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Arithmetik
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Title: Die Grundlagen der Arithmetik

Author: Gottlob Frege

Release date: February 19, 2015 [eBook #48312]
Most recently updated: October 24, 2024

Language: German

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*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE
GRUNDLAGEN DER ARITHMETIK ***

Anmerkungen zur Transkription

Im Original gesperrter Text ist so ausgezeichnet.
Der Text enthält akzentuierte griechische Buchstaben und mathematische Sonderzeichen, die nicht
in jedem Zeichensatz erhalten sind.
Weitere Anmerkungen finden sich am Ende des Buches.

Die
Grundlagen der Arithmetik.
Eine logisch mathematische Untersuchung

über den Begriff der Zahl

von

Dr. G. Frege,
a. o. Professor an der Universität Jena.

BRESLAU.
Verlag von Wilhelm Koebner.
1884.

Inhalt.
Seite
§ 1. In der Mathematik ist in neuerer Zeit ein auf der
Strenge der Beweise und scharfe Fassung der
Begriffe gerichtetes Bestreben erkennbar. 1
§ 2. Die Prüfung muss sich schliesslich auch auf den
Begriff der Anzahl erstrecken. Zweck des
Beweises. 2
§ 3. Philosophische Beweggründe für solche
Untersuchung: die Streitfragen, ob die Gesetze der
Zahlen analytische oder synthetische Wahrheiten,
apriori oder aposteriori sind. Sinn dieser
Ausdrucke. 3
§ 4. Die Aufgabe dieses Buches. 4

I. Meinungen einiger Schriftsteller über die
Natur der arithmetischen Sätze.
Sind die Zahlformeln beweisbar?
§ 5. Kant verneint dies, was Hankel mit Recht paradox
nennt. 5
§ 6. Leibnizens Beweis von 2 + 2 = 4 hat eine Lücke.
Grassmanns Definition von a + b ist fehlerhaft. 7
§ 7. Mills Meinung, dass die Definitionen der einzelnen
Zahlen beobachtete Thatsachen behaupten, aus
denen die Rechnungen folgen, ist unbegründet. 9
§ 8. Zur Rechtmässigkeit dieser Definitionen ist die
Beobachtung jener Thatsachen nicht erforderlich. 11
Sind die Gesetze der Arithmetik inductive
Wahrheiten?

§ 9. Mills Naturgesetz. Indem Mill arithmetische
Wahrheiten Naturgesetze nennt, verwechselt er sie
mit ihren Anwendungen. 12
§ 10. Gründe dagegen, dass die Additionsgesetze
inductive Wahrheiten sind: Ungleichartigkeit der
Zahlen; wir haben nicht schon durch die Definition
eine Menge gemeinsamer Eigenschaften der
Zahlen; die Induction ist wahrscheinlich umgekehrt
auf die Arithmetik zu gründen. 14
§ 11. Leibnizens »Eingeboren«. 17
Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch-apriori
oder analytisch?
§ 12. Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. Die innere
Anschauung als Erkenntnissgrund. 17
§ 13. Unterschied von Arithmetik und Geometrie 19
§ 14. Vergleichung der Wahrheiten in Bezug auf das von
ihnen beherrschte Gebiet 20
§ 15. Ansichten von Leibniz und St. Jevons 21
§ 16. Dagegen Mills Herabsetzung des »kunstfertigen
Handhabens der Sprache.« Die Zeichen sind nicht
darum leer, weil sie nichts Wahrnehmbares
bedeuten 22
§ 17. Unzulänglichkeit der Induction. Vermuthung, dass
die Zahlgesetze analytische Urtheile sind; worin
dann ihr Nutzen besteht. Werthschätzung der
analytischen Urtheile. 23

II. Meinungen einiger Schriftsteller über den
Begriff der Anzahl.
§ 18. Notwendigkeit den allgemeinen Begriff der Anzahl
zu untersuchen. 24
§ 19. Die Definition darf nicht geometrisch sein. 25
§ 20. Ist die Zahl definirbar? Hankel. Leibniz. 26

Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äussern Dinge?
§ 21. Meinungen von M. Cantor und E. Schröder 27
§ 22. Dagegen Baumann: die äussern Dinge stellen keine
strengen Einheiten dar. Die Anzahl hängt scheinbar
von unserer Auffassung ab 28
§ 23. Mills Meinung, dass die Zahl eine Eigenschaft des
Aggregats von Dingen sei, ist unhaltbar 29
§ 24. Umfassende Anwendbarkeit der Zahl. Mill. Locke.
Leibnizens unkörperliche metaphysische Figur.
Wenn die Zahl etwas Sinnliches wäre, könnte sie
nicht Unsinnlichem beigelegt werden 30
§ 25. Mills physikalischer Unterschied zwischen 2 und
3. Nach Berkeley ist die Zahl nicht realiter in den
Dingen, sondern durch den Geist geschaffen 32
Ist die Zahl etwas Subjectives?
§ 26. Lipschitzs Beschreibung der Zahlbildung passt
nicht recht und kann eine Begriffsbestimmung
nicht ersetzen. Die Zahl ist kein Gegenstand der
Psychologie, sondern etwas Objectives 33
§ 27. Die Zahl ist nicht, wie Schloemilch will,
Vorstellung der Stelle eines Objects in einer Reihe 36
Die Anzahl als Menge.
§ 28. Thomaes Namengebung 38
III. Meinungen über Einheit und Eins.

Drückt das Zahlwort »Ein« eine Eigenschaft von
Gegenständen aus?
§ 29. Vieldeutigkeit der Ausdrücke »μονάς« und
»Einheit.« E. Schröders Erklärung der Einheit als
zu zählenden Gegenstandes ist scheinbar zwecklos.
Das Adjectiv »Ein« enthält keine nähere
Bestimmung, kann nicht als Praedicat dienen 39

§ 30. Nach den Definitionsversuchen von Leibniz und
Baumann scheint der Begriff der Einheit gänzlich
zu verschwimmen 41
§ 31. Baumanns Merkmale der Ungetheiltheit und
Abgegrenztheit. Die Idee der Einheit wird uns
nicht von jedem Objecte zugeführt (Locke) 41
§ 32. Doch deutet die Sprache einen Zusammenhang mit
der Ungetheiltheit und Abgegrenztheit an, wobei
jedoch der Sinn verschoben wird 42
§ 33. Die Untheilbarkeit (G. Köpp) ist als Merkmal der
Einheit nicht haltbar 43
Sind die Einheiten einander gleich?
§ 34. Die Gleichheit als Grund für den Namen »Einheit.«
E. Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Durch
Abstraction von den Verschiedenheiten der Dinge
erhält man nicht den Begriff der Anzahl, und die
Dinge werden dadurch nicht einander gleich 44
§ 35. Die Verschiedenheit ist sogar nothwendig, wenn
von Mehrheit die Rede sein soll. Descartes. E.
Schröder. St. Jevons 46
§ 36. Die Ansicht von der Verschiedenheit der Einheiten
stösst auch auf Schwierigkeiten. Verschiedene
Einsen bei St. Jevons 46
§ 37. Lockes, Leibnizens, Hesses Erklärungen der Zahl
aus der Einheit oder Eins 48
§ 38. »Eins« ist Eigenname, »Einheit« Begriffswort.
Zahl kann nicht als Einheiten definirt werden.
Unterschied von »und« und + 48
§ 39. Die Schwierigkeit, Gleichheit und
Unterscheidbarkeit der Einheiten zu versöhnen,
wird durch die Vieldeutigkeit von »Einheit«
verdeckt 50
Versuche, die Schwierigkeit zu überwinden.

§ 40. Raum und Zeit als Mittel des Unterscheidens.
Hobbes. Thomae. Dagegen: Leibniz, Baumann, St.
Jevons 51
§ 41. Der Zweck wird nicht erreicht 53
§ 42. Die Stelle in einer Reihe als Mittel des
Unterscheidens. Hankels Setzen 54
§ 43. Schröders Abbildung der Gegenstände durch das
Zeichen 1 54
§ 44. Jevons Abstrahiren vom Charakter der
Unterschiede mit Festhaltung ihres
Vorhandenseins. Die 0 und die 1 sind Zahlen wie
die andern. Die Schwierigkeit bleibt bestehen 55
Lösung der Schwierigkeit.
§ 45. Rückblick 58
§ 46. Die Zahlangabe enthält eine Aussage von einem
Begriffe. Einwand, dass bei unverändertem
Begriffe die Zahl sich ändere 59
§ 47. Die Thatsächlichkeit der Zahlangabe erklärt sich
aus der Objectivität des Begriffes 60
§ 48. Auflösung einiger Schwierigkeiten 61
§ 49. Bestätigung bei Spinoza 62
§ 50. E. Schröders Ausführung 62
§ 51. Berichtigung derselben 63
§ 52. Bestätigung in einem deutschen Sprachgebrauche 64
§ 53. Unterschied zwischen Merkmalen und
Eigenschaften eines Begriffes. Existenz und Zahl 64
§ 54. Einheit kann man das Subject einer Zahlangabe
nennen. Untheilbarkeit und Abgegrenztheit der
Einheit. Gleichheit und Unterscheidbarkeit 65

IV. Der Begriff der Anzahl.

Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger
Gegenstand.

§ 55. Versuch, die leibnizischen Definitionen der
einzelnen Zahlen zu ergänzen 67
§ 56. Die versuchten Definitionen sind unbrauchbar, weil
sie eine Aussage erklären, von der die Zahl nur ein
Theil ist 67
§ 57. Die Zahlangabe ist als eine Gleichung zwischen
Zahlen anzusehen 68
§ 58. Einwand der Unvorstellbarkeit der Zahl als eines
selbständigen Gegenstandes. Die Zahl ist
überhaupt unvorstellbar 69
§ 59. Ein Gegenstand ist nicht deshalb von der
Untersuchung auszuschliessen, weil er
unvorstellbar ist 70
§ 60. Selbst concrete Dinge sind nicht immer vorstellbar.
Man muss die Wörter im Satze betrachten, wenn
man nach ihrer Bedeutung fragt 71
§ 61. Einwand der Unräumlichkeit der Zahlen. Nicht
jeder objective Gegenstand ist räumlich 72
Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muss man
den Sinn einer Zahlengleichung feststellen.
§ 62. Wir bedürfen eines Kennzeichens für die
Zahlengleichheit 73
§ 63. Die Möglichkeit der eindeutigen Zuordnung als
solches. Logisches Bedenken, dass die Gleichheit
für diesen Fall besonders erklärt wird 73
§ 64. Beispiele für ein ähnliches Verfahren: die
Richtung, die Stellung einer Ebene, die Gestalt
eines Dreiecks 74
§ 65. Versuch einer Definition. Ein zweites Bedenken:
ob den Gesetzen der Gleichheit genügt wird 76
§ 66. Drittes Bedenken: das Kennzeichen der Gleichheit
ist unzureichend 77
§ 67. Die Ergänzung kann nicht dadurch geschehen, dass 78
man zum Merkmal eines Begriffes die Weise

nimmt, wie ein Gegenstand eingeführt ist
§ 68. Die Anzahl als Umfang eines Begriffes 79
§ 69. Erläuterung 80
Ergänzung und Bewährung unserer Definition.
§ 70. Der Beziehungsbegriff 81
§ 71. Die Zuordnung durch eine Beziehung 83
§ 72. Die beiderseits eindeutige Beziehung. Begriff der
Anzahl 84
§ 73. Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist
gleich der Anzahl, welche dem Begriffe G
zukommt, wenn es eine Beziehung giebt, welche
die unter F fallenden Gegenstände, den unter G
fallenden beiderseits eindeutig zuordnet 83
§ 74. Null ist die Anzahl, welche dem Begriffe »sich
selbst ungleich« zukommt 86
§ 75. Null ist die Anzahl, welche einem Begriffe
zukommt, unter den nichts fällt. Kein Gegenstand
fällt unter einen Begriff, wenn Null die diesem
zukommende Anzahl ist 88
§ 76. Erklärung des Ausdrucks »n folgt in der
natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m.« 89
§ 77. 1 ist die Anzahl, welche dem Begriffe »gleich 0«
zukommt 90
§ 78. Sätze, die mittels unserer Definitionen zu beweisen
sind 91
§ 79. Definition des Folgens in einer Reihe 92
§ 80. Bemerkungen hierzu. Objectivität des Folgens 92
§ 81. Erklärung des Ausdrucks »x gehört der mit y
endenden φ-Reihe an« 94
§ 82. Andeutung des Beweises, dass es kein letztes Glied
der natürlichen Zahlenreihe giebt 94
§ 83. Definition der endlichen Anzahl. Keine endliche 95
Anzahl folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf

sich selber
Unendliche Anzahlen.
§ 84. Die Anzahl, welche dem Begriffe »endliche
Anzahl« zukommt, ist eine unendliche 96
§ 85. Die cantorschen unendlichen Anzahlen;
»Mächtigkeit«. Abweichung in der Benennung 97
§ 86. Cantors Folgen in der Succession und mein Folgen
in der Reihe 98

V. Schluss.
§ 87. Die Natur der arithmetischen Gesetze 99
§ 88. Kants Unterschätzung der analytischen Urtheile 99
§ 89. Kants Satz: »Ohne Sinnlichkeit würde uns kein
Gegenstand gegeben werden«. Kants Verdienst um
die Mathematik 101
§ 90. Zum vollen Nachweis der analytischen Natur der
arithmetischen Gesetze fehlt eine lückenlose
Schlusskette 102
§ 91. Abhilfe dieses Mangels ist durch meine
Begriffsschrift möglich 103
Andere Zahlen.
§ 92. Sinn der Frage nach der Möglichkeit der Zahlen
nach Hankel 104
§ 93. Die Zahlen sind weder räumlich ausser uns noch
subjectiv 105
§ 94. Die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes verbürgt
nicht, dass etwas unter ihn falle, und bedarf selbst
des Beweises 105
§ 95. Man darf nicht ohne Weiteres (c − b) als ein
Zeichen ansehn, das die Subtractionsaufgabe löst 106
§ 96. Auch der Mathematiker kann nicht willkührlich
etwas schaffen 107
§ 97. Begriffe sind von Gegenständen zu unterscheiden 108

§ 98. Hankels Erklärung der Addition 108
§ 99. Mangelhaftigkeit der formalen Theorie 109
§ 100. Versuch, complexe Zahlen dadurch nachzuweisen,
dass die Bedeutung der Multiplication in
besonderer Weise erweitert wird 110
§ 101. Die Möglichkeit eines solchen Nachweises ist für
die Kraft eines Beweises nicht gleichgiltig 111
§ 102. Die blosse Forderung, es solle eine Operation
ausführbar sein, ist nicht ihre Erfüllung 111
§ 103. Kossaks Erklärung der complexen Zahlen ist nur
eine Anweisung zur Definition und vermeidet nicht
die Einmischung von Fremdartigem. Die
geometrische Darstellung 112
§ 104. Es kommt darauf an, den Sinn eines
Wiedererkennungsurtheils für die neuen Zahlen
festzusetzen 114
§ 105. Der Reiz der Arithmetik liegt in ihrem
Vernunftcharakter 115
§ 106–109. 115–
Rückblick
119

Einleitung.
Auf die Frage, was die Zahl Eins sei, oder was das Zeichen 1 bedeute,
wird man meistens die Antwort erhalten: nun, ein Ding. Und wenn man
dann darauf aufmerksam macht, dass der Satz
»die Zahl Eins ist ein Ding«
keine Definition ist, weil auf der einen Seite der bestimmte Artikel, auf der
andern der unbestimmte steht, dass er nur besagt, die Zahl Eins gehöre zu
den Dingen, aber nicht, welches Ding sie sei, so wird man vielleicht
aufgefordert, sich irgendein Ding zu wählen, das man Eins nennen wolle.
Wenn aber Jeder das Recht hätte, unter diesem Namen zu verstehen, was er
will, so würde derselbe Satz von der Eins für Verschiedene Verschiedenes
bedeuten; es gäbe keinen gemeinsamen Inhalt solcher Sätze. Einige lehnen
vielleicht die Frage mit dem Hinweise darauf ab, dass auch die Bedeutung
des Buchstaben a in der Arithmetik nicht angegeben werden könne; und
wenn man sage: a bedeutet eine Zahl, so könne hierin derselbe Fehler
gefunden werden wie in der Definition: Eins ist ein Ding. Nun ist die
Ablehnung der Frage in Bezug auf a ganz gerechtfertigt: es bedeutet keine
bestimmte, angebbare Zahl, sondern dient dazu, die Allgemeinheit von
Sätzen auszudrücken. Wenn man für a in a + a − a = a eine beliebige aber
überall dieselbe Zahl setzt, so erhält man immer eine wahre Gleichung. In
diesem Sinne wird der Buchstabe a gebraucht. Aber bei der Eins liegt die
Sache doch wesentlich anders. Können wir in der Gleichung 1 + 1 = 2 für 1
beidemal denselben Gegenstand, etwa den Mond setzen? Vielmehr scheint
es, dass wir für die erste 1 etwas Anderes wie für die zweite setzen müssen.
Woran liegt es, dass hier grade das geschehen muss, was in jenem Falle ein
Fehler wäre? Die Arithmetik kommt mit dem Buchstaben a allein nicht aus,
sondern muss noch andere b, c u. s. w. gebrauchen, um Beziehungen
zwischen verschiedenen Zahlen allgemein auszudrücken. So sollte man
denken, könnte auch das Zeichen 1 nicht genügen, wenn es in ähnlicher
Weise dazu diente, den Sätzen eine Allgemeinheit zu verleihen. Aber
erscheint nicht die Zahl Eins als bestimmter Gegenstand mit angebbaren
Eigenschaften, z. B. mit sich selbst multiplicirt unverändert zu bleiben? In
diesem Sinne kann man von a keine Eigenschaften angeben; denn was von

a ausgesagt wird, ist eine gemeinsame Eigenschaft der Zahlen, während
1¹ = 1 weder vom Monde etwas aussagt, noch von der Sonne, noch von der
Sahara, noch vom Pic von Teneriffa; denn was könnte der Sinn einer
solchen Aussage sein?
Auf solche Fragen werden wohl auch die meisten Mathematiker keine
genügende Antwort bereit haben. Ist es nun nicht für die Wissenschaft
beschämend, so im Unklaren über ihren nächstliegenden und scheinbar so
einfachen Gegenstand zu sein? Um so weniger wird man sagen können,
was Zahl sei. Wenn ein Begriff, der einer grossen Wissenschaft zu Grunde
liegt, Schwierigkeiten darbietet, so ist es doch wohl eine unabweisbare
Aufgabe, ihn genauer zu untersuchen und diese Schwierigkeiten zu
überwinden, besonders da es schwer gelingen möchte, über die negativen,
gebrochenen, complexen Zahlen zu voller Klarheit zu kommen, solange
noch die Einsicht in die Grundlage des ganzen Baues der Arithmetik
mangelhaft ist.
Viele werden das freilich nicht der Mühe werth achten. Dieser Begriff ist
ja, wie sie meinen, in den Elementarbüchern hinreichend behandelt und
damit für das ganze Leben abgethan. Wer glaubt denn über eine so einfache
Sache noch etwas lernen zu können! Für so frei von jeder Schwierigkeit
hält man den Begriff der positiven ganzen Zahl, dass er für Kinder
wissenschaftlich erschöpfend behandelt werden könne, und dass Jeder ohne
weiteres Nachdenken und ohne Bekanntschaft mit dem, was Andere
gedacht haben, genau von ihm Bescheid wisse. So fehlt denn vielfach jene
erste Vorbedingung des Lernens: das Wissen das Nichtwissens. Die Folge
ist, dass man sich noch immer mit einer rohen Auffassung begnügt, obwohl
schon Herbart 1 eine richtigere gelehrt hat. Es ist betrübend und
entmuthigend, dass in dieser Weise eine Erkenntniss immer wieder verloren
zu gehen droht, die schon errungen war, dass so manche Arbeit vergeblich
zu werden scheint, weil man im eingebildeten Reichthume nicht nöthig zu
haben glaubt, sich ihre Früchte anzueignen. Auch diese Arbeit, sehe ich
wohl, ist solcher Gefahr ausgesetzt. Jene Roheit der Auffassung tritt mir
entgegen, wenn das Rechnen aggregatives, mechanisches Denken genannt
wird 2. Ich bezweifle, dass es ein solches Denken überhaupt giebt.
Aggregatives Vorstellen könnte man schon eher gelten lassen; aber es ist für
das Rechnen ohne Bedeutung. Das Denken ist im Wesentlichen überall
dasselbe: es kommen nicht je nach dem Gegenstande verschiedene Arten

von Denkgesetzen in Betracht. Die Unterschiede bestehen nur in der
grösseren oder geringeren Rauheit und Unabhängigkeit von
psychologischen Einflüssen und von äussern Hilfen des Denkens wie
Sprache, Zahlzeichen und dgl., dann etwa noch in der Feinheit des Baues
der Begriffe; aber grade in dieser Rücksicht möchte die Mathematik von
keiner Wissenschaft, selbst der Philosophie nicht, übertroffen werden.
Man wird aus dieser Schrift ersehen können, dass auch ein scheinbar
eigenthümlich mathematischer Schluss wie der von n auf n + 1 auf den
allgemeinen logischen Gesetzen beruht, dass es besondrer Gesetze des
aggregativen Denkens nicht bedarf. Man kann freilich die Zahlzeichen
mechanisch gebrauchen, wie man papageimässig sprechen kann; aber
Denken möchte das doch kaum zu nennen sein. Es ist nur möglich,
nachdem durch wirkliches Denken die mathematische Zeichensprache so
ausgebildet ist, dass sie, wie man sagt, für einen denkt. Dies beweist nicht,
dass die Zahlen in einer besonders mechanischen Weise, etwa wie
Sandhaufen aus Quarzkörnern gebildet sind. Es liegt, denke ich, im
Interesse der Mathematiker einer solchen Ansicht entgegenzutreten, welche
einen hauptsächlichen Gegenstand ihrer Wissenschaft und damit diese
selbst herabzusetzen geeignet ist. Aber auch bei Mathematikern findet man
ganz ähnliche Aussprüche. Im Gegentheil wird man dem Zahlbegriffe einen
feineren Bau zuerkennen müssen als den meisten Begriffen andrer
Wissenschaften, obwohl er noch einer der einfachsten arithmetischen ist.
Um nun jenen Wahn zu widerlegen, dass in Bezug auf die positiven
ganzen Zahlen eigentlich gar keine Schwierigkeiten obwalten, sondern
allgemeine Uebereinstimmung herrsche, schien es mir gut, einige
Meinungen von Philosophen und Mathematikern über die hier in Betracht
kommenden Fragen zu besprechen. Man wird sehn, wie wenig von
Einklang zu finden ist, sodass geradezu entgegengesetzte Aussprüche
vorkommen. Die Einen sagen z. B.: »die Einheiten sind einander gleich«,
die Andern halten sie für verschieden, und beide haben Gründe für ihre
Behauptung, die sich nicht kurzer Hand abweisen lassen. Hierdurch suche
ich das Bedürfniss nach einer genaueren Untersuchung zu wecken.
Zugleich will ich durch die vorausgeschickte Beleuchtung der von Andern
ausgesprochenen Ansichten meiner eignen Auffassung den Boden ebnen,
damit man sich vorweg überzeuge, dass jene andern Wege nicht zum Ziele
führen, und dass meine Meinung nicht eine von vielen gleichberechtigten

ist; und so hoffe ich die Frage wenigstens in der Hauptsache endgiltig zu
entscheiden.
Freilich sind meine Ausführungen hierdurch wohl philosophischer
geworden, als vielen Mathematikern angemessen scheinen mag; aber eine
gründliche Untersuchung des Zahlbegriffes wird immer etwas
philosophisch ausfallen müssen. Diese Aufgabe ist der Mathematik und
Philosophie gemeinsam.
Wenn das Zusammenarbeiten dieser Wissenschaften trotz mancher
Anläufe von beiden Seiten nicht ein so gedeihliches ist, wie es zu wünschen
und wohl auch möglich wäre, so liegt das, wie mir scheint, an dem
Ueberwiegen psychologischer Betrachtungsweisen in der Philosophie, die
selbst in die Logik eindringen. Mit dieser Richtung hat die Mathematik gar
keine Berührungspunkte, und daraus erklärt sich leicht die Abneigung vieler
Mathematiker gegen philosophische Betrachtungen. Wenn z. B. Stricker 3
die Vorstellungen der Zahlen motorisch, von Muskelgefühlen abhängig
nennt, so kann der Mathematiker seine Zahlen darin nicht wiedererkennen
und weiss mit einem solchen Satze nichts anzufangen. Eine Arithmetik, die
auf Muskelgefühle gegründet wäre, würde gewiss recht gefühlvoll, aber
auch ebenso verschwommen ausfallen wie diese Grundlage. Nein, mit
Gefühlen hat die Arithmetik gar nichts zu schaffen. Ebensowenig mit innern
Bildern, die aus Spuren früherer Sinneseindrücke zusammengeflossen sind.
Das Schwankende und Unbestimmte, welches alle diese Gestaltungen
haben, steht im starken Gegensatze zu der Bestimmtheit und Festigkeit der
mathematischen Begriffe und Gegenstände. Es mag ja von Nutzen sein, die
Vorstellungen und deren Wechsel zu betrachten, die beim mathematischen
Denken vorkommen; aber die Psychologie bilde sich nicht ein, zur
Begründung der Arithmetik irgendetwas beitragen zu können. Dem
Mathematiker als solchem sind diese innern Bilder, ihre Entstehung und
Veränderung gleichgiltig. Stricker sagt selbst, dass er sich beim Worte
»Hundert« weiter nichts vorstellt als das Zeichen 100. Andere mögen sich
den Buchstaben C oder sonst etwas vorstellen; geht daraus nicht hervor,
dass diese innern Bilder in unserm Falle für das Wesen der Sache
vollkommen gleichgiltig und zufällig sind, ebenso zufällig wie eine
schwarze Tafel und ein Stück Kreide, dass sie überhaupt nicht
Vorstellungen der Zahl Hundert zu heissen verdienen? Man sehe doch nicht
das Wesen der Sache in solchen Vorstellungen! Man nehme nicht die

Beschreibung, wie eine Vorstellung entsteht, für eine Definition und nicht
die Angabe der seelischen und leiblichen Bedingungen dafür, dass uns ein
Satz zum Bewusstsein kommt, für einen Beweis und verwechsele das
Gedachtwerden eines Satzes nicht mit seiner Wahrheit! Man muss, wie es
scheint, daran erinnern, dass ein Satz ebensowenig aufhört, wahr zu sein,
wenn ich nicht mehr an ihn denke, wie die Sonne vernichtet wird, wenn ich
die Augen schliesse. Sonst kommen wir noch dahin, dass man beim
Beweise des pythagoräischen Lehrsatzes es nöthig findet, des
Phosphorgehaltes unseres Gehirnes zu gedenken, und dass ein Astronom
sich scheut, seine Schlüsse auf längst vergangene Zeiten zu erstrecken,
damit man ihm nicht einwende: »du rechnest da 2 ∙ 2 = 4; aber die
Zahlvorstellung hat ja eine Entwickelung, eine Geschichte! Man kann
zweifeln, ob sie damals schon so weit war. Woher weisst du, dass in jener
Vergangenheit dieser Satz schon bestand? Könnten die damals lebenden
Wesen nicht den Satz 2 ∙ 2 = 5 gehabt haben, aus dem sich erst durch
natürliche Züchtung im Kampf ums Dasein der Satz 2 ∙ 2 = 4 entwickelt
hat, der seinerseits vielleicht dazu bestimmt ist, auf demselben Wege sich zu
2 ∙ 2 = 3 fortzubilden?« Est modus in rebus, sunt certi denique fines! Die
geschichtliche Betrachtungsweise, die das Werden der Dinge zu belauschen
und aus dem Werden ihr Wesen zu erkennen sucht, hat gewiss eine grosse
Berechtigung; aber sie hat auch ihre Grenzen. Wenn in dem beständigen
Flusse aller Dinge nichts Festes, Ewiges beharrte, würde die Erkennbarkeit
der Welt aufhören und Alles in Verwirrung stürzen. Man denkt sich, wie es
scheint, dass die Begriffe in der einzelnen Seele so entstehen, wie die
Blätter an den Bäumen und meint ihr Wesen dadurch erkennen zu können,
dass man ihrer Entstehung nachforscht und sie aus der Natur der
menschlichen Seele psychologisch zu erklären sucht. Aber diese Auffassung
zieht Alles ins Subjective und hebt, bis ans Ende verfolgt, die Wahrheit auf.
Was man Geschichte der Begriffe nennt, ist wohl entweder eine Geschichte
unserer Erkenntniss der Begriffe oder der Bedeutungen der Wörter. Durch
grosse geistige Arbeit, die Jahrhunderte hindurch andauern kann, gelingt es
oft erst, einen Begriff in seiner Reinheit zu erkennen, ihn aus den fremden
Umhüllungen herauszuschälen, die ihn dem geistigen Auge verbargen. Was
soll man nun dazu sagen, wenn jemand, statt diese Arbeit, wo sie noch nicht
vollendet scheint, fortzusetzen, sie für nichts achtet, in die Kinderstube geht
oder sich in ältesten erdenkbaren Entwickelungsstufen der Menschheit
zurückversetzt, um dort wie J. St. Mill etwa eine Pfefferkuchen- oder

Kieselsteinarithmetik zu entdecken! Es fehlt nur noch, dem
Wohlgeschmacke des Kuchens eine besondere Bedeutung für den
Zahlbegriff zuzuschreiben. Dies ist doch das grade Gegentheil eines
vernünftigen Verfahrens und jedenfalls so unmathematisch wie möglich.
Kein Wunder, dass die Mathematiker nichts davon wissen wollen! Statt eine
besondere Reinheit der Begriffe da zu finden, wo man ihrer Quelle nahe zu
sein glaubt, sieht man Alles verschwommen und ungesondert wie durch
einen Nebel. Es ist so, als ob jemand, um Amerika kennen zu lernen, sich in
die Lage des Columbus zurückversetzen wollte, als er den ersten
zweifelhaften Schimmer seines vermeintlichen Indiens erblickte. Freilich
beweist ein solcher Vergleich nichts; aber er verdeutlicht hoffentlich meine
Meinung. Es kann ja sein, dass die Geschichte der Entdeckungen in vielen
Fällen als Vorbereitung für weitere Forschungen nützlich ist; aber sie darf
nicht an deren Stelle treten wollen.
Dem Mathematiker gegenüber, wäre eine Bekämpfung solcher
Auffassungen wohl kaum nöthig gewesen; aber da ich auch für die
Philosophen die behandelten Streitfragen möglichst zum Austrage bringen
wollte, war ich genöthigt, mich auf die Psychologie ein wenig einzulassen,
wenn auch nur, um ihren Einbruch in die Mathematik zurückzuweisen.
Uebrigens kommen auch in mathematischen Lehrbüchern
psychologische Wendungen vor. Wenn man eine Verpflichtung fühlt, eine
Definition zu geben, ohne es zu können, so will man wenigstens die Weise
beschreiben, wie man zu dem betreffenden Gegenstande oder Begriffe
kommt. Man erkennt diesen Fall leicht daran, dass im weitern Verlaufe nie
mehr auf eine solche Erklärung zurückgegriffen wird. Für Lehrzwecke ist
eine Hinführung auf die Sache auch ganz am Platze; nur sollte man sie von
einer Definition immer deutlich unterscheiden. Dass auch Mathematiker
Beweisgründe mit innern oder äussern Bedingungen der Führung eines
Beweises verwechseln können, dafür liefert E. Schröder 4 ein ergötzliches
Beispiel, indem er unter der Ueberschrift: »Einziges Axiom« Folgendes
darbietet: »Das gedachte Princip könnte wohl das Axiom der Inhärenz der
Zeichen genannt werden. Es giebt uns die Gewissheit, dass bei allen unsern
Entwicklungen und Schlussfolgerungen die Zeichen in unserer Erinnerung
– noch fester aber am Papiere – haften« u. s. w.
So sehr sich nun die Mathematik jede Beihilfe vonseiten der Psychologie
verbitten muss, so wenig kann sie ihren engen Zusammenhang mit der

Logik verleugnen. Ja, ich stimme der Ansicht derjenigen bei, die eine
scharfe Trennung für unthunlich halten. Soviel wird man zugeben, dass jede
Untersuchung über die Bündigkeit einer Beweisführung oder die
Berechtigung einer Definition logisch sein muss. Solche Fragen sind aber
gar nicht von der Mathematik abzuweisen, da nur durch ihre Beantwortung
die nöthige Sicherheit erreichbar ist.
Auch in dieser Richtung gehe ich freilich etwas über das Uebliche
hinaus. Die meisten Mathematiker sind bei Untersuchungen ähnlicher Art
zufrieden, dem unmittelbaren Bedürfnisse genügt zu haben. Wenn sich eine
Definition willig zu den Beweisen hergiebt, wenn man nirgends auf
Widersprüche stösst, wenn sich Zusammenhänge zwischen scheinbar
entlegnen Sachen erkennen lassen und wenn sich dadurch eine höhere
Ordnung und Gesetzmässigkeit ergiebt, so pflegt man die Definition für
genügend gesichert zu halten und fragt wenig nach ihrer logischen
Rechtfertigung. Dies Verfahren hat jedenfalls das Gute, dass man nicht
leicht das Ziel gänzlich verfehlt. Auch ich meine, dass die Definitionen sich
durch ihre Fruchtbarkeit bewähren müssen, durch die Möglichkeit, Beweise
mit ihnen zu führen. Aber es ist wohl zu beachten, dass die Strenge der
Beweisführung ein Schein bleibt, mag auch die Schlusskette lückenlos sein,
wenn die Definitionen nur nachträglich dadurch gerechtfertigt werden, dass
man auf keinen Widerspruch gestossen ist. So hat man im Grunde immer
nur eine erfahrungsmässige Sicherheit erlangt und muss eigentlich darauf
gefasst sein, zuletzt doch noch einen Widerspruch anzutreffen, der das
ganze Gebäude zum Einsturze bringt. Darum glaubte ich etwas weiter auf
die allgemeinen logischen Grundlagen zurückgehn zu müssen, als vielleicht
von den meisten Mathematikern für nöthig gehalten wird.
Als Grundsätze habe ich in dieser Untersuchung folgende festgehalten:
es ist das Psychologische von dem Logischen, das Subjective von dem
Objectiven scharf zu trennen;
nach der Bedeutung der Wörter muss im Satzzusammenhange, nicht in
ihrer Vereinzelung gefragt werden;
der Unterschied zwischen Begriff und Gegenstand ist im Auge zu
behalten.
Um das Erste zu befolgen, habe ich das Wort »Vorstellung« immer im
psychologischen Sinne gebraucht und die Vorstellungen von den Begriffen

und Gegenständen unterschieden. Wenn man den zweiten Grundsatz
unbeachtet lässt, ist man fast genöthigt, als Bedeutung der Wörter innere
Bilder oder Thaten der einzelnen Seele zu nehmen und damit auch gegen
den ersten zu verstossen. Was den dritten Punkt betrifft, so ist es nur Schein,
wenn man meint, einen Begriff zum Gegenstande machen zu können, ohne
ihn zu verändern. Von hieraus ergiebt sich die Unhaltbarkeit einer
verbreiteten formalen Theorie der Brüche, negativen Zahlen u. s. w. Wie ich
die Verbesserung denke, kann ich in dieser Schrift nur andeuten. Es wird in
allen diesen Fällen wie bei den positiven ganzen Zahlen darauf ankommen,
den Sinn einer Gleichung festzustellen.
Meine Ergebnisse werden, denke ich, wenigstens in der Hauptsache die
Zustimmung der Mathematiker finden, welche sich die Mühe nehmen,
meine Gründe in Betracht zu ziehn. Sie scheinen mir in der Luft zu liegen
und einzeln sind sie vielleicht schon alle wenigstens annähernd
ausgesprochen worden; aber in diesem Zusammenhange mit einander
möchten sie doch neu sein. Ich habe mich manchmal gewundert, dass
Darstellungen, die in Einem Punkte meiner Auffassung so nahe kommen, in
andern so stark abweichen.
Die Aufnahme bei den Philosophen wird je nach dem Standpunkte
verschieden sein, am schlechtesten wohl bei jenen Empirikern, die als
ursprüngliche Schlussweise nur die Induction anerkennen wollen und auch
diese nicht einmal als Schlussweise, sondern als Gewöhnung. Vielleicht
unterzieht Einer oder der Andere bei dieser Gelegenheit die Grundlagen
seiner Erkenntnisstheorie einer erneueten Prüfung. Denen, welche etwa
meine Definitionen für unnatürlich erklären möchten, gebe ich zu
bedenken, dass die Frage hier nicht ist, ob natürlich, sondern ob den Kern
der Sache treffend und logisch einwurfsfrei.
Ich gebe mich der Hoffnung hin, dass bei vorurtheilsloser Prüfung auch
die Philosophen einiges Brauchbare in dieser Schrift finden werden.

