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古腾堡计划电子书：《数学与数学家：思想与奇闻》

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书名：《数学与数学家：思想与奇闻》

编者：A. Rebière

发布日期：2013年2月3日 [电子书编号#41991]
最新更新时间：2024年10月23日

语言：法语

更多信息及格式：www.gutenberg.org/ebooks/41991

致谢：由Laurent Vogel、Susan Skinner、Christine P. Travers以及http://www.pgdp.net上的在线分布式校对团队共同制作。本书的原始版本是由格拉斯哥大学数学系慷慨提供用于扫描的。

*** 古腾堡计划电子书开始部分
《数学与数学家：思想与》

趣闻轶事 ***

数学与数学家

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科学领域中的女性
一本精美的8开本，共IX-362页，
配有肖像、亲笔签名及复制品……5法郎。

数学与数学家

思想与趣闻轶事
由A. REBIÈRE汇编

第三版，经过改进

巴黎
NONY & Cie书店
学校街17号，17号
1898年
（保留所有权利）

我们不想再让这本已经相当厚的书变得更厚了。我们只是通过替换内容的方式对上一版进行改进。读者们会在第14页、22页、166页、228页、261页、289页、302页、362页、418页、422页等处找到新的内容。

德·蒂利先生说过：“数学支配着世界，但它这么做时并不会给世界带来乐趣。”司汤达也曾说过：“这里是令人打哈欠、充满沉闷推理的地方。”尽管主题如此严肃，我们还是试图在其中加入一些轻松的元素。

我们为这本书增添了一本“姐妹书”，名为《科学领域中的女性》。您想了解那些女数学家及其他女科学家吗？您喜欢人物传记和亲笔签名吗？

1897年3月15日，巴黎

精选篇章与思考

以下内容涉及数学的原理、方法、分类、教学以及历史等方面。这些知识均来自古今众多学者与思想家的著作。

数学的对象与性质

数学究竟研究什么？不就是比例与秩序吗？

——亚里士多德

我首先想知道，人们所说的“数学”究竟指的是什么，为何算术和几何之外，天文学、音乐、光学、力学以及其他多种科学也被视为数学的范畴。

……

凡是稍有接触过学校教育的人，都能轻易区分出现在眼前的各种事物中哪些与数学相关，哪些属于其他科学领域。经过思考后，我终于意识到：只有那些涉及秩序或度量的事物才应被归入数学范畴，而无论这些度量是体现在数字、图形、天体、声音还是其他任何事物上，都无关紧要。

——笛卡尔

数学研究的共同且本质的特征在于它与两个基本概念或范畴密切相关：一是“秩序”的概念，即用来对事物进行分类的概念；二是位置、结构、形状和组合等概念；此外还有“大小”的概念，它包含数量、比例和度量等含义。

——古诺

代数分析的有效性并不取决于所使用符号的含义，而完全取决于这些符号的组合规则……抽象的、普遍的数学不仅仅研究数值、几何或力学方面的概念，它还研究各种运算本身，而不考虑这些运算可能被应用于哪些具体领域。

——利亚尔

因此，我们现在已经能够准确地定义数学科学了：它的目标就是间接地度量各种量，其核心任务就是不断确定这些量的数值。

各种量值之间存在着精确的关联，正是基于这些关联，它们才彼此相连。这一表述并非在描述某种艺术，而是直接体现了一门真正的科学——它由一系列复杂的智力运算构成，而这些运算会因为需要在未知量与可直接测量的量之间建立诸多中间环节而变得极为复杂……根据这一定义，数学思维的本质在于将任何现象中所涉及的所有量值视为相互关联的，从而能够从中推导出其他量值。

奥古斯特·孔德

关于这段引文，来自柏林的霍普指出，在数学中这也体现了运算之间的等价性。

最普遍接受的数学定义是：数学是一门研究量值的科学。这个定义从本质上来说是正确的，但它过于表面化，需要进一步解释。

那么，在数学中究竟指的是哪些量值呢？是所有量值吗？并非如此，因为那样的话一切都会成为数学的研究对象——只要我们按照通常的定义来理解“量值”，即“那些可以增加或减少的东西”；因为这一定义适用于一切事物：一件东西可以更美或更不美，一个行为可以更好或更差，一种愉悦感可以更强烈或更微弱，一个人可以更有智慧或更缺乏智慧；但这些都不是数学意义上的量值。为什么呢？因为它们无法被测量。那么，什么是可测量的量值？一般来说，什么是测量呢？那就是将某个量值与作为基准的给定量值进行比较。测量一条道路的长度，就是将该道路的长度与以米为单位的长度基准进行比较，然后确定它包含多少个这样的单位。但是，谁又能说，例如，卡图卢斯的才华在多大程度上体现在荷马的天才之中呢？

因此，数学的研究对象仅限于那些可测量的量。由此便有了这样的新定义：数学是一门关于测量量的科学。

这个定义比之前的定义更为准确，但它仍然较为表面化。实际上，测量似乎只是一种纯粹的机械操作而已。而那其实属于技艺的范畴，而非科学的范畴。测量并非几何学的内容——进行测量的是测量员，而提供测量方法的是几何学家。因此，测量并非科学的直接研究对象，而只是其间接且遥远的对象。让我们看看它如何才能成为真正的科学研究对象。

通常情况下，将某个量与单位直接进行比较是不可能的。例如，如果我想知道一片森林里有多少棵树，那就必须一棵一棵地数，而这需要无限的时间。大多数情况都是如此。以最简单的例子来说，就是通过叠加直线的某一部分来测量这条直线。这要求：第一，我们能够沿着这条线移动，这就排除了那些无法到达的长度（比如天体之间的距离）；第二，这条线既不能太长，也不能太短，必须处于合适的位置——比如是水平的，而不是垂直的。如果对于直线来说都是如此，那么对于曲线、曲面、体积，以及速度、力等量来说更是如此。那么，所有这些量要如何被测量呢？这就是需要数学来解决的问题。

从本质上讲，数学的任务就是把那些无法直接测量的量转化为可以直接测量的量。正因如此，数学才算得上一门科学。因为，待测量量与可直接测量的量之间的差距可能有大有小。于是就需要通过一系列的转换，将最复杂的量逐步转化为最简单的量；而这种量的相互转换过程，其实就是数学的本质。比如，要测量一个物体的垂直下落距离，这里就有两个不同的量：物体下落的高度以及下落的时间。显然，这两个量是相互关联的，用数学术语来说，它们是彼此的函数。

可以通过其中一个量来衡量另一个量；例如，对于一个坠入深渊的物体，可以通过它下落所需的时间来计算下落的高度；而在其他情况下，由于时间无法直接观测，就需要通过高度来推算出时间。因此，如果能够找到一种将这两个量联系起来的规律，从而能够由其中一个量推断出另一个量，那么就可以把那些无法直接测量的量转化为可以测量的量。这就是一个数学问题。再举个例子：如何测量那些无法接近的天体之间的距离呢？我们可以把这段距离视为某个三角形的一部分，而我们知道这个三角形的其中一条边以及两个角度。几何学告诉我们如何求出该三角形的另外两条边，这样我们就可以构建出这个三角形，只需从顶点画一条线到底边，就能得到实际的距离。一旦知道了距离，就可以根据表观直径推断出真实直径，进而计算出体积，甚至再加上其他因素后得到重量。

保罗·贾内特

数学家会提前准备好模型，之后由物理学家来填充这些模型。

泰纳

换句话说，数学秩序为物理秩序的构建提供了灵感。

数学具有这样一个独特而显著的特性：一切都可以仅通过推理来证明，无需借助任何实验，不过所有得出的结果都可以在实验允许的精确度范围内得到验证。因此，数学兼具理性科学的特征，同时也具备现代语言中所定义的实证科学的特征。

古诺。

数学可以说是在形而上学与物理学之间架起的一座桥梁。

康德。

根据莱布尼茨的观点，只有“存在秩序的地方”才存在度量。因此，数学可以被视作秩序的科学。

有些人认为，那些无法通过实验加以验证的数学内容应当被归入哲学范畴。不可通约数便是如此，负数和虚数更是如此。不过，人们已经找到了对这些符号的具体解释方式；而且，如此狭隘且武断地对数学加以限制，实际上会使其几乎失去意义。

几何真理在某种程度上可以被视为物理真理的渐近线，也就是说，物理真理可以无限接近这些几何真理，却永远无法完全达到它们。

达朗贝尔。

几何图形纯粹是心灵的构想，然而几何学不仅是一门有助于发展智力能力的思辨科学……它还具有实际用途。

由于其在艺术领域的广泛应用。这是因为，某些物体的体积、它们的表面，以及这些表面相交的部分，都可以被视为几何体、表面和线条。

借助精确的定义与确定的公理，数学能够在推理始终遵循逻辑规律的前提下得出可靠的结论。正因如此，作为研究量的科学，它才享有“精确”这一光荣的称号。

这尤其意味着，与其他任何科学相比，数学最不容易出错。感知会有错误，概念会有缺陷，归纳法会有冒失之处，观点会有分歧，观察会有偏差，实验也会有失误。唯有演绎法，只要遵循推理规则，就不会出错。它所建立的真理虽然发展速度有快有慢，但一旦被证明，就是完美且不可改变的。

量论是唯一一个毫无瑕疵的科学构建范例……正因如此，它才配得上希腊人赋予它的“卓越科学”（mathesis）这一称号。它是典型的科学，是作为所有实证科学典范的确定知识理想，而这些科学只能通过借鉴其方法并将自身的测量标准置于其法则之下，才能与之接近。

布尔多。

说数学毫无瑕疵未免言过其实。在这方面，仍然有一些问题有待解决。

在那些需要证明的科学中，比如数学中，已经获得的成果是绝对完美的；而在其他科学中……

观察科学是可以不断完善的，因此也是可变的；或者至少，在能够进行证明之前，它都保持着这种特性。

——杜瓦尔-茹夫

数学中有一些极为精妙的发明，它们既能满足人们的好奇心，又能为各种艺术带来便利，同时还能减轻人类的劳动负担。

——笛卡尔

他们认为，几何学中的对象没有任何现实性，也不可能存在；没有宽度的线条、没有深度的平面、没有长度、宽度或厚度的数学点，都只是纯粹的幻想而已。几何学所证明的各种图形的性质也是如此：根本不存在完美的圆或完美的球体。因此，他们得出结论：这门科学研究的只是那些虚幻且不可能存在的对象……

……对于几何学家来说，是否存在完美的球体或完美的平面其实并不重要；这些图形只不过是他们所研究的物质对象的智力上的极限而已。而他们对这些极限所做出的结论，对于那些越接近这些极限的物质对象来说，就越是正确……

……不过，也许还有人会追问：那些具有完美形状的物质对象是否真的可能存在呢？

……对于几何学家而言，只要这些图形的形而上学概念清晰明了，便足以作为他们研究的基石，进而使他们的研究结果同样具有清晰性与明确性。

蒙图克拉

那些反对几何学的人，或是对几何学了解不深的人，将构成几何学中最难部分的理论问题视为无意义的智力游戏，认为它们浪费了本可用于其他更有意义之事的时间与精力。这种观点是错误的，而且如果被广泛接受，将会严重阻碍科学的发展。不过，那些看似毫无实用价值的思辨命题，往往最终能应用于具有公共利益的实际问题中；同时，它们也始终是激发并展现人类智慧力量的最佳手段之一。

博苏

从整体上看，关于数量关系的科学具有完美的统一性，而“数学”（复数形式）这个词似乎忽视了这一点，因为它让人误以为这是一组独立的科学，而非一门统一的科学。

正如孔多塞所建议的，也正如奥古斯特·孔德所举例的那样，使用“数学”这一词会更能体现数量关系科学的整体统一性。此外，值得注意的是，这样的改革能让我们的语言回归正轨。

“数学”一词在17世纪就已经被使用过，在佩里埃夫人所写的关于帕斯卡的文章中，每页就会出现三次。

数学不仅是一门科学，它本身就是科学；它的名称也正是由此而来——因为对希腊人而言，数学就是唯一的科学。

那些通过精确测定经度而避免船只触礁的水手们，其实要感谢两千年前那些出于纯粹几何学思考而提出的理论。

康多塞

人类知识的体系应当从数学科学开始，因为这些科学以最少的概念作为出发点。此外，我们可以在不借助其他知识领域的情况下研究由数学构成的真理；相反，其他知识领域则从数学那里获得诸多帮助，比如物理和工业科学所依赖的定理与计算方法、农业所需的土地测量与历法、对于那些无法完全确定其真实性的知识而言所需的概率度量方法，以及哲学需要研究的各种方法的典型实例。还有地理学和历史学所依赖的地点与时间确定方法。而在政治科学领域，数学的应用更是无处不在——它为军事艺术的各个方面提供了不可或缺的帮助。

安培

基本概念

或许会有人觉得奇怪：几何学[2]竟然无法定义它所研究的所有对象；因为它既不能定义运动，也不能定义数字，更不能定义空间。而这三者恰恰是几何学特别关注的对象……不过，如果我们明白这门卓越的学科只研究最简单的事物，那么正是这种特性使得它们有资格成为其研究对象，却也使得它们无法被定义；因此，缺乏定义反倒是一种完美，因为这不是由于这些事物的模糊性，而恰恰是因为它们的极其清晰……

……当几何学研究到那些已为人所知的最初真理时，它就会停止在此，要求人们接受这些真理，因为它没有更清晰的依据来证明它们；这样一来，几何学所提出的所有结论都是通过自然之光或各种证明而被充分证明的。正因如此，虽然这门学科无法定义和证明所有事物，但那只是因为我们本身无法做到而已。

……保持一种平衡状态：不对那些所有人都能理解的事物进行定义，也不去定义其他所有事物；不对那些所有人都已知晓的事物进行证明，也不去证明其他所有事物。那些试图对一切事物都进行定义和证明的人，以及那些忽视对那些并非显而易见的事物进行定义和证明的人，都在违背这一原则。——帕斯卡

有一些基本概念，我们有理由假设学生已经掌握它们。这些概念将有助于他们获得更多的知识。我们不会试图进一步解释它们，因为解释的目的只是把那些未知的事物与已知的事物联系起来而已。

因此，我们不得不先验地接受某些概念、某些观念——仅仅通过对其的陈述，或是通过用来指代它们的名称即可。

杜阿梅尔。

形状是物体所固有的，而数字则依赖于单位。

几何观念的真正来源应当从精神的领域中去寻找，远远超出观察结果的范围，而非在这些观察结果本身之中。尽管这些观念的应用领域在较低层次上，即实验领域中，那里是物质与精神相交汇的地方，观念在此处得以具体化，从而变得可感知。

理想世界拥有其自身的独立性以及独特的规律，就像物理世界一样。不过，这两个世界彼此之间是相互关联的，它们之间存在着和谐关系，只不过这种和谐的程度很高，超出了我们的理解范围。

布西内克。

数学概念的起源至今仍在哲学家们之间引发争议。有些人认为，数字和图形是由精神完全创造出来的模型，它们凭借着思维与外部现实之间的某种神秘契合力，强加于经验中的事物之上。而另一些人则认为，数字和图形也不例外，它们同样遵循着这样一条普遍规律：所有的知识都直接或间接地源自感官经验。在一种观点下，数学概念是模型；而在另一种观点下，它们则是复制品。

此处并非探讨这一争议、权衡各方论据的场合。我们只需注意到两个事实：首先，无论人们对数学概念的起源持何种观点，都无人会否认这些概念并非对外部现实的绝对精确的表征。单位可以被分割成严格相等的部分；而现实中的物体则不然——该物体的二分之一、四分之一、十分之一永远不可能与另一半、其他三个四分之一或九个十分之一完全相等，而且细分得越多，各部分之间的实际差异就越大。几何学家所设想的圆，其半径是完全相等的；而现实中的圆的半径则并非如此；球面上的所有点都与中心距离相等；但实物构成的球体的半径却并非如此。其次，数学家常常研究那些在现实中根本找不到对应实体的数字和图形。将现实中的物体分割成相等部分时存在一定的极限，而我们的感官以及最精密的测量工具都无法突破这一极限；但数学家的思想却能轻松超越这一极限，在物体可能被分割的最小单位之外，还能继续设想出更多的分割方式，且这种过程是无限持续的。同样，物体相加也存在极限，但数学单位相加则没有这样的限制——自然界很快就会耗尽可用的资源，而数字的计数则永无止境。在几何学中也是如此，尽管自然界中存在的形状千变万化，但数学家仍然会研究某些形状的性质，尽管他们从未在现实世界中见过它们。有谁见过边数为1000的正多边形呢？

基于这两个事实，即便人类的思维是从经验中获取构成数学概念的最初元素，它也会对这些元素进行加工和改造，很快便摆脱实验带来的束缚。此时，它就好像是从自身内部获取这些概念一样。因此，无需参与关于数学概念起源的种种争论，我们完全可以而且应该将这些概念视为人类思维按照自身设定的规律所创造出来的产物——这些产物只是部分地、而且是以不完美的方式被现实世界所再现的。

利亚尔

空间只有三维才存在；但若想用分析方法来研究它，首先需要去掉其中的两个维度，将其简化为单一维度，这样就有了“线”的概念。如果在这一概念中完全忽略与二维相关的因素，那么就得到了“直线”的概念；因为尽管曲线也只有一维，但曲率的概念必然涉及到对二维的考虑。线的末端则构成了“点”，这是人们在研究空间时所能达到的最抽象的概念。而“面”则是具有二维空间的概念，如果再完全忽略第三维度，那就有了“平面”的概念。最后，具备三维空间的结构则构成了“立体”。

拉普拉斯

由于空间必然是均匀的，因此可以将其划分为两个部分，使得关于其中一个部分的描述同样适用于另一个部分；而且，无论整体还是局部来看，这两个部分的公共边界都保持着相同的比例关系。这种边界被称为“平面”。而平面和空间一样，也可以被划分为两个这样的部分，使得关于其中一个部分的描述同样适用于另一个部分；而且，无论整体还是局部来看，这两个部分的公共边界都保持着相同的比例关系……

贝特朗，日内瓦人

通常所采用的几何公理体系既不够充分，又过于冗余。它不够充分，是因为实际上有一些事实并未被明确表述出来；但它又过于冗余，因为其中包含了一些本不必存在的事实。

这些结论都是通过那些被视作公理的命题来严格证明的……

几何学的公理可以归结为三条：即关于距离及其基本性质的公理、关于距离可以无限增加的公理，以及关于唯一平行线的公理。

蒂利。

在几何学之后，力学的研究可以被看作是对三种基本概念的进一步发展，而这些概念在任何科学教育之前就已经存在于人类的头脑中：它们就是力、时间和质量的概念。这些概念是不可简化的，我们无法像定义空间那样来定义力、时间或质量。

查尔斯·西蒙。

无论数学研究什么对象，它都会剥离该对象的所有感官属性以及所有个体特征；很快，它就变成了一个关于数字或大小的抽象关系。人们用字母或线条来表示这种关系；此时，原来的对象就被遗忘了，在数学中它不再存在。这些看似任意的符号，其实是数学研究的唯一对象；数学运算都是围绕这些符号进行的。只有当得到最终结果之后，数学才会回过头来，将这一结果应用到那些原本已被忽略的实物上。通过这种方法得出的确定真理，乍看之下似乎只是些抽象的智力成果；人们可能会误以为它们只是同义的命题，却忘记了相同元素的不同组合并非同一回事。人们还可能认为它们不属于现实世界。但那是一种错误：因为它们其实是真实的真理。

只有当您所应用的那些概念在现实中确实存在，且与您的设想一致时，这样的应用才是有意义的。

孔多塞

方法

1. 对于那些本身就已经十分清楚的概念，不必试图去定义它们，因为已有更清晰的术语可以表达它们。

2. 不得使用任何模糊或含糊不清的术语，除非为这些术语给出明确的定义。

3. 在定义中只能使用那些已经完全为人所知或已被解释过的术语。

4. 无论某个原则多么显而易见，都必须在确认大家同意该原则之后才予以采用，不得遗漏任何必要的原则。

5. 作为公理，只能选择那些本身就极其显而易见的命题。

6. 对于那些本身就已经非常明显的命题，不必试图去证明它们，因为已经存在更清晰的证明方式。

7. 对于那些稍显模糊的命题，必须用那些本身极为显而易见的公理，或是已经被证明或得到认可的命题来为其提供证明。

8. 绝不能滥用术语的歧义性，必须始终在心中代入那些能够限定并解释这些术语的定义。

帕斯卡

当需要证明某个命题为真时，首先会尝试判断它是否可以作为已被接受的命题的必然结论而被推导出来。如果是这样，那么该命题本身也应当被接受，从而得到证明。如果找不到任何已知命题可以用来推导出它，就会尝试寻找某个尚未被接受的命题，使其能够被推导出来，此时问题就转化为证明那个未被接受的命题的真实性。如果该命题也能从已被接受的命题中推导出来，那么它就会被认定为真，进而所讨论的命题也会被证明为真；否则，就会继续寻找另一个尚未被接受的命题来推导它，问题依然归结为证明那个命题的真实性。如此反复，直到找到一个已被认定为真的命题为止，这时所讨论的命题的真实性也就得到了证明。

可见，这种被称为“分析法”的方法，其实就是建立一条由待证明的命题开始、以一个已知命题结束的命题链，使得从第一个命题出发，每一个命题都是其后一个命题的必然结论；这样一来，第一个命题也就成了最后一个命题的结论，因而也为真。

…………

综合法则则是从那些已被认定为真的命题出发，从中推导出其他命题作为其必然结论，再从这些新命题中继续推导下去，直到最终得到所讨论的命题，而该命题也会因此被认定为真。所以它本质上也是一种演绎方法。由此可见，如果已知某个定理的分析法证明，那么只需颠倒命题的顺序，就能立即得到它的综合法证明。

杜阿梅尔

在数学中，有一种用于探寻真理的方法，柏拉图被认为发明了这种方法，西奥恩则将其称为“分析法”，并这样定义它：把所要研究的事物视为已经给定的，然后……

一步步推导下去，直到将所寻求的结论视为真实。相反，综合法的定义则是：从给定的事物出发，通过一系列推导，最终找到所寻求的事物。

——维埃特

可以看出，那种通过逐步简化来达到严谨结论的分析方法，实际上与通过演绎进行的综合法并无二致；但它不同于古人的分析方法，因为古人的分析方法是演绎性的，属于对需要证明的真理的一种验证过程。

如今我们已不再使用综合法，因为通常只允许使用那些能够立即被反证的推论。“如果A为真，那么B也为真”这样的表述，只有在其逆命题“如果B为真，那么A也为真”也成立时才能使用。古人很少有足够的信心，认为自己的分析过程已经足够可靠，从而可以省去分析之后的综合验证步骤。

——P. 坦纳里

如果你用一个更一般的命题或问题来替代原来的命题或问题，那么你可能会找到更多的解，也就是一些原本不存在的解。

反之，如果新的命题或问题不够一般化，那么你可能会失去一些解。

以下是根据《波尔-罗亚尔逻辑学》所指出的几何学家们方法中存在的一些缺陷：

1. 更注重确定性而非显而易见的事实，更致力于说服人们而非启迪他们的思维。
2. 通过不可能的方式来进行证明。
3. 采用过于复杂的路径来推导结论。
4. 完全不顾及自然的真实规律。
5. 不使用分割与分类的方法。

希望人们不要让过去几世纪几何学家们取得的某些成果被遗忘，应当重新审视那些简单却往往十分巧妙的原理——正是借助这些原理，那些伟大的学者才取得了成就；因为真正不应被丢弃的，不是具体的真理，而是那些方法。

庞斯莱

为便于区分实验归纳法与数学方法所得出的结果，假设有个狡猾的家伙……喜欢在我们进行运算时制造混乱，在我们计算两组各五个物体时随意创造或消除某个物体，或者改变我们所测量的三角形的角度，或是作为度量单位的基准角的大小；我们将无法发现这种欺骗行为，只会天真地记录下各种不同的结果，然后心安理得地得出结论：三角形的角有时等于两个直角，有时多于，有时少于；而五加五则根据不同情况等于十、十二或其他数字。

但是，如果我们已经通过理性论证证明了五加五等于十，且三角形的角等于两个直角，那么，此时……

即便有某个狡猾的精灵在我们试图通过实验来验证这些真理时介入，扰乱我们的计算与测量结果，我们依然能够坚持自己在抽象层面所证明的绝对真理。我们只能得出这样的结论：由于某些我们尚不清楚的原因，这些真理在现实世界中，由于各种属性与数学属性的结合，而发生了变化。

拉比埃。

简单的问题应当用简单的方法来解决；只有那些需要复杂手段才能解决的问题才适合采用深入的分析方法。我们不应像寓言中的那个角色那样，为了摆脱一只跳蚤，就想要借用朱庇特的雷电或赫拉克勒斯的战锤。

德朗布尔。

这是在我们所有的数学研究中都可以注意到的现象：那些辅助性的量、那些漫长而复杂的计算过程，几乎总说明我们的思维从一开始就没有以最直接的方式去理解事物，因为我们需要如此多的技巧和迂回手段才能达到目的；而一旦我们从正确的角度去看待问题，一切都会变得简捷明了。

普瓦索。

几何定义从来不会先于所要研究的图形的出现而存在；相反，它们是在图形被确定之后才出现的，用来对图形进行界定。只有在证明了某个图形是可能且唯一的之后，才能对其下定义。

用一个词来概括这一证明的结果，然后将这个词视为该图形的等价物或定义。

J. F. Bonnel

在当前数学科学的发展水平下，要避免其研究领域变得过于复杂而超出人类理解能力，唯一的办法就是不断推广这些科学所涵盖的理论，这样，少数几条普遍且富有意义的真理就能成为各种具体事实的简明表达。

Charles Dupin

几何学的范围与进展如此之快，以至于我们或许不必拒绝对新方法的研究，而应着眼于那些通用方法，这样才能拥有更多手段来掌握我们所需要的真理。事实上，现在已经不可能记住所有已被发现的真理了。

Bellavitis

为了解决某个问题，首先必须将其视为已经解决的状态，给构成该问题的所有线条命名——无论是已知的还是未知的。之后，无需区分这些已知与未知的线条……尝试用两种方式来表示同一个量，这就叫做方程式……我们需要建立的方程式数量，应与假设的未知线条数量相等。

笛卡尔：

从整体结构的角度来看，一个图形的某些部分可以是真实的，也可以是虚构的。在真实情况下，这些部分往往能用于证明某个定理；而当这些部分变为虚构时，就无法再用来进行证明了。于是人们认为，根据连续性原理，第一种情况下被证明的定理同样适用于第二种情况，因此可以以一般形式来表述该定理。不过有时情况也会相反：当图形的某些部分是虚构的时，反而可以找到简单的证明方法，然后根据连续性原理，将这些方法的结论应用到那些部分为真实的情况中，因为此时已经不存在相应的证明了。

沙勒斯：

有一次，他在主持一场教师资格考试时，波松一时忘记了正在考核的考生，开始阐述自己的观点：在几何学中存在四种方法——叠加法、归谬法、极限法和微分法。他说，叠加法只适用于极少数情况；归谬法是以已知真理为前提，从而证明事情只能如此，但却无法说明原因；极限法虽然比另外两种方法更通用，同样也是以已知真理为前提，因此也算不上是一种探索方法。这三种方法都只是适用于某些已知真理的证明手段而已。而微分法则既是一种普遍且始终适用的证明方法，也是一种探索方法。

格拉特里

在数学中，还可以另一种分类方式，这种分类并非基于学科的研究对象，而是基于其研究方法。从这一新视角来看，我们可以将分析分为两类：

1. 处理离散量的分析；
2. 处理连续量的分析。

在第一类分析中，人们研究的是某些事先给定的固定量之间的相互关系。这种方法被用于数学的基础部分，尤其是在算术以及几何学的初期阶段；不过，也有少数基本定理的证明需要用到不可通约量的概念。

而在处理连续量的分析中，人们则把所研究的对象视为可以以微小幅度变化的量，并试图找出支配这些量同时变化的规律。

欧几里得和阿基米德曾经给出过这一方法的杰出范例，但几个世纪以来它一直被遗忘。直到笛卡尔发现了将代数应用于曲线理论的方法之后，几何学家们才不得不重新使用这一方法，以此来解决他们面临的两个问题：切线问题与求积问题。

乔丹

几何学与分析学

有人说，几何学是一门关于对错误图形进行正确推理的艺术。那些粗糙的图形只是为了吸引人们的注意力而绘制的而已。

实际上，它所考虑的只是理想化且完美的图形。

柏拉图说过：那些不知道正方形的对角线与其边长是无法相等的的人，不配被称为人。

代数不过是用文字表达的几何学，而几何学则不过是图形化的代数而已。

索菲·热尔曼

代数使用的是抽象符号，它用那些本身没有任何实际意义的符号来表示绝对量，从而让这些量保持尽可能多的不确定性。因此，代数在运算和推理时，不得不把那些表示“不存在”的符号当作始终是绝对的、真实的量来处理。例如，a和b代表两个任意量，在计算过程中，我们根本无法记住或判断出它们的数值大小顺序；人们不由自主地会把a-b、a+(-b)之类的表达式当作始终是绝对且真实的量来处理。因此，其结果也必须具有这种普遍性，能够适用于所有可能的情况以及其中出现的所有符号值。正因如此，才有了那些看似只属于代数的奇特形式与逻辑结构。

…………

在通常被称为“综合”的普通几何学中，其原理则完全不同，推理方式也更为谨慎或严格。几何学中是对图形进行描述，始终不会忽视该图形，所有的推理都是基于真实存在的量与形状，而且永远不会从……中得出结论。

那些无法通过感官所能感知的对象来加以描绘的后果；一旦这些对象不再具有实在且绝对的存在，即不再具有物理存在，那么这种推理也就终止了。甚至，这种严格性还体现在：不允许将某种特定排列下的对象所构成的推理结果，应用到另一种同样具有相似性的排列上；简而言之，在这种受限的几何学中，一旦某条线或某个点从一条直线的这一侧移动到了另一侧，就不得不重新开始所有的原始推理过程。

庞斯莱。

这位《图形的射影性质论》的著名作者接着阐述了现代人是如何努力让几何学具备代数的普遍性的。

任何具体量值之间的精确关系，都与用来表示这些量值的单位大小无关。例如，直角三角形的三条边之间的关系，无论用米、线段还是英寸来表示，都是一样的。

从这一普遍原理可以得出：任何表达某种现象的解析规律的运算，都应具有这样的特性——当其中所有量的单位同时发生相应变化时，该运算的结果不会发生任何改变。显然，这种变化意味着：如果某个量的单位变大m倍，那么所有同类量都会同时变小m倍，反之亦然。因此，任何表示某种具体关系的方程，都应具备这样的特性：当方程中所有表示相关量值的量都变大m倍时，方程本身仍然保持不变，不过那些表示这些量之间比例关系的数字则除外，因为它们是不变的。

在单位变换中。正是这一性质构成了最广义意义上的同质性法则。

奥古斯特·孔德

用几何学中的第二册来解决通常属于第三册范畴的问题，其实是一种有趣的简化方式。例如，过两点且与一条直线相切的圆的周长问题。由此可见，命题之间的逻辑顺序并不像人们通常认为的那样固定。

平面代数可以说既建立在算术之上，也建立在几何学之上：它的目的并非直接求出所求量的数值，而是确定对给定量进行何种运算，从而推导出所求量的数值。这些由代数符号表示的运算规则，就是代数中所说的公式。

拉格朗日

达朗贝尔说过：“代数是慷慨的，它往往能给出超出人们期望的结果。”此时，那些所谓的“非标准解”实际上就是该问题经过扩展、泛化后的解。计算过程并不考虑我们的各种限制条件。

对数学运算和定义不断进行的扩展，必须遵循运算规则恒定不变的原则。

汉克尔：
公式对于思维而言是一种极好的辅助工具，它让人们无需付出沉重的思考努力，只需遵循这些公式即可。它们不仅为人们指明方向，还会推动人们前进。人们只需保持必要的注意力，以避免违反公式的规则，而这种注意力几乎属于感官层面的——是眼睛而非大脑在起作用。简而言之，公式就像一种机器，人们可以借助它近乎机械地完成运算。

孔多塞：
在必要时，必须能够直接对每个具体案例进行推理。

人们说数学分析是一种工具。这一比喻是可以接受的，前提是人们承认，这种工具就像神话中的普罗透斯一样，必须不断改变形态。

阿拉戈：
运用计算的方法，就如同使用一种精度已知的工具。

J.傅里叶：
在运算过程中，可以区分出表示运算符号的符号、作为运算对象的数字，以及最终得到的结果。虽然后两者看似更为重要，但我们完全可以忽略它们，仅通过那些表示运算的符号来进行推理。

那些具有哲学性质的定理，构成了各种运算的计算基础。

例如：

代数公式在其有限的范围内，已经包含了所有由它们所描述的曲线规律。

泰纳

代数是一种极为完善的“语言”，也是唯一的此类语言。那种始终存在的类比关系，会让人逐渐从一种表达方式过渡到另一种表达方式……简洁的文体正是其优雅之处所在。

孔狄亚克

在数学家们中，有些人只偏爱最通用、最抽象的符号，他们认为几何解释不够完美且存在局限，因此避免使用几何解释；而另一些人则认为，只有那些能够被转化为具体形式的分析性概念才是清晰的。不得不承认，后一类人对数学科学的理解实在过于狭隘了。

代数是所有数学科学中最普遍的，因为它研究的不是某个具体的量，而是量本身。

几何学则只是一种特殊的数学科学，因为它的研究对象——空间——也只是一种量而已。

代数既是一门艺术，也是一门科学：它是科学，因为它由一系列真理构成；同时它也是一门艺术，因为它提供了大量可靠的规则，用以解决各种难题。

到了这个阶段，笛卡尔自然而然地认为，所有的几何问题都可以转化为代数问题。他推测，由于代数的系统性特征，这种转化总是——或者至少几乎总是——有益的。正是这些既高远又简单的观点，让笛卡尔产生了将代数应用于几何学的想法。

……

数学科学不再是一些相互独立的猜测的集合，而形成了一个整体，在这个整体中，各个部分之间存在着相互关联的关系，且易于理解。

T. V. 查尔庞蒂埃

在几何学中，就像在代数中一样，大多数不同的概念其实都只是某种变换而已。对我们而言，那些最清晰、最有价值的概念，就是那些最容易用语言表达、也最容易被大脑在推理和计算中加以整合的概念。

计算只是一种工具，它本身无法创造任何东西，它所呈现的不过是人们输入给它的那些概念而已。如果我们只有不完善的观念，或者我们的思维只能从有限的视角来看待问题，那么无论是分析还是计算都无法为我们带来更多的启示，也无法让我们的结果更加精确或全面。相反，可以说，这种通过计算来将模糊的概念具体化的方法，只会让错误持续存在，因为它实际上给了错误以“实体”形式。

一旦有聪明的学者能够以直接而简单的方式发现某种新的真理，难道就不怕那些毫无创造力的学者会急于用自己的公式去重新“发现”它，声称那是唯一正确且真实的答案吗？这样一来，人们就会认为这些真理只属于他们的分析结果；而那些不太熟悉这种表达方式与符号的学者，甚至不敢要求属于自己的成果，只能尴尬地退缩，仿佛自己所发现的真理其实并非真正属于自己的发明。

波因索

近三十年来，几何学所获得的强大工具，在许多方面已经可以与分析方法相媲美。如今，几何学能够在极为广泛的领域里与分析方法一较高下，而且毫不逊色……

……不过，为了避免对我们在两种数学研究方法上的观点和态度产生误解，我们还是要赶紧说明：尽管我们对当今如此强大的分析工具充满敬意，但我们并不打算在所有方面都将几何学方法与之相提并论。不过，我们坚信，在探索数学真理的过程中，拥有尽可能多的研究手段总是有益的。因为一旦找到了适合这些真理的独特路径，它们就会变得容易理解且直观。因此，我们认为有必要指出——纯粹的几何学理论在众多问题上往往能提供这样一条简单而新颖的路径，它能够帮助我们深入到真理的本质，揭示出连接这些真理的神秘纽带，从而以最清晰、最完整的方式让它们呈现在我们面前。

几何学的这第三分支，也就是今天我们所称的现代几何学，无需进行代数计算，尽管它同样善于运用图形之间的数值关系以及它们之间的位置关系；但它只考虑某种类型的直线距离关系，这类关系既不需要代数符号，也不需要代数运算。这种几何学是古代几何分析的延续，其方法具有普遍性、一致性及抽象性，因而比古代几何分析更具优势。

通过计算的方法有一个惊人的优点：它可以忽略几何方法始终需要的那些中间结论，而当遇到新问题时也无需再创造这些中间结论。不过，分析方法的这一优点虽然美好且宝贵，但就像所有人类的观念一样也有其缺点：这种深入而快速的推理方式并不总能充分启迪人们的思维；它使得那些将起点与最终得出的真理联系起来的中间真理被忽视，而这些中间真理本应与起点和最终真理共同构成一个完整的体系与真正的理论。因为在对一门科学进行深入的哲学研究时，如果只知道某件事是真的，却不知道它是如何以及为何为真的，也不知道它在所属的真理体系中的位置，那又有什么意义呢？

查斯勒斯

显然，位置分析是普通代数所缺乏的要素：正是由于这一缺陷，一个问题在特定情况下往往看起来似乎有比实际更多的解。诚然，代数能够给出超出人们需求的结果，这在很多方面都令人赞叹；但这也常常导致那些实际上只有一个解的问题，在严格理解其表述后，会被纳入多维方程中，从而无法得到解决。我们非常希望找到一种方法，将位置因素纳入问题的计算之中。

达朗贝尔：

几何学与代数之间存在着必然的联系，明确这些联系至关重要。

是应该将毕达哥拉斯关于数字的观点视为原则，然后再试图将其与几何学观点联系起来呢？还是应该遵循笛卡尔所开辟的道路，从纯粹几何学的基本概念出发来推导出代数的要素呢？在这两种方法中，第二种似乎更为合理。因为，尽管几何学很少依赖于经验，但它仍然是一门观察科学。它研究物体、它们的表面和边缘，从而抽象出立体、平面和线条；接着它开始研究这些图形，最后对它们进行测量以便于比较。因此，笛卡尔完全有理由以直线及其相关运算作为基础来建立代数。不过，他的方法的优点在于：它完全依据连续量的特性来推导出数字的所有性质以及支配数字的规律；而如果采用相反的方法，那就只能围绕纯粹的符号来进行推理了。

穆肖：

数字、符号与函数

数字的出现意味着存在某种数学量，而这种量可以经过一种简单的运算来衡量。如果没有数学量，就不会有数字；不过，即使没有人对数字的概念，数学量依然存在。数字的运用主要体现在其实用性上。

因为这些数无法保留生成它们的那些量的痕迹；因此，由它们构成的各种组合以及从这些组合中得出的结论都具有一定的普遍性，这使得它们可以应用于所有类型的量，而直接对那些量本身进行运算则无法做到这一点。

J. F. Bonnel

没有任何整数平方后能等于2，而且也可以证明没有任何分数的平方能等于2。

那我们是否应该得出结论：2没有平方根呢？

如果我们只是说√2是不可通约的，那我们其实并没有给出它的定义。

那么，我们能否说√2就是那个自乘后等于2的数呢？这显然会陷入循环论证——因为要理解√2的乘法意义，就必须先定义√2本身。

我们首先将2的平方根定义为十分之一精度下的最大数值，也就是其平方仍在2范围内的最大数值；接着再以同样的方式定义百分之一、千分之一精度下的2的平方根，以此类推。

现在，对于我们来说，2的平方根就是那些十分之一、百分之一精度下的平方根的极限值。

以下是严格的定义：“一个数的平方根，就是那些平方值趋近于该数的数的极限。”

当然，我们还可以证明这个极限是存在的，并且是唯一的。

古诺将乘法的概念扩展到分数，同时也将运算规则扩展到负数。这两种推广使得量与量之间的关系不再依赖于所选择的单位或原点。

无理数已经为算术带来了普遍性。而真正的代数诞生则是在负数出现之后，因为负数使得各种规则和公式能够得到进一步推广。随后，虚数及其他符号的出现则进一步拓展了这种普遍性。

加号和减号会改变其所在数值的符号，就如同形容词会改变名词的符号一样。

柯西认为，系数前的符号应被视为与系数紧密相连的一部分。

从几何角度来解释的话，减号的作用相当于让解向相反方向移动，而加号则让解向正方向移动。

阿尔贝·吉拉尔，1629年。

与其他科学不同，代数有着一种独特而典型的处理“无解问题”的方式：如果某个代数问题无解，或者某个方程无法求解，代数并不会就此停止并转向其他问题，而是承认这些“无解解”的存在，将其纳入自己的研究范畴，而非将其排除在外。

它所使用的工具就是符号。对于只含一个未知数的一次方程，代数不会根据方程中字母的取值将它们分为有解与无解两类，而是认为所有一次方程都有解——这个解可以是负数或无穷大，而在后一种情况下，则是以符号形式存在的。

在许多二次方程中，似乎应该直接判定其为无解，因为无解的情况显得十分明确；但代数依然像对待一次方程那样承认这些解的存在，同样借助符号，它也接纳了无理数和虚数作为解。

德·坎普。我们约定用符号

(1) ai + bj + c = a’i + b’j + c’

来表示三重等式

a = a’，b = b’，c = c’，

这里，字母i、j仅用于区分不同的项，没有其他含义。那些数量可能更多的符号i、j被柯西称为“键”。像(1)这样的公式被称为符号等式，为了简化表达，人们会说a和a’分别是i的系数。

b和b’是j的系数。构成公式(1)左侧的所有量被称为虚量。

因此，对我们来说，虚量是由多个数构成的整体，在后续计算中这些数必须分别等于给定的数值。

………………

符号在分析学中的应用日益增多；它们的使用为计算带来了简洁与优雅。

在所有的符号中，研究最为深入、出现时间最早的，就是人们用符号V-1来表示的那个符号。

………………

汉密尔顿创立了一套虚量体系，并将其命名为四元数；这类虚量包含三个符号，因此其形式为ai + bj + ck + d。

………………

过去，虚量带有一些奇幻色彩：它们本身并不代表任何实际意义，只是作为研究中的工具而已。但由于利用虚量所取得的某些发现，那些注重严谨性的几何学家们要求通过其他方法来验证所得结果，正因如此，这类量才有了现在的名称。

H. 洛朗

我首先会说明究竟是什么构成了算术与代数的分界线。

只要只考虑量的模值，也就是它们与所选单位的抽象比例关系，那这就是算术或算术学。人们会在模值或数字的基础上建立计算规则，研究所有其他数字都可以归结为整数的各种性质。

而当在考虑模值的同时还考虑方向，并用复数符号来表示这些量——该符号既能体现模值，又能体现方向，即能明确表明量的方向时，这就属于代数范畴了。

在各个科学领域中研究的这些量可以被分为几类：

1. 有一类量，而且数量最多，它们只有两种相反的方向……这类量可以被称为“二向量”。

2. 还有其他一些量，可称之为“多向量”，它们可以具有任意方向，无论是在平面上还是空间中……

……这些量可以用长度由模值决定的直线来表示，这些直线从原点出发，指向特定的方向。

尤其需要区分的是平面多向量……显然，平面多向量包括了作为特例的二向量。

3. 至于绝对量，由于在研究它们时不需要考虑方向，因此也可以将它们视为平面多向量的一种特例，因为它们的模值总可以用一条直线的长度来表示，而且这条直线的方向也是固定的。

从一个固定起点出发，形成一条无限长的轴。以这种方式表示的绝对值可被称为单值量。

…………

我们所理解的代数，其目的就是为平面多值量的计算提供规则……

…………

我所提出的那些较为新颖的观点……实际上隐含着贝拉维蒂斯先生关于等价性计算的规则。

指导我的那些哲学思想……自然让我开始思考那些能够用来表示空间中多值量的符号，也就是汉密尔顿的四元数。

J. 布尔热

导致这些不可能结果的，并非代数本身，而是我们自己在提出要求时引入了某些矛盾。在这种情况下，计算者的思维也成为了争论的一部分，这一点值得我们特别关注。有趣的是，可以研究在这种情况下，代数是如何试图与我们错误的思维方式相平衡的；它是如何在我们试图将其引向错误方向时仍能保持正确性的；至少，它是如何拒绝跟随我们走那条路的；以及它又是通过何种方式——始终以逻辑且实用的方式——在告诉我们它已无能为力之余，指出那些我们甚至未曾察觉的错误所在。

瓦列斯

在代数运算中出现的与某些特殊符号相关的难题，尤其是那些所谓的虚数表达式，我认为这些难题被过度夸大了。人们试图从纯粹形而上学的角度来解释它们，而非将其视为纯粹的分析事实。如果以这样的方式来看待这些问题，就会很容易明白：数学分析的本质在于仅从量之间的相互关系出发来考虑问题，而不考虑其具体的数值。因此，分析者必然需要接受代数运算所能产生的各种表达式。如果他们因为某种表达式的特殊性而拒绝使用它——因为根据对相关量值的特定假设，这种表达式确实可能出现——那么他们就不得不改变自己理论的普遍性，从而在每一次推理中引入一系列其实并不必要的区分，这样一来，数学分析最核心的优势——即其思想的简洁性与一致性——就会丧失。

……
……
至于那些引发了诸多无端争论的负数问题……我们仍应从纯粹的分析事实出发，区分它们的抽象含义与具体解释，因为迄今为止人们几乎总是将二者混为一谈。从抽象层面来看，负数的理论完全可以通过代数方法来完整建立。至于是否有必要同时接受这类结果，这其实源于我刚才所阐述的总体思路；而将它们作为使公式更加复杂的分析工具，实际上也不会带来任何严重的难题。因此，我们可以对负数的抽象理论进行探讨。

它没有任何值得追求的要素，但他们的具体理论却并非如此。

奥古斯特·孔德

让我们从整数序列出发；在两个连续的数值之间插入一个或多个中间数值，然后在这些新的数值之间再插入更多的数值，如此无限循环下去。这样我们就会得到无数个数值，这些数值就是所谓的分数、有理数或可通约数。但这还不够；在这些已经数量无限的数值之间，还需要再插入其他的数值，这些数值被称为无理数或不可通约数。

…………

也许有人会认为，那些满足于这种定义（关于数学中的连续体）的数学家们其实是在被文字所迷惑，应该更明确地说明每一个中间数值究竟是什么，解释如何插入这些数值，并证明这样做是可行的。但这种看法是错误的；在他们的推理中，这些中间数值唯一需要具备的属性，就是位于某些特定数值之前或之后……

亨利·庞加莱

在同一个问题中，我们常常需要考虑两种类型的量：常量和变量。常量的值是固定且确定的；而变量则可以依次取不同的值。

当一个量随着另一个量的变化而变化，并且为每个对应的值取得一个或多个确定的值时，就说这个量是那个量的函数。

赋予变量的数值。

科学既然只研究对象的孤立要素，就可以被称为静态的；而当它比较这些要素，并探究其中某一要素的变化如何影响另一要素的变化时，它就具有动态性，因为此时它正在描述事物的运动过程并追踪其发展变化。这一根本区别使得人类知识可以被划分为两个清晰的类别，同时也揭示了二者之间的联系：数字或不变的比例，以及函数或可变的比例，用这两个词便概括了科学的两个方面。

劳格尔。

在数学中，人们是直接研究函数本身的。也许将来会有某种更为为人所熟知的现象可以用这个函数来表示。贝朗热曾说过：

“多么漫长的时间啊，那隐秘的思绪，一直在等待着它的伴侣！”

数字试图模仿本质截然不同的空间。

帕斯卡

极限、无穷大与无穷小

所谓变量量的极限，指的是这样一个固定量：该变量量会无限接近于这个固定量，但始终无法与其完全相等。

无论我们希望它有多小，都无法真正达到那个极限。

所谓无穷小，指的是那些极限为零的变量。

所有的数都是有限的且可以确定的，直线也是如此；而无穷大或无穷小，其实只是指那些大小可以随意变化的量……

……所谓无穷小，指的是某种量即将消失或刚刚开始形成的状态，这种概念是仿照已有的量而设想出来的。

莱布尼茨

在数学中，不必把“无穷”的概念弄得神秘莫测，它的本质就是：在每一个整数之后，总还有另一个整数。

J. 坦纳里

正是人类思维试图超越观察所得到的范围，超越观察所能呈现的一切，才让我们能够了解整数序列、连续量的概念，进而理解无穷小、点、线、面等概念，以及那些尺寸不断减小直至为零的量或区域。这些概念其实是人类在追求量的绝对简单性与完美性时的智慧创造，它们并非由对事物的观察直接推导出来的，而是由我们的直觉能力所暗示的，或者说是由我们的概括能力所赋予的。无穷小，

尤其是，它并非纯粹的零，也非单独考虑的零，而是作为某个量逐渐减小的极限值，或是作为某个不断产生并增长的量的起始点而存在的零。

布辛涅斯克

一个量的连续性其实是一种纯粹的理想概念，因为在自然界中并不存在真正连续的量。这种连续性只存在于几何学家的想象之中。

J.-F. 博内尔

当考虑遵循连续性规律变化的量时，人们就会想到无穷小的概念。因此，时间的增加量总是小于任何给定的间隔，无论该间隔有多小。物体上各点移动的距离也是以无穷小的方式增加的，因为每个点要从一个位置移动到另一个位置，就必须经过所有中间位置；而且，我们无法为两个连续位置之间指定出任意小的距离。无穷小是真实存在的，它们并非几何学家们虚构出来的研究工具。

泊松

这是一种片面且不正确的观点。一个量的连续性不过是人类思维的虚构而已；在自然界中并不存在严格意义上的连续量。

圆只不过是由无数个三角形构成的，这些三角形的顶点位于圆心，底边则构成圆的周长；而圆锥则是由无数个金字塔构成的，这些金字塔以无穷小的三角形为基底。

圆形底面，其顶点与圆锥的顶点重合；而具有相同底面和相同高度的圆柱，则是由相同数量的小棱柱构成的，这些小棱柱也以相同的底面为支撑点，且高度也与底面相同。

开普勒。

所谓“无穷小量”，并非因为它们实际上非常微小——这一点其实并无重要意义——而是因为我们可以将它们视为任意小的量，而无需改变那些我们试图建立关系的量的值，比如参数、坐标、法线、切线、曲率半径等等。因此，在计算过程中，所有所谓的无穷小量都可以被忽略，而不会影响到计算结果。

拉兹尔·卡诺。

我们已经区分了各种将需要测量的量，或将其转化为更简单形式的量视为某种更简单变量的极限的方法，并指出一般来说这些方法可以归结为三种。第一种方法被欧几里得和阿基米德在某些情况下使用，即把相关量视为级数的极限；第二种方法也是由阿基米德提出的，即将相关量视为无穷小量之和的极限；第三种方法则是将相关量视为无穷小量之比的极限。前两种方法在测量金字塔、抛物线、螺旋线、球体，以及由圆锥截面旋转所形成的物体的体积时被用到。第三种方法则是现代学者提出的，它被用于解决切线问题，同时也适用于许多其他问题。

杜阿梅尔。

正是通过研究曲线的切线，几何学家们才得以发展出微积分。虽然人们从各种不同的角度来阐述微积分的起源，但无论其起源如何，它始终基于某种先于一切假设的分析事实——就如同重物向地球表面坠落这一现象先于所有关于它的解释一样。而这一事实，其实就是所有函数都具有的特性：它们的变化率与所依赖的变量的变化率之间存在着一定的极限。这个极限因函数而异，且始终与变化量的绝对值无关，它以独特的方式体现了函数在各种状态下的变化规律。

拉克罗瓦

我们对“大小”这一概念有清晰的认识，我们知道事物通常是可以被放大或缩小的。所谓事物变得更大或更小，其实是一种我们非常熟悉的概念，就像事物本身一样。因此，无论某个事物是真实存在的还是仅仅存在于想象中，我们都认为它有可能被放大或缩小。没有任何东西能够阻止或消除这种可能性——我们总可以想象出最小事物的二分之一，或是最大事物的两倍；甚至还可以想象它可能变成原来大小的百倍、千倍、十万倍。正是这种无限增大的特性，构成了我们对“无穷大”的真正理解。这一概念其实源自对“有限”的理解：有限的事物是有界限的，而无穷大则不过是去掉了那些界限的有限事物罢了。因此，无穷大的概念其实只是一种“缺失”的概念，并没有真实的对象。此处无需详细说明空间、时间、持续时间并非真正的无穷大；我们只需证明目前并不存在真正的无限大或无限小的数即可……

因此，无论是微观的还是宏观的无限，都应被视为有限概念的缺失或减损。我们可以将其作为一种假设来使用，以简化各种概念，并在科学实践中推广这些概念的应用结果。

——布丰

无限的概念从数学的起点就出现了：整数是无穷多的；直线也应被看作是可以无限延长的。

实际上，人们之所以反对无穷小，其根源在于拉格朗日的观点，即“把量视为已经不再具有量性质的那种状态，这有着极大的弊端”，换言之，无穷小并不存在。在我看来，这是一种误解。我们究竟是在谈论自然界的量，还是我们理性概念所涉及的对象呢？如果认为自然界中不存在无穷小，那当然是无可争议的；因为一切存在的事物都是确定的，因而也是有限的。但从这个角度来看，也不存在变量：一个量既然存在，就必然具有确定的数值。只有我们的思维才会通过将不同的量视为彼此相近的值，从而创造出变量的概念。变量这一概念与无穷小的概念一样并不合理，两者都应当被接受或否定。

——德·弗雷西内

应用数学

数学这一广阔的领域，一方面包含各种抽象理论，另一方面则包含其众多的应用。从后一方面来看，

这些科学对全人类都具有极大的吸引力；因此，在各个时代，人们总是不断从对自然现象的观察或日常生活中的需求中寻找新的问题，并提出相应的解决方案……

阿拉戈。

深入研究自然，是数学发现的最重要源泉。这种研究不仅为探索工作提供了明确的目标，从而避免了那些模糊不清的问题以及无意义的计算，而且还是培养分析能力、发现那些我们最需要了解且该学科必须始终保留的基本要素的有效途径。而这些基本要素，正是存在于所有自然现象之中的。

J.傅里叶。

几何学，尤其是代数，是一切关于量值研究的钥匙。这些只涉及抽象关系和简单概念的科学，在尚未脱离纯粹的思维领域时，似乎难以带来成果；但是，那些着眼于物质世界、研究天体运动以及动力变化的混合数学——简而言之，所有能够揭示各种可感知量值之间关系的科学——其进展程度会随着发现一般性关系能力的提升而不断提高。这种通用的工具越完善，就越能被广泛应用于各种领域。

丰特内尔。

火炮学通常被归为数学的范畴之一……其中主要研究的是大炮发射出的弹丸所描绘的轨迹，并据此得出如何调整大炮的方向才能使弹丸击中特定目标的规则。在研究中，人们假设弹丸的轨迹为抛物线，正如伽利略所证明的那样。但当运动并非在真空中进行时，这一假设并不符合事实。因此，基于这一假设得出的规则和公式会带来极大的误差，其创立者自己也承认了这一点；他们将错误归咎于理论本身，认为只有通过实践加以修正后，该理论才有价值。然而，空气似乎是一种过于微妙的流体，不会产生明显的阻力；但实际上，在弹丸和炸弹等高速运动的情形下，空气的阻力相当大，导致弹丸的轨迹与抛物线有很大差异。为纠正这一显著误差，弥补抛物线这一不恰当的模型，就必须引入弹丸在空气中实际运动的真实轨迹。牛顿似乎为寻找这一轨迹付出了巨大努力，但他卓越的高等分析能力仍不足以解决这个问题。他将这一发现的荣誉让给了著名的约翰·伯努利。由此可见，那些想要解决火炮学问题的人，必须具备深厚的高等数学功底。

欧拉

纯数学仅限于对抽象概念的探讨。它是一门基于原始概念和公理的推理科学，不借助任何实验经验。它的分支包括算术、几何以及分析学（代数和微积分）。

力学与天文学则构成了所谓的物理数学科学。

此外，还有许多数学的应用领域。我们在这里简要列举其中一些主要的。

概率计算——拉普拉斯认为，概率论不过是将常识以数学形式表达出来而已：它能够精确地衡量那些凭直觉就能感知到的东西。

概率计算在所有科学领域以及社会生活中都十分有用。

数学物理——物理学在掌握了自身的原理之后，逐渐趋向于与数学融为一体。人们开始对热、电、光、弹性、声学等现象进行解析理论研究。

得益于热化学，化学也开始效仿这一做法。

统计学与政治经济学——已经有一些规律被发现，这些学科也在朝着更精确的方向发展。不过，库尔诺和瓦尔拉斯过于急于将代数方法应用于那些尚不十分明确的数值上；幸运的是，货币被视作各种价值的共同度量标准。

彩票与赌博——虽然可以计算出彩票和赌博的胜算，但几乎无法改变赌徒的决策。科学已经促使国家废除了彩票制度，不过仍然存在其他形式的彩票，比如有价证券等。

至于组合游戏，则属于几何学与不定分析的范畴。

应用算术与商业算术——三则运算、混合计算、分配等规则，以及度量衡制度，都应被视为实际应用而非纯理论，而非需要死记硬背的内容。

另一方面，正确记录商业账目具有非常重要的实际意义。

财务知识——单利与复利；年金；银行、信贷机构与保险机构；财产险与人寿险；终身年金。

股票市场。

税收分配；预算等。

心算能力——培养一定的心算能力是很有益的，无需刻意写下数字。虽然有一些计算方法，但关键还是通过练习来提升。

实用几何与三角学——与算术类似，在几何学中也会将实际应用与理论混为一谈。

用于在纸上或实地进行绘图的工具。

测量土地面积、绘制地形图、水准测量；地籍登记；土地分割等。

各种测量方式：长度测量、体积测量；桶、树干、石堆等的测量。

三角学在地形测量中的应用。

描述几何学——通过投影法，可以用平面图精确地表示空间中的图形与结构。

该技术可应用于阴影绘制、透视画法、建筑结构设计以及石材切割等领域。

绘画——各种绘画形式构成了一种极为丰富且富有表现力的语言。

几何绘图因其精确性而优于其他类型的绘画。

图表——曲线以直观的方式呈现大量数值数据，因此在各类研究中都被广泛使用。

例如，铁路运行指南虽然会提供一些单独的数据，但工作人员仍会借助图表来了解不同列车之间的运行关系。

机械艺术——工人应当学会合理地计算尺寸与设计图纸，而非依赖经验性的规则或模板。

如铁匠、木匠、车工等职业也是如此。

机器——从缝纫机、计算机、打字机到各种其他机器，其种类之多样、精度之高、功能之强大令人惊叹。

能够提升战舰的性能，或是挖掘出巴拿马运河！

民用与军事建筑——我们的物质文明主要归功于工程师和建筑师们。他们建造了桥梁、道路、铁路、运河以及各种纪念建筑等。

地理学——地理地图，尤其是军用地图，是每个人都应该学会阅读的。

地形学、大地测量学等等。

如今，地理学终于成为了一门科学。“在这里，”德拉佩龙说，“‘身体’对应的是地形学，而‘灵魂’则对应着数学地理学。”

航海技术——船舶的建造、航行控制（确定船舶在任何时刻的位置与航线）；天文表等等。

年代学、钟表制造、日晷技术——历法、教会历法；手表、钟表、计时器；日晷。

军事艺术——经过改进的步枪与大炮；弹道学，即与射击相关的问题。

战略学，其决策取决于诸多不同的因素。

经过三十年的努力，已故的索内特先生出版了名为《应用数学词典》的著作，该书为单卷本，堪称目前关于这类主题最丰富、最精确的参考书。

度量制

通过思考与实践，我们可以了解构成良好度量体系的必要条件。接下来我们将逐一探讨这些重要条件，从而证明度量制的优越性。

1. 完全明确且固定的单位——过去的长度单位都是以人体尺寸（如丈、肘、掌、英寸、手指等）或某些建筑物的尺寸为依据的。这些标准并不清晰且会发生变化，也没有统一的规范。可以说，在旧制度下，有多少个村庄，就有多少种不同的度量单位。而米则是地球周长的一个确定数值，它是一种精确、恒定、不受时间与国家影响的长度单位。阿拉戈说过：“即便发生地震或可怕的灾难，破坏了地球上那些被妥善保存的基准标准，米这个单位依然存在。”

2. 不同种类但相互关联的单位——几何学将面积和体积的测量转化为对某些长度的测量，这些长度被称为图形的尺寸。我们制定的简单规则是以线性单位为基础来构建平方单位和立方单位的。在认识到平方米和立方米之前，人们使用的是平方丈和立方丈。此外，重量和货币单位也源自米，尽管这种关联没那么直接。严格来说，利用货币也可以用来称量物体和测量长度。这样一来，各种度量单位就形成了一个完整的体系。

3. 足够多的单位以覆盖各类量度——对于每一种特定的量度，都需要将其转换为相应的单位，因为人类只能快速而清晰地理解那些与自身经验相关的数值。

名称要适中，既不能太大，也不能太小。因此，才需要使用次要单位来替代主要单位。——目前，每个单位都有其倍数和分数单位；其中大多数都是实用的测量工具，而其余的则并未被制造出来（例如：用于长度测量的有八种尺子，用于容量测量的有十三种容器，还有二十四种砝码以及十四种货币）。

4. 同类单位之间可以简单关联。——在旧制度中，度量标准往往很复杂，而且不同类型的单位之间标准也各不相同（例如长度单位和重量单位）。这就使得复杂数值的计算变得相当困难，尽管有了以12为基准的简化方法。而新的度量单位则是以10为基数，与我们现在的数字系统类似。这样一来，各种量就可以用小数来表示，这样的表示方式与整数一样易于组合。单位之间的转换只需移动小数点即可实现。——由此可见，为什么米制也被称为十进制度量衡体系。（甚至有人提议将时间也以十进制来划分，比如一天20小时，一小时100分钟，等等；还将圆周分为400度，每度100分钟，等等。）

5. 名称简洁明了，且只有少量词汇。——以前的度量单位有着各种各样的名称，这些名称并不能体现各种单位之间的比例关系，人们不得不单独记住这些比例。现在，我们只有六种主要的度量单位：米、公亩、升、公石、克和法郎。只需再加上七个源自希腊语或拉丁语的缩写，就可以构成各种倍数和分数单位的名称。“deca”表示10，“hecto”表示100，“kilo”表示1000，“myria”表示10000；“deci”表示十分之一，“centi”表示百分之一，“milli”表示千分之一。一旦提到十米和十分米，大家都能立刻明白它们分别是10米和1米的十分之一。不过，尽管之前的命名方式很方便，但它并非米制体系的核心，因为米制体系的关键在于实际物体本身，而非名称。

