grade willkürlich, weil der Begriff der »glatten Kurve«
nicht bestimmt genug ist. Man zieht eine solche Kurve mit Benutzung des

Kurvenlineals. Auch die Schichtlinien sind so zu zeichnen, aber nicht, wie
es manchmal zu sehen ist, mit willkürlichen Wellen und Zacken
dazwischen, die viele Konstruktionen ganz unausführbar machen würden.

§ 39. Spiegellineal. Um an eine durch Zeichnung gegebene ebene Kurve
in einem gegebenen Punkte die Tangente oder Normale zu konstruieren,
bedient man sich zweckmäßig eines Spiegellineals, d. h. eines Lineals, das
an einer zur Zeichenebene senkrechten ebenen Seitenfläche das Spiegelbild
der gezeichneten Kurve erkennen läßt. Dreht man es so lange um den
gegebenen Punkt, bis Spiegelbild und gezeichnete Kurve ohne merklichen
Knick ineinander überzugehen scheinen, so ist die Schnittgerade der
Spiegel- und Zeichenebene Normale der Kurve, ihre Senkrechte im
gegebenen Berührungspunkte also die Tangente.
Als Spiegellineal läßt sich ein mit einer geraden Kante versehener, und,
damit die Vorderfläche, nicht die Hinterfläche spiegelt, schwarz hinterlegter
Spiegelglasstreifen verwenden; für viele Zwecke genügt auch ein mitten auf
die nicht abgeschrägte Zentimeterteilung eines gewöhnlichen
Rechenschiebers geklebtes geglättetes und mit dem Ballen der Hand
poliertes Stück Stanniol.

§ 40. Tangente. Von einem geeignet gegebenen Punkte, der nicht auf
einer gegebenen Kurve liegt, läßt sich zwar recht genau an diese eine
Tangente mit dem Lineal legen; doch bleibt dabei die Lage des
Berührungspunktes unscharf. Man findet ihn durch eine Korrektions- oder
Fehlerkurve, die man z. B. erhält, indem man eine Reihe von Sekanten
zieht, entweder durch den gegebenen Punkt, oder der gezeichneten
Tangente parallel, deren zwischen der Kurve gelegene Sehnen man halbiert
(Fig. 39).

Fig. 39.

§ 41. Hüllkurve. Statt daß eine Kurve zeichnerisch durch eine
genügende Anzahl Punkte bestimmt wird, kommt es auch oft vor, sie zu

zeichnen, wenn eine hinreichende Anzahl Tangenten von ihr gegeben sind;
das wird ebenfalls durch passendes Anlegen des Kurvenlineals ausgeführt.
Man spricht in diesem Falle davon, daß die Tangenten die Kurve
einhüllen, letztere die Hüllkurve (Enveloppe) der Tangenten ist. Vgl. z. B.
die Fig. 26.

§ 42. Evolute. Zeichnet man zu einer
gegebenen Kurve, die von einem Kreise oder
einer Geraden verschieden ist, (mit dem
Spiegellineal) genügend viele Normalen, so
hüllen sie im allgemeinen eine zweite Kurve ein,
die Evolute der ursprünglichen (Fig. 40). Der
Punkt M, in dem diese eine bestimmte, durch den
Kurvenpunkt P gehende Normale berührt, heißt
der zu P gehörige Krümmungsmittelpunkt der
ursprünglichen Kurve, so daß also die Evolute Fig. 40.
der Ort der Krümmungsmittelpunkte ist. Der
Kreis mit dem Zentrum M und dem Radius PM
heißt Krümmungskreis und schmiegt sich an die gegebene Kurve in P
inniger an als jeder andere Kreis, obwohl er im allgemeinen die Kurve
durchschneidet.

§ 43. Parallelkurven. Trägt man auf den Normalen einer Kurve von
dieser aus nach derselben Seite gleiche Stücke ab, so erhält man eine
äquidistante oder parallele Kurve. Alle Parallelkurven haben also dieselben
Normalen und demnach eine gemeinsame Evolute. Sie heißen auch die zu
der Evolute gehörigen Evolventen.
Auch andere Kurven, z. B. Kreise, können – natürlich ebenfalls nur bei
gewissen Anordnungen – einhüllende Kurven besitzen. Davon macht man
unter anderm zweckmäßig Gebrauch, um noch auf eine zweite Art zu einer
gegebenen eine parallele Kurve im gegebenen Abstand zu zeichnen. Man
zieht um eine genügende Anzahl von Punkten der gegebenen Kurve Kreise,
deren Radius der gegebene Abstand ist, und zeichnet die beiden Hüllkurven
dieser Kreise.

§ 44. Berührungen im Raum. Von den folgenden leicht
nachzuweisenden Sätzen, die über die Darstellung einer Berührung im
Raume gelten, wird in Zukunft oft stillschweigend Gebrauch gemacht,
wenn Berührungskonstruktionen statt auf der Geländefläche auf einem Plan
von ihr ausgeführt werden.
Eine beliebige Raumkurve, eine Tangente an ihr und der
Berührungspunkt gehen im allgemeinen bei der Projektion in eine ebene
Kurve, eine Tangente an dieser und den Berührungspunkt über, und zwar
entsprechen die beiden Kurven, die beiden Tangenten und die beiden
Berührungspunkte einander.
Daraus folgt: wenn zwei Raumkurven sich in einem Punkte berühren, so
berühren sich auch ihre Projektionen in einem Punkte, der die Projektion
jenes ist.

§ 45. Relief eines Geländes. Die topographische Aufnahme eines
Geländes geschieht meist durch Höhenmessung einer ausreichenden Anzahl
einzelner Punkte, deren geographische Lage (etwa Länge und Breite, oder
andere Koordinaten) bekannt ist. Danach werden dann die Schichtlinien
konstruiert, wovon nachher im § 48 noch die Rede sein wird.
Wenn man für jede Hauptschichtlinie gleich starke Lagen von Pappe oder
Holz, deren Dicke der Schichtendicke entspricht, so ausschneidet, wie die
Schichtlinie angibt, und sie dann richtig aufeinanderlegt, so erhält man ein
terrassenförmiges Gebilde, das angenähert ein Relief des Geländes darstellt.
Auf diese Weise werden nach Ausfüllung der Terrassen meist Reliefs von
gebirgigen Gegenden wirklich hergestellt.

§ 46. Kurven auf einer Geländefläche. Außer den Schichtlinien sind
natürlich noch eine ganze Reihe anderer Kurven im Zusammenhang mit
einer Geländefläche zu betrachten, die teils auf ihr gelegen sind, teils sie
durchdringen oder berühren: Wege auf dem Gelände, Eisenbahnlinien,
Schnittkurven mit anderen Flächen, scheinbare Horizonte usw. Auch diese
alle hat man sich in den Plan eingezeichnet zu denken. Es wird zweckmäßig
sein, zunächst die hauptsächlichsten Eigenschaften solcher Raumkurven
kennen zu lernen, da sie naturgemäß bei den Konstruktionen an
Geländeflächen fortgesetzt vorkommen.

§ 47. Darstellung einer Raumkurve. Eine beliebige Raumkurve ist
durch ihre Projektion gegeben, wenn zugleich für eine genügende Anzahl
ihrer Punkte die Höhenzahlen bekannt sind. Man denke etwa an die
Darstellung des Weges, den ein Luftschiff durchmessen hat.
Alle, die Punkte einer Raumkurve projizierenden lotrechten Strahlen
bilden einen Zylinder, den projizierenden Zylinder, und seine Abwickelung
gibt das Profil längs der Raumkurve, das Längenprofil. Man zeichnet diese
Abwickelung, indem man mittels einer genügend kleinen Zirkelöffnung die
Kurve in so kleine Stücke teilt, daß sie innerhalb der Zeichengenauigkeit als
geradlinig (vgl. § 85) betrachtet werden können, trägt diese Stücke mittels
derselben Zirkelöffnung längs einer Geraden ab, bezeichnet dabei die
kotierten Punkte und trägt in ihnen die entsprechenden Höhen lotrecht auf.
Die Endpunkte dieser Lote bilden das erwähnte Längenprofil (Fig. 41 u.
41 a).

Fig. 41. Fig. 41 a.

§ 48. Einschalten von Punkten und Konstruktion von Schichtlinien.
Man benutzt ein solches Längenprofil, um in die Kurve Punkte gegebener
Kote einzuschalten, z. B. die Punkte mit runden Höhenzahlen
(Hauptpunkte), wodurch dann eine Stufung der gegebenen Kurve in
ähnlicher Weise ausgeführt wird, wie das früher (§ 4) bei der geraden Linie
geschehen ist.
Davon macht man z. B. Gebrauch, um aus den vermessenen Punkten
eines Geländes seine Hauptschichtlinien zu konstruieren (vgl. § 45). Man
verbindet zu diesem Zwecke geeignete vermessene Punkte der Fläche durch
eine glatte Kurve, zeichnet deren Längenprofil, aus dem man dann leicht
die Zwischenpunkte mit runden Höhenzahlen entnehmen kann. Das ist in

der Fig. 41 z. B. an der Linie AB näher ausgeführt. Die Verbindungskurven
sind möglichst quer zu den zu erwartenden Schichtlinien zu wählen.
Ein derartiges Längenprofil wird ferner in praktischen Fällen oft benutzt,
um z. B. das Steigen und Fallen eines Weges oder einer Eisenbahnstrecke
unabhängig von den Krümmungen der Linienführung darzustellen, oder um
die geologische Gestaltung des Erdinnern längs eines Tunnels oder Stollens
zu verfolgen.

§ 49. Böschung einer Raumkurve. Unter dem Anstieg (Böschung) einer
Raumkurve in einem ihrer Punkte versteht man den Anstieg der Tangente in
diesem Punkte. Die Projektion der Tangente fällt nach § 44 zusammen mit
der Tangente der Projektion der Raumkurve. Da sie bei der Abwickelung
des projizierenden Zylinders auch in die Tangente des Längenprofils
übergeht, so kann damit ihre Stufung nach § 4 leicht ausgeführt werden
(vgl. Fig. 42).

Fig. 42. Fig. 43.

§ 50. Böschungslinie. Unter dem Intervall einer Raumkurve in einem
ihrer Punkte versteht man das Intervall der zugehörigen Tangente. Im
allgemeinen ändert es seine Größe längs der Kurve: je kleiner es ist, um so
steiler, je größer, um so flacher verläuft die Kurve in der Nähe der
betreffenden Stelle. Ist das Intervall längs der ganzen Kurve von derselben
Länge, so hat die Kurve konstante Steigung; sie heißt dann eine
Böschungslinie; ihr Längenprofil ist eine Gerade, wie das in Fig. 43 gezeigt
ist.
Bei genügend enger Graduierung ist das Intervall einer Raumkurve in
einem Punkte näherungsweise gleich der Entfernung der beiden
benachbarten Hauptpunkte.

§ 51. Normalebene, Planierungsfläche. Die auf der Tangente im
Berührungspunkte senkrechte Ebene heißt Normalebene der Kurve; ihr
Gefällemaßstab ist nach § 6 zu konstruieren als die in einer lotrechten
Ebene gelegene Senkrechte zur Tangente im Berührungspunkte (vgl.
Fig. 44): das Intervall ist entgegengesetzt gerichtet und reziprok zu dem der
Tangente, wozu in der Figur das rechtwinklige Dreieck mit der Höhe 1
(Einheit des Höhenmaßstabes) dient. Jede in der Normalebene gelegene, die
Kurve schneidende Gerade heißt Normale der Kurve.

Fig. 44. Fig. 45.

Sämtliche horizontalen Normalen bilden eine im allgemeinen
windschiefe Fläche, die die Kurve enthält, die Planierungsfläche. Die
Projektionen dieser Normalen sind die mittels des Spiegellineals leicht in
die Karte zu zeichnenden Normalen der gegebenen Projektion der Kurve.
Trägt man auf ihnen von der Kurve aus beiderseits dasselbe Stück ab, so
erhält man die Darstellung eines Weges, dessen Mittellinie die gegebene
Kurve ist (Fig. 45).
Im allgemeinen besteht die Planierungsfläche aus zwei Flügeln, die längs
derjenigen Raumkurve aneinanderstoßen, deren Projektion die Evolute der
gegebenen Projektion der Kurve ist. Längs dieser Raumkurve durchdringt
die Planierungsfläche sich selbst. Zum Beispiel ist die Planierungsfläche
einer gewöhnlichen zylindrischen Schraubenlinie mit lotrechter Achse die
gemeine Schraubenfläche, ihre Selbstdurchdringungskurve die lotrechte
Achse selbst.

§ 52. Schmiegungsebene. Ebenso wie die Tangente einer Kurve die
Grenzlage der Sekante ist für den Fall, daß der eine Kurvenpunkt sich dem
anderen mehr und mehr nähert, so ist die Schmiegungsebene die Grenzlage

aller durch drei Punkte der Kurve gehenden Ebenen für den Fall, daß zwei
der Punkte sich dem dritten mehr und mehr nähern, übrigens, wenn von
einer Schmiegungsebene überhaupt die Rede sein soll, gleichgültig, in
welcher Weise diese Annäherung ausgeführt wird. Daher ist die Tangente in
der Schmiegungsebene gelegen.
Um die Schmiegungsebene in einem gegebenen Punkte der Kurve zu
konstruieren, wird man demnach zuerst die zugehörige Tangente zu ziehen
und nach § 49 zu graduieren haben. Die Schmiegungsebene wird alsdann
eindeutig bestimmt sein, sobald man die Richtung einer ihrer Streichlinien
kennt, z. B. derjenigen, die durch den gegebenen Kurvenpunkt geht. Die
Hauptstreichlinien sind zu dieser parallel und gehen durch die Hauptpunkte
der Tangente.

Fig. 46.

Bei der Konstruktion der Schmiegungsebene muß man natürlich von
ihrer Erklärung Gebrauch machen und also eine Reihe von Ebenen
zeichnen, deren Grenzlage sie ist. Zum Beispiel kann man zweckmäßig
solche Ebenen wählen, deren einer Punkt der gegebene ist, während die
beiden anderen entgegengesetzt gleiche Höhenabstände von ihm haben. Das
ist in Fig. 46 ausgeführt, indem jedesmal die Verbindungsgerade der beiden
letztgenannten Punkte graduiert ist. Diese Ebenen hüllen eine Fläche ein,
auf der die gegebene Kurve gelegen ist, und auf der sich leicht die
Höhenlinien als Verbindungskurven der Punkte gleicher Höhenzahlen
zeichnen lassen, insbesondere auch die durch den gegebenen Kurvenpunkt
gehende. Irgendeine durch diesen Punkt gehende Sekante der Höhenlinie ist

in einer der besagten Ebenen als Schichtlinie enthalten. In dem Grenzfall
der Schmiegungsebene geht also diese Sekante in die Tangente der
erwähnten Schichtlinie im gegebenen Punkte über und wird zugleich
Schichtlinie der Schmiegungsebene. Danach ist diese leicht zu zeichnen.

§ 53. Hauptnormale, Binormale. Die Schmiegungsebene und die
Normalebene schneiden sich in der Hauptnormalen der Kurve. Das Lot auf
der Schmiegungsebene im Berührungspunkte heißt Binormale der Kurve.
Beide Geraden lassen sich nach § 12 und § 6 konstruieren.
Wer die angegebene Konstruktion der Tangente, Schmiegungsebene usw.
wirklich ausgeführt hat, wird unschwer bemerkt haben, daß dabei die
Genauigkeit der Zeichnung geringer ist als bei den bisherigen
Konstruktionen. Der Grund dafür liegt in den Erklärungen der Tangente
usw. als Grenzlagen gewisser Geraden usw. Diese Bemerkung gilt auch für
eine ganze Reihe von Konstruktionen an Kurven und Flächen, wie sie im
folgenden mitgeteilt werden.

Fig. 47.

§ 54. Schnitt einer Fläche mit einer Ebene. Um die Schnittkurve einer
Fläche mit einer gegebenen Ebene zu konstruieren, bringt man die
Schichtlinien der Fläche mit den gleichkotierten Streichlinien der Ebene
zum Schnitt und verbindet die erhaltenen Punkte durch eine glatte Kurve.
Diese wird Ausschnittlinie, Ausbißlinie, Verschneidung der Ebene genannt
(Fig. 47).

Fig. 48. Fig. 48 a.

Wenn man die gegebene Fläche längs einer gegebenen Richtung durch
eine lotrechte Ebene schneidet und diese samt der Schnittfigur in die
Zeichenebene umklappt, so erhält man ein Querprofil der Fläche längs der
gegebenen Richtung (Fig. 48). Oft ist es zweckmäßig, um die Zeichnung
nicht zu verwirren, oder bei Benutzung einer Karte, das Querprofil auf eine
besondere Zeichnung zu übertragen: das geschieht längs der gegebenen
Richtung mittels des Zirkels oder einfacher mittels eines angelegten
geraden Papierstreifens (Fig. 48 a).

§ 55. Anwendung. Die Konstruktion von Ausschnittlinien und
Querprofilen kommt sehr oft bei Aufgaben des Tiefbaues, bei geologischen
oder bergmännischen Fragen vor. Zum Beispiel, wenn man an irgendeiner
Stelle des Geländes das Streichen und Fallen einer (in erster Annäherung als
eben angenommen) geologischen Schicht beobachtet hat, so ist es von
Wichtigkeit, die (mutmaßliche) Ausbißlinie dieser Schicht zu kennen, um
dadurch zu wissen, an welchen Stellen des Geländes man mit einiger
Aussicht auf Erfolg durch Schürfarbeit die Schicht bloßlegen und vielleicht
abbauen kann; oder wie tief ein Schacht, der an einer gegebenen, dem
Verkehr zugänglichen Stelle anzulegen ist, niedergebracht werden muß, bis
er die Schicht erreicht.