§ 1. Nachdem die Mathematik sich eine Zeit lang von der euklidischen
Strenge entfernt hatte, kehrt sie jetzt zu ihr zurück und strebt gar über sie

hinaus. In der Arithmetik war schon infolge des indischen Ursprungs vieler
ihrer Verfahrungsweisen und Begriffe eine laxere Denkweise hergebracht
als in der von den Griechen vornehmlich ausgebildeten Geometrie. Sie
wurde durch die Erfindung der höhern Analysis nur gefördert; denn
einerseits stellten sich einer strengen Behandlung dieser Lehren erhebliche,
fast unbesiegliche Schwierigkeiten entgegen, deren Ueberwindung
andrerseits die darauf verwendeten Anstrengungen wenig lohnen zu wollen
schien. Doch hat die weitere Entwickelung immer deutlicher gelehrt, dass
in der Mathematik eine blos moralische Ueberzeugung, gestützt auf viele
erfolgreiche Anwendungen, nicht genügt. Für Vieles wird jetzt ein Beweis
gefordert, was früher für selbstverständlich galt. Die Grenzen der Giltigkeit
sind erst dadurch in manchen Fällen festgestellt worden. Die Begriffe der
Function, der Stetigkeit, der Grenze, des Unendlichen haben sich einer
schärferen Bestimmung bedürftig gezeigt. Das Negative und die
Irrationalzahl, welche längst in die Wissenschaft aufgenommen waren,
haben sich einer genaueren Prüfung ihrer Berechtigung unterwerfen
müssen.
So zeigt sich überall das Bestreben, streng zu beweisen, die
Giltigkeitsgrenzen genau zu ziehen und, um dies zu können, die Begriffe
scharf zu fassen.

§ 2. Dieser Weg muss im weitern Verfolge auf den Begriff der Anzahl
und auf die von positiven ganzen Zahlen geltenden einfachsten Sätze
führen, welche die Grundlage der ganzen Arithmetik bilden. Freilich sind
Zahlformeln wie 5 + 7 = 12 und Gesetze wie das der Associativität bei der
Addition durch die unzähligen Anwendungen, die tagtäglich von ihnen
gemacht werden, so vielfach bestätigt, dass es fast lächerlich erscheinen
kann, sie durch das Verlangen nach einem Beweise in Zweifel ziehen zu
wollen. Aber es liegt im Wesen der Mathematik begründet, dass sie überall,
wo ein Beweis möglich ist, ihn der Bewährung durch Induction vorzieht.
Euklid beweist Vieles, was ihm jeder ohnehin zugestehen würde. Indem
man sich selbst an der euklidischen Strenge nicht genügen liess, ist man auf
die Untersuchungen geführt worden, welche sich an das Parallelenaxiom
geknüpft haben.
So ist jene auf grösste Strenge gerichtete Bewegung schon vielfach über
das zunächst gefühlte Bedürfniss hinausgegangen und dieses ist an

Ausdehnung und Stärke immer gewachsen.
Der Beweis hat eben nicht nur den Zweck, die Wahrheit eines Satzes über
jeden Zweifel zu erheben, sondern auch den, eine Einsicht in die
Abhängigkeit der Wahrheiten von einander zu gewähren. Nachdem man
sich von der Unerschütterlichkeit eines Felsblockes durch vergebliche
Versuche, ihn zu bewegen, überzeugt hat, kann man ferner fragen, was ihn
denn so sicher unterstütze. Je weiter man diese Untersuchungen fortsetzt,
auf desto weniger Urwahrheiten führt man Alles zurück; und diese
Vereinfachung ist an sich schon ein erstrebenswerthes Ziel. Vielleicht
bestätigt sich auch die Hoffnung, dass man allgemeine Weisen der
Begriffsbildung oder der Begründung gewinnen könne, die auch in
verwickelteren Fällen verwendbar sind, indem man zum Bewusstsein
bringt, was die Menschen in den einfachsten Fällen instinctiv gethan haben,
und das Allgemeingiltige daraus abscheidet.

§ 3. Mich haben auch philosophische Beweggründe zu solchen
Untersuchungen bestimmt. Die Fragen nach der apriorischen oder
aposteriorischen, der synthetischen oder analytischen Natur der
arithmetischen Wahrheiten harren hier ihrer Beantwortung. Denn, wenn
auch diese Begriffe selbst der Philosophie angehören, so glaube ich doch,
dass die Entscheidung nicht ohne Beihilfe der Mathematik erfolgen kann.
Freilich hangt dies von dem Sinne ab, den man jenen Fragen beilegt.
Es ist kein seltener Fall, dass man zuerst den Inhalt eines Satzes gewinnt
und dann auf einem andern beschwerlicheren Wege den strengen Beweis
führt, durch den man oft auch die Bedingungen der Giltigkeit genauer
kennen lernt. So hat man allgemein die Frage, wie wir zu dem Inhalte eines
Urtheils kommen, von der zu trennen, woher wir die Berechtigung für
unsere Behauptung nehmen.
Jene Unterscheidungen von apriori und aposteriori, synthetisch und
analytisch betreffen nun nach meiner 5 Auffassung nicht den Inhalt des
Urtheils, sondern die Berechtigung zur Urtheilsfällung. Da, wo diese fehlt,
fällt auch die Möglichkeit jener Eintheilung weg. Ein Irrthum apriori ist
dann ein ebensolches Unding wie etwa ein blauer Begriff. Wenn man einen
Satz in meinem Sinne aposteriori oder analytisch nennt, so urtheilt man
nicht über die psychologischen, physiologischen und physikalischen
Verhältnisse, die es möglich gemacht haben, den Inhalt des Satzes im

Bewusstsein zu bilden, auch nicht darüber, wie ein Anderer vielleicht
irrthümlicherweise dazu gekommen ist, ihn für wahr zu halten, sondern
darüber, worauf im tiefsten Grunde die Berechtigung des Fürwahrhaltens
beruht.
Dadurch wird die Frage dem Gebiete der Psychologie entrückt und dem
der Mathematik zugewiesen, wenn es sich um eine mathematische Wahrheit
handelt. Es kommt nun darauf an, den Beweis zu finden und ihn bis auf die
Urwahrheiten zurückzuverfolgen. Stösst man auf diesem Wege nur auf die
allgemeinen logischen Gesetze und auf Definitionen, so hat man eine
analytische Wahrheit, wobei vorausgesetzt wird, dass auch die Sätze mit in
Betracht gezogen werden, auf denen etwa die Zulässigkeit einer Definition
beruht. Wenn es aber nicht möglich ist, den Beweis zu führen, ohne
Wahrheiten zu benutzen, welche nicht allgemein logischer Natur sind,
sondern sich auf ein besonderes Wissensgebiet beziehen, so ist der Satz ein
synthetischer. Damit eine Wahrheit aposteriori sei, wird verlangt, dass ihr
Beweis nicht ohne Berufung auf Thatsachen auskomme; d. h. auf
unbeweisbare Wahrheiten ohne Allgemeinheit, die Aussagen von
bestimmten Gegenständen enthalten. Ist es dagegen möglich, den Beweis
ganz aus allgemeinen Gesetzen zu führen, die selber eines Beweises weder
fähig noch bedürftig sind, so ist die Wahrheit apriori. 6

§ 4. Von diesen philosophischen Fragen ausgehend kommen wir zu
derselben Forderung, welche unabhängig davon auf dem Gebiete der
Mathematik selbst erwachsen ist: die Grundsätze der Arithmetik, wenn
irgend möglich, mit grösster Strenge zu beweisen; denn nur wenn aufs
sorgfältigste jede Lücke in der Schlusskette vermieden wird, kann man mit
Sicherheit sagen, auf welche Urwahrheiten sich der Beweis stützt; und nur
wenn man diese kennt, wird man jene Fragen beantworten können.
Wenn man nun dieser Forderung nachzukommen versucht, so gelangt
man sehr bald zu Sätzen, deren Beweis solange unmöglich ist, als es nicht
gelingt, darin vorkommende Begriffe in einfachere aufzulösen oder auf
Allgemeineres zurückzuführen. Hier ist es nun vor allen die Anzahl, welche
definirt oder als undefinirbar anerkannt werden muss. Das soll die Aufgabe
dieses Buches sein. 7 Von ihrer Lösung wird die Entscheidung über die
Natur der arithmetischen Gesetze abhangen.

Bevor ich diese Fragen selbst angreife, will ich Einiges vorausschicken,
was Fingerzeige für ihre Beantwortung geben kann. Wenn sich nämlich von
andern Gesichtspunkten aus Gründe dafür ergeben, dass die Grundsätze der
Arithmetik analytisch sind, so sprechen diese auch für deren Beweisbarkeit
und für die Definirbarkeit des Begriffes der Anzahl. Die entgegengesetzte
Wirkung werden die Gründe für die Aposteriorität dieser Wahrheiten haben.
Deshalb mögen diese Streitpunkte zunächst einer vorläufigen Beleuchtung
unterworfen werden.

I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur
der arithmetischen Sätze.
Sind die Zahlformeln beweisbar?

§ 5. Man muss die Zahlformeln, die wie 2 + 3 = 5 von bestimmten
Zahlen handeln, von den allgemeinen Gesetzen unterscheiden, die von allen
ganzen Zahlen gelten.
Jene werden von einigen Philosophen 8 für unbeweisbar und unmittelbar
klar wie Axiome gehalten. Kant 9 erklärt sie für unbeweisbar und
synthetisch, scheut sich aber, sie Axiome zu nennen, weil sie nicht
allgemein sind, und weil ihre Zahl unendlich ist. Hankel 10 nennt mit Recht
diese Annahme von unendlich vielen unbeweisbaren Urwahrheiten
unangemessen und paradox. Sie widerstreitet in der That dem Bedürfnisse
der Vernunft nach Uebersichtlichkeit der ersten Grundlagen. Und ist es
denn unmittelbar einleuchtend, dass
135664 + 37863 = 173527
ist? Nein! und eben dies führt Kant für die synthetische Natur dieser Sätze
an. Es spricht aber vielmehr gegen ihre Unbeweisbarkeit; denn wie sollen
sie anders eingesehen werden als durch einen Beweis, da sie unmittelbar
nicht einleuchten? Kant will die Anschauung von Fingern oder Punkten zu
Hilfe nehmen, wodurch er in Gefahr geräth, diese Sätze gegen seine
Meinung als empirische erscheinen zu lassen; denn die Anschauung von
37863 Fingern ist doch jedenfalls keine reine. Der Ausdruck »Anschauung«
scheint auch nicht recht zu passen, da schon 10 Finger durch ihre
Stellungen zu einander die verschiedensten Anschauungen hervorrufen
können. Haben wir denn überhaupt eine Anschauung von 135664 Fingern
oder Punkten? Hätten wir sie und hätten wir eine von 37863 Fingern und
eine von 173527 Fingern, so müsste die Richtigkeit unserer Gleichung
sofort einleuchten, wenigstens für Finger, wenn sie unbeweisbar wäre; aber
dies ist nicht der Fall.

Kant hat offenbar nur kleine Zahlen im Sinne gehabt. Dann würden die
Formeln für grosse Zahlen beweisbar sein, die für kleine durch die
Anschauung unmittelbar einleuchten. Aber es ist misslich, einen
grundsätzlichen Unterschied zwischen kleinen und grossen Zahlen zu
machen, besonders da eine scharfe Grenze nicht zu ziehen sein möchte.
Wenn die Zahlformeln etwa von 10 an beweisbar wären, so würde man mit
Recht fragen: warum nicht von 5 an, von 2 an, von 1 an?

§ 6. Andere Philosophen und Mathematiker haben denn auch die
Beweisbarkeit der Zahlformeln behauptet. Leibniz 11 sagt:
»Es ist keine unmittelbare Wahrheit, dass 2 und 2 4 sind; vorausgesetzt,
dass 4 bezeichnet 3 und 1. Man kann sie beweisen und zwar so:
Definitionen: 1) 2 ist 1 und 1,
2) 3 ist 2 und 1,
3) 4 ist 3 und 1.
Axiom: Wenn man Gleiches an die Stelle setzt, bleibt die Gleichung
bestehen.
Beweis: 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 3 + 1 = 4.
Def. 1. Def. 2. Def. 3.
Also: nach dem Axiom: 2 + 2 = 4.«
Dieser Beweis scheint zunächst ganz aus Definitionen und dem
angeführten Axiome aufgebaut zu sein. Auch dieses könnte in eine
Definition verwandelt werden, wie es Leibniz an einem andern Orte 12 selbst
gethan hat. Es scheint, dass man von 1, 2, 3, 4 weiter nichts zu wissen
braucht, als was in den Definitionen enthalten ist. Bei genauerer
Betrachtung entdeckt man jedoch eine Lücke, die durch das Weglassen der
Klammern verdeckt ist. Genauer müsste nämlich geschrieben werden:
2 + 2 = 2 + (1 + 1)
(2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4.
Hier fehlt der Satz
2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1,
der ein besonderer Fall von

a + (b + c) = (a + b) + c
ist. Setzt man dies Gesetz voraus, so sieht man leicht, dass jede Formel des
Einsundeins so bewiesen werden kann. Es ist dann jede Zahl aus der
vorhergehenden zu definiren. In der That sehe ich nicht, wie uns etwa die
Zahl 437986 angemessener gegeben werden könnte als in der leibnizischen
Weise. Wir bekommen sie so, auch ohne eine Vorstellung von ihr zu haben,
doch in unsere Gewalt. Die unendliche Menge der Zahlen wird durch
solche Definitionen auf die Eins und die Vermehrung um eins
zurückgeführt, und jede der unendlich vielen Zahlformeln kann aus einigen
allgemeinen Sätzen bewiesen werden.
Dies ist auch die Meinung von H. Grassmann und H. Hankel. Jener will
das Gesetz
a + (b + 1) = (a + b) + 1
durch eine Definition gewinnen, indem er sagt 13:
»Wenn a und b beliebige Glieder der Grundreihe sind, so versteht man
unter der Summe a + b dasjenige Glied der Grundreihe, für welches die
Formel
a + (b + e) = a + b + e
gilt.«
Hierbei soll e die positive Einheit bedeuten. Gegen diese Erklärung lässt
sich zweierlei einwenden. Zunächst wird die Summe durch sich selbst
erklärt. Wenn man noch nicht weiss, was a + b bedeuten soll, versteht man
auch den Ausdruck a + (b + e) nicht. Aber dieser Einwand lässt sich
vielleicht dadurch beseitigen, dass man freilich im Widerspruch mit dem
Wortlaute sagt, nicht die Summe, sondern die Addition solle erklärt werden.
Dann würde immer noch eingewendet werden können, dass a + b ein leeres
Zeichen wäre, wenn es kein Glied der Grundreihe oder deren mehre von der
verlangten Art gäbe. Dass dies nicht statthabe, setzt Grassmann einfach
voraus, ohne es zu beweisen, sodass die Strenge nur scheinbar ist.

§ 7. Man sollte denken, dass die Zahlformeln synthetisch oder analytisch,
aposteriori oder apriori sind, je nachdem die allgemeinen Gesetze es sind,
auf die sich ihr Beweis stützt. Dem steht jedoch die Meinung John Stuart
Mill's entgegen. Zwar scheint er zunächst wie Leibniz die Wissenschaft auf

Definitionen gründen zu wollen, 14 da er die einzelnen Zahlen wie dieser
erklärt; aber sein Vorurtheil, dass alles Wissen empirisch sei, verdirbt sofort
den richtigen Gedanken wieder. Er belehrt uns nämlich, 15 dass jene
Definitionen keine im logischen Sinne seien, dass sie nicht nur die
Bedeutung eines Ausdruckes festsetzen, sondern damit auch eine
beobachtete Thatsache behaupten. Was in aller Welt mag die beobachtete
oder, wie Mill auch sagt, physikalische Thatsache sein, die in der Definition
der Zahl 777864 behauptet wird? Von dem ganzen Reichthume an
physikalischen Thatsachen, der sich hier vor uns aufthut, nennt uns Mill nur
eine einzige, die in der Definition der Zahl 3 behauptet werden soll. Sie
besteht nach ihm darin, dass es Zusammenfügungen von Gegenständen
giebt, welche, während sie diesen Eindruck ⁰₀⁰ auf die Sinne machen, in
zwei Theile getrennt werden können, wie folgt: ∘∘ ∘. Wie gut doch, dass
nicht Alles in der Welt niet- und nagelfest ist; dann könnten wir diese
Trennung nicht vornehmen, und 2 + 1 wäre nicht 3! Wie schade, dass Mill
nicht auch die physikalischen Thatsachen abgebildet hat, welche den Zahlen
0 und 1 zu Grunde liegen!
Mill fährt fort: »Nachdem dieser Satz zugegeben ist, nennen wir alle
dergleichen Theile 3«. Man erkennt hieraus, dass es eigentlich unrichtig ist,
wenn die Uhr drei schlägt, von drei Schlägen zu sprechen, oder süss, sauer,
bitter drei Geschmacksempfindungen zu nennen; ebensowenig ist der
Ausdruck »drei Auflösungsweisen einer Gleichung« zu billigen; denn man
hat niemals davon den sinnlichen Eindruck wie von ⁰₀⁰.
Nun sagt Mill: »Die Rechnungen folgen nicht aus der Definition selbst,
sondern aus der beobachteten Thatsache.« Aber wo hätte sich Leibniz in
dem oben mitgetheilten Beweise des Satzes 2 + 2 = 4 auf die erwähnte
Thatsache berufen sollen? Mill unterlässt es die Lücke nachzuweisen,
obwohl er einen dem leibnizischen ganz entsprechenden Beweis des Satzes
5 + 2 = 7 giebt. 16 Die wirklich vorhandene Lücke, die in dem Weglassen der
Klammern liegt, übersieht er wie Leibniz.
Wenn wirklich die Definition jeder einzelnen Zahl eine besondere
physikalische Thatsache behauptete, so würde man einen Mann, der mit
neunziffrigen Zahlen rechnet, nicht genug wegen seines physikalischen
Wissens bewundern können. Vielleicht geht indessen Mill's Meinung nicht
dahin, dass alle diese Thatsachen einzeln beobachtet werden müssten,

sondern es genüge, durch Induction ein allgemeines Gesetz abgeleitet zu
haben, in dem sie sämmtlich eingeschlossen seien. Aber man versuche, dies
Gesetz auszusprechen, und man wird finden, dass es unmöglich ist. Es
reicht nicht hin, zu sagen: es giebt grosse Sammlungen von Dingen, die
zerlegt werden können; denn damit ist nicht gesagt, dass es so grosse
Sammlungen und von der Art giebt, wie zur Definition etwa der Zahl
1000000 erfordert werden, und die Weise der Theilung ist auch nicht
genauer angegeben. Die millsche Auffassung führt nothwendig zu der
Forderung, dass für jede Zahl eine Thatsache besonders beobachtet werde,
weil in einem allgemeinen Gesetze grade das Eigenthümliche der Zahl
1000000, das zu deren Definition nothwendig gehört, verloren gehen
würde. Man dürfte nach Mill in der That nicht setzen
1000000 = 999999 + 1, wenn man nicht grade diese eigenthümliche Weise
der Zerlegung einer Sammlung von Dingen beobachtet hätte, die von der
irgendeiner andern Zahl zukommenden verschieden ist.

§ 8. Mill scheint zu meinen, dass die Definitionen 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1,
4 = 3 + 1 u. s. w. nicht gemacht werden dürften, ehe nicht die von ihm
erwähnten Thatsachen beobachtet wären. In der That darf man die 3 nicht
als (2 + 1) definiren, wenn man mit (2 + 1) gar keinen Sinn verbindet. Es
fragt sich aber, ob es dazu nöthig ist, jene Sammlung und ihre Trennung zu
beobachten. Räthselhaft wäre dann die Zahl 0; denn bis jetzt hat wohl
niemand 0 Kieselsteine gesehen oder getastet. Mill würde gewiss die 0 für
etwas Sinnloses, für eine blosse Redewendung erklären; die Rechnungen
mit 0 würden ein blosses Spiel mit leeren Zeichen sein, und es wäre nur
wunderbar, wie etwas Vernünftiges dabei herauskommen könnte. Wenn
aber diese Rechnungen eine ernste Bedeutung haben, so kann auch das
Zeichen 0 selber nicht ganz sinnlos sein. Und es zeigt sich die Möglichkeit,
dass 2 + 1 in ähnlicher Weise wie die 0, einen Sinn auch dann noch haben
könnte, wenn die von Mill erwähnte Thatsache nicht beobachtet wäre. Wer
will in der That behaupten, dass die in der Definition einer 18ziffrigen Zahl
nach Mill enthaltene Thatsache je beobachtet sei, und wer will leugnen,
dass ein solches Zahlzeichen trotzdem einen Sinn habe?
Vielleicht meint man, es würden die physikalischen Thatsachen nur für
die kleineren Zahlen etwa bis 10 gebraucht, indem die übrigen aus diesen
zusammengesetzt werden könnten. Aber, wenn man 11 aus 10 und 1 blos
durch Definition bilden kann, ohne die entsprechende Sammlung gesehen

zu haben, so ist kein Grund, weshalb man nicht auch die 2 aus 1 und 1 so
zusammensetzen kann. Wenn die Rechnungen mit der Zahl 11 nicht aus
einer für diese bezeichnenden Thatsache folgen, wie kommt es, dass die
Rechnungen mit der 2 sich auf die Beobachtung einer gewissen Sammlung
und deren eigentümlicher Trennung stützen müssen?
Man fragt vielleicht, wie die Arithmetik bestehen könne, wenn wir durch
die Sinne gar keine oder nur drei Dinge unterscheiden könnten. Für unsere
Kenntniss der arithmetischen Sätze und deren Anwendungen würde ein
solcher Zustand gewiss etwas Missliches haben, aber auch für ihre
Wahrheit? Wenn man einen Satz empirisch nennt, weil wir Beobachtungen
gemacht haben müssen, um uns seines Inhalts bewusst zu werden, so
gebraucht man das Wort »empirisch« nicht in dem Sinne, dass es dem
»apriori« entgegengesetzt ist. Man spricht dann eine psychologische
Behauptung aus, die nur den Inhalt des Satzes betrifft; ob dieser wahr sei,
kommt dabei nicht in Betracht. In dem Sinne sind auch alle Geschichten
Münchhausens empirisch; denn gewiss muss man mancherlei beobachtet
haben, um sie erfinden zu können.

Sind die Gesetze der Arithmetik inductive Wahrheiten?

§ 9. Die bisherigen Erwägungen machen es wahrscheinlich, dass die
Zahlformeln allein aus den Definitionen der einzelnen Zahlen mittels
einiger allgemeinen Gesetze ableitbar sind, dass diese Definitionen
beobachtete Thatsachen weder behaupten noch zu ihrer Rechtmässigkeit
voraussetzen. Es kommt also darauf an, die Natur jener Gesetze zu
erkennen.
Mill 17 will zu seinem vorhin erwähnten Beweise der Formel 5 + 2 = 7
den Satz »was aus Theilen zusammengesetzt ist, ist aus Theilen von diesen
Theilen zusammengesetzt« benutzen. Dies hält er für einen
charakteristischern Ausdruck des sonst in der Form »die Summen von
Gleichem sind gleich« bekannten Satzes. Er nennt ihn inductive Wahrheit
und Naturgesetz von der höchsten Ordnung. Für die Ungenauigkeit seiner
Darstellung ist es bezeichnend, dass er diesen Satz gar nicht an der Stelle
des Beweises heranzieht, wo er nach seiner Meinung unentbehrlich ist;
doch scheint es, dass seine inductive Wahrheit Leibnizens Axiom vertreten
soll: »wenn man Gleiches an die Stelle setzt, bleibt die Gleichung

bestehen.« Aber um arithmetische Wahrheiten Naturgesetze nennen zu
können, legt Mill einen Sinn hinein, den sie nicht haben. Er meint z. B. 18 die
Gleichung 1 = 1 könne falsch sein, weil ein Pfundstück nicht immer genau
das Gewicht eines andern habe. Aber das will der Satz 1 = 1 auch gar nicht
behaupten.
Mill versteht das + Zeichen so, dass dadurch die Beziehung der Theile
eines physikalischen Körpers oder eines Haufens zu dem Ganzen
ausgedrückt werde; aber das ist nicht der Sinn dieses Zeichens. 5 + 2 = 7
bedeutet nicht, dass wenn man zu 5 Raumtheilen Flüssigkeit 2 Raumtheile
Flüssigkeit giesst, man 7 Raumtheile Flüssigkeit erhalte, sondern dies ist
eine Anwendung jenes Satzes, die nur statthaft ist, wenn nicht infolge etwa
einer chemischen Einwirkung eine Volumänderung eintritt. Mill
verwechselt immer Anwendungen, die man von einem arithmetischen Satze
machen kann, welche oft physikalisch sind und beobachtete Thatsachen zur
Voraussetzung haben, mit dem rein mathematischen Satze selber. Das
Pluszeichen kann zwar in manchen Anwendungen einer Haufenbildung zu
entsprechen scheinen; aber dies ist nicht seine Bedeutung; denn bei andern
Anwendungen kann von Haufen, Aggregaten, dem Verhältnisse eines
physikalischen Körpers zu seinen Theilen keine Rede sein, z. B. wenn man
die Rechnung auf Ereignisse bezieht. Zwar kann man auch hier von Theilen
sprechen; dann gebraucht man das Wort aber nicht im physikalischen oder
geometrischen, sondern im logischen Sinne, wie wenn man die
Ermordungen von Staatsoberhäuptern einen Theil der Morde überhaupt
nennt. Hier hat man die logische Unterordnung. Und so entspricht auch die
Addition im Allgemeinen nicht einem physikalischen Verhältnisse. Folglich
können auch die allgemeinen Additionsgesetze nicht Naturgesetze sein.

§ 10. Aber sie könnten vielleicht dennoch inductive Wahrheiten sein. Wie
wäre das zu denken? Von welchen Thatsachen soll man ausgehen, um sich
zum Allgemeinen zu erheben? Dies können wohl nur die Zahlformeln sein.
Damit verlören wir freilich den Vortheil wieder, den wir durch die
Definitionen der einzelnen Zahlen gewonnen haben, und wir müssten uns
nach einer andern Begründungsweise der Zahlformeln umsehen. Wenn wir
uns nun auch über dies nicht ganz leichte Bedenken hinwegsetzen, so
finden wir doch den Boden für die Induction ungünstig; denn hier fehlt jene
Gleichförmigkeit, welche sonst diesem Verfahren eine grosse

Zuverlässigkeit geben kann. Schon Leibniz 19 lässt dem Philalèthe auf seine
Behauptung:
»Die verschiedenen Modi der Zahl sind keiner andern
Verschiedenheit fähig, als des mehr oder weniger; daher sind es
einfache Modi wie die des Raumes«
antworten:
»Das kann man von der Zeit und der geraden Linie sagen, aber
keinesfalls von den Figuren und noch weniger von den Zahlen, die nicht
blos an Grösse verschieden, sondern auch unähnlich sind. Eine gerade Zahl
kann in zwei gleiche Theile getheilt werden und nicht eine ungerade; 3 und
6 sind trianguläre Zahlen, 4 und 9 sind Quadrate, 8 ist ein Cubus u. s. f.;
und dies findet bei den Zahlen noch mehr statt als bei den Figuren; denn
zwei ungleiche Figuren können einander vollkommen ähnlich sein, aber
niemals zwei Zahlen.«
Wir haben uns zwar daran gewöhnt, die Zahlen in vielen Beziehungen als
gleichartig zu betrachten; das kommt aber nur daher, weil wir eine Menge
allgemeiner Sätze kennen, die von allen Zahlen gelten. Hier müssen wir uns
jedoch auf den Standpunkt stellen, wo noch keiner von diesen anerkannt ist.
In der That möchte es schwer sein, ein Beispiel für einen Inductionsschluss
zu finden, das unserem Falle entspräche. Sonst kommt uns oft der Satz zu
statten, dass jeder Ort im Raume und jeder Zeitpunkt an und für sich so gut
wie jeder andere ist. Ein Erfolg muss an einem andern Orte und zu einer
andern Zeit ebensogut eintreten, wenn nur die Bedingungen dieselben sind.
Das fällt hier hinweg, weil die Zahlen raum- und zeitlos sind. Die Stellen in
der Zahlenreihe sind nicht gleichwerthig wie die Orte des Raumes.
Die Zahlen verhalten sich auch ganz anders als die Individuen etwa einer
Thierart, da sie eine durch die Natur der Sache bestimmte Rangordnung
haben, da jede auf eigne Weise gebildet ist und ihre Eigenart hat, die
besonders bei der 0, der 1 und der 2 hervortritt. Wenn man sonst einen Satz
in Bezug auf eine Gattung durch Induction begründet, hat man gewöhnlich
schon eine ganze Reihe gemeinsamer Eigenschaften allein schon durch die
Definition des Gattungsbegriffes. Hier hält es schwer, nur eine einzige zu
finden, die nicht selbst erst nachzuweisen wäre.
Am leichtesten möchte sich unser Fall noch mit folgendem vergleichen
lassen. Man habe in einem Bohrloche eine mit der Tiefe regelmässig

zunehmende Temperatur bemerkt; man habe bisher sehr verschiedene
Gesteinsschichten angetroffen. Es ist dann offenbar aus den
Beobachtungen, die man an diesem Bohrloche gemacht hat, allein nichts
über die Beschaffenheit der tiefern Schichten zu schliessen, und ob die
Regelmässigkeit der Temperaturvertheilung sich weiter bewähren würde,
muss dahingestellt bleiben. Unter den Begriff »was bei fortgesetztem
Bohren angetroffen wird« fällt zwar das bisher Beobachtete wie das
Tieferliegende; aber das kann hier wenig nützen. Ebenso wenig wird es uns
bei den Zahlen nützen, dass sie sämmtlich unter den Begriff »was man
durch fortgesetzte Vermehrung um eins erhält« fallen. Man kann eine
Verschiedenheit der beiden Fälle darin finden, dass die Schichten nur
angetroffen werden, die Zahlen aber durch die fortgesetzte Vermehrung um
eins geradezu geschaffen und ihrem ganzen Wesen nach bestimmt werden.
Dies kann nur heissen, dass man aus der Weise, wie eine Zahl, z. B. 8,
durch Vermehrung um 1 entstanden ist, alle ihre Eigenschaften ableiten
kann. Damit giebt man im Grunde zu, dass die Eigenschaften der Zahlen
aus ihren Definitionen folgen, und es eröffnet sich die Möglichkeit, die
allgemeinen Gesetze der Zahlen aus der allen gemeinsamen
Entstehungsweise zu beweisen, während die besondern Eigenschaften der
einzelnen aus der besondern Weise zu folgern wären, wie sie durch
fortgesetzte Vermehrung um eins gebildet sind. So kann man auch, was bei
den Erdschichten, schon durch die Tiefe allein bestimmt ist, in der sie
getroffen werden, also ihre Lagenverhältnisse, eben daraus schliessen, ohne
dass man die Induction nöthig hätte; was aber nicht dadurch bestimmt ist,
kann auch die Induction nicht lehren.
Vermuthlich kann das Verfahren der Induction selbst nur mittels
allgemeiner Sätze der Arithmetik gerechtfertigt werden, wenn man darunter
nicht eine blosse Gewöhnung versteht. Diese hat nämlich durchaus keine
wahrheitverbürgende Kraft. Während das wissenschaftliche Verfahren nach
objectiven Maasstäben bald in einer einzigen Bestätigung eine hohe
Wahrscheinlichkeit begründet findet, bald tausendfaches Eintreffen fast für
werthlos erachtet, wird die Gewöhnung durch Zahl und Stärke der
Eindrücke und subjective Verhältnisse bestimmt, die keinerlei Recht haben,
auf das Urtheil Einfluss zu üben. Die Induction muss sich auf die Lehre von
der Wahrscheinlichkeit stützen, weil sie einen Satz nie mehr als
wahrscheinlich machen kann. Wie diese Lehre aber ohne Voraussetzung
arithmetischer Gesetze entwickelt werden könne, ist nicht abzusehen.

§ 11. Leibniz 20 meint dagegen, dass die nothwendigen Wahrheiten, wie
man solche in der Arithmetik findet, Principien haben müssen, deren
Beweis nicht von den Beispielen und also nicht von dem Zeugnisse der
Sinne abhangt, wiewohl ohne die Sinne sich niemand hätte einfallen lassen,
daran zu denken. »Die ganze Arithmetik ist uns eingeboren und in uns auf
virtuelle Weise.« Wie er den Ausdruck »eingeboren« meint, verdeutlicht
eine andere Stelle 21: »Es ist nicht wahr, dass alles, was man lernt, nicht
eingeboren sei; – die Wahrheiten der Zahlen sind in uns, und
nichtsdestoweniger lernt man sie, sei es, indem man sie aus ihrer Quelle
zieht, wenn man sie auf beweisende Art lernt (was eben zeigt, dass sie
eingeboren sind), sei es …«.

Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch apriori oder
analytisch?

§ 12. Wenn man den Gegensatz von analytisch und synthetisch
hinzunimmt, ergeben sich vier Combinationen, von denen jedoch eine,
nämlich
analytisch aposteriori
ausfällt. Wenn man sich mit Mill für aposteriori entschieden hat, bleibt also
keine Wahl, sodass für uns nur noch die Möglichkeiten
synthetisch apriori
und
analytisch
zu erwägen bleiben. Für die erstere entscheidet sich Kant. In diesem Falle
bleibt wohl nichts übrig, als eine reine Anschauung als letzten
Erkenntnissgrund anzurufen, obwohl hier schwer zu sagen ist, ob es eine
räumliche oder zeitliche ist, oder welche es sonst sein mag. Baumann 22
stimmt Kant, wenngleich mit etwas anderer Begründung, bei. Auch nach
Lipschitz 23 fliessen die Sätze, welche die Unabhängigkeit der Anzahl von
der Art des Zählens und die Vertauschbarkeit und Gruppirbarkeit der
Summanden behaupten, aus der inneren Anschauung. Hankel 24 gründet die
Lehre von den reellen Zahlen auf drei Grundsätze, denen er den Charakter
der notiones communes zuschreibt: »Sie werden durch Explication

vollkommen evident, gelten für alle Grössengebiete nach der reinen
Anschauung der Grösse und können, ohne ihren Charakter einzubüssen, in
Definitionen verwandelt werden, indem man sagt: Unter der Addition von
Grössen versteht man eine Operation, welche diesen Sätzen genügt.« In der
letzten Behauptung liegt eine Unklarheit. Vielleicht kann man die
Definition machen; aber sie kann keinen Ersatz für jene Grundsätze bilden;
denn bei der Anwendung würde es sich immer darum handeln: sind die
Anzahlen Grössen, und ist das, was man Addition der Anzahlen zu nennen
pflegt, Addition im Sinne dieser Definition? Und zur Beantwortung müsste
man jene Sätze von den Anzahlen schon kennen. Ferner erregt der
Ausdruck »reine Anschauung der Grösse« Anstoss. Wenn man erwägt, was
alles Grösse genannt wird: Anzahlen, Längen, Flächeninhalte, Volumina,
Winkel, Krümmungen, Massen, Geschwindigkeiten, Kräfte, Lichtstärken,
galvanische Stromstärken u. s. f., so ist wohl zu verstehen, wie man dies
einem Grössenbegriffe unterordnen kann; aber der Ausdruck »Anschauung
der Grösse« und gar »reine Anschauung der Grösse« kann nicht als
zutreffend anerkannt werden. Ich kann nicht einmal eine Anschauung von
100000 zugeben, noch viel weniger von Zahl im Allgemeinen oder gar von
Grösse im Allgemeinen. Man beruft sich zu leicht auf innere Anschauung,
wenn man keinen andern Grund anzugeben vermag. Aber man sollte dabei
den Sinn des Wortes »Anschauung« doch nicht ganz aus dem Auge
verlieren.
Kant definirt in der Logik (ed. Hartenstein, VIII, S. 88):
»Die Anschauung ist eine einzelne Vorstellung (repraesentatio
singularis), der Begriff eine allgemeine (repraesentatio per notas
communes) oder reflectirte Vorstellung (repraesentatio discursiva).«
Hier kommt die Beziehung zur Sinnlichkeit gar nicht zum Ausdrucke, die
doch in der transcendentalen Aesthetik hinzugedacht wird, und ohne welche
die Anschauung nicht als Erkenntnissprincip für die synthetischen Urtheile
apriori dienen kann. In der Kr. d. r. V. (ed. Hartenstein III, S. 55) heisst es:
»Vermittelst der Sinnlichkeit also werden uns Gegenstände gegeben und
sie allein liefert uns Anschauungen.«
Der Sinn unseres Wortes in der Logik ist demnach ein weiterer als in der
trancendentalen Aesthetik. Im logischen Sinne könnte man vielleicht
100000 eine Anschauung nennen; denn ein allgemeiner Begriff ist es nicht.

Aber in diesem Sinne genommen, kann die Anschauung nicht zur
Begründung der arithmetischen Gesetze dienen.

§ 13. Ueberhaupt wird es gut sein, die Verwandtschaft mit der Geometrie
nicht zu überschätzen. Ich habe schon eine leibnizische Stelle dagegen
angeführt. Ein geometrischer Punkt für sich betrachtet, ist von irgendeinem
andern gar nicht zu unterscheiden; dasselbe gilt von Geraden und Ebenen.
Erst wenn mehre Punkte, Gerade, Ebenen in einer Anschauung gleichzeitig
aufgefasst werden, unterscheidet man sie. Wenn in der Geometrie
allgemeine Sätze aus der Anschauung gewonnen werden, so ist das daraus
erklärlich, dass die angeschauten Punkte, Geraden, Ebenen eigentlich gar
keine besondern sind und daher als Vertreter ihrer ganzen Gattung gelten
können. Anders liegt die Sache bei den Zahlen: jede hat ihre
Eigenthümlichkeit. Inwiefern eine bestimmte Zahl alle andern vertreten
kann, und wo ihre Besonderheit sich geltend macht, ist ohne Weiteres nicht
zu sagen.

