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古腾堡计划电子书：《马克斯的几何学入门课程》
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书名：《马克斯的几何学入门课程》
作者：伯恩哈德·马克斯
发布日期：2017年3月8日 [电子书编号#54300]
最新更新时间：2024年10月23日
语言：英语
更多信息及格式：www.gutenberg.org/ebooks/54300
致谢：由Richard Tonsing以及http://www.pgdp.net上的在线分布式校对团队制作（该文件是由互联网档案馆提供的图片转换而成的）。

*** 古腾堡计划电子书《马克斯的几何学入门课程》开始 ***

马克斯著
几何学入门课程。共两部分。
内容表述客观，专为文法学校、学院等机构的初级班级设计。
作者：伯恩哈德·马克斯，旧金山林肯学校校长。
纽约：伊维森、菲尼、布莱克曼公司出版。
费城：J.B.利平科特公司出版。
芝加哥：S.C.格里格斯公司出版。
1869年。

根据国会法案，1868年由伯恩哈德·马克斯录入，
存档于加利福尼亚州联邦地区法院的书记员办公室。

乔治·C·兰德与艾弗里印刷公司，
地址：波士顿康希尔街3号。

前言。

为何在文明世界的文法学校里，算术会被广泛教授，而几何学却几乎完全被排除在外？这是本书作者一直试图解答的问题。得出的结论是：算术作为基础学科，被纳入所有基础教育体系之中；而几何学则被视为更高阶的学科，仅用于高级教育阶段，因此，需要学习它的人中只有极少数人能够接触到它。这里的错误是根本性的——我们并非应该教授所有学科的基础知识，反而过度地强调了某些基础学科的教学。几何学的基础知识其实更容易掌握，而且一旦学会便具有更大的价值；如果一个孩子仅接受文法学校的教育就离开学校，那么掌握一些算术知识和几何知识，会比只掌握更多算术知识却不懂几何学更能帮助他应对生活中的各种挑战。成千上万的男孩在14或16岁时就离开学校，被送到木工店、机械厂、磨坊或测量机构工作，他们满脑子都是利息和折扣之类的概念，却对最基本的几何知识一无所知，甚至到了生死攸关的时刻也找不到已画好的圆的圆心。那些不假思索的人常常声称，年幼的孩子没有能力进行推理，而且几何学的真理过于抽象，他们根本无法理解。对于这些反对意见，可以这样回应：任何一个5岁的普通孩子，只要理解了相关术语，就能够推导出三段论的结论。

这些内容都包含在各种命题之中；而对儿童来说，没有比形状、大小和方向更直观易懂的东西了。
有许多教师认为，应仅在儿童幼年时期培养他们的感知能力，而逻辑思维则应在稍后阶段再加以训练。
的确，在小学阶段，感知能力确实需要得到更多的重视；但同样可以肯定的是，任何一种能力都不应被忽视，哪怕只是暂时而已。植物的根在茎出现之前不会成熟，茎在长出枝条并进而长出叶子之前也不会发育完全；然而在最幼小的植物身上，根、茎和叶却是同时存在的。
哈佛大学校长希尔这样一位权威人士也认为，从七岁开始就可以通过几何学来培养孩子的逻辑思维能力。他在自己所著的《几何学》一书的序言中写道，七岁的孩子比十五岁的孩子更容易学会几何学。
作者认为，出于与其他学科相同的理由，所有小学和文法学校都应该教授这门学科。这里就列举其中一个理由，因为它甚至没有得到教师们的充分认识：学校教育的根本目的，就是让学生成为能够离开学校后继续自主学习的人。那些不学习上帝创造的一切事物的人，就不能说是在过有理性的生活。学校应该为每一门科学做到与阅读教育相同的事情。
教孩子们阅读，并不是为了让他们了解书中的内容，而是为了让他们能够终生保持阅读能力，从而满足文明社会的要求。因此，应该教授足够多的各门科学知识，以便学生离开学校后能够继续深入学习。
如果这种观点是正确的，那么让学生在十四岁时还连几何学的基本概念都不懂，显然是不对的。至少应该教会他们如何阅读几何学的相关内容。

的确，很有可能这样：如果那些现在离开学校时只掌握了算术知识而不懂几何学的年轻人能够学习这门学科的基础知识，那么由于几何学所具有的、算术所没有的吸引力，成千上万人会在成年后继续学习更高级的数学。

致专业读者：

这本小书旨在为大规模教学提供指导，同时也适用于那些本身没有几何学知识的教师使用。第一点可以解释为何书中会有许多看似多余的重复内容；第二点则可以说明为什么在讲解相关知识时，有些题目会采用引导式的表述方式。请注意以下几点：首先考虑具体案例，然后再归纳出一般规律。详见第25页。

为什么∠mng是一个锐角？什么是锐角？这里首先关注的是这个具体的角度，然后将其作为该类角度的示例，再通过描述这类角度的特征来推广这一概念。另请参阅第29页。

为什么说直线ef和gh是平行的？在什么情况下可以说两条直线是平行的？许多问题都是为了检验学生对于概念的理解程度。详见第29页。另请参阅第78页：如果将圆的周长分成360个相等的部分，那么每个弧段会很长还是很短？许多问题都是为了检验学生的注意力。

事物并非通过定义来被认知的；而定义不过是对该事物的描述，是对通过名称进入学生头脑中的概念的描述而已。

目录。

第一部分。

直线 9

点 9

弯线 10

曲线 11

直线 11

其他线条 11

线条的位置 14

角度 17

角度之间的关系 20

邻角 20

对顶角 21

角的种类 23
直角 23
锐角 24
钝角 24
线条之间的关系 27
垂直线 27
平行线 28
斜线 28
内角 30
外角 31
对角 32
邻角 33
与角相关的问题 38
多边形 40
三角形 44
等腰三角形 48

与三角形相关的问题 53
四边形 55
平行四边形 59
图形的比较与对比 62
表面积的测量 66
与表面积相关的问题 71
圆及其相关概念 73
弧与度数 78
圆的各部分 82

第二部分：公理与定理
公理（附图说明）85
定理（附图说明）88
几何学入门课程

第一部分。

第一课：线

给教师的提示：在所有练习中，学生应专注于图示，而非印刷文字。请参阅附录中的注释A。

请参考图1，并说明：此处所画的线条仅用来表示长度。它们略带宽度，以便能够被看到。这类线条被称为“线”。线，就是仅有长度的图形。

点

请说明：位置由点来表示。点不占据任何空间，但它有一定的大小，因此可以被看见。线的两端都是点。一条线可以被视为一系列点的连续。两条线的交点也是一个点。点的名称是通过在其旁边标注字母来确定的。

图1。

一个点可以用一个圆点来表示，该点位于圆点的中心。点仅用于表示位置。一条直线的名称是由其两端的点来确定的。请读出图1中的所有直线。

折线。

参见附录中的注释B。直线mn在点1处是否改变方向？它在哪些其他点会改变方向？这样的直线被称为折线。折线是指在某些点上会改变方向的直线。

曲线。

直线op在每一个点上都会改变方向。这样的直线被称为曲线。曲线是指在每一个点上都会改变方向的直线。

直线。

线段ij在任何点上都会改变方向吗？
如果不会改变方向，那么它就是一条直线。
直线是指在任何点上都不会改变方向的线。

其他类型的线。

线段qr是围绕某条线弯曲的。
这种线被称为螺旋线。
线段wx则是围绕某个点弯曲的。
它也属于螺旋线。螺旋线指的是围绕某条线或某个点弯曲的线。
线段7 8[1]看起来像波浪。

1. 应该读作“七、八”，而不是“七十八”。
这种线被称为波形线。

线段ab属于哪种类型的线？为什么？什么是直线？
线段11 16属于哪种类型的线？为什么？什么是曲线？
线段op属于哪种类型的线？为什么？什么是弯曲线？
线段st属于哪种类型的线？为什么？
线段9 10属于哪种类型的线？为什么？什么是螺旋线？

w x 是哪种直线？
为什么？

第二课。

复习。

请阅读所有的直线。（图2。）
为什么mn是一条直线？
请定义什么是直线。
请阅读所有的曲线。
为什么78是一条曲线？
请定义什么是曲线。
请阅读所有的弯曲线条。
为什么56是一条弯曲线条？
什么是弯曲线条？
请阅读所有的波浪线。
请阅读所有的螺旋线。
为什么34是一条螺旋线？
为什么uv也是一条螺旋线？
什么是螺旋线？

图2。
图3。

第三课：线条的位置

让学生们将书本握持得笔直，使其上下方向与墙壁保持一致。

垂直线：

直线a b指向地球的中心。（见图3。）
这种直线被称为垂直线。
请说出所有的垂直线。
垂直线就是指向地球中心的直线。

水平线：

直线o p指向地平线。
这种直线被称为水平线。
请说出所有的水平线。
水平线就是指向地平线的直线。

斜线：

直线s t既不指向地球的中心，也不指向地平线。
这种直线被称为斜线。
请说出所有的斜线。

斜线是指既不指向地平线也不指向地球中心的直线。
注：在讲完关于角度的内容后，可以告诉学生，斜线之所以被称为斜线，是因为它们与地平线形成斜角。

第四课：复习。

请阅读所有的竖线。（图4）
为什么qr是一条竖线？
什么是竖线？
请阅读所有的横线。
为什么56是一条横线？
请定义什么是横线。
请阅读所有的斜线。
为什么st是一条斜线？
什么是斜线？
注意：方向相同的线条不会汇聚于同一点。

图4。
图5。

第五课：角度

直线ab和cd（见图5）的方向是否相同？（参见第15页的注释。）
如果方向不同，那么它们之间就会形成一个角。
还有哪条直线与ab形成角？
在cd和ef这两条直线中，哪一条与ab的方向差异更大？
那么，哪一条直线与ab形成的角更大呢？
还有哪条直线与ab形成的角更大？
所谓角，就是两条直线的方向差异。
如果将直线ab和ef拉长，它们的方向会改变吗？
那样，它们之间的方向差异会变大还是变小呢？
它们所形成的角也会随之变大或变小吗？
那么，角的大小是否取决于构成它的直线的长度呢？
如果将直线ab和ef缩短，它们所形成的角会变得更小吗？
当两条直线相互形成角并且相交时，交点被称为顶点。
由直线kj和ij所形成的角的顶点是什么？由直线ij和il所形成的角的顶点又是什么？
一个角是用三个字母来表示的，其中位于中间的字母表示顶点。因此，由kj和ij所形成的角可以记作kj i，或者ij k。
请读出由直线mn和op所形成的四个角的名字。

由r s、t u和v w构成的八个。

第六课：复习。

找出所有与直线ab形成角的线段。（见图6。）其中哪条线段与ab形成的角最大？

图6。

哪条线段形成的角最小？在直线cd和gh中，哪条线段与ef形成的角更大？
找出所有顶点位于ij线段上的角。哪个角更大：lom还是moj？——iok还是iol？——loj还是moj？
找出由直线vw和xy所形成的所有角。
找出位于直线np上方的所有角。
位于直线np下方的所有角。位于直线qr上方的所有角。
位于直线5u右侧的所有角。
位于其左侧的角。位于直线st右侧的所有角。

