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古腾堡计划电子书：《相对论：狭义与广义理论》

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书名：《相对论：狭义与广义理论》
作者：阿尔伯特·爱因斯坦
译者：罗伯特·W·劳森
发布日期：2009年10月1日 [电子书编号#30155]
最新更新时间：2023年5月2日
语言：英语
原始出版商：Methuen & Co Ltd，1924年
更多信息及格式：www.gutenberg.org/ebooks/30155
致谢：罗伯特·赫克斯

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相对论：狭义与广义理论

阿尔伯特·爱因斯坦著
罗伯特·W·劳森授权翻译

阿尔伯特·爱因斯坦参考档案
相对论：狭义与广义理论
作者：阿尔伯特·爱因斯坦

撰写时间：1916年（修订版为1924年）
原书名称：《相对论：狭义与广义理论》（1920年出版）
出版商：Methuen & Co Ltd
首次出版时间：1916年12月
翻译者：罗伯特·W·劳森（授权翻译）
文字转录/格式整理：布赖恩·巴斯根
文本转录：格雷戈里·B·纽比
致谢：爱因斯坦参考档案网站（marxists.org）
爱因斯坦参考档案网址：
http://www.marxists.org/reference/archive/einstein/index.htm

目录

前言

第一部分：狭义相对论
I. 几何命题的物理意义
II. 坐标系
III. 经典力学中的空间与时间
IV. 伽利略坐标系
V. 相对性原理（狭义意义）
VI. 经典力学中使用的速度叠加定理
VII. 光的传播定律与相对性原理之间的表面矛盾
VIII. 物理学中的时间概念
IX. 同时性的相对性
X. 距离概念的相对性
XI. 洛伦兹变换
XII. 运动中的测量尺与时钟的行为
XIII. 速度叠加定理与菲佐实验
XIV. 相对论的启发性价值
XV. 该理论的一般结论
XVI. 实验与狭义相对论
XVII. 明可夫斯基的四维空间

第二部分：广义相对论
XVIII. 狭义相对论与广义相对论原理
XIX. 引力场
XX. 惯性质量与引力质量的相等性作为广义相对论公设的依据
XXI. 经典力学与狭义相对论的基础在哪些方面存在缺陷？
XXII. 从广义相对论原理中得出的若干推论
XXIII. 在旋转参考系中时钟与测量尺的行为

XXIV. 欧几里得连续体与非欧几里得连续体
XXV. 高斯坐标
XXVI. 特殊相对论中的时空连续体——视为欧几里得连续体
XXVII. 广义相对论中的时空连续体并非欧几里得连续体
XXVIII. 广义相对性原理的精确表述
XXIX. 基于广义相对性原理对引力问题的解答

第三部分：关于宇宙整体的思考
XXX. 牛顿理论中的宇宙学难题
XXXI. “有限”却又“无界”的宇宙的可能性
XXXII. 根据广义相对论所确定的空间结构

附录：
I. 洛伦兹变换的简单推导（补充第XI节）
II. 明可夫斯基的四维空间（“世界”）（补充第XVII节）
III. 广义相对论的实验验证
IV. 根据广义相对论所确定的空间结构（补充第XXXII节）
V. 相对论与空间问题
注：第五个附录是由爱因斯坦在本书第十五次重印时添加的，因此仍受版权保护，未经出版商许可不得使用。

前言
本书旨在尽可能为那些从科学和哲学角度对相对论感兴趣、但又不熟悉理论物理学中数学工具的读者，提供对相对论理论的准确理解。本书要求的阅读基础相当于大学入学考试的水平；尽管篇幅较短，但读者仍需具备一定的耐心与毅力。作者竭尽全力以最简单、最易于理解的方式呈现核心思想，并尽量按照这些思想最初的呈现顺序来阐述它们。为确保清晰易懂，我不得不频繁重复某些内容，而完全不顾及表述的简洁性。我严格遵循那位杰出的理论物理学家L.玻尔兹曼的教诲——即把形式上的优雅留给裁缝和鞋匠。我并不打算回避该学科本身所固有的难点。不过，我有意以较为简略的方式介绍该理论的经验性物理基础，这样那些不熟悉物理学的读者就不会像那些只见树木而不见森林的人一样困惑。愿这本书能为人们带来一些充满启发的美好时光！
1916年12月
A.爱因斯坦

第一部分：狭义相对论

一、几何命题的物理意义
在学生时代，读过这本书的大多数人都接触过欧几里得几何这一精妙的体系。你们或许还记得——带着敬畏而非喜爱之情——那些复杂的理论结构，以及那些严谨的老师在上面带领你们反复学习数不清的小时数。基于过去的经历，如果有人声称这门学科中的任何命题都是错误的，你们肯定会鄙视此人。但是，如果有人问你们：“那么，你所说的这些命题为真，究竟是什么意思呢？”也许这种自信的态度就会立刻消失。让我们来仔细思考一下这个问题。

几何学以“平面”、“点”和“直线”等概念为基础，我们能够通过这些概念形成较为明确的观念；同时还有些简单的命题（公理），由于这些观念的存在，我们倾向于认为它们是“真实的”。然后，通过一种逻辑推理过程——我们不得不承认其合理性——所有其他命题都被证明是从这些公理中推导出来的，也就是说，它们是被证实的。当一个命题以公认的方式从公理中推导出来时，它就是正确的（即“真实的”）。因此，各个几何命题的“真实性”问题实际上就归结为公理的“真实性”问题。不过，长期以来人们已经认识到，后一个问题不仅无法用几何学的方法来解决，而且本身也是毫无意义的。我们无法去判断“只有一条直线穿过两个点”这一说法是否正确。我们只能说，欧几里得几何研究的是所谓的“直线”，并且认为每条直线都由其上的两个点唯一确定。而“真实”这一概念与纯粹几何学的论断并不相符。

几何学中，我们习惯用“真实”一词来指代与“现实”对象的对应关系；然而几何学并不关注其中所涉及的概念与经验对象之间的关系，而只关注这些概念彼此之间的逻辑联系。因此，尽管如此，我们仍觉得有必要将几何学中的命题称为“真实的”，这一点并不难理解。几何学中的概念与自然界中或多或少精确的物体相对应，而这些物体无疑正是这些概念产生的根源。为了使几何学的结构具有尽可能大的逻辑一致性，它应当避免这种做法。例如，我们将“距离”理解为实际刚性物体上两个标记位置之间的距离，这种观念早已深入我们的思维习惯之中。此外，如果我们能够通过适当选择观察位置，让三个点在单眼观察时看起来处于同一直线上，我们也会习惯于认为它们确实位于一条直线上。按照我们的思维习惯，如果我们再补充一个命题：即实际刚性物体上的两点始终对应相同的距离（线段长度），且这一距离不会因物体的位置变化而改变，那么欧几里得几何学中的命题就变成了关于实际刚性物体可能相对位置的命题。[1]以这种方式被补充过的几何学便可以被视为物理学的一个分支。既然我们有理由去判断那些与我们关联的实物是否满足这些几何命题，那么我们也就有理由去探讨以这种方式解读的几何命题的“真实性”。用更通俗的话来说，所谓几何命题的“真实性”，指的就是它在使用圆规和直尺进行作图时是否成立。[1]由此可见，一个自然物体也与一条直线相关联。当给定了刚性物体上的点A和C之后，若选择点B使得AB与BC的距离之和尽可能短，那么点A、B、C就共线。对于当前的目的而言，这个简单的说明已经足够了。当然，从这种意义上来看，人们对于几何命题“真实性”的信念完全是基于并不完整的经验。因为……

目前，我们假定这些几何命题是“真实的”；而在后续阶段（在广义相对论中），我们会发现这种“真实性”其实是有局限的，届时我们将探讨其局限的程度。

二、坐标系
基于前述关于距离的物理解释，我们也可以通过测量来确定刚体上两点之间的距离。为此，我们需要一个可一次性使用的“长度标准”（即标尺S），并将其作为度量标准。如果A和B是刚体上的两个点，我们可以根据几何规则画出连接两点的直线；然后从A点开始，逐次测量长度S，直到到达B点为止。所需测量的次数即为AB距离的数值。这就是所有长度测量的基础。[2]
[2]
这里我们假设测量结果为整数，即没有余数。这一难题可以通过使用分度标尺来解决，而引入分度标尺并不需要任何全新的方法。

对某一事件发生地点或物体在空间中位置的描述，都是以该事件或物体与刚体（参考物体）上某一点的对应关系为基础的。这不仅适用于科学描述，也适用于日常生活。例如，当我分析“伦敦特拉法加广场”这一地点描述时，可以得出如下结论：地球就是该地点所对应的刚体；“伦敦特拉法加广场”是一个有明确名称的点，该事件在空间上就与该点相对应。[4]
[3]
我选择这个例子，是因为它比原文中提到的“柏林波茨坦广场”更易于英国读者理解。（R. W. L.）
[4]
此处无需进一步探讨“空间上的对应关系”这一概念的含义，因为这一概念本身已经足够清晰，足以确保测量的准确性。

关于其在实际应用中的适用性，几乎不可能出现意见分歧。

这种最原始的位置指定方法仅适用于刚体表面的位置，而且依赖于该表面上存在彼此可区分的点。不过，我们无需改变位置指定的方式，就能摆脱这两种限制。例如，如果有一片云悬停在特拉法加广场上，我们可以在广场上竖立一根垂直的杆子，使其能够触及那片云。用标准测量棒测得的杆子长度，再加上杆子底部位置的坐标，就能为我们提供完整的位置信息。通过这个例子，我们可以了解位置概念是如何得到进一步完善的。
(a) 我们设想将需要指定位置的刚体进行适当扩展，使得该扩展后的刚体能够触及到我们所要确定位置的物体。
(b) 在确定物体位置时，我们使用数值（此处即用测量棒测得的杆子长度）来代替具体的参考点。
(c) 即使没有竖立起能够触及云层的杆子，我们仍然可以谈论云层的高度。通过从地面不同位置对云层进行光学观测，并结合光传播的特性，我们可以确定为触及云层所需杆子的长度。
由此可知，在描述位置时，如果能通过数值测量来避免依赖参考刚体上那些有名称的标记点，那将会非常方便。在测量物理学中，这是通过运用笛卡尔坐标系来实现的。
笛卡尔坐标系由三个相互垂直的平面组成，这些平面牢固地固定在刚体上。对于任何事件发生的地点而言，其坐标基本上可以通过从该地点向这三个平面作垂线所对应的三个坐标值（x、y、z）来确定。

这些垂直线的长度可以通过按照欧几里得几何学的规则与方法，使用刚性测量杆进行一系列操作来确定。实际上，构成坐标系的刚性表面往往并不存在；此外，坐标的数值也不是通过刚性杆的测量得到的，而是通过间接方式确定的。如果想要保持物理学和天文学结果的清晰性，就必须始终根据上述原则来理解位置参数的物理意义。[5]
[5]
直到我们开始研究本书第二部分所探讨的广义相对论时，才有必要对这些观点进行进一步的完善与修正。
因此我们可以得出如下结论：对空间中事件的任何描述都离不开对某种刚性物体的运用，而这些事件都必须以该刚性物体作为参照。这种描述方式隐含了一个前提，即欧几里得几何学的定律适用于“距离”的计算；而“距离”则通过在刚性物体上标记两个点的方式来体现其物理意义。

三、经典力学中的时空
力学的目的是描述物体如何随“时间”改变其在空间中的位置。如果我不经过认真思考和详细解释就以这种方式来阐述力学的目标，那无疑是对清晰思维这一神圣精神的严重亵渎。让我们来揭示这些“罪过”。

此处所谓的“位置”与“空间”究竟指什么，并不清晰。我站在一辆匀速行驶的火车车厢的窗边，将一块石头直接丢到路基上，而非抛出它。在忽略空气阻力的情况下，我看到石头沿直线下落。而站在路边观察这一情景的行人则认为石头是沿着抛物线轨迹落地的。那么，石头所经过的“位置”在“现实中”究竟是位于直线上还是抛物线上呢？此外，“在空间中运动”又意味着什么？从上一节的讨论中可以很容易得出答案：首先，我们应完全避免使用那个含义模糊的“空间”一词——我们必须诚实地承认，我们对它毫无概念；取而代之的是“相对于某个几乎刚性的参考物体的运动”。相对于参考物体（如火车车厢或路基）的位置，已在上一节中得到了详细定义。如果我们用“坐标系”来代替“参考物体”，这一概念对于数学描述来说更为有用，那么我们可以说：相对于固定在车厢上的坐标系，石头沿直线运动；而相对于固定在地面上的坐标系，它则沿抛物线运动。通过这个例子可以清楚地看出，根本不存在某种独立存在的轨迹，只有相对于特定参考物体的轨迹而已。

[6] 也就是说，就是物体运动的路径曲线。

为了完整描述物体的运动，我们必须明确物体是如何随时间改变其位置的；也就是说，对于轨迹上的每一点，都必须说明物体在何时处于该位置。这些数据还需要借助某种时间定义来补充，如此一来，这些时间值就可以被视为可观测的量值（即测量结果）。如果以经典力学为基础，我们可以通过以下方式满足这一要求：设想有两个结构相同的时钟，坐在火车窗边的那个人拿着其中一个，而人行道上的那个人则拿着另一个。每位观察者都会根据自己所参照的参考系，来确定手中时钟每次报时时石头所处的位置。在此过程中，我们没有考虑光速有限所带来的误差。关于这一点以及此处存在的另一项难题，我们将在后面详细探讨。

IV. 伽利略坐标系
众所周知，伽利略-牛顿力学的基本定律——即惯性定律，可以这样表述：一个远离其他物体的物体将保持静止状态或做匀速直线运动。这一定律不仅描述了物体的运动规律，还指出了力学中可用的参考物体或坐标系，这些坐标系可用于对物体运动进行描述。可见的恒星在很大程度上符合惯性定律。如果我们使用固定在地球上的坐标系，那么相对于该坐标系，每颗恒星在一天时间内都会沿着半径极大的圆周运动，这一结果与惯性定律的表述相矛盾。因此，若要遵循惯性定律，我们就必须将这类运动归因于那些恒星不会做圆周运动的坐标系。那种使得惯性定律在其框架内仍然成立的坐标系，被称为“伽利略坐标系”。伽利略-牛顿力学的定律仅在伽利略坐标系中才成立。

五、相对性原理（狭义意义）
为达到最清晰的阐述，让我们回到之前关于以恒定速度行驶的火车车厢的例子。我们将这种运动称为匀速平动——“匀速”是因为其速度和方向保持不变，“平动”则是因为尽管车厢相对于路基的位置在变化，但它并不发生旋转。现在想象一只乌鸦在空气中飞行，从路基上观察，它的运动是匀速且沿直线的。如果我们从正在移动的火车车厢里观察这只飞行的乌鸦，会发现乌鸦的运动速度和方向都发生了变化，但它依然属于匀速直线运动。用抽象的语言表达就是：如果一个质量为m的物体相对于坐标系K做匀速直线运动，那么只要坐标系K′相对于K做匀速平动，该物体相对于K′也仍会做匀速直线运动。根据前一节的讨论，可以得出以下结论：如果K是一个伽利略坐标系，那么只要其他坐标系K′相对于K处于匀速平动状态，它也是伽利略坐标系；在K′中，伽利略-牛顿力学定律仍然完全适用。我们在概括时再进一步，将这一原理表述为：如果相对于K，K′是一个没有旋转、且做匀速运动的坐标系，那么自然现象在K′中的演化规律与在K中的规律完全相同。这一原理被称为相对性原理（狭义意义）。只要人们认为所有自然现象都可以用经典力学来描述，就无需考虑其他因素了。

有人怀疑相对性原理的有效性。然而，随着电动力学和光学领域的最新发展，人们越来越清楚地认识到：经典力学并不足以作为描述所有自然现象的物理基础。在此背景下，关于相对性原理是否有效的这一问题便有了讨论的必要，而且这个问题的答案很可能是“无效”的。尽管如此，仍有两个事实从一开始就大大支持了相对性原理的有效性。虽然经典力学无法为我们提供足够完善的理论基础来描述所有的物理现象，但我们仍必须承认它具有相当的“真实性”，因为它能够以极为精确的方式描述天体的运动，其细节之精细简直令人惊叹。因此，相对性原理在力学领域中必定能以极高的精度得到应用。不过，一个如此普遍适用的原理，在某些现象领域中能够如此精确地成立，而在其他领域却无效，这从逻辑上来看是极不可能的。接下来我们来看看第二个论点，稍后还会再回到这个话题上。如果相对性原理（在狭义上）不成立，那么那些彼此之间做匀速运动的伽利略坐标系K、K′、K″等，在描述自然现象时就不会是等价的。在这种情况下，我们就不得不认为自然定律可以以极其简单的方式被表述出来，当然，前提是我们必须从所有可能的伽利略坐标系中选择某个处于特定运动状态的坐标系（K0）作为参考系。既然这种坐标系在描述自然现象方面具有优势，我们就有理由称其为“绝对静止”的，而将其他所有伽利略坐标系K称为“运动中的”。例如，如果我们的基准系是K0，那么我们的火车车厢就属于坐标系K，相对于K0而言，适用于该车厢的自然定律就会没那么简单。这种复杂性的增加是因为车厢K相对于K0是处于运动状态中的。在以K为参考系所建立的自然定律中，车厢的速度大小和方向必然会起到作用。例如，我们可以预期，那些轴线与K0平行的风笛所发出的音调会……