§ 14. Auch die Vergleichung der Wahrheiten in Bezug auf das von ihnen
beherrschte Gebiet spricht gegen die empirische und synthetische Natur der
arithmetischen Gesetze.
Die Erfahrungssätze gelten für die physische oder psychologische
Wirklichkeit, die geometrischen Wahrheiten beherrschen das Gebiet des
räumlich Anschaulichen, mag es nun Wirklichkeit oder Erzeugniss der
Einbildungskraft sein. Die tollsten Fieberphantasien, die kühnsten
Erfindungen der Sage und der Dichter, welche Thiere reden, Gestirne stille
stehen lassen, aus Steinen Menschen und aus Menschen Bäume machen,
und lehren, wie man sich am eignen Schopfe aus dem Sumpfe zieht, sie
sind doch, sofern sie anschaulich bleiben, an die Axiome der Geometrie
gebunden. Von diesen kann nur das begriffliche Denken in gewisser Weise
loskommen, wenn es etwa einen Raum von vier Dimensionen oder von
positivem Krümmungsmaasse annimmt. Solche Betrachtungen sind
durchaus nicht unnütz; aber sie verlassen ganz den Boden der Anschauung.
Wenn man diese auch dabei zu Hilfe nimmt, so ist es doch immer die
Anschauung des euklidischen Raumes, des einzigen, von dessen Gebilden
wir eine haben. Sie wird dann nur nicht so, wie sie ist, sondern symbolisch
für etwas anderes genommen; man nennt z. B. gerade oder eben, was man
doch als Krummes anschaut. Für das begriffliche Denken kann man

immerhin von diesem oder jenem geometrischen Axiome das Gegentheil
annehmen, ohne dass man in Widersprüche mit sich selbst verwickelt wird,
wenn man Schlussfolgerungen aus solchen der Anschauung
widerstreitenden Annahmen zieht. Diese Möglichkeit zeigt, dass die
geometrischen Axiome von einander und von den logischen Urgesetzen
unabhängig, also synthetisch sind. Kann man dasselbe von den Grundsätzen
der Zahlenwissenschaft sagen? Stürzt nicht alles in Verwirrung, wenn man
einen von diesen leugnen wollte? Wäre dann noch Denken möglich? Liegt
nicht der Grund der Arithmetik tiefer als der alles Erfahrungswissens, tiefer
selbst als der der Geometrie? Die arithmetischen Wahrheiten beherrschen
das Gebiet des Zählbaren. Dies ist das umfassendste; denn nicht nur das
Wirkliche, nicht nur das Anschauliche gehört ihm an, sondern alles
Denkbare. Sollten also nicht die Gesetze der Zahlen mit denen des Denkens
in der innigsten Verbindung stehen?

§ 15. Dass Leibnizens Aussprüche sich nur zu Gunsten der analytischen
Natur der Zahlgesetze deuten lassen, ist vorauszusehen, da für ihn das
Apriori mit dem Analytischen zusammenfällt. So sagt er 25, dass die Algebra
ihre Vortheile einer viel höhern Kunst, nämlich der wahren Logik entlehne.
An einer andern Stelle 26 vergleicht er die nothwendigen und zufälligen
Wahrheiten mit den commensurabeln und incommensurabeln Grössen und
meint, dass bei nothwendigen Wahrheiten ein Beweis oder eine
Zurückführung auf Identitäten möglich sei. Doch diese Aeusserungen
verlieren dadurch an Gewicht, dass Leibniz dazu neigt, alle Wahrheiten als
beweisbar anzusehen 27: »… dass jede Wahrheit ihren apriorischen, aus dem
Begriff der Termini gezogenen Beweis hat, wiewohl es nicht immer in
unserer Macht steht, zu dieser Analyse zu kommen.« Der Vergleich mit der
Commensurabilität und Incommensurabilität richtet freilich doch wieder
eine für uns wenigstens unüberschreitbare Schranke zwischen zufälligen
und nothwendigen Wahrheiten auf.
Sehr entschieden im Sinne der analytischen Natur der Zahlgesetze spricht
sich W. Stanley Jevons aus 28: »Zahl ist nur logische Unterscheidung und
Algebra eine hoch entwickelte Logik.«

§ 16. Aber auch diese Ansicht hat ihre Schwierigkeiten. Soll dieser
hochragende, weitverzweigte und immer noch wachsende Baum der

Zahlenwissenschaft in blossen Identitäten wurzeln? Und wie kommen die
leeren Formen der Logik dazu, aus sich heraus solchen Inhalt zu gewinnen?
Mill meint: »Die Lehre, dass wir durch kunstfertiges Handhaben der
Sprache Thatsachen entdecken, die verborgene Naturprocesse enthüllen
können, ist dem gesunden Menschenverstande so entgegen, dass es schon
einen Fortschritt in der Philosophie verlangt, um sie zu glauben«.
Gewiss dann, wenn man sich bei dem kunstfertigen Handhaben nichts
denkt. Mill wendet sich hier gegen einen Formalismus, der kaum von
irgendwem vertreten wird. Jeder, der Worte oder mathematische Zeichen
gebraucht, macht den Anspruch, dass sie etwas bedeuten, und niemand wird
erwarten, dass aus leeren Zeichen etwas Sinnvolles hervorgehe. Aber es ist
möglich, dass ein Mathematiker längere Rechnungen vollführt, ohne unter
seinen Zeichen etwas sinnlich Wahrnehmbares, Anschauliches zu verstehen.
Darum sind diese Zeichen noch nicht sinnlos; man unterscheidet dennoch
ihren Inhalt von ihnen selbst, wenn dieser auch vielleicht nur mittels der
Zeichen fassbar wird. Man ist sich bewusst, dass andere Zeichen für
Dasselbe hätten festgesetzt werden können. Es genügt zu wissen, wie der in
den Zeichen versinnlichte Inhalt logisch zu behandeln ist, und wenn man
Anwendungen auf die Physik machen will, wie der Uebergang zu den
Erscheinungen geschehen muss. Aber in einer solchen Anwendung ist nicht
der eigentliche Sinn der Sätze zu sehen. Dabei geht immer ein grosser Theil
der Allgemeinheit verloren, und es kommt etwas Besonderes hinein, das bei
andern Anwendungen durch Anderes ersetzt wird.

§ 17. Man kann trotz aller Herabsetzung der Deduction doch nicht
leugnen, dass die durch Induction begründeten Gesetze nicht genügen. Aus
ihnen müssen neue Sätze abgeleitet werden, die in keinem einzelnen von
jenen enthalten sind. Dass sie in allen zusammen schon in gewisser Weise
stecken, entbindet nicht von der Arbeit, sie daraus zu entwickeln und für
sich herauszustellen. Damit eröffnet sich folgende Möglichkeit. Statt eine
Schlussreihe unmittelbar an eine Thatsache anzuknüpfen, kann man, diese
dahingestellt sein lassend, ihren Inhalt als Bedingung mitführen. Indem man
so alle Thatsachen in einer Gedankenreihe durch Bedingungen ersetzt, wird
man das Ergebniss in der Form erhalten, dass von einer Reihe von
Bedingungen ein Erfolg abhängig gemacht ist. Diese Wahrheit wäre durch
Denken allein, oder, um mit Mill zu reden, durch kunstfertiges Handhaben

der Sprache begründet. Es ist nicht unmöglich, dass die Zahlgesetze von
dieser Art sind. Sie wären dann analytische Urtheile, obwohl sie nicht durch
Denken allein gefunden zu sein brauchten; denn nicht die Weise des
Findens kommt hier in Betracht, sondern die Art der Beweisgründe; oder,
wie Leibniz sagt 29, »es handelt sich hier nicht um die Geschichte unserer
Entdeckungen, die verschieden ist in verschiedenen Menschen, sondern um
die Verknüpfung und die natürliche Ordnung der Wahrheiten, die immer
dieselbe ist.« Die Beobachtung hätte dann zuletzt zu entscheiden, ob die in
dem so begründeten Gesetze enthaltenen Bedingungen erfüllt sind. So
würde man schliesslich eben dahin gelangen, wohin man durch
unmittelbare Anknüpfung der Schlussreihe an die beobachteten Thatsachen
gekommen wäre. Aber die hier angedeutete Art des Vorgehens ist in vielen
Fällen vorzuziehen, weil sie auf einen allgemeinen Satz führt, der nicht nur
auf die grade vorliegenden Thatsachen anwendbar zu sein braucht. Die
Wahrheiten der Arithmetik würden sich dann zu denen der Logik ähnlich
verhalten wie die Lehrsätze zu den Axiomen der Geometrie. Jede würde in
sich eine ganze Schlussreihe für den künftigen Gebrauch verdichtet
enthalten, und ihr Nutzen würde darin bestehen, dass man die Schlüsse
nicht mehr einzeln zu machen braucht, sondern gleich das Ergebniss der
ganzen Reihe aussprechen kann 30. Angesichts der gewaltigen Entwickelung
der arithmetischen Lehren und ihrer vielfachen Anwendungen wird sich
dann freilich die weit verbreitete Geringschätzung der analytischen Urtheile
und das Märchen von der Unfruchtbarkeit der reinen Logik nicht halten
lassen.
Wenn man diese nicht hier zuerst geäusserte Ansicht im Einzelnen so
streng durchführen könnte, dass nicht der geringste Zweifel zurückbliebe,
so würde das, wie mir scheint, kein ganz unwichtiges Ergebniss sein.

II. Meinungen einiger Schriftsteller über den
Begriff der Anzahl.
§ 18. Indem wir uns nun den ursprünglichen Gegenständen der
Arithmetik zuwenden, unterscheiden wir die einzelnen Zahlen 3, 4 u. s. f.
von dem allgemeinen Begriffe der Anzahl. Nun haben wir uns schon dafür
entschieden, dass die einzelnen Zahlen am besten in der Weise von Leibniz,
Mill, H. Grassmann und Andern aus der Eins und der Vermehrung um eins
abgeleitet werden, dass aber diese Erklärungen unvollständig bleiben,
solange die Eins und die Vermehrung um eins unerklärt sind. Wir haben
gesehen, dass man allgemeiner Sätze bedarf, um aus diesen Definitionen
die Zahlformeln abzuleiten. Solche Gesetze können eben wegen ihrer
Allgemeinheit nicht aus den Definitionen der einzelnen Zahlen folgen,
sondern nur aus dem allgemeinen Begriffe der Anzahl. Wir unterwerfen
diesen jetzt einer genaueren Betrachtung. Dabei werden voraussichtlich
auch die Eins und die Vermehrung um eins erörtert werden müssen und
somit auch die Definitionen der einzelnen Zahlen eine Ergänzung zu
erwarten haben.

§ 19. Hier möchte ich mich nun gleich gegen den Versuch wenden, die
Zahl geometrisch als Verhältnisszahl von Längen oder Flächen zu fassen.
Man glaubte offenbar die vielfachen Anwendungen der Arithmetik auf
Geometrie dadurch zu erleichtern, dass man gleich die Anfänge in die
engste Beziehung setzte.
Newton 31 will unter Zahl nicht so sehr eine Menge von Einheiten als das
abstracte Verhältniss einer jeden Grösse zu einer andern derselben Art
verstehen, die als Einheit genommen wird. Man kann zugeben, dass hiermit
die Zahl im weitern Sinne, wozu auch die Brüche und Irrationalzahlen
gehören, zutreffend beschrieben sei; doch werden hierbei die Begriffe der
Grösse und des Grössenverhältnisses vorausgesetzt. Danach scheint es, dass
die Erklärung der Zahl im engern Sinne, der Anzahl, nicht überflüssig
werde; denn Euklid braucht den Begriff des Gleichvielfachen um die
Gleichheit von zwei Längenverhältnissen zu definiren; und das
Gleichvielfache kommt wieder auf eine Zahlengleichheit hinaus. Aber es

mag sein, dass die Gleichheit von Längenverhältnissen unabhängig vom
Zahlbegriffe definirbar ist. Man bliebe dann jedoch im Ungewissen darüber,
in welcher Beziehung die so geometrisch definirte Zahl zu der Zahl des
gemeinen Lebens stände. Dies wäre dann ganz von der Wissenschaft
getrennt. Und doch kann man wohl von der Arithmetik verlangen, dass sie
die Anknüpfungspunkte für jede Anwendung der Zahl bieten muss, wenn
auch die Anwendung selbst nicht ihre Sache ist. Auch das gewöhnliche
Rechnen muss die Begründung seines Verfahrens in der Wissenschaft
finden. Und dann erhebt sich die Frage, ob die Arithmetik selbst mit einem
geometrischen Begriffe der Zahl auskomme, wenn man an die Anzahl der
Wurzeln einer Gleichung, der Zahlen, die prim zu einer Zahl und kleiner als
sie sind, und ähnliche Vorkommnisse denkt. Dagegen kann die Zahl, welche
die Antwort auf die Frage wieviel? giebt, auch bestimmen, wieviel
Einheiten in einer Länge enthalten sind. Die Rechnung mit negativen,
gebrochenen, Irrationalzahlen kann auf die mit den natürlichen Zahlen
zurückgeführt werden. Newton wollte aber vielleicht unter Grössen, als
deren Verhältniss die Zahl definirt wird, nicht nur geometrische, sondern
auch Mengen verstehen. Dann wird jedoch die Erklärung für unsern Zweck
unbrauchbar, weil von den Ausdrücken »Zahl, durch die eine Menge
bestimmt wird« und »Verhältniss einer Menge zur Mengeneinheit« der
letztere keine bessere Auskunft als der erstere giebt.

§ 20. Die erste Frage wird nun sein, ob Zahl definirbar ist. Hankel 32
spricht sich dagegen aus: »Was es heisst, ein Object 1mal, 2mal, 3mal …
denken oder setzen, kann bei der principiellen Einfachheit des Begriffes der
Setzung nicht definirt werden.« Hier kommt es jedoch weniger auf das
Setzen als auf das 1mal, 2mal, 3mal an. Wenn dies definirt werden könnte,
so würde die Undefinirbarkeit des Setzens uns wenig beunruhigen. Leibniz
ist geneigt, die Zahl wenigstens annähernd als adaequate Idee anzusehen, d.
h. als eine solche, die so deutlich ist, dass alles, was in ihr vorkommt,
wieder deutlich ist.
Wenn man im Ganzen mehr dazu neigt, die Anzahl für undefinirbar zu
halten, so liegt das wohl mehr an dem Misslingen darauf gerichteter
Versuche als an dem Bestehen der Sache selbst entnommener Gegengründe.

Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äusseren Dinge?

§ 21. Versuchen wir wenigstens der Anzahl ihre Stelle unter unsern
Begriffen anzuweisen! In der Sprache erscheinen Zahlen meistens in
adjectivischer Form und in attributiver Verbindung ähnlich wie die Wörter
hart, schwer, roth, welche Eigenschaften der äusseren Dinge bedeuten. Es
liegt die Frage nahe, ob man die einzelnen Zahlen auch so auffassen müsse,
und ob demgemäss der Begriff der Anzahl etwa mit dem der Farbe
zusammengestellt werden könne.
Dies scheint die Meinung von M. Cantor 33 zu sein, wenn er die
Mathematik eine Erfahrungswissenschaft nennt, insofern sie von der
Betrachtung von Objecten der Aussenwelt ihren Anfang nehme. Nur durch
Abstraction von Gegenständen entstehe die Zahl.
E. Schröder 34 lässt die Zahl der Wirklichkeit nachgebildet, aus ihr
entnommen werden, indem die Einheiten durch Einer abgebildet würden.
Dies nennt er Abstrahiren der Zahl. Bei dieser Abbildung würden die
Einheiten nur in Hinsicht ihrer Häufigkeit dargestellt, indem von allen
andern Bestimmungen der Dinge als Farbe, Gestalt abgesehen werde. Hier
ist Häufigkeit nur ein anderer Ausdruck für Anzahl. Schröder stellt also
Häufigkeit oder Anzahl in eine Linie mit Farbe und Gestalt und betrachtet
sie als eine Eigenschaft der Dinge.

§ 22. Baumann 35 verwirft den Gedanken, dass die Zahlen von den
äussern Dingen abgezogene Begriffe seien: »Weil nämlich die äussern
Dinge uns keine strengen Einheiten darstellen; sie stellen uns abgegränzte
Gruppen oder sinnliche Punkte dar, aber wir haben die Freiheit, diese selber
wieder als Vieles zu betrachten«. In der That, während ich nicht im Stande
bin, durch blosse Auffassungsweise die Farbe eines Dinges oder seine Härte
im Geringsten zu verändern, kann ich die Ilias als Ein Gedicht, als 24
Gesänge oder als eine grosse Anzahl von Versen auffassen. Spricht man
nicht in einem ganz andern Sinne von 1000 Blättern als von grünen Blättern
des Baumes? Die grüne Farbe legen wir jedem Blatte bei, nicht so die Zahl
1000. Wir können alle Blätter des Baumes unter dem Namen seines Laubes
zusammenfassen. Auch dieses ist grün, aber nicht 1000. Wem kommt nun
eigentlich die Eigenschaft 1000 zu? Fast scheint es weder dem einzelnen
Blatte noch der Gesammtheit; vielleicht gar nicht eigentlich den Dingen der
Aussenwelt? Wenn ich jemandem einen Stein gebe mit den Worten:
bestimme das Gewicht hiervon, so habe ich ihm damit den ganzen

Gegenstand seiner Untersuchung gegeben. Wenn ich ihm aber einen Pack
Spielkarten in die Hand gebe mit den Worten: bestimme die Anzahl
hiervon, so weiss er nicht, ob ich die Zahl der Karten oder der vollständigen
Spiele oder etwa der Wertheinheiten beim Skatspiele erfahren will. Damit,
dass ich ihm den Pack in die Hand gebe, habe ich ihm den Gegenstand
seiner Untersuchung noch nicht vollständig gegeben; ich muss ein Wort:
Karte, Spiel, Wertheinheit hinzufügen. Man kann auch nicht sagen, dass die
verschiedenen Zahlen hier so wie die verschiedenen Farben neben einander
bestehen. Auf die einzelne farbige Fläche kann ich hindeuten, ohne ein Wort
zu sagen, nicht so auf die einzelne Zahl. Wenn ich einen Gegenstand mit
demselben Rechte grün und roth nennen kann, so ist das ein Zeichen, dass
dieser Gegenstand nicht der eigentliche Träger des Grünen ist. Diesen habe
ich erst in einer Fläche, die nur grün ist. So ist auch ein Gegenstand, dem
ich mit demselben Rechte verschiedene Zahlen zuschreiben kann, nicht der
eigentliche Träger einer Zahl.
Ein wesentlicher Unterschied zwischen Farbe und Anzahl besteht
demnach darin, dass die blaue Farbe einer Fläche unabhängig von unserer
Willkühr zukommt. Sie ist ein Vermögen, gewisse Lichtstrahlen
zurückzuwerfen, andere mehr oder weniger zu verschlucken, und daran
kann unsere Auffassung nicht das Geringste ändern. Dagegen kann ich nicht
sagen, dass dem Pack Spielkarten die Anzahl 1 oder 100 oder irgend eine
andere an sich zukomme, sondern höchstens in Bezug auf unsere
willkührliche Auffassungsweise, und dann auch nicht so, dass wir ihm die
Anzahl einfach als Praedicat beilegen könnten. Was wir ein vollständiges
Spiel nennen wollen, ist offenbar eine willkührliche Festsetzung und der
Pack Spielkarten weiss nichts davon. Indem wir ihn aber in dieser Hinsicht
betrachten, entdecken wir vielleicht, dass wir ihn zwei vollständige Spiele
nennen können. Jemand, der nicht wüsste, was man ein vollständiges Spiel
nennt, würde wahrscheinlich irgend eine andere Anzahl eher an ihm
herausfinden, als grade die Zwei.

§ 23. Die Frage, wem die Zahl als Eigenschaft zukomme, beantwortet
Mill 36 so:
»Der Name einer Zahl bezeichnet eine Eigenschaft, die dem Aggregat
von Dingen angehört, welche wir mit dem Namen benennen; und diese

Eigenschaft ist die charakteristische Weise, in welcher das Aggregat
zusammengesetzt ist oder in Theile zerlegt werden kann.«
Hier ist zunächst der bestimmte Artikel in dem Ausdrucke »die
charakteristische Weise« ein Fehler; denn es giebt sehr verschiedene
Weisen, wie man ein Aggregat zerlegen kann, und man kann nicht sagen,
dass Eine allein charakteristisch wäre. Ein Bündel Stroh kann z. B. so
zerlegt werden, dass man alle Halme durchschneidet, oder so, dass man es
in einzelne Halme auflöst, oder so dass man zwei Bündel daraus macht. Ist
denn ein Haufe von hundert Sandkörnern ebenso zusammengesetzt wie ein
Bündel von 100 Strohhalmen? und doch hat man dieselbe Zahl. Das
Zahlwort »Ein« in dem Ausdruck »Ein Strohhalm« drückt doch nicht aus,
wie dieser Halm aus Zellen oder aus Molekeln zusammengesetzt ist. Noch
mehr Schwierigkeit macht die Zahl 0. Müssen denn die Strohhalme
überhaupt ein Bündel bilden, um gezählt werden zu können? Muss man die
Blinden im Deutschen Reiche durchaus in einer Versammlung vereinigen,
damit der Ausdruck »Zahl der Blinden im Deutschen Reiche« einen Sinn
habe? Sind tausend Weizenkörner, nachdem sie ausgesäet sind, nicht mehr
tausend Weizenkörner? Giebt es eigentlich Aggregate von Beweisen eines
Lehrsatzes oder von Ereignissen? und doch kann man auch diese zählen.
Dabei ist es gleichgiltig, ob die Ereignisse gleichzeitig oder durch
Jahrtausende getrennt sind.

§ 24. Damit kommen wir auf einen andern Grund, die Zahl nicht mit
Farbe und Festigkeit zusammenzustellen: die bei weitem grössere
Anwendbarkeit.
Mill 37 meint, die Wahrheit, dass, was aus Theilen zusammengesetzt ist,
aus Theilen dieser Theile zusammengesetzt ist, sei von allen
Naturerscheinungen giltig, weil alle gezählt werden könnten. Aber kann
nicht noch weit mehr gezählt werden? Locke 38 sagt: »Die Zahl findet
Anwendung auf Menschen, Engel, Handlungen, Gedanken, jedes Ding, das
existirt oder vorgestellt werden kann«. Leibniz 39 verwirft die Meinung der
Scholastiker, dass die Zahl auf unkörperliche Dinge unanwendbar sei, und
nennt die Zahl gewissermaassen eine unkörperliche Figur, entstanden aus
der Vereinigung irgendwelcher Dinge, z. B. Gottes, eines Engels, eines
Menschen, der Bewegung, welche zusammen vier sind. Daher, meint er, ist
die Zahl etwas ganz Allgemeines und zur Metaphysik gehörig. An einer

andern Stelle 40 sagt er: »Gewogen kann nicht werden, was nicht Kraft und
Vermögen hat; was keine Theile hat, hat demgemäss kein Maass; aber es
giebt nichts, was nicht die Zahl zulässt. So ist die Zahl gleichsam die
metaphysische Figur«.
Es wäre in der That wunderbar, wenn eine, von äussern Dingen
abstrahirte Eigenschaft, auf Ereignisse, auf Vorstellungen, auf Begriffe ohne
Aenderung des Sinnes übertragen werden könnte. Es wäre grade so, als ob
man von einem schmelzbaren Ereignisse, einer blauen Vorstellung, einem
salzigen Begriffe, einem zähen Urtheile reden wollte.
Es ist ungereimt, dass an Unsinnlichem vorkomme, was seiner Natur
nach sinnlich ist. Wenn wir eine blaue Fläche sehen, so haben wir einen
eigenthümlichen Eindruck, der dem Worte »blau« entspricht; und diesen
erkennen wir wieder, wenn wir eine andere blaue Fläche erblicken. Wollten
wir annehmen, dass in derselben Weise beim Anblick eines Dreiecks etwas
Sinnliches dem Worte »drei« entspräche, so müssten wir dies auch in drei
Begriffen wiederfinden; etwas Unsinnliches würde etwas Sinnliches an sich
haben. Man kann wohl zugeben, dass dem Worte »dreieckig« eine Art
sinnlicher Eindrücke entspreche, aber man muss dabei dies Wort als Ganzes
nehmen. Die Drei darin sehen wir nicht unmittelbar; sondern wir sehen
etwas, woran eine geistige Thätigkeit anknüpfen kann, welche zu einem
Urtheile führt, in dem die Zahl 3 vorkommt. Womit nehmen wir denn etwa
die Anzahl der Schlussfiguren wahr, die Aristoteles aufstellt? etwa mit den
Augen? wir sehen höchstens gewisse Zeichen für diese Schlussfiguren,
nicht sie selbst. Wie sollen wir ihre Anzahl sehen können, wenn sie selbst
unsichtbar bleiben? Aber, meint man vielleicht, es genügt, die Zeichen zu
sehen; deren Zahl ist gleich der Zahl der Schlussfiguren. Woher weiss man
denn das? Dazu muss man doch schon auf andere Weise die letztere
bestimmt haben. Oder ist der Satz »die Anzahl der Schlussfiguren ist vier«
nur ein anderer Ausdruck für »die Anzahl der Zeichen der Schlussfiguren ist
vier«? Nein! von den Zeichen soll nichts ausgesagt werden; von den
Zeichen will niemand etwas wissen, wenn nicht deren Eigenschaft zugleich
eine des Bezeichneten ausdrückt. Da ohne logischen Fehler dasselbe
verschiedene Zeichen haben kann, braucht nicht einmal die Zahl der
Zeichen mit der des Bezeichneten übereinzustimmen.

§ 25. Während für Mill die Zahl etwas Physikalisches ist, besteht sie für
Locke und Leibniz nur in der Idee. In der That sind, wie Mill 41 sagt, zwei
Aepfel von drei Aepfeln, zwei Pferde von einem Pferd physikalisch
verschieden, ein davon verschiedenes sichtliches und fühlbares
Phänomen 42. Aber ist daraus zu schliessen, dass die Zweiheit, Dreiheit,
etwas Physikalisches ist? Ein Paar Stiefel kann dieselbe sichtbare und
fühlbare Erscheinung sein, wie zwei Stiefel. Hier haben wir einen
Zahlenunterschied, dem kein physikalischer entspricht; denn zwei und Ein
Paar sind keineswegs dasselbe, wie Mill sonderbarer Weise zu glauben
scheint. Wie ist es endlich möglich, dass sich zwei Begriffe von drei
Begriffen physikalisch unterscheiden?
So sagt Berkeley 43: »Es ist zu bemerken, dass die Zahl nichts Fixes und
Festgestelltes ist, was realiter in den Dingen selber existirte. Sie ist gänzlich
Geschöpf des Geistes, wenn er entweder eine Idee an sich oder eine
Combination von Ideen betrachtet, der er einen Namen geben will und sie
so für eine Einheit gelten lässt. Jenachdem der Geist seine Ideen variirend
combinirt, variirt die Einheit, und wie die Einheit so variirt auch die Zahl,
welche nur eine Sammlung von Einheiten ist. Ein Fenster = 1; ein Haus, in
dem viele Fenster sind, = 1; viele Häuser machen Eine Stadt aus.«

Ist die Zahl etwas Subjectives?

§ 26. In diesem Gedankengange kommt man leicht dazu, die Zahl für
etwas Subjectives anzusehen. Es scheint die Weise, wie die Zahl in uns
entsteht, über ihr Wesen Aufschluss geben zu können. Auf eine
psychologische Untersuchung also würde es dann ankommen. In diesem
Sinne sagt wohl Lipschitz 44:
»Wer über gewisse Dinge einen Ueberblick gewinnen will, der wird mit
einem bestimmten Dinge beginnen und immer ein neues Ding den früheren
hinzufügen«. Dies scheint viel besser darauf zu passen, wie wir etwa die
Anschauung eines Sternbildes erhalten, als auf die Zahlbildung. Die
Absicht, einen Ueberblick zu gewinnen, ist unwesentlich; denn man wird
kaum sagen können, dass eine Herde übersichtlicher wird, wenn man
erfährt, aus wieviel Häuptern sie besteht.
Eine solche Beschreibung der innern Vorgänge, die der Fällung eines
Zahlurtheils vorhergehen, kann nie, auch wenn sie zutreffender ist, eine

eigentliche Begriffsbestimmung ersetzen. Sie wird nie zum Beweise eines
arithmetischen Satzes herangezogen werden können; wir erfahren durch sie
keine Eigenschaft der Zahlen. Denn die Zahl ist so wenig ein Gegenstand
der Psychologie oder ein Ergebniss psychischer Vorgänge, wie es etwa die
Nordsee ist. Der Objectivität der Nordsee thut es keinen Eintrag, dass es
von unserer Willkühr abhängt, welchen Theil der allgemeinen
Wasserbedeckung der Erde wir abgrenzen und mit dem Namen »Nordsee«
belegen wollen. Das ist kein Grund, dies Meer auf psychologischem Wege
erforschen zu wollen. So ist auch die Zahl etwas Objectives. Wenn man sagt
»die Nordsee ist 10,000 Quadratmeilen gross,« so deutet man weder durch
»Nordsee« noch durch »10,000« auf einen Zustand oder Vorgang in seinem
Innern hin, sondern man behauptet etwas ganz Objectives, was von unsern
Vorstellungen und dgl. unabhängig ist. Wenn wir etwa ein ander Mal die
Grenzen der Nordsee etwas anders ziehen oder unter »10,000« etwas
Anderes verstehen wollten, so würde nicht derselbe Inhalt falsch, der vorher
richtig war; sondern an die Stelle eines wahren Inhalts wäre vielleicht ein
falscher geschoben, wodurch die Wahrheit jenes ersteren in keiner Weise
aufgehoben würde.
Der Botaniker will etwas ebenso Thatsächliches sagen, wenn er die
Anzahl der Blumenblätter einer Blume, wie wenn er ihre Farbe angiebt. Das
eine hängt so wenig wie das andere von unserer Willkühr ab. Eine gewisse
Aehnlichkeit der Anzahl und der Farbe ist also da; aber diese besteht nicht
darin, dass beide an äusseren Dingen sinnlich wahrnehmbar, sondern darin,
dass beide objectiv sind.
Ich unterscheide das Objective von dem Handgreiflichen, Räumlichen,
Wirklichen. Die Erdaxe, der Massenmittelpunkt des Sonnensystems sind
objectiv, aber ich möchte sie nicht wirklich nennen, wie die Erde selbst.
Man nennt den Aequator oft eine gedachte Linie; aber es wäre falsch, ihn
eine erdachte Linie zu nennen; er ist nicht durch Denken entstanden, das
Ergebniss eines seelischen Vorgangs, sondern nur durch Denken erkannt,
ergriffen. Wäre das Erkanntwerden ein Entstehen, so könnten wir nichts
Positives von ihm aussagen in Bezug auf eine Zeit, die diesem vorgeblichen
Entstehen vorherginge.
Der Raum gehört nach Kant der Erscheinung an. Es wäre möglich, dass
er andern Vernunftwesen sich ganz anders als uns darstellte. Ja, wir können
nicht einmal wissen, ob er dem einen Menschen so wie dem andern

erscheint; denn wir können die Raumanschauung des einen nicht neben die
des andern legen, um sie zu vergleichen. Aber dennoch ist darin etwas
Objectives enthalten; Alle erkennen dieselben geometrischen Axiome, wenn
auch nur durch die That, an und müssen es, um sich in der Welt
zurechtzufinden. Objectiv ist darin das Gesetzmässige, Begriffliche,
Beurtheilbare, was sich in Worten ausdrücken lässt. Das rein Anschauliche
ist nicht mittheilbar. Nehmen wir zur Verdeutlichung zwei Vernunftwesen
an, denen nur die projectivischen Eigenschaften und Beziehungen
anschaulich sind: das Liegen von drei Punkten in einer Gerade, von vier
Punkten in einer Ebene u. s. w.; es möge dem einen das als Ebene
erscheinen, was das andere als Punkt anschaut und umgekehrt. Was dem
einen die Verbindungslinie von Punkten ist, möge dem andern die
Schnittkante von Ebenen sein u. s. w. immer dualistisch entsprechend. Dann
könnten sie sich sehr wohl mit einander verständigen und würden die
Verschiedenheit ihres Anschauens nie gewahr werden, weil in der
projectivischen Geometrie jedem Lehrsatze ein anderer dualistisch
gegenübersteht; denn das Abweichen in einer ästhetischen Werthschätzung
würde kein sicheres Zeichen sein. In Bezug auf alle geometrische Lehrsätze
wären sie völlig im Einklange; sie würden sich nur die Wörter in ihre
Anschauung verschieden übersetzen. Mit dem Worte »Punkt« verbände
etwa das eine diese, das andere jene Anschauung. So kann man immerhin
sagen, dass ihnen dies Wort etwas Objectives bedeute; nur darf man unter
dieser Bedeutung nicht das Besondere ihrer Anschauung verstehn. Und in
diesem Sinne ist auch die Erdaxe objectiv.
Man denkt gewöhnlich bei »weiss« an eine gewisse Empfindung, die
natürlich ganz subjectiv ist; aber schon im gewöhnlichen Sprachgebrauche,
scheint mir, tritt ein objectiver Sinn vielfach hervor. Wenn man den Schnee
weiss nennt, so will man eine objective Beschaffenheit ausdrücken, die man
beim gewöhnlichen Tageslicht an einer gewissen Empfindung erkennt.
Wird er farbig beleuchtet, so bringt man das bei der Beurtheilung in
Anschlag. Man sagt vielleicht: er erscheint jetzt roth, aber er ist weiss. Auch
der Farbenblinde kann von roth und grün reden, obwohl er diese Farben in
der Empfindung nicht unterscheidet. Er erkennt den Unterschied daran, dass
Andere ihn machen, oder vielleicht durch einen physikalischen Versuch. So
bezeichnet das Farbenwort oft nicht unsere subjective Empfindung, von der
wir nicht wissen können, dass sie mit der eines Andern übereinstimmt –
denn offenbar verbürgt das die gleiche Benennung keineswegs – sondern

eine objective Beschaffenheit. So verstehe ich unter Objectivität eine
Unabhängigkeit von unserm Empfinden, Anschauen und Vorstellen, von
dem Entwerfen innerer Bilder aus den Erinnerungen früherer
Empfindungen, aber nicht eine Unabhängigkeit von der Vernunft; denn die
Frage beantworten, was die Dinge unabhängig von der Vernunft sind, hiesse
urtheilen, ohne zu urtheilen, den Pelz waschen, ohne ihn nass zu machen.

§ 27. Deswegen kann ich auch Schloemilch 45 nicht zustimmen, der die
Zahl Vorstellung der Stelle eines Objects in einer Reihe nennt 46. Wäre die
Zahl eine Vorstellung, so wäre die Arithmetik Psychologie. Das ist sie so
wenig, wie etwa die Astronomie es ist. Wie sich diese nicht mit den
Vorstellungen der Planeten, sondern mit den Planeten selbst beschäftigt, so
ist auch der Gegenstand der Arithmetik keine Vorstellung. Wäre die Zwei
eine Vorstellung, so wäre es zunächst nur die meine. Die Vorstellung eines
Andern ist schon als solche eine andere. Wir hätten dann vielleicht viele
Millionen Zweien. Man müsste sagen: meine Zwei, deine Zwei, eine Zwei,
alle Zweien. Wenn man latente oder unbewusste Vorstellungen annimmt, so
hätte man auch unbewusste Zweien, die dann später wieder bewusste
würden. Mit den heranwachsenden Menschen entständen immer neue
Zweien, und wer weiss, ob sie sich nicht in Jahrtausenden so veränderten,
dass 2 × 2 = 5 würde. Trotzdem wäre es zweifelhaft, ob es, wie man
gewöhnlich meint, unendlich viele Zahlen gäbe. Vielleicht wäre 1010 nur
ein leeres Zeichen, und es gäbe gar keine Vorstellung, in irgendeinem
Wesen, die so benannt werden könnte.
Wir sehen, zu welchen Wunderlichkeiten es führt, wenn man den
Gedanken etwas weiter ausspinnt, dass die Zahl eine Vorstellung sei. Und
wir kommen zu dem Schlusse, dass die Zahl weder räumlich und
physikalisch ist, wie Mills Haufen von Kieselsteinen und Pfeffernüssen,
noch auch subjectiv wie die Vorstellungen, sondern unsinnlich und objectiv.
Der Grund der Objectivität kann ja nicht in dem Sinneseindrucke liegen,
der als Affection unserer Seele ganz subjectiv ist, sondern, soweit ich sehe,
nur in der Vernunft.
Es wäre wunderbar, wenn die allerexacteste Wissenschaft sich auf die
noch zu unsicher tastende Psychologie stützen sollte.

Die Anzahl als Menge.