在直线st的左侧。
n13和n24，哪个角更大？
如果将直线xy和vw延长或无限延伸，那么角vz、xz和yzw会变大吗？
如果将它们缩短，这些角会变小吗？
什么是角？
角的大小是否取决于构成它的直线的长度？

图7

第七课：角的关系

相邻角

在任意一条直线的同一侧，是否存在角度aec和ceb（见图7）？
是哪条直线呢？
这两个角又是由哪条直线所形成的呢？
因为它们都在直线ab的同一侧，且都是由直线cd所形成的，所以它们被称为“相邻角”。
角度ceb和bed又在哪条直线的同一侧呢？
它们又是由哪条直线所形成的呢？
那么它们属于哪种角呢？为什么称它们为相邻角呢？
请找出位于直线ab下方的相邻角，以及位于直线cd下方的相邻角。
两条直线最多可以形成多少对相邻角呢？
请列出由直线lm和np所形成的所有相邻角。

对顶角

角度aec和bed是由同一条直线所形成的吗？
它们是相邻角吗？
它们被称为“对顶角”。

对顶角是由同一条直线所形成的、但不相邻的角。
请找出由直线ab和cd所形成的另一对对顶角。
再找出由直线fg和ih所形成的所有对顶角，以及由直线lm和np所形成的对顶角。
为什么角lon和nom是邻角？
为什么角lon和pom是对顶角呢？

图8

第八课：复习

请阅读直线ab上方的相邻角对。（见图8。）
为什么它们是相邻角？
什么是相邻角？
请阅读直线ab下方的相邻角。
在直线cd的右侧，以及左侧。
两条直线相交时，会形成多少对相邻角？
请阅读由直线fg和ih所形成的相邻角对。
请阅读由直线lm、np所形成的所有相邻角。
请阅读由直线ab、cd所形成的所有垂直角对。
为什么ceb和aed被称为垂直角？
什么是垂直角？
请阅读由直线hi、fg所形成的所有垂直角对。
两条直线相交时，会形成多少对垂直角？
请阅读由直线lm、np所形成的所有垂直角对。

第九课：角的种类

直角

我们把角aoc和角cob称为什么？（见图9。）
这两个角相等吗？
如果相等，那它们就被称为直角。
直角是指两个相邻且相等的角之一。
那么，相邻的角cob和bod相等吗？
如果相等，那它们又该叫什么？
请找出线段ab下方的直角，以及cd左侧的直角。
再找出三个顶点在p处的直角。

图9

锐角。

角mpq是大于直角mpr还是小于直角mpr？如果是后者，那么它就被称为锐角。锐角是指小于直角的角。请找出四个顶点在p处的锐角。所谓“锐”，就是指尖锐的。为什么角rps是锐角呢？什么是锐角？

钝角。

角mps是大于直角mpr还是小于直角mpr？如果是前者，那么它就被称为钝角。钝角是指大于直角的角。还有哪些顶点在p处的钝角呢？所谓“钝”，就是指钝重的。请找出三个顶点在x处的钝角。锐角和钝角也被称为斜角。

第十课：复习。

请找出由直线ab和cd所形成的所有直角。（见图10。）
为什么相邻的角ceb和bed是直角呢？
什么是直角？
请找出四个顶点位于n点的直角。
直角pqr和直角tsu，哪个更大？
一个直角有可能比另一个直角大吗？
请找出六个顶点位于n点的锐角。
为什么角mng是锐角呢？
什么是锐角？
锐角mng和锐角lnm，哪个更大？
一个锐角有可能比另一个锐角大吗？
哪三个锐角的度数等于一个直角的度数？

图10。
在两个锐角v f w和y x z中，哪个更大？
请读出四个顶点位于n点的钝角。
为什么f n m是一个钝角？
什么是钝角？
“钝角”意味着什么？“锐角”又意味着什么？
它们还有别的叫法吗？
较大的锐角1 4 2与较小的钝角1 4 3，哪个更大？
钝角f n l比直角大多少？
f n i比直角小多少？

图11。

第十一课：直线的关系

垂直线

直线ab与cd之间形成什么样的角？
（图11）
那么它们是互相垂直的。
哪条直线与xy垂直？
为什么它与xy垂直？
哪条直线与z1垂直？
什么时候可以说一条直线与另一条直线垂直？
单独存在的直线能被称为垂直线吗？
哪两条直线与rs垂直？
直线gh与直线ij垂直吗？为什么？
还有哪条直线与直线ij垂直？
列举出三条与直线ab垂直的直线。

平行线

直线kl和mn的方向是否不同？那么它们之间会形成角度吗？
它们被称为互相平行的直线。
再列举出四条与kl平行的直线。

哪条直线与2 10平行？
为什么？
当两条直线的方向相同时，它们就是平行的。

斜线。

直线u t与8 9之间形成的是什么类型的角？
此时可以说这两条直线是斜交的。
当两条直线形成斜角时，它们就是斜交的。
请参见附录中的注C。

图12。

第十二课：复习。

请找出五条与直线ab垂直的直线。（见图12。）
再找出五条与直线cd垂直的直线。
有两条与直线uv垂直且与它相交，还有三条则不与它相交。
为什么直线op和mn互相垂直？
什么时候可以说两条直线是互相垂直的？
请找出四条与直线ef平行的直线。
为什么说直线ef和gh是平行的？
什么时候可以说两条直线是平行的？
请找出四条与直线56平行的直线。
还有四条与直线op平行的直线。
有没有哪条直线与直线uv平行？
一条直线能被称作垂直或平行吗？
如果两条直线互相垂直，那么它们会形成多少度的角？
如果是平行的，又会形成多少度的角？如果是斜的又如何？

图13。

第十三课：角的关系

内角

直线a m n位于平行线之间，还是位于平行线之外？（见图13。）
它被称为内角。
再找出另外三个位于相同平行线之间的内角。
为什么b m n是内角？
内角就是位于平行线之间的角。
找出位于平行线g h与k l之间的内角。
为什么o p l是内角？
什么是内角？

外角

直线a m e位于平行线之间，还是位于平行线之外？
它被称为外角。
再找出由直线a b、c d和e f所形成的另外三个外角。
为什么角c n f是外角？
外角就是位于平行线之外的角。

第十四课：复习。

请阅读由直线ab、cd和ef所构成的所有内角。为什么mnd是一个内角？什么是内角？请阅读由这些直线所构成的所有外角。为什么dnf是一个外角？什么是外角？请阅读由直线gh、kl和ij所构成的所有内角。还有图中剩下的所有内角，以及所有的外角。

图14。

第十五课：角的关系

对角

角emb和bmn是否位于交线ef的同一侧？它们是邻角吗？
角emb和mn d是否位于交线ef的同一侧？它们是邻角吗？
如果是的话，那么它们就被称为对角。
对角位于交线的同一侧，但不是邻角。
角emb和fn d是否位于交线ef的同一侧？它们是邻角吗？
如果是的话，那它们就是对角吗？它们是内角还是外角？
那么它们就是“相对的外角”。
为什么是外角？为什么是相对的？
角bmn和mn d是对角吗？它们是内角还是外角？
那么它们就是“相对的内角”。
为什么是相对的？为什么是内角？

读取直线ef左侧的相对外角。
读取位于同侧的相对内角。
相对角emA和mnC是外角还是内角？
那么它们就是相对的外角与内角。
读取直线ef右侧的两对相对外角与内角。
在左侧。

**交替角**
角bmn、mnC是否位于相交线ef的同一侧？
它们彼此相邻吗？
它们是垂直角吗？
如果是的话，那么它们就是交替角。
交替角位于相交线的不同两侧，既不相邻也不构成垂直关系。
角bmn、mnC是外角还是内角？
那么它们就被称为“内部交替角”。
再找一对位于ab与cd之间的内部交替角。
角emb、cnF是交替角吗？为什么？
它们是外角还是内角？
那么它们应该被称为什么？
再找一对外部交替角。
为什么角ema、dnF是交替角？为什么是外部交替角？

第十六课：复习

请阅读直线ef右侧的外角。（见图14。）
在左侧。在直线rs的右侧。在左侧。
为什么ema、cnf是外角？
为什么它们是对角？
什么是对角？
请阅读相交直线ef右侧的内对角。
在其左侧。在直线rs的右侧。在左侧。
请阅读由直线ab、cd和ef所形成的内邻角。
哪一对是锐角？哪一对是钝角？
为什么bmn、mnc是内角？为什么是邻角？什么是邻角？
请阅读同一条直线上的外邻角。
请阅读平行线tu、vw的锐角内邻角。以及钝角内邻角。
还有锐角外邻角与钝角外邻角。
请阅读直线ef右侧的那对对角。在左侧。
在直线rs的右侧。在左侧。

图15。

第十七课：复习

阅读以点C为顶点的13个或更多角。（见图15。）
阅读4个钝角。
阅读2个直角。
哪三个锐角之和等于一个直角？
直角4和直角5，哪个更大？
钝角6和锐角7，哪个更大？
阅读由直线wx等构成的12对邻角。
阅读由同一组直线构成的6对对顶角。
阅读由直线ij、kl和mn构成的所有内角。
阅读由同一组直线构成的所有外角。
两对相对的外角。
两对相对的内角。
四对相对的外角与内角。
两对同位内角。
两对同位外角。
为什么角iom和moj被称为邻角？
什么是邻角？
角iom属于哪种角？为什么？
什么是锐角？
角moj属于哪种角？为什么？

什么是钝角？
为什么∠ACF和∠FCB是直角？
什么是直角？
为什么∠MOI和∠JOP是对顶角？
什么是对顶角？
为什么∠MOI是外角？
什么是外角？
为什么∠JOP是内角？
什么是内角？
为什么∠MOI、∠OPK是邻角？
什么是邻角？
为什么∠JOP和∠OPK是同位角？
什么是同位角？

第十八课：问题

画一个略大于直角的钝角。
画一个远大于直角的钝角。
画一个略小于直角的锐角。
画一个远小于直角的锐角。
用长度约为1英寸的线段画一个钝角。
用长度为3英寸的线段画一个锐角。
钝角和锐角，哪个更大？
用长度为1英寸的线段画一个直角。
用长度为5英寸的线段画一个直角。哪一个更大？

图16。

第十九课：多边形

请举出除书桌之外、具有平面的物体。
这样的平面被称为面。
图A中的面有多少条边？（见图16。）
它被称为三角形。“Tri”的意思是“三”。
你还看到过哪些三角形？
三角形有时也被称为三角形。
三角形是一种有三条边的平面图形。
标记为B的平面图形有多少条边？有多少个角？
它被称为四边形或 Quadrilateral。“Quad”的意思是“四”。
你还看到过哪些四边形？
为什么图B属于四边形？
四边形是一种有四条边的平面图形。
图C有多少条边？
它被称为五边形。
你还看到过哪些五边形？
为什么图C属于五边形？
五边形是一种有五条边的平面图形。
同理——
六边形是一种有六条边的平面图形。
七边形则是一种有七条边的平面图形。