Fig. 49.

Man hat dann zunächst aus dem beobachteten Einfallen und Streichen die
Schichtlinien der Ebene und damit ihren Gefällemaßstab nach § 11 zu
konstruieren, alsdann, wie im vorigen Paragraphen angegeben, ihre
Ausbißlinie (in der Figur gestrichelt) mit der Fläche herzustellen,
schließlich durch den Schacht in der durch die Fallinie der Ebene
gegebenen Richtung ein Querprofil durch das ganze Gelände zu legen.
Daraus ist dann die Teufe des Schachtes zu entnehmen. Dies ist in der
Fig. 49 ausgeführt.

§ 56. Einschalten von Höhenlinien. Für manche konstruktiven Zwecke
reichen oft die vorhandenen Höhenlinien nicht an allen Stellen der Karte
aus, um die verlangten Konstruktionen mit genügender Genauigkeit
auszuführen. Dann wird es erforderlich, zwischen die vorhandenen noch
andere Höhenlinien einzuschalten. Zweckmäßig kann das mit Hilfe von
Querprofilen geschehen, die man an den betreffenden Stellen der Karte in
genügender Anzahl legt, und aus denen man die erforderlichen Punkte für
die zu konstruierenden Zwischenschichtlinien entnimmt (vgl. Fig. 50).

Fig. 50. Fig. 51.

Wenn die Höhenlinien nur schwach gekrümmt sind, kann man mittels
eines einfach anzulegenden Maßstabes Punkte der einzuschaltenden
Schichtlinien mit genügender Annäherung auffinden, wie das aus der
Fig. 51 hervorgeht; bei geradlinigen Schichtlinien wäre dieses Verfahren
streng richtig.
Am genauesten und in jedem Falle anzuwenden sind die Längenprofile
quer zu den Schichtlinien (längs der Fallinien, vgl. § 58), und zwar so, wie
es im § 48 gezeigt worden ist.

§ 57. Berührungsebene und Normale einer Fläche. Um in einem
gegebenen Punkte der Fläche die Berührungsebene zu konstruieren,
bedenke man, daß diese von einer durch den Punkt gehenden wagerechten
Ebene in einer wagerechten Geraden geschnitten wird; diese Gerade ist eine
Tangente der Fläche in dem gegebenen Punkte, also auch eine Tangente an
die durch den Punkt gehende Höhenlinie der Fläche. Da den Berührungen
auf der Fläche auch Berührungen in der Karte entsprechen (§ 44), so ist
demnach auf dem Plane die Normale der Höhenlinie in dem gegebenen
Punkte (mit dem Spiegellineal zu zeichnen) die Projektion einer Fallinie der
gesuchten Berührungsebene. Konstruiert man das durch die Richtung dieser
Fallinie bestimmte Querprofil der Fläche nach § 54, so ist die Fallinie an
ihm in dem gegebenen Punkte Tangente. Ihr Böschungsmaßstab ist also
auch der Gefällemaßstab der gesuchten Berührungsebene (vgl. Fig. 52 u.
52 a).

Fig. 52. Fig. 52 a.

Die Flächennormale ist das Lot auf der Berührungsebene im
Berührungspunkte. Da es in der eben erwähnten Profilebene liegt, fällt
seine Projektion mit der der Fallinie der Berührungsebene zusammen. Sein
Gefällemaßstab hat nach § 6 das reziproke Intervall desjenigen der
Berührungsebene, ist ihm entgegengesetzt gerichtet und daher wie dort
angegeben zu bestimmen.

§ 58. Normalebene, Fallinien einer Fläche. Irgendeine die
Flächennormale enthaltende Ebene heißt Normalebene der Fläche; sie
schneidet die Fläche in einem Normalschnitt, die Berührungsebene in einer
Tangente der Fläche. Durch jeden Flächenpunkt gehen also unzählig viele
Tangenten, von denen im allgemeinen nur eine, die zugleich Tangente der
durch den Berührungspunkt gehenden Schichtlinie der Fläche ist, horizontal
läuft. Die anderen verlaufen paarweise mit demselben Anstieg, bis auf eine,
deren Gefälle mit dem der Ebene übereinstimmt. Es ist zugleich das größte
unter allen betrachteten und wird Gefälle der Fläche in dem betreffenden
Punkte genannt. Geht man von einem Punkte der Fläche in Richtung des
eben erwähnten größten Gefälles, der Fallrichtung, also senkrecht zur
Schichtlinie, weiter zu einem Punkte der nächsten Schichtlinie, von da in
derselben Weise weiter und so fort, so durchläuft man eine Fallinie der
Fläche.
Die Fallinien stehen auf den Schichtlinien senkrecht. Um sie zu
konstruieren (Fig. 53 u. 54), bedient man sich zweckmäßig des
Spiegellineals: man errichtet, von einem Punkte einer Schichtlinie
ausgehend, auf ihr mittels des Spiegellineals die Normale, setzt an sie in
einem Punkte, der etwa mitten bis zur nächstfolgenden Schichtlinie gelegen
ist, die Normale zu dieser an, usw. Diese Normalen hüllen die gesuchte
Fallinie ein, deren Tangenten sie sind (§ 41). Dabei ist es erforderlich, daß

genügend viele Schichtlinien zu Verfügung stehen; nötigenfalls werden
zuvor einige einzuschalten sein (§ 56).

Fig. 53. Fig. 54.

§ 59. Schraffur einer Karte. Die Fallinien einer Geländefläche geben
die Richtung des langsam herabfließenden Wassers an. Im allgemeinen geht
durch jeden Punkt der Fläche genau eine Fallinie; über die besonders zu
erwähnenden Ausnahmen s. weiter unten § 61.
Der Anstieg längs der Fallinien einer Fläche ist im allgemeinen
veränderlich; man pflegt in der Kartenkunde das stärkere oder schwächere
Gefälle des Geländes durch stärkeres oder schwächeres Ausziehen der
Fallinien kenntlich zu machen, um dadurch einen erhabenen Eindruck der
Karte hervorzurufen. Dazu benutzt man meistens eine dem Gefälle
entsprechend abgetönte Schraffur. Die Richtung der Schraffenstriche
stimmt mit der Richtung der Fallinien überein.

§ 60. Krümmung einer Fläche. Hinsichtlich der Punkte, die eine Fläche
außer dem Berührungspunkte in seiner Nachbarschaft mit der
Berührungsebene gemeinschaftlich haben kann, sind drei verschiedene
Fälle möglich, wenn man von besonderen Ausnahmen absieht.
Entweder hat die Oberfläche mit ihrer Berührungsebene in der
Umgebung des Berührungspunktes weiter gar keinen Punkt gemeinsam; die
Berührungsebene verläuft dort dann also ganz auf einer Seite der Fläche.
Dann heißt die Fläche in dem betrachteten Berührungspunkte bauchig
(positiv oder elliptisch gekrümmt). Vgl. 55 und 55 a. Das Ellipsoid gibt
dafür ein Beispiel in jedem seiner Punkte.

Fig. 55. Fig. 55 a.

Oder zweitens die Berührungsebene durchdringt in der Nähe des
Berührungspunktes die Fläche so, daß die Schnittkurve beider im
Berührungspunkte einen Doppelpunkt besitzt. Dann heißt die Fläche
daselbst sattelförmig (negativ oder hyperbolisch gekrümmt). Vgl. Fig. 56
und 56 a. Das einschalige Hyperboloid oder das hyperbolische Paraboloid
ist in jedem seiner Punkte sattelförmig; die Schnittkurve besteht hier aus
den beiden, sich im Berührungspunkte schneidenden erzeugenden Geraden.

Fig. 56. Fig. 56 a.

Oder drittens: die Berührungsebene dringt zwar ebenfalls in der Nähe des
Berührungspunktes in die Fläche ein, aber so, daß die Schnittkurve beider
nur einmal durch den Berührungspunkt geht. Dann heißt die Fläche in dem
betreffenden Punkte parabolisch gekrümmt. Vgl. Fig. 57 und 57 a. Ein
Kegel mit beliebiger Basis ist in jedem seiner Punkte parabolisch
gekrümmt. Flächenstücke, deren sämtliche Punkte parabolisch gekrümmt
sind, lassen sich ohne Dehnung und Faltung derartig verbiegen, daß sie
Teile einer Ebene werden, oder, was dasselbe besagt, man kann sie auf eine
Ebene abwickeln; daher heißen solche Flächen abwickelbar.

Fig. 57. Fig. 57 a.

Es kann vorkommen, daß auf einer und derselben Fläche sowohl
bauchige wie sattelförmige Teile vorhanden sind. Sie werden dann getrennt
durch eine Kurve, die Krümmungsgrenze (Demarkationslinie, parabolische
Kurve), in deren Punkten die Fläche parabolisch gekrümmt ist. Ein Beispiel
dafür ist die in der Fig. 27 auf S. 18 abgebildete glockenförmige
Umdrehungsfläche: DD bezeichnet die Krümmungsgrenze, der obere Teil
ist bauchig, der untere sattelförmig.

§ 61. Der Verlauf der Schicht- und Fallinien längs einer Geländefläche
ist äußerst mannigfaltig und scheinbar sehr regellos. Jedoch kann man oft
aus dem bloßen Anblick dieser Linien in der Karte geometrische
Eigenschaften der Fläche an der betrachteten Stelle herauslesen; und es ist
für die Beschäftigung mit der Kartenkunde sehr wichtig, sich darin eine
gewisse Übung zu verschaffen.
Da die Schichtlinien als Linien gleichen Wasserstandes aufgefaßt werden
können, müssen sie auf einer nicht willkürlich begrenzten Geländefläche
stets geschlossen sein. Keine zwei Schichtlinien verschiedener Höhen
können sich schneiden. Bei Ausschluß überhängender Teile des Geländes
gilt dies auch von den Projektionen der Schichtlinien in der Karte. Im
allgemeinen geht durch jeden Punkt des Planes genau eine Schichtlinie; es
gibt jedoch gewisse Ausnahmepunkte.

§ 62. Gipfel-, Mulden- und Jochpunkt. Zunächst gibt es solche Punkte,
durch die keine Schichtlinie geht oder, genauer gesagt, deren zugehörige
Höhenlinie auf den Punkt selbst zusammengeschrumpft ist. Es sind die
Punkte, die höher oder tiefer liegen als sämtliche Punkte ihrer Umgebung.

Sie heißen Gipfel- oder Muldenpunkte, je nachdem die benachbarten
Schichtlinien, von ellipsenähnlicher Gestalt, kleinere oder größere
Höhenzahlen haben (Fig. 58).

Fig. 58. Fig. 59.

Sodann gibt es solche Punkte, durch die zwei, vielleicht auch mehrere
Schichtlinien (derselben Höhenzahl) hindurchgehen. Der gewöhnlichste
dieser Punkte ist der Jochpunkt, die tiefste Stelle zwischen zwei
Erhebungen und Ausgangsstelle zweier durch einen Bergrücken getrennter
Täler, oder auch, was dasselbe bedeutet, die höchste Stelle zwischen zwei
Tälern und Ausgangsstelle zweier durch ein Tal getrennter Bergrücken
(Fig. 59). Besondere Fälle treten ein, wenn mehrere Täler und mehrere
Bergrücken von einem gemeinsamen Punkte entspringen, wovon die
Fig. 60 ein Beispiel gibt.

Fig. 60.

Die Berührungsebene in einem Gipfel- oder Mulden- oder Jochpunkte ist
wagerecht, wie sich auch aus einer Betrachtung der Querprofile sogleich
ergibt. Da sie in der Umgebung eines Gipfelpunktes ganz oberhalb der
Fläche, in der Umgebung eines Muldenpunktes ganz unterhalb liegt, so ist

die Fläche in diesen Punkten bauchig (§ 60). In einem Jochpunkt ist sie
dagegen sattelförmig.

§ 63. Wasserscheide und Talweg. Im allgemeinen geht durch jeden
Punkt einer Geländefläche genau eine Fallinie; aber auch hiervon gibt es
Ausnahmen. Durch jeden Gipfel- und jeden Muldenpunkt gehen unzählig
viele Fallinien, ebendie, welche die benachbarten elliptischen Schichtlinien
der Umgebung senkrecht durchschneiden. Die Fig. 61 zeigt den Verlauf
dieser Fallinien, wie ihn eine genauere Betrachtung, die hier zu weit führen
wurde, erkennen ließe: die Fallinien berühren nämlich sämtlich die
gemeinsame große Achse der Ellipsen im Mittelpunkt, dem in Rede
stehenden Gipfel- oder Muldenpunkt, bis auf eine, die in Richtung der
kleinen Achse verläuft. Wenn die Schichtlinien in der Umgebung eines
Gipfel- oder Muldenpunktes angenähert konzentrische Kreise sind, wie es
z. B. bei einer Umdrehungsfläche mit senkrechter Drehachse (vgl. Fig. 27
Seite 18) eintreten kann, dann verlaufen natürlich die Fallinien radial, und
keine von ihnen ist bevorzugt (Kreispunkt oder Nabelpunkt).

Fig. 61.

In der Nähe eines Jochpunktes verlaufen die Schichtlinien der Fläche
angenähert wie Hyperbeln mit gemeinsamen Hauptachsenrichtungen und
gemeinsamem Mittelpunkt. Den Verlauf der Fallinien zeigt die Fig. 62:
durch den Jochpunkt selbst gehen zwei Fallinien in Richtung der
Hauptachsen.

Fig. 62.

Auf manchen Flächen treten Fallinien auf, in deren Umgebung sich die
benachbarten um so enger zusammendrängen, je näher sie an jenen liegen.
Solche Fallinien sollen ausgezeichnete Fallinien heißen. Es kann ferner
vorkommen, daß auf einer solchen ausgezeichneten Fallinie ein oder
mehrere Punkte liegen, in denen benachbarte Fallinien wirklich einmünden
oder aus denen sie entspringen, oder daß sich ihr die benachbarten Fallinien
asymptotisch nähern (in einem sehr fernen Punkte einmünden). Eine
derartige ausgezeichnete Fallinie mit Mündungspunkten (einschließlich
asymptotischen Einmündens) heißt Talweg, falls die benachbarten Fallinien
im Sinne abnehmender Höhen einmünden oder sich ihr im absteigenden
Sinne asymptotisch nähern. Dagegen heißt sie Kammweg (Rückenlinie,
Wasserscheide), falls die Fallinien im Sinne aufsteigender Höhen
einmünden, d. h. aus ihnen entspringen. Eine ausgezeichnete Fallinie kann
in ihrem Verlauf teils Talweg, teils Wasserscheide, teils keins von beiden
sein. Der Name Talweg, der übrigens als deutsches Fremdwort in die
französische Sprache eingedrungen ist (le thalweg), rührt von dem
deutschen Wasserbaumeister Wiebeking ( † 1842) her. Die Begriffe des
Talwegs und der Wasserscheide spielen bei der Festsetzung politischer
Grenzen eine Rolle.

§ 64. Fortsetzung. Für jeden Gipfelpunkt, der kein Kreispunkt ist, bildet
die in der Längsrichtung des Gipfels hindurchgehende Fallinie einen
Kammweg; denn die benachbarten Fallinien entspringen, sie berührend, aus
ihr im Gipfelpunkte (vgl. Fig. 61). Und für jeden Muldenpunkt, der nicht
zugleich Kreispunkt ist, bildet die in der Längsrichtung die Mulde

durchziehende Fallinie einen Talweg. Die Fig. 63 gibt den Verlauf eines
Kammwegs K und eines Talwegs T mit sehr fernen Ursprungs- und
Mündungspunkten wieder. Einem solchen Talweg entspricht in der Natur
der Weg eines genügend langsam fließenden und schmalen Baches, der
durch allmähliche Vereinigung kleinerer Wasseradern entsteht. Ein
Kammweg bildet die Grenze zwischen zwei Abflußgebieten des Geländes.

Fig. 63.

Von einem Jochpunkte (Fig. 62) gehen zwei ausgezeichnete Fallinien
aus; der einen nähern sich benachbarte Fallinien im aufsteigenden, der
anderen im absteigenden Sinne. Man darf aber im allgemeinen weder die
erste als Kammweg noch die zweite als Talweg bezeichnen. Wenn die von
einem Jochpunkte nach einer Mulde herabführende ausgezeichnete Fallinie
die Mulde nicht in der Längsrichtung, sondern in der Querrichtung
durchläuft, ist sie gewiß in diesem Stücke des Geländes kein Talweg. Die
Fig. 64 gibt dies an; und die Fig. 65 das Gegenstück dazu, wo wirklich die
Joch und Mulde verbindende Fallinie ein Talweg ist.

Fig. 64.

Auch wenn das von einem Joch herabziehende Tal sich so verflacht, daß
die Fallinien sich zwar der durch den Jochpunkt gehenden ausgezeichneten
Fallinie nähern, aber doch nicht in asymptotischer Weise, kann diese nicht
Talweg sein. In der Natur würde dem etwa ein Tal entsprechen, das nicht
zur Entstehung eines Wasserlaufes, sondern zu einer Art Sumpfbildung
Anlaß gibt. Umgekehrt können aus einem Hochmoore Wasseradern
abgehen, ohne daß dort von einer eigentlichen Wasserscheide gesprochen
werden kann (Fig. 66).