§ 28. Einige Schriftsteller erklären die Anzahl als eine Menge, Vielheit
oder Mehrheit. Ein Uebelstand besteht hierbei darin, dass die Zahlen 0 und
1 von dem Begriffe ausgeschlossen werden. Jene Ausdrücke sind recht
unbestimmt: bald nähern sie sich mehr der Bedeutung von »Haufe,«
»Gruppe,« »Aggregat« – wobei an ein räumliches Zusammensein gedacht
wird – bald werden sie fast gleichbedeutend mit »Anzahl« gebraucht, nur
unbestimmter. Eine Auseinanderlegung des Begriffes der Anzahl kann
darum in einer solchen Erklärung nicht gefunden werden. Thomae 47
verlangt zur Bildung der Zahl, dass verschiedenen Objectenmengen
verschiedene Namen gegeben werden. Damit ist offenbar eine schärfere
Bestimmung jener Objectenmengen gemeint, für welche die Namengebung
nur das äussere Zeichen ist. Welcher Art nun diese Bestimmung sei, das ist
die Frage. Es würde offenbar die Idee der Zahl nicht entstehen, wenn man
für »3 Sterne,« »3 Finger,« »7 Sterne« Namen einführen wollte, in denen
keine gemeinsamen Bestandtheile erkennbar wären. Es kommt nicht darauf
an, dass überhaupt Namen gegeben werden, sondern dass für sich
bezeichnet werde, was Zahl daran ist. Dazu ist nöthig, dass es in seiner
Besonderheit erkannt sei.
Noch ist folgende Verschiedenheit zu beachten. Einige nennen die Zahl
eine Menge von Dingen oder Gegenständen; Andere wie schon Euklid 48,
erklären sie als eine Menge von Einheiten. Dieser Ausdruck bedarf einer
besondern Erörterung.

III. Meinungen über Einheit und Eins.
Drückt das Zahlwort »Ein« eine Eigenschaft von Gegenständen
aus?

§ 29. In den Definitionen, die Euklid am Anfange des 7. Buches der
Elemente giebt, scheint er mit dem Worte »μονάς« bald einen zu zählenden
Gegenstand, bald eine Eigenschaft eines solchen, bald die Zahl Eins zu
bezeichnen. Ueberall kommt man mit der Uebersetzung »Einheit« durch,
aber nur, weil dies Wort selbst in diesen verschiedenen Bedeutungen
schillert.
Schröder 49 sagt: »Jedes der zu zählenden Dinge wird Einheit genannt.«
Es fragt sich, weshalb man die Dinge erst unter den Begriff der Einheit
bringt und nicht einfach erklärt: Zahl ist eine Menge von Dingen, womit wir
wieder auf das Vorige zurückgeworfen wären. Man könnte zunächst in der
Benennung der Dinge als Einheiten eine nähere Bestimmung finden wollen,
indem man der sprachlichen Form folgend »Ein« als Eigenschaftswort
ansieht und »Eine Stadt« so auffasst wie »weiser Mann«. Dann würde eine
Einheit ein Gegenstand sein, dem die Eigenschaft »Ein« zukäme und würde
sich zu »Ein« ähnlich verhalten wie »ein Weiser« zu dem Adjectiv »weise«.
Zu den Gründen, die oben dagegen geltend gemacht sind, dass die Zahl eine
Eigenschaft von Dingen sei, treten hier noch einige besondere hinzu.
Auffallend wäre zunächst, dass jedes Ding diese Eigenschaft hätte. Es wäre
unverständlich, weshalb man überhaupt noch einem Dinge ausdrücklich die
Eigenschaft beilegt. Nur durch die Möglichkeit, dass etwas nicht weise sei,
gewinnt die Behauptung, Solon sei weise, einen Sinn. Der Inhalt eines
Begriffes nimmt ab, wenn sein Umfang zunimmt; wird dieser allumfassend,
so muss der Inhalt ganz verloren gehen. Es ist nicht leicht zu denken, wie
die Sprache dazu käme, ein Eigenschaftswort zu schaffen, das gar nicht
dazu dienen könnte, einen Gegenstand näher zu bestimmen.
Wenn »Ein Mensch« ähnlich wie »weiser Mensch« aufzufassen wäre, so
sollte man denken, dass »Ein« auch als Praedicat gebraucht werden könnte,
sodass man wie »Solon war weise« auch sagen könnte »Solon war Ein«

oder »Solon war Einer«. Wenn nun der letzte Ausdruck auch vorkommen
kann, so ist er doch für sich allein nicht verständlich. Er kann z. B. heissen:
Solon war ein Weiser, wenn »Weiser« aus dem Zusammenhange zu
ergänzen ist. Aber allein scheint »Ein« nicht Praedicat sein zu können 50.
Noch deutlicher zeigt sich dies beim Plural. Während man »Solon war
weise« und »Thales war weise« zusammenziehen kann in »Solon und
Thales waren weise,« kann man nicht sagen »Solon und Thales waren Ein«.
Hiervon wäre die Unmöglichkeit nicht einzusehen, wenn »Ein« sowie
»weise« eine Eigenschaft sowohl des Solon als auch des Thales wäre.

§ 30. Damit hangt es zusammen, dass man keine Definition der
Eigenschaft »Ein« hat geben können. Wenn Leibniz 51 sagt: »Eines ist, was
wir durch Eine That des Verstandes zusammenfassen«, so erklärt er »Ein«
durch sich selbst. Und können wir nicht auch Vieles durch Eine That des
Verstandes zusammenfassen? Dies wird von Leibniz an derselben Stelle
zugestanden. Aehnlich sagt Baumann 52: »Eines ist, was wir als Eines
auffassen« und weiter: »Was wir als Punkt setzen oder nicht mehr als
getheilt setzen wollen, das sehen wir als Eines an; aber jedes Eins der
äussern Anschauung, der reinen wie der empirischen, können wir auch als
Vieles ansehen. Jede Vorstellung ist Eine, wenn abgegränzt gegen eine
andere Vorstellung; aber in sich kann sie wieder in Vieles unterschieden
werden.« So verwischt sich jede sachliche Begrenzung des Begriffes und
alles hangt von unserer Auffassung ab. Wir fragen wieder: welchen Sinn
kann es haben, irgendeinem Gegenstande die Eigenschaft »Ein« beizulegen,
wenn je nach der Auffassung jeder Einer sein und auch nicht sein kann?
Wie kann auf einem so verschwommenen Begriffe eine Wissenschaft
beruhen, die grade in der grössten Bestimmtheit und Genauigkeit ihren
Ruhm sucht?

§ 31. Obwohl nun Baumann 53 den Begriff der Eins auf innerer
Anschauung beruhen lässt, so nennt er doch in der eben angeführten Stelle
als Merkmale die Ungetheiltheit und die Abgegränztheit. Wenn diese
zuträfen, so wäre zu erwarten, dass auch Thiere eine gewisse Vorstellung
von Einheit haben könnten. Ob wohl ein Hund beim Anblick des Mondes
eine wenn auch noch so unbestimmte Vorstellung von dem hat, was wir mit
dem Worte »Ein« bezeichnen? Schwerlich! Und doch unterscheidet er
gewiss einzelne Gegenstände: ein andrer Hund, sein Herr, ein Stein, mit

dem er spielt, erscheinen ihm gewiss ebenso abgegrenzt, für sich bestehend,
ungetheilt wie uns. Zwar wird er einen Unterschied merken, ob er sich
gegen viele Hunde zu vertheidigen hat oder nur gegen Einen, aber dies ist
der von Mill physikalisch genannte Unterschied. Es käme darauf besonders
an, ob er von dem Gemeinsamen, welches wir durch das Wort »Ein«
ausdrücken, ein wenn auch noch so dunkles Bewusstsein hat z. B. in den
Fällen, wo er von Einem grössern Hunde gebissen wird, und wo er Eine
Katze verfolgt. Das ist mir unwahrscheinlich. Ich folgere daraus, dass die
Idee der Einheit nicht, wie Locke 54 meint, dem Verstande durch jenes Object
draussen und jede Idee innen zugeführt, sondern von uns durch die höhern
Geisteskräfte erkannt wird, die uns vom Thiere unterscheiden. Dann können
solche Eigenschaften der Dinge wie Ungetheiltheit und Abgegrenztheit, die
von den Thieren ebenso gut wie von uns bemerkt werden, nicht das
Wesentliche an unserm Begriffe sein.

§ 32. Doch kann man einen gewissen Zusammenhang vermuthen. Darauf
deutet die Sprache hin, indem sie von »Ein« »einig« ableitet. Etwas ist
desto mehr geeignet, als besonderer Gegenstand aufgefasst zu werden, je
mehr die Unterschiede in ihm gegenüber den Unterschieden von der
Umgebung zurücktreten, je mehr der innere Zusammenhang den mit der
Umgebung überwiegt. So bedeutet »einig« eine Eigenschaft, die dazu
veranlasst, etwas in der Auffassung von der Umgebung abzusondern und
für sich zu betrachten. Wenn das französische »uni« »eben,« »glatt« heisst,
so ist dies so zu erklären. Auch das Wort »Einheit« wird in ähnlicher Weise
gebraucht, wenn von politischer Einheit eines Landes, Einheit eines
Kunstwerks gesprochen wird 55. Aber in diesem Sinne gehört »Einheit«
weniger zu »Ein« als zu »einig« oder »einheitlich.« Denn, wenn man sagt,
die Erde habe Einen Mond, so will man diesen damit nicht für einen
abgegrenzten, für sich bestehenden, ungetheilten Mond erklären; sondern
man sagt dies im Gegensatze zu dem, was bei der Venus, dem Mars oder
dem Jupiter vorkommt. In Bezug auf Abgegrenztheit und Ungetheiltheit
könnten sich die Monde des Jupiter wohl mit unserm messen und sind in
dem Sinne ebenso einheitlich.

§ 33. Die Ungetheiltheit wird von einigen Schriftstellern bis zur
Untheilbarkeit gesteigert. G. Köpp 56 nennt jedes unzerlegbar und für sich
bestehend gedachte sinnlich oder nicht sinnlich wahrnehmbare Ding ein

Einzelnes und die zu zählenden Einzelnen Einse, wo offenbar »Eins« in
dem Sinne von »Einheit« gebraucht wird. Indem Baumann seine Meinung,
die äussern Dinge stellten keine strengen Einheiten dar, damit begründet,
dass wir die Freiheit hätten, sie als Vieles zu betrachten, giebt auch er die
Unzerlegbarkeit für ein Merkmal der strengen Einheit aus. Dadurch dass
man den innern Zusammenhang bis zum Unbedingten steigert, will man
offenbar ein Merkmal der Einheit gewinnen, das von der willkührlichen
Auffassung unabhängig ist. Dieser Versuch scheitert daran, dass dann fast
nichts übrig bliebe, was Einheit genannt und gezählt werden dürfte.
Deshalb wird auch sofort der Rückzug damit angetreten, dass man nicht die
Unzerlegbarkeit selbst, sondern das als unzerlegbar Gedachtwerden als
Merkmal aufstellt. Damit ist man denn bei der schwankenden Auffassung
wieder angekommen. Und wird denn dadurch etwas gewonnen, dass man
sich die Sachen anders denkt als sie sind? Im Gegentheil! aus einer falschen
Annahme können falsche Folgerungen fliessen. Wenn man aber aus der
Unzerlegbarkeit nichts schliessen will, was nützt sie dann? wenn man von
der Strenge des Begriffes ohne Schaden etwas ablassen kann, ja es sogar
muss, wozu dann diese Strenge? Aber vielleicht soll man an die
Zerlegbarkeit nur nicht denken. Als ob durch Mangel an Denken etwas
erreicht werden könnte! Es giebt aber Fälle, wo man gar nicht vermeiden
kann, an die Zerlegbarkeit zu denken, wo sogar ein Schluss auf der
Zusammensetzung der Einheit beruht, z. B. bei der Aufgabe: Ein Tag hat 24
Stunden, wieviel Stunden haben 3 Tage?

Sind die Einheiten einander gleich?

§ 34. So misslingt denn jeder Versuch, die Eigenschaft »Ein« zu erklären,
und wir müssen wohl darauf verzichten, in der Bezeichnung der Dinge als
Einheiten eine nähere Bestimmung zu sehen. Wir kommen wieder auf
unsere Frage zurück: weshalb nennt man die Dinge Einheiten, wenn
»Einheit« nur ein andrer Name für Ding ist, wenn alle Dinge Einheiten sind
oder als solche aufgefasst werden können? E. Schröder 57 giebt als Grund
die den Objecten der Zählung zugeschriebene Gleichheit an. Zunächst ist
nicht zu sehen, warum die Wörter »Ding« und »Gegenstand« dies nicht
ebenso gut andeuten könnten. Dann fragt es sich: weshalb wird den
Gegenständen der Zählung Gleichheit zugeschrieben? Wird sie ihnen nur
zugeschrieben, oder sind sie wirklich gleich? Jedenfalls sind nie zwei

Gegenstände durchaus gleich. Andrerseits kann man wohl fast immer eine
Hinsicht ausfindig machen, in der zwei Gegenstände übereinstimmen. So
sind wir wieder bei der willkührlichen Auffassung angelangt, wenn wir
nicht gegen die Wahrheit den Dingen eine weitergehende Gleichheit
zuschreiben wollen, als ihnen zukommt. In der That nennen viele
Schriftsteller die Einheiten ohne Einschränkung gleich. Hobbes 58 sagt: »Die
Zahl, absolut gesagt, setzt in der Mathematik unter sich gleiche Einheiten
voraus, aus denen sie hergestellt wird.« Hume 59 hält die
zusammensetzenden Theile der Quantität und Zahl für ganz gleichartig.
Thomae 60 nennt ein Individuum der Menge Einheit und sagt: »Die
Einheiten sind einander gleich.« Ebenso gut oder vielmehr richtiger könnte
man sagen: die Individuen der Menge sind von einander verschieden. Was
hat nun diese vorgebliche Gleichheit für die Zahl zu bedeuten? Die
Eigenschaften, durch die sich die Dinge unterscheiden, sind für ihre Anzahl
etwas Gleichgiltiges und Fremdes. Darum will man sie fern halten. Aber
das gelingt in dieser Weise nicht. Wenn man, wie Thomae verlangt, »von
den Eigenthümlichkeiten der Individuen einer Objectenmenge abstrahirt«
oder »bei der Betrachtung getrennter Dinge von den Merkmalen absieht,
durch welche sich die Dinge unterscheiden,« so bleibt nicht, wie Lipschitz
meint, »der Begriff der Anzahl der betrachteten Dinge« zurück, sondern
man erhält einen allgemeinen Begriff, unter den jene Dinge fallen. Diese
selbst verlieren dadurch nichts von ihren Besonderheiten. Wenn ich z. B.
bei der Betrachtung einer weissen und einer schwarzen Katze von den
Eigenschaften absehe, durch die sie sich unterscheiden, so erhalte ich etwa
den Begriff »Katze«. Wenn ich nun auch beide unter diesen Begriff bringe
und sie etwa Einheiten nenne, so bleibt die weisse doch immer weiss und
die schwarze schwarz. Auch dadurch, dass ich an die Farben nicht denke
oder mir vornehme, keine Schlüsse aus deren Verschiedenheit zu ziehen,
werden die Katzen nicht farblos und bleiben ebenso verschieden, wie sie
waren. Der Begriff »Katze,« der durch die Abstraction gewonnen ist,
enthält zwar die Besonderheiten nicht mehr, ist aber eben dadurch nur
Einer.

§ 35. Durch blos begriffliche Verfahrungsweisen gelingt es nicht,
verschiedene Dinge gleich zu machen; gelänge es aber, so hätte man nicht
mehr Dinge, sondern nur Ein Ding; denn, wie Descartes 61 sagt, die Zahl –
besser: die Mehrzahl – in den Dingen entspringt aus deren Unterscheidung.

E. Schröder 62 behauptet mit Recht: »Die Anforderung Dinge zu zählen kann
vernünftiger Weise nur gestellt werden, wo solche Gegenstände vorliegen,
welche deutlich von einander unterscheidbar z. B. räumlich und zeitlich
getrennt und gegen einander abgegrenzt erscheinen.« In der That erschwert
zuweilen die zu grosse Aehnlichkeit z. B. der Stäbe eines Gitters die
Zählung. Mit besonderer Schärfe drückt sich W. Stanley Jevons 63 in diesem
Sinne aus: »Zahl ist nur ein andrer Name für Verschiedenheit. Genaue
Identität ist Einheit, und mit Verschiedenheit entsteht Mehrheit.« Und
weiter (S. 157): »Es ist oft gesagt, dass Einheiten Einheiten sind, insofern
sie einander vollkommen gleichen; aber, obwohl sie in einigen Rücksichten
vollkommen gleich sein mögen, müssen sie mindestens in Einem Punkte
verschieden sein; sonst wäre der Begriff der Mehrheit auf sie unanwendbar.
Wenn drei Münzen so gleich wären, dass sie denselben Raum zu derselben
Zeit einnähmen, so wären sie nicht drei Münzen, sondern Eine Münze.«

§ 36. Aber es zeigt sich bald, dass die Ansicht von der Verschiedenheit
der Einheiten auf neue Schwierigkeiten stösst. Jevons erklärt: »Eine Einheit
(unit) ist irgendein Gegenstand des Denkens, der von irgendeinem andern
Gegenstande unterschieden werden kann, der als Einheit in derselben
Aufgabe behandelt wird.« Hier ist Einheit durch sich selbst erklärt und der
Zusatz »der von irgendeinem andern Gegenstande unterschieden werden
kann« enthält keine nähere Bestimmung, weil er selbstverständlich ist. Wir
nennen den Gegenstand eben nur darum einen andern, weil wir ihn vom
ersten unterscheiden können. Jevons 64 sagt ferner: »Wenn ich das Symbol 5
schreibe, meine ich eigentlich
1+1+1+1+1
und es ist vollkommen klar, dass jede dieser Einheiten von jeder andern
verschieden ist. Wenn erforderlich, kann ich sie so bezeichnen:
1´ + 1´´ + 1´´´ + 1´´´´ + 1´´´´´.«
Gewiss ist es erforderlich, sie verschieden zu bezeichnen, wenn sie
verschieden sind; sonst würde ja die grösste Verwirrung entstehen. Wenn
schon die verschiedene Stelle, an der die Eins erschiene, eine
Verschiedenheit bedeuten sollte, so müsste das als ausnahmslose Regel
hingestellt werden, weil man sonst nie wüsste, ob 1 + 1 2 bedeuten solle
oder 1. Dann müsste man die Gleichung 1 = 1 verwerfen und wäre in der
Verlegenheit, nie dasselbe Ding zum zweiten Male bezeichnen zu können.

Das geht offenbar nicht an. Wenn man aber verschiedenen Dingen
verschiedene Zeichen geben will, so ist nicht einzusehen, weshalb man in
diesen noch einen gemeinsamen Bestandtheil festhält und nicht lieber statt
1´ + 1´´ + 1´´´ + 1´´´´ + 1´´´´´
schreibt
a + b + c + d + e.
Die Gleichheit ist doch nun einmal verloren gegangen, und die
Andeutung einer gewissen Aehnlichkeit nützt nichts. So zerrinnt uns die
Eins unter den Händen; wir behalten die Gegenstände mit allen ihren
Besonderheiten. Diese Zeichen
1´, 1´´, 1´´´
sind ein sprechender Ausdruck für die Verlegenheit: wir haben die
Gleichheit nöthig; deshalb die 1; wir haben die Verschiedenheit nöthig;
deshalb die Indices, die nur leider die Gleichheit wieder aufheben.

§ 37. Bei andern Schriftstellern stossen wir auf dieselbe Schwierigkeit.
Locke 65 sagt: »Durch Wiederholung der Idee einer Einheit und Hinzufügung
derselben zu einer andern Einheit machen wir demnach eine collective Idee,
die durch das Wort »zwei« bezeichnet wird. Und wer das thun und so
weitergehen kann, immer noch Eins hinzufügend zu der letzten collectiven
Idee, die er von einer Zahl hatte, und ihr einen Namen geben kann, der kann
zählen.« Leibniz 66 definirt Zahl als 1 und 1 und 1 oder als Einheiten.
Hesse 67 sagt: »Wenn man sich eine Vorstellung machen kann von der
Einheit, die in der Algebra mit dem Zeichen 1 ausgedrückt wird, … so kann
man sich auch eine zweite gleichberechtigte Einheit denken und weitere
derselben Art. Die Vereinigung der zweiten mit der ersten zu einem Ganzen
giebt die Zahl 2«.
Hier ist auf die Beziehung zu achten, in der die Bedeutungen der Wörter
»Einheit« und »Eins« zu einander stehen. Leibniz versteht unter Einheit
einen Begriff, unter den die Eins und die Eins und die Eins fallen, wie er
denn auch sagt: »Das Abstracte von Eins ist die Einheit.« Locke und Hesse
scheinen Einheit und Eins gleichbedeutend zu gebrauchen. Im Grunde thut
dies wohl auch Leibniz; denn indem er die einzelnen Gegenstände, die unter
den Begriff der Einheit fallen, sämmtlich Eins nennt, bezeichnet er mit

diesem Worte nicht den einzelnen Gegenstand, sondern den Begriff, unter
den sie fallen.

§ 38. Um nicht Verwirrung einreissen zu lassen, wird es jedoch gut sein,
einen Unterschied zwischen Einheit und Eins streng aufrecht zu erhalten.
Man sagt »die Zahl Eins« und deutet mit dem bestimmten Artikel einen
bestimmten, einzelnen Gegenstand der wissenschaftlichen Forschung an. Es
giebt nicht verschiedene Zahlen Eins, sondern nur Eine. Wir haben in 1
einen Eigennamen, der als solcher eines Plurals ebenso unfähig ist wie
»Friedrich der Grosse« oder »das chemische Element Gold.« Es ist nicht
Zufall und nicht eine ungenaue Bezeichnungsweise, dass man 1 ohne
unterscheidende Striche schreibt. Die Gleichung
3−2=1
würde St. Jevons etwa so wiedergeben:
(1´ + 1´´ + 1´´´) − (1´´ + 1´´´) = 1´
Was würde aber das Ergebniss von
(1´ + 1´´ + 1´´´) − (1´´´´ + 1´´´´´)
sein? Jedenfalls nicht 1´. Daraus geht hervor, dass es nach seiner
Auffassung nicht nur verschiedene Einsen, sondern auch verschiedene
Zweien u. s. w. geben würde; denn 1´´ + 1´´´ könnte nicht durch 1´´´´ + 1
´´´´´ vertreten werden. Man sieht hieraus recht deutlich, dass die Zahl nicht
eine Anhäufung von Dingen ist. Die Arithmetik würde aufgehoben werden,
wollte man statt der Eins, die immer dieselbe ist, verschiedene Dinge
einführen, wenn auch in noch so ähnlichen Zeichen; gleich dürften sie ja
ohne Fehler nicht sein. Man kann doch nicht annehmen, dass das tiefste
Bedürfniss der Arithmetik eine fehlerhafte Schreibung sei. Darum ist es
unmöglich 1 als Zeichen für verschiedene Gegenstände anzusehen, wie
Island, Aldebaran, Solon u. dgl. Am greifbarsten wird der Unsinn, wenn
man an den Fall denkt, dass eine Gleichung drei Wurzeln hat, nämlich 2
und 5 und 4. Schreibt man nun nach Jevons für 3:
1´ + 1´´ + 1´´´,
so würde 1´ hier 2, 1´´ 5 und 1´´´ 4 bedeuten, wenn man unter 1´, 1´´, 1´´´
Einheiten und folglich nach Jevons die hier vorliegenden Gegenstände des

Denkens versteht. Wäre es dann nicht verständlicher für 1´ + 1´´ + 1´´´ zu
schreiben
2 + 5 + 4?
Ein Plural ist nur von Begriffswörtern möglich. Wenn man also von
»Einheiten« spricht, so kann man dies Wort nicht gleichbedeutend mit dem
Eigennamen »Eins« gebrauchen, sondern als Begriffswort. Wenn »Einheit«
»zu zählender Gegenstand« bedeutet, so kann man nicht Zahl als Einheiten
definiren. Wenn man unter »Einheit« einen Begriff versteht, der die Eins
und nur diese unter sich fasst, so hat ein Plural keinen Sinn, und es ist
wieder unmöglich, mit Leibniz Zahl als Einheiten oder als 1 und 1 und 1 zu
definiren. Wenn man das »und« so gebraucht wie in »Bunsen und
Kirchhof,« so ist 1 und 1 und 1 nicht 3, sondern 1, sowie Gold und Gold
und Gold nie etwas anderes als Gold ist. Das Pluszeichen in
1+1+1=3
muss also anders als das »und« aufgefasst werden, das eine Sammlung, eine
»collective Idee« bezeichnen hilft.

§ 39. Wir stehen demnach vor folgender Schwierigkeit:
Wenn wir die Zahl durch Zusammenfassung von verschiedenen
Gegenständen entstehen lassen wollen, so erhalten wir eine Anhäufung, in
der die Gegenstände mit eben den Eigenschaften enthalten sind, durch die
sie sich unterscheiden, und das ist nicht die Zahl. Wenn wir die Zahl
andrerseits durch Zusammenfassung von Gleichem bilden wollen, so fliesst
dies immerfort in eins zusammen, und wir kommen nie zu einer Mehrheit.
Wenn wir mit 1 jeden der zu zählenden Gegenstände bezeichnen, so ist
das ein Fehler, weil Verschiedenes dasselbe Zeichen erhält. Versehen wir
die 1 mit unterscheidenden Strichen, so wird sie für die Arithmetik
unbrauchbar.
Das Wort »Einheit« ist vortrefflich geeignet, diese Schwierigkeit zu
verhüllen; und das ist der – wenn auch unbewusste – Grund, warum man es
den Wörtern »Gegenstand« und »Ding« vorzieht. Man nennt zunächst die
zu zählenden Dinge Einheiten, wobei die Verschiedenheit ihr Recht erhält;
dann geht die Zusammenfassung, Sammlung, Vereinigung, Hinzufügung,
oder wie man es sonst nennen will, in den Begriff der arithmetischen

Addition über und das Begriffswort »Einheit« verwandelt sich unvermerkt
in den Eigennamen »Eins«. Damit hat man dann die Gleichheit. Wenn ich
an den Buchstaben u ein n und daran ein d füge, so sieht jeder leicht ein,
dass das nicht die Zahl 3 ist. Wenn ich aber u, n und d unter den Begriff
»Einheit« bringe und nun für »u und n und d« sage »eine Einheit und eine
Einheit und noch eine Einheit« oder »1 und 1 und 1«, so glaubt man leicht
damit die 3 zu haben. Die Schwierigkeit wird durch das Wort »Einheit« so
gut versteckt, dass gewiss nur wenige Menschen eine Ahnung von ihr
haben.
Hier könnte Mill mit Recht tadelnd von einem kunstfertigen Handhaben
der Sprache reden; denn hier ist es nicht die äussere Erscheinung eines
Denkvorganges, sondern es spiegelt einen solchen nur vor. Hier hat man in
der That den Eindruck, als ob den von Gedanken leeren Worten eine
gewisse geheimnissvolle Kraft beigelegt werde, wenn Verschiedenes blos
dadurch, dass man es Einheit nennt, gleich werden soll.

Versuche, die Schwierigkeit zu überwinden.

§ 40. Wir betrachten nun einige Ausführungen, die sich als Versuche zur
Ueberwindung dieser Schwierigkeit darstellen, wenn sie auch wohl nicht
immer mit klarem Bewusstsein in dieser Absicht gemacht sind.
Man kann zunächst eine Eigenschaft des Raumes und der Zeit zu Hilfe
rufen. Ein Raumpunkt ist nämlich von einem andern, eine Gerade oder
Ebene von einer andern, congruente Körper, Flächen- oder Linienstücke
von einander, für sich allein betrachtet, gar nicht zu unterscheiden, sondern
nur in ihrem Zusammensein als Bestandteile einer Gesammtanschauung. So
scheint sich hier Gleichheit mit Unterscheidbarkeit zu vereinen. Aehnliches
gilt von der Zeit. Daher meint wohl Hobbes, 68 dass die Gleichheit der
Einheiten anders als durch Theilung des Continuums entstehe, könne kaum
gedacht werden. Thomae 69 sagt: »Stellt man eine Menge von Individuen
oder Einheiten im Raume vor und zählt man sie successive, wozu Zeit
erforderlich ist, so bleibt bei aller Abstraction als unterscheidendes
Merkmal der Einheiten noch ihre verschiedene Stellung im Raume und ihre
verschiedene Aufeinanderfolge in der Zeit übrig.«
Zunächst erhebt sich das Bedenken gegen eine solche Auffassungsweise,
dass dann das Zählbare auf das Räumliche und Zeitliche beschränkt wäre.

Schon Leibniz 70 weist die Meinung der Scholastiker zurück, die Zahl
entstehe aus der blossen Theilung des Continuums und könne nicht auf
unkörperliche Dinge angewandt werden. Baumann 71 betont die
Unabhängigkeit von Zahl und Zeit. Der Begriff der Einheit sei auch ohne
die Zeit denkbar. St. Jevons 72 sagt: »Drei Münzen sind drei Münzen, ob wir
sie nun nach einander zählen oder sie alle zugleich betrachten. In vielen
Fällen ist weder Zeit noch Raum der Grund des Unterschiedes, sondern
allein Qualität. Wir können Gewicht, Trägheit und Härte des Goldes als drei
Eigenschaften auffassen, obgleich keine von diesen vor noch nach der
andern ist weder im Raum noch in der Zeit. Jedes Mittel der
Unterscheidung kann eine Quelle der Vielheit sein.« Ich füge hinzu: wenn
die gezählten Gegenstände nicht wirklich auf einander folgen, sondern nur
nach einander gezählt werden, so kann die Zeit nicht der Grund der
Unterscheidung sein. Denn, um sie nach einander zählen zu können,
müssen wir schon unterscheidende Kennzeichen haben. Die Zeit ist nur ein
psychologisches Erforderniss zum Zählen, hat aber mit dem Begriffe der
Zahl nichts zu thun. Wenn man unräumliche und unzeitliche Gegenstände
durch Raum- oder Zeitpunkte vertreten lässt, so kann dies vielleicht für die
Ausführung der Zählung vortheilhaft sein; grundsätzlich wird aber dabei die
Anwendbarkeit des Zahlbegriffes auf Unräumliches und Unzeitliches
vorausgesetzt.

§ 41. Wird denn aber der Zweck der Vereinigung von Unterscheidbarkeit
und Gleichheit wirklich erreicht, wenn wir von allen unterscheidenden
Kennzeichen ausser den räumlichen und zeitlichen absehen? Nein! Wir sind
der Lösung nicht um Einen Schritt näher gekommen. Die grössere oder
geringere Aehnlichkeit der Gegenstände thut nichts zur Sache, wenn sie
doch zuletzt aus einander gehalten werden müssen. Ich darf die einzelnen
Punkte, Linien u. s. f. hier ebenso wenig alle mit 1 bezeichnen, als ich sie
bei geometrischen Betrachtungen sämmtlich A nennen darf; denn hier wie
dort ist es nöthig, sie zu unterscheiden. Nur für sich, ohne Rücksicht auf
ihre räumlichen Beziehungen sind die Raumpunkte einander gleich. Soll ich
sie aber zusammenfassen, so muss ich sie in ihrem räumlichen
Zusammensein betrachten, sonst schmelzen sie unrettbar in Einem
zusammen. Punkte stellen in ihrer Gesammtheit vielleicht irgendeine
sternbildartige Figur vor oder sind irgendwie auf einer Geraden angeordnet,
gleiche Strecken bilden vielleicht mit den Endpunkten zusammenstossend

eine einzige Strecke oder liegen getrennt von einander. Die so entstehenden
Gebilde können für dieselbe Zahl ganz verschieden sein. So würden wir
auch hier verschiedene Fünfen, Sechsen u. s. w. haben. Die Zeitpunkte sind
durch kurze oder lange, gleiche oder ungleiche Zwischenzeiten getrennt.
Alles dies sind Verhältnisse, die mit der Zahl an sich gar nichts zu thun
haben. Ueberall mischt sich etwas Besonderes ein, worüber die Zahl in ihrer
Allgemeinheit weit erhaben ist. Sogar ein einzelner Moment hat etwas
Eigenthümliches, wodurch er sich etwa von einem Raumpunkte
unterscheidet, und wovon nichts in dem Zahlbegriffe vorkommt.

§ 42. Auch der Ausweg, räumliche und zeitliche Anordnung durch einen
allgemeinern Reihenbegriff zu ersetzen, führt nicht zum Ziele; denn die
Stelle in der Reihe kann nicht der Grund des Unterscheidens der
Gegenstände sein, weil diese schon irgendworan unterschieden sein
müssen, um in eine Reihe geordnet werden zu können. Eine solche
Anordnung setzt immer Beziehungen zwischen den Gegenständen voraus,
seien es nun räumliche oder zeitliche oder logische oder Tonintervalle oder
welche sonst, durch die man sich von einem zum andern leiten lässt, und
die mit deren Unterscheidung nothwendig verbunden sind.
Wenn Hankel 73 ein Object 1 mal, 2 mal, 3 mal denken oder setzen lässt,
so scheint auch dies ein Versuch zu sein, die Unterscheidbarkeit mit der
Gleichheit des zu Zählenden zu vereinen. Aber man sieht auch sofort, dass
es kein gelungener ist; denn diese Vorstellungen oder Anschauungen
desselben Gegenstandes müssen, um nicht in Eine zusammenzufliessen,
irgendwie verschieden sein. Ich meine auch, dass man berechtigt ist, von 45
Millionen Deutschen zu sprechen, ohne vorher 45 Millionen mal einen
Normal-Deutschen gedacht oder gesetzt zu haben; das möchte etwas
umständlich sein.

§ 43. Wahrscheinlich um die Schwierigkeiten zu vermeiden, die sich
ergeben, wenn man mit St. Jevons jedes Zeichen 1 einen der gezählten
Gegenstände bedeuten lässt, will E. Schröder dadurch einen Gegenstand
nur abbilden. Die Folge ist, dass er nur das Zahlzeichen, nicht die Zahl
erklärt. Er sagt nämlich 74: »Um nun ein Zeichen zu erhalten, welches fähig
ist auszudrücken, wieviele jener Einheiten 75 vorhanden sind, richtet man die
Aufmerksamkeit der Reihe nach einmal auf eine jede derselben und bildet
sie mit einem Strich: 1 (eine Eins, ein Einer) ab; diese Einer setzt man in

eine Zeile neben einander, verbindet sie jedoch unter sich durch das
Zeichen + (plus), da sonst zum Beispiel 111 nach der gewöhnlichen
Zahlenbezeichnung als einhundert und elf gelesen würde. Man erhält auf
diese Weise ein Zeichen wie:
1 + 1 + 1 + 1 + 1,
dessen Zusammensetzung man dadurch beschreiben kann, dass man sagt:
»Eine natürliche Zahl ist eine Summe von Einern.«
Hieraus sieht man, dass für Schröder die Zahl ein Zeichen ist. Was durch
dies Zeichen ausgedrückt wird, das, was ich bisher Zahl genannt habe, setzt
er mit den Worten »wieviele jener Einheiten vorhanden sind« als bekannt
voraus. Auch unter dem Worte »Eins« versteht er das Zeichen 1, nicht
dessen Bedeutung. Das Zeichen + dient ihm zunächst nur als äusserliches
Verbindungsmittel ohne eignen Inhalt; erst später wird die Addition erklärt.
Er hätte wohl kürzer so sagen können: man schreibt ebensoviele Zeichen 1
neben einander, als man zu zählende Gegenstände hat, und verbindet sie
durch das Zeichen +. Die Null würde dadurch auszudrücken sein, dass man
nichts hinschreibt.