八边形有八条边。
九边形有九条边。
十边形有十条边。
所有这些图形都被称为多边形。
“Poly”意为“许多”。
那么，三条边的多边形叫什么？四条边的呢？六条边的呢？等等。
如果三角形A的每条边长都为1英寸，那么它的三边总长度是多少呢？
多边形各边之和就是它的周长。
哪些三角形的边长不相等？哪些三角形的边长相等？
边长相等的多边形被称为规则多边形。
哪一种五边形有一条边比其他边都长？哪种五边形的各边长度都相等？它的各个角也相等吗？
因此，它也是一种规则多边形，即规则五边形。
请举出一个非规则的六边形。再举出一个规则的六边形。
还有规则的八边形、规则的七边形。
多边形是由直线围成的平面图形。

第二十课：复习

请列举所有的三角形。（见图16。）
为什么图A是三角形？
什么是三角形？
三角形还有别的叫法吗？
请列举所有的四边形。
为什么图B是四边形？
什么是四边形？
请列举所有的五边形、六边形、七边形、八边形和九边形。
为什么C是五边形？什么是五边形？六边形又是什么？七边形呢？以此类推。
图中一共有多少个多边形？
什么是多边形？
如果图B的每条边都为1英寸，那么它的周长是多少英寸？
什么时候多边形才是规则多边形？
请列举图16中的所有规则多边形。
请列举所有的不规则多边形。

图17。

第二十一课：三角形

锐角三角形

在三角形1中，∠bac、∠acb、∠cba分别是哪种类型的角？（见图17。）
这样的三角形被称为锐角三角形。
锐角三角形的各个角都是锐角。
再举出三个锐角三角形。

钝角三角形

在三角形4中，∠lmk是哪种类型的角？
这样的三角形被称为钝角三角形。
钝角三角形有一个钝角。
再举出两个钝角三角形。

直角三角形

在三角形3中，∠gij是哪种类型的角？
这样的三角形被称为直角三角形。
直角三角形有一个直角。
再举出三个直角三角形。

三角形3似乎位于哪一边？
那么，i j就被称为该三角形的底边。
哪个字母表示与底边相对的角的顶点呢？
因此，点g就被视为该三角形的顶点。
在三角形7中，如果将t v视为底边，那么顶点是什么点呢？
如果以v作为顶点，那么哪条边就是底边呢？
在三角形3中，与直角相对的是哪条边呢？
那么，g j就被称为该三角形的斜边。
三角形的斜边就是与直角相对的那条边。
请读出三角形5、6和11的斜边分别是哪一条。
围绕直角的任意一条边都可以被视作底边。
那么，另一条边就是高。
在三角形3中，如果i j是底边，那么哪条边就是高呢？
如果以g i作为底边，那么哪条边就是高呢？
在三角形5中，如果n o是底边，那么哪条边就是高呢？

第二十二课。

复习。

请列举四个锐角三角形。（见图17。）
为什么三角形8是锐角三角形？
什么是锐角三角形？
请列举三个钝角三角形。
为什么三角形9是钝角三角形？
什么是钝角三角形？
请列举四个直角三角形。
为什么三角形6是直角三角形？
什么是直角三角形？
在三角形6中，哪条边是斜边？
为什么？
什么是斜边？
在三角形6中，哪两条边可以被视为底边？
如果将qr视为底边，那么qs这条边叫什么？
请读出三角形3、5、6和11的斜边长度。

图18。

第二十三课：三角形（续）

等腰三角形

在三角形1中，哪两条边是相等的？
这样的三角形就被称为等腰三角形。
等腰三角形是指有两条相等边的三角形。
请列举出八个等腰三角形的例子。
为什么三角形2是等腰三角形？
从角度来看，它属于哪种三角形？
那么它就是锐角等腰三角形。
请列举出四个锐角等腰三角形的例子。
从角kjl的角度来看，图4属于哪种三角形？从相等边的角度来看呢？
那么它就是钝角等腰三角形。请再列举出一个钝角等腰三角形的例子。
从角qpr的角度来看，图6属于哪种三角形？从相等边的角度来看呢？
那么它就是直角等腰三角形。请再列举出一个直角等腰三角形的例子。
为什么图12是直角三角形？为什么又是等腰三角形？

等边三角形。

哪些等腰三角形的三边长度都相等呢？
这样的三角形被称为等边三角形。
“Equi”意为“相等”，“Latus”则指“边”。
等边三角形就是三边长度都相等的三角形。
图7由于有三条相等的边，它属于哪种三角形？
而图中的st、su、ts、tu或us、ut这两组相等的边，又让它属于哪种三角形呢？
那么，所有的等边三角形不也都是等腰三角形吗？
图2由于有de、df这两条相等的边，它属于哪种三角形？
如果ef这条边的长度比另外两条边都长，那它还是等边三角形吗？
那么，所有的等腰三角形也都是等边三角形吗？
请举出一个不是等边三角形的等腰三角形。
再举出一个等边三角形。
在任何一个等边三角形中，三个角的度数都是相等的。
因为其角相等，所以它也被称为等角三角形。
图8由于有三条相等的边，它应该被称为什么？因为它有三个相等的角，又应该被称为什么？
所有的等边三角形都是等角三角形。
所有的等角三角形也都是等边三角形。
请举出一个没有两条边长度相等的三角形。
这样的三角形被称为不等边三角形。
图5由于有一个直角，它属于哪种三角形？
由于它的三边长度都不相等，它又属于哪种三角形呢？
那么，它就是一种直角不等边三角形。
根据图11中的gef这个角，你可以给它起什么名字呢？

因为它的三边长度不相等吗？
那它应该被称为什么呢？

图19。

第二十四课：复习

请列举出八个等腰三角形。（见图19。）
为什么图2是一个等腰三角形？
什么是等腰三角形？
请列举出两个直角等腰三角形。
请列举出五个锐角等腰三角形。
请列举出一个钝角等腰三角形。
请列举出两个既是等腰三角形又是等边三角形的图形。
所有的等腰三角形都是等边三角形吗？
请列举出六个不是等边三角形的等腰三角形。
“equi”和“latus”分别是什么意思？
因为角度相等，等边三角形被称为什么？
所有的等边三角形都是等角的吗？
所有的等角三角形都是等边三角形吗？
什么是等边三角形？
请列举出四个不等边三角形。
请列举出两个直角不等边三角形。
为什么图3是一个直角三角形？为什么又是不等边三角形？
什么是不等边三角形？
请列举出一个钝角不等边三角形。
请列举出一个锐角不等边三角形。

问题：

从同一点出发，画两条任意长度的直线，使它们之间形成锐角。通过测量让这两条直线的长度相等，然后连接它们的两端。根据其角度特征，这属于哪种三角形？根据其两条相等的边，又属于哪种三角形？请在三角形内写出它的两种名称。

再画一个等腰三角形，其两条相等的边的长度都小于第三条边的长度。请在三角形内写出它的两种名称。

画一条长度是任意短度或单位两倍的斜线。在这条斜线的一端画一条与之垂直的直线，且这条垂直线的长度是该短度的三倍。用一条直线连接这两条直线的两端。与最后画的这条直线相对的角是什么类型的角？它的两条边中有相等的吗？请在该角下方写出它的两种名称。

画一条任意长度的水平直线。在这条水平直线的一端画一条长度相同的垂直直线。完成这个三角形后，在其中写出它的两种名称。

画一个直角三角形，其底边的长度可以是任意值，而垂直于底边的高的长度则是底边长度的两倍。

再画一个直角三角形，其底边的长度是任意短度的三倍，而垂直于底边的高的长度则是该短度的五倍。

图20：四边形。

图形abcd有多少条边？根据边的数量，它被称为什么？请列举出另外三种顶点已标出的四边形。再用数字来列举七种四边形。有时，四边形也可以通过其两个对顶点来命名。四边形abcd或cdba可以被称为ad、bc、cb或da。请用四种方式来命名四边形ghfe。每个图形有多少个角？根据角的个数，它们被称为四边形。四边形ad是否有两条边互相平行？如果有，那么它就被称为梯形。

梯形是一种没有两条边平行的四边形。请再举出两种梯形的例子。为什么图7属于梯形？四边形eh有两条平行的边吗？是哪两条？另外两条边平行吗？它被称为“梯形”。‘Trapezoid’的意思是什么？梯形是一种只有一对边平行的四边形。请再举出一个梯形的例子。为什么图6属于梯形？四边形il有多少对平行边？请指出水平方向的平行边以及斜向的平行边。它被称为“平行四边形”。平行四边形是一种对边平行的四边形。请再举出五种平行四边形的例子。为什么图4属于平行四边形？为什么图6不属于平行四边形？为什么eh不属于平行四边形？图5可以被称为哪两种形状？为什么它属于四边形？又为什么属于梯形？图6可以被称为哪两种形状？为什么它属于四边形？又为什么属于梯形？图3可以被称为哪两种形状？为什么它属于平行四边形？又为什么属于四边形？

第二十五课。

复习。

图20中一共有多少个四边形？
为什么图a d属于四边形？
什么是四边形？
根据其角的数量，它可以被称为什么？
请列举出所有的四边形。
请说出三种梯形。
为什么图5是梯形？
什么是梯形？
请说出两种梯形。
为什么图6是梯形？
请指出它的平行边。
什么是梯形？
请说出六种平行四边形。
为什么图4是平行四边形？
请指出它的两对平行边。
什么是平行四边形？
图4还可以被称为什么两种名称？
为什么叫第一种名称？为什么叫第二种名称？
图7可以被称为什么两种名称？
为什么叫第一种名称？为什么叫第二种名称？

图6中应选择哪两个？
为什么是第一个？为什么是第二个？

图21。

第二十六课：平行四边形的种类

菱形

图中有多少个四边形？（图21）
有多少个平行四边形？
这个平行四边形有直角吗？
它被称为“菱形”。
菱形是指没有直角的平行四边形。
再举出五种菱形。
图2还可以用哪三个名称来称呼？
为什么它属于四边形？
为什么它是平行四边形？为什么又是菱形？

正方形

菱形的四条边都相等吗？
菱形的另外四条边也相等吗？
如果一个三角形的三个边都相等，那它叫什么？
那么当菱形的四条边都相等时，它又可以叫什么呢？
边长相等的菱形被称为正方形。
正方形其实就是边长相等的菱形。

参见附录中的注D。

再举出两种菱形。
对于图eh，可以给出哪四种名称？
为什么称其为四边形？为什么称其为平行四边形？为什么称其为菱形？

矩形。

平行四边形il有直角吗？有多少个？
它被称为“矩形”。
矩形是一种带直角的平行四边形。
再举出四种矩形。
对于图il，可以给出哪三种名称？
为什么称其为四边形？为什么称其为平行四边形？为什么称其为矩形？

正方形。

矩形il的四条边长度相等吗？
矩形mp的四条边长度相等吗？
它被称为“正方形”。
正方形是一种四条边都相等的矩形。
再举出一个正方形。
对于图mp，可以给出哪四种名称？
为什么称其为四边形？为什么称其为平行四边形？为什么称其为矩形？为什么称其为正方形？