如果管道的轴线垂直于该方向，那么物质运动的方向将会与实际发射时的方向不同。由于地球绕太阳公转，它可以被比作以约30公里/秒的速度行驶的火车车厢。如果相对论原理不成立，那么我们应该认为地球在任意时刻的运动方向都会体现在自然定律之中，而且各种物理系统的行为也会取决于它们相对于地球在空间中的方位。但由于地球自转速度的方向在一年之内会发生变化，因此地球不可能在整个年度内都相对于假设的K0系统保持静止状态。然而，最精确的观测也从未发现地球上的物理空间存在这种各向异性的特性，也就是说，不同方向之间并不存在物理上的不等价性。这无疑是为相对论原理提供了有力的支持。

VI. 经典力学中的速度叠加定理
假设我们的老朋友——那节火车车厢正以恒定速度v在铁轨上行驶，而有一人以速度w沿着车厢的行驶方向在车厢内移动。那么，在这一过程中，这个人相对于路基的运动速度是多少呢？唯一的答案似乎可以通过以下思考得出：如果这个人静止不动，他相对于路基会移动的距离为v，这个数值恰好等于车厢的速度。但由于他在行走，所以在这一秒内，他还会相对于车厢再移动一段距离w，因此也相对于路基移动了距离w，而这个w的数值恰好等于他的行走速度。这样一来，他在这一秒内相对于路基总共移动的距离就是W = v + w。不过我们稍后会发现，这个表达经典力学中速度叠加定理的结果其实并不成立；换句话说，我们刚刚写下的规律在现实中并不适用。不过目前，我们还是假定它是正确的。

七、光传播定律与相对论原理之间的表面上的矛盾
在物理学中，几乎没有比“光在真空中沿直线以速度c=300,000公里/秒传播”这一定律更简单的了。每个上学的孩子都知道，或者自认为知道，光是以这样的方式传播的。无论如何，我们非常确定地知道，所有颜色的光都具有相同的传播速度；因为如果并非如此，在某颗恒星被其附近的暗星遮掩时，不同颜色的光就不会同时达到发射极小值。通过基于双星观测的类似推理，荷兰天文学家德西特也证明了光的传播速度不可能取决于发光体的运动速度。而认为光的传播速度会随“空间中的方向”而变化的假设本身也是不可信的。
简而言之，让我们假设学校里的孩子有理由相信“光在真空中的传播速度恒定”这一简单定律。谁会想到，这一简单的定律竟会给那些认真思考的物理学家带来如此巨大的思维难题呢？让我们来看看这些难题是如何产生的。
当然，我们必须将光的传播过程（实际上，任何其他过程也是如此）与一个固定的参考系联系起来。就以我们的铁路轨道作为这样的参考系吧。我们假设轨道上方的空气已经被去除。如果有一束光沿着轨道传播，那么从上述分析可知，光线的末端会以相对于轨道的速度c向前移动。现在，假设我们的火车再次以速度v沿着铁路线行驶，且其行驶方向与光线的方向相同。

光速确实很快，但其传播速度当然要慢得多。让我们来探讨光束相对于火车的传播速度。显然，这里可以运用前一节中的分析方法，因为光束就相当于相对于火车移动的人。此处，人相对于路基的速度W被替换为光相对于路基的速度。w就是我们所求的光相对于火车的速度，其表达式为：w = c – v。因此，光束相对于火车的传播速度会小于c。

但这一结果与第五节中阐述的相对论原理相矛盾。因为根据相对论原理，就像所有其他自然定律一样，真空中的光传播定律无论以火车还是铁轨作为参考系，都应当保持不变。然而根据我们的上述分析，这种情况似乎是不可能实现的。如果每束光都以速度c相对于路基传播，那么似乎就必须存在另一套适用于火车的光传播定律——而这显然与相对论原理相矛盾。

面对这样的困境，看来只能放弃相对论原理或真空中的光传播定律中的某一个。那些仔细阅读了前面讨论内容的人几乎都会期望我们能够保留相对论原理，因为它如此自然且简单，极易被人们所接受。那样的话，真空中的光传播定律就不得不被一种更复杂的、符合相对论原理的定律所取代。然而，理论物理学的发展表明，我们无法选择这条道路。H. A. 洛伦兹对与运动物体相关的电磁学和光学现象所做的开创性理论研究表明，该领域的实验结果最终会导出一种电磁现象理论，而真空中的光速恒定定律正是这种理论的必然结论。因此，尽管目前还没有任何实验数据与相对论原理相矛盾，那些著名的理论物理学家们却更倾向于放弃相对论原理。

此时，相对论进入了人们的视野。通过对时间与空间概念的分析，人们发现实际上相对性原理与光传播定律之间并不存在任何矛盾；只要系统地坚持这两条定律，就能建立起一个逻辑上严密的理论。为了将其与我们日后要讨论的广义相对论区分开来，这一理论被称为狭义相对论。在接下来的篇章中，我们将阐述狭义相对论的基本思想。

八、关于物理学中的时间概念
闪电击中了铁路路基上相距甚远的A点和B点。我进一步断言，这两次闪电闪光是同时发生的。如果我问你这个说法是否有意义，你肯定会回答“有”。但若我要求你更精确地解释这一说法的含义，经过一番思考后你会发现，这个问题的答案并不像乍看之下那么简单。或许过一段时间后你会给出这样的答案：“这个说法的含义本身就很清楚，无需进一步解释；当然，如果让我通过观察来判断在实际情况中这两件事是否真的同时发生，那就需要一些思考了。”但我无法接受这个答案，原因如下：假设某位聪明的气象学家通过巧妙的分析发现，闪电总是会同时击中A点和B点，那么我们就要去验证这一理论结果是否符合现实。所有涉及“同时”这一概念的物理陈述都会遇到同样的难题。对于物理学家而言，只有当他们能够判断这一概念在实际情况中是否成立时，它才真正存在。因此，我们需要一个关于“同时”的定义，这样的定义能为我们提供一种方法，让我们可以通过实验来判断这次闪电是否确实同时发生。只要这一要求未能得到满足，那么作为物理学家的我（当然，即使我不是物理学家也是如此）就有可能被误导，误以为自己能够理解“同时”这一概念的含义。（我建议读者在完全确信这一点之前不要继续阅读。）

经过一番思考后，你提出了以下用于检验同时性的方法：沿着轨道进行测量，需测量连接线AB的长度，并在AB距离的中点M处放置一名观察者。这名观察者应配备某种装置（例如两面成90°角倾斜的镜子），以便他能同时看到A点和B点。如果观察者能同时看到两次闪电闪光，那么这两次闪光就是同时发生的。我非常赞同这个建议，但即便如此，我还是认为这个问题并未完全解决，因为我必须提出如下异议：“如果我能确定，M处的观察者用来感知闪电闪光的光，其传播速度在A→M这段路径上与在B→M这段路径上相同，那么你的定义当然是正确的。不过，要验证这一假设，我们首先需要具备测量时间的方法。这样一来，似乎我们就陷入了逻辑循环之中。”经过进一步思考后，你略带轻蔑地看了我一眼——这也是理所当然的——然后宣称：“我依然坚持我之前的定义，因为实际上它并没有对光做出任何假设。对于同时性的定义而言，唯一的要求就是：在每一个实际情况下，它都必须能让我们根据经验来判断所定义的概念是否成立。我的定义显然满足这一要求。至于光在A→M路径上的传播时间与在B→M路径上的传播时间相同，这其实并非关于光物理特性的假设或推测，而只是我为了给出同时性的定义而自行设定的条件。”显然，这一定义不仅可以为两个事件赋予精确的含义，还可以为任意数量的事件赋予精确的含义，而且与这些事件发生地点相对于参考系的位置无关[7]（此处指铁路路基）。由此，我们也就得出了物理学中“时间”的定义。为此，我们假设在铁路线（坐标系）的A、B、C三点上放置了结构相同的时钟，且这些时钟的指针位置在相同意义上是同时一致的。在这种条件下，我们所说的某个事件的“时间”，指的就是位于该事件发生点的那台时钟的读数（指针位置）。

事件在空间上的邻近程度。如此一来，每一个实际上可以被观测到的事件都会对应一个时间值。[7]
我们进一步假设：当三个事件A、B和C发生在不同的位置上，且如果A与B同时发生，而B与C也同时发生（按照上述定义），那么事件A与C也满足同时发生的条件。这一假设是关于光传播规律的物理假说；如果我们想要维持真空中光速恒定的定律，这一假设就必然成立。

这一规定还包含另一个物理假说，只要没有相反的实验证据，这一假说的正确性几乎不会受到质疑。人们假设：如果所有时钟的构造相同，那么它们的走动速度也会相同。更准确地说：当两个静止在参考系中不同位置的时钟被设定为使得其中一个时钟的指针处于某一特定位置时，另一个时钟的指针也处于同一特定位置（按照上述定义），那么这两种“设定状态”就始终是同时的。

九、同时性的相对性
迄今为止，我们的讨论都是以某个特定的参考系为基准的，我们将其称为“铁路路基”。假设有一列非常长的火车以恒定速度v沿着轨道行驶，方向如图1所示。乘坐在这列火车上的人会将火车视为一个刚性的参考系（坐标系），并以此作为判断所有事件的基准。因此，发生在这条直线上的每一个事件都发生在火车上的某个特定点上。同时，关于同时性的定义也可以像相对于路基那样，以火车为基准来给出。然而，由此自然会引出以下问题：

对于那些在铁路路基参考系下是同时发生的两个事件（例如闪电A和B两次闪光），它们在火车参考系下是否也是同时发生的呢？我们将直接证明答案是否定的。
当我们说闪电A和B在路基参考系下是同时发生的时，意思是：在闪电发生的地点A和B处发出的光线会在路基上A→B这段距离的中点M处相交。但事件A和B也对应着火车上的位置A和B。设M′为行驶中的火车上A→B这段距离的中点。当从路基上看闪电闪光发生时，点M′自然与点M重合，但它会随着火车以速度v向右移动。如果有一个观察者坐在火车上的M′位置上……

如果他没有这样的速度，那么他就会永远停留在M点，而A和B处闪电发出的光线会同时到达他那里，也就是说，这些光线会在他所在的位置相交。但实际上（以铁路路基为参考），他正在朝着来自B的光束移动，同时也在领先于来自A的光束。因此，观察者会先看到从B发出的光束，而后才会看到从A发出的光束。那些以火车作为参考物体的观察者必然会得出结论：B处的闪电发生的时间比A处的闪电更早。由此我们得到了一个重要的结论：相对于路基而言是同时发生的事件，相对于火车而言则不是，反之亦然（即同时性的相对性）。每一个参考物体（坐标系）都有其特定的时间概念；除非我们知道时间描述所对应的参考物体是什么，否则关于某一事件发生时间的描述就没有任何意义。

在相对论出现之前，物理学中一直默认时间描述具有绝对的意义，也就是说，它与参考物体的运动状态无关。但我们刚刚已经看到，这一假设与对“同时性”的最自然定义是不相容的；如果我们放弃这一假设，那么真空中的光传播定律与相对性原理之间的矛盾就会消失。第六节中的推理导致了这种矛盾，而如今这些推理已不再成立。在那一节中，我们得出结论：相对于车厢而言，以每秒w的距离移动的人，在每一秒内相对于路基也以相同的距离移动。但根据前面的分析，相对于车厢而言某个事件所需的时间，不应等同于以路基为参考时对该事件持续时间的判断。因此，不能认为这个人在相对于铁路线以每秒w的距离行走时，所用时间恰好等于一秒。

此外，第六节中的推理还基于另一个假设，而经过严格分析后，这个假设似乎也是不成立的。

随意的，尽管在相对论提出之前，这种做法就已存在了。

十、关于距离概念的相对性
让我们考虑沿轨道以速度v行驶的列车[8]上的两个特定点，并探究它们之间的距离。我们已经知道，要测量距离就必须有一个参考物体，以该物体为基准来衡量距离。最简单的做法就是将列车本身作为参考物体（坐标系）。列车上的观察者可以通过在一条直线上——比如沿着车厢的地板——多次放置测量杆，直到从第一个标记点到达另一个标记点为止，这样就能得到所需的距离。
[8] 例如，第一节车厢与第一百节车厢的中间点。
而当需要从铁路线出发来判断距离时，情况就有所不同了。此时可以采用以下方法：设A′和B′为列车上需要测量距离的两个点，那么这两个点都以速度v沿着轨道移动。首先，我们需要确定在某一时刻t——以轨道为参照——恰好被A′和B′经过的轨道上的两点A和B。根据第八节中给出的时间定义，就可以确定这两个点。之后，再通过反复在轨道上放置测量杆来测量A和B之间的距离。
从理论上讲，这种测量方法并不一定能给出与第一次测量相同的结果。因此，从轨道上测得的列车长度可能与在列车内部测得的长度不同。这一情况又引出了第二个疑问……

这显然与第六节中的明确规定相悖。也就是说，如果车厢里的人在以火车为参照的时间单位内行驶了距离w，那么以路基为参照的这段距离则不一定也等于w。

十一、洛伦兹变换
前三个章节的研究结果表明，光传播定律与相对性原理之间的表面上的矛盾（见第七节），其实是由于采用了两个来自经典力学的、毫无根据的假设而产生的。这两个假设如下：

(1) 两个事件之间的时间间隔与参考物体的运动状态无关。
(2) 刚性物体上两点之间的空间间隔也与参考物体的运动状态无关。

如果放弃这些假设，第七节中的矛盾就会消失，因为第六节中推导出的速度叠加定理也将不再成立。这样一来，真空中的光传播定律就有可能与相对性原理相容。于是问题来了：我们该如何修改第六节中的分析方法，以消除这两项基本实验结果之间的表面矛盾？这个问题实际上引出了一个更普遍的问题。在第六节的讨论中，我们需要考虑相对于火车和铁轨而言的位置与时间。既然我们知道事件相对于铁轨的位置与时间，那么如何才能确定该事件相对于火车的位置与时间呢？是否存在这样的答案，使得真空中的光传播定律不会与相对性原理相冲突？换言之：我们能否找到一种方式，来描述各个事件相对于两种参考系的位置与时间之间的关系，使得每束光相对于铁轨都具有速度c？

那么，相对于火车来说呢？这个问题的答案是肯定的，而且当从一个参考系转换到另一个参考系时，事件在时空中的各量也存在着确定的变换规律。在探讨这个问题之前，我们先来介绍一个相关的考虑因素。到目前为止，我们只考虑了发生在轨道上的事件，从数学上讲，轨道可以被视为一条直线。按照第二节中所述的方法，我们可以设想在这个参考系的基础上，再在横向和垂直方向上添加由杆构成的框架，这样，无论事件发生在何处，都可以通过该框架来确定其位置。同样地，我们也可以设想火车以速度v在整个空间中移动，这样一来，无论事件距离多远，都可以通过第二个框架来确定其位置。只要不犯根本性的错误，我们就可以忽略这样一个事实：实际上由于固体物体的不可穿透性，这些框架会不断发生相互作用。在每一个这样的框架中，我们都假设有三个相互垂直的平面，它们被称作“坐标面”或“坐标系”。坐标系K对应于轨道，而坐标系K′则对应于火车。无论事件发生在何处，都可以通过坐标面上的x、y、z这三个垂直方向来确定其在空间中的位置，同时通过时间值t来确定其在时间上的位置。相对于K′而言，同一个事件则可以通过相应的x′、y′、z′、t′值来确定其在空间和时间上的位置，当然这些值与x、y、z、t并不相同。关于如何将这些量视为物理测量的结果，已经有了详细的阐述。