§ 44. Um nicht die unterscheidenden Kennzeichen der Dinge in die Zahl
mitaufzunehmen, sagt St. Jevons 76:
»Es wird jetzt wenig schwierig sein, eine klare Vorstellung von der
Zahlen-Abstraction zu bilden. Sie besteht im Abstrahiren von dem
Charakter der Verschiedenheit, aus der Vielheit entspringt, indem man
lediglich ihr Vorhandensein beibehält. Wenn ich von drei Männern spreche,
so brauche ich nicht gleich die Kennzeichen einzeln anzugeben, an denen
man jeden von ihnen von jedem unterscheiden kann. Diese Kennzeichen
müssen vorhanden sein, wenn sie wirklich drei Männer und nicht ein und
derselbe sind, und indem ich von ihnen als von vielen rede, behaupte ich
damit zugleich das Vorhandensein der erforderlichen Unterschiede.
Unbenannte Zahl ist also die leere Form der Verschiedenheit.«
Wie ist das zu verstehn? Man kann entweder von den unterscheidenden
Eigenschaften der Dinge abstrahiren, bevor man sie zu einem Ganzen
vereinigt; oder man kann erst ein Ganzes bilden und dann von der Art der
Unterschiede abstrahiren. Auf dem ersten Wege würden wir gar nicht zur
Unterscheidung der Dinge kommen und also auch das Vorhandensein der

Unterschiede nicht festhalten können; den zweiten Weg scheint Jevons zu
meinen. Aber ich glaube nicht, dass wir so die Zahl 10000 gewinnen
würden, weil wir nicht im Stande sind, so viele Unterschiede gleichzeitig
aufzufassen und ihr Vorhandensein festzuhalten; denn, wenn es nach
einander geschähe, so würde die Zahl nie fertig werden. Wir zählen zwar in
der Zeit; aber dadurch gewinnen wir nicht die Zahl, sondern bestimmen sie
nur. Uebrigens ist die Angabe der Weise des Abstrahirens keine Definition.
Was soll man sich unter der »leeren Form der Verschiedenheit« denken?
etwa einen Satz wie
»a ist verschieden von b«,
wobei a und b unbestimmt bleiben? Wäre dieser Satz etwa die Zahl 2? Ist
der Satz
»die Erde hat zwei Pole«
gleichbedeutend mit
»der Nordpol ist vom Südpol verschieden«?
Offenbar nicht. Der zweite Satz könnte ohne den ersten und dieser ohne
jenen bestehen. Für die Zahl 1000 würden wir dann
1000∙999
1 ∙ 2
solche Sätze haben, die eine Verschiedenheit ausdrücken.
Was Jevons sagt, passt insbesondere gar nicht auf die 0 und die 1. Wovon
soll man eigentlich abstrahiren, um z. B. vom Monde auf die Zahl 1 zu
kommen? Durch Abstrahiren erhält man wohl die Begriffe: Begleiter der
Erde, Begleiter eines Planeten, Himmelskörper ohne eignes Licht,
Himmelskörper, Körper, Gegenstand; aber die 1 ist in dieser Reihe nicht
anzutreffen; denn sie ist kein Begriff, unter den der Mond fallen könnte. Bei
der 0 hat man gar nicht einmal einen Gegenstand, von dem bei der
Abstraction auszugehen wäre. Man wende nicht ein, dass 0 und 1 nicht
Zahlen in demselben Sinne seien wie 2 und 3! Die Zahl antwortet auf die
Frage wieviel? und wenn man z. B. fragt: wieviel Monde hat dieser Planet?
so kann man sich ebenso gut auf die Antwort 0 oder 1 wie 2 oder 3 gefasst
machen, ohne dass der Sinn der Frage ein andrer wird. Zwar hat die Zahl 0
etwas Besonderes und ebenso die 1, aber das gilt im Grunde von jeder

ganzen Zahl; nur fällt es bei den grösseren immer weniger in die Augen. Es
ist durchaus willkührlich, hier einen Artunterschied zu machen. Was nicht
auf 0 oder 1 passt, kann für den Begriff der Zahl nicht wesentlich sein.
Endlich wird durch die Annahme dieser Entstehungsweise der Zahl die
Schwierigkeit gar nicht gehoben, auf die wir bei der Betrachtung der
Bezeichnung
1´ + 1´´ + 1´´´ + 1´´´´ + 1´´´´´
für 5 gestossen sind. Diese Schreibung steht gut im Einklänge mit dem, was
Jevons über die zahlenbildende Abstraction sagt; die obern Striche deuten
nämlich an, dass eine Verschiedenheit da ist, ohne jedoch ihre Art
anzugeben. Aber das blosse Bestehen der Verschiedenheit genügt schon,
wie wir gesehen haben, um bei der Jevons'schen Auffassung verschiedene
Einsen, Zweien, Dreien hervorzubringen, was mit dem Bestande der
Arithmetik durchaus unverträglich ist.

Lösung der Schwierigkeit.

§ 45. Ueberblicken wir nun das bisher von uns Festgestellte und die noch
unbeantwortet gebliebenen Fragen!
Die Zahl ist nicht in der Weise wie Farbe, Gewicht, Härte von den
Dingen abstrahirt, ist nicht in dem Sinne wie diese Eigenschaft der Dinge.
Es blieb noch die Frage, von wem durch eine Zahlangabe etwas ausgesagt
werde.
Die Zahl ist nichts Physikalisches, aber auch nichts Subjectives, keine
Vorstellung.
Die Zahl entsteht nicht durch Hinzufügung von Ding zu Ding. Auch die
Namengebung nach jeder Hinzufügung ändert darin nichts.
Die Ausdrücke »Vielheit,« »Menge,« »Mehrheit« sind wegen ihrer
Unbestimmtheit ungeeignet, zur Erklärung der Zahl zu dienen.
In Bezug auf Eins und Einheit blieb die Frage, wie die Willkühr der
Auffassung zu beschränken sei, die jeden Unterschied zwischen Einem und
Vielen zu verwischen schien.

Die Abgegrenztheit, die Ungetheiltheit, die Unzerlegbarkeit sind keine
brauchbaren Merkmale für das, was wir durch das Wort »Ein« ausdrücken.
Wenn man die zu zählenden Dinge Einheiten nennt, so ist die unbedingte
Behauptung, dass die Einheiten gleich seien, falsch. Dass sie in gewisser
Hinsicht gleich sind, ist zwar richtig aber werthlos. Die Verschiedenheit der
zu zählenden Dinge ist sogar nothwendig, wenn die Zahl grösser als 1
werden soll.
So schien es, dass wir den Einheiten zwei widersprechende
Eigenschaften beilegen müssten: die Gleichheit und die Unterscheidbarkeit.
Es ist ein Unterschied zwischen Eins und Einheit zu machen. Das Wort
»Eins« ist als Eigenname eines Gegenstandes der mathematischen
Forschung eines Plurals unfähig. Es ist also sinnlos, Zahlen durch
Zusammenfassen von Einsen entstehen zu lassen. Das Pluszeichen in
1 + 1 = 2 kann nicht eine solche Zusammenfassung bedeuten.

§ 46. Um Licht in die Sache zu bringen, wird es gut sein, die Zahl im
Zusammenhange eines Urtheils zu betrachten, wo ihre ursprüngliche
Anwendungsweise hervortritt. Wenn ich in Ansehung derselben äussern
Erscheinung mit derselben Wahrheit sagen kann: »dies ist eine
Baumgruppe« und »dies sind fünf Bäume« oder »hier sind vier
Compagnien« und »hier sind 500 Mann,« so ändert sich dabei weder das
Einzelne noch das Ganze, das Aggregat, sondern meine Benennung. Das ist
aber nur das Zeichen der Ersetzung eines Begriffes durch einen andern.
Damit wird uns als Antwort auf die erste Frage des vorigen Paragraphen
nahe gelegt, dass die Zahlangabe eine Aussage von einem Begriffe enthalte.
Am deutlichsten ist dies vielleicht bei der Zahl 0. Wenn ich sage: »die
Venus hat 0 Monde«, so ist gar kein Mond oder Aggregat von Monden da,
von dem etwas ausgesagt werden könnte; aber dem Begriffe »Venusmond«
wird dadurch eine Eigenschaft beigelegt, nämlich die, nichts unter sich zu
befassen. Wenn ich sage: »der Wagen des Kaisers wird von vier Pferden
gezogen,« so lege ich die Zahl vier dem Begriffe »Pferd, das den Wagen des
Kaisers zieht,« bei.
Man mag einwenden, dass ein Begriff wie z. B. »Angehöriger des
deutschen Reiches,« obwohl seine Merkmale unverändert bleiben, eine von
Jahr zu Jahr wechselnde Eigenschaft haben würde, wenn die Zahlangabe
eine solche von ihm aussagte. Man kann dagegen geltend machen, dass

auch Gegenstände ihre Eigenschaften ändern, was nicht verhindere, sie als
dieselben anzuerkennen. Hier lässt sich aber der Grund noch genauer
angeben. Der Begriff »Angehöriger des deutschen Reiches« enthält nämlich
die Zeit als veränderlichen Bestandtheil, oder, um mich mathematisch
auszudrücken, ist eine Function der Zeit. Für »a ist ein Angehöriger des
deutschen Reiches« kann man sagen: »a gehört dem deutschen Reiche an«
und dies bezieht sich auf den gerade gegenwärtigen Zeitpunkt. So ist also in
dem Begriffe selbst schon etwas Fliessendes. Dagegen kommt dem Begriffe
»Angehöriger des deutschen Reiches zu Jahresanfang 1883 berliner Zeit« in
alle Ewigkeit dieselbe Zahl zu.

§ 47. Dass eine Zahlangabe etwas Thatsächliches von unserer Auffassung
Unabhängiges ausdrückt, kann nur den Wunder nehmen, welcher den
Begriff für etwas Subjectives gleich der Vorstellung hält. Aber diese Ansicht
ist falsch. Wenn wir z. B. den Begriff des Körpers dem des Schweren oder
den des Wallfisches dem des Säugethiers unterordnen, so behaupten wir
damit etwas Objectives. Wenn nun die Begriffe subjectiv wären, so wäre
auch die Unterordnung des einen unter den andern als Beziehung zwischen
ihnen etwas Subjectives wie eine Beziehung zwischen Vorstellungen.
Freilich auf den ersten Blick scheint der Satz
»alle Wallfische sind Säugethiere«
von Thieren, nicht von Begriffen zu handeln; aber, wenn man fragt, von
welchem Thiere denn die Rede sei, so kann man kein einziges aufweisen.
Gesetzt, es liege ein Wallfisch vor, so behauptet doch von diesem unser Satz
nichts. Man könnte aus ihm nicht schliessen, das vorliegende Thier sei ein
Säugethier, ohne den Satz hinzuzunehmen, dass es ein Wallfisch ist, wovon
unser Satz nichts enthält. Ueberhaupt ist es unmöglich, von einem
Gegenstande zu sprechen, ohne ihn irgendwie zu bezeichnen oder zu
benennen. Das Wort »Wallfisch« benennt aber kein Einzelwesen. Wenn
man erwidert, allerdings sei nicht von einem einzelnen, bestimmten
Gegenstande die Rede, wohl aber von einem unbestimmten, so meine ich,
dass »unbestimmter Gegenstand« nur ein andrer Ausdruck für »Begriff« ist,
und zwar ein schlechter, widerspruchsvoller. Mag immerhin unser Satz nur
durch Beobachtung an einzelnen Thieren gerechtfertigt werden können,
dies beweist nichts für seinen Inhalt. Für die Frage, wovon er handelt, ist es
gleichgiltig, ob er wahr ist oder nicht, oder aus welchen Gründen wir ihn für

wahr halten. Wenn nun der Begriff etwas Objectives ist, so kann auch eine
Aussage von ihm etwas Thatsächliches enthalten.

§ 48. Der Schein, der vorhin bei einigen Beispielen entstand, dass
demselben verschiedene Zahlen zukämen, erklärt sich daraus, dass dabei
Gegenstände als Träger der Zahl angenommen wurden. Sobald wir den
wahren Träger, den Begriff, in seine Rechte einsetzen, zeigen sich die
Zahlen so ausschliessend wie in ihrem Bereiche die Farben.
Wir sehen nun auch, wie man dazu kommt, die Zahl durch Abstraction
von den Dingen gewinnen zu wollen. Was man dadurch erhält, ist der
Begriff, an dem man dann die Zahl entdeckt. So geht die Abstraction in der
That oft der Bildung eines Zahlurtheils vorher. Die Verwechselung ist
dieselbe, wie wenn man sagen wollte: der Begriff der Feuergefährlichkeit
wird erhalten, indem man ein Wohnhaus aus Fachwerk mit einem
Brettergiebel und Strohdach baut, dessen Schornsteine undicht sind.
Die sammelnde Kraft des Begriffes übertrifft weit die vereinigende der
synthetischen Apperception. Durch diese wäre es nicht möglich, die
Angehörigen des deutschen Reiches zu einem Ganzen zu verbinden; wohl
aber kann man sie unter dem Begriff »Angehöriger des deutschen Reiches«
bringen und zählen.
Nun wird auch die grosse Anwendbarkeit der Zahl erklärlich. Es ist in der
That räthselhaft, wie dasselbe von äussern und zugleich von innern
Erscheinungen, von Räumlichem und Zeitlichem und von Raum- und
Zeitlosem ausgesagt werden könne. Dies findet nun in der Zahlangabe auch
gar nicht statt. Nur den Begriffen, unter die das Aeussere und Innere, das
Räumliche und Zeitliche, das Raum- und Zeitlose gebracht ist, werden
Zahlen beigelegt.

§ 49. Wir finden für unsere Ansicht eine Bestätigung bei Spinoza, der
sagt 77: »Ich antworte, dass ein Ding blos rücksichtlich seiner Existenz, nicht
aber seiner Essenz eines oder einzig genannt wird; denn wir stellen die
Dinge unter Zahlen nur vor, nachdem sie auf ein gemeinsames Maass
gebracht sind. Wer z. B. ein Sesterz und einen Imperial in der Hand hält,
wird an die Zweizahl nicht denken, wenn er nicht dieses Sesterz und diesen
Imperial mit einem und dem nämlichen Namen, nämlich Geldstück oder
Münze belegen kann: dann kann er bejahen, dass er zwei Geldstücke oder

Münzen habe; weil er nicht nur das Sesterz, sondern auch den Imperial mit
den Namen Münze bezeichnet.« Wenn er fortfährt: »Hieraus ist klar, dass
ein Ding eins oder einzig genannt wird, nur nachdem ein anderes Ding ist
vorgestellt worden, das (wie gesagt) mit ihm übereinkommt,« und wenn er
meint, dass man nicht im eigentlichen Sinne Gott einen oder einzig nennen
könne, weil wir von seiner Essenz keinen abstracten Begriff bilden könnten,
so irrt er in der Meinung, der Begriff könne nur unmittelbar durch
Abstraction von mehren Gegenständen gewonnen werden. Vielmehr kann
man auch von den Merkmalen aus zu dem Begriffe gelangen; und dann ist
es möglich, das kein Ding unter ihn fällt. Wenn dies nicht vorkäme, würde
man nie die Existenz verneinen können, und damit verlöre auch die
Bejahung der Existenz ihren Inhalt.

§ 50. E. Schröder 78 hebt hervor, dass, wenn von Häufigkeit eines Dinges
solle gesprochen werden können, der Name dieses Dinges stets ein
Gattungsname, ein allgemeines Begriffswort (notio communis) sein müsse:
»Sobald man nämlich einen Gegenstand vollständig – mit allen seinen
Eigenschaften und Beziehungen – in's Auge fasst, so wird derselbe einzig in
der Welt dastehen und seines gleichen nicht weiter haben. Der Name des
Gegenstandes wird alsdann den Charakter eines Eigennamens (nomen
proprium) tragen und kann der Gegenstand nicht als ein wiederholt
vorkommender gedacht werden. Dieses gilt aber nicht allein von concreten
Gegenständen, es gilt überhaupt von jedem Dinge, mag dessen Vorstellung
auch durch Abstractionen zu Stande kommen, wofern nur diese Vorstellung
solche Elemente in sich schliesst, welche genügen, das betreffende Ding zu
einem völlig bestimmten zu machen. … Das letztere« (Object der Zählung
zu werden) »wird bei einem Dinge erst insofern möglich, als man von
einigen ihm eigenthümlichen Merkmalen und Beziehungen, durch die es
sich von allen andern Dingen unterscheidet, dabei absieht oder abstrahirt,
wodurch dann erst der Name des Dinges zu einem auf mehre Dinge
anwendbaren Begriffe wird.«

§ 51. Das Wahre in dieser Ausführung ist in so schiefe und irreführende
Ausdrücke gekleidet, dass eine Entwirrung und Sichtung geboten ist.
Zunächst ist es unpassend, ein allgemeines Begriffswort Namen eines
Dinges zu nennen. Dadurch entsteht der Schein, als ob die Zahl Eigenschaft
eines Dinges wäre. Ein allgemeines Begriffswort bezeichnet eben einen

Begriff. Nur mit dem bestimmten Artikel oder einem
Demonstrativpronomen gilt es als Eigenname eines Dinges, hört aber damit
auf, als Begriffswort zu gelten. Der Name eines Dinges ist ein Eigenname.
Ein Gegenstand kommt nicht wiederholt vor, sondern mehre Gegenstände
fallen unter einen Begriff. Dass ein Begriff nicht nur durch Abstraction von
den Dingen erhalten wird, die unter ihn fallen, ist schon Spinoza gegenüber
bemerkt. Hier füge ich hinzu, dass ein Begriff dadurch nicht aufhört,
Begriff zu sein, dass nur ein einziges Ding unter ihn fällt, welches demnach
völlig durch ihn bestimmt ist. Einem solchen Begriffe (z. B. Begleiter der
Erde) kommt eben die Zahl 1 zu, die in demselben Sinne Zahl ist wie 2 und
3. Bei einem Begriffe fragt es sich immer, ob etwas und was etwa unter ihn
falle. Bei einem Eigennamen sind solche Fragen sinnlos. Man darf sich
nicht dadurch täuschen lassen, dass die Sprache einen Eigennamen, z. B.
Mond, als Begriffswort verwendet und umgekehrt; der Unterschied bleibt
trotzdem bestehen. Sobald ein Wort mit dem unbestimmten Artikel oder im
Plural ohne Artikel gebraucht wird, ist es Begriffswort.

§ 52. Eine weitere Bestätigung für die Ansicht, dass die Zahl Begriffen
beigelegt wird, kann in dem deutschen Sprachgebrauche gefunden werden,
dass man zehn Mann, vier Mark, drei Fass sagt. Der Singular mag hier
andeuten, dass der Begriff gemeint ist, nicht das Ding. Der Vorzug dieser
Ausdrucksweise tritt besonders bei der Zahl 0 hervor. Sonst freilich legt die
Sprache den Gegenständen, nicht dem Begriffe Zahl bei: man sagt »Zahl
der Ballen,« wie man »Gewicht der Ballen« sagt. So spricht man scheinbar
von Gegenständen, während man in Wahrheit von einem Begriffe etwas
aussagen will. Dieser Sprachgebrauch ist verwirrend. Der Ausdruck »vier
edle Rosse« erweckt den Schein, als ob »vier« den Begriff »edles Ross«
ebenso wie »edel« den Begriff »Ross« näher bestimme. Jedoch ist nur
»edel« ein solches Merkmal; durch das Wort »vier« sagen wir etwas von
einem Begriffe aus.

§ 53. Unter Eigenschaften, die von einem Begriffe ausgesagt werden,
verstehe ich natürlich nicht die Merkmale, die den Begriff zusammensetzen.
Diese sind Eigenschaften der Dinge, die unter den Begriff fallen, nicht des
Begriffes. So ist »rechtwinklig« nicht eine Eigenschaft des Begriffes
»rechtwinkliges Dreieck«; aber der Satz, dass es kein rechtwinkliges,
geradliniges, gleichseitiges Dreieck gebe, spricht eine Eigenschaft des

Begriffes »rechtwinkliges, geradliniges, gleichseitiges Dreieck« aus; diesem
wird die Nullzahl beigelegt.
In dieser Beziehung hat die Existenz Aehnlichkeit mit der Zahl. Es ist ja
Bejahung der Existenz nichts Anderes als Verneinung der Nullzahl. Weil
Existenz Eigenschaft des Begriffes ist, erreicht der ontologische Beweis von
der Existenz Gottes sein Ziel nicht. Ebensowenig wie die Existenz ist aber
die Einzigkeit Merkmal des Begriffes »Gott«. Die Einzigkeit kann nicht zur
Definition dieses Begriffes gebraucht werden, wie man auch die Festigkeit,
Geräumigkeit, Wohnlichkeit eines Hauses nicht mit Steinen, Mörtel und
Balken zusammen bei seinem Baue verwenden kann. Man darf jedoch
daraus, dass etwas Eigenschaft eines Begriffes ist, nicht allgemein
schliessen, dass es aus dem Begriffe, d. h. aus dessen Merkmalen nicht
gefolgert werden könne. Unter Umständen ist dies möglich, wie man aus
der Art der Bausteine zuweilen einen Schluss auf die Dauerhaftigkeit eines
Gebäudes machen kann. Daher wäre es zuviel behauptet, dass niemals aus
den Merkmalen eines Begriffes auf die Einzigkeit oder Existenz
geschlossen werden könne; nur kann dies nie so unmittelbar geschehen, wie
man das Merkmal eines Begriffes einem unter ihn fallenden Gegenstande
als Eigenschaft beilegt.
Es wäre auch falsch zu leugnen, dass Existenz und Einzigkeit jemals
Merkmale von Begriffen sein könnten. Sie sind nur nicht Merkmale der
Begriffe, denen man sie der Sprache folgend zuschreiben möchte. Wenn
man z. B. alle Begriffe, unter welche nur Ein Gegenstand fällt, unter einen
Begriff sammelt, so ist die Einzigkeit Merkmal dieses Begriffes. Unter ihn
würde z. B. der Begriff »Erdmond,« aber nicht der sogenannte
Himmelskörper fallen. So kann man einen Begriff unter einen höhern, so zu
sagen einen Begriff zweiter Ordnung fallen lassen. Dies Verhältniss ist aber
nicht mit dem der Unterordnung zu verwechseln.

§ 54. Jetzt wird es möglich sein, die Einheit befriedigend zu erklären. E.
Schröder sagt auf S. 7 seines genannten Lehrbuches: »Jener Gattungsname
oder Begriff wird die Benennung der auf die angegebene Weise gebildeten
Zahl genannt und macht das Wesen ihrer Einheit aus.«
In der That, wäre es nicht am passendsten, einen Begriff Einheit zu
nennen in Bezug auf die Anzahl, welche ihm zukommt? Wir können dann
den Aussagen über die Einheit, dass sie von der Umgebung abgesondert

und untheilbar sei, einen Sinn abgewinnen. Denn der Begriff, dem die Zahl
beigelegt wird, grenzt im Allgemeinen das unter ihn Fallende in bestimmter
Weise ab. Der Begriff »Buchstabe des Wortes Zahl« grenzt das Z gegen das
a, dieses gegen das h u. s. w. ab. Der Begriff »Silbe des Wortes Zahl« hebt
das Wort als ein Ganzes und in dem Sinne Untheilbares heraus, dass die
Theile nicht mehr unter den Begriff »Silbe des Wortes Zahl« fallen. Nicht
alle Begriffe sind so beschaffen. Wir können z. B. das unter den Begriff des
Rothen Fallende in mannigfacher Weise zertheilen, ohne dass die Theile
aufhören, unter ihn zu fallen. Einem solchen Begriffe kommt keine endliche
Zahl zu. Der Satz von der Abgegrenztheit und Untheilbarkeit der Einheit
lässt sich demnach so aussprechen:
Einheit in Bezug auf eine endliche Anzahl kann nur ein solcher Begriff
sein, der das unter ihn Fallende bestimmt abgrenzt und keine beliebige
Zertheilung gestattet.
Man sieht aber, dass Untheilbarkeit hier eine besondere Bedeutung hat.
Nun beantworten wir leicht die Frage, wie die Gleichheit mit der
Unterscheidbarkeit der Einheiten zu versöhnen sei. Das Wort »Einheit« ist
hier in doppeltem Sinne gebraucht. Gleich sind die Einheiten in der oben
erklärten Bedeutung dieses Worts. In dem Satze: »Jupiter hat vier Monde«
ist die Einheit »Jupitersmond«. Unter diesen Begriff fällt sowohl I als auch
II, als auch III, als auch IV. Daher kann man sagen: die Einheit, auf die I
bezogen wird, ist gleich der Einheit, auf die II bezogen wird u. s. f. Da
haben wir die Gleichheit. Wenn man aber die Unterscheidbarkeit der
Einheiten behauptet, so versteht man darunter die der gezählten Dinge.

IV. Der Begriff der Anzahl.
Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand.

§ 55. Nachdem wir erkannt haben, dass die Zahlangabe eine Aussage von
einem Begriffe enthält, können wir versuchen, die leibnizischen
Definitionen der einzelnen Zahlen durch die der 0 und der 1 zu ergänzen.
Es liegt nahe zu erklären: einem Begriffe kommt die Zahl 0 zu, wenn
kein Gegenstand unter ihn fällt. Aber hier scheint an die Stelle der 0 das
gleichbedeutende »kein« getreten zu sein; deshalb ist folgender Wortlaut
vorzuziehen: einem Begriffe kommt die Zahl 0 zu, wenn allgemein, was
auch a sei, der Satz gilt, dass a nicht unter diesen Begriff falle.
In ähnlicher Weise könnte man sagen: einem Begriffe F kommt die Zahl
1 zu, wenn nicht allgemein, was auch a sei, der Satz gilt, dass a nicht unter
F falle, und wenn aus den Sätzen
»a fällt unter F« und »b fällt unter F«
allgemein folgt, dass a und b dasselbe sind.
Es bleibt noch übrig, den Uebergang von einer Zahl zur nächstfolgenden
allgemein zu erklären. Wir versuchen folgenden Wortlaut: dem Begriffe F
kommt die Zahl (n + 1) zu, wenn es einen Gegenstand a giebt, der unter F
fällt und so beschaffen ist, dass dem Begriffe »unter F fallend, aber nicht a«
die Zahl n zukommt.

§ 56. Diese Erklärungen bieten sich nach unsern bisherigen Ergebnissen
so ungezwungen dar, dass es einer Darlegung bedarf, warum sie uns nicht
genügen können.
Am ehesten wird die letzte Definition Bedenken erregen; denn genau
genommen ist uns der Sinn des Ausdruckes »dem Begriffe G kommt die
Zahl n zu« ebenso unbekannt wie der des Ausdruckes »dem Begriffe F
kommt die Zahl (n + 1) zu.« Zwar können wir mittels dieser und der
vorletzten Erklärung sagen, was es bedeute
»dem Begriffe F kommt die Zahl 1 + 1 zu,«

und dann, indem wir dies benutzen, den Sinn des Ausdruckes
»dem Begriffe F kommt die Zahl 1 + 1 + 1 zu«
angeben u. s. w.; aber wir können – um ein krasses Beispiel zu geben –
durch unsere Definitionen nie entscheiden, ob einem Begriffe die Zahl
Julius Caesar zukomme, ob dieser bekannte Eroberer Galliens eine Zahl ist
oder nicht. Wir können ferner mit Hilfe unserer Erklärungsversuche nicht
beweisen, dass a = b sein muss, wenn dem Begriffe F die Zahl a zukommt,
und wenn demselben die Zahl b zukommt. Der Ausdruck »die Zahl, welche
dem Begriffe F zukommt« wäre also nicht zu rechtfertigen und dadurch
würde es überhaupt unmöglich, eine Zahlengleichheit zu beweisen, weil wir
gar nicht eine bestimmte Zahl fassen könnten. Es ist nur Schein, dass wir
die 0, die 1 erklärt haben; in Wahrheit haben wir nur den Sinn der
Redensarten
»die Zahl 0 kommt zu,«
»die Zahl 1 kommt zu«
festgestellt; aber es nicht erlaubt, hierin die 0, die 1 als selbständige,
wiedererkennbare Gegenstände zu unterscheiden.

§ 57. Es ist hier der Ort, unsern Ausdruck, dass die Zahlangabe eine
Aussage von einem Begriffe enthalte, etwas genauer ins Auge zu fassen. In
dem Satze »dem Begriffe F kommt die Zahl 0 zu« ist 0 nur ein Theil des
Praedicates, wenn wir als sachliches Subject den Begriff F betrachten.
Deshalb habe ich es vermieden, eine Zahl wie 0, 1, 2 Eigenschaft eines
Begriffes zu nennen. Die einzelne Zahl erscheint eben dadurch, dass sie nur
einen Theil der Aussage bildet, als selbständiger Gegenstand. Ich habe
schon oben darauf aufmerksam gemacht, dass man »die 1« sagt und durch
den bestimmten Artikel 1 als Gegenstand hinstellt. Diese Selbständigkeit
zeigt sich überall in der Arithmetik, z. B. in der Gleichung 1 + 1 = 2. Da es
uns hier darauf ankommt, den Zahlbegriff so zu fassen, wie er für die
Wissenschaft brauchbar ist, so darf es uns nicht stören, dass im
Sprachgebrauche des Lebens die Zahl auch attributiv erscheint. Dies lässt
sich immer vermeiden. Z. B. kann man den Satz »Jupiter hat vier Monde«
umsetzen in »die Zahl der Jupitersmonde ist vier«. Hier darf das »ist« nicht
als blosse Copula betrachtet werden, wie in dem Satze »der Himmel ist
blau«. Das zeigt sich darin, dass man sagen kann: »die Zahl der
Jupitersmonde ist die vier« oder »ist die Zahl 4«. Hier hat »ist« den Sinn

von »ist gleich,« »ist dasselbe wie«. Wir haben also eine Gleichung, die
behauptet, dass der Ausdruck »die Zahl der Jupitersmonde« denselben
Gegenstand bezeichne wie das Wort »vier.« Und die Form der Gleichung ist
die herrschende in der Arithmetik. Gegen diese Auffassung streitet nicht,
dass in dem Worte »vier« nichts von Jupiter oder von Mond enthalten ist.
Auch in dem Namen »Columbus« liegt nichts von Entdecken oder von
Amerika und dennoch wird derselbe Mann Columbus und der Entdecker
Amerikas genannt.

§ 58. Man könnte einwenden, dass wir uns von dem Gegenstande, den
wir Vier oder die Anzahl der Jupitersmonde nennen, als von etwas
Selbständigem durchaus keine Vorstellung 79 machen können. Aber die
Selbständigkeit, die wir der Zahl gegeben haben, ist nicht Schuld daran.
Zwar glaubt man leicht, dass in der Vorstellung von vier Augen eines
Würfels etwas vorkomme, was dem Worte »vier« entspräche; aber das ist
Täuschung. Man denke an eine grüne Wiese und versuche, ob sich die
Vorstellung ändert, wenn man den unbestimmten Artikel durch das
Zahlwort »Ein« ersetzt. Es kommt nichts hinzu, während doch dem Worte
»grün« etwas in der Vorstellung entspricht. Wenn man sich das gedruckte
Wort »Gold« vorstellt, wird man zunächst an keine Zahl dabei denken.
Fragt man sich nun, aus wieviel Buchstaben es bestehe, so ergiebt sich die
Zahl 4; aber die Vorstellung wird dadurch nicht etwa bestimmter, sondern
kann ganz unverändert bleiben. Der hinzutretende Begriff »Buchstabe des
Wortes Gold« ist eben das, woran wir die Zahl entdecken. Bei den vier
Augen eines Würfels ist die Sache etwas versteckter, weil der Begriff sich
uns durch die Aehnlichkeit der Augen so unmittelbar aufdrängt, dass wir
sein Dazwischentreten kaum bemerken. Die Zahl kann weder als
selbständiger Gegenstand noch als Eigenschaft an einem äussern Dinge
vorgestellt werden, weil sie weder etwas Sinnliches noch Eigenschaft eines
äussern Dinges ist. Am deutlichsten ist die Sache wohl bei der Zahl 0. Man
wird vergebens versuchen, sich 0 sichtbare Sterne vorzustellen. Zwar kann
man sich den Himmel ganz mit Wolken überzogen denken; aber hierin ist
nichts, was dem Worte »Stern« oder der 0 entspräche. Man stellt sich nur
eine Sachlage vor, die zu dem Urtheile veranlassen kann: es ist jetzt kein
Stern zu sehen.

§ 59. Jedes Wort erweckt vielleicht irgendeine Vorstellung in uns, sogar
ein solches wie »nur«; aber sie braucht nicht dem Inhalte des Wortes zu
entsprechen; sie kann in andern Menschen eine ganz andere sein. Man wird
sich dann wohl eine Sachlage vorstellen, die zu einem Satze auffordert, in
welchem das Wort vorkommt; oder es ruft etwa das gesprochene Wort das
geschriebene ins Gedächtniss zurück.
Dies findet nicht nur bei Partikeln statt. Es unterliegt wohl keinem
Zweifel, dass wir keine Vorstellung unserer Entfernung von der Sonne
haben. Denn, wenn wir auch die Regel kennen, wie oft wir einen Maasstab
vervielfältigen müssen, so misslingt doch jeder Versuch, nach dieser Regel
uns ein Bild zu entwerfen, das auch nur einigermaassen dem Gewollten
nahe kommt. Das ist aber kein Grund, die Richtigkeit der Rechnung zu
bezweifeln, durch welche die Entfernung gefunden ist, und hindert uns in
keiner Weise, weitere Schlüsse auf das Bestehen dieser Entfernung zu
gründen.

§ 60. Selbst ein so concretes Ding wie die Erde können wir uns nicht so
vorstellen, wie wir erkannt haben, dass es ist; sondern wir begnügen uns mit
einer Kugel von mässiger Grösse, die uns als Zeichen für die Erde gilt; aber
wir wissen, dass diese sehr davon verschieden ist. Obwohl nun unsere
Vorstellung das Gewollte oft gar nicht trifft, so urtheilen wir doch mit
grosser Sicherheit über einen Gegenstand wie die Erde auch da, wo die
Grösse in Betracht kommt.
Wir werden durch das Denken gar oft über das Vorstellbare
hinausgeführt, ohne damit die Unterlage für unsere Schlüsse zu verlieren.
Wenn auch, wie es scheint, uns Menschen Denken ohne Vorstellungen
unmöglich ist, so kann doch deren Zusammenhang mit dem Gedachten
ganz äusserlich, willkührlich und conventionell sein.
Es ist also die Unvorstellbarkeit des Inhaltes eines Wortes kein Grund,
ihm jede Bedeutung abzusprechen oder es vom Gebrauche auszuschliessen.
Der Schein des Gegentheils entsteht wohl dadurch, dass wir die Wörter
vereinzelt betrachten und nach ihrer Bedeutung fragen, für welche wir dann
eine Vorstellung nehmen. So scheint ein Wort keinen Inhalt zu haben, für
welches uns ein entsprechendes inneres Bild fehlt. Man muss aber immer
einen vollständigen Satz ins Auge fassen. Nur in ihm haben die Wörter
eigentlich eine Bedeutung. Die innern Bilder, die uns dabei etwa

vorschweben, brauchen nicht den logischen Bestandtheilen des Urtheils zu
entsprechen. Es genügt, wenn der Satz als Ganzes einen Sinn hat; dadurch
erhalten auch seine Theile ihren Inhalt.
Diese Bemerkung scheint mir geeignet, auf manche schwierige Begriffe
wie den des Unendlichkleinen 80 ein Licht zu werfen, und ihre Tragweite
beschränkt sich wohl nicht auf die Mathematik.
Die Selbständigkeit, die ich für die Zahl in Anspruch nehme, soll nicht
bedeuten, dass ein Zahlwort ausser dem Zusammenhange eines Satzes
etwas bezeichne, sondern ich will damit nur dessen Gebrauch als Praedicat
oder Attribut ausschliessen, wodurch seine Bedeutung etwas verändert
wird.

§ 61. Aber, wendet man vielleicht ein, mag auch die Erde eigentlich
unvorstellbar sein, so ist sie doch ein äusseres Ding, das einen bestimmten
Ort hat; aber wo ist die Zahl 4? sie ist weder ausser uns noch in uns. Das ist
in räumlichem Sinne verstanden richtig. Eine Ortsbestimmung der Zahl 4
hat keinen Sinn; aber daraus folgt nur, dass sie kein räumlicher Gegenstand
ist, nicht, dass sie überhaupt keiner ist. Nicht jeder Gegenstand ist
irgendwo. Auch unsere Vorstellungen 81 sind in diesem Sinne nicht in uns
(subcutan). Da sind Ganglienzellen, Blutkörperchen und dergl., aber keine
Vorstellungen. Räumliche Praedicate sind auf sie nicht anwendbar: die eine
ist weder rechts noch links von der andern; Vorstellungen haben keine in
Millimetern angebbaren Entfernungen von einander. Wenn wir sie dennoch
in uns nennen, so wollen wir sie damit als subjectiv bezeichnen.
Aber wenn auch das Subjective keinen Ort hat, wie ist es möglich, dass
die objective Zahl 4 nirgendwo sei? Nun ich behaupte, dass darin gar kein
Widerspruch liegt. Sie ist in der That genau dieselbe für jeden, der sich mit
ihr beschäftigt; aber dies hat mit Räumlichkeit nichts zu schaffen. Nicht
jeder objective Gegenstand hat einen Ort.

Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muss man den Sinn
einer Zahlengleichung feststellen.

§ 62. Wie soll uns denn eine Zahl gegeben sein, wenn wir keine
Vorstellung oder Anschauung von ihr haben können? Nur im
Zusammenhange eines Satzes bedeuten die Wörter etwas. Es wird also

darauf ankommen, den Sinn eines Satzes zu erklären, in dem ein Zahlwort
vorkommt. Das giebt zunächst noch viel der Willkühr anheim. Aber wir
haben schon festgestellt, dass unter den Zahlwörtern selbständige
Gegenstände zu verstehen sind. Damit ist uns eine Gattung von Sätzen
gegeben, die einen Sinn haben müssen, der Sätze, welche ein
Wiedererkennen ausdrücken. Wenn uns das Zeichen a einen Gegenstand
bezeichnen soll, so müssen wir ein Kennzeichen haben, welches überall
entscheidet, ob b dasselbe sei wie a, wenn es auch nicht immer in unserer
Macht steht, dies Kennzeichen anzuwenden. In unserm Falle müssen wir
den Sinn des Satzes
»die Zahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist dieselbe,
welche dem Begriffe G zukommt«
erklären; d. h. wir müssen den Inhalt dieses Satzes in anderer Weise
wiedergeben, ohne den Ausdruck
»die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt«
zu gebrauchen. Damit geben wir ein allgemeines Kennzeichen für die
Gleichheit von Zahlen an. Nachdem wir so ein Mittel erlangt haben, eine
bestimmte Zahl zu fassen und als dieselbe wiederzuerkennen, können wir
ihr ein Zahlwort zum Eigennamen geben.