Fig. 65.

Bemerkenswert ist noch der Fall, wenn auf einer ausgezeichneten
Fallinie ein parabolischer Punkt der Geländefläche gelegen ist (§ 60). Die
Fig. 67 gibt davon ein Beispiel. In dem parabolischen Punkte hat hier die
Schichtlinie, auf der er liegt, eine Spitze, und in ihr endigen alle Fallinien,
die – wie in der Figur angegeben – aus größeren Höhen kommen. Die
ausgezeichnete, durch den parabolischen Punkt gehende Fallinie ist also in
ihrem oberen Teile gewiß ein Talweg. Ob sie es dagegen auch in ihrem
unteren Teile ist, hängt davon ab, ob sich dort ebenfalls ein Mündungspunkt
befindet (in der Figur ist das nicht der Fall).

Fig. 66.

Da durch eine Karte immer nur ein beschränkter Teil des Geländes
gegeben sein kann, so wird es praktisch unmöglich sein, bei Geländeflächen
ein asymptotisches Einmünden genau festzustellen, und man wird daher
auch in dem Falle von einem Talweg und einem Kammweg reden, wenn
genügend viele benachbarte Fallinien der Zeichnung innerhalb der
Zeichengenauigkeit in die ausgezeichnete Fallinie übergehen.

Fig. 67.

Um in einer Geländekarte alle Talwege und Wasserscheiden zu finden,
wird man unter den Fallinien zunächst die ausgezeichneten aufsuchen, d. h.
diejenigen, in deren Nähe sich die übrigen mehr und mehr
zusammendrängen. Unter ihnen hat man aber nur diejenigen beizubehalten,
auf denen Mündungspunkte der übrigen gelegen sind, oder in die genügend
viele benachbarte Fallinien innerhalb der Zeichengenauigkeit übergehen.
Talweg und Kammweg sind durch die Art der Annäherung, ob bei fallender
oder steigender Höhe, leicht zu unterscheiden.

Die Schichtlinien sowohl wie die Fallinien
verlaufen immer stetig, können aber Ecken,
Doppelpunkte und dergleichen Ausnahmestellen
haben. Ecken treten ein, wenn das Gelände Grate
oder scharf ausgeschnittene Rinnen besitzt. Da in
jedem Punkte eines einfachen Grates zwei
verschiedene Berührungsebenen an die
Geländefläche möglich sind, gehen durch diesen
Punkt auch zwei verschiedene Fallinien; ein Grat Fig. 68.
enthält daher die Ursprungspunkte von Fallinien
und wird demnach zu den Wasserscheiden zu rechnen sein, obwohl er im
allgemeinen selbst keine Fallinie ist. Dasselbe gilt entsprechend von einer
Rinne (vgl. Fig. 68). Die allgemeine Untersuchung solcher Stellen einer
Geländefläche ist schwierig, erfordert weitergehende Hilfsmittel und würde
daher hier zu weit führen.

§ 65. Böschungsfläche. Eine Fläche, auf der
sämtliche Fallinien Geraden sind, heißt
Böschungsfläche. Es genügt dazu offenbar nicht,
daß die Projektionen der Fallinien sämtlich gerade
Linien sind, sondern es ist weiter notwendig, daß
die Schichtlinien auf jeder einzelnen von ihnen
jedesmal gleiche Stücke ausschneiden. Daraus
folgt, daß die Schichtlinien äquidistante Kurven
sind (Fig. 69). Fig. 69.
Alle Punkte derselben geradlinigen Fallinie
haben dieselbe Berührungsebene. Eine Böschungsfläche ist daher in jedem
ihrer Punkte parabolisch gekrümmt (§ 60). Sie ist demnach eine
abwickelbare Fläche, d. h. man kann eine bewegliche Ebene so auf ihr ohne
Gleiten abrollen, daß sie sie immer längs einer Geraden berührt; umgekehrt
kann man daher auch die Fläche auf einer Ebene so abwickeln, daß immer
Berührung längs einer Geraden besteht.
Von den Böschungsflächen macht man sehr häufig bei der Aufführung
von Erdarbeiten, bei der Aufschüttung von Dämmen, Halden u. dgl.
Gebrauch. Davon wird in den Aufgaben noch wiederholt die Rede sein.

§ 66. Böschungsstreifen. Bei der zeichnerischen Darstellung einer
Geländefläche durch ihre Schichtlinien ist es oft zweckmäßig, diese
nötigenfalls durch Einschalten nach § 56 so dicht nebeneinander verlaufen
zu lassen, daß jeder zwischen zwei aufeinanderfolgenden Schichtlinien
enthaltene Teil einer Fallinie innerhalb der Zeichengenauigkeit als
geradlinig zu betrachten ist. Das bedeutet dann also, daß jeder zwischen
zwei aufeinanderfolgenden Schichtlinien enthaltene Streifen einer
Geländefläche als Teil einer Böschungsfläche anzusehen ist:
Böschungsstreifen. Man kann demnach sagen, daß eine Geländefläche
durch ihre Schichtlinien »mit genügender Genauigkeit« gegeben ist, wenn
ein jeder innerhalb zweier aufeinanderfolgenden Schichtlinien gelegene
Streifen durch den zugehörigen Böschungsstreifen ohne merklichen Fehler
ersetzt werden kann.

§ 67. Gratlinie. Eine Böschungsfläche ist vollständig bestimmt, wenn
der Böschungswinkel und eine ihrer Höhenlinien gegeben ist; denn die
Fallinien sind die Normalen der gegebenen Höhenlinie, der
Böschungswinkel bestimmt ihre Stufung, und die Schichtlinien lassen sich
sodann als Parallelkurven zu der gegebenen Höhenlinie konstruieren (§ 65).
Alle ebenen Parallelkurven haben eine gemeinsame Evolute (§ 43), die
Hüllkurve ihrer gemeinsamen Normalen; faßt man also die Parallelkurven
und ihre Normalen als die Projektionen der Schicht- und Fallinien einer
Böschungsfläche auf, so entspricht der Evolute eine auf der Fläche gelegene
Raumkurve, längs der sich benachbarte Fallinien schneiden. Sie bildet also
einen scharfen Grat der Fläche und heißt daher ihre Gratlinie. Eine
aufgewehte Schneewächte gibt oft ein Bild einer Böschungsfläche und ihrer
Gratlinie (Fig. 69 bei g).

§ 68. Ebene Raumkurven. Wenn eine Raumkurve und eine Fläche
gegeben sind, so ist leicht festzustellen, ob die Kurve auf der Fläche
gelegen ist. Denn dies ist nur der Fall, wenn die Punkte der Kurve auf den
gleichkotierten Schichtlinien der Fläche liegen.
Raumkurven, deren sämtliche Punkte derselben Ebene angehören, heißen
eben. Um von einer gegebenen Raumkurve festzustellen, ob sie eben ist, hat
man durch drei ihrer Punkte nach § 9 eine Ebene zu legen und nachzusehen,
ob ihre Streichgeraden die Kurve in Punkten schneiden, deren Höhenzahlen

mit denen der zugehörigen Schichtlinien
übereinstimmen (Fig. 70). Die Schmiegungsebene
(§ 52) einer ebenen Raumkurve fällt mit der Ebene
der Kurve zusammen. Wenn die Ebene der Kurve
lotrecht steht, wird die Projektion der Kurve durch
eine Gerade mit im allgemeinen ungleichmäßiger
Stufung dargestellt.

Fig. 70.

§ 69. Böschungsfläche einer Raumkurve. Zu jedem Punkte einer
gegebenen Raumkurve läßt sich ein Kegel gegebener Böschung
konstruieren, der den Punkt als Spitze hat. Sämtliche so konstruierten
Böschungskegel derselben Böschung hüllen eine Fläche ein, eine
Böschungsfläche der Raumkurve; sie besteht aus zwei Teilen, die sich längs
der Raumkurve durchschneiden. Jede ihrer Schichtlinien ergibt sich als
Hüllkurve gleichkotierter Kreise, nämlich der Schichtkreise jener
Böschungskegel. In der Karte der Fläche liegen die Mittelpunkte dieser
Kreise auf der Projektion der Raumkurve, und ihre Radien erhält man aus
dem Höhenunterschiede zwischen Mittelpunkt und zu konstruierender
Schichtlinie durch Multiplikation mit dem gegebenen Böschungsverhältnis
(Fig. 71).

Fig. 71.

Von jedem Punkte der Raumkurve geht nach beiden Seiten eine Fallinie
der Böschungsfläche aus; die beiden zugehörigen Berührungsebenen (vgl.
§ 65) schneiden sich in der zugehörigen Tangente der Raumkurve, und die
Projektion dieser Tangente halbiert den Winkel der Projektionen der beiden
Fallinien. Man beachte übrigens, daß im allgemeinen ein die Projektion der
Raumkurve normal durchsetzendes Querprofil der Böschungsfläche nicht
ein Dreieck ergibt, sondern eine krummlinige Schnittfigur. Die Figur bringt
das zum Ausdruck.

§ 70. Böschungslinien auf einer Fläche. Auf
einer durch ihre Schichtlinien gegebenen
Geländefläche lassen sich von jedem Punkte aus
zwei Kurven von konstantem Gefälle
(Böschungslinien, § 50) ziehen, wenn nur das
Gefälle nicht größer ist als das der Fallinien der
Fläche in den Punkten der beiden Kurven. Um
diese zu konstruieren, ermittle man zunächst aus
dem gegebenen Böschungsverhältnis das Intervall Fig. 72.
der Böschungslinie. Unter der Voraussetzung, daß
die Schichtlinien genügend nahe gezeichnet sind, zieht man mit dem
Intervall als Radius um den gegebenen Punkt als Mittelpunkt einen Kreis.

Entweder schneidet dieser eine der beiden nächstfolgenden
Hauptschichtlinien in zwei Punkten, die auch zusammenfallen können, oder
er schneidet sie nicht; im letzteren Falle ist das gegebene Gefälle zu groß,
im ersteren sind reelle Böschungslinien der vorgeschriebenen Böschung
von dem gegebenen Flächenpunkte aus möglich, und man erhält weitere
Punkte von ihnen, indem man dieselbe Konstruktion von jedem der beiden
Schnittpunkte aus fortsetzt. Wenn man die erhaltenen Punkte in geeigneter
Weise verbindet, bekommt man die gesuchten Böschungslinien mit oder
ohne Kehren (Fig. 72). Im allgemeinen gehen von jedem Flächenpunkte
zwei verschiedene Böschungslinien aus, längs deren das Gefälle einen
gegebenen Wert hat.
Die auf einer Geländefläche angelegten Wege, Eisenbahnlinien u. dgl.
verlaufen in der Regel auf längere Strecken mit unveränderlichem Gefälle.
Die Konstruktion von Böschungslinien hat daher ein gewisses praktisches
Interesse. Wenn auch durch Aufschüttung und Abtrag des Geländes größere
Krümmungen eines anzulegenden Weges vermieden werden, so wird seine
Führung doch im allgemeinen durch eine Böschungslinie bestimmt. Dabei
wird besonders die im folgenden Paragraphen erörterte Aufgabe benutzt.

Fig. 73.

§ 71. Aufgabe. Bei der Lösung der Aufgabe, zwei gegebene Punkte einer
Fläche durch eine Kurve von konstanter Steigung zu verbinden, hat man
sich eines geometrischen Näherungsverfahrens zu bedienen. Man
konstruiert zunächst, von dem einen der gegebenen Punkte A (Fig. 73)
ausgehend, eine solche Böschungslinie, die in der Nähe des andern
gegebenen Punktes B die durch diesen gehende Schichtlinie schneidet. Die
Ausführung der Konstruktion zeigt, ob das benutzte Intervall zu groß oder
zu klein ist, wonach man es zu verbessern hat. Mit dem verbesserten

Intervall wiederholt man dieselbe Konstruktion usw., und nähert sich auf
diese Weise mehr und mehr dem passenden Werte des Intervalls.
Zweckmäßig ist es dabei, den Punkt B zwischen zwei der gezeichneten
Böschungslinien einzuschließen; AB1, AB2, … seien solche
Näherungskurven, B1'B1 und B2'B2 … seien die zugehörigen Intervalle. Man
trage in den Punkten B1, B2, B3 usw. diese zugehörigen Intervalle normal zur
Schichtlinie, also längs der Fallinien auf und verbinde die erhaltenen
Endpunkte durch eine glatte Kurve (§ 38); diese gestattet das gesuchte
Intervall zu entnehmen.

§ 72. Schnitt zweier Flächen. Das Verfahren, nach dem die Schnittlinie
einer Geländefläche mit einer Ebene konstruiert wird, läßt sich genau
ebenso anwenden auf die Bestimmung der Schnittkurve zweier beliebiger
Flächen miteinander. Denn die Punkte dieser Schnittkurve gehören beiden
Flächen gemeinsam an, müssen also auf den gleichhohen Schichtlinien der
beiden Flächen gelegen sein: man erhält sie als Schnittpunkte
gleichkotierter Schichtlinien.
Davon macht man sehr häufig Gebrauch bei der Bestimmung der
Grenzlinie einer Böschungsfläche mit der gegebenen Geländefläche. Darauf
bezieht sich die Fig. 74, in der die Aufschüttung einer Halde oder eines
Dammes mit wagerechter Krone dargestellt ist. Die wagerechte
Verbindungslinie der beiden Punkte A und B (Höhe 20) kann etwa als
Führungslinie eines auf einem Gestänge angelegten Schienengeleises für
Kippwagen aufgefaßt werden, von dem aus die Halde aufgestürzt wird.
Kennt man den Böschungswinkel, unter dem das Fördergut der Halde sich
ablagert, so kann man nach § 65 ihre Schichtlinien als Parallelkurven der
Geleisführung konstruieren. Die Schnittpunkte dieser Parallelkurven mit
den gleichkotierten Schichtlinien des Geländes bestimmen alsdann nach
dem oben Gesagten die Schnittkurve der Halde mit dem Gelände. – Die
damit gelöste Aufgabe ist eine Erweiterung der in § 32 besprochenen.

Fig. 74.

§ 73. Durchdringungspunkte einer Raumkurve mit einer
Geländefläche. Man legt durch die gegebene Raumkurve eine beliebige
Fläche, bestimmt deren Schnittkurve mit dem Gelände, wie in § 72
angegeben, und konstruiert schließlich die gemeinsamen Punkte dieser
Schnittkurve mit der gegebenen Raumkurve. Offenbar wird man die
Hilfsfläche selber nur in der Nähe der Durchdringungspunkte benötigen.
Als Hilfsfläche nimmt man zweckmäßig die
windschiefe Planierungsfläche (§ 51), weil ihre
Schnittkurve mit dem Gelände, die Nullinie, am
besten darüber Aufschluß gibt, welche Teile der
Raumkurve oberhalb des Geländes und welche
unterhalb gelegen sind (Fig. 75; die Nullinie ist
ganz gestrichelt).
Die Bestimmung der Durchstoßpunkte einer
Kurve mit dem Gelände ist oft bei der Fig. 75.
Linienführung einer Eisenbahnlinie oder dgl. in
gebirgigem Gelände auszuführen. Sie zeigt dann, an

welchen Stellen die Bahnlinie in den Erdkörper eindringt, welche
Erdbewegungen, Tunnelanlagen u. dgl. vorzunehmen sind.
Um zu bestimmen, ob ein Punkt des Geländes von irgendeinem anderen
Punkte aus sichtbar ist, braucht man nur festzustellen, ob die
Verbindungsgerade das Gelände nicht trifft. Es genügt dazu, diese Gerade
zu graduieren und nachzusehen, ob in der Projektion für jeden Punkt der
Geraden die Höhenzahl auch nicht kleiner ist als für denselben Punkt auf
dem Gelände.

IV. AUFGABEN UND ANWENDUNGEN
§ 74. Zweck der Aufgaben. In den folgenden Paragraphen werden eine
Reihe von Aufgaben besprochen, die zu ihrer Lösung der in den früheren
Abschnitten entwickelten Konstruktionen bedürfen. Zumeist sind sie
praktischen Fragen entsprungen oder doch unmittelbar auf solche
anwendbar, die sich bei der Benutzung der Karte eines Geländes darbieten.
Der Kürze wegen sind den gestellten Aufgaben nicht die Lösungen in
ausführlicher Darstellung, sondern nur allgemeine Angaben über den
einzuschlagenden Weg beigegeben, die indessen in jedem Falle zur
Konstruktion ausreichen. Der Leser wird gut tun, die angedeutete Lösung
wirklich zeichnerisch auszuführen, und zwar dürfte es sich in der Regel
empfehlen, den Maßstab mindestens doppelt so groß zu wählen, als ihn die
Figuren angeben, die ja nur als Skizzen dienen sollen.

§ 75. Aufschüttung und Abtrag eines Eisenbahndammes zu
konstruieren, von dem die Führungslinie, die Breite, das Gefälle und die
Dammböschungen gegeben sind. Die Dammkrone bildet einen Streifen der
zur gegebenen Führungslinie gehörigen Planierungsfläche (vgl. § 51). Man
graduiert die Führungslinie nach dem gegebenen Gefälle – in der Figur ist
das Gefälle in der Kurve geringer angenommen als auf der geraden
Strecke –, wodurch dann zugleich auch die beiden Begrenzungen der
Dammkrone mit graduiert sind. Jetzt zeichnet man nach § 69 beiderseits die
Böschungsflächen der Dammbegrenzungen, schließlich nach § 72 die
Schnittlinien mit dem Gelände. In der Figur 76 sind die ursprünglichen,
aber durch den Damm verschütteten oder durch den Abtrag
weggenommenen Schichtlinien des Geländes punktiert gezeichnet; und die
ausgezogenen Schichtlinien stellen somit diejenigen des Geländes nach der
Anlage des Dammes dar.