显然，我们的问题可以这样精确地表述：已知某个事件相对于坐标系K的各量为x、y、z、t，那么该事件相对于坐标系K′的各量x′、y′、z′、t′分别是多少？

必须如此选择这些关系，才能确保对于同一束光线（当然也包括所有光线），在K点和K’点处都满足真空中的光传播定律。对于图中所示坐标系在空间中的相对位置关系，该问题可以通过以下方程来解决：

y′ = y
z′ = z

这组方程被称为“洛伦兹变换”。[9]
[9] 洛伦兹变换的简单推导过程见附录I。

如果以旧力学中关于时间和长度具有绝对性的隐含假设作为基础，而非光传播定律，那么我们得到的方程将会是：

x′ = x – vt
y′ = y
z′ = z
t′ = t

这一组方程通常被称为“伽利略变换”。
通过在洛伦兹变换中将光速c替换为无穷大的值，就可以得到伽利略变换。
借助下图，我们可以很容易地看出：根据洛伦兹变换，无论是在参考系K还是参考系K′中，真空中的光传播定律都依然成立。光信号沿着x轴正方向传播，其传播速度为c，即满足方程x = ct。根据洛伦兹变换的方程，x与t之间的这种简单关系也决定了x′与t′之间的关系。实际上，如果在洛伦兹变换的第一式和第四式中将x替换为ct，就能得到x′ = ct′。在参考系K′中，光的传播同样遵循这一方程，因此相对于参考系K′而言，光的速度也等于c。对于沿其他任何方向传播的光线，也会得到相同的结果。这并不奇怪，因为洛伦兹变换的方程本身就是基于这一观点推导出来的。

十二、运动中的测量杆与时钟的行为
将一根米尺置于K′系的x′轴上，使其一端（起点）位于x′=0处，另一端位于x′=1处。那么相对于K系而言，这根米尺的长度是多少呢？要了解这一点，我们只需确定在K系中某个特定时间t时，米尺的起点和终点分别位于何处。通过洛伦兹变换的第一式，可以得出在t=0时刻这两个点的坐标值，进而算出它们之间的距离。不过，这根米尺相对于K系是以速度v运动的。因此，一根沿自身长度方向以速度v运动的刚性米尺的长度为……

为一米。因此，当这根刚性杆处于运动状态时，其长度会小于静止状态时的长度；而且速度越快，杆的长度就越短。当速度v等于c时，应有某种特定数值；而当速度进一步增大时，该平方根值就会变成虚数。由此我们可以得出结论：在相对论中，速度c起着极限速度的作用，任何实物都无法达到或超越这一速度。当然，速度c作为极限速度这一特性也可以从洛伦兹变换方程中直接得出，因为如果选取的速度大于c，这些方程就不再有意义了。相反，如果我们考虑一根相对于K系静止在x轴上的米尺，那么从K′系来看，这根尺子的长度将会是某个特定值，这一结果与作为我们理论基础的相对性原理是完全一致的。显然，我们完全可以从变换方程中了解关于测量尺和时钟的物理行为，因为z、y、x、t这些量其实就是通过测量尺和时钟所获得的测量结果。如果我们基于伽利略变换来进行分析，就不会得到因物体运动而导致其长度收缩的现象。现在，让我们考虑一个始终位于K′系原点（x′=0）处的秒钟。t′=0和t′=1表示该时钟的两次连续走时时刻。洛伦兹变换的第一条和第四条方程给出了这两个时刻对应的t值：t=0。

从K来看，时钟以速度v运动；而从这个参考物体来看，时钟两次摆动之间所经过的时间并非1秒，而是稍长的时间。由于这种运动，时钟的运转速度比静止时慢。在这里，速度c同样扮演着一种无法达到的极限速度的角色。

十三、速度叠加定理
菲佐的实验

在实践中，我们只能以远小于光速的速度来移动时钟和测量杆；因此，我们几乎无法将前一节中的结果与现实情况直接比较。不过，这些结果显然非常奇特，正因如此，我现在将从该理论中得出另一个结论——这个结论可以很容易地从前述分析中推导出来，并且已经通过实验得到了极为精确的验证。

在第六节中，我们推导出了单向速度叠加定理，其形式也与经典力学的假设一致。这一定理也可以通过伽利略变换（第十一节）轻松推导出来。我们可以用一个相对于坐标系K′运动的点来代替车厢内的行人，该点的运动满足方程：
x′ = wt′

利用伽利略变换的第一条和第四条方程，我们可以将x′和t′用x和t表示出来，进而得到：
x = (v + w)t

这个方程实际上描述的就是该点相对于坐标系K的运动规律（即行人相对于路堤的运动规律）。我们将这个速度记为W，那么就如同第六节中所得到的那样：
W = v + w …… (A)

不过，我们同样也可以基于相对论来展开这种分析。在方程
x′ = wt′

我们必须利用洛伦兹变换的第一条和第四条方程，用x和t来表示x′和t′。这样，我们得到的就不是方程(A)，而是另一个方程。该方程与相对论中关于同一方向上速度叠加的定理相对应。现在的问题是：在两个定理中，哪一个更符合实验事实？关于这一点，那位杰出的物理学家菲佐在半个多世纪前进行的一项非常重要实验为我们提供了答案，此后一些最优秀的实验物理学家也重复了这项实验，因此其结果毋庸置疑。这项实验涉及以下问题：光在静止的液体中以特定的速度w传播。当上述液体以速度v流过管道时，光在管道中箭头所示方向上的传播速度是多少？根据相对论原理，无论液体是否相对于其他物体运动，光在液体中的传播速度始终都是w，这一点是我们必须承认的。既然已知光相对于液体的速度以及液体相对于管道的速度，那么我们就需要求出光相对于管道的速度。显然，这又回到了第六节中所讨论的问题。在这里，管道相当于铁路路基或坐标系K，液体则相当于车厢或坐标系K′，而光则相当于在车厢中行走的人，或者说是本节中所讨论的移动点。如果我们用v来表示液体的速度……

相对于管子的光速为W时，其值可由方程(A)或(B)给出，具体取决于所采用的伽利略变换还是洛伦兹变换。实验[10]的结果支持从相对论推导出的方程(B)，而且两者的吻合度非常高。根据泽曼最近进行的精确测量，流速v对光传播的影响可以用公式(B)来描述，误差在1%以内。[10]菲佐发现，其中为液体的折射率。另一方面，由于与1相比的值非常小，我们可以先将公式(B)替换为，或者用同数量级的近似式来表示。

这一结果与菲佐的实验结果一致。
不过，我们现在必须指出：早在相对论提出之前，H. A. 洛伦兹就已经提出了关于这一现象的理论。该理论属于纯电动力学范畴，是通过针对物质电磁结构的一些特定假设推导出来的。然而，这一事实丝毫不会削弱该实验作为支持相对论的重要证据的可靠性，因为该理论所依据的麦克斯韦-洛伦兹电动力学理论本身并不与相对论相矛盾。相反，相对论正是从电动力学中发展而来的，它是对构成电动力学的那些原本相互独立的假设的一种极为简洁的组合与推广。

十四、相对论的启发性价值
前几页中的论述可以概括为如下几点：经验使我们确信，一方面相对性原理是成立的；另一方面，真空中光速必须被视为一个恒定值c。将这两个假设结合起来，我们就得到了描述构成自然过程的各种事件的直角坐标x、y、z以及时间t的变换定律。在此过程中我们得到的并非伽利略变换，而是与经典力学不同的洛伦兹变换。
光传播定律——其正确性已得到我们现有知识的证实——在这一思维过程中发挥了重要作用。一旦掌握了洛伦兹变换，我们就可以将其与相对性原理相结合，从而总结出这样的理论：任何自然定律都必须具备这样的性质：当用新坐标系K′中的时空变量x′、y′、z′、t′来替代原坐标系K中的时空变量x、y、z、t时，该定律仍会保持完全相同的形态。此时，普通量与带撇量之间的关系由洛伦兹变换给出。简而言之，自然定律在洛伦兹变换下是协变的。
这是相对论对自然定律所提出的一个明确的数学条件，正因如此，相对论才成为寻找自然定律的宝贵工具。如果存在不满足这一条件的自然定律，那么该理论的两个基本假设中至少有一个就会被证伪。现在，让我们来看看相对论迄今为止所得出的那些重要结论吧。

十五、该理论的整体结论
从之前的讨论可以看出，狭义相对论源自电动力学和光学。在这些领域中，它并未显著改变原有理论的预测结果，但却大大简化了理论结构，也就是定律的推导过程；更重要的是，它大幅减少了构成理论基础的独立假设数量。狭义相对论使得麦克斯韦-洛伦兹理论显得极为合理，即便实验结果并非如此明确地支持这一理论，物理学家们也依然会接受它。
经典力学必须经过修改才能符合狭义相对论的要求。不过，这种修改主要影响的是那些物质运动速度与光速相比并不很小的情形下的定律。我们只有在电子和离子的运动中才能观察到这样的快速运动；对于其他类型的运动而言，其与经典力学定律的偏差实在微小，以至于在实践中无法被察觉。在讨论广义相对论之前，我们不会探讨恒星的运动。根据相对论，质量为m的质点的动能不再由那个众所周知的表达式给出，而是由另一个表达式来表示。

当速度v趋近于光速c时，该表达式的值会趋向于无穷大。因此，无论使用多大的能量来产生加速度，速度始终必须小于c。如果将动能的表达式展开为级数形式，就会得到如下结果：

当该数值远小于1时，第三项的数值总是小于第二项，而在经典力学中通常只考虑第二项。第一项mc²不包含速度的因素，因此如果我们只是想了解点质量的能量如何随速度变化的话，就无需考虑这一项。我们稍后会讨论它的本质意义。

相对论所带来的最具普遍意义的结果，与质量的概念有关。在相对论出现之前，物理学界承认两条极为重要的守恒定律，即能量守恒定律和质量守恒定律。这两条基本定律似乎彼此独立。通过相对论，它们被统一成了同一条定律。现在我们将简要探讨这种统一是如何实现的，以及它究竟意味着什么。

相对性原理要求，能量守恒定律不仅在坐标系K中成立，而且在相对于K做匀速平动运动的任意坐标系K′中也同样成立，简言之，即在所有“伽利略式”坐标系中都成立。与经典力学不同，洛伦兹变换才是决定从一个此类坐标系转换到另一个坐标系时的关键因素。通过一些较为简单的推导，结合麦克斯韦电磁学的基本方程，我们可以从这些前提中得出如下结论：一个以速度v运动的物体，如果以辐射的形式吸收了能量E0，且在此过程中其速度不会发生变化，那么它的能量就会增加E0这个数值。

[11] 从与该物体一同运动的坐标系来看，E0就是该物体所吸收的能量。

根据上述关于物体动能的表达式，该物体所需的能量即为……。因此，该物体的能量与质量为……的物体具有相同的值。

以速度v运动。因此我们可以说：如果一个物体获得了能量E0，那么它的惯性质量就会增加相应的量。

物体的惯性质量并非恒定值，而是会随着物体所具有的能量变化而变化。多个物体构成的系统的惯性质量甚至可以被视为该系统能量的度量。此时，系统质量守恒定律就与能量守恒定律变得相同了，而且这一定律只有在系统既不吸收也不释放能量的情况下才成立。将能量的表达式写成如下形式后，我们会发现，此前一直受到我们关注的mc2这一项，其实不过是该物体在吸收能量E0之前所拥有的能量而已。[12]
[12] 从与物体一同运动的坐标系来看。

目前（1920年；参见[注]，第48页），还无法通过实验直接验证这一关系，因为我们可以让系统发生的能量变化E0幅度太小，不足以使系统的惯性质量发生可察觉的变化。

与能量变化之前存在的质量m相比，它实在太小了。正因如此，经典力学才能成功地将质量守恒确立为一条独立有效的定律。
[注]
从那以后，E = mc2这一方程已经被反复严格证明过。

最后，我想补充一点具有根本意义的观点。法拉第-麦克斯韦对远距离电磁作用的解释取得了成功，这使得物理学家们相信，不存在像牛顿万有引力定律中所描述的那种无需中间介质的瞬时远距离作用。根据相对论，以光速进行的远距离作用始终取代了瞬时远距离作用或传播速度为无穷大的远距离作用。这与速度c在该理论中起着核心作用这一事实密切相关。在第二部分中，我们将探讨在广义相对论中这一结论是如何被修正的。

十六、经验与狭义相对论
狭义相对论在多大程度上得到了实验的支持？由于前面提到的与菲佐基本实验相关的原因，这个问题并不容易回答。狭义相对论是从麦克斯韦-洛伦兹电磁现象理论中发展而来的；因此，所有支持电磁理论的实验事实也同时支持相对论。这里需要特别指出的是，相对论使我们能够预测来自恒星的光线所受到的影响。这些结果可以通过极其简单的方法得到，而且由于地球相对于那些恒星的相对运动而产生的效应也与实验结果相符。我们所说的就是由于地球绕太阳运转而导致的恒星视位置每年的变化（视差），以及恒星相对于地球的径向运动对从它们那里传来的光线的颜色的影响。后一种效应表现为，来自恒星的光线的光谱线位置会与由地球上的光源产生的相同光谱线的位置有所差异（多普勒效应）。支持麦克斯韦-洛伦兹理论的实验依据其实也是支持相对论的依据，这类依据实在太多，此处无法一一列举。实际上，这些实验依据将理论的可能性限制到了如此程度，以至于除了麦克斯韦和洛伦兹的理论之外，没有其他理论能够在实验检验中站得住脚。
不过，迄今为止已有的两类实验事实只能通过在麦克斯韦-洛伦兹理论中引入某些修正才能得到解释。

这是一个辅助假设，而该假设本身——即在不运用相对论的情况下——似乎并无实际意义。众所周知，阴极射线以及放射性物质所发出的所谓β射线，都是由带负电的粒子（电子）构成的，这些粒子的惯性极小、速度极高。通过研究这些射线在电场和磁场作用下的偏转情况，我们可以非常精确地了解这些粒子的运动规律。在理论上分析这些电子时，我们面临着一个难题：电动力学理论本身无法解释它们的本质。因为同号电荷会相互排斥，所以构成电子的负电荷必然会在彼此的斥力作用下四散开来，除非它们之间存在其他类型的力，而这种力的性质至今仍不为人所知。[13] 如果我们假设构成电子的各电荷在电子运动过程中保持相对距离不变（即按照经典力学中的刚性连接概念），那么得出的电子运动规律将与实验结果不符。受纯粹形式主义观点的启发，H.A.洛伦兹首先提出了这样一个假设：由于运动的作用，电子的形状会在运动方向上发生收缩，且收缩后的长度与某个表达式成正比。这一假设无法通过任何电动力学事实来加以证明，但它却为我们提供了那种近年来已被高度精确验证的电子运动规律。[13] 广义相对论则认为，电子的各电荷可能是由引力结合在一起的。相对论同样可以导出相同的运动规律，而且无需对电子的结构和行为做出任何特殊假设。我们在第十三章中结合菲佐的实验也得出了类似的结论，该实验的结果早已被预测到了。

根据相对论，无需假设液体的物理性质即可得出结论。我们刚才提到的第二类事实，涉及的是在地球上的实验中是否能够观测到地球在空间中的运动。我们在第五节已经指出，所有这类尝试都得到了否定性的结果。在相对论提出之前，由于某些原因，人们很难接受这一负面结果。关于时间和空间的传统观念使得人们毫不怀疑伽利略变换在转换不同参考系时的重要性。现在，假设麦克斯韦-洛伦兹方程对参考系K成立，那么如果认为K和K′的坐标之间存在伽利略变换关系，就会发现这些方程对相对于K匀速运动的参考系K′并不成立。由此看来，在所有的伽利略坐标系中，只有对应于某种特定运动状态的坐标系（K）才是物理上唯一的。人们通过将K视为相对于假想的以太静止来对这一结果进行物理解释；而所有相对于K运动的坐标系K′则被视为相对于以太在运动。那些被认为适用于K′的复杂规律，实际上是由于K′相对于以太的运动所导致的。严格来说，这种以太漂移现象也应该存在于地球上，因此物理学家们长期致力于试图探测地球表面是否存在以太漂移现象。在这些尝试中，最著名的是迈克尔逊设计的一种方法，该方法似乎能够给出决定性的答案。设想在某个刚性物体上安装两面镜子，使其反射面相互面对。如果整个系统相对于以太静止，那么光束从一面镜子传到另一面镜子再返回需要一个完全确定的时间T。然而通过计算可以发现，如果该物体连同镜子一起相对于以太运动，那么光束完成这一过程所需的时间T′则会略有不同。此外，对于给定的相对于以太的速度v，当物体垂直于镜面运动时，所需的時間T′也与物体平行于镜面运动时的时间不同。尽管这两种时间之间的差异极其微小，