§ 63. Ein solches Mittel nennt schon Hume 82: »Wenn zwei Zahlen so
combinirt werden, dass die eine immer eine Einheit hat, die jeder Einheit
der andern entspricht, so geben wir sie als gleich an.« Es scheint in neuerer
Zeit die Meinung unter den Mathematikern 83 vielfach Anklang gefunden zu
haben, dass die Gleichheit der Zahlen mittels der eindeutigen Zuordnung
definirt werden müsse. Aber es erheben sich zunächst logische Bedenken
und Schwierigkeiten, an denen wir nicht ohne Prüfung vorbeigehen dürfen.
Das Verhältniss der Gleichheit kommt nicht nur bei Zahlen vor. Daraus
scheint zu folgen, dass es nicht für diesen Fall besonders erklärt werden
darf. Man sollte denken, dass der Begriff der Gleichheit schon vorher
feststände, und dass dann aus ihm und dem Begriffe der Anzahl sich
ergeben müsste, wann Anzahlen einander gleich wären, ohne dass es dazu
noch einer besondern Definition bedürfte.
Hiergegen ist zu bemerken, dass für uns der Begriff der Anzahl noch
nicht feststeht, sondern erst mittels unserer Erklärung bestimmt werden soll.

Unsere Absicht ist, den Inhalt eines Urtheils zu bilden, der sich so als eine
Gleichung auffassen lässt, dass jede Seite dieser Gleichung eine Zahl ist.
Wir wollen also nicht die Gleichheit eigens für diesen Fall erklären, sondern
mittels des schon bekannten Begriffes der Gleichheit, das gewinnen, was als
gleich zu betrachten ist. Das scheint freilich eine sehr ungewöhnliche Art
der Definition zu sein, welche wohl von den Logikern noch nicht genügend
beachtet ist; dass sie aber nicht unerhört ist, mögen einige Beispiele zeigen.

§ 64. Das Urtheil: »die Gerade a ist parallel der Gerade b,« in Zeichen:
a ∥ b,
kann als Gleichung aufgefasst werden. Wenn wir dies thun, erhalten wir den
Begriff der Richtung und sagen: »die Richtung der Gerade a ist gleich der
Richtung der Gerade b«. Wir ersetzen also das Zeichen ∥ durch das
allgemeinere =, indem wir den besondern Inhalt des ersteren an a und b
vertheilen. Wir zerspalten den Inhalt in anderer als der ursprünglichen
Weise und gewinnen dadurch einen neuen Begriff. Oft fasst man freilich die
Sache umgekehrt auf, und manche Lehrer definiren: parallele Geraden sind
solche von gleicher Richtung. Der Satz: »wenn zwei Geraden einer dritten
parallel sind, so sind sie einander parallel« lässt sich dann mit Berufung auf
den ähnlich lautenden Gleichheitssatz sehr bequem beweisen. Nur schade,
dass der wahre Sachverhalt damit auf den Kopf gestellt wird! Denn alles
Geometrische muss doch wohl ursprünglich anschaulich sein. Nun frage
ich, ob jemand eine Anschauung von der Richtung einer Gerade hat. Von
der Gerade wohl! aber unterscheidet man in der Anschauung von dieser
Gerade noch ihre Richtung? Schwerlich! Dieser Begriff wird erst durch eine
an die Anschauung anknüpfende geistige Thätigkeit gefunden. Dagegen hat
man eine Vorstellung von parallelen Geraden. Jener Beweis kommt nur
durch eine Erschleichung zu Stande, indem man durch den Gebrauch des
Wortes »Richtung« das zu Beweisende voraussetzt; denn wäre der Satz:
»wenn zwei Geraden einer dritten parallel sind, so sind sie einander
parallel« unrichtig, so könnte man a ∥ b nicht in eine Gleichung
verwandeln.
So kann man aus dem Parallelismus von Ebenen einen Begriff erhalten,
der dem der Richtung bei Geraden entspricht. Ich habe dafür den Namen
»Stellung« gelesen. Aus der geometrischen Aehnlichkeit geht der Begriff
der Gestalt hervor, so dass man z. B. statt »die beiden Dreiecke sind

ähnlich« sagt: »die beiden Dreiecke haben gleiche Gestalt« oder »die
Gestalt des einen Dreiecks ist gleich der Gestalt des andern«. So kann man
auch aus der collinearen Verwandtschaft geometrischer Gebilde einen
Begriff gewinnen, für den ein Name wohl noch fehlt.

§ 65. Um nun z. B. vom Parallelismus 84 auf den Begriff der Richtung zu
kommen, versuchen wir folgende Definition:
der Satz
»die Gerade a ist parallel der Gerade b«
sei gleichbedeutend mit
»die Richtung der Gerade a ist gleich der Richtung
der Gerade b«.
Diese Erklärung weicht insofern von dem Gewohnten ab, als sie
scheinbar die schon bekannte Beziehung der Gleichheit bestimmt, während
sie in Wahrheit den Ausdruck »die Richtung der Gerade a« einführen soll,
der nur nebensächlich vorkommt. Daraus entspringt ein zweites Bedenken,
ob wir nicht durch eine solche Festsetzung in Widersprüche mit den
bekannten Gesetzen der Gleichheit verwickelt werden könnten. Welches
sind diese? Sie werden als analytische Wahrheiten aus dem Begriffe selbst
entwickelt werden können. Nun definirt Leibniz 85:
»Eadem sunt, quorum unum potest substitui alteri salva veritate«.
Diese Erklärung eigne ich mir für die Gleichheit an. Ob man wie Leibniz
»dasselbe« sagt oder »gleich«, ist unerheblich. »Dasselbe« scheint zwar
eine vollkommene Uebereinstimmung, »gleich« nur eine in dieser oder
jener Hinsicht auszudrücken; man kann aber eine solche Redeweise
annehmen, dass dieser Unterschied wegfällt, indem man z. B. statt »die
Strecken sind in der Länge gleich« sagt »die Länge der Strecken ist gleich«
oder »dieselbe,« statt »die Flächen sind in der Farbe gleich« »die Farbe der
Flächen ist gleich«. Und so haben wir das Wort oben in den Beispielen
gebraucht. In der allgemeinen Ersetzbarkeit sind nun in der That alle
Gesetze der Gleichheit enthalten.
Um unsern Definitionsversuch der Richtung einer Gerade zu
rechtfertigen, müssten wir also zeigen, dass man
die Richtung von a

überall durch
die Richtung von b
ersetzen könne, wenn die Gerade a der Gerade b parallel ist. Dies wird
dadurch vereinfacht, dass man zunächst von der Richtung einer Gerade
keine andere Aussage kennt als die Uebereinstimmung mit der Richtung
einer andern Gerade. Wir brauchten also nur die Ersetzbarkeit in einer
solchen Gleichheit nachzuweisen oder in Inhalten, welche solche
Gleichheiten als Bestandtheile 86 enthalten würden. Alle andern Aussagen
von Richtungen müssten erst erklärt werden und für diese Definitionen
können wir die Regel aufstellen, dass die Ersetzbarkeit der Richtung einer
Gerade durch die einer ihr parallelen gewahrt bleiben muss.

§ 66. Aber noch ein drittes Bedenken erhebt sich gegen unsern
Definitionsversuch. In dem Satze
»die Richtung von a ist gleich der Richtung von b«
erscheint die Richtung von a als Gegenstand 87 und wir haben in unserer
Definition ein Mittel, diesen Gegenstand wiederzuerkennen, wenn er etwa
in einer andern Verkleidung etwa als Richtung von b auftreten sollte. Aber
dies Mittel reicht nicht für alle Fälle aus. Man kann z. B. danach nicht
entscheiden, ob England dasselbe sei wie die Richtung der Erdaxe. Man
verzeihe dies unsinnig scheinende Beispiel! Natürlich wird niemand
England mit der Richtung der Erdaxe verwechseln; aber dies ist nicht das
Verdienst unserer Erklärung. Diese sagt nichts darüber, ob der Satz
»die Richtung von a ist gleich q«
zu bejahen oder zu verneinen ist, wenn nicht q selbst in der Form »die
Richtung von b« gegeben ist. Es fehlt uns der Begriff der Richtung; denn
hätten wir diesen, so könnten wir festsetzen; wenn q keine Richtung ist, so
ist unser Satz zu verneinen; wenn q eine Richtung ist, so entscheidet die
frühere Erklärung. Es liegt nun nahe zu erklären:
q ist eine Richtung, wenn es eine Gerade b giebt,
deren Richtung q ist.
Aber nun ist klar, dass wir uns im Kreise gedreht haben. Um diese
Erklärung anwenden zu können, müssen wir schon in jedem Falle wissen,
ob der Satz

»q ist gleich der Richtung von b«
zu bejahen oder zu verneinen wäre.

§ 67. Wenn man sagen wollte: q ist eine Richtung, wenn es durch die
oben ausgesprochene Definition eingeführt ist, so würde man die Weise,
wie der Gegenstand q eingeführt ist, als dessen Eigenschaft behandeln, was
sie nicht ist. Die Definition eines Gegenstandes sagt als solche eigentlich
nichts von ihm aus, sondern setzt die Bedeutung eines Zeichens fest.
Nachdem das geschehen ist, verwandelt sie sich in ein Urtheil, das von dem
Gegenstande handelt, aber führt ihn nun auch nicht mehr ein und steht mit
andern Aussagen von ihm in gleicher Linie. Man würde, wenn man diesen
Ausweg wählte, voraussetzen, dass ein Gegenstand nur auf eine einzige
Weise gegeben werden könnte; denn sonst würde daraus, dass q nicht durch
unsere Definition eingeführt ist, nicht folgen, dass es nicht so eingeführt
werden könnte. Alle Gleichungen würden darauf hinauskommen, dass das
als dasselbe anerkannt würde, was uns auf dieselbe Weise gegeben ist. Aber
dies ist so selbstverständlich und so unfruchtbar, dass es nicht verlohnte, es
auszusprechen. Man könnte in der That keinen Schluss daraus ziehen, der
von jeder der Voraussetzungen verschieden wäre. Die vielseitige und
bedeutsame Verwendbarkeit der Gleichungen beruht vielmehr darauf, dass
man etwas wiedererkennen kann, obwohl es auf verschiedene Weise
gegeben ist.

§ 68. Da wir so keinen scharf begrenzten Begriff der Richtung und aus
denselben Gründen keinen solchen der Anzahl gewinnen können, versuchen
wir einen andern Weg. Wenn die Gerade a der Gerade b parallel ist, so ist
der Umfang des Begriffes »Gerade parallel der Gerade a« gleich dem
Umfange des Begriffes »Gerade parallel der Gerade b«; und umgekehrt:
wenn die Umfänge der genannten Begriffe gleich sind, so ist a parallel b.
Versuchen wir also zu erklären:

die Richtung der Gerade a ist der Umfang des Begriffes
»parallel der Gerade a«;
die Gestalt des Dreiecks d ist der Umfang des Begriffes Ȋhnlich
dem Dreiecke d«!
Wenn wir dies auf unsern Fall anwenden wollen, so haben wir an die
Stelle der Geraden oder der Dreiecke Begriffe zu setzen und an die Stelle
des Parallelismus oder der Aehnlichkeit die Möglichkeit die unter den einen
den unter den andern Begriff fallenden Gegenständen beiderseits eindeutig
zuzuordnen. Ich will der Kürze wegen den Begriff F dem Begriffe G
gleichzahlig nennen, wenn diese Möglichkeit vorliegt, muss aber bitten,
dies Wort als eine willkührlich gewählte Bezeichnungsweise zu betrachten,
deren Bedeutung nicht der sprachlichen Zusammensetzung, sondern dieser
Festsetzung zu entnehmen ist.
Ich definire demnach:
die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang 88
des Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe F«

§ 69. Dass diese Erklärung zutreffe, wird zunächst vielleicht wenig
einleuchten. Denkt man sich unter dem Umfange eines Begriffes nicht
etwas Anderes? Was man sich darunter denkt, erhellt aus den
ursprünglichen Aussagen, die von Begriffsumfängen gemacht werden
können. Es sind folgende:
1. die Gleichheit,
2. dass der eine umfassender als der andere sei.
Nun ist der Satz:
der Umfang des Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe F« ist
gleich dem Umfange des Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe
G«
immer dann und nur dann wahr, wenn auch der Satz
»dem Begriffe F kommt dieselbe Zahl wie dem Begriffe G zu«
wahr ist. Hier ist also voller Einklang.

Man sagt zwar nicht, dass eine Zahl umfassender als eine andere sei in
dem Sinne, wie der Umfang eines Begriffes umfassender als der eines
andern ist; aber der Fall, dass
der Umfang des Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe F«
umfassender sei als
der Umfang des Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe G«
kann auch gar nicht vorkommen; sondern, wenn alle Begriffe, die dem G
gleichzahlig sind, auch dem F gleichzahlig sind, so sind auch umgekehrt
alle Begriffe, die dem F gleichzahlig sind, dem G gleichzahlig. Dies
»umfassender« darf natürlich nicht mit dem »grösser« verwechselt werden,
dass bei Zahlen vorkommt.
Freilich ist noch der Fall denkbar, dass der Umfang des Begriffes
»gleichzahlig dem Begriffe F« umfassender oder weniger umfassend wäre
als ein anderer Begriffsumfang, der dann nach unserer Erklärung keine
Anzahl sein könnte; und es ist nicht üblich, eine Anzahl umfassender oder
weniger umfassend als den Umfang eines Begriffes zu nennen; aber es steht
auch nichts im Wege, eine solche Redeweise anzunehmen, falls solches
einmal vorkommen sollte.

Ergänzung und Bewährung unserer Definition.

§ 70. Definitionen bewähren sich durch ihre Fruchtbarkeit. Solche, die
ebensogut wegbleiben könnten, ohne eine Lücke in der Beweisführung zu
öffnen, sind als völlig werthlos zu verwerfen.
Versuchen wir also, ob sich bekannte Eigenschaften der Zahlen aus
unserer Erklärung der Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ableiten
lassen! Wir werden uns hier mit den einfachsten begnügen.
Dazu ist es nöthig, die Gleichzahligkeit noch etwas genauer zu fassen.
Wir erklärten sie mittels der beiderseits eindeutigen Zuordnung, und wie ich
diesen Ausdruck verstehen will, ist jetzt darzulegen, weil man leicht etwas
Anschauliches darin vermuthen könnte.
Betrachten wir folgendes Beispiel! Wenn ein Kellner sicher sein will,
dass er ebensoviele Messer als Teller auf den Tisch legt, braucht er weder
diese noch jene zu zählen, wenn er nur rechts neben jeden Teller ein Messer

legt, sodass jedes Messer auf dem Tische sich rechts neben einem Teller
befindet. Die Teller und Messer sind so beiderseits eindeutig einander
zugeordnet und zwar durch das gleiche Lagenverhältniss. Wenn wir in dem
Satze
»α liegt rechts neben A«
für α und A andere und andere Gegenstände eingesetzt denken, so macht
der hierbei unverändert bleibende Theil des Inhalts das Wesen der
Beziehung aus. Verallgemeinern wir dies!
Indem wir von einem beurtheilbaren Inhalte, der von einem Gegenstande
a und von einem Gegenstande b handelt, a und b absondern, so behalten wir
einen Beziehungsbegriff übrig, der demnach in doppelter Weise
ergänzungsbedürftig ist. Wenn wir in dem Satze:
»die Erde hat mehr Masse als der Mond«
»die Erde« absondern, so erhalten wir den Begriff »mehr Masse als der
Mond habend«. Wenn wir dagegen den Gegenstand »der Mond« absondern,
gewinnen wir den Begriff »weniger Masse als die Erde habend«. Sondern
wir beide zugleich ab, so bleibt ein Beziehungsbegriff zurück, der für sich
allein ebensowenig wie ein einfacher Begriff einen Sinn hat: er verlangt
immer eine Ergänzung zu einem beurtheilbaren Inhalte. Aber diese kann in
verschiedener Weise geschehen: statt Erde und Mond kann ich z. B. Sonne
und Erde setzen, und hierdurch wird eben die Absonderung bewirkt.
Die einzelnen Paare zugeordneter Gegenstände verhalten sich in
ähnlicher Weise – man könnte sagen als Subjecte – zu dem
Beziehungsbegriffe, wie der einzelne Gegenstand zu dem Begriffe, unter
den er fällt. Das Subject ist hier ein zusammengesetztes. Zuweilen, wenn
die Beziehung eine umkehrbare ist, kommt dies auch sprachlich zum
Ausdrucke wie in dem Satze »Peleus und Thetis waren die Eltern des
Achilleus« 89. Dagegen wäre es z. B. nicht gut möglich, den Inhalt des
Satzes »die Erde ist grösser als der Mond« so wiederzugeben, dass »die
Erde und der Mond« als zusammengesetztes Subject erschiene, weil das
»und« immer eine gewisse Gleichstellung andeutet. Aber dies thut nichts
zur Sache.
Der Beziehungsbegriff gehört also wie der einfache der reinen Logik an.
Es kommt hier nicht der besondere Inhalt der Beziehung in Betracht,

sondern allein die logische Form. Und was von dieser ausgesagt werden
kann, dessen Wahrheit ist analytisch und wird a priori erkannt. Dies gilt
von den Beziehungsbegriffen wie von den andern.
Wie
»a fällt unter den Begriff F«
die allgemeine Form eines beurtheilbaren Inhalts ist, der von einem
Gegenstande a handelt, so kann man
»a steht in der Beziehung φ zu b«
als allgemeine Form für einen beurtheilbaren Inhalt annehmen, der von dem
Gegenstande a und von dem Gegenstande b handelt.

§ 71. Wenn nun jeder Gegenstand, der unter den Begriff F fällt, in der
Beziehung φ zu einem unter den Begriff G fallenden Gegenstande steht,
und wenn zu jedem Gegenstande, der unter G fällt, ein unter F fallender
Gegenstand in der Beziehung φ steht, so sind die unter F und G fallenden
Gegenstände durch die Beziehung φ einander zugeordnet.
Es kann noch gefragt werden, was der Ausdruck
»jeder Gegenstand, der unter F fällt, steht in der Beziehung φ zu
einem unter G fallenden Gegenstande«
bedeute, wenn gar kein Gegenstand unter F fällt. Ich verstehe darunter:
die beiden Sätze
»a fällt unter F«

und
»a steht zu keinem unter G fallenden Gegenstande in der
Beziehung φ«
können nicht mit einander bestehen, was auch a bezeichne, sodass entweder
der erste oder der zweite oder beide falsch sind. Hieraus geht hervor, dass
»jeder Gegenstand, der unter F fällt, in der Beziehung φ zu einem unter G
fallenden Gegenstande steht,« wenn es keinen unter F fallenden Gegenstand
giebt, weil dann der erste Satz
»a fällt unter F«

immer zu verneinen ist, was auch a sein mag.
Ebenso bedeutet
»zu jedem Gegenstande, der unter G fällt, steht ein unter F
fallender in der Beziehung φ«,
dass die beiden Sätze
»a fällt unter G«

und
»kein unter F fallender Gegenstand steht zu a in der Beziehung
φ«
nicht mit einander bestehen können, was auch a sein möge.

§ 72. Wir haben nun gesehen, wann die unter die Begriffe F und G
fallenden Gegenstände einander durch die Beziehung φ zugeordnet sind.
Hier soll nun diese Zuordnung eine beiderseits eindeutige sein. Darunter
verstehe ich, dass folgende beiden Sätze gelten:
1. wenn d in der Beziehung φ zu a steht, und wenn d in der Beziehung φ
zu e steht, so ist allgemein, was auch d, a und e sein mögen, a dasselbe
wie e;
2. wenn d in der Beziehung φ zu a steht, und wenn b in der Beziehung φ
zu a steht, so ist allgemein, was auch d, b und a sein mögen, d dasselbe
wie b.
Hiermit haben wir die beiderseits eindeutige Zuordnung auf rein logische
Verhältnisse zurückgeführt und können nun so definiren:
der Ausdruck
»der Begriff F ist gleichzahlig dem Begriffe G«
sei gleichbedeutend mit dem Ausdrucke
»es giebt eine Beziehung φ, welche die unter den Begriff F
fallenden Gegenstände den unter G fallenden Gegenständen
beiderseits eindeutig zuordnet«.
Ich wiederhole:

die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang
des Begriffes »gleichzahlig dem Begriffe F«
und füge hinzu:
der Ausdruck
»n ist eine Anzahl«
sei gleichbedeutend mit dem Ausdrucke
»es giebt einen Begriff der Art, dass n die Anzahl ist, welche
ihm zukommt«.
So ist der Begriff der Anzahl erklärt, scheinbar freilich durch sich selbst,
aber dennoch ohne Fehler, weil »die Anzahl, welche dem Begriffe F
zukommt« schon erklärt ist.

§ 73. Wir wollen nun zunächst zeigen, dass die Anzahl, welche dem
Begriffe F zukommt, gleich der Anzahl ist, welche dem Begriffe G
zukommt, wenn der Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig ist. Dies klingt
freilich wie eine Tautologie, ist es aber nicht, da die Bedeutung des Wortes
»gleichzahlig« nicht aus der Zusammensetzung, sondern aus der eben
gegebenen Erklärung hervorgeht.
Nach unserer Definition ist zu zeigen, dass der Umfang des Begriffes
»gleichzahlig dem Begriffe F« derselbe ist wie der Umfang des Begriffes
»gleichzahlig dem Begriffe G«, wenn der Begriff F gleichzahlig dem
Begriffe G ist. Mit andern Worten: es muss bewiesen werden, dass unter
dieser Voraussetzung die Sätze allgemein gelten:
wenn der Begriff H gleichzahlig dem Begriffe F ist, so ist er
auch gleichzahlig dem Begriffe G;
und
wenn der Begriff H dem Begriffe G gleichzahlig ist, so ist er
auch gleichzahlig dem Begriffe F.
Der erste Satz kommt darauf hinaus, dass es eine Beziehung giebt,
welche die unter den Begriff H fallenden Gegenstände den unter den
Begriff G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet, wenn es eine Beziehung
φ giebt, welche die unter den Begriff F fallenden Gegenstände den unter
den Begriff G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet, und wenn es eine

Beziehung ψ giebt, welche die unter den Begriff H fallenden Gegenstände
den unter den Begriff F fallenden beiderseits eindeutig zuordnet. Folgende
Anordnung der Buchstaben wird dies übersichtlicher machen:
H ψ F φ G.
Eine solche Beziehung kann in der That angegeben werden: sie liegt in
dem Inhalte
»es giebt einen Gegenstand, zu dem c in der Beziehung ψ steht,
und der zu b in der Beziehung φ steht,«
wenn wir davon c und b absondern (als Beziehungspunkte betrachten). Man
kann zeigen, dass diese Beziehung eine beiderseits eindeutige ist, und dass
sie die unter den Begriff H fallenden Gegenstände den unter den Begriff G
fallenden zuordnet.
In ähnlicher Weise kann auch der andere Satz bewiesen werden 90. Diese
Andeutungen werden hoffentlich genügend erkennen lassen, dass wir
hierbei keinen Beweisgrund der Anschauung zu entnehmen brauchen, und
dass sich mit unsern Definitionen etwas machen lässt.

§ 74. Wir können nun zu den Erklärungen der einzelnen Zahlen
übergehn.
Weil unter den Begriff »sich selbst ungleich« nichts fällt, erkläre ich:
0 ist die Anzahl, welche dem Begriffe »sich selbst ungleich«
zukommt.
Vielleicht nimmt man daran Anstoss, dass ich hier von einem Begriffe
spreche. Man wendet vielleicht ein, dass ein Widerspruch darin enthalten
sei, und erinnert an die alten Bekannten das hölzerne Eisen und den
viereckigen Kreis. Nun ich meine, dass die gar nicht so schlimm sind, wie
sie gemacht werden. Zwar nützlich werden sie grad nicht sein; aber schaden
können sie auch nichts, wenn man nur nicht voraussetzt, dass etwas unter
sie falle; und das thut man durch den blossen Gebrauch der Begriffe noch
nicht. Dass ein Begriff einen Widerspruch enthalte, ist nicht immer so
offensichtlich, dass es keiner Untersuchung bedürfte; dazu muss man ihn
erst haben und logisch ebenso wie jeden andern behandeln. Alles was von
Seiten der Logik und für die Strenge der Beweisführung von einem Begriffe
verlangt werden kann, ist seine scharfe Begrenzung, dass für jeden

Gegenstand bestimmt sei, ob er unter ihn falle oder nicht. Dieser
Anforderung genügen nun die einen Widerspruch enthaltenden Begriffe wie
»sich selbst ungleich« durchaus; denn man weiss von jedem Gegenstande,
dass er nicht unter einen solchen fällt 91.
Ich brauche das Wort »Begriff« in der Weise, dass
»a füllt unter den Begriff F«
die allgemeine Form eines beurtheilbaren Inhalts ist, der von einem
Gegenstande a handelt und der beurtheilbar bleibt, was man auch für a
setze. Und in diesem Sinne ist
»a fällt unter den Begriff »»sich selbst ungleich«««
gleichbedeutend mit
»a ist sich selbst ungleich«
oder
»a ist nicht gleich a«.
Ich hätte zur Definition der 0 jeden andern Begriff nehmen können, unter
den nichts fällt. Es kam mir aber darauf an, einen solchen zu wählen, von
dem dies rein logisch bewiesen werden kann; und dazu bietet sich am
bequemsten »sich selbst ungleich« dar, wobei ich für »gleich« die vorhin
angeführte Erklärung Leibnizens gelten lasse, die rein logisch ist.

§ 75. Es muss sich nun mittels der früheren Festsetzungen beweisen
lassen, dass jeder Begriff, unter den nichts fällt, gleichzahlig mit jedem
Begriffe ist, unter den nichts fällt, und nur mit einem solchen, woraus folgt,
dass 0 die Anzahl ist, welche einem solchen Begriffe zukommt, und dass
kein Gegenstand unter einen Begriff fällt, wenn die Zahl, welche diesem
zukommt, die 0 ist.
Nehmen wir an, weder unter den Begriff F noch unter den Begriff G falle
ein Gegenstand, so haben wir, um die Gleichzahligkeit zu beweisen, eine
Beziehung φ nöthig, von der die Sätze gelten:
jeder Gegenstand, der unter F fällt, steht in der Beziehung φ zu
einem Gegenstande, der unter G fällt; zu jedem Gegenstande,
der unter G fällt, steht ein unter F fallender in der Beziehung φ.

Nach dem, was früher über die Bedeutung dieser Ausdrücke gesagt ist,
erfüllt bei unsern Voraussetzungen jede Beziehung diese Bedingungen, also
auch die Gleichheit, die obendrein beiderseits eindeutig ist; denn es gelten
die beiden oben dafür verlangten Sätze.
Wenn dagegen unter G ein Gegenstand fällt z. B. a, während unter F
keiner fällt, so bestehen die beiden Sätze
»a fällt unter G«

und

»kein unter F fallender Gegenstand steht zu a in
der Beziehung φ«
mit einander für jede Beziehung φ; denn der erste ist nach der ersten
Voraussetzung richtig und der zweite nach der zweiten. Wenn es nämlich
keinen unter F fallenden Gegenstand giebt, so giebt es auch keinen solchen,
der in irgendeiner Beziehung zu a stände. Es giebt also keine Beziehung,
welche nach unserer Erklärung die unter F den unter G fallenden
Gegenständen zuordnete, und demnach sind die Begriffe F und G
ungleichzahlig.

§ 76. Ich will nun die Beziehung erklären, in der je zwei benachbarte
Glieder der natürlichen Zahlenreihe zu einander stehen. Der Satz:
»es giebt einen Begriff F und einen unter ihn fallenden
Gegenstand x der Art, dass die Anzahl, welche dem Begriffe F
zukommt, n ist, und dass die Anzahl, welche dem Begriffe
»»unter F fallend aber nicht gleich x«« zukommt, m ist«
sei gleichbedeutend mit
»n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m.«
Ich vermeide den Ausdruck »n ist die auf m nächstfolgende Anzahl,«
weil zur Rechtfertigung des bestimmten Artikels erst zwei Sätze bewiesen
werden müssten 92. Aus demselben Grunde sage ich hier noch nicht
»n = m + 1«; denn auch durch das Gleichheitszeichen wird (m + 1) als
Gegenstand bezeichnet.

§ 77. Um nun auf die Zahl 1 zu kommen, müssen wir zunächst zeigen,
dass es etwas giebt, was in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf 0
folgt.
Betrachten wir den Begriff – oder, wenn man lieber will, das Prädicat –
»gleich 0«! Unter diesen fällt die 0. Unter den Begriff »gleich 0 aber nicht
gleich 0« fällt dagegen kein Gegenstand, sodass 0 die Anzahl ist, welche
diesem Begriffe zukommt. Wir haben demnach einen Begriff »gleich 0«
und einen unter ihn fallenden Gegenstand 0, von denen gilt:
die Anzahl, welche dem Begriffe »gleich O« zukommt, ist
gleich der Anzahl, welche dem Begriffe »gleich 0« zukommt;
die Anzahl, welche dem Begriffe »gleich 0 aber nicht gleich 0«
zukommt, ist die 0.
Also folgt nach unserer Erklärung die Anzahl, welche dem Begriffe
»gleich 0« zukommt, in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf 0.
Wenn wir nun definiren:
1 ist die Anzahl, welche dem Begriffe »gleich 0« zukommt,
so können wir den letzten Satz so ausdrücken:
1 folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf 0.
Es ist vielleicht nicht überflüssig zu bemerken, dass die Definition der 1
zu ihrer objectiven Rechtmässigkeit keine beobachtete Thatsache 93
voraussetzt; denn man verwechselt leicht damit, dass gewisse subjective
Bedingungen erfüllt sein müssen, um uns die Definition möglich zu
machen, und dass uns Sinneswahrnehmungen dazu veranlassen 94. Dies kann
immerhin zutreffen, ohne dass die abgeleiteten Sätze aufhören, a priori zu
sein. Zu solchen Bedingungen gehört z. B. auch, dass Blut in hinreichender
Fülle und richtiger Beschaffenheit das Gehirn durchströme – wenigstens
soviel wir wissen; – aber die Wahrheit unseres letzten Satzes ist davon
unabhängig; sie bleibt bestehen, auch wenn dies nicht mehr stattfindet; und
selbst, wenn alle Vernunftwesen einmal gleichzeitig in einen Winterschlaf
verfallen sollten, so würde sie nicht etwa so lange aufgehoben sein, sondern
ganz ungestört bleiben. Die Wahrheit eines Satzes ist eben nicht sein
Gedachtwerden.

§ 78. Ich lasse hier einige Sätze folgen, die mittels unserer Definitionen
zu beweisen sind. Der Leser wird leicht aber sehen, wie dies geschehen
kann.
1. Wenn a in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf 0 folgt, so ist
a = 1.
2. Wenn 1 die Anzahl ist, welche einem Begriffe zukommt, so giebt es
einen Gegenstand, der unter den Begriff fällt.
3. Wenn 1 die Anzahl ist, welche einem Begriffe F zukommt; wenn der
Gegenstand x unter den Begriff F fällt, und wenn y unter den Begriff F
fällt, so ist x = y; d. h. x ist dasselbe wie y.
4. Wenn unter einen Begriff F ein Gegenstand fällt, und wenn allgemein
daraus, dass x unter den Begriff F fällt, und dass y unter den Begriff F
fällt, geschlossen werden kann, dass x = y ist, so ist 1 die Anzahl,
welche dem Begriffe F zukommt.
5. Die Beziehung von m zu n, die durch den Satz:
»n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m«
gesetzt wird, ist eine beiderseits eindeutige.
Hiermit ist noch nicht gesagt, dass es zu jeder Anzahl eine andere
gebe, welche auf sie oder auf welche sie in der Zahlenreihe
unmittelbar folge.
6. Jede Anzahl ausser der 0 folgt in der natürlichen Zahlenreihe
unmittelbar auf eine Anzahl.

§ 79. Um nun beweisen zu können, dass auf jede Anzahl (n) in der
natürlichen Zahlenreihe eine Anzahl unmittelbar folge, muss man einen
Begriff aufweisen, dem diese letzte Anzahl zukommt. Wir wählen als diesen
»der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«,
der zunächst erklärt werden muss.
Ich wiederhole zunächst mit etwas andern Worten die Definition, welche
ich in meiner »Begriffsschrift« vom Folgen in einer Reihe gegeben habe.
Der Satz

»wenn jeder Gegenstand, zu dem x in der Beziehung φ steht,
unter den Begriff F fällt, und wenn daraus, dass d unter den
Begriff F fällt, allgemein, was auch d sei, folgt, dass jeder
Gegenstand, zu dem d in der Beziehung φ steht, unter den
Begriff F falle, so fällt y unter den Begriff F, was auch F für ein
Begriff sein möge«
sei gleichbedeutend mit
»y folgt in der φ-Reihe auf x«
und mit
»x geht in der φ-Reihe dem y vorher.«

§ 80. Einige Bemerkungen hierzu werden nicht überflüssig sein. Da die
Beziehung φ unbestimmt gelassen ist, so ist die Reihe nicht nothwendig in
der Form einer räumlichen und zeitlichen Anordnung zu denken, obwohl
diese Fälle nicht ausgeschlossen sind.
Man könnte vielleicht eine andere Erklärung für natürlicher halten z. B.:
wenn man von x ausgehend seine Aufmerksamkeit immer von einem
Gegenstande zu einem andern lenkt, zu welchem er in der Beziehung φ
steht, und wenn man auf diese Weise schliesslich y erreichen kann, so sagt
man y folge in der φ-Reihe auf x.
Dies ist eine Weise die Sache zu untersuchen, keine Definition. Ob wir
bei der Wanderung unserer Aufmerksamkeit y erreichen, kann von
mancherlei subjectiven Nebenumständen abhangen z. B. von der uns zu
Gebote stehenden Zeit, oder von unserer Kenntniss der Dinge. Ob y auf x in
der φ-Reihe folgt, hat im Allgemeinen gar nichts mit unserer
Aufmerksamkeit und den Bedingungen ihrer Fortbewegung zu thun,
sondern ist etwas Sachliches, ebenso wie ein grünes Blatt gewisse
Lichtstrahlen reflectirt, mögen sie nun in mein Auge fallen und Empfindung
hervorrufen oder nicht, ebenso wie ein Salzkorn in Wasser löslich ist, mag
ich es ins Wasser werfen und den Vorgang beobachten oder nicht, und wie
es selbst dann noch löslich ist, wenn ich gar nicht die Möglichkeit habe,
einen Versuch damit anzustellen.
Durch meine Erklärung ist die Sache aus dem Bereiche subjectiver
Möglichkeiten in das der objectiven Bestimmtheit erhoben. In der That:

dass aus gewissen Sätzen ein anderer folgt, ist etwas Objectives, von den
Gesetzen der Bewegung unserer Aufmerksamkeit Unabhängiges, und es ist
dafür einerlei, ob wir den Schluss wirklich machen oder nicht. Hier haben
wir ein Merkmal, das die Frage überall entscheidet, wo sie gestellt werden
kann, mögen wir auch im einzelnen Falle durch äussere Schwierigkeiten
verhindert sein, zu beurtheilen, ob es zutrifft. Das ist für die Sache selbst
gleichgiltig.
Wir brauchen nicht immer alle Zwischenglieder vom Anfangsgliede bis
zu einem Gegenstande zu durchlaufen, um gewiss zu sein, dass er auf jenes
folgt. Wenn z. B. gegeben ist, dass in der φ-Reihe b auf a und c auf b folgt,
so können wir nach unserer Erklärung schliessen, dass c auf a folgt, ohne
die Zwischenglieder auch nur zu kennen.
Durch diese Definition des Folgens in einer Reihe wird es allein möglich,
die Schlussweise von n auf (n + 1), welche scheinbar der Mathematik
eigenthümlich ist, auf die allgemeinen logischen Gesetze zurückzuführen.

§ 81. Wenn wir nun als Beziehung φ diejenige haben, in welche m zu n
gesetzt wird durch den Satz
»n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m,«
so sagen wir statt »φ-Reihe« »natürliche Zahlenreihe«.
Ich definire weiter:
der Satz
»y folgt in der φ-Reihe auf x oder y ist dasselbe wie x«
sei gleichbedeutend mit
»y gehört der mit x anfangenden φ-Reihe an«
und mit
»x gehört der mit y endenden φ-Reihe an«.
Demnach gehört a der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe an, wenn
n entweder in der natürlichen Zahlenreihe auf a folgt oder gleich a ist 95.

§ 82. Es ist nun zu zeigen, dass – unter einer noch anzugebenden
Bedingung – die Anzahl, welche dem Begriffe

»der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«
zukommt, auf n in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar folgt. Und damit
ist dann bewiesen, dass es eine Anzahl giebt, welche auf n in der
natürlichen Zahlenreihe unmittelbar folgt, dass es kein letztes Glied dieser
Reihe giebt. Offenbar kann dieser Satz auf empirischen Wege oder durch
Induction nicht begründet werden.
Es würde hier zu weit führen, den Beweis selbst zu geben. Nur sein Gang
mag kurz angedeutet werden. Es ist zu beweisen
1. wenn a in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf d folgt, und
wenn von d gilt:
die Anzahl, welche dem Begriffe
»der mit d endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«
zukommt, folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf d,
so gilt auch von a:
die Anzahl, welche dem Begriffe
»der mit a endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«
zukommt, folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf a.
Es ist zweitens zu beweisen, dass von der 0 das gilt, was in den eben
ausgesprochenen Sätzen von d und von a ausgesagt ist, und dann zu
folgern, dass es auch von n gilt, wenn n der mit 0 anfangenden natürlichen
Zahlenreihe angehört. Diese Schlussweise ist eine Anwendung der
Definition, die ich von dem Ausdrucke
»y folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf x«
gegeben habe, indem man als Begriff F jene gemeinsame Aussage von d
und von a, von 0 und von n zu nehmen hat.