6. 度量单位是强制性的，并且受到严格监管。——自1840年起，米制度量单位便通过法律在法国全境得到强制推行，而旧有的度量单位名称则被禁止使用。所有的测量仪器都必须符合规定的标准。

相关法规规定了这些度量单位的数值、尺寸、形状以及材质。这些度量单位上不仅标有该度量单位的名称，还标有负责生产的厂商名称。此外，这些仪器在投入使用之初会接受检查，之后还会定期由计量检验员进行检测。——我们的体系完全符合法定计量体系的标准。

7. 具有国际性质的体系——其基础并不依赖于任何特定的国家，因为它是基于自然规律而确定的。该体系由来自各国的科学家共同建立，这些国家都签署了相关协议，并分配了112米的新长度标准。这些术语源自希腊语或拉丁语这样的死语言。拉普拉斯说：“如果这些研究成果被遗忘，只有结果本身被保留下来，那也无法说明是哪个国家提出了这个想法并付诸实施。”如果所有国家都采用相同的度量单位，那么商业和科学交流将会变得极为便利。目前，以下国家已经全部或部分采用了公制：比利时、荷兰、西班牙、葡萄牙、希腊、德国、丹麦、瑞典、墨西哥、巴西、南美洲各国、埃及等。另外，在英国和美国，使用我们的度量单位则是自愿的。

描述几何学

平面图形可以毫无变形地绘制在平面上，其各部分的比例也不会发生变化。

……但对于具有长、宽、高三个维度的立体物体来说，将其绘制在平面上时则不可避免地会出现变形。在立体物体上彼此相等的线条，在平面图上可能会变得极不相等。而由立体的边或对角线在空间中形成的角度，在被绘制到平面上时也会出现类似的变形。

………………………………………………

…………

以德萨格为代表的那些天才们，最终成功地将石材切割与建筑结构设计中所使用的各种方法与技巧纳入到基础几何学的规则之中。遗憾的是，他们的证明过程十分复杂且晦涩难懂，因此普通工人仍然无法理解这些理论。

这种复杂性究竟源于何处？原因在于每次解决一个问题时都不得不重新构建整套理论体系。如果在数学的其他领域也采用这种方法，那么必然会导致极其混乱的局面。

………………………………………………

…………

蒙日解决了这一混乱状况。他指出，所有三维几何问题的图形解法其实都基于为数不多的几条原理，而他则以极其清晰的方式阐述了这些原理。从此，即便是最复杂的难题也不再是精英阶层独有的领域；借助明确的工具和统一的研究方法，由蒙日创立的描述几何学得以普及到广大工人群体之中。

阿拉戈

在几何学中，有一部分内容因其广泛的实用性而备受重视，不过那些从事建筑工作的工人们往往是凭直觉而非系统的方法来运用这些知识。现在，这部分内容已经被整理成了一套完整的理论体系。显然，这里所说的就是关于空间中线条、平面和曲面相互组合所产生的各种操作的理论与实践，而蒙日则将其命名为描述几何学。石材切割、建筑结构设计、防御工事与建筑中的某些部分、透视学以及日晷制造技术都属于这一范畴。

简而言之，数学的所有领域——无论是纯数学还是应用数学——凡是涉及三维空间的部分，都属于这门新近发展起来的几何学范畴。而此前的初等几何学仅限于对面积和体积的测量……并非在蒙日之前几何学家们不知道投影法，也没有用它来解决各种问题……但那时的理论还缺乏那种独立性以及问题之间的逻辑关联，因此还称不上是一门真正的科学……

德朗布尔

描述几何学提供了在单一平面上精确表示一切可被明确定义的物体的方法，同时还能通过这种表示方式得出该物体各部分的真实尺寸。

正是借助在平面上的这类绘图，石匠和木匠才能为固体材料赋予确定的形状。

因此，描述几何学对于执行项目的工人而言与设计项目的工程师一样有用。它的主要应用包括透视学、阴影理论、结构设计、石材切割、在复杂地形中规划道路、以及防御工事的设计等等。

鲁谢

根据固体各顶点位置的定义方式，其投影的构建难度会有所不同，操作方式也取决于定义的方式。这一点与代数很相似——在代数中也没有通用的方法可以将问题转化为方程式。在每个具体情况下，处理步骤都取决于各元素之间的关系。

已知的量与未知的量都会被明确表达出来；只有通过各种例子，才能让初学者习惯于理解这些关系，并用方程式将其表达出来。描述几何学也是如此。唯有通过大量的例子，以及在练习室中运用直尺和圆规，才能培养出进行几何构造的能力，同时也能学会在每种具体情况下选择最简单、最巧妙的方法。不过，与分析学一样，当一个问题被转化为方程式之后，就有相应的办法来处理这些方程式，从而求出每个未知数的值；同样，在描述几何学中，一旦完成了投影，也有通用方法来构建由物体各自的形状和位置所决定的所有几何图形。

我们在这里将描述几何学与代数相比较，并非毫无道理——这两门科学之间存在着极为密切的联系。任何描述几何学的构造都可以转化为分析学中的问题；而当问题中所涉及的未知数不超过三个时，每一个分析运算都可以被视为在几何学中的一种表现形式。

蒙日。

力学

人们都知道阿基米德的那句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个世界。”我并不想质疑这句话的文学美感，但考虑到它曾引发过多少荒谬的尝试，可以说从实际层面来看，这种想法完全是徒劳的。

普里瓦-德沙内尔。

“世界”，显然指的是地球。人类怎么可能找到一个外部的支点呢？况且，人类的力量本来就……

与地球的质量相比，这个力实在微不足道，因此它对地球产生的影响也是可以忽略的。那句著名的论断只不过是一种理论上的观点罢了。

使用各种工具并不能带来任何好处，因为如果对重物施加较小的力，就需要很长时间才能移动它；而如果想在短时间内将其搬动，就必须用很大的力……

不过，机器确实很有用，因为它们能够让重物一次性被移动，而不需要将其拆分——毕竟我们往往有足够的时间，但却缺乏足够的力。但那些试图仅用较小的力来缩短时间的人，其实是错误的，因为他们根本不了解机器的原理以及它们发挥作用的原因……

从这一切可以看出，使用力量只会让时间成本上升，而不会带来任何好处。因此，那些试图同时替代力量和时间的人，根本不配拥有时间，因为他们如此糟糕地利用时间。

伽利略

当我们用手推动一个物体时，可以看到它会朝某个确定的方向移动。乍看之下，似乎没有理由怀疑它的运动以及运动方向的真实性。然而，其实我们可以很容易地证明：我们不仅有可能犯错，而且通常都会在这两种判断中犯错。例如，为了简化问题，我们假设一艘船停泊在赤道上，船头朝向西方。当船长从船头走到船尾时，他到底朝哪个方向移动呢？显然，答案是向东。不过，一旦船只起航，它就会以与船长向东行走相同的速度向西移动。那么，当船长继续在船上从船头走到船尾时，他现在又朝哪个方向移动呢？我们不能再说“向东”了，因为此时他正在向……

向东时，飞船会向西移动；反之亦然。我们无法说它位于西方。相对于周围的空间而言，它其实并没有移动，尽管对船上的所有人来说它似乎在移动。但我们真的能确定这个结论吗？船长真的始终处于同一个位置吗？如果我们考虑到地球绕自身轴心的旋转，就会发现船长实际上并非静止不动，而是以每小时1000英里的速度向东移动；因此，无论是观察者还是那些考虑了飞船运动的人，他们的认知都偏离了真相。此外，更仔细的分析还会让我们发现，即使修正了这个结论，它也并不比其他结论更好。因为我们还忽略了地球在其轨道上的运动——其速度为每小时68000英里。所以，假设现在是中午，船长并不是以每小时1000英里的速度向东移动，而是以每小时67000英里的速度向西移动。然而，我们仍然没有找到其运动的真实方向和速度。除了地球的轨道运动之外，还得加上整个太阳系朝向武仙座的运动。如果把这两者都考虑进去，就会发现船长既不是向东也不是向西移动，而是沿着黄道平面上的某条倾斜路径前进，而且其速度会因一年中的不同时间而有所变化。另外，如果我们完全了解我们恒星系统的动力学结构，很可能会发现实际的运动方向和速度与现有结论仍有很大差异。

赫伯特·斯宾塞

我们只能观察到相对运动。当我们以为自己在房间里直线行走时，实际上我们在空间中的轨迹是一条复杂的曲线。因为地球正在快速地在太空中移动，带着我们的房屋一起移动。

如果身体严重偏向一侧，为了保持平衡，身体就会向另一侧移动，从而以各种方式摆动。

为防止跌倒，或减轻跌倒带来的不适。出于同样的原因，如果身体一侧承受了较大的重量，就会用另一侧来平衡。一个右边挂着水桶的女人会伸出左臂，并向那一侧倾斜；而那些将重物背在背上的人则会向前倾；相反，当重物放在头上时，身体则会自然保持直立。最后，人们总会选择最合适的姿势来保持平衡，这样各部分的重心始终处于同一位置，这其实就如同掌握了力学原理一般。

博絮埃

我试图将这门科学（力学）的理论以及解决相关问题的方法，简化为一些通用公式，只需对这些公式进行简单推导，就能得到解决每个问题所需的全部方程式。

在这本《解析力学》中不存在任何图形。我所阐述的方法既不需要进行几何或力学的推理，也不需要复杂的构造，只需要遵循一定的规则和步骤进行代数运算即可。那些喜欢分析学的人会很高兴看到力学由此变成一个新的分支，并且会感激我拓展了它的应用范围。

拉格朗日

在力学中，微分计算是从结果推导原因的过程，即从给定时间内的位移推导出速度，再从速度推导出加速度。反之，积分计算则是从原因推导结果的过程，即从力推导出它所产生的速度，再从速度推导出该速度所带来的位移。

E. 雅基耶

天文学

既然在我之前就有人敢于用各种圆圈来解释天文现象，我想，我也可以试着看看：如果假设地球是静止的，那么是否能够找到比现有解释更有力的证据来说明天体运行的规律。经过长期的研究，我最终确信：太阳是一颗恒星，周围有行星围绕它旋转，太阳则是这些行星的中心与光源；除了主要的行星之外，还有次要的行星，它们先作为卫星围绕着各自的主行星运转，然后再与这些主行星一起绕太阳旋转；地球也是一颗主行星，它处于三种运动状态之下；而所有与昼夜更替、季节循环相关的现象，以及大气中的光和热的变化，都是地球绕自身轴心旋转以及绕太阳周期性运动的结果。

哥白尼

当牛顿基于一种全新而精妙的几何学理论提出了万有引力这一伟大思想时，天文学发生了根本性的变化，天空似乎第一次展现出了其创造者的荣耀。然而，这一理论并未完全解决所有问题——仍有许多重要现象无法被解释，一些惊人的例外情况以及无法解释的混乱现象不断出现，那条看似确定的定律有时也会出现矛盾。自《自然哲学的数学原理》问世以来已经过去了一个世纪，在这期间，许多伟大的几何学家和不懈的观测者们付出了巨大努力来克服各种难题，但他们仍未能彻底解决所有问题。直到三十年前，天空中仍然存在着种种异常现象；有些行星的行为并不符合天文学家所制定的规律。此外，牛顿在提出万有引力定律时，也曾怀疑它是否真的能够承受他所赋予它的如此巨大的作用力。

他曾以为，一切都会像人类制定的法则那样逐渐衰老，总会有那么一天，正如他所写的那样，必须由创造者的手来重新整顿一切。

先生们，牛顿错了。不，要让整个体系恢复秩序，并不需要创造者的手；只要有另一个牛顿就足够了。拉普拉斯出现了，凭借他巨大的研究成果以及卓越的才华，天文学被简化为力学问题，在天空中所看到的不过是那些永恒不变的规律的数学体现罢了。木星及其卫星、土星、月亮，它们的运动都已被控制住；那些看似异常的现象其实都是规则本身；那些看似混乱的情况其实是一种更为精妙的秩序；在无穷复杂的各种现象中，因果关系的简单性始终占据着主导地位。最后，这也是拉普拉斯最伟大的成就——他成功地为宇宙的法则，也就是神的智慧，洗清了牛顿式天才所面临的那种“缺乏预见性”或“无能为力”的指责；他首先证明了，在既定条件下，太阳系能够保持其稳定的状态。

罗耶-科拉尔

从最广义的角度来看，天文学其实是一个重大的力学问题……它的解决既取决于观测的精确度，也取决于分析的完善程度。因此，必须彻底摒弃经验主义，只从观测中获取那些不可或缺的数据。

拉普拉斯

天文学理论所得到的最有力的证明，就是1846年勒维耶发现海王星这一事件。

对天王星的长期观测表明，计算结果与实际观测值之间存在持续的差异。与其他行星一样，天王星也无法严格遵循开普勒的椭圆轨道定律；它会受到太阳系中其他天体的干扰。即便考虑了所有已知行星可能造成的影响，仍无法消除这些差异，也无法制定出足够精确的轨道表；始终存在一些难以解释的显著差异。人们因此推测，这些差异的根源很可能在于存在一颗尚未被发现的行星。

正是勒维耶将这一假设变成了现实。他反其道而行之，通过分析这颗未知行星对天王星产生的影响，成功确定了它的质量与轨道；甚至还能确定它在特定日期时应位于天空中的位置。柏林的加勒只需用望远镜对准那个位置，就能看到那里有一颗肉眼看不见、且未被任何星图标注的天体。后续的观测显示，这颗天体确实在群星间移动，因此它确实是一颗行星。

考虑到所有天体都遵循着某种周期性运动规律，显然存在某种普遍的力量在驱动它们围绕宇宙轴旋转。如果我们考虑到这些天体彼此之间是相互独立的，且距离地球极为遥远、差异巨大；太阳和恒星的距离比月球远得多；行星视直径的变化则表明它们的距离也在不断变化；再加上彗星可以自由地朝各个方向穿越天空——那么就不难理解，是同一种力量让所有这些天体都呈现出相同的旋转运动。不过，无论是因为天空带着这些天体绕着静止的地球旋转，还是因为地球本身在反向自转，它们呈现给我们的景象都是一样的。

承认后一种运动并将天体的运动视为一种表象，显然更为自然。地球并非半径为七百万米的球体：正如我们所见，太阳的体积要大得多。如果太阳的中心与地球的中心重合，那么它的体积将会涵盖月球的轨道范围，甚至还会再延伸更远——由此便可看出太阳的巨大体积；实际上，它距离我们约有两万三千个地球半径之远。与其想象如此庞大且遥远的太阳需要以极快的速度在一天之内绕地球旋转，不如认为我们居住的地球本身就在自转，不是吗？那样就需要多大的力量才能抑制住太阳的离心力呢？每一颗恒星都存在类似的难题，而地球的自转则解决了所有这些问题。

…………

由于受到周围一切事物的共同作用力的影响，我们就像那些被风带着船只在海上航行的水手一样。他觉得自己是静止的，而海岸、山脉以及船外的一切物体似乎都在移动。但当他将海岸和平原的广阔范围、山脉的高度与自己船只的微小尺寸相比时，就会意识到那些物体的移动其实只是由他的实际运动所产生的表象而已。散布在天空中的众多恒星，对我们来说就如同海岸和山脉对于那个水手而言一样；而他用来确认自身运动真实性的那些理由，同样也能证明地球也在运动。

拉普拉斯

几个世纪以来，人们一直把地球视为世界的中心，认为行星、太阳乃至恒星都必须围绕地球旋转。哥白尼的出现使得地球的地位变得极为卑微。

太阳所统治的行星群。而如今，太阳本身也只不过是银河系中无数恒星中的一颗罢了……

F. Tisserand。

实际上，我们关于天体或地球距离的所有概念，归根结底都是基于一些经过测量的数据，而这些数据主要是由法国人测定的。

Faye。

概率

在某些游戏中，有十个人每人投入一枚硬币，只有一个人能赢得全部奖金，其他人则全部输掉。这样一来，每个玩家面临的只是失去一枚硬币的风险，而有机会赢得九枚硬币。如果只考虑损失与收益本身，似乎每个人都有优势；但还需要考虑到，虽然每个人都有机会赢得九枚硬币，且只有失去一枚硬币的风险，但实际上，每个人失去那枚硬币的概率是赢得九枚硬币的九倍。因此，每个人有九枚硬币的期望收益，同时也有失去一枚硬币的风险，失去的概率为九倍，而赢得九枚硬币的概率仅为1倍——这就使得各种情况完全平衡了。

所有这类游戏都是公平的，至少在可能达到的公平程度上是如此；而那些不符合这种比例的游戏显然是不公平的。由此可以看出，那些被称为彩票的游戏其实存在明显的不公平性，因为彩票发行者通常会拿走总奖金的十分之一作为自己的报酬，这样一来，所有参与者都会像在一场胜负几率相等的游戏中一样受到欺骗，也就是赢的概率为10比9。既然这对所有参与者都不利，那么对其中的每一个人来说也同样不利，因为失去的概率远远高于获胜的概率。

希望所获得的收益能够超过可能面临的损失，也就是避免失去自己投入的东西。

波尔-罗亚尔的逻辑。

让我们权衡一下得失吧，假设上帝确实存在。我们来考虑这两种情况：如果赢了，就能得到一切；如果输了，也什么都不会失去。那么，就毫不犹豫地相信他存在吧。

——这真是令人惊叹：没错，确实应该这么相信；不过也许我赌得有点多了。

——让我们再想想。既然获胜和失败的几率是相同的，那么如果你只需用一条命去换两条命，你仍然可以冒险一试。但如果需要用三条命去换，那你就不得不冒险了（因为你已经别无选择），而在获胜和失败几率相同的情况下，如果不冒险去争取三条命，那就太不明智了。

…………

不过，这里有无数条极其美好的生命可以赢得，获胜的几率远远高于失败的几率，而你所投入的则只是有限的。这种情况下，根本无需犹豫，应该全力以赴；因此，当被迫冒险时，就应该放弃理性，为了保住生命，而不是为了那可能立刻到来的无限利益而冒险，因为失去生命的风险同样巨大。

因为，说“是否获胜尚不确定”其实毫无意义，因为冒险本身是确定的，而获胜的不确定性则与所投入的有限利益相比微不足道。事实并非如此：每个冒险者都是为了不确定的收获而承担确定的风险；但他这么做并没有违背理性，因为他只是用有限的利益去换取同样有限的收获而已。这种确定性之间并没有无限的差距。

认为人们会面临风险且收益充满不确定性，这种观点是错误的。事实上，获胜的确定性与失败的确定性之间存在着无限的距离。不过，获胜的不确定性是与所冒风险的确定性成正比的，这一比例取决于获胜与失败的概率；因此，如果两方面的风险大小相当，那么双方就处于平等的竞争地位，此时所冒风险的确定性就等于收益的不确定性，绝非两者之间存在无限差距。所以，当在一种获胜与失败概率相等的游戏中，所冒的风险是有限的，而可能获得的收益却是无限的时，我们的论点就具有极大的说服力。这是显而易见的；如果人类能够理解某些真理，那这一真理无疑属于其中之一。

帕斯卡

我们本应引用这段著名的文字，但在此我们想补充J.贝特朗先生的评论：

“有人认为，在帕斯卡的某段文字中，他运用了概率计算来证明上帝的存在。这其实是对他的误解。帕斯卡将对上帝存在的怀疑作为假设，按照逻辑，他必须面对这样一个二难选择：要么上帝存在，要么不存在。而不信神的人则犹豫不决！因此，每种观点对他来说都有或多或少的可能性。帕斯卡并没有试图用公式和数字来分析这个问题。他也没有将任何与代数相关的概念与‘概率’这个词联系起来；对机会的精确或近似衡量并不在他的论证范围内。既然有两种可能的假设，那么就可以进行赌博。赌博包含两要素：获胜的机会以及所投入的赌注。帕斯卡只关心赌注的问题。那些为无神论而赌博的人，如果输了就会堕入地狱。无论概率如何，为了避开这种巨大的风险，任何代价都是值得的。”

由此可见，遵循理性、正义与人道这些永恒的原则，对于维护社会秩序而言有着巨大的好处，而违背这些原则则会导致严重的后果。只要看看历史以及自身的经历，就能看到所有事实都在支持这一点。

这就是计算得出的结果。请想想那些能够建立并维护以理性与人的自然权利为基础的制度的民族所获得的种种好处。再想想那些以诚信作为行事准则的政府所获得的益处，以及他们因严格履行承诺而付出的代价所换来的回报吧。在内部，他们拥有多么巨大的威信！在外部，他们又拥有多么强大的影响力！相反地，看看那些因为领导者的野心与背信行为而陷入苦难深渊的民族吧。每当某个强大的国家因热衷于征服而企图称霸世界时，那些受到威胁的民族就会联合起来，而这个国家几乎总是成为这场斗争的受害者。

拉普拉斯

与宇宙体系相关的难题极为复杂，这迫使几何学家们采用近似方法来处理问题，而这种方法总让人担心那些被忽略的数值可能会产生显著的影响。当他们通过观测发现这些影响时，就会重新审视自己的分析结果；通过修正分析方法，他们总能找到导致异常现象的原因，进而确定相关规律。很多时候，他们甚至能提前发现观测结果尚未显示出来的不规则现象。因此可以说，大自然本身也在推动着基于万有引力的理论得到进一步完善；在我看来，这正是这一伟大原理真实性的最有力证明之一。

拉普拉斯

在公共管理的各个领域中，准确记录各种措施所带来的效果是非常重要的，因为这些措施其实就相当于政府所进行的各种大规模实验。这一原则同样适用于政治学和伦理学领域。

那种基于观察与计算的方法，曾在自然科学领域中为我们带来巨大帮助。我们不应无谓地、且常常以危险的方式抵制文明进步所带来的必然影响；而应极其谨慎地才去改变那些我们长期以来一直遵循的制度与惯例。从过去的经验中，我们很清楚这些制度与惯例存在的弊端；但我们却不知道改变它们可能会带来多大的危害。在这种无知的情况下，概率论建议避免一切变革——尤其是那些突然的变革，因为在道德领域和物理领域中，任何变革都会导致巨大的能量损失。

拉普拉斯

一个决策机构的决策概率取决于其成员的数量、见识以及公正性。然而，各种情感和私人利益往往会影响这些决策，因此无法用计算来精确预测这种概率。不过，还是有一些由常识所决定的普遍规律，而这些规律也能通过计算得到验证。例如，如果决策机构对需要决定的事项了解甚少；或者该事项涉及复杂的考量，又或者相关事实与人们的固有偏见相悖，以至于大多数人会倾向于反对这一决定，那么多数人的决定很可能是错误的。而且，决策机构的人数越多，这种担忧就越有道理。因此，对于公共事务而言，重要的是让决策机构只对那些大多数人能够理解的问题作出决策；同时，还需要普及教育，让那些负责决定他人命运或管理他人的人能够借助理性与经验来做出正确判断，从而避免因无知而产生的错误观念和偏见。学者们经常发现，最初的判断往往具有误导性，而真相并不总是那么容易被察觉的。

拉普拉斯

然而，归纳法虽然能帮助人们发现科学中的普遍原理，却不足以严格地证明这些原理……我以费马关于素数的定理为例。这位伟大的几何学家长期研究素数理论，他试图找到一种仅由素数组成的公式，从而直接得到一个比任何已知数都大的素数。通过归纳法，他得出结论：2的某个2的幂次次方与1相加，就能得到一个素数。

例如，2的平方加1等于素数5；2的2的二次方即16加1则等于素数17。他发现，对于2的8次方和16次方加上1的情况，这一规律同样成立；再加上若干算术上的推理，他认为这一结果具有普遍性。不过他也承认自己并未真正证明这一点。实际上，欧拉指出，当用到2的32次方时，这一规律不再成立——2的32次方加1等于4294967297，而这个数可以被641整除。

物理学家雅可比讲述说，他的兄弟——那位伟大的数学家——以为自己发现了数字的普遍规律，于是用一个随机选取的数来验证这一规律。结果这个数使规律不成立，而后来尝试的许多其他数却符合该规律。后来，伟大的雅可比才意识到，最初选的那个数属于那些例外情况，即不符合该规律的数。

一个奇特的悖论使得这个游戏——人们称之为“圣彼得堡问题”——变得令人难忘且广为人知。皮埃尔和保罗在玩游戏，规则如下：皮埃尔要抛硬币的次数等于……

必须让她露出正面。如果第一次就能做到，保罗就会给她一枚金币；如果是第二次才成功，则给两枚；如果需要等到第三次，就给四枚，第四次则给八枚，金额始终是翻倍的。这就是保罗的承诺。那皮埃尔的承诺又该是什么呢？丹尼尔·伯努利经过研究后给出的答案是：无限大的金额。用俗话说，皮埃尔的实力简直超乎想象。

…… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

……他那种看似荒谬的回答其实应该被完全认可。我猜皮埃尔拥有上百万枚金币，他会把这些金币交给保罗，以换取对方做出的承诺。有人会说他是疯子吧。不过这种投资方式虽然充满风险，但却极为有效；无限的收益是完全有可能实现的。只要他坚持下去，虽然可能会输掉一部分，甚至可能是千万、亿万乃至更多；但他不应气馁，可以反复尝试，哪怕要写到笔坏为止。尤其是要拖延结算的时间，那样他必胜，而保罗则注定会破产。究竟是哪一天？哪个世纪？没人知道；但可以肯定的是，在世界末日之前，皮埃尔的收益将会极其巨大。

J. 伯特朗

斯图尔特·密尔认为，将数学方法应用于司法判决是数学界的耻辱。这种说法并不公正。人们可以将铜当作黄金来使用，而天平依然能够准确衡量。在关于判断理论的研究中，孔多塞、拉普拉斯和泊松所使用的也只不过是“铜”而已。

在他们的研究中，任何能够做出好坏评判的群体都被替换成了装有黑白球的抽签箱……

……但还有另一个无法辩驳的反对意见：抽签过程应该是独立的；在计算中，投票箱不会受到任何外部因素的影响。而法官们则不然，他们彼此之间会相互影响，同样的事实会影响他们的判断，同样的压力会困扰他们，同样的雄辩技巧也会误导他们，他们正是基于这些相同的因素来判定对错。因此，将两者相提并论是不可能的。

J. 贝特朗

赌博会毁掉那些沉迷其中的人。唯一例外的是那些因为特定条件而拥有优势的赌徒。

在蒙特卡洛，赌场老板可以毫无顾虑地增加投注次数。威胁只针对那些大亨们。

当赌博是公平的时，迟早都会导致破产。

这个说法似乎自相矛盾——因为一旦某个玩家破产，另一个玩家就会获利；虽然有可能失去全部财产，但人们仍然希望把财产翻倍。

这无疑是真的；不过，一旦财产翻倍了，这一规律依然适用；财产还可能再次翻倍，甚至变成百倍，但这一切都可能因偶然的变故而化为乌有。需要多少时间呢？没人知道；随着游戏次数的增加，失败的概率也会上升，最终趋于必然。

J. 贝特朗

那些试图仅通过观察过去来预测人类物种未来发展的哲学家们，其实犯了很大的错误……他们只有在弄清楚未来之后才会去关注现在。这就好比为了了解数据曲线的变化趋势，却反而使用错了方法一样。

这条曲线的推测性延伸结果，可能与该现象的未知规律所导致的结论毫无关联……

最危险的做法，莫过于将社会的方向交给那些已经对自己所设想的社会最终状态有了固定观念的领导者，让他们毫不留情地推动社会朝那个方向发展。

——杜阿梅尔

**教育**

我们认为，对任何一门科学的全面研究都应包括一个准备阶段或起始阶段、一个仅涉及那些既重要又简单的内容的理论阶段，以及一个让讨论更加深入和普遍化的补充阶段。

数学的基本概念应当成为儿童教育的一部分。数字与线条能够有效激发他们天生的想象力，而且这是锻炼想象力又不使其迷失方向的可靠方法。

——孔多塞

人类漫长的成长过程在每一个小孩身上重新开始……

最初的计算者并非从教科书中的抽象规则开始学习的。很明显，他们首先是面对各种实际问题，只有通过运用全部智慧来创造相应的规则，才能解决这些问题；他们并非为了艺术而从事艺术创作。让儿童从抽象规则开始学习，然后再给他们布置需要解决的问题，这违背了人类思维的发展规律——因为人类的思维其实还处于与物种起源时相同的阶段。

那么，会发生什么呢？因为他的智力在如此突然的刺激下，无法接受那些过早出现的抽象概念；只有他的记忆力在起作用，不得不痛苦地记住那些他根本无法理解其含义的词语和操作方法。

因此，真正的办法就是让他重新回到学习的起点，让他以某种方式参与到算术的创造过程中去。

J. 马塞

我们认为，可以采用一种循序渐进的方式来教授基础几何学，所有教学环节都应遵循同一套固定不变的方案，同时始终遵守最严格的逻辑规则。只有当学生的思维准备好面对某些难题时，这些难题才会出现。

为此，几何学的学习应该从不同的角度展开，以适应学生不同的认知水平。对于初学者来说，首先要让他们熟悉各种图形及其名称，了解一些基本事实，初步认识这些知识在最简单、最直接的情境中的应用，尤其是那些与日常生活相关的应用。

在初期，应当多使用公理，用实验验证、类比、归纳等方法来代替严格的证明，同时要始终记住，这种教学方式本质上是暂时的。还要让学生练习绘图、解决各种测量和规划问题、构建立体图形……教师应根据学生的智力发展水平，决定在几何学学习的初始阶段，应给予推理训练的比例。

……

第一阶段的教学将完全以实验为主，逐步向学生展示：并非所有的真理都需要通过实验来单独验证，有些真理其实是其他一些真理的推论。随着对科学研究的深入，我们需要不断减少这些推论的数量，最终达到那些无法再被进一步简化的基本公理。

霍埃尔：

我曾说过几何学并非儿童能够掌握的学科；但这是我们的错。我们没有意识到他们的学习方法与我们不同——对我们而言属于推理的艺术，对他们来说却应是观察的艺术。与其把我们的方法强加给他们，不如采用他们的方法；因为我们学习几何学的方式其实同样依赖于想象力而非纯粹的推理。当一个命题被提出时，我们必须想象出它的证明过程，也就是找出哪个已知的命题是它的推论，然后从所有可能的推论中选出正确的那个。

这样一来，即使是最严谨的推理者，如果缺乏创造力，也难免会陷入困境。结果是什么呢？人们不再让我们自己去寻找证明方法，而是直接把证明结果告诉我们；老师也不再教导我们如何推理，而是替我们进行推理，仅仅锻炼我们的记忆力而已。

只要绘制出精确的图形，将它们组合起来，把它们叠放在一起，研究它们之间的关系，就能在不断的观察中找到基础几何学的原理，而无需借助定义、问题或任何复杂的证明方式，只需简单的叠加即可。对我来说，我并不打算去教埃米尔几何学，而是让他来教会我；我会去寻找各种关系，而他则会找到它们，因为我寻找的方式就是为了让他能够找到它们。例如，我不会用圆规来画圆，而是用一根线末端装着的尖点，在轴上旋转来画圆。之后……

当我想要比较各条线段之间的长度时，埃米尔会嘲笑我，还会让我明白：同一根始终处于拉伸状态的线，不可能划出长度不等的线段。

如果我想测量60度的角，我会以该角的顶点为圆心画一个完整的圆，而不是弧线——因为与孩子们相处时，绝不能含糊其辞。我发现，位于角的两边之间的那段圆弧，正好是整个圆的六分之一。之后，我又以同一个顶点为圆心画另一个更大的圆，发现这段弧线仍然是其所对应圆的六分之一。我接着再画第三个同心圆，重复同样的测试；如此不断继续，直到埃米尔被我的愚蠢行为激怒，提醒我：无论大小，由同一个角所截得的每段弧线，都永远是其所在圆的六分之一……

这样，我们就用到了比例的概念。

为了证明连续的几个角之和等于两个直角，人们会画一个圆；而我则让埃米尔先在圆中观察到这一现象，然后告诉他：如果去掉圆，只留下直线，那些角的度数还会改变吗？等等……

人们往往忽略图形的精确性，直接假设它就是正确的，然后专注于证明过程。而我们之间则从不讨论证明的问题；我们最要紧的任务就是画出笔直、精确且等长的线条，画出一个完美的正方形，以及一个圆润的圆。为了验证图形的精确性，我们会通过各种可观察到的属性来检查它；这也会让我们有机会每天发现新的特性。我们会沿着直径将两个半圆对折，沿着对角线将正方形的两个部分对折；我们会比较这两个图形，看看哪个图形的各边更为吻合，因而构造得更好；我们还会探讨这种对称性是否也适用于平行四边形、梯形等等。有时，我们还会试图在实验之前就预判其结果，努力寻找相关的理由，等等……

对我的学生来说，几何学只不过是一门如何正确使用直尺和圆规的艺术罢了……

让-雅克·卢梭。

是时候进入教育问题的核心了：如何引导初学者学习某个图形呢？如果我给回答的各个步骤编号的话，还请见谅。—1. 首先，展示该图形的实物模型，让同学们亲手操作它，然后在黑板上画出它的形状，让全班同学跟着模仿。—2. 引导同学们找出该图形的最主要特征，也就是用作定义的特征。这一特征与其他一些简单的特征相结合，有时需要稍微帮助一下学生。—3. 当了解了图形的本质特征后，首次说出它的名称。同学们会立刻围过来把名称写在对应的物体上。您可以要求他们举出一些常见的例子。—4. 请一名学生来给出定义。这个定义可能有些不够准确，您需要加以修正，并亲自口述出来，以便同学们能够记住。这样的定义实际上只是对已学知识的简洁总结而已。—5. 接下来需要更详细地了解该图形。让同学们推测或观察其他特征，但不要进行证明，也就是说不要从基本特征中推导出这些特征，而只是对它们进行确认和验证。—6. 最后，可以通过与所研究的图形相关的简单构造和问题来结束教学。

可以先教授一些较为基础、可以说是初步的代数知识，其中的规则是从具体例子中得出的，而非基于抽象的推理。以下是按照这种思路进行教学的一些基本指导原则。—1. 逐步推广。我必须反复强调，人的思维难以接受突然强加的抽象概念。应该循序渐进地从一个概念过渡到另一个概念：三匹马、数字“三”本身、用a或x表示的任意数字。

2. 忽略负数、0/0、m/0以及虚数——这些符号较难理解，应留待对代数进行深入研究时再探讨。因此，应设计一些不包含任何算术上不可能的问题的练习题。

3. 暂时不讨论那些需要详细分析各种情况与例外的问题——这类深入的分析需要敏锐的思维能力，因此也应推迟到第二阶段的教学中再进行。

4. 从一开始就通过x来解答一些简单的问题——这样就可以以一种相当于算术的补充形式来引入这一新主题，而代数运算则稍后再学习。

5. 跳过代数运算的理论部分——这个内容相当枯燥，而且目前也并非非常重要。重要的是实践，应避免使用过于复杂的运算。

应重点讲解二项式的平方，而忽略多项式的除法。

6. 直接针对逐步复杂化的问题进行推理——这样一来，方程法的优势就能比预先设定公式时更清晰地体现出来。

7. 抽象方程——现在我们可以脱离具体问题，直接研究方程本身了。只需重复已有的推理过程，但要以更一般的形式来呈现。只需阐述那些几乎显而易见的原理即可。

在所有数学领域中，几何或许是最应该首先学习的；只要能通过其在纸面上或现实中的应用来向孩子们展示，它就非常容易引起他们的兴趣。绘图等操作……

那些测量方法定能让他们乐在其中，进而像牵着他们的手一样引导他们走向推理的路径。

克莱罗所整理的几何学要素，是按照发明者们的方法来编排的，因此最适合作为指导教师在教学中的工具……

拉克罗瓦。

已故的克莱罗先生设想让年轻人能够更轻松地掌握几何学的基本知识；他希望追溯到知识的源头，了解各种发现的形成过程以及推动这些发现产生的需求。

这种方法看似不错且实用，但实际上并未被采用；它要求教师具备灵活的思维能力，能够恰当地调整教学方式，而这种能力在那些遵循传统教学模式的人身上实属罕见。

伏尔泰。

学习数学有两种方式，也有两个不同的阶段，通过这些方式可以取得不同的学习成果。

一种是以机械式的、表面化的方式来学习，仅仅停留在数学事实、术语、数字以及公式上，这样的学习方式既不深入也不富有深度……

另一种则是以理性化、创新的方式去学习，通过理解词语、概念和事物之间的联系，从而领悟科学中那些深刻而简单的真理，真正掌握真理的本质。

杜潘卢普。

如今，科学中的哲学层面往往被忽视；在考试或竞赛中取得好成绩的方法才是人们关注的焦点。除少数例外，教师们更倾向于让学生掌握计算技巧，而非深入理解其背后的原理。说实话，我不确定是否可以这样认为：有些人使用分析方法，就如同大多数制造商使用蒸汽机一样，却并不了解它的运作原理。也别声称这种错误的教学方式是出于对我们这个时代那种追求快速发展的狂热的无奈之举。

阿拉戈

在教学过程中，应选择最通用的方法。尽量以最简单的方式来讲解这些方法，你会发现它们几乎总是最容易理解的。

拉普拉斯

实例比教条更有教育意义。

牛顿

在中世纪直至17世纪，教学内容主要涉及七种自由艺术，其中包括三艺（语法、修辞学和辩证法）以及四艺（算术、几何学、音乐和天文学）。

我们是不是又回到了托勒密的体系里？

我记得有位非常聪明的人，他在阅读我们最权威的天文学著作的第一卷时，看到作者一直在讨论太阳的运动、它所运行的轨道、它的日周运动以及年度运动、行进、停滞和逆行等现象。根据这些描述，他便认为科学院又回到了托勒密的体系之中。

为什么要先向学生详细描述那些他们日后会发现是错误的现象呢？为什么不直接、坦诚地告诉他们真相呢？

格拉特里：

不要说“请说”，而要说：

一条直线，就称为“线”；
一个圆，就称为“圆周”。

我从一点向一条直线作垂线，那么这条垂线就叫做“垂线”；与这条直线平行的线则叫做“平行线”……

7×8不能读作“7乘以8”，而应读作“7加上8”。

这些点的集合位于某条直线上。
这些点的集合就是那条直线本身。
这些点的集合则是圆形曲线上的某一段弧线，等等。

将方程除以某个数……我将方程的两边都除以那个数……

二次方程的负根，就是那个符号为“-”的根。

奇数幂。指数为奇数。
大于或等于≥。不低于。
3
7 × /11 × 3。——我将分数的两个项都乘以3。
4
/15和8/30。——数值较大的那个分数，就是那些各项数值较大的分数。
a、a’、a”，然后是a + a’ + a”。
将分数逐项相加：b、b’、b”，即b + b’ + b”。
——将分数相加即可。
等等。

在纯数学领域中，可以区分出两个部分：一部分是那些持续不断发展的内容，其发展速度通常很慢，几乎总是以微小的幅度递增，这类内容只适合数学家研究；另一部分则是长期保持不变的内容，但会在某些新理论出现时发生急剧变化。后者才是教学的内容，也是所有从事科学工作的人必须掌握并能够应用的知识，因为即使不专门研究数学，人们也始终需要了解它。

哈尔芬。

任何推理科学都建立在少数几个无法再分解为更简单命题的简单命题之上，这些命题被称为公理，此外还有各种定义。通过合理的推理，这些要素可以被用来推导出更为复杂的命题，而实际上，这些复杂的命题只不过是这些基本要素的逻辑组合而已。在初等几何、算术、静力学以及所有运用综合方法的科学中，都是从这些基本要素、公理或定义出发，逐步推导出更为复杂的命题的……

………………

鉴于学生们难以理解课程中的整体内容及其推导过程，我常常采用一种有效的练习方法，即寻找某个命题的先行条件。这种方法实际上就是对先通过综合得到的命题进行分析……选取任意一个命题，然后找出在证明过程中所使用的所有先行命题（引理、定理、推论），以及所有的定义和公理。这样就能对给定的命题进行初步分析。接着再对每一个先行命题进行分析，如此反复，直到只剩下公理和定义为止。

雅布隆斯基

“继续前进吧，”达朗贝尔说，“信念自然会随之而来。”下面这段精彩的文字正是对这一有时会受到质疑的建议的阐释。

虽然数学真理可以按照严格的顺序，从少数几个被视为显而易见的原理中推导出来，但仅仅通过一步步地跟随这些推导过程，始终从已知走向未知，而不回溯到那些已经完全弄清楚的环节，是无法真正掌握这些真理的。对于初学者来说，这些原理的含义和意义是难以理解的，因为他们很难区分自己需要接受的结论与假设或公理所带来的纯粹逻辑结果；有时候，证明过程反而比命题本身更令人困惑。他们试图在原理层面深入探究以更好地理解它们，但这是徒劳的；他们的思维必须养成一些原本没有的习惯，必须在不太清楚自己要去往何处、从何处出发的情况下继续前进。他们最终会对自己必须遵循的这种推理方式产生信心，也会逐渐习惯于各种符号及其组合。

跟随其脚步前行，他便能从起点一目了然地看到自己已经走过的道路：有些路段仍处于阴影之中，有的甚至完全不可见，但另一些则被清晰地照亮；他清楚地知道如何从这一真理过渡到另一真理；他知道该把注意力集中在何处；经过训练后的双眼能够看清那些原本难以理解的复杂部分，若不克服这些困难，他永远无法掌握它们；现在，他能够继续前进或选择另一条路径；他获得了新的真理，这些真理与原有的真理相辅相成、共同照亮一切；有时，他会为眼前出现的意想不到的景象而惊叹，这些景象让他以全新的视角看待那些他原以为已完全了解的区域；渐渐地，阴影消失了，科学的美丽在它的丰富多样性中展现出全部的光彩。

研究数学的人的思维过程，其实不过是科学创造与构建过程中所发生的一切的反映罢了；在这段漫长的探索过程中，严谨的演绎法并非唯一起作用的因素。即便进行再深入、再长时间的推理，也未必能取得进展，而且严谨性并不能保证推理一定有用。即使在数学领域，人们往往也是通过一些并不稳妥的途径来获得新发现的。在踏上通往目标的道路之前，必须先了解自己想要前往的地方；正是这种了解才能帮助人们找到最直接的路径；只有经验才能指出需要付出努力的地方；而那些有时出乎意料的困难，则迫使几何学家们回到起点，寻找新的路径来克服障碍。试想，微积分的发明者们在继续深入研究之前，是否也曾反复钻研导数和定积分的概念呢？

J. Tannery

即使是最精确的科学，也包含着一些普遍原则，人们凭借一种本能就能理解它们，而这种本能使得人们无法对它们产生怀疑。

首先应当致力于此。在彻底理解了所有相关结论，并通过长期练习推理技巧来强化思维能力之后，就可以毫无风险地重新审视这些原则——此时它们会以更加清晰的面貌呈现出来……

拉普拉斯

我甚至认为，与其在定理的证明上追求那种如今极为受重视的极端严谨性，不如清楚地阐明该定理的原理及其与其他数学真理之间的联系。因此，我希望为了便于阐述，也为了避免让年轻的读者从一开始就失去兴趣，能够允许使用那些长期以来一直为最伟大的几何学家们所认可的证明方法。

库尔诺

不应过早地提及那些过于微妙的难题。

J. 伯特兰

如果想要简化某个理论或方法，那就将其纳入教学计划中。由教师们负责对其进行阐释，并将其简化为最简洁的形式。

我对那些过于精巧、过于对称、依赖巧妙符号的证明方法持保留态度。这类证明有时会妨碍人们深入思考问题的本质，它们更多是起到说服作用而非真正起到启发作用。

我们必须充分理解必要条件与充分条件的重要性，或者说是各种条件之间的互逆关系，用另一种说法就是所谓的“特征性质”。不完善的分析会导致多少错误的或不完整的推理啊！

当这些互逆关系成立时，人们往往忽视了对它们的证明。

要建立数学上的联系，就需要两个命题，其中第二个命题可以是第一个命题的互逆形式，也可以是它的否定形式。

区分算术与代数，并不是通过数字的表示方式，也就是说，并不是通过给数字加上某种“外衣”来实现的，而在于数字的本质，以及我们理解数字的方式。算术与代数的分界线，源于人们对数字的理解方式——是将数字视为一种量，还是仅仅视为一个序数；换言之，取决于人们是否接受连续性的概念。正因如此，无理数、对数等概念都属于代数的范畴，也就是属于解析函数的领域。

E. 卢卡斯

历史

从远古时代起，人类就开始对物品进行计数，并粗略地测量距离与时间。这些概念在腓尼基人那里开始变得更为清晰——他们是商人兼计算专家；在埃及人那里则有所发展——他们是测量员（负责测量尼罗河的洪水情况）以及建筑师（负责建造金字塔）；最后在迦勒底人那里也有了进一步的发展——他们是牧民兼天文观测者。可以说，这就是算术、几何学和天文学的起源。

最早的史籍记载表明，几何学在希腊人手中得到了惊人的发展。在中世纪期间，数学几乎被遗忘，但在16世纪时又在西方重新兴起。随后，解析几何与微积分诞生了，这些伟大的发现为科学带来了新的发展机遇并拓展了其范畴。

我们将简要介绍数学史上的主要阶段。

I. 希腊哲学家们——他们几乎都是几何学家和天文学家。

人们认为，几何学中最简单的定理是由泰勒斯（公元前600年）及其伊奥尼亚学派提出的，他们还首次尝试测量那些难以到达的距离，并利用日晷进行天文观测。

毕达哥拉斯（公元前550年）及其追随者们掌握了三角形内角和、斜边平方的关系，还了解了正多面体，以及地球运动的两种方式中的至少一种。

柏拉图（公元前400年）及其追随者们提出了几何学中的分析方法；他们设想出了圆锥曲线以及其他几何图形，用以实现立方体的倍增；同时，他们也开始研究无理数。

二、亚历山大的希腊学派——在这所存在了千多年的著名学派中，数学发展达到了巅峰状态，焕发出最耀眼的光彩。

欧几里得（公元前300年）在其著作《几何原本》中系统总结了除圆锥曲线之外的所有几何知识。这部著作至今仍影响着数学教学。

阿基米德（公元前250年），或许是最伟大的数学家，他测量了圆和球体的尺寸，解决了抛物线积分问题，研究了级数，并以杠杆原理为基础建立了静力学理论，等等。

佩尔加的阿波罗尼奥斯（公元前200年）在其著作《圆锥曲线论》中总结了当时已知的圆锥曲线性质，以及他自己发现的那些更为隐秘的性质。

喜帕恰斯（公元前150年）重新进行了所有的天文观测，尽管他的仪器并不完美，但他还是得到了足够精确的数值，为天文学理论提供了基础。

托勒密（公元150年）在其著作《天文学大成》中认为地球是静止的，但他仍然通过复杂的圆周体系来描述天体运动。

丢番图（公元350年），被誉为代数学之父，他在其著作《算术》中创立了这一新的数学分支。

此后，亚历山大的数学研究逐渐衰落，只剩下一些注释者，其中最著名的是帕普斯：他在自己的《数学文集》中保存了一些已经失传的著作的片段。

三、文艺复兴之前的其他民族——早在公元前几个世纪，埃及人就已经掌握了算术和几何知识，最近被破译的阿赫梅斯纸草文稿便证明了这一点。而埃及人则停滞不前，而那些从埃及人那里汲取知识的希腊人则取得了飞速的发展。

同样，中国人似乎从远古时代起就懂得数学；但这个民族也始终没有取得任何进展。

像阿耶波多、婆罗摩笈多和婆什迦罗这样的印度人，自古以来就对大数充满兴趣；他们研究代数，并能解出一元二次方程。

穆罕默德·本·穆萨、阿布·瓦法等阿拉伯人，则充当了希腊人与印度人以及西方人之间的桥梁。

在欧洲，中世纪依然处于黑暗与停滞状态。不过，我们可以提到格贝尔特，他在1000年左右向西班牙的摩尔人学习，然后将现代数字带给了基督徒。此外还有意大利的代数学家——12世纪在东方从事贸易的比萨的莱昂纳多，以及15世纪的卢卡斯·德·布尔戈。

IV. 十六世纪——科学终于重新开始发展，一系列重大发现正在孕育之中。

波兰人哥白尼（1473-1543）提出了真正的宇宙体系，并展示了其惊人的简洁性。

意大利人卡尔丹（1501-1576）找到了解三阶方程的公式；他掌握了塔尔塔利亚的法则。

出生于下普瓦图的维埃特（1540-1603）洞察到了方程的一般性质，能够用代数方法解决几何问题，还完善了三角学。

苏格兰人纳皮尔（1550-1617）发明了对数，可以说他让计算者的工作效率提高了一倍。

牛津大学的哈里奥特（1568-1621）发现了方程的系数与根之间的关系，还能计算出整数根和分数根。

佛罗伦萨人伽利略（1564–1642）研究摆的运动，发现了物体与抛射体下落的规律；他通过天文观测证实了哥白尼的宇宙体系。

V. 十七世纪——这个在科学与文学领域都极为重要的世纪，一方面带来了解析几何与微积分，另一方面则诞生了开普勒定律以及万有引力定律。

德国人开普勒（1571–1630）利用第谷·布拉赫的观测结果，找到了行星绕太阳运动的三大定律。

我们伟大的笛卡尔（1596–1650）发展了纯代数，并创造了解析几何，即通过方程来研究曲线。

图卢兹人费马（1601–1665）也解决了切线问题与极值问题，同时揭示了数字最隐秘的特性。

帕斯卡（1623–1662）创立了组合分析学与概率计算方法，还进一步完善了曲线几何学。

荷兰人惠更斯（1629–1695）推动了几何学、力学与天文学的发展。

伟大的牛顿（1642–1727）发明了微积分，同时也发现了万有引力定律。他的才华堪比古代的阿基米德。

莱布尼茨（1646–1716）几乎与牛顿同时提出了新的微积分体系，而且其符号系统更为出色。

VI. 十八世纪——数学家们将微积分应用于各种最复杂、最棘手的问题上。

瑞士人欧拉（1707–1783）对函数、级数、积分等领域进行了大量研究。

达朗贝尔（1717–1783）通过计算研究了分点进动现象，并将运动研究简化为平衡状态的研究。

拉格朗日（1736–1813）以罕见的优雅手法运用代数与微积分，从而创立了理性力学。

蒙日（1746–1818）建立了描述几何学，这对工程师们极为有用。

拉普拉斯（1749–1827）因其《天体力学》——即将微积分应用于宇宙体系的研究——而闻名于世。

卡诺（1753–1823），这位几何学家兼哲学家，致力于阐明负数、虚数以及积分等概念。

七、十九世纪上半叶——这一时期既以宏观视野著称，也以对细节的深入探究而引人注目。

德国人高斯（1777–1855）研究了二元方程与数论。

庞斯莱将军（1788–1867）通过变换方法拓展了几何学。

柯西（1789–1857）对级数、虚数以及无穷大进行了深入研究。

德国人雅可比（1804–1851）专注于新函数的研究，尤其是椭圆函数。

沙勒斯（1793–1880）在其著作《高等几何学》中系统化了符号约定、非调和比、同胚映射、对合映射等内容。

在该世纪的后半叶，人们的努力转向逐渐形成的数学物理学。在纯分析领域，研究越来越精细化，人们不断深入探讨函数与微分方程的性质，微积分也取得了丰硕成果。

我们将简要回顾那些最伟大的数学家们——那些发现并奠定了数学基础的杰出天才。我们会通过给出客观的评价并引用他们的代表作来介绍每一位数学家。

欧几里得（公元前300年）与《几何原本》。
没有任何一本科学著作能像欧几里得的《几何原本》那样产生如此长久的影响。该书被翻译成各种语言并加以注释，几个世纪以来一直是所有数学学校的必修教材；即使在英国，至今仍有人研习它。

鲁谢。

阿基米德（公元前287年－212年）与微分几何。
那些能够理解阿基米德思想的人，往往不会那么钦佩现代最伟大科学家的发现。

莱布尼茨。

阿波罗尼奥斯（来自佩尔加，公元前200年）与圆锥曲线几何。
阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的著作堪称希腊几何学的巅峰之作……书中的一切都呈现出对称的结构；平面的统一性在每一个细节中都体现了作者的思路，即试图将圆锥曲线的所有类型联系在一起。

霍费尔。

喜帕恰斯（公元前150年）与天文观测。

如果将他所发明或改进的一切加在一起，再考虑到他的著作数量以及这些著作中所涉及的庞大计算量，就会发现喜帕恰斯是古代最了不起的人物之一，而在那些并非纯粹理论性的科学领域中，他更是最杰出的人士。

德朗布尔

托勒密（公元150年）与几何天文学

托勒密构建的天文学体系延续了近十四个世纪；即便如今它已完全毁坏，其著作《天文学大成》依然属于古代最珍贵的文化遗产之一。

拉普拉斯

丢番图（公元350年）与初期的代数

虽然不能说代数这种学科是从他手中诞生的，但不可否认的是，代数在他的推动下取得了极为显著的进展。

马里先生

韦达（1540–1603）与不断发展的代数

正是在他那部名为《解析术导论》的分析学著作中，作者首次提出了人类智慧所创造出的最为深刻、最为抽象的理论之一。

J.傅里叶

伽利略（1564–1642）与力学。
那种在古人那里还不存在的关于各种运动的一般理论，正是在伽利略的手中诞生的。他发现了物体在重力作用下落体或沿斜面滑动的加速度规律，并由此确立了匀加速运动的一般性质。

博苏。

笛卡尔（1596–1650）与解析几何。
让这位伟大人物名垂千古的，正是他将代数应用于几何学的创举——这是人类智慧所孕育出的最伟大、最成功的理念之一；它不仅将成为几何学领域深入研究的钥匙，也将成为所有物理数学科学中深入研究的基石。

达朗贝尔。

费马（1601–1665）与高等算术。
在数字发明方面，还是去另找别人吧……我得承认，这远远超出了我的能力范围。

帕斯卡。

帕斯卡（1623–1662）与高等代数。

他是文学、哲学、宗教乃至数学领域中最令人惊叹的天才，其学术造诣之深简直不可思议。

牛顿（1642–1727）与微积分的发明。

在莱布尼茨掌握微分法之前，牛顿就已经掌握了微分法的相关技巧，但莱布尼茨的发明其实与牛顿的并无关联，而且其发表时间也早于牛顿的成果。

比奥。

蒙日（1746–1818）与描述几何学。

所有行业的工匠们——建筑师、机械师、石匠、木匠——都不再受那些僵化的规则、那些没有理论依据的方法的束缚。他们应当心怀感激地记住：如果他们能够运用工程师的语言进行交流，那都是因为蒙日创造了这种语言，让它为所有人所理解，让它走进最普通的作坊之中。

阿拉戈。

拉普拉斯（1749–1827）与天体力学。

如今，牛顿定律已经能够解释所有已知的自然现象。观测数据越精确，就越符合这一理论。在所有几何学家中，拉普拉斯是对这些重大问题研究得最深入的人，可以说他已为这些问题找到了最终的答案。

……

拉普拉斯生来就注定要追求一切的完美，深入探究一切，突破一切极限，解决那些看似无法解决的问题。如果有可能的话，他本可以完成天文学的研究（即在他的《天体力学》中所做的那样）。

J. 傅里叶

拉格朗日（1736–1813）与理性力学

他天才的独特之处在于其思想的统一性与宏大性。他始终坚守着简单、正确且高远的理念。他的主要著作《分析力学》其实也可以被称为“哲学力学”，因为他将所有关于平衡与运动的规律都归结为一个原理；更令人钦佩的是，他还用他自己发明的独特计算方法来处理这些规律。他所有的数学著作都以其独特的优雅风格、形式的对称性以及方法的普遍性而著称，可以说，其分析风格也堪称完美。

J. 傅里叶

柯西（1789–1857）与符号

他是一位极为深邃的数学家，不过有时其观点略显晦涩难懂。他的著作数量众多，他的忠实弟子们则进一步阐明了那些新颖而大胆的观点，这些观点为科学的发展奠定了基础。

沙斯勒（1793–1876）与高等几何学

沙斯勒的成果代表了六十年来几何学持续发展的最终成就。只需提及他的《概论》即可。

从历史上看，高等几何学……几何学重新夺回了原本被分析学占据的领地。

鲁谢。

查理曼大帝用从阿拉伯人那里借鉴来的“国王尺”或“巴黎尺”，以及由此衍生出的各种长度单位，来取代罗马度量单位。他试图在自建的庞大帝国中推广这些度量单位，而这些单位虽能延续十个世纪，却也不断发生变化且变得愈发复杂。

三级会议多次要求整顿度量衡标准。

路易十一、弗朗索瓦一世和路易十四试图通过颁布敕令来在全国范围内推行巴黎度量单位，但均以失败告终。

据赛热所说，1668年，在皮卡尔进行子午线测量的过程中，人们制作了一根两端带有刻度的铁制标尺，并将其固定在沙特尔城堡的楼梯底部，用作商业和司法领域的计量标准。

这根标尺在经过与沙特尔城堡的标尺比对后，又被布格尔和拉康达明用于秘鲁的子午线测量工作，它本身也成了新的计量标准，随后有八十根这样的标尺被送往法国的各个议会以及外国的天文学家手中。这是迈向统一化的重要一步，不久之后，这种被称为“秘鲁标尺”的工具便被用来作为米制的基准。

在1789年的改革要求中，度量衡的改革始终被提及：人们希望实现“简单且全国统一的度量标准”。

1790年5月8日，根据塔列朗的提议，制宪会议要求法国和英国的君主共同协商，采用相同的度量单位。这一标准（例如皮卡尔早年提出的秒摆长度）本应由一个专门委员会来确定。

由巴黎科学院的学者们与伦敦皇家学会的成员们以平等的名额共同参与。科学研究院独自讨论了这一问题，其委员会（由博尔达、拉格朗日、拉普拉斯、蒙日以及拉瓦锡组成）否定了使用摆钟作为测量工具的做法，“因为不想将运动与时间的相关因素混入长度的测量中”，于是提议以子午线四分之一的千万分之一作为长度单位。据传，整个测量系统的设计出自拉普拉斯之手，而大地测量工作的方案则由博尔达制定，至于千克这一重量单位的定义则归功于拉瓦锡。1791年3月26日，制宪会议通过一项法令，决定以地球周长作为长度单位的标准，并规定了相应的测量工作。该法令规定：“以子午线四分之一的千万分之一作为标准长度单位，将所有物体的重量都换算成蒸馏水的重量，同时通过十进制体系将所有主要测量值与更大或更小的数值联系起来。”1792年，德朗布尔和梅尚受科学研究院同事的委托，负责测量从敦刻尔克到西班牙巴塞罗那之间的弧段，这段距离约为10度。他们以梅伦和佩皮尼昂附近的两个基点为基础进行三角测量。在直接测量之后，还需要进行大量的比对工作、数据修正与计算。在等待这些工作完成之前，科学研究院便根据以往的观测结果暂时计算出了米的数值，其精确度已足以满足社会各领域的需求；此外，他们还通过精确实验确定了秒摆的长度以及一立方厘米蒸馏水的重量——这些就是所有其他测量值的基准。新的观测结果只能对现有数值做出微小的修正而已。（比奥）1793年8月1日的会议上，国民公会根据阿尔博加斯特代表公共教育委员会提交的报告，投票决定在共和国全境推行公制。不过，直到共和历第三年热尔米纳尔月18日（1795年4月7日）的法令出台后，这一制度才真正成为强制性的规定。该法令最终确定了各种单位的名称，其中规定：“标准器具应为一根铂金制成的尺子，其精度需依据委员会的实验与观测结果来确保。这根尺子将被保存起来。”

在立法机构附近，还有用于确定这一数值的运算记录。

一个由32名成员组成的委员会负责进行最终的计算工作，这些成员既有法国人也有外国人。

共和历7年梅西多尔月4日（1799年6月22日），该委员会通过其报告人——荷兰人斯维登和瑞士人特拉莱斯——向共和国的两院宣布：子午线的四分之一长度为5130740托瓦，由此可推算出米的长度。这两位代表还展示了用铂金制成的米和千克的标准器；测量尺应设定为零点，而圆柱形砝码则需在真空环境中称重。

同一天，这两个标准器被放入带锁的盒子里，然后存放在共和国的档案馆中，那个档案柜也是用四把钥匙才能打开的。

在领事制时期，1801年11月2日的法律仅规定优先使用新的度量单位而非旧的单位；而在帝国时期，1812年2月12日的法令则建立了一种混合且不完善的度量体系，这使得真正的公制体系的确立推迟了25年。当时存在着公制托瓦、公制磅等度量单位。

最终，1837年7月4日颁布的那项重要法律继承了革命时期的传统，重新确立了纯粹的公制体系，不仅禁止使用所有旧度量单位，甚至连它们的名称也被禁止使用。

从1840年1月1日起，这项新法律强制要求所有法国公民使用新的度量单位，违反者将面临罚款或监禁的处罚。

1869年，圣彼得堡科学院提议对米的标准进行一次欧洲范围的重新测定。他们认为，德朗布尔所采用的地球扁率值偏低，而且在其计算过程中还存在一些误差。德国人贝塞尔在研究所有关于子午线的测量数据后，尤其是比奥和阿拉戈在1808年所做的测量结果后，发现实际数值应为5131180托瓦，而非5130740托瓦；这样一来，公制体系中的基本数值就少了440托瓦。此外，

千克的数值应该归零，而非4度。圣彼得堡科学院还指出，遗憾的是，新的度量标准并非由各国科学家共同制定而成的。从巴黎寄往其他国家的标准器并不完美，它们是根据工艺美术学院的米制标准来确定的，而非档案馆的标准，而且其测定方法也有待改进。对于这些批评，巴黎科学院回应称，德朗布尔与贝塞尔所得出的数值差异其实很小，而且任何新的数值都需随着科学的发展而加以调整——毕竟不可能每个世纪就更换一次米的标准。各国科学家都与法国科学家进行了合作，他们共同确定的度量单位具有极高的精确度。经过这样的交流之后，两院决定召开一次关于米制的国际会议，以探讨度量标准及最佳标准器的问题。

由于战争的原因，第一次在巴黎召开的米制国际会议被迫中断，第二次会议则于1872年举行。共有20个国家派代表参加了此次会议。会议决定不再重新测量子午线长度；现有的米和千克标准应保持不变；标准器则应由铱铂合金制成，长度为102厘米，这样就能将米的概念限定为两条刻线而已。

1873年，化学家德维尔和德布雷在超过2000度的温度下，在高等师范学校铸造出了第一批国际米标。这些米标的科学价值与档案馆中的原型相当，它们在国外也被视为标准。

近年来，沃尔夫先生在天文台内建立了一个米制博物馆。

那些神职人员还告诉我，塞索斯特里斯曾对土地进行分配，给每个埃及人分配一块面积相等的土地，这些土地是通过抽签决定的，不过人们仍需每年向他缴纳一定的费用。

这些便构成了王室的收入。如果尼罗河的洪水夺走了某人的部分土地，他就会去找塞索斯特里斯，向他说明所发生的状况，于是国王会派测量员到现场去测定土地面积减少了多少，这样就可以只按照剩余的土地面积来征收应缴的税款。我想，这就是几何学的起源，它从这个国家传到了希腊。