Fig. 76.

§ 76. Die Ausstrichlinie einer Mulde mit dem Gelände zu bestimmen.
Die Mulde soll ellipsoidische Gestalt haben mit einer lotrechten
Hauptachse; ihre Abmessungen sind durch zwei lotrechte Hauptschnitte
gegeben (Fig. 77).

Fig. 77.

Die Schichtlinien der Mulde sind Ellipsen (Fig. 78), deren Hauptachsen
aus den beiden gegebenen Querprofilen zu entnehmen sind. Die Ellipsen
werden hier am einfachsten nach der bekannten Papierstreifenmethode
gefunden. Durch die Schnittpunkte dieser Ellipsen mit den gleichkotierten
Höhenlinien des Geländes ist dann, wie in der vorigen Aufgabe, die
gesuchte Verschneidung bestimmt. Wenn es nur auf diese Verschneidung
ankommt, braucht man von den Ellipsen ersichtlich jedesmal nur die Punkte
in der Nähe der gleichkotierten Schichtlinien zu bestimmen.

Fig. 78.

§ 77. Schnittkurve einer zylindrischen Fläche mit dem Gelände.
Diese Aufgabe kommt in der Geologie vor, wenn es sich darum handelt, die
Ausstrichlinie einer gefalteten Schicht (Sattelfalte) zu ermitteln. Durch die
Beobachtung gefunden seien das Streichen und Einfallen der Schicht an
irgendeinem Punkte, d. h. Streichen und Fallen der Zylindergeraden; ferner
sei gegeben ein scheinbares Profil der Schicht, d. h. die Schnittkurve des
Zylinders mit einer beliebig gegebenen Ebene. In der Fig. 79 sei g eine
Zylindergerade, deren Graduierung aus dem beobachteten Streichen und
Fallen ermittelt sei. Der Gefällemaßstab der Ebene des aufgenommenen
Profils p sei (E), ebenfalls aus den beobachteten Daten konstruiert. Um die
gesuchte Schnittkurve zu zeichnen, bestimme man zunächst die
Höhenlinien des Zylinders. Zu dem Zwecke ziehe man durch die Punkte
des scheinbaren Profils p, das durch die Streichlinien seiner Ebene (E)
gestuft ist, die erzeugenden Geraden des Zylinders, d. h. man ziehe
Parallelen zu g, und graduiere diese, von den Punkten des Profils p
ausgehend, mit dem gleichen Intervalle wie g. Die Verbindung der Punkte
gleicher Höhenzahlen dieser Geraden ergibt die erwähnten Schichtlinien (in
der Figur gestrichelt); sie sind untereinander kongruent und gehen aus einer
von ihnen durch Parallelverschiebung längs der Richtung g hervor (vgl.
§ 21). Sie schneiden die gleichkotierten Höhenlinien des Geländes in
Punkten der gesuchten Grenzkurve.

Fig. 79.

Wenn man sich aus steifem Papier ein Muster der Schichtlinie des
Zylinders ausschneidet und darauf mindestens zwei Punkte bezeichnet,
durch die die entsprechenden Mantelgeraden gehen sollen, so kann man
sich damit die Konstruktion der Grenzkurve sehr erleichtern. Denn durch
Parallelverschiebung des Musters längs zweier gestufter Mantelgeraden
kann man die Schnittpunkte der Geländeschichtlinien mit den
gleichkotierten des Zylinders unmittelbar finden, ohne erst diese zeichnen
zu müssen.

§ 78. Um eine gegebene Geländefläche einen Zylinder mit
wagerechten Mantelgeraden zu umschreiben. Die Richtung g der
wagerechten Mantelgeraden des Zylinders sei gegeben. Man hat dann nur
an die Schichtlinien der Geländefläche Tangenten zu legen, die der
gegebenen Richtung parallel sind. Der geometrische Ort der
Berührungspunkte ist die Berührungskurve der Fläche und des Zylinders.
Sie ist der Umriß der Fläche, wenn diese in der gegebenen Richtung aus
sehr weiter Ferne betrachtet wird (Fig. 80 gestrichelt).

Fig. 80. Fig. 81.

§ 79. Durch eine gegebene wagerechte Gerade die Berührungsebenen
an eine Geländefläche zu legen. Die gesuchten Berührungsebenen
stimmen mit denen überein, die sich durch dieselbe Gerade g an den der
Fläche umschriebenen Zylinder legen lassen, dessen Mantelgeraden
ebenfalls wagerecht und zu g parallel sind. Man konstruiere also diesen
Zylinder, wie in § 78 angegeben. Man lege weiter senkrecht zu den
Mantelgeraden ein Querprofil (§ 54). Es wird auch die gegebene Gerade g
in einem bestimmten Punkte schneiden. Die Tangenten von diesem Punkte
an das Querprofil sind die Durchschnittsgeraden der gesuchten
Berührungsebenen mit der Querschnittsebene. Daraus sind die
Berührungspunkte und die Gefällemaßstäbe der Berührungsebenen leicht zu
entnehmen (Fig. 80 u. 81).

§ 80. Umschriebener Zylinder mit beliebig gegebener Richtung der
Mantelgeraden. Die gegebene Richtung sei durch eine gestufte Gerade g
dargestellt. Man legt parallel zu ihr eine genügende Anzahl Vertikalschnitte
durch die gegebene Geländefläche, zeichnet die zugehörigen Profile (§ 54)
und legt an sie Tangenten in Richtung der gegebenen Geraden. Die
Berührungspunkte B überträgt man aus der Profilzeichnung wieder in die
Karte der Fläche und erhält so darin diejenige Kurve b, möglicherweise
mehrere, längs denen der oder die Zylinder die Fläche berühren (Fig. 82

und 83). In der Figur sind vier zu g parallele Querprofile gezeichnet, die mit
1 bis 4 angemerkt sind; der Deutlichkeit wegen ist 3 um 30 und 4 um 10
Höheneinheiten niedriger gelegt, als der Wirklichkeit entspricht. An jedes
Profil lassen sich hier zwei zu g parallele Tangenten legen, es kommen also
je zwei Berührungspunkte B, zwei Berührungskurven b und daher auch
zwei Zylinder zum Vorschein, von denen der eine von unten, der andere von
oben der Fläche umschrieben ist.
Überträgt man zu den Berührungspunkten B auch ihre Höhenzahlen aus
der Profilzeichnung, so läßt sich sehr leicht für jeden Zylinder die Schar der
Schichtlinien konstruieren. Da jede Schar aus kongruenten Kurven besteht,
die auseinander durch Parallelverschiebung längs der Richtung g
hervorgehen, so genügt es, je eine der Schichtlinien zu zeichnen. Man hat
zu dem Zweck durch die Punkte B die zu g parallelen Erzeugenden zu
ziehen und sie, von B ausgehend mit demselben Intervall wie g zu
graduieren. Die Verbindungslinien der Punkte gleicher Höhenzahlen
ergeben die gesuchten Schichtlinien s; in der Figur ist für den einen
Zylinder die Schichtlinie s = 110, für den anderen die Schichtlinie s = 50
gezeichnet worden.

Fig. 82.

§ 81. Berührungsebene. Man kann die eben ausgeführte Konstruktion
des umgeschriebenen Zylinders benutzen, um an eine gegebene
Geländefläche eine Berührungsebene zu legen, die durch eine gegebene
Gerade geht. – Ist g die gegebene Gerade, so konstruiert man zunächst, wie
eben gezeigt, den umschriebenen Zylinder, dessen Mantelgeraden die
Richtung g haben. Eine Schichtlinie s dieses Zylinders genügt zur
Konstruktion der gesuchten Berührungsebene. Denn zieht man von dem
Punkte der gegebenen Geraden g, der genau die Höhe s hat, an die
Schichtlinie s die Tangente (in der Figur 82: s = 110 und s = 50,
Berührungspunkte T), so ist diese eine Streichlinie der durch g gehenden

Berührungsebene des Zylinders. Diese Berührungsebene berührt aber auch
die gegebene Geländefläche, und man findet ihren Berührungspunkt B* als
Schnittpunkt der Mantelgeraden TB* mit der Berührungskurve b. In der
Figur sind zwei solche Berührungspunkte (B* und W) und demnach zwei
verschiedene Berührungsebenen vorhanden; ihre Gefällemaßstäbe (in der
Figur angegeben) sind leicht zu zeichnen.

§ 82. Andere Konstruktion des umschriebenen Zylinders und der
Berührungsebene. Die eben auseinandergesetzte Konstruktion der
Berührungsebene ist wegen der zahlreichen Querschnitte, die zu zeichnen
sind, wenig bequem und auch wenig genau; doch ist sie, etwa zur Prüfung
des folgenden Verfahrens, dann gut brauchbar, wenn man die ungefähre
Lage der Berührungspunkte kennt und daher mit wenigen Vertikalschnitten
auskommt.
Der zweite Weg zur Lösung der Aufgabe, an eine Geländefläche eine
Berührungsebene zu legen, die durch eine gegebene Gerade geht, ist zwar
etwas weniger leicht verständlich, aber zeichnerisch einfacher und meist
auch genauer als der obige. – Wenn man von den Punkten der gegebenen
Geraden g an die gleichkotierten Schichtlinien der Fläche Tangenten legt,
so stellen diese die Schichtlinien einer geradlinigen Fläche dar, die durch
die Gerade g geht und die Geländefläche berührt. Die Berührungskurve (hh
in der Fig. 82) ist als Ort der Berührungspunkte leicht zu zeichnen. Auf ihr
muß auch der Berührungspunkt der gesuchten Tangentialebene liegen; und
da diese durch g geht, ist sie auch berührende Ebene der geradlinigen
Hilfsfläche und hat mit ihr die durch den Berührungspunkt gehende Gerade
ḡ gemeinsam, die, da sie horizontal verläuft, zugleich eine ihrer
Schichtlinien ist. Demnach ist die Aufgabe gelöst, wenn die durch g
gehenden Berührungsebenen der Hilfsfläche gefunden sind.
Man betrachte nun alle durch g gehenden Ebenen, das Ebenenbüschel mit
der Achse g; jede von ihnen ist bestimmt durch den Winkel, den sie mit
einer festen ebenfalls durch g gehenden Ebene bildet, etwa derjenigen (E),
auf der g eine Fallinie ist. Jede der Ebenen ist daher auch bestimmt durch
den Winkel α, den ihre Streichlinien mit denen der genannten festen Ebene
(E) bilden, d. h. mit der zu g senkrechten Richtung.
Zu diesen Ebenen gehören auch alle solche, deren Streichlinien zugleich
der geradlinigen Hilfsfläche angehören, also auch die gesuchten

Berührungsebenen. Man fasse eine solche
Ebene ins Auge und verfolge den Verlauf
der geradlinigen Hilfsfläche in der Nähe
der Geraden ḡ, die sie mit der Ebene
gemeinsam hat. Dann sind drei
Möglichkeiten vorhanden: entweder
berührt die Ebene die Fläche von unten,
dann liegen die zu ḡ benachbarten
Geraden der Fläche sämtlich oberhalb der
Ebene; oder die Ebene berührt die Fläche
von oben, dann verlaufen die zu ḡ
benachbarten Geraden der Fläche sämtlich
unterhalb der Ebene; oder drittens die
Ebene durchsetzt berührend die Fläche in
der Geraden ḡ, was eintritt, wenn die
Fläche hier sattelförmig verläuft. Im
erstgenannten Falle ist der oben erwähnte
Winkel α für die Berührungsebene kleiner
als für benachbarte durch g gehende
Ebenen; im zweiten Falle ist er größer. In
diesen beiden Fällen wird man demnach
zur Konstruktion der Berührungsebenen
Fig. 83.
die Veränderungen des Winkels α zu
verfolgen haben, den die von Punkten der
Geraden g an die gleichkotierten Schichtlinien der Fläche gezogenen
Berührenden mit der auf g senkrechten Richtung einschließen, und darunter
diejenigen Winkel auszusuchen haben, die größer oder kleiner als die
benachbarten sind, d. h. die ein Maximum oder Minimum bilden. Das
Aussuchen dieser größten und kleinsten Werte des Winkels α nach dem
Augenmaß erfordert ziemliche Übung, wenn die danach ausgeführte
Konstruktion einigermaßen genau sein soll. Man lege dann ein
Zeichendreieck gegen g unter dem Winkel α an, den man als größten oder
kleinsten geschätzt hat, und prüfe durch Parallelverschieben des Dreiecks
längs eines zweiten die Richtigkeit der Schätzung.

§ 83. Gebrauch einer Hilfskurve. Durch die folgende Überlegung und
das Zeichnen einer Hilfskurve kommt man genauer zum Ziel (Fig. 82). Statt

den Verlauf des Winkels α selber kann man nämlich auch den Verlauf einer
stetigen Funktion von α, etwa tg α verfolgen, z. B. indem man eine zu tg α
proportionale Strecke jedesmal als Ordinate zur Höhenzahl als Abszisse
aufträgt, die die zugehörige Streichlinie hat. Zu dem Zweck ziehe man in
einem beliebigen nicht zu kleinen Abstand zu g eine Parallele g'; das
rechtwinklige Dreieck kAC, das bestimmt wird durch den auf g gelegenen
Punkt der Höhe k und die durch ihn gehenden Streichlinien Ck der
Hilfsfläche und Ak (senkrecht auf g) der Ebene (E), ergibt
CA = kA · tg α,
und da für alle so entstehenden Dreiecke die entsprechenden Stücke kA
konstante Längen haben, so sind die CA entsprechenden Stücke
proportional zu tg α. Man trägt die Stücke CA von A aus auf kA ab (C1A =
CA) und erhält so eine Kurve (1), die den Verlauf von tg α wiedergibt. Die
Maxima, Minima dieser Kurve und, für den erwähnten dritten Fall einer
sattelförmigen Berührung, die Wendepunkte mit einer zu g parallelen
Tangente geben diejenigen Werte von kA · tg α, zu denen eine einer
Berührungsebene zukommende Streichlinie der Hilfsfläche gehört. Um sie
zu zeichnen, hat man nur durch einen solchen Punkt M1 der Kurve eine
Senkrechte kmM1D zu g, g' zu ziehen, DE = DM1 zu machen, dann ist kmE
die gesuchte Streichlinie; sie schneidet die Berührungskurve hh im
Berührungspunkte B der gesuchten Berührungsebene, deren Gefällemaßstab
danach leicht herzustellen ist. Dieselbe Konstruktion ist bei dem
Wendepunkt W1 ausgeführt: man zieht kwW1G senkrecht zu g, g', macht GH
= GW1 und zieht kwH, die Streichlinie der gesuchten berührenden Ebene,
wodurch zugleich deren Berührungspunkt W als Schnitt mit der Kurve hh
erhalten wird. Die Genauigkeit der Konstruktion kann noch leicht
verbessert werden, wenn man die symmetrische Kurve (2) zeichnet; man
macht C2A = CA usw.
Übrigens ist noch eine dritte Kontrolle für die gesuchten
Berührungspunkte dadurch gegeben, daß die Berührungskurve hh der
Hilfsfläche und die Berührungskurven b der umschriebenen Zylinder (§ 80)
sich in den gesuchten Punkten B* und W schneiden müssen.

§ 84. Schattengrenze. Wenn die als parallel anzunehmenden
Sonnenstrahlen ein hügeliges Gelände in einer gegebenen Richtung

bescheinen, so liegt ein Teil des Geländes im Schatten. Die Grenze dieses
Schattens ist die Schnittkurve der Geländefläche mit dem Zylinder, der ihr
in der Richtung der Strahlen von oben umschrieben werden kann. Nachdem
man diesen Zylinder nach § 80 oder 82 bestimmt hat, wozu eine
Schichtlinie und zwei gestufte Mantelgeraden genügen, findet man die
gesuchte Schnittkurve mit dem Gelände nach § 77, am einfachsten nach
dem Verfahren des verschiebbaren Musters. Der Leser führe die
Konstruktion an der Fig. 82 aus: mindestens zwei der Mantelgeraden 1 bis 4
sind zu stufen, indem von der Schichtlinie s = 110 des oberen Zylinders das
Intervall von g wiederholt abgetragen wird; von der genannten Schichtlinie
ist auf steifem Papier ein Muster zu verfertigen, dieses von Stufe zu Stufe
der Mantelgeraden zu verschieben, die Schnittpunkte mit den
gleichkotierten Schichtlinien des Geländes sind aufzusuchen und diese
Punkte durch eine glatte Kurve zu verbinden. Die Schattengrenze wird hier
im unteren Teile der Fig. 82 gelegen sein.