迈克尔逊和莫雷进行了一项涉及干涉现象的实验，按理说应该能够清晰地检测到这种差异。然而实验结果却是负面的——这一事实令物理学家们极为困惑。洛伦兹和菲茨杰拉德通过假设物体相对于以太的运动会导致其在运动方向上发生收缩，且收缩量恰好足以弥补上述时间差，从而挽救了该理论。与第十二章中的讨论相比可以看出，从相对论的角度来看，这也是解决这一难题的正确方法。不过根据相对论，其解释方式要合理得多。根据这一理论，并不存在某种“特殊优先”的坐标系来需要引入以太的概念，因此也就不存在以太漂移现象，也不存在可用于证明它的实验。在这里，运动物体的收缩现象是由该理论的两个基本原理直接推导出来的，无需引入任何特定假设；而导致这种收缩的根本因素并非运动本身——因为运动本身并无任何意义——而是相对于特定情况下所选参考物体的运动。因此，对于随地球一起运动的坐标系而言，迈克尔逊和莫雷所使用的镜面系统并不会发生缩短，而对于相对于太阳静止的坐标系来说，则会出现缩短现象。

十七、闵可夫斯基的四维空间
非数学专业人士一听到“四维”概念，就会感到一种神秘的震颤，这种感觉与想到神秘事物时所产生的感受颇为相似。然而，其实有一个再平常不过的表述：我们生活的世界是一个四维的时空连续体。

空间是一个三维连续体。这意味着，可以通过三个数值（坐标）x、y、z来描述一个静止点的位置；而在该点附近还有无数个点，它们的位置可以用x1、y1、z1这样的坐标来描述，这些坐标的值可以任意接近第一个点的x、y、z坐标值。正因如此，我们才称其为“连续体”；而由于有三个坐标，所以称之为“三维”的连续体。

同样地，闵可夫斯基所提到的物理现象世界，在时空意义上自然也是四维的。因为它由一个个事件构成，每个事件都可以用四个数值来描述，即三个空间坐标x、y、z以及一个时间坐标t。从这个意义上说，这个世界也是一个连续体；因为对于每一个事件，都存在无数个“邻近”的事件（无论是实际存在的还是至少可以设想的），它们的坐标x1、y1、z1、t1与原始事件x、y、z、t的坐标相比，其差异可以小到任意程度。我们之所以不习惯将这个世界视为四维连续体，是因为在相对论出现之前，物理学中时间的作用与空间坐标不同，它具有更独立的地位。正因如此，我们才习惯于将时间视为一个独立的连续体。实际上，根据经典力学，时间……

它是绝对的，也就是说，它不依赖于坐标系的位置以及运动状态。这一点在伽利略变换的最后一个方程中得到了体现（t′ = t）。在相对论理论中，采用四维方式来描述“世界”是自然而然的，因为根据该理论，时间已不再具有独立性。洛伦兹变换的第四个方程便体现了这一点。

此外，根据这个方程，对于K′参考系而言，两个事件之间的时间差Δt′通常不会为零，即便对于K参考系而言这两个事件的时间差Δt为零。对于K参考系而言，两个事件之间的纯“空间距离”会转化为这两个事件相对于K′的“时间距离”。不过，对相对论理论的形式发展具有重大意义的，其实是闵可夫斯基的发现——他认识到，相对论理论中的四维时空连续体，在其最本质的形式特性上，与欧几里得几何空间中的三维连续体存在着密切的联系。[14] 为了凸显这种联系，我们必须用一个与之成正比的虚数来替代通常的时间坐标t。在这种条件下，满足（狭义）相对论要求的自然定律会呈现出这样的数学形式：时间坐标所起的作用与三个空间坐标完全相同。从形式上看，这四个坐标与欧几里得几何中的三个空间坐标是完全对应的。即便是非数学专业人士也能明白，由于这一纯粹形式上的补充，相对论理论确实获得了极大的清晰度。[14] 更详细的讨论可见附录II。

这些不充分的论述只能让读者对闵可夫斯基所提出的重要思想有模糊的认识。如果没有他的贡献，那些在后续章节中将被详细阐述的相对论基本理念或许永远无法得到发展。对于那些没有数学基础的人来说，闵可夫斯基的著作无疑很难理解；不过，要理解特殊相对论或广义相对论的基本理念，并不需要完全掌握这些著作的内容，因此我暂时先不讨论它，等到第二部分的末尾再回头探讨。

第二部分：相对论的一般理论

十八、相对性的特殊原理与一般原理
我们之前所有讨论所依据的核心原则，就是相对论的特殊原理，也就是关于所有匀速运动都具有物理相对性的原理。让我们再次仔细分析其含义。
从这一原理所传达给我们的观念来看，显然所有的运动都应被视为相对运动。回到我们经常使用的铁路轨道与火车车厢的例子，这里发生的运动可以用以下两种方式来描述，这两种方式都是同样合理的：

(a) 火车车厢相对于铁路轨道在运动；
(b) 铁路轨道相对于火车车厢在运动。
在(a)中，铁路轨道是描述运动的参考物体；在(b)中，则是火车车厢。如果只是为了检测或描述运动本身，那么选择哪个参考物体其实并不重要。正如前文所述，这是显而易见的，但这一点不应与更为全面的“相对性原理”相混淆——我们正是以该原理作为研究的基础。
我们所遵循的原理不仅表明我们可以选择火车车厢或铁路轨道作为描述任何现象的参考物体（这一点也是显而易见的），它还进一步指出：如果我们利用(a)中的铁路轨道作为参考物体，从而根据经验总结出自然界的普遍规律的话……

(b) 以铁路车厢作为参考物体，那么这些自然规律（例如力学定律或真空中光传播的定律）在两种情况下都具有完全相同的表达形式。这也可以这样表述：在描述自然过程时，与其它参考物体相比，K和K′这两种参考物体并没有哪一种是独一无二、被特别指定的。与前者不同，后一种说法并不一定是先验成立的；它并不包含在“运动”和“参考物体”的概念之中，也无法从这些概念中推导出来；只有通过经验才能判断其正确与否。然而，到目前为止，我们始终没有坚持所有参考物体K在自然定律的表述中都是等价的这一观点。我们的研究思路更倾向于以下方式：首先，我们从这样一个假设出发——存在一个参考物体K，其运动状态使得伽利略定律对其成立：一个被置于孤立状态且与其他粒子距离足够远的粒子会作匀速直线运动。相对于K（即伽利略参考物体），自然定律应当尽可能简单。但除了K之外，所有的参考物体K′也都应被优先考虑，只要它们相对于K处于匀速直线且无旋转的运动状态，那么在自然定律的表述上它们就应与K完全等价；所有这些参考物体都应被视为伽利略参考物体。相对性原理的有效性仅适用于这些参考物体，而不适用于其他物体（例如那些具有不同类型运动的物体）。在这种意义上，我们称之为狭义相对性原理，或特殊相对论。与此相反，所谓“广义相对性原理”，指的是这样的观点：无论参考物体K、K′等的运动状态如何，它们在描述自然现象（即制定自然规律）时都是等价的。但在进一步探讨之前，需要指出的是，由于某些原因，这种表述日后必须被更为抽象的表述所取代，而这些原因将在后续阶段变得清晰起来。既然狭义相对性原理已经被证明是合理的，那么任何追求普遍化的思维都会产生向广义相对性原理迈进的冲动。

不过，有一个简单且看似可靠的考量表明：至少就目前而言，这样的尝试成功的可能性微乎其微。让我们想象自己身处那辆以恒定速度行驶的火车车厢里。只要车厢以恒定速度移动，车厢内的乘客就无法感知到它的运动，正因如此，他才会毫不迟疑地将各种现象理解为车厢处于静止状态，而轨道在移动。此外，根据狭义相对论，从物理角度来看，这种解释也是完全合理的。如果车厢的运动变为非恒定运动，比如因为强烈制动而产生的情况，那么车厢内的乘客就会感受到相应的向前的冲击力。物体相对于车厢内人的机械行为会因此发生变化，这种机械行为与之前所考虑的情况不同，因此似乎不可能让同样的力学定律同时适用于非恒定运动的车厢，就像它们适用于静止或恒定运动的车厢那样。无论如何，很明显伽利略定律并不适用于非恒定运动的车厢。正因如此，在当前阶段我们不得不承认非恒定运动具有某种绝对的物理现实性，这与狭义相对论的一般原则相悖。但在接下来的讨论中，我们会发现这一结论是无法成立的。

十九、引力场
“如果我们拿起一块石头然后松手，为什么它会掉到地上呢？”
对于这个问题的常见回答是：“因为它受到地球的吸引。”
现代物理学则从不同的角度来解释这个问题。通过对电磁现象的更深入研究，我们认识到，没有某种中间介质的介入，远距离作用是不可能发生的。例如，当磁铁吸引铁块时，我们不能简单地认为磁铁是通过中间的空旷空间直接作用于铁块的，而必须像法拉第那样设想：磁铁总会在其周围的空间中产生某种实际存在的物质，也就是我们所说的“磁场”。这个磁场再作用于铁块，使得铁块试图向磁铁移动。这里我们不会讨论这一假设的合理性，因为它确实有些武断。我们只需指出，借助这一概念，电磁现象能够得到更为合理的理论描述，尤其是在解释电磁波的传播方面。引力的作用也被以类似的方式加以理解。地球对石头的作用是间接的——地球在其周围产生引力场，该引力场作用于石头，使其产生下落运动。根据经验，当我们离地球越来越远时，这种作用力会按照一定的规律逐渐减弱。从我们的观点来看，这意味着：为了准确描述引力随距离变化的规律，描述空间中引力场特性的定律必须是极其明确的。大致来说，物体（如地球）会直接在其附近产生一个场；该场的强度和方向则……

距离物体更远的点，其位置由支配引力场在空间中性质的规律所决定。与电场和磁场不同，引力场具有一个极为重要的特性，这一特性对后续讨论具有根本性的意义。在仅受引力场作用的条件下运动的物体，其加速度完全不取决于该物体的材质或物理状态。例如，在真空中，一块铅和一块木头从静止状态或以相同的初速度开始下落时，它们的下落方式是完全相同的。这一规律具有极高的精确度，通过进一步的分析可以将其用另一种形式表达出来。根据牛顿运动定律，我们有：（力）=（惯性质量）×（加速度），其中“惯性质量”是加速物体的固有常数。如果加速度是由引力引起的，那么就有：（力）=（引力质量）×（引力场强度），这里的“引力质量”也是物体的固有常数。由这两个关系式可以得出：既然根据经验，加速度与物体的性质及状态无关，并且在给定的引力场中始终相同，那么引力质量与惯性质量的比值对于所有物体来说也必须相同。通过适当选择单位，我们可以让这个比值等于1。于是就得到了如下定律：物体的引力质量等于其惯性质量。的确，这条重要的定律此前已在力学中被记载下来，但并未被真正理解。只有认识到以下事实，才能得到令人满意的解释：物体的同一属性会根据不同情况表现为“惯性”或“重量”（字面意思是“沉重感”）。在接下来的章节中，我们将说明这种情况在多大程度上确实如此，以及这一问题与相对论的基本假设之间有何关联。

二十、惯性质量与引力质量的相等性作为相对论基本假设的依据
我们设想一片广阔的真空空间，它远离恒星及其他有相当质量的物体，因此几乎满足了伽利略定律所要求的条件。在这样的空间中，我们可以选择一个伽利略参考系——相对于该参考系，静止的物体会继续保持静止状态，而运动的物体会持续做匀速直线运动。作为参考系，我们可以想象一个类似房间的巨大箱子，箱子里有一名配备有各种仪器的观察者。对于这名观察者而言，引力自然并不存在；他必须用绳子将自己固定在地板上，否则哪怕是最轻微的冲击也会使他慢慢向上飘向房间的天花板。
在箱子盖子的中央，外部固定着一个钩子，钩子上连着绳子，现在有个“存在物”（它是何种存在物对我们来说并不重要）开始以恒定的力拉扯这条绳子。于是箱子连同其中的观察者一起开始以匀加速运动“向上”移动。随着时间的推移，他们的速度将会达到惊人的数值——当然，这是从另一个没有受到绳子牵拉的参考系来观察这一现象时的情况。
那么，箱子里的那个人会如何看待这一过程呢？箱子的加速度会通过箱子底部的反作用力传递给他。因此，如果他不想整个人躺在地板上，就必须用双腿来承受这种压力。这样，他站在箱子里的姿势就与任何人站在家里的房间里的姿势完全相同了。

我们的地球。如果他释放之前放在箱子里的物体，那么箱子的加速度将不再传递给该物体，因此该物体会以加速的相对运动向箱子底部靠近。观察者会进一步确认：无论实验中使用何种物体，该物体向箱子底部运动的加速度大小始终不变。凭借对重力场的了解（如前文所述），箱子里的那个人会得出结论：他自己与箱子都处于一个随时间保持不变的引力场中。当然，他一开始会困惑于为什么箱子不会在这个引力场中下落，但随后他发现了箱子盖子中央的钩子以及连接在钩子上的绳子，于是便认为箱子是在引力场中静止悬挂着的。

我们是否应该嘲笑这个人，说他得出了错误的结论呢？如果我们希望保持一致性，就不应该这么做；相反，我们必须承认他的理解方式既不违背理性，也不违反已知的力学定律。尽管相对于最初所考虑的“伽利略空间”而言箱子是处于加速状态的，但我们仍然可以认为它是静止的。因此，我们有充分的理由将相对性原理扩展到那些彼此之间处于加速状态的参考物体上，进而为相对性原理的普遍化提供了有力的依据。

我们必须注意，这种解释方式之所以可能，是基于引力场的一个基本特性——即它让所有物体都受到相同的加速度作用，或者换句话说，是基于惯性质量与引力质量相等的定律。如果这一自然定律不存在，那么身处加速箱子中的人就无法基于引力场的假设来解释周围物体的行为，也无法凭经验认为自己的参考物体是“静止”的。

假设箱子里的人在盖子内侧固定了一根绳子，并在绳子的自由端挂上一个物体。这样一来，绳子就会被拉紧，从而“垂直”向下悬挂。如果我们询问绳子产生张力的原因，箱子里的人会说：“被悬挂的物体会受到向下的力。”

引力场的作用会被绳子的张力所抵消；而决定绳子张力大小的因素，就是被悬挂物体的引力质量。另一方面，那些在太空中自由悬浮的观察者则会这样理解这一现象：“绳子必然会随胸腔一起加速运动，并将这种运动传递给与之相连的物体。绳子的张力刚好足以使该物体产生加速度，而决定绳子张力大小的因素，则是该物体的惯性质量。”通过这个例子，我们可以看出，相对论原理的延伸实际上意味着惯性质量与引力质量相等的定律是必然存在的。这样一来，我们就得到了这条定律的物理解释。

从对加速运动的胸腔的分析中可以看出，广义相对论必然会给出关于引力定律的重要结论。事实上，对广义相对论思想的系统研究已经为我们提供了描述引力场的规律。不过，在继续深入之前，我必须提醒读者避免因这些分析而产生的误解：对于胸腔中的那个人来说，确实存在引力场，尽管最初选择的坐标系中并不存在这样的场。现在我们很容易认为，引力场的存在往往只是表面现象而已。我们还可能认为，无论存在何种形式的引力场，总可以找到另一个参考物体，使得以该物体为参照时不存在引力场。但这种情况并非适用于所有引力场，只适用于那些具有特殊结构的引力场。例如，就不可能找到这样的参考物体，使得从该物体来看，地球的整个引力场都消失不见。

现在我们就能明白，为什么在第十八章末尾我们所提出的、针对广义相对论原理的那些论据并不具有说服力了。的确，火车车厢里的观察者会因为刹车的作用而感受到向前的冲击，从而意识到车厢的运动是不均匀的（即有减速现象）。但是，没有人强迫他必须将这种冲击视为车厢的“真实”加速度或减速。他也可以这样解释自己的体验：“我的参考物体（即车厢）始终处于静止状态。然而，在刹车作用的期间，以车厢为参照时，确实存在一个指向前进方向的引力场。”