希罗多德

科学的开端想必极为朴素。例如，多个数相乘时各因数顺序可互换这一规律，很可能是在经过反复验证之后才被确认的。人们也必须通过实验才能明白：绕圆周的线段长度始终是直径长度的相同倍数。

据泰奥弗拉斯托斯的记载，锡拉库萨的尼凯塔斯认为，天空、太阳、月亮、星星，简而言之，我们头顶上的所有天体都是静止的，只有地球在宇宙中处于运动状态；地球以极快的速度绕着自己的轴旋转，从而产生出仿佛地球静止而天空在运动的错觉。

西塞罗

几年前去世的数学史学家汉克尔与普遍观点相反，他认为数学是不断发展进步的。首先是希腊的几何学家，接着是纯粹的代数学家——印度人，最后则是将代数与几何结合起来的现代人。查斯勒也曾说过：“希腊人主要是几何学家；直到很晚之后，他们才出现丢番图的《代数论》。他们的几何学是纯粹的，不掺杂任何计算……而在印度人那里，代数则似乎……”

它是最为发达的学科；其中的代数理论达到了令人惊叹的完善程度……（在现代），数学的全面革新赋予了它抽象性与普遍性这些特性，使其拥有了希腊人未曾设想过的强大功能。

希腊的几何学家们研究的是几何量本身，而非它们的度量方式。

……

从帕普斯到维埃特、笛卡尔和伽利略，这1200年的时间不过是一段漫长的黑夜罢了。

……

印度人在研究数字的性质或代数变换方面展现出了非凡的才能，这一点毋庸置疑；但考虑到他们在几何学领域的几乎一无所成，我们不得不认为他们的水平远远低于希腊人。

玛丽先生

古代数学为我们提供了一个例子：在经历过辉煌的巅峰之后，该学科便陷入了深深的衰落。从这个角度来看，当今数学史中真正的挑战在于弄清过去衰落的具体情况与原因，从而找到避免未来再次衰落的办法。

P. 塔内里

数学领域的发现曾达到过两次高峰：一次是在欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯所处的纯几何学时代；另一次则出现在17世纪，那时期人们提出了将代数应用于几何学、微积分以及万有引力定律等重要理论。

对于三阶和四阶方程的求解，以及那些所谓“无法简化”的复杂问题的解决，都是17世纪代数学家们致力于研究的重点问题。

刘维尔。

古希腊人抱有“天体运动必定是圆形且匀速的”这一先入之见，这一观念使他们误入歧途。而开普勒则恰恰相反，他基于自然法则应当具有某种简单性的假设来指导自己的研究。如果他知道行星运动的复杂性，他就不会发现那些能够初步描述这些运动的规律了。

在古代，那些支持地球会运动的观点的哲学家们被指责为不敬神明；到了17世纪，仍然有一些人犯同样的错误，将纯粹的科学问题转化为宗教问题。他们从圣书中寻找依据作为论据，每个人都按照自己的理解来解读这些文本，于是便出现了极其激烈且毫无道理的争论，这无疑对科学和宗教都造成了损害。

瓦尔松。

事实上，自希腊人之后，我们在纯数学领域仅取得了三项重大发现，但它们的影响极为深远。

笛卡尔发明了解析几何，他用x和y的方程来表示每条曲线，这些方程反映了曲线上任意一点坐标之间的恒定关系。这样一来，所有的几何问题都转化成了代数问题。

莱布尼茨与牛顿几乎同时发现了微积分，这一工具使得人们能够极其精确地分析函数的连续变化。

到了现代，柯西借助对虚数的更深入理解，为分析学赋予了令人赞叹且完备的体系结构。

关于最重要数学史的著作有蒙图克拉所著的四卷本著作（其中后两卷由拉朗德完成）；博苏特所著的较短篇幅的著作；汉克尔所著的著作，可惜作者去世时仍未完成；马克西米利安·马里所著的12卷本著作，以及莫里兹·康托尔所著的著作。后者是经过长期研究而成的成果，也是最为完整、最深入的著作。

恩埃斯特伦在斯德哥尔摩出版了一本关于数学史的期刊《Bibliotheca mathematica》。

我们还应提及保罗·塔内里与查尔斯·亨利在学术研究与批判方面的诸多成果。

最后，巴尔塔萨·邦孔帕尼亲王也出版了二十多卷关于数学书目与数学史的著作。

方丹内尔所写的那些对学者的颂扬之词，理应被列入有品位之人的藏书清单之中。他率先推广了学者与科学的知识，其影响力远超人们的想象——他以巧妙而隐秘的方式，将卓越的思想融入严谨的论述之中。伏尔泰将这些颂扬之词比作“那些花朵与麦穗一同自然生长的丰饶田野”。

M. P. 拉菲特在法兰西学院从实证主义的角度讲授科学通史。事实上，我们这里并没有数学史的课程，这无疑是我们高等教育中的一个遗憾。

在比利时根特大学，M. 曼森定期开设数学史课程，而且这门课程是理科学生的必修课。

“我见过太多曾经报考综合理工学院的人，”贝特朗先生说，“他们虽然精通某本经典代数教材，却从未阅读过其他相关著作，因此不知道欧拉和伯努利的名字，还将牛顿与贝祖、笛卡尔与布丹、柯西与萨鲁斯混为一谈。”

长期以来，数学科学构成了所有精确思想的领域；在其他领域里，人们只能看到天才们为寻求真理而做出的徒劳努力，以及那些由早期发明者不完善的理论所带来的无数错误。哲学家们使用的神秘语言，与精确清晰的数学语言形成了鲜明对比，这让几何学家对其他科学充满了极度轻视的态度。然而，当天体现象也被纳入计算法则的范畴之后，数学研究便变得更加普遍，那些思维敏锐的人也开始注意到，数学的论证方式与传统学术流派有着极大的不同。

数学语言是纯粹理性的体现；它杜绝了胡思乱想，还能指出那些无意的错误。若不熟悉这种语言，就无从利用它来行骗。

——索菲·热尔曼

为纪念她的诞辰60周年，瑞典和挪威的国王设立了一项重大的数学奖，邀请全欧的所有数学家参加角逐。该奖项由庞加莱获得，而第二名的奖金——一枚金质奖章，则由阿佩尔获得。（1889年2月）

在法国，主要的数学期刊有：由刘维尔创立、乔丹主持编辑的《纯粹与应用数学杂志》；由达布创建并负责编辑的《数学科学公报》；由奥·特凯姆和热罗诺创立、莱斯安和安托马里负责编辑的《新数学年刊》；由J.布尔热创立、G.德朗尚负责编辑的《基础与专门数学杂志》；由E.亨贝尔主编的《专门数学评论》；以及由我们的合作者维贝尔主持编辑的《基础数学杂志》等等。

法国科学院下设五个数学研究部门。以下是按任命顺序列出的各部门成员姓名：

几何学领域：埃尔米特、乔丹、达布、庞加莱、埃米尔·皮卡、阿佩尔。

力学领域：莫里斯·莱维、布西内斯克、德普雷、萨罗、勒奥泰，以及塞贝尔将军。

天文学领域：费耶、詹森、洛维、沃尔夫、卡兰德罗、拉多。

地理与航海学——布凯·德·拉格里耶、格朗迪迪埃、德·布西、巴索、吉尤、哈特。

普通物理学——科尔努、马斯卡尔、利普曼、A.-H.贝克勒尔、波蒂埃、维约尔。

学院的常任秘书——负责数学科学的为J.贝尔特朗，负责物理科学的为贝尔特洛。

在自由院士中，有德弗雷西内、阿顿·德·拉古皮利耶尔、琼基埃尔海军上将、鲁谢等人。

在在世的数学家中，我们可以列举如下：在比利时，有曼森和诺伊伯格；在英格兰，有福赛特、西尔维斯特和萨尔蒙；在挪威，有S.利埃（目前身处莱比锡）、比约克内斯、西洛；在瑞典，有贝克伦德、林德斯泰特；在丹麦，有彼得森、措滕；在俄罗斯，有利亚普诺夫、马尔科夫；在德国，有戴德金、福克斯、戈尔丹、克莱因、施瓦茨、韦伯、韦姆加滕；在意大利，有贝尔特拉米、布里奥斯基和克雷莫纳等等。

以下是另外一些法国数学家的名字：D.安德烈、博雷尔、布里斯、布罗卡尔、富雷、古尔萨、阿达马尔、G.亨伯特、J.朱贝尔、柯尼格斯、莱斯安、H.劳伦特、德隆尚、曼海姆、梅雷、穆塔尔、潘莱韦、J.坦内里等等。

1872年，巴黎成立了一个数学协会，该协会拥有近三百名会员，并会出版相关研究成果的公报。会议每月举行两次，地址位于大奥古斯丁街7号。

1892年12月24日，索邦大学为伟大的几何学家埃尔米特的七十岁生日举行了庆祝活动。我们摘录了部长的演讲内容……

《公共教育》中有如下记载：

帕斯卡将几何学视为“智力所能达到的最高境界”；他将几何学家视为“思想领域的领袖”。法国之所以值得自豪，是因为它孕育出了比其他任何国家都更多的那些才华横溢、能力出众的学者，他们能够掌握构成数论与几何学法则的所有真理。早在17世纪，笛卡尔、帕斯卡和费马就让我们无需羡慕任何人，甚至包括牛顿的卓越智慧；到了18世纪，达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯等人更使法国在数学领域处于领先地位。而在我们这个时代，蒙日、卡诺、安培、柯西、沙勒斯、刘维尔等一批杰出学者进一步巩固了法国在几何学领域的优势，这里仅列举了其中几位已故的学者……

夏尔·迪佩伊。

由莱斯当和E.勒莫因主编的《数学家指南》中收录了各种最复杂、最棘手的题目，以及来自不同方面的解答。

哲学与道德——文集

你以适当的数量、重量和尺度安排了一切事物。

《圣经》

数字主宰着世界。

柏拉图：到处都有几何学。
莱布尼茨：上帝是伟大的几何学家——上帝时刻都在进行几何运算。
柏拉图：上帝是一个圆，其圆心无处不在，而圆周则不存在于任何地方。
拉伯雷、蒙田、帕斯卡：在上帝眼中不存在数字。由于他能同时看到一切，所以他无需计数。
孔狄亚克：在那些我们称之为“偶然”的、不断变化且难以理解的因果关系之中，事件的进展显得充满不确定性与不规律性；但随着这类现象的增多，人们逐渐发现其中存在着一种惊人的规律性，似乎有一种设计在背后操控着一切，因此人们将此视为天意的证明。
拉普拉斯

我无法理解，如此出色的数学家们怎么会否认“永恒的数学家”这一存在。

伏尔泰

柏拉图在他的哲学学校门口写着这样的话：除非是几何学家，否则任何人不得进入此地。

没有数学，就无法深入理解哲学；没有哲学，也无法深入理解数学；而缺乏这两者，就根本无法理解任何事物。

博尔达斯-德穆兰

数字存在于一切已知的事物之中。没有数字，就不可能进行思考，也不可能了解任何事物……数字与和谐能够消除错误，因为错误与它们的本质相悖。错误与嫉妒源于无序状态，即没有思维、没有理性；虚假永远无法渗透进数字的世界，它才是数字的永恒敌人。唯有真理才符合数字的本质，它与数字一同诞生。

菲洛劳斯

几何学中的线条与图形非常适合用来在人们的想象中呈现各种量之间的关系，或是那些存在差异的事物之间的关系，比如空间、时间、重量等等。这既是因为这些都是非常简单的对象，也因为人们可以轻松地理解它们。

这很容易想象。甚至可以说，从几何学的角度来看，线条能够在人们的想象中呈现更多的事物，而这些事物是人类的思维所无法理解的。因为线条能够表达那些不可通约的量之间的关系，也就是那些因为没有共同的度量标准而无法比较其比例的量。

……

那些需要通过算术花费大量时间才能完成的任务，通过代数与分析则可以在瞬间完成，而且不会因为数字的变化以及运算的复杂性而让人的思维变得混乱。某种特定的算术运算只能揭示一个真理，而类似的代数运算则能揭示无数个真理。

代数……教会人们如何对已知量进行各种计算，从而得出最复杂、最难以理解的比例关系。它的计算方法是最简单、最容易的，同时也是最通用的。

马勒布兰奇

即便是最伟大的几何学家们，也难免受到这种偏见的影响——他们将代数分析视为一种“神谕”，认为它给出的答案并不总是易于理解的，但其谜题中必定蕴含着某种意义，人们必须努力去揭开其中的奥秘。

迪乌梅尔

几何思维与精巧的思维之间存在着很大的差异。在几何思维中，原理虽然清晰可见，但却远离日常应用；因此，人们很难将注意力转向这个领域。

通常情况下如此；但只要稍加留意，就能清楚地看到那些原则。对于如此显而易见的原则，若还进行错误的推理，那只能是心智有误罢了。

在精妙的思维中，这些原则其实存在于日常之中，就在所有人眼前。无需费力去寻找，也无需强迫自己去理解。关键在于要有敏锐的洞察力，因为这些原则极为微妙且数量众多，几乎不可能不被注意到。而忽视某个原则就会导致错误，因此必须拥有清晰的视野才能看清所有的原则，同时还需要正确的思维方式，才能避免对已知原则做出错误推理。

如果所有几何学家都能拥有敏锐的视野，那么他们都会成为聪明人；而那些思维敏捷的人，如果能将视野转向几何学中那些不常见的原则，也能成为几何学家。

有些思维敏捷的人之所以不能成为几何学家，是因为他们根本无法将注意力集中在几何学的原则上；而有些几何学家之所以算不上聪明，是因为他们看不清眼前的东西。由于他们习惯了几何学中那些清晰而简单的原则，并且总是先彻底理解这些原则后再进行推理，所以他们在处理那些复杂的问题时就会陷入困境——因为在那些问题中，原则并非如此容易把握。这些原则极其微妙且数量众多，需要极为敏锐和清晰的感知力才能察觉到它们，而且往往无法像在几何学中那样有条理地证明它们，因为人们并不掌握这些原则，而且试图这么做也是件极其困难的事。必须一目了然地看清事物，而非通过逐步推理，至少在某种程度上是这样。正因如此，几何学家很少能成为聪明人，而思维敏捷的人也很少能成为几何学家。因为几何学家试图用几何学的方法来处理那些复杂的问题，却从定义和原则开始着手，这并不是处理这类问题的正确方式。并非思维无法做到这一点，而是它只是以一种自然而无声的方式实现，因为表达这种思维方式是所有人都能做到的，但真正理解它的人却寥寥无几。

而那些思维敏锐的人，由于习惯于一目了然地做出判断，当面对那些他们完全无法理解的命题时，就会感到十分困惑。要理解这些命题，就必须通过一些复杂的定义和原理，而他们并不习惯于以如此细致的方式去理解事物，因此他们会对此感到厌烦和反感。不过，那些思维愚钝的人从来都不具备敏锐的思维能力，更谈不上是几何学家了。

那些纯粹的几何学家虽然思维严谨，但前提是必须用定义和原理来向他们解释一切事物；因为只有基于清晰明确的原理，他们的思维才能保持严谨性。而那些纯粹思维敏锐的人，则没有耐心去探究那些抽象概念和想象中的基本原理，因为他们从未在现实世界或日常生活中见过这些东西。

帕斯卡

几何学可以被视作一种实用逻辑，因为它所处理的真理都是最简单、最直观的，正因如此，这些真理最容易让人们运用推理规则来加以处理。

达朗贝尔

我曾经说过，数学对于培养人们正确且有序地思考的能力非常有帮助；我并不是认为所有人都必须成为数学家，但只要通过学习数学掌握了正确的推理方法，他们就可以将这种方法应用到我们知识的各个领域中……

代数能为人们的思维提供新的视角和帮助……

洛克

除了代数的真理之外，还有其他的真理；除了可感知的事物之外，还有其他现实。我们应该满怀热情地钻研数学科学，而不应试图将其范围扩大到其领域之外；更不应幻想可以用公式来解释历史，或用代数与积分定理作为道德的依据。

柯西

以这种方式来探讨几何学的基本要素，其实就相当于在研究逻辑学的基本要素，或许这也是唯一值得研究的对象。当人的思维天生就是公正的时，他便具备判断一个简单命题是否正确的能力。锻炼这种能力远比无休止地探讨它的本质要有用得多。如果想要赢得比赛，人们肯定会选择锻炼自己的双腿，而非去思考行走的机制。

“规则，”孔狄亚克说，“就像桥梁上的护栏，不是为了帮助行人前进，而是为了防止他们跌落。”既然如此——这一点毋庸置疑——那么规则就必须非常简单且数量有限。在那些思维正直的人看来，笛卡尔和帕斯卡所提出的规则已经足够了；至于其他人，则根本不需要几何学。

拉克罗瓦

从经验中我们可以看出，在条件相同的情况下，那些精通几何学的人会占据优势，从而获得全新的力量。

帕斯卡

苏格拉底：那我们就为那些注定要担任要职的人制定一条法则，要求他们致力于学习计算科学，不是肤浅地学习，而是要凭借纯粹的智慧去理解数字的本质；并非像商人和贸易者那样将这门科学用于买卖交易，而是将其应用于战争的需要，从而帮助灵魂从世俗的事物中解脱出来，进而去领悟真理与存在。

格劳孔：很好。

……

苏格拉底：如果有人问那些研究这门科学的人：“你们所说的是哪一种数字？你们所设想的那些彼此完全相等、没有任何差异且不存在组成部分的‘单位’究竟在哪里？”亲爱的格劳孔，你认为他们会怎么回答？

格劳孔：我觉得他们会说，他们所说的是那些无法通过感官感知、只能通过思维来理解的数字。

苏格拉底：由此可见，我的朋友，我们绝对离不开这门科学，因为它显然能迫使灵魂运用理智去认识真理。

格劳孔：的确，它非常有助于达到这一目的。

苏格拉底：你是否也注意到，那些天生适合做计算工作、具有组合思维能力的人，在几乎所有其他科学领域也都表现得极为出色？而那些头脑迟钝的人，只要经过计算训练，至少也能变得更为敏捷和敏锐。

格劳孔：确实如此。

苏格拉底：此外，很难找到比这更难学习、更难深入理解的学科了。

格劳孔：我同意。

苏格拉底：因此，基于种种理由，我们绝不能忽视它；而那些天生具有优秀品格的人，应该尽早开始学习它。

格劳孔：我赞成。

柏拉图：那些只看到数学在日常生活中的实用价值的人，其实对它的理解极为片面。实际上，用巨大的代价去学习它，却只能获得很少的收获；因为除了学者和少数艺术家之外，我几乎看不出还有谁会在一生中需要用到几何学或代数。真正有用的并非那些理论、方法或计算本身，而是它们之间那精妙的逻辑关系，是它们对思维的锻炼，以及它们所带来的严谨而巧妙的逻辑思维方式。

数学拥有一个无价的优势，没有这个优势的话，学习数学往往就显得毫无意义——那就是无需立刻掌握这些知识就能享受到它的益处，只要把它们彻底学会即可。数学所教授的所有运算和理论都可能从记忆中消失，但它们赋予我们推理的准确性与力量却会一直留存下来。数学的精神就像一盏明灯，在我们的阅读与研究过程中为我们指引方向；它能够驱散那些杂乱无章的错误观念，让我们迅速分辨出错误与真理。正因如此，那些专注的人在复杂的讨论中也能始终牢记核心问题，从而节省时间、避免无聊，轻松获得有益的成果，同时不必陷入那些让普通人迷失方向的冗长文字之中。尽管数学有很多批评者，

因为它们那刺眼的光芒会摧毁那些让虚伪之徒乐于沉溺其中的种种荒谬体系。如果数学不再被视为真理本身，那么许多荒谬的著作就会变得看似严肃起来；甚至有些著作还会显得极为高尚。不过，那些卓越的头脑与最优秀的作家们自然只会以一种敬佩的态度来谈论精确科学；无论属于何种领域，伟大的人物从来不会贬低伟大的事物，他们总是努力向更高境界迈进。

普瓦索

如果一个人的思维出现了偏差，那就让他去学习数学吧；因为在数学的推导过程中，只要他稍有差错，就不得不重新开始。

F.培根

数学的进步与完善与国家的繁荣息息相关。

拿破仑

严格的思维训练有助于为履行军事职责做好准备，毫无疑问，数学学习有助于培养领导者所必需的抽象思维能力，这种能力使他们能够在战斗的混乱与危险中，通过内心的想象来把握行动方向。

埃尔米特

这个时代比以往任何时候都更受数学的支配。

兰博。

在帝国大学建立之初，人们必须教授“法语、拉丁语和数学”。但这还不够，而如今我们教授的内容则太多了。

拉格朗日说：没有人能够达到牛顿那样的辉煌成就，因为当时只有一个世界有待探索。

超越几何学范畴的东西，是我们所无法理解的。

帕斯卡。

任何不经过数学证明的人类研究，都不能被称为真正的科学。

莱昂纳多·达·芬奇。

测量，就是知晓。

开普勒。

我们的感官与理智的能力都是有限的，而计算则没有这样的限制。

波塔利斯

我们应当依靠代数计算，而非自己的判断力。

欧拉

人生唯有用于研究数学和教授数学才有意义。

泊松

马勒尔布指出：巴谢特对丢番图的注释并不会降低面包的价格。

孔多塞认为，绘画是眼睛的几何学，音乐则是耳朵的几何学。

艺术是一种内在的、无意识的算术的最高体现。

莱布尼茨

……我们所有那些自以为拥有数学头脑、工科素养的人，那些所谓“理性”的人，其实都是被称作“虚伪的聪明人”的人罢了。

圣伯夫

对于那些不想思考、无法思考或不愿深入思考的人来说，计算是必不可少的。

德·拉姆齐

常识永远具有其价值：用已被证明的公式来反对显而易见的事实，就如同为了剥夺一个人的生存权而向他出示一份真实的死亡证明一样。

………………

数学不应沦为逻辑的滥用工具。

J. 伯特兰

纯粹的分析，其实就是数字本身不断自我淬炼的过程。

我愿意将数学的智慧比作北方那些微弱的太阳——在它们的照耀下，人们只会感到寒冷……它们只能孕育出没有香味的花朵和没有味道的果实。

杜潘卢普

严谨的逻辑、对真理本身的追求与热爱，构成了数学的道德层面，正因如此，数学本质上属于斯多葛学派。在人们人生起步阶段就向他们提供实用的应用方法及近似计算技巧作为主要学习内容，其实是在扭曲教育的真正目的，这可能会带来灾难性的后果。不过，我们不应将这种严谨性与那种过分注重证明的做法混为一谈——后者因不信任常识而剥夺了读者的自然思维能力……知道什么不该说是一门难得的技艺。

O. 特尔凯姆

友谊的理想状态，就是感觉彼此合为一体，却又保持各自的独立性。

斯韦奇宁夫人

拥有十个朋友的人，其实一个真正的朋友也没有。

一个人只是一个数字；而两个并排站立的人，其价值则是一个人的十倍；如果三个人能够齐心协力，运用自己的智慧、金钱和善意，那么他们的价值则可达一百倍。

本杰明·富兰克林

自私者的道德生活，实际上就相当于1乘以它自己。

野蛮人。

在所做的每一件事中，都应将三分之二交给理性，三分之一交给偶然性。如果增加前者的比例，人就会变得胆小；如果增加后者的比例，人就会变得鲁莽。

拿破仑。

通过点、线、面等概念的定义，以及其它一些我们十分熟悉的原则，我们才能获得能够衡量天地万物的知识。

拉封丹。

灵魂的转变是缓慢的；它只有在痛苦与时间共同作用之下才会发生。

迪东神父。

纯数学是一把金钥匙，能够打开所有科学的大门。

V. 杜吕伊。

在我们心中培养推理的能力，尤其是几何推理的能力，其实只是教育中的一小部分而已。真正引导我们的，是情感，而非逻辑或几何学。

A. 克鲁瓦埃。

没有什么比数学推理更不适用于现实生活了。在数字层面，一个命题要么为真，要么为假；而在其他方面，真相与谬误往往混杂在一起……

斯塔尔夫人。

几何学是所有逻辑中最优秀、最简单的，它最能赋予判断与理性以坚定性。它是消除一切世俗偏见的有效工具……

狄德罗。

逻辑学借鉴了几何学的规则，却并未理解其真正的作用……我绝不会将逻辑学家与那些懂得如何正确运用理性的人相提并论……避免犯错的方法是所有人都在追求的。逻辑学家声称自己能够做到这一点，但实际上只有几何学家才能做到；在他们的学科之外，不存在真正的证明。

帕斯卡。

帕斯卡将艺术与科学混为一谈，因为逻辑学家无法始终得出正确的结论，所以他便将自己的数学理念凌驾于逻辑之上。与帕斯卡的观点相反，莱布尼茨说得对：“几何学家的逻辑只是普通逻辑的一种特殊延伸或发展。”因此，数学是从逻辑那里获得其形式上的力量，而非反过来为逻辑提供力量。

巴泰勒米·圣伊莱尔。

数学理性仅仅在最适宜的领域里提供一种清晰性、精确性与一致性，唯有通过熟悉这种清晰性、精确性与一致性，人的思维才能使其他概念也达到与其本质相称的完美程度。

奥古斯特·孔德

在数学领域，如同在其他领域一样，事物的深层本质、我们加以思考或观察的存在之谜，或许永远都无法被我们理解；而由此产生的困惑，或许正是推动学者们不断进行研究的隐秘动力。

J. 塔内里

即便是在那些无关紧要的主题上，保持正确的思维方式也是有益的。即使数字与线条根本无法带来任何实质性的结果，它们依然是我们与生俱来的知识中唯一确定的要素，它们有助于让我们的理性形成对真理的第一印象与初步认知……

……

几何思维并非如此固守几何学，以至于无法被运用到其他知识领域中去。如果一部关于道德、政治、批判，甚至是修辞学的作品是由几何学家来撰写的，那么在其他条件相同的情况下，这部作品将会更加出色。

丰特奈尔

数学推理具有极强的独特性与排他性，一旦掌控了人的思维，就会完全占据它，使得人无法再运用其他同样合理的途径来探寻真理。

德布夫

我们不必处处都用数学思维。有句古话：纯数学家，纯蠢驴。蒙图克拉则更委婉地表示：“在那些在数学领域表现出色的人中，总有许多人的敏锐思维仅限于几何学范畴之内。”

对精确性的追求、不愿满足于模糊的概念、不愿拘泥于无论多么诱人的假设、以及希望清晰地理解各种命题之间的联系及其最终目标——这些都是学习数学所带来的最宝贵的收获。

拉克罗瓦

道德观念中的微妙差别难以被数学推理所把握；过度依赖数学推理的思维方式往往会导致人们试图将一切事物都简化为不变的规则和绝对的原则。而将这种方法应用于人类社会的治理，或是用于处理我们与他人之间的关系时，无疑是极其危险的。

居维叶

学习数学能让我们习惯于逻辑推导的连贯性，每一个推论都与前一个紧密相连；这样一来，注意力就能保持连贯，思想也能更加有条理。

它教会人们如何把握推理的要点，如何有条不紊地整理各种论据，并为它们赋予恰当的重要性；这些品质在现实中实属罕见。

——惠威尔

数学只会带来虚假的精确性，那种表面上的严谨性其实掩盖了推理中的缺陷；它的僵化性会引发诸多错误，使这些错误无法弥补，进而阻碍人们对事物的正确认识。唉！生活中其实很少有纯粹的数学问题：现实事物是复杂的、多变的，充满细微差别与隐含意义，根本无法用公式来表达。

——钱多斯

到处都是数学，不过是某些简单化思维的人的幻想罢了。我们不应滥用最优秀的东西。

在数学领域，不是任何人都能进行批评或评判的；修辞学家的言辞和律师的辩护在那里毫无用处。

——维埃特

数学真理应当由数学家来评判。

——哥白尼

八天前，我看到了第一缕光线；三天前，我看到了光明；而此刻，我正以最虔诚的心境凝视着太阳。再也没有什么能阻挡我，我完全沉浸在自己的热情之中。我愿意坦白承认自己偷走了埃及人的金器，以便在远离那些崇拜偶像的埃及人的地方，为我的上帝建造一座圣殿。如果人们能原谅我，我会很高兴；如果他们生气，我也只能接受。事情已经决定，我要写下这本书。无论是在现在还是将来，人们都会阅读它，这又有什么关系呢？它可以等待它的读者——难道上帝不是也等待了六千年，才找到一个能够欣赏他创造物的人吗？

开普勒。

有些人认为数学会让人变得冷漠无情。

我觉得自己就像一个在海边玩耍的孩子，时而发现一块更光滑的石头，时而又发现一只比其他贝壳更漂亮的贝壳，而真理的广阔海洋则依然在我面前等待着被探索。

牛顿。

研究数学可以让人忘记巨大的痛苦，它能让人全神贯注于其中。

布瓦斯特。

科学的唯一目标，就是提升人类精神的荣耀。因此，数论中的一个问题，就如同关于宇宙体系的问题一样重要。

雅可比。

数学是一门出色的应用逻辑学：它间接地训练我们学会在数字与线条之外的其他领域进行合理思考。

你渴望真理，希望得到真相；因此，重要的是要理解用来发现和确立真理的方法。无论是在最高的哲学思辨中，还是在日常生活中的问题中，所使用的都是同样的方法。这并非过去那种几乎仅限于三段论的推理方式——那种方法会在推理出错时予以否定，却无法教会人们如何运用推理来增进知识。真正的通用方法就是分析，而非孔狄亚克那种仅将整体分解为各个部分以便研究的浅层分析，而是古人传给我们的那种更为深入且富有成效的分析方法。

每当思维想要探索或证明某事时，它就会反复用与目标事物相关的结果来替代该事物，直到最终得到一个已知的事物。成功的与否取决于对中间环节的选择；莱布尼茨认为，懂得何时运用已知的知识是一门宝贵的艺术。如此便可以简要定义分析方法，以提醒那些已经了解它的人，但唯有通过长期而细致的练习，才能使其成为一种自然而熟练的技能。

由于数学具有清晰的表述以及较少的原始数据——因为即便在数学中，也并非所有事物都能被定义或证明——所以数学为分析方法提供了最初的、实用的，甚至可以说是不可或缺的应用范例。柏拉图在他的学校门口写下“除非是几何学家，否则不得入内”，这意味着那些没有先学会用几何学方式思考的人是没有能力探讨哲学问题的。

在开始学习时，我们会先接受一些本身就很清晰明了的概念和命题，而整个科学体系正是建立在这些概念和命题之上的。正因如此，我们才得以从欧几里得及其后继者那里获得一系列有序排列的、有用或有趣的真理。然而，仅仅理解大师们的学说还不够，还必须能够自己将这些学说联系起来。

新的问题，也需要由你们自己去发现：正因如此，我们才为你们安排了大量循序渐进的数学练习。一方面，通过定理的证明与习题的解答，你们可以学会从原理中推导出结论；另一方面，通过自己设计习题以及理解定理的内容——当老师在你们面前演示时——你们可以学会将具体现象与背后的原理联系起来。恐怕将来你们会忘记勒让德的细节以及自己的研究成果，但所有的几何学知识都会锻炼你们的思维能力，使你们成为能够从某个概念中提炼出其中内涵、用更简单的问题替代原有问题、从而逐步接近解决方案的专家。虽然你们未必总能找到答案，但只要你们具备更好的探索能力，能够耐心且有条不紊地寻找，那么找到答案的机会就会越大。至少，你们不会因为混淆真伪而让理性蒙羞。

几乎在任何情况下，无论面对什么问题，你们都需要采用逐步的、坚持不懈的、谨慎的分析方法，这样才能避免陷入错误。不过，在科学研究及其他领域中，也不应完全摒弃一定的勇气与胆识。有时候，那些富有灵感的发明家能够跳过中间环节，直接达到目标。但之后他们仍需确保逻辑链条的完整性，否则他们的发现对他人和自己来说都不会具有永久性意义。

有三类人不适合被传授真理。第一类人根本不会运用这些真理，他们消极怠惰，永远无法前进，就像那些太弱小而无法独立行走的孩子。第二类人自以为在推理，但实际上却会犯错，他们虽然在前进，但往往还是会跌倒。第三类人则不值得同情，反而应该受到谴责——他们出于偏见而歪曲真相，他们是诡辩家，虽然知道正确的道路，却选择那些能让他们走向所欲之处的曲折路径。认真学习科学就能避免被归入这类人之中：你们会懂得并且愿意独立前行，走正道。

你们不仅会拒绝虚假的东西，还会拒绝那些不完整、粗略、模糊不清的东西——这些都是时刻威胁着我们的敌人，它们总是躲躲闪闪、难以捉摸。有多少断言其实根本……

那些话既非真实也非虚假，不过是些尚未成形、因而也无法被反驳的念头罢了！错在那些只有文学素养而缺乏科学根基的人——他们轻浮又虚荣，轻易地对自己所不了解的事物发表意见。当无话可说时，你就保持沉默；但当你开口说话或写作时，必须做到深思熟虑、言之有物，“每个字都应有其意义”。

到目前为止，我一直假设存在着简单、清晰且确定的原理，就像那些成熟科学中的原理一样。但在许多思考中，并不存在这样的便利条件。因此，存在着严重的危险，你们必须警惕这一点。那些思维严谨的人，虽然起点不利，却能勇往直前；他们对自己的推论充满信心，固执得令人遗憾，他们将自己的结论当作教条来宣扬和强加于人。上世纪末，有一位愤怒的历史学家甚至指责科学家们是祖国灾难的罪魁祸首。所以，你们必须在起点就停下来——这是绝对必要的——你们需要花很长时间来研究那些基本的观念和主张，并将全部注意力集中在它们上。对原理的这种深入研究往往很复杂，有时甚至毫无成效，但忽视它的人必将自食其果。关于这种研究，几乎没有什么普遍性的论述可言；它取决于一个人天生的或后天培养出的思维的准确性、敏锐度以及力量；但更重要的是取决于问题的性质：有时你需要运用公理，有时则需要依靠观察这一强大的工具，有时则需借助约定或假设。无论如何，永远不要忘记：前提如何，推论也就如何；请尽可能仔细地审视这些前提，如果它们只是概率性的，那么从它们得出的结论也只具有概率性而已。在任何情况下，推理都保持着其相对的价值，最糟糕的情况也不过是避免让数据的不完善状况进一步恶化而已。

纯粹理性的领域十分广阔，且受制于严格的规则，但与此同时也存在更为自由的领域。你不可能始终都保持客观态度，对于那些不需要如此严格对待的主题，也不应过度苛求。

首先，我想谈谈那些要素过于复杂的领域：政治在符合道德准则的前提下，必须具有灵活性，并充分考虑到种族、风俗和传统等因素；医学则研究那些无法仅用普通物理定律来解释的生物现象，它会根据病人的体质与心理状况来调整治疗方案；而法律本身也留给法官很大的判断空间，因为尽管有各种法典，却仍无法涵盖所有情况与细节。

其次，我想谈谈那些充满细微差别和个人主观感受的问题：那些在心灵中神秘地产生并发展的种种情感，那些挑选并提炼出美好事物的艺术，个人的审美趣味，以及诗歌。我们应该让人类能够安心地生活，去相信、去希望、去梦想。不要无缘无故地大声质问：“为什么？这能证明什么？”这是某位数学家在读完拉辛的《伊菲革涅亚》后的感想。当想象力被激发时，就让它自由驰骋吧。不必用沉重的天平去称量蜘蛛网。

我把这些想法分为两类，由于不同的原因，它们无法通过形式化的推理来理解，但它们同样具有重要意义，具有难以抗拒的吸引力。我们不应因为它们看似不确定或无足轻重而忽视它们。帕斯卡认为“超出几何学范畴的事物就超出了我们的理解能力”，这种观点是错误的。

有些人过分推崇数学中的推理形式——那种简洁、干练却又在许多需要精确性的问题上显得不合时宜的形式。其实，严谨性在于推理的本质之中，如果推理本身存在缺陷，再怎么用各种连接词来包装它，赋予它虚假的科学外观，也无济于事。斯宾诺莎试图通过将哲学内容整理成定理和推论来强化自己的哲学体系，但实际上只是让人们更难理解他的思想而已。不要模仿那些冷酷的形式主义者，他们总是不断区分、细分，有时甚至为了形式而牺牲实质。他们恰恰印证了那句悖论般的诗句：

“推理反而扼杀了理性。”

你会回避使用这种工具，担心自己会因为采用或许正确但却生硬、繁琐且令人反感的论证方式而破坏一项有益的事业。在生活中，应当多样化处理问题，适当淡化证据的重要性，以巧妙的方式呈现它们，最终以一种令人愉悦的方式证明自己的观点是正确的。

还有另一种类似的缺陷，不过更为特殊。那就是在那些根本不需要运用代数及其符号和方程式的情况下仍试图借助它们。难道人们就没有想过用代数方法来分析政治经济学吗？要让一个问题能够被转化为方程式，其相关数据必须具备极为简单的结构与清晰的形态，而这其实是非常罕见的。通常情况下，那些众多的约束条件方程式只会让计算变得极为复杂，进展十分缓慢。请记住，计算只是一种工具而已，它并不能凭借自身的力量来简化分析过程，也无法引导思维，反而需要由思维来引导它。这种工具仅适用于某些特定的领域；虽然你可以将一些不够明确的想法交由它来帮助梳理，但它却无法让这些想法变得更有条理。

总而言之，正如笛卡尔所说，数学通过其出色的分析方法，教会我们“有条不紊地思考”，从而让我们为各种思维活动以及生活中的各种事务做好准备，因为分析在各个领域都发挥着重要作用。

不过，也有一些需要警惕的危险和滥用现象：对原则的过度信任、对某些问题的过于严格处理，以及对几何推理形式和公式化的过分偏好。

趣闻轶事

让我们暂时离开那些抽象的原理与概念，从更贴近生活的角度来了解学者们与科学吧。

我们在这里对收集到的各种见解与轶事进行了简单分类，不过读者也可以随意翻阅。

学者的风俗、观点与娱乐方式

一位几何学家

前几天，我和一位朋友一起走过新桥。他遇到了一位他认识的人，据他说那是一位几何学家。但从外表上看不出什么特别之处，因为他正沉浸在深深的沉思中。我的朋友不得不拉了拉他的袖子，摇晃了他好一会儿，才让他回过神来——因为他一直为某个曲线而苦恼，或许已经困扰了他八天多了！

他总是以严谨的态度来审视对话中的每一句话。他就像那个在花园里用剑砍掉那些比其他花朵更高的花的人一样。由于过于追求精确，他对任何不合逻辑的言论都会感到不满，就如同敏感的视觉会被过强的光线所伤害一样。只要事情是真实的，就没有什么能让他漠不关心。因此，他的谈话方式也相当独特。那天，他和另一个人一起从乡下回来，那个人见过一座宏伟的城堡和美丽的花园；而他看到的却只是一栋长60英尺、宽35英尺的建筑，以及一片面积为10阿佩尔的灌木丛而已。他希望透视法则能够得到更好的遵循，这样那些小路就能……

所有的街道看起来都拥有相同的宽度；他甚至给出了一种万无一失的测量方法。他对自己所分析出的那个时钟结构极为满意；而当我身边的那位学者不幸问他这个时钟是否显示的是巴比伦时间时，他便非常生气。有位作家向他讲述了丰塔拉比亚城堡被轰炸的事情，他立刻向我们解释了炸弹在空中划过的轨迹的规律；得知这一信息后，他欣喜若狂，却不想再了解这次行动的最终结果。

孟德斯鸠

那些只懂数学的人，只会把每件事都当作计算的借口。

皇家道路

托勒密国王请求欧几里得让数学变得更简单些，欧几里得回答说：“在几何学中，不存在所谓的‘皇家道路’。”

那位在君主面前演示化学实验的化学家，比亚历山大的朝臣更懂得如何取悦君主——他说：“陛下，这些气体将有机会在您面前发生反应。”

最后的对话

“前天我病得很重，”拉格朗日说，“我感觉自己快要死了；我的身体逐渐虚弱，精神和体力也在慢慢消失。我愉快地观察着自己力量逐渐减弱的进程，最终在没有痛苦的情况下走向了生命的终点。”

毫无遗憾，而且过程十分平稳；这是一种既不痛苦也不令人不适的终结方式……

“再过片刻，就再也没有任何感觉了，死亡无处不在……我想要死去，是的，我确实想死；但我的妻子不同意：我宁愿有一个没那么好心、没那么急于让我恢复体力的人，那样我就能平静地结束生命了。”

“我已经完成了自己的事业，在数学领域也获得了一定的声誉。我没有恨过任何人，也没有做过任何坏事；总该有个尽头吧。”

很容易理解。

有一次，我向拉普拉斯询问关于天体力学的解释，只见他花了近一个小时试图理清那些被他轻易忽略的推理步骤，只是随口说了一句：“很容易理解啊……”

比奥。

挑战与巴黎

过去，数学家们会互相提出问题，他们隐藏自己的解答，胜者则能得到一笔钱。16世纪和17世纪学者们的通信中充满了与此相关的有趣细节。梅森神父经常被选为仲裁人。现在，科学院通过提出问题并设置奖项来规范这类竞赛。

帕斯卡将自己的关于摆线的问题提交给学者们研究，并承诺给予丰厚的报酬。最终只有沃利斯找到了主要的解答。

1617年，为荷兰服务的伟大思想家笛卡尔在墙上看到了一张用佛兰德斯语写成的告示，他便请一位过路人帮忙翻译。那是一道由几何学家提出的难题，笛卡尔立刻就解出了它。

让·伯努利很看不起自己儿子丹尼尔的成果。有一次，父子俩共同参加了一场竞赛，丹尼尔的论文被选中，而父亲的则被忽视了。父亲始终无法原谅丹尼尔胜过了自己。

**自传**

在莱布尼茨留下的自传中写道：“身材中等。面色苍白。双手冰凉。脚和手指较长。头发为深棕色，直而不卷。从小视力就不好。身体瘦弱。声音细弱但清晰，音调较高而非响亮。难以发好喉音和R音。”

喜欢浓烈的气味、烈酒，以及甜食和糖。有在葡萄酒中加糖的习惯。

从不显得过于开心或过于悲伤。

容易在思想和言语上激动，很难控制自己，但很快就会变得平静温和。

不太喜欢交谈，不过仍比打牌或需要体力的活动更喜欢交谈。

更喜欢过安静的生活。

多微笑，少大笑。

易怒，但怒气持续时间很短。

怀着犹豫开始创业，但之后则以坚定的决心和毅力坚持下去。

记忆力较差。

比起过去的重大灾难，更在意眼前的小问题。

沉默的议员

据说，曾担任下议院议员的牛顿在议会中始终保持沉默、心不在焉。他只开口过一次，那就是请求一名仆人关上那扇让风吹进的窗户。

虽然是个英国人，但并不具备议员应有的素养，不过很务实。

十二乘以十二是多少？

数学家拉尼病入膏肓，人们以为他已经死了，这时他的一个同行问他：“十二乘以十二是多少？”奄奄一息的他虚弱地回答：“一百四十四。”

也有人说，这个实验其实是在博苏神父身上进行的。

桶子

“我刚结婚时，”开普勒说，“由于葡萄丰收且葡萄酒价格低廉，作为一个好父亲，我有责任储备一些葡萄酒，填满我的酒窖。于是我买了几桶葡萄酒，几天后，卖主来了，想要确定价格。”

测量其容量：他无需进行任何计算，只需将一根铁棒插入每个桶中，就能立刻知道它们的容积。

在一位堪称几何学家的“天才”指引下，桶的制造者们为桶设计了最合适的形状——在测量尺子所显示的长度固定的情况下，这样的形状能确保桶具有最大的容积。由于在接近最大容积时，容积的变化已经微乎其微，因此那些偶然出现的微小差异对容积的测量结果不会产生显著影响，这样一来，快速测量的结果也就足够精确了。

……谁能否认，仅凭自然之力，无需任何推理，就能创造出几何学呢？看看那些制桶工人吧，他们凭借直觉与审美能力，就能判断出最适于精确测量的桶的形状！

掌权者中的几何学家

作为一流的几何学家，拉普拉斯却很快暴露出其管理能力极其糟糕的缺点。从他最初承担的工作来看，我们就意识到自己错了。拉普拉斯无法从问题的本质角度去思考问题；他总是寻找各种复杂的细节，只有些模糊不清的想法，甚至还将对极小数值的考量应用到了管理工作中。

拿破仑

谦逊

“再过几天，我就八十岁了。我的寿命已经比拉格朗日先生长出了近两年时间——拉格朗日先生只活了七十七年零七十七天。而我则比他多活了一年。”

拉普拉斯的寿命是78年零18天；因此，我必须逐一计算上帝愿意赐予我的每一天，我没有任何时间可以浪费，必须尽快完成我所承担的任务，以便通过最后的努力来完成关于椭圆函数以及类似超几何函数的研究……事实上，通过证明阿贝尔的定理能够将欧拉所发现的关于椭圆函数的所有定理推广到无限情况，我就能充分展现阿贝尔的功绩。这一惊人的定理为分析学开辟了一个比椭圆函数领域更为广阔的新分支。

勒让德。

盲人

桑德森虽然失明，但仍然在剑桥大学担任数学与光学教授。

著名的欧拉在撰写那些简洁而引人入胜的代数著作时也是盲人。

来自根特的普拉托虽然失明，却依然继续研究液体的平衡形态。

年轻的盲人佩容曾在查理曼高中就读，1806年在全国竞赛中获得了数学奖，随后被任命为昂热高中的数学教师。

人在闭上眼睛时思维会更自由，因为外界的干扰会减少。

所谓莫利纽克斯问题（18世纪的英国几何学家提出的），指的是以下问题：一个天生失明的人突然恢复了视力……

在手术过程中，他能否首先在不借助触觉的情况下区分出球体与立方体，并说出“这是球体，那是立方体”？

在断头台上

1793年11月12日，曾任巴黎市长的天文学家巴伊利被带到断头台前，一名卫兵对他说：“巴伊利，你在发抖。”巴伊利回答道：“是的，我在发抖，但那是因为寒冷。”

疯狂的学者们

著名的代数学家卡丹同时也是一名医生，他试图探究药物的作用是否遵循算术或几何级数规律。由于相信占星术，他先为自己算了命，然后据此安排自己的生活。然而，当预定的时间到来时，他陷入了极度的贫困之中，最终不得不自杀。

还有一个人，名叫法蒂奥·德·杜伊勒，他宣称自己能够让死者复生，但实际上死者并没有复活。

几年前，法国科学院在一场高等数学竞赛中授予了一项奖项，而该论文的作者竟是沙朗通国家收容所里的囚犯。这并非偶然——这篇论文确实具有极高的价值，而且作者也根本没有试图以任何方式来反抗自己的处境。他的理智或许已经受损，但他的数学能力却依然完好无损。谁知道，也许正是大脑中这一特殊区域的活跃导致了其他部分的萎缩呢？

两个可悲的人物

其中一个就是大名鼎鼎的利布里——他是个学者兼博学家，还撰写过关于意大利数学史的著作。他曾担任图书馆的主管，却掠夺了那里的珍本书籍。之后他逃到了英国，被法庭判有罪，最终在1869年悲惨地死去。我们的国家图书馆设法买回了大部分被抢走的珍书。

另一个则是骗子弗兰·卢卡斯，他在1867年至1869年间欺骗了几何学家沙斯勒，向他出售据称是帕斯卡所写的手稿，而那些手稿其实正是牛顿那些伟大发现的“来源”。这名伪造者被判处两年监禁；他承认自己制作并贩卖了两万多份假手稿。

婚姻

在那个时代，除了极少数例外，科学家们，尤其是数学家，都被视为与众不同的人。人们希望像对待神职人员那样，禁止他们参加音乐会、舞会或各种娱乐活动。一个结婚的数学家似乎是在违反某种规则。对于那些致力于研究高等分析理论的人来说，独身似乎是必须遵守的条件。难道错全在公众身上吗？难道不是数学家们自己促使人们以那种方式看待这个问题呢？

达朗贝尔从柏林间接得知，拉格朗日将自己的名字赋予了他的一位年轻表亲。他对这位一直与自己保持通信往来的朋友为何没有告诉他这件事感到有些惊讶。不过这并没有阻止他以嘲讽的口吻谈论此事：“我听说你做了我们哲学家们所说的‘危险跳跃’……一位伟大的数学家首先应该懂得如何计算自己的幸福。我相信，在做了这样的计算之后，你得出的答案一定是结婚。”

拉格朗日以这种奇怪的方式回应道：“我不知道自己的计算是对还是错，或者更确切地说，我觉得自己根本就没有进行过计算；因为我可能会像莱布尼茨那样，因为过度思考而始终无法做出决定。我得承认，我从来都不喜欢结婚……但种种情况迫使我……让我的一位亲戚来照顾我以及与我有关系的一切事务。如果我没有告诉您这件事，那是因为我觉得它本身实在无关紧要，不值得向您提及。”

阿拉戈。

重建

第一帝国时期的工程军官庞斯莱将军在残酷的俄罗斯战争中被俘，被关押在伏尔加河畔的萨拉托夫。为了消磨时间，他试图学习数学，却发现由于寒冷和疲劳，自己已经完全忘记了这些知识。于是，在没有任何书籍的情况下，他逐渐用自己的方式重新掌握了这些知识。他保存并发表了自己的笔记，其中充满了新颖且极具个人特色的见解。

肖像画

卢浮宫里有一幅由佛兰德画家博尔创作的数学家肖像。这位身着黑色衣服的学者，一只手握着直尺，另一只手则指向一个几何图形；他面容严肃，似乎正在沉思。——贝桑松博物馆里还有一幅委拉斯开兹创作的数学家肖像。

一顶帽子

1826年，瑞典数学家阿贝尔来到巴黎拜访我们的科学家们，他戴着一顶奇怪的帽子，这顶帽子给他带来了很多不便。

阿贝尔英年早逝，但他极具天赋：正是他发现了所谓的阿贝尔函数，并证明了五次以上方程无法用代数方法求解。

忘带分母

在一次公开课上，讲师勒费布尔·德·福尔西先生根据笔记在黑板上写下了一个非常复杂的公式，随后不得不道歉说：“各位先生，我忘带分母了。”

容易分心

“数学家容易分心”这一说法确实有道理。伟大的牛顿就给了一个坏榜样：有一天，他不想中断自己的工作，便打算煮一个水煮蛋，过了一会儿才发现自己手里拿着的是鸡蛋，而他的秒表——那件因精准度极高而极为珍贵的物品——已经被煮坏了。

同样的牛顿还让他的猫们随意进入他的书房，但繁重的计算工作常常让这些猫失去耐心。那些年纪较大的猫会站在门口等待；而那些更急躁的年轻猫则会不停地叫着，要求主人开门。由于不断被打断，牛顿最终决定做一个足够大的猫笼，让那些最闹腾的小猫能够进去。不过，那些体型较大的猫看到小猫们可以自由进出的情景后，便开始肆意捣乱，于是牛顿只好在那个小猫笼旁边再做一个更大的猫笼。

安培有个“心不在焉”的绰号。有一次他在去上课的路上，注意到路上有一块小石头。由于他并非那种过分专注学问的人，便把石头捡起来仔细观察。突然，他想起自己还有课要上，于是掏出手表，发现时间已接近上课时间，便加快脚步，把石头放回口袋，然后把手表扔到了艺术桥的栏杆上。

在巴黎综合理工学院进行演示结束后，安培总会用手帕擦掉黑板上的公式，然后再把那块手帕放回口袋——当然，是在使用过之后。

还有一次，安培用随身携带的粉笔，在马车的黑色箱子上进行计算。当马车开始移动时，这位数学家便追着马车跑，以便继续完成他的计算。

更有趣的是：据说有位几何学家，我们已记不起他的名字了，因为要去外省结婚而担心忘记这件事，于是他在笔记本上用大字写下：“途经图尔时结婚。”

尴尬的作者

在当今所有的职业中，最艰难的莫过于撰写数学书籍，尤其是天文学方面的书籍。

因为，如果忽视了命题及其逻辑关系、证明过程以及结论的严谨性，那么这本书就失去了数学特性。而如果严格遵守这些原则，阅读起来又会变得极为困难……

就我而言，每当我重读这本书时，看着那些公式和证明步骤，就会感到自己的精力逐渐衰弱……

我已将这些内容从脑海中提取出来，以便用通俗的语言将其表达出来。因此，虽然我试图通过冗长的叙述来消除主题的晦涩性，但我觉得这样一来，在处理数学问题时反而会变得过于啰嗦。

其实，冗长同样会导致晦涩，就像极度简练一样……

开普勒。

关于金钱

英国女王曾在某夜光临格林尼治天文台，她向布拉德利表示愿意给他更高的薪水。“请您不要实现这个打算，”布拉德利回答道，“如果担任天文台主任能带来金钱收益的话，那这里就不再需要天文学家了。”

失去鼻子

天文学家第谷·布拉赫在德国旅行时，因为一个定理的问题与一位学者发生了争执。随后双方决斗，可怜的第谷因此失去了鼻子！他不得不用蜡为自己制作一个假鼻子。

优秀的棋手

人们普遍认为，那些擅长数学的人通常也擅长下棋。这种观点往往出自那些并不了解数学的人之口。

由于不熟悉国际象棋，人们便认为：由于其难度极高且需要高度的专注力，因此必然要借助数学知识才能进行对弈；只有数学家才能妥善地下好国际象棋，而且国际象棋本来就应该由数学家来下。

然而事实上，国际象棋与数学毫无关联。至今还没有，将来也不可能会有任何关于国际象棋数学理论的著作，至于跳棋，同样也没有相关的数学研究；不过，对于纸牌游戏（如多尔莫伊游戏）、台球游戏（如科里奥利理论）等，则有相应的数学研究。

可以推测，数学家们之所以被认为了解或喜欢国际象棋，是因为他们习惯于处理各种比例和组合关系，因而能够迅速判断出每一步棋的利弊。不过，即便确实存在一些非常擅长下国际象棋的数学家——我们确实知道有这样的人——但这并不意味着所有数学家都具有这种能力。

可参阅埃德加·爱伦·坡的《下棋的自动机》。“在国际象棋中，没有任何一步棋是必然由另一步棋所决定的。”

谦逊

施图姆在谈到自己所发现的那个著名定理时说：“这是有幸以我的名字来命名的定理。”

**灵光一现**

有时，数学家会长时间思考一个问题却毫无进展，但突然间，甚至是在他最不以为然的时候，一个想法会出现在他的脑海中，并占据他的整个思维；随后，这个想法会不受任何阻碍地发展下去，进而引出一系列逻辑上的结论。那就像一道光芒——所有曾经让学者困惑的问题都变得清晰起来，一切都有了解释和关联；他仿佛处于一种美妙的陶醉、兴奋与狂喜之中。但有时，他也会感到恐惧和不安：他担心自己过于轻易地相信了想象中的暗示，成了幻觉的牺牲品；这一切似乎美好得令人难以置信。于是他会重新审视，通过推理来验证这些猜想的准确性，从而确认它们的正确性，也就是其逻辑上的严谨性。

——E. 乔约

**谦逊**

我希望人们能以宽容的态度来阅读这部作品，对于如此复杂的学科中不可避免存在的缺陷，不应将其视为批评的理由，而应视为进一步尝试和取得更好成果的机会。

——牛顿

这段摘自《自然哲学的数学原理》序言的文字，让我们看到了那些天才人物是多么的谦逊。

阿基米德的死亡

阿基米德独自一人，全神贯注地思考着一个几何问题，双眼与思维都沉浸在思考之中，既没有注意到罗马士兵们在城里奔走的喧闹声，也没有察觉到锡拉库萨已被攻陷。突然，一名士兵出现，命令他跟随自己去见马塞卢斯。阿基米德想先解决这个问题并给出证明，但那名愤怒的士兵拔出剑将他杀死了。

还有人说，那名罗马士兵直接持剑冲向他想要杀死他；阿基米德恳求他稍等片刻，不要让他的问题留在未完成、无证明的状态，但那名士兵根本不顾及这个问题，直接将他杀害了。

…………

无论如何，大家都认为马塞卢斯对此感到极为悲痛；他将杀害阿基米德的人视为亵渎神明之人，下令寻找并妥善对待死者的亲属。

普鲁塔克

光荣的努力

我所完成的任务已经十分艰巨，而那些我仍需去完成的任务更是如此。既不是劳动也不是记忆能引领我达到目标：它们只不过是服务于纯粹理念的卑微工具而已。唯有坚持不懈的冥想——那种需要付出巨大努力的冥想——才能带来真正的力量。如果通过持续的冥想练习，我确实获得了一些力量，那也仅此而已。

我并非因为天生的某种天赋而能轻松完成这项工作。这其实是一项极其艰巨的任务，为完成它所付出的努力常常让我的身心健康受到严重损害。不过，意识到自己已获得力量这一事实，便成了我从事这项工作的最大回报，也激励着我不断坚持下去。那些没有思想的人，对他们来说，这样的工作以及由此产生的自我力量意识都是完全陌生的；他们试图摧毁这种慰藉——唯有它才能防止人在这段艰难的道路上意志消沉，他们以“自大”和“傲慢”的名义来贬低那种独立自主的意识；因为只有通过思考，人才能真正获得自由，成为自己的主人。任何怀有科学理念的人，都必然会以人类智慧的视角来评判事物：从这样高的视角来看，许多在别人眼中价值不菲的东西，或许会显得微不足道。

查尔斯-古斯塔夫·雅各比

马车夫

1829年，当伟大的数学家安培出现喉部疾病的初期症状时，他正前往伊耶尔地区寻求休息和阳光。坐在马车上，与同行的儿子并肩而坐的他，总是乐意支付马车夫的费用。在阿维尼翁附近，也就是那个语言中充满生动表达方式的南方地区，安培试图仔细计算路费，但一方面是心不在焉，另一方面则是急躁情绪，使得他的计算一直出错。最终，事情按照那个阿维尼翁人的意愿解决了，他收到了小费，还带着傲慢的神情说道：“真是个笨蛋！他哪儿学来的算账本领？”

我们的朋友（J.-J.安培）在回忆往事时说：“我完全被父亲的天才所折服。”我听着他谈论人类知识的分类，就在这时，有个意外打断了我们。

H. C.夫人

懒惰

那些伟大的几何学家们都有这种懒惰的习性：他们宁愿付出努力去发现真理，也不愿忍受遵循他人成果所带来的不适。通常他们很少阅读彼此的著作，或许过度阅读反而会有害——一个满脑子都是别人思想的头脑，就再也没有空间容纳自己的想法了，而过多的阅读则可能扼杀一个人的天赋。

达朗贝尔

无私

在从好望角完成天文考察归来后，拉卡伊神父获得了将所有行李运回法国的许可，而且无需缴纳任何检查费用。他本可以借此大赚一笔，但令人惊讶的是，他并没有携带任何商品，只是在一个大箱子里装满了稻草和仪器。尽管他性格温和，但他却极其恶劣地对待了那个提出用十万里弗尔现金买下他的特权的商人。

在那次持续了四年（1750-1754年）的探险中，这位天文学家获得了一万利弗尔的经费，用于支付他自己及助手的所有开支。而他实际只花费了9145利弗尔，随后便立即将剩余款项归还给了国库。

据说，由于该情况并未在规章中有所规定，人们迟迟不愿接受这一提议。

ZOZO

蒙彼利埃大学的校长名叫热尔贡，他是那种典型的老派大学教授。他长着一张鹰钩状的鼻子，脸上从未有过笑容；他那紧闭且充满轻蔑的嘴唇，只会用来说出批评、指责或尖刻的话语。那些胆敢偏离教学大纲或走寻常路的教授们，可就惨了！负责外语文学课程的朱比纳尔就因此吃了苦头。得知他的教学方式有些随意之后，老热尔贡某天亲自去听他的课，随后将其叫来严厉斥责，要求他必须更加认真对待教学工作，否则就会面临停职处分。朱比纳尔为辩解而称自己的课上学生太多，热尔贡则用他那尖锐如钳子的声音说道：“佐佐，那个佩鲁地区的骗子，他课上的学生比你还多呢！”

这对这位外语文学教授来说真是致命的打击，从那以后学生们都只叫他“佐佐”。

玛丽-拉丰

罗宾逊

拉克罗瓦还是个孩子的时候，就因阅读《鲁滨逊漂流记》中的冒险故事而深受感动。他也渴望找到那样一座理想的岛屿，在那里可以与母亲一起过上更平静、不那么穷困的生活。这个想法激发了许多年轻人美好的梦想，也点燃了他强烈的想象力以及努力工作的热情。他开始着手建造一艘能够带他前往那座岛屿的船……

要前往那些神奇的之地，就需要具备深厚的知识储备。他便在各种专业著作中寻找相关知识；而几何学中的术语常常让他陷入困惑，于是他向当时在法兰西学院授课的莫迪厄寻求解释与指导。正是在这所学校的课堂上，他的梦想走向了终结……17岁时，拉克罗瓦已在罗什福尔的海军军官学校担任数学教师。

J. 洛里丹

教师与学生

考官

每当公共利益要求考官必须做出某种决定时，蒙日总是表现得极为坚决。“您拒绝了一位来自权贵家族的候选人，”海军部长卡斯崔斯元帅对他说，“您的决定让我忧心忡忡，到处都有投诉声。”这位严厉的考官回应道：“您完全有权利接纳那些在我看来不可接受的候选人；但如果您这么做的话，元帅先生，那我也必须放弃我现在所担任的职位。那样一来，我所承担的职责就既无意义也不可接受了。”于是，那位不合格的候选人终究未能被录取。

获得奖励

拉梅说，在自己漫长的教师和考官生涯中，最令他惊讶的，莫过于有个他多年来一直教导的学生，原本充满热情、勤奋好学，渴望理解那些只能依靠记忆来掌握的知识，却突然间拥有了数学推理的能力。就在某一天，某个时刻，在一次反复的推导过程中……

重复几次之后，他脑海中突然有一扇门打开了：他明白了！那名学生心中的喜悦与激动简直难以形容……从第二天起，他就全速追赶过去的差距，力求超越所有的同龄人。

守时

波桑拥有这样一种优点——那些无法以自己在科学领域的地位作为借口的人往往缺乏这种品质，那就是守时。除非因病卧床，否则他从不错过任何一节课；只要他的声音还能发出声音，他就不会让别人来承担向勤奋的年轻人传授知识的任务。其实，只需稍作改动，就可以用孔多塞在评价欧拉时所用的句子来形容这位学者：“就在某一天，波桑停止了教学，也结束了生命。”