§ 85. Von einem gegebenen Punkte an eine Geländefläche den
Berührungskegel zu zeichnen. Scheinbarer Umriß, Horizont. Eine
Lösung dieser Aufgabe liegt auf der Hand: man führt durch den im Raume
gegebenen Punkt A' genügend viele Vertikalschnitte, zeichnet die
zugehörigen Profile der Fläche und legt an diese von A' aus Tangenten; die
Berührungspunkte, in die Karte übertragen, ergeben die gesuchte
Berührungskurve. Zweckmäßig nimmt man die Profile, die in der Karte
durch die Tangenten von A, der Projektion von A', an die Schichtlinien der
Fläche bestimmt sind, weil man an ihnen am leichtesten verfolgen kann,
wie weit es nötig ist, die Profile wirklich zu zeichnen. Aber dieses
Verfahren ist aus denselben Gründen, wie sie oben beim umschriebenen
Zylinder (§ 82) angegeben wurden, praktisch wenig bequem und von
geringer Genauigkeit. Folgender Weg ist bequemer, oft auch genauer. Er
beruht auf einer Überlegung, die eine Erweiterung der in § 82 angegebenen
darstellt.

Fig. 84.

Es sei A' (Höhe 45) der gegebene Punkt des Raumes, A seine Projektion
und AC eine gegebene Richtung in der Karte. Man kann die Aufgabe, von
A' aus eine Tangente mit der Projektion AC an die gegebene Geländefläche
zu legen, in der üblichen Weise durch Zeichnung des Profils in der Richtung
AC lösen.2 Man denke sich nun in der Karte durch A eine beliebige Gerade
g gelegt und ihre Punkte mit den gleichkotierten des Profils geradlinig
verbunden. Diese Geraden sind die Schichtlinien einer geradlinigen Fläche,
und jede von ihnen kann als Streichlinie einer durch g hindurchgehenden
Ebene aufgefaßt werden. Wie in § 82 wird jede dieser Ebenen bestimmt
durch den Winkel α, den ihre Streichlinien mit denen der Ebene bilden, auf
der g eine Fallinie ist. Diejenigen der genannten Ebenen, die durch die
Tangenten hindurchgehen, die man von A' aus in der Profilebene A'AC an
die Fläche legen kann, liegen im allgemeinen höher oder tiefer als die
benachbarten unter ihnen; der Winkel α ist also für sie größer oder kleiner
als für die benachbarten. Man kann also jene Ebenen und damit die
Berührungspunkte B der Tangenten finden, indem man für α die größten
oder kleinsten Werte aufsucht, wozu man sich des in § 83 angegebenen
Verfahrens der Hilfskurve bedienen kann (Fig. 84).
2 Beim Umklappen des Profils in die Zeichenebene möge A' in den durch den
kleinen Kreis und die beigeschriebene Kote 45 bezeichneten Punkt übergehen.

Will man nun von A' aus den Berührungskegel an die gegebene Fläche
legen, so wird man durch A eine Schar von Geraden AC ziehen und nach
dem eben beschriebenen Verfahren die Berührungspunkte B der von A aus

zu ziehenden Tangenten bestimmen. Dabei kann man sich beständig
derselben Hilfsgeraden g bedienen. Einschaltung von Schichtlinien in der
Nähe von B erhöht die sonst nicht große Zeichengenauigkeit.

§ 86. Beispiel. Die eben besprochene Aufgabe der Konstruktion des
Berührungskegels einer Geländefläche findet ihre praktische Anwendung in
der für militärische Zwecke wichtigen Frage nach dem Horizont, der von
einem bestimmten Punkte aus sichtbar ist. Die Fig. 85 gibt dafür ein
Beispiel. Bei A (Höhe 85) ist ein 20 Meter hoher Standplatz, Aussichtsturm
oder dgl. errichtet; in der Karte ist der vor und nach Errichtung des Turmes
von A aus sichtbare Horizont eingezeichnet. Die von der Turmspitze aus
nicht sichtbaren Geländeteile sind durch Schraffur hervorgehoben.
Fig. 85 a.

Fig. 85.

Selbstverständlich stimmen die Ergebnisse dieser Konstruktion mit der
Wirklichkeit nur dann angenähert überein, wenn der gefundene
Gesichtskreis genügend klein ist; andernfalls spielt natürlich die Krümmung
der Erdoberfläche, die dann nicht mehr vernachlässigt werden darf, eine
gewisse Rolle.

§ 87. Ansicht des Geländes. Aus einer gegebenen Karte die Ansicht des
Geländes zu konstruieren. Unter Ansicht wird die Projektion auf eine
vertikale Bildfläche verstanden. – Bei einer Ansicht aus sehr weiter Ferne
wird es sich um eine Parallelprojektion handeln, während bei gegebenem
Aussichtspunkt eine Zentralprojektion in Frage kommt, deren Zentrum eben
dieser Punkt ist.

Fig. 86.

a) Parallelprojektion. Es genügt, die Richtung der projizierenden
Strahlen zur Bildebene senkrecht anzunehmen, da die schiefe
Parallelprojektion in ähnlicher Weise auszuführen ist. Man zeichnet
(Fig. 86) den Grundriß der Bildebene als Gerade xx in den Plan und
projiziert zunächst genügend viele Punkte des Planes auf sie, besonders den
Umriß (§ 78; man zeichne an die Schichtlinien Tangenten, die auf xx
senkrecht stehen) und einzelne hervortretende Stellen des Geländes. Auf die
anzufertigende Ansicht (Aufriß) überträgt man sodann jeden der
projizierten Punkte mittels einer Senkrechten auf xx, deren Länge gleich der
zugehörigen Kote ist. Die Höhenlinien würden in wagerechte Geraden des
Bildes übergehen.

In der Fig. 86 ist noch der Verlauf eines Weges, die Lage eines
umfriedigten Platzes und eines hohen Gebäudes angegeben. Das letztere,
dessen Dachspitze 30 m über dem Boden angenommen ist, ragt nur mit
einem Teile über dem Horizont hervor.

§ 88. b) Zentralprojektion. Man zeichnet (Fig. 85) wieder den Grundriß
der Bildebene als Gerade xx in den Plan, und projiziert vom
Projektionszentrum A (Höhe 85 + 20 = 105) aus genügend viele Punkte auf
sie; dazu hat man die Verbindungsgeraden von A mit jedem der zu
projizierenden Punkte P zu graduieren und dadurch die Höhenzahlen der
Schnittpunkte P' mit der Bildebene zu bestimmen. Nach § 3 kann man das
zeichnerisch ausführen, wie auch in der Figur angedeutet ist. Man zieht im
Grundriß AP bis zum Schnittpunkte X mit der Geraden xx, errichtet
senkrecht zu AP in A die zu A, in P die zu P gehörige Höhe und verbindet
ihre Endpunkte. Diese Verbindungsgerade schneidet das auf AP in X
errichtete Lot in P'', und es ist XP'' gleich der Höhe des Bildpunktes P' über
xx. Man kann aber auch rechnerisch verfahren; im vorliegenden Falle ist
dies besonders mit dem Rechenschieber sehr bequem, wenn man gleich mit
den Höhendifferenzen gegen A rechnet und die Ergebnisse von der Geraden
yy an aufträgt, die im Bilde der Höhe von A entspricht.
Besonders ist auch der von A aus sichtbare Horizont zu zeichnen, wie in
§ 86 angegeben. Die Fig. 85 a stellt ein Bild der zu § 86 gehörigen Fig. 85
dar, oder genauer gesagt, eine Ansicht des Geländes von der Spitze (Höhe
105) des in A errichteten Turmes, und zwar innerhalb des durch die
Bildgrenzen bestimmten Ausschnittes. Die gestrichelte Kurve des Bildes
zeigt den vor Errichtung des Turmes von der Stelle A (Höhe 85) aus
sichtbaren Horizont; er verdeckt den ganzen Hintergrund des Geländes und
läßt deutlich erkennen, welche Wirkung es hat, wenn der Standplatz bei A
um 20 m erhöht wird. In der Figur sind ferner der Verlauf eines Weges und
die Ansicht zweier im Grundriß gleich großer umfriedigter Plätze
angegeben. Dies läßt die bekannte Tatsache erkennen, daß die in der Nähe
von A gelegenen Gegenstände größer erscheinen als die entfernteren; aber
man sieht auch, daß die Zeichengenauigkeit um so geringer ist, je weiter der
abzubildende Gegenstand von der Bildebene entfernt ist. Übrigens ist daran
zu erinnern, daß den Geraden des Grundrisses im allgemeinen keineswegs

gerade Linien im Bilde entsprechen; z. B. sind die Umzäunungen der Plätze
nicht geradlinig, weil diese auf gekrümmten Flächen gelegen sind.

V. MASZBESTIMMUNGEN UND
BEZIEHUNGEN ZUR ZEICHNERISCHEN
ANALYSIS
Die nächsten Paragraphen sollen kurz zeigen, in welcher Weise man
Maßbestimmungen der Längen, Flächen- und Rauminhalte an einer
Geländefläche auszuführen hat.

§ 89. Längenmessung. Um die Länge
eines ebenen Kurvenbogens zu bestimmen,
ersetzt man ihn durch einen aus genügend
kleinen geradlinigen Stücken bestehenden
Polygonzug, dessen Teile, längs einer
Geraden aneinandergesetzt, die gesuchte
Länge angenähert ergeben (Rektifikation).
Man kann den Kurvenbogen auf die Gerade Fig. 87.
durch Abgreifen mit einer genügend kleinen
Zirkelöffnung übertragen. Dabei hat man
jedoch zu beachten, daß sich zwar, je kleiner die Zirkelöffnung, um so mehr
der kleine Bogen der zugehörigen Sehne anschmiegt, aber sich auch um so
mehr die durch vielmaliges Aneinandersetzen des Zirkels entstehenden
Fehler häufen. Das Übertragen auf die Gerade kann man vermeiden, wenn
man den Zirkel selbst zur Summierung der Sehnen benutzt. Ist (Fig. 87)
ABCD…U der zu messende Bogen, so setzt man zuerst den Zirkel in A und
B ein, lüftet ihn bei A und dreht ihn um B in die Lage BA', die
Kurventangente in B; dann lüftet man ihn bei B und öffnet ihn bis C, lüftet
ihn bei A' und dreht ihn um C in die Lage CA'', die Tangente in C, usw. Die
Punkte A, A', A'', … A* liegen angenähert auf einer Evolvente der
gegebenen Kurve (§ 42), und es ist der gesuchte Bogen
A͡ U ≈ A*U.
Besser ist ein kleines gekordetes Meßrädchen (Kurvimeter), mit dem man,
die Radebene senkrecht zur Papierebene haltend, den Kurvenbogen abfährt,

wobei die ganzen Umdrehungen durch ein Zählwerk angegeben werden.
Man prüft das Kurvimeter durch Ausmessen einer geradlinigen oder
kreisförmigen Strecke bekannter Länge. – Die Länge eines Kurvenbogens
auf einer Geländefläche bestimmt man, indem man das Längenprofil der
Kurve konstruiert (§ 47) und dieses rektifiziert.
Aufgabe. Ein Flugzeug hat einen in die Karte des überflogenen Geländes
eingetragenen Weg zurückgelegt, wobei zugleich die erreichten Höhen an
genügend vielen Stellen vermerkt sind. Es soll die wirkliche Länge des
Luftweges ermittelt werden.
Man hat dazu nur nötig, das Längenprofil der Raumkurve entsprechend
dem gezeichneten Wege und den darin vermerkten Höhenangaben zu
zeichnen, wie in § 47 angegeben, und die Bogenlänge dieses Profils nach
dem soeben Auseinandergesetzten zu ermitteln.

§ 90. Flächenmessung. Zur praktischen Ausmessung eines ebenen
willkürlich begrenzten Flächenstückes hat man sich gewisser
Annäherungsmethoden zu bedienen, deren Berechtigung in der
Integralrechnung streng bewiesen wird, oder man benutzt ein Planimeter.
a) Quadratteilung. Fast für alle hier in Frage kommenden Zwecke
ausreichend ist es, ein Blatt Millimeterpauspapier über das Flächenstück zu
decken. Man zählt die eingeschlossenen Quadratmillimeter ab und nimmt
von den durch die Begrenzungslinie durchschnittenen entweder die Hälfte
zu oder schätzt ihre Anteile ab. Das ergibt angenähert den Flächeninhalt in
Quadratmillimetern; um ihn in den Flächeneinheiten des Maßstabes der
Karte zu erhalten, hat man zu ermitteln, wie viele Quadratmillimeter auf
eine Flächeneinheit der Karte gehen. Für den häufigeren Gebrauch im
selben Maßstab zeichnet man ein dazu gehöriges genügend engmaschiges
Quadratnetz auf Pauspapier oder ritzt es mit der Zirkelspitze auf eine dünne
Zelluloidplatte, wie sie etwa zu photographischen Films verwendet wird
und also leicht zu beschaffen ist. Man legt die geritzte Seite auf die Karte.

§ 91. b) Einteilung in Streifen gleicher Breite. Statt der
Quadrateinteilung kann man auch eine Anzahl paralleler Geraden in
gleichem genügend kleinen Abstande δ auf Pauspapier oder einen Film
zeichnen; zwischen je zwei Geraden fügt man noch die Mittellinien (in der

Fig. 88 gestrichelt) ein. Abgesehen von den Kappenstücken, die nicht mehr
die Breite δ haben (geschrafft), kann man den zwischen zwei Geraden a und
b enthaltenen Flächenteil nach der Simpsonschen Regel (Th. Simpson 1743,
Joh. Kepler hat schon 1615 dieselbe Regel zur Raumberechnung benutzt –
Keplersche Faßregel) bestimmen. Man nimmt das Mittel der Anfangs- und
Endsehne, ½(a + b), sodann die Summe aller ausgeschnittenen Sehnen, ∑s,
endlich noch die doppelte Summe der Mittellinien aller Streifen, 2∑m; die
Gesamtsumme dieser drei Werte, mit ⅓δ multipliziert, liefert den
Flächeninhalt meist mit großer Genauigkeit:
F ≈ ⅓δ(a +2 b + ∑s + 2∑m).
Die beiden Summen ∑s und ∑m kann man durch einen angelegten
Papierstreifen messen, auf dem man die einzelnen Sehnen durch
Aneinanderfügen schon beim Anlegen summiert, oder auch mit dem
Streckenrädchen des Kurvimeters, oder auch mit der Millimeterteilung des
Rechenschiebers, nachdem man an dem Glasläufer einen kleinen über der
Millimeterteilung schleifenden Papierzeiger befestigt hat.

Fig. 88.

Die abgeschnittenen Kappen können oft mit genügender Annäherung als
Parabelabschnitte aufgefaßt und alsdann nach der Lambertschen Regel zu
⅔aα und ⅔bβ berechnet werden, wobei α und β ihre Breiten bedeuten (Joh.
Heinr. Lambert 1727–1777).

§ 92. c) Andere Streifeneinteilung. Statt daß man das Flächenstück in
gleich breite Streifen zerlegt, kann man oft einfacher und nicht minder
genau als nach der Simpsonschen Regel nach folgendem von C. Runge
angegebenen zeichnerischen Ausgleichungsverfahren vorgehen. Man ersetzt
das Stück der Begrenzungslinie zwischen den beiden Geraden des Streifens

durch eine senkrecht zu ihnen verlaufende gerade Strecke der Art, daß die
in der Fig. 89 mit Schraffen versehenen dreieckigen Zipfel einander
flächengleich werden. Wenn es sich um genügend kleine Dreiecke handelt,
kann die Abgleichung nach dem Augenmaß sehr genau ausgeführt werden,
und wenn vollends die Figur auf Millimeterpapier gezeichnet ist, hat man
durch Auszählung und Abschätzung der wenigen in den Zipfeln
befindlichen Quadratmillimeter eine gute Prüfung. Man verwandelt auf
diese sehr empfehlenswerte Art das krummlinig begrenzte Flächenstück in
eine Summe von Rechtecken, deren Breite man oft, wenn die Kurve
weniger gekrümmt verläuft, ziemlich groß annehmen kann. Danach läßt
sich der Inhalt leicht berechnen:
F ≈ ∑δy.

Fig. 89. Fig. 90.

§ 93. d) Planimeter. Am schnellsten und auch wohl am genauesten
bedient man sich zur Flächenmessung eines Planimeters, wie es in seiner
einfachsten Form des Polarplanimeters in Fig. 90 angedeutet ist. PD ist
eine um den Nadelspitzpol P drehbare Stange beliebiger Länge, so daß also
D einen Kreis beschreibt; DF ist eine in D drehbare Stange der Länge l,
deren Fahrstift F die Berandung des auszumessenden Flächenstückes
einmal umfährt; R ist ein auf der Zeichenebene rollendes, nicht gleitendes
Rad vom Radius r, dessen Winkeldrehung ω an einer Teilung abgelesen
werden kann. Man zeigt mit Hilfe der Integralrechnung, daß, wenn der Pol
P außerhalb der zu umfahrenden Fläche liegt, der gesuchte Flächeninhalt
gleich l · ωr ist; meist gibt die Teilung der Meßrolle dieses Produkt
unmittelbar an.

§ 94. Geneigte Fläche. Wenn die Ebene der auszumessenden ebenen
Fläche unter dem Winkel α gegen die Horizontalebene der Karte geneigt ist,
so ergibt sich der wahre Flächeninhalt aus dem seiner Projektion, indem
man diese durch cos α dividiert. Das sieht man sogleich ein, wenn man sich
die Fläche und ihre Projektion durch Ebenen, die auf der Schnittgeraden der
Fläche und der Projektionsebene senkrecht stehen, in genügend schmale
Streifen der Breite δ zerlegt denkt. Die mittleren Längen des Streifens und
seiner Projektion verhalten sich wie 1 : cos α, daher, da die Breite dieselbe
ist, auch ihre Flächeninhalte, daher auch die Flächen selbst.
Diese Bemerkung kann man bisweilen benutzen, um praktisch von einem
begrenzten Teile einer Geländefläche den Flächeninhalt zu bestimmen,
nämlich dann, wenn sie sich in Bezirke teilen läßt, innerhalb deren die
Horizontalneigung genügend konstant ist, was sich übrigens sehr leicht am
Verlauf der Fallinien erkennen läßt.