第二十七课：复习

请列举出六个菱形。（见图21。）
图3可以有哪三种名称？
为什么称其为四边形？为什么称其为平行四边形？为什么称其为菱形？
什么是四边形？什么是平行四边形？什么是菱形？
请列举出三个菱形。
图5可以有哪四种名称？
为什么称其为四边形？为什么称其为平行四边形？为什么称其为菱形？为什么称其为菱形？
什么是菱形？什么是菱状图形？
请列举出五个矩形。
图1可以有哪三种名称？
为什么称其为四边形？为什么称其为平行四边形？为什么称其为矩形？
什么是矩形？
请列举出两个正方形。
图7可以用哪四种名称来称呼？
为什么用第一种名称？为什么用第二种名称？为什么用第三种名称？为什么用第四种名称？
什么是正方形？
什么是矩形？
什么是平行四边形？
什么是四边形？

图22。

第二十八课：比较与对比

梯形与平行四边形

图A和图B在哪些方面是相似的？
基于这一点，它们分别可以被称为什么？
图B与图A有何不同？
图B可以有什么特定的名称？
图A呢？

菱形与矩形

图C和图D在哪两个方面是相似的？
根据边的数量，它们分别可以被称为什么？
因为它们的对边是平行的，所以它们又可以被称为什么？
它们在哪些方面存在差异？
图C可以有什么特定的名称？
图D呢？
具有直角的图形可以有哪三种名称？
没有直角的图形可以有哪三种名称？

菱形与正方形

图E和图F在哪些三个方面是相似的？
它们各自可以被称为哪三个名称？
它们之间有什么不同？
图F可以有一个特定的名称吗？
图F一共有四个名称吗？

矩形与正方形。

图G和图H在哪些三个方面是相似的？
根据边数的不同，它们分别可以被称为什么？
因为它们的对边是平行的，它们又可以被称为什么？
因为它们都有直角，它们还可以被称为什么？
图H与图G在哪些方面有所不同？
基于这一点，图H可以有一个特定的名称吗？
图G可以有哪三个名称？
图H则可以有哪四个名称？

菱形与正方形。

图F和图H在哪些三个方面是相似的？
根据边数的不同，它们分别可以被称为什么？
因为它们的对边是平行的，它们又可以被称为什么？
因为两者都是平行四边形且各边的长度都相等，它们还可以被称为什么？
图F有一个特定的名称吗？
图H也有一个特定的名称吗？

图F可以取哪四个名称？
图H呢？

第二十九课：复习。

图A（图22）可以被称为哪两个名称？
图B呢？
它们在哪些方面相似？又在哪些方面不同？
图C可以用哪三个名称来称呼？
图D可以用哪三个名称来称呼？
它们在两方面的相似之处是什么？在一方面又有什么不同？
C有什么特定的名称？D呢？
图E可以用哪三个名称来称呼？
图F呢？
F具有而E不具备的属性是什么？因此它有什么特定的名称？
图G有哪三个名称？图H有哪四个名称？
H具有而G不具备的属性是什么？因此它有什么特定的名称？
图F可以用哪四个名称来称呼？图H呢？
这两者都可以用哪三个名称来称呼？

它们在哪三个方面是相似的？
它们在哪些方面存在差异？
图F的具体名称是什么？
图H的具体名称是什么？
图23。

第三十课：表面的测量

在图1（图23）中，将线段ab视为一个单位长度。
矩形1的长度是多少单位？
高度又是多少单位？
由于它的两条边长度相等，它被称为什么形状？
矩形2的长度是多少单位？
它的高度或宽度分别是多少单位？
它包含多少个正方形？
矩形3的长度是多少单位？
宽度又是多少单位？
它包含多少个正方形？
如果它的长度为4单位，宽度为1单位，那么它包含多少个正方形？
如果长度为5单位，宽度仍为1单位呢？6单位呢？以此类推。
矩形4的长度是多少单位？
宽度又是多少单位？
它包含多少个正方形？
在长度为2单位、即mn这段，宽度为1单位、即ml的那部分区域里，有多少个正方形？
由于还有1单位的宽度，即lk，那么这里有多少个正方形呢？

如果宽度再增加1个单位，那么正方形的数量会是原来的几倍？
矩形5的长度是多少单位？
它的宽度或高度是多少单位？
它包含多少个正方形？
在长度为3个单位、宽度为1个单位的那个区域内，有多少个正方形？
宽度再增加1个单位的话，又会多出多少个正方形？相当于原来数量的几倍？
如果宽度再增加1个单位，还会多出多少个正方形？相当于原来数量的几倍？
如果宽度为4个单位，那么正方形的数量会是原来的几倍？
矩形6的长度是多少单位？
它的高度或宽度是多少单位？
在长度为4个单位、高度为1个单位的那个区域内，有多少个正方形？
在长度为4个单位、高度为2个单位的那个区域内，有多少个正方形？相当于原来数量的几倍？
在长度为4个单位、高度为3个单位的那个区域内，有多少个正方形？相当于原来数量的几倍？
如果高度再增加1个单位，又会多出多少个正方形？相当于原来数量的几倍？
如果一个矩形的长度为5个单位、宽度为1个单位，那么它包含的面积是多少平方单位？
如果宽度为2个单位，那么它包含的面积相当于5个单位时面积的几倍？
如果是3个单位宽呢？4个单位宽呢？以此类推。
如果你的尺子长度为10英寸，宽度仅为1英寸，那么它的面积是多少平方英寸？

如果它的宽度为两英寸，那么它所含的面积是10平方英寸的多少倍呢？
如果你的算术练习本长7英寸、宽5英寸，那么它的面积是多少平方英寸？
如果这个房间的某面墙长20英尺，那么高度为1英尺、2英尺、3英尺或4英尺的部分分别有多少平方英尺？
如果同一面墙的高度为16英尺，那么它的面积又是多少平方英尺？
图5中包含的三角形面积是3个正方形面积的多少倍？
图7中包含的三角形面积是2个正方形面积的多少倍？
哪幅图中的三角形数量更多？
2个正方形的面积与3个正方形的面积之间有什么区别？

第三十一课：复习

画一个宽度任意、长度为宽度三倍的矩形。如果以宽度作为单位，那么这个矩形里有多少个正方形？将矩形的宽度变为原来的两倍，现在又有多少个正方形？哪两个数相乘可以得到正方形的数量？再将矩形的宽度变为原来的三倍，现在又有多少个正方形？哪两个数相乘可以得到正方形的数量？一本地理书的封面长1英尺、宽1英尺，它的面积是多少平方英尺？同样的封面，长度是多少英寸？宽度又是多少英寸？它的面积是多少平方英寸？1平方英尺等于多少平方英寸？一张桌子长1码、宽1码，它的面积是多少平方码？同样的桌子，长度是多少英尺？宽度又是多少英尺？它的面积是多少平方英尺？1平方码等于多少平方英尺？画一个边长为任意长度单位的正方形。再画一个边长为该长度单位两倍的正方形。

第二个正方形的面积是第一个的多少倍？
第二个正方形面积的一半能组成多少个正方形？
2平方英寸和2英寸×2英寸，哪个更大？
2英寸×2英寸的面积是2平方英寸的多少倍？
画一个边长为3英寸的正方形，它的面积是多少平方英寸？
它的面积是一个英寸见方正方形的多少倍？
最下面那一行有多少个正方形？总共有多少个正方形？
3英寸×3英寸的面积和3平方英寸，哪个更大？
3英寸×3英寸的面积是3平方英寸的多少倍？

问题：
一个等边三角形的每条边长1英寸，它的周长是多少？
如果每条边长2英寸，它的周长又是多少？
一个等腰三角形的两个相等边各长3英寸，第三条边长5英寸，它的周长是多少？
一个直角等腰三角形的底边长5英寸，斜边长7英寸，它的周长是多少？
一个正方形的边长为9英寸，它的周长是多少？它的面积是多少平方英寸？
一块石板的长度为16英寸，宽度为12英寸，它的周长是多少？
一个长方形的长度为5英寸，宽度为3英寸，它的周长是多少？它的面积是多少平方英寸？

一块石板的长度为1英尺，宽度为8英寸，它的周长是多少？
一个房间的长度为24英尺，宽度为21英尺，它的周长是多少英尺？
这个房间的地面面积是多少平方英尺？
需要多少张边长为1英尺的纸才能完全铺满这个房间？
一码长的地毯宽度为2英尺，它的面积是多少平方英尺？
查尔斯和亨利从同一地点出发，朝相反方向行走；查尔斯走了20码，亨利走了15码，他们之间相距多少码？
如果他们从一条25英尺长的直线的两端出发，相向而行，那么查尔斯需要走多远才能遇到已经走了15码的亨利？
一块地的长为40杆，宽为30杆，需要多长的围栏来围住它？
需要多长的围栏才能将这块地分成四个面积相等的部分？

第三十二课：圆及其线条

如果直线ca是一根固定在点c上的弦，另一端a处有一个尖锐的铅笔尖，而这个铅笔尖向点d移动，那么会画出怎样的线呢？那是一条什么样的线呢？如果铅笔尖继续沿同一方向移动，直到回到起点a，那么又会画出怎样的曲线呢？请用曲线上所有标记的点来为这条曲线命名。由这条曲线围成的平面图形被称为“圆”。这个图形的中心在哪个点上呢？圆是一种由曲线围成的平面图形，其上所有点到中心的距离都相等。这条曲线被称为“圆周”。圆的圆周就是包围圆的那一条曲线。请指出一条连接圆周上两点的直线，它被称为“弦”。弦就是连接圆周上两点的直线。请在图中找出六条弦。其中哪两条弦是通过圆心的呢？它们被称为“直径”。直径就是通过圆心的弦。请指出一条连接圆心与圆周上某一点的直线。

它被称为“半径”——复数形式为radii。
半径是连接圆心与圆周上某一点的直线。
请找出五条半径。
点a和点d中，哪个离圆心更远？
半径cd会大于半径ca吗？或者大于cv、co吗？
其实，同一个圆的所有半径长度都是相等的。
那么od、cd、co这些线段叫什么？
半径oc是直径od的哪一部分呢？
请举出一个不在圆上的弦的例子。
它被称为“割线”。
割线就是那种不在圆上的弦。
请举出两条割线。
如果将弦di变成割线，它的长度会变长还是变短？
直线lm与圆周相交于几个点？
它被称为“切线”。
切线是指只与圆周相交于一个点的直线。
请举出三条切线。

第三十三课：复习

阅读六个和弦。（图24）
为什么i-d算是一个和弦？
什么是和弦？
说出两条直径的名称。
为什么j算是一条直径？
什么是直径？
所有的和弦都是直径吗？
所有的直径都是和弦吗？
说出五条半径的名称。
为什么c算是一条半径？
什么是半径？
一条直径相当于多少条半径？
所有的半径长度都相等吗？
所有的和弦长度都相等吗？
所有的直径长度都相等吗？
说出两条割线的名称。
为什么其中任意一条都是割线？
什么是割线？
说出三条切线的名称。
为什么a-b算是一条切线？