相互体谅

扬布利科斯记载，毕达哥拉斯发现有个工人很聪明，便教他数学，每讲完一个定理就付给他三奥波勒斯，这相当于那个工人一天的工资。为了考验这个学生，这位哲学家假装陷入困境，于是那个年轻人又为每一个新定理支付三奥波勒斯。

刻板固执

我们引用阿拉戈关于他进入及离开综合理工学院时的考核经历的描述。

我的同伴因胆怯而彻底失败了。轮到我走到黑板前时，年轻的蒙日先生、考官与我之间展开了一段极为奇怪的对话：“如果你也像你同伴那样作答，那我就没必要再考你了。”

“先生，我同伴的实际水平远比他表现出来的要高；我希望自己能比他更幸运，但您刚才的话很可能会让我感到恐惧，从而丧失所有能力。”

“胆怯永远是无知者的借口；为了避免你因失败而蒙羞，我才提议不考你。”

“没有比您此刻给我的耻辱更大的了。请务必考我，这是您的职责。”

“您也太傲慢了！我们稍后会看看这种骄傲是否有道理。”

“来吧，先生，我在等着您！”

于是蒙日先生向我提出了一道几何题，我给出了足以削弱他疑虑的答案。接着他又出了一道代数题，要求解一个数值方程。我对拉格朗日的著作了如指掌……

我在黑板前已经待了两小时一刻；蒙日先生的态度反复无常，最后他站起来拥抱了我，并郑重宣布我会位列他名单的第一位。

…………

这次负责考试的是著名的几何学家勒让德。

……这时，有个学生已经昏倒了，被人抬了出去。

“你叫什么名字？”他突然问道。“阿拉戈，”我回答。“那么你不是法国人……”

他向我提出了一个需要运用二重积分来解决的题目，然后阻止我继续做题，说道：“你使用的这种方法并非老师教给你的。你是从哪里学来的？——是从你的某篇论文里。——你为什么选择这种方法？是为了吸引我吗？——不，我完全没这么想。我选择它是因为我觉得它更合适。——如果你无法解释自己选择它的理由，那我宣布，你的成绩将会很差，至少在品行方面是这样。”

有一位英国教师习惯于在提到每位著名数学家的名字时让学生们起身，而一旦提到阿基米德或牛顿，学生们就会高声欢呼。

**小官僚**

在中国，每三年一次，在农历八月的第八天，考生们会被关在完全与外界隔绝的房间里。门口则站着一名手持长矛的士兵。

据一位旅行者所说，如果两名考生试图互相传递试卷，他们就会被判处死刑并立即处决（？）

据说，那些被认为能力不足的考生会遭到惩罚，他们的脚底要被竹子抽打五十下。

**总统**

共和国总统蒂埃斯和谢弗勒一样，也是一名曾经的学子。几何学是他后来才由我们的学者曼海姆先生教授的。有一天，曼海姆先生向他讲解了圆锥的各种截面，但蒂埃斯先生……

梯也尔回应道：“得了吧，谁都知道，用平面切割旋转圆锥所得的截面永远是圆形！”“您这么认为吗，总统先生？那我们就用胡萝卜来做个实验吧。”

书信往来

美因茨附近的一位教师在教村里的孩子们算术时遇到了些困难。他便写信给一位深受选帝侯器重、且以精通计算科学著称的学者。几周后，那位学者为自己事务繁忙而未能及时回复向教师致歉，随后详细说明了解决这些算术难题的方法。

这位学者名叫莱布尼茨。

市场里

一名理工科毕业生在卖花时被卖鱼的女子辱骂，他却像在背诵定理一般严肃地回应道：“哼！你这种截头金字塔形平行四边形、正八面体、各种扇形、二项式方程、切线之类的东西……”那女子顿时惊呆了。

一场危险的考试

负责海军考试的贝祖来到了土伦。有个考生因为患天花而卧床不起；如果不立即对他进行考核，他的职业生涯就毁了。贝祖自己没有得过天花，但他很担心……

这种可怕疾病的危害极其严重；尽管如此，他仍会前往那名学生的房间，为他进行检查并接见他。

剑桥大学里，最优秀的学生们要通过一系列关于高等数学的考试来完成学业，而那些通过这些考试的人——也就是所谓的“高级优等生”——所受到的赞誉甚至超过我们全国竞赛中的最高荣誉得主。1890年，考官们表示，如果允许那些只能以旁观者身份参加比赛的年轻女孩也被计入最终排名的话，那么获胜的将会是菲利帕·福塞特小姐。

一些美国教育家这样描述他们为年轻人设计的作息时间表：将一天的时间平均分配在工作、日常休息和睡眠之间。

众所周知，社会主义者也要求将劳动者的工作时长缩短至八小时，即便他们是农民或渔民也不例外。

在印度，经常可以看到非常年幼的孩子们能够瞬间心算出复杂的数学题，比如多位数的乘法运算，或是代数或三角函数相关的计算。

古贝神父。

那些印第安少年们正沿着祖先的足迹前行。

可参阅德尔博斯所著的《印度的数学》一书。

责任

作为负责审核进入综合理工学院所需的书面考试的官员，勒维里埃在给父亲的信中写道：“我独自承担着这项工作，这其实是一种类似法官的职责，我完全明白其中的重要性。如果一想到自己可能因为疏忽而犯下对年轻人极其不公的错误、从而毁掉他们的未来，我就无法入睡。几年前，我亲身经历过一位考生的痛苦，因此我始终将他们的权利视为神圣不可侵犯的。”

主题突出

在一本关于教育的匿名小书中我们读到：擅长某一主题的人与擅长另一领域的人能够相处得相当融洽，彼此互相让步。前者并不认为自己的对手真的更优秀；后者则对前者的固执想法表现出极大的宽容。

极度口渴

在1833年的综合理工学院考试中，主考官雷诺先生叫来了一个缺席的考生，同时还叫来了一名表现不错的学生。

有人自愿来代替他。在同伴的鼓励下，这位年轻的加泰罗尼亚人决定冒险一试，尽管他从未参加过考试。他穿着破旧又怪异的衣服，看起来就像个野孩子。起初他有些犹豫，但随后便振作起来，甚至表现得相当出色。长时间讲话之后，他看到了一杯水、一个水壶、一些糖……于是他给自己倒了一杯加了糖的水。雷诺先生立刻跑过来，问道：“你身体不舒服吗？”“不，先生，只是我讲了很久，现在非常口渴！”他表面的大胆其实只是天真罢了。这个传说流传了好几年：“那个喝了考官水的加泰罗尼亚人！”

儿童与无知者

可怕的儿童

托托被父亲友善地询问有关减法的问题：“如果你有八个苹果，给了我三个，那你还剩下几个？”小家伙立刻回答：“如果我有五只眼睛，而你又弄瞎了我的六只，那我还剩下几只？”

太短了

有人让一个孩子用尺子量一下长度，他尝试了一下，但失败了——因为尺子不够长！

数学补习老师……

卢卢：数学补习老师……

爸爸：嗯？

露露，居高临下地说道：“……数学啊……我们称之为‘数学’，这样更简短些……”
爸爸：“确实如此……”
露露：“其实，我之所以说要找人辅导数学，是因为应该这么说：‘数学辅导老师’，这才是正确的表达方式。”
爸爸：“啊！原来如此！那既然有‘数学’这个词，为什么还要找辅导老师呢？”
露露：“因为这是我最不擅长的科目！我不得不拼命努力学习那些讨厌的数学知识！”

**诚信的承诺**
很久以前，当昂古莱姆公爵被任命为海军总司令时，人们惊讶地发现他几乎不会算数。于是，法国最著名的几何学家被召来，试图向他传授数学知识。然而，无论他如何努力向这位尊贵的学生解释最基本的数学原理，都毫无效果。学生总是以极其礼貌的态度听着，但脸上却露出怀疑的神情。终于，可怜的教师实在无计可施，便喊道：“大人，我以我的名誉担保！”公爵回答说：“您早该这么说了！先生，我再也不会怀疑了。”

**几何学趣事**

两个农民交换了他们的田地：一块是边长为6米的正方形，另一块则是长9米、宽3米的矩形，两块田地的周长都是24米。第二个农民声称自己受到了损失。

我的曾祖父借了一袋麦子，那袋麦子高6英尺、宽4英尺，后来他归还了四袋麦子，每袋同样高6英尺，但宽度为1英尺。放贷人拒绝接受这些麦子。

有个园丁依靠一条圆形管道获得水源。他想要得到双倍的水量，于是将管道的直径扩大了一倍。结果他因此被起诉了。

固执己见

贝尔纳丹·德·圣皮埃尔不理解地球椭球体曲率半径的问题，还不断向相关机构提交自己的观点。拿破仑有一天对他说：“学会微积分吧，这样你就能自己解决那些荒谬的疑问了。”

可参阅《印度小屋》一书的序言，其中解释了潮汐现象是由极地冰雪融化造成的。

不够聪明

阿拉戈在天文台的授课中是一位出色的科普专家，他总是留意那些在他看来最不聪明的听众。一旦他认为某个听众已经理解了讲解内容，他就会确信自己的论证是清晰的。

然而有一天，他在一个沙龙里讲完这个故事后，有个他不认识的年轻人走了进来，还向他行了极为恭敬的礼节。

“我有幸与谁交谈呢？”他问道。

“哦！阿拉戈先生，您肯定认识我吧。因为我总是准时参加您的课程，而您也一直注视着我。”

在土耳其，据说有一位大使在参观君士坦丁堡的一所高等学府时，提出要证明三角形的各内角之和等于两个直角。经过深思熟虑后，那些几何学家们认为这个结论对于等边三角形来说是正确的。

我们之所以知道这个趣闻，是因为奥尔里·特克姆的记载有误。托特男爵在他的回忆录中提到，有人回答他说：“那要看是哪种三角形了。”

据《三重报》的报道，俄罗斯警方逮捕了一名携带对数表的旅行者，因为他们认为那张对数表其实是一份极其敏感的加密信件。

在学校里，我们会以更有趣的方式使用对数表——我们按照谢韦的方法来唱那些对数表上的数值。

平方十进制单位

在七月政府执政期间，颁布了一项关于邮票与登记制度的法律，该法律中将“平方分米”误认为是“平方米的十分之一”。教师们对此感到非常好笑。

最近，议会规定：那些边长超过50厘米的玻璃制品必须符合相关标准。

**年轻的英国人**

狄更斯讲述过这样一个故事：有个学生不擅长算术，总是用加法来解题。有一天他走进一家杂货店，才终于明白乘法的用途。

**对天文学的纵容**

有一位持有进入天文台观测日食许可的人，却来得太晚了。他说：“我特别了解阿拉戈，他一定会体谅我，为我再安排一次观测机会。”

由于某位议员的城堡附近设立了三角测量点，人们纷纷称赞他拥有极大的影响力，能够让自己的领地成为子午线的经过点。

有一位俱乐部演讲者，为了摆脱欧塞尔市当局的随意支配，提议通过抽签来确定城市北部、东部、南部和西部的名称。

彗星

总有一天，人们能够了解彗星的运行规律，并使其像行星一样遵循一定的规则。

塞内卡

我来向您宣布一个好消息：夫人，我们侥幸在睡梦中躲过了一劫。有一个星球从我们附近经过，它直接穿过了我们的轨道；如果它在途中与地球相撞，地球就会像玻璃一样碎成碎片。

莫里哀

这里有一颗体积庞大的彗星，它的尾巴是迄今为止所见过的最美丽的。所有重要人物都为此感到恐慌，他们认为上天正在通过这颗彗星来警告他们即将面临的灾难。据说，当马扎然红衣主教因病情恶化而绝望时，朝臣们认为应该用某种奇迹来为他最后的时刻增添荣耀，于是告诉他自己看到了一颗令人恐惧的巨大彗星。但他却能嘲笑他们，幽默地表示那颗彗星给他的荣誉实在太多了。其实，我们也应该像他那样想——人类的傲慢也太过分了，总以为在临死之际会有什么天象出现。

塞维涅夫人

那些让人如同惧怕雷声一般害怕的彗星啊，请停止惊吓地球上的人民吧！在漫长的椭圆轨道上完成你们的运行吧；在太阳附近上升、下降吧；释放出你们的光芒，不断飞来飞去，为那些已经衰败的世界重新带来生机吧。

伏尔泰。

我们提前为他们规划好前路：
我们告诉那些尚未出生的人，将来会有哪一天，某颗星星会从天而降，用它的光芒照亮大地，让苍穹重新拥有那颗失去的星星。

拉马丁。

苦涩的观点

数学教育会把人变成机器，削弱人的思维能力。一个民族的灵魂并非那些用来计算数量、测量距离的冰冷无生命的数字；卷尺和圆规也是如此。

拉马丁。

要警惕几何学所带来的诱惑与魔力。

费内隆。

又多一个数学家，就少一个真正的人。

杜潘卢普。

博物学家欧文微笑着提议设立一个新的亚类——数学人。

占星术

占星术是天文学的“女儿”，但却是个疯狂至极的女儿，而它的“母亲”则是极为明智的。
——伏尔泰

那些自以为聪明的哲学家们，你们又在抱怨什么呢？一个被你们视为疯子的人，竟然还能照顾和供养她那虽然聪明但贫穷的母亲。难道人们因为女儿的疯狂行为而无法忍受母亲，这还不算更愚蠢吗？如果他们不是希望借此能够预知未来，又怎么会去研究科学呢？如果你声称科学能引导人走向哲学，那可就要等很久了。
——开普勒

伟大的开普勒为了获得一些钱以继续他的研究工作，不得不出版那些包含预言内容的历书。

报酬微薄的建筑师

第一位沙皇伊凡四世询问一位几何学家，要建造一座符合他所给尺寸要求的规则建筑需要多少砖块。答案很快就出来了，而且实践也证明了这个答案的正确性。于是，被称为“恐怖的伊凡”的他便将那位计算师当作巫师一样烧死了。

等于零

有一位业余成员，同时也是旧科学学院的会员。他听到有人谈论方程式之后，再与数学界的同行交谈时，总会问：“它的值永远等于零吗？”

上校的命令

有人宣布将出现日食。前一天晚上，某个团的团长把所有的中士召集起来，对他们说：“明天早上将会发生日食。全团要穿着便装在操场上集合。我会在训练开始前亲自为大家讲解日食现象。如果天气不好，那就像往常一样在马场集合。”

于是，中士们立刻拟定了命令内容：

“根据团长的命令，明天早上将出现日食。全团需在操场上集合，由团长亲自为大家讲解日食现象。如果天气不好，日食观测则会在马场进行。”

十个月大的孩子

在还不会数数的时候，孩子们就已经对数字有了一定的概念。普雷耶先生提到过一个十个月大的孩子，只要有人试图拿走他九个积木中的任何一个，他马上就能察觉到。到了十八个月大时，这个孩子已经习惯于给母亲拿两块手帕，之后又会把它们拿回来；有一天，只有一块手帕被归还给他，他便用充满渴望的眼神和语气去要求得到另一块。

关于儿童对大小和数字的概念，可参阅比奈先生1890年7月发表在《哲学评论》上的相关实验研究。

相对价值

一名来自澳大利亚的水手，带着一箱珍贵的贝壳，他拿出一颗贝壳，然后去找一位古董商。

“您愿意买下这颗贝壳吗？”

“当然，它太美了，我出25法郎买下它。”

“25法郎？”水手高兴地叫道，“那我可真是富有了，我带来的贝壳有六千颗呢！”

“慢着，”商人说，“如果你真有六千颗的话……那每颗也就值两苏而已。”

笨蛋

那个可怜的男孩一直被认为是个笨蛋，直到他向我们讲述了以下这件事：

“我全神贯注地听着，有时甚至像潜水员一样屏住呼吸。我一步步跟随老师的演示过程，当老师发现我已经完全理解了每一个细节时，我简直惊呆了。

在亲自发现真理之后，对于一个来说，精神上的最大快乐莫过于能够领悟到那些已被证明的真理。我的喜悦之情很可能显露在脸上，因为当老师转向我们这边时，我觉得他特别在看我。”

当他像往常一样问道：“有人愿意上台继续演示吗？”时，有几只手举了起来，我的手也在其中。为什么？怎么会这样？我真的说不清楚，因为当我意识到这一点的时候，那只手似乎是自发地、自行举起的，并没有征求我的同意。教授则用充满善意的眼神指定了我。

朱尔·吉拉尔丹

世界末日

1773年，拉朗德为法国科学院准备了一份报告，但由于某些原因未能将其宣读。有传言称，这位天文学家在报告中预言了地球即将毁灭的命运。这一消息引发了极大的恐慌，于是警察局长要求查看那份报告；他并未发现任何令人担忧的内容，为了平息众人的不安，他下令立即将报告公之于众。不过，仍有很多人坚信那些威胁性的内容被删除了。当时有一首歌是这样写的：

没错，拉朗德先生会嘲笑你们的。

餐桌上的十三人

如果你看到十三个人围坐在一起吃饭，
那么请知道，其中一个人会在这一年结束时死去。

“十三人俱乐部”是在伦敦成立的，旨在消除迷信：餐桌上始终摆放着十三副餐具，菜单也始终是……

由十三道菜组成。

缓慢地

孩子最初只能区分单一物体与多个物体。直到18个月大时，他们才能区分“一”、“二”以及“多个”。在欧洲，要理解“百”的概念则要等到10岁左右。在此之前，孩子或许可以记住这些数字的顺序，但却无法从抽象层面理解其数值。

乌佐。

长寿

在写给路易十八的一首诗中，我们读到：

伟大的上帝啊，我怀着热切的心情恳求您：
请延长他宝贵的生命吧！
让我们还能再享受他的陪伴几个世纪！

快速地

有两里路远呢，我的小朋友。——那如果快走的话呢？

天真无邪

有人看到一个可怜的孩子正在努力把一个分数——仅一个分数——化为相同的分母！

当被问及相似三角形的问题时，他只在黑板上画了一个三角形：也就是相似三角形ABC……

一丝不苟

***女士有闲暇时间，每次都会测量直径和周长。别试图向她解释……她就照着祖辈们的方式来做。

另一位不够仔细的女士则是这样计算自己的年龄的：“我18岁结婚时，我丈夫30岁，现在他的年龄是我的两倍……所以我现在36岁了。”夫人，您肯定算错了，您看起来比您说的要年轻。

哲学

沙拉

开普勒回忆道：昨天，因为写作而疲惫不堪，又因对原子的思考而心绪纷乱，有人叫我去吃晚饭，我的妻子芭芭拉把一份沙拉端上了桌。——你觉得，从世界诞生以来，那些锡制的器皿、生菜叶、盐粒、油滴、醋滴以及煮熟的鸡蛋碎片一直漂浮在太空中，难道偶然之间就能让它们聚集在一起形成一份沙拉吗？——我美丽的妻子回答说：当然不会，这样的沙拉既不会这么美味，也不会做得这么好。

圆规

没人能以异端之罪指责圆规，
也没人能宣称一个旋转的物体其实并未在旋转。

蓬萨尔：伽利略。

地球日复一日地稳定运转，
将伽利略和他的审判者一同带往远方！

拉辛之子。

许多错误会在圆规的指针间来来回回地出现。

贝朗热。

一次错误的举动

我刚刚在《科学评论》上读到一篇关于如何从公共汽车上安全下车的力学文章。这次我试图按照那些原理来操作……结果却扭伤了脚。

决定论

物质世界遵循着严格的规律。如果有人能够知道所有物体的精确位置、它们的质量以及作用在它们身上的力，那么他就能精确预测出这些物体最微小的运动。

拉普拉斯说：“所有的事件，哪怕是那些因为规模微小而似乎与自然界的宏观规律无关的事件，其实也都是这些规律的必然结果，就像太阳的运转一样……一个空气分子或水蒸气分子的运动轨迹，其规律性也和行星的轨道一样确定；两者之间的差异，只是源于我们的无知而已。”

这位科学家还在其他地方说过：“如果有一种智慧，能够在某一瞬间掌握自然界中存在的所有力量以及构成这些事物的各个物体的相对位置，而且如果它足够强大，能够对这些数据进行分析的话，那么它就能用同一个公式来描述宇宙中最庞大的天体以及最微小的原子的运动。对它来说， nothing will be uncertain；过去和未来都将在它的眼前呈现出来。”

科学的死亡

而你，神圣的死亡啊，一切都在你手中消逝……
请将我们从时间、数量和空间中解救出来吧……

勒孔特·德·利尔

道德代数

我用一条线把一张纸分成两列；在其中一列的上方写下“赞成”二字，在另一列的上方则写下“反对”二字……当我在这张小纸条上收集到足够多的相互矛盾的理由后，我就会开始评估它们各自的权重；如果我发现两边的理由权重相等，那我就把它们都剔除掉；如果“赞成”的理由权重等于两倍“反对”的理由权重，那……

全部删除；两点反对的理由等于三点支持的理由，我就把那五点也删掉，如此反复，直到最终确定天平会倾向哪一边。

本杰明·富兰克林

在道德生活与事务处理中，算术都是不可或缺的——因为在这个充满各种可能性、疑虑、计划与障碍、半喜半忧的世界里，一切都需要通过计算来解决。

狄德罗

道德就是幸福的算术。

维内

还有更高级的道德标准。

相对性

当我们说一棵树高或矮时，其实是在将其与周围树木的平均高度作比较，以此来表明它的具体高度。我们能够这样表达，是因为树木的高度存在两个界限，而且这两个界限之间的距离并不大。但对于那些没有固定大小界限的事物来说，情况就不同了。例如，如果有人要求一条具有“普通长度”的直线，那显然是个愚蠢至极的问题。

因此，我们对大小的认知仅限于它们之间的比例关系，而这也是我们所能了解的全部内容。

他人的语言。试图扭曲语言、往其中引入新的词汇或表达方式都是徒劳的，因为永远无法让语言独立于其固有的特性来表达某种伟大的事物。

特克姆。

过于乐观了。

必须区分实用几何与纯粹为好奇而研究的几何……随你怎么去研究曲线吧，那只能显示出你的极度聪明而已。你就像一个只研究数字性质而不去计算自己财富的算术学家……

一个优秀的工程师远比那些只会处理那些复杂而无用计算的家伙强多了。

伏尔泰。

有一次，我问一位伟大的几何学家：除了欧几里得的《几何原本》和十进制算术之外，数学还有什么用处？他回答说：“那些东西只是用来撰写只有少数人会阅读的书籍，或者帮助作者进入科学院罢了……我明白这些对你们有什么用处，但对我、对其他人来说，它们又有什么用呢？”

J.-B. 赛伊。

这种狭隘的功利主义早已被多次驳斥过了。

游戏

在那些仅依赖数字的游戏中，还有那些需要考虑局势因素的游戏，比如三子棋、跳棋，尤其是国际象棋……但有人会问：这有什么用呢？我的回答是：为了完善创造的艺术；因为我们必须有方法来应对一切可以通过理性解决的问题。在那些仅涉及数字和局势因素的游戏之后，还有那些需要考虑动作因素的游戏，比如台球、壁球等等。最后，人们希望能有一套关于游戏的完整教材，以数学方式对各种游戏进行阐述……

莱布尼茨

三角形与诗歌

我画出一个三角形，真是奇妙！
那些沉睡在法则之中的存在们
缓缓地开始活动，逐渐醒来，
然后无限延伸开来。

只需在沙地上画出三条线，
我便明白了，不再怀疑！
那么，三角形显然比那些我曾经读过的文字更值得重视吧？

苏利-普吕多姆

同一位诗人的作品：

大地足以支撑起那个三角形的底边，
在这个三角形里，代数已经超越了一切极限；
天文学则达到了连蓝天也无法触及的境界。
……

我们正是通过这种宏大的三角测量法，来计算那些在以太中运动的恒星之间的距离的。

还是同一位诗人的作品：

他们回答说：“原因与结果都隐藏在黑暗之中，
唯一确定的只有重量、形状和数字；
我们只想要得到一个数字而已。”

这里指的是那些只关注事实与法则、而不去探究根本原因的实证主义者们。

圆形平等

圆圈作为永恒的象征，有时也代表着平等。

古人为了不偏袒任何人，无论是神明还是他们的朋友，都会将自己的名字写在圆圈上。这样一来，由于没有明确的等级之分，也就无法判断谁在他们的评价中处于首位、第二位或最后位。所有人都是平等的，荣誉也由大家共同分享。

圆桌骑士团的制度正是建立在平等原则之上的，而圆桌则象征着这一原则。

在各种会议上，大使们坐的桌子通常是圆形的，这样就能尽可能避免过于明显的等级差异。

一种“王国”

几何学家比其他人更需要得到同行的评判：因为几何学其实是一门深奥的学问。它拥有自己的规则体系，能直接给出答案；它以自豪的态度看待那些被其法则所支配的万物，然后平静而冷漠地沉浸在自己的“王国”之中。的确，这是一种真正的王国，而且是一种绝对的王国——这种科学无需像其他学科那样面对怀疑，自欧几里得时代以来，它从未在错误的根基上建立过任何东西。

朱里安·德·拉·格拉维耶尔

几何学与道德

莱布尼茨说：“到处都有几何学的元素，到处也有道德的元素。”也就是说，即使在道德领域中，也存在着几何学的要素，同时也存在着道德的要素。

甚至延伸到几何学领域。事实上，那些与道德、灵魂及意志相关的事物，由于其中存在着同一性与差异性、平等与不平等的关系，因此也受制于几何学的必然性；另一方面，尽管几何学在其发展过程中排除了所有纯粹的道德必然性，但从最近对它进行的深入研究来看，它似乎以和谐原则作为其基础——或许正如笛卡尔所理解的那样，他认为一切皆源于上帝的自由意志，而上帝的意志则是绝对且无限意志的体现。“有人声称，”亚里士多德说，“数学与‘善’的概念毫无关联。但秩序、比例、对称性，难道不正是美的最高形式吗？”

F. 拉瓦松

我们的小地球

人类被感官与自尊心的幻觉所迷惑，长久以来都自认为是星辰运动的中心；而他们的虚荣心则因这些星辰所带来的恐惧而受到惩罚。经过几个世纪的努力之后，人们终于揭开了遮蔽宇宙结构的面纱。此时，人类才意识到自己其实只是太阳系中一个微不足道的行星，而整个太阳系在浩瀚的宇宙中也不过是一个微小的点而已。这一发现所带来的惊人成果，足以让人类因地球所处的卑微地位而感到安慰，因为它让人们认识到，自己其实拥有着巨大的价值，因为正是以如此微小的存在作为衡量宇宙的标准。

拉普拉斯

头发

有一天，我告诉朗格维尔夫人，我可以打赌并证明巴黎至少有两名居民的头发数量相同，虽然我无法指出这两个人是谁。她则说，只有数清这两个人的头发数量后才能确定这一点。我对她说：我的证明是这样的——假设头发最浓密的人，其头发数量也不会超过二十万根；而头发最稀少的人，则只有一根头发。如果现在假设这二十万人每个人的头发数量都不同，那么他们的头发数量必然在1到20万之间。因为如果认为在这20万人中有两个人的头发数量相同，那我就赢了这场赌局。而如果假设这20万人的头发数量各不相同，再加入一个头发数量不超过20万的居民，那么无论他的头发数量是多少，都必然在1到20万之间，因此必然与这20万人中的某一个人的头发数量相同。可是，实际上除了这20万人之外，还有近80万人，显然，必然有很多人拥有相同数量的头发，尽管我并没有去数过。

妮可

看来，这位著名的公爵夫人始终无法理解这位哲学家那些略显复杂的推理。

叔本华说过：“女人头发长，但思维短浅。”

谜团

纵观各个科学领域，你会发现它们都是从某个谜团开始的：数学家在研究虚数运算的基础时虽然操作非常精确，但却仍难以完全理解其中的原理。

更不用说微积分的原理了，那可是上帝赐予人类最强大的工具之一……

约瑟夫·德·迈斯特尔。

这些所谓的奥秘已经变得越来越不神秘了。

后来，当人们彻底理解了自然界的普遍规律，熟悉了宇宙中绝大多数物质现象之后，高等数学研究便变得极为吸引人：此时他们才能看到这门科学中所蕴含的诸多真理的实际应用价值。相反，那些一开始就致力于研究纯粹抽象数学的年轻人，往往觉得这种学习极其枯燥乏味；对他们来说，这就像阅读一种他们肯定永远不会使用的语言的词汇表一样令人疲倦……

德·格朗萨涅。

临终之际，据说巴罗在面对死亡时感到欣喜，因为他终于可以在这位神明那里找到许多几何学和天文学问题的解答了……他如此热爱几何学，以至于在《阿波罗尼奥斯》一书的开头写下了这样的话：“哦，主啊，您真是位伟大的几何学家！因为尽管几何学没有边界，但您却能凭借直觉洞察其中那些令人惊叹的真理。”

蒙图克拉。

适用于一切情况

如果认为几何学的方法并不适用于所有领域，那便是错误的；而如果认为不应将其用于所有领域，那才是正确的。每个主题都有其合适的处理方式；对于那些需要趣味性的内容而言，几何学方法过于生硬，而我们的语言又不够完美，无法满足其要求，此外，词语的含义也过于模糊不清，无法体现那种严谨性。不过，尽管我们常常不必使用这种方法，但也绝不能忘记它——它是良好思维的指南针，也是抑制想象力的手段。

狄德罗。

虚假且狭隘

当人们将数学视为学习推理的最佳典范时，他们是否真正明白：为什么几何学的逻辑如此严谨，它的证明为何如此清晰？这些自诩为精确科学的学科，之所以能够保持精确性，只是因为它们所处理的对象并不存在于现实之中。这些对象不过是纯粹的抽象概念，是心灵的产物，是理想化的实体，但在自然界中并不存在。所有的性质都是通过人为的约定来确定的。当然，几何学是精确的，但它并非真实的。你曾在哪里见过几何学中的抽象三角形和直线呢？那些脱离了现实存在的数字又存在于何处？现实中的事物拥有如此多且复杂的性质，其中最起码的一点就是它们是可以被计数的。那么，究竟是什么让数学如此精确呢？那就是极度的简单性。

他们所依据的事实并不那么精确、严谨，之所以如此，只是因为他们的视野过于狭隘罢了。

你面前有十个人、十只动物或十种植物，而你则是一名神学家或诗人。当你的思维被这一景象所引发的种种判断所引导时，而我，作为一名代数学家，则是在思考数字“十”的各种性质。在如此简单、如此贫乏的运算中，与在你心中涌现出的丰富思想世界相比，如果我的结论比你的更清晰、更准确，我又有什么理由自夸呢？

——拉普拉德

在人的头脑中，数学概念具有绝对的现实性。从这些简单的概念出发，我们可以严格地推导出关于数字和形状的所有性质，哪怕是那些最为微妙、最为复杂的性质。

自然主义者

数学家喜欢沿着单一的方向进行严谨的推理。而自然主义者，就像历史学家或法学家一样，是个倾向于比较各种事实的人——而这些事实其实都没有得到绝对的证明；他们也倾向于比较各种论据——而这些论据同样没有做到绝对严谨。他们的任务就是评估各种可能性，从而得出最合理的结论。

…………

有些人追求数学那种严密、深刻且严谨的推理方式；而另一些人则更喜欢观察科学那种广泛、多样但缺乏严谨性的推理方式。前者需要更强的推理能力才能取得成功，后者则需要更好的判断力。

德·坎多尔。

通过判断，我们可以权衡利弊；通过推理，则可以追寻各种相关的理念。那些推理正确的数学家，有时却缺乏判断力。

隐喻

几何学的作用之一就是考验人的思维能力，就如同熔炉用于检验黄金一样；优秀的思维在几何学的锻炼下会愈发精炼，而拙劣的思维则会被彻底摒弃。

几何学家们是在极为稳固的基础上进行研究的：一旦奠定了第一块基石，他们就可以毫无顾虑地将建筑向上延伸至天空。

而在完全不同的基础上，哲学家们则建造出被称为“体系”的宏伟建筑：他们先在虚空中为这些建筑打基础，当他们以为已经建立起稳固的基础时，那座建筑却会消失不见，而“建筑师”也会从空中跌落。

R. 杜弗雷斯尼。

假设

杜加尔德·斯图尔特指出，在其他科学中，需要证明的命题应当描述现实中的事实，而数学所证明的命题则只是阐述某些假设与某些结果之间的关联……其目的并非揭示关于现实存在的真理，而是确定由某一假设所衍生的逻辑关系。如果我们以这一假设为出发点……

让我们进行严谨的推理：显然，这一结果不可能存在任何缺陷。

康德指出，只有“量”的概念才适合被用于先验构建之中。

教育学上的争论

学习数学是否有助于年轻人的智力发展？它能否成为通识教育的核心？三位英国哲学家就此展开了讨论。惠威尔主张应大量学习数学，汉密尔顿则反对这一点（《哲学片段》，佩伊斯译），而斯图尔特·密尔则推崇数学的作用。我们无法总结这场著名的辩论，仅摘录三段观点。

“凡是研究过数学的人，都应当清楚地认识到数学与经验事实之间的区别，以及三角形性质之必然性与其它关于植物结构的一般规律之间的差异。数学真理的特殊之处在于它必然是、不可避免地正确的；从数学研究中可以得到的最重要启示之一，就是认识到存在这类真理，并了解它们的形式与特征。”

——惠威尔

“只要以适度且有效的方式学习数学，它就能帮助消除某种缺陷，同时培养相应的品质。这种缺陷就是注意力不集中的习惯；而相应的品质，则是保持持续注意力的习惯。这便是数学在培养心智方面唯一可取的价值。”

汉密尔顿：
如果我们希望培养出卓越的智力，那么最值得推荐的便是那种能够让思维尽早习惯于在自身内部保留完整证据体系的训练方式。具备这种思维能力的人，即便在其他领域缺乏足够的知识，也可能会犯这样的错误：以为所有证据都会与自己所熟悉的那种模式完全一致。我们可以通过多种多样的学习来拓展这种模式，但那些从未掌握过这种能力的人，就无法正确理解“已证明的”与“未证明的”之间的差异——科学思维的基础也就无从建立。

斯图尔特·密尔：
……柏拉图在《理想国》第七卷中就已经指出，数学术语迫使人们去思考那些既不可见也不可触知的数字及相应真理，从而有助于提升人的精神境界。数学能让年轻人清晰地理解证明的原理，同时让他们习惯于形成一系列逻辑严密、由最终结果所支撑的推理链条。正因如此，有人认为，没有学过几何学的人就无法拥有对确定性的严格认知。从道德层面来看，没有什么比这种观念更能让人对真理怀有绝对的敬畏之心了。

数学、代数以及微分分析尤其能极大提升人们对符号和标志的认知能力。这些工具是不可或缺的，它们以简洁且近乎机械的方式将各种关系概括起来，从而增强人类思维的能力与范围。在数学领域，这些工具的价值尤为突出，因为它们完全符合数学的定义；而在物理和自然科学领域，它们则不具备同样的优势。无论如何，这些能力只有通过数学教学才能得到充分发挥。

贝尔托洛。

欧几里得的文化

当一个天赋平平的年轻人开始学习欧几里得的著作时，起初一切都会让他感到惊讶。他的理解力不足，判断力也较弱，他部分依靠事物的显而易见性，部分则依赖老师的权威。但随着他逐步学习定义、公理以及基本命题，他的视野逐渐变得清晰起来。语言对他来说也变得更加熟悉，从而让他能够形成更清晰、更明确的观念；他的判断力也日益增强：他开始理解什么是证明，而一旦理解了这一点，就不可能不对其产生兴趣。他意识到这种证明是一种独立于权威之外的“显而易见性”；他觉得自己仿佛从束缚中解放了出来，为此他感到无比自豪，甚至想要为所有真理都找到这样的证明。不过，经验告诉他，有许多事物是无法用这种方式来证明的，因此他不得不在那些最重要的问题上接受概率性的结论。

T.里德。

工人的计算

工人必须计算出自己所花费的岁月、月份、天数，甚至小时和分钟的数量。他还需要计算自己的体力和动作，以便不浪费任何力量，并获得最佳的工作效果。他必须计算并测量工具或需要被加工成特定形状和位置的物体的尺寸与形状。他必须随时计算距离、长度、面积和体积。最后，他还必须根据几何原理来估算原材料的数量以及自己劳动的价值。

夏尔·杜潘：《形而上学与道德》
如果有人想以数学家的方式来研究形而上学或道德问题，那么没有什么能阻止他以严谨的态度去这么做。只要方法得当，我认为就不会有后悔的必要。

莱布尼茨：这个建议听起来容易给出，但实际执行起来却很困难。

直觉：几何直觉是我们心灵所具有的那种能力，它让我们能够直观地看到我们物理世界中那些真实且偶然存在的形态背后，还有其他形态——这些形态与前者极为相似，但却更为简单、更为理想化；由于它们具有严格的定义，因此适合用于几何推导。

卡利农：计算：如果计算就是推理的话，那么推理则不算是计算……计算不仅仅是一种推理，它是一种针对数量概念的推理，因此可以用特定的符号来进行表达；简而言之，它是一种具有特殊特征的推理方式。

它们是纯粹的……推理属于一般概念，而计算则只是其中的一种具体形式。正因如此，我们可以将所有的计算转化为推理，但却无法将所有的推理都转化为计算。

德苏特-特雷西

由于数量本质上可以被分割成相等的部分，因此与大小相关的概念具有这样一种独特的特性：它们能够被精确地用符号、数字或字母来表示。这种精确的表达方式使得思维能够专注于这些符号本身，再通过极其简单的规则将它们组合起来，这就是计算的过程。正因如此，在数学中形式才显得如此重要：简化的符号体系能够带来革命性的变化，正如笛卡尔引入数值指数后对代数所产生的影响一样。符号的这一奇妙之处在于：即便我们无法理解它们的真正本质，依然可以成功地使用它们。在人们找到合理的理论基础之前，微分计算早已揭示了数量中最隐秘的秘密。

F. 于埃

词语与符号

在数学推理中使用的符号和词语，实际上代表着事物本身；在这种情况下，当我们运用语言或符号时，并不会引入任何外来的概念；同时，也不会因此而排除与所讨论的事实相关的任何内容。

W. 赫歇尔

三段论

在欧拉写给德国一位公主的信中，可以看到他用圆圈的相对位置来巧妙地阐述三段论理论。

莱布尼茨提到了两位热心但头脑迟钝的逻辑学家——赫林努斯和达西波迪乌斯所取得的杰出成就：他们将欧几里得的前三卷内容转化为形式化的三段论结构。

更高层次

你们学习的是数学或物理学中的各种原理，这些原理蕴含着自然法则。学习它们的目的并非仅仅为了了解其实际应用，而是为了认识到自然界的一切都是数字、比例与和谐的体现；更进一步来说，是通过研究构成物体的那些数字，从而更深入地理解我们灵魂中所包含的那些数字，正如柏拉图和沙夫茨伯里所说，利用这些数字来判断外界的事物。最终，是为了掌握对各种关系与比例的运用能力，而这正是理性的核心功能，也就是所谓的逻辑。

F. 拉瓦松

推理

在综合理工学院里所学的知识，绝不仅仅是为了掌握一系列计算方法、公式、图形以及物理和化学现象。它们的主要作用在于锻炼那种被称为“推理”的智力能力。

拉梅。

完美无缺。

研究几何学的一个好处在于，它能让人相信：只有那些自己完全理解的东西，才是真正值得掌握的。

特拉松神父。

数字！

去掉数字，艺术、科学、语言以及智慧都将不复存在。而一旦恢复数字，它的两个“女儿”——和谐与美——也会随之出现；呐喊会变成歌声，噪音则被称为节奏；跳跃成为舞蹈，力量则被称作动力，而线条则变成了各种图形。

…………

从前，有一位航海家因船只失事而流落到一座他以为无人居住的岛上。他在海岸边行走时，发现沙地上有某种几何图形。他认出那是人的形状，于是感谢上帝。如果那不是几何图形的话，对他来说就只是偶然形成的痕迹，是随机现象的产物，而非智慧的结晶；但那图形却向他证明了数字的存在，进而也证明了他所看到的其实是人。

J. 德·迈斯特

心智的衡量标准

几何学本身就拥有真正的美，这种美与任何实际或所谓的实用价值无关。即便它没有其他优点，仅能为我们提供纯粹而确定的知识，这样的优势难道不足以让它值得我们研究吗？可以说，几何学是我们心智最精确的衡量标准，能够体现我们心智的广度、敏锐度、深度以及精准度。虽然它无法直接赋予我们这些品质，但至少可以强化它们，并为我们提供最简便的方法，让我们能够了解自己拥有这些品质的程度，同时也能让他人知晓这一点。

——达朗贝尔

这些理由足以说明为何在大多数考试中数学会被赋予如此重要的地位。

起源

据说，数学的起源不可能来自观察，因为它所研究的对象与观察所得到的对象截然不同。数学所处理的都是完美的圆形和三角形，但在自然界中，没有任何物体是完美圆形或完美三角形的；因此，数学不可能以自然界的观察为依据，其理论基础完全是心智的创造物。

对于这一反对意见，答案如下：的确，没有任何物质对象具有完全笔直的边界或完全平坦的表面，但每个物体都会以不同的方式偏离直线或平面；因此，当把各种物体的特征整合为一个整体概念时，这些相反方向的偏差就会相互抵消。

R. 沃姆斯

自休谟以来，人们多次试图仅凭经验所得的资料来解释几何真理。

概述

我们去找那位正在抽烟的伟大数学家，向他致意后这样问道：“先生，我们是哲学家，也就是说，我们常常感到困惑且无所适从。这里涉及到那些必然成立的命题；如果您知道这类命题，那您是如何发现它们的呢？”

“先生们，这是我的工作，我并不去发现别的东西；请坐吧，我会在你们面前画出相应的图形。”

我用粉笔在黑板上画出一个三角形ABC；从顶点C引一条与底边平行的线……因此，三角形的内角和等于两个直角。所以，必然且普遍地，三角形三个内角的和等于两个直角。

“先生，您是怎么做到的？”

“我先画出一个具体的、确定的、偶然的、会消失的三角形ABC，以此来引导我的思维并明确我的想法。然后我从这个具体三角形中抽象出一般的三角形；为此，我只考虑所有三角形都具有的共同属性，并进行一些任何三角形都适用的几何操作。通过分析这些普遍属性和操作，我就得出了一个普遍且必然的真理或规律。我从中提取出了包含在那个具体三角形中的普遍三角形，这其实也是一种抽象。我还提取出了包含在那些普遍几何操作属性中的普遍且必然的规律，这同样也是一种抽象。因此，要发现一种普遍且必然的属性，只要运用抽象思维就可以了。”

泰纳：

纪律

学习几何学对于培养人们逐步思考的习惯、不轻信未经证实的事物、只接受真实的东西至关重要。此外，几何学还有助于锻炼思维能力，使人养成专注的习惯，并提升其创造力——因为解决问题最需要创造力；它还能让人学会推断真相，即便在寻找真相时不得不借助假设，因为最终的结果总能表明这些假设是否恰当；最后，几何学还能约束想象力，迫使我们将其置于理性的支配之下。

德勒兹：

证明与三段论

数学科学的方法就是证明。

…………

证明的目的是确立必然的真理；它通过展示这些真理是其他已被视为显然或已被证明的真理的逻辑结果来实现这一目标。

由此可以看出，尽管证明以演绎的形式呈现，但它仍与三段论有所不同。在纯粹的三段论中，不涉及所讨论命题的客观真实性问题，结论必然由前提推导出来；既然A是B，而B是C，那么A就不可能不是C。不过，一种必然的知识并不一定就是真理。

这是必要的；但并不能保证构成结论的两个前提都是真实的。对逻辑学家而言，只要结论是依据思维规律从前提中推导出来的即可。而证明则有所不同：它是科学的一种工具，因此它不仅要得出逻辑上的结论，还要确立真理；它必须遵守所有的逻辑规则；但同时它也有一些原则，这些原则并不存在于传统的三段论之中，而这些原则与它所确立的真理一样都是必然的。

利亚尔。

方法

除法与综合法

让·马塞在《爷爷的算术书》中这样形象地描述了分析与综合：这本书虽然适合儿童阅读，但却十分巧妙且有趣。

除法

过去，人们把除法视为算术中的难题，当时人们采用法国式、葡萄牙式或意大利式的方法来进行除法运算。莱斯利将这一运算的规则概括成了一句话：

“除、乘、减、移，再除。”

有一位老师为了帮助学生记住这个被认为很难的除法理论，会说：“在第二种情况下，你砍掉被除数的‘头’；在第三种情况下，则砍掉商的‘头’。”

解剖学家们

O. Terquem在去世前几天写道：Borelli的著作《论动物的运动》堪称一部杰作，它让我享受着美妙的阅读时光；由此可见，解剖学家具备几何学知识是多么重要。希望有人能以同样的方式重新出版Richerand的《描述性解剖学》，那将是一份极好的珍品。遗憾的是，我们的解剖学家几乎不懂几何学，而医生们的化学知识也相当薄弱。

奶酪

Mannheim先生讲述过这样一个故事：有一位工程师在为半球形穹顶设计螺旋楼梯时遇到困难，于是他让助手准备一份设计图。助手在格鲁耶尔奶酪块上挖出一个盆状的空腔，然后在轴线方向安装了一个螺旋装置并使其旋转，这样，石头穹顶上需要开凿的孔洞的形状就清晰地显现出来了。

几何学实验

为了计算摆线的面积，伽利略用极高精度称量了两片由相同材料制成的薄片，其中一片的形状相当于圆，另一片则相当于由此产生的摆线形状。通过这项实验，他发现后者的重量是圆的那片的三倍，这一结果后来被帕斯卡从理论上得到了验证。该方法的成功得益于这种比例的简单性——它不仅是可通约的，而且是整数比。

这些是木制立方体，有的为白色，有的为黑色，人们借助它们向初学者直观地讲解数字的概念。10个这样的立方体组合在一起就构成一个“十”；10根这样的立方体组合成一块板则构成一个“百”；10块这样的板叠放起来则形成一个立方体，即“千”。再继续来看：如果把10个表示“千”的大立方体组合起来，就得到了“万”；如果把10个“万”组合起来，那么这块大板就代表了“百万”；最后，如果把10块这样的板叠放起来，就会形成一个巨大的立方体，即“百万”。以此类推，还可以得到“千万”、“亿”等等。

**计算机器**

在各种小型计算工具中，有对数发明者涅珀尔设计的计算尺，还有曼海姆、拉兰内、格勒奈尔以及爱德华·卢卡斯等人设计的计算工具。在某些国家，所有的主管都会经常使用计算尺。

较为复杂的计算机器有帕斯卡设计的那种，后来德·莱潘对其进行了简化，而罗特则进一步缩小了它的体积。此外还有科尔马的托马斯设计的计算机器，利用它可以在半分钟内计算出两个10位数相乘的结果。这种机器被用于卢浮宫的商店、天文台以及保险公司等场所，每年都有上百台售出。还有切比雪夫设计的那种连续运转式的计算机器。

所有的计算机器都由四个基本部件组成：输入装置、输出装置、反转装置以及清除装置。

据研究，对于熟练的运算者来说，要将一个14位数的数与一个8位数的数相乘，需要7分钟19秒的时间。而机械装置则不会感到疲劳，也不会出错，除非弹簧出现故障。不过，还有没有弹簧的几何结构计算机器，以及切比雪夫设计的那种极为出色的计算机器——它宁愿损坏也不愿给出错误的答案。

参见M. d’Ocagne所著的《数值表：利用算盘进行常见计算》。

**积分器与积分函数**
积分器是一种能够机械式地计算无穷多个极小量之和的仪器，无论这些量是曲线围成的面积、机械功还是其他数值。不过，平面仪、动力计等仪器只能给出积分的最终结果。Abdank-Abakonowicz则更进一步：他的积分器能够以图形形式呈现出支配这种求和过程的完整规律，也就是所谓的积分曲线。

Amsler的极坐标平面仪似乎是最常被使用的那种。平面仪的应用非常广泛：土地测量、森林管理、工程测绘部门、建筑师、工程师以及测量员都会使用这类仪器来解决那些与曲线边界构成的平面区域面积相关的复杂问题。

在德国，人们拥有平面仪，就如同拥有圆规盒一样普遍。

**政治算术**
给定一个国家的人口、风俗习惯、宗教信仰、地理环境、政治关系、财富状况以及各种优缺点，找出适合该国的法则。
——J. de Maistre

我们只希望立法者能够通过逐步近似的方法来解决所面临的问题。

简化运算

有人提醒一位考生，他本可以运用简化运算的。他则回答说没有时间。

当时间紧迫时，人们会更愿意选择自己熟悉的常规路径，而不是那些不确定是否可行的捷径。

让-雅克·卢梭的以下观点也适用于职业计算员：“……于是人们就会找到一些简化的方法，这些方法的发明能满足人的自尊心，其准确性又能让人的心灵得到满足，从而让人乐意去完成本来枯燥乏味的工作。”

泡芙

我永远忘不了在都灵见过的一个年轻人：他在童年时就被教导如何计算图形的周长与面积，每天都要从各种几何图形中选出周长相同的泡芙。这个贪吃的小家伙甚至运用了阿基米德的原理，只为找出其中含馅最多的那个泡芙。

让-雅克·卢梭

亚里士多德认为，圆形伤口是最难愈合的；而几何学家则证明事实确实如此，因为在所有周长相同的图形中，圆的表面积是最大的。

速测法

已故的工程师拉古特试图对数学进行改革，他希望通过将数学概念具象化来简化它们，从而让最普通的工人也能理解。他提出了一些巧妙的想法：他的测量工具和彩色图表十分引人注目。不幸的是，由于过于沉迷于自己的体系，这位发明家错误地认为自己与欧几里得一样严谨。他的速测法其实只是一种通俗化的方法，依靠视觉来进行测量。

M.C.雷对这种方法作出了尖锐而严厉的评价：“几何学是一门教会人们即使面对错误的图形也能进行正确推理的科学，而速测法则是一门教会人们在面对正确的图形时却进行错误推理的‘艺术’。”

二十生丁

在第二帝国时期，当第一批二十生丁硬币被铸造出来时，有位聪明人感叹道：现在人们会说“五乘以四等于二十”，而不是“四乘以五等于二十”了。

我在一本比利时书籍上读到过这样一个令人担忧的问题：1法郎乘以1法郎，是否等于100生丁乘以100生丁？

汤品

在讲解加法时，有个学生忘了说明：只能将同类的事物相加。老师问他：“150克萝卜、200克胡萝卜和225克土豆加起来是多少？”——答案是：这可以做成一道美味的汤。

另一个例子：有个盲人士兵带着这样的牌子：战斗8次；受伤10次；有6个孩子；总计24次。

混乱状况

几何学的第五册让学生们和考官们感到十分头疼，因为其中的命题顺序和表述方式变化无常。勒让德与鲁谢的观点完全不一致，还有许多中间观点存在。人们希望有一个人来制定统一的理论标准。

最新消息：有消息称和平谈判即将开始。

平方米

多亏了几何学，那些测量工具的商人才不会同时出售平方米和立方米的产品。

仍有一些女士会将米、平方米和立方米混为一谈。

一个有趣的笑话：老师让学生在黑板上写下数字1000000000，然后问：“这是平方米，那它有多重呢？”学生回答说：“只需要很少的粉笔而已。”

焦虑

无法以发散级数作为推理的基础——所谓发散级数，指的是那些项的数值呈规律性变化，但其总和会无限增大、超出任何极限的级数。18世纪的几何学家们几乎没有考虑过级数的收敛性问题，而正是柯西首先阐明了这一概念。据说，在柯西向学术界发表相关论述之后，拉普拉斯立刻离开同伴们，独自在家待了近一个月，试图验证其天体力学理论中所依赖的所有级数的收敛性。幸运的是，这些级数都不是发散的！

阿贝尔说过：“有了发散级数，就可以证明任何想要证明的东西，无论是不可能的还是可能的。”

不可能之事

在数学中，真正不可能的只有自相矛盾的情况。我们可以消除因视角过于狭隘而产生的暂时性“不可能”：为何非要要求结果必须以某种特定形式出现或处于某些特定范围之内呢？另外，如果找不到问题的严格解，也可以寻找越来越接近的近似值，并对这种近似值进行推理。

立体图形

当时需要将固体物体的体积计算出来，而这更为困难；表格中的图形已经不够用了，孩子们也无法理解一条简单线条所能代表的所有形状。于是我想到去请教老工匠西尔维斯特，他立刻就明白了我的需求；他为我制作了可以按需组装和拆卸的木制立方体、棱柱和圆锥体。

对学生来说，这一切都变得清晰明了。我们会拿着实物进行推理，然后再进行计算。这种用木头制作几何图形的办法后来传播到了各地；黑森林中有成百上千的工人专门从事这项工作。有些人甚至进一步用水晶来制作图形，这样就能一眼看到图形的各条边和相对的角。

埃克曼-沙特里安

我们想要教孩子们什么是圆锥体、如何切割它，以及球体的体积是多少，于是就给他们看线条、各种线条！把木制圆锥体和石膏模型拿给他们，像教他们切橙子一样来教导他们这些知识！

J. 瓦列斯

棉花与音乐

在利物浦，最重要的独立变量功能或许就是棉花的价格。一条显示棉花价格的曲线——价格高时曲线上升，价格低时则下降——能够直观地展现这一函数所有复杂的变动情况。

…………

试想一下，一支由一百种乐器组成的管弦乐队演奏，再加上两百人的合唱团在乐队伴奏下歌唱，所产生的效果有多复杂。再想想空气的状态吧，有时候它是多么动荡不安……而一条以与棉花价格曲线相同方式绘制的简单曲线，就能代表在最复杂的演奏中耳朵所能听到的所有声音。

W. 汤姆森

木制仪器

这些用来推动天文学发展的可怜工具，其实是哥白尼亲自切割和加工而成的。第谷·布拉赫用拉丁文诗赞颂了它们：“正是凭借这些粗糙、毫无艺术价值的木块，哥白尼试图为天空制定法则、掌控星辰的运行轨迹；凭借他的天赋，他达到了前所未有的高度。”

哦，这位伟大人物留下的无价珍宝啊！虽然它们是由普通的木材制成的，但即便是最纯的金子也难以与它们相媲美！

字母表

在教孩子读书写字时，可以通过分析罗马大写字母的形状来让他们初步了解几何知识。在字母A中，有两个边被延长而形成了一个三角形；C则是一个弧线；D则是一个半圆以及它的直径；E则包含直角；H则体现平行线与垂直线的关系；M则代表锐角，等等。

个人努力

化学家雷格诺因其出色的数学能力而受到赞誉。他回答说：“综合理工学院里，我们的老师水平实在差劲，以至于每次课后士兵们还得聚在一起重新讲解课程内容。有一段时间，是我负责为同学们编写讲义的。您可以想象，这让我付出了多少努力。”

反应物

众所周知，化学家会使用含有某些元素的反应物，这些元素往往与他们希望得到的产物无关，但它们的存在有助于实现该反应过程中所需的中间转化。几何学家所画的辅助线也起着类似的作用——无论是对角线、与特定方向平行的直线还是垂直于这些方向的直线，它们都能将原始元素分隔开来，从而形成新的组合结构，如平行四边形、全等或相似的三角形等。通过对这些图形的分析，就可以得出一些与最终目标更为相关的性质。

H. 哈兰特

方程式中的系数

外行人只看到方程式中的各种系数，他们认为这些系数的重要性都是一样的。如果想要了解方程的解，他们就会试图逐一去询问这些系数，就像在街上随便找个工人来问路一样。但实际上，并非所有系数都重要；有些关键的“领导者”是看不见的，必须到他们的“办公室”去寻求答案。例如，假设有十个包含十个未知数的线性方程式。运算者想要知道这些方程是否有解、无解还是解不确定。他就不应该去询问那些微不足道的系数。实际上，有一个非常重要的“人物”掌握着答案，那就是多项式——即方程式的公分母。它被称为方程组的行列式，这个名称非常贴切，因为正是它决定了方程解的性质。

P. 普兰

行列式的作用得到了分子组合的辅助，而分子组合本身又依赖于各种次级行列式等等。

多元宇宙

那些计算恒星每天经过子午线时的视运动轨迹的天文学家，那些预报日食、天象以及周期性彗星出现的人，那些仔细观测恒星与行星在天空各处精确位置的人，那些发现彗星、行星、卫星及变星的人，那些研究并确定月球与行星引力对地球运动产生的影响的人，还有那些致力于探索宇宙体系基本要素的人——无论是观测者还是计算者，他们都是现代天文学的先驱。这些都是极其艰巨的工作，是值得钦佩的辛勤努力，也是了不起的成就。但那属于过去的时代。如今，数学家和几何学家们，这些科学家的核心力量，正致力于更为崇高的目标。所有这些伟大的头脑在研究天空时，实际上并没有离开地球。天文学的目的并非仅仅是为了告诉我们明亮天体的视位置，或是测量太空中运动的物体，亦非为了让我们提前知晓日食、月相或潮汐的变化。这一切固然美好，但却不够。

…………

总有一天，而且很快就会到来——因为你注定会看到那一天——那时，研究宇宙中不同区域的生命条件将成为天文学的核心内容，也是其最大的魅力所在。

弗拉马里翁

变换

在古代几何学中，各种定理是孤立存在的；要创造出新的定理十分困难，也并非所有想要成为发明型几何学家的人都能做到。

如今，任何人都可以选取某个已知的定理，然后将其运用到各种变换原理之中，从而得到其他不同的、更为普遍的定理。这些新定理同样可以再经过类似的变换处理，如此一来，从最初的定理中衍生出的新定理的数量几乎可以是无限的。

……

在目前的科学水平下，任何人都可以对几何学中的定理进行推广与创造；要想为这门学科增添新的内容，已不再需要非凡的才华。

沙斯勒。

……

不可见之物

所谓“不可见天体的天文学”，其实并不比研究可见天体的天文学更复杂。几何学家在实验室里工作时，无需亲眼看到天体就能计算出它们的运行规律。维里耶通过计算发现了海王星，贝塞尔则证明了天狼星伴星的存在。他们俩都仿佛克里斯托弗·哥伦布在西班牙海岸看到美洲一样，凭借着同样的信念，确定了那些天体所在的位置，让天文学家们能够用肉眼观察到它们。

沃尔夫。

精确性

以帕尔马为圆心，以60里为半径画出一个半圆，这个半圆会经过阿尔卑斯山的山顶。

拿破仑。

两种倾向

如今，在数学家们中间似乎可以区分出两种不同的思维倾向。一类人主要致力于拓展已知概念的范围；他们并不总是考虑由此带来的困难，敢于不断向前探索，寻找新的研究课题。另一类人则更愿意在那些已经得到充分发展的概念领域内深入研究，他们试图彻底弄清这些概念的所有含义，并努力在解决每个问题时找出其背后的真正关键因素。这两种数学思维倾向存在于科学的各个分支中；不过总体而言，第一种倾向更多出现在与积分计算和函数理论相关的研究中，而现代代数与解析几何则更属于第二种倾向的范畴。

E. 皮卡德。

问题导向

应将所有的推理科学都以问题的形式呈现出来——先提出问题，再加以解决；而系统的理论则是在之后才用来整理和分类已获得的真理。通过生动有趣的问题形式，科学能够更深入地渗透到人的思维之中，而人的创造力也始终处于活跃状态。

德斯博夫斯

修正系数

如果说自古以来所教授的理性几何学是一门在错误图形上进行精确推理的艺术，那么用于地形测量的实用几何学则可以被视为一种利用不精确的工具来绘制精确图形的艺术。

…………

在几何学中，在证明这些多边形的边长等于半径之前，先让它们位于圆周上，这样做难道没有很大好处吗？这样的做法能否让那些通过自身经验发现，操作结束后圆规的尖端很少能回到起始点的学生，对理论中过于绝对的结论保持警惕呢？这是否能使他们思考操作失败的原因？他们的老师是否就有必要为他们解释这些原因呢？渐渐地，他们或许就会明白这样一个经验原则：在应用那些已被充分证明、具有最可靠真实性的真理时，我们必须考虑到——如果我可以这样表达的话——在每一次物质操作中都会存在的各种阻力。

如果我没记错的话，以这种方式进行教学，能够培养学生的判断力与实践技巧。无论如何，它都能避免人们常常产生的错觉。

那些将物理数学研究的结果视为绝对真理的人，其实忽略了其中许多重要因素。

古利耶尔。

这位著名的地形学家并不拘泥于理想化的模型，他会考虑到物质的阻力以及测量过程中的各种误差。

历史

数学法庭

目前，数学法庭用来编制呈献给康熙皇帝的历书、并判断吉日凶日的仪器，是1670年在比利时传教士维尔比斯特的指导下制造出来的。这些仪器的精度仅为十分钟一度，而我们利用自己的仪器则可以达到十分之一秒的精度，因此其精确度要高出六千倍。在北京，人们主要关注的是历法和占星术，而且他们认为地球始终静止在宇宙的中心。

我们曾见过中国皇帝康熙所使用的正弦表。这份在欧洲印刷的文本前面有4页（共8页），上面用墨水写着阿拉伯数字和汉字。每一页正弦表和正切表的前后都用红色毛笔写有汉字。根据封面上的古老注释，这些汉字应该是皇帝亲自所写：“康熙皇帝在用欧洲式方法进行计算时使用了这本书，那些红色汉字就是他亲笔所写。”

一种诽谤

他们以测量经度为借口——而经度本就是古人早已确定的——从而从大臣那里获得了10万埃居作为这项工作的经费，这笔钱自然会被他们这些人瓜分。

马拉，人民的朋友。

十二面体

毕达哥拉斯学派的数学理论必须保密。其中一名入会者（他们的识别标志是星形五边形），名叫希帕索斯，因为泄露了球内十二面体的构造方法，而被溺死在海中。

园丁、五金商等等

阿盖尔公爵在自家城堡的草坪上发现了牛顿的《原理》一书，于是询问园丁斯通。这位30岁的男子独自学会了数学基础知识和拉丁语，而且还能理解牛顿的著作！后来，斯通撰写了一本微积分著作，该书被翻译成法文，用以补充德·洛皮塔尔的著作。