并且该值会随时间而变化。在该场的作用下，堤坝与土壤会以非均匀的方式运动，从而导致它们向后的初始速度不断减小。

二十一、
经典力学与狭义相对论的基石在哪些方面存在不足？
我们已多次指出，经典力学是以如下定律为出发点的：那些与其他物质粒子相距足够远的物质粒子会继续沿直线做匀速运动，或者保持静止状态。我们也反复强调，这一基本定律仅适用于那些具有特定运动状态、且彼此之间处于匀速平动状态的参考系K。对于其他参考系K而言，该定律并不成立。因此，在经典力学与狭义相对论中，我们都会区分两类参考系——一类是那些公认的“自然法则”对其成立的参考系K，另一类则是这些法则对其不成立的参考系K。
然而，任何思维逻辑清晰的人都不会满足于这种状况。他会问：“为何某些参考系（或它们的运动状态）会比其他参考系（或它们的运动状态）更受重视？这种优先性背后的原因是什么？”
为清楚地说明我这个问题的含义，我将通过一个比喻来解释。
我站在燃气灶前，灶台上并排放着两个极为相似的锅，以至于很容易将它们混淆。两个锅里都装了半杯水。我注意到其中一个锅不断有蒸汽冒出，而另一个则没有。尽管我以前从未见过燃气灶或锅，但我还是对此感到惊讶。不过，如果我现在发现第一个锅下面有某种蓝色的发光物质……

如果不存在那种蓝色物质的话，我就不会再感到惊讶了，即便我以前从未见过气体火焰。因为我只能说，那种蓝色物质会促使蒸汽的产生，或者至少有可能做到这一点。然而，如果我在两种情况下都看不到那种蓝色物质，并且观察到其中一个持续产生蒸汽而另一个则不产生蒸汽，那么在我找到能够解释这两种容器不同行为的因素之前，我仍将感到困惑与不满。类似地，在经典力学（或狭义相对论）中，我也试图寻找某种真正的机制来解释物体在参考系K和K′中的不同行为，但毫无结果。牛顿意识到了这一反对意见并试图加以反驳，但未能成功。而E.马赫则最清楚地认识到了这一问题，正因如此他才主张力学必须建立在新的基础之上。只有通过符合广义相对论原理的物理学才能消除这一反对意见，因为这样的理论方程对任何参考物体都适用，无论其运动状态如何。[15] 当参考物体的运动状态不需要任何外部力量来维持时，这一反对意见尤为重要，例如当参考物体做匀速旋转时。

二十二、从相对性原理得出的若干推论
第二十节中的分析表明，相对性原理使我们能够以纯粹理论的方式推导出引力场的性质。例如，假设我们已知任何自然过程在伽利略参考系K中的时空“轨迹”。通过纯粹的理论运算（即简单的计算），我们就能知道从相对于K加速运动的参考系K′来看，该自然过程会呈现怎样的状态。由于相对于这个新的参考系K′也存在引力场，因此我们的分析还能告诉我们引力场如何影响所研究的物理过程。
例如，我们得知：相对于K做匀速直线运动的物体（遵循伽利略定律），相对于加速运动的参考系K′来说则处于加速运动状态，其运动轨迹通常是曲线。这种加速度或曲率正是相对于K存在的引力场对运动物体的作用结果。众所周知，引力场确实会以这种方式影响物体的运动，因此我们的分析并没有带来什么本质上的新发现。
然而，当我们对光束进行类似的分析时，就会得到一个具有根本重要性的新结果。相对于伽利略参考系K，这样的光束会以速度c沿直线传播。但当我们以加速运动的参考系K′作为参照时，很容易证明同一光束的路径不再是直线。由此我们可以得出结论：一般来说，光束在引力场中是以曲线方式传播的。这一结果在两个方面都具有极其重要的意义。

首先，这一现象可以与现实情况相对照。尽管仔细分析后会发现，对于实际存在的引力场而言，广义相对论所要求的光线弯曲程度极其微小，但针对以近乎垂直角度穿过太阳的光线而言，其弯曲幅度仍为1.7角秒。这一效应应当会以如下方式表现出来：从地球上看，某些恒星似乎位于太阳附近，因此可以在日全食期间观测到它们。在那种情况下，与太阳处于天空其他位置时相比，这些恒星应该会向远离太阳的方向移动上述所示的距离。验证这一推论的正确性是一个极为重要的问题，期待天文学家能够尽快给出答案。[16]
1919年5月29日的日食期间，通过由皇家学会与皇家天文学会联合委员会提供的恒星照片，首次证实了理论中所预测的光线偏折现象。（参见附录III。）

其次，我们的研究结果表明，根据广义相对论，真空中介质中光速恒定的定律——这一定律是狭义相对论的两个基本假设之一，我们此前也多次提到过它——并不能具有无限的有效性。只有当光线的传播速度随位置而变化时，才会出现光线弯曲现象。人们可能会认为，由此一来，狭义相对论以及整个相对论体系都将被推翻。但实际上并非如此。我们只能得出结论：狭义相对论不能在所有情况下都成立；只有在我们能够忽略引力场对各种现象（如光的现象）的影响时，它的结论才成立。由于相对论的反对者常常声称狭义相对论已被广义相对论所取代，因此或许有必要通过适当的比较来更清楚地说明实际情况。在电磁学发展之前，静电学定律被视为电学的全部法则。而现在我们知道，电场是可以被推导出来的。

仅从静电学角度而言，这一结论仅在一种实际上永远无法实现的条件下才成立——即各电荷相对于彼此以及相对于坐标系完全处于静止状态。那么，我们是否有理由认为正因如此，静电学就被电动力学中的麦克斯韦场方程所取代了呢？当然不是。静电学其实是电动力学中的一个特例；当场强不随时间变化时，电动力学的定律可直接导出静电学的定律。对于任何物理理论来说，没有比这更理想的命运了：它能够为自己指明通往更全面理论的道路，并作为该更全面理论中的一个特例而存在。

在刚才讨论的光传播例子中，我们看到广义相对论使我们能够从理论上推导出引力场对自然过程的影响，而这些自然过程的规律在不存在引力场时已经是已知的。不过，最有趣的问题——广义相对论为解决这个问题提供了关键——则是研究引力场本身所遵循的规律。让我们暂且思考一下这个问题。

我们熟悉那些在适当选择参考系后会表现出“伽利略式”行为的时空区域，也就是说，这些区域内不存在引力场。如果现在将这样的区域与某个具有某种运动的参考系K′联系起来，那么相对于K′而言，就会存在一个随空间和时间变化的引力场。[17] 这种场的性质当然取决于为K′选择的运动方式。根据广义相对论，所有以这种方式产生的引力场都必须满足引力场的普遍定律。尽管并非所有的引力场都能以这种方式产生，但我们仍然可以期望，从这类特殊的引力场中能够推导出引力场的普遍定律。而这一期望确实以最为完美的方式实现了。

然而，在清晰地认识到这一目标与真正实现它之间，还有必须克服的严重困难。由于这一问题根植于事物的本质之中，我不敢对读者隐瞒它。我们需要进一步拓展对时空连续体的理解。

[17] 这一结论源于第XX节中讨论内容的推广。

二十三、旋转参考系中时钟与测量杆的行为
迄今为止，我刻意避免讨论广义相对论中时空数据的物理解释。因此，我的论述存在一定的疏漏，而正如我们从狭义相对论中所知，这种疏漏绝非无关紧要或可以原谅的。现在是弥补这一缺陷的时候了；不过我首先要指出，这个问题对读者的耐心以及抽象思维能力有着相当高的要求。
我们再次从那些之前经常用过的特殊情形出发。考虑这样一个时空区域：相对于某个经过适当选择的运动状态的参考物体K而言，该区域内不存在引力场。那么，就所考虑的这一区域而言，K就是一个伽利略参考物体，狭义相对论的结论在K的参考系下仍然成立。现在假设将同一个区域相对于另一个参考物体K′来描述，而K′则相对于K做匀速旋转运动。为了便于理解，我们可以设想K′是一个平面圆盘，它在其自身平面内绕中心做匀速旋转。位于圆盘K′上偏心位置的观察者会感受到一种沿径向向外作用的力，而对于相对于原始参考物体K处于静止状态的观察者来说，这种力会被解释为惯性效应（离心力）。不过，圆盘上的观察者可以将自己的圆盘视为“静止”的参考物体；根据广义相对论的基本原理，他这样做是完全合理的。他把自己以及所有相对于圆盘处于静止状态的其他物体所受到的力，都视为引力场的效应。然而，这种引力场的空间分布形式在牛顿的引力理论中是不可能出现的。[18]但由于该观察者相信广义相对论，这一点并不会困扰他；他的看法是完全正确的。

他认为可以制定出一条万有引力定律——这样一条定律不仅能正确解释恒星的运动，还能说明他自己所处位置所受的力场情况。[18]该力场在圆盘中心处消失，而随着距离中心的增加，其强度会成正比地增大。

观察者使用钟表和测量杆在圆形圆盘上进行实验。他的目的是根据对圆形圆盘K′的观测结果，为时间和空间数据的含义给出精确的定义。那么他在这一尝试中会遇到什么情况呢？首先，他将两台结构相同的钟表中的一台放在圆盘的中心，另一台则放在圆盘的边缘，使得这两台钟表都相对于圆盘处于静止状态。现在我们不禁要问：从非旋转的伽利略参考系K的角度来看，这两台钟表的走速是否相同？从该参考系来看，位于圆盘中心的钟表没有速度，而位于圆盘边缘的钟表则因为圆盘的旋转而相对于K处于运动状态。根据第XII节中的结论，后者의走速会始终慢于位于圆盘中心的钟表，即从K点观察时如此。显然，如果我们设想有一位观察者坐在圆盘中心的钟表旁边，他也会观察到同样的现象。因此，在我们的圆形圆盘上，或者更一般地说，在任何引力场中，钟表的走速都会因其所在位置的不同（是否处于静止状态）而有所差异。正因如此，我们无法通过那些相对于参考系处于静止状态的钟表来给出合理的时间定义。当我们试图将之前关于同时性的定义应用到这种情况时，也会遇到类似的难题，但我不想再深入探讨这个问题了。此外，在现阶段，空间坐标的定义也存在着难以克服的困难。如果观察者将他的标准测量杆（一根长度远小于圆盘半径的杆子）沿着圆盘边缘切线方向放置，那么从伽利略坐标系来看，这根杆子的长度将会小于1，因为根据第XII节的内容，运动中的物体会在运动方向上发生缩短。

另一方面，如果用测量杆沿着半径方向作用于圆盘，根据K的判断，该测量杆的长度不会发生缩短。因此，如果观察者先用测量杆测量圆盘的周长，然后再测量其直径，将两者相除后得到的商数就不会是人们所熟知的π=3.14……，而是一个更大的数值[19]；当然，对于相对于K静止的圆盘而言，这种运算会得到精确的π值。这证明了欧几里得几何的定理在旋转的圆盘上无法精确成立，一般来说，在引力场中也是如此——至少在我们认为测量杆在所有位置和所有方向上的长度都为1的情况下是这样。因此，直线的概念也失去了意义。所以我们无法像在讨论狭义相对论时那样，精确地定义相对于圆盘的坐标x、y、z；而在事件的坐标和时间尚未被定义之前，我们也就无法为这些事件所遵循的自然定律赋予精确的含义。
[19]
在整个分析过程中，我们必须以伽利略体系（非旋转体系）K作为参考系，因为我们只能假设狭义相对论的结果在K参考系下有效（而在K′参考系中则存在引力场）。
这样一来，我们之前基于广义相对论得出的所有结论似乎都受到了质疑。实际上，为了能够精确应用广义相对论的公设，我们必须采取一种巧妙的迂回方法。我将在接下来的段落中为读者做好这方面的准备。

二十四、欧几里得连续体与非欧几里得连续体
我面前放着一张大理石桌面。我可以从桌面上的任意一点出发，通过不断移动到“相邻”的点，并重复这一过程很多次，从而到达另一个点；换句话说，就是无需“跳跃”就能从一个点移动到另一个点。相信读者只要不是过于拘泥于细节，就能清楚地理解我在这里所说的“相邻点”与“跳跃”的含义。我们用“连续体”这一概念来描述桌面的这种性质。
现在，假设我们制作了大量长度相等的小棒，这些小棒的长度远远小于大理石板的尺寸。所谓长度相等，是指任意两根小棒放置在一起时其两端不会重叠。接着，我们将四根这样的小棒放在大理石板上，使它们构成一个四边形——即正方形，且该正方形的对角线长度相等。为确保对角线长度相等，我们会使用一根小测量棒。在这样一个正方形的基础上，我们再添加与之相似的正方形，每个新正方形都与原来的正方形有一根小棒重合。我们以同样的方式继续添加正方形，最终让整个大理石板都被正方形填满。在这种排列中，每个正方形的边都属于两个正方形，而每个顶点则属于四个正方形。
令人惊叹的是，我们能够顺利完成这项工作而不会遇到太大困难。我们只需考虑以下几点：如果某个顶点处有三个正方形相交，那么第四个正方形的两个边已经确定，因此该正方形剩余两边的位置也就完全确定了。不过，此时我们就无法再调整这个四边形，使其对角线长度相等。如果对角线能自动保持相等，那也只能归功于大理石板和小棒的特殊性质了。

我们感到惊喜不已。如果要让这一构造成功，我们就必须经历许多这样的惊喜。如果一切真的进展顺利，那么可以说，对于被用作“距离”（线段长度）的那些小杆而言，大理石板上的各点构成了欧几里得连续体。通过选择正方形的一个角作为“原点”，我就可以用两个数字来表示正方形的另一个角相对于该原点的位置。我只需要说明，从原点出发，先向“右”再向上移动时，需要经过多少根小杆才能到达所考虑的那个角即可。这两个数字就是该角相对于由这些小杆的排列所确定的“笛卡尔坐标系”的“笛卡尔坐标”。通过对这一抽象实验进行如下修改，我们可以意识到也存在着实验会失败的情况。假设这些小杆会随着温度的升高而按比例“膨胀”。如果我们只加热大理石板的中心部分而不加热边缘，那么仍然可以在桌面的任何位置让两根小杆重合。但在加热过程中，由于桌面中心区域的小杆会膨胀，而边缘区域的小杆则不会，因此我们用来构建正方形的结构必然会变得混乱。以这些被定义为单位长度的小杆为参照，大理石板就不再是一个欧几里得连续体，我们也无法再利用它们直接定义笛卡尔坐标，因为上述的构造方式已无法实现。不过，由于还有其他一些物体不会像这些小杆那样受到桌面温度的影响（或者根本不受影响），因此我们完全有可能坚持认为大理石板仍是一个“欧几里得连续体”。只要对长度的测量或比较方法做出更精细的规定，就能以令人满意的方式做到这一点。但是，如果所有种类的杆子（即所有材质的杆子）在处于温度不断变化的大理石板上时都会表现出相同的温度响应特性，而且我们除了通过类似上述实验中杆子的几何行为之外没有其他方法来检测温度的影响，那么我们最好的办法就是为大理石板上的两点之间指定一个距离值，前提是……

我们可以让其中一根杆的端点与这两点重合；否则，若不这样定义距离，我们的计算方法就会显得极其随意。因此，必须放弃笛卡尔坐标系，转而采用一种不假设刚体适用欧几里得几何原理的方法。[20]读者会注意到，这里描述的情况其实与相对论广义原理所带来的情形相同（见第XXIII节）。[20]数学家们也曾面临过类似的问题：在欧几里得三维空间中给定一个曲面（例如椭球面），那么这个曲面就存在相应的二维几何结构，就如同平面一样。高斯试图从基本原理出发来研究这种二维几何结构，而不依赖该曲面属于三维欧几里得空间这一事实。如果我们设想用刚性杆在曲面上进行各种构造（类似于上文中的大理石板实验），就会发现这些构造所遵循的规律与基于欧几里得平面几何所得出的规律不同。对于这些刚性杆而言，该曲面并非欧几里得空间，因此我们无法在该曲面上定义笛卡尔坐标。高斯指出了处理曲面上几何关系应遵循的原则，从而为黎曼处理多维非欧几里得空间的方法指明了方向。如此，数学家们早已解决了相对论广义原理所带来的那些形式上的问题。

二十五、高斯坐标系

根据高斯的观点，这种结合分析方法与几何方法的处理方式可以通过以下方式实现。我们设想在桌面表面上画出一组任意曲线（见图4）。将这些曲线称为u曲线，并用数字为每条曲线编号。图中标出了u=1、u=2和u=3这三条曲线。在u=1与u=2之间的区域内，我们可以想象有无数条曲线存在，这些曲线对应的数值都位于1与2之间。这样，我们就得到了一组u曲线，而这组“无限密集”的曲线覆盖了桌面的整个表面。这些u曲线彼此不能相交，且桌面上每一点都恰好有一条曲线经过。因此，大理石板表面的每个点都有一个确定的u值。同样地，我们也在桌面上设想一组v曲线。这些曲线也需满足与u曲线相同的条件，它们同样会被赋予相应的数字，且形状也可以是任意的。由此可见，桌面的每个点都有一个u值和一个v值。我们将这两个值称为……