什么是切线？
切线是在圆的内部还是外部？
弦是在圆的内部还是外部？
割线是在圆的内部还是外部？
如果半径是3英寸，那么直径有多长？

图25。

第三十四课：弧与度数

在圆1的周长上，标出了哪一小部分呢？
那部分就被称为“弧”。
弧其实就是周长的任意一部分。
请找出五个被标记出来的弧。
其中，弧ed和弧ef哪个更长？弧bd和弧bde哪个更长？弧abd和弧abde哪个更长？
请举出一个长度相当于周长一半的弧。
那部分就被称为“半周长”。“半”意味着“一半”，所以半周长就是周长的一半。
请找出三个长度均为周长四分之一的弧。
如果将整个周长分成360个相等的弧，那么每个弧的长度会大还是小呢？
这样的弧就被称为“度数”。[度数用°来表示。]
周长的1度相当于其总长度的360分之一。
那么半周长有多少度呢？周长的四分之一又有多少度呢？
如果将周长的四分之一再分成3个相等的部分，那么每部分有多少度呢？
要将周长的四分之一的三分之一再细分，需要分成多少份才能得到1度呢？

91度的弧长是否大于或小于圆周长的四分之一？
179度的弧长是否大于或小于半圆周长？
一个圆的圆周长会超过360度吗？
如果将圆1的圆周长分成若干度，那么每一度所对应的弧长都会非常短，看起来就像一个点。
如果将1度再分成60个相等的部分，每个部分就被称为1分。
如果再将1分分成60个相等的部分，每个部分则被称为1秒。
图2中的大圆有多少度？
小圆呢？
大圆的度数会比小圆多吗？
在大圆中，从a点到b点有多少度？
在小圆中呢？
大圆上90度的弧长与小圆上90度的弧长，哪个更大？
大圆上1度的弧长与小圆上1度的弧长，哪个更大？
角aob的顶点位于大圆的哪个位置？
位于小圆的哪个位置？
该角占大圆圆周长的多少度？
占小圆圆周长的多少度？
这时就说这个角是90°。
如果角aof是30°，那么弧af的度数应该是多少？
如果弧fe是60°，那么角foe的度数是多少？

10°的角对应多少度的弧长？8°呢？1°呢？
角a o b属于哪种类型的角？
它对应的弧长是多少度？
那么直角是几度的角呢？
如果一个角的度数小于90°，那它属于哪种类型的角？
如果一个角的度数大于90°，那它属于哪种类型的角？
角的度数能达到180度吗？

第三十五课：复习。

阅读九段两端有标记的弧线。（见图26。）
阅读三段长度均为圆周长四分之一的弧线。
阅读两段长度均为圆周长二分之一的弧线。
为什么eg是一条弧线？
什么是弧线？
弧线fh有多少度？eh呢？
如果将弧线fh分成三等份，每份有多少度？
一个圆周长有多少度？
半圆周长有多少度？
大圆周长比小圆周长多多少度？
如果弧线if为40°，那么角foi的度数是多少？
如果角fog为130°，那么弧线fihg的度数是多少？
相邻的角foh和hoe各有多少度？
当两个相邻角相等时，它们分别叫什么？
直角有多少度？

图26。

第三十六课：圆的组成部分

由弦ab和弧ab所围成的圆的部分称为弓形。
请读出三个面积都小于半圆的弓形——即由弦ad和弧abd所围成的弓形。
弓形是由弧和弦所围成的圆的一部分。
请再读出两个面积为半圆的弓形。
弦叫什么？弧叫什么？
由直径和半圆周所围成的弓形称为“半圆”。
半圆就是半个圆。
请读出四个面积都大于半圆的弓形。
位于两条半径of、oi之间以及弧fi之间的圆的部分称为“扇形”。
请读出四个面积都小于四分之一圆的扇形。

2. 因此，由两条半径og、oh和弧gh所围成的扇形。
扇形是由两条半径和一条弧所围成的圆的一部分。
扇形foh占整个圆的多少比例呢？它被称为“象限”。
象限就是面积为四分之一圆的扇形。
请读出一个面积大于象限的扇形。

如果将弦ef视为直径，那么其下方的半圆叫什么？
如果将其视为两条半径，那么这个半圆又叫什么？
因此，半圆既可以是弧段，也可以是扇形。

第三十七课：复习

请说出十个弓形。（见图26。）
什么是弓形？
在所列的弓形中，哪些小于半圆？
哪些大于半圆？
哪两个是半圆？
哪两个位于弦af上？
请说出九个扇形。
为什么g、o、i属于扇形？
什么是扇形？
在所列的扇形中，哪四个每个都小于四分之一圆？
哪三个是四分之一圆？
哪两个大于四分之一圆？
圆的哪一部分既是弓形又是扇形？
一个圆里有多少个四分之一圆？有多少个半圆？

第二部分：公理与定理。

公理示例。

公理1：

三角形A与三角形C相等。
三角形B也与三角形C相等。
那么，你认为三角形A和三角形B之间有什么关系？为什么？

如果两个事物各自都等于同一个事物，那么它们彼此也相等。

公理2：

正方形A与正方形B相等。
在矩形C上加上正方形A，得到的L形结构指向哪个方向？
在同一个矩形C上加上正方形B，得到的L形结构又指向哪个方向？

指向左边的L和指向右边的那个，哪个更大？
你在同一个数上加上了两个“等于”符号，指的是什么？
你是在它上面加了哪两个“等于”符号？
第一个和是多少？
第二个呢？
你对这两个和有什么看法？
如果把“等于”符号加在同一个数上，那么它们的和就会相等。

公理3：
正方形A等于正方形B。

从倒T形中去掉正方形A后，剩下的L形指向哪个方向？
在同一张图中，去掉正方形B后，剩下的L形又指向哪个方向？
向右的L形与向左的L形，哪一个更大？
我们从同一个图形中拿走了哪两个相等的部分？
我们是从同一个什么图形中拿走它们的？
关于剩下的那两个部分，我们发现了什么规律？
如果从同一个图形中减去相等的量，那么剩下的部分也会相等。

公理4：
矩形1 2等于矩形1 3。
从矩形1 2中去掉正方形A后，还剩下什么矩形？
从矩形1 3中去掉相同的正方形A后，还剩下什么矩形？
矩形B和矩形C，哪一个更大？
我们从两个相等的图形中各拿走了什么？

我们最初是从什么开始取的？
还剩下什么？
接下来我们又从什么开始取？
还剩下什么？
关于这两个余数，我们发现了什么规律？
如果从相等的数中减去相同的数，那么余数也会相等。

公理5：
如果把相等的数相加，那么和也相等。

公理6：
如果从相等的数中减去相同的数，那么余数也会相等。

公理7：
如果两个数的二分之一相等，那么这两个数本身也相等。

公理8：
每一个整体都等于其所有部分的和。

公理9：
从一点到另一点只能画一条直线。

公理10：
直线是两点之间的最短距离。

公理11：如果两个物体的整个范围完全重合，那么它们是相等的。

图解定理。

图29。

进阶课程。

蓝色角和红色角是否占满了线段ab上的所有空间？
蓝色角、黄色角和红色角是否占满了这条线上的所有空间？
蓝色角、黄色角、绿色角和红色角是否占满了这条线上的所有空间？
在任意两个角之间还有空间可以再放入另一个角吗？
那么，蓝色角、黄色角、绿色角和红色角不就等于线段ab上的全部空间了吗？
注意：此处所说的“空间”指的是角度所占据的区域；教师必须让学习者牢记这一概念。
通过之前的课程，学生已经明确了解到，角就是两条直线的方向差；同时他们也隐约明白，这个夹角区域与角的大小并无关系。因此，学生不太可能从这种更为简单的表达方式中产生错误观念——因为这种表达方式比“两条给定直线的方向差等于另外两条给定直线的方向差”要简单得多，而后者则会在后续课程中使用。

图30。

命题一：定理。

讲解课程：

绿色角与红色角是否等于线段ab上的所有角度空间？

在直线ab上、cd点左侧，以c点为顶点放置一个正方形角或直角。它将覆盖整个绿色角以及红色角中直到cd线段的部分区域。

现在，在直线ab上、cd线段右侧，再以c点为顶点放置另一个正方形角。它将覆盖红色角的剩余部分，而且这两个正方形角的两条边会沿着cd线段相交。

这两个直角是否也等于线段ab上的所有角度空间？

如果绿色角与红色角确实等于线段ab上的所有角度空间，而这两个直角也等于同样的角度空间，那么关于这两个相邻角与这两个直角，你能得出什么结论？

当你说这两个相邻角等于这两个直角时，你运用了哪条公理？

你究竟是将哪两样东西判定为彼此相等的？

你首先发现什么与它相等？

接着又发现什么与它相等？

那么，你最终得出了什么结论？

如果红色角更小，绿色角更大，那么这两个相邻角还仍然等于两个直角吗？

那么——

任意两个相邻角都等于两个直角。
如果我们画出连接正方形各顶点的直线cd，那么线段cd、dcb所构成的角会是什么类型呢？
现在试着理解以下的演示吧：—

**演示过程**：
我们想要证明：任意两个相邻角都等于两个直角。
设两条直线ab和mn在点c处相交。（见图30。）
那么，像绿色角和红色角这样的任意两个相邻角，是否也等于两个直角呢？
从点c出发画一条直线cd，使得角acd和角dcb为直角。
绿色角和红色角所对应的角度大小，相当于直线ab上的整个角度范围。
而角acd和角dcb也是直角，同样相当于直线ab上的整个角度范围。
因此，绿色角和红色角确实等于两个直角。

**测试题**：
你发现哪两样东西是相等的？
你首先认为哪样东西与它相等？
接着又认为哪样东西与它相等？
然后你又发现了什么新的结论？
你使用了哪条公理？

图31．测试题。

利用图A——
1. 证明相邻的绿色角与红色角之和等于两个直角。
2. 证明相邻的蓝色角与黄色角之和等于两个直角。

利用图B——
3. 证明相邻的绿色角与红色角之和等于两个直角。
4. 证明相邻的黄色角与蓝色角之和等于两个直角。

利用图C——
5. 证明相邻的红色角与蓝色角之和等于两个直角。
6. 证明相邻的绿色角与黄色角之和等于两个直角。
7. 再次证明上述结论，但需用字母来表示这些角，而非颜色。

图32．测试题。

利用图A证明：
1. 相邻角acm和mcb等于两个直角。
2. 相邻角acn和ncb等于两个直角。

利用图B证明：
3. 相邻角acn和ncb等于两个直角。
4. 相邻角acm和mcb等于两个直角。

利用图C证明：
5. 相邻角acm和mcb等于两个直角。
6. 相邻角acn和ncb等于两个直角。

利用图D证明：
7. 相邻角acn和ncb等于两个直角。
8. 相邻角bcm和mca等于两个直角。

图33。

命题二：定理。

讲解课程。

P角和S角属于哪种角度？
黄色角与蓝色角这两个相邻角与直角P、S相比如何？
蓝色角与红色角这两个相邻角与那两个直角相比又如何？
如果黄色角与蓝色角之和等于两个直角的度数，而蓝色角与红色角之和也等于两个直角的度数，那么对于黄色角与蓝色角这一对相邻角，以及蓝色角与红色角这一对相邻角，你有什么看法？
如果从黄色角与蓝色角中去掉蓝色角，还会剩下什么？
如果从蓝色角与红色角中去掉同一个蓝色角，又会剩下什么？
既然从这两对相等的相邻角中都去掉了同一个蓝色角，那么剩下的黄色角与红色角之间又有什么关系呢？
假设直线ab和mn的画法使得黄色角与红色角的度数变大或变小，它们仍然会相等吗？
那么——