在美国，五金店店员鲍德威奇也独自读懂了牛顿的著作。他在波士顿的一家保险公司发家致富后，自费出版了自己翻译的拉普拉斯的《天体力学》一书，并附上了自己的注释。

埃莱亚扎尔·费龙斯大约生活在1625年左右，居住在格勒诺布尔附近。他是一名城堡里的园丁，利用自己制作的仪器进行观测。

荷兰鞋匠西奥多·伦勃朗斯约出生于1610年，他撰写了一部关于哥白尼理论的详尽著作。

来自斯图加特的皮草商让·乔丹则是一位才华横溢的数学家和机械工程师。

利雪的织布工让·勒费弗尔数学功底极为扎实，他能够计算出月亮经过子午线的时刻表。因此他被派往负责时间测定的机构工作。

大约在1710年，苏格兰的一位牧羊人詹姆斯·弗格森用木头制作出了各种天文仪器；他还致力于数学研究，并成为了伦敦皇家学会的会员。

萨克森地区的农民约翰-乔治·帕利奇出生于1723年，他既是数学家也是天文学家，还是伦敦皇家学会的通讯会员。他在闲暇时继续深入研究，却从未放弃过农夫的工作。

天文学家让-路易·庞斯出生于1761年，最初在马赛天文台担任看门人，后来他发现了37颗彗星。

另一位自学成才的普通鞋匠里戈，也为法国科学院提交了出色的数学论文。

**女数学家们**

在《科学领域中的女性》一书中，我们刚刚通过Nony出版社出版了一本共350页的著作，书中配有肖像画和亲笔签名。以下是序言的摘录：

“十五个多个世纪以来，我们一直纪念着亚历山大的希腊女子希帕提娅——她如此美丽又如此博学，却被一群愚昧的民众用石头砸死。夏特莱侯爵夫人所进行的天文与力学研究为她的名声正名。玛丽·阿格内西在向意大利传授微积分之后，便以圣人的身份离世。而因为某个问题……”

拿破仑与索菲·热尔曼是最早创立数学物理学的人士之一。在拉普拉斯之后，玛丽·萨默维尔又发展了天体力学。还有一位俄罗斯女性科瓦列夫斯卡娅女士，她获得了我们科学院的嘉奖，然而在她的才华正盛之时，却在几年前被绑架了。

我们首次将这些杰出而高尚的女性聚集在一起。我们对这些非凡的女性以及其他一些女性进行了简要介绍，没有涉及过多的技术细节。这一群精英人物被置于一幅较为完整的其它女科学家的图景之中——就像一支行进中的军队及其参谋部一样。

我们主要研究了那些将一生大部分时间都投入到科学研究中的专业女科学家，包括数学家、物理学家、自然学家和哲学家。此外，还有那些偶尔对科学发表意见的普通好奇者；那些默默且积极地协助科学家的合作伙伴；那些谦逊而富有贡献的教师与科普工作者；最后，还有那些通过设立奖项或以其他方式提供资助的公主或富有的资产阶级女性。她们都以不同的方式，为科学的进步做出了积极的贡献。

书的结尾有两篇来自不同来源的文章。第一篇汇集了关于“女性是否具备从事科学研究的潜力”这一问题的各种观点。第二篇则由关于女性与科学的种种见解、引文、轶事、思考等内容组成。

声音

有一天，毕达哥拉斯在经过一个铁匠作坊时，发现锤子敲击时发出的声音构成了四度、五度和八度音程。于是他想到要称量这三把锤子的重量，根据它们重量的比例，他得出了关于声音和谐的数学理论。

据说，这位哲学家还制定了让小孩子们感到绝望的乘法表，更重要的是，他还发现了直角三角形的斜边平方定理。为了庆祝这一伟大的成就，毕达哥拉斯向众神献上了祭品。

**两个王朝**

从17世纪中叶至今，源自瑞士的伯努利家族一直涌现出许多杰出的学者。他们的祖先——雅克和让这两位一流的数学家——发展了微积分理论。之后又有尼古拉二世、丹尼尔、让二世、让三世、杰罗姆、雅克二世以及克里斯托弗相继出现。最后一位伟大的伯努利后裔是一位物理学家兼自然学家，他于1863年在巴塞尔去世。

著名的天文学家让-多米尼克·卡西尼是该家族中最杰出的人物。他的儿子雅克也是一名天文学家，孙子塞萨尔-弗朗索瓦·卡西尼·德·图里在22岁时就成为了法国科学院的成员。而他的曾孙雅克-多米尼克则担任着天文台的台长一职，他完成了法国地图的绘制工作。

**推荐**

“陛下，开明且慷慨的君主们乐于发现那些默默无闻的才德之士，并为他们弥补命运带来的不公。他们愿意为那些有才华的人提供机会，让他们为科学事业做出贡献，从而让科学焕发出光彩，而这些光彩也会反映在国家的治理上。因此，作为法国科学院的成员，我们谨向陛下推荐一位年轻的几何学家阿贝尔先生。他的才华极为出众，但却在克里斯蒂安尼亚从事着与其卓越才能极不相称的工作。”

勒让德、泊松、拉克鲁瓦。

综合理工学院

1794年，在蒙日、朗布拉尔迪、卡诺和普里厄的推动下，法国建立了中央公共工程学校。该校位于波旁宫内，只招收校外学生，最初旨在培养土木工程师和军事工程师。直到1795年，该校才正式命名为综合理工学院，并形成了如今的规模与特色。此处无法详述其辉煌的历史，仅列举一些趣闻轶事。

在初期，每位申请者都必须由其家乡的市政当局证明“他始终表现出对自由与平等的热爱，以及对暴君的憎恶”。当时的一份报告写道：“他们的爱国心几乎为零。他们几乎都是无知或漠不关心的，而那些孩子却已经能背诵自由的原则和颂歌了！我试图通过一些突然的、出乎意料的甚至带有陷阱性的问题来弥补他们所提供的材料的不足，但几乎所有人都表明他们对他人的幸福、自己的幸福乃至各种事件都漠不关心……这些年轻人中，有四十人因为对一切美好、高尚和有用的事物都毫不在乎，理应被拒之门外！”

后来，一位内政部长在演讲中表示：“年轻的公民们，要永远怀有对祖国的热爱。如果这种热爱能以情感的形式影响其他人，那么可以认为，正是由于科学家的努力，这种热爱才得以得到严谨的论证。我可以用你们熟悉的语言来说：自由是自然赋予的定理，共和国则是它的证明，而对祖国的热爱则是它的推论。”

每周日早晨，餐单上会多一道咸肉煎蛋——这是对原本被称为“夫人之猪”的菜肴的一种经济型改良。

拉普拉斯。事实上，这位杰出几何学家的遗孀在设立一项奖励，用于表彰最先完成学业的学生，奖品就是拉普拉斯的著作；她还准备了一笔资金，其收益用于在每周日提供一顿额外的餐食。起初，这顿餐食就是新鲜的猪排。

1894年，为庆祝该校成立一百周年，举行了盛大的庆典活动，还出版了纪念书籍。

师范学校
该学校由法国大革命时期的议会创建，其1500名外校学生曾在博物馆里聆听最著名教师的授课，这些授课内容被记录下来，至今仍可查阅。这些学生毕业后大多在各省的中央学校任教。1808年，拿破仑对这所学校进行了重组，学生人数大幅减少，学校变成了路易大帝中学的寄宿制学校，学生们可以在法兰西学院、综合理工学院以及博物馆继续上课。1847年，学校迁至乌尔姆街，此时教师的授课几乎不再受外校课程的约束。

在上一场战争中，兰德和西曼斯基两位学生获得了军事勋章，布尔多先生则被授予荣誉军团勋章，而勒莫因则在与敌人的战斗中阵亡。有两块黑色大理石牌，上面刻着勒莫因的名字，以及巴斯德的学生图伊利埃的名字——他为了研究霍乱而前往亚历山大，最终为科学事业献出了生命。

1895年复活节假期结束后，师范学校欢庆了自己的百年华诞。在各方共同努力下，一家名为阿歇特的出版社出版了一本内容丰富、兼具历史性与传记性质的精美画册。我们全家一起筹集资金以支付相关费用，剩余的钱则存入了校友协会的账户中。

军事科学

瓦扬元帅提议在该研究所设立一个军事科学部门。查斯勒斯先生惊呼：“我从未听说过这种事。首先是科学，然后才是其应用。”尽管如此，他仍煽动所有人反对专家们的这一提议。

手推车与公共汽车

手推车的出现让劳动者不必再亲自搬运重物；而公共汽车则被埃德蒙·阿布特视为进步的象征。据说，这两种极为实用的发明都出自伟大的帕斯卡之手。不过这一说法已被质疑（详见1891年5月10日的《研究者与好奇者杂志》）。

良好的政策

在第二帝国时期，担任理科教授的柯西得以免除他在1830年曾拒绝过的宣誓义务。对于身为天文台台长、同时也是一位科学普及者和历史学家的阿拉戈，也给予了同样的豁免待遇。

早熟的天才

当年，年幼的帕斯卡询问什么是几何学时，人们只是简单地告诉他，几何学就是用来绘制精确的图形，并找出这些图形之间的比例关系。仅凭这一说明，而且没有任何书籍的帮助，帕斯卡就掌握了欧几里得理论的前32条命题。

1801年，拉格朗日在谈到柯西时说：“看看这个年轻人吧！只要我们这些几何学家还活着，他就会取代我们所有人。”

在那些早熟的数学家中，还有惠更斯、克莱罗以及J·贝特朗等人。

**阿基米德的坟墓**

我竭尽全力想要找到这座坟墓。锡拉库萨人坚称它并不存在。经过不懈的努力，我终于找到了它——它被荆棘和灌木丛覆盖着。在寻找过程中，我依据的是一些据说刻在墓碑上的文字，那些文字是关于放置在坟墓顶端的球体和圆柱体的。我扫视着阿格里真托城门附近的众多坟墓，发现有一根小柱子耸立在灌木丛之上，上面有球体和圆柱体的图案。我立刻在随行的锡拉库萨贵族们面前大声宣布：这就是我一直在寻找的！于是许多人立刻开始砍除灌木丛，让坟墓显露出来。清理工作完成后，我们走近那根柱子，看到了被时间侵蚀了一半的铭文。如此看来，如果不是阿普里努姆的一个陌生人告诉他们，希腊最伟大、也曾经最博学的城市，竟然会不知道自己最聪明的公民的坟墓所在之处。

——西塞罗

万有引力

这一重要发现要归功于已故的牛顿先生。这位伟大的英国哲学家和数学家有一天躺在花园里的苹果树下，一个苹果掉在了他的头上，这一事件让他产生了许多思考。他意识到，是重力使得苹果在脱离树枝后坠落下来，而树枝上的苹果可能是被风或其他力量弄落的。这个想法看似很自然，也许任何农民都会想到这一点；但这位英国哲学家的思考更为深入。他认为，那棵树一定非常高；于是他开始思考：如果树再高一些，苹果还会不会往下掉呢？他确信树的高度是可以无限增加的。

但如果树高到足以触及月亮，他就不知道苹果是否还会坠落了。如果苹果真的会坠落——这似乎很有可能，因为无法想象在多高的树上苹果才会停止下落——那么苹果仍然会受到重力的作用而向地面坠落。既然月亮也在同一个位置，那么它也应该受到与月球相同的力而向地球坠落。然而，由于月亮并没有掉在他的头上，他意识到可能是“运动”导致了这一现象，就像炸弹可以从我们头顶飞过而不垂直坠落一样。通过将月球的运动与炸弹的运动进行比较，他决定更仔细地研究这个问题。借助最精妙的几何学原理，他发现月球的运动遵循着与炸弹运动相同的规律；也就是说，如果能够以相同的速度将炸弹抛到与月球相同的高度，那么炸弹就会呈现出与月球相同的运动轨迹。他只是注意到，此时炸弹所受的重力会比在地球上时小得多。

欧拉

据记载，牛顿想要计算出月亮每秒向地球坠落的距离，于是他开始了相关的数学运算。

他意识到自己即将得到自己所预感到的东西。他的激动之情如此之强，以至于无法继续进行计算，只好由他的学生来完成这项工作。

一切以十为单位

在建立公制体系时，人们曾考虑将一天划分为20小时，每小时再分为100分钟，以此类推；同时也将圆的周长划分为400度，每度再分为100分。如今，关于时间和圆周长度的十进制化问题又重新被提出来了。

面临威胁的神职人员们

在恐怖统治最严重的时期，尽管拉朗德只是一名普通的教区神父，但他还是把几名面临死亡威胁的神职人员藏在了天文台里。“我会让你们伪装成天文学家，”他对他们说，“我们共同研究天空的奥秘。”

水晶般的天空

天空其实就是围绕着地球和海洋不断旋转的东西，它以两个轴心为支点旋转——这两个轴心位于同一条轴线的两端。因为在这些地方，支配自然的力量创造了这两个轴心作为中心点：一个位于地球和海洋的上方，即天空的顶端、北方星辰的背后；另一个则位于地球的下方，即南方。围绕这两个轴心，就像围绕两个中心点一样，存在着一些类似轮子或转盘的小轴心，天空就是围绕这些轴心不断旋转的。

维特鲁威

从这段文字可以看出，古人相信存在着由水晶构成的固体天空，这些天空围绕两个物质性的轴心旋转。

在雅典，

利西阿斯既通过理论学习算术，也通过游戏来学习它。为了便于孩子们学习，人们会让他们根据人数多少来分配一定数量的苹果或硬币；或者让他们按照特定的组合方式参与练习，让每个人轮流占据同一个位置。阿波罗多罗斯则不希望自己的儿子了解毕达哥拉斯学派所认为的数字的那些所谓特性，也不希望他知道算术如何被用于商业交易中。他认为算术的好处在于它能提升人的思维能力，为学习几何学和天文学打下基础。

利西阿斯掌握了这两门学科的知识。借助第一门学科的知识，他可以更轻松地布置营地、实施围攻、安排军队作战，以及指挥军队快速行进或发动进攻。而第二门学科则能帮助他消除士兵们因日食和其他异常现象而产生的恐惧。

巴泰勒米神父。

寻觅中的肖像

达克斯城是博尔达骑士的故乡，他生于1733年，卒于1799年。这座城市本应为这位杰出的工程师、几何学家和航海家竖立一座雕像。

负责筹集资金的委员会很快便找到了所需的资金，但却面临一个严重的难题，这个难题甚至有可能让他们的爱国初衷付诸东流：当时根本找不到博尔达骑士的任何画像。委员会向所有可能拥有其半身像、肖像画或微型画的人求助，但都无济于事——因为博尔达从未想过要为雕塑家或画家摆姿势。

就在人们面临项目失败的危险时，有人想起在布雷斯特有一艘以博尔达命名的军舰，那艘船上设有海军学校。人们得知，该军舰的船首上装饰着一尊金色半身像，那肯定就是博尔达骑士的半身像。于是他们向海军部门请求获取这幅画像。看来问题即将得到解决。然而错了！这艘名为“博尔达”的军舰在获得这个荣耀的名字之前，原本被称为“瓦尔米号”，而且人们还得知，装饰在船首上的半身像其实是1792年击败普鲁士军队的凯勒曼的半身像。不过经过进一步查找，人们在布雷斯特港的海军博物馆里找到了两尊刻有博尔达名字的半身像，它们与其他许多刻有让-巴尔、沃邦等著名人物名字的半身像放在一起。但新的问题出现了：这两尊半身像长得并不一样——一尊描绘的是一个身材肥胖、面容圆润的人，另一尊则是一个身材瘦削的人。哪一尊才是真正的博尔达半身像呢？如果假设成立的话，那两尊都是正确的：瘦削的那尊应该是博尔达年轻时的模样，而肥胖的那尊则是他成年后的样子，因为那时他应该已经变得有些发胖了。当然，也有可能两者都不是，那就太遗憾了，不过这种可能性较低。

无论如何，海军部门还是满足了达克斯市的愿望，将他们所拥有的这两尊外形不同的半身像的照片寄给了组织委员会。经过挑选后，博尔达的雕像终于在1891年5月24日竖立了起来。

振作起来吧！

一个巨大的错误就是认为热情与数学真理是水火不容的。我坚信，无论是计算问题，还是开普勒、伽利略、牛顿、欧拉所解决的那些方程式问题，其解决过程都需要创造力和灵感，就如同品达最优美的颂诗一样。那些纯粹而永恒的公式，它们在宇宙诞生之前就已存在，在宇宙消亡之后依然存在，它们贯穿于所有的时间和空间之中，可以说，它们本身就是上帝的一部分。这些神圣的公式即便在所有宇宙毁灭之后依然会存在，它们让真正配得上“数学家”这一称号的人能够与神圣的思想相沟通。在这些永恒不变的真理中，数学家可以品味到创造中最纯粹的东西；他用这种语言来祈祷。他就像那位古人一样对世界说：“让我们保持安静，这样我们就能听到众神的低语！”

埃德加·基内

笛卡尔说，有些科学真理其实就像是已经赢得的战斗。向年轻人讲述这些战斗中最重要、最英勇的那些故事吧：这样就能让他们对科学的成果产生兴趣，同时也能通过他们对追求真理的热情来培养他们的科学精神。如果能在阐述这些理论的同时再讲述一些相关的历史，让他们了解毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里得，以及后来的维埃特、帕斯卡、莱布尼茨等人的努力，那么算术和几何将会变得多么有趣啊！那些伟大的理论就不会只是些毫无生气的抽象概念，而是会变成有血有肉、有历史的真实存在，就像米开朗基罗创作的雕像，或者拉斐尔绘制的画作一样。

阿尔弗雷德·富伊耶

先驱者

据格列高利和麦克劳林所说，毕达哥拉斯或许已经猜出了万有引力的精确规律。以下是这位学者所写的有趣论述：

“毕达哥拉斯认为，当某根弦的张力或施加在其上的力是另一根长度为其两倍的弦的四倍时，这两根弦会发出相同的音调；同样地，一颗行星的引力也是另一颗距离它两倍远的行星引力的四倍。一般来说，为了让一根弦与另一根较短的同种弦产生相同的音调，就必须按照其长度平方的增加比例来增加弦的张力；而要让一颗行星的引力与另一颗更靠近太阳的行星的引力相等，就必须按照它到太阳的距离的平方的增加比例来增加其引力。因此，如果我们假设从太阳到每颗行星都有一根弦，那么为了使这些弦产生相同的音调，就必须以与让行星引力相等的比例来增加它们的张力。正是基于这些比例关系，毕达哥拉斯提出了他的‘天体和谐论’。”

**宫廷人物**

有一天，路易十八对一位著名的数学家说：“先生，您或许能帮我解决一个问题？我前往根特时只有大约五十人随行，可如今却有上万人声称也曾与我一同前往，这是为什么呢？”

**决斗**

出生于1811年的天才数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦，在20岁时因决斗而身亡。P.杜普伊在1896年发表了一篇关于伽罗瓦的传记文章。

该内容发表在《高等师范学校年鉴》上，作者以极其细致的态度重现了那段鲜为人知、充满苦难的生活。

历史真相

在《历史研究课程》的第一卷中，多努详细阐述了为何他认为数学方法并不适用于对历史文献中的记载进行评估。

在兹乔克的《克莉奥的指引》一书中，也有关于这个主题的有趣轶事：有位爱好者根据当时的报纸记录，统计了革命及帝国战争中的死亡人数，最终得出的数字是142,214,817人。他准备详细列出这些数字并附上相关证据予以发表，但一位朋友指出了这一结果的荒谬之处——当时欧洲的人口才1.8亿，也就是说，那些记者们声称在20年间欧洲的人口几乎被消灭殆尽了！

传说

我听说，在埃及的瑙克拉提斯附近，存在着最古老的神灵之一，那种被称为朱鹭的鸟正是以他的名字命名的。他的名字叫特乌特，他是第一个发现数字、算术、几何学以及骰子的人。

柏拉图（《菲德罗篇》）

发明者

至少，有必要向人们传授那些杰出人物在不同时期为寻求真理而所运用的方法，以及他们后来为迎合那些胆怯或能力不足的人的观念而不得不付出的艰辛努力，不是吗？

庞斯莱。

文献

在数学研究中，如果抛开过去的一切，脱离所有历史背景来教授数学，那无疑是存在缺陷的。

J.-B. 大仲马。

拿破仑

阿拉戈转述了拿破仑对科学院院士勒梅尔西埃所说的话：

“你认为，如果我没有成为一支伟大民族的领袖，没有成为那个民族的工具，我会去各个办公室和社交场合，以部长或大使的身份依附于别人吗？不，绝对不会！我会投身于精确科学的研究，沿着伽利略和牛顿的道路前进；既然我在各项事业中都能取得成功，那么我肯定也能在科学研究领域取得卓越成就，留下伟大的发现作为遗产。没有任何其他荣誉能够满足我的野心。”

该研究所的档案中保存着拉普拉斯、波拿巴和拉克鲁瓦于1799年10月23日撰写的一份关于比奥所提交论文的报告，该论文的标题为《关于混合微分方程的思考》。

拿破仑能够极其轻松地解决那些极为复杂的几何问题，甚至让蒙日都感到惊叹。

实验科学的发展逐渐使人们倾向于以实验模型来理解所有科学。过去的科学确定性体现为几何证明，而如今则表现为实验验证。当然，在我们看来，数学并未失去其严谨性；而且，通过将事物转化为数学公式来实现精确测量，也越来越成为一种科学理论成熟的标志。不过，我们不再那么倾向于从纯几何的角度去思考问题。

奥莱-拉普吕纳：尤其是超越数学，如果没有实验作为支撑，就无法得出任何确切的结论。这是一种广义的形而上学，其中物体被剥夺了其个体特性；还有许多工作有待完成，比如可以称之为《实验在几何学中的应用》或《测量误差论》的著作。

狄德罗：从人类思维或观察中提炼出一些公理，仅通过推理的方式，几何学便从古希腊时代开始构建这座令人惊叹的大厦，它至今依然存在，并且永远不会发生本质上的变化。逻辑在这里发挥着主导作用，但那是在……的世界里。

抽象概念。数学推论仅在其自身体系内才是确定的；在逻辑之外，它们并不存在任何实际意义。若将它们应用于现实世界，虽然它们能成为强大的工具，但本质上仍不过是如此；它们的结论必须符合一个共同原则，即前提必须来自观察，而结论则必须通过同样的观察来验证。

贝尔特洛。

所有关于物质的科学，无一例外地都属于精神科学范畴，数学也属于其中……没有这些抽象公式的帮助，就不可能有任何应用，也没有丝毫进展可言。

沙罗。

在数学中，人们主要采用演绎法。

只有当像在数学中那样，所有的部分真理都能通过一些通用公理得到证明时，一门科学才能被视为达到了完美境界。

将科学分为归纳科学与演绎科学，只是基于它们发展的顺序而言。科学越完善，演绎法在其中的作用就越大。

布加耶夫。

大胆精神

从欧几里得时代到本世纪初，平行线理论始终没有取得任何进展。所有试图证明该理论的尝试都……

欧几里得的公设或与之等价的命题始终未能带来成果。直到1829年洛巴切夫斯基与1832年波利亚伊彻底改变研究思路，他们分别提出了一个大胆的设想：假设该命题并不成立，并试图构建一种没有矛盾的新几何体系，将这一假设推导到极致。高斯早在1792年通过自己的思考就得到了相同的结果，但他并未发表任何相关论文；他通过自己的支持确保了洛巴切夫斯基工作的成功，他在给舒马赫的信中写道：“洛巴切夫斯基以大师级的水平处理了这个问题。”此后，包括黎曼和贝尔特拉米在内的众多几何学家大大拓展了这些研究的范畴。

鲁谢。

第一性科学

数学是一门基于推理的科学，其中观察几乎不起作用，经验则完全无关紧要，因此它必然比其他科学更早形成。显然，为了对各种量进行计算或比较，人类并不需要了解自然界的状况。因此，算术与几何是在完全独立于其他知识类别的情况下发展起来的。但正因如此，几个世纪以来，算术与几何的发展速度远远超过了社会生活所需的速度。在古代，只有受过教育的人才能领会毕达哥拉斯、阿基米德和欧几里得所提出的抽象真理。而这些对于建立天文学这样的观测科学以及物理学这样的实验科学而言至关重要的真理，只能等待集体生活发展到适当阶段之后才能被应用。

被封为圣徒的人士

圣阿纳托利乌斯是《算术原理》一书的作者。

后来成为教皇的格贝尔特，其圣名为圣西尔维斯特二世，他是一位杰出的数学家。

圣吉勒姆·德·赫尔绍撰写了关于教会历法计算的著作，并发明了多种天文仪器。

据数学史学家康托尔所说，波埃修斯和西马库斯也可能被封为圣徒。

以下是阿尔诺所著的《改革几何学》一书中詹森主义风格的序言摘录：

“在那些最能帮助人们以更少抵触与厌恶的态度接受基督教真理的人类活动之中，似乎没有比几何学更合适的了。因为没有什么比将心灵从对感官事物的关注中转移开来，转向那些在感官上毫无吸引力的对象更有效的了；而几何学正是如此。它没有任何可能助长心灵向感官倾斜的因素；它的研究对象与欲望毫无关联；它无法带来语言上的优美或吸引力；没有任何东西能激发人的情感；它唯一可取之处就是真理，而且它将真理以纯粹的形式呈现给心灵，使其脱离其他事物中一切令人喜爱的事物。”

而《论科学的虚妄》一书的作者阿格里帕则持不同观点：

“尽管这些学科（数学）在上帝的教会中几乎没有引发过异端，或者根本就没有引发过异端，但正如圣奥古斯丁所说，它们对我们的救赎毫无用处，反而会让我们偏离正道。”

上帝，还会诱使人犯罪；只有敬畏上帝的人才能避免这种状况。圣杰罗姆也这样说过。

米什莱在她的日记中作出了这番出人意料的说法：“我挺喜欢这种生活方式：数学与《福音书》——这两者足以滋养灵魂。”

语言与文学

词源学

“计算”一词源自拉丁语，意为“小石子”，因为过去人们是用小石子来计数的，阿基米德的一本著作就名为《算术之书》。12世纪时，印度学者婆什迦罗写了一本关于用种子进行计算的书籍，名为《比贾加尼塔姆》。

16世纪时，人们使用算子来进行计算：“教授算术和计算的方法，无论是用算子还是用笔。”在莫里哀的喜剧开头，那个臆想中的病人就是用算子来计算药商的账单的。塞维涅夫人则在她给女儿的信中写道，她是用“库朗日神父的算子”来计算自己的财产状况的，因为那些算子非常精确且可靠。

当“计算”用来指膀胱中形成的小结石时，它仍然保留着其词源意义。（即肾结石疾病。）

“计算”、“算术”和“几何”的词源都很清楚，而“代数”则可能源自阿拉伯语“Al-jèbr”，意思是“连接各部分，根据各部分重新构建整体”。在西班牙语中，“代数学家”指的是外科医生。

戏剧三角学

请阅读儒勒·凡尔纳所著的小说《三个俄罗斯人和四个英国人的故事》。书中讲述了与第八个三角形的底边相邻的角、沃拉斯顿对数表中的第103个对数、一台被鳄鱼威胁的计算器、两本被猴子偷走的账本等等。这些勇敢的运算员们的座右铭就是：“要么进行三角计算，要么死去。”

德朗布尔与梅尚，以及比奥与阿拉戈的真实冒险经历则更加令人动容。（可参阅W.德丰维耶所著的《米的测量》一书。）

**良好的文笔**

在1830年，工程师出身的J.刘维尔将一篇研究论文发表在《数学年刊》上，随后编辑热尔贡写道：

“我觉得有必要向读者道歉，因为我交给他们的这篇论文写得如此糟糕，甚至可以说毫无逻辑可言……

我并不想质疑刘维尔的数学能力，但如果没有组织文字、让他人能够理解并欣赏文章的技巧，那这种能力又有什么用呢？不幸的是，如今有太多才华横溢的年轻人，他们把我视为至关重要的品质，而我却认为那只是次要的，没有它的话，其他一切都毫无意义。”

众所周知，刘维尔创立了著名的《数学杂志》，该杂志至今仍以他的名字命名。

**科学戏剧**

在这篇文章中，德·米尔瓦尔试图将那些与科学家们相关的故事情节戏剧化处理，比如开普勒所遭受的迫害。蓬萨尔也曾创作过一部五幕结构的关于伽利略的戏剧。而著名的科学普及作家路易·菲吉埃也出版过一些以科学为题材的有趣作品，即两卷本的《戏剧中的科学》。

**一出滑稽剧**

当微积分被发明出来后，人们据此创作了一出滑稽剧以及一首名为《无穷小》的歌曲，在其中人们取笑奥皮塔尔侯爵虚弱的身体状况以及他妻子的任性行为。

1691年，奥皮塔尔夫人曾在《学者杂志》上反驳了某个名叫拉蒙特的人的几何学理论。

**数学家们**

这是荷兰人朗根迪克在1715年所写的一部喜剧的标题。剧中讲述的是一位家庭教师再次遭到自己学生的欺负，而此时他正与一位老朋友一起探讨科学问题。

**三十多岁的人**

在中世纪，有非常严格的法规来惩罚那些在制造过程中使用了劣质原材料的工人，同时也会惩罚那些无法让产品达到规定形状和尺寸的人。对于织布工来说，这些法规甚至规定了织物经线应有的数量。

在亚历克西斯·蒙泰伊所著的《法国工业史》中，可以找到关于这一主题的有趣细节。织布的各个环节——串线、纺纱、制绒、硫化、整经——都有详细规定，甚至连布料的长度和宽度也有明确要求；在某些情况下，违规者甚至可能被判处砍掉一只手，“这其实很合理，因为诚实的织工们希望保留自己的双手”。

根据布料的质量不同，纬线数量应为1400根或1800根。而用于制作奢侈服饰的精细布料，其纬线数量则为3000根；因此这种布料被称为“trentain”。

能够穿着trentain布料的人，自然都是那些不吝于在服饰上投入金钱的富人。

“Trentain”这一专业术语，在那些不了解其由来的人口中很容易被误称为“trente-et-un”；由于人们习惯称其为“trente et un”，所以这个词便一直被用来指代精美的服饰。

参考文献

请不要将帕斯卡所著的《旋转曲线论》误认为是关于同名游戏的著作：实际上它描述的是一种被称为摆线的曲线。

同样，也不要将牛顿或麦克劳林所著的《微分学论》，或是关于焦散线的研究，误认为是医学书籍。

现存最古老的法文算法与几何学手稿保存在圣热纳维耶夫图书馆中，它们可追溯至1275年，由查尔斯·亨利先生发表。

1478年在特雷维索有一本算术著作出版，而在1482年和1483年则有两本在班贝格出版。德国人拉特多尔特在1505年去世前，曾在一本数学著作中首次印刷出了相关图形。

目录

根据即将出版的《数学科学文献目录》，各类著作是按照其研究主题来分类的，与所使用的方法无关；这些类别用大写字母表示；这些类别又可进一步细分为子类别，子类别则用该类别对应的大写字母加上指数来表示；类别和子类别还进一步划分为不同的部分，这些部分用阿拉伯数字表示；部分再细分为小节，小节用拉丁小写字母表示；而小节则进一步细分为子小节，子小节用希腊小写字母表示。关于某篇数学著作的标识信息会标注在矩形框内。例如：

L14bx

就是指一篇探讨圆锥曲线所围成的直角几何图形性质的论文的标识。

其中，L表示圆锥曲线及二次曲线；L1表示圆锥曲线；L14表示圆锥曲线的切线；L14b则表示成一定角度的圆锥曲线的切线；而子小节α则涉及角度为直角的情况。

希望那些撰写原创数学著作的作者或出版商能在著作标题旁注明相应的符号标识，以便明确其在目录中的分类位置。

该目录的常设委员会秘书为Laisant先生，地址为巴黎维克多·雨果大道162号。

该目录由Gauthier-Villars出版社出版，每套包含100张32开本卡片，每套价格为2法郎。目前前5套已经上市销售。

图表

数学与文学之间的联系是不可否认的。无论是神圣的还是世俗的修辞艺术，都从数学中汲取了最精美的表达方式。《新约》中充满了各种寓言；古今作家们也成功地运用了椭圆和圆形等几何图形；有的演说家则使用夸张的手法来增强表达效果；还有些人则借助棱镜般的色彩来使自己的论点更加生动有力。难道没有哪位伟大的将军能够巧妙地将金字塔的几何美与其古老的传说相结合吗？

引力

在这些巨大的天体中心，它们无法隐藏自己的运动轨迹与距离，那里有一颗由上帝亲自点燃的恒星，它围绕着自己的轴线旋转着；从这颗恒星出发，有无尽的光芒辐射出去；它通过自身的光芒为物质赋予生命，为周围的各种世界带来昼夜、季节与岁月……
……
在所有这些天空之上，居住着天上的上帝。

伏尔泰

为什么会有这些不同的运动与轨道呢？为什么会有六个行星在宇宙中运行呢？是什么力量让它们的卫星保持稳定呢？那颗炽热的彗星又有什么界限呢？为什么那颗恒星会在其旋转的轴线上似乎朝着某个中心点移动呢？一切都是出自至高无上的创造者之手。万物都遵循着相同的规律：相互吸引、相互排斥；哪怕是最微小的沙粒也能吸引太阳。

它们受同样的法则支配，拥有随质量增大而增强、随距离增加而减弱的力。这些在天空之中运行的天体，彼此之间存在着相互的作用力。

达鲁。

消失

“你说什么？怎么？我没听清：您愿意再讲一遍吗？阿西斯，您是想告诉我天气很冷吧？那为什么不直接说‘天气很冷’呢？”

读到拉布吕耶尔的这段话时，我想起了另一种现已十分流行的表达方式——将那种会退化为一个点或两条直线的圆锥曲线称为“消失的曲线”。老实说，我一开始并不明白这个说法的含义。用标准的法语来说，“消失的曲线”应该指的是那种会消失、不再存在的曲线，这样一来，椭圆作为一种曲线类型，一旦退化为一个点，就不再属于曲线范畴了。真是荒谬至极！还是回到拉布吕耶尔的文字上来吧。“阿西斯，您的意思是说您的曲线会退化为一个点或两条直线，对吧？那就直接这么说吧。但是，您可能会回答说，这太简单明了了，而且谁不能这么说呢？不过，阿西斯，这有什么关系呢？说话时能被别人听懂，能像其他人一样说话，这有那么糟糕吗？”

普罗埃特。

东方寓言
献给体育训练委员会

一位学者乘着小船试图渡过一条宽阔的河流。他对船夫说：

“你知道那个故事吗？”

“不知道。”

“那你就已经浪费了一半的人生。那你懂数学吗？”

“不懂。”

“那么你简直浪费了人生的四分之三！”

学者话音刚落，一阵风便吹翻了小船。

船夫转向正在水中挣扎的学者问道：“你会游泳吗？”

“唉，不会。”

“那你就彻底失去了一切。”

**神圣的比例**

“中间值与极值之比”这一概念的由来是：如果考虑最小部分、最大部分以及整个直线，可以发现，按此顺序，极值与中间值的比值是相等的。无论如何，卢卡斯·德·布尔戈用了66页的篇幅来阐述他称之为“神圣比例”的这一比例的优越性。

现代人德·博纳尔德在他的《原始立法》一书中提出了另一种比例关系，虽然它较为复杂，但却同样奇妙，据说能够支配一切。“因此，我们应该确立这样一种普遍的比例关系：原因与中间值之间的关系，就如同……”

这种“平均值”其实只是一种表达方式；可以将其视为一种代数表达式A : B :: B : C，然后可以将该表达式应用于各种数值上。

让-雅克·卢梭曾经说过，君主、统治者与人民之间存在着“连续的比例关系”。但他也指出，不应认为存在可以通过平方根来计算的固定比例。 “借用一下几何学中的术语来说，我知道几何学的精确性并不适用于道德领域的量。”

火卫一与火卫二

这两颗最近被发现的火星卫星，其实是伏尔泰在《米克罗梅加斯》这部小说中偶然猜想出来的，而斯威夫特则认为这些卫星是由拉普塔的天文学家们观测到的。

在《米克罗梅加斯》中写道：“在靠近火星时……我们的两位旅行者看到了两颗作为火星卫星的月亮，而这些月亮却逃过了我们天文学家的视线。”实际上，直到1877年，霍尔才真正发现了火星的这两颗卫星。

狂热的数学家

他完全沉浸在自己的代数研究之中。他在计算时使用的并非那些普通的数字，而是那些奇特而巨大的数字，它们都是以一种狂热的方式绘制的。他的2和3看起来就像纸做的壶状；他的7则像绞刑架，只差一个被绞死的人而已；他的8则像宽大的眼镜框；而他的6和9则带有长长的尾巴。

至于他用来构建公式的字母，也就是字母表中的a、b、c，他则用它们来表示已知的数值或……

那些数据，以及最后的x、y、z，他用来表示那些未知或需要确定的数值。这些符号都是实线构成的，没有虚线，尤其是他的z符号，它们呈现出令人惊叹的之字形！至于他的希腊字母，如π、λ、ω等等，就连阿基米德或欧几里得都会为之自豪！

至于那些用纯净无瑕的粉笔绘制的符号，简直美妙绝伦。他的“+”号清楚地表明了两个数值相加的意思；而“-”号虽然较为简单，但依然很美观。他的“X”号则像圣安德鲁十字架一样竖立着。至于“=”号，其两条完全相等的线段确实表明J.-T.马斯顿来自一个将平等视为真实概念的国家，至少在白人之间是这样。他的“<”号和“>”号也设计得极为精美，比例恰到好处。至于表示数字或数值平方根的“V”号，那可真是他的杰作；当他给这个符号加上横线时：

V

那根指向黑板边缘的线条仿佛要威胁整个世界，让全世界都屈服于他的复杂方程式中！

别以为J.-T.马斯顿的数学能力仅限于初等代数而已！不！微分、积分以及变分法对他来说也都并非陌生之物。他能够熟练地绘制出那个著名的积分符号——那个看似简单却令人畏惧的符号：

∫

它代表着无数无穷小元素的总和！

Σ这个符号也是如此，它表示有限个有限元素的和；∞则是由数学家们用来表示无穷大的符号；还有那些在这门普通人无法理解的“语言”中被使用的各种神秘符号。

——儒勒·凡尔纳

J.-T.马斯顿是小说《天翻地覆》（1889年）中的主人公：一些美国人买下了极地地区，他们打算通过一次巨大的冲击来改变地球轴心的方向，从而控制那个地方。不幸的是，计算员误将地球周长算成了40,000米，而非40,000公里。

战争的胜负关键

我首先要赞扬勇敢的泰科-布拉赫船长的勤奋与奉献精神。在丹麦国王弗雷德里克和克里斯蒂安的支持下，他连续二十年每晚都不懈地观察敌人的种种行为，揭露他们的作战计划，破解他们行动的秘密。他留给我的观测记录帮助我消除了人们对未知敌人的那种模糊而不确定的恐惧……

最终，敌人选择了和平。他们通过“自然”这个中介向我表达了投降的意愿，承诺成为俘虏。算术与几何则毫无阻碍地护送他们进入我们的阵营。从那以后，他们证明了自己的言辞是可信的。他们对自己的命运感到满意，只向陛下请求一件事：他们的整个家族都在天上——木星是他们的父亲，土星是祖父，水星是兄弟，而金星则是他们的朋友兼姐妹。由于习惯了与这些神灵为伴，他们渴望再次与他们相聚，希望像现在一样享受陛下的款待。为此，我们必须利用目前的胜利，继续全力作战。既然火星已落入我方手中，战争也就不再有危险了。但我恳请陛下记住，金钱……

那是战争的关键，您应当命令您的财务官向您的将军提供所需资金，以便招募新兵。

开普勒。

巴雷姆就够了。

阿尔西普斯，你认为我被邪灵控制了；你抱怨我那奇怪的癖好——在我这个如同牢笼般的家中，我总是用各种符号来填满纸张。你说，让我放下代数和那些公式吧，放下圆规与各种计算工具吧；整天不停地进行积分运算、不断计算，实在是一种悲哀的消磨时光的方式…………但是，那些命运眷顾的凡人，真的需要通过积分运算来获取财富吗？看看那个老金融家吧，他一直待在账桌前，不停地计算着自己的债务与资产。他可没有疯狂到去研究欧几里得的理论；他只是进行加法、减法、除法、乘法运算，只听从巴雷姆的教导，让笛卡尔和牛顿安息吧。

柯西。

据说，几年前去世的福里先生曾创作过一首关于克里米亚战争的史诗。

长方形空间

根据贝卡里亚神父的测量，我的房间位于北纬48度线之下；房间的走向是从东到西。它呈长方形，周长为36步，紧贴着墙壁而建。不过，在我的旅程中，我会多次穿越这个空间——或纵向、横向，或对角线方向，而不遵循任何规则或方法。如果有必要的话，我甚至会走之字形路线，遍历几何学中所有可能的路径。

X. 德·麦斯特尔

聪慧之人

几何思维能带来冷静、节制、专注与谨慎。

……那些被赋予“聪慧之人”称号的人所具备的那些优秀品质——比如丰富性、多样性、自由度、敏捷性以及机敏性——其实都与几何运算完全相反。几何运算则是简单、缓慢、枯燥、刻板且必然的。

D. 于埃特

我知道会有人说数学能让人更加专注，但实际上，数学并不能培养人们去整合、评估、集中注意力的能力；它要求的注意力几乎是直线式的。

斯塔埃尔夫人

格言

法国的两位国王，查理六世和路易十五，都被错误地冠以“深受宠爱者”的称号。
巴黎人为后者写了这样的墓志铭：
“此处安息着路易十五，
他是第二个被称为‘深受宠爱者’的人；
愿上帝保佑我们免受第三个人的伤害！”

意象

柏拉图认为，直线是“其中间点能够覆盖两端的线”。他还说，“平面是一种其中间部分能够覆盖两端的表面”。这些充满形象性的定义极具美感与诗意。

象征意义

几何学由一位中年女性来象征，她身披白色透明的面纱。她的脚下放着一个地球仪，她正用圆规在纸上画圆，而纸上已经有一些其他图形。

三六比例

这一简短的表述指的是某种酒精的浓度——当三份这种酒精与三份水混合时，就能得到六份普通酒精。

语法

法语的语法结构十分严谨。正因如此，法语才具有如此出色的清晰性，而这正是我们语言的永恒基础……仿佛法语就是从最基础的几何概念——简单的直线——中发展而来的。

——里瓦罗尔

科学还是文学？

你们的共和国对人类进行衡量与约束；而我的共和国则让人类在自由的天空下翱翔。这就好比定理与雄鹰之间的区别。

——“你迷失在云雾之中。”
——“而你则迷失在计算之中。”
——“和谐之中也有梦想。”
——“代数之中也有梦想。”

我希望看到由欧几里得所创造的人。

——高文说：“而我，则更希望看到由荷马所创造的人。”

……
……
……共和国，就是二加二等于四。当我把属于每个人的东西都给予他们之后……

维克多·雨果

钦佩之情

这门科学的奇妙之处令我惊叹不已；在我的人生中，没有任何东西能让我为它做好准备。一切都是如此新奇、出乎意料，仿佛我正身处宇宙边缘的某个遥远星球上。但我并非缺乏想象力的人，因此能够享受那些永恒不变的真理——它们无处不在，也是迄今为止唯一能给我带来确定感的东西。在我眼中，它们就像一排排翡翠般的柱子，稳固而不可动摇，突然出现在我那混乱的思维之中。我可以安心地依靠着这些柱子；世界在我眼中变得愈发清晰，我也敢于进一步探索。

我像毕达哥拉斯学派的人一样，喜爱几何学那种纯粹且不可玷污的特性。克莱尔先生对我们绘制的图形有着严格的要求，他将这种纯粹性视为一项必须遵守的准则。代数的语言既神秘又富有启发性，让我着迷不已。我最欣赏的是，这种语言只愿意表达那些普遍的、永恒的真理，而摒弃一切特殊的真理。我认为它拥有人类语言所没有的傲气；从这个角度看，代数似乎就是智慧之神的语言。

我也能很好地理解代数特有的表达方式。我惊叹于数学家们如何巧妙地剔除一切不必要的元素，从而用最少的术语来表达最本质的内容，同时在这些术语的排列上保持一种秩序、平行与对称，这仿佛就是永恒理念所展现出的优雅与美妙。

…………

如果说代数已经让我印象深刻，那么将代数应用于几何学则让我彻底折服……用代数来表达一条直线或一条曲线的可能性……

那些代数术语、那些方程式，在我看来简直如同《伊利亚特》一般美妙。当我看到这些方程式在我手中自行运作、自行得到解答，进而衍生出无数同样无可置疑、同样永恒、同样灿烂的真理时，我仿佛拥有了能打开所有奥秘之门的护身符。

埃德加·基内。

埃德加·基内与维克多·雨果以及苏利-普吕多姆一样，曾在综合理工学院接受过教育。

在道德方面：

数学能让人的思维在数学领域变得公正，而文学则能让人的思维在道德领域变得公正。

J. 朱贝尔。

帕斯卡：

有这样一个人：12岁时，他便用线条和圆圈创造了数学；16岁时，他写出了自古以来最精深的圆锥曲线论著；19岁时，他将原本仅存在于理智之中的科学转化为可操作的体系；23岁时，他阐明了空气重力的现象，从而纠正了古代物理学中的重大错误。在其他人还刚刚开始成长的年纪，他已经走完了人类知识的全部范畴，意识到这些知识的虚无性，于是将全部心思转向了宗教。

夏多布里昂。

或许，这种奇特的现象——即帕斯卡作为作家的卓越才能——在某种程度上可以归因于他早年所从事的抽象研究所带来的影响。在那个时代，那些尚未达到完善程度、方法也尚不成熟的先进知识，要求人们不断进行创造性思考。在那些不完整但仍在不断发展中的研究中，一切都是独创的。科学的每一次尝试都伴随着一种热情与高尚的想象力。对真理的热爱是帕斯卡汲取力量的源泉，也正是它赋予了他雄辩的口才。良好的审美趣味、对虚假装饰以及空洞修辞的蔑视，都源于他所研究的那些伟大主题。从几何学中获得的独创性也延续到了文学领域；他像在几何学中找到方法一样创造了属于自己的语言，并从自己最钟爱的学科中汲取了那种强大的推理能力与无可辩驳的论证技巧，这些便成了他表达思想的武器。

维勒曼。

多幸福啊！

……
……

哦！能够创造出如此无可争议的美丽——比如那些以巧妙而简洁的方式被证明的定理，简而言之，就是那种优雅至极、且其意义如此深远以至于能够用来预测天体运动的定理！你们这些艺术家，尤其是诗人，有资格体验到创造如此杰出作品的那种平静的荣耀吗？

苏利-普吕多姆。

科学的美丽

从菲涅尔、安培、柯西、沙勒斯、贝尔纳、巴斯德、贝特洛等人的著作中，我们可以看到那些足以为我们国家和时代带来永恒荣耀的伟大成就。面对如此卓越的成就，我们怎能不赞叹其美妙之处呢？阅读高斯的著作时，我们会发现其中既有东方艺术家们用无尽想象力创造出的精美图案，整体结构则宛如伯里克利时代的建筑师们为希腊神灵建造的宏伟庙宇。

——夏尔·梅雷

成果
有趣的数字

1889年，矿业工程师巴杜罗在其著作《实验科学》中给出了以下数据：苍蝇的翅膀每秒可振动230次；火车的速度有时可达每秒30米，这一速度接近燕子的最高飞行速度；绝对零度为-273℃，目前还无法将任何物体冷却到这一温度；人类每年消耗的煤炭量高达4亿吨；液态水中相邻分子之间的距离为百万分之一微米；只有那些振动周期在1/394到1/758万亿分之一秒之间的以太振动才能产生光；我们能够看到距离我们100千万亿米远的物体；在地球表面，一立方米煤炭中所含的分子数量有26到27位数字。

耐心

有个美国人花了三年时间，每天八小时来统计《圣经》中的经文、单词和字母数量。他最终统计出有31,175段经文、773,692个单词、3,556,480个字母，还有6,855次出现“耶和华”这个名字，以及46,227次出现连词等等。

而穆斯林则对《古兰经》怀有极高的敬意，他们甚至知道其中包含的单词和字母的具体数量：77,639个单词，323,015个字母。

计数者

如果有人打算用一生时间来列举或书写连续的数字，那他也只能数到10亿左右——因为他没有足够的时间继续下去。

我们的公共债务意味着，每年需要支付1,292,319,475法郎，而总预算则为30亿1,190万7,648千8百28法郎。

金字塔

那个巨大的方形金字塔有一些特点，似乎暗示着当时人们拥有先进的科学知识……

它的每个三角形面，其面积都等于金字塔高度的平方。

其纵截面面积与底面面积之比为1比π。

而它的重量与地球的重量之比为1比10^15。

它的方向完全沿着经线与30度纬线确定。
它还包含了地球到太阳的距离等数据。

**等角航线**
水手们并不选择球面上的最短路径——即两点之间的大圆弧——而是选择一种称为等角航线的路径。这种航线与所有经线的夹角都相同，在海图上表现为直线，从而便于操控船只。
不过，对于蒸汽船来说，选择大圆弧航行可以节省煤炭。因此，商业上的考虑往往比理论上的合理性更为重要。

**日历**
莫里哀笔下的贵族绅士请求他的哲学老师教他如何使用日历。其实这并没有想象中那么简单，可以参考阿拉戈的相关科学论述。
1582年，教皇格里高利十三世进行了著名的历法改革，新教徒起初予以抵制，据说他们宁愿与太阳保持不一致，也不愿服从教皇的命令。
1816年，人们试图用平均时间来替代真实时间作为钟表的时间标准，担心会引发民众的反对，但这次改革并未引起什么反响。

不要将手表的指针对准日晷来调整时间。日晷是随太阳转动而显示真实时间的，而我们的手表则显示的是平均时间——两者之间的差异可能达到20分钟。

45度方程式

与维埃特的科学生涯相关的一个故事，可以体现亨利四世对他这位杰出顾问的敬重之情。有一次，在枫丹白露，国王向一位荷兰大使展示宫殿里那些精美且价值连城的珍宝，同时还谈到了自己王国中的一些杰出人物。这位大使对国王所提到的那些人提出了质疑：“陛下，不过这里并没有数学家啊。有一位名叫阿德里安·罗马努斯的佛兰德几何学家，他刚刚出版了一本书，书中他向全欧的学者们发起挑战，要求他们解决他所提出的一个问题。而在他书中列出的所有数学家中，我没有发现一个法国人。”国王立刻回答道：“没错，我们确实有位非常出色的数学家，快去把维埃特先生叫来吧！”于是，那位跟随宫廷来到枫丹白露的学者便收到了罗马努斯提出的那个问题。对于其他任何人来说，这个难题都会令人束手无策。实际上，这个问题就是求解一个45度的方程式，该方程式包含24个项，其中一个项是任意设定的，其余各项则乘以一些数字，而这些数字大多为九位数，也就是说，其数值相当于数亿单位。

维埃特在仔细研究了这个方程式之后，很高兴地发现它其实是一个早已熟悉的类型——那就是将圆弧等分后所产生的方程式之一。他立刻找到了解决问题的方法，而这正是阿德里安·罗马努斯所要求的解……

不过最有趣的是，维埃特还指出，这个问题其实还有22种解法，而罗马努斯却没有考虑到这些解法。

快板。

死亡统计

在地球上，每秒钟就有一人去世，如此算来，每天有86,400人死亡，每年约3,100万人，而一个世纪则超过30亿人。

时间统一

已有一项由所有部长联名签署的法案提交给众议院，该法案旨在将巴黎的本地时间作为法国和阿尔及利亚的法定时间。用通俗的话来说，这就是政府提议在法国全境、科西嘉岛以及阿尔及利亚实现时间统一。

法案的说明中指出，过去由于地方生活占主导地位，对外交流也没有如今这么高的要求，而且当时也缺乏能够迅速获取首都时间的实际手段，因此存在不同的时间标准。但随着商业和工业的发展，以及电报线和铁路的建立，采用统一的时间已变得不可避免。如今，几乎所有的商务活动，也就是几乎所有的社会活动，都需要使用巴黎时间。邮政和电报机构会按照巴黎的本地时间来调整其所有设施的时钟。每天开始工作时，这一时间会被传送到各电报局和混合办公机构；同时，火车站的时钟所显示的时间也会被送至那些没有电报设施的邮局。这样一来，大多数城市都能轻松获得准确的时间，无需借助日晷或进行计算。

此外，许多城市早已采用了统一时间制，学术界也强烈呼吁推行这一改革，各类科学协会及经度测量机构也都提出了相关建议。说明中指出，这一改动在大部分地区几乎不会产生明显影响，其带来的暂时性不便会被诸多积极好处所抵消。此外，针对主要反对意见，还有如下精辟的回应：

至于有人认为改革后法定正午将不再与太阳到达子午线的时刻一致，其实这种新的“正午”并不比与太阳最高点不一致的情况更糟糕。在巴黎，这种现象一年仅出现四次，且发生在时间方程式为零的时刻；即便没有仪器，也无法通过此时太阳的高度差来判断当地时间的变化。只有当统一时间制会打破农业生产的规律性时，才算得上真正的反对理由——因为通常情况下，农民的工作都是以太阳为基准的。但实际上，以太阳来安排一天的作息并非绝对必要；农民只需精确到半小时即可，夏天他们甚至会在太阳升起之前就起床，因此他们的作息习惯所受到的影响其实微乎其微。

以下是1891年3月14日颁布的法律条文：

“法国和阿尔及利亚的法定时间为巴黎的平均时间。”

祖先

那些不够深思的人是否意识到，比如在我们这第20代人当中，没有一个人没有1,048,576位祖先？这一在血缘关系理论中广为人知的简单计算，确实证明了这一点。

惊人的结果。任何人都可以通过一个几何级数来验证这一点——该级数的首项为2，且数值会以2的倍数不断增长，因为每个人都有两位祖先，即父亲和母亲，而他们同样也有各自的父母。因此，这个级数就是2、4、8、16、32、64、128、256……等等。按照这个规律计算，可知在第二十代或第二十个亲缘关系层级上，每个人会有148万5616位祖先。米拉波在《Lett. de cachet》一书的第281页中确认了这个数字的准确性。

丝绸线

有位好奇的人做了如下计算，不过这个计算可能很难得到验证。

里昂市每年消耗100万公斤经过各种处理方式的丝绸。生产1克丝绸需要4个蚕茧；因此里昂市仅这一项的消耗量就达到了42亿公斤。一个蚕茧所产出的丝绸线长度平均为500米。那么，里昂市每年用于工业生产的42亿公斤丝绸线加起来，总长度可达21000亿米，也就是21亿公里。

这一长度相当于地球到太阳距离的14倍，也是月球到地球距离的5494倍。它还可以让丝绸线绕地球赤道一周52505次，或者绕月球一周20万次。

死亡人数

有个懒人计算过，自世界诞生以来，已有26千万亿628万亿843十亿285百万75千840个人类死亡。我们在下面重新写下这个庞大的数字：

26 628 843 285 075 840。

军事定理

当两支军队的机械系数、勇气值以及军队人数的平方之积相等时，这两支军队就具有相同的战斗力。

斯特凡诺斯

勇气是一种可以测量的量吗？

幻想

学者

您应该……为了做好事，把那台用来吓唬人的长望远镜从阁楼上拿走，还有那些看起来令人厌烦的种种装置。不要去追求那些虚无缥缈的东西，而是多关注一下现实中的事物吧——在那里，一切都是井然有序的。

莫里哀

她只需一句话，再加上她的妆容，就能解决那些让拉格朗日都束手无策的难题。在她的服饰上，可以看到欧拉、帕斯卡等人的形象，他们都被植物红色染料弄得脏兮兮的。她在牛顿身上发现了某种可爱的特质，而代数则对她有着难以言喻的吸引力。傍晚时分，她站在城堡里，用好奇的目光透过望远镜仰望天空。

他那敏锐的双眼持续追踪着那颗彗星；
而拉朗德则每年都会“夺走”它的一颗行星。

科尔内。

遗忘

驻扎在我们城市的炮兵部队前往参加大规模演习时，忘了带上那些计算弹道轨迹的表格。
（摘自突尼斯战争期间图卢兹的报纸。）

据J.雅南所述：阿拉戈先生通过望远镜观察到，行星同时沿着其椭圆轨道的两条轴线运动。

复仇

大家都听说过沃康松制造的自动装置——会吹笛子、打鼓或下棋的机器，还有会游泳、吞食谷物并消化它们的鸭子等等。这位机械工程师还为里昂的丝绸生产发明了各种机器，但工人们却联合起来反对他。于是他便制造了一头能织出带花图案的布料的驴子作为回应。

海王星

人们有时会引用那位已被遗忘的诗人勒米埃尔的诗句。

海神的三叉戟，便是世界的权杖。

这句诗曾被用来形容第二帝国时期位极人臣的天文学家勒维耶。他是一位杰出的学者，也是拉普拉斯的继承者；人们在巴黎天文台的院子里为他立了雕像。

代数歌谣

毫无疑问，您会因为出色的代数计算而闻名，
您的智慧全投入其中；
我也不敢不尝试自己去做；
可是，唉！A + C – B并不等于“我爱您”。

伏尔泰

极有可能的事

有个男人梦见自己能在彩票中中奖，于是他向朋友请教该选哪个号码。朋友认为，只有疯子才能给出好建议。他们便去了小赌场。那里的赌徒认真地听了他们的请求，然后在一张纸上写下一个数字……然后把纸吞了下去。“明天再来吧，”他说，“我保证那个号码一定会出现。”

古老的童谣

你还记得泰勒定理吗？
我们俩看到的，只有火焰而已。

有人告诉我，斯图尔姆和善良的杰罗诺有时会怀着狂热的幻想，去在旧桶里寻找某个定理。

**外交与政治**
那位外交官微笑着说：还有人认为，最短的路径就是直线。但请不要相信这种说法，我的年轻朋友。

**温和派**
一个人断言“二加二等于四”；另一个人则坚决地认为“二加二只等于三”；而持中立态度的人则认为“二加二等于三点五”。

**聋子说话**
康达明如今已被列入不朽的名人之列；他确实是个聋子——这对他来说反而是好事！但他并非哑巴——这对她来说就是坏事了。

皮龙。

学术界的“零”

当拉布吕耶尔出现时，
为何要高声反对呢？
要想得到40这个数字，
难道不需要一个“零”吗？

另一种说法：
三十九加零，
如果我没算错的话，
永远也得不到40；
因此，我向各位学者们断言，
既然你们已经接纳了科坦——那个笨重的家伙，路易的表弟——
那么还有一个位置是空着的。

同样的思路下，还可以引用布弗勒斯写给斯塔尔夫人的这首短诗：

我看见您也在学术院里；
如果您接纳我，那我的命运就相当不错了。
我们俩加起来就有40的智慧了，
您相当于4，而我则相当于0。

还有许多变体：
那里有四十个人，他们的智慧加起来相当于4。

别忘了丰特内尔的这两行诗：

我们是三十九人吗？那我们就得跪下；
我们是四十人吗？那别人就会嘲笑我们。

三分之一点五

一百的三分之一点五是多少？

是五十，因为一个数的三分之一加上该三分之一的二分之一，其实就是这个数的一半。

趣题

1. π确实是不可通约的：奶牛 = βπ；因此，vachel = βπl；交换因子的顺序后，马 = βπl；从而可得π = …。

2. 半满的瓶子等于半空的瓶子，将等式两边同时除以½，即可得到满瓶子等于空瓶子。

3. 10分钱等于2苏；平方之后，100分钱或1法郎就等于4苏。

4. 要让鸽舍里住满鸽子，只需用一根芦苇作为半径画一个圆周——因为这样就能容纳两只鸽子。

5. 有一块地，午夜时有三位红衣主教在那里喝了香槟，问这块地的面积和价值是多少？答案：1公顷、7阿雷、3森蒂亚雷。

6. 如果六把锯子可以锯断六支雪茄，那么六百零六把锯子就可以锯断六百零六支雪茄：这已经不是三则运算了，而是六则运算或锯子相关的运算。

7. 有三名乐手一起演奏一整夜。最后一局结束后，他们每人赢了20法郎——他们是三名小提琴手。

8. 用法国的三个城市就能得到21这个数字，而如果再加上第四个城市，则只能得到20。——特鲁瓦、福瓦、塞特、奥顿。

等等。

好投资！

“这可真是不错的投资啊！”决斗者看到子弹击中了他马甲口袋里的五法郎硬币后这样叫道。

梅里。

旋转的景象

有时候，我会想象自己悬浮在空中，一动不动地待在那里，而地球则在24小时内不断旋转。我看见各种不同的面孔从眼前掠过：有的脸色苍白，有的皮肤黝黑，还有的则是橄榄色肤色。起初是帽子，接着是头巾，然后是长满头发的脑袋，再后来则是光头；有时是带有钟楼的城镇，有时是有着新月形尖塔的城镇，还有的是有着瓷制塔楼的城镇；有时则是只有小屋的大片土地；这里有广阔的海洋，那里有可怕的沙漠；总之，就是地球上所有那些无穷多样的景象。

丰特奈尔。

鸟类

六只鸟，杀死三只后，还剩几只？一只也不剩，其他的都飞走了。

塔巴兰

数学游戏

E.卢卡斯最近又为我们带来了“法西乌莱特”、“皮波皮佩特”、“河内之塔”、“二十面体游戏”以及“恶魔算术”。这些游戏既有趣又有教育意义。

X、Y和Z

X……是我的名字；不知是出于何种任性，人们给我取了这么一个生硬、冷漠的名字。我还有一个弟弟，他的乳母给他取了个可爱的名字——Y……为了让这个名单更完整，后来又出现了一个最小的弟弟，他被命名为Z……这就是我的家族，先生们，我有幸作为长子。

…………

我就是那些无人知晓的存在，就是那个轻率的潘多拉在她的匣子里苦苦寻找的东西……

一旦被人握住，我就会立刻消失，而人类的思维则不断进步着。

在他面前，我将那未知的事物放大……
……
这则趣闻的仅节选了几行，出自我们理工学院的一位杰出前辈之手（1834届毕业生）。
曾经的考生瓦克里在谈论自己时说：
“从翅膀到鸟嘴，他被紧紧绑在那个由X和Y构成的可怕刑架上。”
安抚的话：
“医生，我真的能康复吗？”
“当然可以！”医生从口袋里拿出一张纸来，“看，这是关于您病情的统计数据。您可以看到，百人中只有一个人能够康复。”
病人惊恐地问：“那……”
“您就是我手头上第100个病人，而之前的99人都已经死了。”
用数据来说服人：
国民自卫军中的弗拉芒医生因为在2月5日擅离职守，于是给纪律委员会写了如下信件：

先生们，我的过错其实并不严重……
今天，我请求大家能宽恕我——
我的母亲在城里生病了，
为了立刻赶过去，我可是费了很大劲的。
的确，你们命令我必须立即前往，
但在病人身边时，必须先照顾好病人，
这样才能及时给病人涂药、处理伤口。
感谢上帝！我终于战胜了发烧和痛苦。
我已经为病人处理好了相关问题。
请原谅我的急切吧，长官们……
作为儿子，希望你们不会对我太过苛刻。
那样一来，我就可以继续值班了。