两个数表示桌面表面的坐标（高斯坐标）。例如，图中的点P的高斯坐标为u=3，v=1。那么，该表面上的两个相邻点P和P′对应的坐标分别为：P：u，v；P′：u+du，v+dv，其中du和dv表示非常小的数值。同样地，我们可以用极小的数值ds来表示用小棒测量的P与P′之间的距离（线段长度）。根据高斯的理论，有：ds² = g11du² + 2g12du dv + g22dv²，这里的g11、g12、g22都是依赖于u和v的数值。这些数值决定了小棒相对于u曲线和v曲线的走向，进而也决定了它们相对于桌面表面的走向。只有当所考虑的表面点在测量棒的参照下构成欧几里得连续体时，才能绘制出u曲线和v曲线，并为它们赋予数值，使得ds² = du² + dv²成立。在这种条件下，u曲线和v曲线就是欧几里得几何意义上的直线，且彼此垂直。此时，高斯坐标实际上就相当于笛卡尔坐标。显然，高斯坐标只不过是将两组数值与表面上的点相对应起来，使得“空间”中相邻点之间的数值差异非常小而已。到目前为止，这些讨论都适用于二维连续体。不过，高斯方法也可以应用于三维、四维或更高维度的连续体。例如，如果存在一个四维连续体，我们可以用以下方式来表示它：为连续体中的每个点任意关联四个数值x1、x2、x3、x4，这些数值被称为“坐标”。相邻的点则对应着坐标值的相邻数值。如果给相邻点之间关联一个距离ds的话……

对于点P和P′而言，从物理角度上看，它们之间的距离是可测量且定义明确的，此时有如下公式成立：
ds² = g₁₁dx₁² + 2g₁₂dx₁dx₂ + … + g₄₄dx₄²。
其中，g₁₁等数值会随着在连续体中的位置而变化。只有当该连续体为欧几里得连续体时，才能将坐标x₁…x₄与连续体中的点对应起来，此时公式简化为：
ds² = dx₁² + dx₂² + dx₃² + dx₄²。
在这种情况下，四维连续体中存在的规律与三维空间中的规律类似。不过，上述关于ds²的高斯处理方法并非始终适用——只有当所研究的连续体的足够小区域可以被视为欧几里得连续体时，该方法才有效。例如，对于桌面上的大理石板以及局部温度变化而言，这种情况显然成立：大理石板的较小区域内温度基本保持恒定，因此这些区域的几何行为几乎符合欧几里得几何的规则。正因如此，前文中所提到的构建正方形的缺陷，只有在将这种构建扩展到桌面表面的较大区域时才会显现出来。
综上所述：高斯发明了一种用于对连续体进行数学处理的方法，通过该方法可以定义“大小关系”（即相邻点之间的距离）。对于连续体中的每一个点，都会根据其维度赋予相应数量的数值（即高斯坐标）。这样的赋值方式确保了这些数值具有唯一的含义，而且相邻点之间的数值差异也是无限小的。高斯坐标系是笛卡尔坐标系的逻辑推广形式；它同样适用于非欧几里得连续体，但前提是就所定义的“大小”或“距离”而言，所研究的连续体的较小区域表现得越接近欧几里得系统，其效果就越好。

第二十六章
狭义相对论中的时空连续体——作为欧几里得连续体来考虑

现在，我们能够更精确地阐述明可夫斯基的观点，而第十七章中仅对其进行了粗略的说明。根据狭义相对论，在描述四维时空连续体时，某些坐标系更为合适。我们将这类坐标系称为“伽利略坐标系”。对于这些坐标系而言，用来确定某一事件——或者说四维连续体中的某一点——的四个坐标x、y、z、t，有着简单的物理解释，具体内容详见本书的第一部分。当从一个伽利略坐标系转换到另一个以该坐标系为参考且匀速运动的伽利略坐标系时，洛伦兹变换方程就适用了。这些方程是從狭义相对论中推导出各种结论的基础，其本质不过是光传播定律在所有伽利略参考系中都具有普遍适用性的体现而已。

明可夫斯基发现，洛伦兹变换满足以下简单条件。假设存在两个相邻的事件，它们在四维连续体中的相对位置可以通过相对于伽利略参考系K的空间坐标差dx、dy、dz以及时间差dt来表示。对于另一个伽利略坐标系而言，这两个事件的相应坐标差则分别为dx′、dy′、dz′、dt′。那么，这些数值始终满足该条件。[21]

[21]
参见附录I和II。其中为坐标本身推导出的关系式同样适用于坐标差，进而也适用于坐标微分（即无限小的差值）。

dx² + dy² + dz² – c²dt² = dx′² + dy′² + dz′² – c²dt′²。
洛伦兹变换的有效性正是基于这一条件。
我们可以这样表示：在四维时空连续体中，任意两个相邻点之间的距离的平方

ds² = dx² + dy² + dz² – c²dt²，

对于所有选定的（伽利略系）参考系来说都具有相同的值。
如果用x₁、x₂、x₃、x₄来代替x、y、z，那么也会得到

ds² = dx₁² + dx₂² + dx₃² + dx₄²，

这一结果同样与所选的参考系无关。我们将这个量ds称为两个事件或四维点之间的距离。
因此，如果我们用虚数变量来作为时间变量，而非实数t，那么根据狭义相对论，就可以将时空连续体视为一个“欧几里得”四维连续体，这一结论正是从前一节的分析中得出的。

二十七、
广义相对论中的时空连续体并非欧几里得连续体
在本书的第一部分中，我们能够使用那些便于进行简单直接物理解释的时空坐标，根据第二十六节的内容，这些坐标可视为四维笛卡尔坐标。这一做法之所以可行，是基于光速恒定定律。但根据第二十一节的内容，广义相对论无法保留这一定律。相反，我们得出这样的结论：在存在引力场的情况下，根据广义相对论，光速必定会随坐标而变化。结合第二十三节中的具体示例，我们发现引力场的存在会使得坐标的定义以及时间的概念失效，而这正是我们在狭义相对论中所追求的目标。基于这些分析结果，我们相信：根据广义相对论的基本原理，时空连续体不能被视为欧几里得连续体；这里所描述的是一种更一般的情况，类似于存在局部温度变化的石板，而我们之前已经以它作为二维连续体的例子加以研究。正如在那种情况下无法用等长的杆子构建出笛卡尔坐标系一样，在这里也不可能用刚体与时钟来构建出这样一种坐标系——即那些彼此之间保持固定相对位置的测量杆与时钟能够直接指示位置与时间。这正是我们在第二十三节中所面临的难题的本质。不过，第二十五节与第二十六节中的分析为我们指出了克服这一难题的方法。我们在这里讨论的是四维时空……

我们可以以任意方式将连续体转换为高斯坐标系。对于连续体中的每一个点（即事件），我们都会赋予它四个数值：x1、x2、x3、x4（即坐标值）。这些数值本身并无任何直接的物理意义，其作用仅仅是按照某种特定但任意的规则为连续体中的点编号而已。这种表示方式甚至不必要求将x1、x2、x3视为“空间”坐标，而将x4视为“时间”坐标。

读者可能会认为这样的描述方式远远不够完善。既然这些坐标本身没有任何意义，那为何还要给某个事件指定x1、x2、x3、x4这些坐标呢？不过，仔细思考后会发现这种担忧是没有根据的。例如，考虑一个处于某种运动状态的物质点。如果该点仅存在瞬间而不具有持续时间，那么它就可以用一组x1、x2、x3、x4这组数值在时空中来描述。而由于该点实际上是持续存在的，因此必须用无数组这样的数值来描述它，这些数值彼此非常接近，从而构成了连续性；相应地，在四维连续体中就存在一条（一维的）直线来代表这个物质点。同样地，连续体中的每条这样的直线都对应着多个处于运动状态的点。实际上，唯一能够体现物理意义的关于这些点的描述，就是关于它们相互相遇的情况。在我们的数学处理中，这种相遇表现为代表这些点运动的两条直线拥有相同的坐标值x1、x2、x3、x4。经过深思熟虑后，读者无疑会承认：在现实中，正是这种相遇构成了我们在物理描述中所遇到的关于时空特性的唯一实际证据。

当我们描述一个物质点相对于参考物体的运动时，我们所描述的不过是该点与参考物体上某些特定点的相遇情况而已。我们还可以通过观察物体与时钟的相遇情况，再结合观察时钟指针与表盘上某些特定点的相遇情况，来确定相应的时间值。通过测量杆进行空间测量时也是如此，稍加思考就能明白这一点。

以下结论普遍适用：任何物理描述都可以分解为若干个陈述，而这些陈述各自都涉及两个事件A与B在时空中的重合情况。用高斯坐标来表示时，每个这样的陈述都可以通过这两个事件的四个坐标x1、x2、x3、x4是否一致来体现。因此，实际上，利用高斯坐标对时空连续体进行描述，完全可以替代以参考系为基础的描述方式，且不会存在后一种描述方式所具有的缺陷；同时，它也不受限于所需描述的连续体的欧几里得特性。

二十八、广义相对论基本原理的精确表述
现在，我们可以用一种更精确的表述来替代第十八节中给出的广义相对论基本原理的临时性表述。当时所使用的表述——“无论参考物体K、K′等的运动状态如何，它们在描述自然现象（即自然定律的表述）时都是等价的”——已不再适用，因为在时空描述中，通常无法像狭义相对论中所做的那样使用刚性的参考物体。因此，必须以高斯坐标系来取代参考物体。以下表述体现了广义相对论的基本思想：“在表述自然定律时，所有高斯坐标系本质上都是等价的。”
我们还可以用另一种方式来表述这一广义相对论基本原理，这种方式比将其视为狭义相对论的自然延伸更为清晰易懂。根据狭义相对论，当利用洛伦兹变换将参考物体K的时空变量x、y、z、t替换为另一个参考物体K′的时空变量x′、y′、z′、t′时，表达自然定律的方程会变成形式相同的方程。而根据广义相对论，通过任意的高斯变量x1、x2、x3、x4的替换，这些方程也必须保持相同的形式；因为每一种变换（不仅仅是洛伦兹变换）都对应着从一个高斯坐标系到另一个高斯坐标系的转换。
如果我们仍坚持那种传统的三维世界观，那么就可以这样描述广义相对论基本思想的发展过程：狭义相对论……

相对论涉及伽利略参考系，即那些不存在引力场的参考系。在这种情形下，伽利略参考物体被用作参考基准——也就是一种运动状态经过特殊选择的刚体，使得“孤立”的质点相对于该刚体遵循伽利略的匀速直线运动定律。
某些考虑表明，我们同样可以将这些伽利略参考系与非伽利略参考物体联系起来。此时，相对于这些参考物体就会存在某种特殊的引力场（参见第XX节和第XXIII节）。
在引力场中，不存在具有欧几里得性质的刚体；因此，在广义相对论中，那种虚构的刚体参考物毫无用处。时钟的运动也会受到引力场的影响，以至于直接借助时钟来定义时间的方法，其合理性远远不及在狭义相对论中的情况。
正因如此，人们采用了非刚性参考物体——这类物体不仅在运动过程中会以任意方式移动，其形状还会在运动过程中发生改变。那些运动规律无论多么不规则、何种形式的时钟都可以用来定义时间。我们需要将这些时钟想象成固定在非刚性参考物体上的点。这些时钟只需满足一个条件：在空间上相邻的时钟所显示的“读数”之间的差异要小到可以忽略不计。这种非刚性参考物体，或许可以被称为“参考软体”，它本质上相当于任意选取的高斯四维坐标系。与高斯坐标系相比，这种“软体”之所以更具可理解性，是因为人们形式上仍然坚持空间坐标与时间坐标是相互独立的——尽管这种做法其实并无依据。在“软体”上 的每一个点都被视为空间点，而所有相对于它处于静止状态的质点，在以“软体”作为参考物体的前提下也被视为静止的。广义相对论的基本原则要求，在建立自然界的普遍定律时，所有这类“软体”都可以作为参考物体，且具有同等的适用性；而这些定律本身则必须完全不受所选“软体”的影响。

广义相对论的巨大威力在于，正如我们上文所看到的，它对自然法则施加了全面的限制。

二十九、基于广义相对论原理的引力问题解法
如果读者已经跟进了我们之前的所有论述，那么理解解决引力问题的方法就不会再有困难。
我们首先考虑一个伽利略域，即相对于伽利略参考系K而言不存在引力场的区域。根据狭义相对论，我们可以知道测量杆和时钟在K参考系中的行为，同样也可以了解“孤立”质点的运动规律——这些质点会做匀速直线运动。现在，我们将这个区域映射到任意的高斯坐标系中，或以某个“软体物体”作为新的参考系K′。此时，相对于K′就存在一种特定类型的引力场G。通过数学变换，我们就可以了解测量杆、时钟以及自由运动的质点在K′参考系中的行为。我们将这种行为理解为这些物体在引力场G作用下的表现。接着我们提出一个假设：即便所处的引力场无法通过坐标变换从伽利略特殊情形中推导出来，引力场对测量杆、时钟以及自由运动质点的影响依然遵循相同的规律。
接下来的步骤是研究通过坐标变换从伽利略特殊情形中得到的引力场G在时空中的行为。这一行为可以用一条恒成立的定律来描述，无论在描述时选择何种参考系（即“软体物体”）。

这条定律还并非引力场的普遍定律，因为此处所考虑的引力场属于特殊类型。为了找到引力的普遍场定律，我们仍需对上述定律进行推广。不过，只要遵循以下要求，就可以有条不紊地实现这一推广：

(a) 所要求的推广形式也必须满足相对论的一般假设。

(b) 如果在所研究的区域内存在物质，那么只有其惯性质量才重要，因此根据第XV节，只有其能量才对激发引力场具有影响。

(c) 引力场与物质共同必须遵守能量守恒定律（以及动量守恒定律）。

最后，相对论的一般原理使我们能够确定引力场对那些在没有引力场时、即按照狭义相对论框架下可以由已知规律描述的物理过程的影响。在这方面，我们原则上会采用之前用于测量杆、时钟以及自由运动的质点的方法。从相对论的一般假设中推导出的引力理论，不仅在美学上更为出色，而且还能消除第XXI节中所指出的经典力学中的缺陷，同时也能解释惯性质量与引力质量相等的经验定律；此外，它还已经能够解释经典力学无法解释的天文观测结果。如果我们将该理论的应用限制在引力场较弱、且所有质点的运动速度相对于光速而言都很小的情况下，那么就可以得到牛顿理论的近似结果。这样一来，牛顿理论便无需任何特殊假设即可得出，而牛顿本人则不得不提出这样一个假设：相互吸引的质点之间的引力与它们之间的距离的平方成反比。如果我们……

为了提高计算的精确度，牛顿理论中会出现一些偏差，不过由于这些偏差的数值极小，实际上都难以通过观测来检测。在此，我们需要重点关注其中一种偏差。根据牛顿理论，行星围绕太阳做椭圆运动；如果我们忽略恒星自身的运动以及其他行星的引力作用，那么行星相对于恒星的位置就应该保持不变。因此，如果我们将行星的实际运动情况修正为不受这两种因素影响的状态，且牛顿理论完全正确的话，那么行星的轨道就应当是一个相对于恒星而言是固定的椭圆。这一推论可以通过非常精确的实验来验证，目前所达到的观测精度已经足以证实除了一颗行星之外的所有行星都符合这一规律。唯一的例外是水星——那颗距离太阳最近的行星。自勒维耶之后，人们就已经知道：在修正了上述各种影响之后，水星轨道对应的椭圆并不是相对于恒星固定不变的，而是会在轨道平面内以与轨道运动相同的方向极其缓慢地旋转。经测量，这种轨道椭圆的旋转速度为每世纪43角秒，其精确度可确保在几角秒之内。用经典力学来解释这一现象时，必须假设一些概率极低的条件，而这些条件只是专门为了解释这一现象而提出的。根据广义相对论，可以得出结论：每颗行星围绕太阳运行的椭圆都必然会以上述方式旋转；对于除水星以外的所有行星来说，这种旋转速度太微小，以至于目前的观测技术无法检测出来；而水星的旋转速度则恰好为每世纪43角秒，这一结果与观测结果完全一致。除此之外，迄今为止，从该理论中还能得出两个可以通过观测来验证的结论，即太阳的引力场会使光线发生弯曲，[22]以及来自大质量恒星的光线的光谱线会与其在类似条件下产生的光线的相应光谱线相比发生偏移。