所有的对顶角都相等。

图34。

证明过程：

我们想要证明：所有的对顶角都相等。设直线ab与mn在点c处相交，那么像黄色角和红色角这样的任意两个对顶角都是相等的。因为相邻的黄色角和蓝色角之和等于两个直角。[3]

3. 进行比较时，让学生观察直角P和S。相邻的蓝色角和红色角之和也等于两个直角。因此，相邻的黄色角和蓝色角等于相邻的蓝色角和红色角。如果从相邻的黄色角和蓝色角中减去蓝色角，就剩下黄色角；如果从相邻的蓝色角和红色角中减去相同的蓝色角，就剩下红色角。所以，对顶角黄色角和红色角是相等的。

测试题。

当你说黄色角与蓝色角之和等于两个直角时，你是通过观察得出的，还是经过证明的？
你怎么知道蓝色角与红色角之和也等于两个直角呢？
当你说黄色角与蓝色角之和等于蓝色角与红色角之和时，你用到了哪条公理？
从相等的量中可以减去什么？是从哪两个相等的量中减去它呢？
当从黄色角与蓝色角中减去蓝色角后，剩下的部分是什么？
当从蓝色角与红色角中减去相同的蓝色角后，剩下的部分是什么？
关于这两个剩余部分，你能得出什么结论？你用到了哪条公理？

图35.
其他证明方法。
黄色角与绿色角之和等于多少？
绿色角与红色角之和等于多少？
那么，对于黄色角与绿色角这一对相邻角，以及绿色角与红色角这一对相邻角，你能知道些什么呢？

从相邻的黄色角和绿色角中减去绿色角，还剩下什么？
从相邻的绿色角和红色角中再减去同一个绿色角，还剩下什么？
关于这两个剩余的角，你知道些什么？
为什么？
你用了哪条公理？
在上一课中，当你证明垂直的黄色角与红色角相等时，你使用了蓝色角；现在，请用绿色角来证明这两个角也相等。
相邻的蓝色角和红色角等于多少度？
相邻的红色角和绿色角又等于多少度？
那么，关于这两对相邻角——蓝色角与红色角、红色角与绿色角，你能知道些什么呢？
从相邻的蓝色角和红色角中减去红色角，还剩下什么？
从相邻的红色角和绿色角中再减去同一个红色角，还剩下什么？
那么，关于剩下的蓝色角和绿色角，你知道些什么呢？
现在，将前面的方法应用到垂直的蓝色角和绿色角上，利用黄色角来证明这两个垂直角是相等的。

图36．测试题。

借助图A——
1. 利用绿色角，证明黄色角与红色角相等。
2. 利用蓝色角，证明同样的结论。
3. 利用黄色角，证明蓝色角与绿色角相等。
4. 利用红色角，证明同样的结论。

借助图B——
5. 利用绿色角，证明黄色角与红色角相等。
6. 利用蓝色角，证明同样的结论。
7. 利用红色角，证明绿色角与蓝色角相等。
8. 利用黄色角，证明同样的结论。

请再次仔细查看前面的八个示例，这次要用字母来表示角度，而非用颜色来表示。
利用图C证明：
9. 通过acm可以证明a cn等于m cb。
10. 通过b cn可以证明a cn等于m cb。
11. 通过a cn可以证明a cm等于n cb。
12. 通过m cb可以证明a cm等于n cb。
利用图D证明：
13. 通过a cn可以证明m ca等于b cn。
14. 通过m cb可以证明m ca等于b cn。
15. 通过m ca可以证明m cb等于a cn。
16. 通过b cn可以证明m cb等于a cn。

图37。

命题三：定理。

讲解课。

在上面的图中，直线ab与cd是平行的，它们被直线ef在点m和点n处截断。

红色角度表示直线mb与另一条直线的方向差异。
黄色角度则表示直线nd与另一条直线的方向差异。
由于直线mb和nd是平行的，那么它们与直线ef的方向差异不也应该相同吗？
既然如此，用来表示这些相同方向差异的角度之间，还会存在差异吗？
那么，对于红色和黄色这两个相对的外角与内角，您怎么看呢？

**证明：**
我们想要证明：相对的外角与内角是相等的。
设直线ef在点m和n处分别与两条平行直线ab、cd相交。
那么，像红色和黄色这样的任意一对相对的外角与内角，其数值应该是相等的。
因为红色角度表示的是直线mb与ef之间的方向差异，而黄色角度则表示的是直线nd与ef之间的方向差异。
由于直线mb和nd是平行的，所以这两种方向差异是相等的。
因此，用来表示这些方向差异的角度也是相等的；也就是说，红色和黄色这两个相对的外角与内角是相等的。

图38．测试题。

利用图A：
1. 证明绿色与蓝色对应的相邻外角和内角相等。
2. 证明红色与黄色对应的相邻外角和内角相等。
3. 证明cne与amn对应的相邻外角和内角相等。
4. 证明end与nmb对应的相邻外角和内角相等。

利用图B：
5. 证明ema与mnd对应的相邻外角和内角相等。
6. 证明amn与dnf对应的相邻外角和内角相等。
7. 证明emb与mnc对应的相邻外角和内角相等。
8. 证明bmn与cnf对应的相邻外角和内角相等。

图39。

命题四：定理。

讲解课。

关于红色和黄色的对顶角，你了解些什么？
关于红色和绿色的邻补角，你又了解些什么？
那么，如果绿色和黄色这两个内错角分别等于红色角，还能得出什么新的结论呢？
你运用了哪条公理？
你将哪两个量判定为相等？
你判定哪两个量与它相等？

证明：

我们想要证明：任意两个内错角都是相等的。
设直线ef在点m和n处分别与两条平行直线ab、cd相交。
那么，像绿色和黄色这样的任意两个内错角必定是相等的。

相对的外角与内角，即红色和黄色，是相等的。
垂直角，即红色和绿色，也是相等的。
由于内角中的交替角，即绿色和黄色，分别等于红色角，因此它们彼此也相等。

图40。
测试题：
关于图A中的垂直角绿色和红色，你知道些什么？
关于相对的外角与内角，即红色和黄色，你知道些什么？
如果内角中的交替角绿色和黄色分别等于红色角，那你能得出什么结论？
利用图A：
1. 利用红色角来证明内角中的交替角绿色和黄色是相等的。
2. 利用蓝色角来证明这两个角是相等的。

3. 再次进行相同的演示，这次用角度的字母来表示它们，而非颜色。借助图B——
4. 利用黄色角来证明红色角与蓝色角这两个内错角相等。
5. 利用绿色角来证明同样的两个角相等。
6. 再次进行相同的两次演示，这次用角度的字母来表示它们，而非颜色。借助图C——
7. 利用fnd角来证明cnm角与nmb角这两个内错角相等。
8. 利用ame角来证明同样的两个角相等。
9. 利用emb角来证明amn角与mnd角这两个内错角相等。
10. 利用cnf角来证明同样的两个角相等。

图41.

命题五：定理。
推导过程。

关于红色和黄色所对应的对顶外角与内角，你知道些什么？
关于黄色和绿色所对应的对顶角，你知道些什么？
如果红色和绿色这两个外角分别等于黄色所对应的角，那么还能得出什么新的结论呢？
你运用了哪条公理？
你曾判定过哪两件事是相等的？还有哪两件事也被判定为相等？
那么，你还发现了什么新的结论呢？

**证明：**
我们想要证明：任意两个外角都是相等的。
设直线ef在点m和n处分别与两条平行直线ab、cd相交。
那么，像红色和绿色这样的任意两个外角一定是相等的。
因为红色和黄色这两个对顶外角是相等的，而黄色和绿色这两个对顶角也是相等的。
既然红色和绿色这两个外角分别等于黄色所对应的角，那么它们自然也是相等的。

图42．测试课。

关于黄色和红色所代表的相对外角与内角，你了解些什么？
关于红色和蓝色所代表的对顶角，你又了解些什么？
如果黄色和蓝色这两个外角分别等于红色所代表的角，那么它们之间有什么关系呢？
借助图A——
1. 利用红色所代表的角来证明黄色和蓝色这两个外角是相等的。
2. 利用绿色所代表的角来证明同样的结论。
3. 用字母来表示这些角，再次进行相同的证明。
4. 利用a m n所代表的角来证明e m b与c n f这两个外角是相等的。
5. 利用m n d所代表的角来证明同样的结论。

借助图B——
6. 利用角nmd，证明外错角cme与fnb相等。
7. 利用角anm，证明同样的结论。
8. 利用角cmn，证明外错角emd与anf相等。
9. 利用角mnb，证明同样的结论。

图43.

命题六：定理。

讲解课。

关于内错角Yellow和Red，你了解些什么？
如果将角Green与角Yellow相加，其和是多少？
如果再将该角Green与相等的角Red相加，其和又是多少？
既然将相等的量加在同一个数上，那么你认为这两个和——即相邻角Green、Yellow，以及内对角Green、Red——之间有什么关系呢？
关于相邻角Green、Yellow以及直角P、S，你又了解些什么？

那么，如果绿色角、红色角以及两个直角P、S分别等于相邻的绿色角、黄色角，那么你能得出什么新的结论呢？

证明：

我们想要证明：任意两个内对角都等于两个直角。设直线ef与两条平行直线ab、cd分别在点m和n处相交。那么，任意两个内对角都将等于两个直角。因为内错角黄色角和红色角是相等的。如果将绿色角与黄色角相加，就得到了相邻的绿色角和黄色角；如果再把相等的红色角加到绿色角上，就得到了内对角绿色角和红色角。因此，相邻的绿色角和黄色角等于内对角绿色角和红色角。而相邻的绿色角和黄色角又等于两个直角。所以，由于内对角绿色角、红色角以及两个直角分别等于相邻的绿色角、黄色角，它们彼此之间也是相等的。

图44．测试课。

借助图A：
1. 利用红色角，证明绿色角与黄色角这两个对角之和等于两个直角。
2. 利用蓝色角，证明同样的结论。
3. 利用e g b角，证明同样的结论。
4. 利用f h d角，证明同样的结论。
5. 再次进行相同的证明，但这次用角的字母来表示它们，而非颜色。
6. 利用黄色角，证明红色角与蓝色角这两个对角之和等于两个直角。
7. 利用绿色角，证明同样的结论。
8. 利用e g a角，证明同样的结论。
9. 利用c h f角，证明同样的结论。
10. 再次进行相同的证明，但这次用角的字母来表示它们，而非颜色。

借助图B：

11. 利用角GHD，证明内对角AGH和GHC等于两个直角。
12. 利用角CHF，证明同样的结论。
13. 利用角AGE，证明同样的结论。
14. 利用角AGH，证明内对角BGH和GHD等于两个直角。
15. 利用角EGB，证明同样的结论。
16. 利用角FHD，证明同样的结论。
比较黄色角和绿色角与其外对角，看看是否能够证明外对角EGB和FHD也等于两个直角。