§ 95. Flächeninhalt einer
Böschungsfläche. Wie in § 65 gezeigt, ist
jede Böschungsfläche auf eine Ebene
abwickelbar, und zwar so, daß nach und
nach jede ihrer geradlinigen Fallinien in die
Ebene zu liegen kommt. Da bei der
Abwickelung außer den Längen die Winkel Fig. 91.
zwischen den Kurven der Böschungsfläche
sich nicht ändern, so gehen die
Schichtlinien in Kurven über, die auf den geradlinigen Fallinien auch nach
der Abwickelung senkrecht stehen. Man betrachte nun einen von zwei
beliebigen Schichtlinien und zwei geradlinigen Fallinien begrenzten
Streifen einer Böschungsfläche. Sein Flächeninhalt bleibt bei der
Abwickelung in die Zeichenebene, wodurch die Figur ACDB (Fig. 91)
entstehen möge, ebenfalls ungeändert. Es seien MP, NQ die Abwickelungen
zweier naher Fallinien von der Länge l; sie schneiden das Flächenstück
MPQN aus, das um so mehr als Trapez betrachtet werden kann, je näher MP
und NQ aneinander liegen. Ist RS die Mittellinie des Trapezes, m ihre
Länge, so ist seine Fläche gleich l · m; demnach der Flächeninhalt des
ganzen Stückes ABCD gleich l · ∑m, wo ∑m nichts anderes als die
Bogenlänge der mittleren Schichtlinie EF ist. Man findet daher den

Flächeninhalt einer von zwei Schichtlinien und zwei Fallinien der wahren
Länge l begrenzten Böschungsfläche, indem man l mit der Bogenlänge der
mittleren Schichtlinie multipliziert.
Die Ausführung kann unmittelbar an der Karte der Böschungsfläche
vorgenommen werden, da ja bei jeder Fläche die Schichtlinien mit ihren
Projektionen kongruent sind. Übrigens braucht man die erwähnte mittlere
Schichtlinie nicht erst zu konstruieren, sondern nimmt einfacher und
genauer aus den Bogenlängen der begrenzenden Schichtlinien das
arithmetische Mittel. Sind λ die aus der Karte zu entnehmende konstante
Horizontalentfernung der beiden Schichtlinien, k1 und k2 ihre Höhenzahlen,
so ist l = √λ² + (k1 – k2)², also als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks
mit den Katheten λ und (k1 – k2), diese in Einheiten des Höhenmaßstabes
gemessen, leicht zu zeichnen.
Da man nach § 66 eine Geländefläche, die durch genügend viele
Schichtlinien gegeben ist, gleich der erachten kann, die aus schmalen
Streifen von Böschungsflächen zusammengesetzt ist, so läßt sich das eben
auseinandergesetzte Verfahren auch benutzen, um angenähert die Inhalte
beliebiger gekrümmter Flächenstücke zu bestimmen. Eine große
Genauigkeit wird man freilich nicht zu erwarten haben.

§ 96. Rauminhalt eines begrenzten Geländeteiles. Es ist eine wichtige
Aufgabe der technischen Praxis, den Rauminhalt von Erdmassen zu
bestimmen. Wenn die Begrenzung ganz willkürlich ist, muß man sich wie
beim Flächeninhalt gewisser Annäherungsmethoden bedienen, deren
Berechtigung und Genauigkeit in der Integralrechnung gezeigt wird. Man
denkt sich den auszumessenden Körper in eine Anzahl so dünner Schichten
zerlegt, daß sie ohne merklichen Fehler als zylindrische Scheiben betrachtet
werden können, deren Inhalt gleich dem Produkt aus ihrer Dicke δ und
ihrem Querschnitt q ist. Haben alle Schichten des Körpers die gleiche Dicke
δ, so ist das Volumen des Körpers v = δ · ∑q, wo ∑q die Summe aller
Querschnitte bedeutet. Die gewöhnliche Zerlegung ist die in wagerechte
Schichten. Die Querschnitte werden also durch die Schichtlinien der Fläche
begrenzt. Man kann jeden Querschnitt nach irgendeinem der in §§ 90 bis 93
angegebenen Verfahren bestimmen. Aber auch v selber kann man nach
denselben Verfahren ermitteln. Denn trägt man die gemessenen Werte der
Querschnitte als Ordinaten zu den zugehörigen Höhenzahlen als Abszissen

auf und verbindet ihre Endpunkte durch eine glatte Kurve, so ist die
Maßzahl des Flächeninhalts, der von dieser Kurve, der Abszissenachse und
den Anfangs- und Endordinaten begrenzt wird, gleich v.

§ 97. Aufgabe: Rauminhalt einer Lagerstätte. Zur Erläuterung der in
den letzten Paragraphen besprochenen Maßbestimmungen soll jetzt eine
dem bergmännischen Anwendungsgebiet entnommene Aufgabe etwas
ausführlicher besprochen werden.
Eine nutzbare unterirdische Lagerstätte wird in der Regel durch eine
Anzahl von Bohrlöchern erschlossen, die erkennen lassen, wie weit sich die
Lagerstätte in wagerechter und lotrechter Richtung erstreckt. Da mit
Rücksicht auf die Kosten die Zahl solcher Bohrlöcher auf das Mindestmaß
beschränkt werden muß, wird aus den Bohrergebnissen die Gestalt der
Lagerstätte nur in groben Umrissen entnommen werden können, und daher
werden alle darauf bezüglichen Konstruktionen und Maßbestimmungen nur
als erste Annäherungen an die Wirklichkeit zu betrachten sein; das ist auch
bei der Lösung der folgenden Aufgabe nicht zu vergessen.
Ein Kohlenlager ist durch eine Reihe von Bohrlöchern angefahren und
durchteuft. Man soll den Rauminhalt des Lagers ermitteln.
Zunächst einige allgemeine Bemerkungen zur Ausführung der Aufgabe.
Man wird vor allem die beiden topographischen Flächen zu bestimmen
suchen, die den oberen Teil (das Hangende) und den unteren (das Liegende)
der Lagerstätte begrenzen, indem man nach § 48 die Schichtlinien durch
Längenprofile ermittelt. Das geschieht am besten in einer besonderen Karte,
nachdem man darin die Lage der Bohrlöcher übertragen und die
Tiefenangaben vermerkt hat, in denen jedesmal die Lagerstätte angebohrt
und durchteuft wurde. Nunmehr bestimmt man die Schichtenquerschnitte
nach § 90 bis 93, trägt die Werte graphisch zu den Höhenzahlen als
Ordinaten auf, und planimetriert zur Bestimmung des Rauminhalts die
entstehende Kurve, wie in § 96 angegeben.

Fig. 92.

§ 98. Ausführung der Aufgabe. Es verlohnt sich, die nähere Ausführung
etwas eingehender zu besprechen, weil dabei eine Menge
Nutzanwendungen der früheren Sätze zum Vorschein kommen. Das soll nun
jetzt geschehen. – Gegeben ist die Karte des Geländes (Fig. 92 –
Schichtlinien ausgezogen –) und darin verzeichnet die Lage der Bohrlöcher,
so daß man daraus die Höhenzahlen ihrer Mundlöcher entnehmen kann.
Außerdem sind zu jedem Bohrloch gegeben die Koten (Teufen), in denen
das Hangende angebohrt sowie das Liegende erreicht ist. Das folgende
Verzeichnis enthält diese Angaben für die 13 mit A bis N bezeichneten
Bohrlöcher.
Bohrloch Mundloch Hangendes Liegendes

A + 90 m +47 m –30 m
B +103 m +26 m –6m
C +112 m +12 m +10 m
D + 72 m +70 m –25 m
E + 55 m +50 m +1m
F + 87 m +42 m –14 m
G + 98 m +15 m +7m
H + 85 m +45 m –15 m
I + 84 m +20 m +7m
K + 60 m +11 m +9m
L +108 m +10 m +5m
M +103 m +20 m –2m
N + 71 m +40 m 0m
Zur Bestimmung der Schichtlinien wird man möglichst solche
Längenprofile wählen, die nahezu in Richtung der Fallinien verlaufen; man
wird also für das Liegende vom Punkte tiefster Kote (A), für das Hangende
vom Punkte höchster Kote (D) möglichst radial ausgehen, also z. B.
namentlich das Profil CBADEK benutzen, sodann den Linienzug IHFG,
wobei man die aus dem vorigen Linienzug interpolierte Höhenzahl des
Kreuzungspunktes von AD und FH schon als bekannt benutzen darf, usw.
Hat man genügend viele Zwischenpunkte mit runden Höhenzahlen
ermittelt, so zeichnet man zuerst die Schichtlinien, von denen die meisten
Punkte bekannt sind. Das erleichtert auch die Zeichnung der übrigen an den
Stellen, an denen sie sich nicht durch Querschnitte genügend scharf
bestimmen lassen.
Im vorliegenden Fall hat die Lagerstätte die Form einer unregelmäßig
gestalteten Linse, wie es in der Natur manchmal bei
Braunkohlenlagerstätten vorkommt. In der Fig. 92 sind die Schichtlinien
des Liegenden gestrichelt, die des Hangenden punktiert gezeichnet. In der
Zeichnung findet sich sowohl eine Schichtlinie +10 für das Hangende wie
auch eine für das Liegende; von jeder gehört aber nur ein Teil der
eigentlichen Lagerstätte an; das kommt daher, daß sich Hangendes und
Liegendes in einer Raumkurve durchsetzen, deren Projektion zwischen den
beiden Schichtlinien +10 verläuft. Man konstruiert ihre genauere Lage (–

· – ·) am einfachsten mittels einiger Querschnitte, von denen in der Figur
einer (bei L) angedeutet ist.
Wenn die Schichtlinien alle gezeichnet sind, kann die Planimetrierung
beginnen. Dabei treten in der vorliegenden Figur noch zwei kleine
Erschwerungen auf, die zu beachten sind. Erstens wird verlangt, daß von
dem Volumen nur derjenige Teil bestimmt wird, der innerhalb der
geradlinigen Grubengrenzen gg und der dadurch bestimmten lotrechten
Ebenen gelegen ist. Die Querschnitte sind daher jedesmal nur bis zu diesen
Geraden zu planimetrieren. Zweitens aber tritt die Lagerstätte zutage, und
daher wird ihre Gestalt durch das Gelände beeinflußt. Die Ausbißlinie aa ist
nach § 72 konstruiert worden; beim Planimetrieren muß ersichtlich
jedesmal der Teil der Schichtlinie des Hangenden, der von der Ausbißlinie
umfaßt wird, durch den entsprechenden Teil der Schichtlinie des Geländes
ersetzt werden. Das hat man beim Umfahren mit einem Polarplanimeter
berücksichtigt, und dann folgende Querschnitte in willkürlichen Einheiten p
des Planimeternonius – Mittel aus mehreren Beobachtungen – erhalten:
Höhenzahl: Querschnitt:
Liegendes: –30 m 21,5 p
–20 m 171 p
–10 m 336 p
±0m 826 p
+10 m 1284,5 p
Hangendes: +10 m 1268 p
+20 m 977 p
+30 m 668,5 p
+40 m 434 p
+50 m 241 p
+60 m 77 p
+70 m 4,5 p
Zugleich ergab eine Fläche, die im Maßstab der Zeichnung gemessen
40 000 m² entsprach, planimetriert 1598 p.

Fig. 93.

Die graphische Darstellung dieser Werte in beliebigen Maßstäben ergibt
die Kurve der Fig. 93. Sie besteht aus zwei Ästen, einem für das Hangende
(rechter Ast) und einem für das Liegende (linker Ast), die sich in einem
Punkte schneiden. Zur Bestimmung des Rauminhalts hat man die durch sie
und die Abszissenachse begrenzte Fläche zu ermitteln. Die Planimetrierung
lieferte in willkürlichen Einheiten q des Planimeternonius, deren Wert
übrigens von p verschieden sein kann, das Volumen 549 · q, während
zugleich eine Fläche, die 1000 · p · 100 m Kubikeinheiten entsprach – in
der Figur durch das Rechteck angezeigt –, 1097 · q ergab. Daraus folgt für
das gesuchte Volumen der Wert
549 · q · 100000 · p · m 40000 m²
1097 · q
· 1598 · p = 1 253 100 m³.

Es wäre sicher nicht richtig, das Schlußergebnis auf so viele Stellen
anzugeben, und man wird sich etwa mit der runden Zahl 1 250 000 m³
begnügen müssen, zumal eine Abschätzung der Genauigkeit auf Grund der
gegebenen Daten nicht einfach ist.

§ 99. Zeichnerische Analysis. Die in den vorstehenden Paragraphen
auseinandergesetzten und angewandten Verfahren der Projektionen mit
Höhenzahlen lassen sich nicht nur auf geometrische Aufgaben, sondern
auch auf die praktisch zeichnerische Behandlung analytischer Fragen mit
Nutzen anwenden. Man kann diesen Teil der angewandten Mathematik,
dessen Entstehung erst wenige Jahrzehnte zurückliegt, und dessen Ausbau
noch keineswegs abgeschlossen ist, passend als graphische oder
zeichnerische Analysis bezeichnen. Ihre Ergebnisse finden in fast allen
Zweigen der Technik, in der Vermessungskunde, der technischen Physik,

der Ballistik usw. mehr und mehr Anwendung. Im Folgenden mögen einige
einfachere Gegenstände dieses Gebietes besprochen werden, die mit den
vorhergehenden Betrachtungen zum Teil aufs engste zusammenhängen.

§ 100. Funktionsskale. Es bedeute x eine reelle Veränderliche und y =
f(x) eine beliebige eindeutig umkehrbare – d. h. zu jedem Wert von y gehört
ein Wert von x – reelle Funktion von x, gegeben durch irgendeine
Rechenvorschrift oder durch eine Zahlentafel, derart, daß ihr zeichnerisch
im rechtwinkligen Cartesischen Koordinatensystem (x, y) eine Kurve
zugeordnet werden kann. Einen Punkt P der Kurve (Fig. 94 mit y = √x mit
der Abszisse x (= 3) projiziere man parallel zur Abszissenachse auf die
Ordinatenachse nach Q, so daß OQ = y (= √3 = 1,73) ist, schreibe aber an Q
den zu P gehörigen Abszissenwert x (= 3). Wenn man so für genügend viele
Punkte verfährt, erhält man die Skale der Funktion y = f(x). Die Fig. 94
stellt die Entstehung der Funktionsskale y = √x dar.3
3 Weitere Beispiele sind in dem Bändchen von Paul Luckey, Einführung in die
Nomographie, dieser mathematisch-physikalischen Bibliothek zu finden.

Fig. 94.

Auf der Vorderseite eines gewöhnlichen Rechenschiebers befinden sich
die Skalen der Funktion y = log1₀x in zwei verschiedenen
Maßstabseinheiten.
Die Funktionsskalen tragen im allgemeinen eine ungleichmäßige
Einteilung; gleichmäßig ist sie nur im Falle einer linearen Funktion y =
ax + b, weil die zugehörige Kurve hier eine gerade Linie ist.
Wenn die Teilung einer Funktionsskale so dicht ist, daß eine
Zwischenschaltung weiterer Funktionswerte nach dem Augenmaße möglich
ist, kann man im Sinne der zeichnerischen Analysis die Funktion als durch
ihre Skale völlig bestimmt ansehen.
Denkt man sich die Fig. 94 um einen rechten Winkel aus der Papierebene
so geschwenkt, daß die x-Achse senkrecht zur Zeichenebene nach oben
gerichtet ist, dann stellt die Skale der Funktion nichts weiter dar als die
kotierte Projektion der Kurve (vgl. § 68), die durch die Skale gestuft ist.
Um von irgendeiner analytisch oder tabellarisch gegebenen Funktion die
Skale herzustellen, ist es natürlich nicht erst nötig, die zugehörige Kurve zu
zeichnen. Man braucht nur auf der gewählten Geraden, dem Träger der
Skale, von einem beliebig angenommenen Nullpunkte aus mit der
gewählten Maßstabseinheit den zu x gehörigen Funktionswert f(x) = y
abzutragen und an den Endpunkt dieser Strecke die Zahl x anzuschreiben.

Fig. 95.

Wenn die Funktion nicht eindeutig umkehrbar ist, also zu einem Wert
von y mehrere Zahlenwerte von x gehören, ist ihre Darstellung durch eine
Skale zwar auch möglich, aber man muß dann mehrfach bezifferte

(gebrochene) Skalen in Kauf nehmen, die, auf demselben Träger
gezeichnet, sich ganz oder zum Teil überdecken (vgl. Fig. 95).