那天的纪律委员会比平时更加严厉，他们这样回应他：
众所周知，你曾经是个极其勤勉的人，
但现在却不再如此了；你的母亲只不过是个借口罢了，
其实你本应该用更恰当的方式表达自己的想法。
事实上，谁见过你参加过任何训练或值班呢？
显然没有，所以你的借口根本站不住脚。
你必须去巴赞库尔旅馆，
法庭已经做出了判决——你必须去那里，好好反省一下我们是否真的该如此对待你。
先生，你将不得不一直待在那里，直到……

哲学家能够让各种体系变得生动有趣，甚至能让那些严谨的几何学家也变得风趣可爱。有了他，政客们在饭后也能制定出更好的治理国家的计划。

…………

天文学家在看清了星象之后，他也能借助哲学家的帮助找到那颗丢失的星星。

贝尔舒。

沉默的学院

在阿马丹有一所著名的学院，其最初的章程是这样规定的：学院的成员应当多思考、少写作，而且尽可能少说话。这座学院被称为“沉默的学院”，在波斯，没有哪个真正的学者不渴望能进入其中。扎布博士写过一本出色的小书，名为《口枷》。他在自己的家乡得知，沉默的学院有一个空缺职位。他立刻动身前往阿马丹，来到学院会议室的门口，请求门卫将这张纸条交给院长：“扎布博士恳请获得那个空缺职位。”门卫立即去执行任务，但扎布博士来得太晚了，那个职位已经被别人占了。

学院为这一变故而懊恼不已。他们原本并不情愿接纳那位来自宫廷的才华横溢的人，因为他的口才出众，深受众人钦佩。现在他们却不得不拒绝扎布博士——那个讨厌多话的人，可他才是如此有才华、头脑如此出色的人啊！负责向扎布博士传达这个坏消息的院长几乎无法下定决心，也不知道该如何开口。经过一番思考后，他让人倒满一个大杯子，但杯子里已经装得满满当当，再滴一滴就会溢出来。然后他示意让候选人进来。扎布博士以一种谦逊的态度走进来，这种态度往往意味着他确实拥有真正的才能。院长站起身来，一言不发地用悲伤的表情指着那个象征性的杯子。

水已经完全满了。医生立刻明白，学院里已经没有空间了；但他并没有气馁，而是打算让大家明白，再多一名院士也不会造成任何麻烦。他看到脚边有一片玫瑰花瓣，便将其捡起，小心翼翼地放在水面上，而且做得非常好，没有让一滴水溢出来。

对于这个巧妙的回答，所有人都鼓起了掌来，决定当天不再遵守那些规则，泽布博士也因此受到了热烈欢迎。人们立刻把学院的登记册交给他，新成员需要亲自在上面登记。他便在登记册上留下了自己的名字，接下来只需按照惯例说一句感谢的话而已。但作为一位真正沉默寡言的院士，泽布博士没有说话，只是在一旁写下了数字“一百”——那是他新同事的数量；然后在数字前加了一个零，下面写道：“他们的价值不会更低，也不会更高（0100）。”主席以同样礼貌且机智的方式回应了这位谦逊的博士：他在“一百”前面加了一个一，写道：“他们的价值将是原来的十倍（1100）。”

阿贝·布兰谢（东方寓言集）：

我们认为，那位主席应该写下的是：“他们的价值将是原来的千倍。”

悖论与奇异性

现在，我们来看看那些在某种程度上也可能引起我们兴趣的例外情况、奇特现象以及怪异事物。

本书的这一第三部分与前两部分之间的区别有时相当微弱。

那些大胆而新颖的思想——也就是如今的悖论——或许会成为明天的真理。

哲学

公理与定理

几何学如此引以为傲的那些公理，其实不不过是用不同的符号或词语来表达同一个简单的概念罢了。那些说“二加二等于四”的人，难道就比那些只说“二加二就是二加二”的人拥有更多的知识吗？“整体”、“部分”、“更大”和“更小”这些概念，严格来说不都是同一个简单的概念而已吗？因为如果没有了其他概念，那个概念也就不存在了。正如一些哲学家所指出的那样，许多错误都源于对词语的滥用；而公理或许也正是由此产生的。不过我并不打算完全否定这种用法，我只是想指出它的实质：它只是通过习惯让那些简单的概念变得更加熟悉，从而便于我们将其应用于各种不同的场合。

对于数学定理而言，我在适当的限制条件下也能说出大致相同的观点。如果不带任何偏见地看待它们，就会发现它们其实可以归结为为数不多的几个基本真理。试想一下那些彼此相互推导的几何命题——相邻的两个命题之间没有任何间隔，直接相连。我们会发现，它们只不过是第一个命题在从一个结论过渡到下一个结论的过程中逐渐发生了变化而已，但实际上它并没有因为这种连锁关系而真正被“复制”出来，只是呈现出不同的形式罢了……

……因此，我们可以把多个几何真理的串联看作是对同一个命题、甚至是同一个假设的不同且复杂的表达方式。这些表达方式具有很大的优势，因为它们让我们能够以多种方式运用所表达的定理；这些应用的价值高低取决于其重要性和应用范围。不过，虽然我们承认对某个命题的数学表达方式的优点，但也必须认识到，这种优点本质上源自于该命题本身。这让我们意识到，我们应当多么感激那些伟大的发明家们，他们发现了这些基本的真理，而这些真理正是许多其他真理的源头，他们确实丰富了几何学的内容，拓展了它的领域。

——达朗贝尔

会计人员

数学真理……与其说是真理，不如说是一种用来获取真理的工具，因为它们忽略事物的本质，只关注其大小或形状。就世界而言，它们给我的感觉就像一个会计人员，试图编制一份清单一样。

他会清点自己手中的纸币数量，而不会去考虑这些纸币的价值。

J. Wallon

数学只能从某一角度来发展人的思维能力。它的唯一研究对象就是形式与数量。因此，它基本上只停留在事物的表面，无法深入到那些更为重要的本质属性以及事物之间的内在关系之中。

Klumpf

在完成这一不可或缺的初步步骤之后，如果可能的话，我们还可以进一步深入研究。

英语逻辑学

我们的一些英国同时代人试图通过赋予逻辑以数学特性来使其得到革新。

德·摩根在指出任何语言中都存在正面名词和负面名词之后——比如“脊椎动物”与“无脊椎动物”——认为所有名词无一例外都可以被看作是可以以正面或负面的方式来使用的。例如，“人”这个词可以用来指代亚历山大，而用来指代布塞法勒斯时则具有否定意义，因为布塞法勒斯并非人类。如果U表示整体，X表示其正面部分，那么其负面部分U – X则用x来表示。这样一来，命题就可以以等式的形式来表示了。

布尔将演绎问题加以推广，原本演绎只是从包含三个项的系统中消除一个中间项而已。他考虑了任意数量的项，并试图消除尽可能多的中间项。这位逻辑学家试图将代数运用到逻辑学中：他采用了1（全部）和0（ nothing）这两个符号，此外还有x、y、z等符号。

等等，这些被用来表示作为我们概念主体的事物；而符号+、-、×、=则用于表示思维中的各种运算。

最后，斯坦利·杰文斯仿照算术机，设想出一种逻辑机——那是一台拥有21个键的小钢琴，其中一些键对应于正数或负数（即主体或谓语），另一些键则对应于各种运算操作。人们可以说是通过演奏这架钢琴来机械地进行推理的。

在莱布尼茨和牛顿之前

实在令人惊讶的是，微积分为何没有更早被发明出来，尤其是考虑到那些以精确工作为职业的人本应很容易就能想到它。比如，每个木匠或石匠每天都能看到：用来沿着标记线切割木板或石头的工具几乎不可能恰好切到标记线的正中间，总会有或多或少的偏差存在，而这些偏差累积起来可能会相当显著。那些按标记线来裁剪布料的商人也知道，他们完全可以利用那些连最细心的买家都难以察觉的微小差异来谋取利益；他们明白，长期下来，这些微小的量加起来就能形成整整一码或一米。同样，那些按重量出售商品的商人也知道：落在天平托盘上的灰尘颗粒也会增加重量，而这种无限重复出现的微小量，自然不会逃过精明商人的眼睛。

可惜的是，这些在物质生活中具有重要意义的具体细节，却一直被认为不值得思想家去关注。如果那些在哲学还涵盖人类所有知识的时代里的哲学家们能够重视这些细节，他们或许就能比17世纪的那些伟大几何学家们更早地发明出微积分。

F. 赫费尔。

极小与无限小的混淆。

学究气的人

一位教师在让孩子们数过珠子及其他实物之后，在开始讲解单个数字之前大声说道：“注意了，我接下来要讲一些抽象的概念了！”

和谐人

现代人相当于“和谐人”（完美的人）的比例，就如同12与32的关系一样——也就是说，相当于加法与乘法的关系。因为32是8乘以4的结果，也就是第一个立方数乘以第一个平方数；而12则仅仅是这两个数的和而已。

A. 图塞内尔。

吸引力与命运成正比。

查尔斯·傅立叶。

元几何学

一些数学哲学家试图重建几何学体系，他们不承认从一点只能引出一条与某条直线平行的直线这一观点。于是便出现了非欧几里得几何学，在这种几何学中，角度之和……

在三角形中，内角和不再等于两个直角：在黎曼几何中，它小于两个直角；而在洛巴切夫斯基几何中，则大于两个直角。我们可以将这种特殊的假设理解为以椭球面和双曲面作为基本几何结构。

人们还探讨过三维以上的几何结构，即所谓的超空间。其实它不过是包含三个以上变量的方程而已，但这些方程无法转化为具体的几何形态。

“在他们看来，欧几里得几何只是一种初步的近似方法，严格来说仅适用于无限小的图形；而对于尺寸不超过一定范围的有限图形，只要近似程度足够高，这一方法也是可行的……而超出这些范围后，同样的常规几何学反而会完全失效，或者对于足够大的图形而言，会导致极其严重的错误。”

——布西涅斯克

在几何学的三条公理中，只有第一条（关于距离及其基本性质的公理）才是核心公理，也就是建立任何几何体系所不可或缺的。另外两条公理（关于距离可以无限增大以及关于平行线唯一性的公理）则是辅助性的或用于简化问题的。它们的作用只是排除那些比常规几何体系更复杂、但却在逻辑上可行且在实际测量范围内能得出与常规几何相同结果的几何体系……

一般几何学可分为三个分支：常规几何学、抽象几何学以及双重抽象几何学。在抽象几何学中，人们只放弃第三条公理；而在双重抽象几何学中，则同时放弃第三条和第二条公理。这三种几何学有时也被称作欧几里得几何、高斯几何和黎曼几何。

德·蒂利：

我不会谈论n维几何学；那只不过是以几何学的名义来表述的解析学罢了。这种研究可以追溯到柯西的解析几何理论，至少他并不试图用荒谬的论证来掩饰自己的思想（《会议记录》，1847年）。借助那些我们根本无法理解的抽象空间，或许还有那些处于无限远或虚数距离上的点与线——恐怕现代人有些过度使用了这些概念——人们便剥夺了几何学最宝贵的优势与独特魅力，也就是将解析学的结果以直观的方式呈现出来的能力。取而代之的则是相反的缺陷：那些在解析形式下本不会显得荒谬的结果，一旦用假设存在却毫无现实依据的点、线或空间来表达，就会变得难以理解，甚至显得荒谬可笑。

杰诺基：

有人说，如果人们有利益驱动的话，他们可能会怀疑数学真理；但这么说还不够，他们仅仅因为好奇心或纯粹的假设自由，就有可能对数学真理产生怀疑。

勒努维耶：

“这些新几何学家的全部目标，”这位哲学家还说，“就是在各种假设的基础上进行数学分析，而不去关心除结论与前提之间的关系之外的任何其他真理。”

近年来出现的那些奇特的几何学体系（所谓“世纪末几何学”）其实无需让人担忧。它们不过是纯粹的……

逻辑练习：一些喜欢思考悖论的学者曾探讨过，如果拒绝接受平行线公设，几何学还会剩下什么。

在穆雷特看来，非欧几里得几何不过是一种艺术，一种几何诗或智力游戏罢了。

马尔萨斯定律

经济学家马尔萨斯认为，虽然生活资料以算术级数增长，但人口却以几何级数增长，也就是说增长速度要快得多，因此很容易出现失衡状况。解决的办法就是减缓人口的增长速度。不过这种担忧是毫无根据的，人口完全可以自由增长。遗憾的是，法国的人口增长速度已经有所放缓。

灵魂与生命

为了更准确地描述灵魂与生命之间的差异，洛尔达特采用了源自几何学的比喻。他将生命比作一根细绳，其起始端的直径几乎为零，然后逐渐变粗直至中间，之后又慢慢变细，最终再次接近于零。而灵魂则被比作一条抛物线——它从一个微不足道的点开始，缓慢延伸出两条对称的线条，这些线条不断变长，最终消失在无穷远处。

L. 菲吉耶

可参阅洛尔达特所著的《有思想的灵魂与生命力量之间的联系》。这位医学家兼哲学家认为，随着年龄的增长，灵魂的力量会不断增强。

生命正在逐渐衰弱。

怀疑主义

那些都是三角形、正方形、圆形以及其他类似的图形；他们将这些图形混在一起，形成迷宫般的结构。它们也像是被分成多个小队的士兵一样排列着的字母——正是通过这些花招，他们才能迷惑那些愚人。

伊拉斯谟

谁能够说服我，从那些充斥在书本中的、由各种线条、十字符号、数字等等构成的混乱组合中，真的能推导出对人类有益、对社会有利的发明呢？

塞克斯图斯·恩皮里库斯

在这部著作中，我会证明：在数学领域中，存在与物理学、道德学等领域同样多的疑问点。

霍布斯

我们之所以能够证明数学真理，是因为我们自己创造了它们。

维科

所谓数学真理，其实不过是观念上的恒等式而已，根本没有任何现实意义。

布丰

几何学家通过一个又一个假设来推导，以千百种方式思考问题，不断重复“相同即相同”这一原则，从而创造出种种奇迹。

孔狄亚克

利阿尔先生说：“这种学说毫无准确性可言。它的目的无非是将整个数学体系变成一个巨大的同义反复体系，所有表面上的进展都不过是永恒的重复而已。数学命题中所体现的概念并非彼此重复；如果10等于5+5，那么它与5+5这个和的不同之处在于：这里的10个单位被组合成一个数，而另一种情况下则被分成两个相等的数……如果一个三角形的三个内角之和等于两个直角，那么在空间中画出这个三角形的三个角与画出两个直角是两回事。”

当阿基米德证明圆等同于以圆的周长为底、半径为高的三角形时，那既不是同一性，也不是相等性：圆和三角形根本不是同一事物！

安培坚决反对他所谓的“荒谬的同一性”。

未来

未来蕴含在当下之中，就如同三角形的性质蕴含在其定义之中一样。

P.布尔热

这与人类自由观念相悖的格言。

博尔内

人并非如那些主观怀疑论者所认为的那样能够看到真相；实际上，人的视野是有限的。他认为自己的世界是庞大而古老的；但实际上，它只不过是∞+a这个公式中的a而已，而在这种情况下，a=0。

勒南

无限数

所有的数，也就是所有实数单位的总和，本质上都是有限的。因为通过连续相加得到的每一个数都与前一个数只相差一个单位，所以这些数必然都是有限的——第二个数以第一个数为基准，第三个数以第二个数为基准，以此类推。所有的数要么是偶数，要么是奇数；要么是质数，要么不是质数。如果是偶数，它就不可能包含所有的奇数；如果是质数，它也不可能包含最后一个质数，因为质数序列是无穷的。无论如何，无论它是不是质数，它都不可能包含自己的平方、立方或四次方；因此，它不可能比任何给定的数都大。它不是无限的，而是有限的。所有的数本质上都是有限的，所以地球上曾经存在过的人的数量也是有限的，而且一定有第一个人存在；同样，地球绕太阳公转的次数也是有限的，也一定有第一次公转……

莫伊尼奥神父

原则

可以预先断言，试图通过分析来证明几何学与力学中的原理是荒谬的。这些原理要么是显而易见的，要么就是源于经验；任何计算都以它们为前提。

我们很难接受那种没有具体图形的几何学，以及只涉及微分方程的力学理论。

郁金香

你们知道，整体总是大于其各部分之和；如果把相等的量加在一起，那么整体也等于相加的各量之和——这些就是所有的数学知识……

如今绽放的郁金香其实早已包含在600年前盛开的那些郁金香之中。同样地，代数方程也蕴含在我刚才所说的那些命题之中；只需将其提取出来即可。最简单、最容易提取出来的方程先出现，然后才是其他方程。我并没有教给你们什么新东西，只是让你们看到自己已知的知识究竟能延伸到何种程度。

丰特内尔

所有的数学真理都隐含在最初的观念之中，问题就在于如何将它们揭示出来！

指导原则

曲线代表着实际生活的发展轨迹，这种生活充满着种种必然性，需要与我们身边的人、同类人保持联系，或是出于对他人的体谅而做出各种让步与相互牺牲。直线则代表着理论生活，代表着理想、独立且绝对的理念。

帕普-卡彭蒂埃夫人。

这段文字摘自《沙粒的秘密》一书，作者在书中探寻“几何与情感之间那些美妙的关联”。

磨坊

数学可以比作一台效率极高的磨坊，它能够将各种物质研磨到不同的精细程度；但最终得到的结果取决于投入其中的原料。正如世界上最完美的磨坊，如果只放入豆荚而无法产出小麦粉一样，再多的公式也无法从不确定的原始数据中得出确定的结论。

赫胥黎

数学就像一台咖啡磨坊，它能出色地研磨所投入的材料，但只能产出与投入物相同的东西。

法拉第

在我看来，用方程式来解决几何问题，就如同转动曲柄来演奏音乐一样。

让-雅克·卢梭

在推理时，我们只能从前提中获取其本身所包含的信息。

计算是一种快速的分析方法，可用于解决问题。事后，我们可以重新推导出所有的中间步骤。

无公理几何

《无公理几何》是佩罗内·汤姆森所著的英文书籍的标题，范·特纳克负责了该书的翻译。在这本书中，那些被包含在定义之中的公理并未以正式的形式被表述出来。

遥远的影像

现在假设你以超过光速的速度远离地球，那会发生什么呢？随着你在宇宙中的前行，你会再次遇到那些先于你发出的光束，也就是那些每一秒、每一刻都在向远方传播的“照片”。

例如，如果你在1867年以光速出发，那么你将永远处于1867年这个时间点上。如果你速度更快，那么你还会遇到那些在更早年份发出的光束，而这些光束则携带着那些年份的“照片”。

为更好地说明这一现象的真实性，请想象有若干束从地球不同时间点发出的光束。第一束光应该是1867年1月1日的某个时刻发出的。以每秒75000里格的速度计算，就在我与你交谈的此刻，它已经从出发点行进了相当远的距离，现在位于某个我用字母A来表示的位置上。现在再来看看另一束光，它是在1767年1月1日从地球发出的，比第一束光早了一百年，因此它所处的距离也要远远大于A点所代表的距离。

我将其用字母B来表示。第三条光线，我猜是1667年1月1日的那条，距离更远，其长度相当于光在100年内所能行进的距离。我将这条第三条光线所经过的位置称为C点。最后，还有第四条、第五条、第六条光线，分别对应1567年1月1日、1467年1月1日、1367年1月1日等日期，它们以相等的距离D、E、F依次排列，不断向无穷深处延伸。

因此，这就形成了一组分布在同一条直线上的“地球影像”，这些影像在空间中彼此间隔一定距离。而当心灵依次经过A、B、C、D、E、F这些点时，就能依次了解到地球在那些时期的历史。

——弗拉马里翁

一位机智有余而深刻不足的道德家，会从上述论述中找到行善的动力。因为，谋杀的景象不会消失，而这个在太空中传播的景象，会让凶手永远蒙羞，因为它会将罪行宣扬到最遥远的星体之上。

——感觉定律

感觉与刺激或印象的对数成正比。

——韦伯

这是一条奇怪且晦涩的论断，也被归于费希纳名下，不过这一论断普遍受到质疑。

“生物现象的本质，”比沙特说，“就是无法被任何计算所把握。”这一说法过于绝对，但在这些微妙的问题上，我们确实需要谨慎行事。

更大与更小

整数、分数、无理数序列的延续中，简单的情况极为罕见，这种结构实在十分复杂。

无论一个数有多小，比它小的数与比它大的数始终是相等的，因为对于任何一个数而言，都存在它的倒数。

在数学中存在着一些哲学性的领域——虽然这些领域并非最清晰明了——有些思想家喜欢沉浸其中。

神秘的数字

有智慧的人应当去计算那头野兽的数字……它的数字是六百六十六。

那就是反基督者。

存在还是虚无

什么是无穷小？它是一种不断减小的量，直到消失为止，而我们应在它即将消失的那一刻来把握它，因为在此之前为时过早，之后则为时已晚。它就是处于“不再是某种东西，但还完全没有变成什么”的状态的量，也就是处于存在与虚无的统一状态中的量。

黑格尔。
极其微妙，却难以理解。

调和问题
一个物体在某种力的作用下，在给定的初始位置上运动时，其运动轨迹必须是完全确定的。因此，以一种悖论的方式，描述该运动的微分方程可以通过多个方程来满足，而这些方程同时还要符合运动的初始条件。

泊松。
与这一观点相关的有两篇较为巧妙但论证不够严谨的哲学数学著作：1. 圣维南所著的《道德自由与机械规律的协调》（1877年3月15日的《会议记录》）；2. 布西内斯克所著的《真正的决定论与生命及道德自由的共存》（1877年2月19日及3月5日的《会议记录》）。

M. J. 贝特朗对这些尝试评论道：
“当一张沉重而坚固的桌子有超过三英尺的部分置于完全坚硬的地面上时，每只脚所承受的力是不确定的。虽然计算结果如此，但物理学家和几何学家都从未相信过这一点；他们尤其不会假设每只脚都具有选择的能力，即赋予它们某种不可或缺的意志。”

先验的确定性

有些确定性并非基于经验。我知道存在边数为7、11、13等的多边形，同时也知道至少目前还无法用几何方法构造出这样的多边形。人们承认存在一个面积与给定圆相等的正方形，但已没人再试图去寻找这样的正方形了。只要事先指定m个实数或虚数根，就能很容易地构造出一个m次方程；虽然知道该方程确实有这些根，但却并不总能将它们求出来。

那么，我们又是如何知道存在边数为7、11、13等的规则多边形，以及存在面积与给定圆相等的正方形的呢？这是通过类比和归纳推理得出的，例如：我知道可以将一条直线分成7个相等的部分；如果把圆的周长拉直，我也能将其分成7个相等的部分。是否存在一条长度与给定圆相等的直线呢？答案是肯定的，因为圆的周长是有限的，但可以通过无限小的增量不断延长；直线也是如此，因此我们可以让直线逐渐变长，直到其长度等于给定的圆的周长。

J. 德尔布夫

即便不知道如何构造某个图形，或者不知道如何计算某个数值，我们依然可以确定它的存在。

开端

并非所有的空白之处都已被填补，而这些空白在那些看似最接近几何学基础的知识领域中表现得尤为明显。

庞斯莱

连续性

根据莱布尼茨的连续性原理，静止其实是一种无限微小的运动；重合则意味着距离无限接近于零；相等则可视为最轻微的不等关系，等等。

穆尼托

最有趣的是这只狗做加法的方式！在那些大小与多米诺骨牌相当的骨头碎片上标有数字。主人会给他摆出三到四行，每行有三到四个数字，穆尼托会看一遍，然后，如果它看到的是：

3
9
7

它就会拿一块骨头，在下方加上一个9；接着再减去1，如此反复进行，从不出错。

詹姆斯·卢梭

据德尔布夫所说，金丝雀只能数到3，而一只聪明的狗也无法区分3和4。

乌佐认为驴子至少能数到5。猎场看守人勒罗伊也认为乌鸦的计数能力可达这个水平。罗马内斯则教会了一只黑猩猩数到5。

我们不对这些说法的真实性负责。

数学怀疑主义

过去，抽象几何学以现实空间为基础，以经验所揭示的规律为依据，所有我们能够感知到的物体都受这三维空间的约束。如今，几何学家们摆脱了这些常规限制，他们设想出四维、五维、六维甚至更高维度的空间；他们将数学分析方法应用于这些虚构的空间中，从而在想象的世界里得出一些逻辑上看似合理但令人难以理解的结论。

而当他们回到我们生活的那个传统空间时，他们却声称那些规律在理性面前并不比那些奇异的空间中的规律更有价值——在那些空间里，三角形的内角和可能小于或大于两个直角，一条曲线也可能与一条直线平行。这种过度分析的结果就是数学怀疑主义。

——德·赫尔斯特

幻想之物

哲人石、永动机、圆周率的无穷精确值、完美的无私等等。

二加二

在自然界中，你找不到两个完全相同的物体：在自然秩序中，二加二永远不可能等于四，因为必须使用完全相同的单位，而你知道在同一棵树上是不可能找到两片完全相同的叶子的……你可以把穷人的金币和富人的金币加在一起，然后上缴给国库。

这两个量是相等的；但在思考者看来，其中一个在道德层面显然比另一个更为重要。

H. 德·巴尔扎克

数学是一门研究形式与量的科学；数学推理不过是将逻辑应用于形式与量而已。最大的错误在于认为那些被称为纯代数真理的命题其实是抽象或普遍的真理。这种错误实在严重，以至于我惊讶于人们竟会如此一致地接受它。数学公理并非某种普遍真理的公理。在形式或量方面成立的结论，在道德层面往往却是严重的错误。例如，在道德领域中，分数之和等于整体这一说法通常是错误的……还有许多其他数学真理，它们也只在特定的关系范围内才成立。但数学家们却总是依据这些有限的真理来推理，仿佛它们具有普遍且绝对的适用性……

埃德加·爱伦·坡（《偷来的信》）

标准

有些人认为，那种偏心或扩张式的动作似乎意味着某种身体或道德上的优势。有一位几何学教授声称，他可以通过学生自发地在黑板上画圆的方式很快判断出该学生的性格：性格坚强的人会从内往外画圆，而性格懦弱的人则会从外往里画。

大地的灵魂

开普勒认为地球拥有一个指引它的“灵魂”。他说：“这个灵魂具有对几何原理与比例关系的感知能力；正因如此，地球才能判断距离、估算角度，并判断这些角度是否和谐或不相称。”

心灵与理性

心灵能感知到空间中存在三个维度，且数字是无限的；而理性则能够证明不存在两个平方数，其中一个恰好是另一个的两倍。原则是通过直觉被感知的，结论则是通过推理得出的；尽管途径不同，但一切都是确定的。同样荒谬的是，理性要求心灵为这些基本原则提供证据才肯接受它们；正如心灵要求理性为它所证明的所有命题提供直观感受才肯接受它们一样，这也是荒谬的。

帕斯卡

很少有人能够如此敏锐地感知抽象的事物。

抽象概念

什么是数学？那是一门完全基于形式的科学。算术和代数可以说是数字的“修辞学”——人们不断地进行推理与演绎，所有操作都基于抽象的概念。人们将一般原则应用到具体问题中，而解决这些问题的方法则变成了一种机械性的技能，就像中世纪的三段论，或是雷蒙德·卢尔的推理机器。就连被誉为“世纪之科学”的力学，也依然建立在空间与时间中的形式关系之上。

她不停地进行推导，无限地围绕某个假设进行推理——这种假设在科学上就相当于拉丁语中的论述内容。的确，在某种情况下需要理性地思考；而在另一种情况下则没有这个必要；甚至，当所要支持的论点本身是错误的时，不理性地思考反而是好事。但是，数学家在现实生活中并不会比其他人更善于推理，因为他们只习惯于在抽象环境中进行推理，从假设中得出直线性的结论，而不去观察和收集所有实验数据，也不去归纳、猜测或评估概率。无论在私人生活还是公共生活中，数学思维都是一种只看到问题某一面的艺术。在数学科学中，我们可以自己定义概念；而在现实中，则是经验决定了这些定义，并且不断通过新的发现来改变和修正它们。我们总能从结果中发现比最初定义和原则更多的东西。我们曾说“二加二等于四”，但实际上却得到五；我们那些严格的公式终究会被自然与现实所超越。

阿尔弗雷德·富伊耶

据达朗贝尔所说，要想获得敏锐的思维能力——也就是思维的最重要品质——就必须练习严谨的论证，但绝不能仅限于此。

汽油

对德国人来说，汽油就是C6H6，也就是一个六边形或长方体，因为人们倾向于用几何图形或代数公式来表示化学物质；而对英国人而言，汽油则是一种用于分离物质的物质。

莱昂·A·多德

人们熟知拉格朗日的名言：化学变得就像代数一样简单。

符号

在数学中，推理已经发展到如此自动化的程度，以至于几乎所有的数学家都忘记了起点。当有人提醒他们：数学中的符号并非纯粹是思维的产物……一个符号只有在其能够象征某种事物时才算是符号，而且每个符号背后都有其所代表的实际事物时，他们往往会感到惊讶。

尽管数学家们忽视了事物本身而只关注符号，但他们的推理依然严谨，得出的结果也准确无误。不过，不能说他们对自身所研究的科学有恰当的理解。

G.穆雷特

公理

我们相信公理的依据是什么？它们的确定性又源自何处？我的回答是：它们是经验性的真理，是对观察结果的概括。

约翰·斯图尔特·密尔

几何学建立在观察之上；但这种观察是如此常见且显而易见，以至于它所提供的基本概念似乎属于直觉层面的东西。

莱斯利：
这些论断实在值得质疑。我们早已讨论过它们了。

帕桑斯：
如果几何学像道德一样与我们当前的激情与利益相冲突，那么即便有欧几里得和阿基米德的种种证明，我们依然会对其提出质疑并加以违背。

莱布尼茨：
几何学根本无法证明事物的存在，它只能说明在假设事物确实存在的前提下，它们是怎样的。

布菲耶神父：
超空间：
想象一个被简化为一点的存在体，但它拥有智慧与感官，能够沿着一条直线移动以形成概念，却无法离开这条直线；假设它的感官结构使其无法感知其所在直线之外的外部世界。如果让这个存在体进行几何学研究，那它所做的也只会是一维几何学而已。我们将这个存在体称为A。同样，我们也可以想象另一个存在体B，它只能在一个被简化为……的世界中活动。

它只有简单的表面结构，且无法感知该表面之外的世界。如果B从事几何学研究，那么他的几何学将是二维的。而我们则可以研究三维几何，因为我们的空间结构决定了需要三个量才能确定一个点的位置；B所研究的则是二维几何，因为他只需两个量就能确定其所能感知的空间中一个点的位置。因此，我们或许会思考：我们所认为的宇宙，会不会其实是某种高于三维空间的结构，只是由于我们感官的局限性，我们才无法察觉到它。

H. 洛朗

研究者

最美好、最充实、最不易令人失望的生活，还是那些试图求解含有虚数根的方程的疯狂学者们的生活。

H. 德·巴尔扎克

婚姻

我们完全可以摒弃“数字”这一概念，完全以“空间”作为基础来构建一切。代数是一种符号系统或象形文字，用于描述在具有不同维数的空间中的运动情况：算术描述的是一维空间中的现象；代数函数则用于描述二维空间中的现象；复数代数则用于描述n维空间中的现象。

………………

谁更胜一筹？是象征意义，还是书写形式？这很难决定——每个人根据自己大脑的运作方式，可能会把票投给其中之一。为了避免无休止的争论，我认为最好的办法是将两者结合起来。

阿诺。

格莱德格林德

狄更斯在小说《艰难时世》中向我们介绍了这个角色。

“托马斯·格莱德格林德，先生，他是个注重事实的人，遵循‘二加二等于四’这一原则，绝不承认有任何理由可以多算出一点点！托马斯·格莱德格林德，先生，总是带着尺子、天平以及口袋里的乘法表，随时准备测量和称量任何一个人，然后给出精确的数值……”

变量价值

今天一法郎的价值，昨天还不到一法郎；而明天，至少在某些金融领域里，它的价值会超过一法郎。持续复利投资的假设其实是一种大胆的虚构，一些悲观主义者则将现代社会所面临的种种困境归咎于金钱那可怕的“繁殖能力”。

我有两个邻居：一个抱怨现在的利息只有2%；另一个则要求免费贷款。

历史

心算

正如热纳莉斯夫人所提到的，劳特雷夫人能在沙龙里进行八位数的乘法运算。
斯图加特的牧羊人迪纳尔历经艰辛才成为一名教师。其他那些神童级计算能手——如安尼奇、巴克斯顿、科尔本、比德、普吉塞、马吉亚梅莱等人——也未能取得更大成就。尽管接受了最好的训练，亨利·蒙多也未能在数值计算方面有所突破。

如今，伊诺迪被当作奇观来展示：他和他的前辈一样被介绍给科学院。伊诺迪属于听觉型记忆者，他能够一次性记住多达42个数字。他的强大记忆力正是他能力的秘诀所在。

高斯和安培在童年时计算速度极快，但一旦开始从事数学研究，他们的这种能力就逐渐变慢了。

我们的一个朋友在旅行时，能够凭记忆将车厢的编号分解为质因数，再计算其平方根等等。

等时线与最速降线

帕斯卡曾经研究过摆线或旋轮线，这种曲线具有两个非常有趣的特性：一个重物沿着它的凹面下降时，无论从多高的位置出发，总能以相同的时间到达最低点。此外，要想以最短时间让重物下降，它应该沿着这条曲线移动，而非直线。

圆的平方问题

《圣经》中记载，所罗门圣殿里有一个巨大的半球形水池，其直径为十肘，周长为三十肘。

“我就像那个试图将圆转化为正方形的几何学家，他在脑海中苦苦寻找却找不到缺失的原理。”
——但丁

皮斯忒特罗斯：“那么，请问您手里有什么工具呢？”

梅顿：“这些都是用来测量天空的尺子……我会用直尺精确地测量各种尺寸，从而把圆变成正方形。”

……
……

皮斯忒特罗斯：“……相信我，尽快离开这里吧。”

——阿里斯托芬

普鲁塔克声称阿那克萨哥拉已经找到了解决圆平方问题的方法。罗杰·培根则认为这个问题在彼时早已为人所知。但实际上，现在已经证明，仅凭直尺和圆规是无法解决这个著名问题的。

复杂的公式

在天文学家德洛内所著的《月球理论》中——他是在瑟堡游泳时溺亡的——有一个公式，其第二项竟然占了138页的篇幅。德洛内的著作中，第一卷阐述了月球的经度，第二卷则阐述了其纬度。有人向我提起过奥尔伯斯的一篇论文，那篇论文其实只有一句话而已。

让步

巴黎科学院一度拒绝接受某种理论（即关于无穷小的理论），因为该理论似乎会破坏几何学的纯粹性。这一决定引发了激烈的争论，许多院士固执地坚持自己错误的观念，以及那些令他们反感的表述，而不愿去深入理解问题的本质。他们不仅质疑这些推理的严谨性，还质疑莱布尼茨所提出的规则的准确性。不过，这种反对意见其实是有益的，因为它迫使那些研究无穷小问题的数学家们明确地阐述那些有争议的原则。也许，这些原则之所以被误解，只是因为此前没有得到正确的解释而已。莱布尼茨本人，虽然最终得到了欧洲最伟大的数学家们的认可与理解，但他并没有因为自己的成就而骄傲自满或忽视他人的批评。尽管对手的论点站不住脚，他仍然以礼貌的态度回应了他们。他对《特雷武杂志》的回复因其独特的让步态度而闻名，这种让步似乎是在承认人们对他所提理论的批评是合理的；他将不同阶数的无穷小量比作那些因为差异极大而无法相提并论的量，就像一粒沙子与地球相比那样。必须承认，这样的说法并没有什么实际意义，反而会导致人们将无穷小量与普通的小量混为一谈。方丹内尔说，在这种情况下，莱布尼茨就像一位建造了极其复杂的建筑物的建筑师，他自己都不敢住进去，而那些比他更自信的人却能毫无顾虑地住在那里，而且不会遇到任何问题。不过，对于这段引文，还需要补充一点：那封信……

莱布尼茨的著作并非为几何学家所写，因此那些看似过于谨慎的让步其实只是出于慎重考虑罢了。

J. 贝特朗

磨砺心智的石块

罗伯特·雷科德——我们今天使用的“=”符号就是他发明的——在1557年出版了其算术著作的第二部分，书名为《Whetstone of Wit》，意为“磨砺心智的石块”。这是一部对话体作品：当学生对二次方程的两个根感到困惑时，老师回答说：“这种不同的根表明，同一个方程可以用来解决两个不同的问题。问题的性质会帮助你轻易判断应该选择哪个根；而在某些情况下，你可以同时使用这两个根。”

未知数

最早的意大利代数学家将未知数称为“la cosa”，因此这些先驱者也被称作“cossites”。

无谓的争论

欧几里得费力地证明相交的两个圆没有相同的圆心，以及一个三角形被包含在另一个三角形内时，其各边之和小于所在三角形的各边之和，这些其实并不令人惊讶。这位几何学家不得不与那些固执的诡辩家作斗争，那些人以拒绝接受最基本的真理为荣。

显而易见，几何学也如同逻辑学一样，需要借助形式化的推理手段来杜绝各种争论。

克莱罗。

求积与曲线求长

我在这里并不把希波克拉底·德·基奥斯所发现的那种求积方法视为真正的求积法——那种方法是通过圆弧将直线段的一边所增加的面积从另一边减去；这种求积法以及后来出现的类似方法，都不过是些诡计罢了。

但阿基米德的卓越智慧使他找到了真正可以求出面积的曲线，那就是抛物线，他准确地确定了它的面积。

…………

像聪明的伯努利所发现的那样，认识到圆的周长与其直径之比，就如同一个虚数（负1的对数）与另一个虚数（负1的平方根）之比一样，这不过是一种思维游戏，只会让我们陷入比原本想要摆脱的更深的困境之中。

…………

几何学之所以能取得如此大的成就，离不开笛卡尔的作用。他知道有些曲线是可以求出其面积的，但他认为没有哪种曲线能够求出其长度，并断言任何曲线求长的尝试都是不可能的。然而，有一位远比他更出色的几何学家，成功求出了以他名字命名的曲线（尼尔抛物线）的面积；不久之后，又有无数其他曲线的面积也被求了出来。

莫珀图伊。

数字的化身

根据埃德·卢卡斯的说法，以下是数字所经历的一些奇特而微妙的演变：最初，人们会在树上做标记，也在动物的骨头上刻纹路；后来，数字变成了数字形式（阿尔昆）；接着又先后具有了神秘色彩（毕达哥拉斯）、象征婚姻的意义（柏拉图）、魔法属性（波斯人）、以及神奇的意味（琐罗亚斯德）；还有整数与分数、可通约数与不可通约数、精确值与近似值之分（欧几里得）；还有三角形、正方形、五边形、多边形、金字塔形状等（丢番图）；还有立方体形态（印度人）；还有正三角形、全等图形等概念（阿拉伯人）；在中世纪，数字则被视为“聋的”与“盲的”；巴舍则认为数字是有趣且令人愉悦的，奥扎南则认为其具有娱乐性；卡瓦列里则认为数字是不可分割的；莱布尼茨则将其视为差分、增量概念，牛顿则认为其是流动的；内珀则将其视为指数、对数、棱柱学概念；费马、弗雷尼克等人则将其分为完美、友善、丰富、不足、有特定比例等类型；高斯则区分了同余与不等同的概念；库默尔则将其视为复数、理想数、范数；柯西则将其分为实数与虚数、等价数与逆序数；贝拉维蒂斯则认为它们是等价的；汉密尔顿则提出了四元数概念；最后，埃尔米特则将其视为超超越数。

在巴西

1889年11月15日，巴西宣布成立共和国。这场革命运动的推动者是本杰明·康斯坦特·博特略·德·马加良斯，他于1833年出生，父亲是葡萄牙人，母亲是巴西人。他曾就读于军事学校，之后在天文台担任天文学家，他在数学方面有着出色的天赋。在一次关于微积分教席的竞赛中，他获得了第一名。

圆周率问题

18世纪时，卡桑斯骑士声称自己已经解决了圆周率的问题，并向一位公证人承诺：若有人能证明他的解法是错误的，他便支付1000枚金币。有一位女士证明了他的解法是错误的，于是将卡桑斯告上了法庭。法官们判定这场赌约无效，而卡桑斯则终其一生都未能认识到自己的错误。

拉·凯尔说：“那些不懂数学的人，往往不幸地发现，别人能够得到圆周率的精确值，而他们却无法做到。”

学者们

巴亚尔迪试图找到上帝在创造世界时太阳所在的天体位置。“他刚刚找到了那个点，”巴泰勒米神父说，“他还用地球仪向我展示了那个点。”

莫雷里则称：“亚当对各种科学有着深入的了解，尤其是天文学；他将自己所学的诸多知识传授给了子女，还将自己观测到的星体运行规律记录在两块石板上。”

学者们自以为懂得很多东西。

农夫

我只需要掌握一件事：自己的语言、教会的语言以及计算法则；至于其他科学知识，如果需要的话，我会自己去学习。

托尔斯泰

俱乐部

在科尔马民众协会里，巴赫几乎用了一整个会议时间来反驳一位来自蒙阿杜尔的公民——该公民寄来了一种方法，试图精确计算出2的平方根。（摘自维龙-雷维尔先生关于上莱茵省革命的著作。）

波皮利乌斯之圈

作为罗马人民的使者，并携带着元老院给安条克的警告信，波皮利乌斯在安条克周围画了一个圆圈，要求他在离开这个圆圈之前必须给出答复。

古老的记号

在拉尔泰在奥里尼亚克的著名墓穴中发现的物品中，有一些属于第四纪、猛犸象时代末期的物品。其中有一块驯鹿木片，其平面表面上有许多等距的横向条纹，这些条纹被一个间隙分成两组；在木片的两侧边缘，则有更深且间距均匀的凹槽系列。拉尔泰认为，这些或许是可以表示不同数值或与不同物品相关的计数符号。

萨克森元帅

这位元帅在55岁时去世，人们便用白话诗为他的墓碑撰写了这样的铭文：

他的勇气令所有人钦佩。
他虽有敌人，却总能取得胜利。
他曾保护过的国王有三位。
为了路易，他愿付出全部心血。
他每年都能赢得多次胜利。
他力大如赫拉克勒斯，英俊如提尔。
勇敢的士兵们，为这位伟大的人哀悼吧！
他于11月去世，具体日期是8日。
他的遗体安葬在斯特拉斯堡的一座坟墓中。
尽管有如此多的颂歌，却没有一首真正表达对他的敬意。
——
55

**错误证明方法**

1. 底面相等且高度相同的两个四面体是全等的：可以将共同的高度分成许多相等的部分，然后作与底面平行的平面，将那些极薄的截面视为棱柱。但实际上，那些从一开始方向就不同的直线，绝不能被视为平行线。

2. 要证明由互质数构成的分数是不可约的，仅仅说无法再用同一个数同时除以这两个数是不够的。因为或许可以通过其他方式简化这个分数，比如从两个数中减去适当的数值。

3. 用极限法计算球体体积时，不能简单地说在球体内嵌入一个规则多面体，然后不断增大该多面体的尺寸。

面的数量可以是无限的。——实际上，只有五种正多面体，而面数最多的那种也有20个面而已。

在街上

沙勒斯在《历史概览》中声称，只要无法用简短的话语向街上的行人解释某个理论，那就不能说已经彻底理解了该理论，他的这种说法有些夸张。

普瓦索则认为，就数学而言，“永远都不可能简单到极致”。

不过必须承认，某些数学概念永远不可能为所有人所理解。（这不过是“全面教育”的幻想罢了。）

里谢先生说：“高等数学变得越来越难，全世界大概只有二十来个人能够理解其中的所有内容。”

不可或缺的数字

以下是一首助记诗，帮助人们记住圆的周长与直径之比π：

我多么希望让智者们学会这个有用的数字啊！
不朽的阿基米德，伟大的工程师，
谁能用你的方法来计算出它的数值呢？
对我来说，你的那个问题也具有同样的价值。

每个单词的字母数对应着连续的数字。

π = 3.14159265….

如果只需要π的前五位小数，那么只需记住：1加4加5等于9。

至于1/π，这个数值也经常会被用到，其值为0.3183098……。可以说，1830年的那三天相当于“89”倒过来写。

不使用数字的话，我希望在孩子们还不知道数字的形态之前就让他们练习所有的算术运算。

据说阿尔昆会让人们用十根手指来数到一万。

最好还是心算，要记住心算时应从左边开始，也就是从数值最大的单位开始计算。

以下是某位匿名者关于数字的俏皮话：

当数字仅仅被视为一种符号时，它就不再具有秩序性，也失去了其超自然的特性。

…………

当书记员写下各种计算结果，洗衣妇记下自己的账目，杂货商列出发票，而餐饮业者则把各项费用夸大时……

菜单上全是数字，它们从四面八方涌现出来；我抬起头望向天空，那里也有许多数字在闪烁。

民族。

编号

这些“+”和“-”符号让我想起那些为行人指示行走方向的标志牌；而根据我的经验，向右走一里与向左走一里的距离是相同的。

在城市里，这些标志牌被写有街道名称和房屋编号的牌匾所取代。例如，在巴黎，从巴士底狱前往玛德琳教堂的途中，会依次遇到左侧的坦普尔街以及右侧的福布尔-坦普尔街，然后再是圣马丁街和福布尔-圣马丁街等等。

其实，代数为巴黎提供了一种非常简单的方法，可以去除那些不适合用于描述位于城市边界内的美丽街道的“福布尔”这个词。只需给蒙马特街的编号加上“+”号，而给所谓的福布尔-蒙马特街的编号加上“-”号即可。这样一来，就可以毫不费力地去掉“福布尔”这个词了。

时间顺序

在时间顺序中，耶稣基督之后的日期被视为正数，而之前的日期则被视为负数。

假设

几个世纪以来，平行公设一直困扰着几何学界，让几何学家们感到绝望。

——达朗贝尔

本世纪初，洛巴切夫斯基和鲍耶终于证明了欧几里得公设是无法被证明的。

这个问题的另一个方面是：平行线可以从两种不同的角度来理解——一种是消极的，即即使将直线无限延长也永远不会相交；另一种是积极的，即两条直线始终保持相同的距离。

因此，人们试图通过定义平行线的等距关系来建立平行线理论，但这样一来，问题只是被转移了而已。

令人困惑的是：有个学生在开始证明几何学第一册的内容时说：“我取直线AB的中点……”，结果立刻遭到了反驳：“你还不应该知道如何求直线的中点，那可是第二册才要学的知识。”

数字系统

由于人类有十根手指，所以大家都采用十进制。

莱布尼茨则非常推崇二进制系统。

有一种以4为基数的算术体系被发明了出来。

荷马笔下的普罗透斯所带领的海豹数量是5只。

虽然也有支持8作为基数的人，但最常被用来与10相对照的基数其实是12。人们确实注意到了12的诸多优点，不过拉格朗日则幽默地指出：如果采用11或一般的素数作为基数，那么所有的分数都会有相同的分母！

奥古斯特·孔德认为，为了更方便地计数，可以利用由指节构成的手指来辅助计算；他将拇指与其他手指比作指挥四名士兵的下士。

“如果以12作为算术体系的基数，那将会方便得多——较大的数字所占的空间会更小，同时分数也会更加简洁。人们很早就意识到了这一道理，因此在采用十进制算术之后，仍然会使用十二进制体系；人们常常以十二、几十或更多为单位来计数。在十二进制体系中，1英尺相当于1线的三次方，而1拇指则相当于1线的二次方。一年分为12个月，一天分为12小时，黄道带分为12个星座，1苏等于12丹尼尔：所有较小的度量单位都与12有关，因为12可以被2、3、4和6整除……”

布丰。

有一些动物的例子：它们被拴在磨盘、旋转装置或井绳上，却能极其精确地计算出自己需要完成的任务。这些动物并没有任何数字系统，那它们究竟是如何学会计数的呢？

蒲鲁东。

不规则者

你在叹息之巷里做了什么？

——一副相当悲伤的表情。

——离开那里后，你还在街道上徘徊。

——没错。

——你还教数学课。

——其实我根本不懂数学。你想要说的就是这个吧？

——正是如此。

——我是通过教导别人来学习的，也培养出了一些优秀的学生。

——狄德罗

这位充满矛盾的作家在别的地方声称，学习几何比学习阅读还要容易。

在他的全集中有五篇关于数学的论文。

自私

他对我说：当你发现一个新的数学真理或某个重要问题的解法时，千万不要试图简化其表达方式。相反，应以其最初的复杂形态呈现出来。你的同代人因为难以理解而会更欣赏你的发现。的确，未来总会揭示它的真正价值；但如果那些与你共处的人被你那种不恰当的简化方式所误导，把你的发现当作无稽之谈的话，那可就糟糕了！所以，不要模仿那样做。

既不要效仿拉格朗日，也不要效仿普瓦索特，而应以拉普拉斯和泊松为榜样——他们的清晰思维只有在阐述他人的研究成果时才能达到最完美的状态……

……一直从事那些极其艰难、需要高度专注力且难以简化的研究工作，其实是一种真正的欺骗行为。虽然这样的研究成果能够显著推动一个时代的科学发展，但代价却是牺牲了研究者的利益；因为作品越容易理解，研究者就越显得数学功底不深。

拉梅

换句话说：表达得越晦涩，就越显得有学问。

一种新的教学方法

所有人天生都具有数学能力。在少数人身上，这种能力会得到发展；而在大多数人身上，则由于缺乏练习和指导而逐渐退化。这种能力的目的是逐步发现支配世界的规律。

既然如此，我们就来探讨究竟哪种教学方法能够增加那些具有创新能力的几何学家的数量，引导他们尽快实现上述目标……

这种新的教学方法必须满足以下两个条件：

1. 彻底消除将科学分为纯数学和应用数学的观念。

如今，第一类数学已经不存在了。算术本身就是非常实用的；数论中最优秀的定理也都是在研究振动现象的过程中被发现的。几何学与力学也是如此。

它们是数学物理学的两个分支，分别研究物质的两种不同性质——体积与运动。代数与微分学不过是所有物理理论中不可或缺的分析工具，它们能够帮助我们找到所研究现象的最普遍规律。而单独讨论积分学则是毫无意义的，因为它的每一项进展都源于某种实际应用。

第二，应当运用各学科自身的方法来阐述其各个组成部分，务必避免仅仅谈论那些事后才用上的方法或所谓更严格但实际上毫无用处的验证方法。

根本不存在一种通用的发明方法。每项发现都有其独特且独有的方法。培养探索精神的唯一方式，就是回顾所有已有的发现，了解它们是如何被做出的。只有通过大量这样的例子，才能激发人们增加新发现的欲望。在各种发明方法中，分析学与几何学有时会结合使用，有时则分开使用，但必须严格遵守这种自然顺序。

拉梅

试图通过不断在旧的基础上添加内容来在科学领域取得重大进展是徒劳的；必须彻底革新一切，直至最根本的部分，否则就只能继续在同一个圈子里打转，取得微不足道、几乎可笑的进步。

培根

从现有的基础出发，所能期望的成果早已被反复探讨过，人们终将陷入同样的困境。必须重新构建科学体系，为其建立新的基础，推导出所有的结论，同时保留原有的成果。只有从新的视角来审视理论，才能产生许多意想不到的成果。

最好能有一位全新的人来负责此事——一个与科学的发展毫无关联、仅了解其最基本知识的人。

拉普拉斯

罗宾逊的数学

我们向《自然》杂志的主编蒂桑迪埃先生提出一个他可能会感兴趣的想法。他曾通过有趣的实验成功教授过力学、物理学和化学。那么，他是否也可以不用抽象理论，而是通过一些简单而有趣的问题来让人们初步了解数学呢？

过于苛刻

有些学者似乎认为那些常规的命题和证明太过普通且不完整。他们对困难、罕见、异常的事物有着病态的兴趣。他们就像只研究怪物的博物学家，或是总是试图找出自己罪过的教义学家。

错误的称重方式

如今，人们总是使用一种有误差的秤来进行精确称重，所采用的方法就是博尔达提出的双重称重法；任何稍微精确一点的称重都是如此进行的。

天体照片

绘制天图需要大量精确的测量数据。如今，多亏了亨利兄弟的贡献，人们只需拍摄包含所有恒星的天空图像即可。一群天文学家在巴黎天文台集会，共同商讨这项复杂任务的所有细节。

更多内容请参阅查尔斯·特雷皮埃所著的《天体照片图》，该文发表于1892年8月30日及9月15日的《综合科学杂志》上。

简洁性的衡量标准

埃米尔·勒穆安先生进行这种看似矛盾的测量时，大致是按照以下方式操作的：

一个证明的简洁性取决于用多少个三段论从基本真理推导出所要证明的定理。

一个构造的简洁性则取决于解决某个问题时所需的基本构造步骤的数量。

不能认为，只要某种证明或构造用的语言更为简单，它就一定更简洁。

永动机

假设某台机器以某种方式被启动，而驱动它的力消失了。由于不可避免的阻力存在，机器的速度会逐渐降低，最终变为零。试图制造一台无需动力源的机器，不过是痴心妄想罢了。

真正的最大值

在数学中，最大值未必是所有数值中的最大值，而最小值则可能大于最大值：因为人们只是将每个数值与它两侧的无限接近的数值进行比较。因此，数学家们会说，给定正方形内的内接正方形没有最大值，但显然它不可能超过原来的正方形。

从球体开始

据说，几何学应该从球体开始学习，因为对球体的研究并不依赖于欧几里得的公设。之后，再从球面几何和球面三角学推导出平面几何和平面三角学。

毫无价值

“这个人一无所有”是一句常用的表达，意思是说他负债累累。——“四次偿还12法郎的债务，其实相当于再加上4次12法郎”，也就是(-12) × (-4) = + (12 × 4)。为了解释“负负得正”的规则，还有人提到“两个否定等价于一个肯定”。

在不久的将来，那些虚幻的想象物将会从法国的学校里消失，就如同过去狼群被赶出英格兰一样。

J.-F. Bonnel

想象往往能够吞噬现实，就如同整体能够涵盖局部一样。或许，我们有必要更换那些过于狭隘且过时的名称吧？

锁匠

那些定理的集合，可以被视为一种“钥匙串”，人们用它们来尝试打开各种问题的“锁”；不过，一个熟练的锁匠通常只会尝试其中的几把钥匙而已。

勘误

庞加莱先生刚刚证明，在天体力学中，用于计算扰动的级数是发散的，尽管这些级数的首项构成的序列却是收敛的。这些级数确实能够帮助我们提前几年预测天体的运动和位置，但却无法确保宇宙系统的无限稳定性。（参见《天体力学的新方法》）

独特的解题方法

若要找出圆的周长与直径的比值，可以先画出等距的平行线，再取一根一定长度的圆柱形针……

该数值应小于两平行线之间的距离。将指针随机抛掷在两平行线上大量次数，统计指针碰到其中任意一条平行线的次数，然后将该次数与总抛掷次数的比值，乘以指针长度与两平行线之间距离的比值的二倍。

让我们重新思考吧：

听着：年轻的同学们，你们被欺骗了！

最好的球体并非阿基米德球体！

更准确地说：根本不存在所谓的球体，只有等距多面体而已！

也就是说，球体没有独立存在的资格，它只是等距多面体的推论罢了。

等距多面体才是球体的多边形生成元。

让我们把这一点记下来并好好思考：

等距多面体 : 球体 :: 棱柱 : 圆柱体。

L.雨果

作者将那些各棱面都朝向轴线凹陷的晶体结构称为等距多面体。

万无一失的计算方法

我们的计算并不需要像人们想象的那样依赖外在的光亮；它们自身就拥有光亮，而那些试图施加在计算结果上的光亮，通常也源自于计算本身……当计算正确无误时，欺骗我们的并非计算本身，因为它无需借助推理来支撑；但通常情况下，欺骗我们的是那些推理，只有当它们以计算为依据时，才能作为决策的依据。

索兰。

计算其实是一种简化的推理形式，它的价值在于它所浓缩的那些推理内容。

模范引文：

你知道为什么柏拉图要求他的理想城邦由五千四百名自由民组成，不多也不少吗？因为这个数字能够被前十个自然数整除！

理发师们：

通过巧妙的公式设计以及相互验证的计算机制，普罗尼得以让那些像机器一样工作的工人来完成那些精确的对数表。据说，在大革命期间，由于火药和假发业的消失，许多理发师失去了工作，普罗尼便利用了这些人来完成这项枯燥的工作。

W. 德·丰维耶尔

微妙的衡量标准

布丰在《道德算术》的序言中写道：“我在此要探讨的是如何衡量那些不确定的事物：我会尝试给出一些规则，用以评估各种可能性的比例、概率的大小、证词的可信度、偶然因素的影响以及风险带来的弊端，同时也能判断我们的恐惧与期望的真实价值。”

直接的视角

计算思维总会削弱人的创造力；而真正的发现正是由创造力带来的。当然，计算确实能简化事情，帮助人们进一步发展、扩展已有的成果；但这一切本质上都属于机械化的操作。至于所谓的“发现”，则需要具备洞察力与理解力，而这正是创造力的体现。

卡斯特尔神父

寓言

在几何学中，计算可以比作罗马军队中的辅助部队。只要这些部队还只是辅助力量，最多占一个军团的三分之一，罗马就能不断扩张并征服世界。但随着财富的增加，懒惰也蔓延到了各个军团中。于是人们放弃了头盔、铠甲以及勇气；那些外来民族和野蛮人——匈奴人、哥特人、西哥特人、阿拉伯人——以“辅助部队”的名义进入了罗马军队，他们占据了军队的位置，最终摧毁了整个罗马帝国，曾经强大的帝国就此不复存在。

自从几何学转变为阿拉伯式的计算方式之后，它就一直乘坐着这列火车前行——而“三分之一”也变成了“整体”。大脑几乎不再需要思考，于是变得懒惰起来，而思维则让手指来处理一切事务；人们完全依赖各种公式来解决问题。

——卡斯特尔神父

致所有来源：

1868年，在英国科学促进协会上，两位著名的教授之间展开了一场有趣的辩论。自然学家赫胥黎遵循传统观点，认为数学科学仅仅是演绎性的，它不借助任何观察、实验或归纳法。对此，数学家西尔维斯特以机智幽默的方式回应说，数学分析始终需要新的原理、新的理念以及新的方法；它不断运用观察和比较的能力；其主要手段就是归纳法；最后，它为想象力和创造力的发挥提供了无限的空间。为了支持自己的观点，西尔维斯特举出了拉格朗日的例子——他深信观察能力对数学家的重要性；还有高斯将数学称为“视觉的科学”；黎曼则认为空间并非理智的产物，而是客观的物理现实。他说，即便在那些最抽象的概念中，也能找到几何学的根基，因此他得出结论：大多数，甚至所有的重大数学思想，都源于观察。

一个既富有又饥饿的猎人遇到了两个牧羊人；其中一个有五块奶酪，另一个有三块，他们正准备吃这些奶酪。猎人便与牧羊人们一起用餐，之后给了他们八枚金币，作为那八块奶酪的报酬。现在的问题是如何分配这笔意外的钱财。

第一个牧羊人说他愿意拿走五枚金币，把剩下的三枚留给他的同伴。而另一个牧羊人则认为应该先平均分配这些金币，每人四枚，然后由他自己来支付一块奶酪的费用。于是，老师出面调解：你们应该把每块奶酪分成三等份，这样猎人和你们每个人就能吃到八份。第一个牧羊人有五块奶酪，也就是十五份，他给了猎人七份；第二个牧羊人只有三块奶酪，也就是九份，他只能给猎人一份。因此，第一个牧羊人得到了七枚金币，而第二个牧羊人只得到了一枚。那么，拉封丹式的法官会怎么做呢？他肯定会先收下那八枚金币，再把其中一枚交给书记员，让书记员去支付给牧羊人们，自己则留下其余的七枚金币。

同时，

我放弃了传统上对平面几何与空间几何的区分。这种区分并不符合现实情况，因为自然界中存在的都是空间中的图形。此外，它还会在直线理论与平面理论之间造成隔阂，而实际上，要彻底理解其中一种理论，另一种理论也是不可或缺的；它甚至还会打断对直线研究的进程。最后，在专业教学方面，这种区分更为有害，因为各种艺术实践更需要了解直线与平面的基本组合方式，而非诸如圆的割线性质之类的理论概念。在我看来，这些缺点远远超过了这种做法作为教学手段所带来的好处；它虽然能稍微简化最初的难点，但弊远大于利。

几何学无疑在很大程度上导致了学生掌握空间阅读能力的过程变得缓慢。

C. 梅雷

雨伞

来自科雷兹省沙恩特里的一位雨伞商去世时留下了三个儿子，还留下一份遗嘱，内容如下：我将17把雨伞留给我的三个儿子，规定长子得到一半，次子得到三分之一，幼子得到九分之一。儿子们顿时陷入困境，因为他们不知道该如何将雨伞的数量转化为分数。于是他们求助于公证人，而这位公证人机智如所罗门一般：他先借来第18把雨伞，然后这样进行分配——长子得到18的一半，即9把；次子得到三分之一，即6把；幼子得到九分之一，即2把，总计17把。分配完成后，公证人把借来的雨伞还回去，继承人们则满意地发现自己得到的雨伞数量比原本应得的还要多。

教堂之蛇

一个命题的真假完全与图形的绘制方式无关。推理或证明从来都不是针对那些绘制得好坏不一的图形，而是针对那个理想的图形——它的绘制只不过是一种粗略的表示方式，旨在帮助理解、便于记忆……我在教学时最注重的一点，就是避免学生犯这种错误……我坚决反对使用尺子、直角尺和圆规，而是画出一些形状极其混乱、与题目要求完全不符的图形。我会用粉笔画出宽度与粉笔本身相当的直线，这些直线笔直得就像“教堂之蛇”一样。

德莱泽纳

不要效仿这个坏榜样。

直角尺的线条数

有一天，里尔的教师德莱泽纳向学生们展示了一把直角尺，询问它有多少条线。学生们的回答五花八门：三条、六条、九条。未来的将军法伊德贝尔则认为，如果把直角尺所代表的“体积”中的九条线，再加上孔洞周围的两条圆周线，那么总共有十一条线。这正是老师所期待的答案，他因此对年轻法伊德贝尔的未来科学事业充满了期待。

无理数

在数学中，没有什么比无理数更令人难以忍受的了；将无理数引入算术领域简直就是一场灾难。在如此基础的领域里，有着最为清晰的整数概念，有着如此精确的命题和严谨的证明——这些都是最伟大的数学家们努力完善和简化的成果，其完美程度不亚于古希腊人留下的成果。然而，无理数的出现却给这里带来了种种复杂性。极限、收敛、连续性等概念的所有难题都集中在这里。但如果我们只是想写出V²+V³这样的表达式，那又该怎么办呢？我们无能为力，任何反抗都是徒劳的：无穷大的概念是事物发展中的必然现象。即便我们试图将其简化为最基本的表述——即一个整数之后还有另一个整数——也无法摆脱它，无论是在算术中还是其他领域。