§ 83. Um den Satz (1) des vorigen § zu beweisen, müssen wir zeigen,
dass a die Anzahl ist, welche dem Begriffe »der mit a endenden natürlichen
Zahlenreihe angehörend, aber nicht gleich a« zukommt. Und dazu ist
wieder zu beweisen, dass dieser Begriff gleichen Umfanges mit dem
Begriffe »der mit d endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend« ist.
Hierfür bedarf man des Satzes, dass kein Gegenstand, welcher der mit 0
anfangenden natürlichen Zahlenreihe angehört, auf sich selbst in der

natürlichen Zahlenreihe folgen kann. Dies muss ebenfalls mittels unserer
Definition des Folgens in einer Reihe, wie oben angedeutet ist, bewiesen
werden 96.
Wir werden hierdurch genöthigt, dem Satze, dass die Anzahl, welche dem
Begriffe
»der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«
zukommt, in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf n folgt, die
Bedingung hinzuzufügen, dass n der mit 0 anfangenden natürlichen
Zahlenreihe angehöre. Hierfür ist eine kürzere Ausdrucksweise
gebräuchlich, die ich nun erkläre:
der Satz
»n gehört der mit 0 anfangenden natürlichen Zahlenreihe an«
sei gleichbedeutend mit
»n ist eine endliche Anzahl«.
Dann können wir den letzten Satz so ausdrücken: keine endliche Anzahl
folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber.

Unendliche Anzahlen.

§ 84. Den endlichen gegenüber stehen die unendlichen Anzahlen. Die
Anzahl, welche dem Begriffe »endliche Anzahl« zukommt, ist eine
unendliche. Bezeichnen wir sie etwa durch ∞₁! Wäre sie eine endliche, so
könnte sie nicht auf sich selber in der natürlichen Zahlenreihe folgen. Man
kann aber zeigen, dass ∞₁ das thut.
In der so erklärten unendlichen Anzahl ∞₁ liegt nichts irgendwie
Geheimnissvolles oder Wunderbares. »Die Anzahl, welche dem Begriffe F
zukommt, ist ∞₁« heisst nun nichts mehr und nichts weniger als: es giebt
eine Beziehung, welche die unter den Begriff F fallenden Gegenstände den
endlichen Anzahlen beiderseits eindeutig zuordnet. Dies ist nach unseren
Erklärungen ein ganz klarer und unzweideutiger Sinn; und das genügt, um
den Gebrauch des Zeichens ∞₁ zu rechtfertigen und ihm eine Bedeutung zu
sichern. Dass wir uns keine Vorstellung von einer unendlichen Anzahl
bilden können, ist ganz unerheblich und würde endliche Anzahlen ebenso

treffen. Unsere Anzahl ∞₁ hat auf diese Weise etwas ebenso Bestimmtes
wie irgendeine endliche: sie ist zweifellos als dieselbe wiederzuerkennen
und von einer andern zu unterscheiden.

§ 85. Vor Kurzem hat G. Cantor in einer bemerkenswerthen Schrift 97
unendliche Anzahlen eingeführt. Ich stimme ihm durchaus in der
Würdigung der Ansicht bei, welche überhaupt nur die endlichen Anzahlen
als wirklich gelten lassen will. Sinnlich wahrnehmbar und räumlich sind
weder diese noch die Brüche, noch die negativen, irrationalen und
complexen Zahlen; und wenn man wirklich nennt, was auf die Sinne wirkt,
oder was wenigstens Wirkungen hat, die Sinneswahrnehmungen zur nähern
oder entferntern Folge haben können, so ist freilich keine dieser Zahlen
wirklich. Aber wir brauchen auch solche Wahrnehmungen gar nicht als
Beweisgründe für unsere Lehrsätze. Einen Namen oder ein Zeichen, das
logisch einwurfsfrei eingeführt ist, können wir in unsern Untersuchungen
ohne Scheu gebrauchen, und so ist unsere Anzahl ∞₁ so gerechtfertigt wie
die Zwei oder die Drei.
Indem ich hierin, wie ich glaube, mit Cantor übereinstimme, weiche ich
doch in der Benennung etwas von ihm ab. Meine Anzahl nennt er
»Mächtigkeit,« während sein Begriff 98 der Anzahl auf die Anordnung
Bezug nimmt. Für endliche Anzahlen ergiebt sich freilich doch eine
Unabhängigkeit von der Reihenfolge, dagegen nicht für unendlichgrosse.
Nun enthält der Sprachgebrauch des Wortes »Anzahl« und der Frage
»wieviele?« keine Hinweisung auf eine bestimmte Anordnung. Cantors
Anzahl antwortet vielmehr auf die Frage: »das wievielste Glied in der
Succession ist das Endglied?« Darum scheint mir meine Benennung besser
mit dem Sprachgebrauche übereinzustimmen. Wenn man die Bedeutung
eines Wortes erweitert, so wird man darauf zu achten haben, dass möglichst
viele allgemeine Sätze ihre Geltung behalten und zumal so grundlegende,
wie für die Anzahl die Unabhängigkeit von der Reihenfolge ist. Wir haben
gar keine Erweiterung nöthig gehabt, weil unser Begriff der Anzahl sofort
auch unendliche Zahlen umfasst.

§ 86. Um seine unendlichen Anzahlen zu gewinnen, führt Cantor den
Beziehungsbegriff des Folgens in einer Succession ein, der von meinem
»Folgen in einer Reihe« abweicht. Nach ihm würde z. B. eine Succession
entstehen, wenn man die endlichen positiven ganzen Zahlen so anordnete,

dass die unpaaren in ihrer natürlichen Reihenfolge für sich und ebenso die
paaren unter sich auf einander folgten, ferner festgesetzt wäre, dass jede
paare auf jede unpaare folgen solle. In dieser Succession würde z. B. 0 auf
13 folgen. Es wurde aber keine Zahl unmittelbar der 0 vorhergehen. Dies ist
nun ein Fall, der in dem von mir definirten Folgen in der Reihe nicht
vorkommen kann. Man kann streng beweisen, ohne ein Axiom der
Anschauung zu benutzen, dass wenn y auf x in der φ-Reihe folgt, es einen
Gegenstand giebt, der in dieser Reihe dem y unmittelbar vorhergeht. Mir
scheinen nun genaue Definitionen des Folgens in der Succession und der
cantorschen Anzahl noch zu fehlen. So beruft sich Cantor auf die etwas
geheimnissvolle »innere Anschauung,« wo ein Beweis aus Definitionen
anzustreben und wohl auch möglich wäre. Denn ich glaube vorauszusehen,
wie sich jene Begriffe bestimmen liessen. Jedenfalls will ich durch diese
Bemerkungen, deren Berechtigung und Fruchtbarkeit durchaus nicht
angreifen. Im Gegentheil begrüsse ich in diesen Untersuchungen eine
Erweiterung der Wissenschaft besonders deshalb, weil durch sie ein rein
arithmetischer Weg zu höhern unendlichgrossen Anzahlen (Mächtigkeiten)
gebahnt ist.

V. Schluss.
§ 87. Ich hoffe in dieser Schrift wahrscheinlich gemacht zu haben, dass
die arithmetischen Gesetze analytische Urtheile und folglich a priori sind.
Demnach würde die Arithmetik nur eine weiter ausgebildete Logik, jeder
arithmetische Satz ein logisches Gesetz, jedoch ein abgeleitetes sein. Die
Anwendungen der Arithmetik zur Naturerklärung wären logische
Bearbeitungen von beobachteten Thatsachen 99; Rechnen wäre
Schlussfolgern. Die Zahlgesetze werden nicht, wie Baumann 100 meint, eine
praktische Bewährung nöthig haben, um in der Aussenwelt anwendbar zu
sein; denn in der Aussenwelt, der Gesammtheit des Räumlichen, giebt es
keine Begriffe, keine Eigenschaften der Begriffe, keine Zahlen. Also sind
die Zahlgesetze nicht eigentlich auf die äussern Dinge anwendbar: sie sind
nicht Naturgesetze. Wohl aber sind sie anwendbar auf Urtheile, die von
Dingen der Aussenwelt gelten: sie sind Gesetze der Naturgesetze. Sie
behaupten nicht einen Zusammenhang zwischen Naturerscheinungen,
sondern einen solchen zwischen Urtheilen; und zu diesen gehören auch die
Naturgesetze.

§ 88. Kant 101 hat den Werth der analytischen Urtheile offenbar – wohl in
Folge einer zu engen Begriffsbestimmung – unterschätzt, obgleich ihm der
hier benutzte weitere Begriff vorgeschwebt zu haben scheint 102. Wenn man
seine Definition zu Grunde legt, ist die Eintheilung in analytische und
synthetische Urtheile nicht erschöpfend. Er denkt an den Fall des allgemein
bejahenden Urtheils. Dann kann man von einem Subjectsbegriffe reden und
fragen, ob der Prädicatsbegriff in ihm – zufolge der Definition – enthalten
sei. Wie aber, wenn das Subject ein einzelner Gegenstand ist? wie, wenn es
sich um ein Existentialurtheil handelt? Dann kann in diesem Sinne gar nicht
von einem Subjectsbegriffe die Rede sein. Kant scheint den Begriff durch
beigeordnete Merkmale bestimmt zu denken; das ist aber eine der am
wenigsten fruchtbaren Begriffsbildungen. Wenn man die oben gegebenen
Definitionen überblickt, so wird man kaum eine von der Art finden.
Dasselbe gilt auch von den wirklich fruchtbaren Definitionen in der
Mathematik z. B. der Stetigkeit einer Function. Wir haben da nicht eine
Reihe beigeordneter Merkmale, sondern eine innigere, ich möchte sagen

organischere Verbindung der Bestimmungen. Man kann sich den
Unterschied durch ein geometrisches Bild anschaulich machen. Wenn man
die Begriffe (oder ihre Umfänge) durch Bezirke einer Ebene darstellt, so
entspricht dem durch beigeordnete Merkmale definirten Begriffe der
Bezirk, welcher allen Bezirken der Merkmale gemeinsam ist; er wird durch
Theile von deren Begrenzungen umschlossen. Bei einer solchen Definition
handelt es sich also – im Bilde zu sprechen – darum, die schon gegebenen
Linien in neuer Weise zur Abgrenzung eines Bezirks zu verwenden 103. Aber
dabei kommt nichts wesentlich Neues zum Vorschein. Die fruchtbareren
Begriffsbestimmungen ziehen Grenzlinien, die noch gar nicht gegeben
waren. Was sich aus ihnen schliessen lasse, ist nicht von vornherein zu
übersehen; man holt dabei nicht einfach aus dem Kasten wieder heraus, was
man hineingelegt hatte. Diese Folgerungen erweitern unsere Kenntnisse,
und man sollte sie daher Kant zufolge für synthetisch halten; dennoch
können sie rein logisch bewiesen werden und sind also analytisch. Sie sind
in der That in den Definitionen enthalten, aber wie die Pflanze im Samen,
nicht wie der Balken im Hause. Oft braucht man mehre Definitionen zum
Beweise eines Satzes, der folglich in keiner einzelnen enthalten ist und
doch aus allen zusammen rein logisch folgt.

§ 89. Ich muss auch der Allgemeinheit der Behauptung Kants 104
widersprechen: ohne Sinnlichkeit würde uns kein Gegenstand gegeben
werden. Die Null, die Eins sind Gegenstände, die uns nicht sinnlich
gegeben werden können. Auch Diejenigen, welche die kleineren Zahlen für
anschaulich halten, werden doch einräumen müssen, dass ihnen keine der
1000
Zahlen, die grösser als 1000 (1000 ) sind, anschaulich gegeben werden
können, und dass wir dennoch Mancherlei von ihnen wissen. Vielleicht hat
Kant das Wort »Gegenstand« in etwas anderm Sinne gebraucht; aber dann
fallen die Null, die Eins, unser ∞₁ ganz aus seiner Betrachtung heraus; denn
Begriffe sind sie auch nicht, und auch von Begriffen verlangt Kant 104, dass
man ihnen den Gegenstand in der Anschauung beifüge.
Um nicht den Vorwurf einer kleinlichen Tadelsucht gegenüber einem
Geiste auf mich zu laden, zu dem wir nur mit dankbarer Bewunderung
aufblicken können, glaube ich auch die Uebereinstimmung hervorheben zu
müssen, welche weit überwiegt. Um nur das hier zunächst Liegende zu
berühren, sehe ich ein grosses Verdienst Kants darin, dass er die
Unterscheidung von synthetischen und analytischen Urtheilen gemacht hat.

Indem er die geometrischen Wahrheiten synthetisch und a priori nannte, hat
er ihr wahres Wesen enthüllt. Und dies ist noch jetzt werth wiederholt zu
werden, weil es noch oft verkannt wird. Wenn Kant sich hinsichtlich der
Arithmetik geirrt hat, so thut das, glaube ich, seinem Verdienste keinen
wesentlichen Eintrag. Ihm kam es darauf an, dass es synthetische Urtheile a
priori giebt; ob sie nur in der Geometrie oder auch in der Arithmetik
vorkommen, ist von geringerer Bedeutung.

§ 90. Ich erhebe nicht den Anspruch, die analytische Natur der
arithmetischen Sätze mehr als wahrscheinlich gemacht zu haben, weil man
immer noch zweifeln kann, ob ihr Beweis ganz aus rein logischen Gesetzen
geführt werden könne, ob sich nicht irgendwo ein Beweisgrund andrer Art
unvermerkt einmische. Dies Bedenken wird auch durch die Andeutungen
nicht vollständig entkräftet, die ich für den Beweis einiger Sätze gegeben
habe; es kann nur durch eine lückenlose Schlusskette gehoben werden,
sodass kein Schritt geschieht, der nicht einer von wenigen als rein logisch
anerkannten Schlussweisen gemäss ist. So ist bis jetzt kaum ein Beweis
geführt worden, weil der Mathematiker zufrieden ist, wenn jeder Uebergang
zu einem neuen Urtheile als richtig einleuchtet, ohne nach der Natur dieses
Einleuchtens zu fragen, ob es logisch oder anschaulich sei. Ein solcher
Fortschritt ist oft sehr zusammengesetzt und mehren einfachen Schlüssen
gleichwerthig, neben welchen noch aus der Anschauung etwas einfliessen
kann. Man geht sprungweise vor, und daraus entsteht die scheinbar
überreiche Mannichfaltigkeit der Schlussweisen in der Mathematik; denn je
grösser die Sprünge sind, desto vielfachere Combinationen aus einfachen
Schlüssen und Anschauungsaxiomen können sie vertreten. Dennoch
leuchtet uns ein solcher Uebergang oft unmittelbar ein, ohne dass uns die
Zwischenstufen zum Bewusstsein kommen, und da er sich nicht als eine der
anerkannten logischen Schlussweisen darstellt, sind wir sogleich bereit, dies
Einleuchten für ein anschauliches und die erschlossene Wahrheit für eine
synthetische zu halten, auch dann, wenn der Geltungsbereich offenbar über
das Anschauliche hinausreicht.
Auf diesem Wege ist es nicht möglich, das auf Anschauung beruhende
Synthetische von dem Analytischen rein zu scheiden. Es gelingt so auch
nicht, die Axiome der Anschauung mit Sicherheit vollständig
zusammenzustellen, sodass jeder mathematische Beweis allein aus diesen
Axiomen nach den logischen Gesetzen geführt werden kann.

§ 91. Die Forderung ist also unabweisbar, alle Sprünge in der
Schlussfolgerung zu vermeiden. Dass ihr so schwer zu genügen ist, liegt an
der Langwierigkeit eines schrittweisen Vorgehens. Jeder nur etwas
verwickeltere Beweis droht eine ungeheuerliche Länge anzunehmen. Dazu
kommt, dass die übergrosse Mannichfaltigkeit der in der Sprache
ausgeprägten logischen Formen es erschwert, einen Kreis von
Schlussweisen abzugrenzen, der für alle Fälle genügt und leicht zu
übersehen ist.
Um diese Uebelstände zu vermindern, habe ich meine Begriffsschrift
erdacht. Sie soll grössere Kürze und Uebersichtlichkeit des Ausdrucks
erzielen und sich in wenigen festen Formen nach Art einer Rechnung
bewegen, sodass kein Uebergang gestattet wird, der nicht den ein für alle
Mal aufgestellten Regeln gemäss ist 105. Es kann sich dann kein
Beweisgrund unbemerkt einschleichen. Ich habe so, ohne der Anschauung
ein Axiom zu entlehnen, einen Satz bewiesen 106, den man beim ersten Blick
für einen synthetischen halten möchte, welchen ich hier so aussprechen
will:
Wenn die Beziehung jedes Gliedes einer Reihe zum nächstfolgenden
eindeutig ist, und wenn m und y in dieser Reihe auf x folgen, so geht y dem
m in dieser Reihe vorher oder fällt mit ihm zusammen oder folgt auf m.
Aus diesem Beweise kann man ersehen, dass Sätze, welche unsere
Kenntnisse erweitern, analytische Urtheile enthalten können 107.

Andere Zahlen.

§ 92. Wir haben unsere Betrachtung bisher auf die Anzahlen beschränkt.
Werfen wir nun noch einen Blick auf die andern Zahlengattungen und
versuchen wir für dies weitere Feld nutzbar zu machen, was wir auf dem
engern erkannt haben!
Um den Sinn der Frage nach der Möglichkeit einer gewissen Zahl klar zu
machen, sagt Hankel 108:
»Ein Ding, eine Substanz, die selbständig ausserhalb des denkenden
Subjects und der sie veranlassenden Objecte existirte, ein selbständiges
Princip, wie etwa bei den Pythagoräern, ist die Zahl heute nicht mehr. Die
Frage von der Existenz kann daher nur auf das denkende Subject oder die

gedachten Objecte, deren Beziehungen die Zahlen darstellen, bezogen
werden. Als unmöglich gilt dem Mathematiker streng genommen nur das,
was logisch unmöglich ist, d. h. sich selbst widerspricht. Dass in diesem
Sinne unmögliche Zahlen nicht zugelassen werden können, bedarf keines
Beweises. Sind aber die betreffenden Zahlen logisch möglich, ihr Begriff
klar und bestimmt definirt und also ohne Widerspruch, so kann jene Frage
nur darauf hinauskommen, ob es im Gebiete des Realen oder des in der
Anschauung Wirklichen, des Actuellen ein Substrat derselben, ob es
Objecte gebe, an welchen die Zahlen, also die intellectuellen Beziehungen
der bestimmten Art zur Erscheinung kommen«.

§ 93. Bei dem ersten Satze kann man zweifeln, ob nach Hankel die
Zahlen in dem denkenden Subjecte oder in den sie veranlassenden Objecten
oder in beiden existiren. Im räumlichen Sinne sind sie jedenfalls weder
innerhalb noch ausserhalb weder des Subjects noch eines Objects. Wohl
aber sind sie in dem Sinne ausserhalb des Subjects, dass sie nicht subjectiv
sind. Während jeder nur seinen Schmerz, seine Lust, seinen Hunger fühlen,
seine Ton- und Farbenempfindungen haben kann, können die Zahlen
gemeinsame Gegenstände für Viele sein, und zwar sind sie für Alle genau
dieselben, nicht nur mehr oder minder ähnliche innere Zustände von
Verschiedenen. Wenn Hankel die Frage von der Existenz auf das denkende
Subject beziehen will, so scheint er sie damit zu einer psychologischen zu
machen, was sie in keiner Weise ist. Die Mathematik beschäftigt sich nicht
mit der Natur unserer Seele, und wie irgendwelche psychologische Fragen
beantwortet werden, muss für sie völlig gleichgiltig sein.

§ 94. Auch dass dem Mathematiker nur, was sich selbst widerspricht, als
unmöglich gelte, muss beanstandet werden. Ein Begriff ist zulässig, auch
wenn seine Merkmale einen Widerspruch enthalten; man darf nur nicht
voraussetzen, dass etwas unter ihn falle. Aber daraus, dass der Begriff
keinen Widerspruch enthält, kann noch nicht geschlossen werden, dass
etwas unter ihn falle. Wie soll man übrigens beweisen, dass ein Begriff
keinen Widerspruch enthalte? Auf der Hand liegt das keineswegs immer;
daraus, dass man keinen Widerspruch sieht, folgt nicht, dass keiner da ist,
und die Bestimmtheit der Definition leistet keine Gewähr dafür. Hankel
beweist 109, dass ein höheres begrenztes complexes Zahlensystem als das
gemeine, das allen Gesetzen der Addition und Multiplication unterworfen

wäre, einen Widerspruch enthält. Das muss eben bewiesen werden; man
sieht es nicht sogleich. Bevor dies geschehen, könnte immerhin jemand
unter Benutzung eines solchen Zahlensystems zu wunderbaren Ergebnissen
gelangen, deren Begründung nicht schlechter wäre, als die, welche
Hankel 110 von den Determinantensätzen mittels der alternirenden Zahlen
giebt; denn wer bürgt dafür, dass nicht auch in deren Begriffe ein
versteckter Widerspruch enthalten ist? Und selbst, wenn man einen solchen
allgemein für beliebig viele alternirende Einheiten ausschliessen könnte,
würde immer noch nicht folgen, dass es solche Einheiten gebe. Und grade
dies brauchen wir. Nehmen wir als Beispiel den 18. Satz des 1. Buches von
Euklids Elementen:
In jedem Dreiecke liegt der grössern Seite der grössere Winkel
gegenüber.
Um das zu beweisen, trägt Euklid auf der grössern Seite AC ein Stück
AD gleich der kleinern Seite AB ab und beruft sich dabei auf eine frühere
Construction. Der Beweis würde in sich zusammenfallen, wenn es einen
solchen Punkt nicht gäbe, und es genügt nicht, dass man in dem Begriffe
»Punkt auf AC, dessen Entfernung von A gleich B ist« keinen Widerspruch
entdeckt. Es wird nun B mit D verbunden. Auch dass es eine solche Gerade
giebt, ist ein Satz, auf den sich der Beweis stützt.

§ 95. Streng kann die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes wohl nur
durch den Nachweis dargelegt werden, dass etwas unter ihn falle. Das
Umgekehrte würde ein Fehler sein. In diesen verfällt Hankel, wenn er in
Bezug auf die Gleichung x + b = c sagt 111:
»Es liegt auf der Hand, dass es, wenn b > c ist, keine Zahl x in der Reihe
1, 2, 3, … giebt, welche die betreffende Aufgabe löst: die Subtraction ist
dann unmöglich. Nichts hindert uns jedoch, dass wir in diesem Falle die
Differenz (c − b) als ein Zeichen ansehen, welches die Aufgabe löst, und
mit welchem genau so zu operiren ist, als wenn es eine numerische Zahl aus
der Reihe 1, 2, 3, … wäre.«
Uns hindert allerdings etwas (2 − 3), ohne Weiteres als Zeichen
anzusehen, welches die Aufgabe löst; denn ein leeres Zeichen löst eben die
Aufgabe nicht; ohne einen Inhalt ist es nur Tinte oder Druckerschwärze auf
Papier, hat als solche physikalische Eigenschaften, aber nicht die, um 3
vermehrt 2 zu geben. Es wäre eigentlich gar kein Zeichen, und sein

Gebrauch als solches wäre ein logischer Fehler. Auch in dem Falle, wo
c > b, ist nicht das Zeichen (»c − b«) die Lösung der Aufgabe, sondern
dessen Inhalt.

§ 96. Ebensogut könnte man sagen: unter den bisher bekannten Zahlen
giebt es keine, welche die beiden Gleichungen
x + 1 = 2 und x + 2 = 1
zugleich befriedigt; aber nichts hindert uns ein Zeichen einzuführen, das die
Aufgabe löst. Man wird sagen: die Aufgabe enthält ja einen Widerspruch.
Freilich, wenn man als Lösung eine reelle oder gemeine complexe Zahl
verlangt; aber erweitern wir doch unser Zahlsystem, schaffen wir doch
Zahlen, die den Anforderungen genügen! Warten wir ab, ob uns jemand
einen Widerspruch nachweist! Wer kann wissen, was bei diesen neuen
Zahlen möglich ist? Die Eindeutigkeit der Subtraction werden wir dann
freilich nicht aufrecht erhalten können; aber wir müssen ja auch die
Eindeutigkeit des Wurzelziehens aufgeben, wenn wir die negativen Zahlen
einführen wollen; durch die complexen Zahlen wird das Logarithmiren
vieldeutig.
Schaffen wir auch Zahlen, welche divergirende Reihen zu summiren
gestatten! Nein! auch der Mathematiker kann nicht beliebig etwas schaffen,
so wenig wie der Geograph; auch er kann nur entdecken, was da ist, und es
benennen.
An diesem Irrthum krankt die formale Theorie der Brüche, der negativen,
der complexen Zahlen 112. Man stellt die Forderung, dass die bekannten
Rechnungsregeln für die neu einzuführenden Zahlen möglichst erhalten
bleiben, und leitet daraus allgemeine Eigenschaften und Beziehungen ab.
Stösst man nirgends auf einen Widerspruch, so hält man die Einführung der
neuen Zahlen für gerechtfertigt, als ob ein Widerspruch nicht dennoch
irgendwo versteckt sein könnte, und als ob Widerspruchslosigkeit schon
Existenz wäre.

§ 97. Dass dieser Fehler so leicht begangen wird, liegt wohl an einer
mangelhaften Unterscheidung der Begriffe von den Gegenständen. Nichts
hindert uns, den Begriff »Quadratwurzel aus -1« zu gebrauchen; aber wir
sind nicht ohne Weiteres berechtigt, den bestimmten Artikel davor zu setzen
und den Ausdruck »die Quadratwurzel aus -1« als einen sinnvollen

anzusehen. Wir können unter der Voraussetzung, dass i² = -1 sei, die Formel
beweisen, durch welche der Sinus eines Vielfachen des Winkels α durch
Sinus und Cosinus von α selbst ausgedrückt wird; aber wir dürfen nicht
vergessen, dass der Satz dann die Bedingung i² = -1 mit sich führt, welche
wir nicht ohne Weiteres weglassen dürfen. Gäbe es gar nichts, dessen
Quadrat -1 wäre, so brauchte die Gleichung kraft unseres Beweises nicht
richtig zu sein 113, weil die Bedingung i² = -1 niemals erfüllt wäre, von der
ihre Geltung abhängig erscheint. Es wäre so, als ob wir in einem
geometrischen Beweise eine Hilfslinie benutzt hätten, die gar nicht gezogen
werden kann.

§ 98. Hankel 114 führt zwei Arten von Operationen ein, die er lytische und
thetische nennt, und die er durch gewisse Eigenschaften bestimmt, welche
diese Operationen haben sollen. Dagegen ist nichts zu sagen, so lange man
nur nicht voraussetzt, dass es solche Operationen und Gegenstände giebt,
welche deren Ergebnisse sein können 115. Später 116 bezeichnet er eine
thetische, vollkommen eindeutige, associative Operation durch (a + b) und
die entsprechende ebenfalls vollkommen eindeutige lytische durch (a − b).
Eine solche Operation? welche? eine beliebige? dann ist dies keine
Definition von (a + b); und wenn es nun keine giebt? Wenn das Wort
»Addition« noch keine Bedeutung hätte, wäre es logisch zulässig zu sagen:
eine solche Operation wollen wir eine Addition nennen; aber man darf nicht
sagen: eine solche Operation soll die Addition heissen und durch (a + b)
bezeichnet werden, bevor es feststeht, dass es eine und nur eine einzige
giebt. Man darf nicht auf der einen Seite einer Definitionsgleichung den
unbestimmten und auf der andern den bestimmten Artikel gebrauchen.
Dann sagt Hankel ohne Weiteres: »der Modul der Operation«, ohne
bewiesen zu haben, dass es einen und nur einen giebt.

§ 99. Kurz diese rein formale Theorie ist unzureichend. Das Werthvolle
an ihr ist nur dies. Man beweist, dass wenn Operationen gewisse
Eigenschaften wie die Associativität und die Commutativität haben,
gewisse Sätze von ihnen gelten. Man zeigt nun, dass die Addition und
Multiplication, welche man schon kennt, diese Eigenschaften haben, und
kann nun sofort jene Sätze von ihnen aussprechen, ohne den Beweis in
jedem einzelnen Falle weitläufig zu wiederholen. Erst durch diese
Anwendung auf anderweitig gegebene Operationen, gelangt man zu den

bekannten Sätzen der Arithmetik. Keineswegs darf man aber glauben die
Addition und die Multiplication auf diesem Wege einführen zu können.
Man giebt nur eine Anleitung für die Definitionen, nicht diese selbst. Man
sagt: der Name »Addition« soll nur einer thetischen, vollkommen
eindeutigen, associativen Operation gegeben werden, womit diejenige,
welche nun so heissen soll, noch gar nicht angegeben ist. Danach stände
nichts im Wege, die Multiplication Addition zu nennen und durch (a + b) zu
bezeichnen, und niemand könnte mit Bestimmtheit sagen, ob 2 + 3 5 oder 6
wäre.

§ 100. Wenn wir diese rein formale Betrachtungsweise aufgeben, so kann
sich aus dem Umstande, dass gleichzeitig mit der Einführung von neuen
Zahlen die Bedeutung der Wörter »Summe« und »Product« erweitert wird,
ein Weg darzubieten scheinen. Man nimmt einen Gegenstand, etwa den
Mond, und erklärt: der Mond mit sich selbst multiplicirt sei -1. Dann haben
wir in dem Monde eine Quadratwurzel aus -1. Diese Erklärung scheint
gestattet, weil aus der bisherigen Bedeutung der Multiplication der Sinn
eines Solchen Products noch gar nicht hervorgeht und also bei der
Erweiterung dieser Bedeutung beliebig festgesetzt werden kann. Aber wir
brauchen auch die Producte einer reellen Zahl mit der Quadratwurzel aus
-1. Wählen wir deshalb lieber den Zeitraum einer Secunde zu einer
Quadratwurzel aus -1 und bezeichnen ihn durch i! Dann werden wir unter 3
i den Zeitraum von 3 Secunden verstehen u. s. w. 117 Welchen Gegenstand
werden wir dann etwa durch 2 + 3i bezeichnen? Welche Bedeutung würde
dem Pluszeichen in diesem Falle zu geben sein? Nun das muss allgemein
festgesetzt werden, was freilich nicht leicht sein wird. Doch nehmen wir
einmal an, dass wir allen Zeichen von der Form a + bi einen Sinn gesichert
hätten, und zwar einen solchen, dass die bekannten Additionssätze gelten!
Dann müssten wir ferner festsetzen, dass allgemein
(a + bi) (c + di) = ac − bd + i (ad + bc)
sein solle, wodurch wir die Multiplication weiter bestimmen würden.

§ 101. Nun könnten wir die Formel für cos (nα) beweisen, wenn wir
wüssten, dass aus der Gleichheit complexer Zahlen die Gleichheit der
reellen Theile folgt. Das müsste aus dem Sinne von a + bi hervorgehn, den
wir hier als vorhanden angenommen haben. Der Beweis würde nur für den
Sinn der complexen Zahlen, ihrer Summen und Producte gelten, den wir

festgesetzt haben. Da nun für ganzes reelles n und reelles α i gar nicht mehr
in der Gleichung vorkommt, so ist man versucht zu schliessen: also ist es
ganz gleichgiltig, ob i eine Secunde, ein Millimeter oder was sonst
bedeutet, wenn nur unsere Additions- und Multiplicationssätze gelten; auf
die allein kommt es an; um das Uebrige brauchen wir uns nicht zu
kümmern. Vielleicht kann man die Bedeutung von a + bi, von Summe und
Product in verschiedener Weise so festsetzen, dass jene Sätze bestehen
bleiben; aber es ist nicht gleichgiltig, ob man überhaupt einen solchen Sinn
für diese Ausdrücke finden kann.

§ 102. Man thut oft so, als ob die blosse Forderung schon ihre Erfüllung
wäre. Man fordert, dass die Subtraction 118, die Division, die Radicirung
immer ausführbar seien, und glaubt damit genug gethan zu haben. Warum
fordert man nicht auch, dass durch beliebige drei Punkte eine Gerade
gezogen werde? Warum fordert man nicht, dass für ein dreidimensionales
complexes Zahlensystem sämmtliche Additions- und Multiplicationssätze
gelten wie für ein reelles? Weil diese Forderung einen Widerspruch enthält.
Ei so beweise man denn erst, dass jene andern Forderungen keinen
Widerspruch enthalten! Ehe man das gethan hat, ist alle vielerstrebte
Strenge nichts als eitel Schein und Dunst.
In einem geometrischen Lehrsatze kommt die zum Beweise etwa
gezogene Hilfslinie nicht vor. Vielleicht sind mehre möglich z. B., wenn
man einen Punkt willkührlich wählen kann. Aber wie entbehrlich auch jede
einzelne sein mag, so hängt doch die Beweiskraft daran, dass man eine
Linie von der verlangten Beschaffenheit ziehen könne. Die blosse
Forderung genügt nicht. So ist es auch in unserm Falle für die Beweiskraft
nicht gleichgiltig, ob »a + bi« einen Sinn hat oder blosse Druckerschwärze
ist. Es reicht dazu nicht hin, zu verlangen, es solle einen Sinn haben, oder
zu sagen, der Sinn sei die Summe von a und bi, wenn man nicht vorher
erklärt hat, was »Summe« in diesem Falle bedeutet, und wenn man den
Gebrauch des bestimmten Artikels nicht gerechtfertigt hat.

§ 103. Gegen die von uns versuchte Festsetzung des Sinnes von »i« lässt
sich freilich Manches einwenden. Wir bringen dadurch etwas ganz
Fremdartiges, die Zeit, in die Arithmetik. Die Secunde steht in gar keiner
innern Beziehung zu den reellen Zahlen. Die Sätze, welche mittels der
complexen Zahlen bewiesen werden, würden Urtheile a posteriori oder

doch synthetische sein, wenn es keine andere Art des Beweises gäbe, oder
wenn man für i keinen andern Sinn finden könnte. Zunächst muss jedenfalls
der Versuch gemacht werden, alle Sätze der Arithmetik als analytische
nachzuweisen.
Wenn Kossak 119 in Bezug auf die complexe Zahl sagt:
»Sie ist die zusammengesetzte Vorstellung von verschiedenartigen
Gruppen unter einander gleicher Elemente 120«, so scheint er damit die
Einmischung von Fremdartigem vermieden zu haben; aber er scheint es
auch nur infolge der Unbestimmtheit des Ausdrucks. Man erhält gar keine
Antwort darauf, was 1 + i eigentlich bedeute: die Vorstellung eines Apfels
und einer Birne oder die von Zahnweh und Podagra? Beide zugleich kann
es doch nicht bedeuten, weil dann 1 + i nicht immer gleich 1 + i wäre. Man
wird sagen: das kommt auf die besondere Festsetzung an. Nun, dann haben
wir auch in Kossak's Satze noch gar keine Definition der complexen Zahl,
sondern nur eine allgemeine Anleitung dazu. Wir brauchen aber mehr; wir
müssen bestimmt wissen, was »i« bedeutet, und wenn wir nun jener
Anleitung folgend sagen wollten: die Vorstellung einer Birne, so würden
wir wieder etwas Fremdartiges in die Arithmetik einführen.
Das, was man die geometrische Darstellung complexer Zahlen zu nennen
pflegt, hat wenigstens den Vorzug vor den bisher betrachteten Versuchen,
dass dabei 1 und i nicht ganz ohne Zusammenhang und ungleichartig
erscheinen sondern dass die Strecke, welche man als Darstellung von i
betrachtet, in einer gesetzmässigen Beziehung zu der Strecke steht, durch
welche 1 dargestellt wird. Uebrigens ist es genau genommen nicht richtig,
dass hierbei 1 eine gewisse Strecke, i eine zu ihr senkrechte von gleicher
Länge bedeute, sondern »1« bedeutet überall dasselbe. Eine complexe Zahl
giebt hier an, wie die Strecke, welche als ihre Darstellung gilt, aus einer
gegebenen Strecke (Einheitsstrecke) durch Vervielfältigung, Theilung und
Drehung 121 hervorgeht. Aber auch hiernach erscheint jeder Lehrsatz, dessen
Beweis sich auf die Existenz einer complexen Zahl stützen muss, von der
geometrischen Anschauung abhängig und also synthetisch.