§ 101. Konstruktion besonderer Funktionsskalen. Einige Skalen
lassen sich leicht durch eine einfache geometrische Konstruktion finden. So
z. B. die Skalen für sin x und tg x für spitze Winkel, wie aus der Fig. 96
ersichtlich ist. Die Skale für sin x gibt zu gleich die für cos x, wenn man
neben den Strich mit der Zahl x in Graden noch die Zahl 90° – x schreibt,
und ebenso findet man die Skale für ctg x aus der für tg x. Man kann diese
z. B. dann benutzen, um für zwei Punkte einer Karte eines ebenen
Geländes, deren Höhenunterschied gleich 1 ist, den Fallwinkel φ zu
bestimmen; denn die in der Karte gemessene Entfernung der Projektionen
beider Punkte ist gleich ctg φ.

Fig. 96.

Besonders wichtig ist die Konstruktion der Skale für die linear
gebrochene Funktion
y = ax +b
cx + d
,
wo a, b, c, d vier Konstanten sind, von denen es ersichtlich genügt, die drei
Verhältnisse a : b : c : d zu kennen. Wenn c = 0, so würde die Funktion eine
ganze lineare sein, ihre Skale also gleichmäßig geteilt. Wenn c ≠ 0, aber
ad – bc = 0, wäre die Funktion gar nur eine Konstante, wie sofort aus dem
Ausdruck
y = ac + c(cx
ad – bc
+ d)

folgt, in den man die Funktion überführen kann. Sieht man von diesen
Ausnahmefällen ab, und bezeichnet man mit y1, y2, y3, y die vier zu x1, x2, x3,

x gehörigen Funktionswerte, so ist – man kann sich davon durch
Ausrechnung leicht überzeugen –
y2 – y1 y2 – y x2 – x1 x2 – x
: = :
y3 – y1 y3 – y x3 – x1 x3 – x
,

d. h. die Doppelverhältnisse von je vier Werten von x und den zugehörigen
Werten von y sind einander gleich, und daraus folgt bekanntlich, daß die
Punktreihe P1, P2, P3, P mit den Abszissen x1, x2, x3, x auf einer Geraden I
aus der Punktreihe Q1, Q2, Q3, Q mit den Abszissen y1, y2, y3, y auf einer
Geraden II durch Projizieren gewonnen werden kann (Fig. 97). Zur
Konstruktion einer projektiven Skale y = (ax + b) : (cx + d) kann man also
folgendermaßen verfahren. Gegeben sei der Träger der Skale, die Gerade II,
ferner der Anfangspunkt der Skale, d. h. der Punkt mit dem Teilstrich 0, und
der Maßstab, wodurch zugleich der Punkt mit dem Teilstrich 1 der Skale
bestimmt ist. Nunmehr zeichnet man auf einer beliebigen Geraden I
irgendeine gleichmäßige Teilung. Man verbindet sodann miteinander die
Punkte der Teilstriche 0 und ebenso die Punkte der Teilstriche 1. Der
Schnittpunkt S dieser Verbindungsgeraden ist der Mittelpunkt des
Strahlbüschels, das die Skale I auf die Skale II projiziert. (Fig. 98.)
Natürlich gibt es auf einer Geraden unzählig viele projektive Skalen mit
denselben Punkten 0 und 1; denn eine projektive Skale ist erst durch die
Angabe von drei Punkten eindeutig bestimmt, entsprechend den drei
Konstantenverhältnissen a : b : c : d.

Fig. 97. Fig. 98.

§ 102. Aufgabe. Eine Strecke AB = 5 cm soll mit einer solchen Skale
versehen werden, daß an jedem Punkte abgelesen werden kann, in welchem
Teilverhältnis der beiden Abschnitte die Strecke durch ihn geteilt wird. Ist P
ein Punkt der Strecke, AP = y, und x die Skalenstelle von P, so soll AP : PB
= x oder

y
AB – y
=x
sein; daher ist
y = 1 +x x · AB.

Zur Konstruktion der Skale y auf AB
überlegt man, daß dem Punkte A der
Wert x = 0, der Mitte von AB der Wert x
= 1, dem Punkte B der uneigentliche
Wert x = ∞ beizuschreiben ist. Man zieht
also z. B. durch A eine beliebige Gerade
AC mit gleichmäßiger Teilung, die
überdies auch in A beginnen kann. Nun
verbindet man den Teilpunkt 1 dieser
Geraden AC mit der Mitte von AB, den
Teilpunkt ∞ der Geraden mit dem Punkte
B (d. h. man zieht durch B eine Parallele
zu AC); beide Verbindungslinien
schneiden sich in S, dem Mittelpunkte
des projizierenden Strahlenbüschels
Fig. 99. (Fig. 99).
Der Leser mag ferner die Skale 1 : x
zeichnen.

§ 103. Zusammengesetzte Funktionsskalen. Wenn y als Funktion von x
durch eine Skale gegeben ist und ebenso y als Funktion von u, so kann man
den funktionalen Zusammenhang zwischen x und u einfach dadurch
graphisch herstellen, daß man die beiden Skalen mit den
zusammengehörigen Werten von y aneinanderlegt. Ein einfaches Beispiel
dafür geben die drei Thermometerskalen nach Celsius, Réaumur und
Fahrenheit, wenn man sie sich auf demselben Thermometer angebracht
denkt (Fig. 100); sie entsprechen folgenden drei linearen Funktionen:
C = x, R = 45x, F = 95x + 32.

Auf der Vorderseite des gewöhnlichen Rechenschiebers findet sich im
oberen Teile die Skale y = lg x, im unteren dieselbe Skale im doppelten

Maßstab, d. h. die Skale y = 2 lg u; durch den Strich des
Glasläufers wird daher die Beziehung lg x = 2 lg u = lg u²
oder x = u², u = √x vermittelt.
Ebenso leicht ist es auch, wenn y = f(x) und x = φ(u) je
durch eine Skale dargestellt sind, die Skale herzustellen,
die den funktionalen Zusammenhang y = f(φ(u)) = ψ(u)
zwischen y und u liefert, oder, anders gesprochen, die
graphische Elimination von x auszuführen. Es würde an
sich genügen, neben die Bezifferung x der Skale y = f(x)
den zugehörigen Wert von u zu schreiben, wie ihn die
Skale φ(u) ergibt, nur würde man dann keine zur
Fig. 100. Interpolation brauchbare Skale mit gleichen
Unterschieden der Veränderlichen u erhalten. Um die
dazu erforderliche Zwischenschaltung der u-Werte mit
befriedigender Genauigkeit ausführen zu können, zeichnet man zuerst in
einem Koordinatensystem (x, y) mit einer x-Achse, die zugleich Träger der
Skale φ(u) ist, und einer y-Achse, die zugleich Träger der Skale f(x) ist, die
Kurve y = f(x). Nun kann man leicht zu jedem Teilstrich der Skale φ(u) den
zugehörigen Teilstrich der Skale ψ(u) auf dem in der Fig. 101 durch die
Pfeile angedeuteten Wege finden.

Fig. 101.

§ 104. Netzteilung. Für viele Zwecke der zeichnerischen Analysis ist es
wichtig, eine Kurve (K), die in einem Koordinatensystem (x, y) gezeichnet
vorliegt, in eine andere (κ) zu verwandeln, die sich auf ein
Koordinatensystem (ξ, η) bezieht, wobei ξ = φ(x), η = ψ(y) gegebene
funktionale Beziehungen zwischen x und ξ, y und η bedeuten sollen. Wäre
die Gleichung der vorgelegten Kurve (K) bekannt, etwa F(x, y) = 0, und
wären auch die Funktionen φ(x) und ψ(y) in analytischer Form gegeben, so
würde man nur ξ, η an Stelle von x, y einzuführen zu haben, um die
Gleichung Φ(ξ, η) = 0 der verwandelten Kurve (κ) zu erhalten. Aber hier
handelt es sich darum, zeichnerisch die Aufgabe zu lösen, wenn die Kurve
(K) und die Funktionen φ(x) und ψ(y) graphisch gegeben sind.
Man trägt auf einer ξ-Achse die Skale ξ = φ(x) auf und ebenso auf einer
η-Achse die Skale η = ψ(y), wodurch ein im allgemeinen ungleichmäßig
geteiltes Netz bestimmt ist, wie die Fig. 103 angibt. Jedem Koordinatenpaar
x, y entspricht in diesem Netze ein Punkt, der entweder auf einen
Schnittpunkt der Netzgeraden fällt, oder dessen Lage durch Schätzung
leicht zu ermitteln ist. Auf diese Weise kann man die gegebene Kurve (K)
Punkt für Punkt in dieses Netz übertragen und erhält so die verwandelte
Kurve (κ).

Fig. 102.

Beispielsweise geht die Ellipse mit den Halbachsen a und b, deren
Hauptachsenrichtungen mit den Koordinatenachsen x, y und deren
Mittelpunkt mit dem Ursprung zusammenfällt, deren Gleichung also
x² y²
+ =1
a² b²

lautet, durch Umzeichnung in ein Netz mit den Skalen ξ = x², η = y² in die
Gerade mit der Gleichung
η ξ
+
a² b²
=1
über, die die Skalen in den Teilstrichen a² und b² trifft und also leicht zu
zeichnen ist. Das wurde auch für schiefwinklige Achsen gelten, wenn a, b
dann konjugierte Halbmesser bedeuten.
Man kann von dieser Bemerkung eine Anwendung auf folgende Aufgabe
der praktischen Mathematik machen. Es liegt eine eiförmige Kurve
gezeichnet vor, und es besteht die Vermutung, daß sie angenähert eine
Ellipse sei; wie ist das festzustellen? Man wird zunächst angenähert den
Mittelpunkt und zwei konjugierte Durchmesser der Kurve bestimmen,
indem man ein ihr umschriebenes Parallelogramm mit seinen Mittellinien
zeichnet. Dadurch ist zugleich ein schiefwinkliges Koordinatensystem x, y
gegeben, durch das die Punkte der Kurve festgelegt werden können. Man
zeichnet jetzt das ungleichmäßig geteilte Netz ξ = x², η = y², und in dieses
trägt man genügend viele Punkte der eiförmigen Kurve ein; sie werden, den
vier Quadranten der Kurve entsprechend, angenähert auf vier Seiten eines
Parallelogramms liegen. Die Abweichung der Punkte von diesen Geraden
läßt auch die Abweichung der Eilinie von der Ellipse erkennen. Wenn man
über die Punkte, die angenähert auf einer Geraden liegen, einen Faden
spannt oder eine auf einen Film geritzte Gerade legt, kann man in den
meisten Fällen genau genug die Abweichungen ausgleichen und dadurch
die Längen für die konjugierten Halbmesser der Ellipse bestimmen, die die
Eilinie am besten darstellt (Fig. 103).

Fig. 103.

§ 105. Logarithmenpapier. Besonders wichtig ist ein Netz mit
logarithmischer Einteilung. Solche Netze sind in Form von
Logarithmenpapier käuflich zu haben. Es gibt zwei Arten davon: bei der
einen ist sowohl die Abszissenachse, wie auch die Ordinatenachse
logarithmisch geteilt, bei der anderen nur die eine der Koordinatenachsen.
Ihre Verwendung wird aus folgenden Beispielen hervorgehen.
Wenn es sich darum handelt, die polytropische Kurve mit der Gleichung
pvκ = c
zu zeichnen, wo κ, c zwei Konstanten, p und v aber Druck und Volumen
eines Gases bedeuten, das sich adiabatisch ausdehnt, so setze man
ξ = lg v, η = lg p, C = lg c
und erhält
η + κξ = C,
d. h. im Koordinatennetz ξ, η eine gerade Linie. Man wird hier also die
erste Art des doppelt logarithmisch geteilten Papiers benutzen (Fig. 104).

Fig. 104.

Wenn man mit einem gut eingeschossenen Gewehr nach einem Punkte O
einer ebenen senkrechten Scheibe oftmals schießt, so werden die
Einschläge sich in der Nähe von O häufen und mit wachsendem Abstande

von O an Zahl abnehmen. Gauß hat als Maß für die Häufigkeit eines
Treffers im Abstande ξ von O den Ausdruck (Fehlergesetz)
z = e–ξ²
angegeben, dem die Häufigkeit proportional ist, unter der Annahme, daß sie
in allen von O ausgehenden Richtungen dieselbe sei. Setzt man
η = lg z, lg e = 0,4343,
so wird
η = –0,4343 · ξ².
Bei Verwendung einfach logarithmisch geteilten Papiers ergibt dies eine
Parabel. Setzt man noch ξ = √ζ, d. h. bringt man noch auf der gleichmäßig
geteilten Skale des Logarithmenpapiers eine quadratische Teilung an, so
geht die Parabel in die Gerade
η = –0,4343 · ζ
über (Fig. 105).

Fig. 105.

§ 106. Darstellung einer Funktion von zwei Veränderlichen durch ein
Rechenblatt. Es sei z = f(x, y) die darzustellende Funktion der beiden

voneinander unabhängigen Veränderlichen x und y. Ihr geometrisches Bild
ist eine Fläche, wenn man die Werte von z als Höhen senkrecht über einer
Ebene in den Punkten mit den Koordinaten x, y aufträgt. Zu jedem festen
Werte von z gehört eine Kurve bestimmter Höhe auf der Fläche, d. h. eine
ihrer Schichtlinien. Die Projektionen der Schichtlinien auf die als
Zeichenebene gedachte xy-Ebene liefern die Karte der Fläche und somit
eine geometrische Darstellung der Funktion durch Schichtenlinien f(x, y) =
konst. im Koordinatensystem (x, y). An den Schichtenlinien hat man sich
die zugehörigen Werte von z als Höhenzahlen angeschrieben zu denken,
genau so, wie es bisher bei der kartenmäßigen Darstellung der
Geländeflächen geschehen ist. Es ist nicht nötig, daß die Funktion in
entwickelter Form z = f(x, y) gegeben sei; für eine Gleichung der Form F(x,
y, z) = 0 ist dieselbe Darstellung möglich. Diese Darstellung hat man ein
Rechenblatt (Nomogramm, Abakus) der Funktion oder der Gleichung
genannt.

Fig. 106.

In der Fig. 106 ist das Rechenblatt der Funktion z dargestellt, die durch
die Gleichung
z² + xz + y = 0
gegeben ist. Die Schichtlinien sind alle Geraden. Man kann das Rechenblatt
zur zeichnerischen Auflösung einer beliebigen quadratischen Gleichung mit
reellen Wurzeln

z² + pz + q = 0
nach der Unbekannten z gebrauchen. Man sucht im Rechenblatt den Punkt
mit den Koordinaten p, q und sieht nach, welche Schichtgeraden durch ihn
hindurchgehen; die Zahlen der Schichtgeraden, die nötigenfalls durch
schätzendes Zwischenschalten zu bestimmen sind, geben die reellen
Wurzeln der Gleichung an. Liegt der Punkt auf der einhüllenden Parabel x²
= 4y, so hat die Gleichung eine Doppelwurzel, liegt er im Innern dieser
Parabel, so hat die Gleichung keine reelle Wurzeln.
In ähnlicher Weise läßt sich die Gleichung
zn + xzm + y = 0
und noch allgemeiner die Gleichung
φ(z) + xψ(z) + y = 0
behandeln, wo φ(z), ψ(z) beliebige Funktionen bedeuten können, die
analytisch oder tabellarisch oder auch zeichnerisch durch Kurven oder
Funktionsskalen gegeben sein können. In allen diesen Fällen sind die
Kurven des Rechenblattes gerade Linien. Solche Rechenblätter sind
natürlich besonders leicht herzustellen.

§ 107. Rechenblatt mit ungleichmäßiger Teilung. Auch wenn die
Kurven konstanter Werte von z zunächst keine geraden Linien ergeben,
kann man doch häufig durch Benutzung von Skalen auf den
Koordinatenachsen bewirken, daß die Kurven des Rechenblattes Geraden
werden. Zum Beispiel wenn die Gleichung
φ(z) + ξ(x) · ψ(z) + η(y) = 0
vorliegt, die eine Verallgemeinerung der vorhergehenden ist, so wird man
das Netz der Skalen ξ(x), η(y), wie in § 103 angegeben worden ist, benutzen
können; die Schichtlinien in diesem Netze ξ, η sind dann gerade Linien,
denn es ist
φ(z) + ξ · ψ(z) + η = 0
für jeden Wert von z die Gleichung einer Geraden.
Die Zustandsgleichung eines vollkommenen Gases lautet
pv = RT,

wobei p den Druck, v das Volumen, R die Gaskonstante, T die absolute
Temperatur des Gases bedeuten. Die Isothermen T = konst. sind, im
Koordinatensystem p, v gezeichnet, gleichseitige Hyperbeln; im System
ξ = lg p, η = lg v
dagegen ergeben sich dafür gerade Linien. Bei Benutzung doppelt geteilten
Logarithmenpapiers läßt sich mithin für die obige Zustandsgleichung ein
Rechenblatt mit dem Lineal allein herstellen.
Wenn man sich auf doppelt geteiltem Logarithmenpapier mit den Skalen
ξ = lg x, η = lg y die Geraden z = xy zeichnet, so kann das entstandene
Rechenblatt als Multiplikationstafel dienen; denn in ihm liegt der Punkt mit
den Koordinaten x, y, den Faktoren, jedesmal auf der Geraden mit der
Höhenzahl xy, dem Produkte (Fig. 107).

Fig. 107.