以类似地球上的方式（即通过相同种类的原子）。[23] 这一理论得出的这两个推论都已被证实。[22] 最早由爱丁顿等人于1919年观测到。（参见附录III。）[23] 由亚当斯在1924年确立。（参见第132页。）

第三部分：对整个宇宙的思考

XXX. 牛顿理论中的宇宙学难题
除了第XXI节中讨论的难题之外，经典天体力学还存在另一个根本性的难题。据我所知，这一难题最早是由天文学家塞利格详细探讨的。如果我们思考如何看待整个宇宙，首先浮现在脑海中的答案肯定是：就空间（以及时间）而言，宇宙是无限的。到处都有恒星，因此虽然物质密度在具体位置上会有很大差异，但平均而言各处都是相同的。换言之，无论我们在空间中走多远，都会发现到处都有数量大致相同、密度也大致相同的恒星群。这一观点与牛顿的理论并不一致。牛顿的理论认为，宇宙应该有一个中心点，在该点处恒星的密度达到最大值；而当我们从该中心向外延伸时，恒星的密度会逐渐降低，最终在极远的距离处会变成一片无限大的空旷区域。恒星构成的宇宙应当是无限空间海洋中的一座有限岛屿。[24]
[24]
证明——根据牛顿的理论，从无穷远处延伸并终止于质量为m的物体上的“力线”数量与质量m成正比。如果整个宇宙中的平均质量密度ρ0保持恒定，那么体积为V的球体所包含的平均质量就是ρ0V。因此，穿过球体表面F进入球体内部的力线数量与ρ0V成正比。对于球体表面的单位面积而言，进入球体的力线数量则与ρ0V/F或ρ0R成正比。这样一来，随着球体半径R的增大，球体表面的场强将会趋于无限大，这是不可能的。
这种观念本身并不令人满意，更糟糕的是，它会导致这样的结果：恒星发出的光也会……

恒星系中的各个恒星会不断飞向无尽的宇宙空间，再也无法返回，也不会与其它天体发生任何相互作用。这样的有限物质宇宙注定会逐渐变得日益贫乏。为了解决这一难题，西利格提出对牛顿定律进行修改：他认为在极远的距离上，两个质量之间的引力衰减速度会比平方反比定律所预测的更快。这样一来，物质的平均密度就能在所有地方保持恒定，甚至直到无穷远处，而不会产生强度极大的引力场。这样，我们就不必再接受“物质宇宙必须拥有某种中心结构”这一令人不悦的观点。当然，要摆脱上述根本性难题，就必须对牛顿定律进行修改，而这种修改既没有经验依据，也没有理论基础。我们可以设想出无数种能达到同样效果的定律，但却无法说明为何其中某一种更优；因为这些定律同样缺乏比牛顿定律更普遍的理论依据。

三十一、一个“有限”却又“无边界”的宇宙的可能性
不过，关于宇宙结构的种种推测还朝着另一个方向发展。非欧几里得几何的发展使得人们意识到：我们完全有理由质疑空间的无限性，而这一质疑并不会与思维规律或经验相冲突（黎曼、亥姆霍兹）。这些问题早已被亥姆霍兹和庞加莱以极其清晰的方式详细探讨过，而我在这里只能简略提及。

首先，我们设想一种存在于二维空间中的存在形式。那些拥有平面工具的生物，尤其是那些使用平面刚性测量棒的生物，可以在平面上自由移动。对他们而言，这个平面之外不存在任何东西；他们所观察到的一切，无论是发生在自己身上还是发生在他们手中的“物体”上，都是其所在平面的全部现实。例如，第XXIV节中提到的网格构造，就可以通过这些测量棒来实现。与我们的宇宙不同，这些生物的宇宙是二维的；但与我们的宇宙一样，它也是无限延伸的。在他们的宇宙中，可以存在无数由这些测量棒构成的相同正方形，因此其体积（表面积）是无限的。如果这些生物说他们的宇宙是“平面的”，这种说法是有意义的，因为他们的意思是他们能够用这些测量棒来构建平面欧几里得几何结构。在这种情况下，无论测量棒处于什么位置，它们所代表的距离始终是相同的。

现在，让我们考虑另一种二维存在形式，只不过这次是在球面而非平面上。那些拥有测量棒及其他物品的生物恰好生活在这个球面上，他们无法离开它。他们的整个观测范围仅限于球面本身。那么，这些生物能否将他们所处宇宙的几何结构视为平面几何呢？他们的测量棒又能否被视为……

如何实现“距离”的概念呢？他们无法做到这一点。因为如果他们试图表示一条直线，得到的将会是一条曲线，而我们这些“三维生物”将这种曲线称为大圆——即一条具有确定有限长度的闭合曲线，可以用测量杆来测定其长度。同样地，这个宇宙也拥有有限的面积，这一面积可以与用测量杆构成的正方形的面积相比较。这一思考的妙处在于：它让我们意识到，这些生物所处的宇宙虽然是有限的，但却没有边界。

不过，生活在球面上的生物无需进行环球旅行就能明白自己并非生活在欧几里得宇宙中。只要不选取过小的区域，他们在“世界”的任何地方都能证明这一点。从一个点出发，他们会在各个方向上画出长度相等的“直线”（在三维空间中看就是圆的弧线）。他们会把连接这些直线两端的线段称为“圆”。在平面几何中，用同一根测量杆测量的圆的周长与直径之比恒等于一个常数π，且该值与圆的直径无关。而在球面上，我们的平面生物会发现这一比值小于π，而且圆的半径与“世界球体”的半径R相比越大时，这一差值就越大。通过这一关系，球面生物即便只能测量世界球体中相对较小的部分，也能确定其宇宙（“世界”）的半径。但如果所测量的部分实在太小，他们就再也无法证明自己身处球形“世界”而非欧几里得平面上了，因为球面上的小区域与相同大小的平面区域仅有微小的差异。

因此，如果那些生活在球面上的生物所在的行星上，太阳系仅占该球形宇宙中极小的比例，那么他们就无法判断自己所处的宇宙是有限的还是……

一个无限的宇宙，因为它们所能接触到的“宇宙片段”在两种情况下实际上都是平面结构，即欧几里得几何结构。从这一讨论中可以直接得出：对于我们这些生活在球体上的生物来说，圆的周长会随着半径的增大而增加，直到达到“宇宙的周长”为止；之后，随着半径的进一步增大，周长会逐渐减小至零。在此过程中，圆的面积则会持续不断增加，最终等于整个“世界球体”的总面积。也许读者会好奇，为何我们将这些“生物”置于球体上而非其他封闭曲面上。但这一选择是有道理的——因为在所有封闭曲面中，只有球体具有这样的特性：其上的所有点都是等价的。我承认，圆的周长c与其半径r的比值确实取决于r，但对于给定的r值而言，球体上的所有点都具有相同的该比值；换言之，“世界球体”是一种“曲率恒定的曲面”。与这个二维的球形宇宙相对应的是三维的类似结构，也就是黎曼所发现的三维球面空间。它的所有点同样也是等价的。这种空间具有有限的体积，其数值由“半径”决定（2π²R³）。我们能否想象出球面空间呢？所谓想象空间，无非就是想象我们关于“空间”的体验的缩影，也就是我们在“刚性物体”运动中所能获得的体验。从这个意义上说，我们是可以想象出球面空间的。假设我们从某一点向各个方向画线或拉弦，然后用测量杆在这些线上标记出距离r。所有这些线段的自由端点都位于一个球面上。我们可以利用由测量杆构成的正方形来计算这个表面的面积F。如果宇宙是欧几里得几何结构的，那么F=4πr²；如果是球面结构，那么F始终小于4πr²。随着r值的增大，F会从零开始上升，直至达到由“世界半径”决定的最大值；而当r继续增大时，面积又会逐渐减小至零。起初，从起点辐射出的直线彼此之间的距离会越来越远，但后来它们会逐渐靠近，最终在起点的“对径点”处再次相交。在这种情况下，它们就已经遍历了整个球面空间。不难看出，三维球面空间也是如此。

它与二维球面极为相似。它是有限的（即具有有限体积），且没有边界。值得一提的是，还有一种曲面空间，即“椭球面空间”。可以将其视为一种两种“对径点”完全相同（无法区分彼此）的曲面空间。因此，椭球面宇宙在某种程度上可以被看作是一种具有中心对称性的曲面宇宙。从以上所述可知，不存在边界的封闭空间是完全可以想象的。在这些空间中，球面空间（以及椭球面空间）因其简单性而更为出色，因为其上的所有点都是等价的。通过这些讨论，天文学家和物理学家面临一个非常有趣的问题：我们所处的宇宙是无限的，还是像球面宇宙那样是有限的？以我们目前的经验来看，远远不足以回答这个问题。不过，广义相对论使我们能够以一定的确定性来回答这个问题，而第XXX节中提到的难题也由此得到了解决。

三十二、根据广义相对论的宇宙空间结构
根据广义相对论，空间的几何性质并非独立存在，而是由物质决定的。因此，只有以已知的物质状态作为依据，我们才能推断出宇宙的几何结构。从经验可知，若选择合适的坐标系，恒星的运动速度相对于光速而言是微小的。因此，如果我们假设物质处于静止状态，就可以大致推断出整个宇宙的性质。

从前面的讨论中我们已经知道，测量尺与时钟的行为会受到引力场的影响，也就是受到物质分布的影响。这一事实本身就足以排除欧几里得几何在我们宇宙中完全适用的可能性。不过，也有可能我们的宇宙只是与欧几里得宇宙略有不同，而这种可能性似乎更为合理，因为计算表明，即便是像太阳这样质量的物体，其对周围空间度量的影响也极其微小。我们可以设想，从几何学角度来看，我们的宇宙类似于那些在局部区域存在不规则曲率，但整体上并未明显偏离平面的表面——就像湖面上的波纹一样。这样的宇宙可以被称为准欧几里得宇宙。就其空间而言，它是无限的。但计算显示，在准欧几里得宇宙中，物质的平均密度必然为零。因此，这样的宇宙不可能处处都有物质存在；它所呈现的景象将会是我们在第三十节中所描述的那种令人不满的情形。

如果宇宙中的物质平均密度不为零，无论这一差异有多小，那么宇宙就不可能是拟欧几里得空间的结构。相反，计算结果表明，如果物质分布均匀，宇宙必然呈球形（或椭球形）。由于实际上物质的分布并不均匀，因此真实宇宙的各个部分都会偏离球形，即宇宙为拟球形结构。不过它必然是有限的。事实上，该理论为我们提供了宇宙空间尺度与其内部物质平均密度之间的简单关联关系[25]。
[25] 对于宇宙的半径R，我们可以得到如下方程：
在该方程中，若使用C.G.S.单位制，则2/k = 1.08 × 10²⁷；ρ表示物质的平均密度，而k则是与牛顿引力常数相关的常数。

附录

附录一
洛伦兹变换的简单推导
（第十一节的补充）

对于图2中所示的坐标系的相对取向，两个坐标系的x轴始终重合。在此情况下，我们可以先考虑那些仅发生在x轴上的事件，从而将问题分解为若干部分来处理。任何这样的事件在坐标系K中都由横坐标x和时间t表示，而在坐标系K′中则由横坐标x′和时间t′表示。我们的任务是在已知x和t的情况下求出x′和t′。

沿x轴正方向传播的光信号遵循以下方程：

x = ct

或

x – ct = 0 …… (1)

由于同一光信号在坐标系K′中也必须以速度c传播，因此其在K′系中的传播规律可以用类似的公式表示：

x′ – ct′ = 0 …… (2)

满足方程(1)的那些时空点（事件）也必须满足方程(2)。显然，当存在如下关系时即可实现这一点：

(x′ – ct′) = λ(x – ct) …… (3)

一般情况下该条件能够得到满足，其中λ为常数；因为根据方程(3)，(x – ct)的消失意味着(x′ – ct′)也会消失。如果我们将类似的思路应用到沿负x轴传播的光线上，就能得到如下条件：

(x′ + ct′) = (x + ct) …… (4)

通过将方程(3)与方程(4)相加或相减，并为方便起见用常数a和b来代替原来的常数λ和μ，我们就可以得到相应的方程式。只要知道常数a和b的值，我们就能够得到问题的解。这些常数的值可以通过以下分析确定。对于K′的原点而言，始终有x′ = 0，因此根据方程(5)中的第一个方程，我们可以得出……如果我们将K′的原点相对于K的运动速度记为v，那么就有……

如果计算K′中另一点相对于K的速度，或者计算K中某一点相对于K′的速度（该速度方向指向负x轴），那么都可以得到相同的值v。简而言之，我们可以将v视为这两个系统的相对速度。此外，相对论原理告诉我们：从K的角度来看，相对于K′静止的单位长度测量杆的长度，必然与从K′的角度来看、相对于K静止的相同单位长度测量杆的长度完全相同。为了了解从K视角看x′轴上的点是什么样子，我们只需从K的角度对K′进行“快照”拍摄；也就是说，我们必须设定一个特定的t值（即K的时间），例如t=0。对于这个t值，根据方程(5)中的第一个方程，我们可以得到x′=ax。在K′坐标系中相距Δx′=1的两点，在我们的瞬时照片中则相距……不过，如果从K′的角度进行快照拍摄（即t′=0），并且结合方程(6)来消除方程(5)中的t变量，那么我们就可以得到……由此可知，相对于K而言相距1的距离的两点，在我们的快照中将会以相应的距离呈现出来。

但从上述内容可知，这两个快照必须是完全相同的；因此，方程(7)中的Δx必须等于方程(7a)中的Δx′，这样我们就能得到相应的结果。

方程(6)和(7b)可用于确定常数a和b。将这两个常数的值代入方程(5)，即可得到第十一章中所给出的第一个和第四个方程。

至此，我们就得到了x轴上事件的洛伦兹变换公式。该公式满足以下条件：

x′² – c²t′² = x² – c²t² …… (8a)

要将这一结果扩展到x轴之外的事件，只需保留方程(8)，并补充相应的关系式即可。

通过这种方式，我们便满足了关于真空中任意方向的光线速度恒定的假设，这一结论在K系和K′系中均成立。其证明方法如下：假设在t = 0时刻有光信号从K系的原点发出，该光信号将按照以下方程传播：

或者，若对该方程两边取平方，则可得

x² + y² + z² – c²t² = 0 …… (10)。

根据光的传播定律以及相对论的假设，从K′系来看，该信号的传播应遵循相应的公式：

r′ = ct′

或

x′² + y′² + z′² – c²t′² = 0 …… (10a)。

为使方程(10a)成为方程(10)的推论，我们必须满足

x′² + y′² + z′² – c²t′² = σ(x² + y² + z² – c²t²) (11)。

由于方程(8a)必须对x轴上的点成立，因此σ = 1。显然，当σ = 1时，洛伦兹变换确实满足方程(11)；因为方程(11)是方程(8a)和(9)的推论，因而也是方程(8)和(9)的推论。这样我们就得到了洛伦兹变换。不过，由方程(8)和(9)所表示的洛伦兹变换仍需进一步推广。显然，K′系的坐标轴是否与K系的坐标轴在空间上平行并无重要意义；同样，K′系相对于K系的平移速度是否沿x轴方向也并非必要条件。通过简单的分析即可看出，我们完全可以构造出更一般的洛伦兹变换形式。

从广义上讲，洛伦兹变换由两种变换构成：即特殊意义下的洛伦兹变换以及纯粹的时空变换。后者对应于用轴方向不同的新坐标系来替代原有的直角坐标系。在数学上，我们可以这样描述广义洛伦兹变换：它用x、y、z、t的线性齐次函数来表示x′、y′、z′、t′，使得方程

x′² + y′² + z′² – c²t′² = x² + y² + z² – c²t² (11a)

始终成立。也就是说，如果将x′、y′、z′、t′的表达式代入方程左边的x、y、z、t中，那么方程(11a)的左边就会与右边相等。

附录二
闵可夫斯基的四维空间（“世界”）
（第十七节的补充内容）
如果我们用虚数来代替时间变量t，那么就可以更简洁地描述洛伦兹变换。按照这种方式，如果我们引入相应的表达式，对于另一个坐标系K′也是如此，那么该变换所必须满足的条件就可以表示为：

x1′² + x2′² + x3′² + x4′² = x1² + x2² + x3² + x4² （12）

也就是说，通过上述“坐标”的选择，(11a)式[见附录二末尾]就会转化为这个方程。从(12)式中可以看出，虚数时间坐标x4在变换条件中的作用方式与空间坐标完全相同。