图45。

命题七：定理。

推导过程：

假设我们不知道直线AB与CD是否平行；但通过测量，我们发现割线EF同一侧上的蓝色角和黄色角等于两个直角：

4. “割线”的意思就是“相交的直线”。
那么，相邻的蓝色角和红色角等于多少呢？

那么，如果蓝色角和黄色角都等于两个直角，
而蓝色角与红色角也各自等于两个直角，
你能推断出什么？
从蓝色角和黄色角中减去蓝色角，还会剩下什么？
从蓝色角和红色角中减去同一个蓝色角，又会剩下什么？
关于这两个剩余的角，你知道些什么？
红色角表示直线gb相对于哪条直线的方向？
相等的黄色角表示直线hd相对于哪条直线的方向？
那么，如果直线gb和hd相对于直线ef的方向相同，那它们应该被称为什么？

图46.
证明：
我们想要证明：如果一条直线与另外两条直线相交，且交点同侧的两个内角都等于两个直角，那么这两条直线是平行的。
设直线ef在点g和h处分别与直线ab、cd相交，使得红色角和蓝色角都等于两个直角。

角度。
那么，直线ab和cd就会平行。
假设红色角与蓝色角都等于两个直角。
已知，相邻的红色角与绿色角也等于两个直角。
因此，红色角与蓝色角的大小等于相邻的红色角与绿色角的大小。
如果从红色角与蓝色角中减去红色角，就剩下蓝色角；
如果从红色角与绿色角中减去相同的红色角，就剩下绿色角。
所以，蓝色角等于绿色角。
而蓝色角表示的是直线hd相对于直线ef的方向；
绿色角则表示的是直线gb相对于直线ef的方向。
因此，直线gb与直线hd的方向相同，故它们是平行的。

测试题：
1. 不使用颜色标记，证明上述结论。
2. 利用角fhd来证明上述结论。
3. 假设角agh与角ghc都等于两个直角，并利用角age来证明上述结论。
4. 利用角chf来证明上述结论。
详见附录中的注释E。

命题八：定理。

以下演示非常简单。只需阅读一遍，看看能否不用再读就能理解：—

演示：

我们想要证明：三角形任意两边的和都大于第三边。设图形abc为一个三角形，那么任意两边a+c或c+b的和都会大于第三边ab。因为直线ab是点a与点b之间的最短距离，所以其长度必然小于折线acb的长度。

命题九：问题。

以下的解答极其简单，你立刻就能理解：—
我们希望在给定的直线上构造一个等边三角形。

解：
设直线AB为已知直线。以点A为圆心，AB为半径，画出一个圆的周长或其中的一部分；再以点B为圆心，同样的半径AB，画出另一个圆的周长或其中的一部分。在两个圆的周长或弧线相交的点C处，画出直线AC和BC。由于AB和AC都是同一个圆的半径，因此它们长度相等；同理，AB和BC也是同一个圆的半径，所以它们也长度相等。既然AC和BC都等于AB，那么AC与BC也相等，因此该三角形是等边三角形。

命题X：定理。

讲解课。

设图形abc为一个三角形。将边ac延长至点d。现在我们多了一个角，即BCD，我们想要知道它是否等于该三角形的某个角。从点c画一条与AB平行的直线CE。因为直线AD与两条平行线AB、CE相交，所以角A等于哪个角呢？因为直线BC与两条平行线AB、CE相交，所以角B等于哪个角呢？那么，角A和角B分别等于哪两个角呢？角BCD与角BCE、角ECD相比如何呢？如果角A和角B分别与角BCE、角ECD相等，那么你发现了什么？你刚刚用到了哪条公理？你还发现哪两件事是相等的？你发现哪两件事与它相等呢？

证明：

我们想要证明：如果将三角形的任意一边延长，那么由此形成的新角将等于与该边不相邻的那些角的和。设abc为一个三角形。

将边ac延长至d，这样新的角BCD就会等于角A与角B之和。
因为在点C处作CE平行于AB，
由于直线AD与两条平行线AB、CE分别在点A和点C处相交，
所以对应的同位角A与ECD相等。
又因为直线BC与这两条平行线分别在点B和点C处相交，
所以内错角B与BCE也相等。
因此，三角形中的角A与角B分别等于角BCE与角ECD。
而新的角BCD则等于角BCE与角ECD。
既然新的角BCD以及角A、角B都分别等于角BCE与角ECD，那么它们彼此相等。

命题十一：定理。

推导过程：
设图形ABC为一个三角形。
将边AC延长至D。
根据上一条定理，角BCD等于三角形的哪些角呢？

我们需要给这些角加上多少度，才能构成三角形的三个内角呢？
如果给角bcd加上相同的角度，那么会得到哪两个相邻角呢？
那么，三角形的三个内角a、b和c，就相当于哪两个角呢？
而相邻角acb和bcd又等于什么呢？
既然三角形的三个内角a、b、c与两个直角分别等于相邻角c和bcd，那我们又发现了什么新的结论呢？

证明：
我们想要证明：任意三角形的三个内角之和等于两个直角。
设三角形abc的三个内角分别为a、b和c，那么a、b、c的和应该等于两个直角。
将边ac延长到点d，这样新形成的角bcd就等于角a与角b的和。
如果在角a和角b的基础上再加上角c，那么就得到了三角形的三个内角。
如果在角bcd的基础上再加上相同的角c，那么就会得到相邻角c和bcd。
因此，三角形的三个内角a、b、c就相当于相邻角c和bcd。
而相邻角c和bcd则等于两个直角。
所以，由于三角形的三个内角等于相邻角c和bcd，它们自然也等于两个直角。

命题十二：定理。

讲解课程：

设图形ABCD为一个平行四边形。将边CD延长至F点。因为直线BD与平行线AB和CF相交，那么角B等于哪个角呢？因为直线CF与平行线AC和BD相交，那么角C等于哪个角呢？由此可以得出什么结论呢？你找到了哪两个角是相等的？这两个角分别是哪些？你想到了哪条公理呢？试着不看证明过程就能理解它吧。

证明过程：

我们想要证明：平行四边形的对角相等。设图形ABCD为一个平行四边形。那么，像B和C这样的任意一对对角是否相等呢？将线段CD延长至F点。因为直线BD与两条平行线AB和CF相交，所以内错角B和E是相等的。

因为直线CF与两条平行线BD和AC相交，
所以对顶角C和E相等。
又因为角B和角C分别等于角E，
所以它们也相等。

1. 通过将直线AB向左延长，证明同样的结论。
2. 通过将直线BD向下延长，证明同样的结论。
3. 通过将直线CD向左延长，证明角A和角D相等。
4. 通过将直线DB向上延长，证明同样的结论。
5. 尝试通过连接点A和D画一条对角线来证明同样的结论。

命题十三：定理。

推导过程：

在这两个三角形中，我们试图让其中一个三角形的边ab等于另一个三角形的边de；让其中一个三角形的边ac等于另一个三角形的边df；让其中一个三角形的夹角bac等于另一个三角形的夹角edf。
现在，我们想要知道其中一个三角形的第三条边bc是否等于另一个三角形的第三条边ef，以及其中一个三角形的另外两个角b和c是否等于另一个三角形的另外两个角e和f。

假设我们将三角形def从纸上剪下来，然后将其放在三角形abc上，使得线段de与线段ab重合，点d与点a重合。由于线段de的长度等于线段ab的长度，那么点e会落在哪个点上呢？如果角edf小于角bac，那么线段df会落在三角形内部还是外部呢？如果角edf大于角bac，那么线段df又会落在哪里呢？因为角a等于角d，所以线段df又会落在哪里呢？由于线段df的长度等于线段ac的长度，那么点f会落在哪个点上呢？如果点e落在点b上，点f落在点c上，那么线段ef又会落在哪里呢？因为三角形def的三个边恰好与三角形abc的三个边完全重合，所以我们可以说这两个三角形的对应部分在整条边上都是相等的，因此它们是全等的。在将两个三角形放在一起之前，我们假设三角形abc的哪三个部分分别等于三角形def的三个对应部分呢？在其中一个三角形中，有哪条线段与另一个三角形中的某条线段长度相等呢？在其中一个三角形中，有哪两个角与另一个三角形中的两个角相等呢？那你认为这两个三角形的面积分别是多少呢？

证明。

我们想要证明：如果两个三角形有两条边及其夹角分别相等，那么这两个三角形在所有方面都完全相同。
设三角形abc与三角形def中，三角形abc的边ab等于三角形def的边de；三角形abc的边ac等于三角形def的边df；且三角形abc的夹角bac等于三角形def的夹角edf，那么这两个三角形在所有部分上都是相等的。
因为可以将三角形def放在三角形abc之上，使得直线de落在直线ab上，且点d位于点a上。由于直线de等于直线ab，因此点e会位于点b上。又因为角edf等于角bac，所以直线df会落在直线ac上。而由于直线df等于直线ac，点f也会位于点c上。这样一来，因为点e在点b上，点f在点c上，所以直线ef就会与直线bc重合，从而这两个三角形在所有部分上都是相等的。也就是说，角e等于角b，角f等于角c，直线ef等于直线bc，同时三角形abc的面积也等于三角形def的面积。
命题十四：定理。

学习要点。

在这两个三角形中，我们试图让其中一个三角形的角b等于另一个三角形的角e，让其中一个三角形的角c等于另一个三角形的角f，同时让其中一个三角形的边bc等于另一个三角形的边ef。现在我们想要知道，其中一个三角形的剩余角a是否等于另一个三角形的剩余角d，以及其中一个三角形的另外两条边ab和ac是否等于另一个三角形的另外两条边de和df。假设我们将三角形def从页面上剪下来并放在三角形abc上，使得线段ef与线段bc重合，且点e与点b重合。因为线段ef与线段bc长度相等，那么点f会落在哪个点上呢？因为角e等于角b，那么线段ed会落在何处呢？因为角f等于角c，那么线段df又会落在何处呢？如果线段de与线段ab重合，线段df与线段ac重合，那么点d又会落在哪里呢？既然三角形def的三条边恰好与三角形abc的三条边完全重合，那么我们可以说这两个图形的对应部分在整体上完全一致，因此它们是相等的。假如角e大于角b，那么线段ed会落在三角形的内部还是外部呢？如果角e小于角b，那线段ed又会落在哪里呢？为什么线段de会恰好与线段ab重合呢？

证明：

我们想要证明：如果两个三角形有两个角相等，且其中一个三角形的夹边与另一个三角形的对应夹边也相等，那么这两个三角形在所有方面都是全等的。
设三角形abc与三角形def中，三角形abc的角b等于三角形def的角e；三角形abc的角c等于三角形def的角f；同时，三角形abc的夹边bc等于三角形def的夹边ef，那么这两个三角形在所有部分上都是全等的。
将三角形def置于三角形abc之上，使得线段ef落在线段bc上，且点e位于点b上。因为线段ef等于线段bc，所以点f也会位于点c上。由于角e等于角b，因此线段ed会落在线段ba上，点d则位于线段ba上的某一点。同理，因为角f等于角c，所以线段fd会落在线段ca上，点d也位于线段ca上的某一点。既然点d同时位于线段ba和线段ca上，那么它必然位于这两条线的交点处，也就是点a上。由于两个三角形在整个范围内完全重合，因此它们在所有部分上都是全等的。也就是说，角a等于角d，边ba等于边ed，边ca等于边fd，而三角形abc的面积也等于三角形def的面积。