§ 104. Wodurch sollen uns denn nun die Brüche, die Irrationalzahlen und
die complexen Zahlen gegeben werden? Wenn wir die Anschauung zu Hilfe
nehmen, so führen wir etwas Fremdartiges in die Arithmetik ein; wenn wir
aber nur den Begriff einer solchen Zahl durch Merkmale bestimmen, wenn

wir nur verlangen, dass die Zahl gewisse Eigenschaften habe, so bürgt
nichts dafür, dass auch etwas unter den Begriff falle und unsern
Anforderungen entspreche, und doch müssen sich grade hierauf Beweise
stützen.
Nun, wie ist es denn bei der Anzahl? Dürfen wir wirklich von 1000
1000
(1000 ) nicht reden, bevor uns nicht soviele Gegenstände in der
Anschauung gegeben sind? Ist es so lange ein leeres Zeichen? Nein! es hat
einen ganz bestimmten Sinn, obwohl es psychologisch schon in Anbetracht
der Kürze unseres Lebens unmöglich ist, uns soviele Gegenstände vor das
122 1000
Bewusstsein zu führen ; aber trotzdem ist 1000 (1000 ) ein Gegenstand,
dessen Eigenschaften wir erkennen können, obgleich er nicht anschaulich
ist. Man überzeugt sich davon, indem man bei der Einführung des Zeichens
an für die Potenz zeigt, dass immer eine und nur eine positive ganze Zahl
dadurch ausgedrückt wird, wenn a und n positive ganze Zahlen sind. Wie
dies geschehen kann, würde hier zu weit führen, im Einzelnen darzulegen.
Die Weise, wie wir im § 74 die Null, in § 77 die Eins, in § 84 die
unendliche Anzahl ∞₁ erklärt haben, und die Andeutung des Beweises, dass
auf jede endliche Anzahl in der natürlichen Zahlenreihe eine Anzahl
unmittelbar folgt (§§ 82 u. 83), werden den Weg im Allgemeinen erkennen
lassen.
Es wird zuletzt auch bei der Definition der Brüche, complexen Zahlen u.
s. w. Alles darauf ankommen, einen beurtheilbaren Inhalt aufzusuchen, der
in eine Gleichung verwandelt werden kann, deren Seiten dann eben die
neuen Zahlen sind. Mit andern Worten: wir müssen den Sinn eines
Wiedererkennungsurtheils für solche Zahlen festsetzen. Dabei sind die
Bedenken zu beachten, die wir (§§ 63–68) in Betreff einer solchen
Umwandlung erörtert haben. Wenn wir ebenso wie dort verfahren, so
werden uns die neuen Zahlen als Umfänge von Begriffen gegeben.

§ 105. Aus dieser Auffassung der Zahlen 123 erklärt sich, wie mir scheint,
leicht der Reiz, den die Beschäftigung mit der Arithmetik und Analysis
ausübt. Man könnte wohl mit Abänderung eines bekannten Satzes sagen:
der eigentliche Gegenstand der Vernunft ist die Vernunft. Wir beschäftigen
uns in der Arithmetik mit Gegenständen, die uns nicht als etwas Fremdes
von aussen durch Vermittelung der Sinne bekannt werden, sondern die

unmittelbar der Vernunft gegeben sind, welche sie als ihr Eigenstes völlig
durchschauen kann 124.
Und doch, oder vielmehr grade daher sind diese Gegenstände nicht
subjective Hirngespinnste. Es giebt nichts Objectiveres als die
arithmetischen Gesetze.

§ 106. Werfen wir noch einen kurzen Rückblick auf den Gang unserer
Untersuchung! Nachdem wir festgestellt hatten, dass die Zahl weder ein
Haufe von Dingen noch eine Eigenschaft eines solchen, dass sie aber auch
nicht subjectives Erzeugniss seelischer Vorgänge ist; sondern dass die
Zahlangabe von einem Begriffe etwas Objectives aussage, versuchten wir
zunächst die einzelnen Zahlen 0, 1 u. s. w. und das Fortschreiten in der
Zahlenreihe zu definiren. Der erste Versuch misslang, weil wir nur jene
Aussage von Begriffen, nicht aber die 0, die 1 abgesondert definirt hatten,
welche nur Theile von ihr sind. Dies hatte zur Folge, dass wir die Gleichheit
von Zahlen nicht beweisen konnten. Es zeigte sich, dass die Zahl, mit der
sich die Arithmetik beschäftigt, nicht als ein unselbständiges Attribut,
sondern substantivisch gefasst werden muss 125. Die Zahl erschien so als
wiedererkennbarer Gegenstand, wenn auch nicht als physikalischer oder
auch nur räumlicher noch als einer, von dem wir uns durch die
Einbildungskraft ein Bild entwerfen können. Wir stellten nun den
Grundsatz auf, dass die Bedeutung eines Wortes nicht vereinzelt, sondern
im Zusammenhange eines Satzes zu erklären sei, durch dessen Befolgung
allein, wie ich glaube, die physikalische Auffassung der Zahl vermieden
werden kann, ohne in die psychologische zu verfallen. Es giebt nun eine Art
von Sätzen, die für jeden Gegenstand einen Sinn haben müssen, das sind
die Wiedererkennungsätze, bei den Zahlen Gleichungen genannt. Auch die
Zahlangabe, sahen wir, ist als eine Gleichung aufzufassen. Es kam also
darauf an, den Sinn einer Zahlengleichung festzustellen, ihn auszudrücken,
ohne von den Zahlwörtern oder dem Worte »Zahl« Gebrauch zu machen.
Die Möglichkeit die unter einen Begriff F fallenden Gegenstände, den unter
einen Begriff G fallenden beiderseits eindeutig zuzuordnen, erkannten wir
als Inhalt eines Wiedererkennungsurtheils von Zahlen. Unsere Definition
musste also jene Möglichkeit als gleichbedeutend mit einer
Zahlengleichung hinstellen. Wir erinnerten an ähnliche Fälle: die Definition
der Richtung aus dem Parallelismus, der Gestalt aus der Aehnlichkeit u. s.
w.

§ 107. Es erhob sich nun die Frage: wann ist man berechtigt, einen Inhalt
als den eines Wiedererkennungsurtheils aufzufassen? Es muss dazu die
Bedingung erfüllt sein, dass in jedem Urtheile unbeschadet seiner Wahrheit
die linke Seite der versuchsweise angenommenen Gleichung durch die
rechte ersetzt werden könne. Nun ist uns, ohne dass weitere Definitionen
hinzukommen, zunächst von der linken oder rechten Seite einer solchen
Gleichung keine Aussage weiter bekannt als eben die der Gleichheit. Es
brauchte also die Ersetzbarkeit nur in einer Gleichung nachgewiesen zu
werden.
Aber es blieb noch ein Bedenken bestehen. Ein Wiedererkennungssatz
muss nämlich immer einen Sinn haben. Wenn wir nun die Möglichkeit, die
unter den Begriff F fallenden Gegenstände den unter den Begriff G
fallenden beiderseits eindeutig zuzuordnen, als eine Gleichung auffassen,
indem wir dafür sagen: »die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist
gleich der Anzahl, welche dem Begriffe G zukommt,« und hiermit den
Ausdruck »die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt« einführen, so
haben wir für die Gleichung nur dann einen Sinn, wenn beide Seiten die
eben genannte Form haben. Wir könnten nach einer solchen Definition
nicht beurtheilen, ob eine Gleichung wahr oder falsch ist, wenn nur die eine
Seite diese Form hat. Das veranlasste uns zu der Definition:
Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang des
Begriffes »Begriff gleichzahlig dem Begriffe F«, indem wir einen Begriff F
gleichzahlig einem Begriffe G nannten, wenn jene Möglichkeit der
beiderseits eindeutigen Zuordnung besteht.
Hierbei setzten wir den Sinn des Ausdruckes »Umfang des Begriffes« als
bekannt voraus. Diese Weise, die Schwierigkeit zu überwinden, wird wohl
nicht überall Beifall finden, und Manche werden vorziehn, jenes Bedenken
in andrer Weise zu beseitigen. Ich lege auch auf die Heranziehung des
Umfangs eines Begriffes kein entscheidendes Gewicht.

§ 108. Es blieb nun noch übrig die beiderseits eindeutige Zuordnung zu
erklären; wir führten sie auf rein logische Verhältnisse zurück. Nachdem
wir nun den Beweis des Satzes angedeutet hatten: die Zahl, welche dem
Begriffe F zukommt, ist gleich der, welche dem Begriffe G zukommt, wenn
der Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig ist, definirten wir die 0, den
Ausdruck »n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m« und

die Zahl 1 und zeigten, dass 1 in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar
auf 0 folgt. Wir führten einige Sätze an, die sich an dieser Stelle leicht
beweisen lassen, und gingen dann etwas näher auf folgenden ein, der die
Unendlichkeit der Zahlenreihe erkennen lässt:
Auf jede Zahl folgt in der natürlichen Zahlenreihe eine Zahl.
Wir wurden hierdurch auf den Begriff »der mit n endenden natürlichen
Zahlenreihe angehörend« geführt, von dem wir zeigen wollten, dass die ihm
zukommende Anzahl auf n in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar folge.
Wir definirten ihn zunächst mittels des Folgens eines Gegenstandes y auf
einen Gegenstand x in einer allgemeinen φ-Reihe. Auch der Sinn dieses
Ausdruckes wurde auf rein logische Verhältnisse zurückgeführt. Und
dadurch gelang es, die Schlussweise von n auf (n + 1), welche gewöhnlich
für eine eigenthümlich mathematische gehalten wird, als auf den
allgemeinen logischen Schlussweisen beruhend nachzuweisen.
Wir brauchten nun zum Beweise der Unendlichkeit der Zahlenreihe den
Satz, dass keine endliche Zahl in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber
folgt. Wir kamen so zu den Begriffen der endlichen und der unendlichen
Zahl. Wir zeigten, dass der letztere im Grunde nicht weniger logisch
gerechtfertigt als der erstere ist. Zum Vergleiche wurden Cantors
unendliche Anzahlen und dessen »Folgen in der Succession« herangezogen,
wobei auf die Verschiedenheit im Ausdrucke hingewiesen wurde.

§ 109. Aus allem Vorangehenden ergab sich nun mit grosser
Wahrscheinlichkeit die analytische und apriorische Natur der
arithmetischen Wahrheiten; und wir gelangten zu einer Verbesserung der
Ansicht Kants. Wir sahen ferner, was noch fehlt, um jene
Wahrscheinlichkeit zur Gewissheit zu erheben, und gaben den Weg an, der
dahin führen muss.
Endlich benutzten wir unsere Ergebnisse zur Kritik einer formalen
Theorie der negativen, gebrochenen, irrationalen und complexen Zahlen,
durch welche deren Unzulänglichkeit offenbar wurde. Ihren Fehler
erkannten wir darin, dass sie die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes als
bewiesen annahm, wenn sich kein Widerspruch gezeigt hatte, und dass die
Widerspruchslosigkeit eines Begriffes schon als hinreichende Gewähr für
seine Erfülltheit galt. Diese Theorie bildet sich ein, sie brauche nur
Forderungen zu stellen; deren Erfüllung verstehe sich dann von selbst. Sie

gebärdet sich wie ein Gott, der durch sein blosses Wort schaffen kann,
wessen er bedarf. Es musste auch gerügt werden, wenn eine Anweisung zur
Definition für diese selbst ausgegeben wurde, eine Anweisung, deren
Befolgung Fremdartiges in die Arithmetik einführen würde, obwohl sie
selbst im Ausdrucke sich davon frei zu halten vermag, aber nur weil sie
blosse Anweisung bleibt.
So geräth jene formale Theorie in Gefahr, auf das Aposteriorische oder
doch Synthetische zurückzufallen, wie sehr sie sich auch den Anschein
giebt, in der Höhe der Abstractionen zu schweben.
Unsere frühere Betrachtung der positiven ganzen Zahlen zeigte uns nun
die Möglichkeit, die Einmischung von äussern Dingen und geometrischen
Anschauungen zu vermeiden, ohne doch in den Fehler jener formalen
Theorie zu verfallen. Es kommt wie dort darauf an, den Inhalt eines
Wiedererkennungsurtheils festzusetzen. Denken wir dies überall geschehen,
so erscheinen die negativen, gebrochenen, irrationalen und complexen
Zahlen nicht geheimnissvoller als die positiven ganzen Zahlen, diese nicht
reeller, wirklicher, greifbarer als jene.

Fußnoten
1 Sämmtliche Werke, herausgegeb. von Hartenstein, Bd. X, 1 Thl. Umriss
pädagogischer Vorlesungen § 252, Anm. 2: »Zwei heisst nicht zwei Dinge,
sondern Verdoppelung« u. s. w.
2 K. Fischer, System der Logik und Metaphysik oder Wissenschaftslehre, 2.
Aufl. § 94.
3 Studien über Association der Vorstellungen. Wien 1883.
4 Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.
5 Ich will damit natürlich nicht einen neuen Sinn hineinlegen, sondern nur das
treffen, was frühere Schriftsteller, insbesondere Kant gemeint haben.
6 Wenn man überhaupt allgemeine Wahrheiten anerkennt, so muss man auch
zugeben, dass es solche Urgesetze giebt, weil aus lauter einzelnen Thatsachen
nichts folgt, es sei denn auf Grund eines Gesetzes. Selbst die Induction beruht
auf dem allgemeinen Satze, dass dies Verfahren die Wahrheit oder doch eine
Wahrscheinlichkeit für ein Gesetz begründen könne. Für den, der dies leugnet,
ist die Induction nichts weiter als eine psychologische Erscheinung, eine Weise,
wie Menschen zu dem Glauben an die Wahrheit eines Satzes kommen, ohne dass
dieser Glaube dadurch irgendwie gerechtfertigt wäre.
7 Es wird also im Folgenden, wenn nichts weiter bemerkt wird, von keinen
andern Zahlen als den positiven ganzen die Rede sein, welche auf die Frage wie
viele? antworten.
8 Hobbes, Locke, Newton. Vergl. Baumann, die Lehren von Zeit, Raum und
Mathematik. S. 241 u. 242, S. 365 ff., S. 475.
9 Kritik der reinen Vernunft, herausgeg. v. Hartenstein. III. S. 157.
10 Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen. S. 55.
11 B: Nouveaux Essais, IV. § 10. Erdm. S. 363.
12 C: Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm. S. 94.
13 Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten. I. Theil: Arithmetik,
Stettin 1860, S. 4.
14 A System der deductiven und inductiven Logik, übersetzt von J. Schiel. III.
Buch, XXIV. Cap., § 5.
15 A. a. O. II. Buch, VI. Cap., § 2.
16 A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.
17 A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.
18 A. a. O. II. Buch, VI. Cap., § 3.

19 Baumann, a. a. O. II., S. 39; Erdm. S. 243.
20 Baumann a. a. O. Bd. II., S. 13 u. 14; Erdm. S. 195, S. 208 u. 209.
21 Baumann a. a. O. Bd. II., S. 38; Erdm. S. 212.
22 A. a. O. Bd. II., S. 669.
23 Lehrbuch der Analysis, Bd. I., S. 1.
24 Theorie der complexen Zahlensysteme, S. 54 u. 55.
25 Baumann a. a. O. Bd. II., S. 56; Erdm. S. 424.
26 Baumann a. a. O. Bd. II., S. 57; Erdm. S. 83.
27 Baumann a. a. O. Bd. II., S. 57; Pertz, II., S. 55.
28 The principles of science. London 1879. S. 156.
29 Nouveaux Essais, IV, § 9; Erdm. S. 360.
30 Es ist auffallend, dass auch Mill a. a. O. II. Buch, VI. Cap. § 4 diese Ansicht
auszusprechen scheint. Sein gesunder Sinn durchbricht eben von Zeit zu Zeit
sein Vorurtheil für das Empirische. Aber dieses bringt immer wieder Alles in
Verwirrung, indem es ihn die physikalischen Anwendungen der Arithmetik mit
dieser selbst verwechseln lässt. Er scheint nicht zu wissen, dass ein
hypothetisches Urtheil auch dann wahr sein kann, wenn die Bedingung nicht
wahr ist.
31 Baumann a. a. O. Bd. I, S. 475.
32 Theorie der complexen Zahlensysteme, S. 1.
33 Grundzüge einer Elementarmathematik, S. 2, § 4. Aehnlich Lipschitz,
Lehrbuch der Analysis, Bonn 1877, S. 1.
34 Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Leipz. 1873, S. 6, 10 u. 11.
35 A. a. O. Bd. II, S. 669.
36 A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.
37 A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap. § 5.
38 Baumann a. a. O. Bd. I, S. 409.
39 Ebenda, Bd. II, S. 56.
40 Ebenda, Bd. II, S. 2.
41 A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap. § 5.
42 Genau genommen müsste hinzugefügt werden: sobald sie überhaupt ein
Phänomen sind. Wenn aber Jemand ein Pferd in Deutschland und eines in
Amerika (und sonst keins) hat, so besitzt er zwei Pferde. Diese bilden jedoch
kein Phänomen, sondern nur jedes Pferd für sich könnte so genannt werden.
43 Baumann a. a. O. Bd. II. S. 428.
44 Lehrbuch der Analysis, S. 1. Ich nehme an, dass Lipschitz einen innern
Vorgang im Sinne hat.
45 Handbuch der algebraischen Analysis, S. 1.

46 Man kann dagegen auch einwenden, dass dann immer dieselbe Vorstellung
einer Stelle erscheinen müsste, wenn dieselbe Zahl auftritt, was offenbar falsch
ist. Das Folgende würde nicht zutreffen, wenn er unter Vorstellung eine objective
Idee verstehen wollte; aber welcher Unterschied wäre dann zwischen der
Vorstellung der Stelle und der Stelle selbst?
Die Vorstellung im subjectiven Sinne ist das, worauf sich die psychologischen
Associationsgesetze beziehen; sie ist von sinnlicher, bildhafter Beschaffenheit.
Die Vorstellung im objectiven Sinne gehört der Logik an und ist wesentlich
unsinnlich, obwohl das Wort, welches eine objective Vorstellung bedeutet, oft
auch eine subjective mit sich führt, die jedoch nicht seine Bedeutung ist. Die
subjective Vorstellung ist oft nachweisbar verschieden in verschiedenen
Menschen, die objective für alle dieselbe. Die objectiven Vorstellungen kann
man eintheilen in Gegenstände und Begriffe. Ich werde, um Verwirrung zu
vermeiden, »Vorstellung« nur im subjectiven Sinne gebrauchen. Dadurch, dass
Kant mit diesem Worte beide Bedeutungen verband, hat er seiner Lehre eine
sehr subjective, idealistische Färbung gegeben und das Treffen seiner wahren
Meinung erschwert. Die hier gemachte Unterscheidung ist so berechtigt wie die
zwischen Psychologie und Logik. Möchte man diese immer recht streng
auseinanderhalten!
47 Elementare Theorie der analytischen Functionen, S. 1.
48 7. Buch der Elemente im Anfange: Μονάς έστι, καθ' ήν έκαστον τών όντων
έν λέγεται. Άριθμός δέ τό έκ μονάδων συγκείμενον πλήθος.
49 A. a. O. S. 5.
50 Es kommen Wendungen vor, die dem zu widersprechen scheinen; aber bei
genauerer Betrachtung wird man finden, dass ein Begriffswort zu ergänzen ist,
oder dass »Ein« nicht als Zahlwort gebraucht wird, dass nicht die Einzigkeit,
sondern die Einheitlichkeit behauptet werden soll.
51 Baumann a. a. O. Bd. II. S. 2; Erdm. S. 8.
52 A. a. O. Bd. II. S. 669.
53 A. a. O. Bd. II. S. 669.
54 Baumann a. a. O. Bd. I. S. 409.
55 Ueber die Geschichte des Wortes »Einheit« vergl. Eucken, Geschichte der
philosophischen Terminologie. S. 122–3, S. 136, S. 220.
56 Schularithmetik. Eisenach 1867. S. 5 u. 6.
57 A. a. O. S. 5.
58 Baumann a. a. O. Bd. I. S. 242.
59 Ebenda Bd. II. S. 568.
60 A. a. O. S. 1.
61 Baumann a. a. O. Bd. I. S. 103.
62 A. a. O. S. 3.
63 The principles of Science, 3 d. Ed. S. 156.
64 A. a. O. S. 162.

65 Baumann a. a. O. Bd. I. S. 409–411.
66 Baumann a. a. O. Bd. II. S. 3.
67 Vier Species. S. 2.
68 Baumann a. a. O. Bd. I. S. 242.
69 Elementare Theorie der analyt. Functionen, S. 1.
70 Baumann a. a. O. Bd. II. S. 2.
71 A. a. O. Bd. II. S. 668.
72 The Principles of Science, S. 157.
73 Theorie der complexen Zahlensysteme, S. 1.
74 Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, S. 5 ff.
75 zu zählenden Gegenstände.
76 A. a. O. S. 158.
77 Baumann a. a. O. Bd. I, S. 169.
78 A. a. O. S. 6.
79 »Vorstellung« in dem Sinne von etwas Bildartigem genommen.
80 Es kommt darauf an, den Sinn einer Gleichung wie
df(x) = g(x) dx
zu definiren, nicht aber darauf, eine von zwei verschiedenen Punkten begrenzte
Strecke aufzuweisen, deren Länge dx wäre.
81 Dies Wort rein psychologisch, nicht psychophysisch verstanden.
82 Baumann a. a. O. Bd. II. S. 565.
83 Vergl. E. Schröder a. a. O. S. 7 und 8. E. Kossak, die Elemente der
Arithmetik, Programm des Friedrichs-Werder'schen Gymnasiums. Berlin, 1872.
S. 16. G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre.
Leipzig, 1883.
84 Um mich bequemer ausdrücken zu können und leichter verstanden zu
werden, spreche ich hier vom Parallelismus. Das Wesentliche dieser
Erörterungen wird leicht auf den Fall der Zahlengleichheit übertragen werden
können.
85 Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm. S. 94.
86 In einem hypothetischen Urtheile könnte z. B. eine Gleichheit von
Richtungen als Bedingung oder Folge vorkommen.
87 Der bestimmte Artikel deutet dies an. Begriff ist für mich ein mögliches
Praedicat eines singulären beurtheilbaren Inhalts, Gegenstand ein mögliches
Subject eines solchen. Wenn wir in dem Satze
»die Richtung der Fernrohraxe ist gleich der Richtung der Erdaxe«
die Richtung der Fernrohraxe als Subject ansehen, so ist das Praedicat »gleich
der Richtung der Erdaxe«. Dies ist ein Begriff. Aber die Richtung der Erdaxe ist
nur ein Theil des Praedicates; sie ist ein Gegenstand, da sie auch zum Subjecte
gemacht werden kann.

88 Ich glaube, dass für »Umfang des Begriffes« einfach »Begriff« gesagt werden
könnte. Aber man würde zweierlei einwenden:
1. dies stehe im Widerspruche mit meiner früheren Behauptung, dass die
einzelne Zahl ein Gegenstand sei, was durch den bestimmten Artikel in
Ausdrücken wie »die Zwei« und durch die Unmöglichkeit angedeutet werde,
von Einsen, Zweien u. s. w. im Plural zu sprechen, sowie dadurch, dass die Zahl
nur einen Theil des Praedicats der Zahlangabe ausmache;
2. dass Begriffe von gleichem Umfange sein können, ohne zusammenzufallen.
Ich bin nun zwar der Meinung, dass beide Einwände gehoben werden können;
aber das möchte hier zu weit führen. Ich setze voraus, dass man wisse, was der
Umfang eines Begriffes sei.
89 Hiermit ist der Fall nicht zu verwechseln, wo das »und« nur scheinbar die
Subjecte, in Wahrheit aber zwei Sätze verbindet.
90 Desgleichen die Umkehrung: Wenn die Zahl, welche dem Begriffe F
zukommt, dieselbe ist wie die, welche dem Begriffe G zukommt, so ist der
Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig.
91 Ganz davon verschieden ist die Definition eines Gegenstandes aus einem
Begriffe, unter den er fällt. Der Ausdruck »der grösste ächte Bruch« hat z. B.
keinen Inhalt, weil der bestimmte Artikel den Anspruch erhebt, auf einen
bestimmten Gegenstand hinzuweisen. Dagegen ist der Begriff »Bruch, der
kleiner als 1 und so beschaffen ist, dass kein Bruch, der kleiner als 1 ist, ihn an
Grösse übertrifft« ganz unbedenklich, und um beweisen zu können, dass es
keinen solchen Bruch gebe, braucht man sogar diesen Begriff, obgleich er einen
Widerspruch enthält. Wenn man aber durch diesen Begriff einen Gegenstand
bestimmen wollte, der unter ihn fällt, wäre es allerdings nöthig, zweierlei vorher
zu zeigen:
1. dass unter diesen Begriff ein Gegenstand falle;
2. dass nur ein einziger Gegenstand unter ihn falle.
Da nun schon der erste dieser Sätze falsch ist, so ist der Ausdruck »der grösste
ächte Bruch« sinnlos.
92 Siehe Anm. auf S. 87 u. 88.
93 Satz ohne Allgemeinheit.
94 Vergl. B. Erdmann, die Axiome der Geometrie S. 164.
95 Wenn n keine Anzahl ist, so gehört nur n selbst der mit n endenden
natürlichen Zahlenreihe an. Man stosse sich nicht an dem Ausdrucke!
96 E. Schröder scheint a. a. O. S. 63 diesen Satz als Folge einer auch anders
denkbaren Bezeichnungsweise anzusehen. Es macht sich auch hier der
Uebelstand bemerkbar, der seine ganze Darstellung dieser Sache beeinträchtigt,
dass man nicht recht weiss, ob die Zahl ein Zeichen ist, und was dann dessen
Bedeutung, oder ob sie eben diese Bedeutung ist. Daraus, dass man verschiedene
Zeichen festsetzt, sodass nie dasselbe wiederkehrt, folgt noch nicht, dass diese
Zeichen auch Verschiedenes bedeuten.
97 Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre. Leipzig, 1883.

98 Dieser Ausdruck kann der früher hervorgehobenen Objectivität des Begriffes
zu widersprechen scheinen; aber subjectiv ist hier nur die Benennung.
99 Das Beobachten schliesst selbst schon eine logische Thätigkeit ein.
100 A. a. O. Bd. II. S. 670.
101 A. a. O. III. S. 39 u. ff.
102 S. 43 sagt er, dass ein synthetischer Satz nur dann nach dem Satze des
Widerspruchs eingesehen werden kann, wenn ein andrer synthetischer Satz
vorausgesetzt wird.
103 Ebenso, wenn die Merkmale durch »oder« verbunden sind.
104 A. a. O. III, S. 82.
105 Sie soll jedoch nicht nur die logische Form wie die boolesche
Bezeichnungsweise, sondern auch einen Inhalt auszudrücken im Stande sein.
106 Begriffsschrift, Halle a/S. 1870, S. 86, Formel 133.
107 Diesen Beweis wird man immer noch viel zu weitläufig finden, ein
Nachtheil, der vielleicht die fast unbedingte Sicherheit vor einem Fehler oder
einer Lücke mehr als aufzuwiegen scheint. Mein Zweck war damals Alles auf
die möglichst geringe Zahl von möglichst einfachen logischen Gesetzen
zurückzuführen. Infolge dessen wendete ich nur eine einzige Schlussweise an.
Ich wies aber schon damals im Vorworte S. VII darauf hin, dass für die weitere
Anwendung es sich empfehlen würde, mehr Schlussweisen zuzulassen. Dies
kann geschehen ohne der Bündigkeit der Schlusskette zu schaden, und so lässt
sich eine bedeutende Abkürzung erreichen.
108 A. a. O. S. 6 u. 7.
109 A. a. O. S. 106 u. 107.
110 A. a. O. § 35.
111 A. a. O. S. 5. Aehnlich E. Kossak, a. a. O. S. 17 unten.
112 Aehnlich steht es bei Cantors unendlichen Anzahlen.
113 Auf einem andern Wege möchte sie immerhin streng bewiesen werden
können.
114 A. a. O. S. 18.
115 Das thut Hankel eigentlich schon durch den Gebrauch der Gleichung Θ (c,
b) = a.
116 A. a. O. S. 29.
117 Mit demselben Rechte könnten wir auch ein gewisses Electricitätsquantum,
einen gewissen Flächeninhalt u. s. w. zu Quadratwurzeln aus -1 wählen, müssten
diese verschiedenen Wurzeln dann auch selbstverständlich verschieden
bezeichnen. Dass man so beliebig viele Quadratwurzeln aus -1 scheinbar
schaffen kann, wird weniger verwunderlich, wenn man bedenkt, dass die
Bedeutung der Quadratwurzel nicht schon vor diesen Festsetzungen
unveränderlich feststand, sondern durch sie erst mitbestimmt wird.
118 Vergl. Kossak a. a. O. S. 17.
119 A. a. O. S. 17.

120 Man vergleiche über den Ausdruck »Vorstellung« § 27, über »Gruppe« das
in Bezug auf »Aggregat« § 23 u. § 25 Gesagte, über die Gleichheit der Elemente
§§ 34–39.
121 Der Einfachheit wegen sehe ich hier vom Incommensurabeln ab.
122 Ein leichter Ueberschlag zeigt, dass dazu Millionen Jahre lange nicht
hinreichen würden.
123 Man könnte sie auch formal nennen. Doch ist sie ganz verschieden von der
oben unter diesem Namen beurtheilten.
124 Ich will hiermit gar nicht leugnen, dass wir ohne sinnliche Eindrücke dumm
wie ein Brett wären und weder von Zahlen noch von sonst etwas wüssten; aber
dieser psychologische Satz geht uns hier gar nichts an. Wegen der beständigen
Gefahr der Vermischung zweier grundverschiedener Fragen hebe ich dies
nochmals hervor.
125 Der Unterschied entspricht dem zwischen »blau« und »die Farbe des
Himmels«.

TH. SCHATZKY BUCHDR., BRESLAU, WALLSTR. 14b.

Weitere Anmerkungen zur Transkription
Offensichtlich fehlerhafte Zeichensetzung wurde stillschweigend korrigiert.
Die Schreibweise der Ellipsen wurde vereinheitlicht.
Der »größer-als«-Operator wurde auf die heutige Schreibweise > geändert.
Das Zeichen für parallele Strecken wurde von »//« zu »∥« geändert.
Korrekturen:
Inhalt § 10 iductive → inductive
Additionsgesetze inductive Wahrheiten
S. II: Buchstaben ergänzt
so ist es doch wohl eine unabweisbare Aufgabe,
S. 4: mathemathische → mathematische
um eine mathematische Wahrheit handelt
S. 23: Endeckungen → Entdeckungen
hier nicht um die Geschichte unserer Entdeckungen,
S. 24: Ausicht → Ansicht
Wenn man diese nicht hier zuerst geäusserte Ansicht
S. 62: allmeines → allgemeines
ein allgemeines Begriffswort (notio communis) sein müsse
Fußnote 10: ihren → ihre
Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen.
Fußnote 52: Bl. → Bd.
A. a. O. Bd. II. S. 669.

*** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE
GRUNDLAGEN DER ARITHMETIK ***

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distribution of electronic works, by using or distributing this work (or
any other work associated in any way with the phrase “Project
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Section 1. General Terms of Use and Redistributing
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1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg electronic
work, you indicate that you have read, understand, agree to and accept
all the terms of this license and intellectual property
(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all
the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy
all copies of Project Gutenberg electronic works in your possession. If
you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project Gutenberg
electronic work and you do not agree to be bound by the terms of this
agreement, you may obtain a refund from the person or entity to whom
you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8.

1.B. “Project Gutenberg” is a registered trademark. It may only be
used on or associated in any way with an electronic work by people
who agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few
things that you can do with most Project Gutenberg electronic works
even without complying with the full terms of this agreement. See
paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project
Gutenberg electronic works if you follow the terms of this agreement
and help preserve free future access to Project Gutenberg electronic
works. See paragraph 1.E below.

1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (“the
Foundation” or PGLAF), owns a compilation copyright in the

collection of Project Gutenberg electronic works. Nearly all the
individual works in the collection are in the public domain in the
United States. If an individual work is unprotected by copyright law in
the United States and you are located in the United States, we do not
claim a right to prevent you from copying, distributing, performing,
displaying or creating derivative works based on the work as long as
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that you will support the Project Gutenberg mission of promoting free
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in compliance with the terms of this agreement for keeping the Project
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with its attached full Project Gutenberg License when you share it
without charge with others.

1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern
what you can do with this work. Copyright laws in most countries are
in a constant state of change. If you are outside the United States,
check the laws of your country in addition to the terms of this
agreement before downloading, copying, displaying, performing,
distributing or creating derivative works based on this work or any
other Project Gutenberg work. The Foundation makes no
representations concerning the copyright status of any work in any
country other than the United States.

1.E. Unless you have removed all references to Project Gutenberg:

1.E.1. The following sentence, with active links to, or other immediate
access to, the full Project Gutenberg License must appear prominently
whenever any copy of a Project Gutenberg work (any work on which
the phrase “Project Gutenberg” appears, or with which the phrase
“Project Gutenberg” is associated) is accessed, displayed, performed,
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This eBook is for the use of anyone anywhere in the United States
and most other parts of the world at no cost and with almost no
restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it
under the terms of the Project Gutenberg™ License included with

this eBook or online at www.gutenberg.org. If you are not located
in the United States, you will have to check the laws of the
country where you are located before using this eBook.

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from texts not protected by U.S. copyright law (does not contain a
notice indicating that it is posted with permission of the copyright
holder), the work can be copied and distributed to anyone in the United
States without paying any fees or charges. If you are redistributing or
providing access to a work with the phrase “Project Gutenberg”
associated with or appearing on the work, you must comply either with
the requirements of paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 or obtain
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trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or 1.E.9.

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with the permission of the copyright holder, your use and distribution
must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any
additional terms imposed by the copyright holder. Additional terms
will be linked to the Project Gutenberg License for all works posted
with the permission of the copyright holder found at the beginning of
this work.

1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg
License terms from this work, or any files containing a part of this
work or any other work associated with Project Gutenberg.

1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this
electronic work, or any part of this electronic work, without
prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with
active links or immediate access to the full terms of the Project
Gutenberg License.

1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary,
compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including
any word processing or hypertext form. However, if you provide
access to or distribute copies of a Project Gutenberg work in a format
other than “Plain Vanilla ASCII” or other format used in the official

version posted on the official Project Gutenberg website
(www.gutenberg.org), you must, at no additional cost, fee or expense
to the user, provide a copy, a means of exporting a copy, or a means of
obtaining a copy upon request, of the work in its original “Plain
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1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying,
performing, copying or distributing any Project Gutenberg works
unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9.

1.E.8. You may charge a reasonable fee for copies of or providing
access to or distributing Project Gutenberg electronic works provided
that:

• You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from the
use of Project Gutenberg works calculated using the method you
already use to calculate your applicable taxes. The fee is owed to the
owner of the Project Gutenberg trademark, but he has agreed to donate
royalties under this paragraph to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation. Royalty payments must be paid within 60 days
following each date on which you prepare (or are legally required to
prepare) your periodic tax returns. Royalty payments should be clearly
marked as such and sent to the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation at the address specified in Section 4, “Information about
donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation.”

• You provide a full refund of any money paid by a user who notifies
you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he does
not agree to the terms of the full Project Gutenberg™ License. You
must require such a user to return or destroy all copies of the works
possessed in a physical medium and discontinue all use of and all
access to other copies of Project Gutenberg™ works.

• You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any
money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
electronic work is discovered and reported to you within 90 days of
receipt of the work.

• You comply with all other terms of this agreement for free distribution
of Project Gutenberg™ works.

1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg™
electronic work or group of works on different terms than are set forth
in this agreement, you must obtain permission in writing from the
Project Gutenberg Literary Archive Foundation, the manager of the
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Section 3 below.

1.F.

1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend
considerable effort to identify, do copyright research on, transcribe and
proofread works not protected by U.S. copyright law in creating the
Project Gutenberg™ collection. Despite these efforts, Project
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stored, may contain “Defects,” such as, but not limited to, incomplete,
inaccurate or corrupt data, transcription errors, a copyright or other
intellectual property infringement, a defective or damaged disk or
other medium, a computer virus, or computer codes that damage or
cannot be read by your equipment.

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Except for the “Right of Replacement or Refund” described in
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paragraph 1.F.3, this work is provided to you ‘AS-IS’, WITH NO
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1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied
warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. If
any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the law
of the state applicable to this agreement, the agreement shall be
interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
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costs and expenses, including legal fees, that arise directly or indirectly
from any of the following which you do or cause to occur: (a)

distribution of this or any Project Gutenberg work, (b) alteration,
modification, or additions or deletions to any Project Gutenberg work,
and (c) any Defect you cause.

Section 2. Information about the Mission of Project
Gutenberg

Project Gutenberg is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of
computers including obsolete, old, middle-aged and new computers. It
exists because of the efforts of hundreds of volunteers and donations
from people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need are critical to reaching Project Gutenberg’s goals
and ensuring that the Project Gutenberg collection will remain freely
available for generations to come. In 2001, the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation was created to provide a secure and
permanent future for Project Gutenberg and future generations. To
learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 and
the Foundation information page at www.gutenberg.org.

Section 3. Information about the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non-profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the state
of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal Revenue
Service. The Foundation’s EIN or federal tax identification number is
64-6221541. Contributions to the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation are tax deductible to the full extent permitted by U.S.
federal laws and your state’s laws.

The Foundation’s business office is located at 41 Watchung Plaza
#516, Montclair NJ 07042, USA, +1 (862) 621-9288. Email contact

links and up to date contact information can be found at the
Foundation’s website and official page at www.gutenberg.org/contact

Section 4. Information about Donations to the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation

Project Gutenberg™ depends upon and cannot survive without
widespread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine-readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment. Many small
donations ($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax
exempt status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United States.
Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable
effort, much paperwork and many fees to meet and keep up with these
requirements. We do not solicit donations in locations where we have
not received written confirmation of compliance. To SEND
DONATIONS or determine the status of compliance for any particular
state visit www.gutenberg.org/donate.

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg web pages for current donation
methods and addresses. Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations. To
donate, please visit: www.gutenberg.org/donate.

Section 5. General Information About Project Gutenberg
electronic works

Professor Michael S. Hart was the originator of the Project Gutenberg
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone. For forty years, he produced and distributed Project
Gutenberg eBooks with only a loose network of volunteer support.

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the U.S. unless a copyright notice is included. Thus, we do not
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