坐标为x1、x2、x3。正因如此，根据相对论，‘时间’x4也会以与空间坐标x1、x2、x3相同的形态出现在自然定律中。由坐标x1、x2、x3、x4所描述的四维连续体被闵可夫斯基称为“世界”，他还将点事件称作“世界点”。从三维空间中的“事件”来看，物理学实际上就变成了四维“世界”中的“存在”。这个四维“世界”与（欧几里得）解析几何中的三维“空间”极为相似。如果我们在这后者中引入一个具有相同原点的新的笛卡尔坐标系(x′1、x′2、x′3)，那么x′1、x′2、x′3就是x1、x2、x3的线性齐次函数，且它们始终满足方程：

x1′2 + x2′2 + x3′2 = x12 + x22 + x32

这与方程(12)的相似性是完全一致的。我们可以将闵可夫斯基的“世界”正式视为一个四维欧几里得空间（带有虚数时间坐标）；而洛伦兹变换则相当于在四维“世界”中对坐标系的“旋转”。

附录三
广义相对论的实验验证

从系统的理论角度来看，我们可以将一门经验科学的发展过程视为一个持续的归纳过程。各种理论是通过归纳方式逐步形成的，它们以经验定律的形式来表述大量个别观察结果，进而通过比较可以确定出更一般的规律。从这个角度看，科学的发展与编制分类目录颇为相似，可以说是一种纯粹的经验性活动。

然而，这种观点并未涵盖实际发展过程的全部；因为它忽视了直觉与演绎思维在精确科学发展中所起的重要作用。一旦科学脱离了初始阶段，理论上的进步就不再仅仅依赖于简单的整理工作。在经验数据的指导下，研究者会构建一种思想体系，这种体系通常是从少数基本假设——即所谓的公理——出发，通过逻辑推理建立起来的。我们把这样的思想体系称为理论。理论的存在依据在于它能够将大量个别观察结果联系起来，而理论的“真实性”也正体现在这一点上。

对于同一组经验数据，可能会存在多种理论，这些理论之间往往存在很大差异。但对于那些可以被验证的理论推论而言，不同理论之间的吻合度可能非常高，以至于很难找到两者之间存在差异的推论。例如，在生物学领域，达尔文的物种进化理论与另一种关于生物进化的理论就属于这种情况。

这一理论基于获得性特征可遗传的假设。在牛顿力学中的两种理论与广义相对论的推论之间，也存在另一种极为一致的例子。这种一致性如此之高，以至于至今我们只能找到少数几个可以从广义相对论中推导出来的、且为前相对论物理学所无法得出的结论——尽管这两种理论在基本假设上存在巨大差异。在下文中，我们将再次探讨这些重要的推论，并讨论迄今为止已获得的与之相关的实验证据。

(a) 水星近日点的运动
根据牛顿力学以及牛顿的万有引力定律，围绕太阳运行的行星会沿着椭圆轨道运动，或者更准确地说，是围绕太阳与行星的共同质心运动。在这种体系中，太阳或共同质心位于轨道椭圆的焦点之一，因此在一个行星年之内，太阳与行星之间的距离会从最小值增加到最大值，然后再减小到最小值。如果我们用一种略有不同的引力定律来替代牛顿定律进行计算，会发现根据这条新定律，行星的运动依然会呈现出周期性变化；但此时，太阳与行星之间的连线在这样一个周期内所扫过的角度将不等于360°。这样一来，轨道就不会是封闭的，而是会逐渐填满轨道平面上的一个环状区域，即介于行星距离太阳的最小值对应的圆和最大值对应的圆之间的区域。
当然，广义相对论也与牛顿理论有所不同，它认为行星在其轨道上的运动应当存在微小的偏差，具体表现为：从一次近日点到来一次近日点之间，太阳与行星之间的连线所扫过的角度，会比完整旋转一周所对应的角度大一个特定的数值。

（注：在物理学中常用的绝对角度制里，一次完整的旋转对应2π的角度。上述公式给出了行星在从一次近日点到达下一次近日点期间，其轨道半径超出这一角度的数值。在该公式中，a表示椭圆的长半轴，e表示离心率，c表示光速，T表示行星的公转周期。我们的结果也可以这样表述：根据广义相对论，椭圆的长轴会以与行星轨道运动相同的方向绕太阳旋转。理论认为，对于水星而言，这种旋转的幅度应为每世纪43角秒；而对于太阳系中的其他行星来说，这一数值则小到几乎无法被检测出来。[26]
[26]
尤其是金星的轨道几乎是完美的圆形，这使得精确确定其近日点更加困难。）
实际上，天文学家们发现，牛顿的理论不足以以目前所能达到的精确度来计算水星的实际运动轨迹。在考虑了其他行星对水星产生的各种影响之后，人们发现水星轨道仍存在无法解释的近日点移动现象，其幅度与上述的每世纪43角秒相差不大。而实验结果的误差仅几角秒而已。
(b) 引力场对光的偏折

在第二十二章中已经提到，根据广义相对论，光束在穿过引力场时其路径会发生弯曲，这种弯曲与物体在引力场中运动时的路径弯曲情况类似。基于这一理论，我们可以预期，当光束靠近某个天体时，其路径会向该天体方向偏转。对于那些在距离太阳中心Δ个太阳半径处经过的光束而言，其偏转角(α)应为

另外需要指出的是，根据该理论，这种偏转有一半是由太阳的牛顿引力作用产生的，另一半则是由太阳导致的空间几何结构变化（即“弯曲”）所引起的。这一结论可以通过在日全食期间对恒星进行摄影记录来加以验证。我们之所以必须等待日全食，是因为在其他时间，大气层会被太阳光强烈照亮，导致位于太阳圆盘附近的恒星无法被观测到。从附图上可以清楚地看到所预测的效应。如果不存在太阳(S)，那么实际上处于无限远处的恒星应该会出现在D1方向上。

从地球表面观察时，情况确实如此。但由于太阳使恒星的光线发生偏折，因此该恒星会出现在D2方向上，也就是说，它与太阳中心的距离会比其实际位置稍大一些。
在实践中，这一现象是通过以下方式来验证的：在日食期间拍摄太阳附近的恒星照片；此外，还会在太阳处于天空中的另一位置时——也就是几个月前或之后——再次拍摄这些恒星的照片。与标准照片相比，日食照片中的恒星位置应该会向径向外侧（远离太阳中心）偏移，偏移量相当于角度a。
正是[英国]皇家学会与皇家天文学会推动了这项重要研究的进展。尽管有第一次世界大战的干扰，以及战争带来的各种物质和心理上的困难，这些学会仍组织了两支考察队——一支前往巴西的索布拉尔，另一支前往西非的普林西佩岛——并派出了几位英国最著名的天文学家（爱丁顿、科廷汉姆、克罗梅林、戴维森），以便获取1919年5月29日的日食照片。预计，日食期间拍摄的恒星照片与对比照片之间的偏差仅约为几百分之一毫米。因此，在拍摄照片以及后续测量过程中，必须具备极高的精确度。
测量结果以极其令人满意的方式证实了这一理论。下表列出了观测到的恒星偏差值及计算所得的偏差值（以角秒为单位）的各个分量：

(c) 光谱线的红移现象
在第二十三节中已经指出，在相对于伽利略系K旋转的K′系统中，那些结构相同且相对于旋转参考物体处于静止状态的时钟，其走时速率会随时钟位置的不同而变化。现在我们将定量地研究这种依赖关系。位于距离圆盘中心为r处的时钟，相对于K系的速率可由下式给出：

v = ωr，

其中ω表示圆盘K′相对于K系的旋转角速度。如果v0表示时钟在静止状态下相对于K系的每单位时间跳动次数（即时钟的“速率”），那么当时钟以速度v相对于K运动但相对于圆盘仍保持静止时，根据第十二节的内容，其“速率”v可由下式给出；或者用足够高的精度表示的话，也可用其他方式表达。

该表达式也可以用以下形式来表示：

如果我们用φ来表示时钟所在位置与圆盘中心之间的离心力势差，即为了将单位质量的物体从旋转圆盘上的时钟所在位置移到圆盘中心而必须克服离心力所做的功（取负值），那么我们有

由此可得出

首先，从这个表达式中可以看出，结构相同的两个时钟在距离圆盘中心不同的位置时，其走动速度也会不同。这一结论对于与圆盘一同旋转的观察者来说同样成立。从圆盘的角度来看，圆盘处于势能为φ的引力场中，因此我们所得出的结论在各种引力场中都适用。此外，我们可以把发出光谱线的原子视为一种“时钟”，这样一来就可以得出如下结论：原子吸收或发出的光频取决于其所处引力场的势能。位于天体表面的原子的频率会略低于同一元素位于其他位置的原子频率。

位于自由空间中（或较小的天体表面）。此时，φ = –K(M/r)，其中K为牛顿引力常数，M为该天体的质量。因此，与在地球表面产生的相同元素的光谱线相比，恒星表面产生的光谱线应当向红色方向偏移，其偏移量约为……

对于太阳而言，理论预测的向红色方向的偏移量约为波长的两百万分之一。而对于恒星来说，则无法进行精确的计算，因为通常情况下既不知道其质量M，也不知道其半径r。这种效应是否存在至今仍是一个未解之谜，目前（1920年），天文学家们正在努力寻找答案。由于太阳上的这种效应非常微弱，因此很难确定它是否真的存在。格雷贝和巴赫姆（波恩）通过他们自己的测量以及埃弗舍德和施瓦茨希尔德对氰基谱带的测量，几乎可以肯定这种效应的存在；而其他研究者，尤其是圣约翰，则根据他们的测量结果得出了相反的结论。

通过对恒星的统计分析，确实可以发现光谱线向折射率较低的一端偏移的现象；但迄今为止，现有的数据还不足以让我们确定这些偏移是否真的由引力效应所导致。E.弗罗因德里希在一篇题为《关于广义相对论的检验》的论文中，从我们这里所关注的问题的角度对这些观测结果进行了详细讨论，该论文发表于《自然科学》杂志1919年第35期，第520页，出版商为朱利叶斯·施普林格，柏林。

无论如何，未来几年内应该能够得出明确的结论。如果光谱线因引力势而向红色方向偏移的现象并不存在，那么广义相对论就将站不住脚。反之，如果这种偏移现象确实存在，那么……

如果能够确定光谱线位移是由引力势引起的，那么研究这种位移就能为我们提供有关天体质量的重要信息。[27]
[27] 1924年，亚当斯通过对天狼星伴星的观测，确认了光谱线向红端移动的现象；该现象在天狼星伴星上的表现程度约为太阳的30倍。R.W.L.——译者

附录四
根据广义相对论的空间结构
（第XXXII节的补充内容）

自这本小书的初版问世以来，我们对宏观尺度上空间结构的认识取得了重要进展，即便在面向大众的阐述中也有必要提及这些进展。

我最初关于这一主题的思考基于两个假设：
(1) 整个空间中存在一个均匀的物质密度，该密度处处相同且不为零；
(2) 空间的大小（“半径”）与时间无关。

根据广义相对论，这两个假设在引入一个假想项之后才是自洽的。这个假想项并非该理论本身所要求的，从理论上来看也并不自然，被称为“场方程中的宇宙学项”。

当时我觉得假设(2)是不可避免的，因为我认为如果放弃它，就会陷入无止境的猜测之中。然而早在20世纪20年代，俄罗斯数学家弗里德曼就指出，从纯粹的理论角度来看，另一种假设更为合理。他意识到，只要愿意放弃假设(2)，就可以在不将那个不自然的宇宙学项引入引力场方程的情况下仍然保持假设(1)。也就是说，原始的场方程存在这样的解：空间的“宇宙半径”会随时间变化（即空间处于膨胀状态）。按照弗里德曼的观点，可以认为该理论实际上要求空间必须处于膨胀状态。

几年后，哈勃通过对银河系外的星云进行专门研究，发现这些星云发出的光谱线存在红移现象，且红移程度会随着星云距离的增加而逐渐增大。根据我们目前的知识，这种现象只能用多普勒原理来解释，即整个恒星系统正在发生膨胀——而这正是弗里德曼所依据的引力场方程所要求的。因此，哈勃的发现可以在某种程度上被视为对该理论的验证。

不过，这里存在一个奇怪的矛盾：从理论上来看，将哈勃发现的星系光谱线红移现象解释为宇宙膨胀是毫无疑问的，但这种膨胀的起始时间却“仅”在约109年前，而物理天文学则认为单个恒星及恒星系统的形成需要更长的时间。目前还无法找到解决这一矛盾的方法。

此外还需要指出的是，关于宇宙空间正在膨胀的理论，结合天文学的观测数据，仍然无法确定三维空间的有限性或无限性；而最初的“静态空间”假说则认为空间是有限的。

K = 坐标系
x、y = 二维坐标
x、y、z = 三维坐标
x、y、z、t = 四维坐标
t = 时间
I = 距离
v = 速度
F = 力
G = 引力场

*** 古腾堡电子书项目《相对论：特殊理论与广义理论》结束 ***

后续更新的版本将取代旧版本，旧版本将会被重新命名。

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第2节. 关于古腾堡计划使命的信息

古腾堡计划代表着以各种计算机可读取的格式免费分发电子作品，这些计算机包括过时的、老旧的、中型的以及新型的计算机。它的存在正是基于……

数百名志愿者的辛勤付出，以及来自各行各业人士的捐赠，共同推动了这一项目的进展。

志愿者们以及为他们提供所需支持的财政援助，对于实现古腾堡计划的目标至关重要，也只有这样，古腾堡计划的藏书才能一直免费供后人使用。2001年，古腾堡文学档案基金会应运而生，旨在为古腾堡计划及未来的世代创造一个稳定且可持续的发展环境。如需了解更多关于古腾堡文学档案基金会的信息，以及您如何通过自己的努力和捐赠来提供帮助，请参阅www.gutenberg.org网站上的第3节和第4节内容以及基金会的相关页面。

第3节：关于古腾堡文学档案基金会的信息

古腾堡文学档案基金会是一家非营利性501(c)(3)教育机构，根据密西西比州的法律成立，并获得了美国国税局的免税资格。该基金会的联邦税务识别号为64-6221541。根据美国联邦法律及您所在州的法律规定，向古腾堡文学档案基金会捐款可在一定范围内享受税收减免。

该基金会的办公地址位于美国新泽西州蒙特克莱尔市Watchung Plaza 41号516室，邮编07042，电话号码为+1 (862) 621-9288。电子邮箱地址及最新的联系方式可在www.gutenberg.org/contact页面上找到。

第4节：关于向古腾堡文学档案基金会捐款的说明

古腾堡计划依赖于公众的广泛支持与捐赠，没有这些支持，它就无法继续履行自己的使命——增加那些可以以机器可读格式免费分发、并被更多设备所读取的公共领域及授权作品的数量。

包括那些已经过时的设备。许多金额不大的捐赠（1美元至5,000美元）对于维持该机构在IRS处的免税地位而言尤为重要。

该基金会致力于遵守美国50个州中与慈善机构及慈善捐赠相关的法律法规。这些法规的要求各不相同，要满足并持续符合这些要求需要付出大量努力、处理大量文书工作并支付诸多费用。在没有获得相关合规性确认的地区，我们不会寻求捐款。如需捐款或了解某个特定州的合规状况，请访问www.gutenberg.org/donate。

虽然我们在那些尚未满足募捐要求的州无法也不会寻求捐款，但我们知道并没有规定禁止接受来自这些州的自愿捐款者所提供的捐赠。

我们衷心欢迎国际上的捐赠，但无法就来自美国境外的捐赠在税务处理方面提供任何说明。仅美国的法律就足以让我们的少量员工应接不暇。

请查看古腾堡计划网站上的信息，以了解最新的捐款方式与地址。除了现金捐款外，还可以通过支票、在线支付或信用卡等方式进行捐款。如需捐款，请访问：www.gutenberg.org/donate。

第5节：关于古腾堡计划电子作品的一般信息

迈克尔·S·哈特教授提出了古腾堡计划的构想，即创建一个可供所有人自由共享的电子作品图书馆。四十年来，他在仅有少量志愿者支持的条件下持续制作并分发古腾堡计划的电子书。

古腾堡计划的电子书通常是由多个印刷版本整理而成的，而这些版本在美国均被确认为不受版权保护，除非……

其中包含了版权声明。因此，我们并不一定需要让电子书与相应的纸质版保持一致。

大多数人都是从我们的网站开始了解的，该网站提供了主要的PG搜索功能：www.gutenberg.org。

该网站还提供了有关古腾堡计划的各种信息，包括如何向古腾堡文学档案基金会捐款、如何参与新电子书的制作，以及如何订阅我们的电子邮件通讯以获取新电子书的相关信息。