事实上，明智的做法就是正视存在的困难，而诚实的教学态度则不是时而说“稍后再讲”，时而说“已经讲过了”，却从不真正展示任何东西……

每个有理数或无理数都被赋予了一个长度；这个长度用于定义相等关系，以及加法和减法运算。此外，人们还展示了如何通过对有理数进行无限次的算术运算来避免依赖这种具体的长度概念。

J. Tannery

反对意见

车轮的轮毂

正如我们之前所说，作为科学学院秘书的丰特奈尔的继任者梅兰，曾与杜·沙特莱夫人就“活力”问题展开过讨论，最终是德·热弗兰夫人让他平静下来：“如果你用剑去攻击一把扇子，人们会怎么看待你呢？”在一篇关于这位杰出科学家的颂文中，有几行文字提到了一个古老的悖论：

人们早就知道，一个在平面上沿直线移动的同时又绕其中心旋转的圆，会在该平面上划出一条与其周长相等的直线。当这个圆带着一个与其同心的、没有其他运动的较小圆一起移动时（就像马车的轮子带着它的轮毂一样），那个小圆划出的直线长度并非等于它的周长，而是等于整个车轮的周长，因为在这两种情况下，都是同一个中心在沿直线移动。但是，如何理解这么小的圆能够移动与大的圆相同的距离呢？亚里士多德意识到了这一难题却无法解决；伽利略也尝试过，但毫无成果；而在梅兰的智慧面前，这一难题便迎刃而解了。他证明了小圆除了滚动运动之外还有另一种运动——滑动或滑移运动；由于这种运动与滚动运动紧密相连，且每时每刻都在以极微小的程度影响着滚动运动，因此它似乎并不存在。就这样，梅兰解决了这个曾经让亚里士多德及所有学者都束手无策的问题。

越来越少？

不必再宣称“越减越多”这一谬论了。这一错误规则一直令人们感到反感，也让最出色的计算者无所适从；它还引发了关于负数、虚数根、不可约情形以及负指数和对数等问题的无尽争论。

此外，虽然这一说法会让人们感到反感，但理性却不会认同它，因为在代数乘法中我们可以看到事实并非如此。

反对意见：在比例 -1/1 = 1/-1 中，第一项小于第二项，而第三项却大于第四项，这显然是矛盾的。

达朗贝尔：从上述比例中可以得出：

(V-1)² = (V1)²

- 1 = 1。

一个正数竟然等于一个负数！我们继续在等式的两边各加上2：

-1 + 2 = 1 + 2

于是得到

1 = 3。

显然，这个结论是错误的。

另一种情况：从

4 – 10 = 9 – 15

开始，我们可以得出

(2 – 5/2)² = (3 – 5/2)²，

因此

2 = 3！

虚数等于实数？

根据常规的运算规则，我们应该得到矛盾的结果，因为如果a为正数，那么等式左边是虚数，而右边是实数。

所有数字都相等。

设 a - b = c，将等式两边同时乘以 a - b，可得：
(a - b)(a - b) = ca - cb，
进而有：
a(a - b - c) = b(a - b - c)，
最终得到：
a = b。

不可约情形

卡丹从塔尔塔利亚那里窃取了这一方法，他提出了一个可以表示三次方程三个根的公式。不过，当这三个根都是实数时，该公式会以复杂的虚数形式呈现，因此便不再有用。

渐近线

我回答说，我更愿意遵循事实而非理性。然而，这类情况其实很常见：据说在几何学中——这门学科自认为在各种科学中达到了最高的确定性水平——也存在一些不可避免的证明，它们会颠覆实验所得的真相。正如雅克·佩莱蒂埃在我面前所说，他曾发现两条直线彼此靠近并最终相交。

然而可以证明，它们永远无法在无限的过程中相互接触。

蒙田

渐近线的存在并无任何奥秘。

半圆

如果将半圆的直径分成若干相等的部分，然后在每一部分上以该部分为直径画出一个半圆，那么很容易看出，整个大半圆的面积等于所有这些小半圆面积之和。无论将直径分成多少份，这一结论都成立；当这些小半圆的面积之和趋近于原始半圆的直径时，这一结论依然成立。因此，每个半圆的面积都等于其直径的面积。

还有一个类似的悖论，即三角形的某一边等于另外两边的面积之和。

其解释在于：无限多个部分的极限值可能并不等于这些极限值之和。例如，将一个矩形分割成无数个非常小的相等矩形，且这些矩形的数量可以无限增加，那么每个矩形的面积都会趋近于零，但它们的面积之和却不会为零，因为它始终等于整个矩形的面积。

奇异的级数

假设

x = 1 – 1 + 1 – 1 + ……

可以这样表示：

x = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + ……) = 1 – x

由此可得：

2x = 1

x = ½

因此，通过整数的加减运算，可以得到一个分数。

错误在于该级数并不收敛；其各项之和会交替出现1、0、1、0……这样的值。

阿基里斯与乌龟的悖论

哲学家芝诺用这个悖论来证明：即便阿基里斯的速度是乌龟的十倍，他也永远无法追上那只领先一里路的乌龟。当阿基里斯走完第一里路时，乌龟只走了1/10里路，因此仍保持1/10里路的领先优势；当阿基里斯再走完这1/10里路时，乌龟又只走了它的1/10，于是领先距离变为1/100里路；当阿基里斯走完这1/100里路时，乌龟又只走了它的1/10，领先距离变为1/1000里路，如此无限下去。由于乌龟始终保持着相当于阿基里斯所行路程的十分之一的领先距离，它永远不可能被追上。

任何了解递减几何级数项之和的极限的人，都能看出这种推理的错误之处。

可参阅布罗沙尔先生关于芝诺反对运动观点的论述。除了“阿基里斯与乌龟”的悖论之外，还有另外三个悖论：二分法悖论、……

箭头，最后是体育场。

另可参阅弗龙特拉先生关于同一主题的研究。

通过乘法来减小数值

所有算术学家都认为，将一个数与一个真分数相乘，就能使其减小。

贝尔德莱先生建议用“按比例分配”和“比例分配法”来代替“乘法”和“乘法运算”这两个词。

欧洲的时间

在另有通知之前，法国仍沿用以巴黎子午线为基准的本国时间。而其他欧洲国家则采用了美国的时区制度，根据这一制度，以格林尼治为起点，可分为西时区、中时区和东时区三个时区。因此，从法国前往瑞士时，时间会突然前进50分钟30秒。

一个去君士坦丁堡的法国人要经历三次时间变动，看起来就像是在不断变老一样。而在以下情况下，“东方特快”的速度甚至会被超越，这种矛盾现象更为严重。

在没有电报和铁路的情况下，小亚历山大·杜马依然能快速旅行：

“如果用两匹马的马车，我从巴黎到圣克卢需要半小时；用四匹马的话，只需15分钟；用八匹马，则立刻就能到达；而用十六匹马的话，我甚至会在还没出发之前就‘回来’了。”

南极点

你永远无法让一个无知的人相信，还有其他人是以与自己脚和头相反的方向行走的。诗人卢克莱修虽然没有偏见，但他仍认为“南极点存在”的说法是荒谬的。

错过的日子还是多出来的日子？

以下是关于那些首次环球航行的航海家们在返回时所犯日期错误的详细记载。葡萄牙人麦哲伦于1519年9月20日出发，穿越大西洋，抵达美洲东岸，在该大陆南部发现了以他名字命名的海峡，随后抵达菲律宾群岛，最终在其中的塞布岛被当地人杀害。他的探险任务由他的同伴塞巴斯蒂安·德尔·卡诺继续完成，他带领水手们经由好望角返回欧洲。当他们回到欧洲时，航行日志上记录的日期是1522年9月5日，但实际上正确的日期应该是9月6日。这是因为这些航海家是向西绕地球航行，也就是与地球自转方向相反，因此他们绕地轴旋转的圈数比那些留在原地的人少了一圈，也就意味着他们看到的日出和日落次数也少了一次。同样，那些向东环球旅行的旅行者则会比地球上的某个固定点多绕地轴旋转一圈，因此他们的行程时间也会多出一天。

为了避免这类错误，在航海中有一个惯例：当越过经度180度线向西或向东航行时，需要将日期提前或推迟一天。与这条经度相对应的子午线被称为分界线。

在儒勒·凡尔纳的《80天环游世界》一书中也有相关描述：

菲利亚斯·福格“在不知不觉中”多出了一天时间——这完全是因为他选择向东绕行世界，而如果他朝相反方向，即向西行进，就会失去这一天时间。

实际上，当菲利亚斯·福格向东行进时，他是在迎着太阳前进，因此，每向前移动一定角度，他所经历的白天时间就会减少四分钟。地球的周长为360度，而这360度乘以4分钟，正好等于24小时——也就是他无意间多出来的那一天。换句话说，当菲利亚斯·福格向东行进时，他能看到太阳经过子午线80次，而留在伦敦的同伴们则只能看到79次。正因如此，在那个星期六（而非福格所认为的星期日），他们便在改革俱乐部里等待着他。

具有迷惑性的轮廓

有些地理学家因为认为岛屿的尺寸可以通过航行路线来准确判断而受到几何学家的批评。事实上，形状越接近完美，其容纳空间就越大。如果一个轮廓是圆形，也就是最完美的平面曲线，那么它所覆盖的面积就会比相同边长的正方形更大；而正方形又比等边三角形能容纳更大的空间，等边三角形则又比不等边三角形能容纳更大的空间。

昆体良

简单的诡辩

1o 小麦堆：一颗小麦加上另一颗小麦并不能形成一堆；再加入一颗，依然不能形成一堆，如此类推；因此，用小麦粒是无法堆成一堆的。

2o 秃头人：从一头有头发的头上拔掉一根头发，并不会让这个人变成秃头；拔掉两根、三根，也不会如此；所以，就算把他的所有头发都拔光，他也不会变成秃头。

鸽子

那些从高处抛下的物体，随着地球的旋转而不断远离，它们不应该回到原来的出发点。

布坎南在他的诗《地球》中以诗意的方式表达了那些对力学一无所知的人的这种疑问：“斑鸠不敢离开巢穴飞向空中，因为它害怕再也见不到自己的幼鸟。”

特殊的运动规律

根据“引力与距离的立方成反比”这一假设，可以非常简单且精确地得出结论：物体将会沿着对数螺旋轨迹运动。“尽管物体会围绕中心点进行无数次旋转，但它最终回到中心点所需的时间却是有限的。”（费伊，《天文学教程》，第二卷，第120页。）

我们很难想象出究竟需要多长的时间才能让物体完成无数次绕中心点的旋转。不过不必担心，因为那只是一个沿着渐近路径运动的物质点而已。在理论层面，这一切都是完全可以实现的。

期望之事

待证明

费马未经证明便声称：对于任意两个数，其相同次幂之和永远不等于第三个数的相同次幂。这一命题是真的吗？费马有相应的证明吗？无论如何，最优秀的数学家们也未能普遍性地证明费马定理。

当然，不应将上述定理与这位学者在《教程》中提出的另一定理混为一谈。

柏拉图数

这个神秘的数字，其具体数值至今仍存在诸多争议，似乎与以下等式有关：

3³ + 4³ + 5³ = 6³，

这与毕达哥拉斯的等式

3² + 4² = 5²

类似。它可能是一种用于确定婚姻和出生时间的周期（因此被称为“婚嫁数”），或者是指太阳、月亮及行星在天空中再次回到相同相对位置的那个长周期。

以下是人们提出的一些可能的数值：12960000；1728；8128；216；5040；864；7500；2700；760000。（可参阅M. J. Dupuis关于“柏拉图几何数”的论文。）

一个巨大的数字

在写给梅森神父的一封信中，有这样一段话：“您问我100895598169这个数是否为质数，以及能否在一天之内判断出它究竟是质数还是合数。对于这个问题，我的回答是：这个数是合数，它可以表示为两个质数的乘积——898423和112303。尊敬的神父，我依然是您最谦卑、最忠诚的仆人，费马。”

这个问题可能会让我们的现代人感到困惑，而且人们也不清楚费马所使用的方法。

再来说另一个大数吧。当把多米诺骨牌首尾相连，使得任意相邻的两块骨牌通过对应的点相接时，最后一块骨牌上的数字总是与第一块相同。赖斯问题就是要找出当这一排以双数结尾时，有多少种不同的排列方式。G. Tarry先生相当简单地解决了这个问题，他甚至算出了到双八为止的所有排列方式的数量。

10.752.728.122.249.860.612.096.000

嘲笑

那个被众人如此嘲笑的40年到底是什么？

为什么人们还要嘲笑三分之一和四分之一呢？

海王星近日点的异常运动仍然需要一个解释。到目前为止，牛顿定律还无法对此作出说明。

自克莱罗之后，月球近地点的运动情况也是如此。两个世纪以来，月球逐渐偏离计算出的位置，但这种偏差从未超过一秒。

语言、文学与艺术

《巨人传》

于是他便对这门数字科学产生了兴趣，每天饭后都会像以前一样愉快地花时间研究它，或是阅读相关文献。他对这门学科的理论与实践都掌握得极为娴熟，就连曾撰写过大量相关著作的英国人坦斯塔尔也承认，与他相比，自己不过是个初学者罢了。

拉伯雷

不可通约数

许多人想要表达一个极大的数字时，会使用“不可通约数”这一说法。但实际上这种表达并不准确，因为存在大小不同的不可通约数，比如V²的值为1.4142……，π的值为3.141592……等等。

未知数

古印第安人用同一个音节“ya”来表示所有的未知数，只不过会加上不同的声调而已。

美学

关于形态美学的核心问题显然就是：究竟哪些线条是最令人愉悦的？

但首先，什么是线条呢？我们从未见过真正的线条；我们的眼睛只能感知方向。所谓线条，其实是两条平行且相反方向的线的结合体。现实世界中存在的，其实就是方向，也就是现代几何学家们所说的半直线。我看不到圆，但我能看到以某种方向画出的圆，也就是所谓的圆周。例如，欧几里得圆或抽象圆可以有四条彼此平行的切线；而真实的圆则只能有两条平行切线。给一个圆画四条平行切线，会形成一种难看的图形，因为这样的图形迫使眼睛两次改变视线方向；而给圆周画两条平行切线，则能形成美观的图形。

——C. 亨利

和谐数是指那些仅由质因数2、3和5构成的数，其表达式为2a×3b×5c。

和谐数：1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、16、18、20、24、25、27、30……

非和谐数：7、11、13、14、17、19、21、22、23、26、28、29、31……

在自然界中，一切都是和谐的，一切都遵循着和谐数的规律。例如晶体学、声学等领域。

这些都是伟大的欧拉基于“自然界的简洁性”这一理念所提出的观点。赫尔姆霍兹已经反驳了这些关于音乐的看法，而根据另一位理论家查尔斯·亨利的观点，这些观点在形态美学领域同样是不正确的。

最初，到处都是极其简单的秩序结构，随后逐渐出现了更为复杂、更为精妙的秩序结构。

“驴的度量单位”

据说这种度量单位就是公里，但由于拼写错误，我们误将其理解为1000米。布拉谢和杜苏谢两位先生指出：“至于‘公里’这个词，其词源究竟是‘驴的度量单位’还是‘干草的度量单位’，这一点尚存疑问。正确的词应该是‘千米’，也就是1000米。”

学校里的行话

在同一间教室里学习和生活的两个同学，就被称为“二元组”。

那些学习特殊数学课程的学生则被称为“鼹鼠”，大概是因为他们几乎都像鼹鼠一样近视吧。在一年级时，他们被称为“新生”，之后则成为“正规生”；而有时，唉，他们还会变成“立方体生”，甚至是“双立方体生”。

在通过综合理工学院考试后，这些考生们会一起在巴黎街头散步。那支边走边唱的长队，就是所谓的“欢乐的单元组”！

综合理工学院的学生则被视作“x”，也就是直角边的切线。

在此，我们很高兴地推荐一本有趣的图解书籍——《X学校的行话》，作者是阿尔贝·莱维和G.皮内。

长篇大论

几何！代数！算术！那个看不见的平面与模糊的圆锥体相交之处，渐近线寻觅的方向，双曲线逃逸的轨迹；夜色中棱镜的结晶；其多面体结构如同可怕的珊瑚般的海洋；宇宙在计算中逐渐消散的云雾。

维克多·雨果（《整个抒情诗集》）

我们仅呈现一个片段而已。这段文字依旧冗长且晦涩难懂……

三角形教师（独白）

我是一名教师！——“老师，教什么科目？”——什么科目？我可以用无数种方式来回答你……嗯，我就是教三角形的老师，没错，就是三角形！

我一直都很喜欢三角形；这大概是因为小时候，有人用粉红色的糖果和铃铛为我做了一个小三角形，好让我开心；我至今仍记得那个小三角形，仿佛就发生在昨天一样。

当我开始学走路时，我喜欢在沙子上画三角形。后来上中学时，玩弹珠游戏时，我也只玩与三角形相关的游戏。在几何学方面，我只知道与三角形有关的知识。

啊！我的三角形，我亲爱的三角形，它让我度过了那么多美好的时光；多亏了它，我才得以成为乐队指挥、交响乐团指挥等等。

鸡蛋

让我们把一个鸡蛋拿在手中。它那椭圆形的形状，是最完美、最美观的形态，也最难以被外部力量破坏……无机的物质几乎无法改变这种完美的形状。

米什莱

在自然界中，没有什么是圆形的，只有眼睛的球体……不过，它也并非真正的圆形。

《严肃的伯爵们》

这是维克多·雨果对《伯爵们》一文的讽刺作品。文中写道：

“我什么都没有，你们拿走一半吧。”

周期性雕像

一位雕塑家需要为查理曼大帝制作一座雕像：他坐在宝座上，头戴王冠，一只手握着地球仪，另一只手则握着权杖，而权杖的顶端则是一个与原雕像及其所有配饰一模一样的小雕像。

这位艺术家同意只有在完全完成作品之后才收取报酬……

贝尔德莱

同一位作者认为，无限的真正象征，就是那个爱开玩笑的理发师的招牌：「明天可免费理发」。

装饰艺术

谁会相信呢？研究装饰艺术，其实应该从那些简洁的线条、严谨的几何结构开始。这位美丽的女子，在不知不觉中就被束缚在由平行线构成的网络之中，就像鸟儿被困在笼子里一样；那些看不见的垂直与水平线，将她那自由而动人的美貌给囚禁了起来。

查尔斯·布兰克

色彩

假设将一块区域划分为任意多个小块。那么，至少需要多少种不同的颜色，才能为这些小块上色，同时确保没有任何相邻的小块拥有相同的颜色呢？

答案：四种。

因此，只需四种颜色，就可以为法国的任何地图着色——无论是按省、县划分，还是按市镇划分，甚至是法国的地籍图也是如此。

当有人突然被问到这个问题时，他们总很难想象仅用四种颜色就足够了。

社会理性

这个“新来者”其实只是一个公司名称罢了。那时，我们喜欢写些关于埃克曼-沙特里安以及贡库尔兄弟的文章，比如这样写道：“或许，当时最杰出的两位小说家，其实有四位。”——J. 克拉雷蒂。

丢失了！

在西尔维斯特的数学著作中，他的文笔有时相当出色，风格也颇为华丽。他的回忆录中常常穿插着一些短诗，这些诗或是引自他人之作，或是他本人所创作。例如，在1886年1月发表于《自然》杂志上的文章中，就有一首短诗，内容是“关于代数公式中某个在一系列项中丢失的项”。

拒绝接待

关于那些想要进入法兰西学院的人士的来访，朱尔·西蒙先生讲述过这样一个趣事：曾经有过一些著名的拒绝事件。其中就有这样一件事：一位学院院士对一位剧作家说：“我可不会去那种剧院！”而那位可怜的剧作家的作品其实已经在法兰西喜剧院上演过了。即便过了六十三年，我仍然记得那三行曾在师范学校广为流传的诗句：

他是那所著名学校的优秀学生，
查尔斯是一名工程师，他说的每一句话都透露出综合理工学院的风范。

矛盾之处

有一本关于1870年事件的书籍，其作者称，在9月4日的夜间会议结束后，大约凌晨两点左右，他走出了议会——那次会议决定了帝国的灭亡。“在协和桥的尽头，我看见梯也尔先生正倚在马车的车窗旁，他正在讲述色当战役的经过……而远处，圣母院的两座塔楼之后、圣礼拜堂的尖顶之后、司法宫的钟楼之后，满天繁星之下，月亮正缓缓移动。”

然而，一位天文学家指出，9月4日晚上11点时，月亮其实位于香榭丽舍大街的方向，与圣礼拜堂处于相反位置。

再仔细想想，画家们真的会考虑如何正确地绘制月亮的轮廓吗？

拉马丁曾说：“金星从地平线上升起……”

在某部小说中则写道：“月亮处于最高点时，意味着午夜即将来临。”可是月亮到达子午线的时刻每天都在变化。

这些天文学上的错误已被维诺先生的天文学会成员们指出来。

道路

人类只有经过种种曲折，才能找到简单而正确的答案；对人类而言，曲线才是通往直线的道路。

圣蒂纳

规律性

就我而言，即便只凭肉眼观察，我也看不出有什么比圆形更美的了——圆形包含了所有其他形状的精髓，它没有棱角，没有倾斜的部分，表面光滑，没有任何不平整之处，既没有凸起，也没有凹陷。因此，在固体中最为理想的形状就是球体，在平面图形中则应是圆。因为只有这些形状的各部分才彼此相同，且上下两端到中心的距离也相等。还有比这更完美的吗？

西塞罗

简化点吧

有一位著名的教授为了简化表达，将“垂直”称为“perpenculaire”，他自己还被称为“père pencu”。还有一个人把“proportionnel”读作“portionnel”。另一个人则拒绝使用“parallélipipède”这个词，而倾向于用“parlipède”；按照晶体学的叫法，为什么不能用“spath”呢？

抗议

如果只剩下千人，那我也会在其中；即便只剩百人，我仍会勇敢面对危险；如果只剩十人，我会成为那第十个人；而如果只剩一人，那我就会是那个人！

维克多·雨果《惩罚》

我们都知道笛卡尔的革命意味着什么：数字开始主宰几何学，它承袭了古人的成果，但总是以审视的态度来对待这些成果，仿佛要将其全部置于自己的验证之下；随后，它与我们一同前进，时而引领着我们，无比精准；时而又被我们引领，却从不遗忘任何事物。诚然，它将选择问题的权利留给了我们，而自己则负责解决问题。这位了不起的几何学家将几何学推向了极致的完美境界，但同时也让几何学消失了——因为尽管它能够回答我们所有的疑问，最终却变得沉默不语，拒绝再为我们提供答案，只把解释它的“神谕”的任务留给我们。数字就是如此行事。它最熟悉的，依然是自己的起点。那些它最初为我们消除的困惑，最终又会聚集在同一个点上；如果是简单、已知或仅被假设的事物，这些困惑就会显得较为清晰；而其他时候，则会变得极为模糊，密度之大，以至于即便事先知道要寻找什么，也找不到它。

P. 塞雷特

“砰！”

“我们在玩数数游戏，”夏洛特说，“注意啦！我从右边开始往左边数：你们来数！每人报一个数字！轮到谁的时候，要是犹豫或出错，就‘砰’的一声，给一记耳光！如此一直数到一千。”这景象真是有趣。她伸出手臂，沿着圆圈移动。第一个人说：“一。”第二个人说：“二。”第三个人接着说：“三。”如此循环下去。但很快，她的速度就变快了：有人出错了，“砰！”一声，众人哄笑起来；下一个人也出错了，“砰！”速度依然越来越快……

歌德

一半而已

我所知道的美好事物，只有那些可以与他人分享的。

那些懂得珍惜友谊价值的心灵啊，请记住这句古老的格言：整体并不等于其一半。

弗洛里安

十八

在行话中，“十八”指的是经过改造的衣物、修补过的帽子等等。从词源上来看，“十八”就是“九”乘以二。

战斗还是赎金？

在阿林库尔子爵所著的《巴黎之围》一书中有这样的记载：

为了将那些凶猛的诺曼人赶出这座城市，查理国王带着两万法郎前来。

韵律优美的诗句

所谓韵律优美的诗句，就是节奏感很强的诗句。当提到大量诗句时，也可以称其为韵律优美的诗句。这里，我们将那些包含数字的诗句也视为韵律优美的诗句。尤其是博瓦洛，他非常喜欢用数字来表达意思。而那些作者不详的引文，则应归功于尼古拉斯。

数字1。

在同一个地方，同一天，完成同一件事。
让剧院里始终坐满人吧。

布龙坦拿着一把锤子，而博伊鲁德则拿着另一把锤子。
（这样的引文还可以继续列举很久。）

数字2。
莱茵贝格和韦塞尔在两天之内就被攻陷，
他们所面临的压迫即将笼罩整个地区。

在两天的时间里，一座桥就让你的所有努力付诸东流。
他说，斯海尔德河用了两个月时间才学会按照新的规则流淌，这实在远远不够。

两个肮脏的厨子，身上围着围裙，
他们充当他的按摩师，同时还要端着两个盘子。

还有两个喜欢读小说的贵族乡下人。

他所有的财产就只是一张床和两张垫子而已。
那么，这两个人中，谁才是更盲目的人呢？

一块木板铺在两块石板之上，形成了一条狭窄的通道。
那两个恋人在哪里呢？为了让我更加快乐，我必须淹死在他们和自己的鲜血之中。
（J. 拉辛）

两个空腹的旅人遇到了一只牡蛎。他们俩都想要得到它，就在这时，正义之神手持天平从他们面前经过。

在她面前，他们大声地解释着这件事：
两人都想不惜代价来赢得自己的事业。

（拉封丹）

数字3。

三天后，我们就能见到那些勇士中的“凤凰”了。

她看到了三个战士，他们是和平的敌人。

但那三个勇士充满活力与勇气。

倘若国王的邪恶手段
不是因为两三个人的建议而毁掉了法国的话……

而卡佩家族的某位君主，为了彰显家族的荣耀，
便在他们的盾徽上加上了三朵百合花图案。

以三倍的距离为基准，看，那只鹿已经被交给猎犬了。我用力拉弦，发出响亮的声音。

（莫里哀）

不过，那个谨慎的年轻人则幸运三倍。

（吉尔伯特）

真该看看那个在店里充当“哲学家”的商人——他明明三次宣称自己已经破产，却三次因“不幸的耻辱”而变得富有；他还扮演金融家，装作贵族的样子。

（吉尔伯特）

面对三个人，他还能做什么呢？——只能死……

（科尔内耶）

数字4。

4头牛被套上轭，迈着缓慢而平稳的步伐，
驮着懒惰的君主在巴黎里行走。

有1名仆人搀扶着他，一步一算地前行，
就像1位校长带领着4个学院一样。

不久，又有4名强盗从两侧围住了他。

那4人还各自带领着一支乐队。
（科尔内耶）

让他们在你的家里占了一席之地吧，
很快他们就会占据你的全部。
（拉封丹）

数字5。

我准备了5艘船，以便更好地安排一切。
（科尔内耶）

还有5位美人跟随着他。
（科尔内耶）

数字6。

有一只野兔，周围还有6只瘦弱的鸡，
再上面还有3只家养的兔子。

6匹马被套上来拖着这个沉重的负担，
在湿滑的道路上几乎无法让它移动。

在你所挑选的成百上千的人当中，没有一个人是无法在6周内阻止一个诗人创作的。
你们只需知道，在这个美好的地方，人们准备了12道菜肴，共上了6轮菜。与此同时，水、岩石和空气也与我们举办的4场音乐会相呼应。
（科尔内耶）

在这个狭窄的笼子里，最多只能走6步。
（格雷斯埃）

6根破旧的稻草，被编织在两根旧棍子上。
（格雷斯埃）

数字7。
没有理由不写下：在哪个可怕的地方，黑海与塔纳伊斯河在此交汇。
5加4等于9，再减去2，就剩下7了。

数字8。
我虽然还没有用诗句创作出什么作品，但我希望不久之后就能以朋友的身份向你们展示我们学院计划的8个章节。
（莫里哀）

数字9。

那9个虚伪的姐妹，隐居在宁静的居所中。
原本有30页的内容，或许已缩减为9页，
用来修补新桥上那些被侵蚀的边缘。

数字10：
他们在10年内所做的事，比路易在10天内做的还要多。
那些人带着10只患疥癣的狗，自称是猎人，其实不过是些拙劣的猎手罢了。
（莫里哀）

数字15：
正是她为我指明了该走的道路，
从15岁起，她就让我对那些无用的书产生了厌恶之情。
有个书生，只要15苏，就敢肆无忌惮地写作。

数字20：
他们的肤色比经过20年日晒后还要黄。请把你的作品再修改20次吧。
如果你想把作品呈现在舞台上，让整个巴黎的人为之倾倒，而且这些作品越看越美，那么20年后人们仍会继续追捧它们吗？
为了赞美你，我的缪斯女神多次试图征服荷兰，但都是徒劳无功。

听着这令人悲伤的言语，最后只剩下一声长叹。
莫莱斯哭着，靠在手臂上站起身来，睁开无力的眼睛，用微弱的声音说着话，却不断中断自己的话语，共中断了20次。

他们已经来到了那座宏伟的门廊前——那里，书商里布奥将海诺地区的所有著作妥善保管在20把锁之下。

如果我重复写作20次，每写4个字就会擦掉3个。
我有20次想要离开书桌的念头。

塞纳河在山脚下流淌，从它的河水之中，有20座岛屿浮现出来；这些岛屿将河流分成不同的支流，从而形成20条独立的河流。

我多次诅咒那个激励我的恶魔。
而离开家时，情况更是糟糕20倍。

很快就有20辆马车排成一列驶来。
我不得不跳过20条小溪，不断躲避、挤过人群。

阿喀琉斯曾让整个伊利昂陷入20次的悲痛之中。
也有20次，我读到了您写的诗，而他却不认为那些诗美。
（莫里哀）

最终，20个家庭将会过上幸福的生活。
（吉尔伯特）

数字30。

在那里，30个冬天以来，有一只隐居的猫头鹰，
在黎明时分找到一个安全的庇护所。

然而它自己却建造了30艘轻舟。
而有时，在众人面前，它会在白昼中被30只手所压制。

它的傲慢无与伦比——
在经历了30次教训之后，它仍继续侮辱我的耳朵。

（莫里哀）

数字32。

那便是如此崇高的位置，
在32阵风的环绕之下，
《列日年鉴》的作者从那里观察着天气的变化。

（格雷斯埃）

数字40。

既然两个月后你就能占领40座城市，
既然你的力量足以给我带来美好的诗句，
那我就在两年后于赫勒斯滂河畔等待你。

40年后，辛纳、庞培、贺拉斯将会再度流行起来，重新获得他们的地位。

（科尔内耶）

数字50。

50只老鼠在我耳边，发出嗡嗡的响声。
（格雷斯埃）

数字100。
为了法国，我们不也曾100次地战斗过吗？就像他在诗中描述的那样，攻占了孟菲斯和拜占庭。
贺拉斯拥有100塔兰特财富；但吝啬的大自然只给了他一些古怪的性格罢了。
我宁愿再把100英亩土地平铺开来。你可以将它们以20或100为单位来分配。
那个连100面城墙都无法阻挡你的地方……
他说，我们见过它面对着100道铜制闪电的攻击，却依然屹立不倒。
他看到100个军团，他们非但不抵抗，反而站在城墙上等待敌人前来投降。
100名战士冲上去，展现出了他们的勇气。很快，他们就战胜了那些傲慢的民族。
到处都是死伤者，形成了一座座“悲伤之山”。
在100个地方，阴谋诡计都在针对他。
巴尔扎克也在不同之处称赞了他。
100下锤击就要砸碎我的脑袋了。

在那100根古老的支撑柱之间，那可怕的巨大大厅承受着地狱般沉重的穹顶重量。它们的诡计能够穿透堤坝与城墙，通过100个缺口从各个方向侵入。忒弥斯已见过她的天平100次摇晃不定。而他们的手段则能吸引凡人的崇拜，在100个地方为他们的荣耀建立祭坛。就像在一片被100条道路分割的森林里一样。奥齐耶能在历史中为它找到100位祖先。立刻就有100匹马被召集起来。100第纳尔，每第纳尔5法郎，那总共是多少呢？——20里弗尔。不，不过那只野兽已经100次看到过多愁善感的人了。那些人的名字被刻在100个地方，仿佛被安置在各自的壁龛中。他们毫无理由地奔向100个不同的民族，不断重复着名字与动词的含义。相信我，我曾经拒绝过100皮斯托尔的报酬。（莫里哀）你难道没有多次要求别人把话说一遍吗？（J.拉辛）比起100位国王的女儿们，我更喜欢你。（J.拉辛）

他们威胁我说，如果我不离开这里，就要打我100下。

（莫里哀）

那里有100个形状各异的雕像，都被妥善保存着。

（拉封丹）

人们分成100组来进进出出。

（拉封丹）

有个寿数超过100岁的临终之人。

（拉封丹）

喂！你难道没有100岁吗？在巴黎帮我找两个这么老的人吧；在法国则找10个。

（拉封丹）

拿着这100枚金币吧，好好保管它们，以备急需之用。
那个鞋匠觉得自己仿佛看到了地球上100多年来为人们所创造的所有财富。

（拉封丹）

“把我的歌和睡眠还给我，”他对人说，“然后把那100枚金币拿回去吧。”

（拉封丹）

还有100件看起来很烦人的小东西。

（莫里哀）

100扇青铜门在他眼前敞开。

（伏尔泰）

在这条学究气的街道上，
30个自以为了不起的印刷商，
以一副高人一等的姿态，
冷淡地接待着100位穷困潦倒的作家。

（格雷斯埃）

而那些被欧洲人狂热崇拜的“半神们”，
100个冬天以来一直被人们津津乐道地阅读着。

（吉尔伯特）

数字1000

1000只可怕的鸟儿，1000只阴森的乌鸦。

突然有一声尖叫，紧接着是1000声尖叫。

我的周围还有1000道城墙。

我发誓永远不再写作。

那些试图用艺术规则来束缚自己才华的人，真是不幸至极。

1000种如今备受推崇的优美笔法，
还有1000种我在此无法提及的笔法。

在阿杜勒山脚下， amidst 1000株芦苇之中。

“我比你们强1000倍！”愤怒的贵族说道。

源自1000位祖先；若这还不够，
那就尽情翻阅所有过去的世纪吧。

他的心始终在1000种烦恼中徘徊。

在其艺术巅峰之时，已历经1000次升华。

诗人通过1000种创意来获得乐趣。

而那些被精心挑选出的1000位作家，
也多次被高尚的荣耀所笼罩。

唉！我心情缓和了。你们的家族确实有名；
从何时开始？请回答：整整1000年，
而且你们还能提供2乘以16个分支。

用1000件美好的事迹来赢得他人的尊敬吧。

最终，在1000颗利齿的威胁下，那座房屋被毁，
连火焰也会随之化为烟雾消散。

而我想要的仅仅是一样东西，却能找到1000样之多。

一只愚蠢的动物，饱受1000种苦难。

它白白接受了1000位作家的赞誉，

本应拥有1000项珍贵的天赋。

人们已经见过1000次，哥特人、汪达尔人、盖皮德人这些征服者身上流出的污秽之物。

如果没有诗人的帮助，他们那些广为流传的名字，
早已在1000年前就与他们一同被遗忘了。

你又想用1000种美德来让我为难了。

刚进入贡博、梅纳尔和马莱维尔，
在1000处景观中，也就只能欣赏到两三处罢了。

《寓言》为人们带来1000种不同的乐趣。
而在那被毁坏的森林上，却有1000起诉讼案。

可以通过1000次体验来了解大自然。
（莫里哀）

经过1000年甚至更长时间的战争之后……
（拉封丹）

塞纳河流淌着王者之水，卢瓦尔河也在其中；
索恩河也是如此，还有1000条其他河流。
（吉尔伯特）

吃完饭后，还有1000枚烟花要燃放。
（科尔内耶）

我们需要1000个人，才能把整个地区都清理干净。
（拉封丹）

在朋友之间分享1000样东西。
（拉封丹）

数字6000：
快逃离北极七颗星星带来的冰冻之力吧！
在漫长的岁月里，去拥抱200个世纪，跨越6000年之久。

（伏尔泰）

数字100,000

我拥有100,000种美德，这些都是用路易金币精心计算得出的。

数字1,000,000

那个靠欺诈手段获得1,000,000财富的人，
曾经只是个仆人，如今却成了伯爵和侯爵。

分数

没有什么比各种仪式更让我恼火的了；
如果听我的话，这些仪式就应该被废除。
那是一种该死的习俗，大多数人都会因此愚蠢地浪费三分之二的时光。

（莫里哀）

上述引文均出自经典作品。请允许我们再引用维克多·雨果的《克伦威尔》中的第一行诗，以及《鲁伊·布拉斯》中的三行诗。

明天是1657年6月25日。

女王的日常开销相当可观，每年需要664,666杜卡特——这可是一笔巨大的开支。

奇闻异事与怪事

文艺复兴时期的曲线

在变换对数螺旋线以构造其展开图和焦散线时，会再次出现那条最初的曲线。雅克·伯努利将此视为复活的象征，他希望在自己的墓碑上刻上这条曲线，并配上这样的话：“Eadem mutata resurgo。”

**魔法方阵**

所谓魔法方阵，指的是那种被分割成若干小格子的方阵，这些格子里填有数字，无论从垂直列、水平行还是对角线上选取这些数字，其总和始终不变。例如，下面就是一个由9个格子构成的魔法方阵，所有数字的总和均为15；这些数字就是前9个自然数。

438
951
276

需要注意的是，如果给方阵中的所有数字加上同一个数，或者将它们都乘以同一个数，那么这个方阵依然保持“魔法”特性。

在古代，人们赋予了这类组合以特殊的象征意义，而几乎所有的护身符中都能找到这样的组合。

如果一个魔法方阵满足这样的条件：将其分成两个相等或不相等的矩形后交换这两部分，该方阵仍然保持魔法特性，那么这样的方阵就被称为“邪恶魔法方阵”。

示例：

15 6 9 4
10 3 16 5
8 13 2 11
1 12 7 14

查理十二世

有人试图将这位王子描绘成一位出色的数学家；他确实具有很强的洞察力，但有关他数学知识的证据并不充分。他想要改变以十为单位的计数方式，提议用64作为新的计数单位，因为这个数字既包含立方数也包含平方数，而且除以2后还能化为1。这一想法仅能说明他喜欢一切非凡且困难的事物。

伏尔泰

几何数

所谓三角数，指的是如下形式的数字：

*
* **
* ** ***
** *** **** 等等。
3 6 10

鹤群就是以这样的方式排列行进的。

此外还有四边形数、金字塔形数等等。

人们以为所有的数字都相似，但莱布尼茨则强调它们之间的差异。

普通的曲线

尽管有着复杂的名称，但摆线其实是一种非常普通的曲线。

事实上，当汽车行驶时，每个车轮上的每个钉子都会描绘出这种曲线。

宜居的行星

首先就是我们生活的地球。至于其他行星，或许有与人类相似或不同的生物居住在那里。这些都属于纯粹的假设，丰特内尔以幽默的方式对它们进行了调侃。

他人与自我

爱，就是将他人置于自己之上。爱的伟大程度可以看作是一个分数，其分子——即我对他人的喜爱与同情——并不由我决定；而我对自己的爱则可以由我来调节，使其变得极小，这取决于我对自己个性的重视程度……世间关于爱及其程度的种种论述，其实不过是根据分子来判断分数价值的推理，完全忽略了分母的作用。

托尔斯泰

蜜蜂的几何学

这是泰勒所著英文著作的标题，书中阐述了在建造蜂箱时可能出现的各种问题。

蜜蜂巢房令人惊叹的几何特性已被多位观察者记录下来：帕普斯（公元前4世纪）、马拉尔迪（1712年）、雷欧米尔（1702–1739年）、麦克劳林、卡斯蒂永与吕伊耶（1781年）、布罗厄姆勋爵（1858年）、特尔凯姆（1856–1860年）、胡尔特曼（1868年）、穆伦霍夫（1883年）、亨尼西（1885年）。

偶数还是奇数？

最好选择奇数作为赌注，因为可以证明，在给定的组合数量中，总会有一个组合是奇数个元素构成的。

在诗歌节奏方面，魏尔伦也有类似的观点：

“首先考虑音乐，
因此他更偏爱奇数，
因为它更为模糊，更容易融入空气之中，
不会带来任何沉重的感觉或束缚。”

完全数

所谓完全数，指的是那些等于其所有除数之和的整数。

例如：6、28、496等。

目前人们已知的完全数仅有九个：

2×3、4×7、16×31、64×127、4096×8191、65536×131071、
262144×524287、1073741824×2147483647，以及260(261-1)。

自欧几里得以来，人们就知道完美数具有2^(2n+1-1)的形式，前提是n+1与2n+1-1均为质数。

**互质数**
当两个数的所有真因数之和分别等于另一个数时，称这两个数为互质数。目前已知的互质数对有三组：234和220；17296和18416；9363584和9437056。

**数字狂热症**
W...先生45岁。他几乎一直待在自己的书房里，人们以为他正在从事重要的工作……实际上，他把全部时间都用来统计《创世记》、《出埃及记》、《利未记》等书中某些字母——比如S、T、G、Z等——出现的次数；还统计某版本书籍中以P开头的页数、以B开头的页数、以A开头的页数等等；以及以P结尾的页数、以G结尾的页数等等。

特雷拉特医生
他开始相信13这个数字具有某种宿命般的意义，有时在睡前，他会触摸床头柜13次，或者触摸房间里散落的13件不同物品。渐渐地，他开始连续多次重复这种动作，最终甚至整夜都在做这件事，只为满足自己的这种强迫观念。

数字13对他来说越来越重要：他避免在一句话中使用13个单词；如果已经写了12个单词而意思尚未完整，他就会赶紧再添加至少两个单词，以确保总词数超过13，因为他担心第13个单词会带来不幸。在语言表达方面也是如此，他会刻意控制句子长度，避免出现13个单词的句子。这种繁琐又可笑的做法让他无法专心处理任何严肃的事务。

马格南博士。

电学解法

费利克斯·卢卡斯利用电学，仅通过一个图表且无需计算，就能解出任意阶数的数值方程。（摘自1888年3月5日、4月9日以及1889年12月22日的科学院报告。）这种方法是基于电解作用来生成各种图形。

塞萨琳娜

……这个小女孩，是那位老教师的得力助手；她的身材比那些进入综合理工学院和师范学校的学生更为魁梧，她简直就是塞萨琳娜本人……

……他说，就连瓦坎特——那位专门课程的教授——与她相比也只不过是个小角色而已。

……有些著作只有她才能熟练阅读……她真是不可思议，堪称数学天才。她的父亲也很出色，只是过于崇拜沃龙斯基[5]。

“归根结底，生活中的一切，哪怕是最不可思议的事情，都可以用恰当的方程式来解决。”（塞萨琳娜的话）……

道德方程式——我所看到的，不过是那些被揭示出来的未知数而已，也就是说，那些事实……我只能标出一些点，至于要找出其中的心理坐标，则需交给更有洞察力的人去完成。

里什潘

激情

友谊与爱情存在于一个有限的范围内，它们只关注当下这一代人，以及数量有限的个人，因此可以用圆和椭圆来表示——这些都是封闭的、有界曲线，能够涵盖一个明确的区域。

而抛物线和双曲线则不同，它们是永无止境的曲线，会无限延伸下去。就像那种考虑子孙后代的家族主义，或是渴望拥有后代的野心一样。

在友谊关系中，存在着平等与地位的混同。在圆中，所有的半径都是相等的，它们都从中心出发并最终回到中心。

椭圆有两个焦点。从其中一个焦点发出的光线会反射到另一个焦点上，这正好对应着两颗因爱情而相连的心之间的互动。如果椭圆的平面逐渐倾斜，靠近圆锥的某条边，那么其中一个焦点就会越来越远，最终消失在无穷远处。此时，椭圆就变成了抛物线。如此，爱情便逐渐退化，最终变成家族主义；同样，原本只针对一个人的感情也会逐渐扩展，最终覆盖更多人，就像抛物线的光线在空间中不断延伸，最终到达另一个焦点一样。

从双曲线的焦点发出的光线，在经过曲线反射后会远离轴线而上升；它上升得越高，意味着它最初就已经到达了更高的位置。这就是野心家们的行为方式。

总是要超越自己已达到的境界，而其欲望也会因以往的所有成就而愈发强烈。

夸张与省略一样，其极限都是抛物线——因为野心与爱情一样，都会导致家族主义。当一个有野心的人再也没有什么可以期望的时候，他就会考虑自己的后代、家族以及希望传给后世的名声。

H. 雷诺

立方税制

一位社会主义者设想了一种统一的税收制度：每位公民只需根据自己居住、经商等所需的空间体积来缴纳税款。

二进制系统

莱布尼茨认为在二进制算术中能够找到创世的象征——他只使用0和1这两个数字。他认为上帝可以用1来表示，而虚无则用0来表示；至高无上的存在从虚无中创造了万物，就如同在这个算术系统中1与0组合起来可以表示各种数字一样。莱布尼茨非常喜欢这个想法，于是将其告诉了中国的数学法庭主席、耶稣会士格里马尔迪，希望这一创世象征能让那位热爱科学的皇帝皈依基督教。

一只毛毛虫

博物学家将那种在行走时似乎用身体长度来测量或丈量地面的毛虫称为“几何毛虫”。

拉普塔

从那里我们进入了数学学校，那里的教师会向学生们传授一种欧洲人很难想象的方法。每一个命题、每一条证明都会被写在一种特殊的面包上，再用某种头状染料书写。空腹的学生在吞下这种面包后，必须三天之内不进食也不饮水，这样当面包被消化后，头状染料就能进入大脑，从而将命题及其证明传递到大脑中。

斯威夫特

巴布克对帕努尔格说：“你们那个世界的传教士和学者们只是用漂亮的言辞来欺骗人们，而我们则通过口腔将观念真正植入人的体内。不过，我并不是让你们阅读这一章，而是让你们理解这个解释：我的意思是‘品尝这一章，吞下这个解释’。从前有个古人吃了一本书，结果成了博学之士；现在你们只要吃下一本书，就会变得极其博学。来吧，张开你们的下颚。”

拉伯雷

我们就不谈论那些被称为“汤贩子”的、负责帮助人们通过毕业考试的家伙们了。

谈论我们所知道的事物

以下是夏多布里昂的三句奇特言论：

1. 数字“3”是一种既不能被其他数字所生成，却又能生成所有其他数字的分数。

2. 十进制运算或许适合商业活动使用，但在生活的其他方面以及天体计算中，它既不美观也不方便。大自然很少使用这种运算方式；它还会影响一年的长度以及太阳的运行轨迹。而万有引力定律——或许也是宇宙中唯一的定律——是通过距离的平方来体现的，而非五次方。

3. 那颗以漫长岁月为特征的行星（木星），只能依靠四束微弱的“光”来运转；那颗处于“哀伤”之中的行星（土星），远离阳光，却像一个无法得到安慰的寡妇一样戴着环……

同一位夏多布里昂在《墓地回忆录》中写道：

我在数学领域取得了飞速进步，我的思维清晰度令勒普兰斯神父惊叹不已……我还将对数表背得滚瓜烂熟……

掌握权力的几何学家们

法国应当成为一个共和国家，由几何学家们来统治，让他们用微积分来处理一切事务。

——弗雷德里克二世

普鲁士的伟大君主弗雷德里克二世并不喜欢高等数学，他还写过一篇篇冗长而尖刻的讽刺文章来批判这些数学理论。

他在写给伏尔泰的最后一封信中写道：

“欧拉计算了将水提升到水池中的所需力量，这些水随后会通过渠道流回，最终从‘无忧宫’喷涌而出。我的水车虽然是根据几何原理设计的，但却无法将一滴水提升到距离水池五十步远的地方。真是虚妄至极！几何学也是虚妄的！”

庞大的家族

沃邦在《闲暇录》中用这样一个标题开了一个小章节：“估算方法——用来判断一头母猪在十年间能产多少猪崽。”

用诗表达的数学知识

……一种约定
清晰地解释了数字的用法。
当一个数字位于另一个数字的左侧时，它具有优势；
按照惯例，它的数值会是原来的十倍。
因此，当5位于8的左侧时，它的数值就是50，再加上后面的那个数字。

垂直线总是比斜线短。

顶点位于曲线上的角度，其大小相当于该弧度数的一半。

如果我没记错的话，斜边的平方等于……

各边平方之和。
建立在其他边之上。

在无嫉妒的环境中，有忠诚的伴侣相伴，
可以看到两条平行的直线并行前进。

……两支秩序井然的队伍，以相等的力量排列着彼此相连的群体；
这时，有个未知数蒙着面加入了他们，它往往同时出现在多个地方，潜伏其中。
……

这其实是一个方程，以及对该未知数的求解过程。其结论虽然有些苛刻，但却富有哲理：

……在这个广阔的领域里，不可能的事情也会变成可能；命运会给我们带来正面结果，或是其相反的结果；要么是难以测量的值，要么是明确的意义；有时是无穷大，有时则是虚数。我们可以随意摆弄这些概念。真是不可思议——那些不存在的东西也受制于我们的法则！

**奇异直线**

无法用直尺画出这样的直线；它上任意两点之间的距离为零；它与任意另一条直线都保持恒定的角度；它还与其自身的方向垂直，等等。

（据说方程x + y√-1 = 0表示一条虚直线，它具有上述特性。）

我们还可以要求在圆锥曲线上找到这样一个点：在该点上，切线与法线重合。

（那是曲线与其某条准线相交的虚点。）

无穷直线、无穷圆周、平面上的两个脐点或无穷远处的圆点，也具有一些看似矛盾的属性。

独特的标题

格拉特里神父说道：“我翻开了圣奥古斯丁所著的那本标题奇特的书——《论灵魂的维度》。书中既有几何图形，也有文字……”

赫尔巴特用圆圈、正方形、数字以及代数符号来装饰他的哲学体系。

割线

上帝的正义与慈悲如同两条平行线，而“悔改”这条割线则能让它们相交。

拉科达尔

被吞噬的星星

那颗蓝色的星星会吞噬另一颗非常小的星星，不久之后又会将其吐出来。西伯利亚人就是用这种方式来解释木星卫星的食现象的。

在维瓦雷地区的农民们，因为北斗七星的形状，而将其称为“锅”。

小麦的价格

人们试图探究太阳黑子是否会对地球产生显著影响：W.赫歇尔就试图找出小麦价格与太阳黑子数量之间的关联。

圆形与三角形

16世纪的一位传教士说，世界无法填满人的心灵，因为世界是圆形的，而心灵则是三角形的；一个圆形物体无法完全填满三角形。

在一篇现代文章中我们读到，在商业活动中，人既需要圆融处事，也需要果断决断。

难以理解

根据毕达哥拉斯的观点，灵魂是一个自我运动的数字；美德则是一个平方数，而正义则是一种几何比例关系。

亨利四世

那个拥有三重天赋的家伙……出生于耶稣基督诞生后的14个世纪、14个十年以及14年之后的12月14日。他于5月14日去世。他的名字由14个字母组成（亨利·德·波旁）。他活了4次14年、4次14天以及14周的时间。他曾三度担任法国和纳瓦拉的国王，每次在14年之内。1594年12月14日之后14天，他被沙泰尔所伤。从那一天到他去世，共有14年、14个月以及5次14天的时间。他在3月14日赢得了伊夫里战役的胜利。王储则在9月14日之后14天出生，并在8月14日接受了洗礼。亨利在耶稣降生后的14个世纪以及14届奥林匹克周期之后的5月14日被谋杀。这起谋杀案发生在女王进入圣德尼大教堂之后2次14小时之后。拉瓦亚克在国王去世后14天被处决，那一年是1610年，而1610可以被14整除。世界末日到了。有人试图用这种计算方法来评估历史记载的可靠性。一位英国几何学家约翰·克雷格认为，由于政治或道德方面的事件本身的特性，这些事件的真实性会随着代际传递而逐渐降低，他试图以此来证明自己的观点。

一些可追溯至我们这个纪元初期的事件，将在同一纪元的9153年彻底不再具有可信性。因此，他将那一年视为世界终结或重生的确定时刻。

《球体论》

教育家弗罗贝尔在1811年发表了《球体论》一书，书中写道：“球体堪称所有物体与形态的原型与统一体。其中不存在任何角度、线条、平面或表面，但却拥有所有的点与表面。”

在探讨这种晦涩的几何概念之后，书中又阐述了球体与道德生活之间神秘的关联。“认真培养一个人的球形特质，其实就是对他进行教育。”能理解的人自然会明白！

《天文遗愿》

1891年6月在波城去世的古兹曼夫人，在她的遗嘱中写道：她将100,000法郎的奖金捐给法国科学院（科学部），奖励那些能在十年之内找到方法与某颗恒星（行星或其他天体）取得联系并收到回应的人。这位遗赠人特别提到了火星——目前所有科学家都在关注并研究这颗行星。

以下是弗拉马里翁先生的评论：

“要与火星上的居民取得联系，就必须用光电话与他们通话：‘你们在吗？’而且……他们还必须真的在那里，并且能够理解我们的信号。”

实际上，火星已经通过引力与光与地球进行交流。天文学家们正在分析这两种通信方式。我们现在所期望的，以及未来很可能实现的是一种更为微妙、更符合人类方式的通信手段。

这个想法本身并不荒谬，或许它也没有电话、留声机、光电话和活动电影放映机那么大胆。这一想法最初是针对月球提出的。

如果在月球表面用长度为12到15公里的光线画出一个三角形，那么借助我们的望远镜，从地球上就能看到它。我们甚至能够观察到更小的细节，比如在被称为柏拉图环的月球环形山中发现的那些奇特的地形图案。因此，如果我们利用光源在广阔的平地上绘制出这样的三角形、正方形或圆形——无论是白天利用太阳光反射，还是夜晚利用电灯——那么如果月球上真有天文学家的话，而且他们拥有与我们相当的光学仪器，他们就一定能看到这些图形。

接下来的推理非常简单。如果我们看到月球上有一个构造完美的三角形，我们肯定会感到有些疑惑，以为自己看错了，会思考是否是地质或月球表面的自然形成过程造就了这样的规则图形。最终我们或许会承认这种可能性。但是，如果突然看到那个三角形变成了正方形，几个月后又变成了圆形，那么我们就会合理地认为，某种智慧的力量在起作用，进而推断出在这个邻近的星球上肯定存在着几何学家。

从这里到去探究为何要在月球表面绘制这样的图形，再到思考那些未知的“兄弟”们为何要绘制这些图形以及其目的，其实只有一步之遥，而这一步很快就会被跨越。

他们是想与我们建立联系吗？这个假设并非毫无道理。人们会提出它，加以讨论，或认为它过于武断而予以否定，或认为它很巧妙而予以支持。毕竟，为什么不可以呢？为什么月球上的居民不会像我们一样充满好奇心？也许他们更聪明，抱有更高的理想，也不像我们那样被物质需求所束缚。他们为何不认为地球也可以像他们的世界一样适合居住呢？那些几何图形信号，又何尝不是在询问我们是否存在着呢？其实回答这个问题并不难。有人向我们展示一个三角形：我们就在这里复制它；有人画出一个圆圈：我们就模仿它。这样，自世界诞生以来，天地之间就首次建立了沟通渠道。

既然所有世界的居民都使用相同的几何学原理，既然在无限的各个角落里“二加二始终等于四”，而且无论何时，三角形的三个内角之和都等于两个直角，那么地球与月球之间交换的信号甚至不会像商博良破译的象形文字那样难以理解，这样的沟通很快就会变得规律且富有成效。

有人提议，可以通过在地球上绘制并照亮以斜边为边的巨大正方形来与行星上的居民进行交流。

费弗尔先生在他的戏剧《红星》中试图将这些理念搬上舞台。

一万一千

圣乌苏拉与她的同伴乌恩德西米拉一同遭受了殉难，后者的名字便衍生出了“一万一千名处女”的传说。

幻想

船长的年龄

这个名称用来指代所有那些荒谬且毫无根据的问题。事实上，仅凭船只的速度、主桅的高度以及经纬度，是很难推断出船长年龄的。

大家正在讨论这个谜题时，莱昂·戈兹兰突然宣称，这个问题已经在马赛得到了解决。所有人都惊呆了——“不可能！”“我向你们保证就是如此。” “请告诉我们详情吧。”原来，有一艘船在卫生委员会看来很可疑，于是船员们被隔离起来；船长也不得不忍受几天的隔离生活。但最终他实在按捺不住，违反规定离开了隔离区。

这时，叙述者突然停止了讲述，这让在场的众人十分惊讶。“那么？……”有人问道。戈兹兰回答说：“问题已经解决了。” “怎么会这样？怎么做到的？”几个人同时问道。 “很简单：船长突破了隔离限制。”

1等于一个数字

某位军官规定了某个时间进行训练。他到了之后，只看到一名号手，便问道：“各位，为什么只有一个人呢？”

尚福尔

到达梅伦时，
我们还算是一个整体；
到达卡尔卡松时，
我们就什么都不是了。

R. 庞雄

维克多·雨果曾经为一些没那么棘手的数字创作过押韵诗：

从奥特朗托湾出发时，
我们有三十人；
但到了加的斯时，
只剩十人了。

关于这个话题：如果“单位”也算一种数字的话，可参阅《波尔罗亚尔逻辑学》，书中对斯蒂文的观点提出了质疑。

超越函数

如果我提到对数、指数、余弦、微分、积分，人们就会问：这些未知的事物究竟是什么？它们是两条腿还是四条腿行走的？它们会飞行、爬行，还是在海里或淡水中游动？它们是否属于我们感官能够感知的东西？是否有重量、声音，是白色还是黑色，是热还是冷？如果它们是形而上的存在，那它们又能在与自己格格不入的物质世界中做些什么呢？思想无法移动山岳，自然也不是靠数学公式来运转和维持世界的。

巴比内。

讽刺之语。

拍卖会

最近，一位德国天文学家在报纸上宣布，他发现了一颗新行星，并打算以……来为它命名。

没有谁愿意出最高的价钱来买下它。此外，这位学者还希望为自己的天文台购置更先进的仪器。

一半再加一

如今，数字已变成一种“宗教”；法律则属于算术的范畴。那些坚持“一半再加一”这一原则的人，仅仅因为自己遵循了这一原则，就自认为掌握了理性与正义。

保罗·拉菲特

算术是一种过于刻板的治理方式。

罗米厄

趣闻轶事

据说，阿方索国王厌倦了托勒密理论中那些复杂的圆圈和本轮结构，于是大声说道：“如果上帝在创造世界时征求过我的意见，我一定会给他一些好的建议。”将这句针对希腊天文学家假设的调侃之语视为不敬之举，实在是大错特错。

阿拉戈

拉普拉斯并非像拉朗德那样是无神论者。据说，当拿破仑问他为何在《天体力学》中不提及上帝时，他的回答是：“陛下，我并不需要这个假设。”不过这种说法或许有些绝对化了。（参见瓦尔松所著的《柯西传》序言）

北方与南方

北方和南方是地平线上最相对的两点。

（摘自词典。）

这是一首相当有趣的诗，出自第一个帝国时期：

从冰冷的极地到炽热的极地。

三个星期四的周

无论人们如何看待，一个星期里确实可能出现三个星期四，只不过是针对三个人而言。只要假设某个港口今天是星期四，那么两天后以及两艘船返回的那一天前，也会是星期四——这两艘船分别从东方往西方航行，或从西方往东方航行，每天行进3度经度。

律师

代数问题中的各种条件必然先于代数本身而存在。对于几何学家、机械师、天文学家、物理学家等人来说，这些条件绝不能是随意设定的。而对于纯粹的代数学家而言，任何可以转化为方程的条件都是可行的。从这个意义上说，代数学家就如同律师一样，愿意为任何案件辩护。

J. A. 兰格卢瓦：
我曾与本世纪最早的数学家们有过交往，我觉得他们几乎每个人都有点疯狂的特质。尽管计算结果看似毫无错误，但它们并不能证明那些不完美的数据是正确的；而那些数据其实只是基于观察、实验和判断得来的。如果所依据的数据本身就是错误的，那么所有的计算也就毫无意义了。

J. B. 赛伊：
代数推理并不总能揭示出前提的错误。

**金融领域**：
只要掌握了那四条规则，就能成为金融领域的能手。

米拉波：
选择正确的道路吧，把那些书都丢掉吧。
100法郎，每枚硬币价值5法郎，那总共是多少呢？20里弗尔。说得好！你已经掌握了所有需要知道的知识……
聪明的放债人就是这样为儿子铺就通往财富的道路的：他们告诉儿子，五加四等于九，再减去二，就剩下七了。

布瓦洛

那个可怜的罗斯柴尔德啊！
天哪，他正在仔细计算自己那20亿的财富——这笔数目简直大得离谱。如果他算错了哪怕两里拉，那就不得不重新计算了。
——德·班维尔，《西方诗集》

**关于学士学位考试**
“从一点到另一点的最短路线是什么？”
考生犹豫片刻后回答：“那就是铁路线。”
教授说：“你忘了电报线啊。”

**幽默**
如果你属于那种只相信绝对真理的人，不愿意接受任何受到蒙田和柏拉图影响的观点，非得用各种方法来验证它……
如果你更看重正确的计算结果，而非类比或比较……唉，那你就直接说出来吧！只要我们就起点达成一致即可，也就是以士麦那的迪奥克勒斯所提出的概念为基础，用1000这个数字来代表人的精神本质。
其价值相当于1000。

让我们开始分析吧：

要么是西奥多，要么就是我的想象力——0分；
要么是唐·皮克·德·范弗鲁奇奥，要么就是我的记忆——1分；
要么是布雷洛克，要么就是我的判断力——999分。

我无需在你们面前进行总结；不过你们可以很容易地与数学老师、管家或洗衣妇一起验证这个结果。

所以我大胆地宣布总分为：1000分。

夏尔·诺迪埃

**舞者**
有人想让我担任某个职位，可惜我并不适合；因为需要的是一名计算员，而那个职位最终被一名舞者得到了！

博马舍

**酒**
第欧根尼向柏拉图请求几瓶酒，柏拉图便送了他三打。第二天，第欧根尼再次见到柏拉图时对他说：“当有人问你二乘二等于多少时，你不要回答四，而应该回答二十。”他表面上表示感谢，实则是在批评柏拉图的对话太过冗长。

烹饪

在莫里哀的戏剧中，阿尔甘问道：“在一个鸡蛋里需要放多少粒盐呢？”迪亚福鲁斯回答说：“六粒、八粒、十粒——用偶数；而像药物配方那样，则要用奇数。”