命题十五：定理。

证明：

我们想要证明：任意平行四边形的对边是相等的。
设图形abcd为一个平行四边形，那么边ab与边cd必定相等，同理，边ad与边bc也必定相等。
因为可以画出对角线bd。由于该图形是平行四边形，所以边ab与边dc互相平行，且内错角n与o也相等。另外，由于它是平行四边形，内错角r与m也相等。因此，三角形adb与三角形bdc有两个角及它们所夹的边分别相等，所以这两个三角形是全等的；而与角m相对的边ab等于与相等的角r相对的边cd；与角n相对的边ad等于与相等的角o相对的边bc。

验证：可以通过从点a画对角线到点c来证明同样的结论。

命题十六：定理。

推导过程：

假设AB是一条直线，C是直线外的任意一点。从点C向AB作一条垂直线CF。我们来看看这条垂直线是否比从同一点向同一条直线所画的任何其他线都短。再从C向AB画另一条线CE。由于CE是除垂直线之外的任意一条线，如果发现垂直线CF比它更短，那么就可以得出结论：CF是从C到AB的最短线段。将CF延长，直到FD等于CF，然后连接E和D。在三角形EFC和EFD中，哪两条边被设为相等？每条边分别是哪个三角形的边？角CFE的度数是多少？什么是直角？

那么，角CFE与角EFD之间有什么关系呢？
如果三角形EFC和三角形EDF中，一个三角形的边CF等于另一个三角形的边FD，两个三角形有公共边EF，且一个三角形的夹角ECF等于另一个三角形的夹角EFD，那么你能得出什么结论呢？
那么，其中一个三角形的哪一条边与另一个三角形的某条边相等呢？
CE在折线CED中占多少比例呢？
CF在直线CD中又占多少比例呢？
直线CD和折线CED，哪一个更短呢？
那么，CD或CF的一半与CED或CE的一半相比又如何呢？
如果CE不是垂直线，那我们又能如何描述从点C到直线AB的垂线呢？

证明：
我们想要证明：垂直线是从一点到一条直线的最短距离。

设AB为一条直线，C为直线外的一点，则从该点向这条直线所作的垂线CE，就是从该点到这条直线的最短距离。
现在，从C向AB作另一条直线，比如CF。将CE延长，直到ED等于CE，然后连接FD。
三角形FEC与三角形FED有：一个三角形的边CE等于另一个三角形的边ED，两三角形有公共边FE，且一个三角形的夹角FEC等于另一个三角形的夹角FED，因此这两个三角形全等，从而CF的长度等于FD的长度。
而直线CD则是点C与点D之间的最短距离，所以它比折线CFD更短。
因此，CD的一半CE，也短于CFD的一半CF。
既然CF是任何非垂直的直线，那么垂线CE就是从C到AB的最短距离。

命题十七．定理。
证明：
我们想要证明的是……

圆的切线在接触点处与半径垂直。
设直线AB在点D处与以C为圆心的圆的周面相切。连接圆心C与接触点D，那么这条切线就会与半径CD垂直。
如果从圆心向切线画另一条线，比如CF，由于点D是切线与圆周面唯一相切的点，因此像F这样的其他点必然位于圆周之外。所以，延伸到圆周之外的直线CF的长度必定大于仅能到达圆周边缘的半径CD的长度；因此，半径CD比从点C到直线AB所画的任何其他线的长度都要短，故半径CD与该直线垂直。

命题十八：定理。
证明：
我们想要证明：在任意等腰三角形中，相等边所对的角也是相等的。

设三角形ABC为等腰三角形，即AB边与AC边长度相等。那么，与AC边相对的角B就会等于与相等的AB边相对的角C。

作直线AD，将角A平分为两个相等的部分，且该直线的长度要足够长，以便在BC边上某点D处与BC相交。此时，三角形ADB与三角形ADC中，一个的AB边等于另一个的AC边，两者都有AD这条公共边，而且ADB中的角BAD等于ADC中的角CAD；因此这两个三角形在所有方面都完全相同，于是与AC边相对的角B就等于与AB边相对的角C。

**命题十九：定理**

**证明：**

我们想要证明：如果两个三角形的各条边分别相等，那么这两个三角形在所有方面都完全相同。设三角形ABC与三角形ADC中，一个的AB边等于另一个的AD边，一个的BC边等于另一个的DC边，第三条边也同样相等，那么这两个三角形在所有方面都完全相同。将这两个三角形沿着最长的边对齐，然后用一条直线连接相对的顶点B和D即可。

因为边AB等于边AD，所以三角形BAD是等腰三角形，因此与相等边相对的角ABD和ADB相等。
因为边BC等于边DC，所以三角形BCD也是等腰三角形，因此与相等边相对的角CBD和CDB相等。
如果将角ABD与角DBC相加，就得到了角ABC。
再将角ABD与其对应的边AB，以及角DBC与其对应的边BDC相加，就可以得到角ADC。
因此，角ABC等于角ADC。
这样一来，三角形ABC与三角形ADC就有两边及这两边所夹的角分别相等，且所有对应部分都相等；也就是说，一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，它们的面积也相等。

命题XX：定理。

证明：
我们想要证明：圆周上的一个角的大小等于它所对的弧长的一半。

设角BAD的顶点位于以C为圆心的圆周上，那么该角的度数等于弧BD长度的一半。因为过圆心可画出直径AE，再将点C与点B连接起来。外角ECB等于角B与角BAC之和。由于CA和CB都是圆的半径，因此它们长度相等，该三角形为等腰三角形；对应相等边的角B与角BAC也相等，而角BAC则是这两个角的一半。既然角BAC是角B与角BAC的一半，那它自然也是外角ECB的一半。而ECB位于圆心，其度数可由BE来表示，因此角BAC的度数就等于BE长度的一半。同理，可以证明角CAD的度数也等于ED长度的一半。既然角BAC等于BE长度的一半，角CAD等于ED长度的一半，那么整个角BAD的度数自然就等于弧BD长度的一半。

第二种情况：假设该角完全位于圆心的一侧，比如角FAB。像之前一样，画出直径AE以及半径BC。需要证明角BAE的度数等于弧BE长度的一半。再从C点画出另一条半径到F点，然后证明角FAE的度数等于弧FE长度的一半。因为角FAE的度数等于弧FE长度的一半，角BAE的度数等于弧BE长度的一半，所以这两个角之差，也就是角FAB的度数，必然等于两段弧之差的一半，即FB长度的一半。

命题二十一：定理。

证明：

我们想要证明：平行的弦所截得的圆周弧相等。设弦AB和CD平行，那么它们所截得的弧AC和BD必定相等。

作直线BC。由于AB与CD平行，因此内错角ABC和BCD相等。

而角ABC对应的弧长是弧AC的一半；角BCD对应的弧长则是弧BD的一半。既然这两个角相等，那么表示它们的半弧也必然相等，进而整个弧也必然相等。

命题二十二：定理。

证明：

我们想要证明：在切线与弦的交点处，由切线和弦所构成的角的大小等于该弦所对弧长的一半。设切线CAB与弦AD在交点A处相交，那么角BAD的大小就等于弦AD所对弧长的一半。作直径AEF。因为AB是切线，而AE是在交点处的半径，所以角BAF为直角，其大小等于半圆ADF的弧长。由于角FAD位于圆周上，因此它的大小等于弧DF的一半。于是，角BAF与角DAF之差，也就是角BAD的大小，必然等于弧ADF与弧DF之差的一半，即弧AD的一半。也就是说，角BAD的大小等于弧AD的一半。

命题二十三：定理。

证明：

我们想要证明：一条切线与与其平行的弦所截得的圆周弧长相等。设AB为在点D处与圆周相切的切线，CF为与这条切线平行的弦，那么所截得的弧CD和DF的长度必然相等。

因为从切点D出发可以画出直线DC。由于切线与弦平行，所以内错角ADC和DCF是相等的。

而角ADC是由切线DA和弦DC构成的，它的度数等于弧DC的一半；角DCF则位于圆周上，其度数等于它所对应的弧DF的一半。既然这两个角的度数相等，那么表示它们度数的半弧长度也相等，因此原来的弧CD和DF的长度自然也相等。

命题二十四：定理。

证明：

我们想要证明：圆中两条弦相交所形成的角，其度数等于所截两段弧度数之和的一半。设弦AB与CD在点E处相交，那么角BED或角AEC的度数就等于弧AC与弧BD度数之和的一半。因为从点C作一条与AB平行的线CF，由于AB与CF平行，所以弧AC与弧BF相等。将这两个相等的弧度数分别加上弧BD，可得弧BD加上弧AC等于弧BD加上弧BF，也就是说，弧BD、弧AC的度数之和等于弧FD的度数。又因为AB与CF平行，所以对顶的外角和内角DEB与DCF也相等。而DCF是圆周上的角，因此它的度数等于弧FD度数的一半。所以，相等的角DEB的度数也必然等于弧FD度数的一半，或者等于弧BD加上弧AC的度数。

命题二十五：定理。

证明：

我们想要证明：两条不相交于圆上的割线所构成的角，其度数等于所截两段弧长度差的一半。设割线AB、AC分别与圆的周长相交于点D和E，那么角BAC的度数就等于弧BC与弧DE长度差的一半。因为从点D作一条与EC平行的弦DF，由于AC与DF平行，所以对应的邻外角和邻内角BDF与BAC相等。又因为弦DF与EC平行，所以弧DE与弧FC的长度相等。如果从弧BC中减去弧DE或与其等长的弧FC，那么剩下的就是弧BF。

但角BDF位于圆周上，其度数等于弧BF的一半。因此，角BDF或角BAC的度数也必然等于弧BF的一半，或者等于所截弧BC与DE之差的一半。

附录。
注A——对于那些认为“线”应从“面”中衍生出来，而“面”又应从“立体”中衍生出来的教师们，作者想说：根据他的经验，孩子们能够像理解其他概念一样轻松地理解“线”与“面”所代表的概念；因此，在这方面似乎没有必要格外小心以避免造成错误的印象。
不过，如果真的希望以这种方式来定义“线”与“面”，那么显然只能将相关内容作为初步教学内容来呈现。

注B——这里先讲解弯曲的线，再讲解直线，是因为前两者是通过某种肯定性的特征来定义的——即它们的方向会发生变化；而直线则是通过缺乏某种特征来定义的——即它的方向不会发生变化。对儿童来说，理解“存在什么”比理解“不存在什么”要容易得多。

注C——如果学生年龄足够大，可以向他们说明：垂直线实际上不可能平行，只是因为它们长度较短且彼此距离较近，所以才看起来像是平行的。

注D——这一定义可能存在问题，因为“菱形状”的意思其实就是“像菱形一样”。更一般的图形“菱形状”以较为特殊的图形“菱形”来命名，这实在不太妥当，因为它破坏了命名体系的对称性。菱形具备菱形状的所有特性，因此在讨论这些特性时，它应该使用相同的名称；它所具有的额外特性则意味着它应该有一个能涵盖其他名称的新名称。如果把矩形称为“方形状”，就会出现同样的问题。

注E——如果教师认为有必要，可以要求学生作为推论，证明诸如“当内角交替相等时线条平行”、“当相对的外角和内角相等时线条平行”之类的命题，以此延续之前所学的内容。

汤森德对美国宪法的分析
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《通史概要》
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