ALPHABETISCHES SACHVERZEICHNIS
Abtrag und Aufschüttung 19.
– – – eines Dammes 18, 53;
einer Halde 22, 52.
abwickelbare Flächen 41.
Analysis, zeichnerische 77 ff.
Ansicht des Geländes 65 ff.
Anstieg einer Geraden 3;
– einer Ebene 7;
– einer Raumkurve 32.
asymptotisches Einmünden 44.
Ausbißlinie = Ausschnittlinie 21, 35, 54.
ausgezeichnete Fallinien 43.
Ausschachten einer Grube 24.

bauchig gekrümmt 40.
Berührungen im Raume 29.
Berührungsebene einer Fläche 37.
– durch eine gegebene Gerade 56, 58.
Berührungskegel an einer Fläche 62.
Binormale 35.
Bogenlänge 67.
Böschung einer Geraden 3;
– einer Ebene 7;
– einer Halde 23;
– einer Raumkurve 32.

Böschungsfläche 47;
– einer Raumkurve 49.
– Flächeninhalt 71.
Böschungskegel 15.
Böschungslinie 32, 50.
Böschungsmaßstab einer Ebene 7.
Böschungsstreifen 48.

cos x, ctg x, Skale 80.

Dachausmittelung 21.
Demarkationslinie 41.
Drehen einer Ebene 12.
Drehfläche 17.
Durchdringungspunkte einer Raumkurve mit einer Geländefläche 52.

Ebene 6;
–n gegebener Böschung 15;
– gleicher Böschung 10;
mit parallelen Gefällemaßstäben 9.
ebener Platz, Anlage 19.
Einfallen einer Ebene 7.
Einschalten eines Punktes 4, 31.
Ellipse 23, 24;
angenäherte – 84.
elliptisch gekrümmt 40.
Enveloppe = Hüllkurve 28.
Evolute und Evolvente 29.

Fallen und Streichen einer Ebene 7.

Fallinien 6, 37, 38, 41;
ausgezeichnete – 43.
Fallwinkel einer Geraden 3.
Fehlergesetz, Gaußsches 86.
Fehlerkurve 28.
Firstlinie eines Daches 22.
Flächen, krumme 17.
Flächeninhalt einer Böschungsfläche 71.
Flächenmessung 68.
Flugzeug, durchmessener Weg 68.
Funktionsskalen 78 ff.
Funktion von zwei Veränderlichen, zeichnerische Darstellung 87.

gebrochene Skale 79.
Gefälle einer Geraden 3, 5;
– einer Ebene 6, 15;
– einer Fläche 38.
– Kurven konstanten –s 50.
Geländefläche 1, 26.
geologische Schicht, Ausbißlinie einer 21, 36.
Gipfelpunkt 41.
glatte Kurve 27.
Graduierung einer Geraden 4, = Stufung.
Grat, Gratlinie 47, 48.
Grenzlinie einer ebenen Schicht 21;
– einer Böschungsfläche 51.
Grube, Ausschachten einer – 24.

Halde, Aufschüttung einer – 22.

Hangendes einer Lagerstätte 73.
Hauptnormale 34.
Hauptpunkte 31.
Hauptschichtlinien 26.
Hilfskurve 61, 63.
Höhenlinien 1;
Einschalten von – 36.
Höhenzahl 1, 2 = Kote.
Horizont 62, 64.
Hüllkurve 28.
hyperbolisch gekrümmt 40.
hyperbolisches Paraboloid 17.

Intervall einer Geraden 5;
– einer Raumkurve 32.
Isobathe 1, = Tiefenlinie.
Isohypse 1, = Höhenlinie, Schichtlinie.

Jochpunkt 42.

Kammweg 44.
Karte eines Geländes 26.
Keplersche Faßregel 69; = Simpsonsche Regel.
Korrektionskurve 28.
Kote 1, 2, = Höhenzahl.
kotierte Projektion 2;
– Ebene 2.
Kreiskegel, Kreiszylinder 16.
Kreispunkt 43.

krumme Oberflächen 17.
Krümmung einer Fläche 39.
Krümmungsmittelpunkt, –kreis 29.
Krümmungsgrenze = Demarkationslinie 41.
Kurven im Gelände 30.
Kurvimeter 68.
kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden 11.

Lagerstätte, Rauminhalt einer – 73 ff.
Lambertsche Regel 69.
Längenmessung 89.
Längenprofil einer Raumkurve 31.
Liegendes einer Lagerstätte 73.
linear gebrochene Funktion, Skale 80 ff.
Logarithmenpapier 85.
Lot von einem Punkte auf eine Ebene 11.
Luftlinie 3.

Maßbestimmungen 67 ff.
Maßstab der Zeichnung 3.
Meßrädchen 68.
Mulde, Ausstrichlinie einer – 54.
Muldenpunkt 42.
Multiplikationstafel 89.
Mündungspunkt 44.

Nabelpunkt 43.
negativ gekrümmt 40.

Netzteilung 83.
Niveaulinien 1.
Normale einer Kurve 33;
– einer Fläche 37.
Normalebene 32, 38.
Normalschnitt 38.
Nullinie 52.

Pantograph = Storchschnabel 27.
Paraboloid, hyperbolisches 17.
parabolisch gekrümmt, –e Kurve 41;
–er Punkt 45.
parallele Gefällemaßstäbe 9.
Parallelkurven 29.
Parallelprojektion 65.
Plan des Geländes 26.
Planierungsfläche 32, 52.
Planimeter 70.
Planum = ebener Platz 19.
polytropische Kurve 85.
positiv gekrümmt 40.
Profil = Querprofil 19, 35;
scheinbares – 55.
projektive Skale 81.
projizierender Zylinder 30.

quadratische Gleichung, zeichnerische Lösung 87 ff.
Querprofil 19, 35.

Rauminhalt 72;
– einer Lagerstätte 73.
Raumkurve, Darstellung 30.
Rechenblatt 87 ff.
Rechenschieberskalen 78, 82.
Rektifikation 67.
Relief eines Geländes 30.
Rinne im Gelände 47.
Rückenlinie 44.
Rungesches Verfahren der Flächenmessung 70.

sattelförmig gekrümmt 40.
Sattelfalte 55.
Schacht, Tiefes eines –es 36.
Schattengrenze 62.
scheinbares Profil 55;
–rer Umriß 62.
Schicht, Ausbißlinie einer geologischen – 21.
Schichtenplan 1, 26.
Schichtlinien 1, 6, 31, 41.
Schmiegungsebene 33.
Schnitt zweier Geraden 5;
– einer Fläche mit einer Ebene 35;
– zweier Flächen 51;
– einer zylindrischen Fläche mit dem Gelände 55.
Schnittgerade zweier Ebenen 8.
Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene 10.
Schnittwinkel zweier Ebenen 13.

Schraffur einer Karte 39.
Schraubenfläche 17, 33.
sichtbarer Teil des Geländes 53.
Simpsonsche Regel 69.
sin x, Skale 79.
Skale einer Funktion 78 ff.
Spiegellineal 28.
Steigung, Weg gegebener – 20.
Storchschnabel 27.
Strahlbüschel 81.
Streichen und Fallen einer Ebene 7, 21.
Streichlinien einer Ebene 7.
Stufung einer Geraden = Graduierung 4.

Talweg 18, 43 ff.
Tangente 28.
Teilverhältnis, Skale 81.
tg x, Skale 79.
Thermometerskalen 82.
Tiefenlinien 1.
Träger einer Funktionsskale 79.
Tunnelmündung 25.
Turm, Aussicht von einem – 66.

Überhöhung 4.
Umdrehungsfläche 17.
Umriß einer Fläche 56, 62.

umschriebener Zylinder 56, 57, 59.

Verbindungslinien konstanter Steigung 51.
Verschneidung = Ausbißlinie 35, 54.
Vertikalschnitt 19.

wahre Gestalt einer Figur 13.
Wasserscheide 42, 44.
Weg gegebener Steigung 20.

zeichnerische Bemerkungen 26;
– Analysis 67 ff., 77 ff.
Zentralprojektion 66.
zusammengesetzte Funktionsskalen 82.
Zylinder 16;
projizierender – 30;
Schnitt mit dem Gelände 55.

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b. Stud. u. auf Exkursionen. Mit 89 Abb., 1 Taf. u. Hilfstab. Geb.
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bezeichnen, und zwar nicht bloß wegen seiner häufigen
Bezugnahme auf deutsche Verhältnisse, sondern auch der
Sprache nach. Die Übersetzung ist eine sehr flüssige.
Meisterhafte kleine Skizzen von Davis' Hand, welche zugleich
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Blockdiagramme, sind eingestreut. Daneben laufen
Landschaftsbilder, Wiedergaben von Photographien.«
(A. Penck i. d. Zeitschr. d. Ges. f. Erdk., Berlin.)
Praktische Übungen in physischer Geographie. Von Prof. W. M. Davis.
Übertragen und neu bearbeitet von Prof. Dr. K. Oestreich. Textheft und
Atlas. Textheft geh. M. 2.80. Atlas mit 38 Tafeln geh. M. 3.80 Inhalt
des Textbandes: Die Täler des Festlandes. Die Küstenebene. Die Täler
in der Küstenebene. Tafelländer und Kanons. Skulptur der Gebirge.
Vulkane und Lavaströme. Der Zyklus der Flüsse, Wasserfälle,
Stromschnellen und ausgeglichene Flußläufe. Der Zyklus der Flüsse,
Brücken, Täler und Ablenkung.
Die erklärende Beschreibung der Landformen. Von W. M. Davis.
Deutsch bearb. von Prof. Dr. A. Rühl. Mit 212 Abb. u. 13 Taf. Geb.
M. 12.–
»Das sehr große Tatsachenmaterial ist vortrefflich
durchgearbeitet und gesichtet, so daß es den Leser nicht
erdrückt. Wo es für das Verständnis förderlich war, sind
veranschaulichende landschaftliche Aufrisse und Darstellungen
dem Texte beigegeben, auch hier hat sich der Verfasser einer
weisen Maßhaltung befleißigt.«
(Berliner Tageblatt.)
Eine geographische Studienreise durch das westliche Europa. Von W.
Hanns, A. Rühl, H. Spethmann, H. Waldbaur. M. ein. Einl. v. W. M.

Davis. Hrsg. v. Ver. d. Geogr. a. d. Univ. Leipzig. M. 37 Abb. Steif
geh. M. 2.40
Zunächst legt Davis selbst nochmals einige seiner
wissenschaftlichen Grundanschauungen dar. Dann wird von den
übrigen Verfassern das Snowdongebiet in Wales, der auf
Cornwall fallende Teil der Exkursion, eine Fahrt von der Insel
Jersey nach der Bretagne geschildert und zuletzt das großartige
Bild einer typischen Gletscherlandschaft im Haslital entrollt.
Die Oberflächengestaltung des norddeutschen Flachlandes. I. Teil: Das
Gebiet zwischen Elbe und Oder. Von Dr. E. Wunderlich. Geh. M. 5.20
Ausgehend von den in den letzten Jahren gewonnenen
stratigraphisch-geologischen Ergebnissen sucht Verf. an der
Hand einer systematischen Analyse der verschiedenen Gebiete
in der Hauptsache die Frage zu beantworten, ob das Relief
Norddeutschlands ausschließlich durch die letzte Vereisung
bedingt ist oder mit dem Ausdehnungsbereich verschiedener
Vereisungen in genetischer Beziehung steht.
Schichtenfolge Mitteldeutschlands. Zu Tabellen zusammengestellt für den
Gebrauch auf geologischen Wanderungen. Von Dr. Th. Brandes. Kart.
M. –.50
Geographisches Wanderbuch. Von Dr. A. Berg. Ein Führer für
Wandervögel und Pfadfinder. 2. Aufl. Mit 212 Abbildungen. Geb.
M. 4.40
»Der Verfasser will die wandernde Jugend zu richtigen
›Forschungsreisenden‹ machen, die die heimatlichen Fluren mit
beobachtenden Augen durchstreifen und nicht nur nach ihrem
Stimmungsgehalt ausschöpfen, sie sollen zu höherem,
bleibendem ästhetischen Genuß durchdringen …«
(Der Knabenbündler.)
Geologisches Wanderbuch. Von Dir. Prof. Dr. K. G. Volk. I. Teil. Mit 169
Abbildungen. M. 4.– II. Teil. Mit 269 Abbildungen. M. 4.40.
»Der bekannte Verfasser hat hier mit viel Geschick ein Buch
für junge Geologen geschaffen, an dem man seine helle Freude

haben muß. Nach grundlegenden Beobachtungen und
Experimenten in Heimatflur und Studierstübchen durchwandert
er mit uns die deutschen Mittelgebirge, und zwar so, daß er uns
dabei ein anschauliches Bild von der geologischen Entwicklung
unseres Vaterlandes vor die Seele zaubert.«
(Thüringer Lehrerzeitung.)
Geographische Zeitschrift. Herausgegeben von Prof. Dr. Alfred Hettner.
XXV. Jahrgang. 1919. Jährlich 12 Hefte. Halbjährlich M. 10.–
Auf sämtliche Preise Teuerungszuschläge des Verlags und der
Buchhandlungen.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin

Teubners

Naturwissenschaftliche Bibliothek
Die Sammlung will Lust und Liebe zur Natur wecken und fördern, indem
sie in leichtfaßlicher Weise über die uns umgebenden Erscheinungen
aufklärt und die Selbsttätigkeit anzuregen sucht, sei es durch bewußtes
Schauen und sorgfältiges Beobachten in der freien Natur oder durch
Anstellung von planmäßiger Versuchen daheim. Zugleich soll der Leser
einen Einblick gewinnen in das Leben und Schaffen großer Forscher und
Denker, durch Lebensbilder, die von Ausdauer, Geduld und Hingabe an eine
große Sache sprechen. – Die mit zahlreichen Abbildungen geschmückten
Bändchen, die auf einen geordneten Anfangsunterricht in der Schule
aufgebaut sind, sind nicht nur für Schüler bestimmt, sie werden auch
erwachsenen Naturfreunden, denen daran liegt, die in der Schule
erworbenen Kenntnisse zu verwerten und zu vertiefen – vor allem aber
Studierenden und Lehrern –, nützlich sein.
Serie A. Für reifere Schüler, Studierende und Naturfreunde.
Alle Bände sind reich illustriert und geschmackvoll gebunden.

Große Physiker. Von Direktor Prof. Dr. Joh. Keferstein. Mit 12 Bildnissen
M. 6.60
Physikalisches Experimentierbuch. V. Studienr. Prof. H. Rebenstorff. In 2
Teilen. I. Teil. 2. Aufl. Mit Abb. (U. d. Pr.) II. Teil. Mit 87 Abb.
M. 4.60
Chemisches Experimentierbuch. Von Prof. Dr. Karl Scheid. In 2 Teilen. I.
Teil. 4. Auflage. Mit 77 Abb. M. 4.–. II. Teil. Mit 53 Abb.
M. 3.–
An der Werkbank. Von Prof. E. Gscheidlen. Mit 110 Abbildungen und 44
Tafeln
M. 6.–
Hervorragende Leistungen der Technik. Von Prof. Dr. K. Schreber. Mit
56 Abbildungen.
M. 3.–
Vom Einbaum zum Linienschiff. Streifzüge auf dem Gebiete der
Schiffahrt und des Seewesens. Von Ing. Karl Radunz. Mit 90
Abbildungen.
M. 3.–
Die Luftschiffahrt. Von Dr. R. Nimführ. Mit 99 Abbildungen
M. 3.–
Aus dem Luftmeer. Von Oberl. M. Sassenfeld. Mit 40 Abbildungen
M. 3.–
Himmelsbeobachtung mit bloßem Auge. Von Oberlehrer Franz Rusch. 2.
Aufl. Mit zahlreichen Figuren. (U. d. Pr. 1921.)
An der See. Geogr.-geologische Betrachtungen. Von Prof. Dr. P. Dahms.
Mit 61 Abb.
M. 3.–
Küstenwanderungen. Biologische Ausflüge. Von Dr. V. Franz. Mit 92
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M. 3.–
Geologisches Wanderbuch. Von Dir. Prof. Dr. K. G. Volk. 2 Teile. I. Mit
Abb. u. 1 Orientierungstafel. 2. Aufl. (U. d. Pr. 1921.) II. Mit 193
Abbildungen
M. 4.40
Große Geographen. Bilder aus der Geschichte der Erdkunde. Von Prof. Dr.
Felix Lampe. Mit 6 Porträts. 4 Abb. und Kartenskizzen.
M. 4.–
Geographisches Wanderbuch. Von Priv.-Doz. Dr. A. Berg. 2. Aufl. Mit
212 Abb.
M. 4.40
Anleitung zu photograph. Naturaufnahmen. V. Lehr. G. E. F. Schulz. M.
41 photogr. Aufn.
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M. 3.–
Große Biologen. Bilder a. d. Geschichte d. Biologie. Von Prof. Dr. W. May.
Mit 21 Bildnissen
M. 3.–
Biologisches Experimentierbuch. Anleitung z. selbst. Stud. d.
Lebenserscheinung. f. jugendl. Naturfreunde. V. Prof. Dr. C. Schäffer.
Mit 100 Abb.
M. 6.60
Insektenbiologie. Von Prof. Dr. Chr. Schröder. (U. d. Presse 1921.)
Erlebte Naturgeschichte. (Schüler als Tierbeobachter.) Von Rektor C.
Schmitt. 2. Aufl. Mit 35 Abb. Kart.
M. 6.60

Das Leben unserer Vögel. Von J. Thienemann. (In Vorber.)

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Loeser, M. Sassenfeld, Chr. C. Silberhorn hrsg. von Prof. Dr. Bastian
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GEOMETRIE DES GELÄNDES ***

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Literary Archive Foundation was created to provide a secure and
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