此外，于格·勒鲁还让我们的厨师大师们说了这样一番豪言壮语：

“耐心点吧！烹饪领域也会出现自己的谢弗勒尔。会有天才人物证明，味道与声音、颜色一样，都是振动现象。那些用来支配音乐与光影组合的数学原理，也将被应用到味道的研究上。我们会看到师范学校的学生成为那些能写出前所未有调味公式的人，而我们则只能在自己的炉灶和锅里寻找答案。再过不久，如果不具备出色的数学能力，就再也无法成为优秀的厨师了。十年之内，厨师这一职业的从业者都将来自综合理工学院的老毕业生。”

查尔斯·杜潘也认真地指出了厨师们可以从数学中获得的益处。

无聊的对话

有人问伽利略几何学有什么用处。他回答说：“用来称重、测量和计数——用来给无知的人称重，给愚笨的人测量，然后再把他们一一统计起来。”

第一个来的人

有个求职者想要得到一份工作，试图展现自己的能力：

“请相信，”他说，“我绝非普通人……”
“的确，从今天早上开始，你已经算是第十二个了……”

有趣又幽默的数学问题

我们的祖先很喜欢数学游戏，尤其是巴谢·德·梅齐里亚克所设计的那些有趣又有趣的题目。
这里我们提供一些这类问题，需要提醒的是：那些看似简单的题目，有时会引出较为复杂的方程式。

算术问题

要写出前10个、100个、1000个、10000个自然数，分别需要多少个数字呢？
如果把所有的自然数依次连写下来，那么在序列中处于某个特定位置的数字是什么？例如，第75872个数字就是4。

再进一步思考这个问题：如果把1到99999的所有自然数按顺序写下来，总共用了多少个数字？第40000个数字是多少？它属于哪个数？最后，在这个序列中，0、1、2……9各出现了多少次？

被罗马人打败后，四十名犹太人和历史学家约瑟夫斯躲进了一个洞穴里，他们决心宁死也不投降。他们排成一排，每三人一组，然后互相残杀。

每次都是第三个。有人问，约瑟夫为了躲避屠杀，选择了什么位置？

约瑟夫选择了第16位或第31位，最终他只和另一个人在一起，那个人本应被杀，但他选择向敌人投降。

有一艘船面临沉没的危险，必须牺牲一半的船员。

一共有32名水手，16名白人，16名黑人。船长让他们排成一行以便逐一处决。要拯救那16名白人，应该按什么顺序排列？

在仅由数字1构成的数1、11、111、1111……中，哪些数不是质数？

请说明12345679乘以9的结果，以及从9到81的所有9的倍数的特殊之处。

假设每分钟能数200个数，那么数到一万亿需要多少时间？

答案：9512年。

3名工人从巴黎到凡尔赛需要5小时。那么7名工人完成同样的旅程需要多少小时？

1876年5月26日时，路易斯的年龄是他兄弟让的55/71倍。到了同年7月26日，这一比例则降为7/9。请找出他们两人的出生日期。

例如，先写出7个五位数的数，然后立即自己再写出7个这样的数，使得这14个数的总和等于7×99999，即499993。

解释为什么37乘以3及其倍数的结果都是由相同的数字重复构成的——同样地，也说明12345679乘以9及其幂的结果为何具有这种特性。

有一座喷泉，上面有一尊青铜狮子，上面刻着这样的文字：“我可以通过眼睛、嘴巴和右脚来喷水。如果我用右眼喷水，两天就能填满水池；如果用左眼，则需要三天；用脚喷水则需要四天，而用嘴巴则只需六小时。那么，如果同时用眼睛、嘴巴和右脚来喷水，需要多少时间才能填满水池呢？”

猜出某个人的出生日期。

分别将30、60和50加到日期的日数、月份编号以及年龄上，把得到的数连在一起，然后再从该数中减去306050，剩下的数值就是答案。

示例：1842年3月18日，那么18+30=48；3月是第3个月，所以3+60=63；1842年的年龄为48，因此48+50=98。

486398减去306050后，剩下18348，也就是第三个月的18号，而该人的年龄为48岁。

求2/3的平方根，精确到1/3；求5/6的平方根，精确到1/6，等等。一般来说，就是求n - 1/n到1/n之间的值。立方根、四次方根等也适用同样的方法。

一位妇女需要与她即将出生的孩子共同分割350000法郎的遗产：如果生的是儿子，她只能得到儿子应得份额的一半；而生的是女儿，则能得到女儿应得份额的两倍。现在这位妇女生了双胞胎，一男一女。那该如何分配这笔遗产呢？

答案：母亲得到100,000法郎，儿子得到200,000法郎，女儿得到50,000法郎。

需要证明：两种贴现方式之间的差值等于外部贴现额减去内部贴现额，同时也等于内部贴现额加上外部贴现额。

人们通常把简单的三则运算规则称为“黄金法则”，但实际上那只是一个问题而非真正的规则，而且通常涉及三个以上的数字。

关于三则运算规则的哲学思想，可参阅泰纳所著的《论智力》第一卷。

“我有一个被篱笆围起来的花园，但我的水果总是被偷走；于是我决定在花园周围筑墙，我就从村里找来所有能找到的工人。”

例如4，一天后我发现他们总共只为我完成了12米的工程。于是我派人从附近的村庄再找来六名工人……”

那个著名的45可以分成4个部分，通过给第一个部分加2、从第二个部分减去2、将第三个部分乘以2、最后将第四个部分除以2，就能得到相同的结果。（75和4也有类似的问题。）

其次，我们有：

987654321 45
123456789 45
————
864197532 45

找出若干个连续的整数，使得其中没有一个是质数。

令N = 2 × 3 × 4 × 5 × 6… × m × (m + 1)，然后取N + 2、N + 3、N + 4……N + m + 1。

对于一个三位数，用它的倒序数相减，得到的差值的个位数就是所求的数。再推断出另外两个数字。

答案：在差值中，十位数字始终是9，而另外两个数字的和也始终是9。

我分给三个孩子的篮子里一共有多少个桃子呢？第一个孩子得到总数的一半再加上半个桃子；第二个孩子得到剩余数量的一半再加上半个桃子；第三个孩子同样得到剩余数量的一半再加上半个桃子。这样之后，我就还剩下4个桃子，而且没有需要切开的桃子。

答案：39。如果不指定剩余桃子的数量，还有其他解：7、15、23、34、47……对于多个孩子的情况，也有相应的通用解法。

孩子们通过竖线表示第一个数字的个数，再用横线或斜线将它们连接起来，从而用大写字母表示出第三个数字。例如，6和7加起来是9；6和3加起来是8；4和2加起来是1，等等。

在河边有三位国王和三位仆人。这些仆人打算杀死国王们。只有一艘非常小的船，只能容纳两个人。任务就是安排他们上船的方式，使得任何时候，某岸上的仆人数量都不会超过国王的数量。

找出一个三位数，要求它能被5整除，且其商恰好是由该数的最后两位数字组成的数。

唯一的解是125、250和375。

找出两个数，其中一个数比另一个数大13½，同时这个较大的数又是较小数的13倍半。

您在问我的年龄和名字吗？

我的年龄等于其三分之一的数值，再加上其九分之一的数值与七分之二的数值的乘积。至于我的名字，只要在从年初至今的天数的一半基础上，再加上从我生日到普通年度结束时的天数三分之一的数值，就能在日历上找到它。

找出一个四位数，使其等于该数最后两位数字所组成的数的平方。

答案：5776。

如果每次走两级台阶会剩下一级，每次走三级台阶会剩两级，每次走四级台阶会剩三级，每次走五级台阶会剩四级，每次走六级台阶会剩五级，而每次走七级台阶则不会剩下任何台阶，那么这个楼梯一共有多少级呢？

找出一个数，使其等于其各位数字之和的立方。

答案：6859；4913；1；512；17576；19683。

在《基督山伯爵》中，大仲马要求用前九个数字来组成一个加法算式，这些数字不能重复使用，也不能使用零，且算式的结果应为100。

答案：74；25；3/6；9/18。

49、4489、4444889、444448889……这些数都是在前面的数中间插入48而得到的，它们都是完全平方数。

找出一个整数x，使得前x个整数的和由三个相等的数字组成。

答案：只有x=36时，前36个整数的和为666。

对于任意给定的数，如果将它的第一个数字放在第四个数字的下方，然后再进行相加，得到的结果就是该数乘以7×11×13的结果。

在一份账目中，有如下内容：
f f
*1至2，*8 ci............ *98，38。

星号表示被擦掉或无法辨认的数字，需要将其补回来。

有三个兄弟，年龄分别为30岁、20岁和6岁。再过多少年，两个较年轻兄弟的年龄之和才会等于最年长兄弟的年龄？

一本有1645页的书，需要多少页码？

需要5473个。

一本词典的页码总数为15321位数字，那么这本书有多少页呢？
4107页。

求一个三位数，使得该数的两倍等于所有不大于这个数的数的各位数字之和。
答案：108。

找出两个整数，使得它们的和等于它们的乘积。——对于三个数也有类似问题。
答案：第一组：2和2；第二组：1、2和3。

找出一个两位数，使得它等于其各位数字乘积的两倍。
答案：36。

有一只羊、一只羔羊和两只兔子，它们会吃掉围场里的草。如果草不会再生，那么羊需要30天才能吃完草，羔羊需要45天，而那两只兔子则需要90天才能吃完草。不过，草实际上每60天就会重新生长一次。那么，围场里的草究竟会在多少天后被吃光呢？

哪些数字等于其各位数字立方之和？

分别是1、8、17、18、26和27。

一只蜗牛沿着12米高的柱子爬行，白天爬3米，晚上则下降2米。它需要多少天多少夜才能到达柱子顶端？

有一根30米长的绳子，每天用剪刀剪掉1米。需要多少天才能剪完？

一个阿拉伯人给他的三个儿子留下17头骆驼。第一个儿子应得到一半，第二个儿子得到三分之一，第三个儿子得到九分之一。该如何分配这17头骆驼呢？

法官骑着骆驼来了，这时一共有18头骆驼，老大得到9头，老二得到6头，老三得到2头。法官随后骑上自己的骆驼返回帐篷。

地球上是否存在两个头发数量相同的人？

假设一个人头上的头发最多有100,000根，那么头发数量各不相同的人最多也就100,000个，而地球上的居民数量远远超过100,000……

这个问题是妮科尔向朗格维尔公爵夫人提出的。——奥古斯特·孔德也提到过这个问题。

在12以内找到6个13的倍数。

写出前12个数字，然后计算首尾数字的乘积，以及与它们距离相等的数字之间的乘积。

三位女神各自拿着相同数量的王冠，她们遇到九位缪斯后，将王冠分配给她们，使得每位女神和每位缪斯得到的王冠数量相等。请问每位女神最初拿着多少顶王冠？

摘自《希腊文选》。

在一条河岸边，有一只狼、一只山羊和一株卷心菜；只有一艘非常小的船，只能容纳划船的人和其中一只动物。需要把这三样东西都渡到对岸，而且不能让狼吃掉山羊，也不能让山羊吃掉卷心菜，同时划船的人不能不在场。

巴舍的这个谜题或许就是“鱼与熊掌不可兼得”这一说法的由来，或者说是受这一说法的启发而产生的。

有三名行人一起行走，共走了24里路。那么每个人分别走了多少里路呢？

以下问题选自拉加里格先生的《科学娱乐》一书：

有三个女人去市场卖橙子：第一个人有50个橙子，第二个人有30个，第三个人有10个。她们要如何以相同的价格出售这些橙子，同时让每个人获得的收入都相同呢？

答案：这些女人先尽可能多地以5分钱7个的价格出售那些品质较差的橙子，剩下的橙子则以每个15分钱的价格出售。

一位厨师把他所有的鸡蛋的一半以及半个鸡蛋给第一个助手；把剩下鸡蛋的一半再加上半个鸡蛋给第二个助手；再把剩下鸡蛋的一半再加上半个鸡蛋给第三个助手。那么这位厨师原来有多少个鸡蛋？他又是如何操作才能不打破任何鸡蛋的呢？

答案：例如39个鸡蛋，这样之后厨师手里还会剩下4个鸡蛋。

几何学

如何将一个三角形分成两个面积和周长都相同的部分？

已知所有边的中点，如何构造出一个三角形、五边形，或者更一般地，一个边数为奇数的多边形？

与半径长度相等的弧的度数是多少？

只要一个三角形的两个角平分线长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

已知壁纸卷的半径以及纸页的数量，求出该卷壁纸的长度。

描述一条与四个点距离相等的圆周路径。

给定球面上的一点，利用球面圆规找出与其直径相对的点。

仅使用圆规，找出将圆周分成四等份的各分点；同理，也可将其分成五等份、八等份、十二等份等。

有些问题可以仅用圆规来解决，也有些问题可以仅用直尺来解决。

这样就有了圆规几何与直尺几何。

将一个17边形的正多边形内接于圆中。

高斯在《算术研究》中证明：对于那些边数为2m+1形式且为质数的正多边形，可以用直尺和圆规画出其边长。

二项式方程与正多边形的内接现象之间存在着有趣的关联。

毕达哥拉斯三角形的三条边分别是连续的数字3、4和5。将这三个数与任意整数相乘，就可以得到无数个边长为整数的直角三角形。

利用这个简单的三角形，可以通过三根绳子在一条直线上某一点处画出垂直线。

从毕达哥拉斯三角形中还可以得到另一个边长为整数的直角三角形，不过它与原三角形并不相似。该三角形的直角边长度分别为原三角形两条直角边的平方差以及这两条直角边乘积的两倍。这样得到的数值是7、24和25。

如果三个相似多边形的各边长度之比为3、4、5，那么最大那个多边形的面积等于另外两个多边形面积之和。

对于四个边长之比为3、4、5、6的相似多面体，也有类似的结论，此时需要考虑的是它们的体积。

有两个村庄位于一条小河的两岸，需要建造一座桥，使得桥到这两个村庄的距离相等。

给定一个等腰三角形，需要构造另一个面积和周长都与原三角形相同的等腰三角形。

有个美食家以1法郎的价格买了一捆用绳子捆好的芦笋；第二天，他要求以2法郎的价格购买一捆同样的芦笋，只不过这捆芦笋要用两层绳子来捆扎。这种做法公平吗？

将任意四棱锥沿平行四边形截面切割。
将立方体沿正六边形截面切割。
将棱柱沿等边三角形截面切割。
要求用相同种类或不同种类的规则多边形铺满平面上的某一部分。
证明：可以用等边三角形、正方形或正六边形进行铺砌，但无法用正五边形或边数超过六的规则多边形进行铺砌。
X先生去世后留下了一块正方形土地，其中四分之一需分给穷人，其余部分则要平均分给死者的四个孩子，每份的面积和形状都相同。
找出一个直角三角形，其各边为整数，且该三角形的面积与周长相等。
答案：5、12和13；6、8和10。
描述一条与三个给定圆相切的圆。

描述三个圆，使得每个圆都与另外两个圆相切，并且都与给定三角形的某条边相切。

马尔法蒂问题。

已知三角形的三条中线或三条高，求出该三角形的形状。

用三根木桩和一根绳子在地面上画出一个园丁用的椭圆。

将一个正方形内接于某个三角形中——最大的正方形是靠在三角形的哪条边上？

将一个正五边形分割成七个部分，使得这些部分适当组合后能构成一个正方形。

求出那些无法分解为可计算的几何图形的面积——体积的问题也是如此。

仅使用直尺和圆规，求出两个已知球心的距离。

1. 为那些无法将两边延长至其交点的角作平分线。
2. 通过给定点画一条直线，使其经过前述角的顶点。
3. 从一个点到另一个不可达点的距离。
4. 两个不可达点之间的距离。
5. 底部可到达的塔楼的高度。
6. 底部不可到达的塔楼或山峰的高度。
7. 不可到达的池塘的半径。
8. 将一条直线延伸到障碍物之外。
9. 确定无法穿越的河流的宽度。
10. 判断四个点是否共面，进而判断它们是否在同一圆周上。

在烈日之下，我已竖起了我的旗帜；
它的长度是三米；它的影子则有五米又四分之一长。
再看看那座教堂的塔楼：
根据其层数可知，它有百层高。
请算出那座响亮的老钟楼的准确高度。
维特雷。

将一个正方形分割成若干小块，使得将这些小块适当组合后可以形成：1. 八个大小相同的正方形；2. 五个大小相同的正方形；3. 三个大小相同的正方形。

某个夏天，一只喜鹊在直径为3英寸的圆锥形洞穴底部发现了水。它飞过去后发现，水的表面积为6英寸，深度为2英寸。如果水的表面积能达到8英寸，喜鹊才能接触到水。它飞往自己发现的宝藏处，那么它需要取多少枚直径为16英寸、厚度为1线的硬币，才能把它们放入水中从而方便地饮水呢？

这只喜鹊对公制并不感兴趣。

有一个呈正方形的池塘，每个角的顶端都有一棵树。在不改变池塘形状且不移动那些必须始终位于池塘外的树木的情况下，如何让池塘的表面积变为原来的两倍？

请画出一个既是等边多边形又是矩形的十二边形。

（它是凹形的：也就是日内瓦十字架的形状。）

在一个长宽均为10英尺的正方形水池中央，有一根高出水面1英尺的芦苇。当把这条芦苇拉到一侧的中间时，它刚好能碰到池边。那么水的深度是多少呢？

这个古老的中国问题的答案是12英尺。

将一个圆面分成任意指定个数的部分，使得这些部分的周长和面积都相同。

已知正方形的两个顶点，仅使用圆规来确定另外两个顶点的位置。

代数

在这座坟墓之下安息着丢番图，
几行由巧手所写的诗句
能让你知道他是在多少岁时去世的；
命运赐予他的岁月众多，
第六年是他童年的结束；
第十二年则是他青春期的开始。
在他生命的七个阶段中，还有一个月亮流逝，
之后他结了婚，妻子在五年后为他生了一个儿子，
可惜，由于命运的残酷，这个儿子的寿命只有父亲的一半。
父亲在悲痛中多活了四年：
如果你会计算的话，那就告诉我他是在多少岁时去世的。

解答

用x表示所求的年龄，
不要遗漏任何条件，列出方程式，
方程式的左边是第六年、第十二年以及第七年的数值之和。
再加上九年，其结果应等于x的一半。经过移项、相加等操作后，
不难得出，这位老人的年龄确实是八十四岁。

一头骡子和一头驴子各自背着几公担的货物。驴子抱怨自己的负担太重，对骡子说：“我再背上一公担你的货物，这样我的负担就会是你的两倍了。”骡子则回答：“如果我背上一公担你的货物，我的负担就会是你的三倍。”那么，它们各自到底背着多少公担的货物呢？

欧拉。

假设给一匹马钉蹄铁需要24颗钉子，而铁匠为第一颗钉子收取1分钱，第二颗2分钱，第三颗4分钱，以此类推，金额每次翻倍。那么第24颗钉子的费用是多少？24颗钉子总共的费用又是多少？

答案：83.886法郎08苏，以及167.772法郎15苏。

有人有一个容量为12升的酒瓶，他想取出6升酒作为礼物，但他只有两个容器来量取——一个8升，另一个5升。要如何把6升酒倒入8升的容器中呢？

有一位贵族让人制作了两件衣服，一件蓝色，另一件红色，但他只给其中一件镶上金边。没有金边的蓝色衣服价格为84法郎。如果给蓝色衣服镶上金边，它的价格就会是另一件衣服的两倍。相反，如果给红色衣服镶上金边，那么红色衣服的价格就会是蓝色衣服的三倍。请分别计算红色衣服和金边的价格。

目前，世界上有近13亿名男性，而人口每年增长率约为1/200。那么，亚当和夏娃生活在多少年前呢？

答案：4,100年。

巴克斯看到西勒涅正在他的酒桶旁熟睡，便毫不客气地开始喝酒，把酒都喝光了。这一过程所花费的时间，是西勒涅独自喝酒所需时间的五分之三。不久后，西勒涅醒了过来，他极度的悲伤立刻被剩下的酒给冲淡了。如果他是在巴克斯旁边喝酒的话，按照计算，他们应该能提前六小时喝完酒；那样一来，巴克斯就需要喝下原本属于西勒涅的那三分之二的酒。现在我感兴趣的是，要知道每个人单独喝完整个酒桶的酒需要多少时间，而且不能借助同伴的帮助。

以下是查理曼高中的一名学生给出的答案：

在这种情况下，西勒涅反而占了上风。巴克斯花了15小时才喝完酒，而那位“值得尊敬的导师”只用了10小时就喝完了。由此可推断，他的酒量其实是巴克斯的两倍！

一位主人承诺每年支付他的仆人360法郎，并提供一套制服；10个月后，他只给了仆人290法郎以及那套制服。那么，那套制服的价值是多少呢？

有一名泥水工，他受雇挖掘深度为20米的井，但在挖到10米深时生病了。那么，应该支付给他多少报酬呢？假设每挖掘1米需要5法郎，同时还要支付运走土方的费用。

用正方形纸板制作出容量最大的盒子——如果纸板是矩形的话该如何做？

用正方形布料制作出容量最大的正方形帐篷。

为了能够以最大的角度看到自己的皇帝，一名老士兵应该站在旺多姆柱基部多远的距离处？

有一位女士的珠宝掉进了日内瓦湖中，她承诺愿意支付100法郎给那些能将珠宝找出来的人。有三支划船队前来竞争：一支来自日内瓦，第二支来自瑞士，第三支来自萨伏伊。最先找到珠宝的队伍的每个人可以得到5法郎，其余的钱则由其他队伍平分。如果日内瓦的队伍找到了珠宝，其他队伍每人能得到2法郎又1/4；如果是瑞士的队伍找到，其他队伍每人能得到1法郎又2/3；最后，如果是……

萨瓦人每人可得1法郎，其他人则每人1法郎。请问每个团队由多少名划船者组成？

有两个时钟A和B同时报时，A比B快3秒。时钟A的报时间隔为5秒，而时钟B的报时间隔为4秒。当两次报时之间的间隔不超过1秒时，人耳只能听到一个声音。现在共听到了14次报时声，那么现在几点了？

答案：10点。

如何猜出某个数？

1. 先取比该数大的数的平方，再减去该数的平方，得到差值后减去1，最后取一半。

2. 也可以将比该数大的数乘以比它小的数，得到乘积后加上1，再取平方根。

3. 还有一种方法：将该数乘以3，然后减去1；再将得到的结果乘以3，最后加上原来的数。问出这个结果后，再加上3，取结果的十位数即可。

4. 还可以将其数乘以3，取其三分之一的值，再将这个值乘以3，最后取结果的九分之一。将这个九分之一乘以2，就能得到原来的数。

在一个装有兔子和野鸡的笼子里，一共有35个头和94条腿。

每种动物各有多少只？

如果一名工人每天工作，包括周一在内，他每周可以节省5法郎；但如果他在周一不工作，就会损失3法郎。12周后，他总共节省了36法郎，那么他有多少周是正常工作的呢？

假设一名行人以一定的速度行走，已知他走了24公里，休息了1小时，之后又以较慢的速度走了15公里，整个行程耗时14个半小时，那么他的步行速度是多少公里/小时？

阿基米德想要知道希伦国王王冠的黄金与白银比例，他发现该王冠在空气中的重量为20磅，而在水中称重时则会减轻1又1/4磅。已知白银和黄金的密度分别为10.5和19，那么这顶王冠的成分是什么？

（我们知道，当物体浸入液体中时，它会失去与其排开的液体重量相等的部分重量。）

正是维特鲁威让我们了解了阿基米德的这个实验。

A地和B地之间的距离为225公里，A地的煤炭价格为3法郎75苏，而B地为4法郎25苏。运输费用为每吨每公里0法郎08苏。请问从A地或B地运送煤炭时，在哪一点上煤炭的价格是相同的？请证明这一点正是煤炭价格最高的地点。

给出一个数字，让对方把该数字倒过来写下，然后依次用这个总数字除以7、11和13。猜出最后的商是多少。

有个精于算计的老人，他还有32颗牙齿，于是他做了如下约定：每拔掉一颗牙，他能得到的钱数会构成首项为某值、公比为2的等比数列。而对于那些没有拔掉的牙齿，则需要支付的费用则构成首项为另一值、公比为3的等比数列。然而与他的预期相反，拔完第19颗牙后他身体状况恶化，不得不放弃继续拔牙。请计算：1）如果把32颗牙都拔掉的话，他总共能赚多少钱；2）由于有13颗牙没有拔掉，他还需要支付给牙医多少钱。

（这个关于牙医的问题真是古怪。）

18头牛在2天内吃掉了55公亩土地上的草，以及这5天里新长出的草。15头牛在8天内吃掉了70公亩土地上的草，以及这8天里新长出的草。那么，要是在20天内吃掉385公亩土地上的草以及这20天里新长出的草，需要多少头牛呢？

答案：39头牛。

牛顿。

有一位银行家，他每年进行价值1000万的交易。他想知道，如果每年将资金重新投资2次、3次、4次……或者随时都重新投资的话，自己能获得多少收益。（利息率为6%。）

答案：一年后，银行家的金额不再是10600000法郎，而是10612080法郎，以此类推，最终为10618365法郎。

在1000到2000之间，找出两个连续的数，使得它们立方值的差是一个完全平方数。

M. L. Thomas找出了1455和1456这两个数。

有个牲畜商以每只32法郎的价格购买了40只羊。他丢失了若干只羊，然后以比购买价高出与丢失羊只数量相等的金额来出售剩下的羊。这样，他便在交易中获利15法郎。他到底丢失了多少只羊？

同样的问题，假设这位商人在这次交易中既没有获利也没有亏损。

还是同样的问题，但假设他在这次交易中损失了20法郎。

有一名身高1.80米的旅行者正朝一座亮着灯的灯塔走去。起初他的影子长度为3米，当他走了100米后，他的影子长度变为2.20米。那么在他处于第二种位置时，他距离灯塔有多远？另外，灯塔的高度又是多少？——如果不给出该人的身高，也不要求求出灯塔的高度，那该如何解答这个问题？

已知某人在1892年的年龄等于其出生年份各数字之和，求该人的年龄。

答案：19岁。

一块三针手表显示为两点钟，那么此时秒针会处于另外两根指针所夹角度的平分线上吗？——这三根指针的尖端能否构成一个等边三角形？

根据《民法典》第757条的规定，私生子的继承份额为其若为婚生子女本应获得的遗产份额的三分之一。因此，对于那些既有婚生子女又有私生子女的人的遗产，应按照这一比例进行分配。

答案：以整个遗产为1个单位来计算的话，卡塔兰先生得出结论：婚生子女的继承份额为……

一只狐狸被猎犬追赶，它领先60步；狐狸每跳9步，而猎犬则跳6步，不过猎犬的3步相当于狐狸的7步。那么猎犬需要跳多少步才能追上狐狸呢？

一只猎犬刚刚追上了一只领先77步的野兔。已知猎犬的12步相当于野兔的17步，而且当猎犬跳了与野兔相同数量的步数时，野兔还会再跳216步。那么在猎犬追上野兔之前，野兔一共跳了多少步呢？

一位父亲49岁，他的儿子10岁。那么再过多少年，父亲的年龄就会是儿子年龄的4倍呢？

一个书商以多少价格买下了一本旧书？已知他将其以171法郎的价格卖掉，那么他的利润率与购买这本书时的成本率相等，这个比例是多少？

有两家慈善机构，每家都向穷人发放了1200法郎。第二家机构救助的穷人数量比第一家多40人，但给每个人的金额却少了5法郎。那么每家机构分别救助了多少穷人？

当两个开口同时打开时，一个水箱可以在15小时内被倒空；而如果只打开较小的那个开口，那么倒空水箱所需的时间会比打开较大开口时多16小时。那么每个开口单独倒空水箱需要多少时间呢？

波斯国王询问国际象棋的发明者塞萨希望得到什么奖赏，塞萨回答说：他在第一个格子上想要一粒小麦，在第二个格子上想要两粒，第三个格子四粒，第四个格子八粒，以此类推，每一格的麦粒数量都翻倍，直到第64个格子。

国王笑了笑。经过计算，最终得到的麦粒总数为264 – 1 = 18,446,744,073,709,551,615粒，这一数字相当于地球上的所有土地都种植小麦后一年所能产出的小麦总量的八倍。

一个桶里装有50升纯葡萄酒，从中取出2升并换成水；再从新的混合液中取出2升并再次换成水；如此重复三次后，求最终混合物中葡萄酒和水的比例。

180法郎能买多少米的布料？已知如果用同样的钱多买2米，那么每米的成本就会减少3法郎。

欧拉

一个能够报时、报刻、报半时以及报四分之三时的钟，在一整圈运转过程中会敲击多少下？

在连接两盏灯的直线上，找出被灯光均匀照亮的点。

克莱罗

找出一个三角形，其三条边为三个连续的整数，且该三角形的最大角是最小角的两倍。

一名测量员在测量了一块矩形土地后忘记了它的尺寸，但他知道这两维数值之和为650米，而且这块土地的面积为10公顷46公亩45平方丈。请计算出这块土地的两维尺寸。

有一些猴子在玩耍：在那一群吵闹的猴子中，有1/8的猴子在树林里蹦跳；还有12只猴子同时叫着。

在绿意盎然的山顶上。
他们一共有多少只呢？

从一群蜜蜂中，取出一半，再取其平方根；
在茉莉花丛中，这群蜜蜂正在采蜜。
其中八九成的蜜蜂在天上飞舞。
有一只孤独的蜜蜂，它在莲花中听到自己的配偶在嗡嗡作响：
因为被蜂蜜吸引，它在昨晚被困住了。
亲爱的，你知道这群蜜蜂一共有多少只吗？

这道题以及上一道题都是由M. L. Rodet du Lilawâti翻译的。Lilawâti是一部用诗体写成的数学著作，由12世纪的印度数学家Bhâscara为他的女儿所著。

已知圆柱体和圆锥体的高度相同，且它们的体积与表面积相等，求这两者的半径。

由于钻石的价值与其重量的平方成正比，那么当一颗钻石被分成任意两块时，它的价值就会下降。在哪种情况下，其价值损失会最大呢？

为了在一定的时间内将一笔按固定利率计息的债务减少一半，需要支付多大的年还款额呢？

在汽车行驶的过程中，人们发现：前轮的周长为2.20米，它转动的圈数比后轮多2000圈，而后轮的周长为4米。那么，汽车行驶的总距离是多少呢？

首先进行一次放血操作，然后称量所流出的血液中的固体部分重量；接着注入已知重量的蒸馏水；再进行一次与第一次相同重量的放血操作，再次称量固体部分的重量。根据这些实验结果，计算出体内循环的血液重量。

瓦伦丁。

通过一些数值计算，得到的结果是14公斤，但这个数值有些偏高，因为没有考虑到在水分扩散到整个血液中的5分钟内所渗出的水分。

要计算井的深度，可以用秒表记录下将石头从井口扔下去到听到石头撞击井底之间的时间。

牛顿。

已知一艘船在流速为3公里/小时的河流中顺流而下24公里，再逆流而上13公里，总共用了7小时。请计算出这艘船的静水速度。

找出一个两位数，使其各位数字之和与各位数字之差的乘积等于该数本身。

在一条河的岸边，有一根柱子，柱子顶端有一座雕像。站在对岸的观察者，可以从同一个角度看到那座雕像以及位于柱子脚下的士兵。已知柱子、雕像和士兵的高度，需要计算出这条河的宽度。

这里有一个有趣的谜题：需要猜出某张被选中的卡片。

随机抽取21张卡片，将它们分成3组，每组7张。首先把3张卡片并排放在一起，然后再把接下来的3张卡片依次放在前3张卡片的上面，依此类推。让一个人记住其中一张卡片，然后问他在哪一组中。接着把3组卡片叠在一起，确保含有目标卡片的那一组位于中间，且所有卡片的正面都朝向同一侧。再次将卡片分成3组，重复同样的步骤，再询问目标卡片在哪一组中，然后将这一组放在另外两组之间。如此重复三次后，目标卡片就会是第11组中的那张！

**力学问题**

如果有两个物体沿着两条直线匀速移动，当它们之间的距离最小时，它们处于什么位置？

让两只脚围绕固定的脚跟旋转，直到支撑面尽可能大——此时稳定性最高。

一位卖樱桃的妇女丢失了她的称重工具。当她来到市场后，找到了一块重40磅的石块，将其分成四块，然后以零售方式出售这些石块。那么，用于称量的这四块石块的重量分别是多少呢？数值应在1到40磅之间。

有一位商人，他用两只臂长不同的天平为两位顾客称量相同重量的物品，并且在两种情况下都交换了天平两盘的位置。通过这种方式，这位商人是赚了还是亏了？

他亏了。

一个球体内部有一个球形空腔时的重心位置；2）当该空腔被不同物质填充时的情况。

已知时钟的指针：小指针位于表盘上XI和XII数字之间，大指针则位于XII和I数字之间，而且机械装置的正常运转可能会让这两根指针互换位置。请计算出此时时钟所显示的时间。

如果一位商人使用有误差的天平，他的利润会比使用准确天平时多11%。但如果他更换天平的两盘位置，那么他和商品的重量就会重新平衡，此时他的利润将为零。那么，如果使用的是准确的天平，他的利润百分比是多少呢？

请解释风筝在风力和绳索拉力的作用下为何能够悬浮在空中。

证明：通过适当调整船帆的方向，就可以在特定风向的作用下，让船只朝几乎相反的方向前进。

以下两个问题由M. G. Tarry提出：

3个气球沿直线做匀速运动，已知它们在两个不同时间点的位置。请画出这样一条直线，使得其中一个气球能够沿该直线做匀速运动，同时让第4个气球上的观察者觉得前3个气球是静止的。

4列火车在笔直的轨道上做匀速运动，已知它们在两个不同时间点的位置。请画出这样一条笔直的轨道，使得其中一列火车能够沿该轨道做匀速运动，同时让第5列火车上的乘客觉得前4列火车都是静止的。

天文学

有人想知道，一个自认为被固定在轮椅上的秘鲁人，他的速度是多少公里/分钟？

当时钟的指针在中午重合时，求它们下次重合的确切时间，以及此时它们在直线上的位置。如果这些指针朝相反方向移动，会发生什么？

假设有三根指针，那么秒针会在几点将另外两根指针所夹的角平分？

在某一特定点，找出昏暗时间最短的那天。

诺尼乌斯，1573年。

一周中的最后一天是哪一天？19世纪将在哪一天结束？

亨利·海涅为了能自称是自己那个时代的第一人，谎称自己出生于1800年1月1日。维克多·雨果也犯了类似的计算错误，他出生于1802年，却认为“这个世纪只有两岁……”

19世纪实际上始于1801年1月1日，而非1800年，因为没有编号为0的年份；它将于1900年12月31日结束。

已知月亮的年龄，可以将日晷当作月晷来使用。

如果一天中已经过去了四分之三的时间，那么现在几点了？

当两艘船相向而行时，它们会在多远的距离后不再能够看到彼此？已知它们相对于海平面的高度。

计算地球自转过程中，300米高的埃菲尔铁塔顶部与底部所行进路径的差值。同时，计算该铁塔轴线所围成的面积。

对于位于月球上的观测者来说，天象会呈现怎样的景象？

诺让勒罗特鲁的一位居民在遗嘱中指定自己的两个侄子中的长子为唯一继承人，并未提及他们的具体姓名。其中一个侄子于清晨6点在南锡出生，另一个则于同一天的清晨5点30分在布雷斯特出生（均为当地时间）。那么，谁应该继承遗产呢？

高等数学

一个长方体容器中装满了大量大小相同的小球，问这些小球占据了容器的多少比例。

答案：π/3V²，大约为3/4。

如果用圆来填充平面，会得到同样的问题。由此可以得出结论：无法用圆来填满平面，也无法用球体来填满空间。

有八个人希望一起用餐，他们决定互相邀请对方，直到所有可能的坐法都被用尽为止。

答案：40,320次用餐，相当于110年。

将一根木条随机分成三段，用这三段能拼成三角形的概率是多少？

摆放30颗李子与10颗桃子，要求所有桃子都每隔12个位置放置一个。

答案：桃子位于第7、8、11、12、21、22、24、26、37位。

在国际象棋中，让马依次走过64个格子，且不能重复经过同一个格子。

众所周知，位于某种颜色格子上的马只能移动到与其颜色相反、且距离为两格的格子上。

有两个容量不同的桶，里面分别装着两种不同的葡萄酒。求需要从这两个桶中各取出多少升酒，才能使交换后的两桶酒成分相同。

如果两个桶中同一种葡萄酒与水的比例不同，问题依然成立。

已知死亡人数占人口的1/42，出生人数占1/35，那么该地区的人口数量会在多长时间后恢复到原来的水平？

该国的面积将会翻倍。

皮埃尔和保罗需要通过第二轮投票来决定胜负；投票箱中装有m张支持皮埃尔的选票，n张支持保罗的选票；由于m大于n，因此皮埃尔将会当选。那么，在计票过程中，选票的取出顺序是否有可能始终让皮埃尔保持优势呢？其概率是多少？

有人正在射击目标。虽然这种武器并不完美，但不存在任何系统性缺陷；向各个方向的偏差出现的可能性都是相同的。那么，子弹击中的点与目标的距离落在r到r+dr之间的概率是多少？

数据不足。

由九个字母构成的单词有多少个？（这些单词可以没有任何意义，甚至可能无法发音）。

答案：98,956,601,600个单词。

求弦的长为L的圆的弧长。

这个问题会导致一个超越方程的产生；因此无法用尺规作图来解决。接下来的三个问题也是如此。

用一条与直径平行的线将半圆分成两个面积相等的部分。

要使马只能吃到圆形牧场的一半草，那么拴住马的绳子应该有多长？

在一个半球形结构上开四个大小相同的窗口，使得剩余的表面积恰好可以铺成正方形。（维维亚尼窗口）

在一个有1000万选民的国家里，通过抽签选出20,000人来选举代表。假设该国民众的意见分为两派，一派450万人，另一派550万人，那么选出的代表属于少数派的概率是多少？

在连续复利问题中，需要计算在给定年份后，以已知利率投资的本金会变成多少，前提是利息会随时转化为本金。

已知构成该圆周的三条弦的长度，求该圆的直径。

牛顿。

将n对相互倾斜的卡片并排放置，每对之间再放一张卡片；在它们的上方再放置n-1对卡片，并确保这些卡片的稳定性，以此类推。要建造这样的“城堡”，需要多少张卡片呢？

对于由多层方块构成的“城堡”，其稳定性是通过用与原始卡片对数量相等的卡片对来替代每对卡片而实现的。

一只狗从道路外的某一点出发，朝着匀速前行的主人跑去。请研究这只狗的运动轨迹。

找出这样一个点：该点到几条给定直线的距离之积与它到其他几条给定直线的距离之积保持恒定比例。

这个问题曾困扰着古人，笛卡尔在《几何学》一书的开头对此进行了探讨。

如何依次走过巴黎的所有桥梁，且不重复经过任何一座桥？

不考虑Estacade木桥的情况，以及考虑该木桥的情况。

请给出一个三边长度和面积都能用整数表示的三角形。只需取边长为3、4、5或13、14、15即可。

以下是Catalan先生给出的另一种解法：

a = 12355，b = 12363，c = 34，s = 204204。

一些孩子手拉手围成圆圈跳舞，中间还有另一个孩子。要如何安排这些孩子在不同圈中的位置，才能让每个孩子都有一次处于中心位置，且两次都与所有同伴相邻？

十五名少女每天三三一组地外出活动。请问该如何安排她们的出行方式，才能让每名少女都恰好与其他所有人各同行一次？

人们曾在金制的立方体祭坛上向阿波罗献祭。在一场瘟疫期间，人们请求这位神明告知其愿望，以便安抚他；神谕的回答是：“把祭坛的边长加倍。”于是祭司们建造了边长为原来两倍的祭坛，但瘟疫依然没有停止。

将立方体的边长加倍并非一个简单的问题，也就是说，无法仅通过直尺和圆规、仅绘制直线和圆来解决这个问题。

将一个角分成三个相等的部分。这就是三等分问题。

与上一个问题类似：只能通过近似方法来解决。

如何构造出一个与给定半径的圆面积相等的正方形？这就是圆的求积问题。

首先需要确定圆的周长，也就是画出一条长度等于给定半径的圆周的直线，然后取这条直线与半径一半之间的比例平均值。波兰耶稣会士科斯坎斯基提出了一种非常接近的解法：在半圆直径的两端，分别作出长度为半径三倍以及正六边形边长一半的垂线，这样得到的两点之间的距离大致就等于半圆的周长。

最近有研究证明，用直尺和圆规是无法解决圆的求积问题的。这并非因为π是不可通约的数——因为人们已经能够严格地构造出某些不可通约的数。

古人为了解决上述三个问题，设计了所谓的双曲面、螺面以及求积曲线。

有一个圆形花园，花园中央有一口井。园丁从井里取水来浇灌花园。他需要多少时间才能把整个花园浇透呢？

有个富有的商人让人在他的地窖里打造了一个由九个格子组成的方格结构；中间的格子用来存放60瓶酒喝完后剩下的空瓶子，而其余8个格子则用来放置这些空瓶子，每个角上的格子放6瓶，其他格子则各放9瓶。仆人先拿走了4瓶酒并卖掉了它们，然后重新摆放剩下的酒瓶，使得方格的每条边上都有21瓶酒。主人被这种摆放方式蒙骗了，以为仆人只是重新排列了酒瓶而已，实际上酒瓶的数量并没有变化。

名字。那个仆人利用主人的粗心，再次偷走了四瓶酒，如此反复，直到再也无法偷走四瓶而不使正方形两侧的数字不再都是21为止。人们想知道他每次都是如何做到的，以及他一共偷走了主人多少瓶酒。

巴谢·德·梅齐里亚克。

错误的原因在于，位于角落里的瓶子被计算了两次。

找出在标准棋盘上放置八个皇后的一切可能方式，使得这些皇后彼此之间都无法被攻击。

高斯。

快速计算圆形球体堆、方形堆、矩形堆或三角形堆的总体积。

关于挖土与填土的问题一直困扰着数学家们。其核心在于将需要挖掘的土方量和需要填筑的土方量分解为若干互对应的最小单元，使得每个单元的体积与其对应填土单元之间的距离相乘后的总和尽可能小，这样将挖出的土转化为填土所需的成本就会最低。

探讨“恶魔曲线”的方程式：

y4 – x4 + ay2 + bx2 = 0。

将一定数量的邮票折成一张纸，有多少种方法？

我们认为，埃姆·勒穆安先生提出的这个问题至今仍未得到解决。

参考文献说明

除了本书中已提及的那些著名的数学著作外，我们还将补充一些关于数学哲学、历史、应用、教学以及数学趣闻方面的书籍名称。

数学哲学

安培——《科学哲学》，共2卷。

J. F. 博内尔——《精确科学原理中的想象力》。

德布罗意（神父）——《欧几里得第一卷对人们哲学思维形成的影响》。

德坎普——《负数理论》。

L. 卡诺——《关于微积分形而上学的思考》。

T.-V. 夏庞蒂耶——《笛卡尔》。

沙莱斯——《高等几何学》。

科伊托——《数学真正原理的阐述》。

A. 孔德——《实证哲学》（第一卷结尾及第二卷开头）。
德尔布夫——《几何学的哲学导论》。
埃维兰——《无穷与量》。
德弗雷西内——《关于高等微积分的形而上学研究》。
吉贡——《不可通约数》。
乌埃尔——《对初等几何学基本原理的批判性研究》《复数量的基本理论》。
L. 乌戈——《数学中合法的符号使用》。
雅基耶——《高等数学的精神》。
拉格勒——《关于方向几何的研究》。
莱斯当——《四元数理论》。
利亚尔：1. 几何定义与经验定义；2. 笛卡尔；3. 当代英国逻辑学家。
莫伊尼奥（神父）——《当前所谓无限数的不可能性》。
穆雷——《负量以及所谓虚量的真正理论》。
帕斯卡——其几乎所有著作。
庞斯莱——《射影性质论》。
德蒂利——《关于几何学与力学基本原理的研究》。
F. 瓦列斯——《代数中的虚形式》。

沃尔夫——《宇宙起源的假说》。

历史类：

阿莱格雷——帕斯卡、维埃特、牛顿与莱布尼茨。

玛丽·阿格内西——《微积分论》（博苏翻译）。

F.阿拉戈——《人物传记简介》。

J.贝特朗——《现代天文学的奠基人》。

博苏——《数学史》（两卷，1810年出版）。

沙勒斯——《几何学方法概览》。

康托尔——《数学史》（德文版）——前两卷，内容涵盖至1668年。

德朗布尔——《关于数学科学进展的报告》（1810年出版）。

德斯博夫斯——《关于帕斯卡的研究》。

埃内斯特伦——《大学数学史课程大纲》，斯德哥尔摩，1890年。

路易·菲吉耶——《杰出科学家的生平》（五卷本）。

丰特奈尔——《对学院院士的颂扬》。

加尼耶——《角度三等分法》（1809年出版）。

德·丰维埃尔——《米的测量》。

索菲·热尔曼——《关于弹性表面的研究》。

查尔斯·亨利——《拉格朗日、拉普拉斯、欧拉的书信；最古老的兩部法文数学著作；美学导论》

科学界人士等。

埃尔米特——《新索邦大学落成典礼上的演讲》。

G. 汉贝尔特——《1878年至1888年法国数学的发展状况》。（载于书目会议报告集。）

E. 勒邦——《关于天文学史的若干观点》。（载于《科学公报》。）

曼德龙——《科学院简介》。

曼森——《数学史概要》。

马克西米利安·马里——《数学科学史》（共12卷）。

蒙图克拉——《数学史》（共4卷）。

皮内——《巴黎综合理工学院的历史》。

萨维里安——《人类在精确科学领域的进步》。

P. 塔内里——《希腊几何学》。

瓦尔松——《柯西的生平与著作研究》。

应用类著作：

阿米格斯——《穿越天空》。

经度局年鉴。（一本不可或缺的小型参考书，附有科学注释。）

J. 贝特朗——《概率计算》。

布丰——《政治算术概论》。

沙隆——《金融交易的数学理论》。

科莱：所谓“参谋部地图”。
库尔诺：《关于财富理论中的数学原理的研究》。
多尔莫瓦：《人寿保险的数学理论》。
夏尔·迪潘：《工艺几何与力学》（共4卷）。
弗拉马里翁：《天文学研究及读物》（共9本小册子）。
德拉古尔内里与E.勒邦：《斜拱结构》。
吉乌与西马尔特：《船舶几何学》。
拉博斯内：《计算尺使用指南》。
拉普拉斯：《宇宙体系阐述；概率计算的哲学探讨》。
塞巴斯蒂安·勒克莱尔：《纸上及实地几何学实践》（1764年出版）。
莫里斯·莱维：《图形静力学》（共4卷）。
爱德华·卢卡斯：《算术在规则形缎面结构构建中的应用》。
G.德朗尚：《关于直尺与三角板几何学的探讨》。
马伊斯特雷：《日晷绘制艺术》。
穆谢海军上将：《天文摄影》。
佩里：《数学生理学》。
A.皮卡尔：《物理世界中的数学原理导论》。

莱·塞基——太阳。
十四行诗——应用数学词典。
F.托曼——复利与年金理论。

教育类著作
多格——数学方法论。
德韦莱——埃米尔的算术与代数。（附有这样的题词：愿我的学生不要只是学习知识，而是去创造知识。）
迪乌梅尔——《推理科学中的方法》（共5卷）。
若阿内——勒让德几何学中互反关系的研究。
拉克鲁瓦——关于数学教学的探讨。
拉古——测距术。
雷杜利——《数学的ABC：数学语法与逻辑》。
保罗·塞雷——几何学中的方法。

趣味读物
巴谢·德·梅齐里亚克——有趣而令人愉悦的数学问题。
鲍尔——娱乐与数学问题。（英文版。）
贝尔热里——无需数字的算术。
布瓦西耶——数字之战。
邦康帕尼亲王——索菲·热尔曼写给高斯的五封信。
布谢（查尔斯）——数学的诗意。

布舒普——《关于纸牌游戏的研究》（布鲁日，1879年）。
卡利农——《关于球体、直线与平面的研究》。
卡莱——数学在医学中的应用。
魔法方阵——弗雷尼克尔、索维尔、欧拉、维奥尔、汤普森、霍纳、拉基埃、弗罗洛等人的研究。
卡托——对数学的批判性思考。
尚姆——《图解算术》。
沙维诺——以诗歌形式呈现的新算术。
克洛阿雷克——《智力动力学，或代数在神学中的应用》。
科里奥利——《台球运动的数学理论》。
科塞拉——关于将圆视为空间生成要素的研究。
德尔布夫——《关于达朗贝尔定理的研究》。
范埃滕——《数学娱乐》（1633年）。
弗拉马里翁——《光明》。
弗勒里——《解谜之钥》（马赛，1880年）。
丰特内尔——《关于多元宇宙的对话》。
富谢尔——《形而上学几何学；技术性诗歌形式的几何学》（1807年）。
高克斯——《将医学提升到数学精确性的高度》。
居约——《新的数学娱乐》。

杜·海斯——《关于彩票游戏》。
《上帝保佑女王》的整合内容。
雅各比——《亨利·蒙德乌》。
德·拉布尔多内——《国际象棋论》（1833年）。
莱斯当——《五点几何学》。
兰贝格——《能够再现人脸特征的代数曲线》。
德·拉朗德勒——《二元多项式理论》。
拉基埃尔——《棋盘几何学》。
莱布尼茨——《二进制算术》。
埃姆·勒穆安——《数学中的简洁性度量》。
爱德华·卢卡斯——《数学娱乐》（共4卷）。
吕亚——《乡村里的算术与代数游戏》（日内瓦，1799年）。
马里阿吉——《以八为单位的计数法》。
马斯凯罗尼——《圆规几何学》。
梅尔塞纳神父——《前所未见的问题》（1633年）。
梅尼耶兹——《针对那些利用年轻人谋取私利的数学家的悖论》。
德·米尔瓦尔——《科学剧场》。
蒙图克拉——《关于圆周割圆问题的研究史》。
米多尔热——《数学娱乐》。
奥扎南——《数学娱乐》（共4卷）。

J. B. Pérès——《这说明拿破仑根本不存在》。
De Polignac——《关于马术与国际象棋的比较》。
Pott——《五进制与二十进制数系》。
Reiss——《28块多米诺骨牌的游戏组合》。
Ricard (Dominique)《球体：一首八章诗》。
Stomma——《国际象棋》。
Stupuy——《索菲·热尔曼的哲学著作》。
Tarnier——《数字的语言》。
Thomson——《无公理的几何学》。
《塔希提岛的三本算术书》，用当地语言写成（瓦胡岛，1836年）。
Vinot——《数学娱乐》。
Vitrey——《故事与算题；148道诗体题目》。
Weigel——《四进制算术》。
H. de Wronski——《算法技术》（1811年）。

索引

此目录列出了各种事物及人物的名称，其中人物姓名以斜体标出。通过查阅这些引用，便可以在整个书中追踪同一主题的相关内容。

A
阿布丹克-阿巴科诺维奇，255
蜜蜂，443
亚伯，185、190、260、275
阿布尔-韦法，121
阿博，279
抽象概念，20、365
荒谬之物，26、31
学院，132、143、182、219、229、290、330、335、374、529
加法，258、465
钦佩，313
阿喀琉斯，410
船长的年龄，460
阿格内西（玛丽），273、528
阿格里帕，295
阿赫摩斯，121
阿尔贝·吉拉尔，47
阿尔贝-莱维，422
阿尔昆，384
达朗贝尔，10、36、42、113、123、127、144、151、188、199、247、341、385、406
亚历山大里亚学派，120
代数，297、493

道德代数，227
寓言，398
快板，321，528
天文学大成，121，126
字母表，263
致业余爱好者们，1
大地的灵魂，364
灵魂与生命，350
朋友们，529
友谊，160，443
A. 安培，14，145，191，198，316，352，372，527
J. 安培，198
阿姆斯勒，255
趣闻轶事，331
分析，4，24，33，42，113，168
无政府状态，259
解剖学家们，252
阿那克萨哥拉，374
祖先们，324
D. 安德烈，144
驴子（其体型），421
趣事，177
年轻人，215
昂古莱姆公爵，212
动物们（它们会计数吗？），361，387
经度局年鉴，529
匿名者，71，106，119，130，168
四十年之灾，418
反基督者，358
希腊文选，483
对极点，412
焦虑，260
历史概览，130，383
阿波罗尼奥斯，120，125，138，236，273
寓言故事，304
呼吁，142，143
适用于一切事物，236

应用，12, 63, 529
近似值，94, 160
阿拉伯人，121
阿拉戈，37, 63, 71, 75, 110, 128, 188, 204, 213, 215, 279, 298, 462, 528
阿尔博加斯特，132
阿基米德，32, 79, 120, 125, 138, 196, 206, 297, 352, 377, 499
收入微薄的建筑师，218
竞技场，297
金钱，193, 353
行话，421, 429
X区的行话，422
论点，50
阿里斯托芬，373
亚里士多德，3, 232, 257
算术，67, 471, 531
简单的算术，252
政治算术，256
算术狂热，444
达林库尔，430
阿尔诺，295
阿努，369
测量，6, 68, 135, 505
炮兵，64
艺术（美术），159, 419
机械艺术，69
军事艺术，70
阿耶波多，121
立法机构，95
保险，67, 529
占星术，218
天文学，84, 513
渐近线，10, 408
在雅典，284
万有引力，123, 281, 288, 303, 418
圣奥古斯丁，296, 453

尴尬的作者，192
自传，182
他人与自我，443
欧塞尔，215
在莱布尼茨和牛顿之前，345
数字的化身，378
未来，352
盲人，186
律师，166，464
公理，21，102，341，347，356，367

B
巴比涅，461
学士学位，465
巴克斯与西勒诺斯，495
巴赫，380
巴谢·德·梅齐里亚克，158，471，523，530
贝克伦德，143
F.培根，156，391
R.培根，374
巴杜罗，318
巴伊利，187
天平，99，392，510，511
弹道学，70
球体，530
投票表决，518
H.德·巴尔扎克，363，369
银行，67，501
德·班维尔，465
芭芭拉，225
巴尔多，254
评分标准即可，309
巴罗，236
巴泰勒米神父，284，379
巴泰勒米·圣伊莱尔，163
巴斯奥，143

战斗还是赎金？430
博马舍，466
科学之美，316
才智之士，310
贝克勒尔，143
贝拉维蒂斯，29，51
贝尔特拉米，143
汽油，366
贝朗热，55，226
贝尔舒，335
贝尔德莱，411，424
贝尔热里，530
克洛德·伯纳德，316
圣皮埃尔的贝尔纳丁，213
伯努利家族，98，141，182，275，377，440
贝尔托洛，143，241，292，316
贝特朗（日内瓦人），20
约瑟夫·贝特朗，92，98，99，116，141，143，159，280，359，374，528，529
贝塞尔，266
贝祖，141，207
婆什迦罗，121，297，506
《圣经》，146，318，373
参考文献，301，302，527
比沙，358
比拉尔，194，531
比内，220
比奥，128，181，298
比耶克内斯，143
夏尔·布兰克，424
布兰谢，335
小麦价格，158，454
鲍德威奇，272
布瓦洛，430，464
布瓦西耶尔，531
布瓦斯特，168
博尔，190

博利亚伊，293，386
德·博纳尔，305
邦康帕尼亲王，140，531
邦奥米，195
J.-F. 博内尔，29，45，57，394，527
常理，14
布尔，344
博尔达，131，284
博尔达斯-德穆兰，147
波雷尔，144
博雷利，252
博尔内，352
博絮埃，82
博苏，13，127，140，184，273，528
布谢，531
德·布弗勒，330
布加耶夫，293
布格尔，130
布凯·德·拉格里耶，143
布尔多，10
J. 布尔热，50，142
P. 布尔热，352
交易所，67
布西内斯克，17，57，143，347，359
愚蠢的言行，462
最速降线问题，373
布拉德利，193
布拉马古普塔，121
巴西，378
布里奥斯基，143
布里斯，142，144
布罗卡尔，144
布罗沙尔，410
德布罗意，527
布鲁埃特，279
布坎南，415
布丹，141

预算，67
勒·P·布菲耶，368
布丰，60、351、387、397、529
布尔多，278
墓葬，423
布舒普，531

C
地籍登记，68、425
日晷，70
咖啡馆，335
计算，244、297、356
计算器，423、466
绝对精确的计算，149、396
微积分，123、128、139、345
心算，67、372
工人的计算方式，243
日历，70、320
卡利农，244、531
卡兰德罗，143
诽谤，271
剑桥，208
德·坎普，47、527
学渣，220
德·康多尔，238
被封为圣徒的人，295
康托尔，140、295、528
数学的特点，3
卡尔丹，122、187、408
基数点，216、463
卡莱特，531
卡纳瓦莱博物馆，283
拉兹尔·卡诺，58、124、145
斜边的平方，452、459
长方形，310
卡雷尔，229

恶魔方格，441
魔法方格，440
卡托，531
参谋部地图，69，529
思维导图，508
地理地图，69
无法解决的案例，138，408
帽子，190
锅子，454
卡西尼，275
卡斯特尔神父，398
卡斯崔元帅，202
加泰罗尼亚语，210
卡图卢斯，6
柯西，47，48，124，129，139，141，145，152，260，279，309，316
德·考桑斯，379
腐蚀剂，301，440
百年纪念物，144，277，278
圆圈，231，358，364
波皮利乌斯之圈，380
先验的确定性，360
凯撒琳，446
迦勒底人，119
夏姆，531
尚福尔，461
钱多斯，166
沙朗通，187
查理曼大帝，130
查理六世，311
查理十二世，441
沙隆，529
结构，68
T. V. 夏尔庞蒂埃，39，527
沙罗，292
沙莱斯，30，41，124，130，136，266，278，316，527，528

夏多布里昂，315，450
纸牌城堡，520
杜·沙特莱（女侯爵），273，405
猫，191
印第安式小屋，213
沙维诺，531
铁路，69，512
道路，69
毛毛虫，449
探索者，369
马，519
谢韦，214
头发，233，482
山羊与卷心菜，483
谢弗勒尔，206
诡计，376
狗（其曲线），520
数字，384，530
中国人，121
事物，376
克里斯托弗·哥伦布，267
时间顺序，70
西塞罗，136，280，427
水晶般的天空，283
五千四百，397
第五卷，259
模范城市，397
文明人，346
公民意识，276
克莱罗，108，109，280，376，505
明暗对比，428
J. 克拉雷蒂，425
分类，31
钥匙，48，162，395
克洛阿雷克，531
俱乐部，215，222，380
民法典，502

修正系数，268
心灵与理性，365
领口，529
科尔内，327
鸽子，331，415
组合，67，417
彗星，216
开端，361
伴侣，10
指南针，225，532
天文学上的妥协，215
会计人员，343
旧账目，380，480
计数器，319
奥古斯特·孔德，5，14，35，52，163，387，527
概念，368
数学概念，16
让步，374
调和，359
普通考试，208
孔狄亚克，38，147，153，168，351
必要条件与充分条件，117
孔多塞，14，22，37，101，159，203
圆锥体，506
圆锥曲线，14，120，125，447
认真负责，223
保存与进步，95
艺术与工艺学院，134
本杰明·康斯坦特，379
常数，54
君士坦丁堡，214
建造，20，239
民用与军事建筑，69
船舶建造，70
故事与账目，532
连续性，30，32，57，118，361
数学中的连续体，53

欺骗性的轮廓，414
矛盾，426
最后的对话，181
哥白尼，84、89、122、167、262
科里奥利力，194、531
角形物，143
书信往来，207
宇宙志，84、513
科塞拉特，531
科西斯特人，376
棉花与音乐，261
科坦，330
颜色，420、424
一见钟情，195
石头的切割，68、76
普通曲线，442
魔鬼曲线，525
文艺复兴时期的曲线，440
古诺，4、9、46、66、116、529
朝臣们，180、288
科伊托，527
克雷格，455
克雷莫纳，143
标准，364
A. 克鲁瓦埃，162
烹饪，467、484、488
欧几里得文化，242
奇闻异事，440、530
居维叶，165
旋轮线，274
摆线，253、301、373、442
圆柱体，506

舞蹈家，466
但丁，373
达尔布，142、143
达鲁，303
达西波迪乌斯，245
L. A. 多德，366
多格，530
多努，289
达克斯，284
教育领域的辩论，240
清障与填土，524
德布雷，135
颓废派，444
平方分米，215
司法判决，99
事后发现，40
戴德金，143
演绎，10、25、293
定义（并非一切都能被定义），17
定义，29
挑战，182
因寒冷而产生的问题，187
德拉姆布尔，28、76、126、132、134、298、528
德洛内，374
德尔布夫，164、360、362、527、531
德尔博斯，209
德勒兹，250
德莱泽纳，402
半圆周，409
证明与三段论，250
错误的证明，382
进行证明，24、27、117
证明（并非一切都能被证明），16
分母的处理，190
德普雷兹，143
议员们，95、183
最后的对话，181

德萨格，75
德斯博维斯，268，528
笛卡尔，3，12，30，32，39，123，127，139，141，144，153，175，182，287，377，527
《愿望录》，416
无私，199
迷失方向，386
图画，68
德图-特雷西，244
行列式，264
决定论，226
两种权利，459
二加二，329，341，363，459
德韦莱，530
已发展状态，440
H. 德维尔，135
正方形的对角线，33
钻石，506
狄更斯，215，371
词典，70，463，530
狄德罗，162，228，236，292，388
《迪东神父》，161
上帝，85，91，146，147，236，303
第欧根尼，466
丢番图，121，126，137，158，493
外交，329
纪律，250
《算术研究》，486
分心之事，179，191
该说与不该说的事，111
神圣比例，305
除数与通用因子，252
除法，252
十（一切由之构成），282
十八，429
18世纪，123，144
十个月，219

19世纪，124、144、514
17世纪，122、138、144
文献，290
十二面体，271
多米诺骨牌，417
多尔莫瓦，194、529
双重称重法，392
十二，387
十二乘以十二，184
德拉佩龙，70
奇异直线，452
一场决斗，289
迪弗雷斯尼，239
杜加尔德-斯图尔特，239
迪乌梅尔，17、24、59、100、149、530
杜海斯，531
小亚历山大·仲马，411
大亚历山大·仲马，479
J.-B.仲马，290
迪潘卢普，109、160、217
夏尔·杜潘，29、243、467、529
立方体的复制，120、521
Ch.杜普伊，144
J. D.杜普伊，417
V.迪吕伊，162
迪瓦尔-茹夫，11
两个王朝，275

E
在断头台上，187
国际象棋，193、517、524、532
上校的覆灭，219
师范学院，277
综合理工学院，209、246、263、276、529
政治经济学，66
辉煌的努力，197